7/21/2019 Derivadas funcion

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-funcion 1/4

Definición como cociente de diferencias

Recta secante entre f ( x) y f ( x+h).

La derivada de una función es la  pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de en . Sin el

concepto que se va a definir, no es posile encontrar directamente la pendiente de la l!nea tangente a una

función dada, porque solamente se conoce un punto en la l!nea tangente" . La idea es apro#imarla l!nea tangente con m$ltiples l!neas secantes que tienen distancias progresivamente más peque%as entre los

dos puntos que cru&an. 'uando se toma el l!mite de las pendientes de las l!neas secantes de esta progresión,

se consigue la pendiente de la l!nea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el l!mite de la pendiente

de las l!neas secantes, al acercarlas a la l!nea tangente.

ara encontrar las pendientes de las l!neas secantes pró#imas, se elige un n$mero relativamente peque%o.

representa un camio relativamente peque%o en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de

la l!nea que cru&a los dos puntos y es"

.

nclinación de la secante de la curva y* f ( x).

sta e#presión es el cociente de diferencias de e-ton. La derivada de en es el l!mite del valor del

cociente diferencial, conforme las l!neas secantes se apro#iman a la l!nea tangente"

.

Si la derivada de e#iste en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor 

en cada punto es la derivada de en .

uesto que sustituir por produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser

intuitivo. /na técnica posile consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la del

denominador. 0 eso es posile fácilmente en los polinomios. ero para muc1as otras funciones el resultado

es incierto. 2fortunadamente, 1ay reglas generales que facilitan diferenciar la mayor!a de las funciones

simples.

Continuidad y diferenciabilidad

/na condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivale en un punto es que esta sea

continua. ntuitivamente, una función continua es aquella en la cual peque%os incrementos en los elementos

7/21/2019 Derivadas funcion

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-funcion 2/4

del dominio de la variale dependiente produce peque%os incrementos en el valor de dic1a función, de

manera que

.

3aciendo estos incrementos cada ve& más peque%os, las variaciones se 1acen más peque%as4 cuando estos se

apro#iman a cero, en el l!mite,

con lo que se otiene, f ( x)* y. ara un punto particular a, quiere decir que , y si este $ltimo

l!mite e#iste significa en consecuencia por un teorema de l!mites (un l!mite e#iste si y sólo si los dos l!mites

laterales e#isten y son iguales) que toda función  f ( x) que cumpla con

es continua en el punto a.

Condición no recíproca

La función valor asoluto no tiene derivada en el punto (,).

La relación no funciona a la inversa" el que una función sea continua no garanti&a su derivailidad. s

 posile que los l!mites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no4 en este caso la función

 presenta un punto anguloso en dic1o punto.

/n e5emplo puede ser la función valor asoluto (tamién llamada módulo) en el punto . 6ic1a

función se e#presa"

ara valores infinitamente cercanos a , por amas ramas, el resultado tiende a . 0 el resultado en el punto

es tamién , por lo tanto es continua. Sin emargo, las derivadas resultan"

'uando vale , las derivadas laterales dan resultados diferentes. or lo tanto, no e#iste derivada en el

 punto, a pesar de que sea continuo.

6e manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es

derivale.

Derivada de una función

7/21/2019 Derivadas funcion

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-funcion 3/4

'onsiderando la función  f  definida en el intervalo aierto I  y un punto a fi5o en I , se tiene que la derivada

de la función f en el punto se define como sigue"

,

si este l!mite e#iste, de lo contrario, , la derivada, no está definida. sta $ltima e#presión coincide con la

velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

2unque podr!an calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un l!mite, e#isten

reglas ien estalecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular

la derivada de muc1as funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular for&osamente el l!mite. 7ales

reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en

todo uen te#to de cálculo infinitesimal.

7amién puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la

siguiente manera"

,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la

derec1a o por la i&quierda seg$n el signo de . l aspecto de este l!mite está relacionado más con la

velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a

una curva.

 o ostante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los l!mites

anteriormente e#presados, proporciona siempre el mismo resultado.

Ejemplo

Sea la función cuadrática  f ( x)* x8 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la

derivada de esta función para todo punto x ∈ R  9 puesto que es continua en todos los puntos de su dominio

 9, mediante el l!mite de su cociente de diferencias de e-ton. 2s!,

7/21/2019 Derivadas funcion

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-funcion 4/4

Reglas para encontrar la derivada

n muc1os casos, el cálculo de l!mites complicados mediante la aplicación directa del cociente de

diferencias de e-ton puede ser anulado mediante la aplicación de reglas de diferenciación. 2lgunas de las

reglas más ásicas son las siguientes"

•  Regla de la constante" si f ( x) es constante, entonces

•  Regla de la suma"

 para toda función f  y g  y todo n$mero real y .

•  Regla del producto"

 para toda función f  y g . or e#tensión, esto significa que la derivada de una

constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.

or e5emplo,•  Regla del cociente"

 para toda función f  y g  para todos aquellos valores tales que g  : .

•  Regla de la cadena" Si , entonces