curs introducere în automatică m. voicu

M. Voicu, IA (I)M. Voicu, IA (I) C1 (36)C1 (36) 11

Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi”, IaşiFacultatea de Automatică şi Calculatoare

2010 – 2011

Introducere Introducere îîn automaticăn automaticăAnul II, semestrul 4

M. Voicu, IA (I)M. Voicu, IA (I) C1 (36)C1 (36) 22

Suportul de curs se bazează pe manualul:

www.mvoicu.intr-automatica.ac.tuiasi.rowww.mvoicu.intr-automatica.ac.tuiasi.ro

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 3

Capitolul I

INTRODUCERE

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 4

1. Automatizarea: conţinut, categorii şi scopuri

automatautomat

]]]] adjectivadjectiv sau substantivsubstantiv

• AutomatAutomat – calitatea unui sistem fizico-tehnic de a efectua,

pe baza unei comenzi, o operaţie sau un complex de

operaţii fără participarea directă a operatorului uman.

• Un automatUn automat – un dispozitiv, un aparat sau o instalaţie - în

general un sistem - care operează sau funcţionează în

mod automat.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 5

• AutomatizareAutomatizare:

acţiunea de concepere, de realizare de

automate şi de echipare a sistemelor fizico-tehnice

cu automate pentru efectuarea unor operaţii, mişcări,

acţiuni etc., fără participarea directă a omului.

• Categorii de automatizări:

• de comandă, • de măsurare, • de reglare, • de protecţie, şi • de semnalizare.

Toate acestea pot fi locale sau la distanţă (teleautomatizări).

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 6

• Scopurile generale ale automatizării: • productivitatea• consumurile specifice• precizia execuţiei• siguranţa în funcţionare• protecţia instalaţiilor• evitarea de către om a efortului fizic şi a mediilor nocive.

• Crearea instalaţiilor tehnologice şi a tehnologiilor

este un atribut al inginerieiingineriei.

IngineriaIngineria: cunoaşterea şi utilizarea materialelor şi forţelor

naturii pentru beneficiul umanităţii, folosind maşini,instalaţii şi construcţii concepute, realizate şiutilizate în cadrul unor organizaţii socio-economice.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 7

Inginerul automatistInginerul automatist ,cunoscând structura si proprietatile unui sistem,concepe şi realizează automatizarea acestuia.

Profesie inter- şi multidisciplinară:

]] cunoştinţe de matematică, fizică, chimie, biologie,electrotehnică, electronică, tehnică de calcul,informatică şi de automaticăautomatică, adecvat operante în conceperea,realizarea şi utilizarea automatizărilor;

]] cultură ştiinţifică şi tehnică dublată de viziune sistemică;

]] soluţii de automatizare sisteme diverse: mecanice, electrice, termice, fluidice,chimice, biologice sau combinaţii ale acestora.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 8

2. De la mecanizare la automatizare

Dezvoltarea istorică a producţiei:• revolurevoluţţia industrialăia industrială (sec. XVIII);

utilizarea maşinilor acţionate de maşina cu vapori;

• revolurevoluţţia ia şştiintiinţţifico ifico -- tehnică contemporană tehnică contemporană;automatizarea şi informatizarea globală a societăţii.

Trepte de dezvoltare: manufacturare mecanizare automatizare automatizare –– cibernetizarecibernetizare;

prelucrarea computaţională complexă a informaţiei.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 9

OPERATORUMAN

Fig. I.1.a. Structura unei mecanizări

PRESCRIPŢII

PERTURBAŢII

C

O

M

E

N

Z

I

I

N

F

O

R

M

A

ŢI

I

PROCES

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 10

F

Fv

Fr

vântul lateral

32 m

100 km/hAudi TT: 1,50 m

Porsche 911: 1,65 m

VW Golf: 1,67 m

F – forţa de tracţiune

Fv – forţa vântului

Fr – forţa rezultantătr – traiectoria

90 km/h

Prescripţii: ş o s e a u a

Perturbaţii: v â n t u l l a t e r a l

tr

Exemplu de proces perturbat:efectul vântului lateral asupra unui autovehicul

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 11

Exemplu: compensarea efectului vântului lateral asupra unui autovehicul

F

Fv

Fr

vântul lateral

şofer

soseaua

vântul lateral

volanul

poziţia

autovehiculpe

şosea

tr

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 12

MecanizareMecanizare:

maşinile au rolul de executant; omul este participant direct participant direct şşi necesari necesar.

• Munca manuală se înlocuieşte cu mecanisme, aparate

şi maşini acţionate de convertori de energie adecvaţi.

• Omul ia parte la procesul de producţie în calitate

de manipulator al mijloacelor de mecanizare.

• Omul urmăreşte numeroase mărimi fizice şi influenţează

fluxurile de substanfluxurile de substanţţăă, , de energie de energie şşi de informai de informaţţieie.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 13

• OperatorulOperatorul constituie calea de reaccalea de reacţţieie.Este procesor de informaţie.

• PProcesulrocesul constituie calea directăcalea directă.Se procesează substanţă şi energie.

• OperatorulOperatorul

prelucrează informainformaţţiiii şi execută

comenzicomenzi conform cu prescripprescripţţiileiile.

• OOperatorulperatorul este necesar deoareceperturbaperturbaţţiileiile abat procesul de la evoluţia corectă.

• OOperatorulperatorul observă abatereaabaterea şi execută

comenzicomenzi pentru reducerea efectului perturbaperturbaţţiiloriilor,respectiv a abateriiabaterii între evoluţia prescrisăprescrisă şi

evoluţia curentăcurentă a procesuluiprocesului.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 14

OPERATORUMAN

PRESCRIPŢII

PERTURBAŢII

C

O

M

E

N

Z

I

I

N

F

O

R

M

A

ŢI

I

PROCES

Structura

CALEA DE REACŢIE

CALEA DIRECTĂ

DE

AUTOMATIZARE

DISPOZITIV

unei automatizăriunei mecanizări /Fig. I.1.b.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 15

Q1

LTLichid

tehnologicR

Rt

Qt

N T

Q2

Pompă

Termometru

Agent termic

RTRecipienttehnologic

Nivelmetru

Motor

M

P

C

Fig. I.2. Exemplul 2.1- mecanizare -

Perturbaţii: la reglarea nivelului – Q2

la reglarea temperaturii – Q1

SCSchimbătorde căldură

Operator

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 16

M

Q1

R

Qt

Q2

SC

P

EVt

NC

TC

+

–

Perturbaţii: la reglarea nivelului – Q2

la reglarea temperaturii – Q1

Prescrieri: la reglarea nivelului –la reglarea temperaturii –

HHnn

HHtt

Fig. I.3. Ex. 2.2- automatizare -

HHnn

HHtt

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 17

NC

C

Fig. I.4. a. Nivelmetru cu contact electric (NC)

Mărimea prescrisă HHnn

se ajustează deplasâdcontactele C pe verticală.

HHnn

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 18

Fig. I.4. b. Electroventil (EVt)

–

lichid

ventil

resort antagonist

la termometrulcu contact

piesă feromagnetică

conductă

bobină

forţa electro-magnetică

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 19

N S

N S

1. magnet

tub de sticlă

+

la bobina electroventilului

2. piuliţă magnetizată

3. şurub fix

contact poziţionabil

mercur

Fig. I. 4. c. Termometru cu contact electric (TC)

HHttMărimea prescrisă HHtt

se ajustează rotindmagnetul 1 care, la rându-i, roteştepiuliţa magnetizată 2 pe şurubul 3.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 20

Se exercită în sensul reducerii abateriireducerii abaterii dintre

valoarea prescrisăprescrisă (a mărimii reglate) şi

valoarea curentăcurentă (a mărimii reglate).

Funcţiile operatorului uman: Tip de activitate:

• prelevarea informaţiei din proces senzorială

• prelucrarea informaţiei şi

elaborarea deciziei de comandă intelectuală

• comanda organelor de reglare motorie

Abaterea este provocată de perturbaperturbaţţieie sau de prescriereprescriere.

Q1 / Q2 modifică temperatura / nivelul.

Ht / Hn modifică temperatura / nivelul.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 21

AutomatizareaAutomatizarea: Omul nu participă direct la producţie.Omul are funcţii noi, respectiv de:

conducere,comandă,supraveghere.

Dispozitivul de automatizareDispozitivul de automatizare este constituit din:traductortraductor ; măsoară valoarea curentă: nivel, temperatură;regulatorregulator ; elaborează comanda de anulare a abaterii

dintre valoarea prescrisă (în regulator) şivaloarea curentă (măsurată de traductor);

element de execuelement de execuţţieie ; amplifică comanda generatăde regulator şi modifică fluxurile de energieşi/sau de substanţă din procesul automatizat.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 22

Comparaţie între cele două soluţii:

• mecanizaremecanizare: aparatele fac posibilă includerea

operatorului uman (fig. I.1) prin

următoarele interfeinterfeţţee:

â aparate de măsură (indicaţii vizuale) şi

â organe de reglare (comenzi manuale);

• automatizareautomatizare: aparatele de măsură şi organele

de reglare nu sunt utilizabile ca atare;

ele trebuie modificate pentru a se

realiza lanţul:

traductor traductor –– regulator regulator –– element de execuelement de execuţţieie.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 23

Ingineria automatizăriiIngineria automatizării: crearea de traductoare, regulatoar şielemente de execuţie; crearea automatizărilor.

Tehnica automatizăriiTehnica automatizării :tehnica măsurăriitehnica măsurării: prelevarea, compararea, convertirea,

amplificarea, indicarea şi înregistrareamărimilor fizice;

tehnica reglăriitehnica reglării: elaborarea comenzilor care asigurămodificarea fluxurilor de substanţă,energie şi informaţie;

tehnica telematiciitehnica telematicii: transmiterea la distanţă a informaţiilorîntre om şi maşină sau între maşini;

tehnica de tehnica de calcucalcull: codificarea, prelucrarea, stocarea,decodificarea şi distribuţia informaţiilor.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 24

3. Ce este un sistem automat?

La ex. 2.1 şi 2.2 temperatura variază deoarece există unconsum (Q2) şi un adaus (Q1).

Prin variaţia adecvată a lui Qt, abatereaabaterea dintre

valoareavaloarea prescrisăprescrisă şi valoareavaloarea curentăcurentă ale temperaturii se poate reduce până la anulare.

Reducerea abateriiReducerea abaterii este posibilă prin:1° Un operator prelucrează informaţii din proces

şi acţionează prin organul de reglare Rt

în sensul anulării abateriianulării abaterii.2° Un dispozitiv de automatizare prelucrează informaţii

din proces şi acţionează prin organul de reglare Rt

în sensul anulării abateriianulării abaterii.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 25

Q1

R

Rt

Qt

N T

Q2

M

P

C

Fig. I.2. Ex. 2.1 Fig. I.3. Ex. 2.2

mecanizare automatizare

EVt

NC

TC

+

–HHnn

HHtt

M

Q1

R

Qt

Q2

SC

P

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 26

Soluţiile sunt izomorfeizomorfe. În ambele există calea decalea de reacreacţţieie.

ReacReacţţia negativăia negativă asigură evoluţia spre anulanulaarrea ea abateriiabaterii..

ReacReacţţiaia este un concept fundamental în automatică.

Ea poate fi:

negativănegativă

pozitivăpozitivă..

Ca soluţie tehnică reacţia negativă s-a utilizat odată cu

realizarea primelor sisteme automate.

Noţiunea de reacţie a apărut în electronică.

Universalitatea ei a fost descoperită către sfârşitul anilor '30.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 27

nerv optic

creier

globulocular muşchi de

deschidere

info

rmaţ

ievi

zuală

retina

com

enzi

CA

LEA

DE

RE

ACŢ

IE CA

LEA

DIR

EC

TĂ

pupilamuşchi de închidere

Reacţia este prezentă în toate formele de organizare a materiei.

Exemplul 3.1

Fig. I.5. Reflexul pupilar fotomotor

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 28

• sec. IV-III î. Cr., ceasul cu apă

• cca 1600, incubatorul lui Drebbel

• 1769, regulatorul centrifugal (James Watt) pentru

reglarea automată a turaţiei maşinii cu vapori

• 1869, J. C. Maxwell primul studiu matematic al

stabilităţii unor sisteme automate, urmat de

I. A. Vyshnegradskii – un studiu mai amplu

• Interbelic (SUA), telecomunicaţii cu amplificatoare

electronice cu reacţie; metoda frecvenţială;

• Interbelic (fosta URSS), metoda domeniului timpului.

4. Câteva repere istorice

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 29

a

MAŞINACU

VAPORI

ABUR UZAT

ABUR VIU

c

5

32

c

11b b

1 – mase centrifugale2 – resort (poate lipsi)3 – mecanism patrulater4 – culisă5 – clapetă de reglare

4

a – mişcări de rotaţieb – mişcări pendularec – mişcări de translaţie

a

Fig. I.8. Regulatorul centrifugal pentru reglarea automată a turaţiei maşinii cu vapori

regulatorulcentrifugal

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 30

James Watt1736–1819

Regulatorulcentrifugal

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 31

Maşină cu vapori fixă

Regulatorulcentrifugal

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 32

5. Automatica şi cibernetica;

sisteme şi semnale

Automatica Automatica = cercetarea teoretică a sistemelor

automate şi studiul, conceperea şi

realizarea mijloacelor tehnice

de automatizare.

CiberneticaCibernetica = "studiul analitic al izomorfismului între

structura comunicaţiilor în mecanisme,

în organisme şi în societăţi".

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 33

Se au în vedere trei aspecte privitoare la comunicaţii:

1° Aparatele, operatorul sau dispozitivul de automatizare

şi recipientul tehnologic formează un sistemsistem.

Sistemul are o structurăstructură.

2° ElElementeleementele sistemuluisistemului sunt conectate prin semnalesemnale.

Se transmit de la cauzăcauză (mărime de intrare)

la efectefect (mărime de ieşire).

3° Acţiunea comună a părţilor realizează scopul:

anularea abateriianularea abaterii şi respectiv

ccompensareaompensarea efectului perturbaefectului perturbaţţiiloriilor.

Această proprietate nu este a elementelor sistemului.

Este un rezultat al structuriistructurii şi al comunicacomunicaţţiiloriilor.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 34

SSistemistem = o unitate relativ delimitată faţă de mediu prin

structura sa internă. Noţiunea este relativă.

Una şi aceeaşi realitate poate conţine mai multe sisteme.

Între sisteme se transmit informaţii. Noţiunea de informainformaţţieie

rezultă prin abstractizarea semnificaţiilor uzuale.

O informaţie nu este cunoscută aprioric.

Realizarea unei informaţii concrete înlătură o incertitudineincertitudine.

Această incertitudine este cuantificabilă – are o valoarevaloare.

O mărime fizico-tehnică purtătoare de informaţie = semnalsemnal.

PParametruarametru informainformaţţionalional = param. dependent de informaţie.

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 35

Semnalele sunt funcţii şi de timp. TimpulTimpul evoluează continuu, în sens unic, de la trecut,

prin prezent, spre viitor.

Semnalele se pot clasifica:1°După natura fizică : mecanice, electrice, optice etc;2°După valorile parametrului informaţional:

analogice, discrete (digitale, binare);3°După valorile variabilei timp:

continue, discrete în timp (eşantionate).

t

x(t) semnal analogic continuu

semnal eşantionat uniform

x*(t)

M. Voicu, IA (I) C1 (36) 36

4°După previzibilitatea evoluţiei viitoare:

deterministe, stohastice (aleatoare).

SistemeleSistemele procesează semnalesemnale.

Noţiunile de sistemsistem şi semnalsemnal sunt duale.

În lipsa semnalelorsemnalelor / / sistemelorsistemelor

existenţa sistemelorsistemelor / / semnalelorsemnalelor este insesizabilă.

Clasificarea sistemelor după natura semnalelor procesate:

sisteme analogice sau discrete,

sisteme continue sau discrete în timp (cu eşantionare),

sisteme deterministe sau stohastice (aleatoare).

1

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 1

ANEXE Anexa B1. Distribuţii (funcţii generalizate)

Funcţia Heaviside (treapta unitară) reprezintă un caz limităideal al unor fenomene frecvent întâlnite în aplicaţii. De exemplu, ea se poate obţine la limită în felul următor:

1σε ( t )

t

0, ,21( ) ( ), ,2 2 2

1, ,2

t

t t t

t

ε

ε

ε ε εσ εε

⎧ <−⎪⎪

= + − < <⎨⎪⎪ <⎩

0

0, 0,1() lim () , 0,21, 0.

t

t t t

tεε

σ σ↓

<⎧⎪

= = =⎨⎪ >⎩

FuncFuncţţia ia HeavisideHeaviside

ε→ 0- ε / 2 ε / 2

nu este derivabilă în sensul analizei clasice.( )tσFuncţia


1σε ( t )

t

tε / 2- ε / 2

0

0, 0,( ) lim ( )

, 0,

tt t

tεε

δ δ↓

≠⎧⎪= = ⎨+∞ =⎪⎩

/2

/21( ) 1.t dt dtε

ε εδ ε

+∞

−∞ −= =∫ ∫ ( ) 1.t dtδ

+∞

−∞=∫

0

0, 0,

1() lim () , 0,21, 0.

t

t t t

t

εεσ σ

↓

<⎧⎪⎪= = =⎨⎪

>⎪⎩

FuncFuncţţia ia HeavisideHeaviside

IImpulsulmpulsul DiracDirac

ε→ 0

0, ,2( ) 1( ) , ,2 2

0, ,2

td tt tdt

t

εε

ε

σ ε εδ εε

⎧ < −⎪⎪= = − < <⎨⎪⎪ <⎩

δε ( t )

1/ε

= ∞

- ε / 2 ε / 2

Derivata clasică Derivata generalizată

0, ,21( ) ( ), ,2 2 2

1, ,2

t

t t t

t

ε

ε

ε ε εσ εε

⎧ < −⎪⎪

= + − < <⎨⎪⎪ <⎩

2


Funcţia Heaviside

0, t < 0σ ( t) =

1, t ≥ 0

1

t

σ ( t )Impulsul Dirac

t

δ ( t )

∞, t = 0δ ( t) =

0, t ≠ 0 ∫+∞

∞−= 1)( dttδ

δ ( t ) = Dσ ( t )

δ (– t) = δ ( t), f ( t )δ ( t ) = f (0 ) δ ( t),

a b

Proprietăţi:

Derivata generalizată a funcţiei Heaviside

Impulsul Dirac este o distribuţie (funcţie generalizată).

O distribuţie (funcţie generalizată) conţine impulsul Dirac şi derivatele sale.

δ este elementul unitate pe structura

Produsul de convoluţie a funcţiilor:

1 2 1 2 1 20 0( ) ( ) ( ) ( ) .t tf f f t f d f f t dτ τ τ τ τ τ∗ − = −∫ ∫

( , ): .f f f fδ δ∗ ∗ = ∗ =


Derivata în sens distribuţii (generalizată) a unei funcţii

f (t), t ∈ R, discontinuă în t = τ ; f (τ –0) şi f (τ + 0) sunt finite.

( ) ( ) [ ( 0) ( 0)] ( ).cf t f t f f tτ τ σ τ= + + − − −

( ) ( ) [ ( 0) ( 0)] ( );Df t f t f f tτ τ δ τ′= + + − − −

fc(t) - partea continuă a lui f(t) .

Derivata generalizată (fig. b):

Derivata clasică:

f '(t) = f 'c(t), t ≠ τ.

Df(t)

τ tfig.b

[ ( 0) ( 0)] ( ),f f tτ τ δ τ+ − − −

τ fig.a t

f(t)

f(τ−0)

f(τ+0)f c(t)

f(t)

f(t)

Conform fig. a:

f′(t)

3


Derivata generalizată de ordinul 2 :

2 ( ) "( ) [ '( 0) '( 0)] ( )D f t f t f f tτ τ δ τ= + + − − − +

( 2) ( 2)[ ( 0) ( 0) ] ( ) . . .k kf f D tτ τ δ τ− −+ + − − − + +

( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) [ ( 0) ( 0) ] ( )k k k kD f t f t f f tτ τ δ τ− −= + + − − − +

1[ ( 0) ( 0) ] ( ) , 1, 2,. . . ,kf f D t kτ τ δ τ−+ + − − − =

[ ( 0) ( 0) ] ( )f f D tτ τ δ τ+ + − − −

Derivata generalizată de ordinul k :


Anexa A1. Transformarea Laplace1.1. Transformarea directăDefiniţia 1. Fie f(t) o funcţie de variabila reală t, numită funcfuncţţieie originaloriginal, care satisface condiţiile:1° f(t) = 0, t < 0; 2° f(t) este continuă pe porţiuni; pe orice interval finit are cel

mult un număr finit de discontinuităţi; în punctele t de discontinuitate există limitele finite f(t–0), f(t + 0);

3° există M > 0 şi a ∈ R astfel ca |f(t)| ≤ Meat, t ≥ 0.

0( ) ( ) ( ), .stF s f t e dt f t s+∞ −= = ∈∫ CL

Transformata Laplace a funcţiei f(t), numită ffuncuncţţiiee iimaginemagine,este funcţia de variabila complexă s

4


a. Observaţii1° Transformarea conform definiţiei 1 se mai numeşte şi

Laplace directă unilaterală.2° t este timpultimpul.

|s| este o pulsaţie; s se numeşte frecvenfrecvenţţa complexăa complexă.L este o transformare din domeniul timpului în domeniul

frecvenţelor complexe.3° Ipoteza 1° din definiţia 1 poate fi omisă.

Pentru f (t), t ∈ R, din definiţia 1 rezultă că F(s) corespundenumai restricţiei lui f la intervalul [0,+∞).În ipoteza 1° (def. 1) condiţiile iniţiale f (i)(– 0), i = 0,1,2,....sunt nule.


b. TeoremeI. Liniaritatea este asigurată prin definiţie:

'( ) ( ) ( 0) .f t s F s f= − +L

În general

( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( 0) . . . ( 0), 1, .k k k kf t s F s f s f k n− −= − + − − + =L

II. Imaginea derivatei clasice a originalului:

1 2,f f∀

1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )c f t c f t c F s c F s+ = +L

1 2,c c∀– funcţii originale, – constante reale;

5


III. Imaginea derivatei generalizate a originalului:

( ) ( ) ( 0) .D f t s F s f= − −L

Se ţine seama de:

( ) '( ) [ ( 0) ( 0) ] ( ) .Df t f t f f tδ= + + − −

( ) '( ) [ ( 0) ( 0) ] ( ) D f t f t f f tδ= + + − − =L L

'( ) [ ( 0) ( 0) ]f t f f= + + − − =L

( ) ( 0)sF s f= − + ( 0)f+ + ( 0) ( ) ( 0).f sF s f− − = − −

In general:

1 ( 1) ( ) ( ) ( 0) . . . ( 0) , 1, .k k k kD f t s F s f s f k n− −= − − − − − =L

'( ) ( ) ( 0) ,f t s F s f= − +L

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 10

Definiţia 2. În condiţiile def. 1 transformarea inversă este:

[ ] 11 1( 0) ( 0 ) ( ) ( )2 2c j s tc j

f t f t F s e d s F sπ j+ ∞ −− ∞

− + + = =∫ L

I. Originalul unei funcţii raţionale (teorema dezvoltării)Teoreme

cu polii distincţi pi, de multiplicitate qi, ,,1 ri = 1 .rii q n= =∑

( )( ) ,( )Q sF s P s= grad Q = m < grad P = n,Funcţia imagine:

1 1( ) , 0,( )!i i ir q i j q j p t

i ji

Kf t t e tq j

−= == ≥−∑ ∑

1

11 [( ) ( )] , 1, , 1, .( 1)!

i

i

j qij i ij

s p

dK s p F s i n j qj ds−

−=

= − = =−

1.2. Transformarea inversă

Funcţia imagine:

6

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 11

III. Valoarea finală a originalului:0

( ) lim ( ) lim ( ).t s

f f t sF s→+∞ →

+∞ = =

II. Valoarea iniţială a originalului:0

( 0) lim ( ) lim ( ).t s

f f t sF s→ →∞

+ = =

∞0 ttimpul

II şi III pun în corespondenţă vecinătatea lui t = 0 cu vecinătatea lui |s| = +∞

respectivvecinătatea lui t = +∞ cu vecinătatea lui s = 0 .

II. T. II. T. valoriivalorii finalefinale

0

R = ∞

Pl. s

frecvenţa complexăII. T. II. T. valoriivalorii iniiniţţialialee

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 12

Capitolul II

TRANSFERUL INTRARE–IEŞIRE AL SISTEMELOR DINAMICE LINIARE

7

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 13

1. Descrierea matematică a sistemelor dinamice

1.1. Ce sunt modelele matematice?

Sistemele evoluează în timp sisteme dinamicesisteme dinamice.

Relaţii între variabile:

ecuaecuaţţii diferenii diferenţţialeiale şi/sau integrointegro--diferendiferenţţialeiale;

modelul matematicmodelul matematic sau sistemsistemulul abstractabstract.

Noţiuni distincte: sistem real şi sistem abstract.

Sistemul abstract este o imagine a sistemului real.

Sistemul abstract se validează prin comparare cu cel real.

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 14

Dpdv energetic –trei clase de sisteme:

1.2. Ecuaţiile sistemelor fizico-tehniceSe utilizează legile generale ale naturii.

TIP:SISTEM:

Tabelul II.1. Sumar al variabilelor fizico-tehnice

ELECTRIC

MECANIC

FLUIDIC

TERMIC

VARIABILA VARIABILA LONGITUDINALĂLONGITUDINALĂ

CURENTUL

FORŢA

CUPLUL

DEBITULFLUXUL TERMIC

if

cqq

VARIABILAVARIABILATRANSVERSALĂTRANSVERSALĂ

TENSIUNEAVITEZA DE TRANSLAŢIE

VITEZA UNGHIULARĂPRESIUNEA

TEMPERATURA

uv

ωpθ

•• disipativedisipative•• cu cu acumulare inductivăacumulare inductivă•• cu accu acumulumulare capacitivăare capacitivă

8

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 15

f K vf=

c K f= ω

pR

qf

1=

qRt

=1 θ

Tabelul II.2.a. Sumar al ecuaţiilor sistemelor

SISTEM DE TIP:

NATURA FIZICĂ: PARAMETRUL FIZIC: ECUAŢIA:

DISIPATIVDISIPATIV

ELECTRIC

MECANIC

FLUIDIC

TERMIC

REZISTENŢA ELECTRICĂ R

COEFICIENTULDE FRECARE Kf

REZISTENŢA FLUIDICĂ

REZISTENŢA TERMICĂ

Rf

Rt

1i uR=

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 16

u L didt

=

vK

dfdt

= 1

ω =1K

dcdt

p I dqdt

=

Tabelul II.2.b. Sumar al ecuaţiilor sistemelor

SISTEM DE TIP:


ACUMULATORACUMULATORINDUCTIVINDUCTIV

ELECTRIC

MECANIC

FLUIDIC

INDUCTANŢA ELECTRICĂ

COEFICIENTULDE ELASTICITATE

INERTANŢA FLUIDICĂ

L

K

I

vK

dfdt

= 1

Legealui Hooke

Δ f

Δ l = αΔ fl

: Δt 1=l ft K t

Δ ΔΔ Δ

Δt→0

9

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 17

ACUMULATORACUMULATORCAPACITIVCAPACITIV

ELECTRIC

MECANIC

FLUIDIC

TERMIC

CAPACITATEA ELECTRICĂ C

MASA INERTĂ

MOMENTUL DE INERŢIE

M

J

CAPACITATEA FLUIDICĂ Cf

CtCAPACITATEA TERMICĂ

i C dudt

=

f Mdvdt

=

c J ddt

=ω

dtdpCq f=

q C ddtt=θ

SISTEM DE TIP:


Tabelul II.2.c. Sumar al ecuaţiilor sistemelor

Ecuaţia calorimetrică ΔQ = mc Δθ : Δt tQ Ct t

Δ ΔθΔ Δ=

q C ddtt=θ

Δt→0

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 18

1 KKf 2

3M

f

x

v = x.

fr

fa

fi

f

Exemplul 1.1 Sistem: resort (1) – amortizor (2) – masă inertă (3)

element disipativ vKf fa =

element acumulator inductiv 0( )t

rf K v t dt= ∫

element acumulator capacitivdtdvMfi =

Fig.II.1

( ) ( ) ,0,)(, 000000

/ ≥====

tvtvdttdxxtx tt ∫=t

dvtx0

)()( ττ

ffff rai =++

∫ =++t

f tfdvKvKdtdvM

0)()( ττ (1.1)

.

10

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 19

u

i

iR

R L CSC

iL iC

Exemplul 1.2 Sistem: rezistenţă (R) – inductanţă (L) – capacitate (C)

element acumulator inductiv

iL

u dLt

= ∫1

0( )τ τ

element disipativ iR

uR =1

element acumulator capacitiv i C du

dtC =Fig.II.2

.iiii LRC =++

01 1 ( ) ( ).tduC u u d i td t R L τ τ+ + =∫ (1.2)

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 20

Sistemele (1.1) şi (1.2) au un model matematic unic.

Folosind:

22 1 02

( ) ( ) ( ) ( ).d y t dy ta a a y t u tdtdt+ + = (1.3)

0( ) ( ),

tf

dvM K v K v d f tdt τ τ+ + =∫ (1.1)

01 1 ( ) ( ).

tduC u u d i tdt R L τ τ+ + =∫ (1.2)

Ex.1.1

Ex.1.2

în (1.1)

în (1.2)

0( ) , , , ;

tv d y v y v y u fτ τ = = = =∫

0( ) , , , .

tu d y u y u y i uτ τ = = = =∫

rezultă:

y y y

y y y

u

u

11

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 21

Sistemele (1.1) şi (1.2) sunt izomorfeizomorfe.

cu condiţiile iniţiale:

ad y t

dta

dy tdt

a y t u t2

2

2 1 0( ) ( )

( ) ( ),+ + = (1.3)

Modelul matematic (1.3) reprezintă

OrdinulOrdinul modelului matematic = numărul de acumulatoare

de energie independente = numărul de condiţii iniţiale.

00 0 0

( )( ) , .t t

dy ty t y ydt == =

Au modelul matematic unic:

o o clasclasăă de sistemede sisteme izomorfeizomorfe.

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 22

1.3. Liniaritate şi invarianţă în timp

u(t) - mărimea de intrare ; y(t) - mărimea de ieşire

u(t) SISTEM

y(t)Fig.II.3

u t u t y t y t u t u t y t y t( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ).= → = = → =1 1 2 2

Definiţia 1. (Principiul suprapunerii efectelor)

Sistemul (1.4) este liniar dacă pentru orice c1 şi c2 are loc:

).()()()()()( 22112211 tyctyctytuctuctu +=→+=

(cauza) (efectul)u t y t( ) ( )→ (1.4)

Orice abatere de la comportarea liniară sistem neliniar

12

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 23

O clasă importantă de sisteme reale este aceea ale căreimodele matematice sunt constituite dinecuaecuaţţii diferenii diferenţţiale ordinare liniareiale ordinare liniarecucu coeficiencoeficienţţi i consconstantanţţii.

Definiţia 2Sistemul (1.4) se numeşte

netedneted şi cu parametri concentracu parametri concentraţţiidacă modelul matematic este o ecuaţie sau un set de ecuaţii diferenţiale ordinare.

Definiţia 3Sistemul (1.4) (fig.II.3) se numeşte

invariant invariant îîn timpn timpdacă toţi parametrii săi sunt invarianţi în timp.

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 24

Calitatea esenţială a unui sistem invariant în timp:sub acţiunea intrării u(t), evoluţia ieşirii y(t) este invariantăinvariantă pentru orice translaţie τ a lui t0, pentru acelaşi y0 = y(t0) şi u(t) translat în timp cu acelaşi τ.

Fig.II.6

t0+τ t

u, yy(t)

u(t)

y(t)

u(t)

t0

u0

y0

τUn sistem neted, cu parametri concentraţi, invariant în timp se reprezintă prin ecuaţii diferenţiale ordinare cu coef. const.

13

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 25

1.4. Funcţia de transfer

ai∈R, an ≠ 0, bi∈R.

1 11 0 1 01 1.. .. , ,

n n m mn n m mn n m md y d y d u d ua a a y b b b u tdt dt dt dt

− −− −− −+ + + = + + + ∈R (1.5)

Până la momentul iniţial t0 = 0 sistemul se află în repaus:

u t y t t( ) , ( ) , .≡ ≡ <0 0 0 (1.6)

Un sistem neted, cu parametri concentraţi, invariant în timpşi liniar, cu o intrare şi o ieşire, are modelul matematic:

m şi n sunt corelate cu numărul de acumulatoare de energie, semnificative şi independente, din sistem.

Derivatele sunt în senssens generalizatgeneralizat sau în senssens distribudistribuţţiiii.

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 26

Observaţia 1.1(1.6) – principiul cauzalităţii:

cauza nulăcauza nulă produce efectulefectul nulnul;(1.6) – principiului non-anticipării:

efectulefectul nu anticipează cauzacauza.

Definiţia 4Un sistem conform cu (1.6) se numeşte nonnon--anticipativanticipativ. El se numeşte anticipativanticipativ dacă

u(t) ≡ 0 (t < 0) implică y(t) ≡ 0 (t < 0).

(1.6) implică (1.7)( )( 0) 0, 0, 1,ku k m− = = −

(1.8)( )( 0) 0, 0, 1.ky k n− = = −

( ) 0, ( ) 0, 0 .u t y t t≡ ≡ < (1.6)Semnificaţia relaţiei

14

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 27

Se aplică transformarea Laplace. Se obţine:

( ) ( )1 11 0 1 0... ( ) . .. ( ),n n m m

n n m ma s a s a Y s b s b s b U s− −− −+ + + = + + + (1.9)

11 0

11 0

. . .( ) ( ).. . .

m mm m

n nn n

b s b s bY s U sa s a s a

−−

−−

+ + +=+ + +

(1.10)

1 11 0 1 01 1.. .. ,

n n m mn n m mn n m m

d y d y d u d ua a a y b b b udt dt dt dt

− −− −− −+ + + = + + + (1.5)

( ) ( ) , ( ) ( ) ,U s u t Y s y t= =L L

Se consideră sistemul:

(1.7)( )( 0) 0, 0, 1,ku k m− = = −

(1.8)( )( 0) 0, 0, 1.ky k n− = = −

u t y t t( ) , ( ) , .≡ ≡ <0 0 0 (1.6)

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 28

11 0

11 0

. . .( ) ( ).. . .

m mm m

n nn n

b s b s bY s U sa s a s a

−−

−−

+ + +=+ + +

(1.10)

Definiţia 5Raportul dintre Y(s) şi U(s) se numeşte funcfuncţţia de transferia de transfer.

11 0

11 0

.. .( )( ) ,( ) .. .

m mm m

n nn n

b s b s bY sG s U s a s a s a

−−

−−

+ + +=+ + +

(1.11)

( ) ( ) ( ) .Y s G s U s= (1.12)

Fig.II.7

Ecuaţia intrare – ieşire:

U(s) Y(s)11 0

11 0

. . .. . .

m mm m

n nn n

b s b s ba s a s a

−−

−−

+ + ++ + +

15

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 29

.......

)(0

11

01

1

asasabsbsb

sG nn

nn

mm

mm

++++++

=−

−

−− (1.11)

G(s) este o raţională de s∈C. G(s) nu depinde de U(s) şi Y(s).G(s) depinde de structura şi parametrii sistemului.

G(s) poate fi scrisă sub forma:

pj∈C – polii finiţi.

(1.13),)(

)()(

1

1

∏∏

−

−= n

jn

mim

psa

zsbsG .,1,,1, njmipz ji ==≠

( ) 0, 1, ,iG z i m= =

( ) , 1, ,jG p j n= + ∞ =

Polinoamele din (1.11) sunt relativ prime.

zi∈C – zerourile finite,

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 30

Polinomul monic

11 011( ) ( ) .. . ,m m mm

im m m

b bbz s s z s s sb b b−−= − + + + +∏ (1.17)

11 011( ) ( ) . . .n n nn

jn n n

a aap s s p s s sa a a−−= − + + + +∏ (1.18)

se numeşte polinomul zerourilor.

ρ = max (m, n) se numeşte ordinul sistemuluiordinul sistemului.

Polinom monic – coef. termenului de grad maxim este 1.

Polinomul monic

se numeşte polinomul polilor.

Definiţia 6

16

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 31

Se ilustrează în continuare prin două exemple că:

include operaţii de amplificare şi derivare; el are efect de anticipareanticipare.

include operaţii bazate pe integrare; el are el are efect de îîntârzierentârziere.

),(......

)(0

11

01

1 sUasasabsbsb

sY nn

nn

mm

mm

++++++

=−

−

−− (1.10)

Rolurile operatoriale ale polinoamelor din G(s)

(1.13)1

1

( ) ( )( ) ,( )( )

mm i m

nnn j

b s z b z sG s a p sa s p

−= =

−∏∏

( )mb z s

1( )na p s

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 32

Exemplificare prin două cazuri limită:11°° Cazul derivatoruluiderivatorului

G(s)= s, Y(s)= sU(s), respectiv,u(t) = sinω t y(t) = ωcosω t, t > 0.

y(t) este în avans de fază cu π/2 faţă de u(t).Ieşirea derivatorului anticipeazăanticipează intrarea.

u(t)

y(t)

y(t)u(t), ω = 1 rad/sec

[rad]

ω t2ππ

1

–1Fig.II.8

( )( ) ;du ty t dt=

17

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 33

2° Cazul integratorintegratoruluiului

0( ) ( ) ;ty t u dθ θ=∫

Fig.II.9

u(t)

ys(t)

y (t) componentacontinuă

[rad]

ω t2ππ

1

ω = 1 rad/secy(t)

–1

u(t)2

ys(t) este în întârziere de fază cu π /2 faţă de u(t).Ieşirea integratorului îîntârzientârzie intrarea.

componentasinusoidală

1 1( ) , ( ) ( ),G s Y s U ss s= =

u(t) = sinω t y(t) = (1– cosω t)/ω, ys(t) = – (cosω t)/ω, t >0.

respectiv

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 34

Observaţia 1.3Efectul se manifestă cu întârziere faţă de cauză.Operatorul integrator este dominantdominant faţă deoperatorul derivator . Dominanţa are loc numai dacă:

Observaţia 1.2• polinomul zerourilor modelează operaţii de amplificare

derivare; efect de anticipareanticipare a lui y(t) în raport cu u(t).• inversul polinomului polilor modelează operaţii bazate pe

integrare; efect de îîntârzierentârziere a lui y(t) în raport cu u(t).

Definiţia 7G(s), cu (1.19), se numeşte strict proprie. Pt. m = n se numeşte proprie şi pt. m > n – improprie.

m n< . (1.19)

1( )na p s

( )mb z s

18

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 35

Caz tipic: amplificatorul electronic de cc. Uzual se adoptă:y(t) = Ku(t), Gideal(s) = K (m = n = 0).

Exemplul 1.4. Se pot obţine G(s) cu m ≥ n, contrar cu (1.19). Motivul: la modelare s-au făcut idealizări şi simplificări.

u1

t

y

t

K

Ku y

O analiză riguroasă arată că :

u1

t G(s)u y

y

t

K

Δ t

Amplificatorul (real) întârzie ieşirea faţă de intrare.

real 3 23 2 1

( ) ,1

KG sa s a s a s

=+ + +

0 < ai << 1, i = 1,2,3.

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 36

Pt. u(t) lent variabil, întârzierea este neglijabilă.

Pt. t suficient de mare, respectiv |s| suficient de mic

se obţine:

Pentru intrare treaptă unitară, u(t) = σ(t), U(s) = 1/s,

cf. teoremei valorii finale se obţine:y(∞) = limt→∞ y (t) = lims→0 sGreal(s)U(s) =

= lims→0 sGreal(s)(1/s) = lims→0Greal(s) = Greal(0) = K.

adică se acceptă ai ≅ 0, i = 1,2,3.

real ideal3 23 2 1

( ) ( ) ,1

KG s G s Ka s a s a s

= ≅ =+ + +

19

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 37

Pentru intrare treaptă unitară, cf. teoremei valorii iniţialese obţine:

y (+0) = limt↓0 y(t) = lims→∞ sGreal(s)U(s) =

= lims→∞sGreal(s)(1/s) = lims→∞K/(a3s3+a2s2+a1s+1) = 0.

Pt. t > 0 foarte mic, respectiv |s| foarte mare, Greal(s) ≅ K nu mai este acceptabilă.

Acest fapt este ilustrat de răspunsul amplificatorului:

u1

t G(s)u y

y

t

K

Δ t

M. Voicu, IA (II) C2 (38) 38

Observaţia 1.4După idealizări / simplificări ale modelului matematic sepoate lucra cu funcţii de transfer proprii sau improprii.Rezultatele obţinute trebuie interpretate în conformitatecu idealizările / simplificările modelului matematic.

1


2. Scheme bloc structurale2.1. PreliminariiModelul matematic:

AnalizaAnaliza – Se împarte sistemul în elemente simple; urmează studiul lor separat, descrierea matematică şi evidenţierea cauzelorcauzelor şi efectelorefectelor.

Se asociază fiecărui element o schemă blocparţială.

SintezaSinteza – Cf. conexiunilor între elem. sist., se înlănţuieschemele bloc parţiale şi se obţineschema schema bloc bloc structuralăstructurală a sistemului.


• Se explicitează relaţia de cauzalitate.• Se aplică transformarea Laplace.

Exemplul 2.1. Motor electric de ccFenomene: electrice,

electromagnetice,electromecanice.

, k1, k2, k3 – constante

(a) Circuitul rotoric:

(b) Circuitul rotoric (tcem):

edtdiLRiu ++=

e k= 1ω

(c) Rotorul (mişc. rotaţie):

(d) Rotorul (cuplul elmag.):

J ddt

m m mm fω

= − −

m k im = 2

(e) Rotorul (cuplul de frec.): m kf = 3ω

AnalizaAnaliza

i

u e

J

R

L

iex

Rex Lex

mω mf

uexϕ

mm

Fig. II.10

2


[ ] )a()()(1)( sEsURLs

sI −+

=u – e i

)b()()( 1 sΩksE =ω e

[ ] )c()()()(1)( sMsMsMJs

sΩ fm −−=mm –mf – ωm

)d()()( 2 sIksM m =i mm

diu Ri L edt= + +

ω1ke =

mmmdtdJ fm −−=ω

ikmm 2=

ω3kmf = ).e()()( 3 sΩksM f =ω mf

ECUAECUAŢŢIIII CAUZA CAUZA EFECTEFECT INTRARE INTRARE –– IEIEŞŞIREIRE


1

Ls + R+ _

U (s)

E (s)

I (s)

E (s)Ω (s)k1

1Js

+_

+_

Ω (s)Mm (s)

Mf (s)

M (s)

I (s)k2

Mm (s)

k3

Ω (s) Mf (s)

[ ] )a()()(1)( sEsURLs

sI −+

=

),b()()( 1 sΩksE =

[ ] )c()()()(1)( sMsMsMJs

sΩ fm −−=

).d()()( 2 sIksMm =

).e())( 3 sΩ(ksMf =

INTRAREINTRARE IEIEŞŞIREIRE SCHEME BLOC PARSCHEME BLOC PARŢŢIALEIALE

3


k3

Ω (s)Mf (s)

1Js

+_

+_

Ω (s)Mm (s)

Mf (s)

M (s)

I (s)k2

Mm (s)

)b()()( 1 sksE Ω=

Fig. II.11

[ ] )a()()(1)( sEsURLs

sI −+

=

E (s) Ω (s)k1

[ ] )c()()()(1)( sMsMsMJs

s fm −−=Ω

)d()()( 2 sIksMm = ).e()()( 3 sksM f Ω=

Mf (s)E (s)

k3k1

SintezaSinteza

1Ls + R+ _

U (s)

E (s)

I (s)

k21Js

+_

+_

Ω (s)Mm (s)

Mf (s)

M (s)1

Ls + R+ _

U (s)

E (s)

I (s)

k3

k1Fig. II.12


k21Js

+_

+_

Ω (s)Mm (s)

Mf (s)

M (s)1

Ls + R+ _

U (s)

E (s)

I (s)

k3

k1Fig. II.12

t

m, ω

t

u, ω

u

ω

m

ω

Acţionări electrice cu turaţie reglabilă: u ω, m ω

4


2.2. Conexiuni elementare

1° Conexiunea «serie»

1( ) ( ) ( ), 1, ,i i iX s G s X s i n−= = (2.1)

X s U s X s Y sn0( ) ( ), ( ) ( ).= = (2.2)

FuncFuncţţia de transfer echivalentăia de transfer echivalentă = = produsul funcprodusul funcţţiilor de transferiilor de transfer..

Y s G s U s G s G siin( ) ( ) ( ), ( ) ( ).= = =∏ 1 (2.3)

G1(s) G2(s) Gn(s)X1(s) X2(s) Xn-1(s)U(s) Y(s)


2° Conexiunea «paralel»

( ) ( ) ( ) , 1, ,i iX s G s U s i n= = (2.4)

1( ) ( ).niiY s X s== ∑ (2.5)

FuncFuncţţia de transfer echivalentăia de transfer echivalentă = = suma funcsuma funcţţiilor de transferiilor de transfer..

Y s G s U s G s G siin( ) ( ) ( ), ( ) ( ).= = =∑ 1 (2.6)

Σ

G1(s)

G2(s)

Gn(s)

X1(s)

X2(s)

Xn (s)

U(s) Y(s)

5


PP

3° Conexiunea «cu reacţie»

– reacţie negativă+ reacţie pozitivă

BUCLA DESCHISĂ ÎN P

CALEA DE REACŢIE

+

Y(s)

CALEA DIRECTĂ

_+

U(s)G1(s)

X1(s)

X2(s)

G2(s)

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 10

+ pentru reacţie negativă,– pentru reacţie pozitivă.

1 2( ) ( ) ( )X s U s X s= ∓ (2.7)

)()()( 11 sXsGsY = (2.8)

).()()( 22 sYsGsX = (2.9)

,)()(1

)()(),()()(21

100 sGsG

sGsGsUsGsY±

== (2.10)

[ ] ),()()()()(1 121 sUsGsYsGsG =± (2.11)

FuncFuncţţia de transfer echivalentă ia de transfer echivalentă == raportul dintre funcraportul dintre funcţţiaiade transfer a căii directe de transfer a căii directe şşi i 11 ±± funcfuncţţia de transfer a bucleiia de transfer a bucleideschise deschise îîn punctul n punctul ..

PBUCLA DESCHISĂ ÎN PP

CALEA DE REACŢIE

+

Y(s)CALEA DIRECTĂ

_+

U(s)G1(s)

X1(s)

X2(s)

G2(s)

PP

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Y s G s U s G s Y s= ∓

6

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 11

2.3. Transfigurarea schemelor bloc structurale

• Analiza şi sinteza sistemelor dinamice reclamă

determinarea relaţiilor dintre două sau mai

multe mărimi ale schemei bloc structurale.

• Prin operaţii de transfiguraretransfigurare se obţin

rezultatele căutate.

• Ele se execută conform unor

identităidentităţţi de transfigurarei de transfigurare.

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 12

b (schema finală)a (schema iniţială)

Fig. II. 17. Identităţi de transfigurare

4° Deplasarea unui sumator de la intrarea la ieşirea unui bloc

+

U1(s)

± U2(s)

Y(s)G(s)

(2.12) (2.13)

+

Y(s)

±

U1(s)G(s)

U2(s)G(s)

Y(s) = G(s)[U1(s) ± U2(s)] Y(s) = G(s)U1(s) ± G(s)U2(s)

7

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 13


Fig. II. 17. Identităţi de transfigurare (continuare)

5° Deplasarea unui sumator de la ieşirea la intrarea unui bloc

(2.14) (2.15)

U2(s)

U1(s)G(s)

+±

Y(s) U1(s)

G–1(s)U2(s)

+G(s)

±

Y(s)

Y(s) = G(s)U1(s) ± U2(s) Y(s) = G(s)[U1(s) ± G–1(s)U2(s)]

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 14



6° Deplasarea unui punct de ramificare de la intrare la ieşire

U (s) Y(s)G(s)

U(s)G(s)

U (s)

Y(s)

U (s)G–1(s)

(2.16) (2.17)

Y(s) = G(s)U(s), U(s) = U(s)

Y(s) = G(s)U(s), U(s) = G–1(s)G(s)U(s)

8

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 15


7° Deplasarea unui punct de ramificare de la ieşire la intrare


G(s)Y(s)U(s)

G(s)U (s)

Y(s)

Y(s)

G(s)Y(s)

(2.18) (2.19)

Y(s) = G(s)U(s), Y(s) = Y(s)

Y(s) = G(s)U(s), Y(s) = G(s)U(s)

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 16


8° Comutativitatea sumatoarelor


U1(s)

U2(s)

Y(s)+

± ±U3(s)

+U1(s)

U3(s)

Y(s)+

±U2(s)±

+

(2.20) (2.21)

Y(s) = [U1(s) ± U2(s)] ± U3(s) Y(s) = [U1(s) ± U3(s)] ± U2(s)

9

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 17

U1(s)G1(s)

U2(s)±

+ Y(s)

11 2

1 2 1 2

( ) 1( ) ( ) ( ),1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )G sY s U s U sG s G s G s G s= ±± ±

1 1 2 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( )Y s G s U s G s Y s U s= ±∓

[ ]1 2 1 1 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G s G s Y s G s U s U s± = ±

1 1 2( ) ( ) ( )X s U s X s= ∓

1 1 2( ) ( ) ( ) ( )Y s G s X s U s= ±

).()()( 22 sYsGsX =+

X1(s)

±

G2(s)X2(s)

9° Deplasarea sumatorului din interiorul conexiunii <<cu reacţie>> la ieşire


a (schema iniţială)

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 18

U1(s)

G2(s)

U2(s)

+G1(s)

±

Y(s)±+

G2(s)

+±

U1(s)G1(s)

Y(s)±+

11 2

1 2 1 2

( ) 1( ) ( ) ( ),1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )G sY s U s U sG s G s G s G s= ±± ±

U2(s) 11± G1(s)G2(s)

9° Deplasarea sumatorului (continuare)

a (schema iniţială)

b (schema finală)

10

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 19

11 2

1 2

( )( ) ( ) ( ),1 ( ) ( )G sY s U s U sG s G s= ±±

10° Deplasarea sumatorului de la ieşire în interiorul conexiunii <<cu reacţie>>


G2(s)

+±

U1(s)G1(s)

Y(s)±+

U2(s)

G2(s)

+±

U1(s)G1(s)

±

U2(s)1± G1(s)G2(s)

[ ]11 1 2 2

1 2 1 2

( ) 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ).1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )G sY s U s G s G s U sG s G s G s G s= ± ±± ±


Y(s)+

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 20

«serie»

Exemplul 2.2. Motor electric de cc (continuare)

22

1 kkL s R Ls R=+ +2k

Ls R+

1Js

+_

+_

Ω (s)Mm(s)

Mf (s)

M (s)

Ls + R+ _

U(s)

E(s) k3

k1

k2

k21Js

+_

+ _

Ω (s)Mm(s)

Mf

M (s)

1Ls + R+_

U (s)

E (s)

I (s)

k3

k1k1

11

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 21

Exemplul 2.2. Motor electric de cc

1Js+

_+

_

Ω (s)

Mm(s)Mf (s)

M (s)

Ls + R+ _

U(s)

E(s) k3

k1

k2

1Js

+_

+_

Ω (s)Mm(s)

Mf (s)

M (s)

Ls + R+ _

U(s)

E(s) k3

k1

k2

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 22

«cu reacţie»

Exemplul 2.2. Motor electric de cc (continuare)

33

11

11Js

Js kkJs= ++

1Js

+

_

+ _

Ω (s)Mm(s)

Mf

M (s)

Ls + R+_

U (s)

E (s) k3

k1

k2

3

1Js k+

Ω (s)Mm(s)

M (s)

U(s)

E(s)k1

RLsk+2

3

1kJs ++ +

12

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 23

Fig. II.16

Exemplul 2.3. Motor electric de cc

Ω (s)Mm(s)

M (s)

U(s)

E(s)k1

RLsk+2

3

1kJs ++ +

+

+

1

Ls+Rk 2

k

k 2

(Ls+R)(Js+k3)

M (s)

U(s) Ω (s)

E(s)

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 24

U ++

1

Ls+Rk2

M

k

k 23 )

Ω(s )

(s )

(s )

(Ls+R )( Js+k

Fig. II.19

G s Ls Rk

kLs R Js k

k kLs R Js k

Ls RLJs RJ Lk s Rk k km0

2

23

1 23

23 3 1 21

( ) ( )( )

( )( )( )

= + + +

++ +

= ++ + + +

21332

2

3

21

3

2

0 )())((

1

))(()(

kkRksLkRJLJsk

kJsRLskk

kJsRLsk

sG++++

=

+++

++=

),()()()()( 00 sMsGsUsGsΩ m−=

.

Exemplul 2.3. Motor electric de cc(continuare)

13

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 25

PaPaşşi de transfigurare:i de transfigurare:

• a) Se echivalează conexiunile «serie».

• b) Se echivalează conexiunile «paralel».

• c) Se echivalează conexiunile «cu reacţie».

• d) Se deplasează punctele de ramificare şi/sau

sumatoarele conform identităţilor 4° – 8 °.

• e) Se repetă operaţiile de la paşii a – d până se obţine

rezultatul dorit.

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 26

)(sG

2.4. O schemă bloc operaţională asociatăunei funcţii de transfer

Observaţia 1.2 (v. 1.4)

Numărătorul modelează operaţii de amplificare şi derivare;

are efect de anticipareanticipare.

Numitorul modelează operaţii bazate pe integrare;

are are efect de îîntârzierentârziere.

),(......

)(0

11

01

1 sUasasabsbsb

sY nn

nn

mm

mm

+++

+++=

−−

−− (1.10)

14

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 27

)(sG

0 3 02 1 2 12 3 2 3

3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) .a b ba a b bY s U sa s a a a a s a as s s s⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 23 2 1 0

33 23 2 1 0

( ) ( ); 0b s b s b s bY s U s aa s a s a s a

+ + += ≠+ + +

( ) ( )3 2 3 23 2 1 0 3 2 1 0( ) ( ),a s a s a s a Y s b s b s b s b U s+ + + = + + + 3

3

1a s

×

O schema bazată numai pe integratoare

Exemplu

şi cel puţin un 0 .jb ≠

Se elimina numitorul 3 23 2 1 0.a s a s a s a+ + +

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 28

02 12 3

3 3 3

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )aa aY s Y s Y s Y sa s a as s+ + + =

3 02 12 3

3 3 3 3

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ).b bb bU s U s U s U sa a s a as s= + + +

3 2 2

3 3 3

1 1( ) ( ) ( ) ( )b b aY s U s U s Y sa a s a s= + − +

0 01 12 2 3 3

3 3 3 3

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ).b ab aU s Y s U s Y sa a a as s s s+ − + −

15

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 29

3 2 2

3 3 3

1( ) ( ) ( ) ( )b b aY s U s U s Y sa s a a⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01 12 3

3 3 3 3

1 1( ) ( ) ( ) ( )b ab aU s Y s U s Y sa a a as s⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 2 2

3 3 3


0 01 12

3 3 3 3

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,b ab aU s Y s U s Y sa a s a as⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 30

3 2 2

3 3 3

1( ) ( ) ( ) ( )b b aY s U s U s Y sa s a a⎛= + − +⎜⎝

0 01 1

3 3 3 3

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,b ab aU s Y s U s Y ss a a s a a⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎠

3 2 2

3 3 3


0 01 1

3 3 3 3

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,b ab aU s Y s U s Y ss s a a s a a⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

16

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 31

Y(s)++

3

3

ba

1s

1s

1s

U(s)

+

_

0

3

ba

0

3

aa

Y(s)

++

_

1

3

ba

1

3

aa

Y(s)

++

_

2

3

ba

2

3

aa

Y(s)

3 0 02 2 1 1

3 3 3 3 3 3 3

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .b b ab a b aY s U s U s Y s U s Y s U s Y sa s a a s a a s a a⎞⎛ ⎞⎛ ⎛ ⎞= + − + − + −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎠

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 32

11 0

11 0

...( ) ( ), 0

...

n nn n

nn nn n

b s b s bY s U s aa s a s a

−−

−−

+ + += ≠+ + +

şi cel puţin un 0 .jb ≠

Cazul general

( ) ( )1 11 0 1 0... ( ) ... ( )n n m m

n n m ma s a s a Y s b s b s b U s− −− −+ + + = + + + 1

nna s

×

1 11 1( ) ( ) ( ) ( )n n n

n n n

b b aY s U s U s Y sa a s a s− −= + − +

0 01 11 1

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ).n n n nn n n n

b ab aU s Y s U s Y sa a a as s s s− −+ − + −

17

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 33

1 11( ) ( ) ( ) ( ) ...n n n

n n n

b b aY s U s U s Y sa s a a− −⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 01 11

1 1( ) ( ) ( ) ( )n nn n n n

b ab aU s Y s U s Y sa a a as s−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 11( ) ( ) ( ) ( ) ...n n n

n n n

b b aY s U s U s Y sa s a a− −⎛= + − + +⎜

⎝

0 01 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ....n n n n n

b ab aU s Y s U s Y ss a a s a a⎞⎛ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

M. Voicu, IA (II) C3 (34) 34

Y(s)++

n

n

ba

1s

1s

1s

U(s)

+

_

0

n

ba

0

n

aa

Y(s)

++

_

1

n

ba

1

n

aa

Y(s)

++

_

1n

n

ba

−

1n

n

aa

−

Y(s)

1 1 0 01 11 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ....n n n

n n n n n n n n

b b a b ab aY s U s U s Y s U s Y s U s Y sa s a a s a a s a a− − ⎞⎛⎛ ⎛ ⎞= + − + + − + −⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1


Se aplică imp. Dirac:0, 0

( ) ( ) , ( ) 1,, 0

tu t t t dt

tδ δ

+∞

−∞

≠⎧⎪= = =⎨+∞ =⎪⎩

∫ (3.1)

( ) ( )=1.U s tδ=L (3.2)

3. Răspunsul la impulsul Dirac3.1. Definiţie

0t

u(t) = δ (t)

Fig.II.330

t

Definiţia 1Răspunsul (3.5) se numeşte răspunsul la impulsul răspunsul la impulsul DiracDirac.

1( ) ( ), ( ) ( ).G s g t g t G s−= =L L (3.4)

y t g t( ) ( )= (3.5)

Y(s) = G(s)U(s). (1.12)sistemului:

).()( sGsY = (3.3)Răspunsul este:y(t)=g(t)


3.2. Proprietăţia. Răspunsul la implusul Dirac are proprietatea:

( ) 0, 0 .g t t≡ < (3.6)REPAUS

REPAUS

0t

u(t) = δ (t)

Fig.II.33

0tREPAUS

y(t)=g(t)

Principiul cauzalităţii: cauza nulă produce efectul nul.Într-adevăr, u(t) = δ (t) = 0 (t < 0) implică (3.6).

2


b. Răspunsul la impulsul Dirac este soluţia ecuaţiei diferenţiale:

1 11 1 0 1 1 0( ... ) ( ) ( ... )1.n n m m

n n m ma s a s a s a G s b s b s b s b− −− −+ + + + = + + + + (3.8)

11 1 0( ) ( ) . . . ( ) ( )n n

n na D g t a D g t a D g t a g t−−+ + + + =

(3.7)

11 0

11 0

.. .( ) ,. ..

m mm m

n nn n

b s b s bGsa s a s a

−−

−−

+ + +=+ + +

rezultă că (3.8) este adevărată.

În general, g(t) este o distribudistribuţţieie sau o funcţie generalizată.

11 1 0( ) ( ) . . . ( ) ( ) ,m m

m mb D t b D t b D t b t tδ δ δ δ−−= + + + + ∈R.

Cu

Se aplică transformarea Laplace: ( )tδL


c. Pentru t > 0, g(t) este o funcţie continuă, soluţie a ecuaţiei:

Într-adevăr, pentru t > 0 şi δ (t) = 0, în ecuaţia:

derivatele generalizate se înlocuiesc cu derivatele obişnuite.

11 1 0( ) ( ) . . . ( ) ( )n n

n na D g t a D g t a D g t a g t−−+ + + + =

(3.7)11 1 0( ) ( ) . . . ( ) ( ) , ,m m

m mb D t b D t b D t b t tδ δ δ δ−−= + + + + ∈R

Se obţine imediat (3.9).

.0,0)()('...)()( 01)1(

1)( >=++++ −

− ttgatgatgatga nn

nn (3.9)

3


11 0 1

0 0

. . .(0) ( 0) lim ( ) lim ( ) lim .. . .

nn n

nt s s nn

b s b bg g g t sG s s aa s a

−− −

→ →∞ →∞

+ += + = = = =+ +

Pentru t ≠ 0, de la a şi c rezultă că g(t) este continuă.

Pentru m = n – 1 rezultă:

d. Pt. m ≤ n – 1, g(t) are cel mult o discontinuitate de speţa I

la stânga lui t = 0 şi este continuă în rest.

g(t) nu conţine impulsul Dirac şi derivatele sale (v. f).

1,0 −nValorile g(k)(+0), k = , se obţin cu t. valorii iniţiale.

Pt. m ≤ n – 1, este strict proprie.1

1 01

1 0

. . .( ) ,. . .

m mm m

n nn n

b s b s bG sa s a s a

−−

−−

+ + +=+ + +


[ ]0

'( 0) lim '( ) lim ( ) ( 0)t s

g g t s sG s g→ →∞

+ = = − + =

……………………………………………….

1l imn

n ns

a b ss −

→+∞=

12 1. . .n n

n n n na b s a b s−− −+ + − 1

1 1

0

. . .( . . . )

nn n

nn n

a b sa a s a

−− −− −

=+ +

1 21 2 0 1

11 0

. . .l im. . .

n nn n n

n ns nn n

b s b s b bs s aa s a s a

− −− − −

−→∞ −

+ + +⎡ ⎤= − =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

1

2 1

1.

n

n

n n

n n

ba

b aa a

−

− −

−

−

2 1 12

n n n n

n

a b a ba

− − −−= =

4


( 1) ( 1) 1 2 3 ( 2)

0( 0) lim () lim ( ) ( 0) '( 0) ... ( 0) ,n n n n n n

stg g t s s G s g s g s g− − − − − −

→∞→+ = = − + − + − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

1

2 1

( 1)

31 2

0 11 2

1 0 0

1 0

( 0) .

1

n

n

n n

n nn

n n n

n

n n n n

ba

b aa a

ab aa a a

b aa aa a a a

g

−

− −

−

−

−

− −

− − −

−

−

+ =

−

…

…

…

…

bn–1≠ 0 g(–0) ≠ g(0) = g(+0);

g(+0) →→

g'(+0) →→

g(+0), g'(+0),..., g(n–1)(+0) sunt cond. iniţiale ale ec. dif. (3.9).

bn–1= 0 g(–0) = g(0) = g(+0) = 0.

g(n–2)(+0) →→


Să se determine g(t) pentru

g t e e tt t( ) ( ) ( ).= − +− −2 2 σ

Exemplul 3.1

g"(t) + 3g'(t) + 2g(t) = 0, t > 0;

Soluţia generală este: g(t) = C1e–2t + C2e–t, t > 0.

.23

3)( 2 +++

=ss

ssG

C1 = –1, C2 = 2 şi

Pentru t = +0 în g(t) şi g'(t) rezultăg(+0) = C1 + C2 = 1g'(+0) = – 2C1 – C2 = 0

s2 + 3s + 2 = 0, cu p1= –2, p2= –1.

03311

)0(' =−−

=+gDin se obţine şi g(0) = g(+0) = 1.

5


e. Pentru , g(t) se calculează şi cu t. dezvoltării. 1−≤ nm

[ ] .,1,,1;)()()!1(

11

1

ips

qij

j

ij qjrisGpsdsd

jK

i

i ==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

==

−

−(3.11)

∑ ∑= =

−

−=

r

i

q

j

tpjq

i

ijiii tet

jqK

tg1 1

),()!(

)( σ (3.10)

,,1 ri = distincţi, de multiplicitate ,1≥iqFie pi, polii

.1∑ =r

i nqai lui G(s), cu

Raspunsul la impulsul Dirac, g(t), se calculează cu:

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 10

f. Pentru m ≥ n, g(t) este o funcţie generalizată.

G1(s) satisface d şi e. g1(t) se calculează cu (3.10), (3.11).

1 1 10 1 0

00 0

... ...( ) ... ,... ...

m nm nm n

m nn nn n

b s b b s bG s c s ca s a a s a

−− −

−+ + + += = + + ++ + + +

(3.12)

10( ) ( ) . . . ( ) ( ) .m n

m ng t c D t c t g tδ δ−−= + + + (3.13)

1 1 11 1 0

0

. . .( ) ,. . .

nn

nn

b s bG sa s a

−− + +=

+ +(3.14)

Făcând împărţirea dintre polinoamele lui G(s) rezultă:

Ea conţine impulsul Dirac şi derivatele sale până la ordinul

m – n inclusiv.

1( )G s 1 1( ) .g t −= L

6

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 11

Cu rezultatul de la exemplul 3.1 se scrie:

( )2( ) ( ) ( ) 2 ( ) .t tg t D t t e e tδ δ σ− −= + + − +

Exemplul 3.3

să se determine g(t).Pentru3 2

24 6 5( )

3 2s s sG s

s s+ + +=

+ +

3 2

2 24 6 5 3( ) 1 .

3 2 3 2s s s sG s s

s s s s+ + + += = + +

+ + + +

( ) 1 2 1( ) 2 ( ) .t tg t e e tσ− − −= − + = L 1( )G s

În final se obţine:

23( ) 1 ,

3 2sG s s

s s+= + +

+ +

Se scrie:

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 12

• Cf. (3.15) sistemul revine asimptotic la repaus .

• Trecerea de la o stare de repaus (t < 0) la cealaltă (t = +∞)

se face prin regimul tranzitoriu (fig. II.33).

⇔⇔ G(s) are toţi polii situaţi în Re s < 0.0)(lim =+∞→

tgt

(3.15)

(3.15) are loc ⇔⇔ în (3.10)

.,1,0Re ripi =<

1 1( ) , 0.( )!

ii i

qri j q j p t

ii j

Kg t t e tq j

−

= == >

−∑∑ (3.10)

g. Răspunsul la impulsul Dirac are proprietatea:

Fig.II.33

TRANZITORIU

REGIMUL

REPAUS

REPAUS

0t

y(t)=g(t)

7

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 13

3.3. Produsul de convoluţie

Fig.II.34 Transferul (3.16)

0 t–θ θ = t

θ

g(t –θ)u(θ)0 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).t ty t g u t t g t u d t g u t d tσ θ θ θσ θ θ θσ= ∗ = − = −∫ ∫ (3.16)

Y(s) = G(s)U(s)

u(θ)

g(t –θ) u(θ)g(t –θ)

y(t)

produsul de convoluţie

Teorema BorelL

1−L

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 14

ci de integrala sa pt. θ∈[0, t].• y(t) cumulează efectele cauzate de

( ) ( ),g t uθ θ−

• y(t) nu depinde numai de produsul

u(θ ), θ∈[0, t],

Efectele sunt actualizate selectiv, respectiv sunt ponderatede g(t– θ), θ∈[0, t], fig. II.34.

• Sistemul dinamic are o “memorie” a acţiunilor lui u(θ ), θ∈[0, t],pe parcursul “istoriei” transferului intrare-ieşire.

• Răspunsul la imp. Dirac se mai numeşte şi funcfuncţţia pondereia pondere.

Fig.II.34

0 t–θ θ = t

θ

g(t –θ)u(θ)u(θ)

g(t –θ)u(θ)g(t –θ)y(t)

în “istoria” procesului pe [0, t] .

8

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 15

Exemplul 3.4

Cu g(t) cunoscut şi folosind (3.16) se scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t g u t t D u t t u t tσ δ σ δ σ= ∗ = ∗ + ∗ +

( )2( ) ( )0 0

2 ( )t tt te e d e e d tθ λ θ θ λ θθ θ σ− − − −+ − + =∫ ∫

( ) ( )21 2( ) ( ) ( )2 1t t t tDu t u t e e e e tλ λ σλ λ

− −⎡ ⎤= + + − − + − =⎣ ⎦+ +

( ) 3 22

24 6 51 2( ) ( ) ( ) .2 1 3 2

t t tt e e t e tλλ λ λδ σ σλ λ λ λ− − + + += + − +

+ + + +

( )2( ) ( ) ( ) 2 ( )t tg t D t t e e tδ δ σ− −= + + − +Fie

Să se determine y(t) pentru u(t) = eλtσ (t).

obţinut la exemplul 3.3.

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 16

1( ) ( ) .U s t sσ= =L (4.2)

0, 0,( ) ( ) ( )

1, 0,t t

u t t dt

σ δ θ θ−∞

<⎧= = =⎨

≥⎩∫ (4.1)

1( ) ( ) , ( ) ( ) .H s h t h t H s−= =L L (4.4)

( )0( ) ( ) ( ) ( ) .ty t h t g d tθ θ σ= = ∫ (4.5)

( ) ( ).g t Dh t= (4.6)

Definiţia 1Răspunsul (4.5) se numeşte răspunsul indicialrăspunsul indicial.

4. Răspunsul indicial4.1. DefiniţieSe aplică treapta unitară :

Y(s) = G(s)U(s). (1.12)sistemului:

1( ) ( ) ( ),Y s H s Gss= = (4.3)Răspunsul este:

0 t

y(t)=h(t)

h

0 t

1u(t)=σ(t)

Fig. II.35

9

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 17

y(t)=h(t)

0t

h

0t

u(t)=σ(t)1

Fig. II.35

4.2. Proprietăţi

( ) 0, 0 .h t t≡ < (4.7)

a. Răspunsul indicial are proprietatea:

REPAUS

Principiul cauzalităţii: cauza nulă produce efectul nul.Într-adevăr, u(t) = σ (t) = 0 (t < 0) implică (4.7).

REPAUS

REPAUS

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 18

( )tσL

b. Răspunsul indicial este soluţia ecuaţiei diferenţiale:

11 1 0( ) ( ) . . . . ( ) ( )n n

n na D h t a D h t a Dh t a h t−−+ + + + =

1 11 1 0 1 1 0

1( ... ) ( ) ( .... ) .n n m mn n m ma s a s a s a H s b s b s bs b s

− −− −+ + + + = + + + + (4.9)

În general h(t) este o distribudistribuţţieie sau o funcţie generalizată.

(4.8)11 1 0( ) ( ) . . . . . ( ) ( ) , .m m

m mb D t b D t b D t b t tσ σ σ σ−−= + + + + ∈R

11 0

11 0

...1 1( ) ( )...

m mm m

n nn n

b s b s bH s G ss s a s a s a

−−

−−

+ + += =+ + +

Se aplică transformarea Laplace:

rezultă că (4.9) este adevărată.

Cu

10

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 19

c. Pt. t > 0, h(t) este continuă, soluţie a ecuaţiei diferenţiale:

Pentru t > 0 rezultă:

( ) ( 1)1 1 0 0( ) ( ) . . . ' ( ) ( ) , 0.n n

n na h t a h t a h t a h t b t−−+ + + + = > (4.10)

( )( ) 1, ( ) ( ) 0, 1, .k kt D t t k mσ σ σ= = = = (4.11)

Înlocuind (4.11) în

şi trecând la derivatele obişnuite se obţine (4.10).

11 1 0( ) ( ) . . . ( ) ( )n n

n na D h t a D h t a D h t a h t−−+ + + + =

(4.8)11 1 0( ) ( ) . . . ( ) ( ) , .m m

m mb D t b D t b D t b t tσ σ σ σ−−= + + + + ∈R

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 20

d. În cazul m ≤ n, h(t) are cel mult o discontinuitate de

speţa I la stânga punctului t = 0 şi este continuă în rest.

Pentru m = n rezultă:

01(0) ( 0) l i m ( ) l i m ( ) l i m ( )

t s sh h h t sH s s G ss→ →∞ →∞

= + = = = =

Pentru t ≠ 0, h(t) este continuă.

Pentru m ≤ n, H(s) este strict proprie.

h(t) nu conţine impulsul Dirac şi derivatele sale (v. f).

h(k)(+0), k = , se obţin cu teorema valorii iniţiale.1,0 −n

11 0

11 0

. . .l i m ( ) l i m .

. . .

n nn n n

n ns s nn n

b s b s b bG s aa s a s a

−−

−→∞ →∞ −

+ + += = =+ + +

11

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 21

' '0

( 0) l i m ( ) l i m [ ( ) ( 0) ]t s

h h t s s H s h→ → ∞

+ = = − + =

1 11 1

0

. . . . . .l im( . . . )

n n n nn n n n n n n n

ns n n

a b s a b s a b s a b ssa a s a

− −− −

→∞

+ + − − −= =+ +

…………………………………………......

1 12

n n n n

n

a b a ba

− −−= =

11 0

11 0

. . .l im

. . .

n nn n n

n ns nn n

b s b s b bs aa s a s a

−−

−→∞ −

+ + +⎡ ⎤= − =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

1l i m [ ( ) ( 0) ]s

s s G s hs→ ∞= − + =

1 1

1.

n

n

n n

n n

ba

b aa a

− −

−

−

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 22

( 1) ( 1) 1 2 3 ( 2)

0( 0) lim () lim ( ) ( 0) '( 0) ... ( 0) ,n n n n n n

sth h t s s H s h s h s h− − − − − −

→∞→+ = = − + − + − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

1 1

( 1)

32 2

11 1 2

1 0 0

1 0

( 0) .

1

n

n

n n

n nn

n n n

n

n n n n

ba

b aa a

ab aa a a

ab a aa a a a

h

− −

−

−

−

− −

− − −

−

−

+ =

−

…

…

…

…

bn ≠ 0 h(–0) ≠ h(0) = h(+0);

h(+0) →→

h'(+0) →→

h(+0), h'(+0),..., h(n–1)(+0) sunt cond. iniţiale ale ec. dif. (4.10).

bn = 0 h(–0) = h(0) = h(+0) = 0.

h(n–2)(+0) →→

12

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 23

Să se determine h(t) pentru

Exemplul 4.1

h"(t) + 3h'(t) + 2h(t) = 3, t > 0;

Soluţia generală este: h(t) = C1e–2t + C2e–t + 3/2, t > 0.

.23

3)( 2 +++

=ss

ssG

Pt. t = +0 în h(t) şi h'(t) = – 2C1e–2t – C2e–t rezultă:

h(+0) = C1 + C2 + 3/2 = 0,h'(+0) = – 2C1 – C2 = 1.

s2 + 3s + 2 = 0, cu p1= –2, p2= –1.

0 1' ( 0) 1

1 3h

−+ = =

−Din se obţine şi h(0) = h(+0) = 0.

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 24

( )21 3( ) 2 ( ) .2 2t th t e e tσ− −= − +

C1 = 1/2, C2 = –2 şi Din sistemul de ecuaţii se obţin:

Rezultatu coincide cu acela de la exemplul 3.1.

( )2 21 1 3( ) ( 2) 2( 1) ( ) 2 ( )2 2 2t t t tg t e e t e e tσ δ− − − −⎡ ⎤= − − − + − + =

⎣ ⎦

(4.6)Folosind relaţia ( ) ( )g t D h t= se obţine:

( )0( ) ( ) ( )th t g d tθ θ σ= ∫ (4.5)Similar, cu relaţia: se obţine:

( ) ( )2 20 0 0

1( ) 2 ( ) 2 ( )2t t tt t t th t e e d t e e tθ σ σ− − − −⎡ ⎤= − + = − =⎣ ⎦∫

( )21 32 ( ) .2 2t te e tσ− −= − +

( ) ( ) ( )2 21 3( ) 2 ( ) 2 ( ) .2 2t t t te e t t e e tσ δ σ− − − −= − + + − + = − +

13

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 25

e. Pentru m ≤ n, h(t) se calculează cu teorema dezvoltării.

,,1 r

.1∑ = =+ri i nq α

(4.12)1 0 11 1 1( ) ( ) .( 1)! ( )!

i i ir qj i j q j p tjj i j

i

M Mh t t t e tj q j

α α σα+ −− +

= = =⎛ ⎞= +⎜ ⎟− + −⎝ ⎠∑ ∑ ∑

pi ≠ 0, i = distincţi, de multiplicitate qi ≥ 1;

are polii lui G(s) şi un pol suplimentar în s = 0.

G(s) are următoarele categorii de polii:

p0 = 0, de multiplicitate α ≥ 0.

1( ) ( )H s G ss=

Total poli:

pentru n poli în s ≠ 0.pentru α +1 poli în s = 0;

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 26

( ) 1

11 1 ( ) , 1, , 1, .( 1)!

i

i

j qij i ij

s p

dM s p Gs i r j qj sds−

−=

⎡ ⎤= − = =⎣ ⎦− (4.14)

10 1

0

1 ( ) , 1, 1,( 1)!j

j js

dM s Gs jj dsα α

−

−=

= = +⎡ ⎤⎣ ⎦− (4.13)

(4.16)01 1

0( ) ( ).( )!

i i ir q ij q j p ti j

i

Mbh t t e ta q j σ−= =

⎛ ⎞= +⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

001 0

0(0) , 0.bM G aa= = ≠ (4.15)

Coeficienţii au următoarele expresii:

Caz particular. Pentru α = 0 se obţine:

14

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 27

f. Pentru m ≥ n +1, h(t) este o funcţie generalizată.

H1(s) satisface d şi e. h1(t) se calculează cu (4.12)–(4.14).

1 110 0

1 00 0

... ...1( ) ... ,... ( ... )

m nm nm n

m nn nn n

b s b b s bH s d s ds a s a s a s a− −

− −+ + + += = + + ++ + + +

(4.17)

1 11 0( ) ( ) . . . ( ) ( ) .m n

m nh t d D t d t h tδ δ− −− −= + + + (4.18)

1 11 0

0

. . .( ) ,( . . . )

nn

nn

b s bH ss a s a

+ +=+ +

(4.19)

Făcând împărţirea dintre polinoamele lui H(s) rezultă:

Ea conţine impulsul Dirac şi derivatele sale până la ordinul

m – n – 1 inclusiv.

1( )H s 1 1( ) .h t −= L

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 28

3 2 2

2 21 1 4 6 5 4 5( ) ( ) 1 ,

3 2 ( 3 2)s s s s sH s G ss s s s s s s

+ + + + += = = ++ + + +

Conform cu (4.17) se scrie:

Exemplul 4.3

Pentru de la ex. 3.3 se determine h(t).3 2

24 6 5( )

3 2s s sG s

s s+ + +=

+ +

( )25 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) .2 2t th t t t e e tδ σ σ− −= + + −

5 1 2( ) 1 ,2 2( 2) 1H s s s s= + + −+ +

( ) ( )2 25 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )2 2 2t t t tg t Dh t D t D t De De t e e D tδ σ σ σ− − − −= = + + − + − =

(4.6)Folosind relaţia ( ) ( )g t D h t= se obţine ca la ex. 3.3:

( )2( ) ( ) 2 ( ) .t tD t t e e tδ δ σ− −= + + − + 1 322 2− = −

15

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 29

⇔⇔ G(s) are toţi polii situaţi în Re s < 0.0

0lim ( )t

bh t a→+∞= (4.22)

(4.22) are loc ⇔⇔ în (4.12) .,1,0Re ripi =<

g. Răspunsul indicial are proprietatea:

(4.12)1 0 11 1 1( ) ( ) .( 1)! ( )!

i iir q p tj i j q jjj i j

i

M Mh t t t e tj q j

α α σα+ −− +

= = =⎛ ⎞= +⎜ ⎟− + −⎝ ⎠∑ ∑ ∑

α = 0 şi

Cu teorema dezvoltării s-a obţinut:

,,1 r

1 .rii q nα= + =∑

pi ≠ 0, i = distincţi, de multiplicitate qi ≥ 1;

are polii lui G(s) şi un pol suplimentar în s = 0.

G(s) are următoarele categorii de polii:

p0 = 0, de multiplicitate α ≥ 0.

1( ) ( )H s G ss=

Total poli:

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 30

Trecerea de la repaus (t < 0) la regimul staţionar (t = +∞)se face prin regimul tranzitoriu.

(4.16)01 1

0( ) ( ) .( )!

i ii jr q p tqi ji j

i

Mbh t t e ta q j σ−= =

⎛ ⎞= +⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

= valoarea de regim staţionarh

TRANZITORIUREGIMUL

REGIMUL STAŢIONAR

REPAUS

y(t)=h(t)

0t

h

Fig. II.35

(4.22) are loc ⇔⇔ în (4.12) .,1,0Re ripi =<α = 0 şiÎn cazul

16

M. Voicu, IA (II) C4 (31) 31

Cu (4.23) produsul de convoluţie ( ) ( )( ) ( )y t g u t tσ= ∗

( )0( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )ty t D h u t t D h t u d tσ θ θ θ σ= ∗ = − =∫

0 0( )( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) , 0.t t dh tdy t h t u d h u t u d tdt dt

θθ θ θ θ θ−= − = + + >∫ ∫ (4.26)

Conform relaţiei (4.6) se poate scrie:

).())(()()( ttDhtDhtg σδ∗== (4.23)

4.3. Integrala Duhamel

( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ,y t h D u t t h u D t tδ σ δ σ= ∗ ∗ = ∗ ∗ (4.24)

(4.25)( )0( ) ( ) ( ) .tD h u t d tθ θ θ σ= −∫

devine:

1


1( ) ( ) ( ) ,k

np t t

kk

y t c e t d e tλσ σ=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (5.3)

5.1. Răspunsul la semnalul exponenţial

),()( 0 teutu tσλ= 0( ) .uU ss λ

=−

(5.2)

5. Polii şi zerourile funcţiei de transfer

c. regim tranzitoriu

1

1

( )( ) ,

( )

mm ii

nn jj

b s zG s

a s p=

=

−=

−

∏∏

cu poli simpli.

Se aplică :

Fie sistemul

Se utilizează în (1.12) teorema dezvoltării şi rezultă:

Y(s) = G(s)U(s) (1.12),

lim( ) ( ) ( ), 1, ,k

k ks pc s p G s U s k n

→= − = 0lim( ) ( ) ( ) ( ) .

sd s G s U s G u

λλ λ

→= − =

c. regim permanent


1 0

1

( )l i m( ) ( ) ( ) l i m( )

( )k k

mm ii

k k k ns p s pn jj

b s z uc s p G s U s s p sa s p λ=

→ →=

−= − = − =

−−∏∏

1 0

1

( )lim( ) ( ) ( ) lim( )

( )

mm ii

ns sn jj

b s z ud s G s U s ssa s pλ λ

λ λλ

=

→ →=

−= − = − =

−−∏∏

1 0

1,

( ), 1, ,

( )

mm k ii

nkn k jj j k

b p z u k npa p p λ=

= ≠

−= =

−−∏

∏(5.4)

10 0

1

( )( ) .

( )

mm ii

nn jj

b zu G u

a p

λλ

λ=

=

−= =

−∏∏

(5.5)

2


yT(t) – determinată de:(pk sunt polii lui G(s)),

ck – dependenţi de zerourile,şi polii lui G(s) şi U(s).

yT(t) – reflectă modificareaechilibrului internechilibrului intern de către u(t).

yP(t) – determinată de:(introdusă de u(t)!) şi

d – dependent de zerourileşi polii lui G(s).

yP(t) – corespunde intrării; yP(t) – similarăsimilară cu intrarea u(t).

)()( 0 teutu tσλ= (5.1)Intrare:

1( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,k

T P

np t t

kk

t ty y

y t c e t d e tλσ σ=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (5.3)Ieşire:

componenta deregim tranzitoriu

componenta deregim permanent

kp te teλyP(t) – determinată de:

(introdusă de u(t)!) şi d – dependent de zerourile

şi polii lui G(s).yP(t) – corespunde intrării; yP(t) – similarăsimilară cu intrarea u(t).

componenta deregim permanent


),()()( tuGty P λ=),()( 0 teutu tσλ=

yP(t) din (5.3) are forma:

(5.6)

⇔⇔ toţi polii lui G(s) sunt în Re .s < 0

Observaţia 5.2. yT(t) este indezirabilă, inerentă şi inevitabilă.yP(t), fiind similară cu u(t), este raţiunea de a fi a sistemului.

( ) ( ) ( ) ( )T P Py t y t y t y t= + →( ) 0Ty t → ,+∞→trespectiv, , pentru

( ) ( ),tPy t de tλ σ=

10 0

1

( )( ) ,

( )

mm ii

nn jj

b zd u G u

a p

λλ

λ=

=

−= =

−∏∏

0( ) ( ) ( ).tPy t G u e tλλ σ=

(5.1)

1

( ) ( ).k

np t

T kk

y t c e tσ=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑yT(t) din (5.3) are forma:

cu

3


5.2. Transferul "rezonant"

Transferul rezonantTransferul rezonant este definit de (5.8), respectivde anularea numitorului lui G(s) pentru

FrecvenFrecvenţţele propriiele proprii sunt poliipolii lui G(s).

.,1, nps == ρρ

din∏∏

=

=

−

−= n

j jn

m

i im

pa

zbG

1

1

)(

)()(

λ

λλ (5.8)| ( )| , 1, ,G p nρ ρ= +∞ =

Este o extensie a cazului rezonanţei propriu-zise: .p jρ ρλ ω= =

Pentru , 1, ,p nρλ ρ= = ),()( 0 teutu tσλ= (5.1)în∀|u0|<+∞ şi

(5.11)( ) | ( )| ( ) , 1, .Py t G p u t nρ ρ=+∞

= =

(5.8) – rezonanrezonanţţaa pe frecvenţa proprie pρ, inoculabilă prin u(t).


5.3. Transferul blocat

din∏∏

=

=

−

−= n

j jn

m

i im

pa

zbG

1

1

)(

)()(

λ

λλ (5.13)( ) 0, 1, ,G z nα α= =

Pentru , 1, ,z mαλ α= = ),()( 0 teutu tσλ= (5.1)în∀u0 ≠ 0 şi

(5.15)( ) ( ) ( ) 0, 1, .Py t G z u t mα α= = =(5.14)u t t( ) , ,≠ ∈ +0 R

(5.14), (5.15) – transferul blocattransferul blocat intrare-ieşire.

, 1, ,z mαλ α= =

, 1, ,z mα α = sunt zerourile de transmisiezerourile de transmisie ale lui G(s).

inoculabile u(t).

Este o “anantirezonantirezonanţţăă“ pe frecvenţele

4


În y(t) = yT(t) + yP(t), regimul permanent (yP(t)) este raţiunea de a fi a sistemului;

regimul tranzitoriu (yT(t)) este indezirabil, inerent şi inevitabil.

6. Stabilitatea intrare-ieşire

yP(t) şi yT(t) coexistă cronologic.

6.1. Definiţia stabilităţii intrare-ieşire

Este de dorit ca :

( ) , 0, ,u t K K t +≤ < +∞ > ∈ Rpentru oriceorice: (6.1)

să se obţină: ,,)( +∈+∞< RttyP (6.2)

şi simultan: l i m ( ) 0.t Ty t→∞ = (6.3)


Momentul ts este durata regimdurata regimuluiului tranzitoriutranzitoriu ..

(6.6)( ) , 0;T sy t t tε≤ ≥ >

finit şi nu foarte mare, să aibă loc:astfel încât de la un ,0>st

,,)( +∈+∞< RttyP (6.2)

În plus, se doreşte ca:

,0)(lim =∞→ tyTt (6.3)

(6.4),0,0)( >≥≅ sT ttty

(6.5)( ) ( ) ( ) ( ) , 0.T P P sy t y t y t y t t t= + ≅ ≥ >

Se defineşte în mod convenţional pe baza inegalităţii:

ε este eroarea pentru aproximarea (6.5).

5


În caz contrar sistemul se numeşte BIBO BIBO -- instabilinstabil.

Sistemul (1.12),se numeşte BIBO BIBO -- stabilstabil dacă pentru oriceoriceintrare u(t), mărginită cf. (6.1), sistemul are o ieşire mărginită:

.,)( +∈+∞< Rtty (6.7)

este de BIBO-stabilitate (BIBO=bounded input-bounded output).

Definiţia 1

Cf. Obs. 5.2., BIBO-stabilit. ⇔⇔ G(s) are toţi polii în .0Re <s

,,)( +∈+∞< RttyP (6.2) ,0)(lim =∞→ tyTt (6.3)

Problema

( ) , ,u t K t +∀ ≤ < +∞ ∈R (6.1)

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 10

a) Polii sistemului sunt:

Exemplul 6.1

Există u(t) mărginit pentru care y(t) este nemărginit?

Pentru u(t) = σ(t), mărginit, se obţine:

h(t) este nemărginit!

2

1a) ( ) ,1

G ss s

=− + 2

1b) ( ) .1

G ss

=+

Fie

1,21 32 2

p j= ±

12 3 π( ) 1 2 sin ( );

2 2t

h t e t tσ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

a) Polii sistemului sunt:

6

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 11

p1,2 = ±j ; coeficientul lui j este pulsaţia naturală ωn = 1.

Pentru u(t) = sin tσ(t), mărginit, se obţine:

b) Polii sistemului sunt:

Pentru u(t) = σ(t), mărginit, se obţine:

h(t) = (1 – cos t) σ(t); h(t) este mărginit.

Are loc o rezonanţă:

pulsaţia lui u, ω = 1, coincide cu

pulsaţia naturală a sistemului, ωn = 1.

( )1( ) sin cos ( );2

h t t t t tσ= − h(t) este nemărginit!

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 12

D . Suficienţa

0 0( ) ( ) ( ) ( )t ty t g u t d K g dθ θ θ θ θ≤ − ≤ ≤∫ ∫

Teorema 1

0( ) .g dθ θ

+∞< +∞∫ (6.8)

g(t) este absolut integrabilă, respectiv are loc (6.8).

Folosind (3.16), pentru ∀u(t), cu |u(t)|≤K<+∞, se obţine:

( )0 0( ) ( ) ( ) .t

tK g d g d K g dθ θ θ θ θ θ

+∞ +∞≤ + = < +∞∫ ∫ ∫

Y(s) = G(s)U(s), (1.12)Fie sistemul:

0( ) ( ) ( ) ( ).ty t g u t d tθ θ θσ= −∫ (3.16)

Sistemul (1.12) este BIBOBIBO -- stabilstabil dacă şi numai dacă

6.2. Caracterizări ale BIBO-stabilităţii

7

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 13

Sistemul este BIBO-stabil. Se presupune prin absurd că

0 0 0sgn ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M M Mt t t

M M My t g u t d g g d g dθ θ θ θ θ θ θ θ ≥= − = =∫ ∫ ∫fapt contrar ipotezei.Rezultă că (6.8) este adevărată.

0( ) ( ) ( ) ( ).ty t g u t d tθ θ θσ= −∫ (3.16)

nu are loc, respectiv pentru ∀ M > 0, ∃ tM > 0 astfel încât:0

( )g dθ θ+∞

< +∞∫ (6.8)

Necesitatea

0( ) .Mt g d Mθ θ ≥∫ (6.8 bis)

În valoare absolută, pentru t = tM, cu (6.8 bis), se obţine:

Se aplică ( ) sgn ( )Mu t g t t= − sistemului:

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 14

Teorema 2

Sistemul (1.12) este BIBOBIBO--stabilstabil dacă şi numai dacă toţi

Re 0, 1, .ip i r< =⇔⇔

D. G(s) are polii de multiplicit. qi., 1, ,ip i r=

.0Re <spolii funcţiei de transfer G(s) sunt situaţi în

( )∑∑= =

− >−

=r

i

q

j

tpjq

i

ij tetjq

Ktg

iii

1 1.0,

!)(

Cf. T.1 sistemul este BIBO-stabil Re 0, 1, .ip i r< =

Sistemul (1.12) este BIBOBIBO--stabilstabil dacă şi numai dacă

Teorema 3

limt→+∞ h(t) există şi este finită.

Condiţia din (6.8) T.1: 0( )g dθ θ

+∞< +∞∫

De la 3.2.e, f se ştie:

8

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 15

G(s) are la numitor polinomul:

6.3. O condiţie necesară de BIBO - stabilitate

011

1 ...)( asasasasP nn

nn ++++= −

− (6.9)

Sistemul (1.12) este BIBO-stabil dacă şi numai dacă P(s),respectiv Δ(s) sunt hurwitziene.

/ , 1, , 0.i n i n na a i n aα −= = ≠ (6.11)

Un polinom cu toate zerourile în Res <0 se numeşte hurwitzianhurwitzian.Teorema 4

Definiţia 2

11 1( ) . . . . . ,n n

n ns s s sΔ α α α−−= + + + + (6.10)

Polinomul monic echivalent (al polilor) are expresia:

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 16

Teorema 5

10, 1, ,i ip i nβ=− < = 2, 0, 1, ,k k k kp j k nγ δ γ=− ± − < = n1+ 2n2= n.

Cu βi > 0, γk > 0, făcând produsele în ( ), rezultă (6.12).

O condiţie necesară ca Δ(s) să fie hurwitzian este ca

(6.12).,1,0 nii =>α

Δ( s) cu cel puţin un coeficient nepozitiv este nehurwitzian. Teorema 6 (o condiţie suficientă de BIBO-instabilitate)

D. ( ) ( )1 2

1 2 2 21 1

1 1( ) .. . 2 ,

n nn n

n n i k k ki k

s s s s s s sΔ α α α β γ γ δ−−

= == + + + + = + + + +∏ ∏ ( )

Exemplul 6.3Δ(s) = s3 + s2 + s + 6 cu este nehurwitzian.1 2,32, (1 11)/2p p=− = ±

9

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 17

Fie matricea Hn (HurwitzHurwitz)6.4. Criteriul Hurwitz

1

3 2 1

5 4 3 2 1

7 6 5 34 2

1 0 0 0 0 01 0 0 0

1 0

,

0 0 0 0 0 0

n

n

αα α αα α α α αα α α αα α

α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

H (6.13)

Δ(s) este hurwitzian dacă şi numai dacă Teorema 7 (Hurwitz)

(6.14)d e t 0, 1, .k n> =H k

αk = 0, k > n .

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 18

_GR(s)

+GF(s)

U(s) Y(s)

Exemplul 6.42

8( ) ,2 3 4 1FG ss s

=+ +

Domeniul de BIBO-stabilitate în planul (k, τ) ?

( )( )0 3 2

4 1/( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 17 1/2 4 4/R F

R F

k sG s G sG s G s G s s s k sτ

τ+= =+ + + + +

1( ) ; 0, 0 .RG s k ks ττ= + ≥ >

17 1 04/ 1/2 4 17 .0 0 4/

kττ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3H

det 17 0 ,= >1H

det (4/ ) det 0 .τ= >3 2H H

( )det 17 1/2 4 4/ 0 ,k τ= + − >2H

BIBO-STABILITATE

k

τ

0

817

τ = 8/(136k+17)

BIBO-stabil ⇔⇔ τ> 8/(136k + 17).

Δ(s)

10

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 19

0 1 0 2 0 31

1 1 1 2 1 32

2 1 2 2 2 3

2 2 1 2 2 11 1 1 1 1 1

1 1

0 1,

n

n

n

n i i i j i jn i i i j i j

n i i i j i j

n

s r r rr r rsr r rs

r r rsr r rsr r rs

rs

−

−

− + − − − +

− + − − − +− +

(6.15)

Se asociază polinomului Δ (s) schema schema RouthRouth:6.5. Criteriul Routh

01 02 2 03 4

11 1 12 3 13 5

1, , ,..., , ,...

r r rr r r

α αα α α= = == = = (6.16)21 2 1

11 11 1 1

, 2, ,1,, 1,2,. . .

i i ji j

i i i j

r r i nr r r r j− − +

− − − +

==−=

Δ(s) este hurwitzianhurwitzian dacă şi numai dacă ri1>0, .1,i n=Teorema 9 (Routh)

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 20

Abaterile lui h(t) sunt cu atât mai mari cu cât polii lui G(s)

Fig.II.39

h(t) arată calităţile de stabilitate adică apropierea de instab.6.6. Stabilitatea relativă

00 0 0 0

1l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) l i m ( ) .t s s s

bh h t s H s s G s G ss a→+∞ → → →= = = = =

Se evaluează prin abaterile lui h(t) faţă de regimul staţionar:

αminp4 p1

p2p5

p5

Trebuie să se asigure o rezervă de rezervă de BIBOBIBO--stabilitatestabilitate .

Aceasta este o distanţă minimă αmin > 0

a polilor faţă de axa imaginară,conform fig.II.39.

sunt mai aproape de axa imaginară.

0

Pl. s

11

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 21

Polii lui G(s) sunt în Res<–αmin ⇔⇔ Δ(z–αmin) este hurwitzian.

Gradul de BIBOGradul de BIBO--stabilitatestabilitate este distanţaα dintre axa imaginară şi polul cel mai apropiat – fig.II.39.

Abateri mici faţă de înseamnă o calitate mai bună a lui h(t).Se previne pierderea BIBO-stabilităţii atunci când unii poli

se mişcă spre axa imaginară sau sunt cunoscuţi aproximativ.

h

αmin şi α definesc BIBOBIBO--stabilitatea relativăstabilitatea relativă.

Se impune α ≥ αmin deoarece Δ(s) nu secunoaşte exact sau se modifică în timp.

Fig.II.39

αminp4 p1

p2p5

p5 0

Pl. s

α

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 22

• Este necesar să se ştie limitele valorilor parametrilorpentru care se asigură rezerva de stabilitate αmin.

• Există parametri care se modifică sub influenţa mediului şiparametri ajustabiliajustabili (de către operator).

6.7. Domenii parametrice de BIBO - stabilitate

01det,0 =−= nn Hα (6.19)

reprezintă frontiera dintre domeniile de BIBO-stabilitateşi de BIBO-instabilitate în spaţiul parametrilor.

• Natura unuia dintre domenii se află cu c. Hurwitz (Routh).• Ecuaţiile (6.19) se aplică şi pentru Δ(z – αmin).• Se determină domeniul de rezervă de BIBO-stabilitate αmin.

• Ecuaţiile:

12

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 23

Sistemele uzuale sunt de tipul a11.

7. Corelaţia dintre calitatea răspunsuluiindicial şi configuraţia poli - zerouri

7.1. Indici de calitate ai răspunsului indicial

a12) şi există zerouri în Re s ≥ 0;sisteme de defazaj sisteme de defazaj neminimneminim .

a11) şi toate zerourile în Re s < 0;sisteme de defazaj minimsisteme de defazaj minim ;a1) Sisteme BIBO-stabile;

toţi polii în Re s < 0

a2) Sisteme BIBO-instabile; există polii în Re s ≥ 0.

Conform plasării polilor şi zerourilor:

Răspunsul indicial poate fi oscilatoriu amortizat sau aperiodic.

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 24

hmax REGIMULSTAŢIONAR0,05h

h(t)

0t

0,95h

1,05h

ts

tc

Fig.II.41: h(t) oscilatoriu amortizat

Pentru t ≥ ts – regimul staţionar.

RRapiditapiditateaatea lui h(t) : 1/tc

Pt. h(t) aperiodic se folosesc ts şi tc.

, 0, 9 5 ( ) 1,05 .st t h h t h≥ ≤ ≤ (7.2)

Indici de calitate

SuprareglareaSuprareglarea

max( )/ , % 100.h h hσ σ σ= − = (7.1)

Durata regimului Durata regimului tranzitoritranzitoriuu : ts

Durata de creDurata de creşşteretere : tc

0,05 0,95 .h hlah(t) creşte de lats

tc REGIMULSTAŢIONAR

0t

h(t)

0,95h

0,05h

h

Fig.II.42: h(t) aperiodic

h

13

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 25

7.2. Elemente de transfer tipice

a) Elementul proporţional (P)

b) Elementul de întârziere de ordinul 1 (T1)

c) Elementul de întârziere de ordinul 2 (T2)

d) Elementul integrator (I)

e) Elementul derivator (D)

f ) Elementul cu timp mort

Aceste elemente sunt prezentate în continuare

în următoarea succesiune: a, d, e, b, c, f.

1

4

5

2

3

6

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 26

a) Elementul proporţional (P)

h(t) = Kσ(t).1( ) , ( ) ( ) ,KG s K H s G ss s= = =

Exemple: sisteme disipative

f K vf=

c Kf= ω

pR

qf

1=

qRt

=1 θ

ELECTRIC

MECANIC

FLUIDIC

TERMIC

REZISTENŢA ELECTRICĂ R

COEFICIENTULDE FRECARE Kf

REZISTENŢA FLUIDICĂ

REZISTENŢA TERMICĂ

Rf

Rt

1i uR=

1

14

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 27

0

h(t)

t

d) Elementul integrator (I)

TI – timpul de integrare

Fig.II.48

h(TI) = σ (TI) = 1

Integrarea se extinde pe un interval: operaoperaţţie globalăie globală .

TI

1

Viteza ieşirii este proporţională cu intrarea.

Aşadar u(t) = 0 , dar nu în mod necesar şi y(t) = 0.( ) 0y t =

I

1( ) ( ) .h t t tT σ= (7.35)

y tT

u dt

( ) ( ) .= ∫1

0Iτ τ (7.36)

(7.34)II

1( ) , 0,G s TT s= >

I

1( ) ( ) .y t u tT=

I

1( ) ( ) ,Y s U sT s=

2

2I

1 1( ) ( ) ,H s G ss T s= =

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 28

Exemple

SC u

iC

Fig.II.2b

( ) ,duC i tdt = (1.2b)

Sistem: capacitate electrică

II

1( ) ( ), .U s I s T CT s= =

Sistem: capacitate fluidică (rezervor de lichid)

01( ) ( ) ,tu t i dC τ τ= ∫

,v S h=

2 1 ,v v v q t− = Δ = Δ

S – arie,

v – volum,

0( ) ( ) .tv t q dθ θ= ∫,d v qd t =

q

h v

S

q – debit,

h – nivel. 01( ) ( ) ,

th t q dS θ θ= ∫

0lim ,tv qtΔ →

Δ =Δ

II

1( ) ( ), .H s Q s T ST s= =

15

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 29

Fig.II.49

1

1

0, 0,

( ) 1, 0 ,

0, .

t

u t t t

t t

<⎧⎪= ≤ <⎨⎪ ≥⎩

I 1

1 I 1

0, 0,

( ) / , 0 ,

/ , .

t

y t t T t t

t T t t

<⎧⎪

= ≤ <⎨⎪ ≤⎩

y tT

u dt

( ) ( ) .= ∫1

0Iτ τ (7.36)

Obs. u(τ)=0, τ∈ [t1, t2], nu implică y(τ)=0, τ ∈ [t1, t2].

Are loc y(t) = c = t1/TI ≠ 0, t ≥ t1, deşi u(t) = 0 pentru t ≥ t1.

b

t10 t

y(t)

a

t1

u(t)

t0

Exemplu

1

c = t1/T1

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 30

Exemplu(continuare)

u

y

Fig.II.49

b

t10 t

y(t)

a

t1

u(t)

t0

1

c = t1/T1

rezervor 1

rezervor 2

vană sertar

16

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 31

F. de transfer U(s) Ω(s)

Servomotorul electric este un motor cf. ex. 2.1, 2.3.Intrarea u – tensiunea u pe rotor; ieşirea y – unghiul axului ψ.Între ω (viteza unghiulară, v. ex.2.1) şi ψ există relaţiile:

Exemplul 7.4

Cf. ex. 2.3, pentru M(s) = 0, rezultă:

Pentru L ≅ 0 şi J ≅ 0, realizabile prin construcţie, se obţine:1 2 3

II 2

1( ) , .s mk k RkG s TT s k k

+≅ =

În primă aproximaţie servomotorul este un integratorintegrator.

(k – rap. transm.).0

( ) ( ) , ( ) ( )t kt k d s ssψ ω τ τ Ψ Ω= =∫F. de transfer Ω(s) Ψ

2

3 1 2

( )( ) ( ) ( ) ( )smkΨ s kG s U s s Ls R Js k k k= =

+ + +

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 32

e) Elementul derivator (D) D D( ) , 0,G s T s T= > (7.37)

D( ) ( ).h t T tδ= (7.38)

TD este timpul de derivaretimpul de derivare

D( ) ( ) .y t T u t= (7.39)

Pt. orice u(t)=const≠0 rezultă y(t)= 0. Transferul este blocatblocat.

Fig.II.50

y – proporţional cu viteza lui u.

Pt. intrare rampă unitară:

( ) ( )u t t tσ= ⇒

D D D0

( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ),y t T D t t T t t t T tσ σ δ σ=

= = + =

Fig.II.51

TDδ(t)

y(t) = TD σ(t)TD

TD

u(t), y(t)

0 tD D( ) .y T T=

0

h(t)

t

u(t) = tσ(t)

3

D1( ) ( ) ,H s G s Ts= =

17

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 33

ExempleSistem: resort mecanic

f

x

v

1K

Fig.II.2c

( )( ) ,di tu t L dt= (1.2c)

D( ) ( ), .DU s T sI s T L= =SC

ui

L

Sistem: inductanţă electrică

( )1( ) .df tv t K dt=

D1( ) ( ), .DV s T sF s T K= =Fig.II.1c

0( ) ( ) ,tf t K v dτ τ= ∫ (1.1c)

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 34

b) Elementul de întârziere de ordinul 1 (T1)

1( ) , 0,1G s TTs= >+ (7.4)

T – constanta de timp

(7.5)( ) (1 ) ( ) .tTh t e tσ−

= −

1tg ' (0) .h Tα = =

polul lui G(s).

3 , .s c st T t t≅ ≅În Δ OAB: AB = 1, OA = T .

11 0p T= − <

Fig.II.43α

A

0,950,865

0,632

T 2T 3T 4T

ts ≈ tc

B

0

h (t)

t

1 tangenta

[ ]( ) [ (1 ) ( ) ] [ (1 )] ( ) (1 ) ( )t t tT T TDh t D e t D e t e D tσ σ σ− − −

= − = − + − =

1 1( ) (1 1) ( ) ( ) , ' ( ) ( ) ( ) .t tT Te t t e t h t D h t g tT Tσ δ σ− −

= − − = ≡ ≡

4

1 1( ) ( ) ,( 1)H s G ss s T s= =+

18

M. Voicu, IA (II) C5 (35) 35

Exemple

u

i

iR

R CSC

iC

Fig.II.2a

1 ( )duC u i tdt R+ = (1.2a)

Fig.II.1a

( )fdvM K v f tdt + = (1.1a)

Sistem: amortizor (2) – masă inertă (3)Kf

M

f

x

v

2

3

Sistem: rezistenţă (R) – capacitate (C)

1( ) ( ), , .1 f f

k MV s F s T kTs K K= = =+

( ) ( ), , .1kU s I s T RC k RTs= = =+

1


c) Elementul de întârziere de ordinul 2 (T2)2

2 2( ) ,2

n

n nG s

s sω

ζ ω ω=

+ +(7.6)

( )21,2 1 , 0 1;np jω ζ ζ ζ= − ± − ≤ < (7.7)

( )21,2 1 , 1.np ω ζ ζ ζ= − ± − ≥ (7.8)

Sistemul are doi poli care pot fi:

5

ωn > 0 este pulsaţia naturală,

ζ ≥ 0 este factorul de amortizare.


În cazul polilor reali, elementul T2 este echivalent cu două

elemente T1 înseriate.

Se poate utiliza şi următoarea funcţie de transfer:

21 2 1 2 1 2

1 1( ) ,( 1) ( 1) ( ) 1G s T s T s T T s T T s

= =+ + + + +

(7.9)

( )1,2 21 1, 1 .

1n

T ζω ζ ζ

= ≥± −

(7.10)

în care T1,2 > 0 sunt constantele de timp.

Relaţiile cu parametrii ωn şi ζ sunt următoarele:

2


( )h t =

Răspunsul indicial al elementului T2 are forma:

(7.11)( )1 1 ( ) ; 1;n tnt e tωω σ ζ−⎡ ⎤− + =⎣ ⎦

22

211 sh 1 argth ( ) ; 1.

1n t

ne t t

ζω ζω ζ σ ζζζ

−⎡ ⎤⎛ ⎞−− − + >⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

22

211 sin 1 arctg ( ); 0 1;

1nt

ne t t

ζω ζω ζ σ ζζζ

−⎡ ⎤⎛ ⎞−− − + ≤ <⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

ωp

este21p nω ω ζ= − pulsaţia proprie.


;1 2nnp ωζωω <−= (7.13)pulsaţia proprie

Pentru ζ = 0 răspunsul indicial este neamortizat:

( )( ) 1 sin ( ) .2nh t t tπω σ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

(7.12)

Pentru 0 < ζ < 1 oscilaţia sinusoidală amortizată

se caracterizează prin:

pulsaţia naturală,

22 .

1n

p np

TT Tπω ζ

= = >−

(7.14)perioada proprie

2n

nT π

ω= perioada naturală.

este

este

3


Fig.II.44

11,1

0,6

0,4

0,2

ζ = 02

22

1n

p np

TT Tπω ζ

= = >−

2n

nT π

ω=

0

h (t)

t


22 2

1pp n

T π πω ω ζ

= =−

1

2

0

h (t)

t

Extremele succesive ale lui h(t) pentru 0 < ζ < 1

, 0,1,2,. . . ,2p

kkT

t k= =

21 11 ( 1) , 0,1,2,. . . .k

kkh e k

πζζ

−+ −= + − =

lim ( ) 1.th h t→ + ∞= =

22

21( ) 1 sin 1 arctg , 0 ;

1nt

neh t t t

ζ ω ζω ζ ζζ

− ⎛ ⎞−= − − + >⎜ ⎟− ⎝ ⎠

22

' ( ) sin 1 0,1

n tn

neh t t

ζ ωω ω ζζ

−= − =

−21 , 0,1, 2,. . . ,n t k kω ζ π− = =

2pTπ

t1 t2 t3

h1

h2

h3

h

4


Indicii de calitate:

Durata regimului tranzitoriu ts:

Suprareglarea211 , 0 1 .h h

he

π ζζσ ζ

−−− ≤ <= = (7.29)

numită durata durata adimensionalăadimensională a regimului tranzitoriua regimului tranzitoriu.

v. Fig.II.47.

0,95 ( ) 1,05 , ,sh h t h t t≤ ≤ ≥Soluţia sistemului

este τ s= ωn ts ,

211 1h e

π ζζ

−−= +

1.h =

Primul maxim:

Regimul staţionar:

21 11 ( 1) , 0,1,2,. . . .k

kkh e k

πζζ

−+ −= + − =Extremele:


ζ (pentru σ)

σ

10–2 2 4 6 810

–110

02 4 6 8

σ

10–2

2

4

68

10–1

2

4

68

100

Fig.II.47.a

21 , 0 1 .eπ ζ

ζσ ζ

−− ≤ <=

Suprareglarea

5


τs = ωnts

3ζ –1

6ζ τ s

10–1 2 4 6 810

010

12 4 6 8

ζ (pentru τs )

100

2

4

68

101

2

4

68

102

Fig.II.47.b

Durata adimensională a regimului tranzitoriu

0,95 ( ) 1,05 , ,sh h t h t t≤ ≤ ≥

τ s= ωn ts

τs minim pt. ζ = 0,707.

Aproximări:

,707,00,/3 ≤<≅ ζζτ s

τ ζ ζs ≅ >6 0 707, , .

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 10

τs = ωnts

ζ (pentru σ)

3ζ –1

6ζ

σ

τ s

10–2 2 4 6 810

–110

02 4 6 8

10–1 2 4 6 810

010

12 4 6 8ζ (pentru τs )

σ

10–2

2

4

68

10–1

2

4

68

100

100

2

4

68

101

2

4

68

102

Fig.II.47

21 , 0 1 .eπ ζ

ζσ ζ

−− ≤ <=

Suprareglarea

τs minim pt. ζ = 0,707.

Durata adimensionalăa regimului tranzitoriu

Aproximări:

,707,00,/3 ≤<≅ ζζτ s

τ ζ ζs ≅ >6 0 707, , .

De regulă σ şi τ se reprezintă în aceeaşi diagramă.

6

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 11

f) Elementul cu timp mort

T – timpul morttimpul mort

( ) ( ).y t u t T= − (7.43)

( ) , 0,TsG s e T−= > (7.42)

( ) ( ) .h t t Tσ= − (7.44)

Fig.II.53

Fig.II.54

• Liniar, invariant în timp • (7.42) – transcendentă• Sisteme cu parametridistribuiţi spaţial cu:transport transport dde substane substanţţăă,,transfer transfer dde energiee energie,transmisie transmisie dede semnalesemnale.

Exemplu: bandă rulantă

y(t) = h (t)

t0

1

u(t) = σ (t)

t0

1

T

v y(t)

u(t)

cilindrid

dT v=

6

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 12

7.4. Poli şi zerouri dominanteIndicii de calitate depind de localizarea polilor şi zerourilor.

Să se determine h(t) şi rolul polilor pentru

e–2t este asociată lui p1= –2.

Exemplul 7.7

60( ) .( 2)( 30)G s s s=+ +

( )2 3015 1( ) 1 ( ).14 14t th t e e tσ− −= − +

Folosind teorema dezvoltării se obţine:

Se observă căe–30t este asociată lui p2= –30;

Pentru t→∞, e–30t →0 mai repede ca e–2t →0.

2 te− 30 te−1

t

7

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 13

Polul lent p1= –2 este dominantdominant faţă de cel rapid p2= –30.

Pentru |s| suficient de mic (t suf. de mare), |s + 30| ≅ 30.

Cu cât un pol este mai aproape / departe de axa imaginară,

cu atât este mai lent lent / rapidrapid.

Se spune că p2= –30 este mai rapidrapid ca p1= –2 ,

sau că p1= –2 este mai lentlent ca p2= –30.

e–2t persistă un timp mai lung, comparativ cu e–30t.

În G(s) se poate păstra numai p1= –2; se obţine:

60 60 2( ) ,( 2)( 30) ( 2)30 2G s s s s s= ≈ =+ + + +

2( ) (1 ) ( ).th t e tσ−≈ −

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 14

Se pot realiza, deliberat, configuraţii cu doi poli dominanţi.

7.5. Configuraţii cu doi poli dominanţi

,2

)(~)( 22

2

nn

n

ssK

sGsGωζω

ω++

=≅ (7.55)

21,2 ( 1 ), 0 1.np jω ζ ζ ζ= − ± − < < (7.56)

Pentru un sistem dat se precizează indicii admisibili

,aσσ ≤ (7.57) ,sas tt ≤ (7.58) .cac tt ≤ (7.59)

Ele implică localizarea adecvată a polilor dominanţi (7.56).

Valorile lor curente trebuie să satisfacă condiţiile:

Se adoptă ζ ∈ (0,1) deoarece τs este minim pentru ζ ≅ 0,707.

σa , tsa , tca .

8

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 15

2 2ln .

lna

aa

σζ ζπ σ

≥ =+

1o Din şi din rezultăaσσ ≤21 , 0 1,e

π ζζσ ζ

−− ≤ <=

Se introduce parametrul 0<ψ <π/2 prin: cos ,ψ ζ=

.aψ ψ≤ (7.63)

ζa este valoarea admisibilă.

având valoarea admisibilă

(7.60)

2 2lncos .

lna

a aa

σψ ζπ σ

= =+

(7.63) cere ca polii (7.56)

(7.60) este echivalentă cu:

să fie localizaţi în Dσ, fig.II.53.

σ ≤ σα ψ

ψα

B

A

Dσ

p1

p2

Fig.II.53

0

Pl.s

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 16

( ) ( ) 3/ , 0 0,707,n n saa tω ζ ω ζ ζ≥ ≅ < ≤

( ) ( ) 26 / , 0,707 1.n n saa tω ζ ω ζ ζ ζ≥ ≅ < <

(ωnζ )a – val. admis. a lui (ωnζ).

(ωnζ )a= αmin – rezerva de stab.

(ωnζ ) = α – gradul de stab.

pentru τs = ωn ts , se obţin respectiv inegalităţile:

sas tt ≤2o Din , conform cu3/ , 0 0,707sτ ζ ζ≅ < ≤

6 , 0,707.sτ ζ ζ≅ >

Polii (7.56) trebuie să fie

localizaţi în Dts, fig.II.54.

p1

ωnζ = α

ζ= 0,707

ζ= 0,707

(ωnζ)a= αmin45o

45o

0< ζ ≤ 0,707

ζ > 0,707

Dts

0< ζ ≤ 0,707

Pl.s

p2

sas tt ≤

Fig.II.54

9

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 17

Dtc

tc ≤ tca

ωn = | p1,2 |≥ ωn a (7.67)

ωna este valoarea admisibilă a lui ωn .

3o Din , conform cu 1,8 / , 0, 3 0,8 ,c nt ω ζ≅ ≤ ≤cac tt ≤

Polii (7.56), cf. (7.66), (7.67),

deoarece .11 2 =−±− ζζ j

( )21,2 1 , 0 1np jω ζ ζ ζ= − ± − < < se obţine:Din

trebuie să fie fie localizaţi

în domeniul Dtc , v. fig.II.55.

ωnp1

p2

Fig.II.55

Pl.s

jωna

– jωna0,3 ≤ ζ ≤ 0,8

se obţine: (7.66)1,8/ , 0,3 0,8.n na catω ω ζ≥ = ≤ ≤

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 18

trebuie să fie localizaţi în domeniul Da din fig.II.56

(conform fig.II.53 – 55), lângă frontieră.

3o Polii ( ) ,10,1 22,1 <<−±−= ζζζω jp n (7.56)

ts ≤ tsa

σ ≤ σa

tc ≤ tca

Da

p1

p2 Fig.II.56(ωnζ)a

ψa

ωna

Pl. s

10

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 19

Capitolul III

PROPRIETĂŢILE SISTEMELOR AUTOMATE

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 20

1. Clasificarea sistemelor dinamice după structură

Prin structură fundamentalăstructură fundamentală se înţelege o reuniune de

elemente ale cărei proprietăţi nu se regăsesc, ca

atare, printre proprietăţile elementelor componente.

Proprietăţile unei structuri fundamentale aparţin în primul

rând conexiunilor dintre elementele componente

(elemente de bază), respectiv reuniunii structurate a

elementelor şi raporturilor dintre elementele de bază.

11

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 21

Exemplul 1.1Circuitul «L, C» din fig.III.1 este o structură fundamentală.

00, (0) 0, , (0) ,qdi duL u i C i u udt dt C= − = = = =

1 ,n LCω =

2 2 '02

(0)0, (0) , (0) 0.nq id u u u uC Cdt

ω+ = = = =

Circuitul este oscilant, proprietate care nu rezidă în

componentele L, C, luate separat, ci în conexiunea lor.

După prezenţa sau absenţa reacţiei se disting

sisteme cu structură: deschisădeschisă respectiv îînchisănchisă..

fig.III.1

t = 0

q0

C

i

u L

0( ) cos , 0.nqu t t tC ω= ≥

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 22

Structurile deschise nu conţin conexiuni «cu reacţie».

1.1. Sisteme cu structură deschisă

S1 – subsistemul principal: m→y. Fig.III.2 S2– subsistemul de comandă: u→m.

Ansamblul se numeşte sistem de comandăsistem de comandă.

S1 este dat. Se adaugă S2 astfel ca să se realizeze u→y.

Perturbaţia w modifică transferul u→y.

u – m. intrare; m – m. comandă; u

S2

mw

yS1

w – perturbaţie; y – m. ieşire.

Prin u se reduce efectul perturbaţiei w asupra lui y.

O structură fundamentală deschisă minimală: fig.III.2:

12

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 23

Exemplul 1.2

Fig.III.3

uex

iex Rr

Rex Lex

Φ

ω

eR y Rc

i

Sistem de comandă – generator electric de cc, fig.III.3.

,s s sy e Ri= − ex ex ,s L iΦ =

exex

ex r,s

sui R R=

+ex ex

0ex r

.s sk L uy R Rω=

+,s s se kω Φ=

0 ,s sy y Ri= −

ys

y0

is

ys

0 is

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 24

Pentru reducerea, eliminarea sau întărirea efectului

Fig.III.5

u

S2

m

w

yS1

S3

±

+

perturbaţiei w asupra ieşirii y se introduce S3 (fig.III.5).

Se realizează un sistem de comandă pe

principiul compensaprincipiul compensaţţieiiei (Poncelet).

13

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 25

Exemplul 1.3

Fig.III.6

iex

uexrexRex Lex

Φex

ω

eR y Rc

i

1 – bobină în serie2 – piesă feromagnetică

mobilă3 – resort antagonist4 – reostat5 – tijăf – forţa electromagnetică

1

23

4 5

f

Sistem de comandă cu aplicarea principiului compensaţiei

– generator electric cu compensare după curent, fig.III.6.

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 26

Fig.III.9

yp

S3

mw

yS1

S2

++–

Structurile închise conţin conexiuni conexiuni «cu reaccu reacţţieie», fig. III.9.

1.2. Sisteme cu structură închisă

u

yr

a

S1 – subsistemul principalsubsistemul principal; S2 – subsistemul de reacsubsistemul de reacţţieie;

yp – prescriere;m – comandă;w – perturbaţie; y – m. reglată; yr – reacţie.

S3 – subsistemul decizionalsubsistemul decizional.

" – " defineşte reacreacţţia negativăia negativă.

" + " defineşte reacreacţţia pozitivăia pozitivă.+–În particular a = u y :

14

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 27

Sistemul automat funcţionează pe principiul abateriiprincipiul abaterii(principiul Watt): însăşi existenţa unei variaţii a abaterii

(oricare ar fi cauza) are ca efect evoluţia sistemului

automat în sensul diminuării sau chiar al anulării abaterii.

a = u – yr

se numeşte abatereaabatereadintre u şi yr.

1° Reacţia negativă

Se pot aplica simultan principiul abaterii şi al compensaţiei.

Are loc şi o stabilizarestabilizare a sistemului automat.

Fig.III.9

yp

S3

mw

yS1

S2

+–

u

yr

a

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 28

Fig.III.10

iex

uex

rex

Rex Lex

Φex

ω

eR

y

Rc

i1

23

4 5

f

Sistem de comandă cu aplicarea principiului abateriii

– generator cu reglarea automată a tensiunii, fig.III.10.

Exemplul 1.4

1 – bobină în paralel2 – piesă feromagnetică

mobilă3 – resort antagonist4 – reostat5 – tijăf – forţa electromagnetică

Principiile abaterii şi compensaţiei se pot combinafolosind două bobine – în paralel şi în serie cu indusul.

15

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 29

Exemplul 1.5

2° Reacţia pozitivă

a = u + yra nu este abatere.

Maşina cu vapori

fig.III.12

Fig.III.9

yp

S3

mw

yS1

S2

++

u

yr

a

Pot apărea oscilaţii întreţinute sau neamortizate– evoluţie spre limita de stabilitate sau instabilitate.

C'C

A

volant

piston

abur viu

abur uzat

sertar

cilindru

BD

AB – bielă-manivelăCD – bielă-manivelă

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 30

Exemplul 1.6 Oscilator electronic cu triodă

Se pot formula următoarele caracterizări generale:reacţia negativă are efect stabilizant ;reacţia pozitivă are efect destabilizant .

K

GA

TC

–+

+–

ia

ug

fig.III.13

ua

A – anodK – catodG – grilăT – transformatorC – condensatorua – tensiune anodicăug – tensiune de grilăia – curente anodic

16

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 31

Un sistem automat monovariabil are mai multe mărimi de

intrare, o mărime de ieşire şi o reacţie între ieşire şi o intrare.

2. Sisteme automate monovariabile

2.1. Schema bloc funcţională

Fig.III.14

yp u

+–3

4 a

yr

5x

6m

1

wy

27 8

(1) instalaţia automatizată

(7) dispoz. de automatizare

(2) traductorul

(6) elem. de execuţie

(4) comparatorul(5) regulatorul

(3) elem. de prescriere(8) partea fixată

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 32

Fig.III.14

y – m. reglată

yr – m. de reacţie

Regulatorul (5) materializează legea de reglarelegea de reglare.

u – m. prescrisă adaptată

yp – m. prescrisă a – abaterea

x – m. de comandă

m – m. de execuţie

w – perturbaţia

(3), (4) şi (5) constituie de regulă un modul constructiv.Operatorul ajustează yp şi parametrii regulatorului.

yp u

+–3

4 a

yr

5x

6m

1

wy

27 8

17

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 33

Exemplul 2.1

Inst. automatizată: motor el. de cc (M), v. exemplele II.2.1 – II.2.3Traductor de turaţie: tahogenerator (TG): ut = kt ωElement de prescriere: potenţiometru (P): up = kp ωp

Comparator: P şi TG conectate în opoziţie: a = up – ut

Regulator (R): de tip PID, v. cap. IV

Fig.III.15Schema de

principiu

Element de execuţie: (DCG) + (PRC): ϕ = kguc, u = kϕ .

+

_

ωp

P

ω

V

up

a

ut

ϕ

PRC

DCGR

SST PR

u

M TG

φex +

+_

_+_

m

ω_ 0 +

_ 0 +

uc

φex_ 0 +

T – transformatorSS – sursă stabilizatăPR(C) – punte redresoare

(comandată)DCG – dispozitiv de

comandă pe grilă

M. Voicu, IA (II) C6 (34) 34

Fig.III.15Schema de principiu

+

_

ωp

P

ω

V

up

a

ut

ϕ

PRCDCGR

SS T PR

u

M TG

φex+

+_

_+_

m

ω_ 0+

_ 0 +

uc

φex_ 0+

T – transformatorSS – sursă stabilizatăPRC – punte redresoare

(comandată)DCG – dispozitiv de

comandă pe grilă

ωp up

+–3

4 a

ut

5φ

6u

1m

ω

27 8

1. Inst. automatizată: motor el. de cc (M), v. exemplele II.2.1 – II.2.32. Traductor de turaţie: tahogenerator (TG): ut = kt ω3. Element de prescriere: potenţiometru (P): up = kp ωp

4. Comparator: P şi TG conectate în opoziţie: a = up – ut

5. Regulator (R): de tip PID, v. cap. IV

6. Element de execuţie: (DCG) + (PRC): ϕ = kguc, u = kϕ .

Schema bloc funcţională

1

M. Voicu, AI (III) C7 (34) 1

• Elementele schemei bloc funcţionale sunt descrise de ecuaţii.

• Se obţine schema bloc structurală standard, fig.III.16.

Transferul intrare-ieşire are forma:

2.2. Schema bloc structurală standard

Y s G s G s Y s G s W sp p w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),= ±0 0 (2.1)

0( )( ) ,1 ( ) ( )t

G sG s G s G s=+

(2.2)

0( )( ) ,1 ( ) ( )

ww

t

G sG s G s G s=+ (2.3)

).()()()( sGsGsGsG IAER= (2.4)

±

Fig.III.16Gt (s)

+

+G(s)

Yp(s) U(s)Gp(s)

A(s) Y(s)

–

W(s) Gw (s)


Fig.III.15

G s kp p( ) ,= G s kt t( ) =2

3 1 2

( ) ( ) ,( )( )R g

kG s G s k kLs R Js k k k

=+ + +

±

Gt (s)

++

G(s)ωp up

Gp(s)a ω

–

m Gw (s)

Exemplul 2.2 (Sistemul automat de la ex.2.1)

Fig.III.16

+

_

ωp

P

ω

V

up

a

ut

ϕ

PRC

DCGR

SST PR

uM TG

φex +

+_

_+_

m

ω_ 0 +

_ 0 +

uc

φex_ 0 +

i

3 1 2,( )( )w

Ls RG Ls R Js k k k+=

+ + +

2


3. Implicaţii ale principiului abaterii

Uzual Gp(s) = kp = const.Rolul lui yp este jucat de u,

exceptând cazul considerării

elementului de prescriere:

).()()( sYsGsU pp= (3.1)

±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

PPrincipiulrincipiul abateriiabaterii (Watt):

Însăşi existenţa unei variaţii a abaterii a (oricare ar fi cauza)

are ca efect evoluţia sistemului automat în sensul diminuării

sau chiar al anulării abaterii.


Se pot scrie ecuaţiile:

3.1. O formă analitică a principiului abaterii

)()()()( sYsGsUsA t−= (3.2)

Eliminând Y(s) între (3.2) şi (3.3) rezultă ecuaecuaţţia abateriiia abaterii:

).()()()()( sWsGsAsGsY w±= (3.3)

F(s)

±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

(3.4)( )1( ) ( ) ( ).1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )w t

t t

G G sA s U s W sG s G s G s G s= + +∓

(3.7)situaţia ideală este:

W s( ) /≡ 0Pentru U s( ) /≡ 0,

ceea implică: .)( ∞=sF

( ) 0 ,A s =

3


Pentru funcţia

( )F s = ∞ este practic iimposibilmposibilăă !

O abordare practică constă în înlocuirea condiţiei:

– acceptabil de mic.

– acceptabil de mare,

(3.14), (3.15) pot fi realizate prin GR(s) adecvat ales în:).()()()( sGsGsGsG IAER= (2.4)

condiţia

cu condiţia mai realistărealistă:

(3.7)( ) 0A s =

(3.10)( )A s

( )F s (3.14)Aceasta implică:

( ) ( )tG s G s – acceptabil de mare. (3.15)

F(s) are un rol esenţial în asigurarea unei abateri mici.

( ) 1 ( ) ( )tF s G s G s= +


Gt (s)

G(s)A(s) Y(s)

–

În fig.III.16 se consideră U(s) ≡ 0, W(s) ≡ 0.

3.2. Semnificaţia funcţiei

2° Pentru

1° Pentru

|A(s)| descrescător – sistem stabil.

|A(s)| crescător – sistem instabil.

( ) ( )tG s G s – acceptabil de mare. (3.15)

(3.22) include:

Urmează că F(s) are un rol esenţial şi în asigurarea stabilităţii.

(3.20)( ) ( ) 1,tG s G s <

(3.22)( ) ( ) 1,tG s G s ≥

( ) 1 ( ) ( )tF s G s G s= +

4


BIBO-stabilitatea este prioritară.

Se alege G(s) (respectiv GR(s)) astfel încât să aibă loc

(3.15) şi apoi (3.20) în cadrul unui compromis acceptabil.

Nu se pot asigura simultan abaterea mică şi stabilitatea.

nu sunt realizabile pentru aceiaşi s, simultan.

(3.20)( ) ( ) 1,tG s G s <

(3.22)( ) ( ) 1,tG s G s ≥

Condiţiile

pe de o parte, şi, pe de altă parte,

( ) ( )tG s G s – acceptabil de mare, (3.15)


(3.26)

Sistemele automate funcţionează, uzual, în regim staţionar.3.3. Abaterea staţionară

1( ) ( ), ( ) ,s su t u t U s usσ= = (3.24)1( ) ( ), ( ) .s sw t w t W s wsσ= = (3.25)

Folosind teorema valorii finale, din (3.4) rezultă:

Sistemul automat din fig. III.16 are următoarea abatere:

(3.4)( ) ( )1( ) ( ) ( ) .1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )w t

t t

G s G sA s U s W sG s G s G s G s= + +∓

Abaterea staţionară oferă indicaţii asupra calităţii sistemului.

Se aplică următoarle mărimi de intrare:

0 0

( ) ( )1lim ( ) lim .1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )s w t s

s s s t t

u G s G s wa sA s s G s G s s G s G s s→ →

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∓

5


În general as ≠ 0.

(3.27) rezultă din principiul abaterii principiul abaterii ++ integratorulintegratorul.

Se va arăta că integratorul reduce gradul de stabilitate.

(3.26)(0) (0)1 .1 (0) (0) 1 (0) (0)w t

s s st t

G Ga u wG G G G=+ +

∓

Fie Gt(0), Gw(0) finite şi fie respectiv există11( ) ( ) ,G s G ss=

Atunci |G(0)| = +∞ şi din (3.26) rezultă:

un pol în s = 0 pe calea directă (un integrator în regulator).

as = 0. (3.27)

asigure şi BIBO-stabilitatea.

Se înzestrează G(s) cu poli şi zerouri astfel încât să se

= +∞ pentru 11( ) ( )G s G ss=


Se apreciază cu caracteristica statică

3.4. Efectul perturbaţiei

pentru yp(t), w(t) funcţii treaptă.

ys = f (ws),

care este relaţia staţionară între ieşirea ys şi perturbaţia ws .

Y s G s G s Y s G s W sp p w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),= ±0 0 (2.1)Se foloseşte relaţia intrare – ieşire:

Cu teorema valorii finale în (2.1) ("±" inclus în Gw) se scrie:

0 00 0lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ,ps s

s p wt s s

y wy y t sY s s G s G s G ss s→+∞ → →

⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0(0) (0) (0) .s p ps w sy G G y G w= +

6


,00 ss wSyy += (3.28)

Fig.III.18

Prin urmare, caracteristica statică are forma:

în care, cu (2.2) şi (2.3), se concretizează

0 0(0) (0)

(0) (0) ,1 (0) (0)p

p ps pst

G Gy G G y yG G= =

+ 0 0(0)(0) .1 (0) (0)

ww

t

GS G G G= =+

ws

S0 = 0ys

S0 > 0

S0 < 0

y0

0 ws

ys

|G(0)|=+∞, S0=0 şi din (3.28) rezultă:

Dacă există un pol în s = 0 pe calea

directă (un integrator în regulator),

11( ) ( ) ,G s G ss=respectiv atunci

y ys ps= . (3.31)

Fie Gt(0) = Gp(0), Gw(0) finite.


Parametrii se modifică în timp şi determină variaţia abaterii.

3.5. Senzitivitatea la variaţia parametrilor

1 1+ ≅ >>G s G s G s G st t( ) ( ) ( ) ( )

din (2.1) – (2.3), (3.1), respectiv din:

Y(s) este sensibil la variaţia parametrilor traductorului şi mai

Pentru

Un sistem automat nu este mai bun decât traductorul său.

puţin la cea a parametrilor căii directe.

(v. (3.15)) şi W(s) ≡ 0,

( )( )( ) ( ) ( ) ,1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )w

t t

G sG sY s U s W sG s G s G s G s= ±+ +

se obţine( ) 1( ) ( ) ( ) .1 ( ) ( ) ( )t t

G sY s U s U sG s G s G s= =+ (3.41)

7


Fig.III.23

(3.57)[ ] .)()()()(1

1)( sZsUsGsG

sAt

−+

=

Efectul lui Z se reduce prin |Z | f. mic sau |1 + GGt | f. mare.

3.6. Efectul zgomotelor

Perturbaţii: zgomotele sunt comparabile cu semnalele utile.Cel mai afectat este traductorul – fig.III.23.

Z(s) şi U(s) au efecte comparabile.

Surse de zgomot: naturale, tehnice; electrice, mecanice etc.Semnificative: agitaţia termică, undele electro-magnetice etc.

Traductoarele procesează semnale de puteri mici.Dar nu prea mici pentru a nu fi comparabile cu zgomotelezgomotele.

+–

++Z(s)

U(s) A(s)G(s)

Y(s)

Gt(s)


±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

4. Stabilitatea4.1. Polii şi zerourile sistemului automat

Gp(s) = kp, Gt(s) = kt, kp = kt

( ) ( )( ) ,( ) ( ) ( )a b

Q s Q sG s P s P s P s= = ( )( ) ,( )w

wa

Q sG s P s=

P(s) – polinomul polilor căii directe

Pa(s) – polinomul polilor instalaţiei automatizate

Pb(s) – polinomul polilor regulatorului şi elementului de exec.

Q(s) – polinomul zerourilor căii directe (P(s), Q (s) – prime)

Qw(s) – polinomul zerourilor căii perturb. (Pa(s), Qw(s) – prime).

8


în formulele

00

0

( )( ) ( ) ( )( ) ,( )( ) ( ) ( )1 ( )

tt

Q sQ s P s Q sG s Q sP s P s k Q sk P s

= =++

00

0

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) .( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

w

w a w bw

tt

a b

Q sQ s P s Q s P sG s Q sP s P s k Q sk P s P s

= =++

,)()(1

)()(0 sGsGsGsG

t+= ,

)()(1)(

)(0 sGsGsG

sGt

ww +

=

se obţin:

Gp(s) = Gt(s) = kt,( ) ( )( ) ,( ) ( ) ( )a b

Q s Q sG s P s P s P s= = ( )( ) ,( )w

wa

Q sG s P s=

Înlocuind


Prin urmare:

0 ( ) ( ) ( ),w w bQ s Q s P s=

0( ) ( ),Q s Q s≡

0( ) ( ) ( ) ,tP s P s k Q s= +

• pentru u → y, polinomul zerourilor sistemului automat (SA)

este identic cu polinomul zerourilor căii directe.

• pentru w → y, polinomul zerourilor SA este produsul

polinoamelor zerourilor căii perturbaţiei şi al polilor

regulatorului şi elementului de execuţie.

• polinomul polilor SA este suma polinoamelor polilor căii

directe şi al zerourilor căii directe multiplicat cu kt .

9


• Reacţia negativă alocăalocă polii sistemului automat (SA).

Se realizează cu ajutorul parametrilor ajustabili ai căii

directe (ai regulatorului).

• Scopul este asigurarea BIBO-stabilităţii şi realizarea unor

valori acceptabile pentru indicii de calitate.

• Aceştia nu pot fi identici pentru transferurile u→y şi w→y

deoarece acestea au zerouri diferite.

• Zerourile căii directe şi ale căii perturbaţiei sunt invariante

în raport cu reacţia negativă, respectiv sunt zerouri

ale SA pentru transferurile u→y şi respectiv w→y.


4.2. Stabilitatea structurală

Definiţia 1Un sistem se numeşte BIBOBIBO--structuralstructural stabilstabil dacă are un

domeniu parametric nevid de BIBO-stabilitate şi pentru orice

variaţie a parametrilor, suf. mică, sist. rămâne BIBO-stabil.

M, N prime;

0( ) ( ) ( ),P s N s M s+

grad 0,m M= ≥ grad ,n N m= >

grad P0 = n.

( )( ) ( ) ,( )tM sG s G s N s

Funcţiile de transfer ale sistemelor în circuit deschis şi închis:

1

0( )( )( ) ,1 ( ) ( ) ( ) ( )

t

t

M s kG sG s G s G s N s M s−

= =+ +

10


1° p + r ≤ m + 1;

m + n >2ρ –1m + n > 2(ρ –1)n > 2(ρ –1)ρ - imparm + n > 2(ρ –1)m + n >2ρ –1n > 2 ρρ - par

m – imparm – parm = 0

a) M(s) – polinom hurwitzian. b) N(s) se factorizează astfel:

;0,,1,0,,1,0,0 ≥=>=>≥ qrjbqiap ji

N1(s) hurwitzian de grad n – ρ, ρ = p + 2q + r.

ρ m

O condiţie necesară şi suficientă ca sistemul automat să fie BIBO-structural stabil este ca să aibă loc inegalităţile:

2° m, n şi ρ conform tabelului:

( ) ( ) ),(11)( 1112 sNsbsassN r

jq

ip ∏∏ −+=

Teorema 1 (Aizerman - Gantmaher)


Exemplul 4.2

2 2( ) ,1F

kG sT s

=+

( ) 0,wG s =

Să se determine funcţia de transfer GR(s) a regulatoruluiastfel încât sistemul automat să fie BIBO-structural stabil.

( ) ( ) ( ),R FG s G s G s=

Sistemul în circuit deschis este descris de: 1

1 22 2 1 2

( ...)( ) ( ) , 2.( 1)( ...)

m mR

tk k s sG s G s n

T s s as bsα α ατ τ α

−

− −+ += = +

+ + + +

±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

( ) ( ) 1,p tG s G s≡ =

Fie sistemul automat cu structura din fig. III.16 şi

11 2

1 2...( ) .

...

m m

R Rs sG s

s as bsk α α α

τ τ −

− −+ +=

+ + +

11


numitorul hurwitzian.3 2( ) , 0,RR R

kG s ks as bs c

= >+ + +

Se alege

( ) ( 1), 0, 0.R R RG s k s kτ τ= + > >Se alege

Condiţia 1° (t.1): p + r ≤ m +1, 0 ≤ m +1.

Cazul I. Se alege GR(s) cu polii & zerourile în Re s < 0;urmează p = r = 0, q = 1, ρ = 2.

Condiţia 2° (t.1): n > 2ρ, n=α+2 > 4; n = 5, α = 3.

Condiţia 2° (t.1): m+n >2ρ–1, 1+n =α+2+1>2; n = 2, α = 0.

Soluţia a: se alege m = 0, 2 2 1 2( ) ( ) .( 1)( ...)

Rt

k kG s G sT s s as bsα α α− −=

+ + + +

Soluţia b: se alege m = 1, 2 2 1 2( 1)( ) ( ) .

( 1)( ...)R

tk k sG s G s

T s s as bsα α ατ

− −+=

+ + + +

soluţia nu este unică.1

1 22 2 1 2

( ...)( ) ( )( 1)( ...)

m mR

tk k s sG s G s

T s s as bsα α ατ τ −

− −+ +=

+ + + +Pentru


Cazul II. Se alege GR(s) cu un pol în s = 0 şi restul polilor şi

zerourilor în Re s < 0; urmează p = q = 1, r = 0, ρ = 3.

Condiţia 1° (t.1): p + r ≤ m + 1, 1≤ m + 1.

Condiţia 2° (t.1): n > 2(ρ – 1), n = α +2 > 4; n = 5, α = 3.

Condiţia 2° (t.1): m+n >2ρ –1, n+1=α+2+1> 5; n = 5, α = 3.

2( 1)( ) , 0, 0, 0, 0.

( )R

R Rk sG s k a b

s s as bτ τ+= > > > >+ +

Se alege

Se alege 2( ) , 0, 0, 0.( )

RR R

kG s k a bs s as b

= > > >+ +

Soluţia a: se alege m = 0, 2 2 1 2( ) ( ) .( 1)( ...)

Rt

k kG s G sT s s as bsα α α− −=

+ + + +

Soluţia b: se alege m = 1, 2 2 1 2( 1)( ) ( ) .

( 1)( ...)R

tk k sG s G s

T s s as bsα α ατ

− −+=

+ + + +

12


• Spre deosebire de abatere, eroarea este o mărime virtuală:nu este generată şi nici nu acţionează în cadrul

sistemului automat.

• Analiza precizieipreciziei unui sistem automat se bazează penoţiunea de eroareeroare şi nu pe aceea de abatereabatere.

e y yp= − . (5.1)

5. Precizia unui sistem automat5.1. Eroarea; implicaţii ale principiului abaterii

.ra u y= −

• În acelaşi timp, abatereaabaterea este:

e ≠ a.

±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

•• EroareaEroarea se defineşte prin:


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ).1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

p wp p

t t

G s G s G sE s Y s Y s Y s W sG s G s G s G s

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

∓ (5.2)

Cf. fig.III.16 şi relaţiei e = yp – y se scrie:

( ) ( ) .p t tG s G s k= =Uzual

e = yp – y ≡ 0

Ideal ar fi să se realizeze:

y ≡ yp.±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)Fig.III.16

1 ( )( ) ( ) ( ).1 ( ) 1 ( )

wp

t t

G sE s Y s W sG s k G s k

=+ +

∓

Rezultă:

( )( ) ( ) ( )1 ( ) 1 ( )

t w tp

t t

k G s kA s Y s W sG s k G s k

=+ +

∓ ).(sEkt=

1( ) ,1 ( )ept

G s G s k+

Pe de altă parte, din (3.4) se obţine:

13


Pentru kt = 1 rezultă:

( ) ( ) .E s A s≡ (5.15)

).()( 1 sAksE t−= (5.14)

Principiul abaterii se extinde şi la eroare.

Exceptând (5.15), între eroare şi abatere există deosebiri:

• de natură dimensională,

• de anvergură a domeniului de valori şi

• de mod de definire; eroarea este o mărime virtuală

iar abaterea este o mărime reală.

( ) ( ),tA s k E s=

Aşadar


( ) ( ) ( ).p ep pE s G s Y s=

ES în raport cu mărimea prescrisăSe foloseşte (5.2) pentru Gp(s)=Gt(s)=kt, W(s) ≡ 0. Se obţine:

(5.3)

1° ES de poziţie Mărimea prescrisă este funcţia treaptă unitară:

0 01lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0).psp t p s p s ep epe e t sE s sG s Gs→+∞ → →= = = = (5.22)

(5.21)1( ) ( ), ( ) .p py t t Y s sσ= =

Cu teorema valorii finale, din (5.3) cu (5.21), se obţine:

5.2. Eroarea staţionarăUzual sistemele automate funcţionează în regim staţionar.Precizia se defineşte prin eroarea staeroarea staţţionarăionară (ESES).

14


3° ES de acceleraţie

Mărimea prescrisă este funcţia parabolă unitară:

23

1 1( ) ( ), ( ) .2p py t t t Y ss

σ= = (5.25)

(5.26)

2° ES de viteză

Mărimea prescrisă este funcţia rampă unitară:

21( ) ( ), ( ) .p py t t t Y ss

σ= = (5.23)

(5.24)0 0 021 1lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ).psv t p s p s ep s epe e t sE s sG s G sss→+∞ → → →= = = =

0 0 03 21 1lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ).psa t p s p s ep s epe e t sE s sG s G ss s→+∞ → → →= = = =


A) G(s) nu are poli în s = 0.

.)(1

1lim)(lim00 sGk

sGet

sepspsp +==

→→(5.22)

2 20 01 1lim ( ) lim .

[1 ( )]psa eps s te G s

s s k G s→ →= =

+(5.26)

0 01 1lim ( ) lim .[1 ( )]psv eps s t

e G ss s k G s→ →= =

+(5.24)

.)0(1

1Gk

et

psp +=

.1lim)]0(1[

10

∞=+

=→ sGk

es

tpsv

.1lim)]0(1[

120

∞=+

=→ sGk

es

tpsa

ES de poziţie

ES de viteză

ES de acceleratie

1( ) ,1 ( )ept

G s G s k+

15


B) G(s) are 1 pol în s = 0; 11( ) ( ) .G s s G s−

.)0(

1)]([

1lim)](1[

1lim11

01

10 GksGkssGskse

tts

tspsv =

+=

+=

→−→

.0)(

lim)(1

1lim1

01

10=

+=

+=

→−→ sGkss

sGske

ts

tspsp

.)]([

1lim)](1[

1lim1

01

120∞=

+=

+=

→−→ sGksssGskse

ts

tspsa

ES de poziţie

ES de viteză

ES de accel.

.)(1

1lim)(lim00 sGk

sGet

sepspsp +==

→→(5.22)

2 20 01 1lim ( ) lim .


s s k G s→ →= =

+(5.26)

0 01 1lim ( ) lim .[1 ( )]psv eps s t


+(5.24)1( ) ,1 ( )ep

tG s G s k+


22( ) ( ).Gs s G s−C) G(s) are 2 poli în s = 0;

.0)]([

lim)](1[

1lim2

202

20=

+=

+=

→−→ sGkss

sGskse

ts

tspsv

.0)(

lim)(1

1lim2

2

2

02

20=

+=

+=

→−→ sGkss

sGske

ts

tspsp

.)0(

1)]([

1lim)](1[

1lim22

202

220 GksGkssGskse

tts

tspsa =

+=

+=

→−→

ES de poziţie

ES de viteză

ES de accel.

.)(1

1lim)(lim00 sGk

sGet

sepspsp +==

→→(5.22)

2 20 01 1lim ( ) lim .


s s k G s→ →= =

+(5.26)

0 01 1lim ( ) lim .[1 ( )]psv eps s t


+(5.24)1( ) ,1 ( )ep

tG s G s k+

16


33( ) ( ).G s s G s−D) G(s) are 3 poli în s = 0;

.0)]([

lim)](1[

1lim3

3

2

03

30=

+=

+=

→−→ sGkss

sGskse

ts

tspsv

.0)(

lim)(1

1lim3

3

3

03

30=

+=

+=

→−→ sGkss

sGske

ts

tspsp

.0)]([

lim)](1[

1lim3

303

320=

+=

+=

→−→ sGkss

sGskse

ts

tspsa

ES de poziţie

ES de viteză

ES de accel.

.)(1

1lim)(lim00 sGk

sGet

sepspsp +==

→→(5.22)

2 20 01 1lim ( ) lim .


s s k G s→ →= =

+(5.26)

0 01 1lim ( ) lim .[1 ( )]psv eps s t


+(5.24)1( ) ,1 ( )ep

tG s G s k+


Valori admisibile: ES – compatibile cu precizia traductoarelor;σ% ≤ 18 – 20%;

ts , tc – compatibile cu limitările tehnice.

6. Performanţele unui sistem automat

6.1. Indici de calitate

de regim stade regim staţţionarionar: erorile staţionare (v. III.5);

de regim tranzitoriude regim tranzitoriu: σ% , ts , tc (v II.7.1).

Indicii de calitate sunt specificaţi şi se realizează în proiectare.Soluţiile (pentru regulator) pot fi contradictorii:

se caută valori acceptabile pentru toţi indicii de calitate.

17


6.2. Indicatori sintetici de calitate1° ISE (integral of the square of the error)

2 0| ( ) | , .T

sI e t dt T t= ≥∫

2° IAE (integral of the absolute magnitude of the error)

21 0

( ) , .TsI e t dt T t= ≥∫

|e(t)|

t

e2(t)

t

I1

I2


3 0| ( ) | , .T

sI t e t dt T t= ≥∫

3° ITAE (int. of the time multipl. by the abs. magn. of the error)

24 0

( ) , .TsI te t dt T t= ≥∫

4° ITSE (int. of the time multipl. by the square of the error)

Pentru un indice Ii prestabilit, se determină parametriiajustabili ai regulatorului astfel ca Ii = minim.

t|e(t)|

t

e2(t)

t

I4

I3

1

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 1

Capitolul IV

LEGI DE REGLARE


• amplificatorul de c.c. (Acc) cuK0→∞ pe un domeniu larg de

frecvenţă, rintr - f. mare,rieş - f. mică;

• circuitul de intrare cu Z1(s);• circuitul de reacţie cu Z2(s).

Legile de reglare sunt realizate de regulator. Componenta I poate exista în p. fixată (elem. de exec.).

1. Regulatoare cu amplificatoare operaţionale

1.1. Amplificatorul operaţional

Fig.IV.1

NZ2(s)

Z1(s)

Un amplificator operaţional (fig.IV.1) este format din:

(–)

(+)

Acc

2


Pentru domeniul de liniaritate al Acc se scriu ecuaţiile:

N2 2

( ) ( )( ) ,( )X s U sI s Z s

−= (1.3)

N1 1

( ) ( )( ) ,( )A s U sI s Z s

−= (1.2)

(1.1)

0( ) ( ) .NX s K U s= − (1.4)

Fig.IV.1

N

X(s)A(s)

I1(s)

UN(s)

I2(s)Z2(s)

Z1(s)(–)

(+)

Acc

1 2( ) ( ) 0 ,I s I s+ =


Se elimină I1(s), I2(s), UN(s) între ecuaţiile (1.1) – (1.4).

2

210 1

1 .( )11 1( )

( )( ) ( )( ) sK s

Z sX s A sZZ sZ

=⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

− (1.5)

• factorul de corecţiecorecţie:

(1.7)

Se disting:

• funcţia de transfer idealidealăă a regulatorului:

(1.6)21

( )( ) ;( )iR

Z sG s Z s= −

Se obţine:

20 1

1( ) .( )11 1 ( )

C s Z sK Z s

=⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

3


Funcţia de transfer a regulatorului:

(1.8)

Din (1.7):0 0

2

0 1

1lim ( ) lim 1,( )11 1( )

K KC sZ s

K Z s

→+∞ →+∞= =⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.10)

• Cu Z1(s) şi Z2(s) se obţin variate funcţii de transferrespectiv diferite legi de reglarelegi de reglare.

• Se introduce şi o schimbare de semn intrare – ieşire;se compensează pe parcursul căii directe.

( ) ( ) ( ).iR RG s G s C s=

2

1

( )( ) ( ) .

( )i

R RZ s

G s G sZ s

≅ = −

(1.9)


SchemaParametriZ2(s)=Z1(s)=Tip G s G sR Ri( ) ( )≅ =

− k P

12

2+CsR

R k RR

T R C

P =

=

2

1

2

−+

kTs

P1

RCs21

+k R

RT R C

P

I

=

=

2

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

sTk

IP

1

Elementele de circuit utilizate: rezistenţe şi condensatoare.1.2. Regulatoare uzuale

Tabelul IV.1. Regulatoare PID

k RRP = 2

1P R1 R2

PT1 R1

PI R1

R1 R2

R1R2C

R1 R2 C

4


RR Cs

1

1 1+k R

RT R C

P

D

=

=

2

1

2

( )sTk DP +−

R RR Cs2

3

3 1+

+

k R RR

T R RR C

T R C

P

D

= +

=

=

2 31

2 31

3

1++

−Ts

sTk DP

RRC s

1

1 1 1+R

C s22

1+

k RR

CC

T R CT R C

P

D

I

= +

==

2

1

1

2

2 1

1 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

sTsTk

IDP

1

SchemaParametriZ2(s) =Z1(s)=Tip G s G sR Ri( ) ( )≅ =

PD R2

PDT1 R1

PID

R1 R2

C

R1 R2 CR3

C1

R1 R2 C2


1.3. Caracteristici ale regulatoarelor PID (Tabelul IV.2)

PI

PT1

P

Legea reglăriiZerouri şi /saupoli finiţi h t h tR R

i( ) ( )≅

kTs

P+ 1

pT

= −1 akxxT P=+

kT sP

I+

1z

k Tp

P I= −

=

1

0 ∫+

+=t

I

p

adtT

akx

01

kPNu există x = kPa

G s G sR Ri( ) ( )≅

kP

t

kP

tα; tg α = kP /T

kPttg α = 1 /TI

α

5


PID

PDT1

PD

Legea reglăriiZerouri şi / saupoli finiţi

k T sP D+ z kT

P

D= − aTakx DP +=

k T sTsP D+

+ 1

z kT

p T

PD

=−

=− 1 aTakxxT

DP +==+

kT s

T sPI

D+ +1

aTadtT

akx

Dt

I

P

++

+=

∫01

h t h tR Ri( ) ( )≅G s G sR R

i( ) ( )≅

kPt

TDδ(t)

kP

tα

tg α = (kP – TD/T)/TkP T > TDDT

T

kPt

α

tg α = (kP – TD/T)/T

kP T < TD

DTT

kPttg α = 1 /TI

αTDδ(t)

(1,2

21 420

P

DP

D I

z kTkT T

p

= − ±

⎞− ⎟

⎠=

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 10

Pentru obţinerea unor rezultate

comparabile se consideră

sistemul automat din fig.IV.4

având ca parte fixată un

element PT2 cu funcţia de transfer:

cu ζ ≥ 0, ω > 0,

2.Proprietăţi ale SA cu regulatoare PID

21 2 1 2

( ) ,( ) 1FkG s

TT s T T s=

+ + +(2.2)

Fig.IV.4

_GR(s)

+GF(s)

U(s) Y(s)

sau

(2.1)2

2 2( ) ,2

nF

n n

kG ss s

ωω ζ ω

=+ +

( )1,2 21 ,

1n

Tω ζ ζ

=−∓

cu ζ ≥ 1.

6

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 11

2.1. Regulatorul P

.0;)( >= PPR kksG 0( ) ( )( ) ,1 ( ) ( )

R F

R F

G s G sG s G s G s=+

,2

)(2000

2

200

0nn

n

ss

ksGωωζ

ω

++=

,10 +

=kk

kkkP

P

,10 += kkPnn ωω

0 ,1Pk k

ζζ =+

k0

ωn0

ζ0

1

ζ

ωn

ωn0, ζ0,k0, esp

kP

Fig.IV.5 011 1 .1 1

Psp

P P

k ke k k k k k= − = − =+ +

esp

2

0 2 2( ) ,2 ( 1)

P n

n n P

k kG ss s k k

ωζω ω

=+ + +

2

2 2( ) ,2

nF

n n

kG ss s

ωω ζ ω

=+ +

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 12

( )sΔ =

Integratorul de pe calea directă asigură epsp = 0!

2.4. Regulatorul PID1( ) , 0, 0, 0.R P D P I DI

G s k T s k T TT s= + + ≥ > ≥

( )( ) ( ) .

121)( 2223

220

InPnDnn

IPDnTkskksTks

TsksTksGωωωζω

ω+++++

++=

Problema BIBO-stabilităţii

( )( ) ( ) .

0021

012

2

223

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

+=

In

DnnPnIn

Dnn

TkTkkkTk

Tk

ωωζωωω

ωζωH (2.17)

,)()(1

)()()(0 sGsGsGsGsG

FR

FR

+=

2

2 2( ) ,2

nF

n n

kG ss s

ωω ζ ω

=+ +

7

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 13

Sist. aut. este BIBO-stabil dacăşi numai dacă: ζ > 0, ωn > 0 şi

Cf. criteriului Hurwitz din (2.17) se obţin condiţiile: detH1 = ωn(2ζ + kωnTD) > 0,

detH2=ωn2[ωn(2ζ + kωnTD)(kPk + 1) – k/TI] > 0,

detH3=(kωn2/TI)detH2 > 0.

.(2 )( 1)In n D P

kT k T k kω ζ ω>+ +

DBIBO-S

TD > 0,

0

TI

kP

.(2 )( 1)In n D P

kT k T k kω ζ ω=+ +

TD = 0, .2 ( 1)In P

kT k kζω=+

Pentru TD = 0 (regulator PI) condiţia devine:

.2 ( 1)In P

kT k kζω>+ DBIBO-S creşte cu creşterea lui TD .

Fig.IV.7

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 14

Cf. ts0 = 3T0 ≤ ts0a se alege TD :

Cu zerourile regulatorului PID

se pot compensa polii p. fixate.

22

2 21

( 2 )n DP

D I D n n

k Tks sT T T s s sωζω ω

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ + +⎝ ⎠

Dn

Dn

FR

FR

TksTk

sGsGsGsGsG 2

2

0 )()(1)()()(

ωω+

=+

=0

1 ,1T s+ 0 21 .n D

Tk Tω

=

2 22

2 2 2 21 1( ) ( )

( 2 ) ( 2 )n nD P

R F P DI D I Dn n n n

k kT kG s G s k T s s sT s s T TTs s s sω ωζω ω ζω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fig.IV.4

_GR(s)

+GF(s)

U(s) Y(s)

212 , .Pn n

D I D

kT T Tζω ω= =

Apoi se ajustează kP = 2ζωnTD ,

0 02 20

3 33 .s a Dn D n s a

T t Tk T k tω ω

= ≤ ⇒ ≥

21 .I

n DT

Tω=

2

,n Dk Ts

ω=

8

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 15

Capitolul V

METODA LOCULUI RĂDĂCINILOR

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 16

Sinteza regulatorului:

1. Generalităţi

1.1. Formularea problemei

Se determină structura şi parametrii regulatorului ..

Se alocă polii şi zerourile sistemului automat .

Se adoptă indicii de calitate admisibili.

( ) ( ) ( ) ( ).R E IAG s G s G s G s=

Calea directă a SA:±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

9

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 17

Fig.III.16, cu W(s)=0 şiGp(s)=Gt(s)=kp=kt,

conduce la fig.V.1. Fig.V.1

1 ( ) 0.dG s+ = (1.4)

Ecuaţia (1.4) are ca rădăcini

exact polii sistemului automat.

( ) ( ).d tG s k G s=

• Circuitul deschis al SA:

0( )( ) .1 ( )

dd

d

G sG s G s=+

• Circuitul închis al SA:

±

Gt (s)

++

G(s)Yp U

Gp(s)A Y

–

W Gw (s)

Fig.III.16

kt+G(s)

Yp Y

–

( ) ( ) ( ) ( ).R E IAG s G s G s G s=

• Calea directă a SA:

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 18

,0)(1 =+ sGd (1.4) ( )( ) ,( )dkM sG s N s= (1.5)

M(s) şi N(s) – polinoamele zerourilor şi al polilor (prime).

k ≥0 – factorul de amplificare al sistemului în circuit deschis.

Din (1.4), (1.5) rezultă:

Pentru M(s), N(s) fixati, rădăcinile ecuaţiei (1.7), respectiv

polii sistemului automat (în circuit închis) depind de k ≥ 0.

( )1 0 ,( )kM sN s+ = (1.6) ( ) ( ) 0.N s kM s+ = (1.7)

Graficul corespunzător este locullocul geometric al rgeometric al răăddăăcinilorcinilor.

Este util în analiza SA şi, mai ales, în sinteza regulatorului.

10

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 19

Pl. s

0

Exemplul 1.1

11

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1d t R E IA RG k G s G s G s G s G s Ts==

= = =+

) ( ) , ) ( ) .R RkG s k G s s= =a b

Să se studieze dependenţa polilor SA de parametrul k ≥ 0.

a)

Fig.V.2

,0)()( =+ skMsN (1.7)Ecuaţia polilor SA este: Locul rădăcinilor:

kt+G(s)

Yp Y

–

Fig.V.1

( ) , ( ) ,1R dkG s k G s Ts= =+ M(s) = 1, N(s) = Ts + 1.

11 0 kTs k s T++ + = → =−

k = 0k = +∞x1T−

10, ;k s T= = − , .k s= +∞ = −∞

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 20

1,2s =

Fig.V.3

Ecuaţia polilor SA este:

Rădăcinile ecuaţiei polilor sunt :

Locul rădăcinilor:

Discriminantul: Δ = 1 – 4kT

( ) , ( ) ,( 1)R dk kG s G ss s Ts= =

+ ( ) 1, ( ) ( 1).M s N s s Ts= = +

Ts2 + s + k = 0.

,0)()( =+ skMsN (1.7)

b)

k = 0

k = +∞

k = +∞

k = 0

Pl. s

0x1T−

12T−

14k T=

1 1 4 1, 0 ;42kT k TT

− ± − ≤ ≤

1 4 1 1, .42j kT k TT

− ± − >

x

1

2

0,0, 1 .

sk s T

=⎧⎪= ⎨ = −⎪⎩1,2

1 1, .4 2k sT T= = −

1,2, .k s= +∞ = +∞

11

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 21

Problema: să se determine dependenţa polilor sistemului

în circuit închis (SA, rădăcinile ecuaţiei (1.7))

de parametrul k≥0 al sistemului în circuit deschis.

Rezultatul: locul rlocul răăddăăcinilorcinilor , respectiv locul geometric al

rădăcinilor ecuaţiei polilor SA (1.7) pentru k≥0.

,0)(1 =+ sGd

( )( ) ,( )dk M sG s N s=

( )1 0,( )k M s

N s+ =

.0)()( =+ skMsN (1.7)

kt+G(s)

Yp Y

–

Fig.V.1Fie sistemul automat:

0( )( ) ( ), ( ) ,1 ( )

dd t

d

G sG s k G s G s G s= =+

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 22

1.2. Ecuaţiile fundamentale ale locului rădăcinilor

zα şi pβ – zerourile şi polii sist. în circuit deschis; zα ≠ pβ .

Se definesc fazorii:

,)()( 1∏ −= n pssN β

Din (1.10) – (1.12):

1

1

1z

p

m jz

n jp

A ek

A e

α

β

θα

θβ

= −∏∏

Fie: 1( ) ( ) ,mM s s zα= −∏

( )1 0,( )M sk N s+ =

m ≤ n;

.,,1)(

)(

1

1+∈∈−=

−

−

∏∏ RC ks

ps

zsk

n

m

β

α (1.10)

, 1, ; 0, ;zjz z zs z A e m Aαθ

α α α αα θ− = = ≥ ∈R (1.11)

, 1, ; 0, .pjp p ps p A e n Aβθ

β β β ββ θ− = = ≥ ∈R (1.12)

1

1

1 ,m

zn

p

Ak

Aα

β

=∏∏

(1.13)

1 1 (2 1) , .m nz p i iα βθ θ π− = + ∈∑ ∑ Z (1.14)

12

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 23

Ecuaţia (1.14), independetă de k, exprimă proprietatea proprietatea

esenţialăesenţială utilizabilă pentru trasarea locului rădăcinilor:

este utilă pentru parametrizarea locului rădăcinilor după k≥0.

.,)12(11 Z∈+=−∑∑ iinp

mz πθθ βα (1.14)

Punctul s aparţine locului rădăcinilor dacă şi numai dacă

suma argumentelor fazorilor cu originea în zerourile lui Gd(s)

şi vârful în s minus suma argumentelor fazorilor cu originea

în polii lui Gd(s) şi vârful în s este un multiplu impar de π.

Ecuaţia (1.13), pusă sub forma 1

1

,n

pm

z

Ak

Aβ

α

= ∏∏

(1.15)

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 24

2. Reguli de trasare a locului rădăcinilor

.0)(1 =−∏n ps β

Locul rădăcinilor porneşte din polii sist. în circuit deschis.

0)()( =+ skMsN (1.7)

are n rădăcini.

D. Ecuaţia polilor

1° Pentru k≥0 cele n rădăcini ale polinomului polilor SApornesc din polii şi ajung în zerourile lui Gd(s).

,)()(1∏ −=n pssN β (1.9)

cu k = 0, din (1.7) rezultă

Pentru

13

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 25

.0)(1 =−∏m zs α

Din totalul de n ramuri ale locului rădăcinilor, m ramuri ajungîn cele m zerouri finite ale sistemului în circuit deschis.

Restul de n – m ramuri ale loc. răd. ajung în punctul de la ∞.

1

1

( )1, ,

( )

m

ns z

k m ns p

α

β

−= − <

−∏∏

(1.10)

pentru k → +∞, rezultă |s| → +∞.

Pe de altă parte, din ecuaţia

Se înmulţeşte (1.7) cu k –1 şi se obţine:

Pentru k → +∞ şi ∏ −=m zssM1

)()( α din ecuaţia ( ) rezultă

1 ( ) ( ) 0.k N s M s− + = ( )

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 26

2° Ramurile locului rădăcinilor sunt simetrice două câte douăfaţă de axa reală a planului s.

D. Ec. (1.7) are răd. reale sau complex conjugate.

3° În Pl.s se plasează pe axa reală zerourile reale (o) şi poliireali (x) ai lui Gd(s); se notează cu L1, L2, L3,…(de la +∞ la

–∞, incl. multiplicit.). L1L2, L3L4, L5L6,..∈ locului rădăcinilor.

Cf. ec. (1.14), s∈R aparţine loc. răd. ⇔ contribuţia arg. faz.(1.11) şi (1.12) în (1.14) este un multiplu impar de π.

D . 1 1 (2 1) , .m nz p i iα βθ θ π− = + ∈∑ ∑ Z (1.14)

, 1, ; 0, ;zjz z zs z A e m Aαθ

α α α αα θ− = = ≥ ∈R (1.11)

, 1, ; 0, .pjp p ps p A e n Aβθ

β β β ββ θ− = = ≥ ∈R (1.12)

14

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 27

Contribuţia unei perechi de poli / zerouri complex conjugateeste 2π (fig. V.9).

Fig. V.9 Fig.V.10

Contribuţia unui pol / zero real situat la dreapta / stângalui s este π / respectiv 0 (fig.V.10).

Punctul s, situat pe axa reală, aparţine locului rădăcinilordacă şi numai dacă la dreapta lui s, pe axa reală, există

un număr impar de poli şi zerouri.

Pl. s

0xpsz

θz = 0 θp = πθz1

θp1Pl. s

0

x

p2

z1

xp1

s

θp2z2

θz2

θz1+θz2= 2π

θp1+θp2= 2π

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 28

0

Pl. s

–1

În fig.V.11 se plasează pe axa reală de la dreapta la stângazerourile (o) –1, –3, –5 şi

polii (x) –2 (dublu), –4 (dublu).

Se notează de la dreapta la stânga cu L1, L2,3, L4, L5,6, L7.

Exemplul 2.3

Fie

L1L2, L3L4, L5L6, L7 la –∞ aparţin locului rădăcinilor.

Fig. V.11L7 L5,6 L4 L2,3 L1

–5 –3

Să se determine partea reală a locului rădăcinilor.

2 2( 1)( 3)( 5)( ) .( 2) ( 4)d

k s s sG ss s+ + +=+ +

–4x

–2x

15

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 29

4°. Pt. n – m ≥ 1, n – m ramuri ajung în p. de la ∞, pt. k→+∞,de-a lungul a n – m asimptoteasimptote, care trec prin centroidulcentroidul :

( )1 11 n m

cgs p zn m β α= −− ∑ ∑ (2.1)

2 1 π, 1, .ii i n mn mθ −= = −−

(2.2)

D. Se înmulţeşte ecuaţia: 1

1

( )1

( )

m

ns z

ks p

α

β

−= −

−∏∏

(1.10)

( )( )

1

1

0 ; 1.n

ms p

k n ms z

β

α

−+ = − ≥

−∏∏ (2.3)

( )( )

1

1

.n

ms ps z

β

α

−

−∏∏

cu Rezultă

şi care au direcţiiledirecţiile:

Din (2.3) rezultă că pentru k→+∞ se obţine |s|→+∞.

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 30

( ) 11 1 ... 0,m nn m n ms z p s kα β

− − −+ − + + =∑ ∑ (2.4)

cu rădăcinile si(k), i = 1, ,n m− cu |si(k)|→+∞ pentru k →+∞.Conform primei formule Viète :

( )1 1 1( )n m m nis k z pα β

− = − −∑ ∑ ∑centroidul rădăcinilor (centrul de greutate) este:

( )1 1 11 1( ) .n m m n

cg is s k z pn m n m α β−= = − −− −∑ ∑ ∑

Pentru k şi |s| suficient de mari, restul împărţirii din (2.3) este neglijabil. Din (2.3) se obţine polinomul:

Pt. k→+∞ şi |s|→+∞ din (2.4) se obţine sn–m + k = 0, respectiv

din care rezultă direcţiile (2.2).1(2 1)

( )( ) , 1, ,ijn m n m

is k k e i n m−

− π− −= = −

16

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 31

5°.Pe locul răd. situat între două zerouri reale / doi poli reali există puncte de ramif. date de rădăcini reale ale ecuaţiei:

În / din p. de ram. sosesc / pleacă două ramuri ale loc. răd.

(2.5).,01111 R∈=

−−

− ∑∑ xpxzx

nm

βα

1 1ln ( ) ln ln( ) ln( ) ,m ndG x k x z x pα β= + − − −∑ ∑

1 1( ) 1 1( )

m nd

d

G xG x x z x pα β

′= −

− −∑ ∑

1

1

( )( )

( )

m

d ns z

G s ks p

α

β

−=

−∏∏

Se logaritmează şi se derivează:

D.

= 0.

1+Gd(x) = 0, (1+Gd(x))' = 0, adică

are răd. dublă x∈R.1 ( ) 0dG x+ =Ec. polilor Urmează că

Gd(x) = – 1, G'd(x) = 0.

Adică are loc (2.5).

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 32

–1,36

Să se traseze locul rădăcinilor.

Exemplul 2.4.

[–4, –1] aparţine loc. rădăcinilor.

2( 4)( ) .

( 1)( 2)dk sG s

s s+=

+ +Fie

Între –2 şi –1 există un p. de

ramif., rădăcină a ecuaţiei:

2x2 + 13x + 14 = 0, x2= –1,36 (p. de ramificare), fig. V.12.

1 1 2 0,4 1 2x x x− − =+ + +

Direcţiile asimptotelor: θ1 = π/2, θ2 = 3π/2, fig. V.12.

Cf. 4°, 2 ramuri ajung la ∞, cu scg = (– 1 – 2 – 2 + 4)/2 = – 0,5.

0

Pl. sL1L2,3L4

–4 –2x

–1x

k = +∞–0,5

k = +∞

k = +∞

0

Pl. s

–4 –2x

–1x

Fig.V.12

k = 0,056

17

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 33

6°.Din / în polii / zerourile reale multiple pleacă / sosescun numar de ramuri egal cu multiplicitatea q

a polilor / zerourilor.

Direcţiile tangentelor (în poli / zerouri) sunt:

dacă numărul de zerouri şi de poli reali la dreaptaeste impar;

2π , 0, 1 ,i i q i qθ = = − (2.6)

(2 1)π , 0, 1,i i q i qθ = + = − (2.7)

dacă numărul de zerouri şi de poli reali la dreaptaeste par.

D.Este o consecinţă directă a ec. (1.14).

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 34

Fie

Exemplul 2.5

Locul rădăcinilor este tangent, în origine, la axa imaginară.

Cf. 5° există un punct de ramificare x = –2(o răd. a ec. 1/(x + 1) – 2/x = 0) , coresp. k = 4, fig.V.13.

Intervalul (–∞,–1] aparţine

locului rădăcinilor.

Din polul dublu s = 0 pornesc 2 ramuri ale căror tangente

în s = 0 au direcţiile θ0 = π/2, θ1 = 3π/2.

Fig.V.13

x–2

k = +∞

0

Pl. s

k = 0

k = 4

k = +∞

Să se traseze locul rădăcinilor.

2( 1)( ) .d

k sG ss+=

–1

18

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 35

1 11 arg( ) arg( ) (2 1) , 0, 1,m n

bi b b bbb

p z p p i i nn α βα β βθ = = ≠⎡ ⎤= − − − − + π = −⎣ ⎦∑ ∑

D.Este o consecinţă directă a ecuaţiei (1.14).

7°a. Din polii (pb) complecşi multipli pleacă un număr de ramuri egal cu multiplicitatea nb a polilor.

Direcţiile tangentelor la ramuri sunt respectiv:

b. In zerourile (za) complexe multiple sosesc un numărde ramuri egal cu multiplicitatea ma zerourilor.

Direcţiile tangentelor la ramuri sunt respectiv:

1 11 arg( ) arg( ) (2 1) , 0, 1,m n

ai a a aaa

z z z p i i mm α βα α βθ = ≠ =⎡ ⎤= − − − − + π = −⎣ ⎦∑ ∑

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 36

D. Această regulă este o consecinţă directă a ec. (1.14).

8°. După determinarea punctelor de ramificare şi a numărului de ramuri care sosesc în şi pleacă

din fiecare punct de ramificare (în total 2r ramuri),

rezultă că unghiurile dintre două ramuri alăturate

este 2π/2r = π/r .

9°. Punctele de intersecţie ale locului rădăcinilor cu axa imaginară:

.0,,0)()( ≥∈=+ kjkMjN Rωωω (2.10)

D. Ecuaţia (2.10) se obţine din (1.7) pentru s = jω.

19

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 37

O altă posibilitate – schema Routh (II.6.5) aplicatăpolinomului polilor. Elementele antepenultimei linii

se notează cu a(k) şi b(k); k şi ω se obţin din:

.0)()( 2 =+ kbska

10°.Parametrizarea după k≥0: se măsoară segmentele

pentru anumite puncte ale loc. răd. şi calculul lui k cu

1 1 .n mp zk A Aβ α= ∏ ∏ (1.15)

.0,,0)()( ≥∈=+ kjkMjN Rωωω (2.10)

Din (2.10) se obţine k si ω.

, 1, , , 1, ,z pA m A nα βα β= =

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 38

a. (1°) Se plasează în pl. s:z1= –2, p1= 0, p2= –3, p3= – 8, p4,5= – 4 ± j5.

Pentru k = 0 locul rădăcinilor pleacă din p1,.., p5.Pentru k = +∞ o ramură ajunge în z1 şi alte patru ajung

în punctul de la ∞ (fig.V.14).

Exemplul 2.6

)54)(54)(8)(3()2(

)(jsjssss

sksGd ++−+++

+=Pentru

să se traseze locul rădăcinilor.

b. (2°) Locul rădăcinilor este simetric faţă de axa reală a pl. s.

20

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 39

d. (4°) Numărul de ramuri la ∞ este n – m = 4.

Centroidul:

scg = (0 – 3 – 8 – 4 + j5 – 4 – j5 + 2)/4 = – 4,25.

Direcţiile asimptotelor:

θ1 = π/4, θ2 = 3π/4, θ3 = 5π/4, θ4 = 7π/4.

e. (5°) Punctul de ramificare, x ≅ –5,2, rezultă din ecuaţia:

1/(x+2) – 1/x – 1/(x+3) – 1/(x+8) – 1/(x+4–j5) – 1/(x+4+j5) = 0.

c. (3°) Se notează L1(0), L2,3(–2), L4(– 8).Segmentele L1L2, L3L4 de pe axa reală a aparţin

locului rădăcinilor (fig.V.14).

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 40

xx

x

x

–8 –4 –3 –2 0 p1

Pl. s

p3

p5

p4

–j5

z1

p2

90°

51o 101o 112o 128o

x

j5

Fig.V.15

f. (7o) Unghiurile tangentelor

în p4,5 sunt:

=−+++−= o

532114180)( ppppzp θθθθθθ

,78,78 0054=−= pp θθ

53211,,,, ppppz θθθθθ

Conform fig.V.15,

se măsoară:

o o o438 360 78 .→ − + =−

şi se calculează:

o o o o o o o112 (128 101 51 90 ) 180 438= − + + + − =−

g. (8°) Unghiurile dintre 2 ramuri alăturate în p. de ram.:π/2.

21

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 41

x

x

–8 –4 –3 –2 0p1

Pl. s

p5

p4

–78°

z1p2

–5,2

–4,25

P

78°

k = 63

–j5

k = 0

k = + ∞

k = + ∞

k = + ∞

j5

k = 0

p3x

xk = + ∞

k = + ∞

x

Fig. V.14

Locul rLocul răăddăăcinilorcinilor

M. Voicu, IA (IV) C8 (42) 42

Pt. k = 2165, pct. de intersecţie cu axa imag.: s ≅ ± j4,939.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−

=+−

0)984(153

026431945

24

ωωω

ωω

k

k

h. (9°) Din ecuaţia :

i. (10°) Locul rădăcinilor se parametrizează după k, rel. (1.15).De ex., pt. P (fig.V.14) se măsoară Ap1= |Pp1| = 2,4,

Ap2 = |Pp2| = 2,02, Ap3 = |Pp3| = 4,87, Ap4 = |Pp4| = 1,2,

Ap5 = |Pp5| = 4,42, Az1 = |Pz1| = 1,99. Rezultă k ≅ 63.

ω0 ≅ ±4,939, k0 = 2165.

,0)()( =+ skMsN (1.7)

s5 + 19s4 + 153s3 + 643s2 + (948 + k)s + 2k = 0.

Pt. k ≥ 2165 sistemul automat este BIBO-instabil.

se obţine:

Pt. s = jω se obţine:

1

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 1

3. Efectul unui zero suplimentarSe consideră funcţia de transfer a sist. în circuit deschis:

),()(

)()(

1

1 zsps

zsksG n

m

d −−

−=

∏∏

β

α (3.1)

Cele mai importante efecte ale lui z sunt:z∈R este un zero suplimentar.

1°. Gradul polinomul polilor SA rămâne n. Creşte cu 1 numărul zerourilor finite şi locul rădăcinilorare o ramură care ajunge în s = z.

5°. Numărul şi poziţia punctelor de ramificare depind de z.

1 11 1 1 0, .m n xx z x p x zα β

− + = ∈− − −∑ ∑ R (3.3)

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 2

1 1

11

n mzcgs p z zn m β α

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟− − ⎝ ⎠∑ ∑

4°. Pt. n – m = 1 nu există ramuri la ∞. Pt. n – m ≥ 2 există n – m – 1 ramuri la ∞.Centroidul nou este:

din care :.)(

11 zsmn

ss cgcgzcg −−−

=− (3.2)

Pt. z<scg scgz >scg; pt. z=scg scg

z =scg; pt. z>scg scgz <scg.

z situat la stânga/dreapta lui scg deplasează locul rădăcinilor la dreapta/stânga lui scg.

( )1 1

1 1 1 1 1 ,1 1 1n m

cg cgn m p z z s s zn m n m n m n mβ α

⎛ ⎞− − += − − = + −⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠∑ ∑

scg

2

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 3

z > 0–4 < z < –2

z = 0z = –4

–2 < z < 0z < –4

z = –2Fără zero

supl.

Locul rădăcinilorz ∈ RLocul rădăcinilorz ∈R

Gd(s)=k/[s(s+2)(s+4)]Exemplul 2.6. Gd(s)=k(s–z)/[s(s+2)(s+4)]

–4 –2 0

Pl. s

x xx

x–4 –2 0

Pl. s

zxx

–2 0

Pl. s

–1x x

–4 –2 0

Pl. s

zxx x

–4 0

Pl. s

–2x x

–4 –2 0

Pl. s

zx xx

–4 –2 0

Pl. s

x x

x–4 –2 0

Pl. sz

x x

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 4

4. Efectul unui pol suplimentarSe consideră funcţia de transfer a sist. în circuit deschis:

1

1

( ) 1( ) ,( )

m

d ns z

G s k s ps pα

β

−=

−−∏∏

(4.1)

p∈R este polul suplimentar.Cele mai importante efecte ale lui p sunt: 1°. Gradul polinomului polilor SA creşte cu 1.

O ramură nouă porneşte din p şi numărul de ramurila ∞ creşte cu 1.

5°. Nr. şi poziţia punctelor de ramificare depind de p.

.,011111 R∈=

−−

−−

− ∑∑ xpxpxzx

nm

βα(4.3)

3

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 5

scg

4°.Pt. n = m există o singură ramură (pe axa reală) la ∞.Pt. n – m ≥ 1 există n – m + 1 ramuri la ∞. Centroidul nou scg

p este:

1 1

11

n mpcgs p z pn m β α

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟− + ⎝ ⎠∑ ∑

1 ( ).1pcg cg cgs s p sn m− = −

− + (4.2)

Pt. p<scg scgp <scg; pt. p= scg scg

p =scg; pt. p>scg scgp >scg.

p situat la stânga/dreapta lui scg deplasează locul radăcinilor la stânga/dreapta lui scg.

din care: 1 1

1 1 1 1 1 ( ),1 1 1n m

cg cgn m p z p s p sn m n m n m n mβ α

⎛ ⎞− + −= − + = + −⎜ ⎟− + − − + − +⎝ ⎠∑ ∑

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 6

p > 0–4 < p < –2

p = 0p = –4

–2 < p < 0p < –4

p = –2Fără pol

supl.

Locul rădăcinilorp ∈ RLocul rădăcinilorp ∈R

Gd(s)=k/[s(s+2)(s+4)]Exemplul 2.6. Gd(s)=k/[s(s+2)(s+4) (s–p)]

–4 –2 0

Pl. s

x xx

x–4 –2 0

Pl. s

x xp

90°x

x–4 –2 0

Pl. sx

90°x

–4 –2 0

Pl. s

xxp

90°

x x

–4 –2 0

Pl. s

xp

90°x x

Pl. s

–4 –2 0xx

90°x x

p

–4 –2 0

Pl. s

x90°

x x

–4 –2 0

Pl. s

xx90°

x xp

4

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 7

5. Sinteza regulatorului5.1. Tema de proiectareSe precizează:

a. Instalaţia automatizată cu mărimi de intrare (m – comandă,w – perturbaţie), y – mărimea de ieşire, fig. III.14.

b. Mărimea de ieşire (reglată) trebuie să aibă o evoluţie cf.cu o mărime prescrisă (de referinţă) yp, fig.III.14.

c. Performanţele se exprimă prin indicii de calitate:suprareglarea σ, durata reg. tranzitoriu ts, durata decreştere tc (cf. II.7.1) şi erorile staţionare eps şi ews

în raport cu yp şi respectiv cu w (cf. III.5.2).

yp u+–

34 a

yr

5x

6m

1w y

27 8

Fig.III.14

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 8

d. Se determină parametrii parametrii şşii // sau structura regulatoruluisau structura regulatoruluipt. realizarea val. admis. ale ind. de calitate ai SA.

5.2. Rezolvarea temei de proiectarea. Se scriu ecuaţiile de funcţionare şi se stabileşte

schema bloc structurală a SA.El. de exec. (6) şi traductorul (2) se aleg în funcţie de IA (1).

Acestea formează partea fixatăpartea fixată (8) a SA.Partea fixată este cunoscută cu precizie acceptabilă.

b. Se adoptă un regulatorregulator (5) cf. t. Aizerman – Gantmaher(v. III.4.2) sau pe baza experienţei existente.

c. Se determină dom. param. de rezervă de BIBO-stab.pentru parametrii încă necunoscuţi ai regulatorului.

5

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 9

Se realizează o config. cu doi poli dominanţi, corelaţi cuvalorile admisibile ale indicilor de calitate:σa, tsa şi tca.

2/ 1 , 0 1.e πζ ζσ ζ− −= ≤ <

- Pt. suprareglare (v. fig.):

- Pt. durata adimensionalăa reg. tranzitoriu (v. fig.):

τ ζ ζs ≅ >6 0 707, , .,707,00,/3 ≤<≅ ζζτ s

De la elem. T2 se cunosc:

- Pt. durata de creşterea regimului tranzitoriu:

1,8 / , 0,3 0,8.c nt ω ζ≅ ≤ ≤

τs = ωnts

ζ (pentru σ)

3ζ –1

6ζ

σ

τ s

10–2 2 4 6 810–1 1002 4 6 8

10–1 2 4 6 8100 1012 4 6 8ζ (pentru τs )

σ

10–2

2

4

68

10–1

2

4

68

100

100

2

4

68

101

2

4

68

102

Fig.II.47

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 10

Regulatorul va aloca următorii polii dominanţi ai SA:

( )21,2 1 , 0 1.np jω ζ ζ ζ= − ± − < <

σ depinde numai de ζ .

ζ ≥ ζa ⇔ ψ ≤ ψa , fig.V.18.

ψ0 ≤ ψa

Pt. ζ = cosψ (cu 0 < ψ < 90°),

1) Condiţia σ ≤ σa ⇔ ζ ≥ ζa.

22,3| lg |cos .

9,86 (2,3lg )a

a aa

σζ ψσ

= =+

ζ0= cosψ0.

ζ0 ≈ ζaSe alege ψ0 ≈ ψa,

Fig.V.18

pentru poliidominanţi

(d1) Pl. s

ψa

(d2)

ψ0

6

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 11

3) Condiţia tc ≤ tca se rezolvă cu tc ≅ 1,8/ωn, pt. 0,3 ≤ ζ ≤ 0,8.

2) Condiţia ts ≤ tsa se rezolvă cu fig.II.47 sau τs = ωnts ≅ 3/ζ.

Pt. ζ0 deja ales se determină τs0 din fig.II.47 sau,

Durata reală, ts0, trebuie să satisfacă: ts0 = τs0/ωn0 ≤ tsa.

Pulsaţia naturală ωn0 trebuie să satisfacă ωn0 ≥ τs0/tsa.

Durata reală, tc0, trebuie să satisfacă tc0 ≅ 1,8/ωn0 ≤ tca .

Pulsaţia naturală ωn0 trebuie să satisfacă şi ωn0 ≥ 1,8/tca.

pentru 0 < ζ0 < 0,707, cu τs0 ≅ 3/ζ0.

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 12

ωn0 ≥ τs0/tsa , ωn0 ≥ 1,8/tcaDin rezultă:

Dar

⇒ ωnmina este o distanţă măsuratăpe (d1) şi (d2) – fig.V.18.

( )0 21,2 0 0 01 ,np jω ζ ζ= − ± −

Se aleg polii dominanţi:

plasaţi pe (d1), (d2), în zonele verzi, cu ωn0 ≅ ωnmina .

Urmează ca regulatorul, prin zerouri, poli şi k > 0 adecvat

aleşi, să asigure ca SA să aibă polii dominanţi p01,2.

Fig.V.18

(d1)

(d2)

Pl. s

ψa

ψ0

p10

ωnmina

p20

ωnmina

–ωn0ζ0

( )21,2 1 .n np jω ζ ζ ω= − ± − =

0 min 0max( / ,1,8 / ).n n a s sa cat tω ω τ≥2

0 1njω ζ−

20 1njω ζ− −

7

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 13

Exemplul 5.1. 12,5( ) ,( 1)( 2,5)FG s s s=+ +

Pt. eps = 0 se introduce în regulator o componentă I:

Pt. σa = 0,17, cf. fig. II.47: ζa ≅ 0,5, ψa ≅ 60o.

σa= 0,17, tsa= 3s, tca= 1,5s, eps=0.

Se adoptă ωno = 2,2 [sec]–1. Polii dominanţi impuşi sunt:p0

1,2 = 2,2( – 0,5 ± j0,87).

În fig.IV.4:

kr – factor de proporţionalitate.

Din fig. II.47 rezultă: τs0 = 6,25. Se adoptă: ζ0 = 0,5 şi ψ0 = 60°.

ωnmina= max(τs0/tsa , 1,8/tca) = max(6,25/3, 1,8/1,5) ≅ 2,1 [sec]–1.

Să se determine GR(s)._GR(s)

+GF(s)

U(s) Y(s)

( ) ,rR

kG s s=

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 14

60°

Pl. s

Fig.V.19

Polii dominanţi impuşi:

Funcţia de transfer a sistemului în circuit deschis:

Pentu a trece, se introduc în Gd(s)zerouri şi/sau poli suplimentari.

Se deplasează loc. răd. la stg., cuacelaşi nr. de ram. la ∞, astfelîncât ram. C şi C' să se inter-

secteze cu AB şi A'B' în p01,2.

.5,12,)5,2)(1()5,2)(1(

5,12)()()( rr

FRd kksss

ksss

ksGsGsG =++

=++

==

Locul rădăcinilor nu trece prin p01,2.

C'

C

B'

B

2,1A'

A2,1

k = +∞

j1,58

–1,16

k = +∞

–2,5x

–1x

– j1,58

xk = +∞

p10

p20

p01,2 = 2,2( – 0,5 ± j0,87).

8

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 15

p10

60°

( 1) 12,5( ) ( ) ( ) .( 20) ( 1) ( 2,5) ( 2,5)( 20)r

d R Fk s kG s G s G s s s s s s s s

+= = =+ + + + +

Re s = –10/9, Im s = 10/9, |s| ≅ 2,2.

Fig.V.20

Un zero supl. în –1 compensează polul –1 al p. fixate.Un pol supl. în –20 (îndepărtat) deplas. loc. răd. la stg.

3

Din sistemul de ecuaţii:

Loc. răd. intersectează AB şiA'B' foarte aproape de polii

dominanţi impuşi p01,2.

o

( ) 1 0

Im (tg60 ) RedG s

s s

+ =⎧⎨

= −⎩

rezultă:

B

A

j 7,1Pl. s

–20x

p20

–j 7,1

B'

A'

x–2,5

x

M. Voicu, IA (V) C 9 (35) 16

îndepărtat.01,2 10/9 10 3/9p j=− ±

.1009/310209/109/3105,29/109/3109/10 =++−++−+−= jjjk

Dar k =12,5kr , kr = 8.

=+++

=100505,22

100)( 230 ssssG

Rezultă că polii

sunt dominanţi

,1)9/3109/10( =+− jGdk se calculează din 1 + Gd(s) = 0,

Funcţia de transfer a sistemului automat este:

Funcţia de transfer a regulatorului: .)20(

)1(8)(++

=ssssGR

100 .( 10/ 9 10 3 / 9)( 10 / 9 10 3 / 9) ( 20,25)s j s j s

=+ − + + +

şi –20,25 este

9

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 17

Capitolul VI

METODA FRECVENŢIALĂ

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 18

1. Răspunsul la frecvenţă1.1. Semnificaţia funcţiei G(jω)Transferul intrare-ieşire este descris de:

.)()()( sUsGsY = (1.1)

Se aplică la intrare funcţia sinusoidală:

Se cere componenta de regim permanent yP(t) a ieşirii:

.)()( 20

20ω

ω+

=s

sGsY (1.3)

YP(s) conţine fracţiile simple ale polilor lui U(s): s1,2 = ±jω0.

Pentru simplitate, G(s) nu are zerouri / polii în ±jω0 .

Se aplică în (1.3) t. dezvoltării numai pentru aceste fracţii.

0( ) sin , ,u t t tω += ∈R 00 2 2

0( ) sin .U s t

sωω

ω= =

+L

10

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 19

,)(0

2

0

1ωω js

Ajs

AsYP ++

−= (1.4)

( ) 0 01,2 0 2 2

00 0 0

( ) ( )A s j G s G s s js s j s jω ωω ωω ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥±+ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = ± = ±∓

Se introduce (1.6) în (1.4):

.)()()( 20

2020

20

0ω

ωω

ωω+

++

=s

sIs

RsYP

(1.6)[ ]0 0 01 1( ) ( ) ( ) .2 2G j R jIj jω ω ω= ± ± = ± ±

.11)(2111)(

21

000

000 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

=ωω

ωωω

ωjsjs

jIjjsjs

Rj

[ ] [ ]0 0 0 00 0

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2PY s R jI R jIj s j j s jω ω ω ωω ω= + − − =− +

M. Voicu, IA (Vl) C 9 (35) 20

L –1

00 02 2 2 2

0 0( ) ( ) ( ) .P

sY s R Is s

ωω ωω ω

= ++ +

Aşadar

,)],(argsin[)()( 000 +∈+= RtjGtjGtyP ωωω (1.7)

2 2 00 0 0 0

0

( )| ( ) | ( ) ( ), arg ( ) arctg .( )IG j R I G j R

ωω ω ω ϕ ω ω= + = =

Amplitudinea= modul lui G(jω0); faza= argumentul lui G(jω0).

,,sin)( 0 +∈= Rtttu ω

tItRtyP 0000 cos)(sin)()( ωωωω +=

0

0

( )sincos ( )

IR

ωϕϕ ω=

.costg)sin( 000 ttR ωϕωω +=

.cossincossincos

)(coscossin)sin()( 00

0000 ttRttRtyP ωϕϕω

ϕωω

ϕϕωω +=+=

)(arg 0ωjG)( 0ωjG

)( 0ωI

)( 0ωRϕ

11

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 21

1.2. DefiniţiiDefiniţia 1

în care g(t) este răsp. la impulsul Dirac.

0( ) ( ) ( ) .j tG j g t g t e dtωω

∞ −= = ∫F

G(jω) este transformata transformata FourierFourier a răsp. la impulsul Dirac.G(jω) este o imagine a spectrului de frecvenţe din g(t).

Răspunsul la frecvenţă se obţine prin calcul / experimental.

G(jω), ω ∈R, se numeşte răspunsul la frecvenrăspunsul la frecvenţţăă alsistemului descris de funcţia de transfer G(s).

0( ) ( ) ( ) ,stG s g t g t e dt∞ −= = ∫L

Se ştie că

Cu s = jω, se obţine:

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 22

În cazul transferului intrare – ieşire:Y(s) = G(s)U(s),

pentru s = jω, se obţine:

).()()( ωωω jUjGjY = (1.10)

Definiţia 2Fie un semnal f(t), F(jω) = F f(t) se numeşte densitateadensitateaspectralăspectrală şi |F(jω)| – densitatea spectrală de amplitudinedensitatea spectrală de amplitudine.

Sistemul se comportă (frecvenţial) ca un filtrufiltru.

1 .1( ) ( ) ( )2π- j tg t G j G j e dωω ω ω+∞

−∞= = ∫F

cosω t + jsinω tTransformata inversă:

g(t) este format din oscilaţiile e jω t de amplitudine G(jω).

12

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 23

(1.10) Y(jω) =G(jω)U(jω)

|Y(jω)|

ω

În general

|U(jω)|

ω

Y(jω) = G(jω)

De ex., pt. u(t) = δ (t), U(jω) = F δ (t) =1, din (1.10) rezultă:

ω

U(jω) = F δ (t) =1 |Y(jω)| = |G(jω)|1

ω

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 24

Hodograful G(jω), ω ∈ R, se numeşte lloculocul de transferde transfer.

2. Reprezentări grafice ale răspunsului la frecvenţă2.1. Locul de transfer

Fig. VI.1

z = G(s)

Fig. VI.1.a

s = jω (fig. VI.1 – conturul Nyquist) se închide în p. de la ∞.

G(jω) este o curbă închisă, eventual prin p. de la ∞ din pl. z.

Este imaginea axei imaginare, s = jω , prin z = G(s).

–j∞M

+j∞

R=+∞

N

P Pl. s

s=jωω = 0

ω > 0

ω < 0Pl. z

ω = ∞ω = –∞

13

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 25

11 1 0

11 1 0

( ) ( ) ... ( )( ) ,( ) ( ) ... ( )

m mm m

n nn n

b j b j b j bG ja j a j a j a

ω ω ωωω ω ω

−−

−−

+ + + +=+ + + +

11 1 0

11 1 0

...( )...

m mm m

n nn n

b s b s b s bG sa s a s a s a

−−

−−

+ + + +=+ + + +

G(jω) este simetric faţă de axa reală a planului z.

( ) ( ).G j G jω ω− =

Pentru s = jω din

G(jω)=ReG(jω)+ jImG(jω)= |G(jω)|e jarg G(jω)

în coordonate carteziene

în coordonate polare

se reprezintă:R(ω) = Re G(jω),

I(ω) = Im G(jω);M(ω) = |G(jω)|,

ϕ (ω) = argG(jω)|.

rezultă

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 26

a. Locul de transfer la frecvenţe înalte (ω → +∞)

=++++++++

==∞+ −−

−−

∞→∞→01

11

011

1

)(...)()()(...)()(lim)(lim)(

ajajajabjbjbjbjGjG n

nn

n

mm

mm

ωωωωωωω

ωω

π π( )2 2( ) [ ] .j j m nm n m nj e e −− −= =

1 11 1 0

1 11 1 0

( ) [ ( ) ... ( ) ( ) ]lim( ) [ ( ) ... ( ) ( ) ]

m m mm m

n n nn n

j b b j b j b jj a a j a j a jω

ω ω ω ωω ω ω ω

− − + −−

− − + −→∞ −

+ + + += =+ + + +

( )lim lim( ) ( ) lim( ) , 0.( ) n n

mm n m n m nm m m

nnn

b j b bj j aa aa jω ω ω

ω ω ωω

− − −→∞ →∞ →∞

= = = ≠

π( )2( ) limj m n m nm

n

bG j ea ωω− −

→+∞+ ∞ =

π( )1 2

1

π( )1 2

0( ) , ,, ,

( ) , .

j m nn m

n m

j m nn m

a b e m na b m n

a b e m n

−−

−

−−

⎧ <⎪⎪= =⎨⎪∞ >⎪⎩

Depinde de gradele m şi n.

14

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 27

Depinde de nr. z ≥ 0 de zerouri şi nr. p ≥ 0 de poli în s = 0.b. Locul de transfer la frecvenţe joase

11

10 0 1

( ) ( ) ... ( )( 0) lim ( ) lim( ) ( ) ... ( )

m m zm m z

n n pn n p

b j b j b jG G ja j a j a jω ω

ω ω ωωω ω ω

−−

−↓ ↓ −

+ + ++ = = =+ + +

π( )20

( 0) limj z p z pz

p

bG ea ωω− −

↓+ =

10 1

( ) [ ( ) ... ( ) ]lim( ) [ ( ) ... ( ) ]

z m zm z z

p n pn p p

j b j b j bj a j a j aω

ω ω ωω ω ω

−+

−↓ +

+ + += =+ + +

0 0lim( ) ( ) lim( ) , 0.

p p

z p z p z pz zp

b bj j aa aω ωω ω− − −

↓ ↓= = ≠

π π( )2 2( ) [ ] .j j z pz p z pj e e −− −= =

(ω ↓ 0)

π( )1 2

1

π( )1 2

0( ) , ,, ,

( ) , .

j z pp z

p z

j z pp z

a b e z pa b z p

a b e z p

−−

−

−−

⎧ >⎪⎪= =⎨⎪⎪∞ <⎩

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 28

0 1 2 11 1

1 1 1 0

(1 )1 , , .(1 )b d j a bc da j c j a b

ωω ω

+= = =+

)1)(1()1)(1(

)()()(

11

11

1

0

ωωωω

ωω

jcjcjcjd

jjj

abjG

−+−+

−−

=

Se amplifică fracţia cu conjugata numitorului.

1 02

2 1

( )( )( ) ( )b j bG j

a j a jωω

ω ω+=

+

ExempluPentru z – p = –1, se obţine |ReG(+0)| < +∞, ImG(+0) = – ∞.

10

0

21

1

( ) 1

( ) ( ) 1

bb jbaa j ja

ω

ω ω

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) .1

])(1[22

1

21111

1

0

ωωω

ω cjdcjcdj

ab

+−−+−

=

( )1 1 1 102 20 0

1 1

[ / ]( 0) lim ( ) lim

1j d c jc dbG G j

a cω ω

ω ωω

ω↓ ↓

− + − −+ = =

+( )0

1 11[ ].b d c ja= − − ∞

Caz particular

15

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 29

2.2. Diagrama Bode

10–1

ω lg ω –1 0 1 2

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 789 2 3 4 5 6 789 10

2 101 10

0

Fig. VI.4

Se utilizează o scară log. (în baza 10) a pulsaţiei - fig.VI.4.

Diagrama Diagrama BodeBode permite utilizarea mai simplă a corelaţiilorcare există sau se doreşte să existe între AdB(ω) şi ϕ (ω).

,,)(lg20)(dB +∈= Rωωω jGA (2.4)

AdB(ω) este atenuareaatenuarea răsp. la frecvenţă (în deciBell [dB]);ϕ (ω) este fazafaza răspunsului la frecvenţă (în grade).

Aceasta este o reprezentare în coord. carteziene a funcţiilor:

( ) arg ( ), .G jϕ ω ω ω += ∈R (2.5)

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 30

2.3. Elemente de transfer tipicea) Elementul proporţional (P): G(s) = K, G(jω) = K.

Locul de tansfer este un punct. Diagrama Bode: AdB(ω) = 20 lgK , ϕ (ω) = 0.

b) Elementul de întârziere de ordinul 1 (T1): 1( ) .1G s Ts=+

Pentru s= jω se obţine răspunsul la frecvenţă:1 1( ) , ,1 1G j TjT jω η ωω η= = =

+ + η – pulsaţia normată.

2 2 2

1 1( ) ( ) ,1 1

M G jT

ω ωω η

= = =+ +

Din aceasta rezultă modulul şi faza:

( ) arg ( ) arctg arctg .G j Tϕ ω ω ω η= = − = −

16

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 31

Răspunsul la frecvenţă: 1 1( ) , .1 1G j TjT jω η ωω η= = =+ +

Din aceasta se obţin:

,1

11

1)( 222 +=

+=

ηωω

TR

(2.9)

Fig.VI.5

.11

)( 222 +−=

+−=

ηη

ωωω

TTI

Din (2.9) se obţine:( ) ,( )

IR

ωη ω= −

care se înlocuieşte în R(ω).R 2 + I 2 – R = 0,

η = –∞ 1

0,5

–0,5

R

IPl. G(s)

0,5

η = +∞ η = 0

η = 0,5

η = 1η = 2

η = – 1

η = Tω

Rezultă locul de transfer:

care este un cerc de raza 0,5 şi cu centrul în (1/2, 0), fig.VI.5.

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 32

2 2 21 1( ) 20lg 20lg , ( ) arctg arctg .

1 1dBA TT

ω ϕ ω ω ηω η

= = = − = −+ +

Fig.VI.6

Diagrama Bode

0

–20

–40

–60

Ad B 3dB

–90°

–45°

0°

φ

2 5 2 5 2 5 2 510 10 10 10 10–2 –1 0 1 2 Tω = η

lg Tω–2 –1 0 1 2

Ad B

a

b

φ

17

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 33

2 2 21 1( ) 20lg 20lg , ( ) arctg arctg ,

1 1dBA TT

ω ϕ ω ω ηω η

= = = − = −+ +

se obţin aproximantele:≅+−= 1lg20)( 2ηωdBA

lg( ) arctg10 ηϕ ω =− ≅

Din

Fig.VI.6

0, 0 1,

20lg , 1 .

η

η η

≤ <<⎧≅ ⎨

− << < +∞⎩

0 , 0 0,1,

45 (lg 1), 0,1 10,

90 , 10 .

η

η η

η

≤ <<⎧⎪⎪≅ − + < <⎨⎪− << <+∞⎪⎩

3dB0

–20

–40

–60

Ad B

–90°

–45°

0°

φ

2 5 2 5 2 5 2 510 10 10 10 10–2 –1 0 1 2 Tω = ηlg Tω–2 –1 0 1 2

Ad B

a

b

φ

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 34

AdB(ω) are 2 asimptote:

Asimptotele seintersectează la

AdB(ω) = 0,AdB(ω) = – 20 lgη , fig. VI.6.a.

η =1 (ω =1/T).Aceasta este numită

pulsapulsaţţiaia de de frângerefrângere.

ϕ (ω) se aproximează prin 3 segmente de

dreaptă, fig. VI.6.b.

La pulsaţia de frângere: ϕ (1/T)= – 45°.Fig.VI.6

0

–20

–40

–60

Ad B

–90°

–45°

0°

φ

2 5 2 5 2 5 2 510 10 10 10 10–2 –1 0 1 2 Tω = ηlg Tω–2 –1 0 1 2

Ad B

a

b

φ

18

M. Voicu, IA (VI) C 9 (35) 35

Panta FTJ la frecvenţeînalte, respectiv pentru

η > 1 (ω > 1/T),este:

–– 2020 dBdB/dec/dec.

BandaBanda de trecerede trecere a FTJ este intervalul 0 ≤η ≤1 (ω<1/T).

Elementul T1 este un filtru «trece - jos» (FTJ), fig. VI.6.

η = 1 (ω = 1/T) este pulspulsaaţţiiaa de tăiere de tăiere a FTJ.

–90°

–45°

0°

φ

Fig.VI.6

0

–20

–40

–60

Ad B

2 5 2 5 2 5 2 510 10 10 10 10–2 –1 0 1 2 Tω = ηlg Tω–2 –1 0 1 2

Ad B

a

b

φ

1

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 1

c) Elementul de întârziere de ordinul 2 (T2)

2

2 2( ) .2

n

n nG s

s sω

ζω ω=

+ +

2

2 2 21( ) , ,

2 1 2n

nn nG j

j jω ωω η ωω ω ζω ω η ζη

= = =− + − +

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 1( )

( ) 4 (1 ) 4n n

n nR ω ω ω ηω

ω ω ζ ω ω η ζ η− −= =

− + − +

Pentru s = jω se obţine răspunsul la frecvenţă:

3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2( ) .

( ) 4 (1 ) 4n

n nI ζω ω ζηω

ω ω ζ ω ω η ζ η− −= =

− + − +

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 2

1,6

1,4

1,2

1,1

0,90,8

0,64

η=0,5

–10°

–20°

–30°

–40°

–50°–60°

–70°–80°–90°–110°

–120°

–130°

–140°

–150°

–160°

–170°

0,4

1

0,8

0,3

0,91ζ=1,5

Fig.VI.7

Locul de transfer2

2 2 2 21( )

(1 ) 4R ηω

η ζ η−=

− +

2 2 2 22( ) .

(1 ) 4I ζ ηω

η ζ η−=

− +

arc de rază 1

jIR

Pl. z0,25 0,5 0,75 1

1

0°

–180° η=0η=∞

2

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 3

2

2 2 21( ) , ,

2 1 2n

nn nG j

j jω ωω η ωω ω ζω ω η ζη

= = =− + − +

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21( ) 20lg ( ) 20lg 20lg

( ) 4 (1 ) 4n

dBn n

A M ωω ωω ω ζ ω ω η ζ η

= = =− + − +

Diagrama Bode

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21( ) ( )

( ) 4 (1 ) 4n

n n

M G j ωω ωω ω ζ ω ω η ζ η

= = =− + − +

2 2 22 2( ) arg ( ) arctg arctg .

1n

nG j ζω ω ζηϕ ω ω

ω ω η= = − = −

− −

2 2 22 2( ) arctg arctg .

1n

n

ζω ω ζηϕ ωω ω η

= − = −− −

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 4

ω/ωn=η10010–1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9101–40

–30

–20

–10

0

10

20

–90o

–180o

0o

–1 0 1 lg ω/ω n

AdB φ

AdB

ζ = 0,05

Diagrama Bode

Fig.VI.8

0,20,4

0,60,8

1

φ

ζ= 0,05

0,20,40,60,81

3

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 5

Fig.VI.8 ω/ωn=η10010–1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9101

–40

–30

–20

–10

0

10

20

–90o

–180o

0o

–1 0 1 lg ω/ω n

AdB φ

AdB

ζ = 0,050,20,40,60,8

1

φ

ζ= 0,05

0,20,40,60,81

( ) 12

dBmaxd10 , 0 20lg 2 1 ,d2

dBA Aζ ζ ζη

−≤ < = → = −Pentru

2

2

1 2 ,

1 2 .r

r n n

η ζ

ω ω ζ ω

= −

= − <

iar ieşireaamplitud. 1 (0dB),

are amplitudinea:

Intrarea areRRezonanezonanţţaa

la pulsaţia:

( ) 12dBmax 20lg 2 1 0.A ζ ζ

−= − >( ) 12

max( ) 2 1 1M ω ζ ζ−

= − > sau

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 6

AdB(ω) are două asimptoteasimptote. Pentru ζ∈[0,4 , 0,8],din (2.16) rezultă:

( )dBA ω ≅

Pulsaţia de frângerefrângere:η = 1 (ω =ωn), lgη = 0.

)2,0( rηPentru 2/10 <≤ζ există banda debanda de rezonanrezonanţţăă.0)( >ωdBA))21(2,0( 2ζω −n pt. caresau

Fig.VI.8 ω/ωn=η10010–1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9101

–40

–30

–20

–10

0

10

20

–90o

–180o

0o

–1 0 1 lg ω/ωn

AdB φ

AdB

ζ = 0,050,20,40,6

0,81

φ

ζ= 0,05

0,20,40,60,81

2 2 2 2( ) 20 lg (1 ) 4 .dBA ω η ζ η= − − + (2.16)

0, 0 1,

40lg , 1 .

η

η η

≤ <<⎧⎪≅ ⎨− << < +∞⎪⎩

4

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 7

Fig.VI.8 ω/ωn=η10010–1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9101

–40

–30

–20

–10

0

10

20

–90o

–180o

0o

–1 0 1 lg ω/ωn

AdB φ

AdB

ζ = 0,050,20,40,60,8

1

φ

ζ= 0,05

0,20,40,60,81

Elementul T2 este un «filtru trece-jos» (FTJ)

panta este –– 4040 dB/decdB/dec.

Pentru η > 1 (ω >ωn).

La pulsaţia naturală(η = 1 ω = ωn)

η = 1 (ω = ωn) este

pulsapulsaţţia de tăiereia de tăiere a FTJ

(= puls. de frângere).

η ∈[0, 1] (ω∈[0,ωn]) – banda de trecere banda de trecere a FTJ.

ϕ (ωn) = –90°.

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 8

d) Elementul integrator (I):

Răspunsul la frecvenţă:

.1)(sT

sGI

I =

1 1( ) , ,I II

G j TjT jω η ωω η= = =

1 1( ) 0, ( ) ,I

R I Tω ω ω η= = − = −

0( ) 2 0 lg , ( ) 9 0 .d BA ω η ϕ ω= − = −

Fig.VI.9Fig.VI.10

–1 0 1 lg η

φ

–90o

0o

–20

0

20

AdB

AdB

2 5 2 5 TI ω = η10–1 100 101

φω= –∞ω = +∞

ω = +0

ω = – 0 I

R

Pl. z

Locul de transfer:

Diagrama Bode:

5

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 9

e) Elementul derivator (D): .)( sTsG DD =

( ) , ,D D DG j jT j Tω ω η η ω= = =

( ) 0, ( ) ,DR I Tω ω ω η= = =

20lg 20lg , ( ) 90 .dB DA T ω η ϕ ω= = =

Fig.VI.11

Fig.VI.12

Răspunsul la frecvenţă:

Locul de transfer:

Diagrama Bode:

–1 0 1 lg η

φ

90o

0o–20

0

20

AdB

AdB

2 5 2 5 TI ω = η10–1 100 101

φ

ω= –∞

ω = +∞

ω = +0ω = – 0

I

R

Pl. z

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 10

lg|G(jω)| şi ϕ (ω) pot fi aproximate grafic prin linii frânte.

2.4. Trasarea diagramei Bode prin linii aproximante

0,1 110( ) .10 1sG s s s

+= ⋅+

Să se traseze diagrama Bode pentru

Exempul 2.1

2 2

0

( ) 20lg10 20lg 20lg 1 (0,1 ) 20lg 1 (10 )

( ) 90 arctg0,1 arctg10 .

dBA ω ω ω ω

ϕ ω ω ω

⎧ = − + + − +⎪⎨⎪ = − + −⎩

1 0,110( ) ,1 10js j G j j j

ωω ω ω ω+= ⇒ = ⋅+

oarg ( ) 90 arctg(0,1 ) arctg(10 ).G jω ω ω= − + −2

21 (0,1 )10( ) ,1 (10 )

G j ωω ω ω+= ⋅+

6

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 11

o

o o 2

o 2

0, 10 ,arctg(0,1 ) 45 [lg(0,1 ) 1], 10 10 ,

90 , 10 .

ωω ω ω

ω

<⎧⎪≅ + ≤ ≤⎨⎪ <⎩

12

1

0, 10 ,20lg 1 (0,1 )

20lg(0,1 ), 10 ;

ωω

ω ω

<<⎧⎪+ ≅ ⎨>>⎪⎩

12

1

0, 10 ,20lg 1 (10 )

20lg(10 ), 10 ;

ωω

ω ω

−

−

<<⎧⎪− + ≅ ⎨− >>⎪⎩

2

o 2 0

o 0

0, 10 ,arctg(10 ) 45 [lg(10 ) 1], 10 10 ,

90 , 10 .

ωω ω ω

ω

−

−<⎧

⎪− ≅ − + ≤ ≤⎨⎪− <⎩

2 2

0

( ) 20lg10 20lg 20lg 1 (0,1 ) 20lg 1 (10 )

( ) 90 arctg0,1 arctg10 .

dBA ω ω ω ω

ϕ ω ω ω

⎧ = − + + − +⎪⎨⎪ = − + −⎩

10–1

100

101

102

103 ω

90o

450o

φ4020

0

AdB

0o

–45o

–90o

φ0

–20–40

AdB

–3 –2 –1 0 110 10 10 10 10 ω

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 12

Diagrama Bodea b

c

d

e

f

g

2

2

0

( ) 20lg10 20lg

20lg 1 (0,1 )

20lg 1 (10 )

( ) 90

arctg0,1

arctg10 .

dBA ω ω

ω

ω

ϕ ω

ω

ω

= − +⎧⎪⎪ + + −⎪⎪

− +⎪⎨⎪ = − +⎪⎪ + −⎪⎪ −⎩

10–3 10–2 10–1 100 101 102 103 ω

90o

45

0o

–45o

–90o

–135o

–180o

φ

AdB

lg ω–3 –2 –1 0 1 2 3

φ

8060

40

20

0

–20

–40

–60

–80

AdB

b

ac

d

e

f

g

Fig.VI.13

7

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 13

3. Principiul non-anticipării

3.1. Filtre ideale

Conform definiţiei răspunsului la frecvenţă se scrie:( )( ) ( ) ,jG j M e ϕ ωω ω=

( ) ( ) , ( ) arg ( ).M G j G jω ω ϕ ω ω= =

Răspunsul la frecvenţă G(jω) = R(ω) + jI(ω) satisface:

),()(),()( ωωωω IIRR −=−=−

M M( ) ( ), ( ) ( ).− = − = −ω ω ϕ ω ϕ ω

),()()()( ωωωω jIRjGjG −==−

G(jω) nu satisface principiul non-anticipării.

De exemplu G(jω) = 0 pe anumite intervale ale lui ω.

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 14

Sistemul dinamic (3.1) are o comportare idealăcomportare ideală dacă:Definiţia 1

0 .const( ) 0,M Mω = = > (3.6)const.( ) , 0.T Tϕ ω ω= − = ≥ (3.7)

Abaterile faţă de (3.6) şi/sau (3.7) reprezintă distorsiunidistorsiuni.Din (3.1) şi (3.6), (3.7) rezultă:

.)( 0ωω jTeMjG −= (3.8)

Transf. intrare-ieşire:

0( ) ( ).y t M u t T= − (3.10)

),()( 0 ωω ω jUeMjY jT−= (3.9)Fig. VI.15

a. Elementul cu timp mort( )( ) ( ) .jG j M e ϕ ωω ω= (3.1)

ω

M(ω), φ(ω)M(ω) = M0

φ(ω) = Tω

8

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 15

t

y(t) = h(t)

Fig. VI.16

u(t) = σ(t),

0( ) ( ).h t M t Tσ= − (3.12)

Forma (ideală) (3.12) - un deziderat:se doreşte ca y(t) să fie ca u(t),

T ≥ 0 fiind durata propagării lui u(t) .

).()( 0 TtMtg −= δ (3.11)

u(t) = δ (t),

Astfel de elem. există în procesele de:

transport de substanţă,

transfer de energie,

propagare de semnale.

răspunsul la impulsul Dirac :

răspunsul indicial (fig.VI.16) :

1u(t) = σ(t)

t

M0

T

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 16

b. Filtre ideale fără distorsiuni de fază

Definiţia 3

se numeşte filtru ideal fără distorsiuni de fazăfiltru ideal fără distorsiuni de fază.

( ) constant,

( ) ,

M

T

ω

ϕ ω ω

≠⎧⎪ ⇒⎨= −⎪⎩

,)()( ωωω jTeMjG −=

Un sistem în care:

Definiţia 2(3.10) se numeşte sistem sistem ((elementelement)) cu timp mortcu timp mort.

0( ) ;TsG s M e−= T ≥ 0 – timpul mort.Funcţia de transfer a sistemului (3.10) este:

0( ) ( ).y t M u t T= − (3.10)

9

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 17

1 1( ) ( ) ( )[cos sin ]2π 2πj tm t M e d M t j t dωω ω ω ω ω ω

+∞ +∞

−∞ −∞= = + =∫ ∫

rezultă

01( ) ( ) ( )cos ( ) , .πg t m t T M t T d tω ω ω

+∞= − = − ∈∫ R

,)()( ωωω jTeMjG −=Aplicând t. translaţiei originalului în

),(=)( tmtm −

Pentru M(ω) absolut integrabil există un original

M(ω) este reală şi pară; rezultă că şi m(t) este reală şi pară:

1 1( )cos ( )sin2π 2πM td j M tdω ω ω ω ω ω+∞ +∞

−∞ −∞= + =∫ ∫

m(t) = F –1M(ω).

01 ( )cos .π M tdω ω ω

+∞= ∫ = 0

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 18

b1. Filtre ideale «trece-jos»Definiţia 4Răspunsul la frecvenţă

0 1 1

1 1

, [ , ]( )

0, ( , ) ( , ).

MM

ω ω ωω

ω ω ω

∈ −⎧⎪=⎨⎪ ∈ −∞ − ∪ +∞⎩

Fig.VI.18

[–ω1, ω1] este banda de trecerebanda de trecere. ω1 este pulsapulsaţţiiaa de tde tăăiereiere.


al unui filtru idealfiltru ideal ««trecetrece--josjos»» (FITJ) se defineşte prin

ω

M (ω), φ(ω)

φ(ω)

ω1− ω1

M 0

M(ω)

10

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 19

Rapiditatea este proporţională cu banda de trecere a FITJ.Rapiditatea este invers proporţională cu durata de creştere tc.

tc este invers proporţională cu banda de trecere a FITJ.

100 0

1 1( ) ( )cos ( ) cos ( ) ,π πg t M t T d M t T dωω ω ω ω ω

+∞= − = −∫ ∫

Măsura rapidităţii = panta maximă normată a răsp. indicial:

max 0 0' '( )h M h T M=

max( ) ( ).g t g g T≤ =

0 1( ) π .g T M ω= =

Aceasta este o regulă generală pentru filtrele «trece-jos».

10 0 10

1 1( ) 0,π πg T M d Mωω ω= = ≥∫

0( ) ( ) , '( ) ( ) ,th t g t dt h t g t= =∫ '

max 0max '( ) '( ) ( ).th h t h T g T>= = =

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 20

b2. Filtre ideale «trece-sus»Definiţia 5Răspunsul la frecvenţă

1 1

0 1 1

0, ( , )( )

, ( , ] [ , ).M

M

ω ω ωω

ω ω ω

∈ −⎧⎪=⎨⎪ ∈ −∞ − ∪ +∞⎩

Fig.VI.21

(–ω1, ω1) este banda de banda de blocareblocare. ω1 este pulsapulsaţţiiaa de tde tăăiereiere.


al unui filtru idealfiltru ideal ««trecetrece--sussus»» (FITS) se defineşte prin

ω

M (ω), φ(ω)

φ(ω)

ω1− ω1

M 0M(ω)

11

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 21

b3. Filtre ideale «trece-bandă»

Definiţia 5

Răspunsul la frecvenţă

[–ω2, –ω1], [ω1, ω2] sunt bbeennzilezile de de treceretrecere.


al unui filtru idealfiltru ideal ««trecetrece--bandăbandă»» (FITB) se defineşte prin

(fig.VI.23.a):

0 2 1 1 2

2 1 1 2

, [ , ] [ , ]( )

0 , ( , ) ( , ) ( , ) ,

MM

ω ω ω ω ωω

ω ω ω ω ω

∈ − − ∪⎧⎪= ⎨⎪ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞⎩

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 22

φ(φ)/2

ω1–ω1

M0

M(ω)

φ(ω)/2

FITS

ω

M(ω), φ(ω)

FITJ

ω

M(ω), φ(ω)

M0

–ω2

M(ω)

ω2

φ(ω)

a

FITB

ω

M(ω), φ(ω)

b

u yFITJFITS

FITB

Fig. VI.23. a, b

M(ω)M0

–ω2 ω1 ω2–ω1

12

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 23

b4. Filtre ideale «opreşte-bandă»

Definiţia 6

Răspunsul la frecvenţă

(–ω2, –ω1), (ω1, ω2) sunt bbeennzilezile de de blocareblocare.


al unui filtru idealfiltru ideal ««opreopreşştete--bandăbandă»» (FIOB) se defineşte prin

(fig. VI.23.c):

0 2 1 1 2

2 1 1 2

, ( , ] [ , ] [ , )( ) .

0 , ( , ) ( , )

MM

ω ω ω ω ωω

ω ω ω ω ω

∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞⎧⎪= ⎨⎪ ∈ − − ∪⎩

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 24

φ(φ)

φ(ω)

FITJ

ω

M(ω), φ(ω)

FITS

ω

M(ω), φ(ω)

φ(ω)

a

FIOB

ω

M(ω), φ(ω)M(ω)M0

–ω2 ω1 ω2–ω1

b

u y

FITJ

FITSFITB+

+

ω1–ω1

M0

M(ω)

M0

–ω2

M(ω)

ω2

Fig. VI.23. c, d

13

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 25

Exemplul 3.2

3.2. Sisteme dinamice realisteRăspunsul la frecvenţă al filtrelor reale prezintă distorsiunidistorsiunide amplitudine şi de fază.

Fig.VI.24. a

Cel mai simplu filtru electric «trece-jos» – fig.VI.24.a.

Transferul intrare – ieşire în tensiuni: 1( ) ,

1G s s j

Tsω= = →

+

ω1 este pulsapulsaţţiaia de tde tăăiereiere, în sensul FTJ real.

C

T = RC, ω1 = 1/T

R

ω1– ω1

1

0,707

ω

M(ω)

1( ) 1/ 2 0,707.M ω = =12 2

1( ) , 1/ ;1

M TT

ω ωω

= =+

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 26

Exemplul 3.3

Fig.VI.24. b

Cel mai simplu filtru electric «trece-sus» – fig.VI.24.b.

Transferul intrare – ieşire în tensiuni:

( ) ,1

TsG s s jTs

ω= = →+

ω2 este pulsapulsaţţiaia de tde tăăiereiere, în sensul FTS real.

T = RC, ω2 = 1/T

R

1

ω2– ω2

0,707

ω

M(ω)2( ) ( )/ 2 1/ 2 0,707.M Mω = ∞ = =

22 2( ) , 1/ ;

1

TM TT

ωω ωω

= =+

C

14

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 27

Exemplul 3.4

Fig.VI.24. c

Filtru «trece-bandă»; se conectează în cascadă două filtre:unul «trece-jos» şi unul«trece-sus» – fig.VI.24.c; A – amplif.

( )G s =

11 22 2 2 2

1 2

( ) , .( 1)( 1)

TMT T

ωω ω ωω ω

= <+ +

11 2

1 2, .( 1)( 1)

T s T TT s T s= >+ +

FTJ

2

1( 1)T s +

FTS

1

1( 1)T s

T s +

T1,2 = (RC)1,2, ω1,2 = 1/T1,2

R1A

R2 C1C2

0,707

–ω2

1

–ω1 ω2ω1

M(ω)

ω

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 28

AΣ

FTJ

Exemplul 3.5

Fig.VI.24, d

Filtru «opreşte bandă»: se conectează în paralel a două filtre:unul «trece-jos» şi unul «trece-sus» – fig.VI.24.d; AΣ – amplif.

2 2 2 21 2 2

1 22 2 2 21 2

[1 ( ) ] 4( ) , .

( 1)( 1)TT T

MT T

ω ωω ω ω

ω ω− +

= <+ +

+1

11T s +

21 2 2

1 21 2

2 1, .( 1)( 1)TT s T s T TT s T s

+ += >

+ +( )G s =

R2

T1,2 = (RC)1,2, ω1,2 = 1/T1,2

R1

0,707

–ω2

1

–ω1 ω2ω1

M(ω)

ω

FTS

2

2 1T s

T s +

C1

C2

15

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 29

Un rezistor, pe lângă rezistenţa R,are şi inductanţa LR.

Observaţia 3.1

Filtrele de la ex. 3.2 – 3.5 au elemente de circuit ideale.Elementele de circuit reale conţin parametri suplimentari.

Fig.VI.25

Dacă LR ≈ 0 şi 1/RC ≈ 0, ele se neglijează, pe intervale defrecvenţă precizabile; rezultă schema din fig.VI.24.a.

Un condensator, pe lângăcapacitatea C, are şi rezistenţa

de pierderi RC.

Prin urmare, un FTJ real are de fapt schema din fig.VI.25.

CONDENSATOR

C

RC

REZISTORR LR

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 30

Un sistem dinamic (real sau abstract) se numeşte realistrealistdacă satisface principiul non-anticipării:

răsprăspunsulunsul ((ieieşşireairea)) nu precede nu precede îîn timp excitan timp excitaţţia ia ((intrintrareaarea)).

Definiţia 8

Această proprietate se exprimă cu ajutorul lui g(t) prin:( ) 0, 0 .g t t≡ < (vezi II.3.2.a)

SistSistemem realistrealist nu este sinonim cu sistsistemem fizic realizabil fizic realizabil .Observaţia 3.2

Se spune că un sistem abstract este fizic realizabil dacăel este concretizabil ca sistem real. Evident, este posibil ca un sistem abstract realist să nu fie fizic realizabil.

16

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 31

Un sist. din. lin. realist este complet caracterizabil fie de partea pară, fie de partea impară a răspunsului la impuls.

Teorema 1

D. Cu gp(t), gi(t), părţile pară şi impară ale lui g (t) se scrie:

g t g t g t tp i( ) ( ) ( ), .= + ∈R

g t g t tp i( ) ( ) , ,+ ≡ <0 0

g t g t tp i( ) ( ) , .− + − ≡ >0 0

⎩⎨⎧

>≡<

=+=.0,)(2)(2,0,0

)()()(ttgtgt

tgtgtgip

ip

Fig.VI.26

.0,0)()( >≡− ttgtg ip

.0),()( >≡ ttgtg ip

t

g(t), gp(t), gi(t)

gp(t)

gi(t) = gp(t)gi(t)

g(t) g(t)

Exemplu

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 32

g(t) al unui sist. dinamic liniar realist este complet determinat

fie de partea reală, fie de partea imaginară a lui G(jω).

Teorema 2

),()()()( tgjIRjG F=+= ωωω

se pot scrie relaţiile:

=+=+= ∫+∞

∞−

− dtetgtgjIRjG tjip

ωωωω )]()([)()()(

( )cos ( )sin ( )cos ( )sin .p p i ig t tdt j g t tdt g t tdt j g t tdtω ω ω ω+∞ +∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞ −∞= − + −∫ ∫ ∫ ∫

∫+∞

∞−=−+= dttjttgtg ip ]sin)][cos()([ ωω

D. Pentru g(t) = gp(t) + gi(t) şi

= 0( ) ( ) ( ) ( )cos ( )( )sin .p iG j R jI g t tdt g t j tdtω ω ω ω ω

+∞ +∞

−∞ −∞= + = + −∫ ∫

= 0

17

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 33

1 1( ) ( ) ( ) ,2πj t

pg t R R e dωω ω ω+∞−−∞

= = ∫F

∫+∞

∞−= dtttgR p ))(cos()( ωω

tj ωsin−

( ) ( )( sin )ijI g t j t dtω ω+∞

−∞= −∫

cos tω+

1 1( ) ( ) ( ) .2πj t

ig t jI jI e dωω ω ω+∞−−∞

= = ∫F

),()( tgdtetg ptj

p F==∫+∞

∞−

− ω

),()( tgdtetg itj

i F==∫+∞

∞−

− ω

se obţine:

Din

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 34

şi ţinând seama de

0 , 0( ) 1 1( ) ( ) , 0.π π

j t j t

tg t

R e d jI e d tω ωω ω ω ω+∞ +∞

−∞ −∞

<⎧⎪= ⎨ ≡ >⎪⎩ ∫ ∫

1( ) ( ) ,2πj t

pg t R e dωω ω+∞

−∞= ∫

1( ) ( ) .2πj t

ig t jI e dωω ω+∞

−∞= ∫

⎩⎨⎧

>≡<

=+=.0,)(2)(2,0,0

)()()(ttgtgt

tgtgtgip

ip

se obţine:

Folosind

18

M. Voicu, IA (VI) C 10 (35) 35

0[ ( ) cos ( )sin ] 0, 0.R t I t d tω ω ω ω ω

+∞+ = >∫

( ) ( ) , 0 ,j t j tR e d jI e d tω ωω ω ω ω+∞ +∞

−∞ −∞≡ >∫ ∫

se obţine ( ) cos ( ) sinR td R j tdω ω ω ω ω ω+∞ +∞

−∞ −∞+ ≡∫ ∫

Din

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−+≡ ,sin)(cos)( ωωωωωω tdjjItdjI

∫+∞

0cos)(2 ωωω tdR ∫

+∞−≡

0,sin)(2 ωωω tdI

= 0

0 , 0 ,( ) 1 1( ) ( ) , 0 ,π π

j t j t

tg t

R e d jI e d tω ωω ω ω ω+∞ +∞

−∞ −∞

<⎧⎪= ⎨ ≡ >⎪⎩ ∫ ∫

0=

cosωt+jsinωt cosωt+jsinωt

1

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 1

G j R jI( ) ( ) ( ),ω ω ω= +

Teorema 3 (transformarea Hilbert)O condiţie nec. şi suf. ca să fie răsp. la frecv. al unui sist. din. lin. realist este ca:

( )1( ) ,πRI dηω ηω η

+∞

−∞= −

−∫D. Necesitatea.

( )1( ) .πIR dηω ηω η

+∞

−∞= +

−∫

Se aplică transf. Fourier:

1 1( ) ( ) π ( ) ,2πG j G j jω ω δ ωω⎛ ⎞= ∗ +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ),2π 2G j G j G jjω ω ω δ ωω= ∗ + ∗

( ) ( )1( ) ( ) .πR jIR jI dj

η ηω ω ηω η

+∞

−∞

++ =−∫

de pătrat integr.,

)( ωjG

1 1( ) ( ) ,πG j G jjω ω ω= ∗

( ) ( ) ( ).g t g t tσ⇒ =

( )tσF

1 ( )( ) .π

RjI dj

ηω ηω η

+∞

−∞=

−∫( )1( ) ,π

jIR djηω ηω η

+∞

−∞=

−∫

( ) 0, 0,g t t≡ <

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 2

Suficienţa.

1 2 2( ) ( ) ( ) .2π ( )R jI d jIj jω η η ωω η ω+∞

−∞= = ∗

−∫

Cu 2 sgn ,tjω = F

(3.45)

( )1( ) πIR dηω ηω η

+∞

−∞= +

−∫

din (3.45) rezultă:

.sgn)()()()()( ttgtgtgtgtg iipi +=+=

se scrie:

Sistemul dinamic liniar este realist.

( ) ( ) 0, 0,( )

( ) ( ) 2 ( ), 0.

i i

i i i

g t g t tg t

g t g t g t t

− = <⎧⎪= ⎨+ ≡ >⎪⎩

Utilizând de ex.

( ) ( ) sgn ,p ig t g t t=

2

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 3

Să se arate că următoarea funcţie de transfer satisfaceteorema 3.

Exemplul 3.6

1( )π

I ω+∞

−∞=− ∫

2 2 0

1 1 1 1lim limπ 1 1

d d dα ω ε α

α α ω εα ε

η ω η η ηω η ω η ω η

+ − +

− − +→+∞ →

⎡ ⎤⎛ ⎞+= − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

R(η)

2 2

1 1 11 1

dη ω ηπ ω η ω η

+∞

−∞

⎛ ⎞+=− + =⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠

∫2

1 1( 1) ( )

dηη ω η+ −

1( ) .1G s s=+

2 21( ) , ( ) ,

1 1R I ωω ω

ω ω= = −

+ +

Pentru s = jω rezultă

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 4

22

1 1 1lim ln( 1) arctgπ 1 2

α αα αα

η ω ηω

+ +− −→+∞

⎡= − + + −⎢+ ⎣

22

1 1 1lim ln( 1)π 1 2α

αω →+∞

= − ++

21 ln( 1)2

α− + 2 arctgω α⎡

+ −⎢⎣

2 2

1 1 lim 2 arctg ln ( ).π 1 1

Iα

ω α ωω α ωω ω α ω→+∞

⎛ ⎞+= − + = − =⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠

( )0lim ln ln

αω εα ω εε

ω η ω η+ −− +↓

⎤− − + − =⎥⎦

0lim( lnε

ε↓

− ln ln lnω α ω α ε− + + − − )⎤ =⎥⎦

3

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 5

Teorema 4

,0Re,||

|)(| ≥≤ ss

MsG (M > 0);

D. Există1( ) ( ) .

2πj tg t G j e dωω ω+∞

−∞= ∫ (3.47)

Pentru fig.VI.1,1 ( ) 0, 0,

2πst

MNPMG s e ds t

j= <∫

(3.48)

Din (3.47) şi (3.48) g(t) = 0, t < 0.

(suportul obs. 1.3 de la II.1.4)

Pt. R→+∞, = 0.

Fig. VI.1

= – g(t)1 1( )

2π 2πst

MNPG s e ds

j j+∫ ( ) (j tG j e d jωω ) 0, 0.tω

−∞

∞= <∫

cf. t. reziduurilor:

G(s) – olomorfă în Re s ≥0; G(jω), ω∈R, – abs. integr.; şi

atunci G(jω) este răsp. la frecv. al unui sist. din. liniar realist.

M

N

P Pl. s

R = +∞

–j∞

+j∞

s = jω

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 6

Teorema 5 (Paley - Wiener)O condiţie nec. şi suf. ca M(ω) > 0, ω∈R, de pătrat integr., să fie modulul răsp. la frecv. al unui sist. din. lin. realist este:

2

ln ( ).

1M

dω

ωω

+∞

−∞< +∞

+∫ (3.49)

FTJ cu M(0)=1, 0<M(ω)<1, ω≠0,şi

Exemplul 3.7

2

21dω ω

ω+∞

−∞ +∫

Caz limită: "clopotul lui Gauss":cf. (3.49):

Cu AdB(ω) = 20lgM(ω) rezultă:

este divergentă.Urmează: |lnM(ω)|<ω2.

.)(2ωω −= eM

–8,7ω2 < AdB(ω) < 0.

–8,7ω2

AdBω

Fig.VI.27

lim ( ) 0.Mω ω→±∞ =

4

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 7

CCândând există o rela există o relaţţieie şşi i îîntrentre MM((ωω)) şşi i ϕϕ ((ωω))??Fie un sistem cu răspunsul la frecvenţă G(jω) şi un altul cu :

3.3. Sisteme de defazaj minim

G j G j M e M jlj( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ).( )ω ω ω ω ϕ ωϕ ω= = = + (3.50)

cf. transformării Hilbert:

,)(1)( ηηω

ηπ

ωϕ dA∫

∞+∞− −

−=(3.51)1 ( )( ) .A dϕ ηω η

π ω η+∞

−∞=

−∫(3.52)

Gl(s) = lnQ(s) – ln P(s).

Cu A(ω) = ln M(ω),

CondiCondiţţiileiileBodeBode

, cu Q(s), P(s) prime.Fie ( )( )( )

Q sG sP s

=

Zerourile lui Q şi ale lui P sunt poli pt. lnQ şi respectiv lnP.(3.51-52) au loc numai dacă Q şi P au zerourile în Re s < 0.

Cf. (3.50) se scrie:

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 8

Definiţia 9

Sistemele din. liniare cu toţi polii şi zerourile în Re s < 0se numesc sist. de defazaj minimdefazaj minim (SDM).

Sistemele cu toţi polii şi o parte din zerouri în Re s < 0

se numesc sist. de defazaj defazaj neminimneminim (SDNM).

DefazajDefazajulul introdus de

(3.51) ,)(1)( η

ηωη

πωϕ dA

∫∞+∞− −

−=1 ( )( ) .A dϕ ηω ηπ ω η

+∞

−∞=

−∫ (3.52)

CondiCondiţţiile iile BodeBode

( )intrare iesire intrare intrare( ) ( ) ( ).ψ ω ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ω= − = − + = −

( )( ) ( ) jG j M e ϕ ωω ω= se definese defineşştete prin:prin:

5

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 9

Exemplul 3.8

Să se compare defazajele.

Modulele satisfac:

1 2

1( )( 1)( 1)m

bsG sa s a s

+=

+ +

1 2

1( ) .( 1)( 1)nm

bsG sa s a s

−=

+ +

Fie SDM: cu a1, a2, b > 0, şi

2

2 21 2

1 ( )( ) ( ) .[1 ( ) ][1 ( ) ]m nm

bM Ma a

ωω ωω ω

+= =

+ +

1 2

1( ) ,(1 )(1 )m

jbG jja ja

ωωω ω+

=+ + 1 2

1( ) .(1 )(1 )nm

jbG jja ja

ωωω ω

− +=

+ +Avem

SDNM:

În mulţ. s. realiste cu acelaşi M(ω), SDM are defazajul minim.

SDM satisfac (3.51), (3.52) – condiţiile lui Bode.

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 10

Defazajele: 1 2( ) ( ) arctg arctg arctg ,m m bω a aψ ω ϕ ω ω ω= − = − + +

21( ) ( ) arctg arctg arctg .nm nm b a aψ ω ϕ ω ω ω ω= − = + +

Evident: ( ) ( ).m nmψ ω ψ ω<

Exemplul 3.9

Pt. SDNM

esenţialul apare în h(t):

h(+0) şi h(+∞) sunt de semne opuse.

1(1 )( )1

k T sG sTs

−=

+

Fazele sunt: 1 2( ) arctg arctg arctg ,m bω a aϕ ω ω ω= − −

21( ) arctg arctg arctg .nm b a aϕ ω ω ω ω= − − −

Fig.VI.28

u(t), y(t)

t

0

1u(t) = σ(t)

y(t) = h(t)

k

1kTT−

6

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 11

Sist. cu acelaşi M(ω) se disting numai prin FITT, cf. (3.54).

Structura SDNM:

)()()(

)( 21sP

sQsQsG =

Multiplic (3.53) cu ( )G s (3.54)

1 2( ) ( )( )

( )mQ s Q s

G sP s

−= – SDM,

2

2

( )( ) 1,

( )t

Q jG j

Q jω

ωω

= =−

(3.53)

filtru ideal filtru ideal ««trecetrece--tottot»»

((FITTFITT))

.)()()()( ωωωω jGjGjGjG mtm ==

)()(

2

2

sQsQ

−−

×

cu: 2

2

( )( )( )t

Q sG sQ s

=−

)()()( 21

sPsQsQ −

=

),( sG t×( )mG s=

2

2

( ) ;( )Q s

Q s×−

P(s), Q1(s) au zerourile Res < 0, iar Q2(s) în Res > 0;Q2(–s) are zerourile Res < 0.

)()(

2

2

sQsQ

−−

×

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 12

a. Integrala pe contur a derivatei logaritmice

4. Stabilitatea şi stabilizarea sistemelor automate

4.1. Principiul argumentului

( )( ) , ,( )Q sG s sP s= ∈C

În ipoteza 1, G(s) satisface:

Fie funcţia de transfer a unui sist. din. liniar;

Ipoteza 1. Fie γ un contur închis, în pl. C, în interiorul căruia G(s) are mγ zerouri şi nγ poli (incl. multipl.).

Teorema 1 (Cauchy)

∫ −=′

γ γγπ ).(2)()( nmjds

sGsG

(4.2)

P(s), Q(s) – relativ prime şi grad Q(s) = m, grad P(s) = n .

7

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 13

Pentru

1 1'( ) 2 Rez ( ) Rez ( ) .( ) i k

G s ds j z pG sμ ν

γ γγπ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ ∑∫

Pt. zi se scrie: G s s z G simi i( ) ( ) ( )= − (zi nu este zero pt. Gi(s)).

∑ ∑ ==μ μγγ1 1 .)(Rez mmz ii

Cf. t. rezid.:

Ca urmare:

D. Fie zi, de multipl. mi, i = 1,μ

lui γ, şi pk, de multipl. nk,, zerourile lui G(s) în interiorul

k =1,ν , polii lui G(s) din lui γ.

Au loc: ∑ =μγ1 ,mmi ∑ =ν

γ1 .nn k

'( ) ln ( )( )

G s d G sG s ds

= zi şi pk sunt poli simpli.

( ) ( )( )

1 ( ) '( ) '( )'( ) .( ) ( )( )

i i

i

m mi i i i i i i

mi ii i

m s z G s s z G s m G sG sG s s z G ss z G s

−− + −= = +−−

Re ( ) .i iz z mγ =

(4.4)

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 14

G(s), cf. ipotezelor 1 şi 2, satisface relaţia:Teorema 2 (Cauchy)

∫ −+−=′

γ γγγγ ππ ).~~()(2)()( nmjnmjds

sGsG

Pt. pk se scrie: (pk nu este pol pt. Gk(s)).

∑ ∑ −=−=ν νγγ1 1 .)(Rez nnp kk (4.5)

Înlocuind (4.4) şi (4.5) în (4.3) se obţine (4.2).Ipoteza 2. În plus G(s) are zerouri şi poli (inclusiv

multiplicităţile) pe conturul γ (cu tangenta continuă).

Ca urmare:

( ) ( )( )

1 ( ) '( ) '( )'( ) .( ) ( )( )

k k

k

n nk k k k k k k

nk kk k

n s p G s s p G s n G sG sG s s p G ss p G s

− − −

−

− − + −= =− +

−−

Re ( ) .k kz p nγ = −

( ) ( ) ( )knk kG s s p G s−= −

mγ nγ

(4.6)

8

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 15

Folosind (4.6) se obţin:

b. Variaţia totală a argumentului

(4.7)

Înlocuind G(s) = |G(s)|e jargG(s) în (4.7), rezultă:

[ln ( )] 2 ( ) ( ).sG s j m n j m nγ γ γ γ γπ π∈ = − + −

[ln ( )] [ln ( )] [arg ( )] 2 ( ) ( ),s s sG s G s j G s j m n j m nγ γ γ γ γ γ γπ π∈ ∈ ∈= + = − + −

( ) 2 ( ) ( ) ,( )G s ds j m n j m nG s γ γ γ γγ

π π′ = − + −∫ (4.6)

[ln ( )]d G sds

[arg ( )] 2 ( ) ( ).sG s m n m nγ γ γ γ γπ π∈ = − + − (4.8)

principiul argumentului principiul argumentului :din care se obţine0=

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 16

pentru conturul conturul NyquistNyquist γN – fig.VI.1:

[arg ( )] 2 ( ) ( ).N N N N NsG s m n m nγ γ γ γ γπ π∈ = − + −

arg ( ) 2 ( ) ( ) ,N N N N

G j m n m nγ γ γ γω π π+∞−∞ = − − − −

rezultă că pe axaaxa imaginarimaginarăă, Re s = 0, pentru ω crescător:

[arg ( )] arg ( ) arg ( ) ,NsG s G j G jγ ω ω−∞ +∞

∈ +∞ −∞= = −

Întrucât argG(– jω) = – argG(jω) şi

Se aplică principiul argumentuluiprincipiul argumentului,

[arg ( )] 2 ( ) ( ) ,sG s m n m nγ γ γ γ γπ π∈ = − + −

Fig. VI.1 –j∞M

+j∞

R =+∞

N

P Pl. s

s=jωγN

respectivarg ( ) 2 ( ) ( ).

N N N NG j n m n mγ γ γ γω π π+∞

−∞ = − + −

9

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 17

Fie m0 şi n0 nr. zerouri finite şi poli finiţi în Re s = 0.

Fie mγ N = m+ şi nγ N = n+ nr. zerouri şi poli în Re s >0.

PentruPentru G(s) punctul de la infinitinfinit, situat pe , situat pe γN , este:

fie un zero (pt.m<n), fie un pol (pt.m>n) de multipl. |m–n|.

Pe γN : ).(~~00 nmnmnm NN −−−=− γγ

0 0arg ( ) 2 ( ) ( ) ( ).G j n m n m m nω π π π+∞−∞ + += − + − + − (4.9)

Din

se obse obţţineine variavariaţţia totală a argumentuluiia totală a argumentului

Întrucât 0arg ( ) 2arg ( ) ,G j G jω ω+∞ +∞−∞ =( ) ( ),G j G jω ω− =

0 0 0arg ( ) ( ) ( ) ( ).2 2

G j n m n m m nπ πω π+∞+ += − + − + − (4.10)din (4.9)

arg ( ) 2 ( ) ( ).N N N N

G j n m n mγ γ γ γω π π+∞−∞ = − + −

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 18

Δ(s) este hurwitzian ⇔

c. Criteriul Cremer-LeonhardFie Δ(s) – polinom monic, cu coeficienţi reali şi gradΔ(s) = r.

Teorema 3 (Cremer-Leonhard)

0arg ( ) .2

j rπω +∞Δ = (4.11)

D. Fie r+, r0 nr. zerouri (cu multipl.) în Re s > 0, Re s = 0.Din (4.10), pentru G(s)=Δ(s),n+=0,n0=0,n=0, m+=r+,m0=r0,m = r,

0 0argΔ( ) .2 2

j r r rπ πω π+∞+= − − + (4.12)

(4.10)0 0 0arg ( ) ( ) ( ) ( ),2 2

G j n m n m m nπ πω π+∞+ += − + − + −

Suf. Din (4.11), (4.12): r+ = 0, r0 = 0; Δ(s) – hurwitzian.Nec. Δ(s) – hurwitzian: r+= 0, r0 = 0. Din (4.12) rezultă (4.11).

10

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 19

Exemplul 4.1

Conform fig.VI.29,

Fig.VI.2 9

Teorema 4 (Cremer-Leonhard)

Δ(s) este hurwitzian dacă şi numai dacă hodografulΔ(jω), ω ≥ 0, parcurge în sens pozitiv exact r cadraneîn succesiunea lor naturală.

Δ(s) este hurwitzian.

Pl. Δ(s)

–33

ω = +∞ ω = 0

1

0arg ( )2

j rπω +∞Δ =Din condiţia nec. şi suf. este chivalentă cu:

Se trasează hodografulΔ(jω), ω ≥ 0, fig.VI.29.

Fie polinomulΔ(s) = s3+17s2+2s+1.

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 20

a. Utilizarea locului de transfer

4.2. Criteriul Nyquist

Fie sistemul automat cf. Fig.VI.30

( )( ) ( ) ( ) ,( )d t

Q sG s G s G sP s

= = (4.13)

Gd(s) –sistemul în circuit deschis, m = gradQ, n = gradP, m < n.G0(s)–sistemul în circuit închis,în care:

0( ) ( ) ( )( ) .

1 ( ) ( ) ( ) ( )d d

d

G s G s Q sG sG s F s P s Q s

= = =+ + (4.14)

.)(

)()()(1)(sP

sQsPsGsF d+

=+= (4.15)

fig.VI.30 (coresp. fig.V.1), cu

+ _G(s)Gt(s)

Y(s)Yp(s)

Zerourile lui F(s) coincid cu polii lui G0(s).Polii lui F(s) coincid cu polii lui Gd(s).

11

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 21

Zerourile lui F(s) şi polii lui G0(s) coincid: z+ zerouri sunt în Re s > 0 şi z0 – în Re s = 0.

Polii lui F(s) şi polii lui Gd(s) coincid:n+ poli sunt în Re s > 0 şi n0 – în Re s = 0.

Punctul de la infinit (s = ∞) nu este zero sau pol pentru F(s)deoarece F(s) este raportul a două polinoame de gradul n.

Conform relaţiei (4.9), cu m+=z+, m0=z0, m–n=n–n=0, se scrie:

0 0arg ( ) 2 ( ) ( ).F j n z n zω π π+∞−∞ + += − + − (4.16)

Sistemul automat este BIBO-stabil ⇔ toţi polii lui G0(s)(zerourile lui F(s)!) sunt situaţi în Re s < 0 ⇔ z+=z0=0.

.)(

)()()(1)(sP

sQsPsGsF d+

=+= (4.15)

Studiul stabilităStudiul stabilităţţii ii se se bazeazbazeazăă pepe utilizarea funcutilizarea funcţţiei iei FF((ss)).

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 22

0arg ( ) 2 .F j n nω π π+∞−∞ += + (4.17)

Teorema 5 (Nyquist)

Sist. autom. cf. fig.VI.30 este BIBO-stabil dacă şi numai dacă

Suf. (4.17) cu (4.16) ⇒ z+= 0, z0= 0 ⇒ BIBO-stabilitatea.

Nec. Sist. aut. BIBO-stabil şi z+= 0, z0= 0; din (4.16) ⇒ (4.17).

D. 0 0arg ( ) 2 ( ) ( ).F j n z n zω π π+∞−∞ + += − + − (4.16)

Cf. Teoremei 5, rreactiaeactia negnegativativă are efect ă are efect stabilizstabilizantant dacă dacă şşi numai dacă are loc i numai dacă are loc (4.17),(4.17), respectivrespectiv

se alocă adecvat pse alocă adecvat polioliii sistsistemulemului ui aaututomatomat ..

Sist. în circ. deschis poate fi arbitrar BIBO-instabil!

Gd(s) are n+ şi n0 poli în Re s > 0 şi Re s = 0.

12

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 23

Se reprezintă hodograful Gd(jω), ω ∈R, iar hodograful:

Fig.VI.31

).(1)( sGsF d+= (4.15)

Pl. z

Gd(jω)

Gd(jω)

F(jω)

–1+j0 1

Utilizând:

se poate formula un rezultat bazat pe Gd(s).

rezultă automat faţă de origineasituată în –1+ j0, fig.VI.31.

( ) 1 ( ), R,dF j G jω ω ω= + ∈

Teorema 6 (Nyquist)

Sistemul automat, cf. fig.VI.30, este BIBO-stabil locul Gd(jω) înconjoară punctul –1+ j0, in sens pozitiv,

de n++n0/2 ori, pt. ω crescător de la –∞ la +∞.⇔⇔

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 24

Teorema 7 (Nyquist)Sistemul automat, cf. fig.VI.30, în care Gd(s) are cel mult doi poli în s = 0 şi restul sunt în Re s < 0, este BIBO-stabil

la parcurgerea locului Gd(jω), pentru ω crescătorde la – ∞ la + ∞, punctul –1+ j0 rămâne la stângaşi în afara lui.

Gd(jω) se parcurge pentru ω crescător de la – ∞ la + ∞, adică în sens negativ pe c. Nyquist, fig.VI.1.

Punctele situate la dreapta locului Gd(jω) sunt interioare.Se haşureză partea dreaptă a locului Gd(jω).

Dacă –1+ j0 nu este în zonă haşurată ⇒ el este în exteriorul loc. Gd(jω).

Caz particular

⇔⇔

13

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 25

Exemplul 4.2

Fie SA cf. fig.VI.30, cu Fig.VI.30

Cf. tabelului:

Fig.VI.32

Gd(jω) este reprezentat în fig.VI.32.–1+ j0 este în exteriorul locului Gd(jω).

Cf. teoremei 7 SA este BIBO-stabil.

Gd(jω)

20–1 5 10 15

–15

–10

–5

5

10

15

Pl. z

0,6310,93

ω= 00,4

0,8

+ _G(s)Gt(s)

Y(s)Yp(s)

0–4·10–2–2,2·10–2–10–12,6–18≈02,251,080Im Gd(jω)0–2·10–4–2·10–2–1≈01020,47,75,35Re Gd(jω)

+∞1021010,930,80,630,40,20ω

2

3 24 10 5( )

2 1ds sG s

s s s+ +=

+ + +al cărei numitor este hurwitzian.

4 2 4 2

6 4 2 6 4 2(2 4 5) (4 11 5)Re ( ) , Im ( ) .

2 3 1 2 3 1d ds j G j G jω ω ω ω ωω ω ωω ω ω ω ω ω− + − − + −= ⇒ = =

+ − + + − +

ω< 0

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 26

Caz limită: Gd(jω) = –1+j0. G0(s) are poli în Re s = 0.SA este BIBO-instabil; –1+j0 se numeşte punctul criticpunctul critic.

Gd(jω) situat departe de p. critic reduce posibilitateaca SA să devină BIBO-instabil la variaţia parametrilor.

Fig.VI.34

R = 1

ω = +∞γ

Gd (jω)

Gd ( jωt )

Gd ( jω−180o)

−1

Pl. z

ωt

argGd (jω)

ω = 0

BIBOBIBO--stabilitateastabilitatea rerativărerativă, fig. VI.34– marginea de amplificaremarginea de amplificare:

m =1/|Gd (jω–180o)|,

pt. ω–180o, cf. argGd (jω–180

o) = – 180o;

– marginea de fază marginea de fază:γ = arg Gd(jωt)+ 180o,

pt. ωt, cf. |Gd (jωt)| = 1 şi arg Gd(jωt)

ωt – pulsaţia de tăiere (A)≈ ω1 (FTJ real)Se recomandă: m = 3÷10, γ = 30°÷50°.

ω−180o

14

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 27

hext

hex = – h0cos ωt, hc = ± h0sin ωt,hc

2 + hex2 = h0

2

Servomotorulasincron bifazat

θ

Câmpul magnetic învârtitor

b. Aplicaţie: alegerea regulatorului unui SA de poziţionare

com hc

ec

hex

t

hc

t

hc

t

eex exCex hex

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 28

Tr~

eb= 0: repaus

ttt

eb<0: rotaţie orară eb> 0: rotaţie antiorară

Comanda reversibilă a servomotorului asincrom bifazat

D1

R4

T1

T2

D2

eb

eex

ecec

eex eex

ec

θ

Cex

com

ec

SM

ex.

ecf ecf

15

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 29

SM – elementul de execuţie: servomotor asincron bifazat.P2 – potenţiometrul de reacţie; P2 – potenţiometrul de prescriere.SM este comandat reversibil cu un redresor cu tranzistorii T1, T2,

prin tensiunea de ieşire a amplificatorului operaţional.

Fig.VI.35 Cex

Rm

y

com

ec

SM

ex.

θ

REGULATOR

Tr~

E0eu

yp+

_

P1P2

_

+

ey

E0

e

R

R2 C1R1

R3

(–)(+) Acc

D1

R4

T1

T2

D2

eb

Sistemul automat de poziţionare

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 30

Regulatorul: Acc + impedanţele de intrare şi de reacţie

Reacţia prin R3, C1 de la emitorii T1,2 asigură un cuplu de pornire al SM mai mare (creşterea rapidităţii).

ec

REGULATOR

e

R

R2 C1R1

R3

(–)(+) Acc

D1

R4

T1

T2

D2

eb2

2 3 3 11 2

( ) ( 1).RRZ s R R CR R R= + ++ +

( )32 1 20 3 1

1 2, 1 , .RR R Rk k T R CR R R

+= = + =

Legea de reglare: ( )c 1R 0

2

( ) ( )( ) 1 ,( ) ( ) 1E s Z s kG s kE s Z s Ts= = − = − +

+

11

1 2( ) ,RRZ s R R R=

+ +

16

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 31

Elementul de prescriere şi traductorul suntpotenţiometrele P1, P2 (la axul SM prin Rm):

Cf. fig.VI.35, funcţiile de transfer ale componentelor sunt:

Abaterea E(s)=Eu(s)–Ey(s) este prop. cu eroarea Yp(s)–Y(s).

P1 1 P2 1( )( )( ) , ( ) .( ) ( )

yu

p

E sE sG s k G s kY s Y s= = = =

Servomotorul:

Regulatorul:

( )cR 0

( )( ) 1 .( ) 1E s kG s kE s Ts= = − +

+

SMc 1 2

( ) 1( ) ;( ) ( 1)sG s E s Ts T s

Θ= = −+

Reductorul mecanic:

Rm 2( )( ) .( )

Y sG s ksΘ= =

(–) pentru a se compensa (–) din GR(s).

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 32

Schema bloc structurală a SA de poziţionare

Fig.VI.36

1 2 0 1 20

1 2 1 2 0 1 2

( ) ( ) ( 1)( ) .1 ( ) ( ) ( 1)( 1) ( 1)R SM

R SM

k k G s G s k k k Ts kG s k k G s G s T s T s Ts k k k Ts k+ += =

+ + + + + +

Relaţia intrare - ieşire: Y(s) = G0(s)U(s),

–Ey(s)

+

k1

GSM(s)

Y(s)Θ(s)

GR(s)k1 k2

Eu(s) Ec(s)Yp(s) E (s)

P1 1 P2 1( )( )( ) , ( ) ;( ) ( )

yu

p

E sE sG s k G s kY s Y s= = = = ( )cR 0

( )( ) 1 .( ) 1E s kG s kE s Ts= = − +

+

SMc 1 2

( ) 1( ) ;( ) ( 1)sG s E s Ts T s

Θ= = −+ Rm 2

( )( ) .( )Y sG s ksΘ= =

17

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 33

11°° k0 = 1 şi k = 0 (R1= R2 şi R3= 0), adică GR(s) = 1.

Pentru s = jω se obţine:

Funcţia de transfer a sistemului în circuit deschis are forma:

– 180°– 169°– 158°– 146°– 135°– 127°– 117°– 104°– 90°ϕd1

00,00980,0370,0930,1770,2670,450,97+∞50Md1

+∞100503020151050ω

1 21 1 2 R SM

1 2( ) ( ) ( ) ,( 1)d

k kG s k k G s G s T s T s= =+

11 2

20,05[V/grad], 0,5[sec], 0,005[sec].Tk Tk= = =

1 1 22( ) ( ) ,

400d dM j G jω ωω ω

= =+

o1 1( ) arg ( ) 270 arctg .20d dj G j ωϕ ω ω= = −

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 34

Fig.VI.37

–1 este în exteriorul locului Gd1(jω).Cf. t.7 SA este BIBO-stabil cu:

m = +∞, k0 > 0.Pt. k0 > 1este posibil γ =30°÷50°.Pt. intersecţia lui k0Gd1(jω) cu cerculde rază 1 şi centru (0, j0) se obţine:

Ecuaţia polilor SA: 02101221 =++ kkksTsTT

Pentru pulsaţia naturală:

şi factorul de amortizare: .27,0)2(1 2 == nT ωζ

din fig.II.47 rezultă : σ% = 40%, ts = 0,3 sec.

Gd1( jω)

30

20

15

10

ω = 5

1 020 3 , 400 3.kω = =

0 1 2 1 2/ 37[rad/sec].n k k k TTω = =

–1 jIm

–1/50

–1/100

Re

18

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 35

Fig. 38

22°° Pentru k > 0 (R3 > 0), se realizează un regulator PDT1:

2 1 2 SM R( ) ( ) ( )dG s k k G s G s=

Sistemul în circuit deschis :

1 R( ) ( ).dG s G s=

R 0( ) 1 .1

kG j kTj

ωω

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

jIm

Re

GR(jω)

ω = 0ω = + ∞

k0(1+k)

k0

ω = – ∞ cerc

R 00, (0) (1 ) ,G k kω = = +

R 0, ( ) .G j kω = ±∞ ± ∞ =

R 0( ) 1 .1

kG s kTs

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 36

Locul de transfer Gd2(jω) = Gd1(jω)GR(jω) se obţine cu:

Efectul regulatorului: rotire negativă a locului Gd1(jω), mai accentuată la frecvenţe medii.

2 2 1 R( ) ( ) ( ) ( ),d d dM G j M j M jω ω ω ω= =

2 2 1 R( ) arg ( ) ( ) ( ).d d dG j j jϕ ω ω ϕ ω ϕ ω= = +

Gd1(jω)

–1 jIm Re

GR(jω)

Gd2(jω)

–1 jImRe

19

M. Voicu, IA (VI) C 11 (37) 37

Gd2(jω)

Rotirea este suficientăpentru realizarea uneiBIBO-stabilităţi relativesatisfăcătoare:

m = 5,7, γ = 36°.Fig.VI.39

Gd2(jω) – fig.VI.39.

R=1

m = 5,7

γ = 36o

–1

–1

–0,5

–0,5jIm

Re20

15

30

ω =10

50ω = +∞

Pentru k0 = 40, k = 3, T = 0,05 s., rezultă

0°–27°–35°–35°–31°–27°–19°–10°0°ϕR

40506394117130144155160MR

+∞100503020151050ω

–180°–169°–158°–146°–135°–127°–117°–104°–90°ϕd1

00,00980,0370,0930,1770,2670,450,97+∞50Md1

–180°–196°–193°–181°–166°–154°–136°–114°–90°ϕd2

00,00980,04650,1750,420,691,33+∞Md2

1

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 1

c. Sisteme cu timp mort

Sist. în c. închis:

( ) ( )( ) 1 ( ) .( )Ts

dP s Q s eF s G s P s

−+= + =

Teorema 8

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( )Ts

d t R F tQ sG s G s G s G s G s G s eP s

−= = =

F(s) are o infinitate de zerouri, dar în Res≥0 un număr finit.F(s) are un număr finit de poli în Re s ≥ 0.Se poate aplica principiul argumentului.

Teoremele 5,6 şi 7 se aplică şi pt. Gd(s) de forma (4.18).

Partea fixată conţine e–Ts, T > 0.

Sist. în c. deschis:

0( ) ( ) ( )( ) ,1 ( ) ( ) ( ) ( )

Tsd d

Tsd

G s G s Q s eG s G s F s P s Q s e

−

−= = =+ +

cu

Fig.VI.30+_Gd(s)

Y(s)Yp(s)

(4.18)

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 2

Exemplul 4.4Se cere dom. de BIBO-stab. pt.

Două cazuri: (a) stab. şi (b) instab.

Fig.VI.40min Re ( ) min ( sin ) 1d

kG j Tω ωω ωω= − > −

pt. ω: Im ( ) cos 0, 0.dkG j Tω ω ωω= − = >

Rezultă: Tωi =(2i+1)π/2, i=0,1,2,…,⇒ mini[–2kT/((2i+1)π)] > –1,

⇒ kT < π/2 ⇒ fig.VI.41.

Locul de transfer – fig. VI.40:

Cf. t.8 cond. de BIBO-stab. este:

Fig.VI.41

( ) , 0, 0.Tsd

kG s e k Ts−= > >

STABILITATEBIBO-

T

2

4

2 4k

Pl. Gd(jω)

–1

b a

( ) (sin cos ).jTd

k kG j e T j Tjωω ω ωω ω

−= = − +

2

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 3

+_Gd(s)

Y(s)Yp(s)

Gd(s) kGd(s), k > 0.

d. Factorul de amplif. ca parametru

P. critic va fi – k –1.

Teorema 9

SA (v.fig.) este BIBO-stab. ⇔⇔ locul Gd(jω) înconjoară p.–k–1

în sens pozitiv de n+ n0/2 ori pt. ω crescător de la –∞ la +∞.

Teorema 10

Teoremele 9 şi 10 se aplică pt. Gd(s) cu timp mort.Teorema 11

SA (v.fig.), cu max 2 poli s = 0 şi restul în Re s<0, este BIBO-

stab. ⇔⇔ – k–1 în afara lui Gd(jω), la stg., pt. ω ↑ de la –∞ la +∞.

Fig.VI.30

)).(()(1)( 1 sGkkskGsF dd +=+= −

kGd(s)

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 4

ω

Ad(ω) φd(ω)

0 0o

e. Utilizarea diagramei Bode

Fie SA cu:... 1( ) ,... 1

mTsm

d nn

b skG s es a sα

−+ +=+ +

(4.20)

0, 0,1, 2, ,k m nα α> = < +

ansn +..+1 (hurwitzian) şibmsm +..+1 – relativ prime.

Fig. VI.42 (a) stabilitate|Gd(jωt)| = 1 sau Ad(ωt) = 0 dB;

ωt este pulsapulsaţţiaia de tăierede tăiere(cf. def.din automatică).

φd(ω)

Ad(ω)

Fig.VI.42. a

–180o

ω−180o

ωt

γ

γ

jIm

Re– 1

φd(ω)

Gd(jω)

ω−180o

ω t

0, 1, , 0, 1, ,i ja i n b j m> = > =

0,T ≥mdB

3

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 5

Fig.VI.42. a; BIBO-stabilitate

mdB

ω

Ad(ω) φd(ω)

0 0o

φd(ω)

Ad(ω)

–180o

ω−180o

ωt

γ

γ

jIm

Re– 1

φd(ω)

Gd(jω)

ω−180o

ω t

ω

Ad(ω) φd(ω)

0 0o

φd(ω)

Ad(ω)

Fig.VI.42. b; BIBO-instabilitate

–180o

ω−180o ωt

jIm

Re

– 1

φd(ω)

Gd(jω)

ω−180o ω t

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 6

SA cf. fig.VI.30, cu

Stabilitatea relativă se evaluează

cu: Ad(ω–180°), ϕd(ωt);

mdB=–Ad(ω–180°),γ=ϕd(ωt)–(–180°).

Valori recomandate:

mdB = 10 ÷ 20dB, γ = 30° ÷ 50°.

Teorema 12

Fig.VI.42. a; BIBO-stabilitate

mdB

ω

Ad(ω) φd(ω)

0 0o

φd(ω)

Ad(ω)

–180o

ω−180o

ωt

γ

γ

jIm

Re– 1

φd(ω)

Gd(jω)

ω−180o

ω t

Fig.VI.30+_Gd(s)

Y(s)Yp(s)

este BIBO-stabil ⇔⇔φd(ωt) > –180°.

... 1( ) ,... 1

mTsm

d nn

b skG s es a sα

−+ +=+ +

4

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 7

Exemplul 4.5Să se studieze BIBO-stabilitatea SA cu

Ad(ω) este linie poligonală cu p. de frângere la: ω1 = 5,ω2 = 20.

( ) , 0.(0,05 1)(0,2 1)dkG s ks s s= >

+ +

ϕd(ω) = – 90°– arctg(0,2ω) – arctg(0,05ω).

Se trasează diagrama Bode pentru k = 1.2 2( ) 20lg 20lg (0,2 ) 1 20lg (0,05 ) 1dA ω ω ω ω= − − + − + ≅

20lg , 0 5,ω ω− < <220lg 20lg (0,2 ) 1, 5 20,ω ω ω− − + ≤ ≤2 220lg 20lg (0,2 ) 1 20lg (0,05 ) 1, 20 ;ω ω ω ω− − + − + ≤ < +∞

≅

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 8

–40

Ad

–60

–20

0

20 φd

0°

–100°

–200°

–300°

rad/secω

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8910–1 102101100

Ad(ω)

ϕd(ω)

–17,5noua linie de 0dB

mdB=10dB

ωt ω–180o

γ =30°

Fig.VI.43

–180°

–27,5–27,5

BIBO-stabilitatea ⇔ – 20log k > –27,5dB ⇔20log k < 27,5dB ⇔ 0 < k < 12,37.

Pt. a obţine mdB= 10dB, noua lnoua linieinie de de 0dB0dB ↓ la –17,5dB.20log k = 17,5dB, k= 7,5; ω t = 5,25 rad/sec, γ = 30°.

d d

5

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 9

4.3. Corecţia sistemelor automate

a. Condiţii impuse sistemului automat

Într-o anumită măsură 1° şi 2° sunt contradictoriicontradictorii. Introducerea unui integrator sau creşterea factorului de

amplificare imprimă SA o tendinţă spre instabilitate.

11°° SSă fie BIBOă fie BIBO--stabil.stabil.22°° SSă asigure o anumită precizie ă asigure o anumită precizie îîn n regregimim stastaţţionarionar.

Eroarea staţ. es = yps – ys să fie 0 sau satisfăcător de mică.es = 0 dacă pe calea directă există integratoare.

În lipsa lor, es poate fi mică satisf. de dacă amplificareasistemului în circuit deschis este suficient de mare.

«Corecţie» = stabilizarea sistemelor automate cf. 4.2.b.

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 10

Soluţia pentru cond. 2° nu trebuie să neglijeze cond.1°.BIBO-stabilitatea este esenţială şi, mai mult, este necesară

asigurarea unei anumite BIBO-stabilităţi relative.

Creşterea factorului de amplificare ⇒ locul kGd(jω) poate săînconjoare ppunctulunctul criticcritic (–1, fig.VI.44).

Un pol în origine: efectul de rotaţie cu –90° ⇒ posibil ca locul(jω)–1Gd(jω) să înconjoare ppunctulunctul criticcritic (–1, fig.VI.45).

Fig.VI.44 Fig. VI.45

–1

jIm

Re

b

k >1kGd(jω)

a

Gd(jω)a

Gd (jω)

–1

jIm

Re

b

(jω)–1Gd (jω)

6

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 11

33°° R. indicial R. indicial îîn n raprap.. cu m cu m. p. prescrisă să fie rescrisă să fie sufsuf. de amortizat.. de amortizat.Se ţine seama de valorile recomandate pt. mdB şi γ ( v. 4.2). Dacă la ωt panta lui Ad(ω), pe un interval suficient de larg de

pulsaţii, este mai mică sau egală cu –20dB/decadă,atunci, implicit, unei val. admis. a lui γ îi corespundeo val. admis. pt. mdB (ex. 4.5, fig.VI.43).

⇒ Se foloseşte ca măsură a BIBO-stabilităţii relative numai γ,asigurându-se astfel o amortizare satisfăcătoare

Un răspuns indicial în raport cu m. prescrisă cu suprareglareacceptabilă şi bine amortizat se obţine pt. γ = 50°÷70°.

Un răspuns indicial în rap. cu perturb. este accept. pt. γ > 30°.

Foarte importantă este şi următoarea condiţie.

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 12

44°° SA trebuie să răspundă suficient de rapid atât la varia SA trebuie să răspundă suficient de rapid atât la variaţţiaia mărimii prescrise cât mărimii prescrise cât şşi la variai la variaţţia perturbaia perturbaţţiei.iei.

Un SA are un răspuns rapid numai dacă sistemulîn circuit deschis are şi el această proprietate.

Sistemul în circuit deschis este un FTJ. Rapiditatea răspunsului indicial al F(I)TJ este cu atât

mai mare cu cât pulsaţia de tăiere este mai mare.

La fel de importantă este şi următoarea condiţie.

Pulsaţia de tăiere a SA este de regulă mai mare decât asistemului în circuit deschis şi poate fi crescută princreşterea fact. de amplificare al sist. în circuit deschis.

Acest fapt se explică prin următorul exemplu.

7

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 13

cu pulsaţia de tăiere (FTJ):

Într-o anumită măsură, 3° şi 4° sunt contradictorii. ω10 (ω t0 – a sist. aut.) se poate creşte prin creşterea lui k.Aceasta determină reducerea marginii de fază, respectiv

a amortizării răspunsului indicial al SA.

Fie ( ) , 0, 0,1d

kG s k TTs

= > >+

SA:

0

0

1 ,111

kkk

T T ssk

+= =+++

10 10

11 ( 1) .k kT Tω ω+= = = +

,1

,11 00 T

kTT

kkk <

+=<

+=

cu puls. de tăiere (FTJ)

0( ) 1( ) 1 ( ) 11 1

d

d

kG s kTsG s kG s Ts k

Ts

+= = = =+ + ++ +

11 .Tω =

Deci: .110 ωω > ⇒⇒ SASA esteeste maimai rapid ca rapid ca sistsist. . îînn c. c. deschisdeschis..

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 14

b. Corecţia în domeniul frecvenţelor

Corecţia SA constă în parcurgerea următorilor 4 paşi:1° Determinarea schemei bloc structurale şi a

parametrilor părţii fixate.

2° Trasarea diagramei Bode a părţii fixate.

3° Determinarea regulatorului cf. cond. 1°– 4° de la p. a.

4° Simularea SA pt. verificarea şi îmbunătăţirea soluţiei

Se ilustrează pasul 3°. Se aplică următoarele 3 procedee:

1° SeSe coboarcoboarăă AAdd((ωω))

2° SeSe ridicridicăă ϕϕdd((ωω))

3° Se cSe combinăombină 11°°++ 22°°

• cu un regulator regulator PDPD.

• cu un regulator regulator PIDPID.

• cu un regulator regulator PIPI.

8

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 15

Uzual τ1 = T1= cea mai mareconst. de timp a p. fixate, GF(s).Se compensează (T1s +1) din numitorul lui GF(s).

11

(1 ) 1( ) ( ),rR r

k sG s ks sτ τ+= = +

11°° RRegulatorulegulatorul PIPI idealideal

Cu Ad(ω) se determină kr

pentru γ impus. Fig.VI.48

Regulatorul PI coboară AF(ω).ωt se mişcă la stg. – fig.VI.46. Creşte γ ; sist. devine mai lent.

Fig.VI.46

γ

20lg | Gd (jω) |

ωtarg GF (jω)

arg Gd (jω)

20lg | GF (jω) |ωtF

1/τ1

–20dB/dec

20lg krτ1

A(ω)

φ(ω)

ω

φdAd

–90o

–180 o

0

A

0

φ

ω

–90o

0o

–45o

10, 0.rk τ> >

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 16

Regulatorul PD ridică ϕd(ω). ωt ≈ constant – fig.VI.47Creşte marginea de fază γ.

2( ) (1 ),R rG s k sτ= +

Uzual τ2 = T1 = cea mai mareconst. de timp a p. fixate, GF(s).Se compensează (T1s +1) din numitorul lui GF(s).

22°° RRegegulatorululatorul PDPD idealideal

Fig.VI.51

Fig.VI.47

γarg GF (jω)

arg Gd (jω)

1/τ2 20dB/dec

A(ω)

φ(ω)

ω

φdAd

–90o

–180 o

0

A

90o

0

φ

ω

0o

20lg | Gd(jω) | ≈ 20lg | GF (jω) |

ωtF20lg | GF (jω) |

20, 0.rk τ> >

Cu Ad(ω) se determină kr

pentru γ impus.

9

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 17

Pt. acelaşi γ (ζ), ωt este mai la dreapta decât în cazul PI.La aceeaşi ωt se obţine un γ mai mare, adică la aceeaşirapiditate se obţine o amortizare mai bună ca în cazul PI.

Se adoptă τ1 = T1,τ2 = T2, T1, T2 – c. de timp max. ale p. fixate.Apoi se procedează a la reg. PI.

Fig.VI.50

1 2(1 )(1 )( ) ,rR

k s sG s sτ τ+ +=

33°° RRegulatorulegulatorul PIDPID idealideal

1/τ1

20lg krτ1

φ(ω)

A

0

φ

ω

–90o

0o

90o

–20dB/decA(ω)

20dB/dec

1/τ2

1 20, 0.rk τ τ> ≥ >

Comparativ cu cazul PI, se ridică ϕd(ω).

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 18

Structura este următoarea:

c. Reglarea în cascadă

Instalaţia automatizată se divide în două părţi: GIA1, GIA2.Se introduce reacţia negativă secundară după y2.

Regulatorul GR2 (de regulă PID) se alege astfel încât sist.

închis secundar să fie PT1.

Pegulatorul GR1 din circuitul închis principal este P sau PI.

Fig.VI.54 REACŢIA PRINCIPALĂGt1(s)

_yr1

_

Gt2(s)yr2 REACŢIA SECUNDARĂ

+ +

yp u mGIA2(s) GIA1(s)GE(s)GR2(s)GR1(s)Gp(s)

a1 x1 a2 x2 y1y2

10

M. Voicu, IA (VI) C12 (29) 19

Fig.VI.55

ExempluSistem de reglare automată a turaţiei unui motor el. de cc

M - mot. el. ccTG - tahogenerat. P - potenţiometruR - reg. turaţie

DCG + PRC - el. ex.RC - reg. curentSH - şunt

A - adaptor

+

_

ωp

P

ω

V

up

a

ut

ϕ

PRC

DCGR

SST PR

u

M TG

φex +

+_

_+_

m

ω_ 0 +

_ 0 +

ucc

φex_ 0 +

RC

_ 0 +

uSH

SH

A

uc i

M. Voicu, IA (VII) C12 (29) 20

SISTEME AUTOMATE NELINIARE

Capitolul VII

11


Sistemele automate reale sunt de regulă neliniare. Modelele liniare sunt cazuri particulare;

se obţin prin idealizări, simplificări şi aproximaţii.

Există situaţii în care aproximaţiile sunt inacceptabile.

•• esenesenţţialeiale (deliberate)•• neesenneesenţţialeiale (accidentale).

O neliniaritate esenţială

realizează o anumită relaţie

intrare - ieşire.

Ex: elementul de tip releu

– fig.VII.1, utilizat ca regulator.Fig.VII.1

a ≥ 0|q| ≤ 1

u > 0.

– qa

a

–b

b

u

v

Elementele neliniare sunt:

– a

qa

u < 0.


Fig.VII.2

Fig.VII.3

– a a

a

b

u

v

k

–b

Saturaţie

– a a

b

u

v

kZona de

insensibilitate

c

u

v

Frecareauscată

d

u

v

Jocul înangrenaje

- ε ε

u

vHisterezis

u > 0.

u < 0.

– u0 u0f2(u)

f1(u)

Neliniarităţile neesenţiale sunt naturale şi nedorite. Liniarizarea lor nu produce erori importante. Ex.:fig.VII.2 şi 3.

Uzual SA neliniare satisfacipoteza de separabilitateipoteza de separabilitate: pot fidivizate în subsist. liniare şi neliniare.Subsistemele liniare pot descriseprin funcţia de transfer.

12


Exemplu: modelul matematic al motorului el. de cc cudublă comandă: prin tensiunile pe indus şi pe inductor.Cu fig.II.10, la ec. cf. ex. 2.1 se adaugă ec. inductorului.

,

1

mmmdtdJ

ce

edtdiLRiu

fm −−=

=

++=

ωϕω

),( ex

exexexexex

ifdt

diLiRu

=

+=

ϕ

,3

2

ωϕ

cmicm

f

m

==

uex , iex – tens. şi curentul de ex.Rex , Lex – rezist. şi induct. c. ex.ϕ – fluxul de excitaţief – caract. de magnetizare

i

u e

J

R

L

iex

Rex Lex

mω mf

uexϕ

mm

fig.II.10


[ ]1( ) ( ) ( ) ,I s U s E sLs R= −+

Ecuaţiile 2, 4 şi 7 reprezintă elemente neliniare.Aplicând transformarea Laplace ecuaţiilor liniare rezultă:

3( ) ( ) ,fM s c sΩ=

1( ) ( ) ( ) ( ) ,m fs M s M s M sJsΩ = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

1( ) ( ),ex exex ex

I s U sL s R=+

1 ,e c ϕω=

( ).exf iϕ =

2 ,mm c iϕ=

13


Cu aceste ecuaţii se obţine schema bloc structurală:

Fig.VII.4

Metodele studiu se bazează pe idei din teoria SA liniare şi vizează analiza stabilităţii şi sinteza unor SA neliniare stabile.Se vor prezinta două metode frecvenţiale:

metoda funcţiei de descriere metoda bazată pe criteriul Popov.

1Ls+R

1Lexs+Rex

fuex

i

e

uc2

1Js

mω

φ

+ _ +

_

_

iex

c1

mm

mf

c3

φφ

ω

φi

φω


1. Metoda funcţiei de descriere

Este o metodă de liniarizare în domeniul frecvenţei.Se poate aplica şi neliniarităţilor discontinue.

1.1. Procedeul celor două locuri

a. Definiţia funcţiei de descriere

IpotezeleIpotezele pentru o neliniaritate cu o intrare şi o ieşire (funcţii scalare de timp) sunt următoarele:

1° Relaţia neliniară intrare-ieşire este descrisă de:v = f (u); (1.1)

f este funcţie continuă şi monotonă pe porţiuni

(cu discontin. de speţa I), univalentă sau multivalentă.

14


2° (1.1) este simetrică faţă de originea planului (u, v).3° Dacă u(t) este o funcţie periodică de perioadă T,

atunci v(t) este o funcţie periodică de aceeaşi perioadă T.

4° În structura SA, elementul neliniar este urmat de un FTJ

cu panta ≤ – 40 dB/dec în zona pulsaţiei de tăiere.

Fie .0,0;,sin)( ≥≥∈= ωω AttAtu R (1.2)

În ipotezele 1° – 3° v(t) se exprimă prin seria seria FourierFourier :

1( ) ( sin cos ), ,n nnv t A n t B n t tω ω∞== + ∈∑ R (1.3)

(1.4)

π

02 ( sin )cos ( ) , 1, 2,... .πnB f A t n td t nω ω ω= =∫ (1.5)

coeficiencoeficienţţii ii FourierFourierai lui v(t).

π

02 ( sin )sin ( ) , 1, 2,...,πnA f A t n td t nω ω ω= =∫


Cf. 4° şi pt. ω în zona pulsaţiei de tăiere a elementului liniar,armonicele superioare din (1.3) sunt neglijabile. Se scrie:

,,cossin)()( 111 R∈+=≅ ttBtAtvtv ωω

Pt. un formalism ca la metoda frecvenţială (cap.VI), se trec (1.2) şi (1.6) în domeniul complex. Se introduc:

Im ( , ) Im Im (cos sin ) sin ( );j tU A j Ae A t j t A t u tωω ω ω ω= = + = =

(1.6)

( , ) ,j tU A j Ae ωω =

,sin)( tAtu ω= (1.2)

1 1 1 1 1Im ( , ) Im ( ) Im ( )(cos sin )j tV A j A jB e A jB t j tωω ω ω= + = + + =

1 1 1( , ) [ ] .j tV A j A jB e ωω = +

1 1 1 1Im ( cos sin ) ( sin cos )A t B t j A t B tω ω ω ω= − + + =

1 1 1sin cos ( ).A t B t v tω ω= + =

(1.7)(1.8)

15


Definiţia 1

FuncFuncţţia de descriereia de descriere a elem. neliniar (1.1) (cf. 1° - 4°) :

1( , )( ) , .( , )V A jN A AU A j

ωω += ∈R (1.9)

1 11( ) [ ( ) ( )]N A A A jB AA= + (1.10)

În aplicaţii se utiliz. şi funcfuncţţia de descriere invers negativăia de descriere invers negativă:

( ) 1/ ( ) , .iN A N A A += − ∈R (1.11)

Hodograful Ni(A) locul de descriere invers negativlocul de descriere invers negativ.

Cf. (1.7), (1.8), din (1.9) rezultă că f. de descriere este:11

( )arctg ( )2 21 1

1 ( ) ( ) .B Aj A AA A B A eA= +

( , ) ,j tU A j Ae ωω = 1 1 1( , ) [ ] .j tV A j A jB e ωω = + (1.7)(1.8)

1

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 1

Cu 1 1( ) Re ( ) , ( ) Im ( )R IA BN A N A N A N AA A

= = = =

se scrie:

0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

t

R I Iv t N A u t N A u t dt AN Aω≅ − +∫Elementul neliniar are “memorie“ .

),cos1()(,sin)(0

1 tAdttutAtut

ωωω −== ∫ −Pentru

tANtANtBtAtvtv IR ωωωω cossincossin)()( 111 +=+=≅

Rezultă:

.)(cos),(sin0∫ +−==t

AdttutAtutA ωωω

)(tu .)(0∫ +−t

Adttuω

Elementele neliniare pot avea “memorie“.

Există numai dacă NI (A) ≡ 0 – cazul neliniarit. multivalente.

rezultă:


Teorema 1Fie neliniaritatea bivalentă:

Atunci S – aria dintre f1(u) şi f2(u).

D. Cu (1.5), (1.10) şi (1.12) se calculează NI (A) astfel:2π π/2

20 01 1( ) ( sin )cos ( ) ( sin ) cos ( )π πIN A f A t td t f A t A td tA A

ω ω ω ω ω ω⎡= = +⎢⎣∫ ∫3π/2 2π

π/2 3π/2( sin ) cos ( ) ( sin ) cos ( )f A t A td t f A t A td tω ω ω ω ω ω ⎤+ + =⎥⎦∫ ∫

01 2 1 2 12 2 20

1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] .π π π

A A A

A A ASf u du f u du f u du f u f u du

A A A−

− −−⎡ ⎤= + + = − =−⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Exemplu

u

vHisterezis

u > 0.

u < 0.– u0 u0

f2(u)

f1(u)1

2

( ), 0,( )

( ), 0,f u u

f uf u u

>⎧= ⎨ <⎩ 1 2 0( ) ( ), .f u f u u u≡ ≥

02( ) , ,πISN A A uA

= − ≥

2


Neliniaritatea de tip releu (fig.VII.1):Exemplul 1.1

4° releu tripoziţional cu histerezis: |q|< 1,a> 0.

1° bipoziţional (ideal): q=1,a= 0, b> 0;

3° tripoziţional (ideal):q= 1,a> 0, b> 0;

2° bipoziţional cu histerezis: q= –1,a> 0, b> 0;

u < 0.

u > 0.

a

–b

b

u

v

– a

a > 0q = – 12o

–b

b

u

v

– aaa > 0q = 13o a > 0

|q| < 1u > 0.

– qa

a

–b

b

u

v

– a

qa

u < 0.

4o

Fig.VII.1–b

b

u

v

1o a = 0


Fig. I.3. Ex. 2.2

MQ1

R

Qt

Q2

SC

P

EV

NC

TC+

–HHnn

HHtt

Exemple de utilizare a regulatoarelor de tip releu

HHnn nivelul prescris

nivelul curent

Q 1– debitul comandat

0

max

max

Regulator de nivel:nivelmetrul cu contact (NC)

Regulator de temperatură:termometrul cu contact (TC)

temperat. curentă

Q t– debitul comandat

0

HHtt temperat. prescrisă

3


u,v

α=ωt

v

Fig.VII.5

Fig.VII.1Exemplu – fig. VII.1Să se calculeze

funcţia de descriere N (A)

şi funcţia de descriere

invers negativă Ni (A).

Evoluţii temporale:u(t) = Asinωt,

1sin ,aA

α =

2sin .qaA

α =

α = ωt,

a ≥ 0|q| ≤ 1

u > 0.

– qa

a

–b

b

u

v

– a

qa

u < 0.

u

π+α1

α1

– A

A

– b

b

π+α2

α2

qa

a

– qa– a


2 22

2 22( ) 1 1 , .πR

q ab aN A A aA A A⎛ ⎞

= − + − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Partea reală a funcţiei de descriere este:

Cf. (1.12) şi fig.VII.5 (cazul 4°) se poate scrie:

π10

2( ) ( ) sin ( )πRA

N A v t td tA A ω ω= = =∫

21 1 2sin , cos 1 ,a a

AAα α= = −

2

11 2

2 2sin (cos cos )πb bdA A

α

αα α α απ= = −∫

2 2

2 2 2sin , cos 1 .qa q aA A

α α= = − −

Fig.VII.5u

π+α1

u,v

α=ωtα1

– A

A

π+α2

α2

v

qaa

– qa– a– A

A

– b

bv

4


Partea imaginară, conform teoremei 1:

2( )πI

SN AA

= −

S/2

S/2Fig.VII.1

a ≥ 0|q| ≤ 1

u > 0.

– qa

a

–b

b

u

v

– a

qa

u < 0.

22 (1 ), .π

ab q A aA

= − − ≥

( ) (1 ).2S a qa b ab q= − = −

u,v

α=ωt

Fig.VII.5u

π+α1

α1

– A

A

π+α2

α2

v

qaa

– qa– a– A

A

– b

bv


2 222

2 2 22 22 2 2

(1 )1 π( ) , .( ) 4

1i

A q j qaAN A A aN A ab A A Aq q

a a a

= − −− + −

= ≥⎛ ⎞⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

22 (1 ), ;abj q A a

Aπ− − ≥

4° Releul tripoziţional cu histerezis: |q| < 1, a > 0, b > 0,2 22

2 22( ) 1 1π

q ab aN A A A A⎛ ⎞

= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig.VII.6

Plan

ul(4

b/πa

)Ni(A

)

Fig.VII.1

a ≥ 0|q| ≤ 1

u > 0.

– qa

a

–b

b

u

v

– a

qa

u < 0. –2–4–6–8 0

– 0,2

– 0,4

– 0,6

– 0,8

– 1,0– 1– 0,9– 0,8– 0,6– 0,4– 0,2

00,20,40,60,80,9

q =0,98

4o

a > 0

5


Fig.VII.6

În primele trei cazuri se obţin (fig.VII.6):

2 2 2

22 24 π( ) 1, ( ) 1 , .4π i

ab A A AN A N A A ab aA a= − = − − >

4 π( ) , ( ) , 0.π 4i

b AN A N A AA b

= = − >

2 2 2

2 2 24 π( ) 1 , ( ) 1 , .4π iab A A AN A j N A j A abA a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Plan

ul(4

b/πa

)Ni(A

)

1° Releul bipoziţional (ideal): q = 1, a = 0, b > 0,

2° Releul bipoziţional cu histerezis: q = – 1, a > 0, b > 0,

3° Releul tripoziţional (ideal): q = 1, a > 0, b > 0,

– 2– 4– 6– 81o a = 0q =1

A = 0A = +∞

2o q = –1 a > 0A = 0A = +∞

3o q = 1 a > 0

A = a

A/a=√2A = +∞

–2–4–6

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 10

Pt. f univalentă (⇒ impară), A1 din se calculează cu:b. Calculul aproximativ al funcţiei de descriere

Cu x = sinω t, dx = cosω td(ω t) şi g(x) = x f (Ax) rezultă:1

1 21( )2 1 1 1(1) 2 ( ) 2 ( ) ( 1) ,3 2 21

g xA dx g g g gxπ −

⎡ ⎤= ≅ + + − + −⎣ ⎦−∫

12 ( ) ( ) .3 2

AA f A f⎡ ⎤≅ +⎣ ⎦

Pt. f univalentă ⇒ S = 0 şi NI (A) = 0 se obţine:1 2( ) ( ) [ ( ) ( )].3 2R

A AN A N A f A fA A= = ≅ +

Releul bipoz. (ideal): v = b sgn u. N(A) ≅ (2b/3A)(1+1) = 4b/3A .Aproximaţia este satisfăcătoare pt. N(A) = 4b/(πA).

Exemplul 1.2

π2

1 π2

2 ( sin )sin ( ).πA f A t td tω ω ω−

= ∫

6

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 11

...............................................................................................)2/()1()2/()1(2/)2/(3)1( 11 ++ −+−≅− nnnnnnn AfAfAAN

2 23 ( / 2) / 2 ( / 2) ( / 2 )AN A f A f A− ≅ − −

3 ( ) / 2 ( ) ( / 2)AN A f A f A≅ +

Cf. se scriu egalităţile:

Se

sum

ează

!

,22

3)1()(1

0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≅

+

∞

=∑ nnn

n ANAAf (1.21)

deoarece se reduc termeni şi pt. n → ∞,(1.21) – foarte utilă în sinteza sistemelor automate neliniare.

2( ) [ ( ) ( )],3 2AN A f A fA≅ +

................................................................................................

2 3 2 33 ( / 2 ) / 2 ( / 2 ) ( / 2 )AN A f A f A≅ +

O formulă de inversiune: se dă N(A) şi se detetermină f (u).Amplitudinea lui u ia valorile A, A/2, A/22,..., A/2n,....

1( / 2 ) 0.nf A + →

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 12

c. Schema bloc structurală

Fig.VII.7

P13;10/30

Analogia dintre răspunsrăspunsulul la frecvenla frecvenţţăă şi funcfuncţţiia a de descrierede descrierepermite tratarea SA neliniare similar cu cele liniare.

Pt. el. lin. se aplică identit. de transfig. a schemelor bloc struct.,

dar asfel ca intrările el. nelin. să rămână neschimbate.

Pt. SA cu o singură nelin. forma cea mai simplă este

sschemachema bloc structurală tipicăbloc structurală tipică, fig.VII.7.

Se constituie el. lin. G(s) imediat după cel neliniar, fiind

posibilă verificarea ipotezei 4° de la punctul a.

_+G(s)f(u)

u v yuui yeGa(s) Gb(s)

7

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 13

Pt. schema din fig.VII.8Exemplul 1.5

Se realizează deplasările d1, d2 şi d3

d1_

G6(s)

_G4(s)

_G5(s) d3

ui u

+

+ +G1(s) f(u)G2(s) G3(s)ye

d2

să se obţină sch. bloc struct. tipică.

şi se ajunge la:

uiG1(s)

+f(u)

uG2(s) G3(s)

ye

_G5(s) G3

-1(s)G2(s)

_

G6(s)G2(s)G1(s)

G4(s)

_

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 14

Se notează G7 = G4 + G2G5 / G3 + G1G2G6

şi se ajunge la fig.VII.9

f(u) ye

G3(s)ui

+ _

u

G7(s)

G1(s)G2(s)

Fig.VII.9

Deplasând G7 de pe c. de reacţie pe c. directă, fig.VII.7,

în careGa = G1G2, G = G2G5 + G3G4 + G1G2G3G6 şi Gb = G7

–1.

+ _ G(s) f(u)

u v yuui ye Ga(s) Gb(s)

Fig.VII.7

8

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 15

d. Punct de echilibru

Se admit următoarele ipoteze:1° G(s) are cel mult un pol pe axa imag., restul în Re s < 0.2° Polinoamele din G(s) sunt relativ prime.3° G(s) conţine, eventual, şi un element cu timp mort.4° f(u) satisface ipotezele admise la definiţia f. de descriere.

+ _G(s)f(u)u v yu

Conform fig.VII.7, se consideră SA neliniar:

Fig.VII.7.a

( ) ( ) ( )( )

.

Y s G s V sv f uu u y

=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

descris de următoarele ecuaţii:

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 16

(1.22)

în care p = d/dt este operatorul de derivare introdus prin înlocuirea formală a variabilei s în G(s).

iar în fig.VII.7.a avem:

Cvadruplul u u v y0 0 0 0, , ,

defineşte un punct de funcpunct de funcţţionareionare conform ecuaţiilor:

u u= =0 const., u = u0 = const., v = v0 = const., y = y0 = const.

RRegimulegimul stastaţţionarionar, cf. fig.VII.7.a, este posibil pentru:

+ _G(s)f(u)

u0 v0 y0u0

0 0

0 0

0 0 0

( )( )

.

y G p vv f uu u y

=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

9

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 17

u u v y0 0 0 0, , ,Pentru punctpunctulul de funcde funcţţionareionare

(1.22.1),........

)(0

11

01

1apapabpbpb

pGn

nn

n

mm

mm

+++

+++=

−−

−−

(1.23)

are loc:

10 0 0...... 0 .n np y p y py−= = = =

(1.24)

este un punct de punct de echilibruechilibru,u u v y0 0 0 0, , ,Prin urmareCf. (1.24), toate vitezele sunt nule, ceea ce corespundesemnificaţiei conceptului de echilibru cunoscut din fizică.

cu

0 0( ) ,y G p v=

10 1 0 0 0....n n

n na p y a p y a y−−+ + + =

în care

0 0 0 0.a y b v=Totodată

10 1 0 0 0.... ,m m

m mb p v b p v b v−−= + + +

10 0 0...... 0m mp v p v pv−= = = =

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 18

Pentru punctul de echilibrupunctul de echilibru (PE)

Fig.VII.10

(1.25)

graficele fiind date în fig.VII.10.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ+−=Δ+Δ+=Δ+

Δ+=Δ+

).()(

))((

000

00

00

yyuuuuufvv

vvpGyy(1.26) Se notează

).()()( 00 ufuufuf −Δ+=ΔΔ (1.28)

din (1.22) - (1.24) rezultă :

Pt. micile abateri Δu, Δv, Δy în jurul valorilor u0, v0, y0, cf. (1.22):

u u v y0 0 0 0, , ,

Se elimină v0 , şi se obţine:

0 0 0 0 0 0

0 0 0

( / ) , ( ).

y b a v v f uy u u

= =⎧⎨ = −⎩

0 0 0 0

0 0 0

( / ) ( ),

y b a f uy u u

=⎧⎨ = −⎩

ū0

y0

u0ū0

i

10

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 19

Fig.VII.11 -schema bloc structurală standardschema bloc structurală standard pentru PE:

Cf (1.22), (1.28), din (1.26) rezultă:

( )( )

.

y G p vv f uu y

Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩

(1.27)

( , , , ).u u v y0 0 0 0

Fig.VII.11

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ−−=Δ+Δ+=Δ+

Δ+=Δ+

.)(

)()(

000

00

00

yyuuuuufvv

vpGvpGyy(1.26)

).()()( 00 ufuufuf −Δ+=ΔΔ (1.28)

(1.22)⎪⎩

⎪⎨

⎧

−===

000

00

00)()(

yuuufv

vpGy– f(u0)

_G(p)Δf(Δu)

Δv Δ yΔu

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 20

cu PE: Δy = 0, Δv = 0, Δu = 0.Fig.VII.11,

SAN tipic (fig.VII.7.a) SAN standard (fig.VII.11)

+ _G(s)f(u)

u v yu

Fig.VII.7.a,

( ) ( ) ( )( )

.

Y s G s V sv f uu u y

=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

( )( )

.

y G p vv f uu y

Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩

pt. PE: u u v y0 0 0 0, , ,0 0

0 0

0 0 0

( )( )

.

y G p vv f uu u y

=⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩

Din sschemachema bloc structurală tipicăbloc structurală tipică,

rezultă schema bloc structurală standardschema bloc structurală standard,

ū0

y0

u0ū0

i

_G(p)Δf(Δu)

Δv Δ yΔu

11

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 21

SAN standard cf. fig. VII.11,descris de ecuaţiile:

1Δ ( ) sin , ; 0 , 0.u t A t t Aω ω= ∈ > >R (1.29)

u0

e. Ecuaţia balanţei armonice

(1.27) poate avea soluţii periodice (oscil. întreţin.) în jurul PE.Dacă există oscil. întreţin., atunci, datorită lui G(s) (FTJ),

la intrarea el. neliniar preponderentă este fundamentala:

fixat, are PE unic Δy = Δv = Δu = 0.pentru

_G(p)Δf(Δu)

Δv ΔyΔu

Fig.VII.11

( )( )

.

y G p vv f uu y

Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩

(1.27) _G(p)Δf(Δu)

Δv ΔyΔu

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 22

1 1 1 1 1 1Δ ( ) ImΔ ( , ), Δ ( ) ImΔ ( , ), Δ ( ) ImΔ ( , ).u t U A j v t V A j y t Y A jω ω ω= = =În complex, pe fundamentale, se scriu relaţiile:

(1.30)

şi N(A) este funcţia de descriere a neliniarităţii

),()(),( 11 ωωω jAVjGjAY Δ=Δ

1 1( , ) ( , ) ,U A j Y A jω ωΔ = − Δ),()(),( 11 ωω jAUANjAV Δ=Δ

( )( )

.

y G p vv f uu y

Δ = Δ⎧⎪Δ = Δ Δ⎨⎪Δ = −Δ⎩

(1.27)

Se trec în complex, pe fundamentale, ec. SAN standard:

Rezultă:

( ).v f uΔ = Δ Δ

în care G(jω) este răspunsul la frecvenţă al el. liniar G(p)

12

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 23

(1.30)

se elimină 1Δ ( , )V A jω şi 1Δ ( , )Y A jω şi se obţine:

1[ ( ) ( ) 1] ( , ) 0.N A G j U A jω ω+ Δ =

Întrucât 1( , ) 0,j tU A j Ae ωω = ≠ din (1.31) rezultă:

.0,0,01)()( >>=+ ωω AjGAN (1.32)

(1.31)

(1.32) este ecuaecuaţţia caracteristicăia caracteristică (analog cu cazul liniar)

a SAN standard, numită şi ecuaecuaţţia balania balanţţei armoniceei armonice.

),()(),( 11 ωωω jAVjGjAY Δ=Δ

).,(),( 11 ωω jAYjAU Δ−=Δ

),()(),( 11 ωω jAUANjAV Δ=Δ

Din ecuaţiile

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 24

Dacă în SAN standard există oscilaţii întreţinute, aproximateprin fundamentale, atunci amplitudinea A şi pulsaţia ω din Δu1(t) = Asinωt satisfac ecuaţia balanţei armonice (1.32).

Regula 1

Ec. complexă (1.32) este echivalentă cu fiecare din ecuaţiile:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=−

−

).(Im)(

)(Re)(1

1

ω

ω

jGAN

jGAN

I

R (1.33)

.0,0,01)()( >>=+ ωω AjGAN (1.32)

1( ) ( ), 0, 0,N A G j Aω ω−= − > >

Ecuaţia complexă (1.32) este echivalentă cu ecuaţiile reale:

1 1( ) ( ) Re ( ) Im ( ), 0, 0.R IN A jN A G j j G j Aω ω ω− −+ = − − > >

13

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 25

Pentru neliniarităţile univalente NI(A) ≡ 0; (1.33) devine:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−=−

−

).0)(Im(0)(Im

)(Re)(1

1

ωω

ω

jGjG

jGAN(1.34)

Dacă N(A), G(jω) au forme complicate, pt. rezolv. ec. (1.32)se utilizează şi procedee grafice. (1.32) se scrie sub forma:

Fig.VII.12

),()( ANjG i=ω (1.35)

Ni(A) fiind funcţ de descr. inv. neg. Procedeul celor două locuri Procedeul celor două locuriSe trasează G(jω),ω≥0,şi Ni(A),A≥0.În fig.VII.12,intersecţiile corespundoscilaţiilor întreţinute din SAN.

Ni(A)

G(jω) jIm

ReA2, ω2

A1, ω1

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 26

Se consideră SAN cf. fig.VII.11 cu releu bipoziţional ideal:Δf(Δu) = bsgnΔu, sgn 0 = 0,

Exemplul 1.6

N(A) la ex. 1.1 (1°) şi Ni(A) cf. fig.VII.6 (1°):

Fig.VII.11

Să se studieze oscilaţiile întreţinute (dacă există).

1,2 33 21 2 3

1( ) , 0, 0.G s a as a s a s a

= > ≥+ + +

şi partea liniară

o 41 ( ) , ( ) , 0.4i

b AN A N A AA b

ππ

= = − >

SAN are punctul de echilibru: Δy =Δv =Δu = 0.

_G(p)Δf(Δu)

Δv ΔyΔu

Fig.VII.6– 2– 4– 6– 8

1o a = 0q =1

A = 0A = +∞

14

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 27

jIm

Re

Cu procedeul celor două locuri – fig.VII.13, există o singură osc. întreţinută cf. cu

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−−

++−−−=

,0)Im(

)Re()/(4

322

13

322

13

ajaaj

ajaajAb

ωωω

ωωωπ

1 1 2 34 /[ ( )];A b a a aπ= −

Oscil. într.: Δu1(t) = 4b/[π(a1a2 – a3)]sin

din A1 > 0 a1a2 – a3 > 0.

Fig.VII.13

1 2 ,aω =

.2 ta

1

1

( ) Re ( )

Im ( ) 0.

N A G j

G j

ω

ω

−

−

⎧ = −⎪⎨

=⎪⎩(1.34)

rezultă

Daca a3 > 0, atunci este necesar ca G(s) să fie BIBO-stabilă: cf. c. Hurwitz a1a2 – a3 > 0.

Ni(A)

A1, ω 1

G(jω)

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 28

Oscilaţiile întreţinute pot fi: stabilstabilee, , instabileinstabile şşi i semsemistabileistabile. Natura osc. întreţ. şi cea a PE Δy=Δv=Δu = 0 sunt corelate.

1.2. Stabilitatea oscilaţiilor întreţinute

a. Oscilaţii limită

Se admite că în SA nelin. (fig.VII.11) există osc. întreţ. şi că are loc perturbarea (↑↓), de scurtă durată, a amplit.Cf. evoluţiei în timp, după perturbare, se disting trei cazuri.

Osc. întreţinută se numeşte limită stabilălimită stabilă dacă dupăperturbarea amplit. (suf. de mică ↑↓), de scurtă durată,urmează revenirea, în timp, la osc. întreţinută precedentă.

Definiţia 2

15

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 29

Osc. întreinută se numeşte limită limită semistabilăsemistabilă[stabilă stabilă / i/ instabilă la stânganstabilă la stânga şşi i instabilă instabilă / s/ stabilă la dreaptatabilă la dreapta],

dacă după perturb. amplit., în sensul scăderii suf./oricât

de mici şi al creşterii oricât/suf. de mici, de scurtă durată,

urmează rev./îndep. şi îndep./rev. la/de şi de/la osc.

întreţinută precedentă.

Definiţia 4

Osc. întreţinută se numeşte limită instabilălimită instabilă dacă după

Perturb. amplit. (oricât de mică ↑↓), de scurtă durată,

urmează îndepărtarea, în timp, de osc. întreţin. precedentă.

Definiţia 3

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 30

b. Regula lui Loeb

O oscilaţie întreţinută

Osc. întreţinută este limită stabilă dacă: 0AζΔ >

şi este limită instabilă dacă: Δ 0.Aζ <

0 0( ) ( ) 1 0.N A G jω + =

O perturbare a ei, la t = 0, are ca efect variaţiileA0 → A0+ ΔA , ω0→ ω0 +Δω,

u1(t) = A0 sin ω0t , A0 > 0, ω0 > 0 ,

u1(t) → u1(t) + Δu1(t) = (A0 + ΔA) e –ζ t sin (ω0 + Δω)t

oricare ar fi natura ei, este sol. a ec. balanţei armonice

cu amortizarea ζ, variabilă , pozitivă sau negativă, după caz.

16

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 31

.0000

0A

iRI

A

iIRdA

dNd

dGdA

dNd

dGS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ωω ωω

Regula 2 (Loeb)

Osc. întreţinută caracterizată de (A0, ω0), soluţie a ecuaţiei:

N A N A N A N AiR i iI i( ) Re ( ) , ( ) Im ( ) ,= =

G G j G G jR I( ) Re ( ) , ( ) Im ( ).ω ω ω ω= =

N A G j( ) ( ) ,0 0 1 0ω + =

• limită stabilă dacă S0 > 0; • limită instabilă dacă S0 < 0;• limită semistabilă dacă S0 = 0.

este:

Se notează:

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 32

Pt. evitarea calculelor pentru S0 se definesc vectorii:

– versorii sp. tridim.)kji ,,(

tangenţi respectiv la hodogr. G(jω) şi Ni(A) în p. de intersecţie.

, în sens pozitiv, este între 0 şi π.

Sensul poz. al vect. produs se obţine atunci când unghiuldintre

Produsul lor vectorial este:

NG vv ,

v v N G = ×

( ), s in kvv v v NG N G ⋅=

. 0

00

00

0

0k S

dAdN

dAdN

ddG

ddG

kji

A

iI

A

iR

RR=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω ωω=

,00

jdA

dNi

dAdN

vA

iI

A

iRN ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=,00

jddGi

ddGv IR

Gωω ωω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

17

M. Voicu, IA (VII) C 13 (33) 33Fig.VII.16

Regula 3 (Loeb)

Osc. întreţinută (A0, ω0), soluţie a ecuaţiei (1.32), este:• limită stabilălimită stabilă dacă pornind din p. de intersecţie pe G(jω)

pt. ω↑, Ni(A) pt. A↑ rămâne la stânga – fig.VII.16.a;• limită instabilălimită instabilă dacă pornind din p. de intersecţie pe G(jω)

pt. ω↑, Ni(A) pt. A↑ rămâne la dreapta – fig.VII.16.b;• limită limită semistabilăsemistabilă dacă G(jω), Ni(A) sunt tang.– fig.VII.16.c.

a – limită stabilă b – limită instabilă c – limită semistabilă

vN

G(jω)

jIm Re

a

vG

Ni(A)A0, ω0

vN

G(jω)

jIm Re

b

vGNi(A)

A0, ω0

vN G(jω)

jIm Re

c

vGNi(A)

A0, ω0

1


1.3. Stabilitatea punctului de echilibru

Stabilitatea punctului de echilibruStabilitatea punctului de echilibru are o semnificaţiefenomenologică diferită de BIBO-stabilitate.

Fie sistemul dinamic neliniar:

a. Preliminarii

( ), , ,nx f x t x+= ∈ ∈R R (1.49)x – starea sistemuluistarea sistemului;

0 0 0( ) , .x t x t += ∈ R (1.50)

Problema Cauchy (1.49), (1.50) are soluţia unică:,),,;()( 000 ttxtttx ≥= ϕ (1.51)

care este traiectoria în Rn pt. starea iniţială (1.50).

f : Rn → Rn – continuă şi lipschitziană.


Cε

Cδ

x = a = constant se numeşte punct de echilibrupunct de echilibru (PEPE) dacă:f a( ) .= 0

Definiţia 5

Semnificaţie fizică: în PE viteza stării este nulă: 0.x a= =

Definiţia 6

PE x = a se numeşte stabilstabil dacă pt. ∀ε >0 ∃δ >0 astfel încât||x0 – a ||<δ ⇒ ||x(t) – a||<ε, t ≥ t0.

x = a – global stabilglobal stabil dacă este stabil pt. ∀x0 ∈Rn.

Fig.VII.19 a – stabilx(t)

0

x1

x2

Px0

2


PE x = a se numeşte instabilinstabil dacă nu este stabil.x = a – global instabilglobal instabil dacă este instabil pt. ∀x0∈Rn.

Definiţia 7PE x = a se numeşte asimptotic stabilasimptotic stabil dacă este stabil şi

limt→∞ ||x(t) – a|| = 0.

x = a – global asimptoticglobal asimptotic stabilstabil dacă este as. st. pt. ∀x0 ∈Rn.

Definiţia 8

Fig.VII.19

Cε

Cδ0

x1

x2

Px0

x(t)

b – asimptotic stabil c – instabil

Cε

Cδ

x(t)

0

x1

x2

Px0


d. Regula lui Kochenburger

Dacă există oscilaţii întreţinute în vecinatatea PE,⇒⇒ PE nu este global asimptotic stabil.

PE (unic) Δy=Δv=Δu=0 al SAN standard este gl. as. st. dacă parcurgând G(jω) pt. ω↑, locul Ni(A) rămâne la stg. şi în afară.

Regula 5 (Kochenburger)

Cu ec. balanţei armonice se extinde criteriul Nyquist.

( ) ( ) 1 0, 0, 0.N A G j Aω ω+ ≠ > >

Locul Ni(A) – numit locul criticlocul critic –joacă rolul punctului critic (–1, j0).

Dacă G(jω) şi Ni(A) nu se intersectează, adică

Ni(A)

G(jω) jIm

Re

3


e. Aplicaţie: Sistem automat de poziţionare

d

θ

yJocul în

angrenaje- ε ε

Fig.VI.35 Cex

Rm

y

com

ec

SM

ex.

θ

REGULATOR

Tr~

E0eu

yp+

_

P1P2

_

+

ey

E0

e

R

R2 C1R1

R3

(–)(+) Acc

D1

R4

T1

T2

D2

eb


Pt. SA. de poz. de la VI.4.2.b s-a adoptat un reg. PDT1

care asigură o BIBO-stab. relativă satisfăcătoare. Există nelin. de tip joc în angrenaje (în Rm)

care influenţează negativ stabilitatea.θ – unghiul axului servomotorului (intrare)ε – semijocul în angrenajey – unghiul axului Rm (ieşire)

Componenta I din G(s) (polul s = 0) realizează: e = 0, eu = ey , u = y ( - servomotor în repaus).

Zona de echilibru |Δθ| ≤ 2ε este punct de echilibru unic.0=θ

Funcţia de descriere:

.,421221arcsin2

)(2

2

2

2εεεεεεεπ

π≥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= A

AAj

AAAAkAN

d

θ

yJocul în

angrenaje- ε ε

4


–180°–165°–154°–148°–142°–90°argNi(A)11,291,441,743,1+∞k|Ni(A)|0°–15°–26°–32°–38°–90°argN(A)10,7750,6950,5760,3220|N(A)|/k

+∞52,51,661,251A/ε

Fig.VII.20.a

Cf. tabelului pentru k = 1 se obţine fig.VII.20.

Locul critic Ni(A)trece prin –1+j0.

Cf. regulii 5, PE esteglobal asimptotic

stabil.

2030

jIm

ω = ∞Re50

15

A = ∞

A = 5ε

A = 2,5ε

A = 1,66ε

A = 1,25ε

k =1

G(jω)

ω =10

–1

Ni(A)


Fig.VII.20.b

Pentru k = 2 se obţine fig.VII.20.b.

Pentru k > 1, Ni(A) se deplasează omotetic spre dreapta. Pentru k = 2, Ni(A) şi G(jω) sunt tangente.

PE este global asimptotic stabil pt. 0 < k < 2.

2030

jIm

ω = ∞Re50

15

A = ∞

A = 5ε

A = 2,5ε

A = 1,66ε

A = 1,25ε

k =1

k = 2 G(jω)

w =10

–1 – 0,5 – 0,33

Ni(A)

5


Fig.VII.20.c

Pentru k = 3 se obţine fig.VII.20.c.

Pentru k ≥ 2 există oscilaţii întreţinute.

Pentru k = 3:Δu(t) = 1,3ε sin12t, instabilă;Δu(t) = 4ε sin19t, stabilă.

30

jIm

ω = ∞Re50

15

A = ∞

A = 5ε

A = 2,5ε

A = 1,66ε

A = 1,25ε

k = 1

k = 3 G(jω)

ω =10

–1 – 0,33

Ni(A)

A1=1,3ε, ω1=12

A2= 4ε, ω2= 1920

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 10

Regula 6PE Δy=Δv=Δu=0 al SAN din fig.VII.11 este global asimptoticstabil dacă p0(s,A) este hurwitzian pentru toţi A ≥ 0.

N(A) in (1.59) este complexă.

Fig.VII.11

.0,0,01)()( >>=+ ωω AjGAN

,)()()(

spskzsG =,01)()( =+⇒→ sGANsjω

,01)()()( =+

spskzAN .0

)()()()(

=+

spspANskz

.0)()()(),(0 =+=⇒ spANskzAsp (1.59)

p0(s,A) este complex.

Ecuaţia caracteristică:

_G(p)Δf(Δu)

Δv Δ yΔuf. Criteriul Bilharz

6

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 11

Fie polinomul:),(....)()()( 21

2211 nn IRn

IRn

IRn jaasjaasjaass +++++++=Δ −− (1.60)

.,1,, niaaii IR =∈ R

Se defineste matricea Bilharz de ordinul 2n:

B 2 =

1

0

a I 1 a R 1 1 a I 1

a R 1

aR1

0

0 0

0 0 0 . . .. .. . .. . . ..

a I 2

–a R 2

a I 2

–a R2

–a R3

–a I 3a R4

–a I 4–a I 3–a R3

aI 2

a I 5a R 5a R 4

–a I 4

–a R3. ..

–a R6 a I 6 a I 5 a R5

–aI 4

–a I 7–a R7–a R6 a I 6

aR5

......

......

......

......a I 1

1 0 0 –a R2–a I 3

a R4 a I 5

......

......

n (1.61)

pt. i > n).(a aRi Ii= = 0

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 12

Teorema 4 (Bilharz)Polinomul (1.60) este hurwitzian ⇔⇔ .,1,0det 2 nkk =>B

Exemplul 1.11SAN de pozitionare cu regulatorde tip releu tripozitional cu histerezisşi G(s) = 1/[s(s +1)]. Să se det. a, b, qpt. care PE este global as. stab.SAN are zona de echilibru |Δu| < a. Polul s = 0 din G(s) realizează Δy=Δv=Δu=0.Svm. este în repaus în zona de echil. (PE unic).Funcţia de descriere este

( )222222 /1/2)( qaAaA

AabAN −+−=

πabA

q A a( ), .−j − ≥2 12π

Fig.VII.11

–a –qa

qa a

–b

b

u

v

u > 0

u < 0

.

.

a≥ 0 q ≤1

Fig.VII.1

_G(p)Δf(Δu)

Δv Δ yΔu

7

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 13

[ ] ;,/1/2 222222 aAqaAaA

Aab

≥−+−=π

α

Funcţia de descriere: Fig.VII.11

,)1(

1)()()(

+==

ssspskzsG

Funcţia de transfer:

.)1( 2 βαβα jssjss −++=−++

).1(22 q

Aab

−=π

β

,)( βα jAN −=

=+= )()()(),(0 spANskzAsp

).1()(,1)( +== ssspskz

Ecuaţia caracteristică:

Matricea Bilharz: .

100010

010001

4

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

βα

βα

B

_G(p)Δf(Δu)

Δv Δ yΔu

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 14

Membrul stang, funcţie de A, este monoton crescător.Membrul drept, funcţie de A, este monoton descrescător.

.1

,)1/()1()1(2

≠

+−−>

q

qqqba π

2

4

6

8

10

–1,0 –0,6 –0,2 0,2 0,4 1,0

2b πa

q

STAB ILITATE ASIM PTO TICĂGLOB ALĂ

Fig.VII.21

Cf. (1.62): detB2 = 1, detB4 = α –β 2 > 0.

A a A a q2 2 2 2 21/ /− + − > 2ab(1–q)2/(πA2).Rezultă:

Inegalitatea are loc pt. orice A ≥ a

⇔⇔ are loc pentruA = a.

Deci (fig. VII.21):

8

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 15

Stabilizare – cf. reg. 5: G(jω) se deplasează la dreapta şi/sauNi(A) se deplasează la stânga.

Se introduc elemente de corecţie serie, liniare şi/sau neliniare.Altă soluţie – fig.VII.22: Nc(A) – el. corecţie neliniar

Gc1(p), Gc2(p) – el. corecţie liniare.

1.4. Problema stabilizăriia. Posibilităţi de stabilizare

G(p)

ELEMENTE CORECTOARE

+ _

N(A)+ _

Gc1(p)

Nc(A) Gc2(p)

G j G j N A G j G j N Ac c c c1 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω+ + =

Fig.VII.22Ec. balanţei armonice are forma:

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 16

G j G j N A G j G j N Ac c c c1 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω+ + = (1.63)

Fig.VII.22

1.1. Pentru Nc(A) = N(A), din (1.63) rezultă:

G j G jc2 ( ) ( ),ω ω=

şi urmează alegerea adecvată a el. de corecţie liniare.

din (1.63) se obţine:

G j G j N A N Ac c c1 2 1 0( ) ( )[ ( ) ( )] ,ω ω + + =

şi urmează alegerea unei neliniarităţi adecvate.

2.2. Pentru

G j G j G j N Ac c1 2 1 0( )[ ( ) ( )] ( ) ,ω ω ω+ + =

G(p)

ELEMENTE CORECTOARE

+ _

N(A)+ _

Gc1(p)

Nc(A) Gc2(p)

9

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 17

3.3. În fine, pentru

din (1.63) rezultă: ,01)()(21

=+ωω jGjG cc

fapt echivalent cu compensarea lui N(A) şi transformareasistemului într-un sistem automat liniar.

Determinarea neliniarităţii coresp. funcţiei 1–N(A) se facecu ajutorul formulei de inversiune de la 1.1.b.

N A N A G j G jc c( ) ( ), ( ) ( ),= − =1 2 ω ω

G j G j N A G j G j N Ac c c c1 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω+ + = (1.63)

Fig.VII.22

G(p)

ELEMENTE CORECTOARE

+ _

N(A)+ _

Gc1(p)

Nc(A) Gc2(p)

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 18

- mulţimea funcţiilor scalare, continue pe porţiuni, fig.VII.26.Similar se definesc şi C[ε,K], ε > 0 arbitrar de mic, C(0,K) şi C(0,+∞).

2. Stabilitatea absolutăSunt utile condiţii de stabilitate asimptotică globală pt. o clasăde neliniarităţi. Pt. SAN din fig.VII.25, echiv. cu fig.VII.11,

Se are în vedere clasa de neliniarităţi cf. fig. VII. 26.

G(s)

_

y

u

v

f

Fig.VII.25

Fig.VII.26

,0,,)(0; 0],0[ ≠∈≤≤∈= yyKyyfCfC K R (2.1)

C 0

u

yC[0, K]

Ky u =f(y)

10

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 19

SAN cf. fig.VII.25 se numeşte absolut stabil absolut stabil dacă PE y=0este glob. asimpt. stab. pt. orice f ∈ C[0,K] (C[ε,K],C(0,K),C (0,+∞)).

Definiţia 1

2.2. Criteriul PopovFie SAN cf. fig.VII.25

u = f ( y) (2.4) 1

1

..... 11( ) ,..... 1

mm

nn

b s b sG ss a s a sα

+ + +=

+ + +(2.5)

ai, bj sunt numere reale, α =0,1,2,... şi n +α > m. Coef. de amplif.=1; factorul de amplif. al buclei inclus în (2.4).

G(s) este ireductibilă. Dpdv al polilor lui G(s) se disting:

a)a) Cazul principalCazul principal: toţi polii lui G(s) sunt în Re s < 0;⇒ α = 0 şi ansn +...+a1s + 1 hurwitzian.

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 20

b)b) Cazul criticCazul critic: cel puţin un pol al lui G(s) este pe Re s = 0,iar restul polilor sunt în Re s < 0.

Acestă distincţie îşi are originea în definiţia clasei C[0,K].Dacă sectorul este [0,K], atunci este posibil f (y) ≡ 0,

funcţionalitatea fiind asigurată numai de partea liniară. În cazul critic partea liniară nu poate fi global asimptotic stabilă

deoarece, cf. (2.3), G(s) are poli în Re s = 0.Urmare: în cazul critic şi C[0,K] nu se pune problema stab. abs. Aici se are în vedere clasa C[ε,K], cu ε > 0 arbitrar de mic.Aceasta implică în mod necesar asigurarea stab. asimptotice

globale pentru: f y y( ) = ε (2.6)

(reacţie liniară), cu ε > 0 oricât de mic.

11

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 21

+ G(s)

_

y

u

v

ε

yp= 0

Fig.VII.27

Definiţia 2SAN din fig.VII.25, cu G(s)

în cazul critic şi (2.6)

(fig.VII.27), se numeşte εε –– stabilstabil dacă punctul de echilibru y = 0

este global asimptotic stabilpentru ε > 0 arbitrar de mic.

G(s)

_

y

u

v

f

Fig.VII.25

SAN cf. fig.VII.25, cu G(s) ireductibilă,este ε – stabil ⇔⇔ SA cf. fig.VII.27 este BIBO-stabil pentru ε > 0 arbitrar de mic.

Teorema 2

f y y( ) = ε

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 22

Fie SAN cf. fig.VII.25, G(s) de forma (2.5), şi f∈C[0,K] – în cazul principal (0<K≤+∞), sau f∈C[ε,K] în cazul critic (sist. ε – stabil)

şi 0<K<+∞. Atunci SAN este abs. stabil dacă există q∈R

astfel încât :

Teorema 3 (Popov)

.0,1)]()1Re[( ≥−>+ ωωω KjGjq (2.7)

.1.....1.....1)(

1

1++++++

=sasasbsb

ssG n

n

mm

α (2.5)

G(s)_

y

u

v

fFig.VII.25

Fie SAN

12

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 23

Fie SAN cf. fig.VII.25, cu

Teorema 4

a s a snn + + +. . . 1 1

Atunci SAN este abs. stabil dacă există q ∈R astfel ca:

hurwitzian şi f ∈ C(0,+∞).

Re[( ) ( )] , .1 0 0+ ≥ ≥jq G jω ω ω (2.8)

Exemplul 2.1Fie SAN cf. fig.VII.25, cu f ∈ C(0,+∞) şi G s b s s a s( ) ( )/[ ( )],= + +1 11 1

Cf. (2.8) se poate scrie:a1 > 0, b1 > 0. Să se studieze stab. abs.

.0,0)1/()( 22111

211 ≥≥+−++ ωωω aabqbqa Pt. q a b≥ −max( , )0 1 1

are loc pt. orice ω ≥ 0. SAN abs. stab. pt. orice f ∈ C(0,+∞).

,1,1.....1.....1)(

1

1 =+++

+++= αα sasa

sbsbs

sG nn

mm

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 24

2.3. Forma grafică a criteriului PopovSe prelucrează în membrul stâng al inegalităţii:

)(Im)(Re)( ωωω jGjjGjG += se obţine:

Notaţii: v G j w G j= = ≥Re ( ), Im ( ), ,ω ω ω ω 0 (2.11).0),(Im)(Re)( ≥+= ωωωωω jGjjGjGP

Hodograful GP(jω) se numeşte locul locul PopovPopov.Se defineşte dreapta dreapta PopovPopov:

1 0.v qw K− + =

Dacă (2.10) are loc, atunci, cu (2.11), rezultă condicondiţţiaia PopovPopov:.01 >+− Kqwv

.1)(Im)(Re KjGqjG −>− ωωω

Re[(1 ) ( )] 1 , 0.jq G j Kω ω ω+ > − ≥Pentru

(2.10)

13

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 25

LLoculocul PopovPopov

01 =+− Kqwv (2.13)

01 >+− Kqwv (2.14)

Dr. Popov (dPdP) are panta 1/q şi tăieturile (–1/K, 0) şi (0, 1/Kq). Punctele din pl. (v, w), situate la dreapta dPdP, satisfac (2.14).

Pt. verificarea grafică a condicondiţţiei iei PopovPopov (2.10) :

se trasează în pl. (v, w) locul Popov (cf. (2.12));

în (–1/K,0) se trasează o dPdP (de pantă 1/q, dacă există)

astfel încât locul Popov să rămână în întregime

la dreapta acesteia, fig.VII.28;

cf. t. 3 SAN este absolut stabil.

DDreaptareapta PopovPopov

( ) Re ( ) Im ( ), 0,PG j G j j G jω ω ω ω ω= + ≥ (2.12)

CondiCondiţţiaia PopovPopov

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 26

Fig.VII.28 (–1/K, 0) fiinddat, pot existao infinitate dedPdP pentru carelocloculul PopovPopovrămâne ladreapta. GP(jω)

w

v–1/KP–1/K

dreaptadreaptacriticăcritică

1ω =+∞ ω = 0–1/KH

dreaptadreaptaPopov (Popov (dPdP))

loculloculPopovPopov

Se determină KP maxim, cu dP tangentă la lloculocul PopovPopov,fig.VII.28; → dreapta critică, pt. care (2.10) nu are loc.

Sectorul [0,KP) sau [ε, KP) se numeşte sectorul sectorul PopovPopov. În cazul critic, sectorul poate fi şi [ε, KP], dar numai dacă

lloculocul PopovPopov nu trece prin ( –1/KP,0).

14

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 27

Fie SAN cu f∈ C[ε, 1,5], G(s) = 1/[s(s2+s+2)].Cf. (2.11), (2.12) locul Popov este descris de ecuaţiile:Exemplul 2.2.

],)2[(1 222 ωω +−−=v .0],)2[()2( 2222 ≥+−−= ωωωωw

Cu ω2 = 2 – w/v se obţine: 2v2 + w2 – vw + v = 0 (fig.VII.29). Prin (–2/3,0) - o infinitate ddPP. Sist. este ε- st.; cf. t. 3, abs. stabil.

–2/7 –1/4

–1/2–2/3

w

v

GP(jω) ω =0

ω = +∞3π/8

–1/2

–1/7

Fig.VII.29

Sectorul Popov: [ε, 2), fig.VII.29.Dacă nu există o dP astfel încât

locul Popov să rămână ladr., atunci t. 3 nu se aplică.

Nu implică faptul că sist. aut. nupoate fi absolut stabil(t. 3 - o cond. suficientă).

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 28

Dacă nu există o dPdP, atunci se poate proceda astfel:

•• Se reduce K (fig.VII.26), se deplasează tăietura (–1/K, 0)

– fig.VII.28 – spre stanga pt. a se putea trasa o dPdP;

Def.1 sugerează determinarea valoarii maxime a lui K.

2.6. Compensarea serie a părţii liniare

•• Se compensează partea liniară G(s) (fig.VII.25) cu elemente

«serie», «paralel» sau «cu reacţie», respectiv se

deformează şi se deplasează locul Popov (fig.VII.28)

pt. a se putea trasa o dPdP.

Uzuală este compensarea serie a lui G(s) cf. fig.VII.30.

15

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 29

Compensatorul GS(s) să asigure:- satisfacerea criteriului Popov;

- îmbunătăţirea calităţilor impuse SAN.

GF(s) _

y

u

v

f

GS(s)

G(s)

Fig.VII.30

GS(jω) roteşte antiorar locul Popov cu 0° - 90°, pt. ω crescător.Locul Popov se deplasează spre dreapta la ω medii şi înalte. Se poate trasa o dP prin (–1/K, 0) cu condiţia ca acest punct să

rămână suficient de departe la stânga noului loc Popov.

O soluţie simplă, sugerată de

).1()( += sksG SS τ

KjGjq 1)]()1Re[( −>+ ωω

şi de corecţia SA liniare, constă în utiliz. unui comp. PD:

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 30

Exemplul 2.4. Fie SAN cf. fig.VII.30

Se cere GS(s) astfel încât SAN să fie abs. stabil pt. clasa C(0,4].1.1. Pt. G(s) = GS(s) GF(s),

Eliminând ω 2 se obţine locul Popov:

2

1( ) .( 1)FG s

s s=

+

GF(s) _

y

u

v

f

GS(s)

G(s)

2( )( 1)

SkG jj j

ωω ω

=+

2

2 2 2

2 (1 ) .[4 (1 ) ]S

jk ω ωω ω ω

− − −=

+ −

/ 2, 0.Sw v k v v= − − <

cu GS(s) = kS, kS > 0, rezultă:

2 2 2

2 ,4 (1 )

Skvω ω

= −+ −

2

2 2 2

(1 ) .4 (1 )

Skw ωω ω

−= −

+ −

Ec. parametrice ale loc. Popov:

16

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 31

S–k

–kS

–2 Sk/

ω = 0

–kS 2 ∞ω =+

Fig.VII.31

Pt. ω =1, tăietura cu axa absciselor este:

v = –kS/2, w = 0.

Locul Popov: / 2, 0.Sw v k v v= − − <

v w

0ω = ⇒

2 2 2

2 ,4 (1 )

Skvω ω

= −+ −

2

2 2 2

(1 ) .4 (1 )

Skw ωω ω

−= −

+ −

2 , ;S Sv k w k= − = −ω = ∞⇒ 0, 0.v w= =

a

Pt. a trasa o dP prin (–1/4,0) este necesar ca

–1/4 < –kS/2,

respectiv kS < 1/2.

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 32

2.2. Pt. G(s) = GS(s)GF(s), cu GS(s) = kS(s + 1), rezultă:

2

1( ) ( 1)( 1)SG s k s

s s= +

+.

( 1)Sk

s s=

+

2 0,1

Skvω

= − <+

2 0.1

Skwω

= − <+

( )( 1)

SkG jj j

ωω ω

=+ 2 .

( 1)Sjk ω

ω ω− −

=+

Eliminând ω2+1 locul Popov, fig.VII.31.b :

w = v, v < 0.

Ec. parametrice ale loc. Popov:

17

M. Voicu, IA (VII) C 14 (33) 33

Locul Popov (fig.VII.31.b) : w = v, pentru v < 0.

2 0,1

Skvω

= − <+

2 0.1

Skwω

= − <+

Pt. ω = ∞, tăietura cu axa absciselor este:v = 0, w = 0.

Cf. t. 4 se poate trasa o dP de pantă 1/q ≤ 1în orice punct (v, 0) cu v < 0.

Sistemul automat este absolut stabil pt. clasa C (0,+∞) şi kS > 0.

S–k

–kS

(b)Fig.VII.31

v w

ω = 0

curs introducere în automatică m. voicu

Documents