DERIVATA DI UNA FUNZIONE

1.1. DDEFINIZIONIEFINIZIONI EE CONSIDERAZIONICONSIDERAZIONI PROPEDEUTICHEPROPEDEUTICHE

2.2. DDEFINIZIONEEFINIZIONE DIDI DERIVATADERIVATA DIDI UNAUNA FUNZIONEFUNZIONE ININ UNUN PUNTOPUNTO

3.3. SS IGNIFICATOIGNIFICATO GEOMETRICOGEOMETRICO DELLADELLA DERIVATADERIVATA

4.4. DDERIVATAERIVATA DESTRADESTRA EE SINISTRASINISTRA

5.5. OOSSERVAZIONISSERVAZIONI IMPORTANTIIMPORTANTI , , DEFINIZIONIDEFINIZIONI , , TEOREMITEOREMI

6.6. DDERIVATERIVATAA DELLEDELLE FUNZIONIFUNZIONI ELEMENTARIELEMENTARI

7.7. TTEOREMIEOREMI SULLESULLE REGOLEREGOLE DIDI DERIVAZIONEDERIVAZIONE

8.8. )x('f ÈÈ UNAUNA FUNZIONEFUNZIONE – – DERIVATEDERIVATE SUCCESSIVESUCCESSIVE

9.9. TTEOREMIEOREMI DIDI DEDE LL’H’HOSPITALOSPITAL

10. SS IGNIFICATOIGNIFICATO FISICOFISICO DELLADELLA DERIVATADERIVATA

11. IL DIFFERENZIALE

12. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

1. DEFINIZIONI E CONSIDERAZIONI PROPEDEUTICHE.

Data la funzione f(x) definita e continua in un intervallo I ⊂ Df e sia x0 un punto interno ad I , definiamo:

F1

a) AH = x − x0 = h = ∆x incremento della variabile indipendente fatto rispetto ad x0 ;

b) HB = f(x) – f(x0) = f(x0+h) – f(x0) = ∆y incremento della variabile dip. fatto rispetto ad f(x0);

c) le scritture

x

y

h

)x(f)hx(f

xx

)x(f)x(f

AH

HB

∆∆=−+=

−−= 00

0

0

prendono il nome di RAPPORTO INCREMENTALE.

2

Osservazioni:

1. il R.I. è la tangente goniometrica dell’angolo α di figura (f 1)

R.I. = tgα = coeff. ang. della retta per AB;

2. al tendere di x ad x0 , tanto l’incremento della variabile indip. quantol’incremento della var. dip. tendono a zero, cioè

x→ x0 , H → A, B → A lungo il grafico della funzione, h → 0, ∆x → 0f(x) → f(x0), f(x0+h) → f(x0), ∆y → 0,

quindi il R.I. tende a diventare il coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione in A(x0 ; f(x0)).

Esempio: determina il R.I. della funzione f (x) = x2 nel punto x0 = 1, per un incremento della variabile ind. h = 1:

3 21 R.I. ottiene si 1he 1x per

xh h

)xh(h

hxhxhx

h

x)hx(.I.R

0 =+===

+=+=−++=−+= 00

200

220

20

20 2

22

La retta secante passante per A(1;1) e B(2;4) ha coeff. ang. m = 3

3

F2

2. DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO:

la funzione f(x) sia definita e continua in un intervallo I ⊂ Df e sia x0 un punto interno ad I, si definisce derivata della f(x) nel punto x0 il limite finito, se esiste, del rapporto incrementale che si ottiene facendo tendere a zero l’incremento della variabile indipendente:

Δx

Δy

xx

)f(xf(x)

)f(x)f(x ) '(x f

xxxxxhlimlimlim

hh

000

0

0

00

00

=→∆→→

=

−−=−+=

3. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

Da quanto detto nelle osservazioni, si deduce che la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto A(x0; f(x0)):

tangente in A t: y = mx + q con m = f ’(x0).

Problemi notevoli

4

321

41 =−−=

−−=

BA

BA

xx

yym

1° Problema notevole: determina l’equazione della retta tangente al grafico G della funzione f(x) nel punto A( xA ; yA ), con A∈G .

soluzione: )x-)(x(x' f y-y )x(' fm

)x-m(x y-yAAA

A

AA =⇒

==

Esempio: f (x) = x2 , A( 1 ;1 ) (A∈G)

Retta tangente in A: y – 1 = f ’(1)( x – 1 )

20000

=+=+=−++=−+=→→→→

2)(h h

2)h(h

h

12hh1

h

1h)(1 (1)' f limlimlimlim

hh

2

h

2

h

La retta tangente per A(1;1) è quindi: y = 2x - 1 . (figura F2)2° Problema notevole: determina l’equazione della retta tangente al grafico G della funzione f(x) e passante per il punto A( xA ; yA ), con A∉G .

soluzione: AAAA y)x-(x)(x' f f(x)

(x)' fm

)x-m(x y-y

f(x)y

+=⇒

==

= (*)

Le soluzioni dell’equazione (*), se esistono, sono le ascisse xi degli eventuali punti di tangenza, quindi trovo i coefficienti angolari mi = f ’(xi) e le rette tangenti ti: y - yA = mi(x-xA) .

a) Esempio: f (x) = x2 , A( 2 ;1 ) (A∉G)

Ricerca delle ascisse degli eventuali punti di tangenza:

f(x) = f ’(x)( x - xA ) + yA → x2 = 2x(x-2)+1 ; x2 - 4x + 1 = 0 ; 32x1,2 ±= ;coefficienti angolari : m1,2 = ( )32 ±2

rette tangenti : t1,2 : y – 1 = ( )32 ±2 (x - 2) .

5

b) Esempio: f (x) = x2 , A( 0 ;2 ) (A∉G)

Ricerca delle ascisse degli eventuali punti di tangenza:f(x) = f ’(x)( x - xA ) + yA → x2 = 2x(x-0)+2 ; x2 +2 = 0 ; l’equazione non ammette sol. reali, quindi non ci sono tangenti.

Osserva che f ’(x) è la derivata fatta in un generico punto x del dominio della f(x) e vale:

2x 2x)(h lim h

2x)h(hlim

h

x2xhhxlim

h

xh)(xlim (x)' f

0h0h

222

0h

22

0h=+=

+=

−++=

−+=

→→→→

(vedi anche in ‘ derivate delle funzioni elementari ’ , caso 6.3)

4. DERIVATA DESTRA E SINISTRA

I limiti da destra e da sinistra del R.I. in x0 possono esistere, essere finiti, ma diversi fra loro, in tal caso la funzione è non derivabile in x0 e si parla di derivata destra e derivata sinistra nel punto x0 . (FIG . F3 )

)(xf )(xfe )(xf e )(xf )(xf 00000'''''+−+− =∃∃⇔∃ .

Precisazioni sul concetto di derivabilità in un punto.

Consideriamo la funzione definita nei seguenti insiemi (intervalli):

1. [a;b] la f(x) è derivabile in a ( o in b) se in tale punto esiste la derivata da destra (sinistra);

2. ]a; b] la f(x) non può avere derivata in a, perché ivi non definita; può avere derivata da sinistra in b.

Esempi

1.

6

[ [

00

00

0

0

3

0

3

==−

−=

=∞+==

+→+→+ x

xx

x

x)(f

0x inderivata la calcolo ; ;D ; x)x(f

xx

'

0f

limlim

la funzione è derivabile in x0 = 0 da destra e la derivata vale 0.

2. ] [ ; D ;xln)x(f f ∞+== 0

la funzione non è derivabile in x0 = 0 perché in tale punto non è definita.

5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI, DEFINIZIONI, TEOREMI

1. La continuità della f(x) in x 0 è condizione necessaria per la derivabilità.

TEOREMA : se una f(x) è definita e derivabile in x0, allora f(x) è continua in x0.

dim: se esiste la f ’(x0) allora esiste ed è finito il limite del

R.I. in x0 , cioè 0

00

0 xx

)x(f)x(f

xx )x('f lim

−−

→=

quindi :

( )

( ) )f(xxxxx

)f(xf(x))f(xlim f(x)lim

xxxx

)f(xf(x))f(x )f(x)f(xf(x) f(x)

000

00

0

00

0000

xxxx

xx con

=−−−+=

−−−+=−+=

≠

→→00

ma se )x(f)x(fxx

lim 00

=→ significa che la f(x) è continua in x0.

7

Quindi la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità.

2. Punti particolari dove la f(x) è continua, ma non derivabile.

a. Se le derivate da sinistra e da destra esistono finite, ma sono diverse, allora il punto P(x0; f(x0)) è detto punto angoloso.

F3

esempio: f (x) = x2 – 1 ;

2(1)'f ; 2(1)'f =−= +−

( ) ( )( )2

1

11

1

11

1

2

1−=

−+−=

−+−=

−− →→− x

xxlim

x

xlimf

xx

'

( ) ( )( )2

1

11

1

11

1

2

1=

−+−=

−−=

++ →→+ x

xxlim

x

xlimf

xx

'

8

b. Se il limite del R.I. non esiste o è infinito, la funzione è non derivabile in x0 , tuttavia se tale limite è infinito, esiste la retta tangente nel punto P( x0 , f(x0) ), è verticale, di equazione x = x0 e possono verificarsi i seguenti casi a tangente verticale :

le rette di equazione x = a e x = b sono due tangenti verticali ;

per x = a ∞+=

→ ±

)x('f

axlim la f(x) ammette un flesso vert. (disc.);

per x = b ∞=

→ ±

)x('f

bxlim

la f(x) ammette un punto angoloso

detto cuspide.

Ricordo che in un punto di flesso la concavità cambia verso !

Esempi :

1. ∞+===±→

(x)' f ;x3

1(x)' f ;x)x(f lim

0x3 2

3 1

2. ∞±===±→

(x)' f sgn(x);x2

1(x)' f ;x)x(f lim

0x

1

9

3. Se la funzione ammette derivata in ogni punto di un certo intervallo I ⊂ Df , diremo che tale funzione è derivabile su tutto l’intervallo.

Sono equivalenti le scritture:

[ ] 'y )x(fD dx

df(x) )x(' f === con x ∈ I.

6. DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

(al posto di un particolare punto x0 prendiamo un generico x)

1. f (x) = k → f ’(x) = 0 ∀ x ∈ R

10

00 h

kk (x)' f

0h0hlimlim ==−=→→

la derivata di una costante è zero.

2. f (x) = x → f ’(x) = 1 ∀ x ∈ R

1hhlim

hx -h)(xlim (x)' f

0h0h==+=

→→

3. f (x) = x2 → f ’(x) = 2x ∀ x ∈ R

( )2x

h

h

hx (x)' f

0h0h0hlimlimlim =+=−++=−+=

→→→ h

)x2h(hxhx2hxx 22222

11

y = x2

y = 2x - 1

y = -4x - 4y = 2x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4. f (x) = sen x → f ’(x) = cos x ∀ x ∈ R

X f ' = m1 22 43 6-2 -4-3 -6

f ' = 2x

12

gradi. in angolodell'misura la è x se xcos180

radianti, in angolodell'misura la è x se xcosh

h sinxcos

h

h sinxcos

h

)h (cosxsin

h

xcosh sin)h (cosxsin

h

xsinxcosh sinh cosxsin

h

xsin)hxsin()x(' f

0h

0h0h0h

0h0h

lim

limlimlim

limlim

π=

=⋅+=

=⋅+−⋅=+−=

=−+=−+=

→

→→→

→→

0

11

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

+−⋅=

+−=

=+−=

++−=−

→→

→→→

011

1

1

1

111

2

2

h cos

h sin

h

h sin

)h (cosh

hsin

)h (cosh

h cos

)h (cosh

)h )(cosh (cos

h

)h (cos

----------------------------------------------------------

0h0h

0h0h0h

limlim

limlimlim

5. f (x) = cos x → f ’(x) = − sen x ∀ x ∈ R

gradi. in angolodell'misura la è x se x sin180π

radianti, in angolodell'misura la è x se x sin

hh sinx sin

h1h coscosx

hx cosh sinx sinh cosx cos

hx cosh)cos(x(x)' f

0h0h

0h0h

limlim

limlim

−=

−=

=⋅−−⋅=

=−⋅−⋅=−+=

→→

→→

6. f (x) = loga x → f ’(x) = x

1 loga e { } ++ ∈∀−∈∀ 00 1 Rx ; Ra

13

( )

ex1t

tx1t

tx1

x1

xhx

at

aat

h

x

a0h

ha

0hh

a0h

ha

0h0h

logloglog

tallora h se , th

x ponendo

log logx

x log

log h

xlog-hxlog(x)' f

limlim

h

x lim

x

hlim

x

hlim

limaalim

=+=+

=+=+=+

=

=

∞→→=

=

=+=

∞→∞→

→→→

→→

+

11

11

1111

0

11

1

In particolare f(x) = ln x → f ’(x) = x

1

7. f (x) = a x → f ’(x) = a x loge a { } Rx ; Ra ∈∀−+∈∀ 10

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

==+

=+

=

∞→⇒→+=⇒=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

==

===

∞→∞→→

→

+

→

alogelog

tlog

1

tlogt

1 h

1-a

t h se ; t

logh t

11-a ponendo

e (x)' f e (x) f :e particolar in

alogah

1-aah

a-a(x)' f

e

at

a

ta

t

h

0h

ah

xx

ex

hx

0h

xhx

0h

limlimlim

limlim

1

111

1

011

7. TEOREMI SULLE REGOLE DI DERIVAZIONE

a) Teorema: derivata della somma di due o più funzioni

Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I ⊂ (Df ∩ Dg),la derivata della somma delle funzioni è uguale alla somma delle singole derivate:

14

( ) ( )[ ] ( ) ( )x'g x'f xgxfD +=+

[ ]

I x con (x)g'(x)' f h

g(x)-h)g(x

hf(x)-h)f(x

hg(x)-h)g(x

hf(x)-h)f(x

hg(x)-f(x) -h)g(xh)f(x g(x)f(x)D

0h

0h0h

0h

lim

limlim

lim

∈+=++

++=+++=

=+++=+

→

→→

→

Esempi: [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) 22152523

12

21

222

22

ln xxD .

xsinelogx

xcos xlogxcosxlogD .

xcosx xsin xxsinxD .

x''x'x

''

''

+=−+=−+

+=−=−

+=+=+

b) Teorema: derivata del prodotto di due (o più) funzioni

Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I ⊂ (Df ∩ Dg),la derivata del prodotto delle funzioni è uguale alla somma del prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata con il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda:

D[ f(x) • g(x) ] = f ’(x)• g(x) + f(x)• g’(x)

15

[ ]

I x con (x)'g f(x)g(x)(x)' f

hg(x))h)h)(g(xf(xf(x))-h)g(x)(f(x

h

g(x)h)f(xg(x)f(x)-h)g(xh)f(x

hg(x)f(x) -h)g(xh)f(x g(x)f(x)D

0h

0h

0h

lim

lim

lim

∈⋅+⋅=

=−++++=

=⋅+±⋅+⋅+=

=⋅+⋅+=⋅

→

→

→

Nel caso di più funzioni la formula si generalizza facilmente; per esempio con tre funzioni si ha:

D[f⋅g⋅h] = f ’gh + fg’h + fgh’.

Esempi: 1) D[x⋅ ln(x)] = (x)’ ln(x)+ x (lnx)’ = ln(x) +1

2) D[x⋅sin(x)⋅ log2(x)] = (x)’ sin(x) log2(x) + x [sin(x)]’ log2(x) + x sin(x) [log2(x)]’ = = sin(x) log2(x) + x cos(x) log2(x) + sin(x) log2e .

c) Teorema: derivata della funzione F(x) = [f(x)]n ( in particolare F(x) = xn )

Se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo I ⊂ Df , la derivata della potenza ennesima della funzione è

D[(f (x))n] = n[f(x)]n-1f ’(x) con n∈N ( in particolare D[xn] = nxn-1 )

Si dimostra come caso particolare del b), infatti:

D[f n] = D[f⋅f⋅ … ⋅f⋅f] = f ’[f] n-1 + … + f ’[f] n-1 = n [f] n-1f ’

Esempi: 1. D[x5] = 5x4 ; 2. D[sin3(x)] = 3sin2(x)cos(x) .

16

d) Teorema: derivata del quoziente

Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I ⊂ (Df ∩ Dg),con g(x) ≠ 0 ∀x ∈ I, la derivata del quoziente delle funzioni è uguale al rapporto fra la differenza del prodotto della derivata del numeratore per il denominatore non derivato con il prodotto della derivata del den. per il num. non derivato ed il quadrato del den.

)x(g

)x('g)x(f)x(g)x(' f

)x(g

)x(f D

2

−=

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Ix con

xg

x'gxfxgx'f

h

xghxg

xghxg

xf

h

xfhxf

xghxg

xglim

h

xghxg

xgxfhxgxfxghxf

lim h

xg

xf

hxg

hxf

lim )x(g

)x(fD

h

hh

∈

−=

−+⋅+

−−+⋅+

=

=+±+−+

=−

++

=

→

→→

20

00

Esempi:

) [ ] [ ] [ ]

) [ ] [ ] [ ] ( )

) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )2

2

2

32

2

'3'33

222

22

2

''

222

22

2

''

x4

x62x

x4

xx43x

x4

x4xx4 x

x4

xD 3

xcotg1 - xsin

1 -

xsin

xcos-xsin-

xsin

sinxxcossinx cosx

sinx

cosxD xcotg D 2

xtg1 xcos

1

xcos

xsinxcos

xcos

cosxsinxcosx sinx

cosx

sinxD xtg D 1

−

−=−

−−−=−

−−−=

−

+===−=

=

+==+=−=

=

1

e) Teorema: derivata del reciproco di una funzione

Se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo I ⊂ Df e f(x) ≠ 0 ∀x∈I, allora

)x(f

)x(' f

)x(f D

2

1 −=

Si dimostra come caso particolare del d).

Esempio: xcos

xsin

xcosD

2

1 =

17

f) Teorema: derivata della funzione inversa

Se la funzione f(x) è derivabile ed invertibile in un intervallo I ⊂ Df , con f ’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I, detta x = f -1(y) la funzione inversa, allora

[ ])x(f

)y(f D'

11 =−

Interpretazione grafica:

tg(a)

1 cotg(a) a

2

πtgtg(b)

a 2

πb

==

−=

→−= [ ])x(f )a(tg essendo

)x(f

)a(tg )b(tg )y(f D

quindi

'

'

0

00

1 11

=

===−

Esempi:

) [ ][ ]

{ }

{ }

≤≤−∈=≤≤−∈==

≤≤−∈=

≤≤−∈==

=−

=−

===

2

πx

2

π:RxC ;1y1:RyDy arcsin(y)f

1y1:RyC ;2

πx

2

π:RxD xsinf(x)

x sinyche ricordando y1

1

xsin1

1

x cos

1

x sin

1 y arcsinD 1

1-1- ff1-

ff

22'

18

) [ ][ ]

) [ ][ ]

) [ ][ ]

) [ ] [ ]( ) { } { }

( ) { } { }0x:RxC ;0y:RyD yyf

0y:RyC ;0x:RxD xxf

yxe xyche ricordando y2

1

2x

1

x

1yD 5

...x cotg yche ricordando y

1 -

xtgco1

1 -

xcotg

1 yarccotg D

...x tg yche ricordando y

1

xtg1

1

xtg

1 yarctg D

...x cosyche ricordando y1

1 -

xcos1

1 -

x sin-

1

x cos

1 y arccosD 2

11 ff1

ff2

2'2

2'

2'

22'

≥∈=≥∈==

≥∈=≥∈==

=====

=+

=+

==

=+

=+

==

=−

=−

===

−−−

2

2

14

13

g) Teorema: derivata della funzione composta

Se la funzione t = g(x) è derivabile in un intervallo I ⊂ Dg e se la funzione y = f(t) è derivabile in J ⊂ Df ⊂ g(I), allora anche la funzione composta f[g(x)] è derivabile e risulta:

D[f(g(x))] = f ’(t)⋅g’(x) con t = g(x)

Esempi: 1) D[sin(x2)] = cos(x2) (x2)′ = 2x cos(x2)

t = x2 , D[sin(x2)] = [sint]’⋅[x2]’ = cost⋅(2x) = 2xcos(x2)

) ( )[ ] ( )

( )[ ] [ ] [ ] cotgx xsin

xcos xcos

t xsin tln xsinlnD ,sinx t

cotgx xsin

xcos xsin

xsin xsinlnD

''

'

===⋅==

===

1

12

Il teorema si estende anche al caso in cui le funzioni intermedie siano più d’una; se, ad es. è:

y = f(t); t = g(z); z = h(x), risulta y = f[g(h(x))] e si ha : D[f(g(h(x)))] = f ’(t)⋅g’(z)⋅h’(x)

19

) [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( )

) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) 2323

3323

33

3

2

22

2

3515

1

5515

15

5

152

422

122

122222

22

222

xxtgxtg

xxtgxtg

xtgxtg

xtglnD

x

ln42 2x

x

1ln22

2xz

1ln22 x lnz 2 2D ,lnz t,xz

x

ln x

xln

xx

ln xlnln D 1 :Esempi

''

lnx

2lnx

t'2''tlnx2

xlnxln

'xln'xlnxln

22

2

⋅++⋅+

=

=+⋅++⋅+

=+⋅+

=+

⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅=

==

⋅=⋅⋅⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=

h) Derivata logaritmica – applicazione del teorema 7.g

F(x) = [f(x)]g(x) { }0f(x):RxDDcon gF >∈∩=

( )[ ] ( )

( )[ ] [ ] [ ] ( )

+===

===

f

fglnfg'xF ' glnfe eD xFD

eexfF(x)

'glnfg(x)lnf(x)

g(x)lnf(x)ln(f(x)xg g(x)

Casi particolari:

( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

[ ] ( )

[ ] Rα 0,con x 1α xα x

1αα x αxD

0con x 1lnxx x xxD

0xfcon xf2

(x)'f xfD

2

1α se inoltre, , 7.c derivata la ritrova si N, ncon n, se

0xfcon (x)'fxf xfD Rcon , αxg 1-

∈>−==•

>+=•

>=

→=∈=α

>α=α→∈α=•

α

[ ]

.n xxD

:7.c derivata la ritrova si N,ncon n,α se eparticolarin

0con x x2

1 x

2

1xD

:7.f.5 derivata la ritrova si ,2

1α se eparticolarin

1nn

2

1 -

2

1

−=

∈=

>==

=

20

8. )x('f È UNA FUNZIONE – DERIVATE SUCCESSIVE

La derivata in un punto è un limite finito e, per il teorema dell’unicità del limite, se esiste, è unica, quindi se in un intervallo ]a; b[ la f(x) ammette derivata in ogni punto, allora esiste una corrispondenza univoca fra l’insieme ]a; b[ (dominio) e l’insieme immagine F’ (codom.) formato dalle )x('f , cioè

ad ogni elemento di ]a; b[ corrisponde uno ed un solo elemento di F’.

E’ quindi definita una funzione, detta derivata di f(x), che ha per dominio l’insieme in cui f(x) è derivabile.

Derivate successive: la derivata della funzione derivata (prima) f ’(x), se esiste, prende il nome di derivata seconda f ’’ (x), e così via …

Sono equivalenti le scritture:

[ ] ''y)x('fD dx

f(x)d )x(''f

2

2

=== con x ∈ ]a; b[.

Esempi:

21

1) f(x) = x2; f ’(x) = 2x; f ’’(x) = 2 2) f(x) = sen(x2) ; f ’(x) = 2xcos(x2) ; f ’’(x) = 2cos(x2) - 4x2sen(x2) ; f ’’’(x) = - 4xsen(x2) – 8xsen(x2) - 8x3cos(x2) = - 12xsen(x2) - 8x3cos(x2) ; …

9. TEOREMI DI DE L’HÔPITAL (si dimostrano mediante il teorema di Cauchy)

I teoremi di De L’Hôpital consentono di esprimere le seguenti regole

per il calcolo di limiti di funzioni del tipo ( ) ( )( )xg

xfxF = , che presentino le

forme indeterminate 0/0 e ∞ /∞ :

a) x → x0

a.1) Forma indeterminata 0/0 : se le funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0 e derivabili in un suo intorno I, escluso al più il punto x0 , con g(x0) = f(x0) = 0 e g’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I - x0 , e se esiste (finito o infinito) il (*)

a.2) Forma indeterminata ∞ /∞ :se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intorno I di x0 ,

escluso al più il punto x0 , con ( ) ( ) ∞==→→

xg xf0xx0xx

limlim e con g’(x) ≠ 0

∀ x ∈ I - x0 , e se esiste (finito o infinito) il (*)

(*)( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) xg

xf

xg

xf

:risulta e xg

xf il anche esiste allora

xg

xf

00

00

xxxx

xxxx

limlim

limlim

'

'

'

'

→→

→→

=

b) x → ∞

Forme indeterminate 0/0 e ∞ /∞ :

22

se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intervallo illimitato

I, con ( ) ( )

∞==

∞→∞→

0 xg xf

xxlimlim e con g’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I , e se esiste (finito o

infinito) il

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) xg

xf

xg

xf

:risulta e xg

xf il anche esiste allora

xg

xf

xx

xx

limlim

limlim

0'

0'

'

'

∞→∞→

∞→∞→

=

Esempi:

( )( )

( )( )

1111

1

3

001

2

110

01

2

02

00

000

===→∞∞==

===→∞∞==

===→==

+++ →→→

+∞→+∞→+∞→

→→→

L quindi xcoslim

xcostgx

xcosxsinlim: H.L'De applico

tgxln

xsinlnlimL .

L quindi x

limx

xlnlim : H.L'De di teor. il applico

x

xlnlimL .

L quindi xcoslimx

xsinlim : H.L'De di teor. il applico

x

xsinlimL .

xxx

x'

'

xx

x'

'

xx

Osservazioni :

a) I teoremi di De L’Hôpital sono condizioni sufficienti per l’esistenza del limite dei rapporti di funzioni.

Esempio:

0 0 1 x

1sinx lim

sinx

xlim

sinxx

1sinx

lim ilesiste tuttavia

x

1coslim ilesiste nonperchè esiste non

xcosx

cosx

sinxlim il ;

xsinx

sinxlim

0x0x

2

0x

0xxx

=⋅=

⋅=

−=

→→→

→→→

112

0

01

0

2

0

23

b) I teoremi si possono applicare ripetutamente, nel caso che il rapporto delle derivate dia luogo ancora ad una forma indeterminata.

Esempio:

6 2

48x60xlim ;

0

0

22x

116x15xlim

:H.L'De di teor. ilvolte due mente successiva applicando ; 0

0

12xx

x4x3xlim

23

1x

34

1x

2

45

1x

=−=−

+−

=+−+−

→→

→

c) Vi sono accorgimenti che permettono di trattare mediante i teoremi di De L’H. le altre forme indeterminate: +∞-∞, 0⋅∞, 1∞, ∞0, 00.

Esempi:

2

1

2

111

1

0

01

1

11

0

01

1

111

2

2

11

11

==+

→=−+

−

→=−−−→∞−+∞=

−−=

→→

→→

L quindi

xx

xlim: H.L'De di teor. il applico

xxln

xlim

: H.L'De di teor. il applico xlnxlnx

xlnxlim

xxlnlimL .

xx

xx

( )

( )

10

03

001

1

102

0

0

0

0

02

0

00

===

=→==

==−=−

→∞+∞−=→∞−⋅==

+

+

++

++

→

→

→→

→→

eL quindi ) 2esempio ( xlnxlim

:esponente'dell itelim il cerco exxlimL .

L quindi xlim

x

xlim

: H.L'De di teor. il applico

x

xlnlimxlnxlimL .

x

xlnxxx

x

xx

xx

24

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 1021

2

12

1

12

111

1

1

0

01

101

1114

0

02

0

02

0

2

02

0

00

1

0

===−=−

→∞+∞−==

−

⋅−

→∞+∞−=

+

−=−

+

→=+→⋅−∞=+

=+→=+=

++

++

++

++

+

→→

→→

→→

→→

+∞−

→

eL quindi xlim

x

xlim

: H.L'De di teor. il applico

x

xlnlim

x

xxln

lim

: H.L'De di teor. il applico

x

xlnlim

xlnx

xlim

: H.L'De di teor. il applico

xln

xlnlim xlnxlnlim

:esponente'dell itelim il cerco exxlimL .

xx

xx

xx

xx

xlnxlnxlnxln

x

10. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA

Molte grandezze fisiche, per come sono state definite, sono funzioni derivate di altre funzioni, come per esempio:

1. La velocità v = v(t) è la derivata della legge oraria s = s(t), infatti

per def. t

sv

∆∆= (vel. media) e ( ) (t)'s

ΔtΔslim tv

0Δt==

→ è la velocità

istantanea al tempo t.

2. L’accelerazione a = a(t) è la derivata della funzione v = v(t), infatti

per def. ΔtΔva = (acc. media) e ( ) ( ) ( )t''s t'v

ΔtΔvlim ta

0Δt===

→ è

l’acceleraz. istantanea al tempo t.

3. L’intensità della corrente elettrica i = i(t) è la derivata della funzione q =

q(t), infatti per def. ΔtΔqi = (int.di corr. media) e

( ) (t)'q ΔtΔqlim ti

0Δt==

→ è l’int.di corr. istantanea al tempo t.

25

4. Un campo scalare ( )z;y;xϕ origina un campo vettoriale ( )z;y;xu→

facendone la derivata rispetto allo spazio:( ) ( )

→→→→

∂∂+

∂∂+

∂∂== k

z j

y i

x grad con gradu ϕϕϕϕϕ ;

in particolare per il campo elettrico si ha: ( ) Vgrad E −=

→indicando con ( ) zy;x;V V = il potenziale elettrostatico;

e in una dimensione (x): ( ) ( )→→→

=−= ix'V - idxdV xE

5. La forza elettromotrice è, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz,

( )t'Φ - dt

dΦ - f.e.m. BB == indicando con ΦB il flusso del vettore induzione

magnetica →B attraverso il circuito concatenato.

Esempio:

Un corpo si muove in linea retta secondo la legge oraria : s(t) = t3 - 9t2 + 15t , con s misurato in metri e t in secondi.Determinare la velocità, l’accelerazione al tempo t = 6 e gli intervalli di tempo durante i quali il corpo si sposta in avanti, e quelli durante i quali si sposta indietro. v(t) = s’(t); v(t) = 3t2 - 18t + 15; quindi v(6) = 15 m/s ; a(t) = v’(t) = s’’(t) ; a(t) = 6t – 18 ; quindi a(6) = 18 m/s2 ;v(t) > 0 ; 3t2 - 18t + 15 > 0 per t < 1 ∪ t >5 → il corpo avanza ;v(t) < 0 ; per 1 < t < 5 → il corpo indietreggia.

11. Il Differenziale

La funzione f(x) sia derivabile (⇒ continua ⇒ definita) in un intervallo I ⊂ Df e x0 , x0 + ∆x siano due punti interni ad I; si definisce differenziale dfx0 della f(x) nel punto x0 la funzione lineare dfx0 : ∆x → f ’(x0)⋅∆ x , che associa all’incremento ∆x della variabile indipendente il prodotto della derivata della funzione nel punto x0 ( f ’(x0) ) per l’incremento stesso ( ∆x ):

dfx0 = f ’(x0)⋅∆x

Significato geometrico:

26

( )

( ) Δxxf df

quindi Δx

df tg xf

dfAB

0'

x

x0

'

x

0

0

0

⋅=

==

=

α

In particolare, se la funzione è f(x) = x , il differenziale in ogni punto coincide con l’incremento della variabile indipendente:

dx = (x)’∆x → dx = ∆x

pertanto il differenziale di una funzione si scrive più in generale:

df = f ’(x)⋅dx

Da qui la scrittura vista al 5.3, detta notazione di Leibniz : ( )dx

df xf ' = .

Esempi:

27

data la funzione f(x) = x2 , il suo differenziale nel punto x0 = - 2 è: df -2 = 2(-2)dx ; df -2 = - 4 dx

data la funzione f(x) = log10x , il suo differenziale nel punto x0 = 3 è: df 3 = (1/3) log10( e) dx .

28