MINISTRIO DA EDUCAO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN SETOR DE CINCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA Professora Elen Andrea Janzen Lr Disciplina CD417 Expresso Grfica Curso Arquitetura - Turmas A e B - 2012 I - INTRODUO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMTRICO AssimcomonoestudodaGeometriaseaceitam,semdefinir,certasnoes primitivas e sem demonstrar certas proposies primitivas (ou postulados, ou axiomas), noestudodoDesenhonecessrioaceitarcertospostuladosquetornamamatria objetiva. 1oPostulado:OsnicosinstrumentospermitidosnoDesenhoGeomtrico,almdo lpis,papel,borrachaeprancheta,so:arguanograduadaeo compasso. Agraduaodarguaou"escala"spodeserusadaparacolocarnopapelos dados de um problema ou eventualmente para medir a resposta, a fim de conferi-la. 2oPostulado:proibidoemDesenhoGeomtricofazercontascomasmedidasdos dados;todavia,consideraesalgbricassopermitidasnadeduo (oujustificativa)deumproblema,desdequearespostasejadepois obtida graficamente obdecendo aos outros postulados. 3oPostulado:EmDesenhoGeomtricoproibidoobterrespostas"molivre",bem como "por tentativas". Admite-se,noentanto,otraadodeumacnicamolivreoucomousode curvas francesas, desde que a resposta de um problema no seja obtida atravs desse traado. 2. INSTRUMENTOS DE DESENHO GEOMTRICO Rgua, compasso, esquadros, lapiseira grafite B e HB. 3. EXERCCIOS BSICOS DE DESENHO GEOMTRICO 3.1 Traar a mediatriz do segmento AB dado. 3.2 Traar por um ponto P, uma reta r, perpendicular reta s. a) com compasso b) com esquadros 3.3 Traar a reta s, paralela reta r, por um ponto P dado. a) com compasso b) com esquadros 3.4 Traar a bissetriz do ngulo dado. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 2 3.5 Construir a circunferncia que passe pelos pontos A, B e C. 3.6 Dividir o segmento AB em n partes iguais. 3.7 Transportar um ngulo dado. 3.8 Construir os ngulos de 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 135, 150. a) com compasso b) com esquadros 3.9 Dividir o ngulo de 90 em 3 partes iguais. 3.10 Dividir uma circunferncia em n partes iguais (n = 2, 4, 5, 6, 8, 10) 3.11 Construir um polgono regular de 3, 5 e 6 lados iguais, dado o lado. 3.12 Construir o tringulo ABC, sabendo-se que: a) O tringulo eqiltero e dado o lado a = 40mm b) O tringulo issceles, dados a base BC = 40mm e o ngulo B = 60c) O tringulo issceles e so dados a base BC = 40mm e a altura ha = 40mm d) So dados os lados BC = 40mm, o ngulo C = 45 e a altura ha = 30mm 3.13 Construir um quadrado, dada a diagonal. 3.14 Construir o tringulo ABC e encontrar: a) O baricentro (G) b) O incentro (I) c) O circuncentro (O)d) O ortocentro (H) 4. ESCALA, FORMATO DE PAPEL, LEGENDA, MARGENS E COTAGEM 4.1 ESCALA Definio:Arazoexistenteentreadistnciagrficau(medidanodesenho)eadistncia natural U (medida real do objeto) chama-se escala e calculada a partir da equao 1. uEU= (1) OndeEaescala,uamedidanodesenhoeUamedidareal.Asescalaspodemser: natural (1:1), de reduo (1:2,1:50,1:100,...) e de ampliao (2:1,5:1,...). Exerccios: 1. Representar 1m na escala 1:50.2. Representar 1m na escala 1:20.3. Representar 1mm na escala 15:1.4. Um segmento foi representado por r, na escala E. Determinar sua medida real. a) r = 18,5cm; E=1:700 b) r = 14cm; E=1:20Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 3 4.2 FORMATO DE PAPEL Formatos da srie A: AsdimensesdasfolhasdoformatoAsopadronizadaspelaABNT.Soformatos baseados em um retngulo de rea igual a 1m2 (formato A0). A partir deste formato bsico so obtidososdemaisformatosdasrieA:A1,A2,A3eA4,atravsdadivisodosretngulos obtidos sempre ao meio, conforme Figura 1. Tabela 1 Formato do papel e margens Unidade: mm DesignaoDimenses Margem Largura linha do quadro Comprimento da legenda EsquerdaOutras A0 841 x 118925101,4175 A1594 x 84125101,0175 A2420 x 5942570,7178 A3297 x 4202570,5178 A4210 x 2972570,5178 Fonte: NBR 10068 (ABNT, 1987) AsfolhasdedesenhoacimadopadroA4devemserdobradasparafacilitarseu arquivamento.OtamanhofinaldetodososformatosA4.Aformadedobragemparao formato A3 apresentada na Figura 2, para o formato A2, na Figura 3, para o formato A1 na Figura4eparaoformatoA0naFigura5.Amargemesquerdamaiordevidoao arquivamento. A2A3A4A4A0A1 Figura 1 Formato Srie A Figura 2 Dobragem do papel formato A3 Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 4 Figura 3 Dobragem do papel formato A2 Figura 4 Dobragem do papel formato A1 Figura 5 Dobragem do papel formato A0 Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 5 4.3 LEGENDA A legenda deve ficar na parte externa ao final do dobramento e representa o espao onde deveroconstarasinformaessobreodesenho:nmerododesenho,ttulo,origem,data, escala, profissional responsvel pelo projeto, contedo e demais informaes pertinentes. Sua altura pode variar, porm a largura especificada pela ABNT, conforme apresentado na tabela 2. O espao reservado para a legenda somado margem direita sempre resultar num total de 185mm. Na Figura 6 apresentado um modelo de legenda. O ttulo deve estar centralizado. Tabela 2 Formato do papel e margens Formato Legenda A0 e A1175mm A2, A3 e A4178mm TTULO COLOCAR O TTULO CURSO ARQUITETURA - UFPR DATATRABALHO DISCIPLINA EXPRESSO GRFICA - TURMAUNID.ESC. ALUNO(A) NOTA Figura 6 Modelo de Legenda 4.4 COTAGEM Paraqueumobjetopossaserfabricadonecessrioqueseforneasuaformae dimenses.Asdimensesmostradasnodesenhorecebemonomedecotaseatcnicade represent-las chama-se cotagem. As cotas podem ser colocadas dentro ou fora do desenho, com a mxima clareza, de modo a admitir interpretao nica. A linha de cota fina e traada sempreparaleladimensorepresentada.Ovalorrepresentaadimensoemmilmetrosou outraunidade,conformeindicaonalegenda.Osvaloresrepresentamasmedidasreaisdo objeto e a escala ser indicada na legenda. Nas extremidades da linha de cota so colocadas setas, com comprimentos de 2 a 3mm e largura de aproximadamente 1/3 deste comprimento. Estas setas so delimitadas por linhas de extenso,queficamligeiramenteafastadasdodesenho.Asregrasdecotagempodemser encontradas na ABNT. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 6 II LUGARES GEOMTRICOS, NGULOS E SEGMENTOS 1. O MTODO DOS LUGARES GEOMTRICOS OsproblemasemDesenhoGeomtricoresumem-seemencontrarpontos.Epara determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. Definio:Umconjuntodepontosdoplanoconstituiumlugargeomtrico(LG)emrelaoa uma determinada propriedade P quando satisfaz s seguintes condies: a) Todo ponto que pertence ao lugar geomtrico possui a propriedade P; b) Todo ponto que possui a propriedade P pertence ao lugar geomtrico. Observao: Na resoluo de problemas, procuramos construir graficamente uma determinada figuraquesatisfaaascondiesimpostas(oupropriedades).Geralmente,estascondies impostas so lugares geomtricos construtveis com rgua e compasso. O emprego de figuras que constituem lugares geomtricos na resoluo de problemas grficos chamado de Mtodo dosLugaresGeomtricos.Nadiscussodoproblemadeveconstaronmerodepossveis solues. 1.1 LUGAR GEOMTRICO 1 - CIRCUNFERNCIA Propriedade: O lugar geomtrico dos pontos do plano situados a uma distncia constante, r, de um ponto fixo O a circunferncia de centro O e raio r. Notao: Circunf(O,r). Exerccios: 1. Dados o ponto P, a reta t e uma distncia d. Determinar um ponto X da reta t que esteja distncia d do ponto P. Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 7 2.DadosospontosAeB,easdistnciasmen.ObterumpontoXqueestejasituado distncia m de A e n de B. Discusso: __________________ 3. Construir um tringulo ABC sendo dados os trs lados a, b e c. Discusso: __________________ Observao:Construirumtringuloequivaleadeterminar3pontos(vrtices).Devemoslevar em considerao: a posio, a forma e o tamanho. Propriedadedostringulos:umtringuloficadeterminadoemformaetamanhoquandodele soconhecidos3elementos,sendopelosmenosumdeleslinear,isto,umladoouuma mediana, etc. 4. Dados os pontos A e B, e uma distncia r. Construir a circunferncia que passa pelos pontos A e B e que tenha raio igual a r. Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 8 Exerccios propostos: 1. Dados o ponto A, a circunferncia e a distncia r. Determinar um ponto X de que esteja distncia r do ponto A. Discusso: __________________ 2. Dados os pontos B e C e uma circunferncia . Construir um tringulo ABC, sendo dado o lado b e sabendo que o vrtice A pertence circunferncia . Discusso: __________________ 3. Dados a reta s, o ponto A e a distncia d. Construir o tringulo ABC, issceles de base BC, sabendo os lados tm medida d e que a base BC est contida na reta s. Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 9 4.DadosospontosBeCearetas.ConstruirumtringuloABC,sendodadooladobe sabendo que A pertence reta s. Discusso: __________________ 5. Dados o ponto P, a reta s e a distncia r. Construir a circunferncia que passe pelo ponto P, tenha raio r e cujo centro pertena reta s. Discusso: __________________ 6.Construirumaformahumana,umobjetoeumanimalutilizandoapenasarcosde circunferncia. 7.Reproduzaaformaapresentadanafigura7,construindoumquadradodel=50mm.Com centro no ponto mdio dos lados, construa arcos de circunferncia externos com raio 25mm e internos com raio 15mm. Com centro nos vrtices do quadrado construa os arcos internos. Figura 7 Arcos de circunferncia Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 10 1.2 LUGAR GEOMTRICO 2 - MEDIATRIZ Propriedade: O lugar geomtrico dos pontos do plano eqidistantes de dois pontos A e B dados a mediatriz do segmento AB. Definio:Umacircunfernciaditacircunscritaaumtringuloquandoelapassapelosseus trs vrtices. O centro da circunferncia circunscrita denominado circuncentro. Definio: Duas retas so ditas perpendiculares quando so concorrentes e formam ngulos de 90o entre si. Definio: A distncia de um ponto a uma reta a medida do segmento traado do ponto at a reta, perpendicularmente mesma. Exerccios: 1. Construir a mediatriz do segmento dado AB. Discusso: __________________ 2. Dados dois pontos B e C e uma circunferncia . Construir um tringulo ABC, issceles, de base BC, sabendo-se que o vrtice A pertence a . Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 11 3. Dados trs pontos A, B e C, no colineares, construir a circunferncia que passe por esses pontos. Discusso: __________________ 4. Traar uma reta perpendicular a uma reta dada r, que passe por um ponto dado P. a) P r;b) P r. Exerccios Propostos: 1. Dados os pontos B e C e a reta a. Determinar um ponto de a que seja eqidistante de B e C. Discusso: __________________ 2. Dados os pontos A, B e C, e uma distncia r. Determinar um ponto X, tal que a distncia de X a B seja igual a r e X seja eqidistante de A e C. Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 12 3. Dados os pontos A, B, C e D. Determinar um ponto X que seja eqidistante de A e B, e que seja tambm eqidistante de C e D. Discusso: __________________ 4.DadosospontosPeQeumaretas.ConstruirumacircunfernciaquepasseporPeQ, sabendo que seu centro pertence reta s. Discusso: __________________ 5. Construir um tringulo ABC, sendo dados a, b e =90o. ba Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 13 Pt1.3 LUGAR GEOMTRICO 3 - PARALELAS Propriedade: O lugar geomtrico dos pontos do plano que esto a uma distncia d de uma reta r,compe-sededuasretass1es2,paralelasretarequetmdistnciaatelaigual distncia dada. Exerccios: 1. Dados uma reta t e um ponto P, no pertencente a t, traar pelo ponto P, a reta s paralela a reta t. Pt 2. Dada uma reta r, construir o LG dos pontos que distam 2cm de r. r Discusso: __________________ 3. So dados um ponto A, uma reta t e uma distncia r. Construir uma circunferncia de raio r, que passe pelo ponto A e seja tangente reta t. tAr Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 14 Exerccios Propostos: 1. Dados a reta r, os pontos A e B sobre r e o ponto P fora de r. Construir uma circunferncia que passe por A e B, sabendo que o seu centro pertence reta paralela a r conduzida por P. r A BP Discusso: __________________ 2.Dadasduasretasaebconcorrentes,construirumacircunfernciaderaiorqueseja tangente s duas retas. rab Discusso: __________________ 3. Dadas duas retas concorrentes s e t e um ponto P fora delas. Determinar a reta r que passe por P e seja paralela reta t. Construir uma circunferncia tangente reta t, sabendo que o seu centro o ponto de interseo das retas r e s. tsP Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 15 BCA4. Dados dois pontos A e B, a reta r e a distncia d. Obter um ponto X que diste d de r e seja eqidistante de A e B. rdAB Discusso: __________________ 5. Obter um tringulo issceles MNP de base NP que possua a mesma rea do tringulo dado ABC, tal que sua base coincida com a base BC. Discusso: __________________ 6.Construirumquadradocom100mmdelado,dividirhorizontalmenteoquadrado.Naparte superiorconstruirlinhasparalelasdistantes10mmumasdasoutrasenaparteinferior construir linhas paralelas entre si, verticalmente, e distantes 10mm umas das outras. 7. Reproduzir a figura abaixo, construindo um quadrado com 100mm de lado e divida os lados superiorelateralesquerdoem7partesiguais,apartirdestespontos,construirretas paralelas e concluir o desenho conforme apresentado na figura 8. Figura 8 - Paralelas Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 16 1.4 LUGAR GEOMTRICO 4 - BISSETRIZ Propriedade: O lugar geomtrico dos pontos do plano equidistantes de duas retas concorrentes dadascompostoporduasoutrasretas,perpendicularesentresiebissetrizesdosngulos formados pelas retas dadas. Exerccios: 1. Construir a bissetriz do ngulo dado. 2.Dadasasretasa, bec.Construiruma circunfernciatangentesretasbec,sabendo-se que o seu centro pertence reta a. bca

Discusso: __________________ 3.DadasduasretasresconcorrentesnumpontoCeumadistncial.Construiruma circunferncia tangente s retas r e s, sabendo-se que a distncia do seu centro a C igual a l. rsCl Discusso: __________________ Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 17 4. Construir a circunferncia inscrita ao tringulo ABC dado, e as circunferncias ex-inscritas. Dados: a=90mm, b=75mm, c=60mm. Definio: Uma circunferncia dita inscrita a um tringulo quando ela for tangente aos lados dotringulo.Ocentrodacircunfernciainscritadenominadoincentro.Umacircunferncia ex-inscritaaotringuloquandoelafortangenteaumdosladoseaosprolongamentosdos outros dois. O centro da circunferncia ex-inscrita denominado de ex-incentro. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 18 1.5 CONSTRUO DE NGULOS Exerccios: 1.Transportar o ngulo de medida dado, sabendo-se que O ser o seu vrtice e a semi-reta OA dada um de seus lados. O A 2.Construir os ngulos notveis 90, 60. 3.Construir os ngulos de 45, 2230', 1115', 30 , 15, 120, 150, 135, 75. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 19 Exerccios Propostos: 1.So dados o lado OA e a bissetriz OC de um ngulo AB. Construir o lado OB. O AC 2.Dados os ngulos de medidas , , e , construir o ngulo de medida + + . 3.Dados os ngulos de medidas e , construir o ngulo de medida - . 4.So dados os ngulos e B de um tringulo ABC. DeterminarC graficamente. A Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 20 1.6 NGULOS NA CIRCUNFERNCIA Definio 1: Em uma circunferncia de centro O e raio r, define-se: Corda:qualquersegmentoquepossuiasextremidadesemdoispontosda circunferncia; Dimetro: qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferncia; DoispontosAeBdeumacircunfernciadividem-naemduaspartes,e. Cada parte denomina-se arco circular ou simplesmente arco e os pontos A e B so os extremos (Figura 09). A BMN Figura 09 Arcos de circunferncia Notao:,, (esta ltima representao vale somente para o menor arco) Observao: A corda que une os extremos de um arco subtende o arco. Definio 2: ngulo central todo o ngulo que possui o vrtice no centro da circunferncia e cada um de seus lados contm um raio da mesma (Figura 10). Figura 10 ngulo Central Observaes: 1.Oarcointerceptadoporumngulocentralcorrespondenteaessengulo,ouele chamado arco que o ngulo central enxerga.2.Amedidaangulardeumarcodecircunfernciaamedidadongulocentral correspondente. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 21 Definio3:nguloinscritotodonguloconvexoquepossuiseuvrticesobrea circunfernciaecadaumdeseusladoscontmumacordadamesma(Figura 11). Figura 11 ngulo Inscrito Observaes: 1.Oarcointerceptadoporumnguloinscritocorrespondenteaessengulo,ouele chamado arco que o ngulo inscrito enxerga. 2. Quando os lados de um ngulo inscrito e de um ngulo central cortam-se sobre os mesmos pontossobreamesmacircunfernciaentoelessoditosnguloscorrespondentesna circunferncia. Definio 4: ngulo de segmento (ou ngulo semi-inscrito) o ngulo formado por uma corda e a tangente circunferncia conduzida por uma das extremidades da corda (Figura 12). Figura 12 ngulo de Segmento Propriedade1:Amedidadonguloexternodeumtringuloigualsomadosoutrosdois ngulos internos no adjacentes (Figura 13). Figura 13 ngulo Externo Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 22 Propriedade 2: Todo ngulo inscrito numa circunferncia mede a metade do ngulo central correspondente. Propriedade3:Amedidadeumngulodesegmentoigualmetadedamedidadongulo central correspondente. Observao:Pode-se dizer,ento,queo ngulodesegmento, assimcomoonguloinscrito, tem sua medida igual metade do ngulo central correspondente. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 23 220 grausxxx75x75x70200xExerccios Propostos: 1. Obter o raio de uma circunferncia dada, sem utilizar o seu centro. 2. Calcular o valor de x. a) b)c) Ox90 graus d)e) f) x40 g) h) i)120x Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 24 1.7 LUGAR GEOMTRICO 5 ARCO CAPAZ Propriedade:OlugargeomtricodospontosdoplanoqueenxergamumsegmentoAB segundo um ngulo de medida constante o par de arcos capazes do ngulo descrito sobre AB. Exerccios: 1.Construir o par de arcos capazes de um segmento AB dado segundo um ngulo dado . a) b) = 60c) =120 Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 25 2.Quanto vale a em funo de b? ab 3.Quanto vale o ngulo inscrito numa semicircunferncia? 4.So dados uma circunferncia de centro O e um ponto P exterior a mesma. Traar pelo ponto P retas tangentes a . P O 5.Construir um tringulo ABC dados o lado a=50mm, a altura ha=30mm e o ngulo =60. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 26 Exerccios Propostos: 1.ConstruirosarcoscapazesdosegmentoAB=4cmsegundoosngulosde30o,45o,60o, 90o, 120o, 135o, e 150o. 2.ConstruirumtringuloABC,sendodadosoladoa=50mm,aalturarelativaaoladoa, ha=30mm e o ngulo e =60o. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 27 2.Construir um tringulo ABC sendo dados doisvrtices A e B, sabendo-se que o vrtice C pertence reta dada r e que C mede 60o. ABr 3.Construir um tringulo ABC, dados o vrtice B, a circunferncia inscrita e o lado a. aB 4.So dados dois pontos B e C e uma circunferncia . Construir um tringulo ABC, sabendo-se que A pertence a e =60o. B C Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 28 5.Dados dois pontos P e Q e um segmento AB determine um ponto X que seja eqidistante de P e Q, sabendo-se que X enxerga AB segundo um ngulo de 30. PQAB 6.Dados dois pontos A e B e uma distncia d, determine um ponto P distante d de A tal que o ngulo APB seja 60. dAB Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 29 2. OPERAES COM SEGMENTOS 2.1 DIVISO DE UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS TeoremadeTales:umfeixederetasconcorrentescortaumoutrofeixederetasparalelas segundo segmentos proporcionais. Exerccios: 1. Dividir um segmento AB em n partes iguais. 2. Dividir um segmento AB em partes proporcionais a segmentos dados. 3. Dividir um segmento AB em partes proporcionais a nmeros dados. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 30 Exerccios Propostos: 1.Dadosossegmentos2p=15cm,q=5cm,r=3,5cmes=4cm.ConstruirumtringuloABCde permetroiguala2p,sabendo-sequeosladosa,becsoproporcionaisaq,res, respectivamente. 2. Construir um tringulo ABC, sendo dados a+b = 9cm,o ngulo C = 60o, e sabendo-se que a e b so proporcionais a 2 e 3, respectivamente. 3. Dado um segmento m, obter um segmento x, tal que x = 2/5m. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 31 2.2 QUARTA PROPORCIONAL Definio:Dadostrssegmentos(ounmeros)a,bec,aquartaproporcionalaostrs segmentosumsegmento(ounmero)x,talque,naordemdada,elesformemuma proporo, conforme equao 2: xcba= (2) Exerccio: 1. Dados os segmentos a, b e c obter a quarta proporcional nesta ordem. 2.3 TERCEIRA PROPORCIONAL Definio:Dadosdoissegmentos(ounmeros)aeb,aterceiraproporcionalaosdois segmentos um segmento x, tal que, na ordem dada, eles formem uma proporo, conforme equao 3 : xbba= (3) Exerccios:1. Obter a terceira proporcional aos segmentos a e b, nessa ordem. 2.Dadosossegmentosl=3cm,m=3,5cmen=4cm.ConstruirumtringuloABC,sabendo-se que =60o, a=(m.n)/l e b=l2/n. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 32 2.4 APLICAES DO TEOREMA DE PITGORAS TeoremadePitgoras:Numtringuloretngulodehipotenusaaecatetosbectem-seque a2=b2+c2. Exerccios: 1. Dados p e q obter x, tal que x2 = p2 + q2. 2. Dados p e q obter x, tal que x2 = p2 - q2. 3. Dados p, q e r obter x tal que x2 = p2 + q2 - r2. 4. Dados p, q e r obter um segmento x tal que x2 = p2 + q2 + r2. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 33 2.5 MDIA ARITIMTICA Amdiaaritimticaentredoissegmentosasomadois,divididapordois.Aforma geomtrica dada pela equao 4. 2a bx+= (4) 2.6 MDIA GEOMTRICA (OU MDIA PROPORCIONAL) Dados dois segmentos p e q, a mdia geomtrica entre eles o segmento x, tal que (Eq. 5): qxxp= oux2 = p.qoux =q p.(5) Propriedade: Sejam m e n as projees ortogonais dos catetos b e c, respectivamente, sobre a hipotenusaadeumtringuloretnguloABC.Tem-seentoque:b2=a.m,c2=a.neh2=m.n, sendo h a altura relativa ao ngulo reto. Ver Figura 9. BAcCbhn m Figura 9 Propriedades no tringulo Retngulo Exerccios: 1.Construirumtringuloretngulosendodadosasprojeesmendoscatetosbec, respectivamente. m n Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 34 2.Construirumtringuloretngulosendodadosahipotenusaaeaprojeomdocatetob sobre a hipotenusa. 3. Obter a mdia geomtrica entre os segmentos p e q dados 4. Dado o segmento p, obter: a) x = p2 b) y = p3 c) z = p4 d) t = p10 a m p q Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 35 Exerccios Propostos: 1. Dados a, b e c. Obter um segmento x tal que x2 = (a+b).c. 2. Dados a, b e c. Obter um segmento x tal que x2 = a3.b/c2. 3. Dado o segmento p, obter t, x, y, z tal que t x y z p1 2 3 4 5= = = = . Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 36 2.7 SEGMENTO UREO (DIVISO EM MDIA E EXTREMA RAZO) Definio: Dado um segmento AB, efetua-se uma diviso urea de AB por meio de um ponto P, quandoestepontodivideosegmentoemduaspartesdesiguais,talqueamaior (esta o segmento ureo) mdia geomtrica entre a menor e o segmento todo. Assim, o segmento AP ureo do segmento dado AB quando: AP2 = PB.AB ou, o mesmo que APABPBAP= Exerccios: 1. Dado o segmento AB obter o seu segmento ureo AP. Considerao: Seja o segmentoAB de medida a, como queremos a medida do segmento ureo deAB consideremos AP=x, onde x uma medida a ser determinada. Logo, PB=(a-x). ComoAP deve ser ureo deAB ento deve satisfazer a seguinte relao:AP2 =AB.PB ou x2 = a.(a-x) x2 = a2 - a.x x2 + a.x - a2 = 0 Portanto, a soluo desta equao : xa a a= +2 242 |||

\|+ = = =+ = 2 25252 2525a a a axa a a ax Consideremosdestasduasrazesapenas x (portermedidamenorquea=AB).Para determinarmos a medida do segmento ureo devemos obter um segmento com a medida x, ou seja, obter os segmentos de medidas:a 52e a2.Bastaobservarqueestasmedidassohipotenusaecatetodeumtringulo retngulo de catetos a e a/2. Construo: Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 37 2. Dado o segmento AB obter AQ, do qual AB seja ureo. Considerao: ConhecemosagoraamedidadosegmentoureoAB,fazendoAB=aeAQ=x(pois devemos achar sua medida) ento BQ=(x-a). Como AB deve ser ureo de AQ ento pela definio devemos ter:AB2 = BQ.AQ. Ou seja, a2 = (x-a).x a2 = x2 - ax x2 - ax - a2 = 0 Portanto, a soluo desta equao : xa a a= +2 242 + == + =+= 2 25252 2525a a a axa a a ax Consideremosapenasaprimeiraraiz x .Assim,paraobteramedidadeAQbasta construir um tringulo retngulo, onde a e a/2 so catetos e a 5/2 ser a hipotenusa. Construo: Observaes: a) Segundo Euclides, encontrar o segmento ureo dividir um segmento em mdia e extrema razo. b) A existncia de duas razes indica que existem dois pontos P e P2 que dividem o segmento ABemduaspartesdesiguais,talqueamaiorsejamdiageomtricaentreamenoreo segmento todo. Mas somente o segmento AP dito segmento ureo de AB. c)aa a a618 , 0 ) 1 5 (2 2 25 = ,aa a a618 , 1 ) 1 5 (2 2 25 + = + e 618 , 1 . Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 38 Exerccios Propostos: 1.ConstruirosegmentoureodeumsegmentoABdadode100mmdemedida.Qual, aproximadamente, a medida desse segmento? 2. Construir um retngulo ureo. 3. Construir uma espiral urea. 4.ConstruirumtringuloABCsendodadosoladoa,ureodosegmentop=6,5cm,aaltura hb=3cm, relativa ao lado b e o ngulo A=60. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 39 III TRINGULOS E QUADRILTEROS 1.CEVIANAS E PONTOS NOTVEIS DE UM TRINGULO Definio 1: Ceviana todo segmento que tem uma extremidade num vrtice qualquer de um tringuloeaoutranumpontoqualquerdaretasuportedoladoopostoaesse vrtice. Definio2:Oencontrodasmediatrizesdosladosdeumtringulonicoechama-se circuncentro. Propriedade 1: O circuncentro o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo. Observao: O circuncentro pode ser interno (no tringulo acutngulo) ou externo (no tringulo obtusngulo) ou pertencer a um dos lados, sendo, neste caso o seu ponto mdio (no tringulo retngulo). Definio 3: Mediana toda ceviana que tem uma extremidade no ponto mdio de um lado. O ponto de encontro das medianas nico e chama-se baricentro. Propriedade 2: O segmento que une os pontos mdios de dois lados de um tringulo paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida do terceiro lado.Propriedade 3: O baricentro de um tringulo divide cada mediana na razo de 2 para 1, a partir do vrtice. Observao: O baricentro sempre interno ao tringulo. Definio4:Bissetrizinternatodacevianaquedivideumngulointernoemdoisngulos adjacentes e congruentes. O ponto de encontro das bissetrizes internas nico e chama-se incentro. Propriedade 4: O incentro o centro da circunferncia inscrita ao tringulo. Observao: O incentro sempre interno ao tringulo. Definio5:Alturatodacevianaperpendicularaumladoouaoseusuporte.Opontode encontro das alturas de um tringulo nico e chama-se ortocentro. Observao:Oortocentropodeserinterno(notringuloacutngulo)ouexterno(notringulo obtusngulo)oucoincidircomumdosvrtices,nocaso,odonguloreto(no tringulo retngulo). Definio 6: O tringulo HaHbHc denominado tringulo rtico ou pedal. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 40 2.CONSTRUO DE TRINGULOS Construirumtringulosignificadeterminaraposiodosseusvrtices.Devemser fornecidossempre 3elementos,umdelesnecessariamentelinear,isto, ouumlado ouuma altura ou uma mediana, etc. Nadiscussodaquantidadedesoluespode-seanalisara posionaqualotringulo foi desenhado e o tamanho obtido. Exerccios: 1.Construir tringulo ABC, sendo dados: 1.1.os trs lados. a=5cm, b=4,5, c=5cm. 1.2.dois lados e um ngulo adjacente. a=5cm, b=3,5cm, B=30. 1.3.um lado e dois ngulos adjacentes. a=5cm, B=30,C=45. 1.4.um lado, ngulo oposto e ngulo adjacente. a=4cm, =45, B=22,5. 1.5.dois lados e o ngulo oposto ao terceiro lado. a=4cm, b=3cm,C=60. 2.Construir o tringulo ABC, retngulo em A, dados: 2.1.um cateto e o ngulo oposto. b=2cm, B=30. 2.2.a hipotenusa e um ngulo adjacente. a=4cm, B=60. 2.3.a hipotenusa e um cateto. a=5cm, c=2cm. 2.4.os catetos. b=3,5; c=2cm.2.5.as projees dos catetos sobre a hipotenusa. m=2cm, n=3cm 2.6.um cateto e a sua projeo sobre a hipotenusa. c=3,5cm; n=2cm. 3.Construir tringulo ABC, dados dois ngulos B=60eC=45, e 3.1.uma altura. ha=3,5cm. 3.2.uma mediana. ma=4,5cm. 3.3.uma bissetriz. ba=4cm. 3.4.o raio da circunferncia circunscrita. R=3cm. 3.5.o raio da circunferncia inscrita. r=1,5cm. 4.Construir o tringulo ABC, dados 4.1.dois lados e a altura relativa a um deles. a=3,5cm, c=2,5cm, ha=2cm. 4.2.um lado, altura relativa ao mesmo e um ngulo adjacente. a=3cm, ha=2cm, B=30. 4.3.umlado,umnguloadjacenteeamedianarelativaaomesmo.a=4cm,B=45, ma=2,5cm 4.4.dois lados e a altura relativa ao terceiro lado. b=4,5cm, c=4cm, ha=3cm. 4.5.um lado, ngulo oposto e a altura relativa ao mesmo. a=3,5cm, ha=2,5, =45. 4.6.um lado, altura relativa ao mesmo e altura relativa a outro lado. a=5cm, ha=3,5cm, hb=4cm. 4.7.um lado e as alturas relativas aos outros lados. a=5cm, hb=4cm, hc=4,5cm. 4.8.dois lados e a mediana relativa a um deles. a=5cm, c=4cm, mc=4,5. 4.9.umlado,medianarelativaaomesmoeaalturarelativaaooutrolado.a=6cm, ma=3,5cm, hb=5cm. 4.10. dois lados e a mediana relativa ao terceiro. a=5cm, c=4cm, mb=3,5.Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 41 4.11. as medianas. ma=3cm, mb=4cm, mc=5cm.4.12. umngulo,medianarelativaaoladoopostoeoutramediana.=60,ma=5cm, mc=4cm.4.13. umaalturaeumamedianarelativasaomesmoladoeoraiodacircunferncia circunscrita. ha=4cm; ma=4,5cm; R=3,5cm 4.14. um lado, um ngulo e o raio da circunferncia inscrita. b=6cm, r=1,5cm; =90o. 4.15. os pontos mdios dos lados em posio. MaMb=3,5cm, MaMc=3cm, MbMc=2,5. 3.ALGUMAS PROPRIEDADES DOS QUADRILTEROS Num quadriltero qualquer ABCD a soma dos ngulos internos 360. Um quadriltero ABCD inscritvel quando a soma de seus ngulos opostos 180. Um quadriltero ABCD circunscritvel quando as somas das medidas de seus lados opostos so iguais. 4.CONSTRUO DE QUADRILTEROS Umquadrilteropodeserentendidocomoumacomposiodedoistringulos.Para constru-lo,necessrioconhecer5deseuselementos,sendonecessariamenteumdeles linear: Com trs deles, pode-se construir um dos tringulos em que o quadriltero fica dividido por uma de suas diagonais; Com os outros dois determina-se o quarto vrtice. Observao: Quando se trata de um quadriltero notvel, h dados que j esto implcitos. 5.QUADRILTEROS NOTVEIS 5.1. TRAPZIO Definio: Trapzio todo quadriltero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos. A distncia entre as bases chamada de altura do trapzio. Os trapzios se classificam em: Escaleno: quando os lados no-paralelos no so congruentes (a) Issceles: quando os lados no-paralelos so congruentes (b) Retngulo: quando um dos os lados no-paralelos perpendicular s bases (c) (a)(b) (c) Propriedade:Numtrapzioisscelesosngulosdeumamesmabasesoiguaiseas diagonais so tambm so iguais. A B C D AB CD A B CD AB C D Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 42 5.2. PARALELOGRAMO Definio:Paralelogramotodoquadrilteroquepossuiosparesdeladosopostos respectivamente paralelos. Propriedades: Os ngulos opostos so iguais, os lados opostos so iguais e as diagonais interceptam-se em no ponto mdio. Os paralelogramos se classificam em: Paralelogramos Retngulo: quando possui ngulos retos. Losango: quando possui os quatro lados congruentes. Quadrado: quando possui os ngulo retos e os quatro lados congruentes. O retngulo, o quadrado e o losango possuem todas as propriedades dos paralelogramos. E, alm disso, possuem as seguintes propriedades: Em todo retngulo as diagonais so ________________________. Emtodolosangoasdiagonaisso______________________e _____________________ dos ngulos internos. Comotodoquadradoumretngulo,entosuasdiagonaisso _____________________,ecomoeletambmlosango,suasdiagonaisso ____________________________ e ____________________ dos ngulos internos. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 43 Exerccios: 1.Construir um quadrado dado 1.1. o lado. a=3cm. 1.2. a diagonal. BD=4cm. 1.3. o segmento ureo do lado. a=3cm. 1.4. o raio da circunferncia circunscrita. R=2,5cm. 1.5. o raio da circunferncia inscrita. r=2cm. 2.Construir um retngulo dados 2.1. os lados. a=4cm, b=2,5cm. 2.2. diagonal e o lado. a=2,5, d=3,5. 2.3. diagonal e o ngulo formado pelas mesmas. d=4cm, =120. 2.4. o semi-permetro p e a mdia proporcional m dos dois lados. p=8cm, m=3cm 2.5. um lado sabendo-se que o mesmo ureo do outro. l=3cm. 3.Construir um losango dados: 3.1. as diagonais. AC=5cm, BD=3cm. 3.2. um lado e uma diagonal. AB=3cm, AC=4,5. 3.3. um lado e um ngulo. AB=3cm,C=45. 4.Construir um paralelogramo ABCD dados 4.1. os lados e um ngulo. AB=4cm, BC=7cm, B=45. 4.2. os lados e uma diagonal. AB=5cm, BC=3cm, AC=4cm. 4.3. as diagonais e um lado. AC=5cm, BD=4cm, BC=2,5cm. 4.4. as diagonais e o ngulo por elas formado. BD=4cm, AC=3cm, =120. 4.5. os lados e a altura. BC=5cm, AB=3cm, hBC=2,5. 5.Construir um trapzio ABCD dados 5.1. os lados. AB=5,5cm, BC=3,5cm, CD=4cm, AD=3cm. 5.2. as bases e as diagonais. AB=4,5cm, CD=3,5cm; BD=5,5cm; AC=5cm5.3. as bases, uma diagonal e o ngulo formado pelas diagonais. AB=4,5cm; AC=4cm, DC=2,5, AB=120(E o ponto de interseo das dia gonais).5.4. uma base, dois lados e o ngulo formado por um dos lados com a base dada. AB=4,5cm, AD=3cm, BC=2,5, =60. 6.Construir um trapzio issceles dados 6.1. as bases e altura. AB=3cm, CD=4,5cm, h=2cm. 6.2. as bases e uma diagonal. AB=4cm, CD=3cm, AC=4cm. 6.3. as bases e o raio da circunferncia circunscrita. AB=5,5cm, CD=3cm, R=3cm. 7.Construir um trapzio retngulo em A dados 7.1. as bases e a altura. AB=3,5cm, CD=2cm, h=2,5cm. 7.2. uma base, um lado e a altura. AB=3,5cm; BC=2,5cm; h=2cm. 7.3. uma base, a soma da outra base com um lado e a altura. AB=4cm, s=6cm, h=2cm. 8.Construir um quadriltero qualquer dados 8.1. os lados e uma diagonal. AB=5,5cm; BC=3,5cm; CD=4,5cm; DA=2cm; AC=6cm. 8.2. os lados e um ngulo. AB=5cm; BC=3cm; CD=5,5cm; DA=5cm; B=105. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 44 IV - TANGNCIA E CONCORDNCIA 1.PROPRIEDADES DE TANGNCIA Definio1:Atangenteaumacurvaumaretaquetemumspontoemcomumcomesta curva. Propriedade1:Todaretatangenteaumacircunfe-rncia perpendicular ao raio no ponto de tangncia. Definio2:DuascurvassotangentesnumpontodadoT,quandoastangentesaessas curvas nesse ponto so coincidentes. Propriedade2:Seduascircunfernciassotangentes entoopontodetangnciaeoscentros so colineares. Observao:Duascircunfernciaspodemsetangenciar interna ou externamente. 2.PROPRIEDADES DE CONCORDNCIA Definio: Concordar duas linhas reuni-las de forma tal que nos pontos de contato se possa passardeumaparaaoutrasemreversooungulo.Pontodeconcordnciao pontodecontatodaslinhasconcordantes(opontodeconcordnciaentreduas linhasconcordantescorrespondeaopontodetangnciaentreduaslinhas tangentes).Centrodeconcordnciacadaumdoscentrosdascurvas concordantes. Propriedades de concordncia: 1.Umarcoeumaretaestoemconcordncianumpontoquandoaretatangenteaoarco nesse ponto. 2.Na concordncia de reta com arco de circunferncia, o ponto de concordncia e o centro de concordncia esto sobre uma mesma perpendicular. Dois arcos de circunferncia esto em concordncia num ponto quando admitem nesse ponto uma tangente comum. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 45 3.PROBLEMAS DE TANGNCIA 1.Traar reta tangente a uma circunferncia (C, m) dada, por um ponto da mesma. 2.Traar retas tangentes a uma circunferncia (C, m) paralelas a uma reta s dada. 3.Traar tangentes a uma circunferncia (C,m) dada pelo ponto P. CTCCPs Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 46 4.Traar retas tangentes comuns a duas circunferncias (A, m) e (B, n) dadas. 4.1. Tangentes exteriores 4.2. Tangentes interiores ABABExpresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 47 5.Traar circunferncias de centro O dado, tangentes a reta t dada. 6.Traar circunferncias de centro O dado, tangentes a circunferncia (C, m). 7.Traar circunferncias de raio r, tangentes reta t num ponto T da mesma. OtCOrtTExpresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 48 8.Construirascircunfernciasderaior,tangentescircunferncia(C,m)numpontoTda mesma. 9.Traar circunferncia que passa por um ponto P e tangente a circunferncia (C, m) em T. 10. Traar circunferncias que passam pelo ponto P e so tangentes a reta r em T. CTrCPTt TPExpresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 49 11. Traarcircunfernciastangentessretasres,dadoopontodetangnciaTsobreuma delas. a)r e s so paralelas b) r e s so concorrentes 12. Traarcircunfernciasderaior,quepassampelopontoPequesejamtangentes circunferncia (C, m). 13. Traar circunferncias de raio r, que passem pelo ponto P e que sejam tangentes reta s.

rsTrsTrCPsrPExpresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 50 14. Traar circunferncias de raio r, tangentes s retas s e t.

15. Traar circunferncias de raio r, tangentes a reta t e a circunferncia (C,m). tsrtCrExpresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 51 C Dr16. Traar circunferncias de raio r, tangentes s circunferncias (C,m) e (D,n). 17. Traar circunferncias tangentes s retas r, s e t, sendo r e s paralelas. srt Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 52 18. Traar circunferncias tangentes reta t em T e circunferncia (C,m).t TC 19. Traar circunferncias tangentes reta t e circunferncia (C,m) em T.tCT Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 53 V - DIVISO, RETIFICAO E DESRETIFICAO DA CIRCUNFERNCIA E POLGONOS REGULARES 1. DIVISO DA CIRCUNFERNCIA EM PARTES IGUAIS Dividiracircunfernciaempartes(ouarcos)iguaisomesmoqueconstruirpolgonos regulares.Issoporqueospontosquedividemumacircunfernciaemumnmeron(n>2) qualquer de partes iguais so sempre vrtices de um polgono regular inscrito na mesma. Ao dividir uma circunferncia em n partes iguais, tem-se tambm a diviso da mesma em 2n partes, bastando para isso traar bissetrizes. Existem processos exatos e aproximados para a diviso da circunferncia. Se existe um processo exato para diviso da circunferncia este deve ser utilizado (e no um aproximado). 1.1 Processos Exatos Aodividiracircunfernciaemnpartesiguais,divide-seongulocentralde360oemn partes tambm iguais. Logo, o ngulo central (vrtice no centro e lados passando por vrtices consecutivosdopolgono)correspondentedivisodacircunfernciaemnpartesiguais medir 360o/n. O lado de um polgono regular de n lados denotado por nl . Problemas: 1) Dividir uma circunferncia em n = 2, 4, 8, 16,... = 2.2m partes; mN Medida do 4lnuma circunferncia de raio r 4l = r 2. nNGULO CENTRAL POLGONO REGULAR 2 180o2 arcos capazes de 90o 4 90o Quadrado 8 45o Octgono 16 22,5o Hexadecgono Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 54 2) Dividir uma circunferncia em n = 3, 6, 12, ... = 3.2m partes; mN Medida do 6lnuma circunferncia de raio r 6l= r. Medida do 3lnuma circunferncia de raio r 3l= r 3. nNGULO CENTRAL POLGONO REGULAR 3 120o Tringulo equiltero 6 60o Hexgono 12 30o Dodecgono 3) Dividir uma circunferncia em n = 5, 10, 20, ... = 5.2m partes; mN Propriedade:Paraumamesmacircunferncia,o 5l hipotenusadeumtringulo retngulo cujos catetos so o 6le 10l . nNGULO CENTRALPOLGONO REGULAR 572oPentgono 1036oDecgono 2018oIcosgono Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 55 Exerccios: 1) Construir os polgonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l. a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n = 8 Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 56 1.2 Processos Aproximados Paradividirumacircunfernciaem7,9,11,13,...partesiguais,utiliza-seprocessos aproximados. Processo de Rinaldini: Obter um dimetro AB da circunferncia. Dividir o dimetro em n partesiguais,tantasquantassequerdividiracircunferncia.Construirumacircunfernciade centro A e raio igual ao dimetro da mesma, e outra circunferncia de centro B e raio igual ao dimetro da circunferncia, determinando os pontos P e Q. Unir os pontos P e Q aos pontos de diviso do dimetro, utilizando os pares ou os mpares. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 57 1.3 Polgonos Estrelados Definio:Polgonoestreladoumpolgonocujosngulossoalternadamentesalientese reentrantes,ecujosladospertencemaumalinhapoligonalfechadaquepercorridasempre no mesmo sentido. Propriedade:Pode-seobtertantospolgonosestreladosdenvrticesquantosnmerosph, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n. Definio: Polgono regular estrelado aquele que se forma de cordas iguais e onde h lados iguais e ngulos iguais. Processo Geral de Construo: Para obter um polgono regular estrelado de n vrtices, deve-se dividir a circunferncia em n partes iguais, e unir os pontos de diviso de p em p, sendo que: p < n/2, p 1 e p e n primos entre si. Exerccios: 1. Construir os polgonos estrelados de n lados. a) Para n=7 b) Para n=8 c) Para n=15 2.DadaumacircunfernciadecentroOeraior=3cm,construirosseguintespolgonos regulares estrelados: a) Pentgono (n=5, p=2) b) Octgono (n=8, p=3) c) Decgono (n=10, p=3) 3.Quantospolgonosregularesestreladosdistintospodemsertraadosquandouma circunferncia est dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais? 4. Construir o pentgono regular estrelado dado a medida a=4cm do seu lado. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 58 2. RETIFICAO DA CIRCUNFERNCIA Retificarumacircunfernciaconsisteemobteroseupermetro.Ouseja,obterseu comprimento C, tal que C = 2r. Considere o seguinte problema: Obter o lado l de um quadrado cuja rea seja igual de um crculo de raio r conhecido, utilizando apenas rgua e compasso. (Problema da quadratura do crculo). Comoasreasdevemseriguaisentodevemosterl2 =r2 =r.r,logo,lmdia geomtrica entre r e r. Em1882,Lindemann (1852-1939)demonstrouqueaquadratura docrculoimpossvel utilizando apenas rgua e compasso, ou seja, que impossvel obter graficamente o valor r. Destaforma,foramdesenvolvidosvriosprocessospelosquaisseobtmvalores aproximados para a construo do segmento de medida r. 2.1 PROCESSO DE ARQUIMEDES Utiliza-se o valor aproximado para : = 22/7 = 3 1/7 = 3,1428571... = 3,141592.... Logo, o valor aproximado para o permetro de uma circunferncia de raio r : C= 2 r = d = 3 17 d = 3d + 17 d Problema: Retificar uma circunferncia de raio 2cm utilizando o processo de Arquimedes. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 59 2.2 PROCESSO DE KOCHANSKY OU DA TANGENTE DE 30O Este procedimento fornece o semi-permetro de uma circunferncia. Problema: Retificar a circunferncia pelo processo de Kochansky. 2.3 PROCESSO DE DESRETIFICAO DA CIRCUNFERNCIA Considerando que o comprimento da circunferncia dado por C=2r e utilizando o valor de 22/7 para e que 2r=d, tem-se que: C=d, assim d=C/. Problema: Desretificar uma circunferncia de comprimento 120mm. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 60 3. RETIFICAO DE ARCOS DE CIRCUNFERNCIA 3.1 PROCESSO DE ARQUIMEDES PARA ARCOS DE MEDIDA INFERIOR A 90O Problema: Retificar o arco AB dado, r = 4cm e AB = 60o. 3.2 RETIFICAO DE ARCOS ENTRE 90O E 180O

Problema: Retificar o arco AB dado, r = 4cm e AB = 135o. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 61 Exerccios: 1. Desretificar um arco de comprimento l=2,5cm de uma circunferncia de raio r=2cm. 2. Dividir o arco AB, de raio r e amplitude , em trs partes iguais. a) r=3cm e =75o b) r=3,5cm e =120o 3. Dividir o arco AB, de raio r e amplitude em partes proporcionais a 3, 1 e 2. a) r=3,5cm e =135o b) r=3cm e =120o 4. Determine graficamente a medida aproximada em graus de um arco de 2cm de comprimento em uma circunferncia de 2,5cm de raio. 5.Umachapademetaltemaformaindicadaaseguir.Fazerumdesenhonaescala1:10,e obter graficamente o permetro da chapa, utilize como unidade o cm. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 62 VI - EQUIVALNCIA E DIVISO DE REAS 1.REAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMTRICAS rea do retngulo: S = lado x altura relativa a este lado rea do tringulo: S = (lado x altura relativa a este lado) / 2 rea do paralelogramo: S = lado x altura relativa a este lado rea do losango: S = lado x altura relativa a este lado = (diagonal maior X diagonal menor) / 2 rea do trapzio: S = (base mdia x altura) = (base maior + base menor) x altura /2 rea de um polgono regular de lado ln: S = p.a, onde p o semi-permetro e a o aptema (raio da circunferncia inscrita). rea do crculo: S = r2. rea do setor circular: S = (/2)r2, em radianos. 2.EQUIVALNCIA Propriedade Fundamental da Equivalncia: Considerar um tringulo ABC. Conduzir pelo vrtice A uma reta r paralela ao lado BC. Considerar os pontosA1,A2,A3,... pertencentes reta r. Os tringulos de base BC comum e vrtices 1A , 2A , 3A ... so todos equivalentes. Defato,S(ABC)=S(1A BC)=S(2A BC)=...=( )aah / 2 ,poisasmedidasdabaseedaaltura no foram alteradas. Exerccios: 01.ConstruirumtringuloABC,equivalenteaumquadrilteroPQRSdado,sabendo-seque PA e que o segmento BC est sobre a reta QR. P +S + + + QR Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 63 02.ConstruirumtringuloABC,equivalenteaumpolgonodado,sabendo-sequeopontoA coincide com o ponto P e o segmento BC est sobre a reta RS. P + T + Q + + + R S 03.ConstruirumtringuloABC,equivalenteaumpolgonodado,sabendo-sequeopontoA pertence ao segmento PQ e o segmento BC est sobre a reta RS. P + T + Q + + + R S 04. Construir um tringulo ABC, equivalente a um polgono dado, sendo AP e que o segmento BC est sobre a reta RS. P + + T Q + + + R S Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 64 3.PROBLEMAS DE QUADRATURA Problemageral:Construirumquadradoequivalenteaumafiguradada(tringulo,retngulo, crculo, trapzio, etc) Exerccios: 01. Construir um quadrado equivalente a um tringulo ABC dado A + B+ +C 02. Obter graficamente o lado do quadrado equivalente ao trapzio ABCD dado. A + +B D ++C Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 65 03. Obter graficamente o lado de um quadrado equivalente ao octgono regular inscrito numa circunferncia de raio 2cm. 04. Construir um quadrado equivalente a um crculo de raio 3cm. 05. Determinar graficamente o lado de um quadrado equivalente a um setor circular de 75o de um crculo de raio 4,3cm. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 66 4.PROBLEMAS GERAIS DE EQUIVALNCIA 4.1 PRIMEIRO PROBLEMA GERAL Razo entre reas de figuras semelhantes: F1~F2 kddccbbaa= = = = = ...12121212 212kSS= Exerccios: 01. Os pentgonos dados so semelhantes, calcular algebricamente a razo entre suas reas. 02.Sodadosdoissetorescircularessemelhantes.Seareadomaiorotriplodareado menor, calcular algebricamente o raio do maior (x) em funo do menor (r). 03.Sodadosdoistringuloseqilteros,sendoareadeumodobrodareadooutro. Calcular algebricamente o lado do maior (x) em funo do menor (l). 04.SendoaoladodeumquadradodereaS,qualamedidaalgbricadoladodeum quadrado de rea 5S. E se a rea fosse 1/5 S? Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 67 PrimeiroProblemaGeral:ConstruirumafiguraF2semelhanteaoutrafiguradada,cujarea seja m vezes a rea da figura F1 dada. 01. Construir um tringulo eqiltero de lado 41mm. Construir um segundo tringulo eqiltero de rea igual ao dobro da rea do primeiro. Qual a medida do lado do segundo tringulo (algebricamente)? 02. Construir um setor circular semelhante ao setor dado e de rea igual a trs vezes a rea do mesmo. Dados: ngulo central =60, raio r=2cm. 03.Construirumquadradodelado30mm.Construirumsegundoquadradodereaigualao triplodareadoprimeiro.Qualamedidadoladodosegundoquadrado (algebricamente)? 04. Construir um tringulo eqiltero equivalente a um hexgono regular de lado 27mm. Qual , aproximadamente (graficamente), a medida do lado do tringulo? Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 68 4.2SEGUNDO PROBLEMA GERAL Diviso de reas: 01. dado um tringulo ABC. Calcular algebricamente, em funo de b, a que distncia x do vrtice A (sobre o lado b) deve-se traar uma paralela a BC para dividir o tringulo ABC em dois polgonos equivalentes. 02. Calcular algebricamente a distncia x=AE da reta dada r ao vrtice A (sobre o lado b), em funo de b, para que a rea do trapzio DBCE seja o dobro da rea do tringulo ADE. 03. Calcular algebricamente as distncias x=AG e y=AE, em funo de b, sabendo que as retas r e s dividem o tringulo ABC em trs polgonos equivalentes. Sendo r e s paralelas a BC. 04. dado um crculo de raio r=3cm. Determinar algebricamente o raio x de uma circunferncia concntrica ao crculo dado e que o divide em duas partes equivalentes. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 69 Segundo Problema Geral: Atravs de retas paralelas a um dos lados de um polgono, dividi-lo em partes de reas iguais ou proporcionais a nmeros inteiros dados. 01. Seja ABC um tringulo de lados a=80mm, b=70mm e c=85mm. Traar retas r e s paralelas a BC, tais que dividam o tringulo dado em 3 partes equivalentes. 02.SejaABCumtringulodeladosa=80mm,b=70mmec=85mm.Traarretasr,set paralelas a BC, tais que dividam o tringulo dado em 4 partes equivalentes. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 70 03.Decomporumcrculoderaior=3cmdado,atravsdeumacircunfernciaconcntrica,em um novo crculo e uma coroa circular de reas proporcionais a 1 e 1, respectivamente. 04.Decomporumcrculoderaior=3cmdado,atravsdeumacircunfernciaconcntrica,em um novo crculo e uma coroa circular de reas proporcionais a 2 e 3, respectivamente. 05.SejaABCDEumpentgonodado.Dividi-loem3partesequivalentes,porsegmentos paralelos aos lados BC, CD e DE. E+ +D +C A++B Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 71 06. Dividir um trapzio ABCD em 3 partes equivalentes, por meio de retas paralelas base. A + +B D ++C 07.Dividirumacoroacircularderaios1,5e4cmem3partesequivalentespormeiode circunferncias concntricas. Expresso Grfica Desenho Geomtrico Arquitetura - 2012 UFPR - Setor de Cincias Exatas - Departamento de Expresso Grfica - Profa Deise e Profa Luzia 72 4.3 TERCEIRO PROBLEMA GERAL Terceiro problema geral: Construir uma figura de forma conhecida e de rea dada. 01. Construir um pentgono regular equivalente ao tringulo ABC dado. 02.Construirumpolgonosemelhanteaopolgonodadoequesejaequivalenteaoretngulo dado.