dasar dasar aljabar linier

DasarDasarDasarDasar----DasarDasarDasarDasar Aljabar LinierAljabar LinierAljabar LinierAljabar Linier

Dasar-dasar Aljabar Linier

Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 1

MATRIKS

Pertemuan 1

Kompetensi Dasar : Memahami Definisi Matriks

Indikator : Mampu memahami definisi Matriks, mengetahui jenis-jenis

Matriks, operasi-operasi Matriks, dan kaidah-kaidah Matriks.

Isi :

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah deretan elemen/objek/item.

Contoh:

A =

��

��

� (a11 …. amn) disebut suku-suku matriks/anggota matriks.

� (am1 am2 ……. amn) � untuk setiap m disebut baris ke m

� (a1n a2n ….. amn) � untuk setiap n disebut kolom ke n

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut berukuran m x n

Matriks A di atas dapat ditulis A = (aij)mxn atau A = [aij]mxn

B. Jenis-jenis Matriks

� Matriks Bujur Sangkar

Adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Contoh: A[aij]2x2 atau B[aij]3x3

Pada matriks bujur sangkar ada elemen lain yang disebut DIAGONAL

UTAMA . Perhatikan contoh matriks di bawah:



� Matriks Diagonal

Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utama = 0

(nol). Contoh:

�1 0 00 2 00 0 3� atau �2 0 00 0 00 0 5�

� Matriks Satuan

Adalah Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya = 1,

biasanya dinyatakan dengan I (identity)

Contoh:

I3 = �1 0 00 1 00 0 1� atau I2 = �1 00 1� dan seterusnya.

Matriks mxn yang semua elemennya nol disebut Matriks Nol .

Contoh:

�0 0 00 0 00 0 0� Matrika 3x3 atau �0 0 00 0 0� Matriks 2x3

� Matriks Simetris

Adalah Matriks bujur sangkar [aij ]nxn akan disebut matriks simetris,

jika aij = aji.



Contoh:

�1 2 32 5 63 6 4� dimana a12 = 2 dan a21 = 2 atau a23 = 6 dan a32 = 6

� Matriks Tranpose

Tranpose dari suatu matrik A dinyatakan denga A' atau AT dengan menukar

letak baris dengan kolom.

Contoh:

�1 2 34 5 6� matriks A2x3 menjadi �1 42 53 6� matriks A3x2

C. Operasi pada Matriks

� Penjumlahan dan Pengurangan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan bila ukurannya sama,

dengan cara menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh:

�� + �� = ��

Begitu juga sebaliknya dengan operasi pengurangan.

� Perkalian Bilangan dengan Matriks

Suatu bilangan dapat dikalikan dengan sebuah matriks dengan cara mengalikan

bilangan tersebut dengan setiap elemen pada matriks.

Contoh:

k(aij)mxn = (kaij)mxn

misalnya:



k �� = �!�� !��!�� !��

� Perkalian Matriks dengan Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B dalam bentuk AB, dapat

dilakukan bila banyak kolom matriks A sama dengan baris matriks B.

Misalnya:

Amxn x Bmxn = Cmxn

Contoh:

�� "�� "� x �� "� �"�� = �#�� #��#�� #��

dimana:

c11 = a11·b11 + a12·b21 + a13·b31

c 12 = a 11·b12 + a 12·b22 + a 13·b32

c 21 = a 21·b11 + a 12·b21 + a 13·b31

c 22 = a 21·b12 + a 12·b22 + a 13·b32

D. Kaidah-kaidah Matriks

1. A + B = B + A � sifat komutatif

2. (A + B) + C = A + (B + C) � sifat asosiatif

3. k(A + B) = kA + kB

4. I · A = A

5. 0 · A = 0; 0 + A = A; A + 0 = A

6. A · B ≠ B · A � tidak komutatif

7. (A + B)’ = A’ + B’

8. (A – B)’ = A’ – B’

9. (A’)’ = A



10. (AB)’ = B’ · A’

11. (AB)C = A(BC) � asosiatif perkalian

Evaluasi :

Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:

A = �1 2 32 3 13 3 2�, B = �2 3 44 2 33 3 4�, C = �3 5 44 4 55 4 3�

Carilah!

1. 3A + 2B – 4C

2. 2AB – 3BC

3. 5A'B + 2BC'

4. [AB]'

5. B'A'

Daftar Pustaka :

Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, jilid 1.



DETERMINAN

Pertemuan 2

Kompetensi Dasar : Memahami dan menentukan nilai Determinan Matriks

Indikator : Diharapkan mampu:

- Memahami definisi Determinan Matriks, dan dapat

menentukan nilai determinan dari suatu matriks (Determinan

tingkat 2 dan tingkat 3)

- Memahami menentukan Minor Matriks dan Kofaktor Matriks

- Menentukan nilai determinan dari suatu Matriks (Determinan

tingkat 3 ke atas) menggunakan Uraian Laplace

- Memahami sifat-sifat Determinan Matriks

- Mengerjakan beberapa contoh soal

Isi :

A. Definisi Determinan

Determinan matriks adalah nilai/harga yang diperoleh dari elemen-elemen matriks

bujur sangkar dengan suatu operasi tertentu dari matriks nxn sehingga akan

diperoleh Determinan Tingkat n.

Contoh: Matriks A maka determinan matriks A ditulis │A│

B. Menentukan Nilai Determinan suatu Matriks

1. Determinan tingkat 2

Matriks A = �� "�� "� │A│ = �� = a11· a22 - a12· a21



Contoh:

A = �3 42 5�, maka

│A│ = %3 42 5% = 3·5 – (4·2)

= 15 - 8

= 7


Matriks A = �� "�� "�"� �"� �""�

Ada dua cara untuk menentukan harga Determinan dari matriks A, yaitu:

a. Cara Khusus

Cara ini digunakan hanya untuk Determinan tingkat 3 saja.

= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – (a13·a22·a31 + a11· a23·

a32 + a12·a21·a33)

Contoh:

1. │A│ = &2 3 11 2 32 2 4& 2 31 22 2

= 2·2·4 + 3·3·2 + 1·1·2 – (1·2·2 + 2·3·2 + 3·1·4)

= 16 + 18 + 2 – (4 + 12 + 12)

= 36 – 28

= 8



b. Cara Umum

Digunakan untuk Determinan tingkat 3 dan seterusnya. Untuk mencari nilai

Determinan tingkat 3 dan seterusnya, terlebuh dahulu kita harus mencari

nilai Minor matriks dan Kofaktor (Cofaktor) matriks tersebut.

� MINOR

Minor aij dari determinan tingkat n adalah determinan tingkat n-1

dengan elemen-elemen yang tidak tereliminasi jika baris dan kolom

melalui elemen-elemen aij dieliminasi dinyatakan dengan Mij .

Contoh:

1. │A│ = �� "�� "�"� �"� �""�

M11 = a22·a33 - a23·a32, yang tereliminasi adalah baris ke 1 dan

kolom ke 1.

2. │A│ = �� "�� "�"� �"� �""�

M23 = a11·a32 - a12·a31, yang tereliminasi adalah baris ke 2 dan

kolom ke 3.

� KOFAKTOR (COFAKTOR)

Kofaktor dari elemen aij dari determinan tingkat n didefinisikan

dengan:

cij = (-1)i+j M ij

• jika i + j = genap maka cij = M ij;

• jika i + j = ganjil maka cij = -M ij



Contoh:

Diketahui Matriks A = '(3 4 13 2 52 4 (6' Carilah :

a. c12

b. c13

c. c23

Jawab:

a. c12 = - )3 52 (6) = - (-18 – 10) = 28

b. c13 = )3 22 4) = 12 – 4 = 8

c. c23 = )(3 42 4) = -(-12 – 8) = 20

Cara Umum biasa disebut juga dengan Uraian LAPLACE. Suatu

Determinan dapat diuraikan menjadi jumlah perkalian elemen-elemen pada

suatu baris/elemen-elemen pada sustu kolom maka akan menghasilkan

harga yang sama.

Contoh:

'�� "�� "�"� �"� �""'

• Menurut baris (misalnya baris ke 1)

a11·c11 + a12·c12 + a13·c13



• Menurut kolom (misalnya kolom ke 2)

a12·c12 + a22·c22 + a32·c32

Misalnya: mencari Determinan matriks

A = '2 1 32 3 23 3 1' maka:

� Jika dicari dengan cara khusus

A = '2 1 32 3 23 3 1' 2 12 33 3

= 6 + 6 + 18 – (27 + 12 + 2)

= 30 – 41

= -11

� Jika dicari dengan cara umum

a. Menurut baris, misalnya baris ke 1

= a11·c11 + a12·c12 + a13·c13

= 2· *3 23 1* + 1· ( )2 23 1) + 3 · )2 33 3) = 2(3 – 6) + (-(2 – 6) + 3(6 – 9)

= -6 + 4 + (-9)

= -11

b. Menurut kolom, misalnya kolom ke 1

= a11·c11 + a21·c21 + a31·c31

= 2·)3 23 1) + 2· –)1 33 1) + 3·)1 33 2) = 2(3 – 6) + 2·-(1-9) + 3·(2 – 9)

= -6 + 16 + (-21)

= -11




• Cara Umum

Misalnya diketahui matriks:

A = ''2 3 1 43 2 5 11 2 3 42 3 1 5''

a. Menurut baris ke 1

= a11·c11 + a12·c12 + a13·c13 + a14·c14

= 2·'2 5 12 3 43 1 5' + 3·( '3 5 11 3 42 1 5' + 1·'3 2 11 2 42 3 5' + 4·( '3 2 51 2 32 3 1' = 2(30+60+2 – (9+8+50)) + 3(-(45+40+1 – (6+12+25))) + (30+16+3 –

(4+36+10)) + 4(-(6+12+15 – (20+27+2))

= 2(92-67) + 3(-(86-43)) + (49-50) + 4(-(33-49))

= 2(25) + 3(-43) + (-1) + 4(16)

= 50 + (-129) + (-1) + 64

= -16

b. Menurut kolom ke 2

= a12·c12 + a22·c22 + a32·c32 + a42·c42

= 3·( '3 5 11 3 42 1 5' + 2·'2 1 41 3 42 1 5' + 2·( '2 1 43 5 12 1 5' + 3·'2 1 43 5 11 3 4' = 3(-(45+40+1 – (6+12+25))) + 2(30+8+4 – (24+8+5)) + 2(-(50+2+12 –

(40+2+15))) + 3(40+1+36 – (20+6+12))

= 3(-(86-43)) + 2(42-37) + 2(-(64-57) + 3(77-38)

= 3(-(43)) + 2(5) + 2(-(7)) + 3(39)

= (-129) + 10 + (-14) + 117

= -16



C. Sifat-sifat Determinan

1. │A│ = │A’│

2. Jika pada suatu determinan, elemen pada suatu baris atau kolom sama dengan 0

(nol) maka harga determinannya sama dengan 0 (nol). Contoh:

'2 0 41 0 42 0 5' = 0

3. Jika tiap elemen pada suatu baris atau kolom dikalikan dengan skalar k, maka

harga determinan k dikali harga determinan semula.

k'�� "�� "�"� �"� �""' = '!�� !�� !��"�� "�"� �"� �""

' nilai skalar dikalikan dengan salah satu baris atau kolom.

4. Jika 2 baris atau 2 kolom ditukar tempatnya, maka harga determinan berubah

tanda, misalnya:

= '1 2 31 1 22 3 1' = 1 + 8 + 9 – (6 + 6 + 2)

= 18 – 14

= 4

Baris 1 dengan baris 2 ditukar tempatnya, maka

= '1 1 21 2 32 3 1' = 2 + 6 + 6 – (8 + 9 + 1)

= 14 – 18

= -4

terbukti bahwa harga determinan berubah tanda.



5. Pada suatu determinan, jika 2 baris atau 2 kolom elemen-elemennya persis

sama, maka determinan tersebut sama dengan 0 (nol). Contoh:

= '1 2 31 2 32 3 5' = 10 + 12 + 9 – (12 + 9 + 10)

= 21 – 21

= 0

6. Suatu determinan nilainya tidak berubah bila kelipatan elemen-elemen pada

suatu baris atau kolom ditambahkan pada elemen-elemen baris atau kolom lain.

7. Determinan dari 2 matriks

│AB│ = │A│ · │B│

8. Nilai determinan dari matriks diagonal sama dengan hasil kali elemen-elemen

pada diagonal tersebut, misalnya:

A = �2 0 00 3 00 0 4�

│A│ = '2 0 00 3 00 0 4' => kalikan elemen-elemen diagonalnya

│A│ = 2 · 3 · 4

│A│ = 24

� Contoh sifat-sifat determinan

Sifat determinan ke 6

1. '2 3 11 2 33 3 2' = '0 (1 (51 2 30 (3 (7' Baris ke 2 dikalikan -2 kemudian ditambahkan dengan baris ke 1.

Baris ke 2 dikalikan -3 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3.

Mencari determinan berdasarkan kolom ke 1

= 0·) 2 3(3 (7) + 1·( )(1 (5(3 (7) + 0·)(1 (52 3 )



= 0 + (-(7-15)) + 0

= 8

2. ''1 2 1 32 1 2 41 3 2 1(3 1 2 3'' = ''

0 (1 (1 20 (5 (2 21 3 2 10 10 8 6'' Baris ke 3 dikalikan -1 kemudian ditambahkan dengan baris ke 1

Baris ke 3 dikalikan -2 kemudian ditambahkan dengan baris ke 2

Baris ke 3 dikalikan 3 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3

Secara singkatnya dihasilkan

= 1 ·'(1 (1 2(5 (2 210 8 6' Baris ke 1 dikalikan -5 kemudian ditambahkan dengan baris ke 2

Baris ke 1 dikalikan 10 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3

= '(1 (1 20 3 (80 (2 26' Secara singkatnya dihasilkan

= -1·) 3 (8(2 26) = -1(78 – 16)

= -62

Evaluasi :

Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:

A = �1 2 34 3 22 3 4�, B = �1 2 43 2 13 4 2� , C =

��1 2 2 32 3 4 13 2 1 23 1 1 2��

��



Carilah:

1. │A│

2. │B│

3. │C│

4. │A'│

5. │B'│

6. │AB│

dengan menggunakan cara khusus dan uraian Laplace

Daftar Pustaka :

Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, Jilid 1.



INVERS

Pertemuan 3

Kompetensi Dasar : Menentukan Invers Matriks

Indikator : Mampu menjelaskan definisi dari Invers Matriks, menyebutkan beberapa sifat dari Invers Matriks serta mampu mengerjakan beberapa contoh soal.

Isi :

Jika untuk matriks A dan B berlaku AB = BA = I, dimana I adalah matriks satuan. Yaitu

matriks dengan elemen pada diagonal utamanya sama dengan 1 dan elemen dikuar

diagonal utamanya bernilai 0. Maka matriks B disebut INVERS matriks A, ditulis B =

A-1, juga A = B-1 jadi dapat ditulis AA-1 = A-1A = I.

Salah satu cara menentukan A-1 adalah dengan rumus:

-./�0 = �|2| 34567�

Dimana │A│= determinan matriks A

34567� = tranpose dari matrik 34567

Jika │A│ = 0, maka matriks A tidak mempunyai Invers.

Matriks singuler sama dengan matriks yang determinannya = 0

Matriks non singuler sama dengan matriks yang determinannya ≠ 0

Bentuk 34567 disebut Adjoint A .



Contoh:

Tentukan invers dari matriks berikut:

A = � 1 (3 2(3 3 (12 (1 0 �

Jawab:

• │A│ = 0 + 6 + 6 – (12+ 1 + 0)

= -1

• 84��9 = ) 3 (1(1 0 ) = 0 – 1 = -1

• 84��9 = ( )3 (12 0 ) = -(0 – (-2)) = -2

• 84�"9 = )(3 32 (1) = 3 – 6 = -3

• 84��9 = ( )(3 2(1 0) = -(0 – (-2)) = -2

• 84��9 = )1 22 0) = 0 – 4 = -4

• 84�"9 = ( )1 (32 (1) = -(-1 – (-6)) = -5

• 84"�9 = )(3 23 (1) = 3 – 6 = -3

• 84"�9 = ( ) 1 2(3 (1) = -(-1 – (-6)) = -5

• 84""9 = ) 1 (3(3 3 ) = 3 – 9 = -6



Jadi :456; = �(1 (2 (3(2 (4 (5(3 (5 (6�, maka :456;� = �(1 (2 (3(2 (4 (5(3 (5 (6�

Sehingga:

-./�0 = �|2| 34567�

= �/� �(1 (2 (3(2 (4 (5(3 (5 (6�

= �1 2 32 4 53 5 6�

Pemeriksaan AA-1 = A-1A = I

� AA -1 = I

= � 1 (3 2(3 3 (12 (1 0 � �1 2 32 4 53 5 6�

= � 1 � 8(69 � 6 2 � 8(129 � 10 3 � 8(159 � 12(3 � 6 � 8(39 (6 � 12 � 8(59 (9 � 15 � 8(692 � 8(29 � 0 4 � 8(49 � 0 6 � 8(59 � 0 �

= �1 0 00 1 00 0 1�, jadi keimpulannya adalah terbukti

� A-1A = I

= �1 2 32 4 53 5 6� � 1 (3 2(3 3 (12 (1 0 �



= � 1 � 8(69 � 6 (3 � 6 � 8(39 2 � 8(29 � 02 � 8(129 � 10 (6 � 12 � 8(59 4 � 8(49 � 03 � 8(159 � 12 (9 � 15 � 8(69 6 � 8(59 � 0�

= �1 0 00 1 00 0 1�, kesimpulannya adalah terbukti

SIFAT-SIFAT INVERS MATRIIKS

1. -./�0/� = A

2. |./�| = �|2|

3. -.=0/� = -./�0= 4. -.>0/� = >/� · ./�

Evaluasi :

1. Diketahui matriks A = ? 2 5 5(1 (1 02 4 3@, tentukan A-1 jika ada!

2. Diketahui matriks A = ? 1 6 42 4 (1(1 2 5 @, tentukan A-1 jika ada!

Daftar Pustaka :




SISTEM PERSAMAAN LINIER

Pertemuan4

Kompetensi Dasar : Memahami Sistem Persamaan Linier (SPL)


- Memahami definisi SPL dan mengetahui pemecahan SPL

menggunakan determinan.

- Memahami pemecahan SPL dengan menggunakan Matriks.

- Memahami pemecahan SPL yang mempunyai banyak

pemecahan (Himpunan Pemecahan).

- Menyelesaikan SPL yang bersifat homogen.

Isi :

A. Pendahuluan

Sistem Persamaan Linier adalah himpunan berhingga dari persamaan linier.

Contoh:

a. A � B C 2 2A � 2B C 6

b. A ( B � D C 4 A � B C 0

Namun tidak semua persamaan linier memiliki penyelesaian (solusi), sistem

persamaan linier yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu,

penyelesaian tunggal dan banyak penyelesaian.

Bentuk Umum

Persamaan Linier dalan n peubah (variabel) x1, x2, ..., xn berbentuk:

��A� � ��A� � � � ��A� C �

Dimana :

1. ��, ��, … . �� C konstanta



2. Tidak ada perkalian, akar atau bentuk sin, cos pada peubah

� Harga A� C F�, A� C F�, … , A� C F�, yang memenuhi persamaan di atas

disebut pemecahan atau penyelesaian atau solusi atau jawab dari persamaan di

atas.

� Himpunan dari F�, F�, … , F� disebut himpunan penyelesaian.

� Kumpulan persamaan-persamaan linier seperti di atas membentuk Sistem

Persamaan Linier (SPL)

� Sistem Persamaan Linier dengan n peubah dan banyaknya m buah berbentuk: ��A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C �� A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C �� A� � ��A� � �"A" � … � ��A� C �

� Harga-harga A� C F�, A� C F�, … , A� C F� yang serempak memenuhi m

persamaan-persamaan di atas disebut pemecahan SPL itu.

� Sistem Persamaan Linier yang mempunyai pemecahan disebut konsisten dan

yang tidak mempunyai pemecahaan disebut inkonsisten (tidak konsisten)

� Kemungkinan-kemungkinan pemecahan dari suatu SPL, contoh: ��A � ��B C #� dengan grafik G� ��A � ��B C #� dengan grafik G�

Kemungkinan-kemungkinan pemecahan:

1. Jika G� sejajar G�, maka tidak ada pemecahan dari SPL diatas

2. Jika G� memotong G�, maka ada 1 pemecahan dari SPL di atas

3. Jika G� berimpit G�, maka ada tidak terhingga banyaknya pemecahan.

B. Pemecahan Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Determinan

Pemecahan SPL dengan menggunakan Determinan biasanya disebut dengan

Metode Crammer. Suatu SPL yang berbentuk .AH C �I dengan A adalah matrik

bujur sangkar dapat dikerjakan dengan Metode Crammer jika hasil perhitungan

menunjukkan bahwa det(A) ≠ 0. Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini

adalah penyelesaian tunggal.



Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk .AH C �I dengan A adalah

matriks bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) ≠ 0 sedangkan nilai AH dan �I

adalah: ��A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C �� A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C �� A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C ��

Perhatikan determinan-determinan berikut:

D = '�� … �� … �� … ��'

J� = '�� … �� … �� … ��'

J� = '�� … �� … �� … ��'

Dan seterusnya sampai dengan

J� = '�� … �� … �� … �� '

Maka: A� C KLK A� C KMK

A" C KNK A� C KOK

Contoh:

Diketahui SPL sebagai berikut: 3A� � 2A� ( A" C (4 A� ( A� ( 2A" C (3 2A� � A� � A" C 3

Carilah nilai-nilai A�, A�, A" dengan menggunakan metode Crammer!



Jawab:

D = &3 2 (11 (1 (22 1 1 & = -12 + 2 = -10

D1 = &(4 2 (1(3 (1 (23 1 1 & = -5 – 5 = -10

D2 = &3 (4 (11 (3 (22 3 1 & = 4 + 16 = 20

D3 = &3 2 (41 (1 (32 1 3 & = -25 – 5 = -30

Maka:

A� = KLK =

/�P/�P = 1

A� = KMK =

�P/�P = -2

A" = KNK =

/"P/�P = 3

C. Pemecahan Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Matriks

Ketika dihadapi dengan masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linier

terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat

digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah SPL

yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu SPL biasanya juga tidak didapatkan

secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi

dalam kehidupan sehari-hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks

tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk matriks eselon baris tereduksi

untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL.

Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut dengan

eliminasi Gauss-Jordan. Pada proses eliminasi tersebut operasi-operasi yang

digunakan disebut sebagai operasi baris elementer.



Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan,

yaitu:

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak sama dengan nol;

2. Mempertukarkan dua baris;

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Dengan menggunakan operasi baris elementer, maka matriks eselon baris tereduksi

yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian

untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks

awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks yang diperbesar. Untuk

melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan

berikut ini:

Diketahui SPL dengan m peubah peramaan linier dan n peubah.

��A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C �� A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C �� A� � ��A� � �"A" � … � ��A� C �

SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matris AX = B dengan

A = � �� , X = � A�A�A

�, B = � ��

Matriks yang memiliki ukuran nx1 atau 1xn biasa disebut vektor. Penulisan vektor

sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan

cetak tebal atau digaris atasnya. Jadi matriks X dan B di atas biasa dituliskan

sebagai x dan b atau AH dan �I sehingga SPL dapat ditulis dengan AAH = �I. Pada SPL

yang berbentuk seperti ini, matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.

Untuk penyelesaian SPL di atas maka dibuat matriks diperbesar dari A dan �I yang

elemen-elemennya merupakan gabungan elemen matriks A dan vektor �I yang

dinotasikan :.¦�I;, yaitu:



:.¦�I; = � ��

Untuk menyelesaikan SPL tersebut dilakukan eliminasi Gauss-Jordan seperti

ditunjukkan dalam contoh berikut:

a. x + 2y + 3z = 1

2x + 5y + 3z = 6

x + 8z = -6

carilah nilai x, y dan z!

matriks diperbesar :.¦�I; = ?1 2 3 12 5 3 61 0 8 (6@ operasi baris elementer pada :.¦�I; menghasilkan:

= ?1 2 3 12 5 3 61 0 8 (6@ ~�2 ( 2�1�3 ( �1

= ?1 2 3 10 1 (3 40 (2 5 (7@ ~�1 ( 2�2�3 � 2�1

= ?1 0 9 (70 1 (3 40 0 (1 1 @ ~�1 � 3�3�2 ( 3�3

= ?1 0 0 20 1 0 10 0 1 (1@

Maka pemecahan SPL di atas adalah: x = 2, y = 1, z = -1.

Keterangan:

Penulisan b1, b2 dan sebagainya pada proses di atas sifatnya tidak mutlak dan

hanya digunakan sebagai alat bantu dalam proses operasi baris elementer. Dalam

perhitungan selanjutnya penulisan ini mungkin tidak perlu dilakukan.

D. Sistem Persamaan Linier yang Mempunyai Banyak Pemecahan (Himpunan

Pemecahan)

Berikut ini adalah contoh soal untuk penyelesaian SPL dengan bentuk banyak

pemecahan (solusi). Untuk lebih jelasnya seperti apa bentuk SPL dengan banyak

solusi, perhatikan contoh soal berikut ini:



• x + 3y – 2z = 2

3x – y – 4z = 0

-2x + 4y + 2z = 2

carilah nilai x1, x2 dan x3!

matriks diperbesar:

= ? 1 3 (2 23 (1 (4 0(2 4 2 2@ = ?1 3 (2 20 (10 2 (60 10 (2 6 @, baris kedua dikali -

��P

= S1 3 (2 20 1 ( �T "T0 10 (2 6U

= �1 0 ( VT �T0 1 ( �T "T0 0 0 0�

Maka SPL yang bersesuaian x - VT D C �T y - �T D C "T jadi, x C �T � VT D y C "T � �T D karena baris ke 3 adalah nol dan kolom yang tidak memiliki satu utama adalah

kolom ke 3 maka dapat diambil nilai z sembarang misalkan z = s, sehingga x C �T � VT F y C "T � �T F maka himpunan pemecahan:

ZA, B, D[ dengan x C �T � VT F



y C "T � �T F z C s

atau,

�ABD� C ��T � VT F"T � �T FF �

E. Sistem Persamaan Linier Homogen

Suatu SPL dikatakan homogen jika setiap suku konstan sama dengan nol. ��A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C 0 ��A� � ��A� � ��"A" � … � ��A� C 0 ��A� � ��A� � �"A" � … � ��A� C 0

• Jika x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 disebut pemecahan trivial

• Jika SPL homogen mempunyai pemecahan ≠ 1 disebut pemecahan non trivial

(banyak pemecahan)

• Jika banyaknya bilangan yang tidak diketahui lebih dari jumlah persamaan,

maka SPL homogen tersebut selain mempunyai jawaban trivial pasti

mempunyai jawaban non trivial .

Contoh:

� Tentukan pemecahan SPL berikut:

x + 2y = 0

-x – 2y + z = 0

2x + 3y + z = 0

Jawab:

= ? 1 2 0 0(1 (2 1 02 3 1 0@



= ?1 2 0 00 0 1 00 (1 1 0@ = ?1 0 0 00 1 0 00 (1 1 0@ = ?1 0 0 00 1 0 00 0 1 0@

Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks memiliki satu

utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu �ABD� = ?000@

Evaluasi :

Selesaikan Soal-soal berikut:

1. Diketahui SPL sebagai berikut:

2x + 5y + 5z = 1

-1 + -1 = 1

2x + 4y + 3z = -1

Carilah pemecahan SPL di atas dengan menggunakan metode Crammer!


x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Carilah pemecahan SPL di atas dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan


x + 2z = 1

-x + y – z = 0

2x + y + 5z = 3

Carilah pemecahan dari SPL di atas, apa kesimpulannya?

Daftar Pustaka :




VEKTOR dan RUANG VEKTOR

Pertemuan 5

Kompetensi Dasar : Memahami Vektor dan Ruang Vektor


- memahami definisi vektor dan beberapa operasi-operasi pada

Vektor

- memahami sistem koordinat pada Vektor

- memahami persamaan garis lurus pada Vektor dan syarat-

syarat persamaan garis pada Vektor

- memahami persamaan bidang datar pada Vektor dan syarat-

syarat persamaan garis pada Vektor

- memahami jenis-jenis ruang Vektor

- memahami Kombinasi Linier Vektor, Basis dan Dimensi

Vektor

Isi :

A. VEKTOR

� Pendahuluan

Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan

pergeseran merupakan contoh-contoh dari vektor karena semuanya memiliki

besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif.

Vektor dikatakan berada di ruang-n (Rn) jika vektor tersebut mengandung n

komponen. Jika vektor berada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang,

sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan berada di ruang.

Secara geometris, di bidang dan di ruang, vektor merupakan segmen garis

berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan

dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis.



D C

A B

Gambar 1.1 Bentuk Vektor

Dari gambar di atas terlihat beberapa segmen garis berarah (vektor) seperti.>^^ _, .4^^ _ dan .J^ ^ _ dengan A disebut sebagai titik awal . Sedangkan titik B, C dan D

disebut titik akhir . Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki

titik awal O (untuk vektor di bidang, titik O adalah (0,0)).

� Operasi-operasi pada Vektor

• Operasi Penjumlahan

Misalkan I dan aH adalah vektor-vektor yang berada di ruang yang sama,

maka vektor (I � aH) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya =

titik awal I dan titik akhirnya = titik akhir aH. Contoh:

Perhatikan gambar 1.1. Misalkan I = .>^^ _ dan aH = >4^^ _, jika vektor bc

didefinisikan sebagai bc = I + aH, maka bc akan memiliki titik awal = A dan

titik akhir = C, jadi b merupakan segmen garis berarah .4^^ _

• Perkalian vektor dengan skalar

Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0.

Misalkan I vektor tak nol dan k adalah skalar, k d R. Perkalian vektor I

dengan skalar k, kI didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya e Ie kali

panjang I dengan arah:

Jika k > 0 f searah dengan I

Jika k < 0 f berlawanan arah dengan I



Contoh:

• Perhitungan vektor

Diketahui a dan b vektor-vektor di ruang yang komponen-komponennya

adalah �I = (��, ��, �") dan �I = (��, ��, �") maka: �I + �I = (�� , �� , �" � �") �I - �I = (�� ( ��, �� ( ��, �" ( �") !. �I = (!��, !��, !�")

Jika #H = AB kemudian titik koordinat A = (��, ��, �") dan B = (��, ��, �"),

maka: #H = (�� ( ��, �� ( ��, �" ( �")

� Hasil kali titik, panjang vektor dan jarak antara d ua vektor

• Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponen nya

Diketahui �I = (��, ��, �") dan �I = (��, ��, �"), hasil kali titik antara vektor �I dan �I didefinisikan sebagai: �I . �I = (��. ��) + (��. ��) + (�". �")

• Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut

antara dua vektor

Diketahui �I dan �I adalah dua buah vektor yang memiliki panjang berturut-

turut e�e dan e�e sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

u 2u

-2u



adalah g, sudut g ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor

pada titik awal yang sama.

Hasil kali titik antara vektor �I dan �I didefinisikan sebagai: �I . �I = e�ee�e cos g, g d -0, j0 Jika hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar.

Dengan mengetahui besarnya g, akan diketahui apakah hasil kali titik akan

bernilai positif atau negatif.

� �I . �I > 0 k g lancip, 0 l g < 900

� �I . �I = 0 k g 900, �I dan �I saling tegak lurus

� �I . �I < 0 k g tumpul, 900 < g l 1800

Contoh:

Diketahui �I = (1, -3) dan �I = (3k, -1), tentukan nilai k agar �I dan �I saling

tegak lurus!

Jawab

Agar �I dan �I saling tegak lurus, maka haruslah �I . �I = 0. �I . �I = 3k + 3 = 0 f k = -1

• Panjang (norm) vektor dan jarak antara dua vektor

Panjang vektor

Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen �I = (��, ��, �") didapatkan bahwa �I . �I = �� "� ….. (1)

Dari definisi hasil kali titik lainnya, didapatkan bahwa �I . �I = e�ee�e cos 0 …... (2), dalam hal ini sudut antara �I dan �I

pastilah bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit.

Dari persamaan (1) dan (2), didapatkan persamaan berikut:

e�Ie� = �I . �I f e�e = 8�I. �I9LM = m�� "�

Jarak Antara dua Vektor

Jarak antara dua vektor �I dan �I didefinisikan sebagai panjang dari vektor

(�I-�I) dan biasa dinotasikan dengan d(�I, �I).



d(�I, �I) = 8� H ( � H . � H ( � H9LM

= n3�� ( ��7 � 3�� ( ��7 � 8�"� ( �"�9

Secara geometris, dapat digambarkan seperti berikut ini:

Misalkan �I = .4^^ _ dan �I = .>^^ _, maka jarak antara �I dan �I merupakan

panjang dari ruas garis berarah >4^^ _

Contoh:

Diketahui I = (2, -1, 1) dan aH = (1, 1, 2), tentukan besarnya sudut yang

dibentuk oleh I dan aH! Jawab I. aH = 2- 1 + 2 = 3 e`e = m2� � 8(19� � 1� = √6 eae = √1� � 1� � 2� = √6 cos p =

q .reqeere = "s =

�� f g = 600

Beberapa sifat yang berlaku dalam hasil kali titik

1. �I · �I = �I · �I

2. �I · (�I � #H) = �I · �I � �I · #H 3. m(�I · �I) = (m�I)· �I = �I ·(m�I) = (�I · �I)m

B

A

C



� Persamaan Garis Lurus

Misal garis g melalui titik A(��, ��, �") dan B (��, ��, �")

Dimana: 0.^^ _ C -��, ��, �"0 .>^^ _ C -�� ( ��, �� ( ��, �" ( �"0 .t^^ _ C u.4^^ _, -v w u wv 0A^^_ C 0.^^ _ � .A^^ _ 0A^^_ C 0.^^ _ � u.>^^ _ Sehingga diperoleh persamaan vektor garis g yang melalui titik A dan B:

Dari persamaan vektor diatas diperoleh: A� C �� u8�� ( ��9; A� C �� u8�� ( ��9; A" C �" � u8�" ( �"9; Ketiga persamaan di atas disebut persamaan parameter garis g.

Dari persamaan tersebut diperoleh: u C yL/zL{L/zL C yM/zM{M/zM C yN/zN{N/zN Sehingga diperoleh bentuk:

-A�, A�, A"0 C -��, ��, �"0 � u-�� ( ��, �� ( ��, �" ( �"0

yL/zL{L/zL C yM/zM{M/zM C yN/zN{N/zN

A8��, ��, �"9 C8#�, #�, #"9 B8��, ��, �"9 ....

0 x1 x3

g



yang disebut dengan persamaan linier garis g dengan syarat: 8�� ( ��9 � 0, 8�� ( ��9 � 0, 8�� ( ��9 � 0

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2, 3) dan B(3, 5, 6)

Jawab:

• Persamaan vektor garis g: -A�, A�, A"0 = -1,2,30 � u-3 ( 1,5 ( 2,6 ( 30 -A�, A�, A"0 = -1,2,30 � u-2,3,30 • Persamaan parameter garis g: A� = 1 + 2u A� = 2 + 3u A" = 3 + 3u

• Persamaan linier garis g: yL/�� C yM/�" C yN/""

� Persamaan Bidang Datar

Persamaan bidang datar dapat ditentukan jika diketahui tiga titik yang tidak

terletak pada satu garis. Contoh:

Misalkan sebuah bidang datar melalui titik-titik P(��, ��, �"), Q(��, ��, �") dan

R(��, ��, �")

Perhatikan suatu titik x(A�, A�, A") sembarang pada bidang PQR. Dari gambar

tersebut terlihat:



0A^^_ = 0�^^ _ � �A^^ _ 0A^^_ = 0�^^ _ � u3��^ ^ _7 � ��^^ _

Persamaan di atas disebut dengan persamaan vektor PQR

Umumnya jika bidang tersebut melalui titik-titik P(��, ��, �", … ��),

Q(��, ��, �", … ��) dan R(��, ��, �", … ��), maka persamaan vektor bidang PQR: -A�, A�, A"0 = -��, ��, �", . . ��0 � u-�� ( ��, �� ( ��, �" ( �", … �� ( ��0 ��-�� ( ��, �� ( ��, �" ( �", … �� ( ��0

Contoh:

Tentukan persamaan bidang datar melalui titik-titik A(2, 1, 3), B(3, 2, 4) dan

C(4, 2, 5)!

Jawab: -A�, A�, A"0 = -2,1,30 � u-3 ( 2,2 ( 1,4 ( 30 � �-4 ( 2,2 ( 1,5 ( 30 -A�, A�, A"0 = -2,1,30 � u-1,1,10 � �-2,1,20

Perkalian sebuah bidang datar yang melalui titik P(��, ��, �") dengan vektor-

vektor arah -`�, `�, `"0 dan -a�, a�, a"0 maka persamaan vektor bidang

tersebut: -A�, A�, A"0 = -��, ��, �"0 � u-`�, `�, `"0 � �-a�, a�, a"0 ……. (1)

Maka persamaan parameternya: A� = �� u8`�9 � �8a�9 …… (2) A� = �� u8`�9 � �8a�9 …… (3) A" = �" � u8`"9 � �8a"9 …… (4)

Jika u dan � di eliminir dari persamaan (2) dan (3) maka diperoleh:

u = rM8yL/�L9/qM8yM/�M9qLrM/qMrL

� = qL8yM/�M9/rL8yL/�L9qLrM/qMrL

Jika u dan � ini didistribusikan pada persamaan (4) maka diperoleh:

(`�a�-`�a�)(A"-�")-`"{ a�(A�-��)-a�(A�-��)}- a"{ `�(A�-��)-`�(A�-��)} = 0

-A�, A�, A"0 = -��, ��, �"0 � u-�� ( ��, �� ( ��, �" ( �"0 � �-�� ( ��, �� ( ��, �" ( �"0



atau

(`�a"-`"a�)(A�-��) + ( "a�-`�a")(A�-��) + ( �a�-`�a�)(A"-�") = 0

jika dirumuskan :

A = �a"-`"a�

B = "a�-`�a"

C = �a�-`�a�

persamaan di atas menjadi:

A(A�-��) + B(A�-��) + C(A"-�") = 0

AA�+BA�+CA" - (A��+B��+C��) = 0

misalkan:

-( A��+B��+C��) = D

maka persamaan linier bidang:

AA�+BA�+CA"+D = 0

maka jika contoh soal di atas kita lanjutkan diperoleh: -A�, A�, A"0 = -��, ��, �"0 � u-`�, `�, `"0 � �-a�, a�, a"0 -A�, A�, A"0 = -2,1,30 � u-1,1,10 � �-2,1,20 �� = 2 `� = 1 a� = 2 �� = 1 `� = 1 a� = 1 �" = 3 `" = 1 a" = 2

maka:

A = `�a"-`"a� = 1·2 – 1·1 = 1

B = "a�-`�a" = 1·2 – 1·2 = 0

C = �a�-`�a� = 1·1 – 1·2 = -1

D = -8.�� >�� 4�"9

= -(1·2+0·1+(-1·3))

= 1

maka persamaan linier di atas = A� ( A" � 1 = 0



B. RUANG VEKTOR

� Ruang –n Euclidis

Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan, hanya dikenal vektor-vektor

di R2 dan R3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan

permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor-vektor di

ruang berdimensi 4, 5 atau secara umum merupakan vektor-vektor di Rn.

Secara geometris memang vektor-vektor di R4 dan seterusnya memang belum

bisa digambarkan, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi-operasi vektor

masih sama seperti operasi pada vektor-vektor di R2 dan R3.Orang yang

mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclidis sehingga vektor-vektor yang

berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya

disebut ruang –n Euclidis.

• Operasi standar/baku pada vektor Euclidis

Diketahui I dan aH adalah vektor-vektor di ruang –n Euclidis dengan: I = ( �, `�, … , `�9 dan aH = (a�, a�, … , a�)

• Penjumlahan Vektor I + aH = ( � � a�, `� � a�, … . , `� � a�)

• Perkalian Titik I · aH = ( � · a� � `� · a� � � � `� · a�)

• Perkalian dengan Skalar ! I = (!`�, !`�, … , !`�)

• Panjang Vektor

eIe = 8 I · I9LM = m`�� `�� `��

• Jarak antara Vektor

d(I, aH) = 8 I ( aH · I ( aH9LM = m8`� ( a�9� � 8`� ( a�9� � � � 8`� � a�9�

Contoh:

Diketahui �I = (1,1,2,3) dan �I = (2,2,1,1) tentukan jarak antara �I dan �I!



Jawab

�I ( �I = (-1,-1,1,2)

d(�I, �I) = m8(19� � 8(19� � 819� � 829� = 7

� Ruang vektor umum

Pada materi ini kita akan membahas koonsep-konsep tentang ruang vektor

dengan konsep yang lebih luas.

Ada 10 syarat agar V disebut sebagai vektor, yaitu:

1. Jika vektor-vektor I, aH d V, maka vektor I + aH d V

2. I + aH = aH + I

3. I � 8aH � bc9 C 8I � aH9 � bc

4. Ada 0I d V sehingga 0I � I C I � 0 untuk semua I d V. Dimana 0I adalah

vektor nol;

5. Untuk setiap I d V terdapat (I d V sehingga I � 8(I9 C 0I

6. Untuk sembarang skalar !, jika I d V, maka ! I d V;

7. !8I � aH9 C ! I � !aH, ! sembarang skalar;

8. 8! � G9 I C ! I � G I, ! dan G sembarang skalar;

9. !8G I9 C 8!G9 I

10. 1I = I

Dalam hal ini yang paling menentukan apakah V disebut ruang vektor atau

tidak adalah operas-operasi pada V tau bentuk dari V itu sendiri. Jika V

merupakan ruang vektor dengan operasi-operasi vektor (operasi penjumlahan

dan operasi perkalian dengan skalar) yang bukan merupakan operasi standar,

tentunya V harus memenuhi 10 syarat di atas, jika satu syarat saja tidak

terpenuhi maka tentunya V bukan merupakan ruang vektor.

� Vektor Bergantung Linier dan Bebas Linier

Jika diketahui himpunan bagian vektor-vektor Z`�, `�, … , `�[ dalam ruang

vektor V maka:



1. Himpunan tersebut dikatakan bergantung linier bila terdapat skalar-skalar !�, !�, … , !� tidak semuanya nol sehingga berlaku !�`� � !�`� � � �!�`� C 0

2. Himpunan tersebut dikatakan bebas linier jika dari persamaan !�`� �!�`� � � � !�`� C 0 dihasilkan !� C !� C … , !� C 0

Berdasarkan definisi:

1. Perhatikan sebuah vektor I

a. Jika I C 0 (vektor nol) maka ! I C 0, untuk setiap ! � 0, ini berarti

vektor ol bergantung linier

b. Jika I � 0 ( I bukan vektor nol) maka ! I C 0 hanya dipenuhi jika ! C 0, jadi setiap vektor yang belum vektor nol adalah bebas linier

2. Jika ada dua vektor I dan aH yang berkelipatan, misalnya I C 2aH, maka: I ( 2aH = 0 1I � 8(29aH = 0

Jadi ada !� C 1 dan !� C (2 yang memenuhi !� I � !�aH C 0, ini berarti I

dan aH adalah dua vektor yang bergantung linier. Sehingga kesimpulannya

adalah dua vektor yang berkelipatan selalu bergantung linier.

Berikut adalah contoh dua vektor dimana I , aH dua vektor yang tidak

berkelipatan:

Jika diketahui I = -2,30 dan aH = -1,40 Perhatikan persamaan !� I � !�aH C 0

Untuk skalar-skalar !� dan !�:

= !�-2,30 � !�-1,40 C -0,00 • 2!� � !� C 0 !� = (2!�

• 3!� � 4!� C 0 !� = ( "� !�



Dari persamaan di atas tidak ada !� dan !� yang memenuhi !� I � !�aH C 0,

maka dapat disimpulkan I dan aH adalah dua vektor yang bebas linier (tidak

berkelipatan linier)

Contoh:

Diketahui 3 vektor �I C -2,1,30, �I C -1,0,20 dan #H C -(3, (1, (50, periksa

apakah ketiga vektor tersebut bebas linier atau bergantung linier

Jawab:

Persamaan !��I � !��I � !"#H C 0 � !�-2,1,30 � !�-1,0,20 � !"-(3, (1, (50 C -0,0,00 � 2!� � !� ( 3!" C 0 ….. (1) � !� � 0 ( !" C 0 ….. (2) � 3!� � 2!� ( 5!" C 0 ….. (3)

Diperoleh:

• Dari persamaan (2) didapat !� C !", persamaan ini di didistribusikan pada

persamaan (1)

• 2!" � !� ( 3!" C 0 !� ( !" = 0 !� = !"

Sehingga: 2!" � !" ( 3!" C 0 !" C 0

Maka kita dapatkan !� C 0, !� C 0, !" C 0, sehingga kesimpulannya ketiga

vektor tersebut bergantung linier.

� Kombinasi Linier

Suatu vektor aH dikatakan kombinasi linier dari vektor I1, I2, …, In bila

terdapat skalar-skalar !�, !�, … , !" untuk setiap aH C !� I1+ !� I2+…+!� In.

� Sifat-sifat Kombinasi Linier

1. Jika n vektor I1, I2, …, In dimana n > 1 bergantung linier, maka

paling sedikit terdapat 1 vektor yang dapat ditulis sebagai Kombinasi

Linier dari vektor-vektor lainnya.



2. Jika 1 diantara n vektor-vektor I1, I2, …, In Kombinasi Linier dari n-1

vektor-vektor lainnya, maka n vektor tersebut bergantung linier.

3. Jika n vektor-vektor I1, I2, …, In bebas linier dan n+1 vektor-vektor I1, I2, …, In, aH bergantung linier, maka aH kombinasi linier dari I1, I2,

…, In. Bila vektor-vektor I1, I2, …, In bebas linier dan aH bukan

kombinasi linier dari I1, I2, …, In maka I1, I2, …, In dan aH bebas

linier.

4. Bila s = {I1, I2, …, In} himpunan bagian dari ruang vektor bc , maka

himpunan semua kombinasi linier dari s ditulis L(s) adalah ruang

bagian dari bc . L(s) disebut ruang vektor yang dibentuk s.

5. Suatu himpunan vektor I1, I2, …, In disebut sistem pembentuk dari

ruang vektor aH ditulis aH = L( I1, I2, …, In) bila setiap vektor aH anggota

V dimana aH d V kombinasi linier dari I1, I2, …, In.

Contoh:

Diketahui vektor-vektor �H C -2,1,30, �I C -0,1,20 dan �H C -2,2,40, periksalah apakah �H kombinasi linier dari �I dan �H! Jawab: � -2,1,30 = !�-0,1,20+!�-2,2,40 � 2 C 0 � 2!�, � !� C 1 …. (1)

� 1 C !� � 2!� � !� C (1 …. (2)

� 3 C 2!� � 4!� …. (3) � untuk !� C (1, !� C 1 � 3 = 2(-1) + 4·1 � 3 = -2 + 4 � 3 = 2 � pernyataan ini tidak benar

Jadi tidak ada !�, !� yang memenuhi �H C !��I � !��H, ini berarti �H bukan

kombinasi linier �I dan �H

� Basis dan Dimensi

Setiap pembentuk yang bebas linier dari suatu ruang vektor V disebut Basis

dari ruang vektor tersebut karena vektor-vektor anggota V mungkin tak



terhingga banyaknya kecuali ruang vektor yang dibentuk vektor nol yaitu L(0)

dan misalkan dimensi V = m terhingga, maka dapat ditentukan banyak sekali n

vektor anggota V yang bebas linier sehingga dapat dipilih menjadi Basi V.

Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila banyak maksimal vektor-

vektor yang bebas linier ada n buah. Sifat dari dimensi yaitu jika V ruang

vektor berdimensi n maka vektor-vektor I1, I2, …, In dari V yang bebas linier

adalah pembentuk vektor V.

Contoh:

V = { -2,3,40, -1,1,20, -1,2,20} � = � � # � � ( � ( # C 0

Jadi �, �, # bergantung linier, sehingga dapat dikatakan �, � bebas linier, �, #

bebas linier dan �, # bebas linier.

Jika Rn = -��, ��, … , ��0 maka disebut vektor dengan banyak komponen n

buah.

Misalkan V ruang vektor dan S = {FH1, FH2, …, FHn}. S disebut basis dari V bila

memenuhi dua syarat, yaitu:

1. S bebas linier. S dikatakan bebas linier jika persamaan 0I C !�FH1+!�FH2+…!�FHn hanya memiliki penyelesaian !� C !� C � C!� C 0 (atau jika diubah ke bentuk SPL, penyelesaiannya adalah trivial).

2. S membangun V. Dimana jika untuk setiap aH d V, aH merupakan kombinasi

linier dari S, yaitu: aH=!�FH1+!�FH2+…!�FHn, !�, !�, … , !� : skalar.

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu.

Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak

standar.

Contoh Basis Standar:

1. S = {�H1, �H2,…, �Hn}, dengan �H1, �H2,…, �Hn d Rn �� = (1,0,…., 0), �� = (0,1, …, 0),….., �� = (0,0, …, 1)

Merupakan basis standar dari Rn.

2. S = {1, A, A�, … . , A�} merupakan basis standar untuk Pn (Polinom orde n)

3. S = ��1 00 0� , �0 10 0� , �0 01 0� , �0 00 1�� merupakan basis standar untuk M22.



Dimensi ruang vektor didefinisikan sebagai banyaknya unsur basis ruang

vektor tersebut. Jadi dim R3=3, dim �� C 3 dan dim M22=4 dan sebagainya.

Suatu himpunan vektor dapat ditunjukkan merupakan himpunan yang bebas

linier atau membangun ruang vektor V hanya dengan melihat dari jumlah

vektor dan dim ruang vektor. Contoh jika diketahui I=(1,2), aH=(2,2), bc=(1,3)

dapat kita liha banyaknya vektor = 3 dan dim R2=2, sebenarnya tanpa

menghitung kita sudah bisa menyimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut

tidak bebas linier karena agar bisa bebas linier maksimal jumlah vektor =

dim ruang vektor. Sebaliknya jika suatu himpunan vektor hanya memuat

vektor dengan jumlah kurang dari dim ruang vektor , maka dapat

disimpulkan bahwa himpunan ruang vektor tersebut tidak membangun.

Berdasarkan hal ini, maka suatu himpunan vektor kemungkinan bisa menjadi

basis ruang vektor berdimensi n jika jumlah vektornya = n. Jika jumlah vektor

< n maka tidak membangun sebaliknya jika jumlah vektor > n maka

bergantung linier.

Jika jumlah vektor = n, maka dapat dihitung nilai Determinan dari ruang yang

dibangun oleh himpunan vektor tersebut.

Jika Det = 0, maka tidak bebas linier dan tidak membangun.

Jika Det � 0, maka ia bebas linier dan membangun � merupakan basis.



Contoh:

Tentukan apakah H = ��1 21 1� , �1 00 1� , �0 00 1� , �0 21 3�� merupakan basis M22!

Jawab

Jumlah matriks (bisa dipandang sebagai vektor di R4) dalam H = 4 = dim M22,

jadi untuk menentukan apakah H merupakan basis dari R4 atau bukan adalah

dengan melihat nilai determinan dari ruang yang dibangun oleh H.

Misalkan W adalah ruang yang dibangun oleh H, maka untuk sembarang w d

W berlaku:

w = �1 1 0 02 0 0 21 0 0 11 1 1 3� �!�!�!"!�� = A!I

untuk menentukan apakah H merupakan basis atau tidak adalah dengan

menghitung nilai det(A) dari SPL di atas.

'1 1 0 02 0 0 21 0 0 11 1 1 3'= -2&1 0 00 0 31 1 1& + 2&1 1 01 0 01 1 1&= (2 · 3 · 1 � 2 · 1 · 1 C (4

Jadi H merupakan basis dari M22

Evaluasi :

1. Tentukan jarak antara �I C 81,1,2,39 dan �I C 82,3,4,59 dan panjang masing-masing

vektor!

2. Tentukan persamaan garis lurus g melalui titik A=(2,3,1) dan sejajar BC bila

B=(4,-5,1) dan C=(2,7,-3)!

3. Diketahui garis g dengan persamaan -A�, A�, A"0 C -2,1,00 � !-1,0, (10. Periksalah

apakah titik A=(1,1,1) dan B=(6,2,1) terletak pada garis g atau tidak!

4. Tentukan persamaan bidang datar W yang melalui titik -0,0,00 dan persamaan

g C -A�, A�, A"0 C -1, (1,00 � !-2,1,10

Daftar Pustaka :


dasar dasar aljabar linier

Education