demostraciones estadísticas

FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS, FEN-ESPOL

Distribuciones de Probabilidad

Demostración de la función generatriz de momentos

Juan José Salcedo Cruz

Diciembre, 2010

Este documento se diseñó como ayuda de estudio para los estudiantes que cursan Métodos Estadísticos II. Contiene varias demostraciones de cómo obtener las diferentes funciones generadoras de momentos para muchas de las funciones más conocidas.

Métodos Estadísticos II Demostración Función Generatriz

ii Juan José Salcedo Diciembre, 2010

INTRODUCCIÓN Estimado ayudado, estimada ayudada:

Este documento se diseñó como ayuda de estudio para los estudiantes que cursan Métodos Estadísticos II.

Aunque no está completamente culminado, por cuanto hacen falta varias demostraciones, constituye un

documento muy técnico que fortalece las enseñanzas del profesor y complementa las horas de estudio del

estudiante.

Para evitarles buscar en estas hojas respuesta que no se hallan, les enlisto las distribuciones que no incluí en el

presente:

Distribución Uniforme (Discreta)

Distribución Beta

Distribución Weibull

Distribución Log-Normal

Otras (no revisadas en clase)

Por otro lado, las distribuciones que aunque están incluidas, no tienen la demostración de sus generadoras de

momentos son:

Distribución Híper Geométrica

Distribución Binomial Negativa

Espero que este documento sea una ayuda a la hora de estudiar y no constituya un compinche para ninguna

actividad que los perjudique (aunque parezca que no) o ponga en riesgo su formación profesional. Por otro

lado espero que despierte en Uds. el deseo de culminar esta importante tarea de extender el conocimiento al

mayor número de estudiantes posible.

Para aquellos que deseen terminar o mejorar este documento siéntanse en la libertad de escribirme a

[email protected], estoy seguro un mayor número de mentes podrán desarrollar lo que a este

documento le hace falta, como:

Mayor precisión al momento de definir qué indica cada variable aleatoria.

Definición los parámetros de cada distribución, así como su significado.

Una breve reseña de bajo qué circunstancias se motivó la creación de cada distribución.

Gráficos de las familias de distribuciones a medida que se varían los parámetros.

Ejercicios de los casos más complejos.

Relaciones que se pueden realizar entre las distribuciones: cuándo una binomial puede modelar una

híper geométrica, o cómo un proceso de Poisson está vinculado con las distribuciones Exponencial y

Gamma.

Asimismo, si hubiera errores u horrores cometidos por mí en cualquiera de las demostraciones queda en Uds.

estimados ayudados avisarme de tales eventos.

Con aprecio,

Juan José Salcedo Ayudante Métodos Estadísticos II II-Parcial 2010

mailto:[email protected]


iii Juan José Salcedo Diciembre, 2010

1 CONTENTS

Distribuciones Discretas

2 Distribución Binomial ..................................................................................................................................... 1

2.1 Generatriz de Momentos de la Distribución Binomial .......................................................................... 1

3 Distribución Binomial Negativa ...................................................................................................................... 1

4 Distribución Geométrica ................................................................................................................................ 2

4.1 Generatriz de Momentos de la Distribución Geométrica ..................................................................... 2

5 Distribución de Poisson .................................................................................................................................. 2

5.1 Generatriz de Momentos de la Distribución Poisson ............................................................................ 3

6 Distribución Híper Geométrica ...................................................................................................................... 3

Distribuciones Continuas

7 Distribución Uniforme ................................................................................................................................... 4

7.1 Generatriz de la Distribución Uniforme ................................................................................................ 4

8 Distribución Normal ....................................................................................................................................... 4

8.1 Generatriz de Momentos de la Distribución Normal ............................................................................ 5

9 Distribución Gamma ...................................................................................................................................... 6

9.1 Generatriz de Momentos de la Distribución Gamma ........................................................................... 6

10 Distribución Exponencial ............................................................................................................................... 7

10.1 Generatriz de Momentos de la Distribución Exponencial ..................................................................... 7

11 Distribucion Ji-Cuadrado ................................................................................................................................ 8

11.1 Generatriz de la Distribucion Ji-Cuadrado ............................................................................................ 8

1 Juan José Salcedo Diciembre, 2010

DISTRIBUCIONES DISCRETAS 2 D ISTRIBUCIÓN B INOMIAL

Variable Aleatoria Binomial: Numero de éxitos de intentos.

Soporte de la Distribución Binomial:

Definición de la Distribución:

Media:

Varianza:

Generatriz de momentos:

Observaciones: Supuesto de independencia

Probabilidad de éxitos constante.

2.1 GENERATRIZ DE MOMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN B INOMIAL

Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Agrupación términos con exponente . Nos percatamos que esto es una expansión binomial. Por lo tanto, resolvemos para obtener el resultado.

3 D ISTRIBUCIÓN B INOMIAL NEGATIVA

Variable Aleatoria Binomial Negativa: Número de intentos antes de garantizar éxitos.

Soporte de la Distribución Binomial Negativa:


Media:



Varianza:


4 D ISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Variable Aleatoria Geométrica: Número de intentos antes de garantizar un éxito.

Soporte de la Distribución Geométrica:


Media:

Varianza:


4.1 GENERATRIZ DE MOMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA




Excluimos constante, .

Empezamos a desarrollar. Nos percatamos de presencia de serie geométrica de

Empleamos la formula de la sumatoria infinita de una progresión geométrica y obtenemos el resultado.

5 D ISTRIBUCIÓN DE POISSON

Variable Aleatoria de Poisson: Número de eventos en un intervalo de medida (tiempo, distancia, etc.) dado un promedio por intervalo.

Soporte de la Distribución Poisson:




Media:

Varianza:


5.1 GENERATRIZ DE MOMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN POISSON




Excluimos término constante, . Agrupamos términos con exponente igual.

Nos percatamos preescencia de serie de MacLaurin de con . Reemplazamos término.

Agrupamos términos con base igual, sumamos exponentes y presentamos resultado.

6 D ISTRIBUCIÓN HÍPER GEOMÉTRICA

Variable Aleatoria híper geométrica: Número de éxitos en una secuencia de elementos catalogados como éxitos de una población elementos sin reemplazo.

Soporte de la Distribución híper geométrica:


Media:

Varianza:




DISTRIBUCIONES CONTINUAS 7 D ISTRIBUCIÓN UNIFORME

Variable Aleatoria Uniforme:

Soporte de la Distribución Uniforme:


Media:

Varianza:


7.1 GENERATRIZ DE LA D ISTRIBUCIÓN UNIFORME




Excluimos constante de la integral. Resolvemos.

Presentamos resultado.

8 D ISTRIBUCIÓN NORMAL

Variable Aleatoria Normal: Medida de cierto evento.

Soporte de la Distribución Normal:


Media:



Varianza:


Observaciones: Es una distribución simétrica.

8.1 GENERATRIZ DE MOMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN NORMAL




Identificamos bases iguales, sumamos exponentes.

Desarrollamos paréntesis del exponente. También multiplicamos el termino por y lo dividimos para para no alterar la expresión.

Con el paso anterior hicimos que ambos términos del exponente tengan denominador igual. Por lo que sumamos sin inconvenientes (tener cuidado con signo)

Agrupamos términos con factor común, , en el exponente.

Identificamos la presencia de trinomio cuadrado incompleto. Completamos el trinomio con el término, . Para eso sumamos y restamos este término a fin de no alterar la expresión.

Factorizamos el trinomio cuadrado que hemos completado. Excluimos términos constantes.

Definimos una nueva variable y su respectiva derivada.



Ingresamos las definiciones del paso anterior y simplificamos. Al mismo tiempo desarrollamos el paréntesis del término constante.

Identificamos la integral como una variable aleatoria normal estándar, lo simplificamos a 1. Reordenamos términos y presentamos resultado.

9 D ISTRIBUCIÓN GAMMA

Variable Aleatoria Gamma: 1. Modelación de comportamiento de ciertas medidas.

2. Tiempo de espera antes de la ocurrencia de eventos de un proceso de Poisson.

Soporte de la Distribución Gamma:


Media:

Varianza:


9.1 GENERATRIZ DE MOMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN GAMMA




Sumamos exponentes de factores con base igual.

Agrupamos términos.




Ingresamos las definiciones del paso anterior y simplificamos.

Desarrollamos y simplificamos la expresión anterior. Nos percatamos de la presencia de términos constantes.

Excluimos de la integral al termino constante y desarrollamos porque tienen exponente igual, . Identificamos a la integral como una distribución gamma con , sabemos por definición que su integral es 1.


10 D ISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Variable Aleatoria Exponencial: 1. Tiempo de vida antes de algún evento. 2. Tiempo de espera antes de la ocurrencia de

un evento de un proceso de Poisson. 3. Tiempo de espera entre la ocurrencia de dos

eventos de un proceso de Poisson.

Soporte de la Distribución Exponencial:


Media:

Varianza:


10.1 GENERATRIZ DE MOMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL











Excluimos de la integral al termino constante y desarrollamos. Identificamos a la integral como una distribución exponencial con , sabemos por definición que su integral es 1.


11 D ISTRIBUCION J I-CUADRADO

Variable Aleatoria Ji-Cuadrado:

Soporte de la Distribución Ji-Cuadrado:


Media:

Varianza:


11.1 GENERATRIZ DE LA D ISTRIBUCION J I-CUADRADO











Excluimos de la integral al termino constante y

desarrollamos porque tienen exponente igual,

.

Identificamos a la integral como una distribución

gamma con y

, sabemos por definición

que su integral es 1.


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