CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DO RIO GRANDE DO NORTE

SERVIO PBLICO FEDERAL INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE - IFRN CAMPUS JOO CMARA

12 APOSTILA - SEQUNCIAS

Prof.o : FRANCISCO QUARANTA NETOData : DISCIPLINA: MATEMTICA

ALUNO (A): TURMA:

AS VRIAS SEQUNCIAS NUMRICASE AS DUAS PROGRESSES

Quando certo conjunto de nmeros reais ordenado segundo algum critrio ou no, dizemos que eles formam uma sequncia numrica ou uma sucesso ou uma progresso. Esta sequncia ter um primeiro termo (a1), um segundo termo (a2), um terceiro termo (a3) e assim por diante e sua ordem no pode ser alterada. simbolizada por uma letra minscula com um ndice e seus elementos so exibidos de forma idntica quela usada para conjuntos, mas com uma diferena: no lugar das chaves so usados os parnteses. Veja exemplo de sequncias:an = ( 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)bn = (5, 50, 500, 5.000, 50.000, ...)cn = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)dn = ( 4, 14, 15, 400, 401, 402, ...)en = ()fn = (gn = ( 2, -6, 17, )

De acordo com a quantidade de elementos, as sequncias numricas podem ser finitas ou infinitas. Os exemplos an, cn, en e gn possuem um nmero finito de elementos. As demais apresentam uma infinidade de elementos.Relembrando o conceito de funo j estudado, uma sucesso pode ser entendida como uma funo onde os termos so associados com a posio que ocupam. Assim, o domnio dessa funo ser formado pelos nmeros naturais (posio dos termos) e o contra-domnio pelos nmeros reais (termos da sequncia). Fazendo a representao simblica: Sequncia equivale a uma funo com domnio formado pelos naturais( an ) f : Normalmente, quando criamos uma sucesso, temos em mente uma propriedade especfica que possibilitar adivinhar qual ser o prximo elemento da sequncia. No primeiro exemplo, percebe-se que os nmeros pares formam a sucesso, ou seja, existe uma propriedade que manda adicionar o nmero 2 a um elemento para gerar o elemento seguinte. J no segundo exemplo, percebe-se que existe uma propriedade que multiplica o nmero 10 ao elemento atual para gerar o elemento seguinte. Voc pode tentar adivinhar as propriedades mostradas nos exemplos seguintes!Dentre os diversos tipos de propriedades que podemos usar para criar uma sucesso, duas se destacam: aquelas usadas nos dois primeiros exemplos, uma vez que utilizam as duas operaes numricas comutativas existentes: a adio e a multiplicao. As sequncias geradas atravs de uma simples operao de somar ou de multiplicar sero denominadas, respectivamente, Progresses Aritmticas e Progresses Geomtricas. Elas sero estudadas logo a seguir.

EXERCCIOS1 Para cada exemplo mostrado, tente criar outra sucesso usando a mesma propriedade do exemplo.2 Escreva uma sequncia finita com uma propriedade diferente daquelas j exemplificadas.3 Qual o prximo termo da seguinte sequncia:a) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... )b) (1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, ... )

PROGRESSES ARITMTICAS

Se a partir de um termo qualquer da sequncia que queremos estudar, fizermos a adio dele com um certo nmero real, ser obtido o termo seguinte da sequncia. Se a este novo termo for somado aquele mesmo nmero real usado na primeira vez, um prximo termo ser gerado. Se prosseguirmos usando esta mesma propriedade de somar um nmero fixo para produzir o termo seguinte, ento teremos criado uma progresso que denominada Aritmtica. Conhecida popularmente pelas iniciais do seu nome, P. A., ela uma sucesso onde cada termo somado a um nmero constante para produzir o termo seguinte. Este nmero constante denominado Razo da P. A. e sua representao feita pela sua letra inicial r. Veja, a seguir, diversos exemplos de progresses aritmticas acompanhadas das suas respectivas razes.an = ( 3, 5, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19)r = 2bn = (-5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...)r = 5cn = (-11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, )r = 3dn = ( 40, 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30, ...)r = -10en = ()r = fn = (r = gn = ( 0,2; 0,3; 0,4, )r = 0,1hn = ( )r = in = (3, 3, 3, 3, ...)r = 0Vale destacar que, no caso da P. A. acima chamada por gn, os elementos foram separados por ponto e vrgula e no por vrgulas, uma vez que os nmeros presentes j possuam a vrgula na sua representao.As progresses aritmticas podem ser classificadas em trs tipos conforme o sinal da sua razo:

Dentre os exemplos mostrados, dn e hn so decrescentes, hn constante e as demais so crescentes.O TERMO GERAL DE UMA P. A.Observe a P. A. (3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, ... ). Podemos fazer o seguinte questionamento: qual ser o centsimo quadragsimo nono termo dessa sequncia? Usando a simbologia adequada, quanto vale a149?A razo dessa P. A. vale 7, pois se subtrairmos um termo do seu anterior, obtemos o resultado 7. Por exemplo, a2 a1 = 10 3 = 7, mas tambm a3 a2 = 17 10 = 7, assim como a7 a6 = 45 38 = 7. De uma forma geral, para qualquer P. A., a razo r pode ser obtida se subtrairmos um termo qualquer an do seu anterior an-1:

r = an an-1r claro que podemos obter a149 fazendo de um por um at chegar l. Mas vai demorar muito!!!!!Alm disso, a chance de se cometer um erro fica muito grande em funo do grande nmero de contas que sero realizadas. Precisamos de uma soluo mais elegante e que no demore tanto tempo. Pediremos ajuda da lgebra a fim de obter uma ferramenta muito mais potente do que essa idia da gerao do termo seguinte a partir do anterior atravs da soma.O 1o termo da P. A. vale: a1 = 3. O 2o termo da P. A. vale: a2 = 10. Como a2 = a1 + r, ento ele pode ser rescrito como 3 + 7 = 10.O 3o termo da P. A. vale: a3 = 17. Como a3 = a2 + r, ento ele pode ser rescrito como 10 + 7. Mas como a2 = a1 + r, podemos dizer que a3 = a1 + r + r = a1 + 2r. Assim, a3 = 3 + 7 + 7 = 3 + 2 . 7 = 17.O 4o termo da P. A. vale: a4 = 24. Como a4 = a3 + r, ento ele pode ser rescrito como 17 + 7. Mas como a3 = a1 + 2.r, podemos dizer que a4 = a1 + 2.r + r = a1 + 3r. Assim, a4 = 3 + 7 + 7 + 7 = 3 + 3 . 7 = 24.O 5o termo da P. A. pode ser rapidamente obtido: a5 = a1 + 4r = 3 + 4 . 7 = 31.O 6o termo da P. A.: a6 = 3 + 5 . 7 = 38.O 7o termo da P. A.: a7 = 3 + 6 . 7 = 45.O 8o termo da P. A.: a8 = 3 + 7 . 7 = 52.O 20o termo da P. A.: a20 = 3 + 19 . 7 = 136.O 100o termo da P. A.: a100 = 3 + 99 . 7 = 696.O 149o termo da P. A. que foi pedido: a149 = 3 + 148 . 7 = 1039.

Assim, o centsimo quadragsimo nono termo (a149) da P. A. proposta vale 1039.Partindo dessa idia que qualquer termo de uma P. A. pode ser obtido somando o primeiro termo com o produto entre a razo e a posio do termo menos um, podemos transformar essa idia em uma linguagem algbrica. Assim, como o termo qualquer ser representado por an,o primeiro termo ser a1, a razo por r e a posio do termo que queremos achar por n, podemos concluir que:

an = a1 + (n 1) . r

Esta frmula denominada termo geral da P. A. e ser uma ferramenta essencial para a resoluo de problemas. Vale frisar que ela possui 4 incgnitas:Termo qualquer:anPrimeiro termo: a1Razo: rPosio do termo qualquer: n

Consequentemente, quatro problemas bsicos podem ser lanados:1) Achar o termo qualquer (an) Este problema acabou de ser resolvido.

2) Achar o primeiro termo (a1).

Seja a P. A. ( ..., 45, 52, 59). Sabemos que o termo 59 ocupa a nona posio dessaprogresso. Descubra quanto vale o primeiro termo.A razo vale 52 45 = 7. Ora, se a9 = 59, basta utilizar o termo geral:a9 = a1 + 8 . rSubstitumos os valores j conhecidos:59 = a1 + 8 . 7Ao resolver a equao, obtemos o valor de a1:a1 = 3

3) Achar a posio do termo qualquer ou o nmero de termos da P. A. (n).

Seja a P. A. (10, ... , 45, 52, 59, 66). Descubra quantos termos tem essa P. A..A razo vale 52 45 = 7. Basta utilizar o termo geral para o ltimo termo:an = a1 + (n 1) . rSubstitumos os valores j conhecidos:66 = 10 + (n 1) . 7Ao resolver a equao, obtemos o valor de n:66 10 = 7n 7n = (56 + 7)/7 = 9Essa P. A. possui 9 termos.

4) Achar a razo (r).

Seja a P. A. (10, ... , 87). Sabemos que o termo 87 ocupa a dcima segunda posio dessa progresso. Descubra qual a razo dessa P. A.. Basta utilizar o termo geral para o ltimo termo:a12 = a1 + (12 1) . rSubstitumos os valores j conhecidos:87 = 10 + (12 1) . rAo resolver a equao, obtemos o valor de r:77 = 11rr = 7Essa P. A. possui razo valendo 7.

Os problemas mais elaborados, usando apenas o termo geral, so aqueles que esta frmula ser usada mais de uma vez. Por exemplo, se soubermos que a soma do primeiro com o quarto termo de uma P. A. vale 27 enquanto a soma do terceiro com o oitavo termo de uma 69, qual o valor da razo desta P. A. ? Neste problema, o termo geral ser usado trs vezes, uma vez para cada termo citado. Todos eles ficaro em funo do primeiro termo a1 e da razo r. Em seguida, resolvemos o sistema de equaes com duas incgnitas. Veja:

Usando o termo geral:a8 = a1 + 7 . ra4 = a1 + 3 . ra3 = a1 + 2 . rSubstituindo no sistema acima as equaes vindas do termo geral:

Simplificando o sistema:

Subtraindo a equao (I) da equao (II), membro a membro, obtemos:

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A. FINITA

Para efetuar a soma de uma quantidade finita de termos de uma P. A., uma idia bem simples pode ser usada. Observe a P. A. (2, 3, 4, 5, 6, ... , 17, 18, 19, 20, 21).Poderamos fazer a soma destes termos de uma P. A. de razo 1: 2 + 3 = 5, depois 5 + 4 = 9, em seguida 9 + 5 = 14, depois 14 + 6 = 20, e assim por diante, at chegar em 209 + 21 = 230. Porm, isso daria muito trabalho e levaria muito tempo. Se no concorda comigo, some os 1000 primeiros nmeros naturais! Agora, voc concorda?Existe uma forma mais simples de efetuar esta soma de todos os termos de uma P. A.. Basta somar o primeiro com o ltimo, o segundo com o penltimo, o terceiro com o antepenltimo, e assim por diante, at incluir todos os termos. Veja:2 + 21 = 233 + 20 = 234 + 19 = 23No precisamos fazer todas as somas necessrias, uma vez que o resultado sempre est dando 23. Nosso problema pode ser visto, agora, de outra maneira. Temos que somar o nmero 23 com ele mesmo vrias vezes para chegar onde queremos:23 + 23 + 23 + ... + 23Resta descobrir quantas vezes aparece o nmero 23. Nesse caso, se subtrairmos o primeiro do ltimo termo e somarmos 1, chegaremos ao resultado correto de 20 termos existentes nessa P.A. (Quando a razo no um, esse procedimento no suficiente, algo mais precisa ser feito). A cada dois termos somados dessa P. A. um nmero 23 foi gerado, ento pode-se concluir que a quantidade de vezes que o nmero 23 aparecer ser a metade do nmero de termos da progresso. Nesse caso, 20/2, chegaremos ao nmero 10. Assim, o resultado final ser:23 . 10 = 230

Essa idia usada nesta P. A. poder ser usada para qualquer outra P. A.. Repito para qualquer P. A.. Basta somar o primeiro a1 com o ltimo termo an. Em seguida, esse resultado deve ser multiplicado pela metade do nmero de termos da sucesso, uma vez que segue a mesma lgica usada no exemplo anterior. Isto vale mesmo se a quantidade de termos da P. A. for mpar. A frmula final ficar:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. A.a1 = primeiro termoan = ltimo termo ou termo de posio nn = nmero de termos da P. A. ou posio do ltimo termo da P. A.

EXERCCIOSNvel introdutrio (uso de apenas 1 frmula)1 Qual o dcimo terceiro termo da P.A. (3, 8, 13, 18, ... )?2 Qual o primeiro termo da P.A. ( a1 , a2, a3, ... , 27, 31), sabendo que ela possui 9 termos?3 Quanto vale a razo da seguinte P.A. finita e com 8 termos: (-4, ... , 10)?4 Escreva o termo geral da P.A. (7, 11, 15, ...).5 Quanto vale a soma dos termos da P.A. (17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35)?6 Quanto vale a soma dos nmeros que formam uma P.A. com 12 termos, que possui primeiro termo igual a 8 e o ltimo igual a 32?7 A soma dos 5 primeiros termos de uma P.A. decrescente vale 40. Se seu primeiro termo vale 12, quanto vale seu ltimo termo?8 Na P.A. finita (1, ... , 47), a soma dos termos vale 480. Quantos nos existem nesta progresso?

Nvel intermedirio (uso de 2 frmulas ou interpretao mais elaborada)1 Trs nmeros consecutivos de uma P.A. so definidos por x + 2, x2 - 1 e x2 + 8. Quais os possveis valores de x?2 As medidas dos lados de um tringulo retngulo esto em P.A. O permetro do tringulo 48cm. Quanto vale a hipotenusa?3 Qual a soma dos 12 primeiros termos da P.A. (30, 28, 26, ...)?4 Em uma P.A., a3 + a7 = 36 e a5 + a8 = 48. Calcule o 4o termo dessa P.A.?5 Calcule o 5o termo de uma P.A. quando so inseridos cinco meios aritmticos entre 4 e 22.6 Qual a soma dos mltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 300?7 Resolva a equao (5 + 9 + 13 + ... + x) = 119.

8 A soma dos termos de uma P.A. Sn = 2n2 + 3n para todo n N*. Calcule o 5o termo da P.A.9 A soma dos 7 primeiros termos de uma P.A. que comea com 20 vale 350. Qual sua razo?

10 (Faap-SP) Ache a P.A. de trs termos cuja soma 18 e o produto 192.11 Um estacionamento cobra R$1,50 pela 1a hora. A partir da segunda hora, cujo valor R$1,00, at a dcima segunda, cujo valor R$0,40, os preos caem em P.A. Se um automvel ficar estacionado cinco horas neste local, quanto gastar seu proprietrio ?a) R$4,58 b) R$5,41 c) R$5,14 d) R$4,85 e) R$5,34.12 (.F C. Chagas-BA) A soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. vale 600. Se o 2o termo dessa P.A. -4, a razo :a) -4b) -2 c) -1 d) 2 e) 4.13 (Osec-SP) Existe um tringulo retngulo cujas lados so nmeros pares em P.A. de razo 6 ?a) No Existeb) Existe e os lados medem 14, 20 e 26c) Existe e os lados medem 20, 25 e 30d) Existe e os lados medem 18, 24 e 30e) Existe, mas no retngulo.

Nvel Avanado (uso de vrias frmulas e/ou interpretao difcil)1 (UECE) Seja (a1, a2, a3, ..., ak) uma P.A. de razo r. Se 3ak = 7a1, r = 1/k e a1 + a2 + a3 + ... + ak = 5, ento a2 igual a:a) 4/5 b) 6/5 c 4/3 d) 5/3e) 5/6.2 (Mackenzie-SP) A soma do 1o com o 4o termo de uma P.A. 9. Se a razo igual a 4/3 do 1o termo, o 3o termo :a) 3/2 b) 13/2 c) 15/2 d) 7/2 e) 11/2.3 (Osec-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50m da 1a roseira e cada roseira dista 2m da seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche o balde na torneira e despeja seu contedo na 1a. Volta torneira e repete a operao para cada roseira seguinte. Aps regar a ltima roseira e voltar torneira para deixar o balde, ele ter andado:a) 1200m b) 1180m c) 1130m d) 1110m e) 1000m.

RESPOSTASNvel introdutrio1) 63 2) -1 3) 2 4) an = 4n + 3 5) 260 6) 240 7) 4 8) 20

Nvel intermedirio1) -3 ou 4 2) 20cm 3) 228 4) 14 5) 16 6) 3663 7) x=29 8) 21 9) 10 10) (4, 6, 8) ou (8, 6, 4) 11) c 12) e 13) d

Nvel Avanado1) a 2) e 3) b

PROGRESSES GEOMTRICAS

Se a partir de um termo qualquer da sequncia em questo, fizermos a multiplicao dele com um certo nmero real, ser obtido o termo seguinte da sequncia. Se a este novo termo for multiplicado aquele mesmo nmero real usado na primeira vez, um prximo termo ser gerado. Se prosseguirmos usando esta mesma propriedade de multiplicar um nmero fixo para produzir o termo seguinte, ento teremos criado uma progresso que denominada Geomtrica. Conhecida popularmente pelas iniciais do seu nome, P. G., ela uma sucesso onde cada termo produto do termo anterior com um nmero constante para produzir o termo seguinte. Este nmero constante denominado Razo da P. G. e sua representao feita pela sua letra inicial q. Veja, a seguir, diversos exemplos de progresses geomtricas acompanhadas das suas respectivas razes.an = ( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192)q = 2bn = (-1, -5, -25, -125, -625)q = 5cn = (, 1, 3, 9, 27, 81, 243, )q = 3dn = ( 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, , ...)q = en = ()q =fn = (q = gn = ( 0,002; 0,02; 0,2; 2; 20; 200; 2000)q = 10hn = ( )q = in = ( )q = jn = ( )q = Vale destacar que, no caso da P. G. acima chamada por gn, os elementos foram separados por ponto e vrgula e no por vrgulas, uma vez que os nmeros presentes j possuam a vrgula na sua representao.As progresses geomtricas podem ser classificadas em cinco tipos conforme o valor da sua razo:

Dentre os exemplos mostrados, en e in so alternadas, hn nula, dn decrescente, fn constante e as demais so crescentes.

O TERMO GERAL DE UMA P. G.Observe a P. G. (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ... ). Podemos fazer o seguinte questionamento: qual ser o vigsimo nono termo dessa sequncia? Usando a simbologia adequada, quanto vale a29?A razo dessa P. G. vale 2, pois se dividirmos um termo do seu anterior, obtemos o resultado 2. Por exemplo, = = 2, mas tambm = = 2, assim como = = 2. De uma forma geral, para qualquer P. G., a razo r pode ser obtida se dividirmos um termo qualquer an do seu anterior an-1:

q =

claro que podemos obter a29 fazendo de um por um at chegar l. Mas ningum merece sofrer tanto!!!!!Alm disso, a chance de se cometer um erro fica muito grande em funo do grande nmero de contas que sero realizadas. Precisamos de uma soluo mais elegante e que no demore tanto tempo. Pediremos ajuda da lgebra a fim de obter uma ferramenta muito mais potente do que essa idia da gerao do termo seguinte a partir do anterior atravs da soma.O 1o termo da P. G. vale: a1 = 5. O 2o termo da P. G. vale: a2 = 10. Como a2 = a1 . r, ento ele pode ser rescrito como 5 . 2 = 10.O 3o termo da P. G. vale: a3 = 20. Como a3 = a2 . r, ento ele pode ser rescrito como 10 . 2. Mas como a2 = a1 . r, podemos dizer que a3 = a1 . r . r = a1 . r2. Assim, a3 = 5 . 22 = 20.O 4o termo da P. G. vale: a4 = 40. Como a4 = a3 . r, ento ele pode ser rescrito como 20 . 2. Mas como a3 = a1 . r2, podemos dizer que a4 = a1 . r2 . r = a1 + r3. Assim, a4 = 5 . 23 = 40.O 5o termo da P. G. pode ser rapidamente obtido: a5 = a1 . r4 = 5 . 24 = 80.O 6o termo da P. G.: a6 = 5 . 25 = 160.O 7o termo da P. G.: a7 = 5 . 26 = 320.O 8o termo da P. G.: a8 = 5 . 27 = 640.Assim, usando a idia anterior, chegamos:O 29o termo da P. G.: a29 = 5 . 228 = 1.342.177.280.Assim, o vigsimo nono termo (a29) da P. G. proposta vale 1.342.177.280.Partindo dessa idia que qualquer termo de uma P. A. pode ser obtido somando o primeiro termo com o produto entre a razo e a posio do termo menos um, podemos transformar essa idia em uma linguagem algbrica. Assim, como o termo qualquer ser representado por an,o primeiro termo ser a1, a razo por r e a posio do termo que queremos achar por n, podemos concluir que:

an = a1 . qn-1

Esta frmula denominada termo geral da P. G. e ser uma ferramenta essencial para a resoluo de problemas. Vale frisar que ela possui quatro incgnitas:Termo qualquer:anPrimeiro termo: a1Razo: qPosio do termo qualquer: n

Novamente, exatamente como na P.A., quatro problemas bsicos podem ser lanados a partir do termo geral da P. G.:1) Achar o termo qualquer (an) Este problema acabou de ser resolvido.

2) Achar o primeiro termo (a1)Seja a P. G. ( ..., 64, 128, 256). Sabemos que o termo 256 ocupa a stima posio dessa progresso. Descubra quanto vale o primeiro termo.A razo vale = 2. Ora, se a7 = 256, basta utilizar o termo geral:a7 = a1 . r6Substitumos os valores j conhecidos:256 = a1 . 26Ao resolver a equao, obtemos o valor de a1:a1 = 4

3) Achar a posio do termo qualquer ou o nmero de termos da P. G. (n)Seja a P. G. (4, ... , 128, 256, 512, 1024). Descubra quantos termos tem essa P. G..A razo vale = 2. Basta utilizar o termo geral para o ltimo termo:an = a1 . qn-1Substitumos os valores j conhecidos:1024 = 4 . 2n-1Ao resolver a equao, obtemos o valor de n:28 = 2n-1n = 8+1 = 9Essa P. G. possui 9 termos.

4) Achar a razo. (q)Seja a P. G. (4, ... , 4096). Sabemos que o termo 4096 ocupa a dcima primeira posio dessa progresso. Descubra qual a razo dessa P. G.. Basta utilizar o termo geral para o ltimo termo:a11 = a1 . q10Substitumos os valores j conhecidos:4096 = 4 . q10Ao resolver a equao, obtemos o valor de q:1024 = q10q = 2Essa P. G. possui razo valendo 2.

Os problemas mais elaborados, usando apenas o termo geral, so aqueles onde esta frmula ser usada mais de uma vez. Por exemplo, se soubermos que o produto do primeiro com o quarto termo de uma P. G. vale 8 enquanto o produto do terceiro com o oitavo termo vale 512, qual o valor da razo desta P. G. ? Neste problema, o termo geral ser usado trs vezes, uma vez para cada termo citado. Todos eles ficaro em funo do primeiro termo a1 e da razo r. Em seguida, resolvemos o sistema de equaes com duas incgnitas. Veja:

Usando o termo geral:a8 = a1 . q7a4 = a1 . q3a3 = a1 . q2Substituindo no sistema acima as equaes vindas do termo geral:

Simplificando o sistema:

Dividindo a equao (I) da equao (II), membro a membro, obtemos:

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P. G. FINITA

Para efetuar o produto de uma quantidade finita de termos de uma P. G., uma idia bem simples pode ser usada. Observe a P. G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128).Poderamos fazer a soma destes 8 termos de uma P. G. de razo 2: 1 . 2 = 2, depois 2 . 4 = 8, em seguida 8 . 8 = 64, depois 64 . 16 = 1024, e assim por diante, at chegar ao resultado. Porm, isso daria muito trabalho e levaria muito tempo.Existe uma forma mais simples de efetuar este produto de todos os termos de uma P. G.. Basta multiplicar o primeiro com o ltimo, o segundo com o penltimo, o terceiro com o antepenltimo, e assim por diante, at incluir todos os termos. Veja:1 . 128 = 1282 . 64 = 1284 . 32 = 128No precisamos fazer todas os produtos necessrios, uma vez que o resultado sempre est dando 128.. Temos que multiplicar o nmero 128 com ele mesmo vrias vezes para chegar onde queremos:128 . 128 . ... . 128Resta descobrir quantas vezes aparece o nmero 128. A P. G. possui oito termos. A cada dois termos multiplicados dessa P. G. um nmero 128 foi gerado, ento pode-se concluir que a quantidade de vezes que o nmero 128 aparecer ser a metade do nmero de termos da progresso. Nesse caso, 8/2, chegaremos ao nmero 4. Assim, o resultado final ser:1284 = 268.435.456

Essa idia usada nesta P. G. poder ser usada para qualquer outra P. G.. Repito para qualquer P. G.. Basta multiplicar o primeiro a1 com o ltimo termo an. Em seguida, esse resultado deve ser elevado a metade do nmero de termos da sucesso, uma vez que segue a mesma lgica usada no exemplo anterior. Isto vale mesmo se a quantidade de termos da P. G. for mpar. A frmula final ficar:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. G.a1 = primeiro termoan = ltimo termo ou termo de posio nn = nmero de termos da P. G. ou posio do ltimo termo da P. G.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. FINITA

Para efetuar a soma de uma quantidade finita de termos de uma P. G., faremos uma demonstrao que valer para qualquer progresso geomtrica.A soma dos n primeiros termos de uma P. G. ser dada por:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-2 + an-1 + anSubstituindo o termo geral para todos os n termos dessa P. G. teremos:Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn-3 + a1 . qn-2 + a1 . qn-1 (I)Multiplicaremos todos os termos dessa equao (I) por q, produzindo a equao (II). Observe o sistema formado pelas duas equaes:

Se estas duas equaes forem somadas, todas as parcelas intermedirias sero canceladas, uma vez que sempre existe a parcela oposta na outra equao. Restaro apenas o primeira parcela da equao (I) e a ltima da equao (II): Colocando em evidncia:Isolando :

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. G.a1 = primeiro termo da P. G.q = razo da P. G.n = nmero de termos da P. G. ou posio do ltimo termo da P. G.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G. INFINITA

Para efetuar a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P. G., mostraremos uma idia que permite obt-la a partir da frmula anterior obtida para o caso finito.Essa soma s existir quando o termo geral da P.G. tender a zero. Esse o caso das progresses geomtricas decrescentes e tambm das progresses geomtricas alternadas com razo entre 0 e -1. Ou seja, somente haver soma infinita se a razo estiver entre-1 e 1.A soma dos n primeiros termos de uma P. G. finita dada por:

Como a P. G. agora possui infinitos termos, o valor de n tende para o infinito.Como a razo q est entre -1 e 1, ento o termo ficar cada vez menor quanto mais aumentarmos n, uma vez que um nmero entre -1 e 1 multiplicado por ele mesmo diminuir e se aproximar de zero a medida que mais multiplicaes forem realizadas. Como faremos uma infinidade de operaes bastante adequado dizer que tender a zero.A frmula ficar:

Sn = soma dos n primeiros termos de uma P. G.a1 = primeiro termoq = razo da P. G.

EXERCCIOS

Nvel introdutrio (uso de apenas 1 frmula)

1 Qual o oitavo termo da P.G. (1/3, 1, 3, ...)?2 Quantos termos existem na P.G. (7, 14, 28, ... , 224)?3 Qual o primeiro termo da P.G. ( ... , 5, 25, 125, 625) que possui 7 termos?4 Qual a razo q da P.G. cujo primeiro termo -1 e o dcimo 512?5 Quanto vale a soma dos 7 primeiros termos da P.G. (3, 6. ...)?6 Se a soma dos 7 primeiros termos da P.G. ( ... , 32, 64, 128, 256) vale 508, quanto vale a1?7 Quanto totaliza a soma dos infinitos termos da P.G. (8, 4, 2, 1, , ...)?8 Dada a P.G. (a, 3, 15, b, c), calcule a + b + c.9 Na P.G. (16, 24, ...) determine:a) o 5o termob) a soma dos 6 primeiros termosc) o produto dos 5 primeiros termos.10 Quantos termos tem a P.G. (1/9, 1/3, 1, ..., 81)?a) 11b) 10c) 9d) 7e) 5.11 Escreva o termo geral da P.G. ( 12, 4, 4/3, ...).

Nvel intermedirio (uso de 2 frmulas ou interpretao mais elaborada)

1 Os nmeros 5m + 2, 9m e 10m + 25 formam, nessa ordem, uma P.G. crescente. Calcule m.2 Em uma P.G., a soma do 1o com o 2o termo 72 e a soma do 3o com o 4o 200. Calcule o 5o termo dessa P.G.3 Calcule o 4o termo de uma P.G. quando so inseridos cinco meios geomtricos entre 4 e 2916.

4 Resolva a equao .5 - (Mackenzie-SP) Se a e b so positivos e a, ab e 3a esto, nessa ordem, em P.G., ento o valor de 2b :

a) 3 b) c) d) 2 e) -2.6 (PUC-RS) Na P.G. (x, 2x + 2, 3x + 3, ...) o 4o termo, que diferente de zero, vale:a) -27/2 b) 3/2 c) 2/3 d) 2 e) 4x + 4.7 (PUC/Campinas-SP) Pode-se estimar o crescimento de uma populao supondo que ela ocorra em P.G. Nessas condies, a tabela abaixo deve ser completada com o nmero:ANONo de habitantes

1988110.000

1989121.000

1990?

a) 128600b) 130900c) 132000d) 133100e) 231000.8 (FGV-SP) Uma P.G. infinita decrescente. A soma dos seus termos 9/2 e a soma do 1o com o 2o termo vale 4. A razo dessa progresso vale:a) b) 1/3 c) d) 1/5 e) n.d.a.9 Se a caderneta de poupana rende em mdia 1% ao ms, qual ser o meu saldo daqui a 1 ano se o meu saldo atual de R$ 1.000,00?

Nvel Avanado (uso de vrias frmulas e/ou interpretao difcil)

1 (IME-RJ) Trs nmeros, cuja soma 126, esto em P.A. e outros trs esto em P.G. Somando os termos correspondentes das duas progresses obtm-se 85, 76 e 84, respectivamente. Encontre os termos dessas progresses.2 Um quadrado tem lado 3cm. Dentro dele, insere-se um 2o quadrado cujos vrtices esto localizados nos pontos mdios dos lados do 1o. Dentro deste, colocado terceiro quadrado da mesma forma que o anterior. E assim sucessivamente. Quanto vale a soma de todos os permetros dos infinitos quadrados?

RESPOSTASNvel introdutrio1) 729 2) 6 3) 1/25 4) -2 5) 381 6) 4 7) 16 8) 2253/5 9) a-81 b-332,5 c-610 10) d 11) an = 36 . 3-n

Nvel intermedirio1) m=5 2) 625/3 ou -2500/3 3) 108 ou -108 4) x=5/8 5) d 6) a 7) d 8) b 9) R$1.126,82

Nvel Avanado

1) P.A.: (68, 42, 16) e P.G.: (17, 34, 68) ou P.A.: (17, 42, 67) e P.G.: (68, 34, 17) 2) 41cm