Funções reais de variável realDerivadas de funções reais

de variável real e aplicações

O essencial

Dada uma função real de variável

real 𝑓 e dois pontos 𝑎 e 𝑏 do

respetivo domínio, a taxa média

de variação de 𝒇 entre 𝒂 e 𝒃 é a

razão:

𝒇 𝒃 − 𝒇(𝒂)

𝒃 − 𝒂

Taxa média de variação

Dada uma função real de variável real 𝑓 e um ponto 𝑥0 do respetivo

domínio, designa-se por derivada de f no ponto 𝒙𝟎 o limite

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)

𝒉

quando este existe e é finito.

A derivada de f no ponto 𝑥0 representa-se por 𝑓′(𝑥0) e, quando

existe, 𝑓 diz-se diferenciável (ou derivável) em 𝒙𝟎.

Derivada de uma função num ponto

Dada uma função real de variável real 𝑓 e um ponto 𝑥0 do

respetivo domínio, quando 𝑓′ 𝑥0 existe:

𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)

𝒙 − 𝒙𝟎

Derivada de uma função num ponto

Dada uma função real de variável

real 𝑓 diferenciável em 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 , a

reta tangente ao gráfico de f no

ponto de abcissa 𝑥0 tem declive

igual a 𝑓′(𝑥0) e pode ser definida

pela equação

𝒚 = 𝒇′ 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙𝟎 .

Reta tangente ao gráfico de uma função

Fixado um instante 𝑡0 para origem das medidas de tempo, uma

unidade de tempo 𝑇, uma reta numérica 𝑟 com unidade de

comprimento 𝐿 e um intervalo 𝐼, a função 𝑝: 𝐼 → 𝐼𝑅 designa-se

por função posição de um ponto que se desloca na reta

durante o intervalo de tempo 𝑰, se, para cada instante 𝑡 ∈ 𝐼,

𝑝(𝑡) for a abcissa do ponto de 𝑟 que representa a posição que 𝑃

ocupa 𝑡 unidades de tempo 𝑇 depois de 𝑡0 se 𝑡 > 0, ou 𝑡

unidades de tempo 𝑇 antes de 𝑡0 se 𝑡 < 0.

Função posição de um ponto em movimento retilíneo

Fixado um instante 𝑡0 para origem das medidas de tempo, uma

unidade de tempo 𝑇, uma reta numérica 𝑟 com unidade de

comprimento 𝐿, um intervalo 𝐼, a função posição 𝑝 de um ponto 𝑃

que se desloca na reta 𝑟 durante um intervalo de tempo 𝐼, e dados

dois instantes 𝑡1 < 𝑡2 de 𝐼, a velocidade média de 𝑷 no intervalo

de tempo [𝒕𝟏, 𝒕𝟐] na unidade 𝑳/𝑻 é a taxa média de variação de 𝑝

entre 𝑡1 e 𝑡2 e, para 𝑡 ∈ 𝐼, a velocidade de 𝑷 no instante 𝒕 é a

derivada de 𝑝 em 𝑡, caso exista.

Velocidade média e velocidade instantânea

Dada uma função real de variável real 𝑓, designa-se por função

derivada de f e representa-se por 𝑓′ a função de domínio

𝐷𝑓′ = 𝑥 ∈ 𝐷𝑓: 𝑓 é diferenciável em 𝑥

que, a cada 𝑥 ∈ 𝐷𝑓′ faz corresponder 𝑓′(𝑥).

Função derivada

Uma função real de variável real 𝑓 diz-se diferenciável em 𝑨

quando é diferenciável em todos os pontos de 𝐴.

Função diferenciável num conjunto

Dada uma função real de variável real 𝑓 diferenciável num conjunto A

e crescente, em sentido lato, nesse conjunto, então para todo o 𝑥 ∈

𝐴, 𝑓′(𝑥) ≥ 0.

Dada uma função real de variável real 𝑓 diferenciável num conjunto A

e decrescente, em sentido lato, nesse conjunto, então, para todo o 𝑥 ∈

𝐴, 𝑓′(𝑥) ≤ 0.

Monotonia e sinal da derivada

Dada uma função real de variável real 𝑓 e um ponto 𝑎 do respetivo

domínio, se f é diferenciável em 𝑎, f é contínua em 𝑎.

Derivabilidade e continuidade

Dado um conjunto 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅 e funções reais de variável real 𝑓:𝐷 → 𝐼𝑅

e 𝑔:𝐷 → 𝐼𝑅 diferenciáveis num ponto 𝑎 de 𝐷, a função 𝑓 + 𝑔 é

diferenciável em 𝑎 e

𝒇 + 𝒈 ′ 𝒂 = 𝒇′ 𝒂 + 𝒈′ 𝒂 .

Derivada da soma

Dado um conjunto 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅 e funções reais de variável real 𝑓: 𝐷 → 𝐼𝑅 e

𝑔:𝐷 → 𝐼𝑅, diferenciáveis num ponto 𝑎 de 𝐷, a função 𝑓𝑔 é diferenciável

em 𝑎 e

𝒇𝒈 ′ 𝒂 = 𝒇′ 𝒂 𝒈 𝒂 + 𝒇 𝒂 𝒈′ 𝒂 .

Dado um conjunto 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅 e uma função real de variável real 𝑓: 𝐷 → 𝐼𝑅,

diferenciável num ponto 𝑎 de 𝐷, e um número real 𝑘, a função 𝑘𝑓 é

diferenciável em 𝑎 e

𝒌𝒇 ′ 𝒂 = 𝒌𝒇′ 𝒂 .

Derivada do produto

Dado um conjunto 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅 e funções reais de variável real 𝑓: 𝐷 → 𝐼𝑅 e

𝑔:𝐷 → 𝐼𝑅,diferenciáveis num ponto 𝑎 de 𝐷, com 𝑔 𝑎 ≠ 0, a função 𝑓

𝑔

é diferenciável em 𝑎 e

𝒇

𝒈

′

𝒂 =𝒇′ 𝒂 𝒈 𝒂 − 𝒇(𝒂)𝒈′(𝒂)

𝒈 𝒂 𝟐.

Derivada do quociente

Dada uma função 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝐼𝑅, diferenciável num ponto 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, e uma

função real de variável real 𝑔:𝐷𝑔 → 𝐼𝑅, tal que 𝐷𝑓′ ⊂ 𝐷𝑔, diferenciável

em 𝑓(𝑎), a função composta 𝑔 ∘ 𝑓 é diferenciável em 𝑎 e

𝒈 ∘ 𝒇 ′ 𝒂 = 𝒇′ 𝒂 × 𝒈′ 𝒇 𝒂 .

Derivada da função composta

Dado um número natural 𝑛 (respetivamente, inteiro negativo), a função

real de variável real 𝑓 de domínio 𝐼𝑅 (respetivamente, 𝐼𝑅\ 0 ) definida

por 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 é diferenciável e, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑓,

𝒇′ 𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏.

Derivada da potência de expoente inteiro

Dado um número natural 𝑛 par (respetivamente, ímpar superior a 1),

a função 𝑓 de domínio 𝐼𝑅+ (respetivamente, 𝐼𝑅\ 0 ) definida por

𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑥 é diferenciável e, para todo o 𝑥 ∈ 𝐷𝑓,

𝒇′ 𝒙 =𝟏

𝒏𝒏𝒙𝒏−𝟏

=𝟏

𝒏𝒙𝟏𝒏−𝟏.

Derivada da raiz

Dado um número racional 𝑟 ≠ 0, a função 𝑓 de domínio 𝐼𝑅+ definida

por 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑟 é diferenciável e, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑓,

𝒇′ 𝒙 = 𝒓𝒙𝒓−𝟏.

Derivada da potência de expoente racional

Qualquer função polinomial é diferenciável em 𝐼𝑅.

Uma função racional é diferenciável no respetivo domínio.

Da derivada da potência e da derivada da função composta resulta

imediato que a função 𝑓𝑝 é diferenciável no respetivo domínio e

𝑓 𝑥𝑝 ′

= 𝑝 𝑓 𝑥𝑝−1

. 𝑓′ 𝑥 , 𝑝 ∈ ℚ

Em particular,

𝑛𝑓 𝑥

′=

1

𝑛𝑛

𝑓 𝑥𝑛−1

× 𝑓′ 𝑥 =𝑓′ 𝑥

𝑛𝑛

𝑓 𝑥𝑛−1

Derivada da potência de expoente racional