curso introdutÓrio de matemÁtica para...
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Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção
Vitor Bruno - Engenharia Civil
Geometria Euclidiana Plana Parte II
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2
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Introdução
Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática.
Na aula de hoje você aprenderá como resolver problemas envolvendo áreas.
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Área do Retângulo
Tomando como unidade de área o quadrado de 1cm² de área, observamos que cabem 12 desses quadrados no retângulo ao lado. Logo, a área do retângulo é 12cm².
1cm²
1 cm
1 cm
3 cm
4 cm
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Área do retângulo
Por outro lado, se multiplicarmos a medida do comprimento do retângulo pela medida da sua largura, obtemos o mesmo resultado.
4 cm . 3 cm = 12 cm²
Portanto, a área da superfície de um retângulo
é igual ao produto das medidas da base b e
da altura h.
Aretângulo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
. A h
b
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Área do quadrado
Particularmente, para o quadrado de lado a, ou seja, b = a e h = a, temos :
A a
a Aquadrado = a . a ou Aquadrado = a²
Em que: a é um número real positivo.
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Exercício
O comprimento de um terreno retangular tem 28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que o perímetro desse terreno é de 112 m, determine:
a) As dimensões desse terreno.
b) A área desse terreno.
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Resolução
Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões
Como o perímetro de um
polígono plano é a soma
das medidas de todos os
seus lados, somamos
seus lados e igualamos
ao perímetro fornecido
pela questão, que é 112.
x
x
x + 28 x + 28
112)28()28( xxxx
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Resolução
144
56564
561124112564
112)28()28(
xxx
xx
xxxx14
14
14 + 28 14 + 28
a)
Substituímos o valor encontrado
para x nas dimensões do
retângulo.
Verificamos que o terreno mede 14 m
de frente e 42 m de comprimento.
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Resolução
b)
Sabemos as dimensões do retângulo e
queremos saber sua área. Vimos que a área
do retângulo é dada pelo produto das medidas
da base e da altura, no caso, a base e a altura
valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:
²58842.14 mmmA
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Exercício
(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L.
L
L
CALÇADA
JARDIM
L
L
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Resolução
De acordo com
as medidas
fornecidas do
jardim, sabemos
que a área do
terreno pode ser
escrita em
função de L da
seguinte forma:
L
L
4 4
L 9 L
)24).(29( LLA
A = Largura x Altura
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Resolução
Como a questão nos fornece o valor da área
total, igualamos esse valor dado à equação que
montamos anteriormente para determinar L:
03413²2²21334
²42668²42636104
²481836104
)2(2)4(2)2(9)4(9104
104)24).(29(
LLLL
LLLL
LLL
LLLL
LLA
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Resolução
Resolvemos a equação de segundo grau e
acharemos possíveis valores para L:
5,84
34
4
2113
)2(2
44113''
24
8
4
2113
)2(2
44113'
441272169)34)(2(4²13
03413²2
L
L
LL
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Resolução
Depois de resolvermos a equação, achamos
2 e -8,5 como possíveis valores para L,
porém, o valor L é referente a medida,
dimensão, e como não existem medidas
negativas, desconsideramos o valor de -8,5.
Então, o valor de L é de 2 m.
5,84
34
4
2113
)2(2
44113''
24
8
4
2113
)2(2
44113'
L
L
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Área do paralelogramo
Cortando um pedaço do paralelogramo,
podemos encaixá-lo do outro lado,
transformando-o num retângulo. Veja:
h b
Então, podemos definir que a área do
paralelogramo é igual à área do retângulo: Aparalelogramo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
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Área do triângulo
Toda região triangular é metade da
região limitada por um paralelogramo
de mesma base e altura.
Como dividimos um
paralelogramo em dois
triângulos iguais, a área
de cada um dos triângulos
é igual à metade da área
do paralelogramo:
h
b
Atriângulo = 2
h . b
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Exercício
A vela de um barco tem a forma triangular, com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35% dessa vela de azul, 25% de verde e o restante de branco.
a) Qual a área da parte azul?
b) Qual a área da parte verde? E da branca?
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Resolução
Sabemos que a área do triângulo é a metade
do produto da base pela altura. Como temos
esses valores, apenas aplicamos a definição:
²102
20
2
5.4
2
.m
hbA
a)
Como 35% dessa área será pintada de azul,
multiplicamos 35/100 pelo valor da área total
para saber a área azul que será pintada:
²5,3100
35010.
100
35mAazul
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Resolução
b) 25% da vela será pintada de verde, então:
²5,2100
25010.
100
25mAverde
Já foi pintada 60% da área da vela (35% de
azul e 25% de verde). Como o restante será
pintado de branco, esse restante será de
40% da área da vela (100% – 60%):
²4100
40010.
100
40mAbranco
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Exercício
Para decorar seu quarto, Carol preparou bandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, ela fez 240 bandeirinhas. Qual a área total de papel utilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?
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Resolução
Para calcular a área total, achamos a área de
uma bandeira, e depois multiplicamos pelo
numero n de bandeiras.
4 cm
4 cm 4 cm
2 cm
4 cm
Aplicamos o teorema de
Pitágoras para achar a
altura h do triângulo.
3212²12
²416²²2²4
hhh
hh
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Resolução
4 cm
2 cm
32 cm
Agora acharemos a área da
metade de uma bandeira, já
que temos sua base e altura:
²322
32.2cmA Como achamos a metade
da área de uma bandeira,
a área da bandeira será o
dobro dessa área:
²3432.2.2 cmAAbandeira
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Resolução
Achamos a área de uma bandeira, a área total
será o número de bandeiras multiplicado por
essa área. Como o número de bandeiras é
240, multiplicamos esse valor pela área de
uma bandeira e acharemos a área total:
²396034.240.240 cmAA bandeiratotal
A área total de papel necessário para Carol
fazer suas bandeirinhas foi cm². 3960
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Área do trapézio
Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par de lados paralelos, que são suas bases.
Vamos decompor a
região limitada por um
trapézio para encontrar
sua área.
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Área do trapézio
Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números reais positivos).
Primeiro, decompomos
a região traçando uma
de suas diagonais.
a
b
B
Observe que temos agora 2 regiões triangulares: b
a a
B
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Área do trapézio
A área de uma região triangular nós já aprendemos a calcular, então temos:
2
).(A
2
..A
2
.
2
.A
AAA
T
T
T
21T
aBb
aBab
aBab
A1
A2
b
B
a
2
)(AT
abB
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Exercício
Determine a área do terreno plano abaixo usando as
medidas dadas.
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Resolução
6m
4m
12m
5m
9m
11m
Modelo matemático:
decomposição do
terreno em três
regiões.
Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos
que:
²127A2
4)119(
2
65)612(A
2
)(
2)(A
AAAA
terrenoterreno
terreno
trapéziotriânguloretânguloterreno
m
hbBbhbh
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Área do Losango
Todo losango pode ser transformado num retângulo
equivalente, com altura D e base d/2.
Assim, a área da região limitada
por um losango é dada pela
metade do produto das medidas
das diagonais.
2
dD.Alosango
Em que D e d são números reais positivos.
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Exercício
(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango (AL)?
a) ½
b) 2
c) 1/3
d) 4/3
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Resolução
Temos a seguinte figura:
A partir disso, calculamos a área de cada figura:
e , logo a razão Ar/AL é: DdAr 2
DdAL
22
1
2
A
A
L
r Dd
Dd
Dd
Dd
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Área de um triângulo equilátero
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Área de um triângulo equilátero
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Área de um triângulo equilátero
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Área de um Hexágono regular
Um hexágono regular é formado por seis regiões
triangulares equiláteras.
Como a área de uma região
triangular equilátera é dada por:
4
3²6
4
3²6Ahexágono
ll
2
3²3Ahexágono
l
4
3²A quiláterotriânguloe
l
Ou seja:
A área do hexágono é dada por:
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Área de um polígono regular
Um polígono regular é aquele que tem todos os
lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele
pode sempre ser inscrito em uma circunferência.
Exemplos:
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Área de um polígono regular
Pode-se perceber que se o polígono regular tem n
lados, a região limitada por ele pode ser decomposta
em n regiões limitadas por triângulos isósceles.
Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l ) e a altura é o
apótema (a). Logo:
2
anA
l
Em que l : lado
a: apótema
n: número de lados, (valores reais positivos).
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Exercício
Na figura, ABCD é um quadrado de
lado a. Tomando-se E e G nos
prolongamentos da diagonal AC e
F e H nos prolongamentos da
diagonal BD, com EA=AC=CG e
FB=BD=DH, determine a área do
octógono AFBGCHDE em função de
a.
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Resolução
Podemos perceber que o octógono é formado por 4 triângulos congruentes:
Logo, a área total equivale a soma das áreas de cada triângulo.
Sendo assim, vamos encontrar as
medidas, calcular a área de um
triângulo e multiplicar por 4.
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Resolução
Primeiro considere o triângulo isósceles (hachurado), de medidas a, x e x.
E note que o valor de x
corresponde a base dos
triângulos maiores.
Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),
aplicando o teorema de Pitágoras:
2
ax
2
ax2xaxxa
2222222
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Resolução
Sabendo o valor de x, podemos verificar as demais medidas dos triângulos maiores.
Para descobrir a altura do triângulo, voltamos para o enunciado da questão, que diz que DB=DH, por exemplo. Logo a altura do triângulo é o triplo de sua base.
x3
x
2x
x
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Resolução
Como ,a base do triângulo é igual a e a altura é
. 2
ax
2
a
2
3a
Por fim a área de cada triângulo é dada por:
E a área do octógono:
4
3a
2
2
3a
2
2
3a
2
a
2
alturaBaseA
2
2
triângulo
22
total 3a4
3a4A
2
3a
2
a
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