curs 3 - serii de numere reale. serii cu termeni pozitivi · 2020. 11. 11. · curs 3 serii de...
TRANSCRIPT
-
CURS 3Serii de numere reale. Serii cu termeni pozitivi
A. Arusoaiee-mail: [email protected]
Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html
Facultatea de Informatică,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iaşi
15 Octombrie, 2020
http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html
-
Structura cursului
1 Serii de numere realeDefiniţii. ProprietătiExempleCondiţia necesară de convergenţăCriteriul lui Cauchy de convergenţăOperaţii cu serii
2 Serii cu termeni din pozitiviCriterii de comparaţieCriteriul de condensare al lui CauchyCriteriul radacinii - al lui CauchyCriteriul lui KummerCriteriul raportului - al lui D’AlembertCriteriul lui Raabe-DuhamelCriteriul lui BertrandCriteriul lui Gauss
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 2 / 35
-
Structura cursului
1 Serii de numere realeDefiniţii. ProprietătiExempleCondiţia necesară de convergenţăCriteriul lui Cauchy de convergenţăOperaţii cu serii
2 Serii cu termeni din pozitiviCriterii de comparaţieCriteriul de condensare al lui CauchyCriteriul radacinii - al lui CauchyCriteriul lui KummerCriteriul raportului - al lui D’AlembertCriteriul lui Raabe-DuhamelCriteriul lui BertrandCriteriul lui Gauss
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 3 / 35
-
Ce este o serie?
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 4 / 35
-
Ce este o serie?
Problemă:
John se antrenează pentru un maraton; totusi, are un plan de lucru destul deneobisnuit. În prima zi de antrenament, aleargă o milă. A doua zi, acestaaleargă 1/2 dintr-o milă, iar a treia zi inca 1/4 de milă. În următoarele zileacesta aleargă jumătatea distanţei parcurse ı̂n ziua precedentă.Presupunând că John se antrenează o veşnicie, câte mile va alerga ı̂n total?
1 +1
2+
1
4+
1
8+ . . . =?
Răspuns: 2 mile
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 5 / 35
-
Ce este o serie?
Problemă:
John se antrenează pentru un maraton; totusi, are un plan de lucru destul deneobisnuit. În prima zi de antrenament, aleargă o milă. A doua zi, acestaaleargă 1/2 dintr-o milă, iar a treia zi inca 1/4 de milă. În următoarele zileacesta aleargă jumătatea distanţei parcurse ı̂n ziua precedentă.Presupunând că John se antrenează o veşnicie, câte mile va alerga ı̂n total?
1 +1
2+
1
4+
1
8+ . . . =?
Răspuns: 2 mile
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 5 / 35
-
Ce este o serie?
1 +1
2+
1
4+
1
8+ . . . =?
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 6 / 35
-
Ce este o serie?
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . =?
Luăm suma primilor n termeni:
1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n=
1
2
1− 12n1− 12
Ce se ı̂ntâmplă când n→∞?
Seria:
1
2+
1
4+
1
8+ . . . = lim
n→∞
1
2
1− 12n1− 12
= 1
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . = 1 + 1
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 35
-
Ce este o serie?
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . =?
Luăm suma primilor n termeni:
1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n=
1
2
1− 12n1− 12
Ce se ı̂ntâmplă când n→∞?
Seria:
1
2+
1
4+
1
8+ . . . = lim
n→∞
1
2
1− 12n1− 12
= 1
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . = 1 + 1
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 35
-
Ce este o serie?
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . =?
Luăm suma primilor n termeni:
1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n=
1
2
1− 12n1− 12
Ce se ı̂ntâmplă când n→∞?
Seria:
1
2+
1
4+
1
8+ . . . = lim
n→∞
1
2
1− 12n1− 12
= 1
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . = 1 + 1
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 35
-
Ce este o serie?
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . =?
Luăm suma primilor n termeni:
1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n=
1
2
1− 12n1− 12
Ce se ı̂ntâmplă când n→∞?
Seria:
1
2+
1
4+
1
8+ . . . = lim
n→∞
1
2
1− 12n1− 12
= 1
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . = 1 + 1
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 35
-
Ce este o serie?
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . =?
Luăm suma primilor n termeni:
1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n=
1
2
1− 12n1− 12
Ce se ı̂ntâmplă când n→∞?
Seria:
1
2+
1
4+
1
8+ . . . = lim
n→∞
1
2
1− 12n1− 12
= 1
1+1
2+
1
4+
1
8+ . . .+
1
2n+ . . . = 1 + 1
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 35
-
Serii de numere reale
Definiţie
Numim serie de numere reale, cuplul format din şirurile (xn)n∈N∗ şi (Sn)n∈N∗ ,unde
I (xn)n∈N∗ este un şir de numere reale
I (Sn)n∈N∗ se numeşte şirul sumelor parţiale ataşat seriei, cu
Sn = x1 + x2 + . . .+ xn,∀n ∈ N∗,
Notaţie:
((xn), (Sn))n∈N∗not=∑n∈N∗
xnnot=∑n≥1
xnnot=
∞∑n=1
xn.
Terminologie:
I termenul xn, n ∈ N∗ se numeşte termen general al seriei;I termenul Sn, n ∈ N∗ se numeşte suma parţială de rang n a seriei.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 8 / 35
-
Serii de numere reale
I Dacă (Sn)n∈N∗ este convergent, atunci seria∞∑n=1
xn este convergentă;
Notăm:∞∑n=1
xn(C);
I Dacă (Sn)n∈N∗ este divergent, atunci seria∞∑n=1
xn este divergentă;
Notăm∞∑n=1
xn(D);
I Dacă limn→∞
Sn = S ∈ R, atunci numim S - suma seriei∞∑n=1
xn şi scriem
S =
∞∑n=1
xn.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 9 / 35
-
Serii de numere reale
Definiţie
Pentru p ∈ N, numim restul de ordin p al seriei∞∑n=1
xn, seria∞∑
n=p+1
xnnot= Rp.
Teoremă∞∑n=1
xn este convergentă dacă şi numai dacă ∀p ∈ N, seria Rp este convergentă.
Dacă seria∞∑n=1
xn este convergentă, atunci limp→∞
Rp = 0.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 10 / 35
-
Exemple
1. Seria geometrică de parametru q ∈ R:∞∑n=0
qn.
Şirul sumelor parţiale ataşat seriei are termenul general
Sn = 1 + q + q2 + . . .+ qn =
1− qn+1
1− q, q 6= 1
n+ 1, q = 1
,∀n ∈ N.
Aşadar, avem că:
I
∞∑n=0
qn(C), pentru q ∈ (−1, 1);
I
∞∑n=0
qn(D), pentru q ∈ R \ (−1, 1).
I În plus, avem∞∑
n=0
qn =
{1
1−q , q ∈ (−1, 1);
+∞, q ≥ 1;
Dacă q = −1, seria∞∑n=0
(−1)n = 1− 1 + 1− 1 + . . . se numeşte seria lui
Grandi, şi este divergentă.Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 11 / 35
-
Exemple
2. Seria∞∑n=1
ln
(1 +
1
n
)este divergentă.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 12 / 35
-
Exemple
3. Seria∞∑n=2
n−√n2 − 1√
n2 − neste convergentă.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 13 / 35
-
Condiţia necesară de convergenţă
Teoremă
Dacă∞∑n=1
xn este convergentă, atunci limn→∞
xn = 0.
Observaţii:
I Dacă şirul (xn)n∈N∗ nu converge la 0, atunci seria∞∑n=1
xn este divergentă.
I limn→∞
xn = 0 nu implică neapărat convergenţa seriei∞∑n=1
xn!
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 14 / 35
-
Criteriul lui Cauchy de convergenţă
Teoremă (Criteriul lui Cauchy)
Seria∞∑n=1
xn este convergentă dacă şi numai dacă
∀ε > 0,∃nε ∈ N∗,∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗ : |xn+1 + xn+2 + . . .+ xn+p| < ε.
Teorema
Seria∞∑n=1
xn este divergentă dacă şi numai dacă
∃ε > 0,∀n ∈ N∗,∃kn ≥ n, ∃pn ∈ N∗ : |xkn+1 + xkn+2 + . . .+ xkn+pn | ≥ ε.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 15 / 35
-
Exemplu. Seria armonică
Seria armonică1∞∑n=1
1
neste divergentă.
Arătăm că şirul sumelor parţiale (Sn)n∈N∗ nu este şir Cauchy.Fie n, p ∈ N∗. Atunci avem
|Sn+p − Sn| =1
n+ 1+
1
n+ 2+ . . .+
1
n+ p>
p
n+ p,∀n, p ∈ N∗.
Aşadar, pentru ε =1
2> 0, n ∈ N∗, există kn := n, pn := n ∈ N∗ astfel ı̂ncât∣∣∣ 1
kn + 1+ . . .+
1
kn + pn
∣∣∣ ≥ pnkn + pn
=1
2= ε.
Prin urmare, seria armonică este divergentă.
1Se numeşte asa ı̂ntrucât xn verifică relaţia:2
xn=
1
xn−1+
1
xn+1, ∀n ∈ N∗, n ≥ 2, adică xn
este media armonică a numerelor xn−1 şi xn+1.Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 35
-
Operaţii cu serii
Fie λ ∈ R∗ şi∞∑n=1
xn,∞∑n=1
yn două serii de numere reale.
I Seria∞∑n=1
(xn + yn) se numeşte suma seriilor∞∑n=1
xn şi∞∑n=1
yn;
I Seria∞∑n=1
(λxn) se numeşte produsul seriei∞∑n=1
xn cu scalarul λ ∈ R.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 17 / 35
-
Operaţii cu serii
Teoremă
Fie λ ∈ R∗ şi∞∑n=1
xn,∞∑n=1
yn două serii convergente, cu S :=∞∑n=1
xn şi T :=∞∑n=1
yn.
i) Dacă xn ≤ yn,∀n ∈ N∗, atunci S ≤ T ;
ii) Seria∞∑n=1
(xn + yn) este convergentă şi∞∑n=1
(xn + yn) = S + T .
iii) Seria∞∑n=1
(λxn) este convergentă şi∞∑n=1
(λxn) = λS.
Observaţie: Dacă∞∑n=1
xn(D) şi∞∑n=1
yn(D), este posibil ca∞∑n=1
(xn + yn)(C);
Spre exemplu∞∑n=1
(−1)n(D) şi∞∑n=1
(−1)n+1(D), dar∞∑n=1
[(−1)n + (−1)n+1](C).
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 18 / 35
-
Serii de numere reale
Teoremă
Dacă asociem termenii unei serii convergente ı̂n grupuri finite, păstrând ordineatermenilor, obţinem tot o serie convergentă, cu aceeaşi sumă.
Observaţie:
Uneori, asocierea termenilor unei serii divergente definesc o serie convergentă.
Spre exemplu, dacă asociem doi câte doi termenii seriei lui Grandi∞∑n=1
(−1)n,
care este divergentă, obţinem seria
(−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .+ (−1 + 1) + . . .
care este convergentă, având suma 0.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 19 / 35
-
Structura cursului
1 Serii de numere realeDefiniţii. ProprietătiExempleCondiţia necesară de convergenţăCriteriul lui Cauchy de convergenţăOperaţii cu serii
2 Serii cu termeni din pozitiviCriterii de comparaţieCriteriul de condensare al lui CauchyCriteriul radacinii - al lui CauchyCriteriul lui KummerCriteriul raportului - al lui D’AlembertCriteriul lui Raabe-DuhamelCriteriul lui BertrandCriteriul lui Gauss
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 20 / 35
-
Serii cu termeni din pozitivi
Spunem că o serie∞∑n=1
xn are termeni pozitivi dacă xn ≥ 0,∀n ∈ N∗.
Cum xn ≥ 0,∀n ∈ N∗, este clar că şi şirul sumelor parţiale (Sn)n∈N∗ estecrescător. Aşadar, are loc:
Propoziţie
Seria cu termeni pozitivi∞∑n=1
xn este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor
sale parţiale, (Sn)n∈N∗ , este majorat.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 21 / 35
-
Criteriul I de comparaţie - CCI
În cele ce urmează, vom prezenta unele criterii de convergenţă şi de divergenţăpentru serii cu termeni pozitivi.
Teoremă - CCI
Fie seriile cu termeni pozitivi∞∑n=1
xn şi∞∑n=1
yn, astfel ı̂ncât xn ≤ yn, ∀n ∈ N∗.
i) Dacă∞∑n=1
yn (C), atunci∞∑n=1
xn (C);
ii) Dacă∞∑n=1
xn (D), atunci∞∑n=1
yn (D).
Exemple:
1. Seria∞∑n=1
1
nα, α < 1 este divergentă.
2. Seria∞∑n=1
1
n2este convergentă.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 22 / 35
-
Criteriul II de comparaţie - CCII
Teoremă - CCII
Fie seriile∞∑n=1
xn şi∞∑n=1
yn, cu xn > 0, yn > 0 şi
xn+1xn
≤ yn+1yn
, ∀n ∈ N∗.
i) Dacă∞∑n=1
yn(C), atunci∞∑n=1
xn(C);
ii) Dacă∞∑n=1
xn(D), atunci∞∑n=1
yn(D).
Exemple: Să se studieze natura∞∑n=1
14n+1 .
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 23 / 35
-
Criteriul de comparaţie cu limită - CCIII
Teoremă - CCIII
Fie∞∑n=1
xn şi∞∑n=1
yn, cu yn > 0, n ∈ N∗. Dacă există limn→∞
xnyn
= ` ∈ R+, atunci:
i) dacă ` ∈ (0,+∞), atunci seriile∞∑n=1
xn şi∞∑n=1
yn au aceeaşi natură;
ii) pentru ` = 0, avem
a) dacă∞∑
n=1
yn(C) atunci∞∑
n=1
xn(C);
b) dacă∞∑
n=1
xn(D), atunci∞∑
n=1
yn(D);
iii) pentru ` = +∞, avem
a) dacă∞∑
n=1
xn(C), atunci∞∑
n=1
yn(C);
b) dacă∞∑
n=1
yn(D), atunci∞∑
n=1
xn(D).
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 24 / 35
-
Exemple:
1. Seria∞∑n=1
sin1
neste divergentă.
2. Seria∞∑n=1
n+ 3
2n4 + 1este convergentă.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 25 / 35
-
Criteriul de condensare al lui Cauchy
Teoremă
Fie (xn)n∈N∗ un şir descrescător de numere pozitive.
Atunci seria∞∑n=1
xn are aceeaşi natură cu seria∞∑n=1
2nx2n .
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 26 / 35
-
Exemplu. Seria armonică generalizată
Seria∞∑n=1
1
nα, α ∈ R se numeşte serie armonică generalizată.
I Aplicând criteriul condensării, obţinem că natura seriei∞∑n=1
1
nαeste aceeaşi cu
a seriei∞∑n=1
2n(
1
2n
)α=
∞∑n=1
1
2(α−1)n, care nu este altceva decât o serie
geometrică cu raţia1
2α−1.
I Aceasta converge dacă1
2α−1< 1, adică pentru α > 1 şi divergentă ı̂n rest.
I Aşadar,∞∑n=1
1
nα(C), dacă α > 1;
∞∑n=1
1
nα(D), dacă α ≤ 1.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 27 / 35
-
Criteriul rădăcinii - al lui Cauchy
Teoremă
Fie∞∑n=1
xn o serie cu termeni pozitivi. Dacă există ` = limn→∞
n√xn ∈ [0,∞], atunci:
i) dacă ` < 1, seria∞∑n=1
xn este convergentă;
ii) dacă ` > 1, seria∞∑n=1
xn este divergentă;
iii) dacă ` = 1, nu putem spune nimic despre natura seriei∞∑n=1
xn.
Exemplu: Seria∞∑n=1
(√n+ 2−
√n+ 1
)neste convergentă.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 28 / 35
-
Criteriul lui Kummer
Teoremă
Fie seria∞∑n=1
xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗ şi fie (an)n∈N∗ ⊂ R∗+.
Dacă există limn→∞
(an
xnxn+1
− an+1)
= ` ∈ R atunci:
i) când ` > 0, seria∞∑n=1
xn (C);
ii) dacă ` < 0 şi∞∑n=1
1
an(D), atunci
∞∑n=1
xn (D).
iii) dacă ` = 0 nu putem spune nimic despre natura seriei∞∑n=1
xn.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 29 / 35
-
Criteriul raportului - al lui D’Alembert
I dacă luăm ı̂n criteriul lui Kummer, an = 1, n ∈ N∗, obţinem următorulrezultat:
Teoremă
Fie seria∞∑n=1
xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Dacă există limita
limn→∞
xn+1xn
= ` ∈ [0,∞]
atunci:
i) dacă ` < 1, atunci∞∑n=1
xn (C);
ii) dacă ` > 1, atunci∞∑n=1
xn (D);
iii) dacă ` = 1, nu ne putem pronunţa asupra naturii seriei∞∑n=1
xn.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 30 / 35
-
Criteriul lui Raabe-Duhamel
I dacă luăm ı̂n criteriul lui Kummer, an = n, n ∈ N∗, obţinem următorulrezultat:
Teoremă
Fie seria∞∑n=1
xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗, astfel ı̂ncât există
limn→∞
[n
(xnxn+1
− 1)]
= ρ.
i) Dacă ρ > 1, atunci∞∑n=1
xn (C);
ii) Dacă ρ < 1, atunci∞∑n=1
xn (D);
iii) Dacă ρ = 1, nu putem stabili natura seriei.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 31 / 35
-
Criteriul lui Bertrand
I dacă luăm ı̂n criteriul lui Kummer, an = n lnn, ∀n ∈ N∗, atunci obţinem:
Teoremă
Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1
xn, cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Presupunem că există
limn→∞
(xnxn+1
n lnn− (n+ 1) ln (n+ 1))
= µ ∈ R.
i) Dacă µ > 0, atunci∞∑n=1
xn (C);
ii) Dacă µ < 0, atunci∞∑n=1
xn (D);
iii) Dacă µ = 0, nu ne putem pronunţa asupra naturii seriei∞∑n=1
xn.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 32 / 35
-
Criteriul lui Gauss
Teoremă
Fie∞∑n=1
xn o serie cu xn > 0, ∀n ∈ N∗. Presupunem că există α, β ∈ R, γ ∈ R∗+
şi (yn)n∈N∗ un şir mărginit astfel ı̂ncât
xnxn+1
= α+β
n+
ynn1+γ
,∀n ∈ N∗.
i) dacă α > 1, atunci∞∑n=1
xn (C);
ii) dacă α < 1, atunci∞∑n=1
xn (D);
iii) dacă α = 1 şi β > 1, atunci∞∑n=1
xn (C);
iv) dacă α = 1 şi β ≤ 1, atunci∞∑n=1
xn (D).
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 33 / 35
-
Exerciţiu: Să se studieze natura seriilor:
1.∞∑n=1
1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)3 · 5 · . . . · (3n− 1)
;
2.∞∑n=1
(2n)!
(n!)2 · 22n;
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 34 / 35
-
Bibliografie
A. Precupanu, Bazele analizei Matematice, Editura Universităţii “Al. I.Cuza”, Iaşi, 1993.
F.L. Ţiplea, Introducere ı̂n teoria mulţimilor, Editura Universităţii “Al. I.Cuza”, Iaşi, 1998.
M. Postolache, Analiză matematică (teorie şi aplicaţii), Editura Fair Partners,Bucureşti, 2011.
G. Bergman, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions,Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708 1998, 398, pp. 45.(http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/)
G. O’Regan, Mathematics in Computing, Springer Verlag, London, 2013.
Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 35 / 35
http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/
Serii de numere realeDefinitii. ProprietatiExempleConditia necesara de convergentaCriteriul lui Cauchy de convergentaOperatii cu serii
Serii cu termeni din pozitiviCriterii de comparatieCriteriul de condensare al lui CauchyCriteriul radacinii - al lui CauchyCriteriul lui KummerCriteriul raportului - al lui D'AlembertCriteriul lui Raabe-DuhamelCriteriul lui BertrandCriteriul lui Gauss