cursuri algebra liniara geometrie analitica geometrie diferentiala

Download Cursuri Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

Post on 19-Jan-2016

109 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOV FACULTATEA DE CONSTRUCTII SPECIALIZARI : CCIA , INST, DPCF FACULTATEA INGINERIE ELECTRICA SI STIINTA CALCULATOARELOR SPECIALIZAREA : AUTOMATICA PROF.UNIV.DR. ATANASIU GHEORGHE

    ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC

    I GEOMETRIE DIFERENIAL

    2007

  • PARTEA I: GEOMETRIE ANALITIC

    Cuprins

    Cap. 1 Noiuni preliminare............................................................1

    Cap. 2 Spaii vectoriale................................................................17

    Cap. 3 Spaii punctuale euclidiene..............................................48

    Cap. 4 Geometria liniar n spaiu..............................................92

    Cap. 5 Translaia i rotaia reperului cartezian.......................129

    Cap. 6 Schimbri de repere n plan i spaiu............................134

    Cap. 7 Conice...............................................................................138

    Cap. 8 Cuadrice...........................................................................163

    Cap. 9 Generri de suprafee.....................................................180

  • 1

    Capitolul 1

    NOIUNI PRELIMINARE n acest capitol se reamintesc noiuni de baz ca: mulimi, relaii binare, funcii, precum i elemente fundamentale ale algebrei liniare: matrice, determinani, sisteme liniare de ecuaii, predate n liceu. Obiective operaionale: 1.1. S stpneasc operaiile i relaiile binare pe acestea 1.2. S-i reaminteasc noiunea de funcie i funciile elementare studiate 1.3. S cunoasc noiunea de matrice i operaiile cu acestea 1.4. S rein proprietile determinanilor i calculul lor 1.5. S fie capabil s rezolve sisteme liniare de ecuaii cu dou i trei necunoscute Coninutul capitolului: 1.1 Mulimi, relaii binare i funcii 1.2 Matrice i determinani 1.3 Sisteme liniare de ecuaii 1.4 Legi de compoziie 1.5 Bibliografie

    1.1 Mulimi, relaii binare i funcii Mulimi Prin mulime se nelege o colecie de obiecte care vor fi numite elemente. Noiunea de mulime, ca orice noiune primar, nu se definete ca alte noiuni prin genul proxim i diferena specific ci se caracterizeaz numind individual elementele sau specificnd o proprietate pe care o au elementele sale i nu o au alte obiecte.

  • 2

    Vom nota cu majuscule A , B, C,X, Y iar elementele mulimilor cu litere mici a, b, c,x, y.

    Pentru unele mulimi care vor fi des utilizate se folosesc notaii consacrate. Se noteaz cu N mulimea numerelor naturale, cu Z mulimea numerelor ntregi, cu Q mulimea numerelor raionale, cu R mulimea numerelor reale iar cu C mulimea numerelor complexe.

    Legtura dintre un element i mulimea din care face parte este dat de relaia numit relaia de apartenen. Dac A este o mulime i x un element al su vom scrie xA i vom citi x aparine lui A.

    Dac A i B sunt dou mulimi, vom spune c A este o submulime a lui B i vom scrie A B (A este inclus n B) dac orice element al mulimii A este i element al mulimii B.

    Simbolic scriem A B x, x A x B. n teoria mulimilor admitem existena mulimii care nu are nici un

    element, notat cu i numit mulimea vid. Mulimea vid este o submulime a oricrei mulimi.

    Dou mulimi sunt egale, A i B, dac i numai dac A B i B A. Relaia de incluziune ne permite s definim clasa prilor unei

    mulimi X, notat cu P(X) i care are ca obiecte toate submulimile mulimii X. Definim n clasa prilor P(X), ale unei mulimi X, operaiile:

    reuniunea a dou mulimi A i B reprezint mulimea

    A B= {x / x A sau x B}

    intersecia a dou mulimi A i B reprezint mulimea

    A B= {x / x A sau x B}

    Dou mulimi se numesc disjuncte dac A B =

    diferena mulimilor B i A nseamn mulimea

    B \ A = {x / x B sau x A} Dac A B atunci B \ A se numeste complementara lui A n raport

    cu B i se noteaz cu CBA. n clasa prilor P(X) ale mulimii X, notm cu A = CXA, complementara lui A n raport cu X, i o vom numi simplu complementara lui A. Este simplu de dovedit c dac A, B P(X) atunci B \ A = B A . produsul cartezian al mulimilor A i B nseamn mulimea

    AB = {(a,b)/a A i b B}

  • 3

    Un element (a,b) AB se numete pereche ordonat. Dou perechi ordonate (a1,a2) i (b1,b2) sunt egale dac i numai dac a1 = b1 i a2 = b2. n mod analog se pot defini operaiile de reuniune, intersecie i produs scalar pentru trei sau mai multe mulimi. Prin produsul cartezian al mulimilor X1, X2,, Xn, nelegem mulimea sistemelor ordonate (x1,x2,, xn) cu x1 X1, i = n,1 , adic

    X1 X2 Xn= {(x1,x2,, xn) / xi XI, , i = n,1 , }

    Un element al acestui produs cartezian l vom numi n - upl. Dou n uple (x1,x2,, xn) i (y1,y2,, yn) sunt egale dac i numai dac x1 = y1, x2 = y2,, xn = yn.

    Dac X1 = X, , i = n,1 atunci vom folosi notaia X X X = X. Numim partiie pe mulimea X o familie da pri ale lui X, disjuncte

    dou cte dou i a cror reuniune este egal cu X. Relaii

    Fie A i B dou mulimi nevide. O coresponden ntre elementele celor dou mulimi se numete

    relaie binar. Dac a A i b B i notm cu R relaia ntre A i B, atunci vom citi a este n relaia R cu b i vom nota cu aRb. Mulimea A se numete mulime de plecare iar B mulimea de sosire. Cele dou mulimi nu au un rol simetric, motiv pentru care vom gndi elementele ce sunt n relaia R ca pe nite perechi ordonate. Astfel, o relaie binar o putem defini ca o submulime G a produsului cartezian AB. O relaie R ntre elementele mulimilor A i B va fi dat prin tripletul R = (G:A,B), unde G AB va fi numit graful relaiei R iar A i B sunt mulimea de plecare respectiv mulimea de sosire.

    Dac B = A, relaia binar R se numete simplu relaie binar pe mulimea A. O relaie binar pe o mulime se noteaz de regul cu

    R, ,,etc.

    1.1.1 Definiie. O relaie binar pe A se numete relaie de echivalen dac a, b, c A, urmtoarele condiii sunt verificate:

    1) a a - reflexivitatea 2) a b b a - simetria 3) a b i b c a c - tranzitivitatea. Dac o relaie de echivalen pe A, atunci pentru orice a A definim mulimea

    ={b A / b a } numit clasa de echivalen n raport cu relaia a elementului a. Un element al unei clase de echivalene va fi numit reprezentant al acestei clase.

  • 4

    1.1.2 Teorem. Dac A este o mulime nevid i este o relaie de

    echivalen pe mulimea A, atunci: 1) a A ( a )

    2) =b , a b 3) dac i b sunt dou clase de echivalen atunci = b sau b = 4) reuniunea claselor de echivalen este egal cu A.

    Mulimea claselor de echivalen determinate de relaia pe A se

    noteaz cu A/ i se numete mulimea ct a lui A n raport cu relaia . n baza teoremei 1.2 rezult c o relaie de echivalen determin o partiie pe A i reciproc. O partiie pe mulimea A este definit de clasele de echivalen. Reciproc, o partiie a mulimii A determin o relaie de echivalen pe A; dou elemente din A se gsesc n relaie dac ele aparin la aceeai submulime a partiiei. Exemple 1o Relaia de paralelism n mulimea dreptelor din spaiu este o relaie de echivalen. Dou drepte d1 i d2 din spaiu spunem c sunt paralele dac exist un plan ce le conine i care satisfac una din proprietile: d1 d2= sau d1 = d2. Putem constata uor c relaia de paralelism astfel definit este o relaie de echivalen. Clasa de echivalen a unei drepte d este format din mulimea tuturor dreptelor paralele cu d. Aceast clas de echivalen se numete direcia determinat de dreapta d n spaiul considerat. 2o Numere cardinale. Dou mulimi A i B se zic cardinal echivalente sau echivalente dac exist o bijecie de la A la B. Aceast relaie este o relaie de echivalen n clasa tuturor mulimilor. Clasele de echivalen se numesc numere cardinale. Vom nota cardinalul mulimii A cu cardA. Dac N este mulimea numerelor naturale vom nota cardinalul acesteia cu 0 (alef zero). Orice mulime cardinal echivalent cu N se numete numrabil. Dac A i B sunt dou mulimi, card A = m i card B = n, atunci card (A B ) = m n. 1.1.3 Teorem. O relaie binar pe mulimea A, notat cu , se numete relaie de ordine dac

    a,b,5 A, sunt satisfcute urmtoarele proprieti: 1) a a - reflexivitatea 2) a b i b a a = b - antisimetria 3) a b i b c a c - tranzitivitatea. O mulime A pe care s-a definit o relaie de ordine se numete

    mulime ordonat i o vom nota prin ( A, ). Dac pentru orice a,b 5 A avem a b sau b a, atunci mulimea

  • 5

    (A, ) se numete total ordonat sau lan. ntr-o mulime ordonat (A, ) un element a 5 A se numete prim

    element (respectiv ultim element) al lui A dac a x (respectiv x a) oricare ar fi x 5 A.

    Elementul a 5 A se zice maximal (respectiv minimal) dac din a x (respectiv x a) rezult x = a.

    Dac B A , un element a 5 A se zice majorant (respectiv minorant) al lui B dac x a (respectiv a x) oricare ar fi x 5 B.

    Un element a 5 A se numete supremum (respectiv infimum) pentru mulimea B, dac x a pentru x B i dac x a , x B atunci a a (dac a x pentru x B i dac a x, x B atunci a a). Elementul a 5 A (dac exist) se noteaz cu sup (B) (respectiv inf (B)). O mulime total ordonat (A, ) se zice inductiv dac orice submulime a sa are un majorant. n teoria mulimilor se demonstreaz c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1o Axioma alegerii. Dac A1,A2,,An este o familie de mulimi nevide atunci A1A2An . 2o Lema lui Zorn. O mulime inductiv nevid are cel puin un majorant. O mulime ordonat (A, ) se zice bine ordonat, dac orice submulime nevid a sa are un prim element. 3o Teorema lui Zermelo. Dac A este o mulime nevid, atunci exist o relaie de or