Le equazioni di Maxwell forniscono una spiegazione completa dei fenomeni elettromagnetici e ottici:

La luce è un’onda elettromagnetica e tutte le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto alla velocità della

luce

Il concetto centrale della spiegazione è quello di campo

Maxwell pensava ancora che le onde elettromagnetiche si propagassero in un mezzo

meccanico, l’etere

Lentamente si affermò la visione che l’elettromagnetismo fosse completamente descritto dalle equazioni di Maxwell

senza la necessità di introdurre modelli meccanici per spiegare la propagazione della onde elettromagnetiche

Da Maxwell a Einstein

Contraddizioni apparenti tra meccanica ed elettromagnetismo

Nella meccanica galileiana e newtoniana non esistono velocità assolute, ma solamente velocità relative a un particolare sistema di riferimento

PROBLEMA: Relativamente a quale sistema di riferimento la velocità della luce ha il valore costante di 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖 𝒎

𝒔 ?

Sappiamo che , in base alle trasformazioni di Galileo, abbiamo

Legge classica di composizione delle velocità

Nel sistema di riferimento solidale con la bicicletta, la pallina lanciata in avanti dalla ragazza ha velocità u′ = 5 m/s. Rispetto al suolo, la bicicletta viaggia con velocità v = 7 m/s e quindi in questo sistema di riferimento la velocità della pallina è u = u′ + v = 5 m/s + 7 m/s = 12 m/s: le velocità della bicicletta e della pallina si sommano relativamente a un osservatore in quiete.

La legge classica di composizione delle velocità è basata a sua volta sulle trasformazioni di Galileo, definite dal sistema di equazioni:

Trasformazioni di Galileo

Permettono di calcolare le coordinate spaziali e temporali di un corpo in un sistema di riferimento 𝑆’ conoscendo le coordinate del corpo in un altro sistema 𝑆 in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto al primo

Altri interrogativi – l’esistenza del campo magnetico dipende dal sistema di

riferimento inerziale scelto? – il campo elettrico e quello magnetico sono invarianti?

Per conciliare le contraddizioni tra elettromagnetismo e principio di relatività si posero due alternative:

1) Assumere che la velocità della luce non sia una costante • È necessario trovare il sistema di riferimento relativamente al

quale la velocità della luce è effettivamente uguale a 𝒄 e quindi rinunciare al principio di relatività che afferma che le leggi della fisica ( e quindi anche la costanti in esse presenti come la velocità della luce 𝑐 =

1

𝜀0𝜇0) devono avere la stessa

forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali 2) Rinunciare alla legge di composizione delle velocità e alle trasformazioni di Galileo

• Determinare nuove trasformazioni

L’esperimento di Michelson e Morley (tra il 1881 e il 1887) mostrò che la velocità della luce risultava indipendente dal moto della Terra e sempre uguale a c, in contrasto con la prima alternativa

La teoria della relatività ristretta di Einstein si basa su due principi

Postulati della relatività ristretta

1. È impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro; in altri termini, le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali

2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente dallo stato di moto del sistema e della sorgente luminosa

Esistono grandezze invarianti il cui valore non dipende dal sistema inerziale di riferimento. La legge fondamentale della dinamica, e in generale le leggi della meccanica, sono valide in tutti i sistemi di riferimento inerziali e hanno in tutti la stessa forma.

I postulati della relatività ristretta e le trasformazioni di Lorentz

La seconda delle alternative porta alla teoria della relatività ristretta di Einstein

Le trasformazioni di Lorentz

Affinché due osservatori inerziali misurano la stessa velocità della luce indipendentemente dal moto relativo dei loro sistemi di riferimento, è necessario modificare le trasformazioni di Galileo e determinare nuove trasformazioni. Un evento è definito dalla quaterna di valori (x; y; z; t) che rappresentano, in un determinato sistema di riferimento

le tre coordinate spaziali del punto in cui l’evento si è verificato l’istante t in cui è avvenuto

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S′ supponendo che

S′ si muova in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto a S il moto avvenga lungo l’asse x del sistema S all’istante t = 0 i due sistemi di riferimento coincidano (x, y, t) siano le coordinate di un evento nel sistema S (x ′, y′, t ′) siano le coordinate dell’evento nel sistema S′

𝑆 ed 𝑆′ sono due sistemi di riferimento inerziali le cui origini coincidono all’istante t = t′ = 0; successivamente S′ trasla con velocità costante v lungo la direzione delle ascisse.

OSS: Il sistema 𝑆’ è in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto a 𝑆 mentre 𝑆 è in moto rettilineo

uniforme con velocità di – 𝑣 rispetto ad 𝑆’

Le trasformazioni che mantengono costante il valore della velocità della luce in entrambi i sistemi di riferimento sono note come trasformazioni di Lorentz

per v << c le equazioni sono riconducibili alle trasformazioni di Galileo

la velocità della luce c è una velocità limite che non è possibile raggiungere

La legge relativistica di composizione delle velocità

Dalle trasformazioni di Lorentz possiamo ricavare la nuova legge relativistica di composizione delle velocità Per un punto materiale P in moto rettilineo uniforme con velocità u′ relativamente al sistema S′ e con velocità u relativamente al sistema S abbiamo Se i valori di v e u sono molto minori di c la legge relativistica si riduce all’equazione classica OSS: Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo non è più un

invariante come lo era in quelle di Galileo.

Le trasformazioni di Lorentz e la legge di composizione delle velocità costituiscono la struttura matematica della

RELATIVITA’ RISTRETTA

La nuova definizione operativa di simultaneità

Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo non è più un invariante

La simultaneità di due eventi è un problema centrale nella relatività ristretta

Eventi simultanei: Due eventi nei punti A e B si dicono simultanei se un osservatore, posto nel punto medio M del segmento AB, riceve i segnali luminosi provenienti dai due punti A e B nello stesso istante

Critica al concetto di simultaneità

L’osservatore posto nel punto medio M del segmento AB può affermare che i due fulmini sono caduti simultaneamente nei punti A e B se con un orologio verifica che tA = tB.

La simultaneità di eventi

DOMANDA:

Due eventi simultanei per un osservatore 0, sono simultanei per un altro osservatore 0’, in moto rettilineo uniforme rispetto a 0?

RISPOSTA:

No, la simultaneità è relativa a un preciso sistema di riferimento e non ha senso parlare di simultaneità assoluta di due eventi

– non esiste il tempo assoluto newtoniano, ma tanti tempi relativi ai particolari sistemi di riferimento

a) L’osservatore a terra sulla banchina rappresenta il riferimento O, quello sul treno il riferimento O′.

O e O′ sono equidistanti da A e B, punti in cui cadono i fulmini.

b) Poiché il treno si muove verso destra, l’osservatore O′ riceve prima la luce proveniente da B, poi quella da A.

I DUE EVENTI, SIMULTANEI RISPETTO ALL’OSSERVATORE O, NON LO SONO RISPETTO ALL’OSSERVATORE O’ IN MOTO RETTILINEO UNIFORME RISPETTO A O

La sincronizzazione degli orologi

La nuova definizione di simultaneità ci permette di sincronizzare orologi posti in punti diversi di uno stesso sistema di riferimento.

Consideriamo due orologi identici posti in punti diversi (A e B) di uno stesso sistema di riferimento

– gli orologi sono sincronizzati se un osservatore O, in quiete rispetto a essi e posto nel punto medio M del segmento AB, osserva i segnali emessi dai due orologi giungere contemporaneamente

Un esperimento ideale

La dilatazione dei tempi

a) L’osservatore O nel sistema di riferimento S è in quiete. In rosso è indicato il raggio partito da O e in verde quello che vi ritorna; b) lo stesso fenomeno rispetto al sistema di riferimento S′. Nel sistema S′ tutto l’apparato sperimentale è in moto verso destra con velocità v.

Analizziamo se la durata di un fenomeno sia costante o dipenda dal sistema di riferimento come ci aspettiamo dalla relatività ristretta.

Un osservatore 0 posto nel sistema S misura l’intervallo di tempo ∆𝑡 che la luce impiega a percorrere, andata e ritorno, una certa distanza L

Il tempo Dt′ misurato da un osservatore nel sistema S′ è uguale a

Dilatazione dei tempi

∆t’ =g ∆ t

Poiché g > 1, allora ∆t′ > ∆t

La durata di un fenomeno non è più un invariante ma dipende dal sistema di riferimento

Definiamo tempo proprio t l’intervallo di tempo misurato da un osservatore per il quale gli eventi avvengono nello stesso punto dello spazio

Tempo proprio = Durata minima del fenomeno

Il tempo proprio t rappresenta la durata minima del fenomeno

– in tutti gli altri sistemi di riferimento la durata del fenomeno è maggiore

Il calcolo della dilatazione dei tempi

Attraverso le trasformazioni di Lorentz è possibile calcolare la dilatazione dei tempi

La contrazione delle lunghezze

La contrazione delle lunghezze nella direzione del moto

Nella meccanica classica la lunghezza di un segmento è invariante

Nell’ambito della relatività ristretta, un corpo che ha lunghezza L in un sistema di riferimento S solidale con il segmento, ha lunghezza L′ nel sistema S′ in moto rispetto a S con velocità in modulo uguale a v e direzione parallela al segmento

La relazione tra L’ ed L è

Poiché g > 1, allora L′ < L

Contrazione delle lunghezze

La contrazione delle lunghezze

Nei due sistemi di riferimento, gli assi x e x′ coincidono.

La lunghezza di un corpo non è più un invariante ma dipende dal sistema di riferimento

La lunghezza della sbarra misurata nel sistema di riferimento in cui la sbarra è in quiete è detta lunghezza propria. In conclusione:

La contrazione delle lunghezze

Né la durata di un fenomeno né la lunghezza di un corpo sono invarianti relativistici

Invarianza delle dimensioni trasversali

Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava che

Le dimensioni di un corpo perpendicolari alla direzione del moto relativo di due sistemi inerziali sono invarianti nei due sistemi

Se così non fosse si creerebbero situazioni paradossali

Se le dimensioni di un corpo si contraessero anche in direzione perpendicolare rispetto al suo moto, il corpo A potrebbe passare o meno dall’anello B, a seconda del sistema di riferimento: sarebbe un paradosso.

L’invariante spazio-temporale e il principio di causalità

Lunghezza propria, tempo proprio e velocità della luce sono gli invarianti relativistici che sostituiscono lo spazio e il tempo assoluto newtoniano

Esiste un altro invariante legato al problema del rapporto di causalità tra due eventi

Eventi causalmente connessi: Dati due eventi caratterizzati da due coppie di valori x e t misurati nel sistema S, A(x1; t1) e B(x2; t2), essi si dicono causalmente connessi se la distanza Dx = |x2 - x1|che li separa è minore o uguale allo spazio percorso dalla luce nell’intervallo di tempo Dt = |t2 - t1|

Dx ≤ cDt

Se viceversa Dx > cDt, allora i due eventi A e B sono causalmente non connessi

Passato, presente e futuro nella relatività

Rappresentazione grafica degli eventi causalmente connessi

L’invariante spazio-temporale e il principio di causalità

Per semplicità ci limitiamo a rappresentare uno spazio a due sole dimensioni, una spaziale, sull’asse x, e una temporale, sull’asse y. Sempre per rendere il diagramma più semplice, poniamo la velocità della luce c = 1.

L’osservatore O è collocato nell’origine egli assi, che rappresenta l’evento (0,0) ovvero l’evento (qui, ora)

I segnali possibili devono viaggiare a velocità inferiori a quelle della luce e quindi devono corrispondere a rette che si trovano all’interno delle due regioni ‘passato’ e ‘futuro’.

Poiché non sono possibili segnali più veloci della luce, le regioni laterali denominate ‘presente’, non sono raggiungibili con segnali e quindi corrispondono a eventi non causalmente connessi con 0.

DOMANDA: Che cosa pensa un altro osservatore inerziale O’ della connessione causale stabilita dall’osservatore 0?

EVENTI CAUSALMENTE CONNESSI CON L’OSSERVATORE 0

O

RISPOSTA: Tutti gli osservatori inerziali concordano sul tipo di relazione causale che lega due eventi

L’invariante spazio-temporale

Definiamo intervallo spazio-temporale l’espressione

(Ds)2 = (Dx) 2 - c2 (Dt)2

Si può dimostrare che questa espressione è invariante

Generalizzando :

Eventi causalmente connessi e intervallo spazio-temporale:

Due eventi sono causalmente connessi se l’intervallo spazio-temporale che li separa è minore o uguale a 0

(Ds)2 = (Dx) 2 - c2 (Dt)2 ≤ 0

Se in un sistema di riferimento inerziale S due eventi sono causalmente connessi, lo sono anche in qualunque altro sistema inerziale S’ perché l’intervallo spazio-temporale Ds2 è invariante

L’effetto Doppler relativistico Ricordiamo in cosa consiste l’effetto Doppler per le onde sonore

Effetto Doppler per sorgente in moto e osservatore fermo

Lunghezza d’onda variabile per i punti prima della sorgente e dopo la sorgente lungo la direzione parallela al moto

LA FREQUENZA AUMENTA NEL VERSO DEL MOTO

EFFETTO DOPPLER PER SORGENTE FERMA E OSSERVATORE IN MOTO

L’effetto Doppler riguarda anche le onde elettromagnetiche ma con alcune differenze essenziali

– non esiste un mezzo di propagazione per le onde elettromagnetiche (l’etere non esiste)

– la luce e le onde elettromagnetiche si propagano alla stessa velocità c in tutti i sistemi di riferimento inerziali

– il fenomeno dipende solamente dalla velocità relativa della sorgente e del ricevitore e non vi è alcuna differenza tra il caso in cui a muoversi sia la sorgente e il caso in cui a muoversi sia il ricevitore

EFFETTO DOPPLER PER LE ONDE ELETTROMAGNETICHE

Consideriamo una sorgente di onde elettromagnetiche che emette una radiazione di frequenza f0

Se la sorgente e il ricevitore si allontanano di moto rettilineo uniforme con velocità relativa v

Se invece la sorgente e il ricevitore si avvicinano

f è la frequenza osservata

f0 è la frequenza emessa

Una conseguenza molto importante dell’effetto Doppler della luce è il red shift

– è lo spostamento verso il rosso (diminuzione della frequenza) delle righe spettrali della luce proveniente dalle stelle e dalle galassie più lontane da noi

Questa sistematica diminuzione della frequenza

– è stata interpretata come l’effetto dell’allontanamento delle galassie più lontane

– è alla base del modello cosmologico del Big Bang secondo cui l’universo è nato da una grande esplosione iniziale e da allora si espande indefinitamente

L’effetto Doppler relativistico

Gli spettri di emissione di una determinata sorgente si modificano in funzione del moto rispetto all’osservatore. In riferimento al caso di movimento nullo (a), si ha uno spostamento verso il rosso se la sorgente e l’osservatore si allontanano (b) e uno spostamento verso il blu se si avvicinano (c).

La dinamica relativistica

Nell’ambito della relatività ristretta

– sono ancora valide la legge di conservazione della quantità di moto classica e la legge fondamentale della dinamica classica?

– sono invarianti per trasformazioni di Lorentz?

La risposta a entrambe le domande è negativa

– è necessaria una revisione dei concetti di massa, forza, quantità di moto ed energia

La massa relativistica di un corpo non è un invariante ma è funzione della sua velocità

dove m0 è la massa del corpo a riposo, ovvero la massa misurata in un sistema in cui il corpo è in quiete

Per velocità v << c la formula relativistica coincide con la previsione classica

Quando la velocità di un corpo si avvicina a quella della luce, la sua massa tende a infinito

Andamento approssimativo del rapporto m/m0 in funzione del rapporto v/c , dove m0 è la massa del corpo a riposo, m la massa alla velocità v e c la velocità della luce. La linea rossa orizzontale corrisponde al valore calcolato in base alla meccanica newtoniana per la quale la massa è un invariante.

Mentre la massa a riposo di un corpo è invariante, non lo è più la sua inerzia

– dipende dalla velocità del corpo e quindi dal sistema di riferimento in cui è misurata

Dall’equazione della massa relativistica discende una nuova definizione relativistica della quantità di moto di un corpo

La quantità di moto relativistica si conserva

Ricaviamo inoltre una nuova legge fondamentale della dinamica che sostituisce quella newtoniana

In conclusione

– né la forza né l’accelerazione sono invarianti relativistici

– è necessaria una forza crescente per accelerare un corpo • questa forza tende a infinito quando la velocità del

corpo si avvicina a quella della luce

Nuova legge fondamentale della dinamica relativistica

L’energia relativistica Energia cinetica, energia a riposo, energia totale

L’energia totale di un corpo di massa a riposo m0 e velocità in modulo uguale a v è uguale a

L’energia a riposo del corpo è l’energia di un corpo in un sistema di riferimento in cui è in quiete ed è uguale a:

– tale energia è dovuta esclusivamente alla massa del corpo

Dato un corpo di massa a riposo uguale a m0 e velocità in modulo uguale a v, l’energia cinetica relativistica è uguale alla differenza tra l’energia totale e l’energia a riposo del corpo

Nella nuova visione relativistica l’energia totale

risulta

L’energia relativistica

Il processo di annichilazione elettrone-positrone è una reazione che avviene quando un elettrone incontra un positrone, cioè una particella identica all’elettrone ma con carica positiva: il processo di collisione genera la produzione di due fotoni, emessi in direzioni opposte. Il processo inverso prende nome di produzione di coppia

Legge di conservazione della massa-energia

«La massa è energia e l’energia possiede massa. Le due leggi della conservazione della massa e dell’energia vengono fuse dalla teoria della relatività in una sola: la legge di conservazione della massa-energia»

In un sistema isolato non si conserva in generale né l’energia cinetica né la massa a riposo

– la grandezza che si conserva è l’energia totale

E = mc2

L’energia relativistica

Una centrale nucleare e il fungo atomico prodotto dalla bomba sganciata su Nagasaki, al termine della Seconda guerra mondiale. In entrambi i casi l’energia nucleare proviene direttamente dalla massa delle particelle coinvolte nelle reazioni: la massa dei prodotti finali è minore della massa del materiale fissile che dà origine alla reazione. Il “difetto di massa”, ovvero la differenza tra la massa dei prodotti e la massa del materiale iniziale, si trasforma in energia secondo la relazione E = mc2

L’invariante energia-quantità di moto

Per un corpo di massa a riposo m0 si definisce una nuova quantità invariante

m02c4 = E2 - q2c2 Invariante energia-quantità di moto

Poiché un’onda elettromagnetica trasporta energia, possiamo associare a un’onda di energia E che viaggia alla velocità c anche una quantità di moto q data dalla relazione

quantità di moto della radiazione

É quindi possibile dare un significato all’energia e alla quantità di moto del fotone, una particella con massa a riposo nulla

Si apre la strada all’interpretazione corpuscolare della radiazione elettromagnetica