DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO

Aula X: Curva ROC e teste de hipóteses M-ário

Motivação Risco de Bayes depende

essencialmente da probabilidade de falso alarme (falso positivo) e da probabilidade de deteção (falso negativo)

Trade-off entre falso alarme e deteção

Curva ROC (Receiver Operating Characteristic) permite avaliar graficamente o desempenho de um sistema de deteção

Exemplo (cont. do ex. 2.5)Ex. 2.1

Critério de decisão

Se Hip. 0 é verdadeira: Se Hip. 1 é verdadeira:

Falso alarme vs deteção

Curva ROC Curva ROC é côncava Pontos (0,1) e (1,0)

sempre estão na ROC Performance melhora

quando distância entre distribuições aumenta

Exemplo 2.6 (Cont. de ex. 2.2)Ex. 2.2:

Hip. 0: Normal com var. sigma 0

Hip. 1: Normal com var. sigma 1

Mesma média Critério de decisão

Falso alarme vs deteção – Duas observações

Transf. de var.

Falso alarme vs deteção – Inúmeras observações Função

característica

Distribuições

Dist. Gamma

Falso alarme vs deteção – Inúmeras observações Prob. de falso alarme

Prob. de deteção

Onde

Falso alarme vs deteção – Inúmeras observações Caso prático

Propriedadas da curva ROC Curva ROC é côncova Curva ROC está acima da curva Inclinação da curva num ponto

é igual ao eta que leva àquele ponto

Conclusões de teste de hipóteses binários Tanto critério de Bayes quanto

Neyman-Pearson levam à LRT Estatística suficiente pode simplificar

cálculos Descrição completa da performance

da LRT através da curva ROC

Problema

M hipótesesM Prob. A priori M^2 possibilidades

M^2 custos a determinar

Risco de Bayes

Solução Associar cada R à região em que o

integrando é mínimo

Alternativamente

Exemplo 2.9

Prioris igualmente prováveis a priori Custos de erro idênticos

Problema equivale a calcular a mínima prob.de erro

Exemplo 2.9 Solução

Basta encontrar a hipótese de maior prob. a posteriori

No caso, equivale a achar o a hip. que maximiza

Que por sua vez equivale a minimizar

Probabilidade de erro