część i - politechnika gdańska · 2015-06-20 · urządzenie, grupa urządze ... sytuacja...

Komputerowe systemy sterowania 2014/2015 Wielokryterialne problemy decyzyjne I

Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Wielokryterialne problemy decyzyjne

Część I - problemy wielocelowe



Plan:

decyzje a sterowanie

sterowanie a automatyka i wspomaganie decyzji

zagadnienia wielokryterialne wspomagania decyzji – rodzaje

zagadnienia wielocelowe – jak można je rozwiązać



Decyzja:

pojęcie popularne w naszym języku

...... zdecydowałem się – będę studiował automatykę

....... zarząd przyjął plan strategicznego rozwoju firmy

Decyzja:

pojęcie kluczowe w wielu naukach

...... teoria decyzji

....... optymalizacja decyzji

....... decyzje wielokryterialne

........ decyzje w warunkach ryzyka i niepewności



Oblicza decyzji?

* decyzja sędziego na boisku – był faul? rzut wolny? żółta kartka? czerwona kartka?

* decyzja Trybunału Konstytucyjnego – akt prawny zgodny z Konstytucją? częściowo zgodny?

* decyzja zakochanego? – wziąć ślub?

* decyzja szefa firmy – dobry projekt marketingowy? sfinansować w całości? dobry projekt nowego wyrobu? dobry program produkcji?

* decyzja rady miasta – dobry projekt budżetu? o ile zmniejszyć wydatki? co usunąć?



Oblicza decyzji? c.d.

* decyzja dowódcy na polu walki – atakować? wycofać się? bronić się? którędy atakować, aby zaskoczyć wroga?

* decyzja kierowcy w samochodzie – którędy jechać, aby najszybciej dotrzeć do celu?

* decyzja robota domowego? sprzątać? włączyć ogrzewanie?

* decyzja zespołu robotów – jak poruszać się w terenie, aby razem najszybciej dotrzeć do celu?

* decyzja regulatora – ile gazu do pieca, aby osiągnąć pożądaną temperaturę?



Co łączy wymienione sytuacje decyzyjne?

- istnieje jednostka dostrzegająca potrzebę dążenia do określonego celu lub mająca wskazany określony cel do jakiego ma dążyć i będąca na pozycji umożliwiającej jej podjecie decyzji co zrobić, aby ten cel osiągnąć – mówimy ISTNIEJE DECYDENT mający cel i możliwości działania dla jego osiągnięcia

- istnieje możliwość działania w różny sposób – mówimy ISTNIEJĄ OPCJE DECYZYJNE

- działania mogą być oceniane – mówimy ISTNIEJĄ KRYTERIA OCENY



Co różni wymienione sytuacje decyzyjne?

- rozważane działanie może być skierowane na

samego decydenta

obiekty z otoczenia

osoba, ludzie, urządzenie, zespół urządzeń, środowisko naturalne, ….

- Decydentem może być:

pojedyncza osoba – człowiek, grupa osób

urządzenie, grupa urządzeń



Decydent jednostka, która podejmuje decyzję wskazując jedną z opcji do zrealizowania



Podsumowując – sytuacja decyzyjna:

Istnieje jednostka mająca określony cel/cele działania, możliwość wyboru i realizacji sposobu jego osiągnięcia i

możliwości oceny możliwych do podjęcia działań

Sterowanie – jaki jest związek tego pojęcia z pojęciem sytuacji decyzyjnej?

Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś

Decyzja jest wyborem sterowania

Sterowanie – jaka jest jego istota?



Krótka analiza pojęcia „sterowanie”

Sterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/ kogoś

KTOŚ

COŚ

COŚ

KTOŚ

Celowe oddziaływanie

Celowe oddziaływanie

???

???

SSiWD

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://grzesinski.eu/9-automatyka-przemyslowa.html&ei=q7-SVOC3IsHaPN_DgOAG&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNEpU74am9LiP4QXMcCRztp7Ks-BrA&ust=1418989778215539

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.comerc.pl/p/automatyka-przemyslowa/automatyka-przemyslowa&ei=-76SVI6vI8eQPbKGgegL&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNGGXW-1SdBIDA5QCCHFdm95yzuqNg&ust=1418989563155788

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.ars-automatica.pl/&ei=Gr-SVKv-D4b1OOyDgMAE&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNGGXW-1SdBIDA5QCCHFdm95yzuqNg&ust=1418989563155788

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.sprawdzprace.pl/praca/studia/techniczne/automatyka-i-robotyka/&ei=pr6SVKrMAoXJPbKPgdAN&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNGGXW-1SdBIDA5QCCHFdm95yzuqNg&ust=1418989563155788

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://zpb.pl/automatyka-bram.html&ei=Z7-SVJmoH4fGPemMgOgD&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNEpU74am9LiP4QXMcCRztp7Ks-BrA&ust=1418989778215539

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://pressmix.eu/index.php/2013/03/23/mlodzi-ludzie-wyszli-na-ulice-podejmujac-heroiczna-walke-o-odzyskanie-polski/&ei=ycCSVLeZJs7sO--igYgB&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNGhXM7_DQ4r0Z2uGqMgkYc5bd2OJQ&ust=1418990109325203

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.pinger.pl/szukaj/po_tagu/?t=Demografia&ei=FMGSVIyhLInzPKrvgOAP&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNGhXM7_DQ4r0Z2uGqMgkYc5bd2OJQ&ust=1418990109325203

http://www.google.pl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://www.eska.pl/hit/mateusz-mijal-niech-sie-ludzie-smieja/352490&ei=NMGSVMDqDsnJOe3qgPgM&bvm=bv.82001339,d.bGQ&psig=AFQjCNGhXM7_DQ4r0Z2uGqMgkYc5bd2OJQ&ust=1418990109325203



Automatyczne sterowanie (celowe oddziaływanie czegoś na coś) jest dziedziną wiedzy,

która zajmuje się możliwościami (proponowanie struktur sterowania,

proponowanie metod sterowania, komputerowa realizacja struktur i

metod) eliminowania udziału człowieka z procesów sterowania

różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem

Wspomaganie decyzji (celowe oddziaływanie kogoś na coś) jest dziedziną wiedzy,

która zajmuje się możliwościami (proponowanie modeli decyzyjnych

typowych problemów decyzyjnych, proponowanie metod znajdowania

opcji spełniających preferencje decydenta, komputerowa realizacja

systemów wspomagania decyzji) pomagania człowiekowi w

procesach podejmowania różnorodnych decyzji związanych z

oddziaływaniem na obiekty bądź środowisko

Dwie płaszczyzny inżynierii sterowania



Coś co celowo oddziałuje – układ/system sterujący

Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt/system sterowany

Połączenie - układ/system sterujący oraz obiekt/system sterowany tworzy układ/system sterowania

System/obiekt sterowany

System/układ sterujący

DECYDENT



Urządzenia i grupy urządzeń jako decydenci – automatyczne sterowanie, automatyka

Człowiek i grupy ludzi jako decydenci – wspomaganie decyzji



Automatyka (w znaczeniu sterowanie automatyczne) jest dziedziną wiedzy, która zajmuje się możliwościami ograniczania udziału lub eliminowania udziału człowieka w sterowaniu różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem



Wspomaganie decyzji jest dziedziną wiedzy, która zajmuje się możliwościami pomagania człowiekowi w sterowaniu różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem, w sterowaniu w którym jest on istotnie zaangażowany, a pomaganie skupione jest na procesie podejmowania decyzji



Czy zawsze będziemy mówić o wspomaganiu decyzji – charakter decyzji?

Czy powinienem kupić nowy komputer?

Czy powinienem tej jesieni podróżować samolotami?

Jaki jest najbardziej odpowiedni profil produkcji fabryki?

Który rynek powinien być najbardziej dochodowy?

Jaką terapię zastosować?

Jak przeciwdziałać skutkom ataku terrorystycznego?

Jak monitorować środowisko przeciw skażeniom?



Rozróżnienie:

decyzje indywidualne (osobnicze)

decyzje instytucjonalne



Kiedy pojawia się decyzja?

Decyzja pojawia się jako wynik procesu nazywanego procesem decyzyjnym

proces decyzyjny

proces podejmowania decyzji

podejmowanie decyzji

Terminy tożsame:



Podejmowanie decyzji to każdy ciąg operacji o charakterze mentalnym i obliczeniowych tworzących proces przetwarzania, w który włączone są informacja, wiedza, preferencje, a którego celem jest podjęcie decyzji

Czym jest proces podejmowania decyzji, w szcaególności instytucjonalnej?

Po podjęciu decyzji mówimy – rozwiązaliśmy problem decyzyjny



Podejmowanie decyzji to każdy ciąg operacji o charakterze mentalnym i obliczeniowych tworzących proces przetwarzania, w który włączone są informacja, wiedza, preferencje, a którego celem jest podjęcie decyzji

Czym jest proces podejmowania decyzji instytucjonalnej?

Po podjęciu decyzji mówimy – rozwiązaliśmy problem decyzyjny



Czy tylko decydent uczestniczy w procesie decyzyjnym?

- w procesie decyzyjnym występują różni jego uczestnicy; na dwóch zwracamy uwagę – decydent i analityk

- decydent - D (Decision Maker – DM) jest tym uczestnikiem procesu podejmowania decyzji – PPD (Decision Making Prosess – DMP), do którego adresowane jest wspomaganie decyzji (osoba, ciało kolegialne, zbiorowość); krótko, ten, któremu pomagamy

- analityk A jest tym uczestnikiem procesu podejmowania decyzji, który zajmuje się wspomaganiem decyzji; krótko, ten, który pomaga decydentowi



W procesie decyzyjnym można wyróżnić umownie kilka kolejnych faz

1. identyfikacja sytuacji decyzyjnej

2. sformułowanie problemu decyzyjnego

3. zbudowanie modelu decyzyjnego

4. wyznaczenie różnych podzbiorów zbioru opcji (dopuszczalnych, zadowalających, optymalnych, .....)

5. podjęcie/wybór decyzji



Sytuacja decyzyjna określana jest przez zestaw wszystkich czynników, które mają wpływ na decyzję, jakiej dokona decydent

Jak można określić poszczególne z tych faz?

Sformułowanie problemu decyzyjnego powinno definiować:

1. decydenta,

2. opcje decyzyjne,

3. czynniki ograniczające przestrzeń decyzyjną,

4. czynniki kształtujące ocenę opcji decyzyjnych



Dwie pierwsze fazy procesu decyzyjnego (podejmowania decyzji) mają na ogół charakter opisowy. Charakteru takiego nie ma kolejna faza tego procesu – budowanie modelu decyzyjnego

Model decyzyjny to wyrażona najczęściej w języku matematyki reprezentacja rozważanego problemu decyzyjnego. Z pomocą modelu powinno być możliwe określenie elementów zbioru dopuszczalnych opcji decyzyjnych a także wskazanie opcji optymalnych



Wyznaczenie różnych podzbiorów zbioru opcji opiera się na stosowaniu różnorodnych metod

metod optymalizacji jednokryterialnych

metod optymalizacji wielokryterialnych

metod klasyfikacji

metod porządkowania

........



W przypadku decyzji instytucjonalnych pojawiają się:

Systemy wspomagania decyzji - SWD (Decision Support System - DSS) są klasą skomputeryzowanych systemów informacyjnych, które wspomagają działalność podejmowania decyzji

Dwa obszary:

podejmowanie decyzji,

systemy informacyjne

Płaszczyzna spotkania:

technika komputerowa



Wielokryterialne problemy decyzyjne



Problemy podejmowania decyzji wielokryterialnych mogą być ogólnie zakwalifikowane do dwóch kategorii:

problemy decyzji wieloatrybutowych (Multiple Attribute Decision Problem - MADP)

problemy decyzji wielocelowych (Multiple Objective Decision Problem - MODP)



Problemy decyzji wieloatrybutowych

Cechą wyróżniającą problemy decyzji wieloatrybutowych MADP jest to, że istnieje ograniczona (i przeliczalnie mała) liczba ustalonych wcześniej opcji decyzyjnych. Każda opcja posiada określony, związany z nią, poziom osiągnięcia uznanych za istotne przez decydenta atrybutów/cech (które niekoniecznie muszą być kwantyfikowalne) i na których podstawie podejmowana jest decyzja



Zagadnienie wieloatrybutowe – przykład

(Problem wyboru samolotów myśliwskich) Pewne państwo zdecydowało się

zakupić flotę odrzutowych myśliwców w USA. Urzędnicy Pentagonu przedstawili

informację o właściwościach czterech modeli, które mogą być sprzedane do tego

kraju. Zespół analityków Sił Powietrznych zainteresowanego kraju zgodził się, że

należy rozważać sześć charakterystyk (atrybutów). Są to: maksymalna prędkość

(A1), zasięg latania (A2), maksymalny ładunek użyteczny (A3), koszt zakupu (A4),

niezawodność (A5), manewrowalność (A6). Wartości tych atrybutów zostały

przedstawione w tablicy

Myśliwiec Atrybut

A1 A2 A3 A4 A5 A6

M1 2.0 1500 20000 5.5 średnia b. wysoka

M2 2.5 2700 18000 6.5 niska średnia

M3 1.8 2000 21000 4.5 wysoka wysoka

M4 2.2 1800 20000 5.0 średnia średnia

Który z samolotów powinien wybrać zainteresowany kraj, jeżeli chciałby mieć

samolot jak najszybszy, o jak największym zasięgu, jak największej

ładowności, jak najtańszy, jak najbardziej niezawodny i jak najwyższych

zdolnościach manewrowych?



Problemy decyzji wielocelowych

W przypadku problemów decyzji wielocelowych MODP nie określana jest wcześniej liczba opcji z wartościami właściwych dla problemu atrybutów. Zamiast tego problemy te posiadają: (1) zbiór kwantyfikowalnych celów na podstawie których podejmowana jest decyzja o wyborze określonej opcji decyzyjnej; (2) zbiór dobrze określonych ograniczeń na wartości różnorakich czynników kształtujących możliwości wyboru możliwych opcji (zmiennych decyzyjnych)



Zadanie, które posłuży do ilustrowania różnych podejść optymalizacji wielocelowej

Firma produkuje dwa produkty. Zarząd wyraził życzenie, aby znaleźć program produkcji, który: maksymalizuje całkowity zysk, maksymalizuje spodziewaną ,,przechwytywaną” część rynku (udziały na rynku), spełnia ograniczenia procesu produkcji (tzn. dostępności surowców), nie doprowadza do nasycenia rynku (tzn. mamy możliwość sprzedania całej wytworzonej produkcji). Ponadto wiadomo: jedna jednostka produktu 1. zapewnia dochód w wysokości 3 jednostek pieniężnych (jp.), a jedna jednostka produktu 2. - 1 jp.; oszacowano, że każda sprzedana jednostka produktu 1. powiększy rynek o dwie jednostki udziału na rynku, a jedna jednostka produktu 2. - o 3 jednostki; wytworzenie jednostki produktu 1. wymaga zużycia 2 jednostek surowca, a jednostki produktu 2. - 1 jednostki; tylko 50 jednostek surowca jest dostępnych w rozważanym okresie czasu; badania rynku wskazują, że nie więcej niż 20 jednostek produktu pierwszego i nie więcej niż 30 jednostek produktu drugiego.



Analityczne sformułowanie zagadnienia:

1xOznaczmy: - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 1

2x

- liczba wyprodukowanych jednostek produktu 2

Znaleźć wartości 1x i takie, które:

(czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu)

maksymalizują

spełniając:

(czyli przechwycone w rozważanym okresie czasu udziały w rynku)

211 3 xxz

maksymalizują 212 32 xxz

2x

502 21 xx

201 x

302 x

00 21 x,x

(ograniczenie dostępności surowca)

(ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.)


(warunki nieujemności)



60

50

30

40

50 40 30 20 0

10

20

10 60 1

x

2x

2z

1z

A

B

C

D

Graficzne rozwiązanie zagadnienia

30

0

0

20

10

20

30

10

0

00

D

C

B

A

x

x

x

x

x

Punkty wierzchołkowe:



Ogólne sformułowanie wielocelowego zagadnienia programowania liniowego; k - fukncji celu, m - ograniczeń

xCxzT

Δ

imalizowacmin

0xbAxxx ,:Xiajaclnspe nΔ

gdzie

T

k

T

i

T

1

T

k

T

i

T

1

k

i

1

,

z

z

z

c

c

c

C

xc

xc

xc

x

x

x

xz



Wielość funkcji celu

Nie będą nas interesowały przypadki, kiedy możliwe jest znalezienie całkowicie optymalnego rozwiązania

212

211

xx2z

x4xz

Np. jeżeli dla przykładowego zagadnienia




Rozwiązanie całkowicie optymalne (przypadek minimalizacji)

Mówi się, że jest rozwiązaniem całkowicie optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieje takie, że

x

Xx

xxx ii zz:X,k,1i



Optymalizacja z jedną funkcją celu (jednocelowa)

Funkcja celu z odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w Rn w wartość skalarną w R

W R istnieje naturalny kanoniczny porządek

Zdefiniowanie optymalnego rozwiązania np. minimalizacji jest proste

Konsekwencja:

xxxx zzXeoptymajestX n :lnR



Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)

Funkcja celu z=[z1, z2, ......, zK] odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w Rn w wartość wektorową w RK, K>1

Problem: W RK nie istnieje naturalny kanoniczny porządek

Istnieją różne pojęcia optymalności, które zależą od wybranego w RK porządku

Konsekwencja:




Weźmy przykład – dwucelowe zagadnienie programowania liniowego

212

211

x2x3z

x2xzimalizowacmin

0x,0x

15xx3

45x6x8

27x6x2iajaclnspe

21

21

21

21



Przedstawienie w przestrzeni opcji decyzyjnych (w przestrzeni decyzji)

212

211

x2x3z

x2xzimalizowacmin

0x,0x

15xx3

45x6x8

27x6x2iajaclnspe

21

21

21

21



x1 z1

z2 x2 Przestrzeń

decyzji

Przestrzeń celów

Transformacja



z2

z1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

2

3

4

5

6

A(0,0)

B(-5,15)

C(-7.5,16.5)

D(-10,16)

E(-9,9)

7 8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

-10 -11 -12

z

Przedstawienie w przestrzeni kryteriów (w przestrzeni celów)

212

211

x2x3z

x2xzimalizowacmin

0x,0x

15xx3

45x6x8

27x6x2iajaclnspe

21

21

21

21




Wybór porządku zależy od problemu decyzyjnego

Jeżeli można podać ranking funkcji celu – np. z1 jest ważniejsza niż z2 , wybrany zostanie porządek leksykograficzny

2

m

1

m

2

i

1

i

2L1 zzzz:mi:0m zz




Jeżeli interesują nas rozwiązania dla których poprawienie wartości jednej funkcji np. z1 nie może się odbyć bez pogorszenia co najmniej jednej z pozostałych, wybrany zostanie porządek Pareto

2

i

1

i

2P1 zz:i zz




Ilustracja nierówności Pareto

z2

z1

z*

zz

zz

Stożki nierówności Pareto



Graficzne wyznaczenie zbioru Pareto dla rozważanego przykładu

a) w przestrzeni decyzji

212

211

x2x3z

x2xzimalizowacmin

0x,0x

15xx3

45x6x8

27x6x2iajaclnspe

21

21

21

21



b) w przestrzeni celów

X:z,zZ 21 xxx

212

211

x2x3z

x2xzimalizowacmin

0x,0x

15xx3

45x6x8

27x6x2iajaclnspe

21

21

21

21



Alternatywy postępowania – porządek Pareto

I. Wykorzystanie klasycznych metod optymalizacji jednocelowej operujących na pojedynczych punktach przestrzeni decyzyjnej – poszukiwany jest jeden punkt zbioru Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się przed optymalizacją

II. Wykorzystanie metod optymalizacji operujących na populacjach punktów przestrzeni decyzyjnej (np.. algorytmy genetyczne) – poszukiwanie zbioru punktów Pareto – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się po optymalizacji



Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych

1. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zamianę wszystkich funkcji celu poza jedną w ograniczenia



Przykład

Przyjmiemy całkowity zysk jako pojedynczy cel i będziemy traktować powiększenie udziału na rynku jako ograniczenie. To ostatnie przekształcenie możemy zrealizować przez przyjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powiększenia udziału na rynku. Przykładowo przyjmijmy, że takim pożądanym powiększeniem udziału na rynku jest 100. Model naszego przykładowego problemu będzie miał wówczas postać

1x2x

211 3 xxz

100x3x2 21

502 21 xx

201 x302 x

00 21 x,x

Znaleźć wartości i taki, które:

maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu)

spełniając: (pożądane powiększenie udziału na rynku)

(ograniczenie dostępności surowca)






60

50

30

40

50 40 30 20 0

10

20

10 60 1

x

2x

1z

A

B

C

D

F

E

Graficzne rozwiązanie

Punkty wierzchołkowe

25

512

30

10

30

5 .FAE xxx

Rozwiązanie optymalne

10056225

51221

*** z,.z,

.xxxx F



Zalety

Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu.

Wady

Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub szczęśliwi), konwersja celu w (twarde) ograniczenie może prowadzić do modelu, który jest matematycznie niedopuszczalny

(np. w naszym przykładzie, jeżeli użylibyśmy wartości 120 zamiast 100 dla PS ograniczenia powiększenia udziałów na rynku, nasz model byłby matematycznie niedopuszczalny)



Wady

Przetworzony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ograniczenia przez algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodzić się z udziałem mniejszym niż 100 w rozważanym okresie, rozwiązanie takie nie zostanie wygenerowane przez algorytmy PL

Ma miejsce duża subiektywność w wyborze pojedynczego celu, który będzie wykorzystany w przetransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w zależności od wyboru



60

50

30

40

50 40 30 20 0

10

20

10 60 1

x

2x

2z

1z

A

B

C

D

Graficzna ilustracja

Znalezione rozwiązanie



Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez transformację części funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych

Czy ten wynik ma cechy ogólności?

Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ograniczenia (MO) (ang. constraint method) lub metodą




Tki1

Δ

z,,z,,zimalizowacmin xxxxz

Sformułowanie oryginalne (WCPL)

Sformułowanie metody ograniczenia

xjzimalizowacmin

X

ji,k,1i;ziajaclnspe ii

x

x

Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia (MO)

Xx



Twierdzenie MO1

Jeżeli

Xx

jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości

ji,k,1i;i

to x jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL

Jeżeli unikatowość rozwiązania Xx zagadnienia MO nie jest gwarantowana, wówczas jedynie słabe rozwiązanie Pareto optymalne jest gwarantowane



Twierdzenie MO2

Jeżeli

Xx

jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to

ji,k,1i;i

jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości

x



Przykład:

211 x2xzimalizowacmin

0x,0x

x2x3z

15xx3

45x6x8

27x6x2iajaclnspe

21

212

21

21

21

2



Wybrane metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych

2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez agregację funkcji celu (metoda ważenia (ang. weighting method))



Przykład

Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara ,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach



Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, wybrać wagi: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia:

1x

502 21 xx

201 x302 x

00 21 x,x

Znaleźć wartości i takie, które:

maksymalizują (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności)

spełniając: (ograniczenie dostępności surowca)




2x

213 8162 x.x.z



60

50

30

40

50 40 30 20 0

10

20

10 60 1

x

2x

3z

A

B

C

D

Graficzne rozwiązanie

Rozwiązanie optymalne

30

0

0

20

10

20

30

10

0

00 DCBA xxxxx

,110z,60z,80z,30

10*

2

*

1

*

3

*

xxxxx A



Zalety

Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu.

Wady

Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiednich wag



60

50

30

40

50 40 30 20 0

10

20

10 60 1

x

2x

2z

1z

A

B

C

D

Graficzna ilustracja

Znalezione rozwiązanie



Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych

Czy ten wynik ma cechy ogólności?




Tki1

Δ

z,,z,,zimalizowacmin xxxxz

Sformułowanie oryginalne (WCPL)

Sformułowanie metody ważenia (MW)

Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia

Xx

k

1i

ii

ΔT zwimalizowacmin xxzw

Xxiajaclnspe gdzie 0w

k

i

1

w

w

w



Twierdzenie MW1

Jeżeli

Xx

jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości

k,1i;0wi

to x jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL

Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości

k,1i;0wi



Twierdzenie MW2

Jeżeli Xx

jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to

0w T

ki1 www

jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości

x



Dziękuję za uwagę

Zapraszam na kolejny wykład

część i - politechnika gdańska · 2015-06-20 · urządzenie, grupa urządze ... sytuacja...

Documents