DNAMK SSTEMLERN MODELLENMES

ve

ANALZ

OTOMATK KONTROL SSTEMLER

Mekanik Elemanlarn Matematiksel Modeli

2

1) deal Snmleme Eleman :

F(t) .

. .

b) Dnel Snmleyici :

M(t)=Bd (t)

. .

a) teleme Snmleyici :

B : Snmleme katsays (N.s/m)F : Kuvvet (N)V : Hz (m/s)

B : Snmleme katsays (N.s/m)T, M : Moment (N)w : Asal Hz (rad/s)

Basit mekanik elemanlar, teleme hareketinde; damper (snmleyici), srtnme, ktle veyaydr. Dnme hareketinde ise dnel snmleyici, eylemsizlik momenti ve yaydr.

Mekanik Elemanlarn Matematiksel Modeli

3

2) deal Ktle ve Eylemsizlik :a) teleme Ktlesi :

F(t) .

F(s) . .

b) Dner Ktle :

T(t) .

T(s) . . G=

J

.

3 a) telemeli Yay :F(t) . .

dF(t)

. . .

43 b) Burulma Yay :T(t) . .

dT(t)

. . .

Mekanik Elemanlarn Matematiksel Modeli

dev 1 : Verilen sistemin transferfonksiyonunu bulunuz?

xs

1

K

dev 2 : Ucunda J atalet momentli disk olanve bir ucu sabitlenmi ekildeki sistem,uygulanan M momenti ile bklmektedir. Diskdnme srtnme katsays B olan bir ortamdahareket ettiine gre sistemin transferfonksiyonu nedir?

s

1

5rnek 1: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz?Mekanik Elemanlarn Matematiksel Modeli

61) Transformatrler :

Enerji Depolamayan veya Harcamayan deal Sistem Elemanlar

N : Sarm says

: Dntrme oran>1 : Gerilim Drc1 : Hz Drc

lemsel Kuvvetlendiriciler

7

PID denetleyicilerin analog devrelerle gereklenmesinde zellikle kazan,integral ve trev alma ilemleri iin ilemsel kuvvetlendiriciler kullanlrlar.

Bu sebeple ilemsek kuvvetlendiricilerinde transfer fonksiyonlarbelirlenmelidir.

1) Kuvvetlendirici (Kazan) :

lemsel Kuvvetlendiriciler

8

2) Kuvvetlendiricili Karlatrma Devresi :

lemsel Kuvvetlendiriciler

9

3) Trev alc Devre:

4) ntegral alc Devre:

lemsel Kuvvetlendiriciler

10

rnek 2: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz?

Durum Deikenleri Modeli

11

Sistemin dinamiini tanmlamak iin durum deikenleri veya durum uzaymodelleri de kullanlabilir.

Durum deikenlerine bal denklemler kullanlarak verilen bir giri iin durumdeikenleri cinsinden sistemin k tanmlanabilir.

n. dereceden bir sitem dinamiinin modellenebilmesi iin n adet deiken ve nadet durum denklemi gereklidir.

Genel olarak durum denklemleri ;

X t

u t

A

B

C

D

Durum Deikenleri Modeli

12

zellikleri :

Durum denklemleri bilgisayarda saysal olarak zlebilir. Durum denklemleri ok girili ve ok kl sistemlerde dorudan kolaylkla

uygulanabilir. En uygun denetleyici tasarm yntemleri genellikle durum deikenleri modeline

dayanr.

NOT 1: Durum deikenleri teknii ounlukla ada denetim yntemleri olarak,buna karlk transfer fonksiyonu teknii de klasik yntemler olarak bilinir.

NOT 2: Tek giri ve tek kl sistemlerde durum deikeni yntemi yerine transferfonksiyonu yntemini kullanmak daha uygundur.

Transfer fonksiyonu ve Durum denklemleri aras gei :

G(s)= C. .

Sistemlerin Geici ve Kalc Durum Davranlar Analizi

13

Tanmlamalar :

1) Gecikme Zaman (tg) : kn, referans deerin yarsna ulaana kadar geensredir. 1. derece sistemler iin tg, zaman sabitine ( ) eittir.

2) Ykselme Zaman (ty), (tr) : kn, referansn %1090 , %595 veya %0100deerine ulaana kadar geen sredir. Genelde ar snml (1. derece)sistemlerde %0100, titreimli sistemlerde %1090 alnr.

3) Tepe Zaman (tt), (tp) : Cevabn referans aarak ilk tepe yapt zamandr.4) Maksimum Am (Mp) : Cevabn referans deeri en ok at miktardr. Eer nihai

deere ulaamayp kalc durum hatas oluuyorsa yzde olarak verilir.

5) Oturma Zaman (to), (ts) : Cevap erisindeki titreimlerin %5 veya %2 ye dtsredir. 1. derece sistemlerde oturma zaman ykselme zamanna eittir.

Not: Tm deerler ayn anda kk tutulamaz, bazlar birbirlerine gre tersetkilidirler. rnein Mp kltlrken ayn anda to kltlemez.

%Mp=%

. 100

Sistemlerin Geici ve Kalc Durum Davranlar Analizi

14

Tanmlamalar :

6) Kalc Durum Hatas: Kalc durum baarm genellikle basamak, rampa veya ivmegiri sinyaline gre gsterdii kalc durum hatasna gre belirlenir. Verilen bir sistemin bir tipte giri sinyalinde kk bir hata verirken dier bir girite

hata gsterebilir. Bu ak evrim transfer fonksiyonuna baldr. Kalc duruma sfr veya en kk hata ile ulamaldr. Kapal evrim kontrol sistemi oluturularak kalc durum hatas ak evrime gre

daha kk hatalar oluturulabilir.

Sistemlerin Geici ve Kalc Durum Davranlar Analizi

15

Transfer Fonksiyonlarna Eklenen Kutup ve Sfrlarn Etkisi

16

Her ne kadar bir sistemin kararllnda sistemin kutuplar 1. derecede etkili olsa datransfer fonksiyonunun sfrlar da nem tar.

Bu sebeple istenilen bir sistem cevab iin genellikle transfer fonksiyonuna bazkutup ve sfrlarn ilave edilmesi veya istenmeyen kutup ve sfrlarn silinmesigerekebilir.

1) leri besleme yoluna kutup ilavesi :

G(s)=

G(s)=

1 =1

T(s)=

T(s)=

iin inceleyelim.

Transfer Fonksiyonlarna Eklenen Kutup ve Sfrlarn Etkisi

17

leri yol transfer fonksiyonuna ilave edilen kutuplarn genellikle kapal evrimsisteminde am arttrd gzlenir.

lave edilen kutup sistem band geniliini azaltr. lave edilen kutup ykselme zamann arttrr.

dev3 : 1, =0.25 iin ve Tp=0,1,2 ve 5 deerleri iin MATLAB da inceleyiniz.

Transfer Fonksiyonlarna Eklenen Kutup ve Sfrlarn Etkisi

18

2) Kapal evrim transfer fonksiyonuna kutup ilavesi :

T(s)=

=

1 =0.5

iin inceleyelim.

T(s)=

Tp arttka, ykselme zaman ve am azalr. Am asndan baklrsa kapal evrim transfer fonksiyonuna ilave edilen kutuplar

ak evrime ilave edilene gre ters etki gsterir.

Transfer Fonksiyonlarna Eklenen Kutup ve Sfrlarn Etkisi

19

3) leri besleme yoluna sfr ilavesi :

G(s)=

T(s)=

=

Ak evrim sistemine bir sfr ilavesinin sistemin kararllna etkisi vardr. Her ne kadar karakteristik denklemin kkleri snm ve kararll belirlese de

sistem davrann etkileyen sfrlarda dikkate alnmaldr.

Transfer Fonksiyonlarna Eklenen Kutup ve Sfrlarn Etkisi

20

4) Kapal evrim transfer fonksiyonuna sfr ilavesi :

Kapal evrim transfer fonksiyonuna bir sfr ilave edilmesi ykselme zamannnazalmas ve amn artmasna sebep olur.

T(s)=

=

1 =1iin inceleyelim.

T(s)=

=

Baskn Transfer Fonksiyon Kutuplar

21

Geici durum cevabn ok etkileyen kutuplar belirlenerek bunlara baskn kutuplar denir. Yksek mertebeden olan sistemleri kontrol edebilmek iin yaklak olarak temsil eden

dk mertebenden sistemlere dntrlr.

Bilindii zere imajiner eksene yaknkutuplar yava zayflayan, uzaklar hzlazalan cevaba sahiptir.

Baskn ile baskn olmayan kutuplararasndaki D mesafesi net deildir. Sistemve beklenen cevap ile ilgili olarak deiir.

Uygulamada bir kutbun gerek ksm, birbaskn kutbun gerek ksmnn 510 kat isebaskn olmad kabul edilir.

Kutup yerletirme tekniklerinde =0.707dorusu zerinde baskn kutuplarn olduudnlr.

Baskn Transfer Fonksiyon Kutuplar

22

Baskn kutuplar : (1+j) ve (1j) Baskn kutuplarn reel ksm : 1 Dier kutup : 10 ve deeri baskn kutbun 10 kat Dolaysyla sistemin geici hali iin ;

sadeletirilmi denklem kullanlabilir.

rnek 3:

T(s)=

=

10 1 1

T(s)=

=

nemsiz kutuplarn srekli hal davrannda yok edilmesi :Baskn olmayan kutuplar geici hal davrannda yukarda yok edilmiti. Ancak kararldurum davran korunmaldr. Bu sebeple T(s) forml yeniden dzenlenmelidir.

T(s)=

=

Baskn kutup

Bu dzenleme yaplmazise sadeletirme yanlolur.