derandomizing bpp

33

Upload: trannhi

Post on 01-Jan-2017

234 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Derandomizing BPP

���������� �

������� ���� � � ����� � ��� ��������

���������� � ����� ��������

Page 2: Derandomizing BPP

��������

� � ���� �� � ���� �� � �

��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �������� ��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ��� ������������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �� !�" #������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ���� ���� ��� ��� ���������$�%�� ������� � � � � � � � � � � � � � � &����� '���# �# ��� ���������$�%�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � (����� '�������� ����� ��� )��������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*����& ��� ���������+� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ��� ,�����-�.������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&����� �� !�" #������ ��� /��00��1���2�� #������ � � � � � � � � � � � �&����� ,����" ���3���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �4����� 5��������. ��� .�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(����� 6 .�������� #�� ������� ��0�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � �*

� ����� � � � ���� ��������� ��������� ��

��� -���� ��� ��0��1��" ��� �����2������ ��0��1��" � � � � � � � � � � � � � ����� ���������� ��� ,���/��#�����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� �����2������ 5��0��1��" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� -���� ��� ��0��1��" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 7��� -�������� ���� �� ���.���" ��00��1���2�� � � � � � � � � � � � � � � � ������� �����#�����. � 2������ #����� ���� � 0��"������ � � � � � � � � � � ������� ������ ���# ����2����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&

��� �������� 6�0�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(����� ��� ���0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(����� 8�� ������ ��� '���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(����� '���# �# 0���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �9

��& ��� ���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Page 3: Derandomizing BPP

����� �

� ��� �� ��� ��������

��� ����������

�� ��� 0��%��� ��0����: !� ������ ��� 0�!�� �# ���������� �� ��%���� ������.�� �� ������0��� !� ������� ��� ���� .������ ;������� -��� �� ��� 0�!�� �# �������<�� ��.�������=6�� ���" ���� 0�!��#� ���� ������������ ����= ��� ����� ����� �# �>���� �� ���� �������� ��0������ 0��2���� #�� !��� !� ��%� 0��"������ �������<�� ��.�������: ��� ���"�10�������� ���� ������������ ��.�������� -� ���+� ?��! !������ ���������� �� ���0��%� �����. ����: ��� �# �� ����: �� !��� ����� � ��� �� �� ��?� ��" �������<�� ��.������ ���� ��� �� 0��"������ ����: ��� ��������� ���. � ������������ ��.������: ��"��. �� ������<� ��� �����. ���� �# ��� ��������������.������� -� !��� ��� �� ���������� @���������<����� �# ���A�

����� ��������

7�� ��0�������� !� ��0��� ���������� #��� 0��%��� ��0����� ��� ������ � ����%�� �0�������������: ��� ��� #������ ���� �00��� �� ��� ��1� ��� ������ �� 2� #������ �# � �# ��������!��� ������� -� ��� ��� ��������� �� ��� ��������: �� �� ��������� ������ �� �10�����"����� ��� ��0������ �# 0��������� �� �� -� �#��� �0��? �2�� #������� �# �����: #������:��� ��� -� ?��0 ��� ��%������ ���� #�� � #����" � B ���� ��� ������ �# �� �� �*� ��

����� ������. �# @� B ���� ��� 0��0���" �A: �� @����� �1��� ���� �� �� ���� #�� ��� � � ��:�� ��� ��� 0��0���" ��A�

�������� ��� ���C�D B ��� ����� ������ � ����������� ������� ����� ���� �� ��� C�D �� ������� ���

�������� ��� �����C�� �D B ��� ����� ������ � ������������� ������� ����� ���� �� ��� C�D� ���� C�D ���� ����� �� ������� � ���� ��� ��� ����� �� �� ��� ���

�������� ��� � B ���������C��D�

�������� ��� ��� B �������������C��� ��D�

�������� ��� ��� B ���������C���

D�

Page 4: Derandomizing BPP

����� ���� ��

��� �2%��� ������> 2��!��� ���������� ��� �����. ���� �� ��� #����!��.E

���� �� �� ��� ��� � � ��� �����C�� �D � ���C�� � �D�

! ���" �� ��?� � �������<�� ��.������ ������������: ���0�" �� �� C.�%�� �� ��0� �D���. ��� 0����2�� �����.� �# ���.�� �� 6�0� � �> ��� ��3����" �# ��� ��� ��0��� 1�

#� ���� � ��$ ��� � ���

� .��� �� �� ������� ��� ���. ���� ����� ������� ��4 ���!� � ���� �# !� ��� �������� �������<�� ��.������ ���. ���� ������ 2���: !� ��� ���������<� ��� � 6 .�������� ��� ������ ���� ��?�� �� ��0� ������ 2���: ��� ��0�� � @0�����������A 2��� C � �D���� �1�� ������. �# @'���������������A ��0���� �� ��� �����" !��� ����%�� ��� 2�������" ����� ���? ������ �� ��� ����%��� ,��� ���� ���������� �� ��! ������ ��� �� �0��0���" �# ��� 0��2�2����" ������2����: 2� ������ �� �� @�� ��� �"�� �# ��� 2�������AF

�������� ��% C� �� �� �D���������� � �� � ����� �� ��������� ��������� ���� ���� ������ ��

� �� E �*� ������ � �*� ����

� �� �� ��������� �� ��� �C�D�

� ��� ��� �������� � B ���� �� ���� �C�D�

�����������C�C�D B �D ���������C�C��C�DD B �D� �

���� �� ��& �� ����� ������ � C� �� ��� ÆD���������� ����

�����C�� �D � ������ÆC�C�D G ��C�DD

! ���" ��%�� � �������<�� ��.������ � ���� ��� �� ���� �C�D: ��� ��� �C�D ������ 2���������� � �������<�� ��.������� !��� ��� C�C�DD ������ 2��� ������� �� �� ��0���� B �����C�D ��� ��� �C�� �D� ���� ��?�� �C�DG �C�C�DD ���0�� �# ���� ����� #����: ���� ������� ���� � ��� �� �# ���.�� �: �� !��� � ���� !��� 0��2�2����" �� ����� � G � -� ?��!���� � ���� !��� 0��2�2����" �� ���� ���� �� ����� �� � �������� ��������� ���� ��?�� �C��#���D ��.������: ��� �����#���� �� ���� � #����" �# 2������ �����: -���� ��� ��<� �#��� ���� �� ��: !���� � �� ��� �����. ���� �# ��� ��.������� $�� �C�� �D 2� ��� ���� ������ 2��� #��� �C�� �D� -� ��! �� ��� ��� ��#�����" �# 2������ ���� �� ����� ��� �������C�D B �C��� �D: !��� �� �# ��� ���� ��<� �� �� )��� ��� ��0������ �# ��� �� ���������� ���� �# �C�� �D: !� .��E

����������C���C�D B �D ����������C�C��C�D B �D� � Æ

-��� �� � �������������

Page 5: Derandomizing BPP

'��� ( ���) ���� ���� ��� ���� �� �� ���� � ��������� !�� �� ���� �� �����"� ����� ����� � ��������� ���� ����� ������� �������� #�� ���� ������� ��� ������� ��� �� ��� ����������� ���� �� ����$� %��� �� �� �������� �� ���� ���� ��� ���� �� ���� �������� &� ���� �� ���������� ����������� �� ��� �� ���� ���������� ����

#� ���� � ���� �� ����� ������ � C� �� ��� ÆD���������� ����

����C�� �D � ���C�����C�C�D G �DD

! ���" 600�" ������� ��9 ��� ��4 �� ��;�����

����� �� ��� �� �������

/���?� ��� 0��%��� ��0����: ����� ��� ������" �� ���������� �# .��������� ���� #���2������ 0��"������ ������ -� ��" ��� ���� ��#��� �� ��� #�� ���� ��� ������. ��.��������: ���� ?��0� � #��� ����%��. �� ����������: �� ��� �������� ����� ��#������ 2"��0��1��" �����"� ���� ��: ��� #����� �� 0��%� ��� �1������ �# ���� #������� C#���������� ����� 2� ��0��� 2" 0��"������ ��<� �����D� ����� �# ���� ����": ��� ��������� !� !��� 0��%� !��� ��%� ��� #����!��. #���E

��� ��������� ��� ��������������

��� ��������� �� � ����������������

��� ���������������� ��������� ��1� ������� !��� 2� ��%���� �� ���������<��. ��� ���. �� !��? �� 0����2�� �0��%������0�����

��� �� ������������� ���������

�������� ���� ��������� � �� ����� Æ����� #��� Æ � �$ �� �� �� � C�Æ� ��� ��� ���D����������

��� ��� �������� � �� ��� �� ��

/���. �������" ����: ��� �1������ �# � �#��� .�������� ��0����E

���� ��C��� ��D � ���C��

�Æ

���D

�� ���� ������ !� !��� 2��� � Æ�#��� .�������� #�� ��� Æ � *� C/���� ��� ����0���� �������� ���� �# ���� #������ �1���D ���� ��0����E ��� � �Æ ����C��

Æ

D�

����� ��� ��� �������

� ���� �1��0�� �# @���� #������A ��� ��� !�" #������� ����� ��� #������ ���� ������" �� ��0��: 2� ���� �� ��%����

Page 6: Derandomizing BPP

�������� ���� � ����� �� ��������� � B ����� �� E �*� ��� � �*� ��� �� ����� ������� ���

� ����� �� � ��������� ������� ���� ������� ��

� ��� �"��� ����� �� ��������� �������� � B ����

����������C��C��C�D � ���� C��C�DDD ��

� ������ �� � �� B * ��� ��� ��

!� !��� �����" ���� ��� #����� �� 2� ��� �� ����

�������� ���� ��� ��� ���������� � �� � �������� ���� �� ���� ��� ���� �� ����� ���� �� ���� � ���� ��� �� � ��������� �� ��� ����� ���'������ ��� �� ������� �� ������������ ����

���������C��C�D B ���C�DD ��

�� !�" #����� ���� ����2�� #�� ��������. � .��������� ��?� �� ��0� �� � �*� ���:��� ��� �� B �C����D #�� � � B � ��CD� �� 0��0���" �# � ������ �����. �� ����.�%�� ��" 0���1 �# ��: ��� ��������. 2��� ����� 2� 0�������� ,��� ���� .�%�� ��� ����� ��� ��� 0��"������ ���� ����� 0����� ���� !��� ��� ��.��.�2�� ���� 0��2�2����"� )� !� ��"��0� ���� ���� ����� ������ �� � 0��"������ ����� ���� ����� � �� �����E �C��D BC��� ��� ��D��!�%��: ����� ��� ��%���� ������� !��� ���� �����E

�� �� �� ������ ��� ���� #�� � ������ �: ���C�D ����� 2� ��0��� 2" � 0��"����������� ���: ���� ���� ��� ��� �� ��� 0����2����" ���� ��� ���� 2�� �# ���C�D �� 2���0��� 2" � 0��"������ �����

�� �� ��� �0������2����" �# ��� �Æ1 �# � �����.: .�%�� ��+� 0���1 ���.� �� 0��%� ���� ��������. �� 0�����������= C���� ���� �� �� ���: ��� "+� ��� ��� �� ��� 0�����������!��� ���� �� ��� �00����� �������� C��� ��� ��DD�

��� ��1� #�! ������� ���� !��� ����� 0��2�����

����� �� � ��� ��� ��� ��� ������� �� ��� ��

6� !� ��%� ���� �� ��� 0��%��� ������: .�%�� � ���� #����� ! E �*� ��� � �*� ���: C�� ����� ! B ��� !��� � �� � ��� !�" 0���������D: �� ��" 2� ��� ��� ���� ���� 2��� ��� �������� 7�� �1��0��: ��� @������� ��.A #����� C!��� �� ��3����� �� 2� ��� !�"D: ��� ��@���"A 2�� C��� ����� ��.������ 2��D ��� � @����A 2�� C��� ���� ��.������ 2��D� �" @���"A2�� !� ���� ��� ���� �� 2� ��0��� �� 0��"������ ����: 2" @����A 2��: !� ���� ��� ������0���. �� �� �� ���� �� ��0���. ��� ������ #�������� !��� 2� ���: �# �%��" ���� #����� ��� � ���� 2��� �� !�" ������� �����%�� �� 2���=6�" 0��"������ #����� !��� ���

&

Page 7: Derandomizing BPP

�������� ���� ��"�� � ����� �� ��������� ! B �!��� !� E �*� ��� � �*� ��� � ��� ��� ���

! �� � ����� �� ��������� � B ����� �� E �*� ��� � �*� �� ���� ���� ��"�� � ����� �� ��������

� B ���� ����� �����"���

����������C��C�D B ��C!�C�DDD �

�G ��

����� ������ � ����� �� �������� � B ���� #���� �� ��� � �� � �����������$� ���� ���� ������������ �����

� ����������C��C�D B !�C�DD C��D����

� � �� �� ���� C ���������

D����

��� #����� � �0���� ��� @��������A �# !� ��� 0��������� �� ��������� ���& ��� �������� ����%� ��� #����!��. �����E

*���� ��� &� � �� � ��� ��� ����������� �� � �� � ��� ��� ��� ��� ���� ��� �"�������� �� ��������� �������� � B ���� �� �������� ��

���������C��C�D B ��C���� C�DDD

�G�

��

'��� ( ���$ (� ������ �� �)�� ��� ���� ��� ��� *���+ #��"����$ ��� �� ��� ��� ����������� ������� ���� �� ��� ������� �� ��� �� ������ �� ��������� ���� ��� ��� ��� ����

-� ��� ��! ��#� !��� ��� ���� �� 2��� ���� 2��� #�� ���� #������� ��� 0����" �# ��� �����0� 2��� ����� ����2��: 2� ���� ��" #��� �# �!� @����A 2��� @����A ��� ������ C7���1��0�� �# ����� 0����" �� �������D� ��� ������� �� �� ��?� ��� 0����" �# � ������ �2��� �#2���� �� ��?� ���� #�����: !� ���� �� �1���� ��� #������

�������� ���% ,�� � �������� � E �*� ��� � �*� ��� �)�� H� E �*� �����*� ��� � �*� �����*� ��� �� ��� ��������� ����

H�C�� �D B C�C�D� �D

,��� ����E

� �# � �� � 0���������: �� �� H� �

� ��%�� � ���� #�� H� : ��� �� ������ � ���� �# ��� ���� ��<� #�� � : !��� ����%����� ���� ���� 0��2�2����"� C���� ����� ���� �# � �� � ��� !�" 0���������: �� �� H�D�

� C H�D�� B HC���D

�������� ���& %�� �����������"�� �������� ���� E �*� ��� � �*� ��� � �*� �� �� �)��

�������C�� �D B C

������

����D �� B�

������

��

&� ���� ������� �� ������ �� �� �� ����- �� ���� �� ����� ������ �� ����� "������ �"���" C�D�

���� �� ���) #�����������"��$ ,�� �"��� �������� !� �� �� � ��� ��� ��� H!�

��� ���������$�%�� ������� �� � %��" ��#� ���� !����%�� !� ��%� � ���� ����2������#�����: !� �� 2��� � 2������ #����� ���� �� ������ �� �����

4

Page 8: Derandomizing BPP

����� ! � � ��� ��� ������� �� ��� ��

�� �� ���.� 0��%� ���� .�%�� � #����" �# ����� � B ���� �� ����E

����������C���C�� �D B ����CC!�C�D� �DDD �

�G ��

!� �� ������ � #����" �# ����� � B ���� �� ����E

����������C��C�D B !�C�DD C�

�D����

��� ���C�D B C ���������

D������� �� �������%� �� ���� 0��%� ���� ���. ���.���" ��>����� 0���������: ��� ���� �1���� ��������;� #�� ��� .������ ���� )� !� ����� 2" 0��%��. ��� #����!��. �����: C!��� !��������" 2� ��;���� �� � �0���� ��� �# ��� ���������$�%�� ������� �� ��� ��1� �������D�

*���� ���� ��"�� � ����� �� �������� � B ����� �� ��������� Æ�� ��� ����� Æ B C�D��� �Æ B C�D� ���� �����

����������C���C�� �D B ��CC!�C�D� �DDD � �

�� ��� ��������� � ����� �� �������� � B ���� ���� �����

����������C��C�D B !�C�DD C��

�DC�

��D

��� ��� �������� �� �� ���C�D B C���C�D�D�����

! ���" �����E� B ������������C�C�� �D B ��C!C�D� �DD � ��

)���EC� #C�DDC� �ÆD G #C�D � Æ

-� .�� ���� #C�D � ��� ��� � .���: �# �� �� �� �� 7�1 � .��� �: ��� ��� � B !C�D� �

��� �� �� ��0�� ��� 2��� �# � ��� 2" ���� ,��� ���� #�� ��� �E

�� B ��C�� �D���C�� ����D

!����

����� B

�I�� $ B �� �%��&��

)� �# !� ��� ��0�� ��C�� �D !� !��� 2� ����� )��� � �� .���: � ���� ���" #�� � Æ#������ �# ��� �+�� /���. ��� #�� ���� �# � �� ��#����" ������2���: �� �� ����: !� .�� #�� ���E

���������C��C�� �D B ��C�� �D� � ��C�� ����D B ��C�� ����D�D � ��Æ C���D

� ��Æ �� #�� ���.� #��� ��: �� �� ��0��������� ���� �..���� ��� #����!��. �����E

(

Page 9: Derandomizing BPP

� � ' �� ������ � �� � ��������� ���� ���� �� �������� ���������� �� �� �*� ��

��� ��� '�������� %� B �C�� ��D� �� %���� B �C�� ����� D������� ��� B %� � %���� ���� �� �� ��� ������� ��� ����

#���� � ,�� ��� � ������C�� �B ��D ������

! ���" )��� � �� .���: ��� ��� �� ��� ��#����" ������2���: ��� ������ !��� ��� �%������: ��� B ��� )� ���� 0����� ��0��� �� !��� ���� ��%����.� �%��

��� )��� ��� ��+� ���

����0������: ��?��. ��� ��3����" �# ��� .����� ��0����� ��� ���� 0��2�2����"� ����� ��������� �������� %����2��E

(�� B

�� ��� B ��* �%��&��

��� ��� (� B�

� (��: ���. ��� �����> ���;����" !� .�� #�� ��� �E

�����C(� �

�D �����

!��� �� �� ���������." �� ��� ��;����� ������

/���. ���� � !� ��%�E�����C� E �

� �B ��D ������

7�1��. � B JC��.�D !� .�� ���� ��� �..����� ����� ��0��� ��� ��� 2��� �# � ������":!��� 0��2�2����" � �

������� ��� ����� �� �����" 2� ��%����� ���� � ���� � �# ��<�

C���C�D�D����� C6� ���� 0���� ��� ���� �� 0��2�2������: �� �� �������" 0�?� ��� ����D�-��� �00�"��. � �� � ��#����" ������� ��0� �� ����� �� � #C�D � �

����� ���� �

�� .���: !��� ���� ��00��� ��� ����"��� !� ���� �� �����: ��� �� � ��0��� � B !C�D������" !��� 0��2�2����" C� �

�DC� �

������D� �� �����#��� � ���� � ������������ ����:

!� ���0�" ���� ����: )��� � ����%�� ��� ������� ���� 0��2�2����": �� ������ �: ��� ��� �������� �� � �1��. �# ��� ��� ��: �� ���� � ����%�� ��� ���� ���� 0��2�2����" �� �������: ��� �1�� ��� ��� ��� ���� �C�D �� 2� ��� ���� � !��� ��� ��� �� ��� �1��� ���� �������C�D ���C�D: ��� �� � �� ��� ���� !� !����� �� 2��� �� ��� ���� 0����

�-� !��� ��! 0��%� ��� .������ ����

*���� ���� ��"�� � ����� �� �������� � B ���� ���� �����

����������C���C�� �D B ����CC!�C�D� �DDD �

�G ��

�� ��� ��������� � ����� �� �������� � B ���� ���� �����

����������C��C�D B !�C�DD C�

�D����

�� ���C�D B C ���������

D�����

K

Page 10: Derandomizing BPP

! ���" -� !��� �����0� �� ������� ��� 0���# �# ����� ����� �����E

� B ������������C�C�� �D B ��C!C�D� �DD �

�G

��

�� �� �2%��� ���� #C�D ��� 6.���: ��� � .��� �# � � �� 7�1 � .��� �: ��� ��� � B !C�D�

�� �.���: �� ������." !��� 2� �� ��0�� ��� 2��� �# � ��� 2" ������!�%��: !� ��+� ��0����C�� �D �����C�� ����D: �����������": !��� 0��2�2����" .���������� �

��� !� ��� �� ��� 0��%��� ���� )00��� !� ��� ������ � ������ �# � %����� ����

�� ����E

�� ��� ��+� ��� ��#����" ������2��� ��� 0���!��� ����0�������

�� !� �� ��0�� %� B ��C�� ��D #�� ��� '�

�� ���� ��� !� ��� �� �1���" ��� ���� ������." �� �� ����� ����: �� ������� ����� �����" ��� �1�0����: ��� ��+� ��� ��� ����0������: ���" 0���!��� ����0������� ��!�%��: !��� ����� ��0��#" ��� ���� 0��2�2����" ���. ���� ����0�����

#���� � ��� ��� �� �����C�� �B ��D

���

! ���" ��� 0���# �� ������� �� ��� ��� �# ��� ���� �� ����� ����� ��� ���" ��>����� ������ !� ����� �� ��� �����> ���;����": 2���� ��� ��+� ��� ���" 0���!��� ����0������:��� �� !� �� ��� ��2"��> ���;����"� 6.��� !� ����� ��� ������ �������� %����2��E

(�� B

�� ��� B ��* �%��&��

��� ��� (� B�

� (��: ���. ��� ��2"��# ���;����" !� .�� #�� ��� �E

���C�(� �C(�D�

��

�D

���

!��� �� �� ���������." �� ��� ��;����� ������

/���. ���� � !� ��%�E

�����C� E �� �B ��D

��

���C���D

6�� ���: !� �� ��0�� � B !C�D: !��� .��� 0��2�2����"� ��� 0��2��� �� !� ���+� ?��!��! �� #���� �������� � �2�%�� ��!�%��: !� �� ����%� �� !��� ������.��.�2�� 0��2�2����"�

�+� !��� 0��2�2����" �� �� �: ��� ��� %�+� �� 2� ��0��� �����������"�

)�� � B ��. �: ��� ������� ��� #����!��. �����E ��� � ��� � �������� ������ ������ ��!� �� � ���� ������� �� �*� ��������� �� B) � ' � ��� ' � �*� ���

���� � ��� � * �� �*� ���

9

Page 11: Derandomizing BPP

�� �� �������� �� ��? ���� ��� ��+� �����#" �������� � �2�%�� ���� ���� #�� ��� 'E

%� B ��C�� ��D B ��C)'D B C��)D�'

C!���� �����1 ����0�������: �� �%�� �7C�DD� ���� ) �� � ������ �����1: �) �� ��#����"������2��� �� ��: !��� ��0����E

����C* B �)D B ��� B �� �� �

-��� * B �) : !� �� ��0�� %� B *�' #�� ��� ' � �*� ���: C��� ��� #���� ����������D� 5��2����. ���� !��� ���� ���: !� �� 2��� � 0��2�2������ ���� � ���� ��0��� ������ ��+� ������" !��� 0��2�2����" �

� �� �C� ����D� ��� ���� �� �# ��<� C���C�D� ��. �D�����

������. � B ��. ��

��: !� .�� ���� � ��0��� � B !C�D !��� 0��2�2����" C �

�D����: ��� ���C�D B

C ���������

D����� -��� ���%����. � �� ��#����" ����� � ����� �� � ������ ���� � �� .����

-��� ���� ��00��� ��� ����"��� !� ���� �� �����: ��� ��E

�����C�C��)� *D B !C�DD �

�� C

�D���� B C

�D����

���� �� �1���" !��� !� ���� �1�0� #�� ��� #�� ���� � �� 0��2�2������ C�� ������ )�*�������"D� ��!�%��: ���� � ��0��� !C�D !��� ���� 0��2�2����" �# ����: !��� � �����+� @������ ����A ��� 0�?�� �������": ����� ��� �� 2� ���� !�" �� �1 ��� @����������A !��� ����%�� ��� ���� 0��2�2����"� #������"E

�����C�C��)� *D B !C�DD B ���C���C�C��)� *D B !C�DDD

+���C���C�C��)� *D B !C�DDD

�1��. �C�D B �C��)� *D #�� ��� )�* !��� ����%� ��� ��1���: !� ��%� ���� � �� ������� !� !����� �� 2��� �� ��� ���� 0����

����" ! ������� ��� �� #��������� ���

����� ���� � �����. �� @'�����������A �# �� 0����� ���� ���� �# 0�����2�� ������ C�� ����� �# �%��" ���� �# ���� 2����� ��<� ����� ������.��� 2��!��� ��� 0����������������. ��� � ���" ������ ���D� -�+�� ��� ����� ����� ���������� �����E

�������� ���� � ����������� ( �� �*� ���� �� ��� �� ������ ��� ����������� ����� �� ���� ���� ��� �"��� ������� �� ���� ��

����������C�C�D B �D ����������C�C�D B �D� �

/���. ���� ��������: � C�� �� �� �D�.�������� �� ��� ���� ��0����� ��� ���������� ����� �# ��<� �� 6���� ��� �# ������ ����� !� ������ ���� ������ �����.� 0��� ������� ?��� �# �����: !� !������E @0�������� �����A�

�*

Page 12: Derandomizing BPP

�������� ���� � ����������� ( �� �*� ��� �� ��� �� ������ ��� ��������� ����� �� ���� ���� ��� �"��� � � �� �"��� ������� �� ���� � �� � �������

����������C�C��� ��� ����D B ��D� �

�G �

,���� ���� �# � ������2���� (: ��0����� ��� ���������� ����� �# ���� ��<�: ���� �� ��0����� ���0�������� ����� �# ���.���" ������� ��<�� ���� �� ���: ���� .�%�� � ���� � ���� 0��������� +�� 2��� -� �� ������ � ���� � � !��� .��� � 2���: ���%���� � �� ��� ���� �2��� ��� ��0���� ��� ����� �� ��� .�%�� +�� 2��� � ������ �����.� � � ��0�� �: !���0��2�2����" �

�: !���� �� �����.� ������� #��� ( �� ��0�� �: !��� 0��2�2����" �

�G �

�� �� ;��� ��0�����. C��� %��" ��#�D ���� ��� �00����� �������� �� ���� ���E

���� �� ���� &� � ����������� ( �� �*� ���� ��������� ��� ��������� ����� �� ���� �� ����

�� �������� ��� ����������� ����� �� ���� �� B � C�D�

! ���" $�� � 2� � ���� �# ��<� �� �� ����E

����������C�C�D B �D ����������C�C�D B �D� �

-� �� %��! ��� �����. ����� ������. �� ( �� � 2�� ������ %����2��� ��� ��� ��� -� !���%��! ��� ��#��� ������2���� �� � 2��� ��� ���� !�": ������� ��� ��� ��� �����E

� (� B C��� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ��D

� �� B ����� C�C�D B �D

,���� ����E

� (� B ,� C��� ��#��� ������2���� �� � 2���D�

� (� B (

� �� B ����������C�C�D B �D

� �� B ���������C�C�D B �D

�� #����!� ����E� ��� ��� B

������

C�� ����D �

�����

��� �����

)� ����� �1���� �� ����E ��� ����� ��� !�����.� ����� ����E

�� ���� �

�C���D

����E I(� B C��� ��� ��� ����� I�������� ��� ��D: ��� I�� B ���� �C�C�D B �D� ,��� ���� (��� B

��� ���

�: C������. ���� (��� �� ��� ���� �� L�00��. � ��� ��� ���0���. #��� (� ��� I(�

��0�����. �� ��� ����� �# ��� ���D� ���� ��0����E

��

Page 13: Derandomizing BPP

���� B�� G I��

�C���D

$��+� ��0����� �*� ��� �� ����� 0����E �*� ��� B �*� ����� � �*� �� � �*� ����� ������� -� �� &���0���%��"�-� !��� ������ � ���� � � �� � 2��� C������� DE���� � �� �*� ������� & �� �*� ��

���

�����"���� �C-� �� &D�� �� ������� �#� ����� �� �������� ����� I��

#���� � ��������������������������C��C��� ��� ����D B ��D

��G �

������� ���� ����� �� �

���� ������� ���� ������� ��� .�� ��� ��"�� ��� ���"���� �����

! ���" -� !��� �� ������ ��� 0��2�2����" ���� � � ��0��� �� ������"� ��� 0��2�2����"�� �%�� ��� ���� �# - B C��� ��� ����D: ��� ��#����" ����� �:&� C-� ����? �# � �� ��: ��� &�� C����� ��� ��DD�

��C� �C-D B ��D B ��C�� B ���C-� �� &D B �D��C�C-� �� &D B �D

G��C�� B I���C-� �� &D B *D��C�C-� �� &D B *D

!��� �� 2� !������ ��E

��C�� B ���C-� �� &D B �D���� G ��C�� B I���C-� �� &D B *DC� ����D C���D

-� !��� 2��� ���� �10������� 2" 2�����. 2��� ��������

��C�� B ���C-� �� &D B �D B��C�C-� �� &D B ���� B �D��C�� B �D

��C�C-� �� &D B �DC���D

B��

�����

��C�� B I���C-� �� &D B *D B��C�C-� �� &D B *D��� B I�D��C�� B I�D

��C�C-� �� &D B *DC��&D

B� I��

�C� ����D

5��2����. ���:��� ��� ��&: !� .��E

��C� �C-D B ��D B�

�G

�� I��

�B�

�G

-���� ��� ���� �;����" �� ���. ��� ��� ���� ���� ��0����� ��� 0���# �# ��� ������

��

Page 14: Derandomizing BPP

-��� �� ��#� �� �� �����#��� � � �� � ������������ ����� ���� �� 2� ���� 2" �1��. �� &:���.E

+���C���������C����C��� ��� ����D B ��DD

���C���������C����C��� ��� ����D B ��DD

B �����������C����C��� ��� ����D B ��D

������. � ��C�D B � ���C�D !� .�� � ���� !��� 0������ ��� +�� 2�� !���

����%����.�� ,���

����E ���C� ��D B ���C�D G C�D� C& ��" 2� �# ���.�� �D: �� � B �� G C�D �� ��������

/���. ������� ���& �� ��� �� ���! ���� � .�������� 0����� ��� 0�������� �����: �� ������� ���! ���� �� 0����� ��� ���������� ������

����$ %�� ���� �� & ��� �����

-� ��� ��! �� � 0������� �� ����� ��� �����0�� !� ���� �� �2������ �����: ��� ��������� ��Æ����� !� 0������ �� ������ �����: ���� !� !��� �� ������ � Æ�#��� ���������:C#�� ��" .�%�� ÆD: ���. ��� ���� ����0���� ���� ��� !�" 0���������� �1���� �� �2����������� !� 0��%�� ���� �# ��� !�" 0���������� �1���: ���� ����� �1���� ��� !�" 0����������!��� ���� 2��� C������� ���*D� )� !� ����� !�����.� ���� ��� ��� � ���� 2��: !��� !�!��� ������ � B ����� ��� ��������� �� ������ �� ��� #����!��. !�"E

�������� ��� #%�� ����/������!�� ���������$ ,�� * � Æ � � �)�� ��� ����������Æ B ��Æ

�� ����� ��-�� �� ����� �Æ ���� ����� � �� ������ � ����� ����

� �� B ��

� �� B ��ÆC����D ��� � � ��

� �� B ��ÆC��D�

� ��C�D B C����� ����� ��� ��D�

����� C��������� ����D ���� � Æ�#��� ���������: �� ��� ���� ��� � 0��"������ 0������ ���1���� �Æ 2��� ���� � 2���: ��� ����� � ������2���� ���� ��0����� ��� ���������� �����: !���������� ���

� B * #�� ��� ��

���� �� ���$ ,�� ��� * � Æ � �� �Æ �� � Æ����� ����������

! ���" 5��0���. �� �� ������ 0��"������ �� �: ���� � ��� � �� 2� ��0��� �� 0��"�

������ ����� 7�� #��� ��: !� �����? �� ��� �������� 2��!��� Æ ��� ��� �����. �����# �Æ

'��� ( ���% %���� ������ �� ���� ���� ��� ��� � �� ���� �� ��� ���

��

Page 15: Derandomizing BPP

-� ��! 0����� !��� ��� 0���# �# ��� ��������

#���� � ,�� ��� �� ��

���������� ��� ��������� ����� �� ��������� �����

! ���" )00��� ���� ����� �1���� � 0��"������ #����" �# ����� � B ����: ���� @�����A��� .��������� ���� ��: ����� �1��� � �� ���� #�� ��������" ���" � ����� �1��� !���E

���������

Æ C�C�Æ�C�D�������D B C�

�C�D��D

��

-� !��� ������ � 0��"������ ���� � � ���� ��0��� ��� ���� 2�� �# ����Æ !��� ������.��.�2�� ��%����.�E

$� ����� � � �*� ���Æ

�%�� �� B �� ������ ���� B ��ÆC��D �� � $ ���&����� %� B ��ÆC��D �� � $ �������� �C%���� ��� %�D

,��� ���� � � �� �# 0��"������ ��<�� -� !��� 0��%� ����E

����������

Æ C� �C�D B ��ÆC����Æ C�DDD

��C��4D

��� ������ �����2�� C%���� ��� %�D ��� ��� ���� ������2���� �� ��C�D�������� �� ��� ����:

���� ���� ��Æ �� � 0���������� ���� ����� ���� �# ��+� ��0� �� ��#����" ������2���: �� ����+� ��0�� )�: �������� �� ��#����" ������2���: ��� ��� ��� ���� ������2���� �# �� 7������� 0���� 2��� ��� .�������� ��� ��� ���� �� ��� ���� 0������ �� ��0�� ��� 2�������� ����� ���� � � ���%���� � !��� ��� ���� ������2���� �# ��� .��������� � ��: ��� 0������� �� ��0�� ��� +�� 2�� !��� ������.��.�2�� ��%����.�� ��� +�� 2�� �� �1���"��ÆC�

���Æ C�DD� ���� 0��%�� ��4� ,��� ���� ���C�

�D �� 0��"������ �� �: ��� ���� � �� � ����2�� �# ���: ���� �� � ������������

�/���. ������� ���& !� ���� ���� �Æ

��

���� �0����� ��� ���������� ����� �# 0��"������ ��<�: #����� �� ���� ��0����� ��� ��� ��������� ������ �� ����#" �Æ

� �� � �#��� .��������� �

���� �� ���& #��� ������� ����/������!��$&� ��� ��� ����������� ����� ���� ��� � �Æ ����C��

Æ

D

! ���" 7�� � �1�� Æ � * !� 0��%�� C������� ���(D ���� ��� �1������ �# � ��� !�" 0���������� ��0���� ���� �Æ B ��Æ

�� �� � Æ�#��� .��������� �����? ���K ��"� ���� ����� �� ���� �C!��� ���� ��� ��0��� �� ÆD �� ���� �Æ

� ��� �� ���� ��� !� �� �� �������" ���� ���

��������� ���� �� .��E

���� ��C��� ��D � ���C��

�Æ

C�� G ���DD � ���C����Æ

D

��?��. ÆC.� �D B ��!� .��E

���� ��C��� ��D � ���C��

D

)��� ���� �� ��� #�� ��� �� .: C��� �!�����. 2��!��� . ��� ÆD !� .��E

��� � �Æ ����C��Æ

D

��

Page 16: Derandomizing BPP

��� �� ��������������� ���������

����� ��� ��� ������� �� '��(( )���*�� �������

�� ��� 0��%��� ������: !� !��� �2�� �� ���������<� �'' ���. ��� ����0���� ���� ���!�" 0���������� �1���� -� !��� ��?� �� .�� ��� ���� ������� ���. � !��?�� ������������0����� 60��� #��� 0�� ����������� �����#�����: ���� �� ����%���� 2" ��� �2���%��������� ����� ��� ������" ���" #�! #������ !��� ��� ��3����� �� 2� ��� !�"� 60��� #�������: �� �� �>���� !� ��" �� ������ ��� @�������A 2��!��� ������������ ��� 0��2�2��������0������� ��� #����!��. ������� ���!� ���� ��� �1������ �# ��� !�" 0����������������" ��0���� � ���������� �� ��� 0�!�� �# ��� �

���� �� ���) &� ��� ��� ����������� ������ �����

C/� � � /� D ���� �B M

*0������� �� ��� �������� ������ �� ������� /� � � !�+�

! ���" $�� � 2� � ��� !�" 0���������: ���. ������� ���* !� �� ����� !�����.� ������� ��� � ���� 2�� !��� !� !��� ������ � B ����� ������� ��� ���.�.��E

�� B ��� �C���C�DD B �: #�� � �*� ��

,��� ���� #�� � �*� ��: �� � /� : 2���� .�%�� � ��� �� .��� � B ���C�D !��� ���# ���.�� ���: ��� ��? �� 0��"������ ���� ���� �C�D B �: ��� �C�D B : ��� ���� � ��� 0���������: �# � �� �� ����� �� �� � ���� �������� 2��� ���������� ���� �� ��� ���� ��� /� : 2���� ���" ��0������ ��� ������ � ��� ����� ����: ���� �# ���� �� �� ��� �)00��� �� � ��� : ���� ����� �1���� � 0��2�2������ ��.������ �: !��� ��0�� �� !����!� ����� ����� �# �

�� /���. 6������+� ������� C��� � �0� ��: !��� !� !��� 0��%� �� ���D

!� .�� � ���� ���� ��?� ���2�����0 �� ��: �� � ���� ��0��� C�C���DDC�D �� �%��"

��0�: �� �� ��� ���� 0��2�2����" ��6��������%��": !� ��� ��?� �: �����#��� �� ���� � 0��2�2������ 0��"������ ���� C!��� ������� ���� 0��2�2����"D: ��� ���� �1 ��� ������ ��0� �� � ���� !��� ����%�� ����0��2�2����"�

�6� #�� �� !� ?��!: ��� ��" 2� �� 0�!��#� �� ��� : �� N�

" � O�" : �� !�+� ������ �� ��

����0���� ���� ����!� ����� ����������$��+� �1����� ��� !�" !� ��� �� �������� ����0����E -� ���� ��� #����� �� 2� @���"A#�� ��#��� ������������ ��0������: 2���� ��� .�������� ��� �� ��0�� ��� #������ � ��� ����� ����: �� C�� ��+� ��%����: �� ��� ��� �# ��� !�" #������D ��� �� 2� ���� #��0��"������ ������ 2���%� ���� !��� !� �� �������" ����: �� ����������<� ��� ���.� �#��� .��������: ��� ��.������ #���� !� 0�" �� ��� �����. ���� �� ��

Æ

: !��� �� �����2���� �# ��� ���������� �# ��� 0����2�� ����� �# ��� .��������� ��� �����2���� �# ��������. ���� �# ��� .�������� �� � �� ������� #����: �� �� �� ��� �10����������� )� !���� ����� .�� ��� ����� �# ��� .�������� �Æ

� E �*� ���Æ � �*� ��� !��� �� �� ���� ��

���� )���

��� .�������� ��� �� �10�������� ����: !� ��" �� !��� ��%� ��� @��������A �������� 2�E ���#����� �� 2� ��0��� �� �10�������� �����

�&

Page 17: Derandomizing BPP

�������� ���� ����� �� ���������� � B ��Æ� ��� * � Æ � � �� ����� � '���- ����� ������������ �� ����� ����� � �������� � ���� ���� ��� ��� Æ� �Æ �� � C�Æ� ��

�Æ

� ��� ���D����������

��� ��� �� ��

5��0��� ���� !��� ��� ��������� �# Æ�#��� .��������� C��������� ����D� ��� ���� ��>������� ���������.���: ���� ��� �����. ���� �# ��� .�������� �� .���. �� 0��" � ����: ��� ����0������ �� Æ: !� ���� �� �0��? �2�� � #����" �# .���������� ��� ���" ����� ��>������� ���� !� ����! ��� .�������� �� �� �� �10�������� ����� -��� ���� �� ���� !� ����� ���#����!��. ���� �# ���� #������E

�������� ���� �������� � B ����� �� E �*� ��� � �*� ��� �� ����� *������������� ��

��������� ��������+ �� ��� �"��� ����� �� ��������� �������� � B �����

����������C��C�D B ��C��C�DDD ��

����� ������ �� � �� B * ��� ��� �� (� ���� ���� ���� ��������� *�������������+� ������

��� ���� �� ��� ���������

'��� ( ���� (� ���� ��� �� ����� ��� *��������+ �������� �� � B ����� (� �����"� ��� ������� ��� ��������� ���� �� ������ � B ����� 1���� ��� ��������� ���� ������������� ���� �� �� �� ���� ��� ���� � B ����� �� ��������� �� ����������� ����%��� �� � ��� ���-�� �������� ���� ��� ��� ���������� 0����� ���� ��� *����+ ��� �� ������������ ��� ��������� �� ��������� ���� 2��� ���� ��������� ����� �� � � #������ ������� �� � �� ��� �� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� ���������$� %��� ������� �������� �� ����� �����������

5��0��� ��������� ���� �# ��� !�" #������ C��������� ����D: ��� ���� ���� ���. ������������: � ��� !�" 0��������� �� � 0��"������ 0��������� !���� ��%���� �� ��00��1����2��� 5��� !� �� ��� ���� ���������: ���.��. ���" ��� @��������A �������� �# ������ !�" 0���������= ��� ���!�� �� ��.���%�� -��� !� 0��%�� ���� ��� ����.�������� ��#��� C������� ���(D: !� ��� ��� #�� ���� ��� ���" ���� �� 2� ��0��� 2" � 0��"����������� ��� ���� ��� �� �� 0���� � .�����������?� 2���: #��� � ���.�� ��0�� ,������� ���� ����" ����� �����0�2��� -��� ��������. � ���� ���� ��0��� ��� ����#�����: #��� � ���� ���� 2���?� ��� .��������: !� ��%� �� ������! ��0�� ���" 2����# @���������+� ��0�A �� #��� ���� ��� ���� ����� �� ����� ���� ���� ��;���� ��� ���� ����%� �� �� ��0�������� 0�!�� �� ��� .��������� ��� ��%�� ���� 2����� ��� .���������� ���� ��� ���� ��0������� #�� ��+� !��?���� 2" ���. ��+� ������#�����"�

����� +�� �� ��,��� ��

�������� ���� ���������� �� ���� �1�������� ����� 1� � P�Q �� ����� � C��D������ ���

� ,�� ��� � �1�� B

� ,�� ��� �B $� �1� � 1�� ��

�4

Page 18: Derandomizing BPP

� ��� �� �� ������ � ����.� ������<��. �� � !���� ��1���<��.� C�� �� !��� 2� #�������# �D�

���� �� ���� ,�� � ���� ����� � ���� ���� ��.� �� ����� ������ � C��.��D������ ���� � B ��

! ���" )��� �� 0����: �" CD �� � ���� �%�� PQ� -� !��� ��?� � B �: ��� ������#" P�Q!��� PQ� PQ� ��%�� � 0��"������ 2 �# ��.��� � ��.�: �%�� �" CD !� �����E

1# B �C�� 2C�DD � � � �

,��� ����E

� 7�� ��� 2: �1#� B �

� ����� ��� �� ��� � 0��"������� 2 �# ��.��� ��.� �%�� �" CD�

� 7�� 0��"������� 2 �B 2�: �1# � 1#�� ��.�: C2���� �!� 0��"������� �# ��.��� � �.����� �� ���� � 0�����D�

�7�� �� 0�0����: !� ���� ��� ����.� �� 2� ��0��2�� 2" � 0��"������ ��.������� ��%��� 0���� ��2�� : �� �� ���" �� ��0�� ��� ��������� �# �" CD: ��� ��: ��� ����.� ���������2�� �� ���� 0��"������ �� �� ����� ��� ���������� �# ������������ 0��"��������.�������: ���� .�%�� � ��2�� ������ � 0���� ��2�� � �� ���� � B JCD�/���. ����: !� ����E

#� ���� � ��� %���� ������ � ����������� ��������� �������� �� ����� �� ����� C��D#����� �$� ������� ���� �1�������� ����� ��� � C��.��D������� ���� � B C�D�

����� -�� �����. ��� .��� ��

-� !��� ������ ��� .�������� ���. ��� ����0���� ���� ����� �1��� � #����� � ��������� 2� �00��1������ 2" 0��"������ ����� C��������� ����D� 6� ���� 0���� !� !��� ����� �������%��$�%�� ������� C���*D �� .�� � 2������ #����� ���� ����� 2� �00��1������!��� ������.��.�2�� ��%����.� 2" 0��"������ ������

*���� ���$ # �3����� ���������� �� ������ 4�56$,�� �"��� �������� � B ����� �� E �*� ��

� � �*� ���� ����� ������ � �������� � B ������� E �*� ��

� � �*� �� ���� �����

4� ��"�� � ����� �� �������� � B ���� ���� �����

����������C��C�D B ��C�DD �

�G �

����� ������ � ����� �� �������� � � B �� ��� ���� �����

����������C���C�D B ��C�DD C

�D����

�� ���C� �D �� ��������� �� ���C�D� �� ���

�(

Page 19: Derandomizing BPP

5� ��"�� � ����������� �������� � ���� ���� �� ��� � �� ������� � � ����� ������ ���������� � ���� ���� �� ��� � G ����� �� ������� ��

! ���" C��� 0���# ��� ���������� #��� ������ �����D��%�� � B ���� ����� � B ����: �� ��� #����!��. !�"E

��C�D B ��C H�C�������� ���

������D

�� �� 2���� �� ���: 2� ���� �����+� ������ ���� ��� �������� ��� ��� �>���� 2" ���������

��� ���� ������� �� � �����.�� #��� ������� ���*: ��� ��� �2���%����� ���� � ���� ������0��� H� !��� ���� ���� 0��2�2����": ��0��� � !��� ��� ���� ���� 0��2�2����"� �������� ������� �� ���� �����.��#��!��� ���. ��� #�� ���� �� �� ��0��2�� �� 0��"�����������

�/���. ����� ���(: !� ��! ��%� � #����� � B ����: �� ���� #�� �%��" #����" �# 0��"����������� � B ����

����������C��C�D B ��C�DD ��

7�� ���� #����� �� �� ���� ������ �� � �� B *: #�� ��� � � *� -� ��! ����� � ;�?

#����" �# .����������

�������� ���% #%�� ������(������� ���������$ ,�� )�� Æ �� �)�� ��� ��������� �Æ B

����� �

� E �*� ��

�Æ � �*� ���� %�� ��������� )��� ������� � C��.�� �Æ� D������� �1�������

����� ��� ��� �� 1� � P�Q �� � B �Æ #���� ��� �� ��� �� ��� � ��C�D ����� ��������� 4�78$���"�� �� ����� � � �*� ���

Æ

� 9�)���

� �� B ��ÆC��$�D�

� �ÆC�D B C��� ��� ��D�

���� �� ���& ��� ����� ��� �� � '���- ����� �� �����������

! ���" -� ����� 2" ���������. ��� �����. ���� �# ��

#���� � �Æ ���� �� ��� ����Æ�

! ���" -� ���� �� 0��%� ���� ����� �� � ������� �: �� ���� #�� ��� Æ: �Æ ��� �� ������

�Æ

� �Æ ��� � 0��"������ C�� �D: 0������ �� ������ ��� ����.�� 7��� ����� �� ���"��0��� ��Æ : � ������ � �� ��0��2�� �� �10�������� ����: ��� ���. ����� ���(: �� �� ��!� ����� ���� �Æ ��� �� ���� � ��C�DG� � ���

� #�� ���� ������� �: C!��� ��0���� ��

�D� ���� �� ������ ������

��� ��0���� ��� 0���# !� ���� �� 0��%� ���� �Æ ���0����� ��� ���������� ����� �# 0��"��������<�� 7�� ���� #����� ��: �� ���� �������%� �� ��

� B * #�� ��� � � *� /���. ������� ���&:�� �� ���.� �� 0��%� ���� ����� �1��� �� � #����� �� �� ���� �

Æ ���0����� ��� 0������������� �# 0��"������ ��<��

�K

Page 20: Derandomizing BPP

#���� � %���� ����� � �������� ��� ���� ���� ������ ��� B * ��� ��� �� �� �Æ ��������� ������������ ����� �� ��������� �����

! ���" �# ��� ���� ���� ��� ����: ���� ����� �1��� � ������� �: ��� � #����" �# ������ B ���� !��� ��� 0��"������ �� �: �� ���� #�� ��������" ���" �: ����� �1��� �� ����E

����������

Æ C��C�Æ�C�D�������D B �Æ

�C�D��D �

��C��(D

-� !��� ������ � #����" �# 0��"������ ����� � � B �� ���: �� ���� #�� ��� � !����

��( �����: � �� !��� ��0�� �

��!��� ��� ��.��.�2�� ��%����.�� �� !��� 2� ��%������ #�� �

�� 2���? �*� ��� �� �!� 0���� C�� �D: !���� � ��� ��� 2��� !��� �00��� �� 1� ��� � ��� ������� �# ��� 2���� )��� ��( �� ��� #�� ������ � B C�� �D ����� �1���� ���� ��: �� ���� ������;����" ����� #�� �1�� �� ��� ������ �� 7�1��. � B ��: !� %��! ��� ��+� �� � #����� ���"�# �� -��� ���� %��!0���� #�� ��� $ �B : �� B �

��CC�� ��D�$D �� � #����� �%�� ��.� 2���� ����

�� 2���� #�� $ �B : �1� � 1�� ��.�� 6�" #����� �%�� ��.� 2��� �� 2� ��0��� 2" �

���� �# ��<� �: 2" ���0�" ���. ��+� �/" �� (/" ��0������������ � ��0� � � �*� ���� :

��� ���� � � !��� ��0�� ��� ��� ���� ��� ���%��� ��C��� ��� ����D� ,��� ���� � �: ��� ��� �

��C!��� ��0��� 2���: !���� ��� ��;���� ��<� � �� �# ��<� �� ���� �� G ���C��D� )�

�� �� 0��"������ �� �� � � � ��#����" ����� � �� �*� ��

�� :

� �C�D B �C��C�� �

�D�������D

����� ���� ��C�� �

�D�� B ���C�D: ��� ��: � � ��0��� � !��� ������.��.�2�� ��%����.�: !���

�� � �������������

���� ��0����� ��� 0���# �# ��� ���������

'��� ( ���) ���� ���� ��� ������������� �� ��� ������� ����� �� �������� ���� �� ��������� &� ������ � � �� *-���+ �� �� �"����� %��� �� �� ��"� �� ���������� ���� �� ��������������

���� �� ���� #��� ������� ������(�������$&� ����� ����� ��������� ���� ��� ��������� �� ����������� ��� �� ������ �� ������������ ��������� �������� ���� ��� � �Æ ����C��

Æ

D�

! ���" -� ��%� 3�� 0��%�� ���� ��� �1������ �# #������ ���� ����� 2� �00��1������2" 0��"������ ����� ��0���� ��� �1������ �# � ;�? #����" �# .���������� /���. �������"��� !� .�� #�� ��� �

���� ��C��� ��D � ���C��

�Æ

C������

G ��DD � ���C����Æ

D

#�� ���� ������� �� �" ������. ÆC.� �D B ��: !� .��E

���� ��C��� ��D � ���C��

D

)��� ���� �� ��� #�� ��� �� .: C��� �!�����. 2��!��� . ��� ÆD: !� .��E

��� � �Æ ����C��Æ

D

�9

Page 21: Derandomizing BPP

����" / .��� �� � ������ ��(�� �� ����

�� ���� ������ !� ��%���� #��� ��� ���� �23�� �# ���������<��. ��� �� ���! ��������� �# ��� .��������� �� ����� 2� ��������� ���� ����������": ��� .�������� !�� ��������#�� ���� ���: ��� ���" ����� ��� �� ���������<� ��� � 6� ��0������ �2���%����� �� ������ ��� 0���# �# ������� ���9 -� ��� ���" ��� #����!��. 0��0������E

�� � ����� 2� �00��1������ 2" ��� ����� �# ��0������ !� !��� �� #����

�� ��� ����� �# ��0������ !� !��� �� #��� �� ��0�� #������ �%�� ��.� 2����

����� ��� %��" .������ 0��0������: ��� �� ���� ������ !� !��� �� ��� ��������� �� 2���� .�������� ���� #���� ������� ��0�� ������

�������� ���� � ������� ������ �������� �� � ������ ������� ������ ����� ���� ����� ������ �� � ���� ���� #���������$� :������� �� �������� ����� ��� ����� ������� �� ��������� ��������� ���� ��� ����� �������� %�� ������ ��� ������ �� ����� ����� �� ����� ���������%�� ������� *�������+ �� ��������"��� �������� ��� ��������� �� ���� ����� %�� ���� �� �������� �� ��� ������ �� � ����� ���� ��� ����� �� ������� %�� ���� �� � ������� �� �������� �� ���� �� ��� ������

�� ��?�� �� ����� �� 0��� � ���������� �����" �� ����+� ��0��: ���� ��0�� � �����: ����0�� ��� #������: 2" ���. ����� (/" ��0������������ ��!�%��: �� 2����� ����������.�����. � ��<� �����������

�������� ���� %�� ����� ��� �� ��� ����� �� ������� ������ ��������� �� �������� ������ ���� ��������� �� ��� ����� �������

�� ����� ���� ��� ����� ��� !��?�� ���� ��.��� 0��"������ ������ 6� �%����� �� ������ ���� !� �� ?��! �� 0��%� ���� ����� ��� #������ ���� ����� 2� �00��1������ 2" ���

������ �� �� �1��0�� �� ��� 0����" #������

���� �� ���� #2����$

,�� ��� ����� � B ���� �� ������� ������ �������� �� ���� �� �� ���� ���

��

�����������C��C�D B �+����C�DD�

�� ���

� ��

)� !� ��%� #������ ��� ���� �������� �2�%�� 7�� ��� ����� ���: ���� ���� ��" #������%�� ��.� 2��� �� 2� ��0��� �� ��0�� �: ��� ��<� �: ���. ��+� (/" ��0������������ -���� �� �+���� �� � ���� 2������ #�����: ��� �� �1���" ��� ���� ��.����� �� �����9 ��� ���&: �� ����� ���� ��� ,�����-�.������ .�������� #���� ��� ������ �� �����2� �����?�� ���� �� ���� ���: ��� 0��������� �� 2� ����� �� � 2����� !�" ���� �� ���0��%��� �������� -� ���+� .� ���� �������: �� �� �� ������ ��� ��0� �# ���� ��0����

�*

Page 22: Derandomizing BPP

����� �

����� � ���� ���� ���������

���������

��� ����� ��� ��������� �� !�����"������ ���

�������

�� ��� 0��%��� ��0��� !� !��� �2�� �� 0��%� ���� ��� � �Æ ����C��Æ

D: /���. �� �����0���� ���� ����� �1��� � #����� ���� �� 2� ��0��� �� �10�������� ����: ��� �����2� �00��1������ 2" 0��"������ ������ ,��� ��� ��>����� 2��!��� @�� ��0��A: ��� @���00��1�����A� ���� �� � ��>����� �� ��� !�" !� ������� 2����� ������� ��0���������� @-���� ��� ��0��1��"A �����: ��;���� ���� ��� ��.������ 0��#���� ��� ���? ������"�� �%��" .�%�� ��0�� ��� @ �����2������ ��0��1��"A ����� ��;���� ���" ���� ��� ��.������� ����� !��� .��� 0��2�2����" �� � ������ ��0�: 5��0��1��" �����": ����" �������� �0��? �2�� @!���� ��� ��0��1��"A� ������: ��� ��� ���������" ���������� ���� �� ������� ������: �0��? �2�� @!���� ��� ��0��1��"A: �� 0�������: �� .��� C�� ������� ���2" ������������ ��0������D �� ������ �� @!���� ��� ��0��1��"A ������ �� !��� 2� ��� �#!� ��� 0��%� ��� ���� �������: ���. �� ����0���� ���� �� �� @!���� ��� ��0��1��"A��0������� �� �� ��0�����. ���� �� 0��#��� ����: !� !��� ��� ���� � ��! .��������� ���,�����-�.������ .�������� C�����2�� �� ��� 0��%��� ��0���D !��� ��� -��� !� !�����: �� 0��%� ����E

'�� ��������� ������� ���� ����� �� ������ �� �������� ���������������

'�� ��������� ������� ���� ��� �������� ��� � � �����������������

'�� ��������� ������� ���� ��� �"��� ��� � � �������������� 0����� !��� �� ��� #�� ���� ��� ���� #����� �� 2� ��0��� �� �10�������� ��������� 0��0���" !��� 2� 0�����%��: ��� ��� ��� ���� #����� !��� 2� ��0��2�� �� �10������������: ��� ��0��1���2�� 2" 0��"������ ������ 6�� ���� �� ��#� �� �� �� ��� ,�����-�.������.�������� C������� ����D �� ����� ����E

��� � �0� �� �B M � ��� � �Æ ����C��Æ

D

��

Page 23: Derandomizing BPP

��� #��������� �� ����$��%������

�� ���� ������ !� !��� ���! ���� ,���/��#��� ��0������ C�����D: ���� ��� ����! ����:�� 2��� @!���� ��� ��0��1��"A ��� @������2������ ��0��1��"A ������� ���� �� ��� ������!�" �� ��� 0��%��� ��0��� !� ��� ��� ���� �� �0��? �2�� 0��2�2������ ������

����� ��� �*������ -�(��)���

��� ����� !� 0��%� ��! �� %��" ���": ��� !� ��� �� ��0�����" �� ��� 0��%��� ��0���� -������ �� ��! ��0������": ���� !� ��� ��! ���"��. ��� 0��0���"�� �# ������2������ ��0��1��"�� .�������

*���� ��� (����"�� ����� ����� � ����� �� #�������������$ �������� � B ����� ����� ������"� #����� ��� �$� � ���� ����� �� ������ ��� �� ��������� ����������� ( B �(�� ������� 3 B �3��� ��

���������������C��C�� �D B �C�DD .

%���� ����� � ����� �� #�����������$ �������� � � B �� ���� ���� �����

����������C���C�D B �C�DD .

�� ���C� �D ���C�D�

! ���"

. ���������������C��C�� �D B �C�DD B ������C����������C��C�� �D B �C�DDD

+�����C����������C��C�� �D B �C�DDD

$�� �� 2� ��� ��1���� �: �1��. � B ��: !� .�� � ���� � ��C�D B ��C�� �

�D: !��� �� �# ������� ��<� �� �: ��� ����%�� ��� ���� ���� 0��2�2����"�

�-� �� ��� ������#�����" �# ��� ����: �� ��%� �� @0��0��� �� ��%���A � ��>����� �����.� #�� �%��" ���.�� �# ��0� �� �� 0��%� �� � ����� #�� ��#��� ��0������: !� ���� ������� !�" �� ��0�� �� #�� �%�� �: ��� 0���# .�%�� �� ��: �� �� ��! �� ����%� �����

����� 0 � ��� ��(��)���

2" @0��2�2������ !���� ��� ��0��1��" ��0������A !� ���0�" ���� ���� #�� �%��" ��0�� ��� C0��2�2������D 0������ ���!��� ������" !��� 0��2�2����" ���� �� ������.����2�".������ ���� �

�� ��� 0��2�2����" �� ��� ��?�� �%�� ��� ��0� �: �� �� ��?�� �� ��� ������

@��� L�00��.A �# ��� 0������� -� �� ��!�"� ����� ���� ��� ����� ��� ���� �� ��%���:��� ��� 0������ �����" ����%�� �!� ��0�� C��� ���� ��0� �: ��� � ������ ��0� �D� ������ �1���" ��� !�" !� ������ 0��2�2������ ��.�������: ��� ���� C��������� ���D� 6.���:!� 0��%� ���� ����L�00��. �� ��� �������" #�� ������ ���� ���� ��� ���� !��� ���� ��0�" � ������ �� ��<� �� ����%� ��� ���?�

��

Page 24: Derandomizing BPP

���� �� ��� # ����$ (����"�� ����� ����� � ����� �� #�������������$ �������� � B����� ����� �����"� #����� ��� �$� � ���� ����� �� ������ ��� �� ��������� �����������( B �(�� �� ����� 3 B �3��� �� ��� ��� � �� ������ ��

�������C��C�� �D B �C�DD �

�G .

%���� ����� � ����� �� #�����������$ �������� � � B �� ���� ����� ������ � � �� ���C� �D B

C �����&�� �

D�

! ���" � ���� ���0 �� �� ��0��#" ��� ���� 0��2�2����" �# ��� ����� ���� �� ����C�� ���D 2" ��?��. � ��� �# ����0������ ���� ��?� � �0��� �# ��: ��� ��%� ��� ����� ��� ��0�� ��� ��3����" �%�� ��� ��0��� �� �� �������� �� ����� C���. ��� 5�����>���;����"D ���� #�� ��� � �# ���.�� �E

������������C����C�R ��� ��� ��D B �C�DD � ���

���

7�1��. � B JC � �D: !� .�� ���� � �� �� !���. !��� 0��2�2����" ���� ���� ����� ���� #�� �%��"

� � �*� ���: � ������ �������� %����2�� 4��

4� B

�� � ��C�D �B �C�D* �%��&��

)�� 4 B�

4�: ��� ��2�� �# !���. ���!��� �%�� ��� � �� �*� ����

�C4D B �C�

4�D B�

�C4�D B ������ � �

)��� 4 ��?�� ����.�� %���� ��� ��+� �10����" �� ���� ���� �: ����� ��%� �� 2� ���� ��� ��� ��

���� 4C���� ��� ���D B *: �� �� ����� �����: #�� ��� �: �

��C�R ���� ��� ���D B �C�D� ���� ��� ����

� �C�D B � ��C�R ���� ��� ���D�

���C� �D B ���C� ��D B � � ���C�D B C� � ���C�D

.�D

����� ����� ���� �� ���. �� !� %��! ��� !���� ����.� @0��"������A .������� ����������������� ��� �� 0�!��#� �� 0��2�2������ ����� ��� ������� �� �#��� ������ C�� � !��?�� #���D��� #����!��. !�"E

#� ���� � ��� ��� � �0� ��

! ���" .�%�� � ��#��� ��.������ ���� ��� �� ���� �: ��� �� �����#��� �� ���� � �����# ��<� ��� ��%�� � 0��"������ 0��2�2������ ��.������: ���0�" �����#��� �� ���� � #����" �#0��"������ ����� ��� �00�" ������� ���

��

Page 25: Derandomizing BPP

��� &��� ��������� ���� �� �������� ����������"��

�� ���� ������ !� �����#��� � #����� ���� �� ���� �� ��� !���� ��� �� ��� ���� �� ����!������� �� �00��1������ -� !��� ��;��� ���� �������"�

����� % ��� ���. � *���� ������� ��� � (�������

�� �# ��� ����� !� ���� �� ��%���0: �� � ��������� ���� �����#���� �%��" 2������ #��������� � 0��"������ �# ��! ��.���� $�� � E �*� ��� � �*� ��: 2� ���� #�����: ��� " � �����5�����": " ������� �*� ��� 7�� �%��" + � �*� ���: ����� � 0��"������ �' � " P��� ��� ��QE

�'C��� ��� ��D B�

�����

C� +� ��D

�' ��������E

� 7�� ��� + � �*� ���: ��!C�'D �

� 7�� ��� +� � � �*� ���: �� ���� � �B +: �'C��� ��� ��D B *

� 7�� ��� + � �*� ���: �'C+�� ��� +�D B ��

�������� ��� ,�� � �������� � E �*� ��� � �*� ��� �� � )�� " � �� �)�� � ��������I� E " � � " �� ��� ��������� ����

I�C��� ��� ��D B�

�'������%�'����

�'C��� ��� ��D

7��� ��� 0��%��� �������� �� �� ���� ����E

� ��!C I�D ��

� I� ��������� !��� � : !��� ��� � ��0�� ��� �� �*� ���

6�����. �" � B �����: ��� �� ����� ��+� �������� �� 2����" #���: ��� %��! I� : �� � #�����#��� �*� ����� �� �� �� �*� ������ ��� �� ���� ��� ��� ��0� ��<�� ��#�� ���" ���.���"� ��� �# �����?�� � ���� !��� ��������� ���� �� 2� ��0��� ������": !� .�� ��� #����!��. �����E

*���� ��� &� ����� ������ � ����� �� ������� ��������� � B ����� ���� �� ��������� ������������� ���� ��� ������ �� ������ �� ��������� ��������� ���� ����� ����� � ����� ����������� ! B �!��� !� E "

� � " ����� ��� ��� ��� ����������� �� ���� ��� � ���������������� � ��������� �� ����� �� ��� ��

! ���" -� ���0�" ��?� !� B I��: ��� !� ��%� ���� ���� �� �� ������ � 0��"������ �# ��.����� ���� �� ,���� ���� ��� ��<� �# ��� ��0� �# !� �� 0��"������ �� ���� �# ��� ���� ��������� @0��"������ �����A ��� �# ��� ���� ��<�: !��� ���0�� �� 2��� #������� )��� !�������� � @�0"A �# ��: ���� �� �� �� ����� �� ����� ��� 0��"������ �# !� �� 2� ��0����� �10�������� ���� !��� ��� �� .�%�� �� ����� #�� ��: ��� ���� ����� �� 2� ��0���� 2" ���10�������� 0������� S%������. ��� 0��"������ �� � .�%�� ��0� ���� ��?�� �10������������� -� ����� ���� ! �� 2� ��0��� �� �10�������� �����

��

Page 26: Derandomizing BPP

'��� ( �� �������� ����� � ��� ��� ������� �� ���� ��"� !� �� � �������� �"�� C�D���� ������ �� C� ��.�D ����� (� ��� �� )� � ���� �� �*� ���� �� �� " � �� "��� �� �� ��������� ��� " � #����� � B �

�� ��� �*� ��� (� ���� ��� ��� �� ���������� ��� �)������

�� �'� (� �)�� �'���'��

�'���'�C��� ��� ��D B�

�����

��

(�������� ���'���

�� �

+� �

���� ���� ��� ��� �.� ��� �� ����� �� ��� ���� ��

�� �� ��� �� ���� �)�� I� E " � � " �

I�C��� ��� ��D B�

�'������%�'����

�'C��� ��� ��D

(� ���� ��� ���� I� �� � ��������� �� ����� �� ��� ���� ��

�� �� �� �������� ��� �����

�� ���� �� ��� ����� �� I� � �� ��� ���� �� ����� �� �� �� %�� ������������� ���� �� ��� �������� �������� �� �������(���� ���� ����- ����.� ����"� ��� )��� ������ �� ���"� �� ���� �������� &� �� ��������� ������ �� ��� ����"����� �� ��� ������ ���� �� �-���� �� ��� ���� ���������

����� ����� ��� �����*�����

�� ���� ������ !� ����� #��� ��� ����0����E

��� � �0� �� �B M

� �� !����: ���� ����� �1��� � #����� � B ����: ���� �� ��0��2�� �� �10�������� ����: ������0��2�� 2" 0��"������ ������ 7��� ��� 0���� �# %��! �# ������2������ ��0��1��":��� ����� �������� ����� ���� #�� ��� #������� �# 0��"������ ����� � B ����E

����������C��C�D B �C�DD � �

6� ��� ��� �# ��� ������ !� !��� ����� ���� ����� �1���� � #����� ! B �!��: !��� ����0��2�� �� �10�������� ����: ���

����������C��C�D B !C�DD � ��

��

���� ����� ���� ! �� ����!��� ���� �� ��� ������2������ ��0��1��" ������

���� �� ��$ &� ��� � �0� �� �B M� ���� ����� ����� � ����� �� ��������� ! B �!��� ���������

4� !� E �*� ����� �� �� � �*� ������ ��

5� ! �� ��������� �� ����������� ����

7� ,�� �"��� ����� �� ��������� �������� � B �����

����������C��C�D B !�C�DD ��

��

�&

Page 27: Derandomizing BPP

! ���" -� ������" ?��! #��� ��& ���� ��� ��0� �� �B M: ��0���� ���� ����� �1��� � #����"�# #������ ���� �� 2� ��0��� �� �10�������� ����: ����� 2� ��0��� 2" 0��"�����������: ��� ��?� ��� #��� �# !� E "

� � " : !���� " �� � ���� !��� ����� ��������� �����%��:!� �� � 0��"������ �# ��.��� �� ���� �� )� �� ! �������� ��� ���� �!� ���������� -� !�����! 0��%� ���� �# ����� �1��� � #����" �# 0��"������ ����� � B ����: �� ����E

����������C��C�D B !�C�DD � ��

��

���� ����� �1���� � #����" �# 0��"������ ����� � � B �� ���: !��� ��0�� !: #�� �%��"

��0�� 7�� �� * � " � ����� � 0��"������ �� ��� %����2�� �%�� " E

���C�D B !�C� G � � *D

,��� ����E

� 7�� ��� �� *: ��!C���D ��

� 7�� ��� �� *: ���C*D B !�C�D�

����� ���� ����� �� � ��;� 0��"������ �# ��.��� � ���� 0����� ����.� .�%�� �G� 0�����:��� �����%�� ���� ��� �� ��0�� ���� 0��"������ ������": .�%�� � G � 0������ -������� � 0��2�2������ ���� � �E$� ����� �� ��� � ������� ����� * �� " ��'��� �G � ������� "����� �� " � ��� ��� �����(���"��� � � � G �� � *� �� ���� ���� ��� )�� ����� �� ���&����� ��� �������� 2 ���� ������ ������ ��� ��������� ����� 2C*D7���� �# ��� ���� ���� � � �� �# ��<� � ��C�D G � � ���C�D !��� �� 0��"������ �� �� )�����":��� #������ %�C�D B � G *: %�C�D B � � * ��� 0���������� �%�� " � #�� ��� *� ���� ��������� !��� * �� ����� ��#����": �� � *: �� ��#����" ������2��� #�� ��� � � G �� ��������� ���� #�� ��� E

���C�C� G �� � *D B !�C� G �� � *DD � ��

��

-� ����� ����E

���C� E �C� B �� � *D �B !�C�G �� � *DD ��

��B�

���� ����� ���� !��� 0��2�2����" ��: ��� ��� ��+� �;�� �C��D� -��� ���� ��00��� 2 B ���:

��� �� 2C*D B !�C�D� )� !� ��%� ����.�� �� 2��� � ���� ���� �� ����� !��� .���0��2�2����" �� �+� � ��0�� C��� 0����� �# �����. ��� 0��2��� �# ���%��. � #����� ���%��" ��0� C!��� .��� 0��2�2����"D �� ���� �# ���%��. �� �%�� � �������" ����� ��0�: �������E @������ ���# ����2����"AD� -� ��! �����#��� ���� ���� �� � ������������ ������� �� ����� �� �%��" �%��" ��0� 2" ���. ������� ����

�-� ��%� �������� � #����� ���� �� ����!��� ���0��1���2�� 2" 0��"������ ������ 6�#�� �� !� ?��! ����� ��" 2� � 0��"������ ���� ���� ��0��� ��� #����� �� � %��"���.� #������ �# ��� ��0��� ��� ��1� ������ �� ��%���� �� @��0��#"��.A ��� �������� �# ���#�����: ��?��. ��� ���� 0��2�2����" �# �%��" 0��"������ ���� ��.��.�2���

�4

Page 28: Derandomizing BPP

��' (������� )����*�����

��"�� %�� ����(�

6� ���� 0���� !� ��%� � #����� ! B �!��: ���� �� ��0��2�� �� �10�������� ����: "�� #���%��" #����" �# 0��"������ �����

����������C��C�D B !�C�DD ��

��

-� !��� ��?� �� ��%� � #����� �� !��� !� �� �00�" ��� ,�����-�.������ .���������7�� �� � #����� !� ���� ��� ���� 0��2�2����" �� ��.��.�2��: C������. ������� �����%��" 0��"������D� �����2��: ���� !� ��%� �� �� ���0���� � %��" 0�!��#� ����: �����"��� ���������$�%�� ������� C���*D: !��� ���2��� � �� ��?� � ����2������ ���� #��������� � 2������ ��� !��� ��� ���� ��������� )� ��� #�� ���� ! �� ��� 2������ �� ��� � �����2������ � 2��� ���� �� %��" ���0��: ���+� ��? ��� ���� �� ��0�� ��� #����� ! �� ���� �# ����0�������" ����� ������ ��0��� �� ����� ���� ��?��. ��: �� ��0�� !��� ������� ���� 0��2�2����" �# ����� �� C� �

��D�

�B �����: !��� �� ��.��.�2��� ��!�%��: ���

�������� ���� �� �� ���� ��0������ ���� ��� ��� �# ��0��#"��. ��� ���� 0��2�2����"�# 0��2�2������ ��.�������� ��� 0��2��� �� ���� ���?� ��� ��� �# ��0��#"��. ��� ����0��2�2����" �# 0��2�2������ ��.�������: ��� ���� �: ��" ;��" ��� ��� ��0�� !��� ��"��.�� ���%� ��� ���� �������� -���� ���� �����+� ���� ���0#�: �� ��?�� ��� ��� ��0������:��� !� �� �� ���.�� ����0�" 0��2�2�������� ������: �� ���� ����� !� ?��! ���� � 0���#���� !��?� �� ���� ������ !��� ��� 2� �2�� �� ���� ��� ���� 0��2�2����" �� �10���������"�����: �� �10����� ��!�%��: #�� � �� ������ ���� ��� 0��2�2����" .��� �� <��� ����0���� 2"��" 0��"������: !��� !� �� ����%� �� �� �������� �� ����� 2� ����� ���� ����������0��������: �� �� ����������. ���� !��� ��� ���" ����� ���� � #����� �� 0��%� 2����������� ��" ��� ���0 � #��� .�����. � .��� .��������: 2� �� ;��� ��0�����.: ���� ���;������ ����� %��" 2���� 5����� ��0��������� ��� ���� ��� �0�����: �� ���0�� �� ���������> 2��!��� ��<�� �# ��� ������ )00��� ���� !� ?��! ���� �%��" ���� �# ��<� ������ ��0�� ��� ��� #����� � : !��� ���� 0��2�2����" 2����� ���� �� !� ������"�������� ���� ��?��. �: ����0������ ��0��: !� ��� ��� �2�� �� 0��%� ���� ��� ����0��2�2����" ���0� �� ��� -��� !� �� 0��%� �� ���� �� ���0� �� �� G �: #�� �%��" ���� �#��<� �� B �C �

�D����: ���� ���� �� �� �: ���� ����� ���� !� ��� �2�� �� 2��� ��� ����

0��2�2����" �# � ������� ����� ,�� ���" ���� ��� ���� ���� �� ���%� � ��� �# ��������: ������ ��� �� 2� �� ������� ���� ��� ���.���� ����F ��!�%��: �� ��������� 2�#���: #������ 0���� �# %��! �# ���������<��. ��� ���� �����#�"�2�� ������ ��� ���.��

��"�� 1 ����� ��� ! ���� ��� ��

��� 2��� �������� �� ���0��� -� ��%� � #����� � : �� ���� !� ?��! ���� #�� �%��" ����� �# ��<� �E

����������C�C�D B �C�DD �

-� �� ��! ��" �� @��0��#" ��� ��������A �� ��%���� !�"�E

�(

Page 29: Derandomizing BPP

�������� ��% ,�� �"��� �������� � E �*� ��� � �*� ��� �� �� �)�� ��� ��������� �����������

4� ��� E C�*� ���D� � �*� ���

���C��� ��� ��D B �C��D�� �����C��D

5� � � E C�*� ���D� � �*� ���

� C��� ��� ��D B C�C��D� ��� �C��DD

7� �)*��� E C�*� ���D� � �*� ��� � �*� ��

�)*���C��� ��� ��R ��� ��� ��D B ��C�C��D� ��� �C��DR ��� ��� ��D B �������C��D

�� ��� ���� #�����: ��� ���� �� ��;���� �� ��0�� ��� 1�� �# ��� %���� �# � ���������# � � 6� ��� ����� �� �� ��;���� �� 3�� ��0� ��� %���� �# � �������� �# � � ��� ����� ��� 2�� �����.�: ���������� ��0�� ��� ����� ������. �� !���: ��� �������� #�� ��� 1�� ����������� 6�� ����� #���������� ��� 2���� �� ��� ���� ��������: �# ��� ������� �� � 2�� ����:��� #����� #�� � ��������: ����� %��" ����� ��� ���� ���� ��� �� ���� �� �����E � @1�������A� ��� ���� ���� � � �� ���� �� ����� � @0���� �������A� ����������": 1�� �������00����� 2�#��� 0���� ��������� 1�� ������: ��� � 2�� 2�����: �� ��� ���.�� #����� ��2������� �� ���� !� ��%� ��� ���������$�%�� �������: !� �� ���� ��� �1������ �#� ���� 2������ #�����: #��� ��� �1������ �# � ���� ��� 2������ ���� ��?��. � 2��������?: ���� ���� �� 2� 0������ ����#������" �� ��� #����!��. !�"E �# ����� �1���� � ��������� #�� �)*���: !��� ��� � ������.��.�2�� ��%����.� �%�� �

�: ���� ����� �1���� � �����

���� #�� � �: !��� ��� ������.��.�2�� ���� 0��2�2����"� C#�� �1�� 0���������: ��?������� ���*D� �# "� ��%� ����� ����� #�� ���: #�� ��� �: ���� "� �������" �� 2���� ������%��" ����� ���� #�� �)*���� -� ����� ���� 0��%��. � ����� 0���� �������:������" 0��%�� � 1�� ������ C�.���: ��� 0��������� !��? �� ����.�� #�� �� ���D� �������� ���� �� ���� ������%� 2� ��� ���%���� ��!: !� ��%� � ����� ���� ���� ��0��� � �:!��� ��� ��.��.�2�� ���� 0��2�2����": ��� "� !��� �� ������ � ����� ���� !��� ���������.��.�2�� ��%����.� !��� ��0���. ���� ��� ���%��� ����: �# ��?��. ��� 1�� �# �����0��: ���� ��� !��?� �� ��" %��" !��� 2�: ���� ��� 1�� �# �� %���� ��� ���� ��0� ���1��: ��� �� ��%� �� ��%����.� �%�� �

�� �������: ��� ���!� ���� ����� �1���� � ����� ����

!��� ��� ������.��.�2�� ��%����.� #�� �)*���� ���� �� ���: ���� ��� ���������� �� ������� �# ��� �+� ��?�� ��� ���!�� �# ��� ���� ��#���: !��� �� .�%�� � 2�� ���!��� )��� ��� C������%��" ����D �%���: ���� ��� ���.���� ���� ��0��� � � ������": ���� �����

�� ��%����.� �%�� ��� ,�!: ��� �� ������ � ����� ���� #�� ��

�� : ���� ��� ��<� �# ���

�2��� �%�� !��� ��� 1�� ��?�� 0���: �� %��" �����" ��������2�" .������ ���� ���

)�: !� ��%� ���!� ���� ��� ����� %������� ��%� ��.��": ��� ���� ��������� �� ���� �# ������.���� 0�0���: ��� ��0�������� !�� ����%�� ���. � 1�� ������ �� ��.�� �# ���� ��������:���� �����" �������: ��� ���� 0��%��. 0���� ��������: ����� � ���� .������ ;������: !�.� �2�� 0��%��. ��� �� ��� ��1� �������

�K

Page 30: Derandomizing BPP

��"�� ! � � ( ���� ��� ��

-� ����� 2" 0��%��. � 0���� ������� #�� � B �: C���� �� #�� �!� ��������D�

���� �� ��& ��� ��� �� �� ��� ���������� �"�� ����� �� 5 ��������"���� ��� (�� (� ������������� ������������ �"�� �� 5 � ������� �����

4� ,�� ��� �������� � �� ���� ���

�����+C�C�D B ��C�DD ��

5� ,�� ��� �������� � �� ���� ���

����, C�C�D B ��C�DD ��

%��� ��� �"��� � � *� �� ������� � �� ���� � B �C C ���� �� �

D� ��D�

�����+��

, C�C�� �D B C��C�D� ��C�DDD ���� G �

! ���" $�� � 2� � ���� �# ��<� �: !��� �����0�� �� ��0�� 2��� #������� ��#������":��� 0���# �� 2� �����2�� �� #����!�E ��� ���� 0��2�2����" �# � �� 2� !������ �� ���0��2�2����" ���� �� �� ��.�� �� ��� ���� ��������� .�%�� ���� �� �� ��.�� �� ��� ����� ���:����� ��� 0��2�2����" ���� �� �� ��.�� �� ��� ����� ���������� ��� ����� ���� �� 2�����2" ��� �� 2��� ��� ���� ����: !� ������ � ���� #�� ��� �+� ���� ���0��� � #��� ������������� �%���: ��� ���%���� � �� �� �� ���� 2���� ��� ���� ���� 2" ��� ����� ��� �!��������E

�� 5����������. ���.�� ��� ������2���� �# ��� �+�� ���� �� �%����� 2" �1��. �: 2�#�������������.: ��� ���� ��?��. ��� �10������� �%�� ��� �+��

�� 7�� ���� �+�: ��� 0��2�2����" �%�� �+� ���� � ����� �� ��� ����� ���������: ��"2� �����: ��� !� !��� ��� 2� �2�� �� ���0�� �� � �� ���� �� �%����� 2" ������.���� ���.� ��� 0��0������ �# ����� �+� ��" 2� %��" ���.�: ����� �����2���� �� ������� 0��2�2����" �# � �� ������

-� ������ ��� +�� ��0� �# � !��� .�%�� �� �: 2" ��C�� �D� -� !��� �%����� ��� ����0��2�2����" �# �E

�����+��

, C�C�� �D B C��C�D� ��C�DDD

B ����+C����

, C�C�� �D B C��C�D� ��C�DDDD

B ����+C����

, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DD � ����, C��C�� �D B ��C�DDD

C��� ���� �;����" �� ����� �%�� �# ��� 0��2�2����" �# ��� ���������� �%��� �� <���: �� ������� ��� ���������� 0��2�2����" �� ������ �� 2� <���D� �����E

� B �������, C��C�� �D B ��C�DD

��

�9

Page 31: Derandomizing BPP

-� ��0����� ��� �10�������: ������. �� ��� ��>����� ?��� �# �+��

B �����+C�D����

-C����, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DD����

, C��C�� �D B ��C�DDDC���D

G�����+C�

�D����-�C����

, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DD����, C��C�� �D B ��C�DDD

C���D�� 2��� C���D !� ���� ���� �� ��� � �� �: ��� ���� ������ ��� �10������� �� 2����� 2"��: ��� �����#��� C���D �� 2����� 2" �

�� -� ��! 0����� ��� 2��� C���D� 7�� ��� � � �:

C��� �����#��� #�� ��� � � �DE

����, C��C�� �D B ��C�DD ��

���� �� 2���� #�� ��� �: ��� ���� ��C�D B �C�� �D: �� �# ��<� � � �� 600�"��. ���� �� C���D:!� .��E

�������+C�D � ����

-C����, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DDD C���D

#���� �

����-C����

, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DDD ��

�����+C�D

G�

! ���" 5������� ��� #����!��. C0��2�2������D ���� � �E$� ����� � � ��&��� ��� ��� �� ��� 5�&������ ��C��D � ��� � �� �� ������ �� � ��� ����� ��C�� ��D� �����

1� B ������C�� ��D B ��C��D�

�# 1� B M: ��0�E @���+� ?��!A� ����!��� 0�?� �� �� 1�: ��� ��0�� �C�� �

�D�

C��� ���� �� @��0��A �� �%�� ��+� �������" 0�?�� ���: ���� � 0��2�2������ ���� �������" � ������2���� �%�� ������������ ����� 7��� ��� 0���� �# %��! �# ��� ����: � ��3�� � �������: ��� �� �� ��C�DD� )��� � �� �� � !� ?��! ����E

����, C��C�� �D B �C�DD �

���� ����� ����E������C1� B MD C�

�D�

#�� � B JC� �� ��D� -��� 1� �B M: ��� ������2�����

� �� �� 1�

� � ��� 5 ���C�� �D B ��C�D

�*

Page 32: Derandomizing BPP

��� ��������� -� ����� ���� #�� ��� � � �E

���C���C�D B ��C�DD ����

, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DD�

C-���� � �� ��� @������ ����A ��� 2" � �D� ���� �� ���� ��� ��?��. �10������� �%�� �E

����-C���C�

��C�D B ��C�DDD ����

-C����, C��C�� �D B ��C�D���C�� �D B ��C�DDD

�C���D

,��� ����E����

-C���C��C�D B ��C�DDD B �����

-�C��C�D B ��C�DD

-� �� �1 � �� ���� %��� ��: !��� ����%�� ��� ���� ���� 0��2�2����"� ���� �1��. ������� ���.� ��� ��<� �# ��� ����� )� !� �� ������: ��� .��E

�����-C�

���C�D B ��C�DD

�����+C�

���C�D B ��C�DD

�����+C�D

-���� ��� ���� ���;����" �� ���0�" ���. 0��0������ �# ���������� 0��2�2�������� ��!�%��:���� ���C� �

��D B C���C�D� �� ��D ��: �� ����� ��%� ���� 0��2�2����" .������ ���� ���

��� ���� #����!� 2" 0����. �%��"����. ��.�������

/���. ��� 2���� !� ��%� �� C���D ��� C���D: !� ��%� ����E

�����+��

, C�C�� �D B C��C�D� ��C�DDD C�� G�

�D�� G

� ���� G �

���� 0���# #�� ��2�����" �: #����!� 2" �������� 6� ��� ���.� ��� � ��0�� ��" 2� �0��� ���!� 0����: ������. �!� #������ ��� �� �%�� ��� �!� .��0� �# %����2���� �# ���� �� ���� !���0������ ��� ���: ��� .��� ��� #����!��. �������E

���� �� ���) ��� � �� � �������� �"�� ���� �� ��� ( �� � ����������� ����������� �"���� 1������ ���� ��� ��� �������� � �� ���� ��

����+C�C�D B �C�DD �

���� ��� �"��� � � *� ��� � B C� �� ����

D� ,�� ��� �������� � �� ���� � C �� �� �

D

����������+�C�C��� ��� ��D B C�C��D� ��� �C��DDD �

7�� �� 0�0���� !� !��� ���� ��� #����!��. %������E

���� �� ���� ��� � �� � �������� �"�� �*� ���� 1������ ���� ��� �"��� ������� � �� ������������� �� ��

����������C�C�D B �C�DD ��

�C�

#(���� � �� � ���������$� %��� ����� ������ � �������� ! E �*� ���� � �*� ���� ������ B � ��C�D� ���� ���� ! �� ������������� �� ��������� ���������

! ���" -� ���0�" ��?� � B ��C�D: ��� ��%� ! B � �� /���. ��� 0��%��� �������: !� ?��!���� �# ����� �1���� � ���� � ���� ��0��� ! !��� ���� 0��2�2����" �C�D B �

��: ���� �����

�1���� � ���� ( �# ��<� ���C�D�� ��.�: ���� ��0��� � !��� ���� 0��2�2����" 2��������� � �

����� ���� �� � ������������ �

��

Page 33: Derandomizing BPP

��+ �� ���� �������

�� ���� ������ !� ���0�" 0� �%��"����. ��.������

���� �� ���� ������,�������������(�������

��� � �0� �� �B M� ��� � �Æ ����C��Æ

D

! ���" -� ��%� ������" 0��%�� C��(D ���� �# ��� � �0� �� �B M: ���� ����� �1��� � #����"�# #������ � B ����: �� ����E

�� �� E �*� ����� �� �� � �*� ������ ��

�� � �� ��0��2�� �� �10�������� �����

�� 7�� �%��" #����" �# 0��"������ ����� � B ����:

����������C��C�D B ��C�DD ��

��

-� ��! �� ������� ���� �� ������ � #����� ! ���� �� �1������" ���� #��� � !����� ���" �����" ����� ,��� ���� ��" 0��"������ �� � ��.� �� 2����� 2" ���� 0��"�������� �: ��� �� !� .�� ���� ����� �1���� � #����� ! E �*� �������� � �*� ��������: -��� ����00��1���2��� ! �� 2� ��0��� �� �10�������� ����� ���� �� 2���� ��0���. !������ �� � 0��"������ ��2�� �# ��0������� �# � � 6� ���� 0���� !� �� �� ������������ �

��