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Abb. 7. Einfach gestiitzter Balken mit Einzelkraftbelastung

Weiter definieren wir analog zu (18)

wobei wa, ozg auf Grund der klassischen Theorie der Balken- biegung bestimmt werden. Die Verliufe der Funktionen (18) und (19) werden fiir die Werte der dimensionslosen Parameter

U E 0,25, -- - - 2,625 (Stahl), 1

.- H = 5 ' -= 1 G

in den Abbildungen 6,s und 9 veranschaulicht. Aus dem Ver- gleich der Funktionsverllufe (18) und (19) ist es klar, daB der SchubeinfluB auf die Durchbiegung und Spannung des be- treffenden Balkens sehr stark ist, so daB es in derartigen Fallen angezeigt ist, die gemkiB der klassischen Theorie vor-

1 I I + Abb. 8. Verlanf der dimensionslosen Durchbiegungen E((5), @&) beim Balken gem. Abb. 7

A b l ~ 9. 'l'erlauf der dimensionslosen Normalspannungen & ( A ; s = 8 0 , &(z; s = si) in den Punkt.en der Mittellinie 6 = s i gemlD Abb. 4 bzw. 5 beim Balken gem. Abb. 7

genommene Kalkulation durch eine Berechnung im Sinne der angefuhrten Unterlagen zu ersetzen.

L i t e r a t u r 1 ]<AN, S. N., llasclict tonkostennyeh aviakonstrukcij, V V I A , 1948. 2 P A N c , V., Teorie tenkost8nnj.ch konstrukci spoCivajibich na pruinPni

podklad8, Rozpravy CSAV, P. t. v., roE. 75, seB. 4, 1985 (Teorie der dtinn- wandigen Konstruktionen auf elastischer Grundlage).

3 HAPEL, K. H., Zum Problem der Biegetorsion von dunnwandigen Staben niit geschlossenen Profilen bei Beritcksichtigung der Wolbschnbverfor- mung, Der Stahlbau, 8, 1972.

4 H G ~ A N., Teorie ohybu a smyku pIimj.ch tenkosthd'ch konstrukcl, Vfzk.'zprOva SVdSS-73-01023 (Die Theorie der Biegung bei diinnwan- digen Konstruktionen mit Riicksicht auf Wolbschubverformungen).

5 Hi&, M., Anwendung der Dirac-Deltafunktion zur Berechnung der Bie- gung gerader Balken mit Schubverformung, Wissenschaftliche Zeit- schrift der Teehnischen Universitat, Dresden, Reihe 6, Nr. 13, 1972.

Eingereicht am 19. 3. 1974, revidierte Fassung am 38. 2. 1975

Anschrijt: Dr.-Ing. MILAN HIEA, SVUSS (Staatliches Forschungsinstitut fur Maschinenbau), Husova 8, 11000 Praha 1, CSSR

ZAMM G5, 766 -768 (1975)

R. GREIMEL

Der Einfhult der Schubverzerrnngen auf 8en Beulwert einer Kreisplatte

1. E in le i tung

Die KIRCHHoFFsche Plattentheorie geht von der Annahme aus, daB die Normalgn zur Plattenmittelebene in die Norma- len der deformierten Mittelflache ubergehen und keine Zu- sammendruckung der Platte in Dickenrichtung erfolgt. Dies bedeutet, daB die aus Gleichgewichtsgrunden vorhandenen Querschubspannungen und die Normalspannungen in Dickenrichtung am Element keine Deformation verursachen sollen. Dieselben Annahmen liegen auch der Differential- gleichung der Plattenbeulung zugrunde.

Der EinfluB der Querschubverzerrung bei der Platten- biegung wurde zuerst von E. REISSNER [l] behandelt, wobei ausgehend von Annahmen uber den Verlauf der Spannungen in Dickenrichtung Mittelwerte fur die Verschiebungen und Drehungen eingefuhrt werden. H. HENCKY [2] geht zur Be- rucksichtigung der Schubverzerrung von der kiaematischen Annahme aus, daB die Normalen zur Plattenmittelebene zwar gerade bleiben, aber nicht mehr normal zur deformier- ten Mittelflache stehen. In der verallgemeinerten Platteu- theorie von A. KROMM [3], [4] wird die aus der Querschub- spannung folgende Verzerrung exakt berucksichtigt und nur die Voraussetzung uber die Starrheit der Platte in Dicken- richtung beibehalten.

Der EinfluB des Schubes auf die Stabilitit wurde auf der Basis der RErssNERschen Theorie von KOLLBRUNNER u. HERRMANN [5] fur die einseitig gedruckte rechteckige Platte untersucht. Im folgenden wird der EinfluB der Querschub- verzerrungen auf den Beulwert der radial gleichmliBig ge- druckten, im Mittelpunkt geschlossenen Kreisplatte berech- net. Dabei werden unter Zugrundelegung der Hypothese der Querstarrheit die Querschubverzerrungen exakt beruck- sichtigt.

2. Aufstellung d e r Differentialgleichungen

Wir betrachten eine rotationssymmetrische elastische Platte, die durch zwei Ebenen z = & h und durch die kreiszylin- drische Flache r = a begrenzt ist. Die beiden Oberflachen z = & h sollen spannungsfrei sein wahrend an der zylindri- schen Begrenzungsfliiche r = u gleichformig verteilte, radial nach innen gerichtete Druckspannungen wirken. Die Kreis- platte sol1 unter der Wirkung der kritischen Druckspannung uK nach einer Umdrehungsfliiche ausbeulen.

Fur den Fall der Rotationssymmetrie lauten die Gleichge- wichtsgleichungen in r- und z-Richtung fur das deformierte Plattenelement :

au, at U, - U, - + ar + -7 = 0 ,

Hier sind a,, a,, uZ, T die beim Ausbiegen auftretenden zu- siitzlichen Spannungen und t7r die Radialspannung des Grundzustandes. Fur die am Rand gleichmLBig gedruckte Kreisplatte ist

0, = - a x . (3) -

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Fur' die Dehnungen und die Querschubverzerrungen erhiilt man bei rotationssymmetrischer Verformung die Ausdrucke

au U aw aw au F r = - , F q = - , €,=-, y r , = - + - .

ar r az ar az (4)

Mit Hilfe der Annahme uber die Starrheit der Platte in 2-Richtung ( E , = 00) kann der Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Spannungen durch das folgende Elastizitatsgesetz beschrieben werden :

E . E gT = ~-

1 - V Z

aw au

( a r a : ) T = G,yrz = G , - + - .

(5)

Aus der Annahme E , = m folgt, daB die Platte in der Dickenrichtung nicht zusammendruckbar ist. Daher mu13

aw t . , = - - _ O

az

sein, d. h. die Durchbiegung der Platte ist unabhangig von z : w = w ( r ) . Aus GI. (1) u. (2) folgt mit Hilfe der Gln. (3), (5) u. (6):

Mit 3, = G,/E stellt GI. (7) die Differentialgleichung zur Berechnung der Radialverschiebungen u(r, z ) dar, wiihrend aus G1. (8) die Normalspannung uz berechnet werden kann. Durch Integration uber z folgt wegen w = w(r )

Hierin ist S(r) eine willkurliche Funktion von r .

3. Losung fu r die Verschiebung u ( r , z )

Die Differentialgleichung (7) fur die Verschiebung u sol1 mit Hilfe des Produktansatzes u(r, z ) = R(r) Z(z)

gelost werden. Damit erhtilt man die zwei Differentialglei- chungen :

Die Zerlegungskonstante wurde so gewahlt, daB in radialer Richtung alternierende BEssELfunktionen als Losung von GI. (10) erhalten werden:

M r ) = AnJl(knr) + B n Y i ( k n r ) . Fur eine im Mittelpunkt geschlossene Kreisplatte kommt wegen I'(0) --f - 00 nur der erate Summand in Frage:

&(r) = AnJi(knr) . (12)

Z,(Z) = Cn Sh Pnz + D, ch Bnz (13)

u(r, 2) = 2 J i ( h ) {Cn sh BnZ + D n ch Bnz) - (14)

Die Losung von GI. (11) wird mit Hyperbelf unktionen angeschrieben

und durch Summierung die folgende Losung aufgebaut:

= ki / { l ( l - v2)} in

n

4. Erfu l lung der Oberfli ichenbedingungen auf z = 5 h

Die Begrenzungsfliichen z = & h der Kreisplatte sollen spannungsfrei sein. Dann muB gelten: BZ(+ h) = O', t(+ h) = 0 . (15)

Die Bedingung fur uz liefert in die GI. (9) eingefuhrt fur z = + h und z = - h die folgenden beiden Gleichungen:

Die Oberflachenbedingung fur die Schubspannung nach GI. (15) ist erfullt, wenn dw _ - dr - - {:}I I = * h

ist. Da w unabhiingig von z ist, muD

sein, d. h. siimtliche Dn in der Losung (14) mussen gleich Null gesetzt werden. Fur die Verschiebung u sind demnach nur schiefsymmetrische Funktionen in z zugelassen, und GI. (14) vereinfacht sich zu u(r, Z) = 2 C n J ~ ( k n ~ ) sh Bnz . (18)

n Mit schiefsymmetrischer Verschiebung u(z) sind die beiden Gln. (16) nur fur S(r) = 0 erfullt. Damit flogt aus (16) unter Beachtung von GI. (17) :

Die Bedingungsgleichung (19) geht mit der Losung (18) iiber in:

Dieser Ausdruck ist nur dann fur alle r gleich Null, wenn der Faktor in der eckigen Klammer verschwindet. Dies fuhrt zu der Beziehung fur die Beulspannung ux in Abhiingigkeit von 6,:

Die Durchbiegung w(r) erhalt man durch Integration von G1. (17) unter Beachtung von Gl. (18) :

w ( r ) = Go + 2 Cn &! Jo(k,r) ch Blah . (21) n kn

Setzt man die Durchbiegung am Plattenrand w(r = a ) = 0, so ist

Die Radialspannung ur infolge der Ausbiegung der Platte folgt aus GI. (5) mit G1. (18) zu

5. Bedingungen a m zyl indr i schen R a n d Die Reihe der zuliissigen k,- bzw. B,-Werte ist aus der Rand- bedingung an der zylindrischen Begrenzungsfliiche zu er- mitteln. Fur den starr eingespannten Rand mussen die Radialverschiebungen bei r = a verschwinden :

Bei gelenkiger Randlagerung muB die zylindrische Begren- zungsfliiche frei von Biegenormalspamungen sein:

u(a, 2) = 0 : J,(k,a) = 0 . (24)

u ~ ( u , Z) = 0 : knaJo(kna) - (1 - V) J l (kna) = 0 . (25) Die Bedingungsgleiehungen (24) und (25) sind mit den ent- sprechenden Gleichungen fur die sehr dunne Platte identisch.

Die Agumente der Nulbtellen von (24) und (25) seien mit an bezeichnet. Fur den eingespannten Rand folgt aus GI. (24): cul = 3.8317; fur den gelenkig gelagerten Rand erhalt man rnit v = 0.25 die erste Nullstelle von (25) beicu, = 2.0171.

Um die GroBe des Schubeinflusses auf die Beulspannung abzuschatzen, sei der Klammerausdruck von G1. (20) durch

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die ersten Glieder seiner Potenzreihenentwicklung ersetzt. Mit

th (Bnh) = Bnh - 3 (BnhI3 + lautet die Entwicklung :

1 2 - * * a

Fur eine isotrope Platte ist :

Mit diesen Ausdriicken folgt :

Der Faktor vor der Klammer gibt die Beulspannung a,, nach der KntCHHOmschen Plattentheorie an; der zweite Summand in der Klammer stellt die Korrektur von uon infolge der Be- riicksichtigung der Querschubverzerrungen dar. Setzt man v = 0.26 und a/h = 20, so erhalt man folgende Zahlenwerte : fur den eingespannten Rand: uxi = a,, { 1 - 0.0391 & --} fur den gelenkigen Rand: axl = a,, { 1 - 0.0108 Die Beriicksichtigung der Schubverzerrungen bewirkt selbst bei sehr dicken Platten nur eine geringfugige Verminderung der kritischen Beulspannung.

. . a } .

6 . Berechnung der Beulspannung na c h REISSNER

Die Gleichgewichtsgleichungen fur ein Plattenelement der Dicke 2h im ausgebogenen Zustand folgen aus den Gln. (1) und (2) : d - (rM,) - M p - rQ = 0 , dr - { r Q + Z , r $ } = O , d dr

mit den SchnittgroBen + h + A + A

Mq = J U ~ Z dz , - h - A = - jnzdz MI = J U ~ Z dz ,

und der resultierenden Radialkraft N, aus dem Scheiben- spannungszustand der ebenen Platte (3):

Fur die Verteilung der Biegespannungen a, und u9 iiber der Plattendicke wird ein linearer Verlauf angenommen :

- N , = - 2 h ~ x .

3 Mr z 3 M , z g,=---,

2 h2 h u~=2hah' Fur die Querschubspannung crgibt dann die Gleichgewichts- bedingung (1) einen parabolischen Verlauf :

Entsprechend der Zusammenfassung der Spannungen zu resultierenden Schnittkriiften und Schnittmomenten werden resultierende Verschiebungen und Drehungen eingefuhrt [6].

4 h 4 h

- h - A Das zwischen den mittleren Verschiebungen und den Schnitt- momenten bestehende Elastizitiitsgesetz kann rnit der Plattensteifigkeit D = 2Eh2/{3(1 - vz)} angeschrieben wer- den :

Fur die Querkraft gilt mit der parabolischen Schubspan- nungsverteilung die Beziehung :

wahrend aus GI. (28) durch Integration iiber r folgt: dw dr Q = 2hax -.

Durch Elimination von Q erhalt man fur die mittlere Dre- hung

Damit konnen die Schnittmomente nach G1. (29)' in Abhin- gigkeit von der mittleren Durchbiegung angeschrieben wer- den :

Die Ausdriicke nach G1. (31) u. (33) werden in GI. (27) einge- setzt. Fiihrt man als neue Veranderliche den Neigungswinkel der iiber die Plattendicke gemittelten Biegeflache x = dw/dr ein, so folgt die DGI. :

mit

k;: = 2 h u x , l b (1 - - - a : ?)}

(34)

(35)

Die Losung von DGI. (34) lautet entsprechend GI. (12):

Fur die am zylindrischen Rand eingespannte bzw. gelenkig gelagerte Platte gelten die Randbedingungen : x(r = a) = 0 , Die dazugehorigen Bedingungsgleichungen fur die an stim- men mit den Gln. (24) u. (25) iiberein, so daB aus G1. (35) die Beulspannung berechnet werden kann:

xn(4 = A7aJdkd)

bzw. M,(r = a) = 0 .

@on Uxn = 2 ' 1 +- - (A) 4 a;

5 1 - v a

Fur kleine Werte von h/a kann man dafiir auch schreiben:

(37)

Wie der Vergleich mit GI. (26) zeigt, ist das erste Korrektur- glied bei beiden Entwicklungen identisch.

L i t e r a t u r 1 REISSNER, E., J. Appl. Mech., Yol. 12, 68-77 (1945). 2 HEXCHY, H., Ing. Archiv, Bd. 16, 72-76 (1947). 3 KROMM, A., Ing. Archiv, Bd. 21, 266-286 (1953). 4 KROMM, A,, ZAMM, Bd. 36, 231-242 (1956). 5 KOLLBRUNNER/MEISTER, ,,Ausbenlen", 1. Aufi., 1958,139 ff. 6 SCHIFER, M., ZAMM, Bd. 32, 161-171 (1952).

Eingereicht am 26. 5. 74

Anschrift: Dr. R. GREIMEL, 8010 Graz, Schanzelgasse 17, Osterreich

ZAMM 669 768 -769 (1975)

R. SCHMIDT~)/D. A. DADEPPO~)

On Finite Axisymmetric Deflections of Circular Plates The purpose of this Note is to modify REISSNER'S equilibrium equations [ 11 derived for axisymmetrically loaded circular plates with arbitrarily large deflections and small strains. This modification is necessary in view of the observation that the derivative of the circumferential strain is not a negli-

1) Professor of Engineering Mechanics, Department of Civil Engineering,

*) Professor, Department of Civil Engineering and Engineering Mecha- University of Detroit, Detroit, Mich.

nlcs, University of Arizona, Tucson, Ariz.