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Derivada
Aula 09 – Cálculo Diferencial
Professor: Éwerton Veríssimo
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Derivada: Conceito Físico
• Taxa de Variação– A dosagem de um medicamento pode variar conforme
o tempo de tratamento do paciente.
– O desgaste das pastilhas do sistema de frenagem poderá variar conforme a kilometragem efetuada.
– O comprimento de uma barra de ferro poderá variar por grau de temperatura.
– Uma planta cresce de modo uniforme 2 metros por ano, isto significa que a taxa de variação da altura da planta sofrerá um incremento de 2 metros à cada ano.
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Se uma função é representada graficamente por uma reta (função
afim), facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.
Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da
função.
f(b)
f(a)
a b x
y
O
f(b) - f(a)
y
b – a
x
y
x
f b f a
b am
tmv = tg =
taxa média
de variação
Coeficiente Angular de uma Reta
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f(b) - f(a)
y
xO
y
a
f(b)
b
f(a)b – a
x
Derivada: Conceito Geométrico
y
x
f b f a
b am
y
x
tmv =
Observe que a taxa média de variaçãode y em relação a x é dada por:
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O
x-x0x0
f(x)
x
f(x0)
y
f(x) - f(x0)
xO
y Vamos, então, estudar Derivadas!
0
0
xx0Δx0
xx
)f(xf(x)lim
Δx
Δylim)(x' f
0
mtgα)(x' f 0
)x(x).(x' f)f(xf(x) 00 x
)x'.(xy )f(xy 00
)xm(x)f(xf(x) 00
Derivada: Conceito Geométrico
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Equação da Reta
Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2,
no ponto de abscissa 1/2.
)).((')( 00 xxxfxfy y(ºC)
x0 = 12
y
y
x(h)
f(1/2) = 1/4
x
2)('2
1'
xxf
fdeCálculo
2
1.
2
1'
2
1xffy
4
1
2
1
2
1 :
2
fonde
2
1.1
4
1
:tan
xy
toPor
01-4y-4x
12
1.2
2
1'
f
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O limite da taxa de variação, quando ,é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x. Dessa forma, a derivada de uma função f(x) no ponto será dada por:
0x
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(' 00
00
Derivada no Ponto
0x
0
00
)()(lim)('
0 xx
xfxfxf
xx
Ou ainda:
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Exercícios
1. Suponha que a temperatura de uma sala seja dada pela função . Determine a derivada da função, usando a definição, no ponto x=1.
2. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa x=1.
25²3)( xxxf
²)( xxf
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REGRAS DE DERIVAÇÃO
PARTE 1
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Regras de Derivação
• Derivada de uma Constante
– Exemplo: Derive a função f(x)=5.
cy
0'y
5)( xf
0)(' xf
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Regras de Derivação
• Regra da Cadeia
– Exemplo: Derivar a função
auy
'..' 1 uuay a3)( xxf
3)( xxf
23)( xxf
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Regras de Derivação
• Regra da Soma e da Subtração
– Exemplo: Derivar a função
vuy
''' vuy
523)( 23 xxxxf
229)(' 2 xxxf
vuy
''' vuy
)'5()'2()'()'3()(' 23 xxxxf
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Regras de Derivação
• Regra do Produto entre duas funções
– Exemplo: Derivar a função
''' .. vuvuyvuy
2323)( 23 xxxxxf
32²³323229)(' 2 xxxxxxxf
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Regras de Derivação
• Regra do Produto entre uma constante e uma função
– Exemplo: Derivar a função
'' .. ukyuky
xxxxf 2237)( 34
2²6³127)(' xxxf
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Regras de Derivação
• Regra do Quociente
– Exemplo: Derivar a função
2
''' ..
v
vuvuy
v
uy
xx
xxxf
5
13²)(
5
25
45
5
55.13²5.32)('
xx
xxxxxxxf
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Exercícios
1. Determine a derivadas das funções.
a.
45 213)( xxxf b.
175
226)( 234 xxxxxf
c.
d.
e.
²³5
1035)(
2
xx
xxxf
²
8
³
2)(
xxxf
3234 1752)( xxxxxf
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REGRAS DE DERIVAÇÃO
PARTE 2
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Derivada de Funções Exponenciais• Derivada de uma função de base e.
– Exemplo: Derivar a função
'.' ueyey uu
53 xey
Observe que: 53 xu
Logo: )'53.(' 53 xey x
5353 3'3.' xx eyey
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Derivada de FunçõesExponenciais• Derivada de uma função de base a
– Exemplo: Derivar a função
'.ln.' uaayay uu
55²35 xxy
Observe que: 55²3 xxu
Logo: )'55²3.(5ln.5' 55²3 xxy xx
)56.(5ln.5' 55²3 xy xx
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Derivada da Função Logarítmica• Derivada da Função Logarítmica de base a
– Exemplo: Derivar a função
e
a
u
au
uyy log
''log
105³4
2log xxy
Observe que:
Logo:
1054 3 xxu
e
xx
xy 2log
105³4
5²12'
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Derivada da Função Logarítmica• Derivada da Função Logarítmica de base e
(logaritmo neperiano).
– Exemplo: Derivar a função
u
uyuy
''ln
)136ln( xy
Observe que:
Logo:
136 xu
136
6'
136
)'136('
xy
x
xy
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Derivada de FunçõesTrigonométricas• Derivada da Função Seno
– Exemplo: Derivar a função
cosu.u'y'senuy
)54( 23 xxseny
Observe que:
Logo:
54 23 xxu
)'54).(54cos(' 2323 xxxxy
)83).(54cos(' 223 xxxxy
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Derivada de FunçõesTrigonométricas• Derivada da Função Cosseno
– Exemplo: Derivar a função
senu.u'y'uy cos
)510cos( 2 xxy
Observe que:
Logo:
5102 xxu
5)'10x5).(x10xsen(xy' 22
10)'5).(2x10xsen(xy' 2
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Derivada de Funções Trigonométricas• Derivada da Função Tangente
– Exemplo: Derivar a função
u.u'secy'tguy 2
xtgy 8
Observe que:
Logo:
xu 8
)'sec²8x.(8xy'
8.sec²8xy'sec²8x.8y'
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Derivada de Funções Trigonométricas• Derivadas das Demais Funções
Trigonométricas
u.u'cosecy'cotguy 2
'secu.tgu.uy'secuy
gu.u'cosecu.coty'cossecuy
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Exercícios
3. Determine a derivada das funções.
a. xcossen5xf(x) 3
b. 3cosxtg2xf(x)
c. xtgf(x) 2
d.
)13(2 2 xxcosxsenf(x)e.
132 xtgsenxf(x)
2tgxf(x)
f.
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Exercícios
4. Determine a derivada das funções.
.cos3xef(x) 2xa.
b.
c.
d.
e.
3cosxtg2xlnf(x)
cos3xsenf(x)
87²3 xxcos2xsenx e3f(x)
25²3)( 2 xxtgexf xsen
)55sec(3²2ln)( xxxff.
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Derivada de Funções Trigonométricas Inversas• Derivada da função arco seno
– Exemplo: Derivar a função
21
'
u
uy'arcsenuy
)32( xarcseny
22321
2'
)32(1
'32'
xy
x
xy
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Derivada de Funções Trigonométricas Inversas• Derivada da função arco seno
– Exemplo: Derivar a função
2u1
u'y'arccosuy
)arccos(10xy
22 1001
10'
)10(1
'10'
xy
x
xy
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Derivada de Funções Trigonométricas Inversas• Derivada da função arco seno
– Exemplo: Derivar a função
21 u
u'y'arctguy
)xxarctg(y 389 2
2222
'2
)389(1
818'
)389(1
389'
xx
xy
xx
xxy
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Derivada de Funções Trigonométricas Inversas• Derivada das demais funções inversas
trigonométricas
21 u
u'y'arccotguy
1u.u
u'y'arcsecuy
2
1u.u
u'y'arccosecuy
2
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Exercícios
5. Determine a derivada das funções.
a.
b.
c.
d.
t.arccos3tf(t)
2arcsenxf(x)
xarctgf(x)
xxarctgf(x) 53 2
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Exercício
6. Determine a derivada segunda das funções.
a.
b.
c.
d.
1²3)( 4 xxxxf
xxf ln)(
³)( xsenxf
³
1²5)(
xxxf