definiciones y conceptos básicos

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Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1 - MEDICIONES, ERRORES Y AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

Definiciones y conceptos básicosMagnitud física atributo cuerpo, fenómeno o sustancia susceptible de ser medido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la carga eléctrica, etc.

Medir: comparar objeto con otro tomado como patrón universal que se define como unidad.

Proceso medición intervienen: mensurando (magnitud objeto a medir) , método de medición ( sistema de comparación), instrumento de medición (incluye al observador) - y definir unidades de medición.En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el método de medición, el observador y el entorno en que se realiza la medición. Asimismo, el mismo proceso de medición introduce errores o incertezas.

No podemos obtener con certeza “el” valor del mensurandosolo podemos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido el mejor valor del mensurando.

Resultado final de una medición: un número real, valor de una magnitud física, su unidad correspondiente y un

intervalo de incertidumbre:

xx

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Definiciones y conceptos básicos

ERRORES O INCERTIDUMBRES Medición: o no conocemos valor exacto o verdadero de la magnitud o no existe dicho valor.

Extraño en términos física clásicaHabitual en física moderna (mecánica cuántica) magnitudes no tienen valor determinado, y lo que se mide es algo probabilístico. Resultado medición: valor mejor representa magnitud y estimación incertidumbre medida. Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición.

xx N mediciones: valor medio o promedio x

N

iixN

x1

1

N = 1 es el resultado de la única medida realizada

incertidumbre absoluta o error absoluto. x

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Definiciones y conceptos básicos

Existen diferentes formas de definir y clasificar los errores.

Presentaremos los que consideraremos como válidos para nuestro curso.

Dos “clases” de errores:

1) SISTEMÁTICOS: se originan por imperfecciones en métodos de medición. En general afectan los resultados siempre en un mismo sentido.

2) ESTADÍSTICOS: se producen al azar, debidos a causas múltiples y fortuitas. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso.

Además habría un tercer tipo “los ilegítimos o espúreos” que son las equivocaciones comunes.

En los distintos tipos de errores que veremos a continuación participan tanto errores sistemáticos como estadísticos.

Sin embargo los consideraremos como independientes y usaremos el error nominal para cuantificar los errores sistemáticos.

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Tipos de errores –error nominal Error de apreciación σap – Asociado mínima división de escala o mínima división que podemos resolver con algún método de medición. No precisamente mínima división del instrumento, sino mínima división discernible por observador. Puede ser mayor o menor que apreciación nominal, dependiendo habilidad (o falta de ella) del observador.

Error de exactitud σexac - Error absoluto con que el instrumento ha sido calibrado. Se suministra como información del instrumento.

Error de interacción σint - Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado.Ejemplo: Medición de temperatura con un termómetro de bulbo.

Error falta definición objeto sujeto a medición σdef -Incertidumbre asociada con la falta de definición del objeto a medir (incertidumbre intrínseca).Ejemplos: diámetro de una sección que no es exactamente circular, longitud con apreciación muy pequeña (límites del objeto dejan de estar bien definidos).

Error nominal de una medición σnom- En un experimento todas estas fuentes de incertidumbres, independiente entre sí, pueden estar presentes, resulta útil definir: 22

int22

exacdefapnom

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Errores estadísticos- Error absoluto Errores estadísticos σest- los que se producen al azar, debidos a causas múltiples y fortuitas.

Pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Teoría estadística comúnmente hace referencia de ellos como errores de medición.

Para determinar el error estadístico, procederemos de

la siguiente forma.

Calculamos primeramente la desviación estándar Sx

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1

2

1

2

N

x

N

xx

S

N

jj

N

jj

x

Finalmente determinamos el error estadístico est

N

Sxest

Error absoluto o efectivo Δx resulta de combinar el error nominal con el estadístico de la siguiente forma:

22int

22222exacdefapestnomestx

Si hacemos una única medida: σest = 0 y Δx = σnom

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Resumen para evaluar el error

1) El error de la medición lo calcularemos a través de la expresión: 22nomestx

2) Si hacemos una sola medida: nomx

3) Si tomamos varias medidas: calculamos Sx (desviación estándar) y luego determinamos:

N

Sxest

4) Para determinar el error nominal (nom) debemos calcular los 4 tipos de errores.

El error de apreciación (aprec) y exactitud (exac) en general lo calculamos a través de la “tabla de errores del multímetro”

Si no se especifica nada en el planteamiento de la situación, se asumirá que el error de definición y de interacción se asumen como nulos: def = int = 0.

22int

22exacdefapnom

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Número óptimo de mediciones Sx (desviación estándar) dispersión de cada medición y no depende de N (número de medidas) sino de la calidad de las mediciones, σest (error estadístico) sí depende de N, y es menor cuanto más grande es N.

Por ejemplo si medimos una longitud con regla graduada en mm, por más que aumentamos N (disminuyendo σest ) nunca con esta regla podremos dar con certeza cifras del orden de los micrones, por más que realicemos muchas mediciones.

Al aumentar N, σest disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x solo puede disminuir hasta hacerse igual o del orden de σnom. No es razonable esforzarse en disminuir σest mucho más que σnom.

Suponiendo que Sx es constante con N, hacemos un número pequeño de mediciones Nprel, de 5 a 10 y calculamos Sx: 2

nom

XOPTIMO

SN

Si NOPTIMO > Nprel, se completan las mediciones hasta NOPTIMO. Si NOPTIMO < Nprel, no se realizan más mediciones que las preliminares y se usan todas ellas.

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Héctor Korenko -2012

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Tipos de errores –error interacción

Error de interacción σint

Barra ajuste micrómetro confeccionada para ser usada a 20ºC.

Apreciación instrumento:0,01 mm (10 m)

coefiente dilatación lineal del acero: 1,1x10-5 /ºC)

Temp. ambiente 5ºCLongitud calibre 150 mm

L = 25 m

LTL

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Tipos de errores –error definiciónError falta definición objeto sujeto a medición σdef : Medir una longitud con una apreciación de micras

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Cifras significativas

Regla 1: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.

Regla 2: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

Regla 3: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

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Propagación de errores

Para determinar errores de una magnitud V que se calcula a través de otras magnitudes x, y , z cuyos errores se conocen (Δx, Δy y Δz )

...... 22

2

2

22

zz

Vy

y

Vx

x

VV

.......

zz

Vy

y

Vx

x

VV

Segundo orden

Primer orden

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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL O LINEALIZACIÓN

.)(222 baXYXfY iiiiiMinimizo:

0022

b

ya

ii

22.

.

ii

iiii

XXn

YXYXna

22

2

.

..

ii

iiiii

XXn

YXXYXb

Coeficiente de correlación: 2222 ...

...

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

Hipótesis: error sólo en yi (xi sin error)

Se aplica para ajustar a cualquier función, veremos sólo ajuste a una recta.

y = ax +b

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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL O LINEALIZACIÓN

Funciones no lineales que se pueden linealizar: cambio de variables

Exponencial

Potencial

Racional

ab xy 10

axbeey

Cxy

i

i yY

1 a

1

a

bC

a

bx

ay

1

bec axcey )ln( ii yY

a

ii xX

)log( ii xX

ii xX

)log( ii yY cxy a

bc 10

baXY

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