Derivada :

Def: sea una funcin continua en definiremos la derivada de como :

Que se puede denotar :

Donde cabe destacar la diferencia existente entre :

donde :

Es la derivada de y con respecto a x

Es la derivada de x con respecto a y

La interpretacin geomtrica de la derivada es :

"La derivada de una funcin es la pendiente de la recta tangente a tal funcin "

Ejemplos de derivada ocupando la definicin :

Derivar usando la definicin :

nos queda :

pero que ocurre cuando tenemos que derivar :

Es un poco mas laborioso ocupar esa definicin para funciones mas extensas , por eso existen las formulas de derivacin , para ahorrarnos trabajo , son lassiguientes :

Primero definiremos :

sean u y v funciones de una misma variable .n pertenecientes a los naturales c un numero real

1) Derivadas algebraicas ( suma , resta , multiplicacin . etc...)

2) derivadas de razones trigonometricas :

3) derivadas exponenciales y logartmicas :

4) derivadas de las funciones arcos :

Esas son todas las formulas de derivacin , la mejor forma de aprendrselas es con muchos ejercicios , que fcilmente los pueden encontrar en los propuestos de fmat .

Ejemplos de derivadas :

1) Derive :

a)

entonces la derivada quedara ocupando la formula:

b)

ocupando la formula del producto y de cosecante :

con u y v funciones de mismavariable

nos queda:

c)

d)

e) demostrar que satisface la ecuacin:

entonces derivamos la funcin :

y la reemplazamos en la ecuacin que nos indican:

luego tambin reemplazamos la funcin sin derivar y resolvemos:

Quedando demostrada la igualdad .

1.1 Derivada implicita :

Nosotros cuando estamos en presencia de funciones explcitamente escritas , sea quelas variables se pueden despejar una en funcin de la otra , podemos derivartranquilamente con las formulas de derivacin pertinentes sin problemas , un ejemplode funcin explicita es el siguiente :

Pero cuando estamos en presencia de funciones implcitas , sea las variables no sepueden despejar una en funcin de otra , como es el caso por ejemplo :

Tenemos que derivar usando la derivacin implcita , trata de lo siguiente , cuandoderivamos implcitamente , dependiendo a que variable estemos buscando la derivadatendremos que a esa variable al derivarla multiplicarla por la derivada de esa variablecon exponente 1 , sea es como multiplicar por un 1 y as no alterar el resultado .

Ejemplo de derivada implcita :

Derivemos la siguiente funcin con respecto a x , sea :

como nos damos cuenta cada vez que derivamos la variable y , le multiplicamos el uno caracterstico que explique , luego arreglamos algebraicamente para despejar ese y' :

1.2 Derivacin logartmica :

Se aplica cuando el exponente de una funcin es otra funcin :

se hace lo siguiente :

ejemplo :

2.0 Aplicaciones de la derivada :

1) Como definimos al principio , la derivada es la pendiente de la recta tangente de lafuncin en cuestin , entonces vamos a ver las ecuaciones de las rectas tangente ynormal :

Recta tangente : la recta tangente a una funcin f(x) en un punto es una recta Lque toca en ese punto a la funcin , llamndose punto de tangencia :

La ecuacin es la siguiente :

donde claramente vemos que la pendiente es la derivada de la funcin .

Recta normal : es la recta perpendicular a la recta tangente , cuya ecuacin es lasiguiente :

- Cabe recordar dos puntos :

a) rectas paralelas : son aquellas rectas que sus pendientes son iguales .b) rectas perpendiculares : son aquellas rectas cuyas pendientes al ser multiplicadasentre si dan como resultado -1 .

2.1 Aplicacin en limites : Se ocupa cuando el limite no se puede calcular , obteniendouna forma

indeterminada de la forma :

entonces se define lo siguiente :

sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables y el siguiente limite :

obteniendo una forma indeterminada , entonces se puede calcular de la siguienteforma :

Esta regla es la famosa regla de L'hopital derivando cada funcin por separado , Estaregla es la famosa regla de L'hopital .

Ejemplo :

2.2 Razn de cambio: La derivada de una funcin f(x) representa la variacin de lavariable dependiente y , y la variacin de la variable indetependiente x , es decir , representa una razn decambio .

En general en los problemas de razn de cambio se usa la derivacin implcita para unafuncin y=f(x)

ejemplo : Las tres variables se relacionan entre si en la siguiente formula :

donde V= volumen , r = radio , h = altura

si la derivamos implcitamente con respecto al tiempo nos queda :

donde :

es la variacin del volumen con respecto al tiempo

es la variacin del radio con respecto al tiempo

es la variacion de la altura con respecto al tiempo

Que quiere decir esto , por ejemplo si tenemos lo siguiente :

Quiere decir que aumenta su volumen 10 centmetros cbicos por cada segundo .

Ejemplo de razn de cambio :

Uno de los extremos de una escalera de 15 metros de longitud se apoya a una paredvertical , levantada en un piso horizontal , suponiendo que se empuja el pie de la escalera alejndolo de lapared a razn de0,9 m/min. .

con que velocidad baja la extremidad superior de la escalera considerando que su piedista 4 metros de la pared ?

primero le asignaremos letras a cada variante :

Escalera : zpared : xpiso : y

sabemos lo siguiente :

z=15 metros dx/dt= 0,9 m/minx= 4 metros nos piden dy/dt

sabemos que como la escalera forma un triangulo rectngulo con la pared y el suelopodemos relacionarlos as :

donde si derivamos con respecto al tiempo nos queda ;

donde obtenemos:

y tambin sabemos que :

reemplazamos en la relacin anterior :;

por lo tanto , vemos que como es negativo lgicamente la escalera va bajando y baja

0,25 metros por cada minuto .

3.0 Anlisis de curvas :

a) Teorema de rolle :

sea y=f(x) una funcin real tal que :

f es continua en

f es derivable en f(a)=f(b)=0

El teorema de rolle tambin puede cumplirse si la tercera condicin se transforma en :

ejemplo :

verifique que se cumple el teorema de rolle en la funcin :

en : (-3,2)

primero vemos en -3 :

f(-3)=9+-3+4=10

luego en 2 :

f(2)=4+2+4=10

as vemos que : f(-3)=f(2) entonces si se cumple el teorema .

b) Teorema de La Grange ( o teorema del valor medio ) :

Corresponde a una generalizacin del teorema de rolle , sea y=f(x)

a) f es continua en b) es derivable en (a,b)c) c pertenece a (a,b)

diremos que :

OBS : geomtricamente el teorema indica la existencia de una recta tangente a lagrafica de la funcin y=f(x)

ejemplo :

verifique que se cumple el teorema de la grange para la funcin en

luego :

con lo que se cumple porque pertenecen al intervalo .

c) Valores extremos : Los valores extremos los obtenemos derivando la funcin y la derivada igualndola a cero . Estos valores son llamados puntos crticos

Teorema : si f es continua en entonces :

a.1)si f(x) es creciente en el intervalo (a.b)

a.2) si es decreciente en el intervalo (a,b)

Nosotros sabemos que las funciones pueden ser crecientes o decrecientes , entoncescomo podemos saber en que intervalo es creciente o decreciente , ya que lasfunciones son infinitas , porque en su condicin nos dice que es derivable y continuaen su dominio ; por tanto para poder analizar eso , debemos primero obtener lospuntos crticos , cuando ya los tenemos analizamos buscando cualquier numero que pertenezca en el intervalo correspondiente , digamos que una funcin y=f(x) tiene un punto critico en b , entonces nosotros por decir primero analizamos en el

intervalo , elegimos un numero que pertenezca a ese intervalo y loreemplazamos por la variable en la derivada , si ese valor nos da negativo , decimosque la funcin en ese intervalo es decreciente , y si nos da positivo diremos que esafuncin es creciente en ese intervalo . Cabe destacar si tenemos intervalos juntosdonde un signo es negativo y el otro positivo o viceversa , diremos que :

a) si es de la forma - + , entonces el punto critico b corresponde que existe un mnimoen f(b)b) si es de la forma + - , entonces el punto critico b corresponde que existe un mximoen f(b)

ejemplo : encuentre los puntos crticos de la funcin :

primero derivamos una vez e igualamos a cero la derivada :

donde vemos que es -1 el punto critico , luego hacemos la tabla :

entonces decimos que :

Existe un mnimo relativo en f(-1)

y es decreciente en el intervalo :

es creciente en el intervalo :

Criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos :

sea c un punto critico de la funcin t=f(x) , talque la derivada sea igual a cero ysupongamos que f(x) existe para todo x pertenecientes al dominio de f(x) , entonces si f existe , podemosdecir :

a) f(x) tiene un mximo en x=c

b) f(x) tiene un mnimo en x=c

d) Concavidad y puntos de inflexin :

teorema : sea f(x) derivable en algn intervalo , que contiene a c pertenecienrte a losreales , y f(x) existe en la derivada , entonces :

a.1) si f(x) es concava

a.2) si f(x) es convexa

Los puntos de inflexion son puntos en los que la funcion cambia de concava a convexay los encontramos derivando dos veces la funcion e igualando a cero , es comoparecido a los puntos criticos .

ejemplo :

determine los puntos de inflexion de la funcion :

derivamos dos veces :

igualamos a cero :

y la concavidad es :

es convexa

y : es concava

haciendo la tabla se obtienen esos valores :

porque x-2 que es ( 6x-12 ) desde el menos infinito al 2 es convexa , porque esnegativa , y para el 2 hasta el infinito es concava porque es positiva .

e) Asintotas : las asintotas son rectas a las cuales la funcion se va aproximando peronunca toca .

Se clasifican en :

1) Asintota vertical : ( paralela al eje y ) sea f(x) funcin , entonces si existe x=a , talque :

se dice que la recta x=a es una asintota vertical de f(x)

2) Asintota Horizontal : ( paralela al eje x ) sea f(x) funcin , entonces si el limite :

existe , entonces la recta y=L es una asintota horizontal

3) asintota oblicua : ( inclinada ) la recta y=mx+n es una asintota oblicua si existe :

y tambin :