Curve

Diberikan adalah sebuah kurva.

Pada Bab 1, bagian 4, telah didefinisikan vektor kelajuan dari

saat t. Sekarang kita definisikan kecepatan dari saat t yaitu panjang

dari vektor kelajuan. Dengan demikian, kecepatan

merupakan sebuah fungsi bernilai real pada interval I.

Dalam koordinat Euclid

Oleh karena itu, fungsi kecepatan dari dinyatakan dengan perumusan :

Dalam fisika, jarak yang dilalui oleh perpindahan titik dapat ditentukan

dengan mengintegralkan kecepatannya terhadap waktu. Dengan demikian,

kita definisikan panjang busur untuk dari ke yaitu

Panjang busur ini hanya melibatkan batasan dari (didefinisikan pada

beberapa interval terbuka) untuk interval tertutup . Batasan

seperti disebut segmen kurva , dan panjangnya dilambangkan

dengan . Perhatikan bahwa kecepatan dari terdefinisi dengan baik di

titik-titik terakhir dan dari .

Terkadang salah satu yang menarik hanya rute yang dilalui oleh sebuah kurva

dan bukan pada kecepatan tertentu dimana sebuah kurva melintasi rutenya.

Salah satu cara untuk mengabaikan kecepatan dari kurva yaitu dengan

reparameterisasi kurva yang memiliki kecepatan unit . Maka

menggambarkan “perjalanan standar” sepanjang rute .

2.1 Teorema

Teorema 2.1Jika adalah kurva regular di , maka terdapat suatu reparameterisasi ß dari

sedemikian hingga ß memiliki kecepatan satuan.

Bukti:

Akan dibuktikan terdapat ß suatu reparameterisasi dari sehingga . Misaldiberikan nilai (fixed) pada domain I dari fungsi dan fungsi panjang busur

Kemudian derivatif dari fungsi adalah fungsi kecepatan daridari - . Karena - regular maka menurut definisi , sehingga . MenurutTeorema Dasar Kalkulus, fungsi memiliki fungsi invers dimana derivatifpada adalah kebalikan dari pada . Secara sama berarti .

Sekarang misalkan ß reparameterisasi dari - . Dengan menggunakanaturan rantai diperoleh

Dari sini maka diperoleh kecepatan ß

Sehingga terbukti bahwa reparameterisasi ß dari - sedemikian hingga ß memilikikecepatan satuan.

Contoh: Helix .

Maka kelajuan

Sehingga

.

Maka mempunyai kecepatan konstan

.

Dengan panjang busur dari t=0:

.

Dengan mensubstitusikan t(s)=s/c ke , maka didapat:

Dan mudah diketahui bahwa untuk semua s, sehingga punyakecepatan satuan.

2.2 Definisi

Definisi 2.2

Medan vector Y pada kurva

adalah sebuah fungsi yang mengawankan setiap sebagai tangent vector Y(t)terhadap pada (t)

Y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t)) (t)

= yi(t)Ui( (t))

Dengan yi pada I disebut fungsi koordinat Euclidean pada Y.

Operasi-operasi:

Jika diberikan Y, Z medan vector pada kurva dan f fungsi, maka

(Y + Z) (t) = Y(t) + Z(t)

(f Y) (t) = f(t) Y(t)

Jika diberikan

Maka

Jika maka .

Contoh:

Turunan dari yaitu merupakan percepatan dari .

Misal maka .

Dan berbeda dengan kecepatan, percepatan tidak menyinggung kurva

Diferensiasi selalu memenuhi sifat linear dan sifat Leibnizian.Sifat linear:

Sifat Leibnizian:

Jika adalah fungsi konstan maka

Jika mempunyaipanjang konstanmaka dan orthogonal di setiap titik.Sedemikian hingga konstan maka

2.3 Lemma

2.3 Lemma1. Suatu kurva konstan jika dan hanya jika kecepatannya nol, =0;2. Kurva tidak konstan adalah garis lurus jika dan hanya jika percepatannya nol,

=0;3. Suatu medan vector Y pada kurva adalah sejajar jika dan hanya jika

turunannya nol, Y’=0.

1

Bukti Lemma:

Karena kurva konstan, , maka .

Jika , berarti dengan sebarang

konstanta, maka kurva konstan, .

Bukti Lemma:

Karena kurva tidak konstan dan garis lurus,.

.

jika dan hanya jika masing-masing , sehingga

dengan , tidak lain merupakangaris lurus, makayang merupakan kurva tidak konstan.

2

Bukti Lemma:

Suatu medan vector, pada kurva sejajar jika semua tangent vector-nya sejajar, Tangenvector dan sejajar jika dan sehingga

konstanta, dan .

Karena , maka , sedangkan diketahui pula

kesejajaran medan vector ekuivalen dengan kekonstanan dari fungsi kordinat Euclidan. Berarti Y sejajar.

3

Credits

Benawi Adha(11/316884/PA/14004)

Era Dwi Irianti(11/313469/PA/14274)

Erna Dwi Astuti(11/313469/PA/13692)

Farida Iin Nuraini(11/316917/PA/14036)

Riska Amalia Pertiwi(11/316871/PA/13993)

Risky Novita Listyorini(11/317028/PA/14145)