Determinanten und VoluminaProseminar zur Mathematik - Lineare Algebra - SS 2010

bei Prof. Dr. rer. nat Holger Brenner

Denis Meyer

Ausarbeitung zum Vortrag vom 10.06.2010

1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Die Determinantenfunktion 42.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Beispiel anhand einer 2×2-Matrix 53.1 Die Determinante einer 2×2-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Geometrische Bedeutung der Determinante . . . . . . . . . . 6

4 Beispiel anhand einer 3×3-Matrix 8

5 Transformationen 105.1 Homogene Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3 Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.4 Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.5 Transvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.5.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.6 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.6.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.6.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Anhang 226.1 Berechnung der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Der Matrixmultiplikationssatz für Determinanten . . . . . . . 23

Abbildungsverzeichnis 24

Literatur 25

2

1 Einleitung

In dieser Arbeit wird der Zusammenhang von Determinantenfunktion undVolumenmessung näher betrachtet.

Zur Einführung wird die Determinantenfunktion definiert (2.1).

Anschließend wird der Zusammenhang der Determinante und dem Volumeneines Körpers anhand von zwei Beispielen erläutert:Erstens am Beispiel einer 2×2-Matrix bzw. am Beispiel eines Parallelo-gramms(3), dessen Determinante hergeleitet (3.1) und geometrische Bedeu-tung anschaulich beschrieben (3.2) wird, zweitens am Beispiel einer 3×3-Matrix bzw. am Beispiel eines Parallelotops (4).

Im finalen Kapitel werden Transformationen (5) betrachtet, welche z.B. häu-fig in der Computergrafik gebraucht werden. Es werden die typischen Trans-formationen Translation (5.2), Skalierung (5.3) und Rotation (5.4) und dieaus diesen zusammengesetzten Transformationen Transvektion (5.5) undTransposition (5.6) beschrieben.

Im Anhang (6) werden ergänzende und/oder weiterführende Informationengegeben, die notwenig sind, um einige der Definitionen, Sätze oder Beweisezu verstehen. Wenn diese in Form von Sätzen angeboten werden, wird auf denBeweis verzichtet. Diese können und sollten separat nachgeschlagen werden.

3

2 Die Determinantenfunktion

2.1 Definition

Sei stets K ein kommutativer Körper und Km×n eine m×n-Matrix, d.h. eineMatrix mit m Zeilen und n Spalten.

Definition:Sei M ∈ Kn×n.Eine Abbildung det: Kn×n → K heißt eine Determinantenfunktion, fallssie die folgenden 3 Eigenschaften hat:

1. Die Abbildung ist linear in jeder Zeile.Das bedeutet, dass ∀ i ∈ {1, ..., n} gilt

• Additivität :

det

z1...

zi + z′i...zn

= det

z1...zi...zn

+ det

z1...z′i...zn

• Homogenität :

det

z1...

k · zi...zn

= k · det

z1...zi...zn

2. Wenn Rang(M) < n, so ist det(M) = 0.

3. det(En) = 1.

4

3 Beispiel anhand einer 2×2-Matrix

3.1 Die Determinante einer 2×2-Matrix

Sei M ∈ K2×2, M =(a bc d

). Dann ist die Abbildung det, definiert durch

det(M) := ad− bc

eine Determinantenfunktion.

Beweis:

1. Z.z.: Die Abbildung ist linear in jeder Zeile:

• Additivität :

det

(a+ a′ b+ b′

c d

)= (a+ a′)d− (b+ b′)c

= ad− bc+ a′d− b′c = det

(a bc d

)+ det

(a′ b′

c d

)und

det

(a+ a′ bc+ c′ d

)= (a+ a′)d− (c+ c′)b

= ad− bc+ a′d− bc′ = det

(a bc d

)+ det

(a′ bc′ d

)• Homogenität : ∀k ∈ K gilt

det

(k · a k · bc d

)= k · ad− k · bc = k(ad− bc) = k · det

(a bc d

)und

det

(k · a bk · c d

)= k · ad− k · bc = k · (ad− bc) = k · det

(a bc d

)2. Z.z.: Wenn Rang(M) < 2, so ist det(M) = 0:

Wenn Rang(M) = 0, so ist det(M) = 0 · 0 - 0 · 0 = 0.Wenn Rang(M) = 1, so ist eine der beiden Zeilen das Vielfache deranderen und es folgt

det(M) = det

(a bk · a k · b

)= k · det

(a ba b

)= k · (ab− ab) = 0.

3. Z.z.: det(E2) = 1:

det(E2) = det

(1 00 1

)= 1 · 1− 0 · 0 = 1.

5

3.2 Geometrische Bedeutung der Determinante

Zur Verdeutlichung des Zusammenhanges zwischen Betrag der Determinanteund der Fläche eines Körpers ein kurzes Beispiel:

Abbildung 1: Flächeninhaltsbestimmung anhand der Determinante

Sei M ∈ K2×2, M =(a bc d

).

Die Fläche des gelb gefärbten Parallelogramms mit den Spaltenvektoren(ac

)und

(bd

)ist der Betrag der Determinante von M:

A(0ACB)︸ ︷︷ ︸Fläche Parallelogramm

= A(0A0CB0)︸ ︷︷ ︸ges. Rechteck

−A(A0A2AA1)−A(B0B1BB2)︸ ︷︷ ︸- blaue Rechtecke

−A(0A1A)−A(CB1B)︸ ︷︷ ︸- rote Dreiecke

−A(0B2B)−A(CA2A)︸ ︷︷ ︸- grüne Dreiecke

⇒ A(Parallelogramm)

= (a+ b) · (c+ d)− 2 · bc− ac− bd= ac+ ad+ bc+ bd− 2 · bc− ac− bd= ad− bc= det(M) (siehe 3.1).

6

Die Additivität kann man anhand von folgender Abbildung deutlich machen:

Abbildung 2: Parallelogram-Seiten Verschub

Im Parallelogramm darf man eine Seite unter Beibehaltung der Höhe ver-schieben. Es wird somit o.B.d.A. angenommen, dass zwei Rechtecke vorliegen(siehe Transvektion (5.5)).

Auch andere Aktionen haben korrespondierende geometrische Interpretatio-nen. Wird z.B. eine Spalte verdoppelt, verdoppelt sich auch die Fläche (bzw.das Volumen im 3-Dimensionalen), weil so eine der Dimensionen des Paralle-logramms (bzw. Parallelotops im 3-Dimensionalen) verdoppelt wurde (sieheSkalierung (5.3)).

7

4 Beispiel anhand einer 3×3-Matrix

Man betrachte ein Parallelotop (auch Parallelepiped genannt):

Abbildung 3: Parallelotop (Parallelepiped)

Ein Parallelotop ist ein zusammengesetzter Körper, den jeweils zwei in par-allelen Ebenen liegende kongruente Parallelogramme begrenzen.

Sei M ∈ K3×3, M =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

und

seien die Zeilenvektoren a = (a1 a2 a3), b = (b1 b2 b3), c = (c1 c2 c3)jeweils eine der 3 an einem der Eckpunkte zusammenlaufenden Kanten.

Zuerst einige Rechenregeln:

• Das Kreuzprodukt b× c ist der Normalenvektor auf der durch b und caufgespannten Grundfläche base, definiert durch:

b× c =

b1b2b3

× c1

c2c3

=

b2c3 − b3c2b3c1 − b1c3b1c2 − b2c1

.

Der Betrag des Kreuzproduktes ist der Flächeninhalt dieser Fläche:

|b× c| = A(base).

• Die Höhe ist gegeben durch

h = |a| · |h||a|

= |a| · cos(α).

• Zur Berechnung der Determinante einer Matrix M ∈ K3×3 siehe z.B.„Regel von Sarrus“ (im Anhang (6.1)).

8

Dann ist das Volumen des Parallelotops

V (Parallelotop) = Grundflache ·Hohe= base · h= |b× c| · |a| · cos(α)

nach der Definition des Skalarproduktes gilt:

= |(b× c) · a|

=

∣∣∣∣∣∣ b2c3 − b3c2

b3c1 − b1c3b1c2 − b2c1

· a1

a2a3

∣∣∣∣∣∣= |a1 · (b2c3 − b3c2) + a2 · (b3c1 − b1c3) + a3 · (b1c2 − b2c1)|= |a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − c1b2a3 − c2b3a1 − c3b1a2|= |det(M)|.

9

5 Transformationen

Anhand von Transformationen kann man die Position, Orientierung, Formund Größe eines Körpers verändern.Typische Transformationen sind Translation (Verschiebung (5.2)), Skalie-rung (Veränderung des Maßstabs (5.3)) und Rotation (Drehung (5.4)). Li-neare Transformationen werden durch lineare Abbildungen beschrieben:

Definition:Eine lineare Abbildung φ : Rn → Rm weist jedem Punkt P ∈ Rn einenBildpunkt P’ ∈ Rm zu und es gilt ∀ Punkte P, Q ∈ Rn, ∀ α, β ∈ R:

φ(α · P + β ·Q) = α · φ(P ) + β · φ(Q).

Solche Abbildungen können als Matrixmultiplikation beschrieben werden.Sei M ∈ Km×n:

P ′ = φ(P ) =M · P.

Lineare Abbildungen, die geraden- und parallelentreu sind und bei denen dasTeilverhältnis von Strecken untereinander erhalten bleibt, werden als affineAbbildungen bezeichnet. Mit dieser Eigenschaft werden z.B. parallele Gera-den wieder auf parallele Geraden abgebildet und das Verhältnis des Flächen-inhalts zweier Körper bleibt erhalten. Damit bieten sich affine Abbildungenfür Transformationen an.

Da man häufig mehrere Transformationen hintereinander auf einen Körperanwenden möchte, um z.B. eine Transvektion (5.5) oder eine Transposition(5.6) zu erreichen, werden Transformationen durch Matrizen repräsentiert.Man kann die jeweiligen Matrizen dann multiplizieren, um Transformationenzu verknüpfen.

Im Folgenden wird der Zusammenhang zwischen solch einer Änderung derMatrix und der evtl. daraus resultierenden Änderung der Determinante be-trachtet.

10

5.1 Homogene Koordinaten

Damit die Darstellung solcher Transformationen durch eine Multiplikationder Koordinaten mit Matrizen jedoch möglich ist, wurden homogene Koordi-naten (auch Verhältniskoordinaten genannt) eingeführt. Die einzelne Koor-dinate hat keine unmittelbare Bedeutung mehr für die Lage eines Punktes.Die Lage ist aus dem Verhältnis der Koordinaten zueinander bestimmt.

Sei P =

(xy

)ein Punkt mit kartesischen Koordinaten.

P hat die homogenen Koordinaten

xhyhw

, w 6= 0 mit

xh = x · wyh = y · w,

d.h. P erhält zusätzlich eine 3. Koordinate und repräsentiert somit eine Ur-sprungsgerade im R3.

Nun sei P ′ =(x′

y′

)ein Punkt mit kartesischen Koordinaten und λ ∈ R.

Zwei Punkte P und P’ repräsentieren genau dann denselben Punkt, wenneiner ein Vielfacher des anderen ist, d.h. wenn xh

yhw

= λ ·

x′hy′hw′

.

5.1.1 Beispiel

Sei Punkt P =

xyw

, w 6= 0.

Die Koordinaten

xyw

und

x/wy/w1

beschreiben beide P, da

P =

xyw

= w ·

x/wy/w1

.

(x/wy/w

)sind somit die kartesischen Koordinaten von P.

11

5.2 Translation

Die Translation ist eine gradlinige Verschiebung des Punktes P =(xy

)um

einen Translationsvektor T =(txty

)mit

P ′ =

(x′

y′

)= P + T =

(xy

)+

(txty

)=

(x+ txy + ty

).

Eine Translation in homogenen Koordinaten sieht nun folgendermaßen aus: x′

y′

w′

=

1 0 tx0 1 ty0 0 1

· x

yw

=

x+ txy + tyw

Wie man sieht, ändert sich durch eine Translation nichts am Volumen destranslatierten Körpers (siehe „Der Matrixmultiplikationssatz für Determi-nanten“ (6.2)).

5.2.1 Beispiel

Translation eines Rechtecks und eines Kreises:

Abbildung 4: Translation von Rechteck und Kreis

12

5.3 Skalierung

Die Skalierung ist eine Veränderung des Maßstabs, d.h. eine Vergrößerungbzw. Verkleinerung bzgl. eines Fixpunktes. Eine Skalierung des Punktes

Punktes P =(xy

)um den Vektor S =

(sxsy

)ist gegeben durch:

P ′ =

(x′

y′

)= P · S =

(xy

)·(sxsy

)=

(x · sxy · sy

).

Wenn sx = sy, so nennt man die Skalierung uniform, wenn jedoch sx 6= sy,so wird verzerrt.Eine Skalierung in homogenen Koordinaten sieht nun folgendermaßen aus: x′

y′

w′

=

sx 0 00 sy 00 0 1

· x

yw

=

x · sxy · syw

Bei der Wahl eines Fixpunktes Z =

(zxzy

)geht man folgendermaßen vor:

1. Translation um(−zx−zy

)2. Skalierung mit

(sxsy

)3. Rücktranslation um

(zxzy

)Wie man sieht, ändert sich durch eine Skalierung das Volumen des skaliertenKörpers (siehe „Der Matrixmultiplikationssatz für Determinanten“ (6.2)).

13

5.3.1 Beispiel 1

Skalierung eines Rechtecks mit sx = 4 und sy = 2 bzgl. des Ursprungs:

Abbildung 5: Skalierung eines Rechtecks bzgl. des Ursprungs

5.3.2 Beispiel 2

Skalierung eines Rechteckes mit sx = 3 und sy = 2 nach der Wahl eines

Fixpunktes(

15

):

Abbildung 6: Skalierung eines Rechtecks bzgl. eines Fixpunktes

14

5.3.3 Beispiel 3

Skalierung eines Rechtecks mit sx = 2 und sy = 2 bzgl. des Ursprungs mitAngabe der Matrizen:

Abbildung 7: Skalierung eines Rechtecks bzgl. des Ursprungs

5.3.4 Beispiel 4

Skalierung eines Parallelotops mit sx = 2, sy = 2 und sz = 2 bzgl. desUrsprungs mit Angabe der Matrizen:

Abbildung 8: Skalierung eines Parallelotops bzgl. des Ursprungs

15

5.4 Rotation

Die Rotation eines Punktes P =(xy

)ist die Drehung bzgl. eines Fixpunk-

tes um einen Winkel β:

P ′ =

(x′

y′

)=

(cos(β) −sin(β)sin(β) cos(β)

)·(xy

)=

(x · cos(β)− y · sin(β)x · sin(β) + y · cos(β)

)Eine Rotation in homogenen Koordinaten sieht nun folgendermaßen aus: x′

y′

w′

=

cos(β) −sin(β) 0sin(β) cos(β) 0

0 0 1

· x

yw

=

x · cos(β)− y · sin(β)x · sin(β) + y · cos(β)

w

Bei der Wahl eines Rotationszentrums R =

(rxry

)geht man folgenderma-

ßen vor:

1. Translation um(−rx−ry

)2. Rotation um den Winkel β bzgl. des Ursprungs

3. Rücktranslation um(rxry

)Wie man sieht, ändert sich durch eine Rotation nichts am Volumen desrotierten Körpers (siehe „Der Matrixmultiplikationssatz für Determinanten“(6.2)).

16

5.4.1 Beispiel 1

Rotation eines Rechtecks um den Winkel β bzgl. des Ursprungs:

Abbildung 9: Rotation eines Rechtecks um den Winkel β bzgl. des Ursprungs

5.4.2 Beispiel 2

Rotation eines Rechtecks um den Winkel β nach der Wahl des Rotations-

zentrums R =(

24

):

Abbildung 10: Rotation um einen Winkel bzgl. des Rotationszentrums

17

Weitere Transformationsbeispiele sind:

5.5 Transvektion

Bei der Transvektion (Scherung) eines Punktes P =(xy

)bleibt entweder

der x- oder der y-Wert fix und der jeweils andere wird in Abhängigkeit deswiederum anderen Wertes parallel der Koordinatenachse entlang verschoben:

P ′ =

(x′

y′

)=

(xy

)+

(Schx · ySchy · x

)=

(x+ Schx · yy + Schy · x

)mit entweder Schx = 0 oder Schy = 0.

Eine Transvektion in homogenen Koordinaten sieht nun folgendermaßen aus: x′

y′

w′

=

1 Schx 0Schy 1 00 0 1

· x

yw

=

x+ Schx · yy + Schy · x

w

.

mit entweder Schx = 0 oder Schy = 0.

Das Volumen ändert sich bei der Transvektion nicht, da entweder Schx = 0oder Schy = 0 ist (siehe „Der Matrixmultiplikationssatz für Determinanten“(6.2)).

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5.5.1 Beispiel 1

Transvektion in x-Richtung mit Schx = 2, Schy = 0 des Punktes P =

xy1

:

P ′ =

x′

y′

w′

=

1 2 00 1 00 0 1

· x

y1

=

x+ 2 · yy1

.

Abbildung 11: Transvektion in x-Richtung

5.5.2 Beispiel 2

Transvektion in x-Richtung mit Schx = 0.8, Schy = 0 mit Angabe der Ma-trizen:

Abbildung 12: Transvektion in x-Richtung

19

5.6 Transposition

Die Spiegelung an der Hauptdiagonalen geschieht über die transponierte Ma-trix, d.h. über das Vertauschen von Zeilen und Spalten.

Definition:Sei N ∈ Km×n, N = (nij)1≤i≤m,1≤j≤n.Dann ist NT die zu N transponierte Matrix, NT = (nji)1≤j≤n,1≤i≤m.

Satz:Sei M ∈ Kn×n. Dann gilt:

det(MT ) = det(M),

d.h., das Volumen ändert sich bei einer Transposition nicht.

Beweis:Per Induktion nach n:Fall n = 1: ∀ M1 ∈ K1×1 gilt offensichtlich det(MT

1 ) = det(M1).Fall n > 1: Die Aussage sei richtig für n-1.Entwickle nun det(M) durch Zeilenentwicklung nach der ersten Zeile:

det(M) =

n∑j=1

(−1)1+j ·m1j · det(M1j).

Umgekehrt entwickle det(MT ) durch Spaltenentwicklung nach der erstenSpalte:

det(MT ) =n∑j=1

(−1)j+1 ·mTj1 · det(MT

j1) =n∑j=1

(−1)j+1 ·m1j · det(MTj1).

Betrachte nun die Matrizen M1j , MTj1 ∈ K(n−1)×(n−1).

MTj1 entsteht durch Streichen der j-ten Zeile und der 1-ten Spalte von MT ,

M1j entsteht durch Streichen der 1-ten Zeile und der j-ten Spalte von M.⇒ M1j und MT

j1 sind also transponierte Matrizen.Nach Induktion folgt somit

det(MTj1) = det(M1j)

und daraus die Behauptung.

Alternativer Beweis:Sei M ∈ Kn×n. Forme M auf eine obere Dreiecksmatrix um, so dass M’entsteht (siehe „Das Gauß’sche Eliminationsverfahren“ (3)).Man sieht nun leicht, dass

Spur(M ′) = Spur(M ′T ),

d.h., dass sich die Determinante nach Transposition nicht geändert hat.

20

Wir betrachten nun nur zwei sehr einfache Fälle der Spiegelung eines Punk-

tes P =(xy

).

5.6.1 Beispiel 1

Die Spiegelung an der Hauptdiagonalen:

P ′ =

x′

y′

w′

=

0 1 01 0 00 0 1

· x

yw

=

yxw

.

Abbildung 13: Spiegelung an der Hauptdiagonalen

5.6.2 Beispiel 2

Die Spiegelung an einer der Koordinatenachsen:

P ′ =

x′

y′

w′

=

a 0 00 −a 00 0 1

· x

yw

=

a · x−a · yw

.

mit entweder a = 1 (Spiegelung an der y-Achse) oder a = -1 (Spiegelung ander x-Achse).

21

6 Anhang

6.1 Berechnung der Determinante

Sei M ∈ Kn×n.

1. Für n ≤ 3 : Nach Sarrus:

det(M) = det

m11m12m13

m21m22m23

m31m32m33

=m11m22m33 +m12m23m31 +m13m21m32

−m31m22m13 −m32m23m11 −m33m21m12

2. Entwicklungssatz von Laplace:Sei M = (mij), Mij = die durch Streichen der i-ten Zeile und j-tenSpalte aus M gewonnene Matrix. Dann gilt ∀ i, j mit 1 ≤ i, j ≤ n:

det(M) =n∑k=1

(−1)k+j ·mkj · det(Mkj)︸ ︷︷ ︸Entwicklung nach der j-ten Spalte

=n∑k=1

(−1)i+k ·mik · det(Mik)︸ ︷︷ ︸Entwicklung nach der i-ten Zeile

.

3. Das Gauß’sche Eliminationsverfahren:Anwendung der elementaren Umformungen (Invarianz der Determi-nantenfunktion gegenüber elementaren Zeilenumformungen) auf M, so-dass eine obere Dreiecksmatrix der Form

m′11m′12 . . . m

′1n

0 m′21 . . . m′2n

... 0. . .

...0 . . . 0 m′nn

entsteht. Nun ist die Determinante von M das Produkt der Diagonal-einträge:

det(M) = Spur(M) = m′11 + . . .+m′nn

4. Formel von Leibniz : Sei n ∈ N, M ∈ Kn×n, (mij)1≤i,j≤n ∈ K, M =(mij)1≤i,j≤n, π Permutation. Dann ist

det(M) =∑π∈Sn

sig(π) ·m1,π(1) · . . . ·mn,π(n).

22

6.2 Der Matrixmultiplikationssatz für Determinanten

Seien M, M’ ∈ Kn×n. Dann gilt:

det(M ·M ′) = det(M) · det(M ′),

d.h., die Determinante des Produkts zweier Matrizen ist gleich dem Produktihrer Determinanten.

23

Abbildungsverzeichnis

1 Flächeninhaltsbestimmung anhand der Determinante . . . . . 62 Parallelogram-Seiten Verschub . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Parallelotop (Parallelepiped) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Translation von Rechteck und Kreis . . . . . . . . . . . . . . 125 Skalierung eines Rechtecks bzgl. des Ursprungs . . . . . . . . 146 Skalierung eines Rechtecks bzgl. eines Fixpunktes . . . . . . . 147 Skalierung eines Rechtecks bzgl. des Ursprungs . . . . . . . . 158 Skalierung eines Parallelotops bzgl. des Ursprungs . . . . . . . 159 Rotation eines Rechtecks um den Winkel β bzgl. des Ursprungs 1710 Rotation um einen Winkel bzgl. des Rotationszentrums . . . . 1711 Transvektion in x-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Transvektion in x-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913 Spiegelung an der Hauptdiagonalen . . . . . . . . . . . . . . . 21

Quellen und Lizenzen

Abbildung 1+2:Quelle: http://www.mat.univie.ac.at/users/kriegl/public_html/Skripten/Math4Ilak1/node13.htmlIm Literaturverzeichnis: [Kri10]Urheber: Andreas KrieglLizenz: Erlaubnis zur Benutzung der Bilddateien in dieser Arbeit wurde vomAutor/Urheber schriftlich bestätigtStand der letzten Prüfung: 13.10.2010

Abbildung 3:Quelle: Wikimedia Commons - http://en.wikipedia.org/wiki/File:Parallelepiped.svgIm Literaturverzeichnis: [WiE10]Urheber: Jitse Niesen, „Wikimedia-Community“ und DritteLizenz: Frei lizensiertStand der letzten Prüfung: 13.10.2010

Abbildung 4+5+6+9+10+11+13:Quelle: Osnabrücker Schriften zur Mathematik: Computergrafik, SS2010Im Literaturverzeichnis: [Vor10]Urheber: Oliver VornbergerLizenz: Erlaubnis zur Benutzung der Bilddateien in dieser Arbeit wurde vomAutor/Urheber schriftlich bestätigt

Abbildung 7+8+12:Quelle: Selbst erstellt mit Mathematica oder Wolfram AlphaIm Literaturverzeichnis: [StW10]

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Literatur

[StW99] Uwe Storch und Hartmut Wiebe Lehrbuch der Mathematik, Band2: Lineare Algebra, 2. Auflage, 1999, pp 213-267

[Bos06] Siegfried Bosch Lineare Algebra, 3. Auflage, 2006, pp 131-154

[Beu03] Albrecht Beutelspacher Lineare Algebra, Eine Einführung in dieWissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen, 6. Auflage,2003, pp 170-199

[Kut09] Gitta Kutyniok Skript Mathematik I, WS 2008/2009

[Zep04] Klaus Zeppenfeld Lehrbuch der Grafikprogrammierung - Grundla-gen, Programmierung, Anwendung, 2004, pp 49-66

[Vor10] Oliver Vornberger Osnabrücker Schriften zur Mathematik - Compu-tergrafik, SS 2010, pp 63-69

[Kri10] Andreas Kriegl Homepage von Andreas Kriegl, 2010

[StW10] Stephen Wolfram Wolfram Alpha - Determinants Seen Geometri-cally, 2010

[WiD10] Wikipedia (deutsch) Wikipedia (deutsch)-Artikel zum Parallelotop(Parallelepiped), 2010

[WiE10] Wikipedia (englisch) Wikipedia (englisch)-Artikel zum Parallelotop(Parallelepiped), 2010

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