Math. Semesterber. (1994) 41: 17-21

MathematischeSemesterberichte

© Springer-Verlag 1994

Der Einftu8 von Magnus auf das Werk von Cremona

Arturo Bodini

Fachbereich Architektur, Technische Universitat Darmstadt, PetersenstraBe 15, D-64287 Darmstadt

Eingegangen am 1.3.1991, angenommen am 23.6.1993

Zusammenfassung. Cremona Transformationen (oder birationale Transformationen)sind eine Klasse von Relationen zwischen zwei Ebenen im euklidischen Raum.Sie wurden 1863/65 von Luigi Cremona allgemein eingefuhrt. Spezielle Cremona­Transformationen, die quadratischen Transformationen, wurden schon 1832/33 vonLJ. Magnus behandelt. Wir zeigen, daB die Arbeiten von Magnus Cremona starkerbeeinfluBten, als man bisher annahm.

1 Einfiihrung

1m 19. Jahrhundert entwickelte sich die Geometrie weg von den Grundlagen Euklidshin zu einer Geometrie der Transformationen, wie sie F. Klein in seinem ErlangerProgramm darstellte [Klein 1872). Standen lange die Konstruktion und Satze tibergeometrische Figuren Mittelpunkt des Interesses, betrachtete man nun Transformations­gruppen eines Raumes (z. B. des euklidischen Raumes .9/33) und ihre Invarianten.

Diese Entwicklung vollziehen wir an der Geschichte der Cremona Transformatio­nen nacho Sie waren namlich erst technisches Hilfsmitel fur Beweise, und wurdensparer urn ihrer selbst willen untersucht.

Anfang des 19. Jahrhunderts wurde mit der Einfuhrung von Koordinaten dasFundament fur die analytische Geometrie gelegt. Damit wurde es moglich, geometri­sche Figuren ineinander zu transformieren, d.h. in Relation zu setzen. Wollte man nuneinen Satz tiber eine geometrische Figur beweisen (z.B. daB gewisse Punkte auf einerGeraden liegen), transformierte man die Figur unter Beibehaltung der wesentlichenEigenschaften und bewies den Satz fur die transformierte Figur [vgl. (Plucker 1830)].

Diese Methode wandte auch Magnus (l832a) an. Er benutzte hierzu quadratischeTransformationen zwischen zwei Ebenen des Raumes. Diese Relationen sind auBerhalbvon je drei Kegelschnitten pro Ebene bijektiv. Eine quadratische Transformationzeichnet in jeder Ebene drei sogenannte "Fundamentalpunkte" aus. Die Geraden einerEbene stehen jeweils in Relation mit den Kegelschnitten durch die Fundamentalpunk­te der anderen Ebene. Quadratische Transformationen wurden in (Magnus 1832b)benutzt, urn Konstruktionsverfahren fur Tangenten an gewisse Kurven vierten Gradesherzuleiten. Spezielle quadratische Transformationen wurden in (Schiaparelli 1862)untersucht.

1862 stellte Cremona die Frage nach der Existenz (auBerhalb von Kurven)bijektiver Transformationen hoheren Grades zwischen zwei Ebenen. Den Geradeneiner Ebene sollen nun Kurven beliebigen Grades in allgemeiner Lage der anderen

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Ebene entsprechen. Cremona fand zwei notwendige Bedingungen fur die Funda­menta1punkte solcher Transformationen. Transformationen, die beiden Bedingungengeniigen, wurden sparer "Cremona Transformationen" (oder "birationa1e Transforma­tionen") genannt. Cremona untersuchte ihre Eigenschaften in einer zweiten Arbeit(Cremona 1865).

Cremona Transformationen wurden weiter untersucht u. a. in (Cay1ay 1870) und(C1ebsch 1871). Sch1ieBlich zeigten Rosanes (1871) und Noether (1871), daB dieCremona Transformationen einer Ebene eine Gruppe bi1den, die von den quadratischenTransformationen erzeugt wird. A1s solche sind sie se1bst Gegenstand und nicht nurHilfsmitte1 mathematischer Forschung gemaf des Erlanger Programms - vgl. etwa(Berzo1ari 1906) oder (Severi 1921).

Der EinfluB von Magnus auf Cremona wurde erstma1s von Bertini (1904) unter­sucht, der ihn fur gering hie1t. Diese Einschatzung wurde u.a. von Berzo1ari (i 906)und Severi (1921) bestatigt, und seither nicht mehr in Frage gestellt.

Wir zeigen hier aber, daB der EinfluBvon Magnus auf Cremona woh1 doch grolserwar. Anscheinend fuhrte namlich eine FuBnote in (Magnus 1832) Cremona zu derSchliisselidee der Komposition quadrati scher Transformationen.

Unsere Arbeit ist wie fo1gt aufgebaut. In Abschn.2 und Abschn. 3 stellen wir diefur uns wichtigen Arbeiten von Magnus und Cremona vor. In Abschn. 4 diskutierenwir den EinfluB von Magnus auf Cremona. Der Anhang enthalt die benutzten Zitatein Origina1sprache.

Die Arbeit entstand aufgrund der Untersuchungen (Bodini 1990).

2 Zwei Arbeiten von Magnns

Seien fYJ und 9' Ebenen im ~3 mit rechtwinkligen Koordinaten (z, y) bzw. (t, u).Magnus (1832) beschreibt zunachst das Konzept bijektiver Re1ationen zwischen fYJund .t7J', wobei er aber implizit Ausnahmen von der Bijektivitat zu1iiBt (vgl. Zitat 1.).Solche bis auf Ausnahmen bijektiven Re1ationen wurden spater "Transformationenerster Art" ("trasformazioni di primo ordine") genannt.

Magnus unterlauft dann allerdings der Feh1sch1uB, daB solche Re1ationen durchzwei G1eichungen

(ay + bx + e)u + (a'y + b'x + e')t + a"y + b"x + e" = 0

(ay + (3x+ ,,)u + (a' y + (3'X + ,,')t + a"y + (3"x + ,," = 0

gegeben sind, wobei a, b, c, etc. Konstanten sind. Re1ationen, die diese beidenG1eichungenerfiillen, heiBenquadratische (oder konische) Transformationen. Sie sind,wie man sich 1eicht iiberlegt, auBerhalb von je drei Kege1schnitten in P bzw. P'bijektiv. Magnus zeigt, daB eine quadratische Transformation in P und P' je dreiPunkte auszeichnet, sodaB den Geraden einer Ebene die Kege1schnitte durch diesedrei "Fundamentalpunkte" der anderen Ebene entsprechen. In einer FuBnote stelltMagnus fest: "Einem Kege1schnitt, der nicht durch die drei Fundamentalpunkte einerder beiden Ebenen geht, entspricht La. in der anderen Ebene eine Kurve viertenGrades, die Singularitaten in den Fundamentalpunkten dieser Ebene hat. Einer Kurvevom Grad n, die nicht durch die Fundamenta1punkte einer der beiden Ebenen geht,entspricht i.a. in der anderen Ebene eine Kurve vom Grad 2n." (Zitat 2.).

1m zweiten Tei1 seiner Arbeit (1832a) untersucht Magnus spezielle quadratischeTransformationen. Er wendet sie an, urn aus bekannten Satzen tiber Geraden (z.B. daB

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(2)

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sich die Hohen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden) Satze iiber KegelschniUeherzuleiten.

Es liegt nahe, die FuBnote auf Kegelschnitte anzuwenden, die den Geraden einervorgeschalteten quadratischen Transformation entsprechen. Beziiglich der Kompo­sition beider Transformationen entsprechen offenbar die Geraden der ersten Ebenegewissen Kurven vierten Grades der dritten Ebene. Diese Kurven vierten Gradeshaben alle drei gemeinsame Doppelpunkte und drei gemeinsame einfache Punkte.Dies hat Magnus beobachtet; er schreibt in (Magnus 1833): " ... und es wiirdenbesonders diejenigen nicht durch die Reciprocitat herzuleitenden Verwandtschaftenin eine solche Behandlung eingeschlossen werden konnen, nach welchen z.B. einergeraden Linie im allgemeinen eine Linie vierten Grades entspricht, welche durch dreibestimmte Punkte geht u.s.f,". Weitere Untersuchungen zu Cremona Transformationenfuhrt Magnus jedoch nicht durch.

3 Zwei Arbeiten von Cremona

Cremona (1863) stellt die Frage nach Transformationen erster Art zwischen zweiEbenen P und P', bei denen den Geraden der einen Ebene Kurven hoheren Gradesin der anderen Ebene entsprechen. Sei der Grad n fest vorgegeben. Cremona betrachtetTransformationen mit XI + ...+Xn-I Fundamentalpunkten in P', namlich XI einfachen,X2 doppelten etc. Er fordert, daB den Geraden der Ebene P Kurven vom Gradn der Ebene P' entsprechen, die durch jeden r-fachen Fundamentalpunkt r malhindurchgehen. Aus dieser Forderung leitet er die Gleichungen (1) und (2) her:

l:r2xr = n2 - 1

"'" r(r + 1) = n(n + 3) _ 26 2 x; 2 .

Diese Gleichungen begriindet er wie folgt.

1. Zwei Kurven vom Grad n haben i.a. n2 Schnittpunkte; haben sie einengemeinsamen r-fachen Schnittpunkt, so fallen in diesem r 2 Schnittpunkte zusammen.Zwei Kurven in P', die jeweils einer Geraden in P entsprechen, sollen auBerden Fundamentalpunkten noch einen gemeinsamen Punkt haben, der eindeutig demSchnittpunkt der beiden Geraden entspricht.

2. Eine Kurve vom Grad n ist durch n(n + 3)/2 Punkte, die auf ihr liegen,bestimmt, wobei ein r-facher Punkt r(r + 0/2 zahlt. Zwei beliebige Punkte vonP definieren eine Gerade; die beiden eineindeutigen Bilder in P' sollen gemeinsammit den Fundamentalpunkten die der Gerade entsprechende Kurve definieren.

(Transformationen, die diese beiden Gleichungen erfiillen, heiBen heute CremonaTransformationen oder birationale Transformationen.)

In einer FuBnote bemerkt Cremona, daB unter einer solchen Transformation i.a.einer Kurve vom Grad j.L in Peine Kurve vom Grad un. in P' entspricht, die in jedemr-fachem Fundamentalpunkt einen j.Lr-fachen Punkt hat (Zitat 3.).

1m zweiten Teil der Arbeit konstruiert Cremona geometrisch Transformationenmit XI =2(n - I), X2 =... =X n-2 =0, Xn-I = l.

Zwei Jahre sparer untersucht Cremona (1865) die birationalen Transformation~n

genauer. Er zeigt, daB eine Transformation mit X I + '" +Xn-l Fundamentalpunkten III

P' auch in P Fundamentalpunkte auszeichnet. Seien dies Yl einfache, Y2 doppelte etc.,

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so zeigt er die Gleichungen (I) und (2) auch fiir die Yr (allerdings ist nieht notwendigYr = X r fur aIle r). Unter der Transformation entsprechen dann den Geraden der Ebenepi die Kurven vom Grad n in P, die durch jeden der Yr r-fachen Fundamentalpunkter mal hindurchgehen. Damit beweist er, daB auch die Umkehrung einer birationalenTransformation birational ist.

Cremona bestimmt dann spezielle birationale Transformationen, u.a. aIle mit n <8. Bei der Behandlung einer Transformation mit n = 6 verweist er auf das Vorwortvon (Magnus 1833) (obwohl dort nur eine Transformation mit n =4 angesprochenwird).

4 Einflu6 von Magnus auf Cremona

Bertini (1904) erweckt den Eindruck, Cremona habe in den Arbeiten von Magnuskeine Hinweise auf Transformationen erster Art vom Grade n ?: 3 gefunden. Diesbegriindet Bertini wie folgt: Magnus (l832a) sei der FehlschluB unterlaufen, n > 2sei unmoglich (was zuerst auch Cremona geglaubt habe), und das Beispiel aus demVorwort von (Magnus 1833) sei Cremona entgangen (Zitat 4.).

Wir zeigen allerdings, daB Magnus Cremona mehr beeinfluBte, als Bertini zugab.Zwar kannte Cremona Magnus' "Samrnlung von Aufgaben und Lehrsatzen" erst, alser seine zweite Arbeit (Cremona 1865) schrieb - sonst gabe es in der ersten Arbeit(Cremona 1863) sicherlich eine Referenz. Das dort von Magnus erwahnte Beispieleiner Transformation vierten Grades hat Cremona offensichtlich auch nur oberflachlichstudiert, sonst hatte er es an passenderer Stelle zitiert. Moglicherweise konnte er diealtdeutsche Schrift, in der (Magnus 1833) geschrieben ist, nieht richtig lesen.

Aber Cremona kannte (Magnus 1832a) sehr genau. (Cremona 1863) beginnt damit,daB der FehlschluB von (Magnus 1832a) aufgedeckt und widerlegt wird. Cremonaerklart, es sei offensiehtlich, daB man Transformationen hoheren Grades und ersterArt durch die Komposition quadratischer Transformationen erhalten kann (Zitat 5.).Wie kam er auf diese Idee?

Wir sahen, daB die FuBnote in (Magnus 1832a) die Komposition zweier quadrati­scher Transformationen sehr nahe legt. Auf diese FuBnote geht Bertini nicht ein. Siehat aber Cremona so beschaftigt, daB er sie in einer eigenen FuBnote verallgemeinerte(Zitat 3.)! Er hat ihre Bedeutung also sicherlich erkannt - moglicherweise war sie furihn sogar der Schliissel zum Aufdecken des Magnus'schen Fehlschlusses.

Wir begriindeten, daB der EinfluB von Magnus auf Cremona grofser war, als manbisher annahm.Wir stimmen aber mit Bertini (1904) iiberein, daB Cremona als ersterdie Vielfalt und die Wichtigkeit der birationalen Transformationen iiberblickte (Zitat6.).

Anhang: Originalzitate

1. Aus (Magnus 1832a): " ... aun point p du plan P, il corredspond seulement unpoint 7r du plan II, et outre cela nul autre ni reel ni imaginaire; et de meme, qu'a unpoint {} du plan II, il correspond seulement un point r du plan P, et outre cela nulautre ni reel ni imaginaire,"

2. Aus (Magnus 1832a):"A une conique qui ne passe par les trois points principauxde l'un des deux plans, il repond en general, dans l'autre plan, une courbe du quatriemedegre a laquelle appartiennent les points principeaux de ce plan comme des points

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singuliers, et a une courbe du nieme degre qui ne passe par les trois points principeauxde l'un des deux plans, il repond en general dans l'autre plan une courbe du (2nieme

degre,"3. Aus (Cremona 1863): "Infatti egli eevidente che ad una linea d'ordine J-L situata

nel piano P corrispondera nell'altro piano una curva dell'ordine J-Ln passante J-Lr volteper ciascuno degli x; punti multipli aIle curve corrispondenti aIle rette del piano P."

4. Aus (Bertini 1904): "Cosi pure deve essere sfuggita al Cremona l'osservazionedie Magnus nella prefazione alIa "Sammlung von Aufg. und Lehrs. aus der analyt.Geom," (Berlin 1833) sulla esistenza die una trasformazione nella quale aIle rettecorrispondono quadriche con tre punti doppi e tre semplici, addotta, pare, ad esempiodi trasformazioni ottenute colla composizione 0 ripetizione di trasformazioni quadra­tiche: mentre nel 1. 8 del giornale di Crelle (1832), come Cremona avverte, Magnus(al pari di Schiaparelli) concludeva invece aIle sole trasformazioni quadratiche edomografiche come trasformazioni biunivoche fra due piani: il che fu per alcun tempoammesso anche dal Cremona."

5. Aus (Cremona 1862): "I signori Magnus e Schiaparelli ... cercarono Ie formuleanalitiche per la trasformazione ... (trasformazione di primo ordine). E dall'analisi de'citati autori sembrerebbe doversi concludere che, nella pili generale delle ipotesi, aIlerette di una figura corrisponderebbero nell'altra coniche circoscritte ad un triangolofisso (reale 0 no): ossia ch la pili generale trasformazione di primo ordine sia quellache 10 Schiaparelli appella trasformazione conica. Ma egli eevidente che applicandoad una data figura pili trasformazioni coniche successive, dalla composizione di questenascera una trasformazione che sara ancora di primo ordine, benche in essa aIle rettedella figura data corrisponderebbero nella trasformata, non gia coniche, rna curved'ordine pili elevate,"

6. Aus (Bertini 1904): "Questi precedenti ad ogni modo non tolgono al Cremona ilgrande merito di avere per primo compresa tutta I'importanza del problema di questetrasformazioni e sopratutto di averne data la soluzione completamente generale,"

Literatur

1. Bertini, E.: Della vita e delle opere di Luigi Cremona. G. Mat. 42, 12 (1904)2. Berzolari, L.: Commemorazione del M.E. Luigi Cremona. Rend. 1st. Lombardo Ser. II, 39 (1906)3. Bodini, A.: II gruppo delle trasformazioni cremoniane nel piano. Neapel: M. D' Auria 19904. Caylay, A.: On the rational transformations between two spaces. Proc. Lond. Math. Soc. 3, 127 (1870)5. Clebsch, A.: Zur Theorie der Cremona'schen Transformationen. Math. Ann. 4, 490 (1871)6. Cremona, L.: SuiIe trasformazioni geometriche delle figure piane. Nota I. G. Mat. 1, 306 (1863)7. Cremona, L.: Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane. Nota II. G. Mat. 3, 269 u. 363

(1865)8. Klein, F.: Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen. (Ges. Werke Bd. II,

p. 400) Erlangen: Andreas Deichert (1872)9. Magnus, L.J.: "Nouvelle methode pour decouvrir des theorems de geometric", Crelle J. Reine Angew.

Math. 8, 51 (1832a)10. Magnus, L.J.: Quelques theorernes de geornetrie. Crelle J. Reine Angew. Math. 8, 135 (1832b)11. Magnus, L.J.: Sammlung von Aufgaben und Lehrsatzen aus der analytischen Geometrie. Berlin:

Duncker Humblot (1833)12. Noether, M.; Ueber Flachen, welche Schaaren rationaler Kurven besitzen. Math. Ann. 3, 161 (1871)13. Plticker, J.: Uber ein neues Prinzip der Geometrie. Crelle J. Reine Angew. Math. 5, 86 (1830)14. Rosanes, J.: Ueber rationale Substitutionen. Crelle J. Reine Angew. Math. 73, 97 (1871)15. Schiaparelli, G.V.: Sulla trasformazione geometric a delle figure ed in particolare sulla trasformazione

iperbolica. Mem. Accad. Sci. Torino 2 (22) (1862)16. Severi, F.: Vorlesungen tiber algebraische Geometrie. Bibliotheca teubneriana. Leipzig: Teuber 1921