derivadas parciales

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES

MATEMÁTICA APLICADA PARA INGENIERÍA III CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected]

Web: http://jacobiperu.com/ 999685938

Página 1 de 14

TEMA: Derivadas parciales SEMANA: 10

TURNO: MAÑANA PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I

Derivadas parciales

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), las primeras derivadas parciales de 𝒇 con respecto a 𝒙 𝑦 𝒚 son las

funciones 𝒇𝒙 𝑦 𝒇𝒚 definidas por

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑥 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)

∆𝑥

𝜕

𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim

∆𝑦→0

𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)

∆𝑦

Para hallar𝒇𝒙 se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para

calcular 𝒇𝒚, se considera x constante y se deriva con respecto a y.

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), las primeras derivadas parciales de 𝒇 con respecto a 𝒙, 𝒚 𝑦 𝒛 son las

funciones 𝒇𝒙, 𝒇 𝒚𝑦 𝒇𝒛 definidas por

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥 =

𝜕𝑤

𝜕𝑥= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)

∆𝑥

mailto:[email protected]

http://jacobiperu.com/






Página 2 de 14

𝜕

𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑦 =

𝜕𝑤

𝜕𝑦= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim

∆𝑦→0

𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)

∆𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑧 =

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim

∆𝑧→0

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 + ∆) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)

∆𝑧

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes

las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos

variables, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente, los valores 𝜕𝑓

𝜕𝑥 y

𝜕𝑓

𝜕𝑦 en un punto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) denotan las pendientes de la superficie en las

direcciones de 𝑥 𝑦 𝑦, respectivamente. Ver las siguientes figuras:

Plano 𝑦 = 𝑦0 = 𝑏

𝑑𝑓

𝑑𝑥= (𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥)

𝑑𝑓

𝑑𝑦= (𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦)

Plano 𝑥 = 𝑥0 = 𝑎








Página 3 de 14

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.

Derivadas parciales de una función de varias variables.

Por ejemplo:

1) Derivar dos veces con respecto a x:

𝒇𝒙𝒙 =𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝟐 =𝝏

𝝏𝒙(

𝝏𝒇

𝝏𝒙)

2) Derivar dos veces con respecto a y:

𝒇𝒚𝒚 =𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝟐 =𝝏

𝝏𝒚(

𝝏𝒇

𝝏𝒚)

3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

𝒇𝒙𝒚 =𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒚𝝏𝒙=

𝝏

𝝏𝒚(

𝝏𝒇

𝝏𝒙)

4) Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

𝒇𝒚𝒙 =𝝏𝟐𝒇

𝝏𝒙𝝏𝒚=

𝝏

𝝏𝒙(

𝝏𝒇

𝝏𝒚)

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.








Página 4 de 14

IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

Si f es una función de 𝒙 𝑦 𝒚 y tal que 𝒇𝒙𝒚 y 𝒇𝒚𝒙 son continuas, entonces, para todo (𝑥, 𝑦)

𝒇𝒙𝒚(𝒙, 𝒚) = 𝒇𝒚𝒙(𝒙, 𝒚)

Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) si:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 – 2𝑥𝑦 + 𝑦2

Solución

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

3(𝑥+ ∆𝑥)2−2(𝑥+ ∆𝑥)𝑦 + 𝑦2− (3𝑥2− 2𝑥𝑦 + 𝑦2)

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

3(𝑥2+ 2𝑥.∆𝑥 + (∆𝑥)2) −2𝑥𝑦−2.∆𝑥.𝑦+𝑦2−3𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2

∆𝑥=

= lim∆𝑥→0

6𝑥(∆𝑥) + 3(∆𝑥)2 – 2(∆𝑥)𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑥[6𝑥 + 3(∆𝑥) − 2𝑦]

∆𝑥= 6𝑥 + 3(0) − 2𝑦 =

= 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑦→0

𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑦=

lim∆𝑦→0

3𝑥2 − 2𝑥(𝑦 + ∆𝑦) + (𝑦 + ∆y)2 − (3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2)

∆𝑦

= lim∆𝑦→0

3𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 2(∆𝑦)𝑥 + 𝑦2 + 2𝑦(∆𝑦) + (∆𝑦)2 − 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2

∆𝑦

= lim∆𝑦→0

∆𝑦[−2𝑥 + 2𝑦 + ∆𝑦]

∆𝑦

= −2𝑥 + 2𝑦 + 0 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝒚

Ejemplo 2. Hallar las derivadas parciales 𝒇𝒙 𝑦 𝒇𝒚 de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 +

2𝑥3𝑦.

Solución

∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3 − 2𝑥𝑦 2 + 6𝑥2𝑦

∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑥2𝑦 + 2𝑥3








Página 5 de 14

Ejemplo 3. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥2𝑦, hallar 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦, y evaluar cada una en el punto (1, 𝑙𝑛2).

Solución

∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥2𝑦

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑒𝑥2𝑦. 2𝑥𝑦 + 𝑒𝑥2𝑦 = 𝑒𝑥2𝑦[2𝑥𝑦 + 1]

𝑓𝑥(1, 𝑙𝑛2) = 𝑒(1)2𝑙𝑛2[2(1)𝑙𝑛2 + 1] = 2[2𝑙𝑛2 + 1] = 4𝑙𝑛2 + 2

∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑥2𝑦

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑒𝑥2𝑦. 𝑥2 = 𝑥3. 𝑒𝑥2𝑦

𝑓𝑦(1, 𝑙𝑛2) = (1)3. 𝑒(1)2𝑙𝑛2 = 𝑒𝑙𝑛2 = 2

Ejemplo 4. Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por

𝑓(𝑥, 𝑦) = − 𝑥2

2− 𝑦2 +

25

8, en el punto (

1

2, 1).

Solución

∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = − 𝑥2

2− 𝑦2 +

25

8

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = −𝑥

Pendiente en la dirección de x es:

𝑓𝑥(1

2, 1) = −

1

2

∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = − 𝑥2

2− 𝑦2 +

25

8

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦

Pendiente en la dirección de y es:

𝑓𝑦(1

2, 1) = −2(1) = −2

Ejemplo 5. Hallar la derivada parcial de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2 + 𝑥𝑧 con respecto a z.

Solución

𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑧 + 𝑥








Página 6 de 14

Ejemplo 6. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2 + 2𝑧), hallar 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Solución

𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. cos(𝑥𝑦 2 + 2𝑧) [2] + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2 + 2𝑧)

= 2𝑧. 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2 + 2𝑧) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2 + 2𝑧)

Ejemplo 7. Dada 𝑓𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑥+𝑦+𝑧)

𝑤3 , hallar 𝑓𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)

Solución

𝑓𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = −2(𝑥+𝑦+𝑧)

𝑤3

Ejemplo 8. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2 – 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2, hallar

𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦).

Solución

∎ 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 2 + 10𝑥𝑦2

𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑦2

∎ 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 – 2 + 10𝑥2𝑦

𝑓𝑦𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2

∎ 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

∎ 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

Ejemplo 9. Demostrar que 𝑓𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑥 𝑦 𝑓 𝑥𝑧𝑧 = 𝑓 𝑧𝑥𝑧 = 𝑓𝑧𝑧𝑥 para la función dada por:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥𝑙𝑛𝑧

Solución

∎ 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦. 𝑒𝑥 + 𝑙𝑛𝑧

∎ 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥

𝑧








Página 7 de 14

1(x, y, z)

(x, y, z) (x, y, z)1

(x, y, z)

xz

xz zx

zx

fz

f f

fz

2

2

2

1(x, y, z)

1(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)

1(x, y, z)

xzz

zxz xzz zxz zzx

zzx

fz

f f f fz

fz

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Encuentre 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) dadas:

a) z =𝑙𝑛𝑥 + 𝑦

𝑥 − 𝑦

b) z = 𝑥2

2𝑦+

4𝑦2

𝑥

c) z = 𝑒𝑦. 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦

d) z = 𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2

e) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 𝑐𝑜𝑠(3𝑦)

2) Empleando la definición de derivadas, calcule 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) dada:

𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦

3) Encuentre 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑦 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧), dada:

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

b) 𝑤 = 3𝑥𝑧

𝑥 + 𝑦

4) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observe que las derivadas

parciales mixtas de segundo orden son iguales

a) 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦

𝑥








Página 8 de 14

b) 𝑧 = 2𝑥. 𝑒𝑦 − 3𝑦. 𝑒−𝑦

REGLA DE LA CADENA

REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Sea 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde 𝑓 es una función derivable de 𝑥 𝑦 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔(𝑡) y 𝑦 = ℎ(𝑡),

donde 𝑔 𝑦 ℎ son funciones derivables de 𝑡, entonces 𝑤 es una función diferenciable de

𝑡, 𝑦

𝒅𝒘

𝒅𝒕=

𝝏𝒘

𝝏𝒙.𝒅𝒙

𝒅𝒕+

𝝏𝒘

𝝏𝒚.𝒅𝒚

𝒅𝒕

w

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦

x y

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡

t t

Regla de la cadena: una variable dependiente 𝒘, es función de 𝒙 𝑦 𝒚, lasque a su vez son

funciones de 𝒕. Este diagrama representa la derivada de 𝒘 con respecto a 𝒕.








Página 9 de 14

Ejemplo 1. Hallar dw

dt cuando 𝑡 = 0, aplicando la regla de la cadena, dada 2 2 ,w x y y

donde x sent y ty e

Solución

w

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦

x y

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡

t t

𝑑𝑤

𝑑𝑡=

𝜕𝑤

𝜕𝑥.

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑤

𝜕𝑦.

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥𝑦. cos(𝑡) + (𝑥2 − 2𝑦)𝑒𝑡 =

= 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑡). 𝑒𝑡 . cos(𝑡) + (𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 2. 𝑒𝑡)𝑒𝑡 =

= 2. 𝑒𝑡 . 𝑠𝑒𝑛(𝑡). cos(𝑡) + 𝑒𝑡 . 𝑠𝑒𝑛2(𝑡) − 2. 𝑒2𝑡

Cuando 𝑡 = 0

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 2. 𝑒0. 𝑠𝑒𝑛(0). cos(0) + 𝑒0. 𝑠𝑒𝑛2(0) − 2. 𝑒2(0) = −2

REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 𝑦 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔(𝑠, 𝑡) 𝑦 𝑦 = ℎ(𝑠, 𝑡),

son tales que las derivadas parciales de primer orden 𝜕𝑥

𝜕𝑠,

𝜕𝑥

𝜕𝑡,

𝜕𝑦

𝜕𝑠 y

𝜕𝑦

𝜕𝑡 , existen, entonces

𝜕𝑤

𝜕𝑠 y

𝜕𝑤

𝜕𝑡 existen y están dadas por:

𝝏𝒘

𝝏𝒔=

𝝏𝒘

𝝏𝒙.𝝏𝒙

𝝏𝒔+

𝝏𝒘

𝝏𝒚.𝝏𝒚

𝝏𝒔 𝒚

𝝏𝒘

𝝏𝒕=

𝝏𝒘

𝝏𝒙.𝝏𝒙

𝝏𝒕+

𝝏𝒘

𝝏𝒚.𝝏𝒚

𝝏𝒕








Página 10 de 14

Regla de la cadena: una variable dependiente 𝒘, es función de 𝒙 𝑦 𝒚 las que a su vez son

funciones de 𝒔 𝑦 𝒕. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a 𝒕 𝑦 𝒔.

Ejemplo 2. Encuentre 𝜕𝑤

𝜕𝑠 𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑡 , dada 𝑤 = 2𝑥𝑦, x = s2 + t2 y y = s/t

Solución

w

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦

x y

𝜕𝑥

𝜕𝑡

𝜕𝑥

𝜕𝑠

𝜕𝑦

𝜕𝑡

𝜕𝑦

𝜕𝑠

t s t s

𝜕𝑤

𝜕𝑠=

𝜕𝑤

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑠+

𝜕𝑤

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑠

𝜕𝑤

𝜕𝑡=

𝜕𝑤

𝜕𝑥.𝜕𝑥

𝜕𝑡+

𝜕𝑤

𝜕𝑦.𝜕𝑦

𝜕𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑠= 2𝑦(2𝑠) + 2𝑥 (

1

𝑡) = 2 (

𝑠

𝑡) 2𝑠 + 2(𝑠2 + 𝑡2) (−

𝑠

𝑡2) = 4𝑠 −2𝑠3+2𝑠𝑡2

𝑡2 = 6𝑠2 + 2𝑡2

𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑡= 2𝑦(2𝑡) + 2𝑥 (−

𝑠

𝑡2) = 2 (

𝑠

𝑡) 2𝑡 + 2(𝑠2 + 𝑡2) (−

𝑠

𝑡2) = 4𝑠 −

2𝑠3 + 2𝑠𝑡2

𝑡2=

=4𝑠𝑡2 − 2𝑠3 − 2𝑠𝑡2

𝑡2=

2𝑠𝑡2 − 2𝑠3

𝑡2








Página 11 de 14

La regla de la cadena puede extenderse a cualquier número de variables.

Ejemplo 3.- Dada 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧, 𝑥 = 𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦 𝑧 = 𝑡, para

𝑠 = 1 𝑦 𝑡 = 2𝜋. Hallar 𝜕𝑤

𝜕𝑠 𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑡.

Solución

w

𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑧

x y z

𝜕𝑥

𝜕𝑠

𝜕𝑥

𝜕𝑡

𝜕𝑦

𝜕𝑠

𝜕𝑦

𝜕𝑡

𝑑𝑧

𝑑𝑡

s t s t t

∎ 𝜕𝑤

𝜕𝑠=

𝜕𝑤

𝜕𝑥.

𝜕𝑥

𝜕𝑠+

𝜕𝑤

𝜕𝑦.

𝜕𝑦

𝜕𝑠+

𝜕𝑤

𝜕𝑧.

𝜕𝑧

𝜕𝑧= (𝑦 + 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝑡 + (𝑥 + 𝑧)𝑠𝑒𝑛𝑡 + (𝑦 + 𝑥). 0 =

= [𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡]𝑐𝑜𝑠𝑡 + [𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡]𝑠𝑒𝑛𝑡

Entonces, para 𝑠 = 1 𝑦 𝑡 = 2𝜋, tenemos que:








Página 12 de 14

𝜕𝑤

𝜕𝑠= [1. 𝑠𝑒𝑛2𝜋 + 2𝜋]𝑐𝑜𝑠2𝜋 + [1. 𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 2𝜋]𝑠𝑒𝑛2𝜋 = 2𝜋

∎ 𝜕𝑤

𝜕𝑡=

𝜕𝑤

𝜕𝑥.

𝜕𝑥

𝜕𝑡+

𝜕𝑤

𝜕𝑦.

𝜕𝑦

𝜕𝑡+

𝜕𝑤

𝜕𝑧.

𝜕𝑧

𝜕𝑡= −(𝑦 + 𝑧)𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + (𝑥 + 𝑧)𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + (𝑦 + 𝑥). 1 =

= −[𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡]𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + [𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡]𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + [𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡](1) =

= −[1. 𝑠𝑒2𝜋 + 2𝜋](1)𝑠𝑒𝑛2𝜋 + [(1)𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 2𝜋](1)𝑐𝑜𝑠2𝜋

+ [(1)𝑠𝑒𝑛2𝜋 + (1)𝑐𝑜𝑠2𝜋](1) =

= −[1. (0) + 2𝜋](1)(0) + [(1)(1) + 2𝜋](1)(1) + [(1). (0) + (1). (1)](1) = [1 + 2𝜋] + 1=

= 2 + 2𝜋

REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLICITA

Si la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces:

𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝑭𝒙(𝒙,𝒚)

𝑭𝒚(𝒙,𝒚), 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) ≠ 0

Si la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 define a z implícitamente como una función diferenciable

de 𝑥 𝑦 𝑦, entonces:

𝝏𝒛

𝝏𝒙= −

𝑭𝒙(𝒙, 𝒚, 𝒛)

𝑭𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒚

𝝏𝒛

𝝏𝒚= −

𝑭𝒚(𝒙, 𝒚, 𝒛)

𝑭𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛), 𝑭𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛) ≠ 𝟎

Ejemplo 4. Dada 𝑦 3 + 𝑦2 – 5𝑦 – 𝑥2 + 4 = 0, hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑥.

Solución

Definiendo: 𝐹(𝑥 , 𝑦) = 𝑦 3 + 𝑦2 – 5𝑦 – 𝑥2 + 4

𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) = −2𝑥

𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 2 + 2𝑦 – 5

Luego: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝐹𝑥(𝑥,𝑦)

𝐹𝑦(𝑥,𝑦)= −

(−2𝑥)

3𝑦2+ 2𝑦 − 5=

2𝑥

3𝑦2+ 2𝑦 − 5

Ejemplo 5. Dada la ecuación: 3𝑥2𝑧 – 𝑥2𝑦2 + 2𝑧3 + 3𝑦𝑧 – 5 = 0, hallar 𝜕𝑧

𝜕𝑥 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦.

Solución








Página 13 de 14

Definiendo: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑧 – 𝑥2𝑦2 + 2𝑧3 + 3𝑦𝑧 – 5

∎ 𝜕𝑧

𝜕𝑥= −

𝐹𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)

𝐹𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)= −

6𝑥𝑧−2𝑥𝑦2

3𝑥2+ 6𝑧2+3𝑦=

2𝑥𝑦2− 6𝑥𝑧

3𝑥2+ 6𝑧2+3𝑦

∎ 𝜕𝑧

𝜕𝑦= −

𝐹𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)

𝐹𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)= −

−2𝑥2𝑦 + 3𝑧

3𝑥2+ 6𝑧2 + 3𝑦=

2𝑥2𝑦 − 3𝑧

3𝑥2+ 6𝑧2 + 3𝑦

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Sean 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦3, 𝑥 = 𝑟. 𝑒𝑠 y 𝑦 = 𝑟. 𝑒−𝑠, aplicar la regla de la cadena para calcular 𝜕𝑢

𝜕𝑟 𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑠.

Resp.𝜕𝑢

𝜕𝑟= 2𝑟. 𝑒2𝑠 + 3𝑟2𝑒−3𝑠 .

𝜕𝑢

𝜕𝑠= 2𝑟2𝑒2𝑠 − 3𝑟3𝑒−3𝑠.

2) Sean 𝑦 = 2𝑤𝑧 + 𝑧2, 𝑤 = 𝑒𝑥 y 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, calcule la derivada total 𝑑𝑦

𝑑𝑥 , aplicando la

regla de la cadena.

Resp. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑒𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

3) Sean 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦𝑧, 𝑥 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑦 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝑡 y 𝑧 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛2𝑡; calcule 𝜕𝑢

𝜕𝑟 𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑡.

Resp. 𝜕𝑢

𝜕𝑟= 2𝑟𝑠𝑒𝑛2𝑡(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡).

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑟2. 𝑠𝑒𝑛𝑡(2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡).

4) Calcule 𝑑𝑦

𝑑𝑥, si 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦. 𝑐𝑜𝑠𝑥 – 1 = 0.

Resp. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑦.𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦

𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦.

5) Calcule 𝜕𝑧

𝜕𝑥 𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑦 si 4𝑧3 + 3𝑥𝑧2 – 𝑥𝑦2 – 2𝑥2𝑦 + 7 = 0.

Resp. 𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝑦2+ 4𝑥𝑦− 3𝑧2

12𝑧2+ 6𝑥𝑧.

𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝑥𝑦 + 𝑥2

6𝑧2+ 3𝑥𝑧

6) Calcule 𝜕𝑢

𝜕𝑟 𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑡 si ,

y

ru e 𝑥 = 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝑡 y 𝑦 = 4𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝑡.

Resp. 𝜕𝑢

𝜕𝑟=

2𝑒𝑦

𝑥⁄

𝑥2(2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑡);

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

2𝑟𝑒𝑦

𝑥⁄

𝑥2 (𝑦𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑡)








Página 14 de 14

7) Calcule 𝜕𝑢

𝜕𝑟 𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑠 si 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦), 𝑥 = 𝑟2. 𝑒𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑟𝑠).

Resp. 𝜕𝑢

𝜕𝑟=

6𝑟𝑒𝑠− 𝑠.cos (𝑟𝑠)

√1−(3𝑥+𝑦)2;

𝜕𝑢

𝜕𝑠=

3𝑒2.𝑒𝑠+ cos (𝑟𝑠)

√1−(3𝑥+𝑦)2

8) Calcule 𝜕𝑢

𝜕𝑟,

𝜕𝑢

𝜕∅ 𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝜃 si 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2,

𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃,

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦

𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅.

Resp. 𝜕𝑢

𝜕𝑟= 2𝑥𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑦𝑠𝑒𝑛∅𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝑧𝑐𝑜𝑠∅

𝜕𝑢

𝜕∅= 2𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠∅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑦. 𝑟𝑐𝑜𝑠∅𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2𝑧. 𝑟𝑠𝑒𝑛∅

𝜕𝑢

𝜕𝜃= −2𝑥. 𝑟𝑠𝑒𝑛∅. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝑦. 𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃

9) Calcule 𝜕𝑤

𝜕𝑠 𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑡 si 𝑤 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 3𝑦), 𝑥 = 𝑠 + 𝑡 y 𝑦 = 𝑠 – 𝑡; evalúe para

𝑠 = 0, 𝑡 =𝜋

2.

10) Calcule aplicando la regla de la cadena la 𝜕𝑤

𝜕𝑢 𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑣 dada 𝑤 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2),

𝑥 = 𝑢. 𝑒𝑣. 𝑠𝑒𝑛𝑢, 𝑦 = 𝑢. 𝑒𝑣. 𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑧 = 𝑢. 𝑒𝑣. Evaluar para (𝑢, 𝑣) = (−2, 0).

BIBLIOGRAFÍA

Nakamura - Métodos numéricos aplicados con software

Hirsh - Numerical computation of internal and external flows. I

REFERENCIAS

https://www.derivadas.es/2014/02/18/derivadas-parciales-2/

http://crashdanny1996.blogspot.pe/p/noviembre_5.html

https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MA

TEMATICA%20PARA%20INGENIE

https://urmate.jimdo.com/c%C3%A1lculo-integral/



https://www.derivadas.es/2014/02/18/derivadas-parciales-2/

http://crashdanny1996.blogspot.pe/p/noviembre_5.html

https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MATEMATICA%20PARA%20INGENIE

https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MATEMATICA%20PARA%20INGENIE

https://urmate.jimdo.com/c%C3%A1lculo-integral/

derivadas parciales

Education