deret taylor analisis galat
DESCRIPTION
taylorTRANSCRIPT
Deret Taylor
dan Analisis Galat
2
Definisi :
Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,…
menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan :
xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b],
f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret
Taylor :
...)(!
)(....)(
!2
)()(
!1
)()()( )(''
2
0
'
o
mm
oo
ooo xf
m
xxxf
xxxf
xxxfxf
Deret Taylor
Jika (x-xo)=h, maka :
Contoh :
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret
Taylor di sekitar xo=1.
Penyelesaian :
f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x)
f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)
f’’(x) = - sin(x) dst.
...)(!
....)(!2
)(!1
)()( )(''2
0
' o
mm
oo xfm
hxf
hxf
hxfxf
maka :
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di
sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.
Contoh-1 :
f(x)= sin(x) dimana xo = 0
...)1sin(24
)1cos(6
)1sin(2
)1cos()1sin( )sin( )(432
hhh
hxxf
...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432 hhhhxf
Penyelesaian :
Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0
Penyelesaian :
)0cos(6
)0sin(2
)0cos()0sin( )sin( )(32 hh
hxxf
1206 )sin( )(
53 xxxxxf
...!4
)0(
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0()( 0
430
200
e
xxe
xe
xeexf x
...!4!3!2
1)(43
02
xx
ex
xexf x
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga
banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor
dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor
yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor
terpotong yg dinyatakan:
Dengan demikian deret Taylor yg dipotong
sampai suku order ke-n dapat ditulis :
)()(!
)(....)(
!2
)()(
!1
)()()( )(''
2
0
' xRxfn
xxxf
xxxf
xxxfxf no
nn
oo
ooo
)(/ );()!1(
)()( )1( residusisagalatdisebutxcxcf
n
xxxR o
non
)()()( xRxPxf nn
dimana :
Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor
orde
ke-n
Penyelesaian :
)(!
)()(
1
o
kn
k
k
on xf
k
xxxP
)()!1(
)()( )1(
)1(
cfn
xxxR n
n
on
)1sin(!4
)1()1cos(
!3
)1()1sin(
!2
)1()1cos(
!1
)1()1sin()(
432
4
xxxxxP
)cos(!5
)1()(
)!14(
)1()(
5)14(
)14(
4 cx
cfx
xRGalat
• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat
solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.
Semakin kecil galatnya, semakin teliti
solusi numerik yg didapatkan. Kita harus
memahami dua hal, yaitu :
a. Bagaimana menghitung galat
b. Bagaimana galat timbul
Analisis Galat
Misalkan :
Contoh :
: , ^
makaasejatinilaiterhadaphampirannilaiadalaha
galatdisebutaa ^
45,10 10,5; ^
aa 05,05,1045,10
^
aaMutlakGalat
%100 : xa
relatifGalat R
%100 : ^
x
a
hampiranrelatifGalat RA
• Contoh :
Diketahui : a= 10/3; â = 3,333
Hitung : (a). Galat !
(b). Galat mutlak !
(c). Galat relatif !
(d). Galat relatif hampiran !
Penyelesaian :
(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333
= 10.000/3000 – 9999/3000
= 1/3000 = 0,000333
(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333
(c).
(d).
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-
gunakan pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan
cara :
dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang
ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya
0,01%100%x (10/3)
0,000333 100%x : relatifGalat
aR
999
1100%x
3,333
0,000333 100%x :hampiran relatifGalat
^
aRA
1
1
r
rrRA
a
aa
• Proses lelaran dihentikan bila :
|єRA| < єS
єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan
Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya,
namun semakin banyak proses lelarannya
• Contoh :
Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0,1,2,3
Xo= 0,5; єs= 0,00001
Hitung : єRA !
Penyelesaian :
Xo = 0,5
X1 = 0,4791667;
X2 = 0,4816638;
X3 = 0,4813757;
X4 = 0,4814091;
X5 = 0,4814052;
sRA
043478,0X
)XX(
1
o1
sRA
0051843,0X
)XX(
2
12
sRA
0005984,0X
)XX(
3
23
sRA
0000693,0X
)XX(
4
34
! ,0000081,0X
)XX(
5
45 berhentisRA
• Secara umum terdapat dua sumber utama
penyebab galat dlm perhitungan numerik,
yaitu :
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Ada sumber galat lain, yaitu :
1. Galat eksperimental
2. Galat pemrograman
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK
(1). Galat Pemotongan (truncation error).
Galat ini timbul akibat penggunaan
hampiran sebagai pengganti formula
eksak. Maksudnya, ekspresi matema-
tika yg lebih kompleks diganti dengan
formula yg lebih sederhana.
Tipe galat pemotongan bergantung pd
metode komputasi yg digunakan untuk
penghampiran shg kadang-kadang di-
sebut juga galat metode.
Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :
dimana : h = lebar absis xi+1
Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !
Penyelesaian :
f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)
f’(x) = - sin(x)
f’’(x) = - cos(x)
h
xfxfx iif
)()()( 1
1
'
Maka :
Galat pemotongan :
......!10!8!6!4!2
1)cos()(108642
xxxxx
xxf
Nilai hampiran Galat pemotongan
)()!1(
)()( )1(
)1(
cfn
xxxR n
n
on
)cos(!7
)()!16(
)0()(
7)16(
)16(
6 cx
cfx
xR
Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita
peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c
sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak
pada selang tertentu. Karenanya tugas kita
adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari
|Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :
)!1(
)x-(xx )()(
)1(
o)1(
ncfxR
nn
xcx
n Makso
• Contoh-1 :
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar
xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-
kan taksiran untuk galat maksimum yang
dibuat !
Penyelesaian :
f(x) = ln(x) f(1) = 0
f’(x) = 1/x f’(1) = 1
f’’(x) = -1/x2 f’(1) = -1
f’’’(x) = 2/x3 f’’’’(1) = 2
f(4)(x) = - 6/x4 f(4)(1) = -6
f(5)(x) = 24/x5 f(5)(c) = 24/c5
Deret Taylor :
Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo-
tongan < 0,0000034.
)(4
)1(
3
)1(
2
)1()1()ln( 4
432
xRxxx
xx
)(4
)1,0(
3
)1,0(
2
)1,0(1,0)9,0ln( 4
432
xR
)(1053583,0)9,0ln( 4 xR
0000034,05!
(-0,1)x
c
24)9,0(
5
519,0
5
Maksc
R
Contoh-2 :
Hampiri nilai secara numerik,yaitu :
dengan deret Maclaurin orde 8 !
Penyelesaian :
Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :
dxex
1
0
2
2
)( xexf
2
)( xexf
!4!3!21
86422 xxx
xex
dxxxx
xdxex )!4!3!2
1(861
0
1
0
422
4617724,1216
1
42
1
10
1
3
11
0
1
21642103
9753
x
xxxxxx
• Perhitungan dgn metode numerik hampir
selalu menggunakan bilangan riil.
Masalah timbul bila komputasi numerik
dikerjakan dengan komputer karena
semua bilangan riil tdk dapat disajikan
secara tepat di dlm komputer. Keterbatas
an komputer dlm menyajikan bilangan riil
menghasilkan galat yg disebut galat
pembulatan.
GALAT PEMBULATAN
• Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer
hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =
-0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai
dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan
titik kambang disebut juga “Angka Bena”
(significant figure).
• Adalah angka bermakna, angka penting atau
angka yg dapat digunakan dgn pasti.
• Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
ANGKA BENA
Galat akhir atau galat total pada solusi numerik
merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan.
Contoh :
9800667,024
)2,0(
2
)2,0(1)2,0(
42
Cos
Galat pemotongan Galat pembulatan
GALAT TOTAL
• Galat pemotongan timbul karena kita
menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4
sedangkan galat pembulatan timbul
karena kita membulatkan nilai hampiran
ke dalam 7 digit bena.
• Di dalam metode numerik, fungsi f(x)
sering diganti dgn fungsi hampiran yang
lebih sederhana. Satu cara mengungkap-
kan tingkat ketelitian penghampiran itu
adalah dengan menggunakan notasi :
O-Besar (Big-Oh).
ORDE PENGHAMPIRAN
• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).
Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah
konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h)
menghampiri f(h) dengan orde penghampiran
O(hn) dan ditulis dgn :
f(h) = p(h) + O(hn)
O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat
dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya
cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai
n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti
penghampiran fungsinya.
• Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula.
Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan :
xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah :
Dalam hal ini :
Jadi, kita dapat menuliskan :
)()(!
)(....)(
!2
)()(
!1
)()()( 1
)(1''2
1'11
ini
nn
iii
iii
iiii xRxf
n
xxxf
xxxf
xxxfxf
)()(!
....)(!2
)(!1
)()( 1
)(''2
'
1 ini
nn
iiii xRxfn
hxf
hxf
hxfxf
1
1)1()1(
1 );()()!1(
)(
ii
nnn
in xtxhOtfn
hxR
n
k
n
i
kk
i hOxfk
hxf
0
1
1 )()(!
)(
Contoh :
)(!4!3!2
1)( 5432
hOhhh
hexf x
)(4432
)ln()( 55432
hOxxxx
xxxf
)(!5!3
)sin()( 753
hOhh
hhxf
)(!6!6!4
1)cos()( 8642
hOhhh
hxf
BILANG TITIK AMBANG
Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format
bilangan titik-ambang
Bilangan titik-ambang a ditulis sebagai
a = ± m × B p = ± 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn × Bp
m = mantis/mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit mantis.
B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb)
p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pmin sampai+Pmaks
Contoh: 245.7654 = 0.2457654 × 103
BILANG TITIK AMBANG
Bilangan Titik-ambang Ternormalisasi
Syarat: digit yang pertama tidak boleh 0
a = ± m × Bp = ± 0.d1d2d3d4d5d6... dn× Bp
1 ≤ d1 ≤ B -1 dan 0 ≤ dk ≤ B-1 untuk k > 1.
Pada sistem desimal, 1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, Pada sistem desimal, 1
≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9,
Sedangkan pada sistem biner, d1 =1dan 0 ≤ dk ≤ 1.
Contoh: 0.0563 × 10-3 0.563 × 10-4,
0.00023270 × 106 0.23270 × 103
BILANG TITIK AMBANG
Pembulatan pada Bilangan Titik-ambang
Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas.
Bilangan titik-ambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai-nilai di
dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan kesalah satu nilai di
dalam rentang
Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat
pembulatan.
Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu
pemenggalan (chopping) dan pembulatan ke digit terdekat (in-
rounding).
PEMENGGALAN (CHOPPING)
Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ±0.
d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p
flchop(a) = ±0. d1d2d3 ... Dn-1dn × 10p
Contoh: π = 0.314159265358... × 100p
flchop(π) = 0.3141592 × 100p ( 7 digit
mantis)
Galat= 0.000000065...
PEMBULATAN
Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)
Misalkan a = ±0. d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p
flround(a) = ±0. d1d2d3 ... dn × 10p
PEMBULATAN
Contoh: a = 0.5682785715287 × 10-4 :
Di dalamkomputer 7 digit dibulatkan menjadi
flround(a) = 0.5682786 × 10-4
Di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi?
Di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi
Didalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi?
ARITMETIKA BILANGAN TITIK
AMBANG
Kasus1: Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan
yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar
menyebabkan timbulnya galat pembulatan.
Contoh: Misalkan digunakan komputer dengan 4 digit
(basis 10). Hitunglah:
1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 101 + 0.4381 × 10-1.
Cari Galat dari penyelesaian penjumlahan aritmetika
terhadap bilangan pendekatan yang didapat dengan
pemotongan dan pembulatan!
ARITMETIKA BILANGAN TITIK
AMBANG
Kasus2: Pengurangan dua buah bilangan yang hampir
sama besar (nearly equal).
Bila dua bilangan titik-ambang dikurangkan, hasilnya
mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang
paling berarti (posisi digit paling kiri).
Keadaan ini dinamakan kehilangan angka signifikan (loss
of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke
digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama
ARITMETIKA BILANGAN TITIK
AMBANG
Contoh:
Kurangi 0.56780 × 105 dengan 0.56430 ×
105 (5 angka signifikan) serta tentukan bilangan
galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan!
Kurangi 3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka
signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari
pembulatan dan pemenggalan!
ARITMETIKA BILANGAN TITIK
AMBANG
Contoh:
Diberikan. hitunglah f(500)
dengan menggunakan 6 angka bena dan pembulatan ke
digit terdekat!
Penyelesaian:
(Solusi eksak adalah: 11.174755300747198…)! Kenapa
hasil tidak akurat? Apakah ada cara penyelesaian yang
lebih baik?
)1()( xxxxf
15.11
223.0*500
)3607.223830.22(500
)500501(500)500(
f
44
Perambatan Galat
• Pada suatu proses komputasi yang memiliki error akan menyebabkan penumpukkan error apabila proses tersebut dilakukan secara beruntun.
• Menyebabkan hasil yang menyimpang dari sebenarnya kondisi tidak stabil (ketidakstabilan numerik)
• Kondisi Stabil : error pada hasil antara memiliki pengaruh yang sedikit pada hasil akhir.
• Ketidakstabilan matematik : kondisi yang timbul karena hasil perhitungan sangat peka terhadap perubahan kecil data.
45
Ketidakstabilan
• Dikatakan tidak stabil jika hasil tidak teliti sebagai
akibat metode komputasi yang dipilih.
• Contoh :
– F(x) =x (√(x+1)- √ x), hitung f(500) sampai 6 angka penting,
solusi asli =11.174755300747198…
– F(x) = √(x+1)- √ x, hitung f(12345) sampai 6 angka penting ,
solusi asli = 0.00450003262627751
– Cari akar-akar polinom x2 – 40x + 2 = 0 sampai 4 angka
penting
– F(x) = (ex -1- x) / x2 hitung f(0.01) sampai angka 6 penting
46
Kondisi Buruk • Persoalan dikatakan berkondisi buruk bila
jawabannya sangat peka terhadap
perubahan kecil data atau error pembulatan.
• Contoh :
– x2 -4x + 3.999 = 0 akar-akar x1 = 2.032 dan x2
= 1.968
– x2 -4x + 4.000 = 0 akar-akar x1 = x2 = 2.000
– x2 -4x + 4.001 = 0 akar-akarnya imajiner
47
Bilangan Kondisi
• Bilangan kondisi didefinisikan sebagai :• Bilangan Kondisi = |εRA [f(â)]/ εRA (â)| = |â
f’(a)/f(â)|
• Arti bilangan kondisi :– Bilangan kondisi = 1, galat relatif hampiran fungsi sama
dengan galat relatif x
– Bilangan kondisi >1, galat relatif hampiran fungsi besar
– Bilangan kondisi <1, galat relatif hampiran fungsi kecil
• Kondisi buruk bilangan kondisi besar
• Kondisi baik bilangan kondisi kecil