curso circuitos ca

CURSO: ANÁLISIS DE

CIRCUITOS DE CORRIENTE

ALTERNA

M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya

Índice

1. Análisis de CA con sinusoides y fasores

1.1 Conceptos básicos de la CA

1.2 Respuesta a circuitos con entradas sinusoidales

1.3 Fasores

1.4 Relaciones voltaje – corriente en circuitos RLC

1.5 Impedancia y admitancia

1.6 Métodos de solución de redes de CA

2. Relaciones de potencia en circuitos de CA

2.1 Potencia instantánea y potencia aparente

2.2 Máxima transferencia de potencia

2.3 Valores eficaces o RMS

2.4 Potencia aparente y factor de potencia

2.5 Potencia compleja

2.6 Medición de potencia


3. Circuitos trifásicos

3.1 Introducción a los circuitos trifásicos

3.2 Conexión Y - Y

3.3 Conexión -

3.4 Conexión Y -

3.5 Conexión - Y

3.6 Circuitos trifásicos balanceados

3.6 Medición de potencia trifásica

Índice

Referencias bibliográficas


Análisis de estado senoidal permanente


1. Asimilar las características básicas de las funciones sinusoidales

2. Ser capaz de resolver transformaciones de fasores y dibujar

diagramas fasoriales

3. Saber como calcular la impedancia y la admitancia de circuitos

RLC elementales, en arreglos combinados serie y paralelo

4. Resolver circuitos en el dominio de la frecuencia con fuentes

sinusoidales aplicando las técnicas del análisis de circuitos

5. Modelar y manipular variables en la solución de circuitos por

simulación mediante un software especializado, interpretando

valores y gráficas obtenidas

6. Mostrar una actitud propositiva, ética y colaborativa

Las competencias que se pretenden en este módulo son


Conceptos básicos de la CA

El término “alterna” indica solo que la forma de onda se alterna entre dos

niveles descritos en una secuencia de tiempo

• Valor instantáneo. Es la magnitud de la forma de onda en cualquier

instante de tiempo, se denota por minúsculas (v1, i2, etc.)

• Valor pico. Es la medida valor máximo de la forma de onda medida, se

denota por mayúsculas (Vm, Im. Etc)

• Amplitud. Es el máximo valor de la onda en el valor pico

Onda senoidal


• Período. Es el intervalo de tiempo entre repeticiones sucesivas de

una onda periódica

• Ciclo. Porción de la forma de onda contenida en un periodo de

tiempo

• Frecuencia. (en Hertz) Representa el número de ciclos en un

periodo de tiempo

La forma de onda no es afectada por la respuesta característica de los

elementos R, L, y C


𝒇 =𝟏

𝑻

𝒗 = 𝑽𝒎𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕

t = 2f

𝑻 = 𝟐𝝅

𝝎


Una senoide es una señal que tiene la forma de una función seno o

coseno

La expresión general para una senoide es

v(t) = Vm sen(t + )

Donde: v(t) = Voltaje instantáneo

Vm = Amplitud de la senoide

= Frecuencia angular en radianes/segundo

t = Argumento de la función

= Ángulo de fase



Una función periódica es aquella que satisface v(t) = v(t+n), para toda t y para

todos los n enteros

• Solo se pueden comparar senoides con la misma frecuencia, su amplitud y

fase pueden ser diferentes

• Si la diferencia de fases es cero, estas están en fase; si hay diferencia de

fase, no están en fase

HzT

f1

f 2

𝑇 = 2𝜋

𝜔



• v2 ADELANTA a v1 por un ángulo de fase de φ

• v1 ATRASA a v1 por un ángulo de fase de φ

• v1 y v2 están fuera de fase

Ángulo de fase de las senoides: considere las siguientes funciones:

v1 = Vm sen t y v2 = Vm sen (t + )



• Los términos adelantado o atrasado se utilizan para indicar la

relación entre dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia

graficadas en el mismo conjunto de ejes

• La onda coseno se dice que adelanta a la onda seno por 90°

• La onda seno se dice que atrasa a la onda coseno por 90°

• 90° se refiere al ángulo de fase entre las dos ondas

• Cuando se determina la medición de la fase primero notamos que

cada función senoidal (seno o coseno) tengan la misma frecuencia

para usar cualquier forma de onda para determinar el periodo

• Mientras el periodo completo represente un ciclo de 360°, se forma

la siguiente relación:

𝜽 = 𝑫𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒔𝒆

𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐X 360°



Para conversiones de seno y coseno

2 2 -1

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

sin( 180 ) sin

cos( 180 ) cos

sin( 90 ) cos

cos( 90 ) sin

cos sin cos( )

Where

C= A and =tan

A B A B A B

A B A B A B

t t

t t

t t

t t

A t B t C t

BB

A

Relacionando gráficamente

las funciones seno y coseno


cos(t-90°)= sen t

sen(t+180°)= -sen t M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya

Expresiones en

función del tiempo

Cambiadas al

dominio de la frecuencia

𝒅𝒗

𝒅𝒕 𝒋𝝎𝑽

𝒗𝒅𝒕 𝑽

𝒋𝝎

Se enfatizan las diferencias entre v(t) y V

1. v(t) es la representación instantánea o en el dominio del

tiempo, mientras que V es la representación en el dominio de

la frecuencia o fasorial

2. v(t) es dependiente del tiempo, mientras que V no lo es

3. v(t) es siempre real sin términos complejos, mientras que V

generalmente es compleja

(igual para las corrientes)



Respuesta a circuitos con entradas senoidales

En este apartado se analizarán las relaciones de elementos RLC

conformados como elementos de un circuito con excitaciones

sinusoidales (seno o coseno) con argumentos t (donde = 2f)

Considere una inductancia L con i = I cos (t + 45°). El voltaje es

𝒗𝑳 = 𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕= 𝝎𝑳𝑰 −𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟒𝟓° = 𝝎𝑳𝑰 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝟏𝟑𝟓° (V)


Una comparación entre vL e i muestra que la corriente se atrasa por

90° o /2 radianes. De la gráfica anterior se puede ver que la

corriente está a la derecha del voltaje en la escala t, esto indica que

esta retrasada en el tiempo. Una práctica común en circuitos

eléctricos pero no correcta, es indicar la escala en radianes y el

desfasamiento en grados

La tabla muestra la respuesta senoidal en estado permanente de

los tres elementos básicos de los circuitos eléctricos



vR = RI cos(t) 𝒊𝑹 =𝑽

𝑹𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕

v = V cos(t)

𝒊𝑳 =𝑽

𝝎𝑳 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝟗𝟎° 𝒗𝑳 = 𝑳𝑰 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝟗𝟎°

𝒗𝑪 =𝟏

𝝎𝑪𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝟗𝟎° iC = CV cos(t + 90°)

i = I cos(t)



Fasores

• Un fasor es un número complejo que

representa la amplitud y la fase de

una senoide

• Puede ser representado de las tres

formas siguientes:

Rectangular z = x + jy = r(cos + j sen )

Polar

Exponencial

z = r

𝒛 = 𝒓𝒆𝒋

donde

𝒓 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐, = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒚

𝒙


Representación senoidal Representación fasorial

tj

m

j

m

etv

VeV

V

V

Re)(1

)cos()( tVtv m mVV

Fasores


Descripción del vector giratorio (Fasor)

La coordenada del voltaje en cualquier instante es Vmax sen .

Observe los aumentos en los ángulos en pasos de 45°. Lo mismo

ocurre con corrientes

Fasores


La diferencia entre v(t) y V :

v(t) es el voltaje instantáneo en la representación del dominio del

tiempo

V es la representación en el dominio de fasores

v(t) es dependiente del tiempo, V no lo es

v(t) es siempre un término real, no complejo, V es un término

complejo

Nota:

El análisis fasorial aplica solo cuando la frecuencia es constante;

se aplicada a dos o más señales sinusoidales si y solo si estas

señales tienen la misma frecuencia

Fasores


)(sin

sin

max22

max11

tVv

tVv

V1

V2

22

11 0

VV

VV t

v 1

v 2

Referencia

• v1 ADELANTA a v2 por un ángulo de fase de

• v2 ATRASA a v1 por un ángulo de fase de


Fasores


)(cos

cos

max22

max11

tVv

tVv

V1

V2

22

11 0

VV

VV t

v 1

v 2

• v1 ADELANTA a v2 por un ángulo de fase de

• v2 ATRASA a v1 por un ángulo de fase de


Referencia

Fasores


Operaciones matemáticas con números complejos

1. Suma

2. Resta

3. Multiplicación

4. División

5. Recíprocas

6. Raíz cuadrada

7. Complejo conjugado

8. Identidad de Euler

)()( 212121 yyjxxzz

)()( 212121 yyjxxzz

212121 rrzz

21

2

1

2

1 r

r

z

z

rz

11

2 rz

jrerjyxz

sincos je j

Fasores


Relación voltaje – corriente de elementos de un circuito en el

dominio del tiempo contra el dominio de la frecuencia

Elemento Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

R

L

C

Riv RIV

dt

diLv LIjV

dt

dvCi

Cj

IV

Fasores


Resistor: Inductor: Capacitor

:

Relación entre fasores para elementos de un circuito eléctrico

Fasores

Relaciones de voltaje – corriente en circuitos con resistencias

v = iR = RIm cos(ωt + φ)

Supongamos una corriente

i = Im cos(ωt + φ)

El voltaje a través de la resistencia se da por la

Ley de Ohm

V = RIm φ

El voltaje en forma de fasor es

Pero la representación fasorial de la corriente es I = Im φ.

Entoces,

V = RI

Gráfica de v e i


Relaciones de voltaje – corriente en circuitos con inductancias

Para el inductor, asuma que la corriente a

través de L es; Im cos(ωt + φ)

El voltaje a través del conductor es:

Recordando que –sen A = cos(A+90°),

se puede escribir

v = ωLIm cos(ωt + φ + 90◦)

Lo cual se transforma a fasores como

V = ωLImej (φ+90◦) = Limej ej90° = Limej90°

Pero Im = I, y ej90° = j, entonces V = jLI

Gráfica de v e i


Relaciones de voltaje – corriente en circuitos con capacitancias

Para el capacitor, asuma que el voltaje a través de C es

v =Vm cos(ωt + φ)

La corriente a través del capacitor es

Siguiendo los mismos pasos que se hicieron en el modelo del

inductor, tenemos:


Programa en MATLAB – SIMULINK para un circuito RLC.

Sea el circuito RLC de la figura, se pretende:

1. Obtención de las ecuaciones

2. Modelar las ecuaciones: identificación de los bloques de Simulink

3. Creación del archivo de Simulink

4. Configuración de los parámetros de la simulación

5. Análisis de los resultados


Las ecuaciones del circuito son:

𝒊 𝒕 = 𝒊𝑳 𝒕 = 𝒊𝑪 𝒕 = 𝑪𝒅𝑽𝒄(𝒕)

𝒅𝒕 (𝟏)

𝑹 ∙ 𝒊𝑳 𝒕 + 𝑳𝒅𝒊𝑳(𝒕)

𝒅𝒕+ 𝑽𝑪 𝒕 = 𝒗𝑺 𝒕 (𝟐)

De la ecuación (1), despejando la derivada del voltaje en el

capacitor, se obtiene 𝒅𝑽𝑪𝒅𝒕

=𝟏

𝑪𝒊𝑳 𝒕 (𝟑)

De la ecuación (2), despejando la derivada de la corriente, se

obtiene 𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕=𝟏

𝑳𝒗𝑺 𝒕 − 𝑽𝑪 𝒕 − 𝑹 ∗ 𝒊𝑳 𝒕 (𝟒)

Con las ecuaciones (3) y (4), se arma el siguiente diagrama de

bloques en Simulink


Cálculo de la corriente de armadura

Ecuaciones del circuito:

Vs = VR + VC + VL = I(𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 − 𝒋𝑿𝑪)

𝑰 =𝑽𝒔

𝑹 + 𝒋𝑿𝑳 − 𝒋𝑿𝑪

𝑿𝑳 = 𝝎𝑳 = 𝟒 𝟎. 𝟏 = 𝒋𝟎. 𝟒 𝛀

𝑿𝑪 =𝟏

𝝎𝑪=

𝟏

𝟒 (𝟎. 𝟐)= −𝒋𝟏. 𝟐𝟓 𝛀


El cálculo de la corriente es

𝑰 =𝟓𝟎

𝟒 + 𝒋𝟎. 𝟒 − 𝒋𝟏. 𝟐𝟓= 𝟏𝟐. 𝟐𝟐𝟕𝟏𝟏. 𝟗𝟗° 𝑨

En Matlab

%Programa RLC, Determine la corriente del Circuito RLC

si:

R = 4; %Ohms L= 0.1; %Henrys C=0.2; %Farads

w=4; %R/s Vs=50; %Volts

%Cálculo de las reactancias: XL=w*L; XC=1/(w*C);

%Cálculo e impresión de la corriente

fprintf('El valor de la corriente es'); I=Vs/(R+j*XL-j*XC)

Cuya solución es

El valor de la corriente es

I =11.9599 + 2.5415i

>> abs(I) ans =12.2270

>> angle(I)*180/pi ans = 11.9969


Ejemplo

Si la amplitud de la forma de onda de la figura siguiente es Em = 100

V, determine el voltaje en la bobina a 30° y 330 °

Solución:

Con = 30°, e = Em sen = 100 sen 30° = 50 V

Con = 330°, e = Em sen = 100 sen 330° = -50 V


La impedancia Z de un circuito es la relación del fasor voltaje V

al fasor corriente I, medido en ohms

Impedancia Z

La impedancia representa la oposición que ofrece un circuito a un

flujo de una corriente sinusoidal. Aunque la impedancia es la

relación de dos fasores, no es una cantidad fasorial, debido a que

no corresponde a una cantidad que varíe sinusoidalmente


Si = 0, ZL = 0 y ZC → ∞

Si ω → ∞ ZL → ∞ y ZC = 0

Valores extremos dela

frecuencia angular

Impedancia Z


Z = R jX

Como una cantidad compleja, la impedancia se puede expresar en

forma rectangular como

Donde R = Re Z es la resistencia y X = Im Z es la reactancia. La

reactancia inductiva corresponde al signo (+) y la ractancia

capacitiva corresponde al signo (-)

La impedancia expresada en forma polar se representa como

Z = Z

Donde

y

Impedancia Z


Ejemplo

Para el circuito de la figura, determine la Zeq en forma rectangular

y forma fasorial

Solución:

Zeq = 3.8 + j0.6 = 3.84710.269°

Impedancia Z


La Admitancia Y

La admitancia Y es el recíproco de la impedancia, medida en

siemens(S)

La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la relación entre

el fasor corriente y el voltaje a traves en el

Como una cantidad compleja, la admitancia Y se puede escribir como

Donde G =Re Y es llamada conductancia y B = Im Y es llamada

susceptancia

La admitancia, conductancia y susceptancia se expresan en siemens

(o mhos)

Esta ecuación no implica que la parte real de la admitancia sea

igual al recíproco de la parte real de la impedancia o que la parte

imaginaria de la admitancia sea igual al recíproco de la parte

imaginaria de la impedancia

La Admitancia Y


Racionalizando la ecuación anterior

Igualando las partes real e imaginaria obtenemos:

Mostrando que G 1/R como en circuitos resistivos. Por supuesto,

si X = 0, entonces G = 1/R

La Admitancia Y


Ejemplo

Usando impedancias y admitancias, para el circuito de la figura,

determine la Zeq en forma rectangular y forma fasorial

Solución:

Zeq = 3.8 + j0.6 = 3.84710.269° M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya

Teorema de Thevenin

Cualquier red lineal (con fuentes independientes) puede sustituirse,

respecto a dos terminales A y B, por una fuente de tensión VTH en

serie con una resistencia RTH, siendo:

- La tensión VTH el valor de la diferencia de potencial entre los

terminales A y B cuando se aísla la red lineal del resto del circuito

(diferencia de potencial entre A y B en circuito abierto).

- La resistencia RTH es la resistencia vista desde los terminales A y B,

y se determina cortocircuitando todas las fuentes de tensión, y

sustituyendo por circuitos abiertos las fuentes de corriente.

𝑹𝑻𝑯 = 𝑹𝟏 ∗ 𝑹𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐

𝑽𝑻𝑯 =𝑹𝟐

𝑹𝟏 + 𝑹𝟐𝑽𝒔

Para el circuito de la figura aplique el teorema de Thevenin para

encontrar Ix

Solución: Al desconectar el resistor de 100 , el circuito se reduce a

Teorema de Thevenin


Aplicando a la expresión división de voltajes, queda:

y

De donde

Luego, se encuentra la Z equivalente de Thevenin ZTH,

cortocircuitando el voltaje de la fuente 1700° V. el circuito se

reduce a:

Teorema de Thevenin


Obsérvese que las combinaciones en paralelo j 200 85 y 50 j 100

están en serie, como se muestra en la figura siguiente

Teorema de Thevenin


El circuito equivalente de Thevenin se

muestra en la figura siguiente

Al regresar el resistor de 100 donde pasa

Ix, el circuito final queda

Entonces:

𝑰𝒙 =𝑽𝑻𝑯

𝒁𝑻𝑯 + 𝟏𝟎𝟎𝜴=

𝟏𝟏𝟎. 𝟐𝟏∠ − 𝟑𝟔°

𝟏𝟏𝟐 + 𝑱𝟏𝟎. 𝟔 + 𝟏𝟎𝟎= 𝟎. 𝟓𝟏𝟔 + 𝒋𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟖 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟗∠ − 𝟔. 𝟒° 𝑨

Teorema de Thevenin


Determine el equivalente de Thevenin del siguiente circuito

Donde Z1 = 5 ; Z2 = j20 , vS (t) = 110 cos(377t) V.

Análisis: Primero calcule la impedancia equivalente vista desde la

carga, ZL

Como se ilustra en la figura siguiente, se remueve la carga,

cortociruitando la fuente de voltaje y calculando la Zeq

Teorema de Thevenin


𝒁𝒆𝒒 =𝒁𝟏 ∙ 𝒁𝟐𝒁𝟏 + 𝒁𝟐

=𝟓 ∙ 𝑱𝟐𝟎

𝟓 + 𝑱𝟐𝟎= 𝟒. 𝟕𝟏 + 𝑱𝟏. 𝟏𝟕𝟔 𝜴

Ahora se calcula el voltaje de Thevenin entre terminales a y b

𝑽𝑻𝑯 =𝒁𝟐

𝒁𝟏 + 𝒁𝟐𝑽𝑺 = 𝟏𝟎𝟔. 𝟕∠𝟏𝟒. 𝟎𝟒 𝑽

Teorema de Thevenin


Teorema de Norton

• Cualquier circuito equivalente de Thevenin se puede

cambiar a un circuito equivalente de una fuente de corriente

con una resistencia en paralelo (transformación de fuentes)

• Esta fuente de corriente con la resistencia en paralelo se

llama Circuito equivalente de Norton

• Encontrar el circuito equivalente de Norton requiere el

mismo proceso que se usa para encontrar el circuito

equivalente de Thevenin


Equivalencias entre el Circuito equivalente de Thevenin

(a la izquierda) y el circuito equivalente de Norton

Teorema de Norton


Métodos de solución de redes

Procedimiento:

1. Convertir las fuentes independientes a la forma fasorial

2. Seleccionar las corrientes de malla y designarlas del dominio

del tiempo, in, al dominio fasorial In

3. Si el circuito contiene solo fuentes independientes de voltaje,

usando la frecuencia conocida de las fuentes, ω, hallar la

impedancia de cada elemento del circuito; de lo contrario, si

el circuito contiene una fuente de corriente, elegir uno de los

siguientes dos casos y el método asociado.

1. Método de mallas


Caso Método

a. La fuente de corriente

aparece como un

elemento en una sola

malla, n

Igualar la corriente de malla In a la

corriente de la fuente, tomando en

cuenta su dirección

b. La fuente de corriente

es común a dos mallas

Crear una supermalla como la

periferia de las dos mallas. Escribir

una ecuación de la LVK alrededor

de la periferia de la supermalla.

Plantear también la ecuación

restrictiva debida a la fuente de

corriente.

4. Escribir la LVK en cada malla.

5. Despejar la corriente In de malla deseada utilizando la regla de

Cramer.

6. Convertir la corriente fasorial de nuevo a la forma del dominio

temporal.



Ejemplo

Determinar la corriente senoidal i1 de estado estable en el

circuito de la figura cuando vs = 10 𝟐 cos (t + 45°) y = 100

rad/s. Además, R = 3, L = 30 mH y C = 5 mF



Solución

Primero se transforma el voltaje de la fuente a su

forma fasorial

Puesto que la frecuencia de la fuente es ω =100, rad/s se determina

que la inductancia tiene una impedancia de j3 y el capacitor una

impedancia de –j2

Vs = 10 + j10 V

Ahora pueden escribirse las ecuaciones de la LVK para cada malla,

obteniendo

Malla 1: Vs = (3 + j3)I1 – j3 I2

Malla 2: 0 = (3 – j3)I1 + (3 – j2)I2

Resolviendo el sistema, I1 = 1.0571.6° A, en función del tiempo, i1 =

1.05 cos(100t +71.6°) A



Utilizando análisis de mallas encuentre el valor de V0

Solución:

Como se muestra en la figura siguiente, las mallas tres y cuatro

forman una supermalla debido a que hay una fuente de corriente

entre dos mallas



Para la malla 1 se tiene

10 = (8-j2)I1 + j2I2 -8I3

Para malla 2 I2 = -3

Para la supermalla

0 = (8 – j4)I3 – 8I1 + (6 + j5)I4 – j5I2




Debido a la corriente de la fuente entre mallas 3 y 4, en el nodo A

I4 = I3 + 4

Combinando ecuaciones de la mallas 1 y 2

(8 – j2)I1 – 8I3 = 10 + j6

Combinando ecuaciones de malla 2, supermalla y nodo A, se obtiene

-8I1 + (14 + j)I3 = -24 – j35

De las dos últimas ecuaciones obtenemos

𝟖 − 𝒋𝟐 −𝟖−𝟖 𝟏𝟒 + 𝒋

𝑰𝟏𝑰𝟑=

𝟏𝟎 + 𝒋𝟔−𝟐𝟒 − 𝒋𝟑𝟓



Y los determinantes son

𝜟 =𝟖 − 𝒋𝟐 −𝟖−𝟖 𝟏𝟒 + 𝒋

= 𝟓𝟎 − 𝒋𝟐𝟎

𝜟𝟏 =𝟏𝟎 + 𝒋𝟔 −𝟖−𝟐𝟒 − 𝒋𝟑𝟓 𝟏𝟒 + 𝒋

= −𝟓𝟖 − 𝒋𝟏𝟖𝟔

La corriente I1 obtenida es

𝑰𝟏 = 𝜟𝟏

𝜟 =

−𝟓𝟖 −𝒋𝟏𝟖𝟔

𝟓𝟎 −𝒋𝟐𝟎= 𝟑. 𝟔𝟏𝟖∠𝟐𝟕𝟒. 𝟓° 𝑨

El voltaje V0 es

V0 = -j2(I1 – I2) = - j2(3.618274.5° + 3)

= -7.2134 – j6.568 = 9.756222.32° V



Utilizar el análisis de mallas para determinar ix(t) en el circuito de la

figura si vs = 10 cos 100t, R1 = 1 , R2 = 1 , R3 = 1 , R4 = 1 , C =

0.04 F, L = 0.04 H

𝑿𝑪 =𝟏

𝒋𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟒= −𝒋𝟎. 𝟐𝟓 𝜴; 𝑿𝑳 = 𝒋𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟒 = 𝒋𝟒 𝜴

Solución: Transformando los elementos no lineales



Se definen las tres ecuaciones de malla, poniendo cada corriente

circulando en sentido de las manecillas

Malla 1: (1+1-j0.25)I1 –I2-(-j0.25) I3 = 100°

Malla 2: -I1+(1+1+j0.4) I2-I3 = 0

Malla 3: -(-j0.25I1)-I2+(-j0.25+1+1) I3= 0

Ix es equivalente a I3, por tanto

𝑰𝒙 =

𝟐−𝒋𝟎.𝟐𝟓 −𝟏 𝟏𝟎−𝟏 𝟐+𝒋𝟒 𝟎𝒋𝟎.𝟐𝟓 −𝟏 𝟎

𝟐−𝒋𝟎.𝟐𝟓 −𝟏 𝒋𝟎.𝟐𝟓−𝟏 𝟐+𝒋𝟒 −𝟏𝒋𝟎.𝟐𝟓 −𝟏 𝒋𝟎.𝟐𝟓

=1.217∠ − 𝟕𝟓. 𝟗𝟔° 𝑨

En el dominio del tiempo,

ix(t) = 1.217 cos(100t -75.96°) A


1. Convertir las fuentes independientes a la forma fasorial

2. Seleccionar los nodos y el nodo de referencia y designar los

voltajes de nodo en el dominio del tiempo, vn, al voltaje fasorial

correspondiente, Vn

3. Si el circuito solo contiene fuentes independientes de corriente,

usando la frecuencia ω de las fuentes, determinar la impedancia

de cada elemento del circuito; de no ser así, si el circuito contiene

una fuente de voltaje, seleccionar uno de los tres casos siguientes

y el método asociado

2. Método de los nodos


Caso Método

a. La fuente de voltaje

conecta el nodo q con el

nodo de referencia

Hacer Vq = Vs y proseguir.

b. La fuente de voltaje

está entre dos nodos.

Crear un supernodo

incluyendo ambos nodos.

c. La fuente de voltaje

en serie con una

impedancia está entre

el nodo d y la tierra con

su terminal positiva en

el nodo d

Reemplazar la fuente de

voltaje y la impedancia en

serie por una combinación en

paralelo de una admitancia

Y1 = 1/Z1 y una fuente de

corriente Is = Vs Y1 entrando

al nodo d



4. Hallar la admitancia equivalente de cada rama en el nodo dado Yn

5. Escribir la LCK en cada nodo

6. Despejar el voltaje de nodo deseado usando la regla de Cramer Va

7. Convertir el voltaje fasorial Va a la forma de dominio temporal.

Ejemplo. Determine el voltaje en el nodo v si Vs = 10 cos t, = 10

rads/s, R1 = R2 = 10 , R3 = 5 , L = 0.5 H y C = 10 mF


Solución

El circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que

se identifica un supernodo como se muestra en la figura siguiente,

Supernodo

Donde la impedancia de cada elemento en forma fasorial es: la

impedancia del inductor ZL = 5 y la del capacitor ZC = -j10



Primero tenemos que

𝒀𝟏 =𝟏

𝑹𝟏= 𝟏

𝟏𝟎

Ahora los conjuntamos las dos admitancias en paralelo para que R2

y C den una admitancia Y2 y R3 y L den la admitancia Y3, como se

muestra en la siguiente figura

𝒀𝟐 = 𝟏

𝑹𝟐+𝟏

𝒁𝑪=𝟏

𝟏𝟎+𝒋

𝟏𝟎=𝟏

𝟏𝟎𝟏 + 𝒋

𝒁𝟑 = 𝑹𝟑 + 𝒁𝑳 = 𝟓 + 𝒋𝟓; 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒀𝟑 =𝟏

𝟓 + 𝒋𝟓=𝟏

𝟓𝟎𝟓 − 𝒋𝟓



Aplicando la LCK al supernodo de la figura, se obtiene:

Y1 (V-Vs) + Y2V + Y3(V+10 I) = 0

Además

I = Y1(VS – V)

Sustituyendo, entre sí las dos anteriores ecuaciones, tenemos

que

Y1 (V-Vs) + Y2V + Y3[V+10 Y1(VS – V)] = 0



Reordenando

En consecuencia

Dado que VS = 100° V, se obtiene

(Y1 + Y2 + Y3 – 10Y1Y3)V = (Y1 – 10Y1Y3)VS

𝑽 =𝒀𝟏 − 𝟏𝟎𝒀𝟏𝒀𝟑

𝒀𝟏 + 𝒀𝟐 + 𝒀𝟑 − 𝟏𝟎𝒀𝟏𝒀𝟑𝑽𝑺

𝑽 =

𝟏𝟏𝟎−𝟏𝟓𝟎

𝟓 − 𝒋𝟓 𝟏𝟎

𝟏𝟏𝟎+ 𝟏𝟏𝟎

𝟏 + 𝒋=𝟏 − 𝟏 − 𝒋

𝟏𝟏𝟎

𝟐 + 𝒋=𝟏𝟎𝒋

𝟐 + 𝒋

Por tanto se tiene

𝒗 = 𝟏𝟎

𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟎𝒕 + 𝟔𝟑. 𝟒° 𝑽



Encuentre ix en el circuito de la figura usando análisis nodal


Solucion: Primero convertimos al dominio de la frecuencia

20 cos 4t

1 H

0. 5 H

0.1 F

200°, = 4 rad/s

jL = j4

jL = j2

𝟏

𝒋𝝎𝑪 = -j2.5

Aplicando la LCK al nodo 1

𝟐𝟎 − 𝑽𝟏𝟏𝟎

=𝑽𝟏−𝒋𝟐. 𝟓

+𝑽𝟏 − 𝑽𝟐𝒋𝟒

o (1 +j1.5)V1 + j2.5V2 = 20



En nodo 2

𝟐𝑰𝒙 +𝑽𝟏 − 𝑽𝟐𝒋𝟒

=𝑽𝟐𝒋𝟐

Pero Ix = V1/-j2.5 . Sustituyendo se obtiene

𝟐𝑽𝟏−𝒋𝟐. 𝟓

+𝑽𝟏 − 𝑽𝟐𝒋𝟒

=𝑽𝟐𝒋𝟐

Simplificando obtenemos

11 V1 + 15 V2 = 0

Poniendo las dos ecuaciones de nodos en forma matricial

𝟏 + 𝒋𝟏. 𝟓 𝒋𝟐. 𝟓𝟏𝟏 𝟏𝟓

𝑽𝟏𝑽𝟐

=𝟐𝟎𝟎




Donde los determinantes son

𝜟 =𝟏 + 𝒋𝟏. 𝟓 𝒋𝟐. 𝟓𝟏𝟏 𝟏𝟓

= 𝟏𝟓 + 𝒋𝟓

𝜟1=𝟐𝟎 𝒋𝟐. 𝟓𝟎 𝟏𝟓

= 𝟑𝟎𝟎 𝜟𝟐 =𝟏 + 𝒋𝟏. 𝟓 𝟐𝟎𝟏𝟏 𝟎

= −𝟐𝟐𝟎

𝑽𝟏 =𝜟𝟏𝜟=

𝟑𝟎𝟎

𝟏𝟓 − 𝒋𝟏𝟓= 𝟏𝟖. 𝟗𝟕∠𝟏𝟖. 𝟒𝟑° 𝑽

𝑽𝟐 =𝜟𝟐𝜟=

−𝟐𝟐𝟎

𝟏𝟓 − 𝒋𝟏𝟓= 𝟏𝟑. 𝟗𝟏∠𝟏𝟗𝟖. 𝟑° 𝑽

Los voltajes son



La corriente Ix está dada por

𝑰𝒙 =𝑽𝟏−𝒋𝟐. 𝟓

=𝟏𝟖. 𝟗𝟕∠𝟏𝟖. 𝟒𝟑°

𝟐. 𝟓∠ − 𝟗𝟎°= 𝟕. 𝟓𝟗∠𝟏𝟎𝟖. 𝟒 𝑨

Transformando al dominio del tiempo

Ix = 7.59 cos (4t + 108.4°) A


Principio de superposición

Si en un circuito existen varios generadores, las corrientes y

tensiones en cada componente es igual a la suma de cada generador

actuando de forma independiente.

Cuando se aplica el principio de superposición recuerde que las

fuentes de tensión se van a cortocircuitar y las fuentes de

intensidad se abrirán.

Ejemplo: Dado el circuito de la figura, calcular la intensidad de

corriente que circula por la impedancia Z

Aplicando el principio de superposición y puesto que son dos fuentes

de tensión las que tenemos, primero cortocircuitaremos una y luego la

otra.

Empecemos cortocircuitando la de 200 V. Y Resolvemos por el método

de mallas, dejando la de 130 V, tenemos que:

Empezamos a resolver por mallas para sacar las ecuaciones, la

expresión de la tensión que nos la dan en forma polar la pasamos a

forma compleja. La corriente que pasa por la impedancia 5 + j5 es la

suma de I1 e I2 por ir en el mismo sentido, si fueran en sentidos

opuestos se restarían


Malla 1: 95.26 + j55 = (1 + j3) I1 + (5 + j5) (I1 + I2)

Malla 2: 0 = (2 + j3)I2 + (5 + j5)(I1 + I2)

Con estas dos ecuaciones formamos un sistema que pasamos a

resolver. Operando, para simplificar el sistema llegamos a:

Malla 1: 95.26 + j55 = (6 + j8)I1 + (5 + j5) I2

Malla 2: 0 = (5 + j5)I1 + (7 + j8) I2

Resolviendo el sistema:

I1 =

I2 =



Resolvemos ahora cortocircuitando la otra fuente de tensión, el circuito

que tenemos es el siguiente:

El sistema de ecuaciones que nos queda es el siguiente:

Malla 1: 200 = (2 + j3)I1 + (5 + j5)(I1 + I2)

Malla 2: 0 = (1 + j3)I2 + (5 + j5)(I1 + I2)

Resolviendo el sistema: I1 = I2 =

La intensidad que pasa por Z va a ser la suma de I1 (del primer

circuito) e I2 (del segundo circuito)

IT =



Utilizando el principio de superposición, calcular la corriente que

pasa por la impedancia 3 + j2



P

S Q

U-2 Relaciones de potencia en

circuitos de CA

1. Calcular la potencia instantánea y promedio en circuitos de CA

2. Ser capaz de calcular la máxima transferencia de potencia de

una carga en circuitos de CA

3. Saber como calcular los valores efectivos o rms de una forma de

onda periódica

4. Saber como calcular las potencias real, reactiva y compleja y el

factor de potencia en circuitos de CA

5. Entender como corregir el factor de potencia en circuitos de CA




Potencia instantánea y potencia promedio

La potencia instantánea p(t) absorbida por un elemento es el producto

del voltaje instantáneo v(t) a través del elemento y la corriente

instantánea i(t) que circula por el. Asumiendo una convención pasiva

de los signos

p(t) = v(t)i(t)

v(t) = Vm cos(ωt + θv)

i(t) = Im cos(ωt + θi)

sea

La potencia instantánea absorbida por el circuito es

p(t) = v(t)i(t) = VmIm cos(ωt + θv) cos(ωt + θi)


cos A cos B = 𝟏

𝟐[cos (A − B) + cos (A + B)]

Aplicando la identidad trigonométrica

p(t) = 𝟏

𝟐VmIm cos(θv − θi) +

𝟏

𝟐 VmIm cos(2ωt + θv + θi)

Esto muestra que la potencia instantánea tiene dos partes. La

primera, es constante o independiente del tiempo. Su valor

depende de la diferencia de fase entre el voltaje y la corriente. La

segunda parte es una función senoidal cuya frecuencia es 2ω, la

cual es el doble de la frecuencia angular del voltaje o de la

corriente



Cuando la potencia p(t) es positiva, la potencia es absorbida o

almacenada por los elementos del circuito. Cuando p(t) es negativa,

es potencia absorbida por la fuente; esto es, es potencia transferida o

liberada desde el circuito a la fuente. Esto es posible debido a los

elementos que almacenan energía en el circuito (capacitores e

inductores)

La potencia instantánea cambia con el tiempo y es muy difícil de

medir. La potencia promedio es más conveniente para medir. De

hecho, el wattmetro, instrumento para medir potencia eléctrica,

responde a la potencia promedio




Potencia puramente

inductiva, la potencia

promedio es cero

Potencia puramente

capacitiva, la potencia

promedio es cero


La potencia promedio se define como el promedio de potencia

instantánea en un periodo

𝑷 =𝟏

𝑻 𝒑 𝒕 𝒅𝒕𝑻

𝟎

Sustituyendo la equivalencia de p(t) obtenida en ecuaciones

anteriores, obtenemos

𝑷 =𝟏

𝑻 𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊 𝒅𝒕 +

𝟏

𝑻

𝑻

𝟎

𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝎𝒕 + 𝜽𝒗 + 𝜽𝒊 𝒅𝒕

𝑻

𝟎

𝑷 =𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊

𝟏

𝑻 𝒅𝒕𝑻

𝟎

+𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎

𝟏

𝑻 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝎𝒕 + 𝜽𝒗 + 𝜽𝒊 𝒅𝒕𝑻

𝟎



El primer integrando es constante, y el promedio de una constante es la

constante misma. El segundo integrando es una seniode. Sabemos que el

promedio de una senoide sobre su periodo es cero, así que el segundo

término de la ecuación anterior se hace cero y la potencia promedio

queda como

𝑷 =𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊

Este valor es independiente del tiempo

v(t) e i(t) se pueden expresar en forma de fasores como V = Vmv

e I = Imi



También

𝟏

𝟐𝑽𝑰∗=

𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎∠𝜽𝒗 − 𝜽𝒊 =

𝟏

𝟐𝑽𝒎𝒊𝒎 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊 + 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊

Si 𝜽𝒗 = 𝜽𝒊, la corriente está en fase con el voltaje y la carga es

resistiva

𝑷 =𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎=

𝟏

𝟐𝑰𝒎𝟐𝑹 =

𝟏

𝟐|𝑰|𝟐𝑹

Cuándo θv − θ𝒊 = ± 90°, se tiene un circuito puramente reactivo, y

P = 𝟏

𝟐 VmIm cos 90° = 0



Una caga resistiva consume potencia todo el tiempo, mientras

que una carga reactiva (L o C) su potencia promedio consumida

es cero

Ejemplo

Dado v(t) = 120 cos(377t +45°)V e i(t) = 10 cos(377t −10°) A

Encuentre la potencia instantánea y potencia promedio absorbida por

la red lineal de la figura



Solution:

La potencia instantánea está dada por

p = vi = 1200 cos(377t + 45◦ ) cos(377t − 10°)

Aplicando la identidad trigonométrica

cosAcosB = [cos(A + B) + cos(A − B)]

se obtiene p = 600[cos(754t + 35◦) + cos 55°]

p(t) = 344.2 + 600 cos(754t + 35◦) W o

La potencia promedio es

P = ½VmIm cos(θv − θi) = ½(120)(10) cos[45° − (−10°)]

= 600 cos 55° = 344.2 W



Para el ciruito de la figura, encuentre la potencia promedio

suministrada por la fuente y la potencia promedio consumida por la

resistencia

Solución:

La corriente I está dada por



The average power supplied by the voltage source is

La corriente a través del resistor es

Y el voltaje a través de este es

La potencia promedio consumida por el resistor es

La cual es la misma que la potencia promedio suministrada por la

fuente. La potencia promedio absorbida por el capacitor es cero


Determine la potencia generada por cada fuente y la potencia

promedio absorbida por cada elemento pasivo en el circuito de la

figura



Solución:

Aplicando análisis de mallas como se muestra en la figura, para la

malla 1

I1= 4 A

Para la malla 2



Para el voltaje de la fuente, la corriente fluyendo a través de esta es

Y el voltaje a través de la fuente es 6030° V, por tanto, la

potencia promedio es

Siguiendo la convención pasiva de los signos, esta potencia

promedio es absorbida por la fuente, debido a la dirección de I2 y

la polaridad del voltaje de la fuente. O sea, el circuito está

entregando una potencia promedio a la fuente de voltaje



Para la fuente de corriente, la corriente a través de esta es de I1 = 4

0° A y el voltaje a través de ella es

La potencia promedio suministrada por la fuente de corriente es

Es negativa de acuerdo a la convención pasiva de los signos, lo que

significa que la fuente de corriente está suministrando potencia al

circuito



Para el resistor, la corriente a través de el es I1 = 4 0° y su voltaje

es 20I1 = 80 0◦, por lo que la potencia absorbida por el resistor es

Para el capacitor, su corriente es I2 = 10.58 79.1° y su voltaje es

La potencia promedio absorbida por el capacitor es



Para el inductor, la corriente es

I1 − I2 = 4 + j0 - 2 − j10.39 = 10.58 − 79.1◦.

El voltaje a través de este es:

Aquí, la potencia promedio absorbida por el inductor es



Note que la potencia promedio absorbida por el capacitor y el

inductor son cero y que la potencia total suministrada por la fuente de

corriente iguala a la potencia absorbida por el resistor y la fuente de

voltaje, o

Indicando que la potencia se conserva



Máxima transferencia de potencia

Teorema de máxima transferencia de potencia

Considere el circuito de la figura, donde la carga es una impedancia

que representa a un motor, una antena, o cualquier otro tipo de

carga. Considere su circuito de Thevenin

En forma rectangular, la impedancia de Thevenin y la impedancia

de carga son

ZTh = RTh + jXTh

ZL = RL + jXL


La corriente a través de la carga es

La potencia promedio entregada a la carga es

El objetivo es ajustar los parámetros de la carga RL y XL para que la

potencia sea máxima. Para hacer esto, se ajusta ∂P/∂RL y ∂P/∂XL

iguales a cero. De la ecuación anterior, se obtiene

𝑰 =𝑽𝑻𝒉

𝒁𝑻𝒉 + 𝒁𝑳=

𝑽𝑻𝒉𝑹𝑻𝒉 + 𝒋𝑿𝑻𝒉 + 𝑹𝑳 + 𝒋𝑿𝑳

𝑷 = 𝟏

𝟐𝑰 𝟐𝑹𝑳 =

𝑽𝑻𝒉𝟐𝑹𝑳/𝟐

𝑹𝑻𝒉 + 𝑹𝑳𝟐 + 𝑿𝑻𝒉 + 𝑿𝑳

𝟐

𝝏𝑷

𝝏𝑿𝑳=

𝑽𝑻𝒉𝟐𝑹𝑳 𝑿𝑻𝒉 + 𝑿𝑳

𝑹𝑻𝒉 + 𝑹𝑳𝟐 + 𝑿𝑻𝒉 + 𝑿𝑳

𝟐 𝟐

𝝏𝑷

𝝏𝑿𝑳=𝑽𝑻𝒉

𝟐 𝑹𝑻𝒉 + 𝑹𝑳𝟐 + 𝑿𝑻𝒉 + 𝑿𝑳

𝟐 − 𝟐𝑹𝑳 𝑹𝑻𝒉 + 𝑹𝑳𝟐 𝑹𝑻𝒉 + 𝑹𝑳

𝟐 + 𝑿𝑻𝒉 + 𝑿𝑳𝟐 𝟐



Ajustando ∂P/∂XL a cero, se obtiene

XL = -XTh

Y ajustando ∂P/∂RL a cero se obtiene

Combinando las dos ecuaciones anteriores, se llega a la conclusión de

que para máxima transferencia de potencia promedio, ZL debe

seleccionarse tal que XL = −XTh y RL = RTh, es decir,

𝑹𝑳 = 𝑹𝟐𝑻𝒉 + 𝑿𝑻𝒉 + 𝑿𝑳𝟐

𝒁𝑳 = 𝑹𝑳 + 𝒋𝑿𝑳 = 𝑹𝑻𝒉 − 𝒋𝑿𝑻𝒉 = 𝒁∗

𝑻𝒉



Para máxima transferencia de potencia, la impedancia de la

carga ZL debe ser igual al complejo conjugado de la impedancia

de Thevenin ZTh

El teorema establece que

Haciendo RL = RTh y XL = −XTh se obtiene la expresión de potencia

promedio máxima como

𝑷𝒎𝒂𝒙 =𝑽𝑻𝒉

𝟐

𝟖𝑹𝑻𝒉



Para condiciones de carga puramente resistiva, X = 0

𝑹𝑳 = 𝑹𝟐𝑻𝒉 + 𝑿𝟐𝑻𝒉 = 𝒁𝑻𝒉

Determine la impedancia de la carga ZL que maximize la potencia

promedio para el circuito de la figura. ¿Cuál es la máxima potencia

promedio?

Ejemplo


Solución:

Primero encontramos el equivalente de Thevenin en las terminales

de la carga. Para obtener ZTh, considere el circuito de la siguiente

figura

𝒁𝑻𝒉 = 𝒋𝟓 + 𝟒|| 𝟖 − 𝒋𝟔 = 𝟐. 𝟗𝟑𝟑 + 𝒋 𝟒. 𝟒𝟔𝟕 𝜴

Por división de voltajes, VTh es

𝑽𝑻𝒉 =𝟖−𝒋𝟔

𝟒+𝟖−𝒋𝟔𝟏𝟎 =7.454-10.3° V



La impedancia de la carga entrega la máxima potencia al circuito

cuando

ZTh =Z*Th = 2.933 – j4.467

Y la potencia máxima transferida es

𝑷𝒎𝒂𝒙 =𝑽𝑻𝒉

𝟐

𝟖𝑹𝑻𝒉=𝟕. 𝟒𝟓𝟒 𝟐

𝟖 𝟐. 𝟗𝟑𝟑= 𝟐. 𝟑𝟔𝟖 𝑾



Para el circuito de la figura, ¿a que valor debería ajustarse la

impedancia de carga ZL para que reciba la máxima potencia de la

fuente de

Para este problema , para encontrar ZTh removemos ZL y ponemos

en corto la fuente de voltaje, tal como se muestra en el circuito

auxiliar

Solución



Observe que Z1 está en paralelo con Z2 , y su combinación se

muestra en el circuito simplificado de abajo



Este circuito no puede seguir simplificandose a menos que se utilice

la transformación Estrella – Delta, la cual se tratará en circuitos

trifásicos, por lo que se iniciará calculando el voltaje de Thevenin.

Del circuito original, se desconecta la ZL en los puntos X e Y, como se

muestra abajo

El voltaje de Thevenin es el voltaje entre los puntos X e Y,

también se agrupan la resistencia y el capacitor a la derecha para

formar Z5, entonces



VTh = VXY = VX – VY = V1 – (V2 – VR5)

En nodo 1

𝑽𝟏 − 𝑽𝑺𝒛𝟏

+𝑽𝟏𝒛𝟐+𝑽𝟏 − 𝑽𝟐𝒛𝟑

= 𝟎 𝟏

𝒛𝟏+𝟏

𝒛𝟐+𝟏

𝒛𝟑𝑽𝟏 −

𝟏

𝒛𝟑𝑽𝟐 =

𝑽𝑺𝒛𝟏

En nodo 2

𝑽𝟐 − 𝑽𝟏𝒛𝟑

+𝑽𝟐𝒛𝟒+𝑽𝟐𝒛𝟓= 𝟎 −

𝟏

𝒛𝟑𝑽𝟏

𝟏

𝒛𝟑+𝟏

𝒛𝟒+𝟏

𝒛𝟓𝑽𝟐 = 𝟎



De donde se obtiene

𝟏

𝒛𝟏+𝟏

𝒛𝟐+𝟏

𝒛𝟑 −

𝟏

𝒛𝟑

−𝟏

𝒛𝟏

𝟏

𝒛𝟑+𝟏

𝒛𝟒+𝟏

𝒛𝟓

𝑽𝟏

𝑽 𝟐

=

𝑽𝒔𝒛𝟏

𝟎

Usando programa mtp_nodo.m de MATLAB, los resultados son:

V1 = 117.31 + j11.538 V

V2 = 44.2308 + j46.1538 V

VTh = 126.92 - j15.385 V

VTh = 127.85 -6.91° V M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya


A continuación cortocircuitamos los puntos X e Y, tal como se

muestra en el circuito, y se calcula Isc

Las ecuaciones de malla en forma matricial quedan



Usando el programa mtp_mallas.m de MATLAB, se obtiene los

siguientes resultados

I1= 15.6745 - j2.63 A

I2= 10.3094 - j3.1559 A

I3= -1.0520 + j10.7302 A

I4= 6.5223 + j1.4728 A

ZTh= 18.0084 - j6.4260

ZL = Z*Th = 18.0084 + j6.4260

Finalmente


La idea de los valores eficacess viene de la necesidad de medir la

eficacia de las fuentes de voltaje y corriente cuando estas entregan

potencia a una carga resistiva

Valores eficaces o RMS

El valor eficaz de una corriente periódica se mide por el calor que

proporciona una resistencia cuando pasa la corriente por ella, y es

equivalente al mismo calor que suministraría una fuente de corriente

continua sobre dicha resistencia

El circuito de la figura (a) tiene una fuente de CA, mientras que el

circuito de la figura (b) tiene una fuente de CD

El objetivo es encontrar la corriente Ieff que transferirá la misma

potencia al resistor R por la senoidal i. La potencia promedio

absorbida por el resistor en el circuito de CA es

Mientras que la potencia absorbida por el resistor en el circuito de CD

es

Igualando las dos ecuaciones anteriores y resolviendo para Ieff ,

obtenemos

P = I2eff R

𝑷 = 𝒊𝟐𝑹𝒅𝒕 =𝑹

𝑻 𝒊𝟐𝒅𝒕𝑻

𝟎

𝑻

𝟎

𝑰𝒆𝒇𝒇 =𝟏


𝟎



El valor eficáz del voltaje se encuentra de la misma manera que la

corriente, esto es

Esto indica que el valor eficaz es la raíz cuadrada de la media (o el

promedio) del cuadrado de la señal periódica . Así, el valor eficaz es

comúnmente conocido como el valor cuadrático medio, o valor RMS

(de Root Mean Square) y se escribe como

Ieff = Irms Veff = Vrms

𝑽𝒆𝒇𝒇 =𝟏

𝑻 𝒗𝟐𝒅𝒕𝑻

𝟎



Para cualquier función periódica X(t) en general, el valor rms está dado

por

𝑿𝒓𝒎𝒔 =𝟏

𝑻 𝒙𝟐𝒅𝒕𝑻

𝟎

El valor efectivo de una señal periódica es el valor de su raíz

cuadrática media (rms)

La ecuación anterior establece que para encontrar el valor rms de

x(t), primero encontramos su cuadrado x2 y entonces encontramos

la media de este valor, o

𝟏

𝑻 𝒙𝟐𝒅𝒕𝑻

𝟎



Y luego encontramos la raíz cuadrada de la media. El valor rms de

una constante es la constante misma. Para una senoide

i(t) = Im cos t

El valor eficaz o valor rms es

𝑰𝒓𝒎𝒔 =𝟏

𝑻 𝑰𝒎

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝝎𝒕 𝒅𝒕𝑻

𝟎

=𝑰𝒎𝟐

𝑻 𝟏

𝟐𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝎𝒕 𝒅𝒕

𝑻

𝟎

=𝑰𝒎

𝟐

Similarmente, para v(t) = Vm cos t,

𝑽𝒓𝒎𝒔 =𝑽𝒎

𝟐



Recuerde que las dos ecuaciones anteriores, solo son válidas para

funciones senoidales

La potencia promedio se pude escribir en términos de sus valores rms

𝑷 =𝟏

𝟐𝑽𝒎𝑰𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊 =

𝑽𝒎

𝟐

𝑰𝒎

𝟐𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊 =𝑽𝒓𝒎𝒔𝑰𝒓𝒎𝒔 𝜽𝒗 − 𝜽𝒊

Similarmente, la potencia promedio absorbida por un resistor R, se

puede escribir como

𝑷 = 𝑰𝒓𝒎𝒔𝟐𝑹 =

𝑽𝒓𝒎𝒔𝟐

𝑹



Determine el valor rms de la corriente con forma de onda como

se muestra en la figura. Si la corriente pasa a través de un

resistor de 2 , encuentre también la potencia absorbida por el

resistor

Ejemplo



Solución

El periodo de la forma de onda es T = 4. sobre ese periodo, podemos

escribir la forma de onda de la corriente como

i(t) =

5t, 0 < t < 2

-10, 2 < t < 4

El valor rms es

𝑰𝒓𝒎𝒔 =𝟏


𝟎

=𝟏

𝟒 𝟓𝒕 𝟐𝒅𝒕 + −𝟏𝟎 𝟐𝒅𝒕

𝟒

𝟐

𝟐

𝟎



La potencia absorbida por el resistor es

P = (Irms)2 R = (8.165)2 (2) = 133.3 W



Ejemplo

Calcule la potencia promedio absorbida por un resistor de 5

cuando el voltaje a través de este es una media onda rectificada, tal

como se muestra en la figura

Solución

Primero, se encuentra el valor numérico de .

T = 2 ms = 2x 10-3 s; T = 2, por tanto 𝝎 =𝟐𝝅

𝑻= 𝟏𝟎𝟑 𝝅

10 sen t = 10 sen 103 t Así



Entonces la potencia promedio es

𝑷 = 𝟏

𝑻 𝒗𝟐

𝑹𝒅𝒕 =

𝟏

𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟑

𝟏𝟎𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝟏𝟎𝟑𝝅𝒕

𝟓+ 𝟎

𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟑

𝟏𝟎−𝟑

𝟏𝟎−𝟑

𝟎

𝒅𝒕𝑻

𝟎

Usando la identidad

Sen2 = 𝟏

𝟐𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝑷 =𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟑

𝟏

𝟐𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙𝟏𝟎𝟑𝝅𝒕 𝒅𝒕

𝟏𝟎−𝟑

𝟎

= 𝟓𝒙𝟏𝟎𝟑 𝒅𝒕𝟏𝟎−𝟑

𝒐

− 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙𝟏𝟎𝟑𝝅𝒕𝒅𝒕𝟏𝟎−𝟑

𝟎



Donde sen 2n = 0 para n = entero, el último término de la expresión

anterior se reduce a

P = 5 W



Ejercicios de opción múltiple

1. El valor promedio de un voltaje de CD de 12 V es

a. 6V b. 12V c. 12/ 𝟐 𝑽 d. 12 X 𝟐 V e. Ninguna

2. El valor promedio de i = 5 + cos 100t es

a. 5 + 2/ 𝟐 A b. 5 X 𝟐 A c. 5/ 𝟐 𝑨 d. 5 A e. Ninguna

3. El valor rms de i = 5 + cos 100t es

a. 5 + 𝟐/2 A b. 5 X 𝟐 A c. 5/ 𝟐 𝑨 d. 5 A e. Ninguna

4. El voltaje a través de la impedancia Z = 75 + j38 es 115 V rms. La

potencia promedio absorbida por la carga es

a. 176.3 W b. 157.44 W c. 71.3 W d. 352.67 W e. Ninguna



5. El valor promedio de la forma de onda siguiente es

a. 24 V b. 16 V c. 12 V d. 6 V e. Ninguna

6. El valor rms de la forma de onda siguiente es

a. 10/ 𝟐 V b. 10 x 𝟐 V c. 10/ 𝟑 V d. 10 X 𝟑 V e. Ninguna



Potencia aparente y factor de potencia

El voltaje y la corriente en las terminales de un circuito son

respectivamente:

v(t) = Vm cos(ωt + θv ) i(t) = Im cos(ωt + θi)

En forma fasorial

V = Vm θv I = Im θi

En temas anteriores se había establecido que

P = VrmsIrms cos(θv − θi)

Si definimos

S = VrmsIrms



La potencia promedio es el producto de dos términos. El producto

VrmsIrms es conocido como la POTENCIA APARENTE S

El factor cos(θv − θi) es llamado el factor de potencia (fp)

La potencia aparente (en VA), es el producto de los valores rms

del voltaje y la corriente

Se llama potencia aparente porque se parece a la potencia real que

es el producto del voltaje por la corriente, en analogía a los circuitos

resistivos de CD.

la potencia aparente se mide en VA a diferencia de la potencia real

que se mide en Watts. El factor de potencia es un término

adimensional que se puede definir como como la relación entre la

potencia promedio y la potencia aparente

P = VrmsIrms cos(θv − θi) = S cos(θv − θi), de donde



El factor de potencia es igual al ángulo de la impedancia de carga, si V

es el voltaje a través de la carga e I es la corriente a través de esta.

Esto es evidente a partir de que

Alternativamente si

y

Entonces



Para potencias puramente resistiva, el voltaje y la corriente están

en fase y el fp = 1. Esto implica que la potencia promedio es igual a

la potencia aparente

Se dice que el factor de potencia es adelantado, si la corriente se

adelanta al voltaje. Esto ocurre cuando la carga es

predominantemente capacitiva (Z = R – jXC). El caso más extremo es

que R = 0 y la corriente adelanta al voltaje por 90°

Se dice que el factor de potencia es atrasado, si la corriente se atrasa

al voltaje. Esto ocurre cuando la carga es predominantemente

inductiva (Z = R + jXL). El caso más extremo es que R = 0 y la

corriente atrasa al voltaje por 90°



Determine el factor de potencia del circuito de la figura visto desde

la fuente. Calcule también la potencia promedio entregada por la

fuente

Ejemplo

Solución:

fp = 0.9734 (-); P = 125 W



Ejemplo

Para el circuito de la figura, determine el factor de potencia y la

potencia promedio suministrada por la fuente

Solución:

fp = 0.936 (-); P = 118 W


Potencia compleja

Durante años se han realizado considerables esfuerzos para

expresar las relaciones de la potencia tan sencillo como sea posible

Los ingenieros del área de potencia han acuñado el término de

potencia compleja, el cual se utiliza para para encontrar el efecto

total de las cargas en paralelo

La potencia compleja es importante en el análisis de potencia,

porque contiene toda la información perteneciente a la potencia

absorbida por una carga determinada

Considere la carga de CA de la siguiente figura. En forma fasorial,

V = Vmv e I = Imi del voltaje v(t) y la corriente i(t)

respectivamente, la potencia compleja absorbida por la carga es el

producto del voltaje y del complejo conjugado de la corriente, o


Asumiendo la convención pasiva de los signos, en términos de los

valores rms

S = Vrms I*

rms

Potencia compleja


donde

𝑽𝒓𝒎𝒔 =𝑽

𝟐= 𝑽𝒓𝒎𝒔∠𝜽𝒗

y

𝑰𝒓𝒎𝒔 =𝑰

𝟐= 𝑰𝒓𝒎𝒔∠𝜽𝒊

Por lo que la ecuación de potencia compleja se convierte en

S = Vrms Irms v - i = Vrms Irms cos (v - i) + j Vrms Irms sen (v - i)

Potencia compleja


De la ecuación anterior se puede ver que la potencia compleja se mide

en volt – amperes (VA). También que el ángulo de la potencia

compleja es el ángulo del factor de potencia.

La potencia compleja puede ser expresada en términos de la

impedancia de la carga Z, esta se puede escribir como

𝒁 = 𝑽

𝑰=𝑽𝒓𝒎𝒔𝑰𝒓𝒎𝒔

=𝑽𝒓𝒎𝒔𝑰𝒓𝒎𝒔

∠𝜽𝒗 − 𝜽𝒊

Por lo que se puede llegar a Vrms =Z Irms y obtener

Potencia compleja


De

Z = R + jX

Llegamos a

S =I2 rms (R + jX) = P + jQ

Donde P y Q son las partes real e imaginaria de la potencia

compleja, o sea,

P = Re(S) = I2 rms R

Q = Im(S) = I2 rms X

Donde Q se conoce como potencia reactiva o potencia en cuadratura

Potencia compleja


P = VrmsIrms cos (θv − θi), Q = VrmsIrms sin (θv − θi)

Otra forma de establecer las potencias real y reactiva es

Las unidades de la potencia reactiva son los volt – amperes reactivos

(VAR). Esta potencia no es consumida como los watts en resistencias,

si no que es una potencia intercambiada entre un elemento y otro y

este intercambio representa pérdidas. Note que:

1. Q = 0 para cargas resistivas (fp = 1)

2. Q < 0 para cargas capacitivas (fp adelantado)

3. Q > 0 para cargas inductivas (fp atrasado)

La potencia compleja (en VA) es el producto del fasor voltaje en rms

y el conjugado complejo del fasor corriente en rms. Como cantidad

compleja, su parte real es la potencia real y su parte imaginaria es la

potencia reactiva Q

Entonces

Potencia compleja


La introducción de la potencia compleja nos permite obtener las

potencia real y reactiva directamente de los fasores de voltaje y

corriente

Potencia compleja = S = P + JQ = 𝟏

𝟐𝑽𝑰∗ = 𝑽𝒓𝒎𝒔𝑰𝒓𝒎𝒔𝒗 − 𝒊

Potencia aparente = S = |S| = 𝑰∗ = 𝑽𝒓𝒎𝒔𝑰𝒓𝒎𝒔 = 𝑷𝟐 +𝑸𝟐

Potencia real = P = Re (S) = S cos (𝒗 − 𝒊)

Potencia reactiva = Q = Im (S) = S sen (𝒗 − 𝒊)

Factor de potencia = fp = 𝑷

𝑺= 𝐜𝐨𝐬 𝒗 − 𝒊

Potencia compleja


Comparación entre el triángulo de potencias y el triángulo de reactancias

Triángulo de potencias con

factor de potencia en

atraso y en adelanto

Potencia compleja


Ejemplo

El voltaje a través de una carga es v(t) = 60 cos (t – 10°) V y la

corriente a través de esta en la dirección de la caída de voltaje es i(t)

= 1.5 cos (t + 50°) A. Encuentre:

a. Las potencias compleja y aparente

b. Las potencias real y reactiva

c. El factor de potencia y la impedancia de la carga

Solución

a. Para valores rms del voltaje y la corriente

𝑽𝒓𝒎𝒔 =𝟔𝟎

𝟐− 𝟏𝟎° 𝑽 , 𝑰𝒓𝒎𝒔 =

𝟏. 𝟓

𝟐𝟓𝟎° 𝑨

Potencia compleja


Potencia compleja

La potencia compleja es

𝑺 = 𝑽𝒓𝒎𝒔 𝑰∗

rms =𝟔𝟎

𝟐− 𝟏𝟎°

𝟏.𝟓

𝟐 − 𝟓𝟎° = 𝟒𝟓 − 𝟔𝟎 𝑽𝑨

La potencia aparente es

S = |S| = 45 VA

b. Podemos expresar la potencia compleja en forma rectangular como

𝑺 = 𝟒𝟓 − 𝟔𝟎 𝑽𝑨 = 𝟐𝟐. 𝟓 − 𝐣 𝟑𝟖. 𝟗𝟕

Donde S = P + JQ, la potencia real es P = 22.5 W mientras que la

potencia reactiva Q = -38.97 VA


Potencia compleja

c. El factor de potencia es

fp = cos(-60°) = 0.5 (+).

Y la impedancia de la carga es

𝒛 = 𝑽

𝑰=𝟔𝟎 ∠−𝟏𝟎°

𝟏.𝟓 ∠𝟓𝟎°= 𝟒𝟎 − 𝟔𝟎°

La cual es una impedancia capacitiva


Potencia compleja

Ejemplo

Una carga Z entrega 12 KVA con un fp = 0.856(-) desde una fuente

de 120 V rms sinusoidal. Calcule:

a. Las potencias promedio y reactiva entregados a la carga

b. La corriente pico

c. La impedancia de carga

Solución

a. fp = cos , por tanto = cos-1 0.856 = 31.13°. Si la potencia

aparente S = 12 KVA, entonces

P = S cos = 12KVA * cos 31.13° = 10.272 KW

Y la potencia reactiva es

Q = S sen = 12 KVA * sen 31.13° = 6.204 KVAR


Potencia compleja

b. Como el fp es atrasado, la potencia compleja es

S = P + jQ = 10.72 + j 6.204 KVA

De S = VrmsI*rms, se obtiene

Así, Irms = 100-31.13°

Y la corriente pico

Im = 𝟐 Irms = 𝟐 (100 A) = 141.4 A


Potencia compleja

c. La impedancia de la carga es

𝒁 =𝑽𝒓𝒎𝒔𝑰𝒓𝒎𝒔

= 𝟏𝟐𝟎∠𝟎°

𝟏𝟎𝟎∠ − 𝟑𝟏. 𝟏𝟑°= 𝟏. 𝟐 ∠𝟑𝟏. 𝟏𝟑° 𝜴

La cual es una impedancia inductiva


Medición de potencia eléctrica

Medición de potencia

La potencia promedio absorbida por una carga se mide con un

Wattmetro

Conexión física del wattmetro

Cuando las dos bobinas se energizan, la inercia mecánica del sistema

móvil produce un ángulo de deflexión que es proporcional al valor

promedio del producto v(t)i(t). Si la corriente y el voltaje de la carga

v(t) = Vm cos(ωt +θv) and i(t) = Im cos(ωt +θi), su correspondientes

fasores rms son

y


Y el wattmetro mide la potencia promedio dada por

P = |Vrms||Irms| cos(v - i) = ½ Vm Im cos(v - i)

Como se mostró en la figura anterior, cada bobina del

wattmetro tiene dos terminales con una marca ±

Para asegurar la deflexión a plena escala, la terminal ± de la

bobina de corriente esta viendo hacia la fuente, mientras que la

terminal ± de la bobina de voltaje se conecta a la misma línea

que la bobina de corriente

Si se invierten ambas conexiones, se pueden obtener deflexiones

a plena escala. Sin embargo, si se invierte una terminal y no la

otra, habrá una caída en la deflexión y no habrá medida en el

wattmetro



Ejemplo

Encuentre la lectura del wattmetro en el circuito siguiente

En la figura, el wattmetro lee la potencia absorbida por la

impedancia (8 − j6) debido a que la bobina de corriente está en

serie con la impedancia, mientras que la bobina de voltaje está en

paralelo con esta

La corriente a través del circuito es



El voltaje a través de la impedancia (8 − j6) es

La potencia compleja es



El wattmetro lee

P = Re(S) = 432.7 W



U – 3 Circuitos trifásicos


1. Conocer las conexiones básicas trifásicas en estrella y delta, y las

relaciones fasoriales que estas presentan

2. Saber como calcular voltajes y corrientes en circuitos trifásicos

balanceadas y desbalanceados

3. Saber como calcular y medir potencia compleja en circuitos

4. Aplicar técnicas de simulación y programación para la solución

de circuitos trifásicos




Introducción a los circuitos trifásicos

Importancia de los Sistemas Trifásicos

El 100% de la energía eléctrica que se consume en el mundo se

genera en máquinas de corriente alterna trifásicas, se transmite y

distribuye en líneas trifásicas, esto da mayor eficiencia y menores

costos

La potencia instantánea en los sistemas trifásicos es constante, a

diferencia de la energía pulsante de los sistemas monofásicos, esto

reduce la vibración y el ruido en las máquinas eléctricas y

transformadores y aumenta la eficiencia

Para la misma cantidad de potencia se requieren menos conductores

en sistemas trifásicos que el equivalente en tres sistemas monofásicos,

lo que redunda nuevamente en la eficiencia y los menores costos


Comparación entre tres generadores monofásicos y un

generador trifásico



Generador síncrono elemental trifásico, de dos polos con tres bobinas

desplazadas 120° entre sí, uniformemente distribuidas por todo el circuito

del estator. Cuando el circuito del rotor se excita con CD, el campo

magnético resultante gira lo cual genera voltaje en las tres fases del

estator, desplazados 120° en el tiempo y teniendo una frecuencia

relacionada directamente con la velocidad aplicada al eje del rotor


a. Conexión Estrella (Y) b. Conexión Delta ()

Los circuitos trifásicos balanceados tienen igual magnitud en valores de

voltaje y corriente de fase y un desplazamiento angular de 120°




La secuencia de fases, se relaciona con el giro de las máquinas

eléctricas y con el giro de los fasores de voltaje principalmente, hay

dos secuencias de giro:

a. Secuencia abc o secuencia positiva

b. Secuencia acb o secuencia negativa

a b


Se deja como ejercicio al alumno determinar que tanto con

secuencia positiva como con secuencia negativa, la suma de los tres

voltajes de fase suman cero, es decir

Van + Vbn + Vcn = 0

La secuencia de fases se por el orden en el cual los fasores pasan por

un punto determinado del diagrma de fase

Los fasores giran en sentido contrario a las manecillas del reloj con

una velocidad angular o frecuencia angular. Esto describe la

secuencia de giro de un motor conectado a una fuente trifásica

Al igual que la conexión de los generadores, las cargas trifásicas

también se conectan en Y o . Estas conexiones se pueden hacer con

tres o cuatro conductores. En las conexiones en Y el conductor

neutro puede o no estar presente, si la carga está balanceada. Una

carga en Estrella o en Delta se dice que está desbalanceada si sus

impedancia de fase son diferentes



Carga trifásica

conexión en estrella

con neutro, cuatro

conductores

Para una conexión

balanceada,

Z1 = Z2 = Z3 = ZY

Conexión trifásica

conexión en Delta o

Triángulo, tres

conductores

Para una conexión

balanceada,

Z1 = Z2 = Z3 = Z



La transformación de impedancias trifásicas de a Y o viceversa

se da de la siguiente manera

Z = 3 ZY ZY = 𝟏

𝟑 Z

Cuando tanto la fuente como la carga sean trifásicas, se pueden dar

cuatro posibles conexiones:

• Fuente en estrella Y -Y carga en estrella

• Fuente en estrella Y - carga en delta

• Fuente en delta - Y carga en estrella

• Fuente en delta - carga en delta



Conexión Y - Y

Fuente en Y, carga en Y balanceada mostrando en la figura de la

derecha la impedancia de la línea y del neutro


Asumiendo una secuencia de fases positiva, los voltajes de línea a

neutro o voltajes de fase son:

Van = V0° Vbn = V-120° Vcn = V120°

Los voltajes de línea a línea o simplemente de línea, Vab, Vbc, y

Vca se relacionan con los voltajes de fase de acuerdo a las sumas

fasoriales, es decir,

Vab = Van − Vbn

Vbc = Vbn − Vcn

Vca = Vcn − Van

Se deja al alumno

que determine la

magnitud y el

ángulo de cada

uno de los

voltajes de línea

Conexión Y - Y


En la figura siguiente se muestra un diagrama fasorial entre los

voltajes de línea y los voltajes de fase

Los voltajes de línea adelantan 30° a sus correspondientes voltajes de

fase. Note que los voltajes de línea también están defasados 120° entre

sí. Vab adelanta a Vbc por 120°, y Vbc adelanta a Vca por 120◦, por lo

que la suma de los tres voltajes de línea también suman cero, al igual

que los voltajes de fase

Conexión Y - Y


Apicando la LVK a cada fase de la figura del generador y las cargas

trifásicas, se obtienen las corrientes de línea

𝑰𝒂 =𝑽𝒂𝒏𝒁𝒀

𝑰𝒃 =𝑽𝒃𝒏

𝒁𝒀=𝑽𝒂𝒏∠−𝟏𝟐𝟎°

𝒁𝒀= 𝑰𝒂 ∠ − 𝟏𝟐𝟎°

𝑰𝒄 =𝑽𝒄𝒏

𝒁𝒀=𝑽𝒂𝒏∠−𝟐𝟒𝟎°

𝒁𝒀= 𝑰𝒂 ∠ − 𝟐𝟒𝟎°

VnN = ZnIn = 0

Podemos inferir que la suma de las

corrientes de línea son cero

Ia + Ib + Ic = 0 Por lo que

In = −(Ia + Ib + Ic) = 0 o

Conexión Y - Y


Diagrama fasorial de corrientes de línea y de fase en una conexión

estrella

En sistemas trifásicos balanceados el conductor del neutro puede

ser retirado sin afectar al sistema, ya que la corriente circulante es

cero

Conexión Y - Y


Problema

Para el circuito de la figura, determine las corrientes de línea

Conexión Y - Y


Solución

Por ser un circuito trifásico balanceado, haciendo un circuito

equivalente por fase, tenemos

Conexión Y - Y


Conexión Delta Delta balanaceada

Como se puede ver en la figura, en esta conexión, de lado de la fuente

los voltaje de fase y los voltajes de línea son igual en magnitud y en

fase, es decir:

Conexión -


Asumiendo que no hay impedancia de línea, los voltajes de fase en

la carga son iguales a los voltajes de la línea, es decir,

Vab = VAB Vbc = VBC Vca = VCA

Y las corrientes de fase son

Las corriente de línea se obtienen de las corrientes de las fases

correspondientes, aplicando la LCK en los nodos A, B, y C.

Ia = IAB − ICA, Ib = IBC − IAB, Ic = ICA − IBC

Conexión -


También, al igual que en las conexiones anteriores, cada corriente

de línea se atrasa a su correspondiente de fase por un ángulo de 30°,

la magnitud de la corriente de línea es 3 veces la corriente de fase

Una alternativa para analizar estos circuitos es convertir tanto la

fuente como la carga a sus conexiones equivalentes en estrella,

utilizando la ecuación ZY = Z/3

Conexión -


Ejemplo

Una carga trifásica en balanceada, tiene una impedancia de 20

− j15 y es conectada a un generador con secuencia positiva que

tiene Vab = 3300° V. Calcule las corrientes de fase en la carga y

las corrientes de línea

Solución:

La impedancia por fase es Z = 20 - j15 = 25 -36.87°

Las corrientes de fase son

IBC = IAB-120° = 13.2 -83.13°

ICA = IAB120° = 13.2 156.87°

Conexión -


Para la carga en delta, las corrientes de línea simpre atrasan a su

correspondiente corriente de fase por 30° y tienen una magnitud √3

veces mayor, las corrientes de línea son

Ib = Ia-120° = 22.86-113.13° A

Ic = Ia120° = 22.86126.87° A

Tarea: Una fuente trifásica secuencia positiva, alimenta a una carga

balanceada conexión cuya impedancia por fase es de 18 + j12 , e Ia

= 22.535° A, encuentre IAB y VAB

Conexión -


Conexión Y -

Conexión Estrella – Delta balanceada

Al igual que en el ejemplo anterior, asumiendo secuencia positiva

Van = V0° Vbn = V-120° Vcn = V120°

Y los voltajes de línea son

Vca = 𝟑 V150° =VCA M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya

Y las corrientes de fase son

Estas corrientes tienen la misma magnitud pero están defasadas

120° entre sí

Otra forma de obtener estas corrientes de fase es aplicar la LVK. Por

ejemplo, aplicando la LVK sobre el lazo aABbna se obtiene

−Van + ZIAB + Vbn = 0

Conexión Y -


o

Las corrientes de línea se obtienen de las corrientes de fase

aplicando la LCK a los nodos A, B, y C. Así,

Ia = IAB − ICA, Ib = IBC − IAB, Ic = ICA − IBC

ICA = IAB − 240◦, Ia = IAB − ICA = IAB(1 − 1 − 240°)

donde

= IAB(1 + 0.5 − j0.866) = √3IAB − 30◦

Conexión Y -


Mostrando que la magnitud de la corriente de línea IL es 𝟑

veces la magnitud de la corriente de fase.

IL = |Ia| = | Ib | = | Ic | y I = | IAB | = | IBC| = | ICA |

Donde

Diagrama fasorial

mostrando la

relación entre las

corrientes de fase

y de línea

Conexión Y -


Una forma alternativa de analizar los circuitos en Y es

transformarlos a la conexión Y equivalente es transformar la

carga conectada a una Y equivalente, usando la fórmula de

transformación

Después de esta transformación se tiene una conexión Y-Y, la cual

se puede sustituir por un circuito equivalente monofásico. Esto

nos permite calcular solo las corrientes de línea. Las corrientes de

fase se obtienen multiplicando la corriente de línea por √3 y en el

ángulo cada corriente de fase se adelanta a la correspondiente

corriente de línea por 30°

Conexión Y -


Ejemplo

Una fuente abc secuencia positiva balanceada conectada en Y con

Van = 100 10° V se conecta a una carga en balanceada (8+j4) por

fase. Calcule las corrientes de fase y de línea

Solución

Esto se puede resolver de dos maneras

Método 1

La impedancia de la carga es

Z = 8 + j4 = 8.94426.57°

Si el voltaje de fase es Van = 10010◦, entonces el voltaje de línea es

Conexión Y -


VAB = 173.240◦ V

o

Las corrientes de fase son

Conexión Y -


Las corrientes de línea son:

Alternativamente usando el análisis monofásico

Método 2

Al igual que en el método 1, las corrientes faltantes se obtienen

usando la secuencia de fases abc

Conexión Y -

El voltaje de una línea conectada a una fuente balanceada en Y es

VAB = 180−20°V. Si la fuente está conectada a una carga en delta

de 2040° , encuentre las corrientes de fase y de línea. Asuma

una secuencia positiva

Ejercicio

Solución

Corriente de fase

Corriente de línea Ia = IAB - IBC = 27 -60° A

IAB = 15.58-90° A

Conexión Y -


Conexión Delta Estrella balanceada

Considere el circuito -Y de la figura, asumiendo una secuencia

positiva, los voltajes de fase de la fuente conectada en Delta son

Vab = V 0° , Vbc = V − 120° Vca = V 120◦

Conexión - Y


Estos son también los voltajes de línea

Podemos obtener las corrientes de línea de varias formas. Una de

ellas es aplicar la LVK a la malla aANBba de la figura anterior,

escribiendo

−Vab + ZY Ia − ZY Ib = 0 o ZY (Ia − Ib) = Vab = V 0°

Así

𝑰𝒂 − 𝑰𝒃 =𝑽∅∠𝟎°

𝒁𝒀

Pero Ib atrasa a Ia por 120°, para una secuencia positiva,

entonces

Ia − Ib = Ia(1 − 1 − 120°) =𝑰𝒂 𝟏 +𝟏

𝟐+ 𝒋

𝟑

𝟐= 𝟑𝑰𝒂∠𝟑𝟎° 𝑨

Conexión - Y


Substitutiyendo en se obtiene el valor de

𝑰𝒂 =

𝑽𝝓

𝟑∠ − 𝟑𝟎°

𝒁𝜟

De esto, se obtienen las otras corrientes de línea Ib e Ic usando

secuencia positiva, es decir, Ib = Ia − 120°, Ic = Ia 120°. Y estas

también son las corrientes de fase, ya que en una estrella las

corrientes de fase son iguales a las corrientes de línea

Otra forma de obtener las corrientes de línea es sustituir la fuente

conectada en delta por una fuente en estrella, como se muestra en la

figura siguiente. En secciones anteriores se había mostrado que los

voltajes de línea en una fuente conectada en estrella adelantan 30° a sus

correspondientes voltajes de fase

Conexión - Y


Entonces, se obtiene cada voltaje de fase de la fuente equivalente

conectada en estrella al dividir el voltaje de línea de la fuente

conectada en delta entre 𝟑 y girando su fase por -30°. Así, la fuente

equivalente conectada en estrella tiene los voltajes de fase

𝑽𝒂𝒏 =𝑽𝝓

𝟑∠ − 𝟑𝟎° 𝑽𝒃𝒏 =

𝑽𝝓

𝟑∠ − 𝟏𝟓𝟎° 𝑽𝒃𝒏 =

𝑽𝝓

𝟑∠𝟗𝟎°

Conexión - Y


Si la fuente conectada en delta tiene una impedancia de Zs por fase,

la fuente equivelente conectada en estrella tiene una impedancia de

fuente de Zs/3 por fase, una vez que la fuente se conecta en estrella,

el circuito se convierte en estrella – estrella. En la siguiente figura

se muestra en circuito equivalente por fase

Para el cuál la corriente de línea de la fase a es

𝑰𝒂 =

𝑽𝝓

𝟑∠ − 𝟑𝟎°

𝒁𝒀

Cuya ecuación ya se había obtenido en el análisis anterior

Conexión - Y


Alternativamente, podemos transformar la carga conectada en

estrella a una carga equivelnete cnectada en delta. Este resultado ya

se obtuvo al principio de esta sección. Note que:

𝑽𝑨𝑵 = 𝑰𝒂𝒁𝒀 =𝑽𝝓

𝟑∠ − 𝟑𝟎°

𝑽𝑩𝑵 = 𝑽𝑨𝑵∠ − 𝟏𝟐𝟎° 𝑽𝑪𝑵 = 𝑽𝑨𝑵∠𝟏𝟐𝟎°

Como se habie establecido anteriormente, la carga conectada en

delta se prefiere a la carga conectada en estrella. Es fácil alterar las

carga en cualquier fase de las cargas en delta, tal como las cargas

individuales se conectan a través de la línea. Sin embargo, la fuente

conectada en delta es difícilmente utilizada en la práctica, debido a

que un pequeño desbalance en los voltajes de fase propiciarían

corrientes circulantes no deseadas

Conexión - Y


Circuitos trifásicos

Resumen de voltajes y corrientes de fase y línea para sistemas

trifásicos balanceados (con secuencia abc)


Circuitos trifásicos

Continuación


Ejemplo

Una carga balanceada conectada en Y con valores de fase de 40 +

j25 está conectada a una fuente balanceada con secuencia positiva

y voltaje de línea de 210 V. Calcule las corrientes de fase. Use como

referencia Vab

Solución:

La impedancia de carga es

ZY = 40 + j25 = 47.1732°

Y la fuente de voltaje tiene

Vab = 2100◦ V

Conexión - Y


Cuándo la fuente conectada en se transforma a una fuente en Y

𝑽𝒂𝒏 =𝑽𝒂𝒃

𝟑∠ − 𝟑𝟎° = 𝟏𝟐𝟏. 𝟐∠ − 𝟑𝟎° 𝑽

Y las corrientes de línea son

𝑰𝒂 =𝑽𝒂𝒏𝒁𝒀

=𝟏𝟐𝟏. 𝟐∠ − 𝟑𝟎°

𝟒𝟕. 𝟏𝟐∠𝟑𝟐°= 𝟐. 𝟓𝟕∠ − 𝟔𝟐° 𝑨

𝑰𝒃 = 𝑰𝒂∠ − 𝟏𝟐𝟎° = 𝟐. 𝟓𝟕∠ − 𝟏𝟖𝟐° 𝑨

𝑰𝒄 = 𝑰𝒂∠𝟏𝟐𝟎° = 𝟐. 𝟓𝟕∠𝟓𝟖° 𝑨

Las cuáles son las mismas que las corrientes de fase

Conexión - Y


Ejercicio

En un circuito balanceado en estrella, Vab = 24015° y ZY = 12 +

j15. Calcule las corrientes de línea

Solución

7.21 − 66.34°, 7.21 − 186.34°, 7.21 53.66° A.

Conexión - Y


Transformaciones - Y

En esta sección se estableceran las equivalencias entre las

combinaciones Y y como se muestran en la figura siguiente

En la conexión Y, la impedancia en las terminales es

ZBCY = Zb + Zc



Y en la conexión , la impedancia entre las terminales B y C es Z2

en paralelo con la suma de Z1 + Z3, es decir

𝒁𝑩𝑪𝜟 =𝒁𝟐 𝒁𝟏 + 𝒁𝟑𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 +𝒁𝟑

Igualando las ecuaciones anteriores se obtiene

𝒁𝒃 + 𝒁𝒄 =𝒁𝟐 𝒁𝟏 + 𝒁𝟑𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 +𝒁𝟑

Similarmente para terminales AB y CA

𝒁𝒂 + 𝒁𝒃 =𝒁𝟑 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 +𝒁𝟑

𝒁𝒄 + 𝒁𝒂 =𝒁𝟏 𝒁𝟐 + 𝒁𝟑𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 +𝒁𝟑



Si sumamos las dos últimas ecuaciones [(ZA + ZB) + (ZB + ZA)] y

después se resta (ZB + ZC) de esa suma, se obtiene

Dividiendo entre 2



De manera similar se hace el desarrollo para Zb y Zc. Así, estas

ecuaciones nos permiten cambiar cualquier carga con conexión en

a una conexión en Y

Conversión Y M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya


Comunmente se desea hacer una conversión en la dirección opuesta, o

sea, convertir de Y en . Esta conversión se realiza de la siguiente

manera:

Considere la combinación Y - de la figura siguiente

De la figura de la izquierda

VAB = ZaIA – ZbIB VBC = ZbIB – ZcIC VCA = ZcIC – ZaIA



Se intentará resolver las ecuaciones anteriores simultáneamente, se

encontrará que el determinante de este conjunto de ecuaciones es

singular, es decir, = 0, esto se puede verificar mediante la regla de

Cramer

VAB = ZaIA – ZbIB + 0

VBC = 0 + ZbIB – ZcIC

VCA = – ZaIA + 0 + ZcIC



Este resultado sugiere que el sistema de ecuaciones como

ecuación, no es independiente y por tanto, no tiene solución. Sin

embargo, se puede encontrar una solución si de las ecuaciones

obtenidas en el inciso a. de la estrella, usamos la ecuación

IA + IB + IC = 0

Despejando IC

- IA - IB = IC

Sustituyendo en la ecuación para VCA, se obtiene

VCA = –ZcIA–ZcIB – ZaIA = –(Za + Zc)IA–ZcIB



De la ecuación anterior y teniendo que VBC = ZbIB – ZcIC

Y de la regla de Cramer

donde



y

entonces

Similarmente


Y sustituyendo IA e IB en

Se obtiene

Entonces, para la conexión Y, repitiendo la parte de la estrella de

la figura, tenemos:



Ahora, repitiendo la figura anterior para la conexión delta, para tener

una mejor referencia



Ahora, igualando los conjuntos de las dos ecuaciones anteriores



De la primera ecuación del conjunto anterior, tenemos:

Y de la segunda

Rearreglando, se obtiene

Conversión Y -


Circuitos trifásicos desbalanceados

El análisis que se hace para los circuitos trifásicos desbalanceados,

supone que las fuentes son balanceadas, pero las cargas no

Como las impedancias de fase en la carga son desbalanceadas, las

corrientes de línea se determinan por la ley de Ohm, de acuerdo a la

figura, donde no se presenta la fuente

𝑰𝒂 =𝑽𝑨𝑵𝒁𝑨

𝑰𝒃 =𝑽𝑩𝑵𝒁𝑩

𝑰𝒄 =𝑽𝑪𝑵𝒁𝑪

IN = -(Ia + Ib + Ic)


Circuitos trifásicos balanceados

En sistema de tres conductores donde la línea del neutro está

ausente, se pueden encontrar las corrientes de línea Ia, Ib, e Ic

utilizando análisis de mallas. En el nodo N, en este caso la ley de

corrientes debe satisfacer que Ia + Ib + Ic = 0

Lo mismo se debe hacer para sistemas de tres conductores

conectados en -Y, Y- , or -

Como se ha mencionado anteriormente, en transmisiones de

potencia de gran distancia, se utilizan conductores en múltiplos de

tres, con la propia tierra actuando como conductor neutro

Para calcular la potencia en circuitos trifásicos desbalanceados se

requiere calcular la potencia en cada caso y la potencia total no es la

potencia monofásica multiplicada por tres, sino la suma de las tres

potencias de fase




Una carga desbalanceada cuyo diagrama se muestra en la figura

anterior, tiene voltajes balanceados de 100 V y carga desbalanceada

en Y con secuencia acb. Calcule las corrientes de línea y la corriente

en el neutro si ZA = 15 , ZB = 10 + j5 , ZC = 6 − j8

Solución

Y la corriente del neutro es




Para el circuito desbalanceado de la figura siguiente, encuentre:

a. Las corrientes de línea

b. La potencia compleja absorbida por la carga

c. La potencia compleja compleja suministrada por la fuente




Solución

a. Por análisis de mallas, para la malla 1

(10 + j5)I1 -10I2 = 120 0° - 120 -120° = 𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟑𝟎° 𝑽

Para la malla 2

(10 - j10) I2 -10I1 = 120 -120° - 120 120° = 𝟑 𝟏𝟐𝟎 − 𝟗𝟎° 𝑽

En forma matricial

𝟏𝟎 + 𝒋𝟓 −𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟏𝟎 − 𝒋 𝟏𝟎

= 𝑰𝟏𝑰𝟐=

𝟑 𝟏𝟐𝟎∠𝟑𝟎°

𝟑 𝟏𝟐𝟎∠ − 𝟗𝟎°




Solucionando el determinante por la regla de Cramer, se obtiene

I1 = 56.58 A, I2 = 42.75 24.9° A

Las corrientes de línea son:

Ia = I1 = 56.78 A Ic = - I2 = 42.75 -155.1° A Ib = I2 – I1 = 25.46 135° A

b. La potencia absorbida por la carga, para las fases A, B y C es

SA = Ia2 ZA = (56.78)2 (j5) = j 16.12 VA

SB = Ib2 ZB = (25.46)2 (10) = 6480 VA

SC = Ic2 ZC = (42.75)2 (- j 10) = - j 18.276 VA




La potencia total compleja absorbida por la carga es

Stotal = SA + SB + SC = 6480 – j 2156 VA

c. Para encontrar la potencia de la fuente, verificamos los

resultados anteriores, para la fase A

Sa = - Van Ia* = -(120 0°) (56.78) = -6813.6 VA

Para la fase B

Sb = - Vbn Ib* = -(120 -120°) (25.46 25.46°) =

- 3055.2 105° = 790 – j 2951.1 VA

Para la fase C

SC = - Vcn Ic* = -(120 120°) (42.75 155.1°) =

- 5130 275.1° = - 456.03 + j 5109.7 VA




La potencia compleja suministrada por la fuente trifásica es

Sfuente = Sa + Sb + Sc = -6480 + j 2156 VA

Lo cual muestra que el principio de la conservación de la energía

se mantiene

Donde Scarga - Sfuente = 0




Ejercicios

La carga en delta desbalanceada es alimentada por una fuente de

200 V, secuencia positiva, encuentre las corrientes de línea, tome

como referencia Vab

Respuesta: 18.05 -41.06, 29.15 220.2°, 31.87 74.27° A




Encuentre las corrientes de línea del circuito trifásico de la figura y

la potencia real absorbida por la carga

Respuesta: 6480.1° , 38.1-60°, 42.5225°, 4.84 KW



Medición de potencia trifásica

En sistemas trifásicos balanceados, se vió que con un solo

wattmetro se podía determinar la potencia trifásica, al tener

cargas balanceadas, la potencia medida por ese wattmetro único se

multiplica por tres, ya que P1 = P2 = P3, y se tiene la potencia

trifásica

Sin embargo, para cargas desbalanceadas en sistemas trifásicos o

bifásicos, se requiere medir de manera individual la potencia por

fase y entonces la potencia total es P1 + P2 + P3. Para esto existen

dos métodos:

a. Método de los tres wattmetros

b. Método de los dos wattmetros



a. Método de los tres wattmetros

El análisis de esta medición de potencia se hace sin importar si la

carga está balanceada o desbalanceada, si está conectada en delta o

en estrella. El diagrama se muestra en la figura de abajo



Este método es adecuado para medición de potencia en sistemas

trifásicos donde el factor de potencia está cambiando

constantemente. El promedio de la potencia total es la suma

algebraica de la lectura de los tres wattmetros

PT = P1 + P2 + P3

Donde P1, P2, y P3 corresponden a las lecturas de los wattmetros

W1, W2, y W3, respectivamente. Note que el cómún o punto de

referencia en la figura anterior se selecciona arbitrariamente. Si

la carga está conectada en Y, este punto común puede conectarse

al punto neutro n. Para una conexión en , el punto de referencia

se puede conectar a cualquier punto. Si el punto 0 se conecta al

punto b, por ejemplo, el voltaje de la bobina del wattmetro 2 leerá

cero y P2 = 0, indicando que el wattmetro 2 no era necesario. Así,

con dos wattmetros es suficiente para medir la potencia total



Este método es el más comúnmente usado para mediciones de

potencia trifásica. Los dos wattmetros deben estar debidamente

conectados a cualquiera de dos de las tres fases, tal como se muestra

en la figura. Note que la bobina de corriente de cada wattmetro mide

la corriente de línea, mientras que las bobinas de voltaje se conectan

entre una de las dos líneas con la tercer línea y mide el voltaje en la

línea

b. Método de los dos wattmetros



Note también que la terminal ± de la bobina de voltaje se conecta a

la línea correspondiente a la cual se encuentra conectada la bobina

de corriente. Aunque los wattmetros no miden mas allá de la

potencia en cada fase particular, la suma algebraica de la lectura los

dos wattmetros es igual a la potencia promedio total absorbida por

la carga, independientemente si esta está conectada en estrella o en

delta o si está balanceada o desbalanceada.

PT = P1 + P2


Ejemplo:

Tres wattmetros W1, W2, y W3 se conectan respectivamente a las

fases a, b, y c para medir la potencia total absorbida por una carga

desbalanceada conectada en estrella, Si VAN = 100 0°, VBN = 100

120°, VCN = 100 − 120° V

a. Haga un pronóstico de la lectura de los wattmetros

b. Encuentre la potencia total absorbida




Solución

Del cálculo de las tres corrientes de línea se obtiene:

Ia = 6.67 0° , Ib = 8.94 93.44°, Ic = 10 − 66.87°A

Se calculan las lecturas de los wattmetros, para el wattmetro 1

P1 = Re(VANIa*) = VANIa cos(θVAN− θIa ) = 100 × 6.67 × cos(0° − 0°)

= 667 W

Para el wattmetro 2

P2 = Re(VBNI∗b) = VBNIb cos(θVBN− θIb )=100 × 8.94 × cos(120° − 93.44°)

= 800 W



Para el wattmetro 3

P3 = Re(VCNI∗c ) = VCNIc cos(θVCN− θIc )= 100 × 10 × cos(−120◦ + 66.87◦)

= 600 W

PT = |Ia|2(15) + |Ib|

2(10) + |Ic|2(6) = 6.672(15) + 8.942(10) + 102(6)

= 667 + 800 + 600 = 2067 W

(b) La potencia total absorbida es

PT = P1 + P2 + P3 = 667 + 800 + 600 = 2067 W

Podemos encontrar la potencia consumida por los resistores para

confirmar los resultados

Lo cual es exactamente igual a las lecturas de los tres wattmetros



El método de los dos wattmetros produce una lectura de P1 =

1560 W y P2 = 2100 W cuando se conectan a una carga en delta

Si el voltaje de línea es de 220 V, determine:

a. La potencia promedio por fase

b. La potencia reactiva por fase

c. El factor de potencia

d. La impedancia de fase

Solución

La potencia promedio por fase es

a. La potencia real promedio total es

PT = P1 + P2 = 1560 + 2100 = 3660 W

Pp = ⅓ PT = 1220 W



Entonces, la potencia reactiva por fase es

b. La potencia total reactiva es

QT = 𝟑(P2 − P1) = 𝟑(2100 − 1560) = 935.3 VAR

Qp = ⅓ QT = 311.77 VAR

c. El ángulo de la potencia es

𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝑸𝑻𝑷𝑻= 𝒕𝒂𝒏−𝟏

𝟗𝟑𝟓. 𝟑

𝟑𝟔𝟔𝟎= 𝟏𝟒. 𝟑𝟑°



Entonces el factor de potencia es

cos = 0.9689 (+)

El fp es adelantado debido a que QT es positiva, o P2 > P1

c. La impedancia de fase es Z = Z . Sabemos que

representa el ángulo del fp, por lo que = 14.33°

𝑷𝝓 = 𝑽𝝓𝑰𝝓 𝐜𝐨𝐬𝜽 ⇒ 𝑰𝝓 =𝟏𝟐𝟐𝟎

𝟐𝟐𝟎 ∗ 𝟎. 𝟗𝟔𝟖𝟗= 𝟓. 𝟕𝟐𝟑 𝑨



Entonces

y Z = 38.4414.33°

𝒁∅ =𝑽∅𝑰∅=𝟐𝟐𝟎

𝟓. 𝟕𝟐𝟑= 𝟑𝟖. 𝟒𝟒 𝜴


Referencias bibliográficas

Alexander, Ch. Sadiku, M. (2009). Fundamentals of Electric

Circuits. USA: McGraw Hill , 4th Ed

Nilsson, J. Riedell, S. (2011). Electric Circuits . USA: Prentice Hall

9thEd.

Rizzoni G. (2003). Principles and applications of Electrical

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Ed

Hayt, W. Kemmerly , J. Durbin, S. (2008) Análisis de circuitos en

ingeniería. México: McGraw Hill 7ª Ed

Karris, S. (2009). Circuit Analysis I with Matlab Computing and

Simulink / SimPower Systems Modeling. USA. Orchad

Publications M. C. Rito Javier Rodríguez Lozoya

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