Definiciones básicas en Programación lineal

M.Sc. Jorge E. Hernández H

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Contenido.

1. Variables de decisión2. Función Objetivo3. Restricciones4. Región Factible.5. Soluciones Factibles.6. Propiedades.7. Solución gráfica.8. Análisis de Sensibilidad.

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1. Variables de decisión.Es lo que se trata dedeterminar, y para lo cualse requiere una decisión.Generalmente se designancon letras subindizadas.Cada variable deberepresentar una cantidadque corresponda con unamisma unidad de medida. • x4• x3

• x2• x1

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2. Función Objetivo.

El objetivo es lo que sequiere maximizar ominimizar. En el caso de laprogramación lineal estáexpresado como unafunción lineal.

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1 2 1 1 2 2( , )Z f x x a x a x= = +

3. Restricciones.

Representan los límitesdel escenario de lasituación planteada. Semuestran por medio dedesigualdades de tipolineal. El sistema completomuestra una región delplano.

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4. Región Factible.

Es precisamente la región determinada por el sistema de restricciones de tipo lineal. Es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen las restricciones del problema.

La región está determinada por los ejes cartesianos y las rectas.

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4.1 Región Factible no acotada.

No acotadas:

Una región es no acotada si no se puede encerrar en un círculo. Generalmente se piensa que el problema está mal planteado.

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4.2 Región Factible acotada.

Acotada:

Una región es acotada si se puede encerrar en un círculo.

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5. Soluciones Factibles.

Cualquier solución dentro de la región factible se denomina solución factible, es decir cualquier punto dentro de la región factible determina valores numéricos para las variables que satisfacen las restricciones.

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5.1 Solución Factible Optima.

Entre todas las soluciones factibles, buscamos aquella que maximice o minimice la función objetivo, además de que satisfaga las restricciones impuestas.

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6. Propiedades.

Proporcionalidad.

La contribución de cada variable a la función objetivo o cualquier restricción debe estar en proporción directa con los coeficientes o parámetros

Aditividad.

La contribución total de las variables de decisión a la función objetivo o a las restricciones debe estar expresada en sumas o restas.

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.a x Z ax by= +

7. Solución gráfica.

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Graficar las rectas determinadas por las restricciones

Encontrar la región

intersección

Determinar los vértices o esquinas

Evaluar la función objetivo en los

vértices

Escoger el mayor o menor valor.

8. Análisis de Sensibilidad.

Es un estudio que se hace para conocer que tanto pueden variar los coeficientes de la función objetivo y los parámetros de las restricciones, sin alterar el valor óptimo encontrado.

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8.1 Análisis de Sensibilidad.

En el ejemplo de la clase anterior encontramos el siguiente gráfico, donde pudimos evaluar que la función objetivo

alcanza su máximo en el vértice (2,6).

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1 23000 5000Z x x= +

8.2 Análisis de Sensibilidad.

Grafiquemos la recta obtenida de la función objetivo, dándole a Z el valor máximo encontrado:

Nótese que la recta segmentada tiene una inclinación que permanece entre los límites establecidos por las rectas de color rojo y verde.

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1 23000 5000 36000x x+ =

8.3 Análisis de Sensibilidad.Esto se puede establecer de la siguiente manera:

La pendiente de la recta solución (pendiente -0.6) está entre los valores de la pendiente de la recta horizontal (pendiente 0) y la pendiente de la recta roja (pendiente -1.5).

Esto quiere decir que

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cualquier modificación a los coeficientes de la función objetivo no deben cambiar la pendiente fuera del intervalo establecido entre las rectas que pasan por el punto óptimo.

8.4 Análisis de Sensibilidad.¿Qué pasa si modificamos la disponibilidad, es decir, si modificamos los valores del lado derecho de las restricciones? Identificamos las rectas que determinan el punto óptimo:

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2 6x =

1 23 2 18x x+ ≤

8.5 Análisis de Sensibilidad.Observamos, manteniendo la disponibilidad de la recta en 6, es posible desplazar la recta desde el punto (0,6) hasta el punto (4,6), evaluando la recta en esos puntos obtenemos

y

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3.0 2.6 12+ =

3.4 2.6 24+ =

8.6 Análisis de SensibilidadEn otras palabras, la disponibilidad de la planta 3 puede variar entre 12 y 24 horas.Caso similar ocurre si dejamos la disponibilidad de el recurso de la planta 3 fijo en 18. Entonces, podemos mover la recta correspondiente a la planta 1I desde (4,3) hasta (0,9)

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8.7 Análisis de Sensibilidad.Esto nos conduce a observar que la disponibilidad de la planta 1I puede ser modificada entre 3 y 9 horas.

Hay otro aspecto de interés para el análisis de sensibilidad.

Valor por unidad de un recurso:

Tasa de cambio del valor de la función objetivo con respecto a los cambios en la disponibilidad de los recursos.

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8.8 Análisis de Sensibilidad.Se consigue usando la siguiente expresión:

En nuestro caso, encontremos y3: los puntos considerados fueron (0,6) y (4,6), con lo que al sustituirlos en Z obtenemos

para (0,6):

para (4,6)

de esta manera, cambios en Z = 12000

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Cambios en ZCambios en el recurso iy

i=

1 23000 5000Z x x= +

3000.0 5000.6 30000+ =

3000.4 5000.6 42000+ =

8.9 Análisis de Sensibilidad.Los cambios en el recurso 3 ya son conocidos:

24 – 12 = 12

Luego, el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta 3 es

Similarmente estudiamos el recurso 1I. Los límites del recurso oscilan entre 3 y 9, lo que nos da un cambio de 6. Y el cambio en la función objetivo es de 18, así que el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta II es

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312000 1000

12y = = 2

18000 30006

y = =

Fin de la presentación.

Gracias por su atención.

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