KALKULUS 1

UNTUK MAHASISWA

CALON GURU MATEMATIKA

2009

OLEH:

DADANG JUANDI, DKK

PROGRAM STUDI

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FPMIPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Sistem Bilangan Real

Dalam Uraian sitem bilangan real di bawah ini, dibicarakan tentang sifat lapangan

bilangan real, sifat kerapatan pada bilangan real, dan sifat urutan. Sifat lapangan memberikan

rumus-rumus aljabar elementer yang sering digunakan dalam perhitungan matematika. Sifat

urutan bilangan real menghasilkan bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Selain itu, sifat

urutan memberikan relasi antara dua bilangan real, yaitu kurang dari, sama dengan, atau

lebih dari yang melahirkan konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak yang sama penting

dalam kalkulus. Sedangkan sifat kerapatan bilangan rasional pada bilangan real menyatakan

bahwa diantara dua bilangan real sebarang yang berlainan terdapat suatu bilangan rasional.

1.1.1 Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Real

Sistem bilangan real dan sifat-sifatnya merupakan dasar dalam kalkulus. Sebelum

membicarakan sistem bilangan real tersebut, terlebih dahulu akan dimulai dengan

membicarakan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu bilangan asli. Bilangan asli

adalah bilangan-bilangan

1, 2, 3, 4, 5, .

Jika negatif dari bilangan asli digabungkan dengan bilangan nol diperoleh bilangan

bulat. Bilangan bulat adalah bilangan-bilangan

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

Bilangan-bilangan bulat tersebut dapat ditulis dalam bentuk desimal dengan dikanan

koma desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh

5 5,0000

13 13,0000

2 2,0000

Tanda “bar” menyatakan angka 0 diulang.

Bilangan-bilangan bulat belum memadai, bila dihadapkan kepada bilangan-bilangan

hasil pengukuran yang memerlukan ketelitian. Demikian pula bilangan-bilangan bulat

tersebut tidak memadai bila dihadapkan kepada bilangan yang merupakan hasil bagi dari

bilangan-bilangan bulat, misalnya bilangan 1 2, 1 3, 13 5, 18 2, dan 15 3.

Bilangan-bilangan 18 2 dan 15 3dikelompokkan kedalam bilangan-bilangan yang

merupakan hasil bagi dari bilangan –bilangan bulat yang secara normal dengan bilangan-

bilangan 9 dan 5 . Tetapi 7 0 dan 9 0 tidak dikelompokkan kedalam bilangan- bilangan

yang merupakan hasil bagi dari bilangan-bilangan bulat, karena tidak dapat diartikan arti

lambang-lambang tersebut. Bilangan-bilangan yang merupakan hasil bagi dari dua bilangan

bulat kecuali pembagian oleh nol disebut bilangan rasional.

Secara umum, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p

q

dengan p dan q bilangan bulat, 0q . Bentuk desimal bilangan-bilangan rasional selalu

berulang, sebagai contoh

1 20,250 ; 0,6

4 3

23 281,53 ; 2,54

15 11

Selanjutnya, bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai p

qdengan p, q

bilangan bulat dan 0q disebut bilangan tak rasional. Bentuk desimal dari bilangan-

bilangan tak rasional adalah tak berulang. Sebaliknya suatu desimal tak berulang menyatakan

suatu bilangna tak rasioanal, misalnya 2 1,414213562

CONTOH 1: Tunjukkan bahwa 2 adalah bilangan tak rasional.

Bukti:

Andaikan 2 adalah bilangan rasional, maka 2 dapat ditulis sebagai 2a

b

denagn a, b bilangan bulat, 0b , dan pembagi sekutu terbesar dari a dan b adalah 1. Dari

sini diperoleh 2 22b a . Karena 2a kelipatan dua, maka a juga merupakan kelipatan 2.

Namakan 2a k untuk suatu bilangan bulat k, sehingga diperoleh

22 2

2 2

2 2 4

2

b k k

b k

Dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa b kelipatan 2. Hal ini berarti bahwa

a dan b mempunyai pembagi sekutu terbesar berkelipatan 2 yang kontradiksi. Dengan

pengambilan a dan b di atas. Jadi, pengandaian 2 bilangan rasional adalah salah, dan

haruslah 2 adalah bilangan tak rasional.

Sekumpulan bilangan (bilangan rasional dan bilangan tak rasional) bersama-sama

dengan bilangan negatifnya dinamakan bilangan real. Bilangan real dapat digambarkan oleh

himpunan semua titik yang terletak pada suatu garis. Pertama dipilih sebuah titik O. titik ini

ditandai dengan 1 (satu). Situasi tersebut dapat dilihat pada garis bilangan berikut ini.

24 3 1 0 1 2 3 4

-s r

s satuan r satuan

Gambar 1.1.1

Cara ini digunakan untuk memberi skala pada garis bilangan dan juga untuk

mempertimbangkan letak setiap bilangan real. Sebagai contoh, setiap bilangan real positif r

terletak r satuan di sebelah kanan O, dan setiap bilangan real negatif -s dengan 0s terletak

s satuan di kiri O.

Misalkan x dan y dua bilangan real yang berlainan, kemudian dibentuk bilangan real

2z x y yang merupakan bilangan pertengahan di antara x dan y. situasi ini

diperlihatkan pada gambar dibawah ini.

/ 2z x yx y

Gambar 1.1.2

Dengan cara yang sama, diperoleh suatu bilangan s diantara x dan z, dan bilangan lain

t di antara z dan y. Proses ini dapat diulangi sampai tak berhingga kali, sehingga diantara dua

bilangan real sebarang (tdak perduli betapapun dekatnya) terdapat tak berhingga banyaknay

bilangan real lain. Akibatnya bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat suatu bilangan

rasioanl, dan diantara setiap dua bilangan tak rasional terdapat suatu bilangan tak rasioanl.

Dengan kata lain, bahwa bilangan rasional dan tak rasional keduanya rapat sepanjang garis

bilangan real. Hal ini berarti bahwa setiap bilangan mempunyai tetangga bilangan rasional

dan bilangan tak rasioanl yang cukup dekat dengannya. Kedua jenis bilangan tersebut saling

berkaitan satu sama lain dan bergerombol bersama-sama. Sebagai ilustrasi bahwa bilangan

tak rasioanl 2 dapat dihampiri oleh suatu bilangan rasioanl sedekat mungkin dengan 2 ,

misalnya 1; 1,4; 1,41; 1,41121; 1,414213; … adalah bilangan rasional yang berada dekat

dengan 2 .

Perlu diperhatikan bahwa terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali impunan-

himpunan bilangan, misalnya:

bilangan realx xR

bilangan asli 1,2,3,4,x xN

bilangan bulat , 2, 1,0,1,2,3,4,x xZ

bilangan rasionalx xQ

Operasi penjumlahan dan perkalian pada R memenuhi sifat lapangan atau sifat

medan bilangan real. Adapaun sifat lapangan bilangan real adalah sebagi berikut:

Untuk setiap , ,x y z R, berlaku

1. Sifat komutatif

x y y x

x y y x

2. Sifat asosiatif

x y z x y z

x yz xy z

3. Sifat distributif kali terhadap tambah

x y z xy xz

4. Unsur kesatuan

Terdapat unsur 0 (unsur kesatuan tambah atau unsur nol) dan 1 (unsur kesatuan kali

atau unsur satuan) yang memenuhi

0 0

1 1

x x x

x x x

5. Unsur balikan (invers)

i. Untuk setiap x R, terdapat x R sehingga 0x x (-x lawan dari x)

ii. Untuk setiap x R, 0x terdapat 1x R sehingga 1 1x x ( 1x kebalikan

dari x)

Berdasarkan sifat lapangan pada bilangan real dapat didefinisikan operasi biner

lainnya, yaitu operasi pengurangan (-) dan pembagian ( ).

Definisi 1.1.1 (Pengurangan dan Pembagian Bilangan Real):

Misalkan ,x y R.

(a). Pengurangan dari bilangan real x dengan y ditulis x- y didefinisikan dengan

x y x y

(b). Pembagian dari bilangan real x oleh y 0y ditulis :x y didefinisikan

dengan 1:

xx y x y

y

Perlu diingat bahwa operasi pengurangan saling invers dengan operasi penjumlahan,

dan operasi pembagian saling invers dengan operasi perkalian. Selain itu, dari sifat lapangan

pada R dapat diturunkan rumus-rumus aljabar elementer yang disajikan pada teorema

berikut.

Teorema 1.1.2 (Sifat-sifat Aljabar Elementer Bilangan Real):

Misalkan a, b, c adalah bilangan real

(a). Jika a b , maka a c b c dan ac bc

(b). Jika a c b c , maka a b

(c). Jika ac bc dan 0c , maka a b

(d). a a

(e). 1

1 , 0a a a

(f). a b c ab ac

(g). 0 0 0a a

(h). a b a b ab , khususnya 1 a a

(i). a b ab

(j). Jika 0ab , maka 0a atau 0b

(k). Jika a c

b d, maka , 0, 0ad bc b d

(l). , 0, 0a c ad bc

b db d bd

1.1.2 Sifat Urutan pada Bilangan Real

Sifat urutan pada bilangan real menurunkan suatu konsep yang membandingkan di

antara bilangan real, sehingga diperoleh suatu bilangan real lebih dari atau kurang dari

bilangan real lainnya. Pada bilangan real R, jika b terletak di sebelah kanan dari a pada garis

bilangan, dikatakan b “lebih dari” a dan ditulis b > a. Sedangkan sebaliknya dikatakan a

“kurang dari” b dan ditulis a < b.

Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi bilangan real positif dan bilangan real

negatif. Dari fakta tersebut dapat diperkenalkan relasi urutan “<” yang disajikan pada

definisi-definisi berikut.

Definisi 1.1.3:

Diberikan ,a b R .

(1) a b berarti b a positif atau 0b a

(2) a b berarti a batau a b

(3) b a berarti a b atau b a positif

Berikut ini diperkenalkan aksioma urutan yang sering disebut dengan sifat trikotomi.

Adapun aksioma urutan tersebut disajikan seperti dibawah ini.

Aksioma 1.1.4 (Aksioma urutan):

(1) Jika a R , maka salah satu dari pernyataanpernyataan berikut berlaku: 0a

, a positif, atau -a negatif.

(2) Jumlah dua bilangan real positif adalah bilangan positif

(3) Perkalian dua bilanagn real positif adalah bilangan positif

Selanjutnya, akan dibicarakan sifat-sifat urutan yang disajikan pada teorema berikut.

Teorema 1.1.5 (Sifat-sifat Urutan):

Diberikan , , ,x y z c R .

(1) Jika x y dan y z , maka x z (Sifat Transitif)

(2) Jika x y , maka x c y c (Sifat Penambahan)

(3) Jika x y dan 0c , maka cx cy (Sifat Perkalian)

(4) Jika x y dan 0c , maka cx cy (Sifat Perkalian)

Teorema ini akan dibuktikan hanya bagian (1) dan (2), sedangkan bagian yang

lainnya dikerjakan para pembaca sebagai latihan.

Bukti:

(1) x y berarti 0y x (definisi),

y z berarti 0z y (definisi).

Dari sini diperoleh

0y x z y (jumlah dua bilangan positif)

0

0

0 komutatif

definisi

y x z y

x z

z x

x z

(2) Karena x y , maka berarti 0y x (definisi),

Dari sini diperoleh

0

0

0

definisi

y x c c

y c x c

y c x c

x c y c

Latihan 1.1

Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 9, buktikan kebenaran dari setiap pernyataan yang

diberikan.

1. 3 adalah bilangan tak rasional.

2. Jumlah dua bilangan rasional adalah rasional

3. 0 a b jika dan hanya jika 2 2a b

4. 0 a b jika dan hanya jika 1 1

a b

5. Jika a b , maka 2

a ba b

6. Hasilkali sebuah bilangan rasional yang tak nol dengan sebuah bilangan tak rasional adalah

takrasioanal

7. Jika bilangan asli m bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna, maka m tak rasional

8. 6 3 adalah bilangan tak rasional.

9. Hasil kali sebuah bilangan rasional (selain nol) dengan sebuah bilangan tak rasional adalah

tak rasional. Petunjuk: coba buktikkan melalui kontradiksi.

Untuk soal nomor 10 sampai dengan 14, selidiki apakah setiap pernyataan yang diberikan benar?

Jika benar, buktikan kebenaran pernyataan tersebut. Tetapi jika pernyataan tersebut salah,

berikan contoh penyangkal yang menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah.

10. a b , maka 4 4a b

11. a b , maka a b

12. a b , maka 2a ab

13. a b , maka 3 2a a b

14. Jumlah dua bilangan tak rasional adalah tak rasional

Untuk soal nomor 15 sampai nomor 18, ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi suatu

hasil bagi dua bilangan bulat.

15. 2,56565656

16. 0,217171717

17. 0,399999

18. 3,92929292

19. Cari bilangan tak rasional antara 3,14159 dan 3,141592

20. Apakah bilangan 22

7 positif, negatif atau nol?

21. Apakah bilangan 0,1234567891011121314 rasoanl atau tak rasional? Jelaskan yang

mendasri jawaban Anda

22. Cari dua bilangan tak rasional yang jumlahnya rasional

23. Suatu bilangan b disebut batas atas dari suatu himpunan bilangan S, bila x b untuk setiap

x S . Sebagai contoh 5; 6,5; dan 13 adalah batas atas dari himpunan 1,2,3,4,5 . Angka

5 merupakan batas atas terkecil dari S. berdasarkan pengertian di atas, tentukan batas atas

terkecil dari setiap himpunan berikut:

a. 10, 8, 6, 4, 2S

b. 2, 2,1, 2,11, 2,111,S

c. 2,4,2,44,2,444,2,4444S

d. 1 1 2,1 1 3,1 1 4,1 1 5,1 1 6S

[ ]

( )

( ]

[ )

e. 1

: 1 , bilangan bulat positifn

S x x nn

f. 2: 2, adalah bilangan rasionalS x x x

24. Aksioma kelengkapan pada bilangan real: setiap himpunan bilangan real yang memiliki

batas atas, mempunyai sebuah batas atas terkecil berupa bilangan real.

a. Tunjukkan bahwa pernyataan di atas adalah salah bila kata real diganti dengan

rasionnal

b. Apakah pernyataan tersebut benar atau salah, bila kata real

1.2 Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah hubungan matematika yang mengandung tanda salah satu dari

, , , dan suatu variabel. Semua himpunan bilangan real yang memenuhi

pertidaksamaan dinamakan himpunan penyelesaian. Penyelesaian pertidaksamaan dapat

diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat urutan yang telah dibicarakan pada pasal sebelumnya.

Hmpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan

atau dala notasi interval. Pertidaksamaan-pertidaksamaan yang akan dibahas adala

pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, dan pertidaksamaan rasional.

Sebelum membicarakan pertidaksamaan , terlebih dahulu akan dibahas mengenai

pengertian interval yang sangat erat kaitannya dengan penulisan himpunan penyelesaian suatu

pertidaksamaan.

Suatu interval adalah himpunana bagian tak kosong dari R yang memenuhi ketaksamaan

yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.2.1 (Interval Terbatas):

,a b x a x b R

,a b x a x b R

,a b x a x b R

,a b x a x b R

a

a

b

b

Definisi 1.2.2 (Interval Tak Terbatas):

,a x x a R

,a x x a R

,b x x b R

,b x x b R

, x x R

Perlu diingat bahwa lambang berarti “membesar tanpa batas” dan lambang

berarti ”mengecil tanpa batas”

CONTOH 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

a. 2 5x

b. 3

92

x

Penyelesaian:

a. Perhatikan bahwa

2 5 2 2 5 2

3

x x

x

Himpunan penyelesaiannya adalah 3 ,3x x R

b. Perhatikan bahwa

3 2 3 29 9

2 3 2 3

6

x x

x

Himpunan penyelesaiannya adalah 6 , 6x x R

CONTOH 2: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 2 4x x

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

2

2

2 4

6 0

2 3 0 1

x x

x x

x x

Nilai batas pertidaksamaan ini adalah 2x dan 3x , yang membuat ruas kiri (1)

bernilai nol. Nilai batas pertidaksamaan tersebut membagi garis atas tiga interval. Diagram

berikut cara untuk menentukan tanda pertidaksamaan pada selang , 2 , 2,3 , dan 3,+

.

Karena penentuan tanda pertidaksamaan pada diagram berlaku untuk sebarang nilai x

pada setiap interval bagiannya, maka menentukan tandanya cukup dengan mengambil salah satu

anggota dari interval bagiannya, yaitu

Ambil 4x , kemudian subtitusikan ke ruas kiri (1) dan diperoleh 4 2 4 3 6 0 .

Hal ini dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan pada interval 3, positif (mengapa?).

gambarkan tanda positif pada interval tersebut.

Kerjakan hal serupa untuk selang 2,3 dan , 2 dengan memeriksa tanda ruas kiri

(1) untuk salah satu anggotanya.

Selanjutnya cara menetukan penyelesaian pertidaksamaan 2 2 4x x dilakukan

dengan memperhatikan ambar garis bilangannya, carilah interval bagian yang bertanda sama

dengan pertidaksamaan (1) yaitu positif atau nol. Dari sini diperoleh hasil , 2 3,

yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Proses penyelesaian pertidaksamaan pada ilustrasi si atas ditulis secara singkat sebagai

berikut:

2

2

2 4

6 0

2 3 0

x x

x x

x x

Himpunan penyelesaian adalah , 2 3,

CONTOH 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 23 1 2 0x x x

Penyelesaian:

Nilai batas pertidaksamaan adalah 0, 1 dan 2x x x . Gambarkan semua nilai pada

garis bilangan dan tentukan tandanya, diperoleh

Himpunan penyelesaiannya adalah , 1 1,0 2, .

Catatan: Himpunan penyelesaian ini seringkali ditulis ,0 2, 1 .

Aturan Umum Menentukan Tanda Pertidaksamaan

Untuk pertidaksamaan yang terdiri dari berhingga faktor linear di ruas kiri dengan ruas

kanannya nol, tandanya dapat ditentukan dengan cara berikut:

Tetapkan tanda dari suatu interval bagiannya .

Bila melintasi nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat bilangan ganjil, maka

tanda interval bagian berikutnya berubah.

Bila melintasi nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat bilangan genap, maka

tanda interval bagian berikutnya tetap.

CONTOH 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2

1xx

.

Penyelesaian:

Pada kasus ini, 0x (mengapa ?). disini tidak boleh mengalikan kedua ruas pertidaksamaan

dengan faktor x (mengapa ?).

Perhatikan bahwa 2

1xx

2

21 0

20

2 10

xx

x x

x

x x

x

Himpunan penyelesaian adalah , 2 0,1

Catatan: Lambang “ ” menyatakan tak terefinisi.

CONTOH 5

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1

2 3

x x

x x .

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa 1

2 3

x x

x x

2 2

2

10

2 3

1 3 20

2 3

4 3 20

2 3

2 2 30

2 3

x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

Karena 22 2 3x x definit positif (bernilai positif untuk setiap x), maka pertidaksamaan

terakhir setara (ekuivalen) dengan

10

2 3x x

Dengan penyelesaian pertidaksamaan ini diperoleh tanda-tanda pada garis bilangan real

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah interval 3,2

Latihan 1.2:

Untuk soal nomor 1 sampai dengan 6, carilah semua nilai x yang memenuhi sistem

pertidaksamaan yang diberikan.

1. 3 7 1x dan 2 1 3x

2. 3 7 1x dan 2 1 4x

3. 3 7 1x dan 2 1 4x

4. 3 7 1x dan 2 1 5x

5. 3 7 1x dan 2 1 8x

6. 3 7 1x dan 2 1 8x

Untuk soal nomor 7 sampai dengan 14, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap

pertidaksamaan yang diberikan.

7. 4 2 0x x

8. 22 6x x

9. 2

2 1

3

x x

x x

10. 2 21 2 7 1x x x x

11. 2

2 21 7 1 10 0x x

12. 2 3 991 0x x x x

13. 2

31 2

x

x

14. 2 4

2xx x

1.3 Nilai Mutlak

(1)

Y

X1

1

12

2

y x

1cotf x x

cotf x x

(2) Grafik fungsi secf x x dan inversnya

secf x x

secf x x

1secf x x

1secf x x

Y

X1

1

1

1

2

2

2

y x

CONTOH 4: Hitunglah nilai fungsi invers berikut:

a. 1 1cos 3

2

b. 1 3sin

2

c. 1tan 3

d. 1sec 2

Penyelesaian:

a. Misalkan 1 1cos 3

2x , maka

1cos 3

2x . Diperoleh

6x .

Jadi 1 1cos 3

2 6.

b. Misalkan 1 3sin

2x , maka

3sin

2x . Akibatnya sin 1x atau

2x .

Jadi 1 3sin sin

2 2.

c. Misalkan 1tan 3 x , maka tan 3x . Dalam hal ini diperoleh 3

x . Jadi

1tan 33

.

d. Untuk menyelesaikan soal ini, akan lebih mudah dengan menggunakan hubungan

1 1 1sec cosx

x (mengapa?). jadi, diperoleh 1 1 1

sec 2 cos2 3

.

CONTOH 5: Tunjukkan bahwa 2

1

2

1cos 2 tan

1

xx

x

Penyelesaian:

Misalkan 1tan x , maka . dengan demikian diperoleh

1cos 2 tan x cos2

2

2

2

2

2

2

2cos 1

21

sec

21

1 tan

21

1

1

1

x

x

x

CONTOH 6 : Diketahui 1 2 3cos

5

xf x

(a). Diketahui fD dan fR

(b). Tentukan invers dari fungsi f

(c). Gambar grafik fungsi f dan 1f

Penyelesaian:

(a). Daerah asal fungsi f adalah fD x f xR R .

Agar f x R , syaratnya adalah 2 3

1 15

x, sehingga diperoleh

2 31 1

5

5 2 3 5

2 2 8

1 4

x

x

x

x

Jadi, daerah asal fungsi f adalah 1,4fD .

Daerah nilai fungsi f adalah f fR f x x D .

Jika 1 4x maka 2 3

1 15

x (mengapa?). Akibatnya, diperoleh

1 1 1

1

2 3cos 1 cos cos 1

5

2 30 cos

5

0

x

x

f x

Jadi daeah nilai fungsi f adalah 0,fR .

(b). Untuk mencari invers fungsi f , nyatakan x dan y seperti berikut.

Tulis 1 2 3cos

5

xy , maka diperoleh

2 3

5

xcos y

2 3x 5cos y

x 5 3

cos2 2

y

1f x 5 3

cos2 2

y

Jadi, invers fungsi f adalah

1 5 1cos 1 , 0

2 2f x x x dengan 1 1,4f fR D

(c). Grafik fungsi 1f diperoleh dengan mencerminkan fungsi f terhadap garis y x .

Grafik f dan 1f disajikan dalam gambar berikut ini.

4

3 2

3 2 4

y x

X

Y

1 0

1

Latihan 1.5:

1. Hitunglah nilai fungsi invers trigonometri tanpa menggunakan kalkulator

a. 1 3sin

2

b. 1tan 3

c. 2

arc cos2

d. 3

arc tan3

2. Tentukan rumus untuk fungsi invers 1f , kemudian batasilah daerah asal f agar

1f

ada.

a. 3cos2f x x

b. 1

tan2

f x x

c. 2sin3f x x

d. 1

sinf xx

3. Buktikan bahwa

a. 1 11 53tan tan

4 4 99

b. 1 11 14 tan tan

4 5 239

4. Tentukan daerah asal fungsi f , daerah nilai fungsi f , dan fungsi invers 1f . Kemudian

gambar grafik fungsi f dan 1f dalam satu sistem koordinat.

a. 12sin 1f x x

b. 1 2 3cos

5

xf x

c. 12tan 3f x x