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DC-DCコンバータにおける回路の平均化および平均化されたスイッチ・モデル

群馬大学

松田順一、小林春夫

1

第57回自動制御連合講演会オーガナイズドセッション「アナログ電子回路・電源回路と制御工学」伊香保（2014年11月10日）

概要

1. はじめに

2. 電流連続モード（CCM） A) CCM動作における回路平均化手法概要 B) 一般的な２スイッチ回路DC-DCコンバータ（SEPIC） C) [昇圧型コンバータ] D) [降圧型コンバータ]

3. 電流不連続モード（DCM） A) DCM動作における回路平均化手法概要 B) 大信号等価回路

昇降圧型，[昇圧型，降圧型]の各コンバータ

C) 小信号等価回路昇降圧型，[昇圧型，降圧型]の各コンバータ

D) 低周波および[高周波領域]における伝達関数 E) 例：低周波領域における伝達関数

4. まとめ

2

はじめに

• DC電源の省電力化、小型・軽量化⇒DC-DCコンバータ（スイッチング電源） • PWM （Pulse Width Modulation）型

• 電流連続モード CCM（Continuous Current Mode）：負荷大 • 電流不連続モード DCM （Discontinuous Current Mode）：負荷小

• 共振型（ソフト・スイッチング）

• 電源回路設計の効率化（短期間開発） • 等価回路モデルで電気特性予測

• 電流・電圧変換特性、周波数応答特性（伝達関数）等 • 回路シミュレータを用いた詳細設計

• 上記DC-DCコンバータに要求される等価回路モデル • 非線形なスイッチング信号を線形化（通常の線形回路解析可能） • 広い負荷変動（PWM型のCCM及びDCM）に対応 • 各種コンバータ（PWM型や共振型のコンバータ）に対応 • 等価回路が簡単で物理イメージを掴みやすい

3

降圧コンバータのフィードバック制御

4

Sensor gain

Pulse width

modulator Compensator

Error signal

Reference input

Transistor gate driver

Switching converter

Power input

Load

Feedback

)(tiL

0

sdT0 sT t

)(tiL

sdT0 sT t0

gv

)(tiL

0

sdT0 sT t

電流不連続モード

電流連続モード

)(tvg)(tvin

)(tvout RC

小:R

大:R

非線形信号の制御

DC-DCコンバータ等価回路モデルの比較

5

等価回路モデル

状態変数状態平均化方程式適用特長

状態平均化

・インダクタ電流・容量電圧

状態変数を１スイッチング周期で平均して状態方程式構築（小リップル近似）

・PWM型のCCM ・一般型等価回路への展開

拡張状態平均化

・インダクタ電流・容量電圧

（補助変数：インダクタ電圧、容量電流）

補助変数を１スイッチング周期で平均化して状態方程式構築

・PWM型のCCM ・PWM型のDCM ・共振型

・各種コンバータを扱える

回路平均化

スイッチング（トランジスタとダイオード）電流・電圧

スイッチング電流・電圧を１スイッチング周期で平均して状態方程式構築

・PWM型のCCM ・PWM型のDCM ・共振型

・各種コンバータを扱える・物理イメージを掴み易い・等価回路が簡単

CCM動作DC-DCコンバータ回路の平均化概要

1. コンバータ回路 ⇒ スイッチ回路＋リアクティブ回路

2. ２スイッチ（４端子）回路 ⇒ 電流・電圧波形の平均化 1. 独立入力状態変数（電流と電圧各１個）+従属出力状態変数（電流と電圧

各１個）を設定 ⇒ 各波形を平均化 2. 従属出力状態変数の電流と電圧 ⇒ 夫々電流源と電圧源で置換（電流源と電圧源が入出力間の理想変圧器を構成）

3. 動作点での小信号の線形化

4. DC及びAC小信号の回路モデルを構築 1. DC及びAC小信号の電流・電圧レベルの変換比を導出 2. 低周波動作特性を導出（回路の固有周波数≪スイッチング周波数）

5. 上記平均化 ⇒ CCM動作の２スイッチ・コンバータ（Buck, Boost, Buck-Boost, Cuk, SEPICなど）に適用可能

6

スイッチ回路とリアクティブ回路の分離

7

Time-invariant Reactive Circuit

Time-variant Switch Circuit

Port1 Port2

Input Power Output Load

SEPIC回路（正出力の昇降圧型）

)(tvin

)()( 2 tvtv Cout

)(1 tvC

1C

2C )(2 tvC

R

1L

2L

)(1 tiL

)(2 tiL

Power input

Output

)(tvg

t

)(tvg

sT

sdT

d

d

v

vM

in

out

1Frequency Switching:

RatioDuty :

sT

d

8

)(tvout

スイッチ回路を分離したSEPIC回路

)(tvin

)()( 2 tvtv Cout

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(1 tvC

1C

2C )(2 tvC

R

1L

2L

)(1 tiL

)(2 tiL

Switch Circuit )(td

Reactive Circuit

Power input

Output

9

)(tvout

CCM SEPICの各スイッチの電流・電圧波形

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

t0

sdT

t

0sT

0sdT0

sT

0sdT0

sT0

sdT0sT

t

t

sTtv )(1

)()( 21 tvtv CC )()( 21 tvtv CC

sTtv )(2

)()( 21 titi LL )()( 21 titi LL

sTti )(1

sTti )(2

s

s

Tt

ts

Tdx

Ttx )(

1)(

10

ON OFF Transistor

スイッチ電流・電圧波形の平均化（大信号）

sss TCTCT

tvtvtdtv )()()(')( 211

sss TCTCT

tvtvtdtv )()()()( 212

sss TLTLT

tititdti )()()()( 211

sss TLTLT

tititdti )()()(')( 212

独立入力

独立入力

従属出力

従属出力

ss TTtv

td

tdtv )(

)(

)(')( 21

ss TTti

td

tdti )(

)(

)(')( 12

11

従属電圧源

従属電流源

)(1)(' tdtd ２スイッチ（４端子）電圧・電流波形の平均化（CCM SEPIC）

に依存はss TT

tvtv )()( 21

に依存はss TT

titi )()( 12

従属出力を独立入力とデューティ比で表現

動作点での小信号線形化

12

)()(~

111 tvVtvsT

)()( 2

~

22 tvVtvsT

)()(~

111 tiItisT

)()( 2

~

22 tiItisT

)()(~

tdDtd

（波形の平均値及びデューティ比） ⇒ （動作点でのDC成分）＋（線形化された小信号）

従属電圧源（非線形小信号無視）

')(

')(

')( 1

~~

2221

~~

22

~

11DD

VdtvV

D

D

D

VVdtvV

D

DtvV

従属電流源（非線形小信号無視）

')(

')(

')( 2

~~

1121

~~

11

~

22DD

IdtiI

D

D

D

IIdtiI

D

DtiI

12'V

D

DV

21'I

D

DI

動作点での小信号線形化回路モデル

13

Averaged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

DD :'

1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

~1

'd

DD

V ~2

'd

DD

I

1

~

1 vV

2

~

2

'vV

D

D~

1

'd

DD

V

2

~

2 iI

~2

'd

DD

I

1

~

1

'iI

D

D

Linearized Dependent Voltage Source (Primary Winding of Ideal Transformer)

Linearized Dependent Current Source (Secondary Winding of Ideal Transformer)

Independent Voltage Source by Control Input d

Independent Current Source by Control Input d

Ideal Transformer for DC and AC Small Signal

CCM動作SEPICコンバータ：DC及びAC小信号の平均化回路モデル

定常状態での電流・電圧、及び小信号のコンバータの伝達関数を求めることが可能 14

DD :'

~1

'd

DD

V ~2

'd

DD

I

)(~

tvV inin

)(1

~

1 tvV CC

1C

2C )(2

~

2 tvV CC

R

2L

)(1

~

1 tiI LL

)(2

~

2 tiI LL

1L

)(~

tvV outout

)(1

~

1 tiI )(2

~

2 tiI

1

~

1 vV 2

~

2 vV （１）DCとAC小信号の電流・電圧レベルの変換（D'：D）（２）制御入力ｄ（ｔ）によるAC小信号の電圧・電流の変化

CCM動作DC-DCコンバータ： DC及びAC小信号の平均化回路モデル

15

D:1

1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

~

1 dV~

2 dI降圧型

昇圧型

一般的な２スイッチ回路（昇降圧型）

1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

1:'D

~

2 dV~

1 dI

DD :'

~1

'd

DD

V ~2

'd

DD

I

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

DCM動作DC-DCコンバータ回路の平均化概要

1. コンバータ回路 ⇒ スイッチ回路＋リアクティブ回路

2. ２スイッチ（４端子）回路 ⇒ 電流・電圧波形の平均化 1. 入力側：トランジスタ ⇒ 実効抵抗、出力側：ダイオード ⇒ 電力源（トランジスタでの消費電力 ⇒ ダイオードに無損失で転送）

2. この電力転送から入出力の電圧変換比を導出

3. 動作点での小信号の線形化

4. AC小信号の回路モデルを構築 1. 低周波動作特性を導出（回路の固有周波数≪スイッチング周波数）

5. 上記平均化 ⇒ DCM動作の２スイッチ・コンバータ（Buck, Boost, Buck-Boost, Cuk, SEPICなど）に適用可能

16

昇降圧コンバータ

17

Switch Circuit

)(tvin )(tvoutC

R

L

)(tiL

Power input

Output

)(1 tv )(2 tv

)(1 ti )(2 ti

)(tvL

)()( tvtv outC

)(tvC

Current Transistor:)(1 ti Current Diode:)(2 ti

Voltage Transistor:)(1 tv Voltage Diode:)(2 tv

DCM動作のインダクタとスイッチ回路の電流・電圧波形

18

)(tiL

)(1 tv )(2 tv

)(1 ti )(2 ti

)(tvLinv

t0

pki

0

t

0

sTd1

0

sT

t tt

t0

0

sTd2 sTd3 sTd1

sT

sTd2 sTd3

sTd1

sT

sTd2 sTd3

outv

outin vv

inv

outin vv

outv

pkipki

L

vin

L

voutArea:1q Area:2q

sin

pk TdL

vi 1

1)()()( 321 tdtdtd

sTti )(1

sTti )(2

sTtv )(2

sTtv )(1

インダクタスイッチ回路

トランジスタ（入力側）ダイオード（出力側）

ss ToutTin tvtvtdtd )()()()( 12 ス・バランス　インダクタ・フラック

平均化によるスイッチ回路の入力と出力

19

従属電力源:)()(

)()()(

1

2

1

22s

s

ss Te

T

TTtp

dR

tvtvti

)(

)()(

1

1

1dR

tvti

e

T

T

s

s

実効抵抗:)(

2)(

2

1

1

s

eTtd

LdR

→オームの法則に従う

sTtv )(1

sTti )(1

入力（トランジスタ）側：によって消費されるパワーが出力（ダイオード）側に転送される )( 1dRe

出力（ダイオード）側：によって消費されるパワーが出力される

sTtp )(

)( 1dRe

スイッチ回路での正味のパワー損失は無い

sTtv )(2

sTti )(2

sTs TtpTds

)(:1 　ー蓄積　インダクタにエネルギ

sTs TtpTds

)(:2 　ギー放出　インダクタからエネル

（無損失）

)( 1dRe

sTti )(2

DCM動作昇降圧型コンバータの大信号平均化等価回路

20

sTtv )(1

sTti )(1 sT

tp )(

sTtv )(2

sTin tv )(sTout tv )(C R

L

)( 1dRe

DCM動作DC-DCコンバータ：大信号平均化等価回路

21

s

eTd

LdR

2

2)( 降圧型、昇圧型、昇降圧型コンバータ →

Cuk, SEPIC コンバータ →

s

eTd

LLdR

2

21 //2)(

降圧型

昇圧型

昇降圧型

Cuk

SEPIC

sTin tv )(sTout tv )(





)(dReL

C R

C R

C R

2C R

2C R

L

L

)(dRe

)(dRe )(dRe

)(dRe

1C 2L1L

1C

2L

1L

sTtp )( sT

tp )(

sTtp )(

sTtp )( sT

tp )(

1dd

DCM動作昇降圧型コンバータのDC等価回路モデル

22

DC（定常状態） → インダクタ：短絡、容量：開放

1I

P

2I

inV outVR

V

DR

VP out

e

in

22

)(

パワー：入力→実効抵抗→電力源→出力（負荷）

)(DR

R

V

VM

ein

out

電圧変換比

（昇降圧型の符号：負）

)(DRe

s

eTD

LDR

2

2)(

比）動作点でのデューティ（ :)(1 Dtd

K

D

L

RTD

V

VM s

in

out 2

2

昇降圧型コンバータの電圧変換比

sRT

LK

2

R

（注）Cuk, SEPIC コンバータのDC等価回路は、上記と同じになる

基本DC-DCコンバータのCCMとDCMにおける電圧変換比

D1

1

D

D

1

D

D

1

D

Converter M, CCM M, DCM

Buck

Boost

Buck-Boost、Cuk

SEPIC

D

D11

DD 1

DD 1

RRe411

2

eR

R

2

411 eRR

eR

R

23

CCMとDCMの境界における電流 )(1 DRVDDI eincrit

DCM動作２スイッチ回路の動作点での小信号線形化

24

)()(~

111 tvVtvsT

)()( 2

~

22 tvVtvsT

)()(~

111 tiItisT

)()( 2

~

22 tiItisT

)()(~

tdDtd


sTtv )(1

sTti )(1 sT

tp )(

sTtv )(2

sTti )(2

Large Signal Averaged Circuit

)( 1dRe

)(td

s

s

s

Te

T

T tvtdR

tvti

)())((

)()(

2

2

1

2 ))((

)()(

1

1tdR

tvti

e

T

T

s

s

)()( 1 tdtd

DCM動作２スイッチ回路の小信号等価回路

25

)(~

1 ti

)(~

1 tdj)(~

1 tv )(2

~

tv1r

)(2

~

ti

)(2

~

1 tvg )(~

2 tdj 2r)(1

~

2 tvg

)()()(1

)(~

12

~

11

~

1

~

1 tdjtvgtvr

ti

)(,)(,)())((

)()( 211

1

1 tdtvtvftdR

tvti

ss

s

s TTe

T

T

DdVvVv

T

d

ftd

v

ftv

v

ftvDVVf

tiItis

1~

2

12

~

1

11

~

211

~

111

)()()(),,(

)()(

2211

)(,)(,)()())((

)()( 212

2

2

1

2 tdtvtvftvtdR

tvti

ss

s

s

s TT

Te

T

T

DdVvVv

T

d

ftd

v

ftv

v

ftvDVVf

tiItis

2~

2

22

~

1

21

~

212

~

222

)()()(),,(

)()(

2211

)()()(1

)(~

21

~

22

~

2

~

2 tdjtvgtvr

ti

DCM動作昇降圧コンバータの小信号AC回路モデル

26

)(~

1 ti

)(~

1 tdj)(~

1 tv )(2

~

tv1r

)(2

~

ti

)(2

~

1 tvg )(~

2 tdj 2r)(1

~

2 tvg

)(~

tvin )(~

tvoutC

L

R

線形回路解析から伝達関数を求めることが可能

Switch Circuit Small-signal AC Model

DCM動作昇圧及び降圧コンバータの小信号AC回路モデル

27

)(~

1 ti

)(~

1 tdj)(~

1 tv )(2

~

tv1r

)(2

~

ti

)(2

~

1 tvg )(~

2 tdj 2r)(1

~

2 tvg)(~

tvin )(~

tvoutC

L

R

)(~

ti L

)(~

1 tdj)(~

1 tv )(2

~

tv1r )(2

~

1 tvg )(~

2 tdj 2r)(1

~

2 tvg)(~

tvin )(~

tvoutC R

)(~

1 ti )(2

~

ti)(~

ti L

降圧

昇圧



DCM動作2スイッチ回路の小信号モデル・パラメータ

28

Switch circuit

General Two-switch

Two-switch for Buck

Two-switch for Boost

eR

2r 2g1r 2j1g1j

eR

1

0

eR

eDR

V12

eDMR

V12eRM 2

eMR

2

eDR

VM 112 eRM 2

eMR

M2

eDMR

VM 112

eR

M

M2

21

eRM2

1

1

eRMD

MV

1

2 1

eRM

21

eRM

M2

1

12

eRMD

V

1

2 1

DCM動作低周波小信号AC等価回路：降圧、昇圧、昇降圧

29

)(~

1 ti

)(~

1 tdj)(~

1 tv )(2

~

tv1r

)(2

~

ti

)(2

~

1 tvg )(~

2 tdj 2r)(1

~

2 tvg)(~

tvin )(~

tvout

C R

低周波領域でのモデル → インダクタ：短絡（理由：DCM動作→インダクタ電圧の平均値はゼロ）

制御～出力伝達関数: 入力～出力伝達関数: 0)(~

tvin

p

d

v

out

dout s

G

d

vG

in

1

0

0

~

~

,

~


0)(~

td

CrR

rRjG pd

2

220//

1 ,//

p

in

din

out

inout s

G

v

vG

1

0

0

~

~

,

~

MrRgGin 220 //

DCM動作DC-DCコンバータの小信号伝達関数

30

Converter

Buck

Boost

Buck-boost

0dG 0inG p

M

M

D

V

2

12

12

12

M

M

D

V

D

V

M

M

M

RCM

M

1

2

RCM

M

1

12

RC

2

低周波領域

DCM動作昇降圧コンバータの高周波小信号AC等価回路

31

)(~

1 tdf)(~

tvk outo)(~

tvk ini )(~

1 tir L

L

)(~

tvin )(~

tvoutC R

)(2

~

tv)(1

~

tv

)(~

2 tdj

)(~

2 til L

)(~

tvg ini

)(~

1 ti )(2

~

ti

)(~

ti L

1

~

1

~~~

1~

1~

1~

1~

1

~

)()()()(

)()()()()(

ftdrtiktvktv

d

htd

i

hti

v

htv

v

htvtv

Looutiin

DdIiL

L

Vvout

out

Vvin

in

LLoutoutinin

)(,)(,)(,)( )( 11 tdtitvtvhtvssss TLToutTinT

DRV

V

i

hr e

in

out

IiLLL

11

)(,)(,)()( 22 tdtitvhtisss TLTinT

2

~

2

~~

2~

2~

2~

2

~

)()()(

)()()()(

jtdltigtv

d

htd

i

hti

v

htvti

Liin

DdIiL

L

Vvin

in

LLinin

0AC 電圧インダクタにかかる

DCM動作昇降圧コンバータの高周波特性（制御～出力伝達関数）

32

制御～出力伝達関数： 0)(~

tvin

0)(0)(~~

tvktv outoout 　高周波：容量電圧AC成分 → 0：

0)()()(~

1

~

1

~

tdftirtisL LL

を含むループ電圧＝０ Ltvin ),(~

ph

L

sr

f

td

ti

1

1

)(

)(

1

1

~

~

L

rph

1

高周波ポール周波数:

2

ph

phf

2

2

1

2 , ,

D

LfR

D

D

V

VDR

V

Vr s

e

in

oute

in

out 2D

ff s

ph

（DCM動作の基本コンバータで有効）

10 2 Df

f sph

定常状態の関係を使って fph の見積もりスイッチング周波数:sf

DCM動作コンバータの制御～出力伝達関数からの高周波ポールとRHPゼロ

33

Converter High-frequency pole ωph RHP zero ωz

Buck none

Boost

Buck-boost D

fM s2

MD

Mfs

1

2

D

fM s12

D

f s2

D

f s2

DCM動作昇圧型コンバータの制御～出力周波数応答例

34

316.0

50

W5.0

D

R

P

e

kHz 250

μF 100

μH 10

5

sf

C

L

R

2

mA 100

V 10

V 5

M

I

V

V

out

out

in

MHz58.1

MHz58.1

Hz 955

dBV 260

z

ph

p

d

f

f

f

G

mA 630

mA 216

pk

crit

i

I DCM critout II-120

-80

-40

0

40

80

120

-60

-40

-20

0

20

40

60

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

∠G

ou

t,d

|Go

ut,

d|

(dB

V)

f (Hz)

Hz 955pfdBV 260 dG

まとめ

• PWM制御されたDC-DCコンバータの２スイッチ回路の非線形な電流・電圧波形を平均化し、動作点で線形化された小信号を乗せてモデル化することによるDCとAC小信号の等価回路をレビューした。

• CCMでは、DCとAC小信号が理想変圧器によって変換される。

• DCMでは、トランジスタからダイオードへ実効的にエネルギーが転送され、ダイオードが電力源として寄与する。

• 本手法により、通常の線形回路解析が可能である。また、本等価回路は簡単で物理イメージを掴み易い。

• 本手法は降圧、昇圧、昇降圧、Cuk、SEPIC、さらに共振型の各コンバータに適用できる。

• 本手法を用いて設計要求項目に合う素子パラメータや動作条件の概略を決め、その後詳細シミュレーションを行なうと設計効率が向上する。

35

ご清聴有難うございました

36

CCM SEPICコンバータ資料

37

スイッチ回路の等価回路

38

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

Switch Circuit Equivalent to Switch Circuit

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv

Dependent Voltage Source

Dependent Current Source

)(2 ti)(1 tv

Voltage Transistor:)(1 tv

Current Diode:)(2 ti

独立入力：

従属出力：

)( ),( 21 tvti

)( ),( 12 tvti

平均化されたスイッチ回路モデル（大信号）

sTtv )(1

sTti

td

td)(

)(

)('1

Averaged Switch Circuit for Large Signal

sTti )(2

sTti )(1

sTtv )(2

sTtv

td

td)(

)(

)('2

39

（Dependent Voltage and Current Sources）

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv)(2 ti)(1 tv

Equivalent to Switch Circuit

CCM動作２スイッチDC-DCコンバータの平均化回路モデル（ DC及びAC小信号）

40

DD :'

~1

'd

DD

V ~2

'd

DD

I

)(~

tvV inin R )(~

tvV outout

)(1

~

1 tvV )(2

~

2 tvV

)(1

~

1 tiI )(2

~

2 tiI

Reactive Circuit ・Capacitor ・Inductor

Input Output

)(tdAveraged Switch Circuit for DC and AC Small Signal

平均化回路モデルの昇圧コンバータへの適用

41

~1

'd

DD

V

~2

'd

DD

I

)(~

tvV inin

R

)(~

tvV outout )(1

~

1 tvV

)(2

~

2 tvV

)(1

~

1 tiI )(2

~

2 tiI

Input Output

)(tvin)(tvout

L)(tiL

)(2 tv

)(1 tv C

)(1 ti )(2 ti

)(~

tiI LL

L

C R

Switch Circuit

D’ :

D

CCM昇圧コンバータ資料

42

昇圧型コンバータ回路

43

)(tvin )(tvoutC R

L)(tiL

Input Output

)(1 tv )(2 tv

)(1 ti )(2 ti

Switch Circuit

)(tvC

)(td

VoltageCapacitor :)()()( ,CurrentInductor :)()( 21 tvtvtvtiti CoutL 独立入力

Voltage Transistor:)( ,Current Diode:)( 12 tvti従属出力

CCM動作のスイッチ回路の電流・電圧波形

)(1 tv

)(1 ti

t0

sdT0sT

00 t

sTtv )(1

sTti )(1

)(2 tv

)(2 ti

t0

sdT0sT

00 t

sTtv )(2

sTti )(2

s

s

Tt

ts

Tdx

Ttx )(

1)(

sdTsT sdT

sT

)(2 tv

)(1 ti

44 （仮定：インダクタ電流と容量電圧のリップルは小さい）

)()()(2 tvtvtv outC

)()(1 titi L


45

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv)(2 ti

)(1 ti


)(2 ti

)(1 tv

独立入力：

従属出力：

)( ),( 21 tvti

)( ),( 12 tvti



Voltage Transistor:)(1 tv

Current Diode:)(2 ti


46

ss TTtvtdtv )()(')( 21

従属出力の平均化

)(1 tv )(2 tv)(2 ti

)(1 ti


)(2 ti

)(1 tvsT

tvtd )()(' 2sT

titd )()(' 1


ss TTtitdti )()(')( 12

従属電圧源

従属電流源

に依存はss TT

tvtv )()( 21

に依存はss TT

titi )()( 12

sTtv )(1

sTti )(2

sTti )(1

sTtv )(2


47

)()(~

111 tvVtvsT

)()()(~

2 tvVtvtv CCTCT ss

)()()(~

1 tiItiti LLTLT ss

)()( 2

~

22 tiItisT

)()(~

tdDtd



)()(')()(')(~~~~~

11 tdVtvVDtvVtdDtvV CCCCC


)()(')()(')(~~~~~

22 tdItiIDtiItdDtiI LLLLL

)()(~

tvVtv ininTins

)()('~

tdDtd


48 48


1:'D

1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

1

~

1 vV

2

~

2' vVD

~

2 dV

2

~

2 iI

~

1 dI

1

~

1' iID

Linearized Dependent Voltage Source (Primary Winding of Ideal Transformer)

Linearized Dependent Current Source (Secondary Winding of Ideal Transformer)



Ideal Transformer for DC and AC small signal

~

2 dV ~

1 dI

outC VVV 2

LII 1

)()()(~~

2

~

tvtvtv outC

)()(~

1

~

titi L

CCM動作昇圧型コンバータ： DC及びAC小信号の平均化回路モデル

49 定常状態での電流・電圧、及び小信号のコンバータの伝達関数を求めることが可能

)(~

tvV outout C R

)(~

tiI LL

Output 1:'D

L

~

2 dV

~

1 dI

Input


)(~

tvV inin 1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

（１）DCとAC小信号の電流・電圧レベルの変換（D':1）（２）制御入力ｄ（ｔ）によるAC小信号の電圧・電流の変化

CCM降圧コンバータ資料

50

降圧型コンバータ回路

51

)(tvin )(tvoutC

R

L )(tiL

Input Output

)(1 tv )(2 tv

)(1 ti )(2 ti

Switch Circuit

)(tvC

)(td

VoltageInput :)()( ,CurrentInductor :)()( 12 tvtvtiti inL 独立入力

Voltage Diode:)( ,Current Transistor:)( 21 tvti従属出力

CCM動作のスイッチ回路の電流・電圧波形

)(1 tv

)(1 ti

t0

sdT0sT

00 t

sTtv )(1

sTti )(2

)(2 tv

)(2 ti

t0

sdT0sT

00 t

sTtv )(2

sTti )(2

s

s

Tt

ts

Tdx

Ttx )(

1)(

sdTsT sdT

sT

52

（仮定：インダクタ電流と容量電圧のリップルは小さい）

)()(1 tvtv in

)(2 ti

sTti )(1

)(1 tv

)()(2 titi L


53

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(2 tv )(2 tv)(1 ti

)(1 ti


)(2 ti

)(1 tv

Voltage Diode:)(2 tv

Current Transistor:)(1 ti



独立入力：

従属出力： )( ),( 21 tvti

)( ),( 12 tvti


54

ss TTtvtdtv )()()( 12

従属出力の平均化

)(1 tv )(2 tv)(2 ti

)(1 ti


)(2 ti

)(1 tvsT

tvtd )()( 1sT

titd )()( 2


ss TTtitdti )()()( 21

従属電圧源

従属電流源

に依存はss TT

tvtv )()( 12

に依存はss TT

titi )()( 21

sTtv )(1

sTti )(2

sTti )(1

sTtv )(2


55

)()()(~

1 tvVtvtv ininTinT ss

)()( 2

~

22 tvVtvsT

)()(~

111 tiItisT

)()()(~

2 tiItiti LLTLT ss

)()(~

tdDtd



)()()()()(~~~~~

22 tdVtvVDtvVtdDtvV ininininin


)()()()()(~~~~~

11 tdItiIDtiItdDtiI LLLLL

)()('~

tdDtd


56 56


D:1

1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

2

~

2 vV

1

~

1 vVD

inVV 1

1

~

1 iI

~

2 dI

2

~

2 iID

Linearized Dependent Current Source (Primary Winding of Ideal Transformer)

Linearized Dependent Voltage Source (Secondary Winding of Ideal Transformer)



Ideal Transformer for DC and AC small signal

~

1 dV~

2 dI

LII 2

)()(~

2

~

titi L

)()(~

1

~

tvtv in~

1 dV

CCM動作降圧型コンバータ： DC及びAC小信号の平均化回路モデル

57

定常状態での電流・電圧、及び小信号のコンバータの伝達関数を求めることが可能

)(~

tvV outout C R

)(~

tiI LL

Output D:1

L

Input


1

~

1 vV

1

~

1 iI

2

~

2 vV

2

~

2 iI

~

1 dV

~

2 dIinin vV~

（１）DCとAC小信号の電流・電圧レベルの変換（１：D）（２）制御入力ｄ（ｔ）によるAC小信号の電圧・電流の変化

損失資料

58

伝導損失有りスイッチ回路の電圧波形（SEPIC）

59

DCC Vvv 21 2121 LLonCC iiRvv

sTtv )(2

DV

)(2 tv

t

0

sdT0 sT

トランジスタON抵抗：

ダイオード順方向電圧降下：独立入力：

従属出力：

)( ),( 21 tvti

)( ),( 12 tvti

DTCTCTLTLonTVtvtvtdtitiRtdtv

sssss

)()()(')()()()( 21211

DTLTLonTCTCTVtdtitiRtvtvtdtv

sssss

)(')()()()()()( 21212

21 LLon iiR

)(1 tv

t0

sdT0 sT

sTtv )(1

DV

onR伝導損失

・・・①

・・・②

伝導損失を含めた大信号平均化スイッチ回路（SEPIC）

60

)(td

Ron

DV

)(:)(' tdtd

DTT

on

TVtv

td

tdti

td

Rtv

sss

)()(

)(')(

)()( 211

ss TTti

td

tdti )(

)(

)(')( 12

①と②から

ssss TTTCTC tvtvtvtv )()()()( 2121

)(

)()()(

1

21td

tititi s

ss

T

TLTL

sTtv )(1

sTti )(2

sTti )(1

sTtv )(2

・・・③

から

・・・④

sTti )(1

③と④を①に代入して

DTTTonTVtvtvtdtiRtv

ssss

)()()(')()( 2111

sTti )(1これからの左記の式を得る

スイッチング損失（CCM降圧型）

61

スイッチング損失（ダイオードのリバース・リカバリー）

ダイオード：ON→OFF

)(2 tv

)(1 ti

t

0

sdT

0

sTrt

t

rQ

⇒ダイオードに蓄積した電荷の放電 rQ

Current Transistor:)(1 ti

トランジスタ：OFF→ON )(2 ti

)(1 tv

Voltage Diode:)(2 tv

（リバース・リカバリー期間の間） rt

CurrentInductor :)(2 ti

VoltageInput :)(1 tv

⇒トランジスタ電流が増大することによる損失 )(1 ti

独立入力：

従属出力：

（注）ここのは、実効デューティ比： drt時間）（トランジスタON

スイッチング損失を含めた大信号平均化スイッチ回路（CCM降圧型）

62

s

r

T

QsT

s

r tiT

t)(2

sTtv )(1

sTti )(2

sTti )(1

sTtv )(2

)(:1 td

ssss

s

s TTs

r

s

r

TsTrr

s

T

sT

tidtiT

t

T

QtidTtitQ

Tdtti

Tti )()()()(

1)(

1)( 2222

011

ss TTtvdtv )()( 12

Switching Loss

スイッチング損失

ss Ts

r

s

r

Tsw tiT

t

T

QtvP )()( 21

スイッチング損失を含めたDC等価回路（CCM降圧型）

63

s

r

T

Q2I

T

t

s

rinV

LI1I

outV

D:1 2I

C R

L

1V 2V

Averaged Switch Circuit

inout DVV 出力電圧効率

平均の入力電力

平均の出力電力

221 DII

T

t

T

QVIVP

s

r

s

rininin

22 IDVIVP inoutout s

r

Ls

rin

out

DT

t

IDT

QP

P

1

1

開放短絡、等価回路 CL:DC

DCM昇降圧コンバータ資料

64

スイッチ回路の電流・電圧波形の平均化（１）

65

ssssss ToutTinTinToutTinT

tvtdtvtdtvtdtvtvtdtv )()()()(1)()()()()()( 21321

トランジスタ電圧の平均化

ssssss ToutTinToutToutTinT

tvtdtvtdtvtdtvtvtdtv )()(1)()()()()()()()( 21312

ダイオード電圧の平均化

トランジスタ電流の平均化

ダイオード電流の平均化

pks

Tt

tiTddttiq

s

1112

1)(

s

s

s Tins

s

Tt

ts

Ttv

L

Ttd

T

qdtti

Tti )(

2

)()(

1)(

2

1111

pks

Tt

tiTddttiq

s

2222

1)(

s

s

s Tins

s

Tt

ts

Ttv

L

Ttdtd

T

qdtti

Tti )(

2

)()()(

1)( 212

22

スイッチ回路の電流・電圧波形の平均化（２）

66

インダクタ電圧の平均化

0)()()()()( 21 sss ToutTinTL tvtdtvtdtv

s

s

Tout

Tin

tv

tvtdtd

)(

)()()( 12

トランジスタ電圧の平均化

ダイオード電圧の平均化

トランジスタ電流の平均化

ダイオード電流の平均化

ss TinTtvtv )()(1

ss ToutTtvtv )()(2

ss T

s

Ttv

L

Ttdti )(

2

)()( 1

2

11

s

s

s

T

Ts

T tv

tv

L

Ttdti

)(

)(

2

)()(

2

2

12

12

を使うと以下を得る )(2 td

DCM動作の一般的な２スイッチの大信号平均化回路

67

)(1 tv )(2 tv

)(1 ti )(2 ti

sTtv )(1

sTti )(1 sT

tp )(

sTtv )(2

sTti )(2

General Two Switch Circuit Large Signal Averaged Circuit

)( 1dRe

DCM動作昇降圧型コンバータのAC等価回路モデル

68

dd 1

)(1 ti )(2 ti

)(tvin )(tvoutC R

)(tp

)(dRe R

V

dR

VP

rmsout

e

rmsin

av

2

,

2

,

)(

)(,

,

dR

R

V

VM

ermsin

rmsout

平均パワー：入力→実効抵抗→電力源→出力（負荷）

電圧変換比

（電圧：rms値）

s

eTd

LdR

2

2)(

DCM動作降圧型コンバータのDC等価回路モデル

69

P

inVoutV

)(DRe

R

in

out

V

VM

1I 2I

pI

outp

e

outin VIDR

VVP

)(

2

上式をノードAにおける電流の関係に代入して整理すると下式を得る

21 III p

A

R

VI

DR

VVI out

e

outin

21 ,)(

)(

2

DRV

VVI

eout

outinp

02 ee R

RM

R

RM

eR

RM

411

2

DCM動作昇圧型コンバータのDC等価回路モデル

70

PinV outV)(DRe

R

1I 2I

outin

e

in VVIDR

VP 2

2

)(

R

VI out2

02 eR

RMM

)(

2

2DRVV

VI

eoutin

in

上式からを消去して整理すると下式を得る 2I

in

out

V

VM

2

411eR

R

M

DCM動作２スイッチ回路の動作点での小信号等価回路の導出（１）

71

)(,)(,)())((

)()( 211

1

1 tdtvtvftdR

tvti

ss

s

s TTe

T

T → 動作点でのテイラー展開

)()(

2)(

)(

1

)(

)(

)()(0)(

)(

1)(

)(

)()()(),,()()(

~1

1

~1

2

1~

2

~

1

~1

1~

2

12

~

1

11

~

211

~

111

2211

tdDDR

Vtv

DRDR

V

d

dR

DR

Vtdtv

DRtv

DR

V

d

ftd

v

ftv

v

ftvDVVftiIti

eeeDd

e

eee

DdVvVv

Ts

・

)(

11

DR

VI

e

)()()(1

)(~

12

~

11

~

1

~

1 tdjtvgtvr

ti )(

2 ,0 ,

)(

11 111

1 DDR

Vjg

DRr ee

DC成分

AC小信号成分

DCM動作２スイッチ回路の動作点での小信号等価回路の導出（２）

72

)(,)(,)()())((

)()( 212

2

2

1

2 tdtvtvftvtdR

tvti

ss

s

s

s TT

Te

T

T → 動作点でのテイラー展開

)()(

2)(

)(

1)(

)(

2

)(

)(

)()(

)(

1)(

)(

2)(

)(

)()()(),,()()(

~1

2

~

21

~

2

2

1

2

2

2

1~

22

~

1

~

2

2

1

2~

2

22

~

1

21

~

212

~

222

2211

tdDDMR

Vtv

DRMtv

DMRVDR

V

d

dR

VDR

Vtd

DRMtv

DMRtv

VDR

V

d

ftd

v

ftv

v

ftvDVVftiIti

eeee

Dd

e

eeee

DdVvVv

Ts

2

2

12

)( VDR

VI

e

)(

2 ,

)(

2 ,

)(

11 1222

2 DDMR

Vj

DMRg

DRMr eee

DC成分

AC小信号成分

)()()(1

)(~

21

~

22

~

2

~

2 tdjtvgtvr

ti

1

2

V

VM

DCM動作昇圧及び降圧コンバータ・スイッチ回路の小信号等価回路

73

)(~

1 ti

)(~

1 tdj)(~

1 tv )(2

~

tv1r

)(2

~

ti

)(2

~

1 tvg )(~

2 tdj 2r)(1

~

2 tvg

Two-switch for Buck Two-switch for Boost

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

DCM高周波応答資料

74

インダクタ電流からを導出

DCM動作昇降圧コンバータの高周波応答（１）

75

（高周波領域→ インダクタのAC電圧≠ゼロ）

ss Tins

pkTL tvL

Ttdtdtdtdtditi )(

2

)()()()()(

2

1)( 2

2

)()( 1 tdtd

)(1)(

)()()(

)()(

)(2)(2 td

tv

tidRtd

tvTtd

tiLtd

s

s

s

s

Tin

TLe

Tins

TL

)(2 td

スイッチ回路の従属変数として設定 →

)(2 td

ss Tins

Ttv

L

Ttdtdti )(

2

)()()( 21

2

sss ToutTinT

tvtdtvtdtv )()()()(1)( 211

を代入しての関数の変数調査 ss TT

titv )( ,)( 21

：ダイオード平均電流トランジスタ平均電圧ss TT

titv )( ,:)( 21

DCM動作における高周波応答（２）

1

~

1

~~~

1~

1~

1~

1~

1

~

)()()()(

)()()()()(

ftdrtiktvktv

d

htd

i

hti

v

htv

v

htvtv

Looutiin

DdIiL

L

Vvout

out

Vvin

in

LLoutoutinin

)(,)(,)(,)(

)(

)()()()()()()()(1)(

1

1

tdtitvtvh

tv

tdtvtidRtvtdtvtdtv

sss

s

ss

sss

TLToutTin

Tin

ToutTLe

ToutTinT

スイッチ回路の従属変数 sT

tv )(1

上式をテイラー展開 → 小信号AC成分

76

DRV

V

i

hr e

in

out

IiLLL

111r

DCM動作における高周波応答（３）

77

)(,)(,)()(

)()( 22 tdtitvhR

tvtiti

ss

s

ss TLTin

e

Tin

TLT

2

~

2

~~

2~

2~

2~

2

~

)()()(

)()()()(

jtdltigtv

d

htd

i

hti

v

htvti

Liin

DdIiL

L

Vvin

in

LLinin

スイッチ回路の従属変数 sT

ti )(2

上式をテイラー展開 → 小信号AC成分

DCM動作昇降圧コンバータの高周波小信号AC等価回路

78

)(~

1 tdf)(~

tvk outo)(~

tvk ini )(~

1 tir L

L

)(~

tvin )(~

tvoutC R

)(2

~

tv)(1

~

tv

)(~

2 tdj

)(~

2 til L

)(~

tvg ini

)(~

1 ti )(2

~

ti

)(~

ti L

DCM動作昇降圧コンバータの高周波特性

79

制御～出力伝達関数： 0)(~

tvin

0)(0)(~~

tvktv outoout 　高周波：容量電圧AC成分 → 0

0)()()(~

1

~

1

~

tdftirtisL LL

を含むループ電圧＝０ Ltvin ),(~

ph

L

sr

f

td

ti

1

1

)(

)(

1

1

~

~

L

rph

1

高周波ポール周波数:

2

ph

phf

2

2

1

2 , ,

D

LfR

D

D

V

VDR

V

Vr s

e

in

oute

in

out 2D

ff s

ph

（DCM動作の基本コンバータで有効）

10 2 D

sph

ff

DCM動作コンバータの制御～出力伝達関数からの高周波ポールとRHPゼロ

80

Converter High-frequency pole ωph RHP zero ωz

Buck none

Boost

Buck-boost D

fM s2

MD

Mfs

1

2

D

fM s12

D

f s2

D

f s2

その他

81

スイッチ回路の電流・電圧波形と等価回路

82

)(1 tv

)(2 ti

t0

sdT0sT

0sdT0

sT t

sTtv )(1

)(2 tv

)(1 ti

sTti )(2

)(1 tv )(2 tv

)(2 ti)(1 ti

)(1 tv )(2 tv)(2 ti

)(1 ti

Switch Circuit


)(2 ti

)(1 tv

Source VoltageDependent :)(1 tv

SourceCurrent Dependent :)(2 ti

dc-dcコンバータにおける回路の平均化 および平均化された ... ·...

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