determinan matriks -...

Determinan MatriksKuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas InformatikaTelkom University

FIF Tel-U

September 2015

MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 1 / 58

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.


mailto:[email protected]

Bahasan

1 Determinan: Pendahuluan

2 Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3

3 Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor

4 Menghitung Determinan dengan OBE

5 Sifat-sifat Determinan

6 Invers dengan Adjoin (Adjugate)

7 Latihan Determinan


Determinan: Pendahuluan

Bahasan











Dari pengetahuan matematika yang kita dapatkan di sekolah menengah danpembahasan tentang invers matriks, suatu matriks 2× 2,

A =

[a bc d

]memiliki invers jika dan hanya jika

ad− bc 6= 0. Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.

Nilai Determinan suatu MatriksDiberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real. Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.





A =

[a bc d

]memiliki invers jika dan hanya jika ad− bc 6= 0.

Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.






A =

[a bc d

]memiliki invers jika dan hanya jika ad− bc 6= 0. Nilai ini selanjutnya kita namakansebagai determinan dari A dan dinotasikan dengan det (A)atau |A|.

Nilai Determinan suatu Matriks

Diberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real. Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.





A =

[a bc d


Nilai Determinan suatu MatriksDiberikan suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan real.

Determinandari A, yaitu det (A) atau |A| pada dasarnya merupakan suatu bilangan real.Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan matriks persegi.





A =

[a bc d




Kalkulasi Determinan Matriks Berorde 1, 2, dan 3

Bahasan










Determinan Matriks Berorde 1

Karena determinan harus terdefinisi untuk setiap matriks persegi, maka kita jugaperlu mendefinisikan determinan untuk matriks berukuran 1× 1.

DefinisiMisalkan A = [a] adalah matriks 1× 1, maka det (A) = a.

Perhatikan bahwa jika det (A) = a 6= 0, maka

1

aada dan kita memiliki

A−1 =

[1

a

]yang memenuhi sifat

A ·A−1 =

[a · 1a

]= I dan

A−1·A =

[1

a· a]= I.

ContohDiberikan matriks A = [2] dan B = [3], maka |A| = 2 dan |B| = 3.




Karena determinan harus terdefinisi untuk setiap matriks persegi, maka kita jugaperlu mendefinisikan determinan untuk matriks berukuran 1× 1.

DefinisiMisalkan A = [a] adalah matriks 1× 1, maka det (A) = a.

Perhatikan bahwa jika det (A) = a 6= 0, maka 1aada dan kita memiliki

A−1 =

[1

a

]yang memenuhi sifat

A ·A−1 =

[a · 1a

]= I dan

A−1·A =

[1

a· a]= I.

ContohDiberikan matriks A = [2] dan B = [3], maka |A| = 2 dan |B| = 3.




Kalkulasi determinan matriks 2× 2 dijelaskan sebagai berikut.

Determinan Matriks Orde 2

Misalkan A =

[a bc d

], maka det (A) =

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc. Perhatikan bahwadeterminan adalah hasil pengurangan dari hasil kali entri-entri diagonal utamadengan entri-entri lainnya.

|A| =∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc.Contoh

Diberikan matriks A =

[1 23 4

], B =

[3 41 2

], dan C =

[2 43 4

], maka

|A| = −2, |B| = 2, C = −4.




Kalkulasi determinan matriks 3× 3 dapat dilakukan dengan aturan Sarrus (ataucara Sarrus) yang dijelaskan sebagai berikut.

Determinan Matriks Orde 3

Misalkan A =

a b cd e fg h i

, maka det (A) = |A| dapat dihitung sebagaiberikut:

|A| =

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣a bd eg h

= aei+bfg+cdg−(ceg + afh+ bdi)



Latihan 0: Determinan Matriks Orde 3

LatihanTentukan determinan matriks-matriks berikut

A =

1 2 −10 1 20 0 −1

, B = −1 0 0

2 1 0−1 2 1

, C = 1 0 00 1 20 3 4

,D =

0 1 21 0 00 3 4

Solusi:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1

∣∣∣∣∣∣1 20 10 0

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1

|B| =

∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1





A =

1 2 −10 1 20 0 −1

, B = −1 0 0

2 1 0−1 2 1

, C = 1 0 00 1 20 3 4

,D =

0 1 21 0 00 3 4

Solusi:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1

∣∣∣∣∣∣1 20 10 0

=

(−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1

|B| =

∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1





A =

1 2 −10 1 20 0 −1

, B = −1 0 0

2 1 0−1 2 1

, C = 1 0 00 1 20 3 4

,D =

0 1 21 0 00 3 4

Solusi:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1

∣∣∣∣∣∣1 20 10 0

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1

|B| =

∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1





A =

1 2 −10 1 20 0 −1

, B = −1 0 0

2 1 0−1 2 1

, C = 1 0 00 1 20 3 4

,D =

0 1 21 0 00 3 4

Solusi:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1

∣∣∣∣∣∣1 20 10 0

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1

|B| =

∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2

=

(−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1





A =

1 2 −10 1 20 0 −1

, B = −1 0 0

2 1 0−1 2 1

, C = 1 0 00 1 20 3 4

,D =

0 1 21 0 00 3 4

Solusi:

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 1 20 0 −1

∣∣∣∣∣∣1 20 10 0

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1

|B| =

∣∣∣∣∣∣−1 0 02 1 0−1 2 1

∣∣∣∣∣∣−1 02 1−1 2

= (−1 + 0 + 0)− (0 + 0 + 0) = −1



|C| =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4

∣∣∣∣∣∣1 00 10 3

= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2

|D| =

∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4

∣∣∣∣∣∣0 11 00 3

= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.



|C| =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4

∣∣∣∣∣∣1 00 10 3

=

(4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2

|D| =

∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4

∣∣∣∣∣∣0 11 00 3

= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.



|C| =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4

∣∣∣∣∣∣1 00 10 3

= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2

|D| =

∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4

∣∣∣∣∣∣0 11 00 3

= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.



|C| =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4

∣∣∣∣∣∣1 00 10 3

= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2

|D| =

∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4

∣∣∣∣∣∣0 11 00 3

=

(0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.



|C| =

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 20 3 4

∣∣∣∣∣∣1 00 10 3

= (4 + 0 + 0)− (0 + 6 + 0) = −2

|D| =

∣∣∣∣∣∣0 1 21 0 00 3 4

∣∣∣∣∣∣0 11 00 3

= (0 + 0 + 6)− (0 + 0 + 4) = 2.


Menghitung Determinan dan Ekspansi Kofaktor

Bahasan










Ekspansi Kofaktor dan Rekursif

Misalkan A berukuran n× n. Menghitung determinan A dengan ekspansikofaktor dilakukan secara rekursif. Secara garis besar:


1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.

2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.

3 Proses ini dilakukan terus menerus, hingga kita menemukan matriks 1× 1,yang determinannya adalah entri matriks tersebut.





Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n,

kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.







Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1).

Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.







Ekspansi Kofaktor dan Rekursif1 Untuk menghitung determinan A yang berukuran n× n, kita perlumenghitung beberapa determinan submatriks dari A yang berukuran(n− 1)× (n− 1). Hasil dari beberapa determinan submatriks yangberukuran (n− 1)× (n− 1) tadi akan kita operasikan dengan operasitertentu untuk memperoleh determinan A.








2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung,

kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.







2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A.

Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran (n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.







2 Selanjutnya, jika B adalah salah satu dari beberapa submatriks dari A yangberukuran (n− 1)× (n− 1) dan determinannya kita hitung, kita akanmenghitung determinan dari B dengan cara yang sama seperti kitamenghitung determinan dari A. Kita akan menghitung determinan daribeberapa submatriks B yang berukuran

(n− 2)× (n− 2). Kemudianbeberapa determinan submatriks (n− 2)× (n− 2) ini akan kita operasikandengan operasi tertentu untuk memperoleh determinan B.




Minor

Definisi (Minor matriks persegi)Misalkan A adalah suatu matriks persegi yang ordenya lebih dari 1, minor darientri aij , ditulis dengan Mij , adalah determinan dari submatriks yang diperolehdengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.

Jadi Mij adalah bilangan real. Cara memperoleh Mij

Mij = det

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

.... . .

.... . .

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

.... . .

.... . .

...an1 an2 · · · anj · · · ann

(hilangkan entri yang warnanya berbeda).



Kofaktor

Definisi (Kofaktor matriks persegi)Misalkan A adalah suatu matriks persegi yang ordenya lebih dari 1, kofaktor darientri aij , ditulis dengan Cij , didefinisikan sebagai Cij = (−1)i+jMij .

Jadi Cij adalah bilangan real yang memenuhi sifat

Cij =

{Mij , jika i+ j genap−Mij , jika i+ j ganjil.



Matriks Papan Catur + dan -

Perhatikan bahwa nilai dari kofaktor dan minor dapat sama atau hanya berbedatanda saja. Untuk mengingat kita dapat memakai matriks “papan catur + dan−”sebagai berikut:

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...

......

. . .



Contoh Menghitung Kofaktor

Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 =

det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.




Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 = det

3 1 −42 5 61 4 8

=

det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.




Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 =

(−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.




Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 =

det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.




Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 = det

3 1 −42 5 61 4 8

=

det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.




Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 =

(−1)3+2M32 = −M32 = −26.




Misalkan A =

3 1 −42 5 61 4 8

, makaM11 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[5 64 8

]= 40− 24 = 16.

C11 = (−1)1+1M11 =M11 = 16.

M32 = det

3 1 −42 5 61 4 8

= det

[3 −42 6

]= 18 + 8 = 26.

C32 = (−1)3+2M32 = −M32 = −26.



Latihan 1 : Menghitung Kofaktor

Latihan

Tentukan semua kofaktor matriks A =

3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 =

−∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 =

∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 =

−∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 =

∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 =

−∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 =

−∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 =

∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.




Latihan


3 0 01 2 04 4 5

.Solusi:

C11 =

∣∣∣∣ 2 04 5

∣∣∣∣ = 10, C12 = − ∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = −5, C13 = ∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣ = −4C21 = −

∣∣∣∣ 0 04 5

∣∣∣∣ = 0, C22 = ∣∣∣∣ 3 04 5

∣∣∣∣ = 15, C23 = − ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣ = −12C31 =

∣∣∣∣ 0 02 0

∣∣∣∣ = 0, C32 = − ∣∣∣∣ 3 01 0

∣∣∣∣ = 0, C33 = ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 6.



Kalkulasi Determinan via Kofaktor

Determinan via Kofaktor (Laplace, 1789-1827)Jika A adalah suatu matriks persegi berukuran n× n, maka kita dapatmenghitung determinan via ekspansi kofaktor pada baris ke-i

det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin,

atau ekspansi kofaktor pada kolom ke-j

det (A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj ,

dengan 1 ≤ i, j ≤ n.

Sifat PentingPemilihan baris maupun kolom dalam perhitungan determinan via ekspansikofaktor untuk suatu matriks tidak berpengaruh pada nilai determinan yang akandiperoleh (selama kalkulasi yang dilakukan benar).



Contoh pada Matriks Orde 3

Kita akan menghitung determinan dari A =

3 1 0−2 −4 35 4 −2

.

Dengan ekspansi baris pertama:

|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.

Dengan ekspansi kolom pertama:

|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2

.Dengan ekspansi baris pertama:

|A| =

3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+

1 · (−1) ·∣∣∣∣ −2 3

5 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+

0 · (1) ·∣∣∣∣ −2 −4

5 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣=

3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| =

3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+

(−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+

5 · (1) ·∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣=

3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.





3 1 0−2 −4 35 4 −2


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ 1 · (−1) · ∣∣∣∣ −2 35 −2

∣∣∣∣+ 0 · (1) · ∣∣∣∣ −2 −45 4

∣∣∣∣= 3 (−4)− 1 (−11) + 0 = −1.


|A| = 3 · (1) ·∣∣∣∣ −4 3

4 −2

∣∣∣∣+ (−2) · (−1) ·∣∣∣∣ 1 04 −2

∣∣∣∣+ 5 · (1) · ∣∣∣∣ 1 0−4 3

∣∣∣∣= 3 (−4) + 2 (−2) + 5 (3) = −1.



Latihan 2: Determinan

LatihanTentukan determinan dari matriks-matriks berikut:

A =

3 0 01 2 04 4 5

, B =0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

, C =1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1

,

D =

a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

, E =a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

.



Solusi Latihan 2

Determinan dari A =

3 0 01 2 04 4 5

dapat dihitung dengan ekspansi kolom ke-3:

|A| =

∣∣∣∣∣∣3 0 01 2 04 4 5

∣∣∣∣∣∣ =

0 · (−1)1+3 ·∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+3 · ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣+ 5 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣= 5

∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 5 · 3 · 2 = 30.



Solusi Latihan 2

Determinan dari A =

3 0 01 2 04 4 5


|A| =

∣∣∣∣∣∣3 0 01 2 04 4 5

∣∣∣∣∣∣ =0 · (−1)1+3 ·

∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+3 · ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣+ 5 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣=

5

∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 5 · 3 · 2 = 30.



Solusi Latihan 2

Determinan dari A =

3 0 01 2 04 4 5


|A| =

∣∣∣∣∣∣3 0 01 2 04 4 5

∣∣∣∣∣∣ =0 · (−1)1+3 ·

∣∣∣∣ 1 24 4

∣∣∣∣+ 0 · (−1)2+3 · ∣∣∣∣ 3 04 4

∣∣∣∣+ 5 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣= 5

∣∣∣∣ 3 01 2

∣∣∣∣ = 5 · 3 · 2 = 30.



|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

5 · (−1)1+3 ·

∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0

∣∣∣∣∣∣ (ekspansi baris ke-1)= 5 · 2 · (−1)1+1 ·

∣∣∣∣ 0 17 0

∣∣∣∣ (ekspansi baris baris ke-1)= 5 · 2 · (−7) = −70.



|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · (−1)1+3 ·

∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0

∣∣∣∣∣∣ (ekspansi baris ke-1)=

5 · 2 · (−1)1+1 ·∣∣∣∣ 0 17 0




|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · (−1)1+3 ·

∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0


∣∣∣∣ 0 17 0

∣∣∣∣ (ekspansi baris baris ke-1)=

5 · 2 · (−7) = −70.



|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 · (−1)1+3 ·

∣∣∣∣∣∣2 0 00 0 10 7 0


∣∣∣∣ 0 17 0




|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

1 ·

∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1

∣∣∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)

= (−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1

∣∣∣∣ (ekspansi kolom ke-2)

= (−2) (1 + 2) = −6.



|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1


=

(−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1


= (−2) (1 + 2) = −6.



|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1


= (−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1


=

(−2) (1 + 2) = −6.



|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 −13 1 2 21 0 −2 12 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣∣∣1 0 −11 −2 12 0 1


= (−2) ·∣∣∣∣ 1 −12 1


= (−2) (1 + 2) = −6.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

a44 ·

∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


= a44 · a33 · a22 · a11.

Dengan cara serupa, |E| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣= a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ = a11a22a33a44.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


=

a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


= a44 · a33 · a22 · a11.


∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣= a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ = a11a22a33a44.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


=

a44 · a33 · a22 · a11.


∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣= a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ = a11a22a33a44.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


= a44 · a33 · a22 · a11.


∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

a11

∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣= a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ = a11a22a33a44.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


= a44 · a33 · a22 · a11.


∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣=

a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ = a11a22a33a44.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


= a44 · a33 · a22 · a11.


∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣= a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ =

a11a22a33a44.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a44 ·∣∣∣∣∣∣a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33


= a44 · a33 ·∣∣∣∣ a11 0a21 a22


= a44 · a33 · a22 · a11.


∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11∣∣∣∣∣∣a22 a23 a240 a33 a340 0 a44

∣∣∣∣∣∣= a11a22

∣∣∣∣ a33 a340 a44

∣∣∣∣ = a11a22a33a44.



“Ajaran Sesat”

Berikut adalah salah satu kesalahan fatal yang pernah dilakukan oleh beberapaorang dalam mengitung determinan.

Diberikan A =

0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

, det (A) dihitung dengan cara berikut

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)

)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)

)= 0.

Padahal A invertibel dan A−1 =

0 1

2 0 00 0 0 1

715 0 0 00 0 1 0

.



“Ajaran Sesat”


Diberikan A =

0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0

, det (A) dihitung dengan cara berikut∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 5 0 0 0 52 0 0 0 2 0 00 0 0 1 0 0 00 7 0 0 0 7 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)

)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)

)= 0.


0 1

2 0 00 0 0 1

715 0 0 00 0 1 0

.



“Ajaran Sesat”


Diberikan A =

0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0


∣∣∣∣∣∣∣∣ =

((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)

)

−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)

)= 0.


0 1

2 0 00 0 0 1

715 0 0 00 0 1 0

.



“Ajaran Sesat”


Diberikan A =

0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0


∣∣∣∣∣∣∣∣ =

((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)

)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)

)=

0.


0 1

2 0 00 0 0 1

715 0 0 00 0 1 0

.



“Ajaran Sesat”


Diberikan A =

0 0 5 02 0 0 00 0 0 10 7 0 0


∣∣∣∣∣∣∣∣ =

((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 1 · 0)(5 · 0 · 0 · 7) + (0 · 2 · 0 · 0)

)−((0 · 0 · 0 · 0) + (0 · 0 · 0 · 7)(0 · 2 · 1 · 0) + (5 · 0 · 0 · 0)

)= 0.


0 1

2 0 00 0 0 1

715 0 0 00 0 1 0

.MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 26 / 58


Determinan Matriks Setigiga

TeoremaMisalkan A = [aij ] adalah suatu matriks segitiga (atas atau bawah) berorde n,maka

det (A) = a11a22 · · · ann

Teorema di atas mengatakan bahwa determinan dari matriks segitiga adalah hasilkali entri-entri diagonal utamanya.

LatihanTentukan determinan dari matriks-matriks berikut

A =

1 −1 10 2 −20 0 1

, B = 1 0 0

3 2 014 134 −2

, C =1 0 1 30 2 2 40 0 −1 00 0 0 3

Solusi:

|A| = (1) (2) (1) = 2, |B| = (1) (2) (−2) = −4, |C| = (1) (2) (−1) (3) = −6.



Determinan Matriks Setigiga

TeoremaMisalkan A = [aij ] adalah suatu matriks segitiga (atas atau bawah) berorde n,maka

det (A) = a11a22 · · · ann

Teorema di atas mengatakan bahwa determinan dari matriks segitiga adalah hasilkali entri-entri diagonal utamanya.

LatihanTentukan determinan dari matriks-matriks berikut

A =

1 −1 10 2 −20 0 1

, B = 1 0 0

3 2 014 134 −2

, C =1 0 1 30 2 2 40 0 −1 00 0 0 3

Solusi:|A| = (1) (2) (1) = 2, |B| = (1) (2) (−2) = −4, |C| = (1) (2) (−1) (3) = −6.


Menghitung Determinan dengan OBE

Bahasan










Motivasi

Dari bahasan sebelumnya kita telah melihat bahwa beberapa matriks memilikideterminan yang mudah dihitung. Matriks yang determinannya mudah dihitungdiantaranya adalah:

1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,2 matriks segitiga.

Kita juga memiliki teorema berikut.

TeoremaJika A adalah suatu matriks yang memiliki baris atau kolom nol, makadet (A) = 0.

Tentunya menghitung determinan via kofaktor saja akan memerlukan banyakkalkulasi bila kita menghitung determinan matriks berikut

1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7



Motivasi


1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,

2 matriks segitiga.




1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7



Motivasi


1 matriks yang memiliki “cukup banyak”entri 0,2 matriks segitiga.




1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7



Determinan dari Transpos Matriks

Satu sifat penting yang dimiliki oleh determinan dijelaskan dalam teorema berikut.

TeoremaJika A matriks persegi, maka det (A) = det

(AT).

BuktiPerhatikan bahwa setiap baris pada A memiliki kolom-kolom yang bersesuaianpada AT .

Akibatnya, melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-i pada A samaefeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di kolom ke-i pada AT . Hal yanganalog juga berlaku untuk ekspansi kolom, melakukan ekspansi kofaktor di kolomke-j pada A sama efeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-j padaAT . �






(AT).

BuktiPerhatikan bahwa setiap baris pada A memiliki kolom-kolom yang bersesuaianpada AT . Akibatnya, melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-i pada A samaefeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di kolom ke-i pada AT .

Hal yanganalog juga berlaku untuk ekspansi kolom, melakukan ekspansi kofaktor di kolomke-j pada A sama efeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-j padaAT . �






(AT).

BuktiPerhatikan bahwa setiap baris pada A memiliki kolom-kolom yang bersesuaianpada AT . Akibatnya, melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-i pada A samaefeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di kolom ke-i pada AT . Hal yanganalog juga berlaku untuk ekspansi kolom, melakukan ekspansi kofaktor di kolomke-j pada A sama efeknya dengan melakukan ekspansi kofaktor di baris ke-j padaAT . �



Determinan dan OBE 1

Kita akan meninjau keterkaitan antara determinan suatu matriks dengan matrikslain yang diperoleh melalui OBE dari matriks tersebut. Karena bukti untukmatriks berukuran n× n secara umum terlalu panjang untuk dibahas di sini, kitahanya akan melihat ilustrasinya pada matriks berukuran 2× 2.

Misalkan A =

[a bc d

]dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE

berikut[a bc d

]⇒OBE

[ka kbc d

](R1 ← kR1). Jadi A =

[ka kbc d

].

Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).


Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan mengalikantepat satu baris pada A dengan suatu bilangan real k, maka

det(A)= k det (A).





Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[ka kbc d

](R1 ← kR1). Jadi A =

[ka kbc d

].

Kita memiliki det(A)=

kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).



det(A)= k det (A).





Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[ka kbc d

](R1 ← kR1). Jadi A =

[ka kbc d

].

Kita memiliki det(A)= kad− kbc =

k (ad− bc) = k det (A).



det(A)= k det (A).





Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[ka kbc d

](R1 ← kR1). Jadi A =

[ka kbc d

].

Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) =

k det (A).



det(A)= k det (A).





Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[ka kbc d

](R1 ← kR1). Jadi A =

[ka kbc d

].

Kita memiliki det(A)= kad− kbc = k (ad− bc) = k det (A).



det(A)= k det (A).




Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[c da b

](R1 ↔ R2). Jadi A =

[c da b

].

Kita memiliki det(A)= bc− ad = − (ad− bc) = − det (A).


Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menukar tepatdua baris pada A, maka det

(A)= −det (A).




Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[c da b

](R1 ↔ R2). Jadi A =

[c da b

].

Kita memiliki det(A)=

bc− ad = − (ad− bc) = − det (A).



(A)= −det (A).




Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[c da b

](R1 ↔ R2). Jadi A =

[c da b

].

Kita memiliki det(A)= bc− ad =

− (ad− bc) = − det (A).



(A)= −det (A).




Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[c da b

](R1 ↔ R2). Jadi A =

[c da b

].

Kita memiliki det(A)= bc− ad = − (ad− bc) =

− det (A).



(A)= −det (A).




Misalkan A =

[a bc d


berikut[a bc d

]⇒OBE

[c da b

](R1 ↔ R2). Jadi A =

[c da b

].

Kita memiliki det(A)= bc− ad = − (ad− bc) = − det (A).



(A)= −det (A).




Misalkan A =

(a bc d

)dan A adalah matriks yang diperoleh melalui OBE

berikut(a bc d

)⇒OBE

(a b

ka+ c kb+ d

)(R2 ← R2 + kR1).

Jadi A =

[a b

ka+ c kb+ d

].

Kita memiliki

det(A)

= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .


Misalkan A adalah suatu matriks persegi dan A diperoleh dengan menambahkan

satu baris dengan kelipatan skalar baris yang lain, maka det(A)= det (A).




Misalkan A =

(a bc d


berikut(a bc d

)⇒OBE

(a b

ka+ c kb+ d

)(R2 ← R2 + kR1).

Jadi A =

[a b

ka+ c kb+ d

].

Kita memiliki

det(A)

=

a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .







Misalkan A =

(a bc d


berikut(a bc d

)⇒OBE

(a b

ka+ c kb+ d

)(R2 ← R2 + kR1).

Jadi A =

[a b

ka+ c kb+ d

].

Kita memiliki

det(A)

= a (kb+ d)− b (ka+ c)=

akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .







Misalkan A =

(a bc d


berikut(a bc d

)⇒OBE

(a b

ka+ c kb+ d

)(R2 ← R2 + kR1).

Jadi A =

[a b

ka+ c kb+ d

].

Kita memiliki

det(A)

= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc=

det (A) .







Misalkan A =

(a bc d


berikut(a bc d

)⇒OBE

(a b

ka+ c kb+ d

)(R2 ← R2 + kR1).

Jadi A =

[a b

ka+ c kb+ d

].

Kita memiliki

det(A)

= a (kb+ d)− b (ka+ c)= akb+ ad− akb− bc = ad− bc= det (A) .






Teorema: Determinan dan OBE (1)

TeoremaMisalkan A adalah suatu matriks persegi berorde n

1 jika A diperoleh dengan mengalikan tepat satu baris pada A dengan k ∈ R,maka det

(A)= k det (A);

2 jika A diperoleh dengan menukar tepat dua baris pada A, makadet(A)= −det (A);

3 jika A diperoleh dengan menjumlahkan suatu baris pada A dengan kelipatan

skalar baris lain, maka det(A)= det (A).



Dari teorema sebelumnya, kita dapat memperoleh teorema berikut.

TeoremaJika A adalah matriks persegi dengan dua baris (atau dua kolom) yang sama,maka det (A) = 0.

TeoremaJika A adalah matriks persegi yang bentuk EB atau bentuk EBT-nya memuatbaris nol, maka det (A) = 0.



Contoh Kalkulasi Determinan via OBE (1)

Kita akan menentukan determinan dari A =

2 1 01 2 10 1 2

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2

∣∣∣∣∣∣ =

−

∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

= −

∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2

∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2

∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)

= (1) · (1) · (4) = 4.





2 1 01 2 10 1 2

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

=

−

∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2

∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2

∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)

= (1) · (1) · (4) = 4.





2 1 01 2 10 1 2

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣2 1 01 2 10 1 2

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 00 1 2

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

= −

∣∣∣∣∣∣1 2 10 −3 −20 1 2

∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 −3 −2

∣∣∣∣∣∣ (R2 ↔ R3)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 10 1 20 0 4

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 + 3R2)

= (1) · (1) · (4) = 4.




Kita akan menentukan determinan dari B =

0 1 53 −6 92 6 1

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1

∣∣∣∣∣∣ =

−

∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)

= (−3) · (−55) = 165





0 1 53 −6 92 6 1

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

=

− 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1


∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)

= (−3) · (−55) = 165





0 1 53 −6 92 6 1

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 3 dari R1)=

− 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)

= (−3) · (−55) = 165





0 1 53 −6 92 6 1

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1


∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)

=

− 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)

= (−3) · (−55) = 165





0 1 53 −6 92 6 1

melalui OBE.∣∣∣∣∣∣0 1 53 −6 92 6 1

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣3 −6 90 1 52 6 1

∣∣∣∣∣∣ (R1 ↔ R2)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 52 6 1


∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 10 −5

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R1)

= − 3 ·

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 50 0 −55

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 10R2)

= (−3) · (−55) = 165



Latihan 3: Menentukan Determinan dengan OBE

LatihanTentukan determinan dari setiap matriks berikut

A =

1 2 34 5 67 8 9

, B =1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

, C =1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5

,

D =

3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3



Solusi Latihan 3

A =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1

)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)

= 0 (ekspansi baris ke-3)

|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)

= 0 (ekspansi kolom ke-2).



Solusi Latihan 3

A =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1

)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)


|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)




Solusi Latihan 3

A =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1

)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)

=

0 (ekspansi baris ke-3)

|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)




Solusi Latihan 3

A =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1

)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)


|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)




Solusi Latihan 3

A =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1

)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)


|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)

=

0 (ekspansi kolom ke-2).



Solusi Latihan 3

A =

∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 −6 −12

∣∣∣∣∣∣(R2 ← R2 − 4R1R3 ← R3 − 7R1

)

=

∣∣∣∣∣∣1 2 30 −3 −60 0 0

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 2R2)


|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R2 ← R2 − 2R1)




|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =

∣∣CT ∣∣)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)

= (1) (7) (3) (−16) = −336.



|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =

∣∣CT ∣∣)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)

= (1) (7) (3) (−16) = −336.



|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =

∣∣CT ∣∣)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)

=

(1) (7) (3) (−16) = −336.



|C| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 13 6 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣(karena |C| =

∣∣CT ∣∣)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 70 7 6 30 0 3 10 0 0 −16

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R4 ← R4 − 3R1)

= (1) (7) (3) (−16) = −336.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2

= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0


= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)

=

∣∣∣∣ 3 39 3


= 9− 27 = −18.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2

=

−

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0


= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)

=

∣∣∣∣ 3 39 3


= 9− 27 = −18.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2

= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0


=

−

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)

=

∣∣∣∣ 3 39 3


= 9− 27 = −18.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2

= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0


= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)

=

∣∣∣∣ 3 39 3


= 9− 27 = −18.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2

= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0


= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)

=

∣∣∣∣ 3 39 3


=

9− 27 = −18.



|D| =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 −2 61 2 −1 12 4 1 53 7 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣0 −1 1 31 2 −1 10 0 3 30 1 8 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ R1 ← R1 − 3R2R3 ← R3 − 2R2R4 ← R4 − 3R2

= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 31 8 0


= −

∣∣∣∣∣∣−1 1 30 3 30 9 3

∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 +R1)

=

∣∣∣∣ 3 39 3


= 9− 27 = −18.



Latihan 4: Menentukan Determinan dengan OBE

Latihan

Jika diketahui


∣∣∣∣∣∣ = −6, tentukan∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f5g 5h 5i

∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i

∣∣∣∣∣∣, dan∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c

∣∣∣∣∣∣.Solusi:

∣∣∣∣∣∣−a −b −c2d 2e 2f5g 5h 5i

∣∣∣∣∣∣= (−1) · (2) · (5) ·


∣∣∣∣∣∣ faktorkan−1 dari R1,2 dari R2, 5 dari R3

= (−1) (2) (5) (−6) = 60.



∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i

∣∣∣∣∣∣ =

(−1) ·

∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ fd e fg h i

∣∣∣∣∣∣(faktorkan−1 dari R2

)

= −


∣∣∣∣∣∣ (R1 ← R1 −R2)

= − (−6) = 6.



∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i

∣∣∣∣∣∣ = (−1) ·



)

=

−


∣∣∣∣∣∣ (R1 ← R1 −R2)

= − (−6) = 6.



∣∣∣∣∣∣a+ d b+ e c+ f−d −e −fg h i

∣∣∣∣∣∣ = (−1) ·



)

= −


∣∣∣∣∣∣ (R1 ← R1 −R2)

= − (−6) = 6.



∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣a b c2d 2e 2f

g + 3a h+ 3b i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ (sifat transpos)= (2) ·

∣∣∣∣∣∣a b cd e f

g + 3a h+ 3b i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 2 dari R2)= 2 ·


∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)

= 2 (6) = 12.



∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

a b c2d 2e 2f

g + 3a h+ 3b i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ (sifat transpos)=

(2) ·

∣∣∣∣∣∣a b cd e f

g + 3a h+ 3b i+ 3c



∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)

= 2 (6) = 12.



∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

a b c2d 2e 2f

g + 3a h+ 3b i+ 3c


∣∣∣∣∣∣a b cd e f

g + 3a h+ 3b i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ (faktorkan 2 dari R2)=

2 ·


∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)

= 2 (6) = 12.



∣∣∣∣∣∣a 2d g + 3ab 2e h+ 3bc 2f i+ 3c

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

a b c2d 2e 2f

g + 3a h+ 3b i+ 3c


∣∣∣∣∣∣a b cd e f

g + 3a h+ 3b i+ 3c



∣∣∣∣∣∣ (R3 ← R3 − 3R1)

= 2 (6) = 12.


Sifat-sifat Determinan

Bahasan










Determinan Hasil Kali Skalar Matriks

Misalkan k ∈ R serta A dan B adalah dua matriks persegi berukuran n. Kitaakan meninjau sifat-sifat yang mungkin dimiliki oleh det (A), det (B), dan

det (kA)det (A+B)det (AB).

TeoremaJika A adalah matriks persegi berorde n dan k ∈ R, maka det (kA) = kn det (A).

BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0.

Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.Akibatnya

det (kA) = det (0A) = det (0) = 0

= 0n det (A) = kn det (A) .

Jika k 6= 0, maka setiap baris kA dikalikan dengan k. Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �







BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0. Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.

Akibatnya

det (kA) = det (0A) = det (0) = 0









BuktiJika k = 0, maka kA = 0A = 0. Karena kA = 0, maka kA memiliki baris nol.Akibatnya

det (kA) = det (0A) = det (0) = 0


Jika k 6= 0,

maka setiap baris kA dikalikan dengan k. Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �








det (kA) = det (0A) = det (0) = 0


Jika k 6= 0, maka setiap baris kA dikalikan dengan k.

Karena kA memuat nbaris, maka det (kA) = kn det (A). �








det (kA) = det (0A) = det (0) = 0





Jumlah Determinan dan Determinan Jumlah Matriks

Determinan Hasil Jumlah MatriksJika A dan B adalah matriks n× n, apakah det (A+B) = det (A) + det (B)selalu berlaku?

Tidak, pilih A =

[1 11 2

]dan B =

[1 11 −2

]. Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1

dan |B| = −2− 1 = −3. Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa

A+B =

[2 22 0

]. Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).





Tidak, pilih A =

[1 11 2

]dan B =

[1 11 −2

].

Kita memiliki |A| = 2− 1 = 1


A+B =

[2 22 0






Tidak, pilih A =

[1 11 2

]dan B =

[1 11 −2


dan |B| = −2− 1 = −3.

Akibatnya |A|+ |B| = −2. Perhatikan bahwa

A+B =

[2 22 0






Tidak, pilih A =

[1 11 2

]dan B =

[1 11 −2



A+B =

[2 22 0

].

Jadi det (A+B) = −4 6= −2 = det (A) + det (B).





Tidak, pilih A =

[1 11 2

]dan B =

[1 11 −2



A+B =

[2 22 0




Teorema Penting Terkait Determinan

Berikut teorema-teorema penting terkait determinan yang buktinya dapat dilihatdi buku teks.

TeoremaMatriks persegi A invertibel jika dan hanya jika det (A) 6= 0.

TeoremaJika A dan B matriks persegi yang berukuran sama, makadet (AB) = det (A) det (B).

TeoremaJika A invertibel, maka det

(A−1

)= 1

det(A) .


Invers dengan Adjoin (Adjugate)

Bahasan










Matriks Kofaktor dan Adjoin

DefinisiUntuk setiap matriks persegi A berorde n, matriks kofaktor dari A adalah matriksyang entri pada baris ke-i dan kolom ke-j-nya adalah Cij ,

C11 C12 · · · C1nC21 C22 · · · C2n...

.... . .

...Cn1 Cn2 · · · Cnn

.Selanjutnya matriks adjoin (atau adjugate) dari A, dinotasikan dengan adj (A),didefinisikan sebagai transpos dari matriks kofaktor, yaitu

adj (A) =

C11 C21 · · · Cn1C12 C22 · · · Cn2...

.... . .

...C1n C2n · · · Cnn

.



Invers dan Adjoin pada Matriks Orde 2

Jika A =

[a bc d

], maka C11 =

d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.

Akibatnya diperoleh adj (A) =[C11 C21C12 C22

]=

[d −b−c a

]. Dari

pengetahuan kita sebelumnya, ketika A invertibel, maka A−1 ada dan memenuhihubungan

A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].

Karena ad− bc = det (A) dan[d −b−c a

]= adj (A), kita memiliki hubungan

A−1 =1

det (A)adj (A) . (1)

Persamaan (1) selalu berlaku untuk sembarang matriks persegi A.




Jika A =

[a bc d

], maka C11 = d, C12 =

− c, C21 = − b, dan C22 = a.


]=

[d −b−c a

]. Dari


A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].



A−1 =1






Jika A =

[a bc d

], maka C11 = d, C12 = − c, C21 =

− b, dan C22 = a.


]=

[d −b−c a

]. Dari


A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].



A−1 =1






Jika A =

[a bc d

], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 =

a.


]=

[d −b−c a

]. Dari


A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].



A−1 =1






Jika A =

[a bc d

], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.

Akibatnya diperoleh adj (A) =

[C11 C21C12 C22

]=

[d −b−c a

]. Dari


A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].



A−1 =1






Jika A =

[a bc d

], maka C11 = d, C12 = − c, C21 = − b, dan C22 = a.


]=

[d −b−c a

]. Dari


A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

].



A−1 =1





Teorema Invers via Adjoin

TeoremaJika A matriks n× n yang invertibel, maka A adj (A) = det (A) I.

TeoremaJika A invertibel, maka

A−1 =1

det (A)adj (A) .



Latihan 5: Menentukan Invers dengan Adjoin

Latihan


1 0 11 −1 00 2 1

, tentukan1 matriks adjoin dari A, yaitu adj (A)2 invers dari A, yaitu A−1

Solusi: Kita memiliki

C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 =

−∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 =

∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 =

−∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 =

∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 =

−∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 =

−∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 =

∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1




Latihan


1 0 11 −1 00 2 1



C11 =

∣∣∣∣ −1 02 1

∣∣∣∣ = −1, C12 = − ∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = −1, C13 = ∣∣∣∣ 1 −10 2

∣∣∣∣ = 2C21 = −

∣∣∣∣ 0 12 1

∣∣∣∣ = −2, C22 = ∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1, C23 = − ∣∣∣∣ 1 00 2

∣∣∣∣ = −2C31 =

∣∣∣∣ 0 1−1 0

∣∣∣∣ = 1, C32 = − ∣∣∣∣ 1 11 0

∣∣∣∣ = 1, C33 = ∣∣∣∣ 1 01 −1

∣∣∣∣ = −1MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 53 / 58


1 Akibatnya adj (A) =

C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33

T =

−1 −2 1−1 1 12 −2 −1

.2 Dengan ekspansi baris ke-1, kita memilikidet (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (1) (−1) + (0) (−1) + (1) (2) = 1,sehingga

A−1 =1

det (A)adj (A)

=

−1 −2 1−1 1 12 −2 −1




C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33

T = −1 −2 1−1 1 12 −2 −1

.2 Dengan ekspansi baris ke-1, kita memilikidet (A) =

a11C11 + a12C12 + a13C13 = (1) (−1) + (0) (−1) + (1) (2) = 1,sehingga

A−1 =1

det (A)adj (A)

=

−1 −2 1−1 1 12 −2 −1




C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33

T = −1 −2 1−1 1 12 −2 −1


A−1 =

1

det (A)adj (A)

=

−1 −2 1−1 1 12 −2 −1




C11 C12 C21C21 C22 C23C31 C32 C33

T = −1 −2 1−1 1 12 −2 −1


A−1 =1

det (A)adj (A)

=

−1 −2 1−1 1 12 −2 −1


Latihan Determinan

Bahasan









Latihan Determinan

Latihan Determinan

Latihan

1 Diberikan P =

2 1 11 2 11 1 2

dan Q =

3 −2 00 1 0−4 4 1

, tentukan det (P)dan det (Q).

2 Diberikan A =

2 1 03 4 00 0 2

dan B = 1 −1 37 1 25 0 1

, tentukan det (A),det (B), dan det (AB).

3 Misalkan A =

1 5 a−1 0 13 a 4

. Tentukan nilai a jika diketahui det (A) = 29.4 Diberikan matriks A =

1 0 02 1 03 4 5

. Jika B = A−1, tentukan nilai daridet(2A2)−det(5B)

det(ATB).


Latihan Determinan

Solusi Latihan Determinan

1 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan dengan OBE dan ekspansikofaktor det (P) = 4 dan det (Q) = 3.

2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17,

akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.

3 Dengan ekspansi kofaktor pada baris ke-2, kita memiliki

|A| =

∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4

∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1

∣∣∣∣ 5 aa 4

∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4

∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a

∣∣∣∣= 20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka

−a2 − a+ 35 = 29

a2 + a− 6 = 0

(a+ 3) (a− 2) = 0,

jadi a = −3 atau a = 2.


Latihan Determinan



2 Cukup mudah untuk dikerjakan sendiri, dengan OBE dan ekspansi kofaktordet (A) = 10 dan det (B) = −17, akibatnyadet (AB) = det (A) det (B) = −170.


|A| =

∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4

∣∣∣∣∣∣ =

(−1) (−1)2+1∣∣∣∣ 5 aa 4

∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4

∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a


−a2 − a+ 35 = 29

a2 + a− 6 = 0

(a+ 3) (a− 2) = 0,



Latihan Determinan





|A| =

∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4

∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1

∣∣∣∣ 5 aa 4

∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4

∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a

∣∣∣∣=

20− a2 − (a− 15) = −a2 − a+ 35.Karena |A| = 29, maka

−a2 − a+ 35 = 29

a2 + a− 6 = 0

(a+ 3) (a− 2) = 0,



Latihan Determinan





|A| =

∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4

∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1

∣∣∣∣ 5 aa 4

∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4

∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a


−a2 − a+ 35 = 29

a2 + a− 6 = 0

(a+ 3) (a− 2) = 0,



Latihan Determinan





|A| =

∣∣∣∣∣∣1 5 a−1 0 13 a 4

∣∣∣∣∣∣ =(−1) (−1)2+1

∣∣∣∣ 5 aa 4

∣∣∣∣+ (0) (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 a3 4

∣∣∣∣+ (1) (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 53 a


−a2 − a+ 35 = 29

a2 + a− 6 = 0

(a+ 3) (a− 2) = 0,

jadi a = −3 atau a = 2.MZI (FIF Tel-U) Determinan September 2015 57 / 58

Latihan Determinan

4 Kita memiliki |A| =

∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = 5.

Kemudian karena

B = A−1, maka |B| =∣∣A−1∣∣ = 1

|A| =15 . Kemudian karena A dan B

adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ = 23

∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,

|5B| = 53 |B| = 53(1

5

)= 52 = 25

Kemudian kita juga memiliki∣∣AT

∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT

∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|

)= 1. Oleh karena itu

det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


Latihan Determinan


∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5

∣∣∣∣ = 5. Kemudian karenaB = A−1, maka |B| =

∣∣A−1∣∣ = 1|A| =

15 . Kemudian karena A dan B


∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,

|5B| = 53 |B| = 53(1

5

)= 52 = 25



∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|


det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


Latihan Determinan


∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5


∣∣A−1∣∣ = 1|A| =


adalah matriks 3× 3, maka∣∣2A2∣∣ =

23∣∣A2

∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,|5B| = 53 |B| = 53

(1

5

)= 52 = 25



∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|


det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


Latihan Determinan


∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5


∣∣A−1∣∣ = 1|A| =



∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,

|5B| =

53 |B| = 53(1

5

)= 52 = 25



∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|


det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


Latihan Determinan


∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5


∣∣A−1∣∣ = 1|A| =



∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,

|5B| = 53 |B| = 53(1

5

)= 52 = 25


∣∣ =

|A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ = ∣∣AT

∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|


det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


Latihan Determinan


∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5


∣∣A−1∣∣ = 1|A| =



∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,

|5B| = 53 |B| = 53(1

5

)= 52 = 25


∣∣ = |A|, akibatnya∣∣ATB∣∣ =

∣∣AT∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1

|A|


det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


Latihan Determinan


∣∣∣∣∣∣1 0 02 1 03 4 5

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 04 5


∣∣A−1∣∣ = 1|A| =



∣∣A2∣∣ = 23 |A|2 = 8 (5)2 = 200,

|5B| = 53 |B| = 53(1

5

)= 52 = 25



∣∣ |B| = |A| |B| = |A|( 1|A|


det(2A2

)− det (5B)

det (ATB)=

∣∣2A2∣∣− |5B||ATB|

=200− 25

1= 175.


determinan matriks -...

Documents