UNIVERSIDAD POLITCNICA SALESIANAINGENIERA ELECTRICA ELECTRONICA

MATERIA:MTODOS NUMRICOS

CICLO:4TO CICLO

DOCENTE:ING. DIEGO CHACNINTEGRANTES: SANTIAGO CHAVEZDAVID MINCHALAFERNANDO SIAVICHAY LUIS GORDILLO

PERIODO: 2014 2015

9.13) Resuelva el sistema por medio de:

a) Eliminacin de Gauss simple.

1 paso.Formamos la matriz.

2 pas.Procedemos a resolver la matriz

Multiplicamos f1*(-6) y sumamos la segunda fila, el mimo procedimiento realizamos con la segunda fila, la matriz resultante sera:

Multiplicamos la segunda fila por 7/4 para poder eliminar las fila tres de la columna dos (f2c3).

3 pasProcedemos a despejar las incgnitas de cada fila.

Despejando x3 nuestra primera solucin seria.

Despejamos de la fila dos x2, remplazando x3 para obtener dicho valor.

De la misma manera hacemos con la fila uno.

4 pas Respuesta del sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin simple de Gauss.

b) Eliminacin de Gauss con pivoteo parcial.Pivoteo parcial: Donde el pivote es decir el primer nmero de la primera fila y columna no debe tener un valor cercano o un valor de cero, si nos encontramos en este caso sustituimos por el nmero ms grande que estn por debajo del nmero pivote.Sin pivote parcial

Con pivote parcial

1 paso Procedemos a calcular de la misma manera que se realiz anteriormente.

Multiplicamos por 1/6, 1/3 la primera y segunda fila para hacer cero ambos nmeros

Multiplicamos por -5/0.666 para eliminar el nmero de la tercera fila segunda columna

2 pasProcedemos a despejar las incgnitas de cada fila.

Despejando x3 nuestra primera solucin seria.

Despejamos de la fila dos x2, remplazando x3 para obtener dicho valor.

De la misma manera hacemos con la fila uno.

3 pas Respuesta del sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin simple de Gauss.

c) Eliminacin de Gauss-Jordan sin pivoteo parcial.

1 paso.Formamos la matriz.

2 pas.Procedemos a resolver la matriz

Multiplicamos f1*(-6) y sumamos la segunda fila, el mimo procedimiento realizamos con la segunda fila, la matriz resultante sera:

Multiplicamos la segunda fila por 1/4 para poder uno la segunda fila segunda columna.

Multiplicamos la segunda fila por -7 para poder hacer uno la tercera fila segunda columna.

Multiplicamos por 1/12, para poder hacer uno la tercera fila tercera columna, y por (-1), para hacer cero la primera fila segunda columna.

Multiplicamos por (-1), para poder eliminar la primera fila tercera columna, del mismo modo por (2), ara eliminar la segunda fila tercera columna.

3 pas Respuesta del sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin Gauss Jordan.

9.15) Resuelva el sistema

1 paso Separamos los nmeros reales de los imaginarios, ya que dicha matriz o ecuacin est dada de la forma:

Donde:

Donde sustituyendo me quedara de la siguiente forma;

Sustituyendo valores seria:

Aplicando las reglas, para obtener las ecuaciones:

Ecuaciones

2 pas Formamos la matriz.

3 pas Le resolvemos por el mtodo de Gauss-Jordan

Multiplicamos por 1/3 para hacer uno al pivote

Multiplicamos por (2), (1), para eliminar el nmero de la fila2 columna 1, de la fila 3 columna 1.

Multiplicamos por (2.66), (-4/3), para eliminar el nmero de la fila2 columna 2, de la fila 3 columna 1.

Multiplicamos por 1/7 para que se haga uno la columna 3 fila 3

Multiplicamos por (2), para eliminar la columna tres fila cuatro

Por lo tanto tenemos:

Remplazando en la tercera fila para obtener y1 seria;

Remplazando en la segunda fila para obtener x2 tenemos:

Remplazando en la primera fila para obtener x1 tenemos:

Respuesta del sistema de ecuaciones por el mtodo de eliminacin simple de Gauss.

En donde:

10.3) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente por medio de la descomposicin LU sin pivoteo.

Procedemos a sacar la matriz A

A partir de la matriz A, procedemos a sacar la matriz U

Multiplicamos por -12, -4, para eliminar el nmero de la segunda fila primera columna y el nmero de la tercera fila primera columna.

Multiplicamos por -85/32, para eliminar el nmero de la tercera fila segunda columna.

Procedemos a sacar la matriz L, para ello debemos calcular los siguientes datos:

Donde los valores de f21, son aquellos valores obtenidos en la matriz U,

Matriz L nos quedara de la siguiente manera;

Por lo tanto tendramos:

Comprobamos, haciendo la multiplicacin de ambas matrices nos quedara :

Comparando ambas matrices quedara;

Por lo tanto me quedara

b) Determine la matriz inversa, compruebe los resultados por medio de verificar que:

En donde:

Procedemos a sacar la primera sustitucin, iguala primero a (1 0 0), quedndonos de la siguiente manera:

Formando nuestra matriz seria;

Multiplicamos por (-12), (-4), para eliminar la primera columna segunda fila, primera columna tercera fila.

Multiplicamos por (-2.65), para eliminar la segunda columna tercera fila.

El resultado de la matriz me da;

Lo cual me dara Por lo cual me llevara al segundo paso para determinar la primera columna de la matriz inversa.

Formando nuestra matriz seria;

La matriz resultante sera:

Lo cual me dara

El valor de sera el valor de la primera columna de la matriz inversa.

El mismo procedimiento anterior realizamos para encontrar el valor de la segunda columna de nuestra matriz inversa.

Formando nuestra matriz seria;

El resultado de la matriz me da;

Lo cual me dara

Por lo cual me llevara al segundo paso para determinar la primera columna de la matriz inversa.

Formando nuestra matriz seria;

El resultado de la matriz me da;

Lo cual me dara

El valor de sera el valor de la segunda columna de la matriz inversa.

El mismo procedimiento anterior realizamos para encontrar el valor de la segunda columna de nuestra matriz inversa.

Formando nuestra matriz seria;

El resultado de la matriz me da;

Lo cual me dara

Por lo cual me llevara al segundo paso para determinar la primera columna de la matriz inversa.

Formando nuestra matriz seria;

El resultado de la matriz me da;

Lo cual me dara

El valor de sera el valor de la tercera columna de la matriz inversa.

Por lo tanto tenemos la matriz inversa la cual me quedara de la siguiente manera;

10.10) Determine la descomposicin LU, parra la siguiente matriz sin usar la estrategia de pivoteo, y verifique sus resultados validando

Matriz A

A partir de la matriz A, procedemos a sacar la matriz U

Multiplicamos por -3/8, -2/8, para eliminar el nmero de la segunda fila primera columna y el nmero de la tercera fila primera columna.

Multiplicamos por -85/32, para eliminar el nmero de la tercera fila segunda columna.

Procedemos a sacar la matriz L, para ello debemos calcular los siguientes datos:

Donde los valores de f21, son aquellos valores obtenidos en la matriz U,

Matriz L nos quedara de la siguiente manera;

Por lo tanto tendramos:

Comprobamos, haciendo la multiplicacin de ambas matrices nos quedara :

Comparando ambas matrices quedara;

Por lo tanto me quedara

b) Utilice el resultado de a) para calcular el determinante

Procedemos a calcular el determinante de A

Procedemos a calcular el determinante de U

Remplazando en la formula tenemos

C) Repita a), b) usando MATLAB

Calculamos la matriz L

Cdigo del programa clc;clear;disp('PROGRAMA PARA CALCULAR LA TRIANGULAR SUPERIOR );disp('Nombre: Santiago Chavez');disp(' : Luis Gordillo');disp(' : David Minchala');disp(' : Fernando Siavichay'); disp('Ing. Diego Chacn');disp('Materia: Metodos Numericos');L=input('Ingrese matriz');si=size(L);m=si(1);n=si(2);

L for i=m:-1:1 b=L(i,i); for j=n:-1:1 L(i,j)=L(i,j)/b; end for k=i-1:-1:1 c=L(k,i); for j=n:-1:1 L(k,j)=L(k,j)-L(i,j)*c; end end end L

Visualizamos la respuesta del programa

Ingresamos la matriz U

Procedemos a multiplicar las matrices de la forma

Cdigo del programa clc;clear;disp('PRODUCTO DE MATRICES')disp(' : Luis Gordillo');disp(' : David Minchala');disp(' : Fernando Siavichay'); disp('Ing. Diego Chacn');disp('Materia: Metodos Numericos'); L=input('Ingrese matriz L');si=size(L);m=si(1);n=si(2);U=input('Ingrese matriz U');si=size(U);p=si(1);q=si(2);if n==p L U for i=1:m for j=1:q PROLU(i,j)=0; for k=1:p PROLU(i,j)=L(i,k)*U(k,j)+PROLU(i,j); end end end PROLUelse disp('no se puede multiplicar') end

Visualizbamos la multiplicacin LU, como se puede apreciar es igual a la matriz A

Procedemos a calcular el determinante

Determinante de A

Determinante de U

Determinante de L

17.5 con el mismo enfoque que se emple para obtener las ecuaciones (17.15) y (17.16) obtenga el ajuste por mnimo cuadrado del modelo siguiente

Es decir determine la pendiente que resulta en el ajuste por mnimos cuadrados para una lnea recta con interseccin en el origen ajuste los datos siguiente con dicho modelo e ilustre el resultado con una grafica

Dividimos para e para obtener x, y

Resolvemos y vemos los datos en la siguiente tabla n X Y X/e Y/e

1 2 1 0,73575888 0,36787944

2 4 2 1,47151776 0,73575888

3 6 5 2,20727665 1,83939721

4 7 2 2,57515609 0,73575888

5 10 8 3,67879441 2,94303553

6 11 7 4,04667385 2,57515609

7 14 6 5,15031218 2,20727665

8 17 9 6,2539505 3,31091497

9 20 12 7,35758882 4,41455329

Calculamos la pendiente de la recta a partir de la ecuacin

Para lo cual calculamos

Para el valor de a1

Angulo de la pendiente

De tal manera que la ecuacin es

Grafica original

Grafica con los nuevos valores

17.10Envs de usar el modelo exponencial de base (ecuacin 17.22) una alternativa comn consiste en utilizar un modelo de base 10.

Cuando se usa para ajustar curvas, esta ecuacin lleva a resultados idnticos que los de la versin con base , pero el valor del parmetro del exponente () difiere del estimado con la ecuacin (17.22) (). Use la versin con base 10 para resolver el problema 17.9. Adems, desarrolle una formulacin para relacionar con la .X0,40,81,21,622,3

Y8009751500195029003600

Desarrollo de la formulacin para relacionar con la Modelo exponencial Modelo en base 10

Donde

XYV=log Yx^2X*V

0,48002,9030890,161,161235

0,89752,9890040,642,391203

1,215003,1760911,443,811309

1,619503,2900342,565,264054

229003,46239746,924794

2,336003,5563025,298,179494

total8,31172519,37691714,0927,732089

1/5 total1,6623453,8753832,8185,546417

17.12Un investigador reporta los datos tabulados a continuacin de un experimento para determinar la tasa de crecimiento de bacterias k (per d), como la funcin de la concentracin de oxigeno c (mg/L). Se sabe que dichos datos pueden modelarse por medio de la ecuacin siguiente:

Donde y son parmetros. Use una trasformacin para hacer lineal esta ecuacin. Despus utilice regresin lineal para estimar y , y pronostique la tasa de crecimiento para .c0,50,81,52,54

k1,12,45,37,68,9

Con

ckU=1/kV=1/c^2U^2U*V

0,51,10,9090940,8264443,63636

0,82,40,4166661,56250,173610,65104

1,55,30,1886790,4444440,0355990,083857

2,57,60,1369860,40,0187650,0547944

48,90,1123590,250,0126240,0280897

total9,325,31,763786,6569441,0670424,4541411

1/5 total1,865,060,3527561,33138880,2134080,8908282

17.18 Utilice regresin lineal mltiple para ajustar:

Calcule los coeficientes, el error estndar de la estimacin y el coeficiente de correlacin.

Solucin:

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