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SOLUCIONARIO

MATEMATICA Experiencia PSU MA02-4M-2018

1. La alternativa correcta es A

3

14 +

23 +

5

= 3

14 +

17

5

= 3

54 +

17

= 3

73

17

= 51

73

2. La alternativa correcta es C

32 · 105 · 2 · 10-5 = 64

3. La alternativa correcta es D

Sean las fracciones: 5

6,

4

5,

3

4,

2

3

mcm(6, 5, 4, 3) = 60

Amplificamos cada fracción 50

60,

48

60,

45

60,

40

60

Luego, ordenado queda 2

3 <

3

4 <

4

5 <

5

6


Diez milésima: 10-4

Luego,

0,0004 · 0,31 = 0,000124

Curso: Matemática

2


Si n° de niños = x

Entonces,

N° de hombres = 3 · x y N° de mujeres = 15 · x

Luego,

x + 3x + 15x = 399 x = 21

n° de mujeres = 15 · 21 = 315

6. La alternativa correcta es E

0,0121 = 121

9990


3,4 · 10-6 = 3,4 · 10k k = -6

Y cumple todas las clasificaciones dadas en I), II) y III)

8. La alternativa correcta es B

Para que N = 2.165.AB8 sea divisible por 9 se debe cumplir:

2 + 1 + 6 + 5 + A + B + 8 sea M(9)

Es decir, (22 + A + B) sea M(9)

(1) Insuficiente. Que A = B no implica que (22 + A + B) sea M(9)

(2) Suficiente. Si A + B = 14, entonces 22 + 14 = 36 y es M(9)


2(3-3t) 6-6t

5-6t 5-6t

5 5 =

5 5 = 5


4 · 4x = (25)6 22 · 22x = 230 22x+2 = 230

2x + 2 = 30

2x = 28

x = 14

3


n4

5

= 3

5

4

n

4

5

=

3

25

4

n

4

5

=

3

24

5

n = -3

2 = -1,5


P = (0,25)0,25 Q = 16-0,125

P =

1

41

4

Q =

1-8

16

P = 41

4 = 4

2

1

2 Q =

1

81

16

P = 1

2 Q = 8

1

16 = 8

4

1

2

Q = 1

2

I) Verdadero, P = Q

II) Falso. 1

2 +

1

2 =

2

2 Número irracional

III) Verdadero.

3

1

2

= 1

8=

1

2 2, es número irracional


x2 = 36 x = 6

x2 – x – 6 = 36 – 6 – 6 = 24

4


I) Falso. -5

II) Falso. 25 5

= 9 3

III) Falso. 1 2 -1

= 4 4


(2 – 3i)2 = 4 – 12i + 9i2 = 4 – 12i – 9

= -5 – 12i

Parte real = -5

Parte imaginaria = -12


216 + 64i + 3i + 12i 4 + 67i i 4i 67 = =

i i i -1

67 – 4i = a – bi a = 67 y b = 4

Si a se divide por b, se obtiene resto 3.


(1) Insuficiente, falta el valor de k.

(2) Suficiente, 10 < a < 24 a = 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

1

k = 2 k =

1

2, luego a es número irracional


gt = Vi – Vf g = i fV V

t

5


4t

1t +

24

= 8

4t = 81

t + 24

4t = 8t + 1

3

-1

3 = 4t

-1

12 = t


(x – y)(x + y) · 3 = 3(x2 – y2) = 3x2 – 3y2


x 1 2

+ x3 2 3

+ 19.000 = x

x x + + 19.000

3 3 = x

19.000 = x

3

x = 57.000


s(t + s) = 20s

st + s2 = 20s / : s (s 0)

t + s = 20

t = 20 – s

6


Como x lR+,

Se multiplica la inecuación por 2x y se obtiene

x + 4 > 5x 4 > 4x x < 1

x ]0, 1[


2k + 2

kk + 1

k

= 2k + 2

k + 1 =

2(k + 1)

k + 1 = 2


Si

n° de pomelos = x

n° de duraznos = y

350x + 160y = 2010

x + y = 9

350x + 160y = 2010

-160x – 160y = -1440

190x = 570

x = 3 ; y = 6


12 -2 21 = =

-4 m -7

-3 = -2

m = -3

2

3 = m

· /(-160)

7


Si,

a = -a a 0

-b = b b 0

a > -b -a > b 0

I) Verdadero

Como a > b

a + b < 0

II) Verdadero

a · b < 0

III) Verdadero

a < 0

b > 0

a < b

a – b < 0


(1) Suficiente 1

3 · k3 = 9

k3 = 27 k = 3

(2) Suficiente

k2 = 5k – 6

k2 – 5k + 6 = 0

(k – 2)(k – 3) = 0

k = 2

k = 3 k = 3

Dado que k debe ser impar.


Para t = 0, se tiene h(0) = 100

8


g(x2) = 3

2x2 + 1 = 3

2x2 = 2

x2 = 1

x = 1

I) Verdadero. x2 = 1, luego x puede ser 1.

II) Verdadero. x2 = 1, luego x puede ser -1.

III) Falso. x2 = 1 x = 1, luego x no puede ser 2.


3 – x2 > 0

3 > x2

x2 < 3 /

x < 3

- 3 < x < 3


x

f(x) + 3 = k

10

2 + 3 = k

k = 2

x

10 + 3 = 2

x = 26


y = 2x + 1

x 1 xy – y = 2x + 1

xy - 2x = y + 1

x(y – 2) = y + 1

y – 2 0

y 2

Recorrido lR – {2}

9


x = 3y + 1 / ()2

x2 = y3 + 1

y3 = x2 – 1 /1

3()

y = 3 2x 1

f -1(x) = 3 2x 1

f -1(5) = 3 24 = 2 3 3


g(h(x)) = h(x) + 3 = 5x + 4 h(x) = 5x + 1

h(-2) = -9

Como g(0) = 3, entonces h(-2)

g(0) = -3


(1) Suficiente

f(x) = 2kx + 3, si k lR+

2k lR+ y f(x) es función afín

(2) Insuficiente

Si k = 0, f(x) es constante.


Dirección de v = (3, -3)

Luego, al aplicar v al punto (-7, 4) se tiene

(-7, 4) + (3, -3) = (-4, 1)

10


Rotación 90° horario = rotación 270° antihorario

de (x, y) a (y, -x)

Como es con respecto al punto (1, 2)

Se tiene (6, 7) – (1, 2) = (5, 5) Rotación 90° (5, -5)

(5, -5) + (1, 2) = (6, -3)



Todos los paralelogramos tienen centro de simetría, por lo tanto, el romboide tiene.

2

x

-2

y

x

y

1

P Q

6

2

7 S R

R’(6, -3)

11


En QRS

Por tríos pitagóricos RT = 16

Luego, área = 24

12 16

2

= 192


De la figura se tiene

ADC BEC DC CE

Luego, DEC es isósceles, como DF FE CF es altura, bisectriz y transversal de

gravedad, trazado desde el vértice C a la base DE.

I) Verdadero. CF DE , CF AB .

II) Verdadero. AEC BDC

III) Verdadero. DFC EFC y son rectángulos en F, luegoDCF ECF,

entonces ECF y CDF son complementarios.

P Q

S R 20

20

20

20 24

20 20

Q S

R

T 12 12

A

C

B F E D

12


Aplicando Teorema de Thales se tiene:

BD BE =

DC EA

3k + 4 3k 1 =

k + 2 k

k = 2

Reemplazando k por 2, se determina que las afirmaciones I) y II) son verdaderas.


Aplicando el Teorema de Pitágoras se determina que AB = 25 cm.

AE = 15 cm, como AED ACB, entonces

DE AE

= CB AC

DE 15 =

15 20 DE = 11,25


x2 = 2 · (2 + y)

x2 = 4 + 2y

36 = x(x + 5) x2 = 5x – 36 = 0

(x + 9)(x – 4) = 0

x = 4

16 = 4 + 2y

12 = 2y

6 = y

I) Verdadero. EC = 2 y CD = x = 4, entonces EC : CD = 1 : 2

II) Verdadero. ABE es isósceles de base BE, dado que AE = AB = 6

III) Falso. No es posible aplicar ningún criterio de semejanza.

A E B

C D

15 10

25

20 15

D

C

B A

E

x

2

x

6

5

y

13


Como ABC = DEC

DE // AB y aplicando teorema de thales se tiene

10 k

= x m

x = 10m

k


(1) Suficiente. El CDE es rectángulo, isósceles y se conoce la hipotenusa.

(2) Suficiente. El ADC es rectángulo, isósceles y se conoce CD que es la hipotenusa

del CDE.

A B

C

E D

x 10 k

m

A D B

C

E 45° 45°

45° 45°

45°

45°

x

14


Aplicando el teorema de las cuerdas

xy = 3 · (8 + 4)

xy = 36

xy = 4 · (3 + z)

36 = 4 · (3 + z)

9 = 3 + z

6 = z


Como AB es diámetro ACB = 90° y

ABC = 22°

Entonces, x = 22°, pues ABC y

x subtienden el mismo arco CA


En ADC, rectángulo en D y por trio pitagórico AC = 5

Por teorema de Euclides,

AC 2 = AD · AB

52 = 3 · AB 25

3 = AB

Si CM es transversal de gravedad en el ABC, rectángulo en C

CM = AM = MB , luego CM = 1 25 25

= 2 3 6

= 4,16

8 4 3

x

y

z

D

A

C

B O

68°

x

A D M B

C

5 4

3

15


OA'

OA= k

I) Falso. La imagen esta al mismo lado del centro de homotecia y la figura original.

II) Verdadero. La razón de homotecia es un número racional entre 0 y 1.

III) Verdadero. La razón es menor que 1 y mayor que 0.


Sea A(x, y) y B(-8, 6), entonces las coordenadas del punto medio de AB son

x + -8 y + 6,

2 2

= (8, 10)

Entonces,

x 8

2

= 8

y + 6

2 = 10

x = 24 y = 14


L1 : y = 2

7(x + 4) y =

2

7x +

8

7

L2 : y = 2

7(x + 3) y =

2

7x -

8

7

2

7 ·

8

7 +

2

7

8-7

= 0

O

16


Según la información de la recta L, es paralela al eje x

I) Verdadero. L tiene pendiente cero.

II) Verdadero. Su intersección con el eje de las ordenadas es positivo.

III) Falso. Si L corta el semieje x positivo, entonces L pasa por 3 cuadrantes.


Área lateral del cilindro: 2rh = 4r2

Área lateral del cono: rg

Donde,

g2 = k2r2 + r2

g = 2 2r (k + 1)

g = r 2k + 1

Luego,

área lateral = r· r 2k + 1

= r2 2k + 1

4r2 = r2 21 + k

4 = 21 + k / ()2

16 = 1 + k2

15 = k2

k = 15

L

x

y

I II

g

r

kr

17


Si el área del triángulo es 8, cada cateto mide 4 y por lo tanto, se forma un cono de

volumen 1

316 · 4 =

64

3.


Cuando y = 0 y z = 0, x = 3

Cuando x = 0 y z = 0, y = 9

Cuando x = 0 e y = 0, z = 6

V = área basal · altura

V = 1

3

3 9 6

2

V = 1

3(3 · 9 · 3)

V = 81

3 = 27


(1) Insuficiente. Solo se conoce el valor de a.

(2) Insuficiente. Solo se conoce el valor de b.

Con (1) y (2) se conoce “a” y “b”

(0,0,6)

(0,9,0) (3,0,0) 3 9

6

x y

z

2a

2= 8

a2 = 16

a = 4

M

-a

-a

x

y

18


Notas frecuencia frecuencia

acumulada

2 3 3

3 4 7

4 7 14

5 6 20

6 3 23

7 2 25

Moda : 4

Mediana : 4

Por lo tanto, moda + mediana = 4 + 4 = 8


Por propiedad de la varianza: VAR(x + k) = VAR(x)

Suman 9 unidades a cada elemento del conjunto la varianza de los mismos elementos

no varía con respeto a los datos originales.


Si x = 4 y = 0, entonces los cuatro números obtenidos son el 4

I) Verdadero. 4, 4, 4, 4, mediana 4

II) Falso. Varianza = 0

III) Verdadero. Rango 4 – 4 = 0


Moda = 21 años

Mediana = 21 + 22

2 = 21,5 años

Media = 20 + 24 + 21 + 22 + 21 + 26

6 = 22,3 años

19


84C =

8!

4! 4! =

8 7 6 5 4!

4! 4!

= 8 7 6

2 5

4

3 2 1

= 7 · 10 = 70


Si todos los datos son iguales, la mediana y media son iguales a esos datos, mientras

que la desviación y varianza son ceros.

I) Verdadero. Ya que los datos son iguales, luego la mediana y la media son

iguales.

II) Verdadero. Al ser iguales los datos, la desviación estándar y la varianza son

ceros e iguales entre sí.

III) Falso. La varianza es cero, pero la mediana no lo es necesariamente.


Conjunto de estudio {2, 3, 5, 7}

I) Verdadero. Por principio multiplicativo, 4 · 4 = 16

II) Verdadero. 2 + 3 + 5 + 7 17

x = = 4 4

= 4,25

III) Verdadero. El promedio de todas las medias muestrales es igual a la media

poblacional.


8 13 + 7 20 + 6 35 + 5 72 + 10 ?

150

No se puede determinar

20


P(X < -2,8) = P(X > 2,8)

P(X < -2,8) = x

P(X > 2,8) = x

1 - P(X < 2,8) = x

1 - x = P(X < 2,8)


Permutación con repetición

6! 4! 5 6

= 4! 2! 4! 2

= 15


(1) Insuficiente. Para determinar los cuartiles se deben conocer los datos.

(2) Suficiente. El percentil 75 coincide con el tercer cuartil.


Casos en que la suma es inferior a 5 puntos:

(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1) y (1, 1, 2)

P = 4 1

= 216 54


0,1 + k + n + 0,2 = 1

E(x) = 0 · 0,1 + 1 · 0,4 + 2 · 0,3 + 3 · 0,2 = 1,6

k + n = 0,7

k – n = 0,1

k = 0,4

n = 0,3

0 2,8 -2,8

21


1 2 3 4 5 6

2P 2P P P P P

Probabilidad: 2 2 1

+ = 8 8 2


P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB), se necesita P(AB)

Como P(B/A) = P(A B)

P(A)

, entonces P(AB) = P(B/A) · P(A)

P(AB) = 0,1 · 0,6 = 0,06, luego

P(AB) = 0,6 + 0,2 – 0,06 = 0,74


I) Falso. P(15 x 65) en la probabilidad pedida, se considera la varianza (2 = 25) y

no la desviación ( = 5)

II) Verdadero. P(40 x 45) = 0,6826

2 = 0,3413

III) Verdadero. P(30 x 55) = 0,9544

8P = 1 P = 1

8

50 45 40 35 30

[-,+] = 0,6826

[-2,+2] = 0,9544

= 40

2 = 25 = 5

22


V(X) = E(X2) – (E(X))2

E(X2) = 0 · 1

8 + 1 ·

3

8 + 4 ·

3

8 + 9 ·

1

8 =

24

8 = 3

E(X) = 0 · 1

8 + 1 ·

3

8 + 2 ·

3

8 + 3 ·

1

8 =

12

8 =

3

2

V(X) = 3 – 9

4 =

3

4


Probabilidad que no resuelva ninguno de los 3 problemas = (0,55)3 = 0,166375

Probabilidad pedida = 1 – 0,166375 0,834


Si X B(50,p) y = 20, siendo = np

Entonces,

50p = 20 p = 20

50 = 0,4


= n · p = 100 · 0,6 = 60

= n p (1 p) = 100 0,6 0,4 = 24 = 2 6

N(np, npq ) = N(60, 2 6 )

23


Aplicando la fórmula P(X = k) = n

k

· pk · (1 - p)n-k, donde:

n = 20

k = 10

r = 1

2

q = 1

2

20

10

· 10

1

2

· 10

1

2


(1) Suficiente. P 1

= M 3

P 1

= Total 4

(2) Insuficiente. Se desconoce la cantidad de peras.

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