curs mizerie tcn

COMPLEMENTE DE DINAMICA NAVEI

3. 1

CAPITOLUL 3

DETERMINAREA VIBRAŢIILOR PROPRII VERTICALE ALE CORPULUI NAVEI VRACHIER

3.1. CONSIDERAŢII GENERALE Creşterea elasticităţii generale ale corpurilor navelor vrachiere datorită dimensiunilor principale mari, creşterea puterii instalaţiei de propulsie, situaţiile de încărcare diferite ale acestor tipuri de nave, conduc la amplificarea amplitudinilor vibraţiilor generale şi locale ale corpului navei.Totodată, răspunsul dinamic la vibraţiile generale ale corpului navei şi subansamblelor este necesar pentru studiul vibraţiilor locale ale diferitelor elemente de importanţă funcţională şi de rezistenţă (învelişul bordajului de la pupa navei, planşeele de punte sau din suprastructură, etc.). Determinarea frecvenţelor proprii ale corpului navei şi subansamblelor structurale – rezonatori de vibraţii (dublul fund din camera maşinii, maşina de propulsie, linia axială, suprastructura) permite, prin comparare cu valorile frecvenţelor de excitaţie existente la bordul navei şi externe acesteia, estimarea fenomenelor de rezonanţă. Studiul formelor proprii de vibraţie permite evidenţierea zonelor afectate de rezonanţă. Deoarece, de cele mai multe ori, pe lângă modurile proprii de vibraţii, substructurile de la bord şi chiar grinda navei pot fi afectate de interacţiunea vibraţiilor între moduri diferite de vibraţie ale aceluiaşi element sau între elemente diferite, este necesar să se cunoască formele periculoase de cuplare, ştiind că principalul efect al acestui fenomen este modificarea frecvenţelor naturale pentru fiecare subansamblu luat separat. Din literatura de specialitate [Lewis 88a], [Wereldsma 81] se cunosc unele forme de cuplare:

- vibraţia orizontală cu cea de torsiune a corpului; - vibraţia verticală a corpului cu vibraţia suprastructurii; - vibraţia picului pupa cu cea a dublului fund etc.

Din cele prezentate rezultă că un rol foarte important în dinamica navei îl are vibraţia generală a corpului. Pentru studiul acestui tip de vibraţie se adoptă următoarele ipoteze:

Se analizează vibraţiile verticale ale corpului navei, considerat o grindă cu secţiunea variabilă, rezemată pe mediul elastic, apa.

Corpul navei este împărţit în eN elemente ale căror caracteristici geometrice şi

mecanice se consideră constante pe lungimea lor.

Fiecare segment din corpul navei este modelat utilizând teoria grinzii Timoshenko, cu includerea inerţiei de rotaţie şi a deformaţiilor de forfecare.

Formele navei, masele de apă adiţionale şi coeficienţii de amortizare hidrodinamici se calculează folosind transformata conformă Lewis. Se neglijează variaţia masei adiţionale şi a coeficienţilor de amortizare hidrodinamici cu frecvenţa proprie de vibraţie;

Datorită simetriei faţă de planul diametral al navei, vibraţia verticală se consideră independentă faţă de celelalte tipuri de vibraţii generale ale corpului (orizontală, longitudinală şi de torsiune).


3. 2

Calculul vibraţiilor verticale proprii şi forţate ale grinzii navă sub acţiunea forţelor armonice, se realizează utilizând metoda matricelor de transmitere. 3.2. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A SEGMENTULUI DE NAVĂ Modelul matematic al comportării dinamice a structurii corpului navei este realizat considerând unele ipoteze simplificatoare legate de rigiditatea şi distribuţia masei structurii, de cele mai multe ori neglijând amortizarea. Un model dinamic, dat de unsistem de ecuaţii diferenţiale, poate reprezenta cu mai multă sau mai puţinî fidelitate structura reală.În general se acceptă că erorile sunt date în special de: - aproximarea condiţiilor la limită şi a îmbinărilor (legăturilor) dintre

subcomponente; - estimarea proprietăţilor fizice ale materialelor; - dificultăţile de modelare a amortizărilor; - aproximaţiile introduse prin liniarizarea ecuaţiilor; - algoritmii numerici, în special în cazul modelelor de mari dimensiuni Se consideră segmentul de navă elementar (fig.3.1), care are următoarele

caracteristici geometrice şi mecanice: m -masa pe unitatea de lungime a corpului

navei şi apei adiţionale; j - momentul de inerţie masic pe unitatea de lungime a

corpului navei; I -momentul de inerţie geometric axial al secţiunii transversale; A -

aria secţiunii transversale; f zA -aria redusă a secţiunii transversale.

Fig. 3.1

Segmentul de navă cu amortizare histeretică b este supus acţiunii sarcinilor

exterioare t,xf , forţelor de amortizare hidrodinamică t,xfa , forţelor elastice

t,xfe , forţei de inerţie t,xf i , momentului forţelor de inerţie t,xmi , distribuite

uniform pe segmentul de navă, şi eforturilor secţionale. Se precizează că coeficientul de amortizare histeretică pentru corpul navei este

001,0b .

Intensităţile forţelor şi momentului forţelor de inerţie sunt date de expresiile:

.t

jm;t

wmf;

t

wcf;kwf

2

2

i2

2

iae

(3.1)

în care:

c - este coeficientul de amortizare hidrodinamică;

x

z

dx

af if ef

f

im

M

T

1 2

dxx

TT

dxx

MM

o


3. 3

k - coeficientul de rigiditate al mediului elastic;

w - deplasarea pe direcţia axei z; - rotirea secţiunii transversale.

Relaţia dintre tensiune şi deformaţia specifică liniară este:

tbE x

xx (3.2)

Între momentul de încovoiere şi tensiunile normale, pentru elementul de grindă, există relaţia de echivalenţă :

A2

3

2

22

xtx

wb

x

wEI

txb

xEIzdAM . (3.3)

Din ecuaţiile de echilibru dinamic ale forţelor după axa z

0dxt

wckwdxt,xfdx

t

wmdx

x

T2

2

(3.4)

şi momentelor faţă de punctul 2

,02

dxdxt,xf

2

dxdxt,xf

2

dxdxt,xf

2

dxdxt,xfdx

x

M

tdxjTdx

a

ei2

2

(3.5)

în care s-au introdus notaţiile (3.1) şi se neglijează infiniţii mici de ordin superior, rezultă:

t,xfkwt

wc

t

wm

x

T2

2

, (3.6)

.t

jTx

M2

2

(3.7)

în care momentul M este dat de expresia (3.3). Dacă se ţine cont şi de efectul forţei tăietoare asupra deformatei barei elementare,

rezultă că rotirea totală a fibrei medii deformate este

x

w .

Rotaţia axei produsă de deformaţia forţei tăietoare este dată de relaţia:

fGA

T (3.8)

Expresia rotirii de încovoiere devine:

fGA

T

x

w

. (3.9)


3. 4

Prin derivarea expresiei rotirii în raport cu x şi înlocuirea relaţiei (3.6) se obţine:

t,xfkw

t

wc

t

wm

GA

1

x

w

x 2

2

f2

2

. (3.10)

Se derivează relaţia (3.7) în raport cu x şi după introducerea relaţiilor (3.3), (3.6) şi (3.10) se obţine ecuaţia:

.

t

t,xf

GA

j

x

t,xf

GA

EI

xt

t,xfb

GA

EIt,xfkw

t

wc

t

w

GA

jkm

t

wcj

GA

1

t

wmj

GA

1

x

wk

GA

EI

tx

wbkc

GA

EI

tx

wj

tx

wbcm

GA

EI

tx

wmb

GA

EI

tx

wEIb

x

wEI

2

2

f2

2

f

2

3

f2

2

f

3

3

f4

4

f2

2

f2

3

f

22

4

22

4

f32

5

f4

5

4

4

(3.11) care reprezintă ecuaţia vibraţiilor verticale ale segmentului de navă, de secţiune şi masă constante, cu amortizare hidrodinamică şi structurală, aşezat pe mediu elastic, ţinând seama de deformaţiile de lunecare şi inerţia de rotaţie. 3.3. DETERMINAREA VIBRAŢIILOR PROPRII ALE GRINZII NAVĂ PRIN FOLOSIREA MATRICELOR DE TRANSMITERE Dintre metodele utilizate pentru determinarea frecvenţelor şi formelor proprii de vibraţie ale corpului navei se amintesc: -metode bazate pe formule semiempirice; -metoda matricelor dinamice de transmitere; -metoda elementului finit. Prima grupă de metode este utilizată pentru estimarea rapidă a primelor cinci frecvenţe proprii ale vibraţiilor verticale şi orizontale. Metoda elementului finit poate utiliza modelări uni-, bi- sau tridimensionale în funcţie de importanţa calculului, obţinându-se atât frecvenţele şi formele proprii cât şi interacţiunea dinamică dintre grinda navă şi principalele subansamble. În lucrare este prezentată metoda matricelor dinamice de transmitere [Posea 91], care se adaptează foarte bine corpului navei. Corpul navei este modelat utilizând teoria grinzii Timoshenko, cu includerea inerţiei de rotaţie şi a deformaţiilor de forfecare. 3.3.1. Calculul masei de apă adiţionale considerând formele navei aproximate prin transformata conformă Lewis Determinarea frecvenţelor proprii ale corpului navei se realizează ţinând cont de prezenţa fluidului, prin efectul energiei masei de apă din jurul corpului antrenată în mişcare şi care este echivalentă cu o masă adiţională hidrodinamică.


3. 5

În aceste condiţii, energia cinetică a corpului navei aflată în mişcare verticală şi a masei adiţionale de apă, are expresia:

,wm2

1wm

2

1E 2

a2

c (3.12)

în care: m – reprezintă masa distribuită pe lungimea navei;

am -masa de apă adiţională distribuită pe lungimea navei;

w - acceleraţia navei pe direcţia verticală de mişcare.

Conform teoremei lui Lagrange se obţine:

dt

wdmtf

dt

wdm a

, (4.13)

unde f(t) reprezintă intensitatea forţei perturbatoare. Din aceste relaţii se poate interpreta efectul fluidului înconjurător:

fluidul generează o forţă în sens contrar mişcării;

fluidul conduce la o creştere virtuală a masei corpului navei. Metoda propusă de Lewis pentru calculul masei adiţionale de apă se bazează pe teoria potenţialului şi este valabilă domeniului vibraţiilor ( ), când acestea depind

foarte puţin de frecvenţa mişcării (fig.4.2). Pentru aplicarea acestei teorii se utilizează următoarele ipoteze:

- viteza fluidului este irotaţională ; - fluidul este ideal, incompresibil; - ipoteza suprafeţei libere; - efectul negravitaţional.

Fig. 4.2

Toate aceste ipoteze permit determinarea potenţialului câmpului de viteză z,y,x

al curentului neturbionar din lichid, generat de mişcarea vibratorie a corpului navei,

respectiv a vitezei v într-un punct al lichidului.

Din prima ipoteză rezultă viteza:

.z

v,y

v,x

vgradv zyx

(3.14)

A doua ipoteză permite să se scrie ecuaţia de continuitate (Laplace):

B

T2

33c

Domeniul vibraţiilor

Domeniul oscilaţiilor


3. 6

,0zyx

0vdiv2

2

2

2

2

2

(3.15)

ceea ce presupune că funcţia potenţial de viteză este armonică.

Condiţia pe suprafaţa liberă a lichidului ( Dirichlet) se determină din ultimele două ipoteze:

0libera.sup . (3.16)

Ecuaţia de continuitate aplicată fluidului permite determinarea condiţiilor la limită a

potenţialului. Dacă se consideră n normala la suprafaţa corpului, se obţine:

- condiţia de staţionaritate a fluidului pe suprafaţa corpului ce oscilează,

viteza normală nulă (Neumann):

0n

nvvcorp

n

; (3.17)

- condiţia pe suprafaţa structurii elastice aflată în mişcare:

nvn

; (3.18)

- condiţia de radiaţie nulă la infinit:

.0zyx

0vn

(3.19)

Potenţialul de viteză al fluidului, funcţie de cele şase grade de libertate ale solidului, se descompune în:

6

1iiiv , (3.20)

în care 6,1ii este funcţia potenţial pentru gradul de libertate i (fig.3.3) al corpului

navei, iar 6,1ii

v

reprezintă viteza corespunzătoare.

0 1 4 x 2 5 y 6 3 z

Fig. 3.3

Masa de apă adiţională pentu corpul navei, corespunzătoare gradului de libertate j

din mişcarea pe gradul k de libertate se calculează cu relaţia:

,dxmM2

L

2L

jkajk

(3.21)


3. 7

în care ;dln

m

c

jkjka

6,1k,j reprezintă masele adiţionale pe unitatea

de lungime a navei corespunzătoare secţiunii x. Pe baza transformării conforme punctele ale conturului unei secţiuni a navei sunt

transformate în puncte ale unui cerc de rază unitară 1r (Fig. 3.4).

Fig. 3.4

Transformata conformă multiparametrică are relaţia [Domnişoru 97b] :

n

0j

1j21j2aa . (3.22)

Pentru 1n se obţine tansformata Lewis:

;izyaaa 33

11

iei ; 2,0 . (3.23)

din care rezultă expresiile

3cosacosacosaz

3sinasinasinay

31

31 . (3.24)

Coeficienţii 21 a,a,a ai transformatei Lewis se determină din condiţiile geometrice

puse pe conturul secţiunii:

T

0

2

0

x dd

dzy2dzzy2A

0z;2

By2

Tz;0y0

23

21

2

x

31

31

a3a12

aBTC

aa1a2

B

aa1a

T

(3.25)

0

z

y

r =1

T

0

z

y

B

0

ziy ziy


3. 8

unde xC,T,B , xA reprezintă lăţimea, pescajul, coeficientul de fineţe şi aria secţiunii

transversale x a corpului navei. Pentru mişcarea plană potenţială în planul 0yz, pentru gradele de libertate de mişcare

k=2,3,4 , potenţialul complex de viteză este definit de relaţia:

4,3,2k;WIm;WReiW kkkkkkk (3.26)

unde k este funcţia potenţial a vitezei şi k funcţia de curent.

Funcţiile kW integrabile în sens Riemann şi care satisfac relaţiile Cauchy-Riemann:

yz;

zy

kkkk

, (3.27)

sunt date de expresiile [Domnişoru 97b]:

.4sini4cosa2sini2cosa1aaiW

3sini3cosasinicosa1aW

3sini3cosasinicosa1aiW

3312

4

313

312

(3.28)

Din relaţiile (4.26) şi (4.28) funcţiile potenţial de viteză au expresiile:

,4sina2sina1aa

3cosacosa1a

3sinasina1a

331

2

4

313

312

, 2,0 (3.29)

şi respectiv funcţiile de curent:

.4cosa2cosa1aa

3sinasina1a

3cosacosa1a

331

2

4

313

312

, 2,0 (3.30)

Conform desenului din figura 3.5 normala într-un punct la contur este dată de relaţia:

kdl

dyj

dl

dzn (3.31)

Din relaţiile (3.18) şi (3.31) rezultă expresia vitezei normale:

Fig. 3.5

yn

zn

zn n

yn

dl dz

dy


3. 9

dl

d

dl

dy

ydl

dz

zdl

dy

zdl

dz

yn

nvn

. (3.32)

Relaţia de calcul (4.21) a maselor adiţionale pe unitatea de lungime, devine:

C

2

0

jkjkjka d

d

d2dm . (3.33)

Pentru mişcările de vibraţie ale corpului navei pe direcţiile orizontală şi verticală j=k=2,3 au rezultat, în urma înlocuirii relaţiilor (3.29) şi (3.30) în (3.33), următoarele relaţii pentru calculul maselor adiţionale de apă:

.a3a1B

a4

2

Bcm

a3a1T

a

2

Tcm

23

212

22

3333

23

212

22

2222

(3.34)

unde s-a notat cu 3322 c,c coeficienţii adimensionali ai maselor adiţionale.

Pentru calculul maselor adiţionale se utilizeaza programul MASAD ce are la bază algoritmul din figura 3.6:

Fig. 3.6

Calculele se efectueaza pentru încărcarea cu marfă omogenă 100%, pentru balast şi100% rezerve şi pentru situaţia de încărcare cu balast şi rezerve10%.

DA

NU

START

DATE NAVĂ: L,B,T, XA , Xc , il ,i=1,n

CALCULUL COEFICIENŢILOR LEWIS

31 a,a,a

CALCULUL MASELOR ADIŢIONALE

STOP

ni


3. 10

Coeficientul de amortizare hidrodinamică se poate determina într-un mod asemănător, pe baza teoriei potenţiale a curgerii în jurul corpului navei. Amortizarea hidrodinamică se datorează în principal valurilor de radiaţie de la suprafaţa apei generate de nava aflată în mişcare, reprezentând o disipare a unei părţi din energia cinetică a navei. În urma unor rezultate obţinute [Bishop 78], [Domnişoru 97a], se poate aprecia, că pentru domeniul vibraţiilor, coeficienţii hidrodinamici de amortizare tind la zero.

Deoarece corpul navei se consideră pe mediu elastic, se calculează rigiditatea k, ca fiind egală cu raportul dintre greutatea specifică a apei şi lăţimea navei corespunzătoare situaţiei de încărcare. In tabelele 3.1, 3.2, 3.3 sunt prezentate rezultatele pentru încărcarea cu marfă omogenă 100%, balast şi100% rezerve şi pentru situaţia de încărcare cu balast şi rezerve10%. Tabelul 3.1

Nr. trons.

Aria secţiunii transv. a

corpului etanş

xA [m2]

Pescajul navei

T [m]

Semilăţimea navei

2BX [m]

Masa de apă adiţională

am [ mt ]

Rigiditatea mediului elastic

k

2mkN

1 58,013 18,065 12,488 204,720 227,940

2 139.397 18,063 15,943 309,438 251,133

3 324,177 18,059 18,913 448,453 320,613

4 502,797 18,054 21,131 633,379 424,944

5 646,133 18,050 22,348 818,696 449,418

6 753,845 18,045 22,800 994,172 458,508

7 810,273 18,040 22,995 1115,827 462,429

8 825,622 18,035 23,000 1154,555 462,530

9 826,662 18,031 23,000 1157,697 462,530

10 826,443 18,025 23,000 1157,770 462,530

11 826,215 18,020 23,000 1157,712 462,530

12 825,987 18,015 23,000 1157,655 462,530

13 825,765 18,010 23,000 1157,623 462,530

14 825,540 18,006 23,000 1157,454 462,530

15 825,172 18,000 23,000 1157,136 462,530

16 818,309 17,996 22,975 1139,932 462,027

17 766,848 17,991 22,422 1017,584 450,906

18 601,992 17,986 18,791 660,115 377,887

19 306,755 17,982 10,135 182,537 203,814

20 81,500 17,979 0,315 139,540 6,334

Tabelul 3.2

Nr. trons.


corpului etanş

xA [m2]

Pescajul navei

T [m]

Semilăţimea navei

2BX [m]


am [ mt ]


k

2mkN

1 0,000 9,807 0,000 0,000 0

2 11,956 9,758 0,820 0,995 16,490

3 94,893 9,697 7,826 82,443 157,380

4 193,535 9,627 14,486 310,746 291,313

5 287,833 9,554 19,114 589,577 384,382

6 367,394 9,475 21,926 841,326 440,931

7 413,372 9,396 22,874 983,104 459,996


3. 11

8 424,575 9,316 22,998 1023,060 462,489

9 422,183 9,237 23,000 1024,975 462,530

10 418,530 9,158 23,000 1023,530 462,530

11 414,882 9,079 23,000 1022,095 462,530

12 411,236 8,999 23,000 1020,764 462,530

13 407,583 8,920 23,000 1019,309 462,530

14 403,931 8,840 23,000 1017,956 462,530

15 400,138 8,761 23,000 1016,131 462,530

16 390,705 8,681 22,913 996,726 460,780

17 351,600 8,602 21,634 861,336 435,059

18 261,454 8,525 17,183 525,748 345,550

19 130,258 8,457 9,372 148,060 188,470

20 54,145 8,401 4,003 26,713 80,500

Tabelul 3.3

Nr. trons.


corpului etanş

xA [m2]

Pescajul navei

T [m]

Semilăţimea navei

2BX [m]


am [ mt ]


k

2mkN

1 0,000 8,919 0,000 0,000 0

2 10,850 8,913 0,671 1,001 13,493

3 83,210 8,906 7,024 68,759 141,252

4 172,970 8,899 13,711 282,078 275,728

5 262,861 8,891 18,675 564,386 375,554

6 341,505 8,882 21,776 825,904 437,915

7 389,481 8,873 22,354 954,496 449,538

8 403,789 8,864 22,998 1015,079 462,489

9 404,637 8,855 23,000 1018,265 462,530

10 404,236 8,847 23,000 1018,036 462,530

11 403,829 8,883 23,000 1013,345 462,530

12 403,429 8,829 23,000 1017,770 462,530

13 403,023 8,821 23,000 1017,528 462,530

14 402,620 8,812 23,000 1017,397 462,530

15 402,070 8,802 23,000 1016,983 462,530

16 395,866 8,794 22,911 998,604 460,740

17 359,521 8,785 21,660 865,261 435,582

18 270,072 8,777 17,231 529,959 346,515

19 136,085 8,770 9,357 149,228 188,169

20 57,070 8,763 3,909 26,905 78,610

3.3.2. Ecuaţia diferenţială, expresiile deplasărilor şi eforturilor Ecuaţia diferenţială a vibraţiilor verticale libere (3.11), luând în considerare şi amortizările structurale şi hidrodinamice, devine:


3. 12

0kwt

wc

t

w

GA

jkm

t

wcj

GA

1

t

wmj

GA

1

x

wk

GA

EI

tx

wbkc

GA

EI

tx

wj

tx

wbcm

GA

EI

tx

wmb

GA

EI

tx

wEIb

x

wEI

2

2

f

3

3

f4

4

f2

2

f2

3

f

22

4

22

4

f32

5

f4

5

4

4

(3.35)

Soluţia de tip Fourier este:

iptexwRet,xw , (3.36)

unde p este pulsaţia vibraţiilor proprii.

Înlocuind soluţia (3.36) în (3.35) şi aducând variabilele la o formă adimensională, se

obţine ecuaţia în care necunoscutele sunt amplitudinile mişcării w :

0wLkEI

1icp

EI

1pm

EI

1pjk

EI

1

GA

1pjm

EI

1

GA

1pjic

EI

1

GA

1

d

wdLkibkpicppj

EI

GAcbppmpmib

GA

1

d

wdibp1

422

f

4

f

3

f

2

222f223

f

4

4

(3.37)

sau sub forma:

0wKd

wdA

d

wdpi21 4

2

22

4

4

ib

(3.38)

în care s-au notat:

2

ii

2

fbih

2

fi

i

2

fib

2 p1p4

pppi2A

;p

i2p

i2f

ri

2

i

r

fib

f

i

fih

(3.39)

.p

i2

ppppppi2K

2

i

r

ih

2

i

2

i

r

2

f

2

f

2

i

2

fih

4

(3.40)

În expresiile (3.39) şi (3.40) sunt introduse următoarele mărimi:

b - factor de amortizare structural


3. 13

2

b ib

; (3.41)

h - factor de amortizare hidrodinamic

ih

m2

c

; (3.42)

i - factor de inerţie

j

Lm 2

i ; (3.43)

r - o caracteristică a frecvenţei corpului rigid

m

kr ; (3.44)

i - o caracteristică a frecvenţei corpului elastic

4iLm

EI ; (3.45)

f - o caracteristică a frecvenţei ce ţine seama de inerţia de rotaţie şi

deformaţiile de lunecare

j

GAff . (3.46)

Aceste expresii arată modul de dependenţă şi influenţă a unor mărimi asupra caracteristicilor de frecvenţă, cum ar fi: mărimile geometrice, de greutate, amortizare structurală şi hidrodinamică şi de material. Dacă se neglijează amortizările structurală şi hidrodinamică se obţine următoarea ecuaţie:

0kwt

w

GA

jkm

t

wmj

GA

1

x

wk

GA

EI

tx

wj

tx

wm

GA

EI

x

wEI

2

2

f

4

4

f2

2

f22

4

22

4

f4

4

(3.47)

sau dacă se înlocuieşte soluţia Fourier:

0wLkEI

1pm

EI

1pjk

EI

1

GA

1pmj

EI

1

GA

1

d

wdLkpjpm

GA

1

d

wd

422

f

4

f

2

2222

f4

4

(3.48)

Cu notaţiile de mai sus se obţine:


3. 14

0wpppp

d

wdp1p

d

wd

2

i

r

2

i

2

f

2

i

r

2

f

2

i

2

2

f

ri

2

ii

2

f

i4

4

(3.49)

în care:

;p1p

Af

ri

2

ii

2

f

i

2

(3.50)

2

i

r

2

i

2

f

2

i

r

2

f

2

i

4 ppppK

, (3.51)

sau sub forma:

1

ppK

2

f

2

i

r

2

i

4

. (3.52)

Din ecuaţia caracteristică

,0KrAr 4224 (3.53)

pentru cazul în care 0K 4 , se obţin rădăcinile

2,1r şi ir 4,3 , (3.54)

unde:

2

1

2

14

AK411

2

A

(3.55)

Soluţia ecuaţiei (4.48) este:

shCchCsinCcosCt,xw 4321 (3.56)

şi conform relaţiei (4.36) expresia vibraţiilor proprii devine:

ptcosshCchCsinCcosCt,xw 4321 (3.57)

Expresia rotirii din încovoiere este de forma:

ptcos'Csh'Ccos'Csin'Ct,x 4321 . (4.58)

Dacă în relaţia (4.10) se introduc derivatele expresiilor rotirii (3.58) şi săgeţii (3.57), se

obţine corespondenţa dintre constantele 4321 'C,'C,'C,'C şi 4321 C,C,C,C , astfel:

,DC'C;DC'C;BC'C;BC'C 44332211 (3.59)

unde:


3. 15

.;

2

2

2

2

L

p

DL

p

B

i

f

i

f

(3.60)

Se obţine astfel expresia rotirii:

ptcosDchCDshCcosBCsinBCt,x 4321 . (3.61)

Momentul de încovoiere este dat de relaţia:

ptcosDshCDchCsinBCcosBCL

EIt,xM 4321 . (3.62)

Pentru determinarea forţei tăietoare se introduc (3.61) şi (3.62) în relaţia (3.7), din care se obţine:

ptcosRchCRshCcosHCsinHCL

EIt,xT 43212

, (3.63)

în care:

i

2

i

2

i

2

i

2 1pR;

1pH

. (3.64)

Cu expresiile (3.57), (3.61), (3.62) şi (3.63) se determină valorile dinamice ale săgeţilor, rotirilor, momentelor încovoietoare şi forţelor tăietoare în timpul vibraţiilor, tinând seama de inerţia de rotaţie şi deformaţiile de forfecare. 3.3.3 Matricea dinamică de transmitere a unui segment din grinda navă

Se consideră segmentul de navă i-1, i, care are următoarele caracteristici geometrice si

mecanice: im -masa pe unitatea de lungime a corpului navei şi apei aderente; yj -

intensitatea inerţiei de rotaţie masică; iI -momentul de inerţie geometric al secţiunii

transversale; zf

A -aria redusă a secţiunii transversale; il -lungimea tronsonului de

navă.

Fig. 3.7

Fig.6

i i-1 il

1iw

iw

1iT

iM

i

iT

1iM

1i


3. 16

Matricea dinamică de transmitere iA , luând în considerare deformaţiile de forfecare

şi inerţia de rotaţie, permite exprimarea parametrilor de la capătul din dreapta al

elementului de navă, iiii T,M,,w , în funcţie de parametrii din stânga

1i1i1i1i T,M,,w , (fig. 3.7 ) cu o relaţie de forma:

1iii zAz . (3.65)

Pentru precizarea elementelor matricei de transmitere se pune condiţia ca expresiile

(3.57), (3.61), (3.62) şi (3.63) să aibă în origine valorile 1i1i1i1i T,M,,w .

Constantele sunt date de expresiile:

;1

;1

1

2

12111

i

i

iii

i

ii T

EI

lDR

DHBRCM

IE

lDw

BDC

.1

;1

1

2

14113

i

i

i

ii

i

i TEI

lBH

DHBRCM

Ei

lBw

BDC

(3.66)

Dacă se consideră mărimile adimensionale :

000

0

00

0

0 l

x;

IE

lTT;

IE

lMM;;

l

ww , (3.67)

unde 000 I,E,l sunt arbitrare, expresia adimensională (3.65) dezvoltată, devine:

1

1

1

1

4444

3333

2222

1111

i

i

i

i

i

i

i

i

T

M

w

UTSR

UTSR

UTSR

UTSR

T

M

w

, (3.68)

în care :

;shsinBD

BDlR;BchcosD

BD

1R 021

;BRshsinDHBD

1

rs

lR;chcos

BD

BD

sr

lR

2

04

03

;DHchcosBR

DHBR

1S;HshsinR

DHBRl

1S 2

0

1

;chcosHRrs

1S;DHshsinBR

DHBR

1

sr

1S

243

(3.69)

;sin;cos1

2

0

1

DshBBD

srTch

BDl

srT

;RshsinHBDs

1T;DchcosB

BD

1T 43


3. 17

;cos;sin1 2

2

0

2

1 chDHBR

rBDsUBshD

DHBRl

rsU

.BRchcosDHDHBR

1U;shsin

DHBR

BDsU 43

În expresiile (3.69) s-au mai notat:

0

i

l

ls şi .

0I

Ir i (3.70)

Matricea dinamică de transmitere, ce exprimă parametrii de la capătul din dreapta al unui tronson de navă în funcţie de parametrii din stînga, ţinând cont şi de deformaţiile de forfecare şi inerţia de rotaţie, este:

4444

3333

2222

1111

i

UTSR

UTSR

UTSR

UTSR

A . (3.71)

3.3.4 Algoritm de calcul al pulsaţiilor proprii bazat pe matricele dinamice de

transmitere Grinda navă cu secţiune variabilă continuă este transformată într-o bară cu secţiuni variabile în trepte, având 20 de tronsoane, pentru fiecare tronson de navă i-1, i, i=1, n calculându-se cacteristicile geometrice şi cele mecanice, pentru cele trei situaţii de încărcare.

Parametrii iiii T,M,,w ai fiecărei secţiuni de trecere de la un tronson la altul se

constitue în vectori coloane ,zi i=0,n ,de tipul celor arătate.

Calculul se realizează în două etape:

În prima etapă se aplică succesiv relaţiile de recurenţă (3.68) pentru toate nodurile grinzii şi se obţine relaţia matriceală:

n

1i

0in zAz . (3.72)

În cazul grinzii-navă componentele nule ale vectorilor 0z şi nz sunt eforturile

,M0 0T , nM , nT .

Dezvoltând relaţia (3.72) şi ţinând cont de condiţiile menţionate, se obţine sistemul:

0

0

w

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

0

0

w

0

0

44434241

34333231

24232221

14131211

n

n

, (3.73)

din care rezultă sistemul omogen

0w

AA

AA

0

o

4241

3231

. (3.74)


3. 18

Pentru a exista oscilaţiile, determinantul caracteristic trebuie să fie nul, ceea ce conduce la condiţia

04241

3231

AA

AAK , (3.75)

care este o ecuaţie transcendentă în parametrul K , denumită ecuaţia pulsaţiilor proprii. Rădăcinile acesteia, determinate prin metoda resturilor, conduc la valorile pulsaţiilor, respectiv frecvenţelor proprii.

În a doua etapă se determină formele proprii de vibraţie calculând mărimile

ii ,w cu relaţia matriceală (3.65), pentru fiecare dintre pulsaţiile proprii.

Formele proprii de vibraţie sunt dependente de un parametru, care de obicei se alege egal cu unitatea.

Calculele se efectueaza pentru trei situaţii de încărcare: 1. nava cu marfă omogenă şi rezerve 100%; 2. nava cu balast şi 100% rezerve; 3. nava cu balast şi 10%.

Frecvenţele proprii pentru cazurile de mai sus, corespunzătoare primelor zece moduri de vibraţii ale corpului în planul longitudinal-vertical, sunt prezentate în tabelul 3.4.

Tabelul 3.4

CAZ 3 B 10%R CAZ 2 B100%R CAZ 1 M100%R

DEPLASAMENT [t]

92963 95497 200462

Frecvente proprii [Hz]

Modul 1 0,558 0,555 0,414

Modul 2 1,190 1,202 0,912

Modul 3 1,880 1,915 1,449

Modul 4 2,588 2,648 1,999

Modul 5 3,294 3,366 2,573

Modul 6 4,054 4,123 3,148

Modul 7 4,840 4,891 3,738

Modul 8 5,645 5,670 4,345

Modul 9 6,497 6,498 4,984

Modul 10 7,384 7,375 5,651

Din rularea programului pentru mai multe situaţii de încărcare, cuprinse între situaţia navei în balast şi nava la plină încărcare, se observă că frecvenţele scad liniar odată cu creşterea deplasamentului. Din tabelul 3.4 se constată de asemenea că benzile de frecvenţe cresc odată cu ordinul modului de vibraţii. Ecuaţia vibraţiilor verticale ale corpului navei este obţinută astfel încât să se considere şi efectul mediului elastic al apei alături de inerţia de rotaţie şi deformaţiile de forfecare ale grinzii navă.

Prin introducerea amortizărilor structurale şi hidrodinamice şi aducerea ecuaţiei la o formă adimensională, se permite să se deducă aportul factorilor de amortizare

,, hb de inerţie i şi al caracteristicilor de frecvenţă fir ,, .

curs mizerie tcn

Documents