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was ist das Pascalsche Dreieck? Anwendung Erweiterungen Fazit Quellen

Das Pascalsche DreieckMathematisches Proseminar:

Implementierung mathematischer Algorithmen

Laura Heß

09.01.2014


Gliederung

1 was ist das Pascalsche Dreieck?AllgemeinFolgenMuster

2 AnwendungBinomischer LehrsatzWahrscheinlichkeitsrechnungAbzahlbarkeitAnzahl von Elementen von Polytopen

3 ErweiterungenTrinomial TrianglePascalsche PyramideTrinomialkoeffizientenMultinomialkoeffizientenMatrixexponentialNegative n

4 Fazit5 Quellen


Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein

Name geht auf Blaise Pascal zuruck

Abhandlungen uber das arithmetische Dreieck 1655

hauptsachlich Wahrscheinlichkeitstheorie

fruhste Darstellung 10. Jahrhundert

[2]

Abbildung : Blaise Pascal, 19.06.1623 - 19.08.1662



[3]

Abbildung : Pascalsches Dreieck

Darstellung der Summe von 2 benachbarten Zahlen(n + 1

k + 1

)=

(n

k

)+

(n

k + 1

)



[4]


grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten


Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein- Programmcode Fakultat

l o n g d o u b l e f a k u l t a e t ( l o n g d o u b l e n , i n t ∗ z a e h l e r ){i f ( n==0){(∗ z a e h l e r ) ++;r e t u r n 1 ;}

e l s e i f ( n==1){(∗ z a e h l e r )++;r e t u r n 1 ; }e l s e{(∗ z a e h l e r )++;r e t u r n n∗ f a k u l t a e t ( n−1, z a e h l e r ) ; }}


Was ist das Pascalsche Dreieck?Allgemein- Programmcode Ausgabe

f o r ( i n t i =0; i<=n ; i ++){f o r ( i n t j =0; j<=i ; j ++){b i n k o e f f=f a k u l t a e t ( i , z e i g e r z a h l )/( f a k u l t a e t ( i−j , z e i g e r z a h l )∗f a k u l t a e t ( j , z e i g e r z a h l ) ) ; cout<<b i n k o e f f <<”” ;}cout<<e n d l ;cout<<e n d l ; }



Abbildung : Anzeige



Entdeckung der Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck:

Z.B. Zeile 6: 1 6 15 20 15 6 1

Mit welcher Zahl multiplizieren, um die nachste zu erhalten?

Beispiel: 15: 6. Zeile, 2. Zahl61 ∗

52 = 15 =

(62

)= 6!

4!∗2! = 6∗52∗1


Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Diagonalen

Diagonale rechts-oben nach links unten analog zu links-obennach rechts-unten

1. Diagonale: nur 1(n0

)bzw.

(nn

)2. Diagonale: naturliche Zahlen

(n1

)



3. Diagonale: Dreieckszahlen

Summe der Zahlen von 1 bis n

[5]

Abbildung : Dreieckszahlen



4. Diagonale: Tetraederzahlen

Bildung eines Tetraeders anstatt eines DreiecksFormel

n ∗ (n + 1) ∗ (n + 2)

6

...

n-te Diagonale: n-te figurierte Zahlen

weitere Auffalligkeiten:

Jede Diagonale enthalt die Folge der Partialsummen zu derFolge in der daruberliegenden Diagonalen


Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen

[6]

Abbildung : Fibonacci-Zahlen

Summen der flachen Diagonalen

bei dem symmetrischen Dreieck lassen sich die Diagonalenmanchmal nicht bis zum Ende durchziehen - unwichtig


Was ist das Pascalsche Dreieck?Folgen-Zeilen

Zeilen:

Zeilensumme 1 der Eintrage ist immer 2n

folgt ausn∑

k=0

(n

k

)= 2n

Aneinanderreihen der Ziffern Zeile 0-4 : 1, 11, 121, 1331,14641

Potenzen von 11 (110, 111,...)

ab Zeile 5: 1 5 10 10 5 1 folgt:

1 + 5 ∗ 10 + 10 ∗ 100 + 10 ∗ 1000 + 5 ∗ 10000 + 1 ∗ 100000 = 115

1man beginnt Zeilennummerierung mit 0



∑nk=0

(nk

)· xk · y (n−k ) = (x + y)n

folgt beides aus dem Binomischen Lehrsatz mit y=1 und x=1bzw. x=10

Zeilen, die eine Primzahl nach der 1 haben : Alle Elementedurch die Primzahl teilbar

Bildung der 11. Zeile: 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ .../1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ...11 nicht kurzbar und somit in allen Zahlen vorhanden



Produkt der Zeilenelemente sn =∏n

k=0

(nk

)=∏n

k=0n!

(n−k)!∗k!

Zeilenverhaltnis: sn+1

sn= (n+1)n

n!

Verhaltnis von 2 Zeilenverhaltnissen:sn+1snsn

sn−1

= (sn+1)∗(sn−1)(sn)2

= (n+1n )n

fur n→∞ gegen e


Was ist das Pascalsche Dreieck?Muster

Muster:

[7]


modulo p

p=2 : malt alle durch 2 teilbaren Zahlenkastchen aus



erzeugtes Muster : Sierpinski-Dreieck

[8]

Abbildung : Sierpinski Dreieck

ahnliche Muster durch anderes p



Quadratringe:

[7]

Abbildung : Quadratringe

Produkt aller Zahlen im Ring ergibt eine Quadratzahl

Produkt der schwarzen Quadrate gleich Produkt derOrangenen



Programme: Ausrechnen der Werte des Pascalschen Dreiecks

Vergleich der Programme

Berechnung durch BinomialkoeffizientenBerechnung durch Binomialkoeff. und Dreieckszahlen,...Berechnung mithilfe von Summen


AnwendungenBinomischer Lehrsatz

1. Binomischer Lehrsatz∑nk=0

(nk

)· xk · y (n−k ) = (x + y)n

schnell beliebige Potenzen von Binomen ausmultiplizieren ,z.B. (a + b)3

auch fur (a− b)n

Minuszeichen immer bei ungeraden Potenzen von b

fur große n unbrauchbar


AnwendungenWahrscheinlichkeitsrechnung

Anwendung in Kombinatorik

zum Beispiel Ziehen ohne Zurucklegen, Lotto(496

)Galtonbrett

zeigt Anzahl der Moglichkeiten , diesen Punkt zu erreichen

[11]

Abbildung : Galtonbrett


AnwendungenAbzahlbarkeit

Abzahlbarkeit der rationalen Zahlen:

Betrachtung 2. und 3. Diagonale:

rechte Zahl entsteht aus der linken mit Multiplikation von: 1,32 , 2 , 52 , 3, ...

Betrachtung 3. und 4. Diagonale:

rechte Zahl entsteht durch Multiplikation mit: 1, 43 , 53 , 63 , ...

Muster geht nach rechts unten mit 4tel, 5tel, ... weiter

Fortsetzung des Musters schrag nach oben enthalt man allekleiner 1

alle Bruchzahlen sind im Pascalschen Dreieck enthalten


AnwendungAnzahl von Elementen von Polytopen

z.B. Anzahl von Ecken und Kanten im Dreieck : 3. Zeile: 1 33 1

1 2-dim. Element: sich selbst

3 1-dim. Elemente: Kanten

3 0-dim. Elemente: Ecken

1 : nachster Eckpunkt


AnwendungAnzahl von Elementen von Polytopen

vom Dreieck zum Tetraeder (4.Zeile) :

3-dim. Elemente: Dreieck: 0, Tetraeder: 1 daraus folgt0 + 1 = 1

2-dim. Elemente: Dreieck: 1, Tetraeder: 3 (neue Flachen)daraus folgt 1 + 3 = 4

1-dim. Elemente: Dreieck: 3, Tetraeder: 3 daraus folgt3 + 3 = 6

0-dim .Elemente: Dreieck: 3, Tetraeder: 1 daraus folgt3 + 1 = 4

letzte 1 hinzufugen fur den nachsten Eckpunkt


AnwendungenTrinomial Triangle

Trinomial Triangle

Abwandlung des Pascalschen Dreiecks

Summe von drei daruberstehenden Eintragen

kaum mathematische Relevanz

[9]

Abbildung : Trinomial Triangle


AnwendungenPascalsche Pyramide

Pascalsche Pyramide

dreidimensionale Verallgemeinerung

Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks lassen sich sinngemaßubertragen

Spitze der Pyramide einzelne 1



Bildung der einzelnen Ebenen (der n-ten):

Außenkanten: entsprechen der n-ten Zeile2 des PascalschenDreiecksfullen der m-ten Zeile der Ebene mit den Eintragen aus derm-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit den anden Seiten bereits eingetragener Zahl

2Nummerierung beginnt bei 0



Ebenenschnitte der Pyramide

1. Ebene eine 1

2. Ebene:1

1 1

3. Ebene:1

2 21 2 1



4. Ebene:

13 3

3 6 31 3 3 1

analoge Fortsetzung


ErweiterungenTrinomialkoeffizienten

in Pascalscher Pyramide

zu berechnen durch (i+j+k)!i!j!k! mit i + j + k = n

Bildung der Pyramide darauf zuruckfuhren(i+j+k)!i!j!k! = (i+j+k)!

(i+j)!∗k! ∗(i+j)!i!j!

Eintrag aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks * an derSeite eingetragener Faktor


ErweiterungenMultinomialkoeffizienten

Verallgemeinerung der Binomialkoffizienten( nk1,...,kr

)= n!

k1!∗...∗kr !Multinomialsatz (Verallgemeinerung des BinomischenLehrsatzes)(x1 + ... + xr )n =

∑k1+...+kr=n

( nk1,...,kr

)∗ xk1 1∗... ∗ xkr r

Anzahl der Moglichkeiten n Objekte in r Schachteln zu legen


ErweiterungenMultinomialkoeffizienten

Beispiel: Wie viele Moglichkeiten gibt es, die 32 Karten einesSkartspiels zu je 10 Karten auf 3 Spieler und 2 Restkarten zuverteilen?

Objekte: n=32;Schachtel1=Schachtel2=Schachtel3=10;Schachtel4=2( 3210,10,10,2

)= 32!

10!·10!·10!·2!


ErweiterungenMatrixexponential

Matrixexponential der Matrix mit Eintragen der naturlichenZahlen unter der Hauptdiagonalen

[10]

Abbildung : Matrixexponential

enthalt Matrix mit Pascalschem Dreieck


Erweiterungennegative n

1. Moglichkeit: negative Zeilennummer

Schritt 1: ganz normal hinschreibenm=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...

n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...n=3 1 3 3 1 0 0 ...n=4 1 4 6 4 1 0 ...



Schritt 2:m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...

n=-4 1n=-3 1n=-2 1n=-1 1n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...



Schritt 3: Regel:(nm

)=(n−1m−1

)+(n−1

m

)umstellen:

(n−1m

)=(nm

)−(n−1m−1

)m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5...

n=-4 1 -4 10 -20 35 -56 ...n=-3 1 -3 6 -10 15 -21 ...n=-2 1 -2 3 -4 5 -6 ...n=-1 1 -1 1 -1 1 -1 ...n=0 1 0 0 0 0 0 ...n=1 1 1 0 0 0 0 ...n=2 1 2 1 0 0 0 ...


Erweiterungennegative Zeilen und Spalten

Moglichkeit fur negative Zeilen und Spalten mitMatrixexponential

[10]

Abbildung : Erweiterung


Fazit

sehr einfache Bildung

erstaunlich, was man alles darin finden kann

viele Folgen, Muster, Abzahlbarkeit,Wahrscheinlichkeitsrechnung und Geometrie

gibt bei Verallgemeinerungen noch viele Zusammenhange zuentdecken

z.B. Pascalsches Dreieck und Sierpinski Dreieck

Verallgemeinerung Pascalsche Pyramide und SierpinskiPyramide


Fragen?


[1] Hans Magnus Enzensberger. Der Zahlenteufel. dtv.Deutscher Taschenbuch Verlag, 01.11.1999,Munchen, 1999.

[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

[3] http://www.automatisierungstechnik-koeln.

de/ma/pascal_dreieck.gif

[4] http:

//gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/

0809UnterrichtMathematik12MA1eStochastik.

html

[5] http:

//de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen

[6] http://www.michael-holzapfel.de/themen/

pascaldreieck/pascal9.gif

[7] http://www.serlo.org/uploads/1563.png

http://de.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

http://www.automatisierungstechnik-koeln.de/ma/pascal_dreieck.gif

http://www.automatisierungstechnik-koeln.de/ma/pascal_dreieck.gif

http://gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/ 0809UnterrichtMathematik12MA1eStochastik.html




http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen

http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen

http://www.michael-holzapfel.de/themen/pascaldreieck/pascal9.gif

http://www.michael-holzapfel.de/themen/pascaldreieck/pascal9.gif

http://www.serlo.org/uploads/1563.png


[8] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:

Sierpinski-Trigon-7.svg

[9] http:

//de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle

[10] http:

//en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle

[11] http://www.google.de/imgres?sa=X&rlz=

1C1OPRA_enDE570DE570&espvd=210&es_sm=

93&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=

xUtvkTVrWhnEqM%3A&imgrefurl=http%3A%2F%

2Fde.wikibooks.org%2Fwiki%2FZufall&docid=

NXEm7lxxljjY1M&imgurl=http%3A%2F%2Fupload.

wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%

2Fthumb%2F7%2F78%2FGalton_Box.svg%

2F300px-Galton_Box.svg.png&w=300&h=355&ei=

wh8GU_jLK4altAaux4GgBw&zoom=1&iact=rc&dur=

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sierpinski-Trigon-7.svg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sierpinski-Trigon-7.svg

http://de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle

http://de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle

http://en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle

http://en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle

http://www.google.de/imgres?sa=X&rlz=1C1OPRA_enDE570DE570&espvd=210&es_sm=93&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=xUtvkTVrWhnEqM%3A&imgrefurl=http%3A%2F%2Fde.wikibooks.org%2Fwiki%2FZufall&docid=NXEm7lxxljjY1M&imgurl=http%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fthumb%2F7%2F78%2FGalton_Box.svg%2F300px-Galton_Box.svg.png&w=300&h=355&ei=wh8GU_jLK4altAaux4GgBw&zoom=1&iact=rc&dur=2726&page=1&start=0&ndsp=21&ved=0CI4BEK0DMBE












2726&page=1&start=0&ndsp=21&ved=

0CI4BEK0DMBE

[12] http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_

Dreieck

[13] http:

//www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=

s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CC8QFjAA&url=

http%3A%2F%2Fwww.mathematik.tu-dortmund.

de%2Fieem%2Fcms%2Fmedia%2FBzMU%2FBzMU2010%

2FBzMU10_BICKER_Ursula_Pascal-dreieck.

pdf&ei=VI7FUsaWOc3BtAbMnIHYDA&usg=

AFQjCNESEOVXt45M-quDegJVCLv41kmW4g&bvm=bv.

58187178,d.Yms, Ursula Bicker, Produktives Ubenund Argumentieren mit dem Pascalschen-Dreieck




http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

http://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.mathematik.tu-dortmund.de%2Fieem%2Fcms%2Fmedia%2FBzMU%2FBzMU2010%2FBzMU10_BICKER_Ursula_Pascal-dreieck.pdf&ei=VI7FUsaWOc3BtAbMnIHYDA&usg=AFQjCNESEOVXt45M-quDegJVCLv41kmW4g&bvm=bv.58187178,d.Yms









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