curs 13 ec dif ord sup, ord 2

57
Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare de ordin superior Se consideră ecuaţia diferenţială de ordinul n: , (9.53) cu , în condiţiile iniţiale: (9.54) Se introduc notaţiile: (9.55) Prin efectuarea substituţiilor în (9.53), se obţine că ecuaţia diferenţială de ordinul n (9.53) este echivalentă cu următorul sistem de n ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi: 189

Upload: valentina

Post on 12-Sep-2015

251 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

dafsaf

TRANSCRIPT

Manual2.dot

Rezolvarea ecuaiilor difereniale ordinare de ordin superior

Se consider ecuaia diferenial de ordinul n:

,(9.53)

cu , n condiiile iniiale:

(9.54)

Se introduc notaiile:

(9.55)

Prin efectuarea substituiilor n (9.53), se obine c ecuaia diferenial de ordinul n (9.53) este echivalent cu urmtorul sistem de n ecuaii difereniale ordinare de ordinul nti:

(9.56)

Condiiile iniiale pentru sistemul (9.56) se obin din relaiile (9.54) i (9.55):

(9.57)

Metodele de soluionare a sistemelor de ecuaii sunt similare celor de la ecuaii.

9.7 Ecuaii difereniale de ordinul al doilea

9.7.1 Problema cu condiii la limit

9.7.2 Metoda diferenelor finite

9.7.1 Problema cu condiii la limit

n continuare ne propunem s determinm soluia ecuaiei difereniale de ordinul al doilea

(9.58)

pe intervalul , care, la capetele acestui interval, satisface condiiile

.(9.59)

Rezolvarea acestei probleme revine la determinarea unei funcii , de dou ori derivabil pe , care, pentru orice , satisface ecuaia diferenial

,iar n capetele acestui interval satisface condiiile (9.59).

Funciile sunt funcii continue pe intervalul . Condiiile (9.59), pe care le ndeplinete funcia la capetele intervalului

, se numesc condiii la limit. Deoarece valorile funciei necunoscute sunt date n punctele a i b, problema determinrii soluiei ecuaiei difereniale (9.58), care verific condiiile la limit (9.59), se numete problema bilocal sau problema Sturm-Liouville.

Observm, mai nti, c dac este soluia ecuaiei (9.58), cu condiiile la limit (9.59), atunci funcia , unde

,este soluia ecuaiei

,

iar

i satisface condiiile la limit omogene

.

Aceast observaie ne permite ca, n continuare, atunci cnd este cazul, s putem studia problema bilocal cu condiiile la limit omogene.

Rezolvarea problemei bilocale prin metode analitice este greu de fcut, deoarece nu ntotdeauna este posibil ca funcia s fie exprimat ca o combinaie de funcii elementare. De aceea, de regul, pentru rezolvarea problemei bilocale se folosesc metode numerice.

9.7.2 Metoda diferenelor finite

Pentru aproximarea soluiei ecuaiei difereniale de ordinul al doilea

,(9.60)

care satisface condiiile la limit

,(9.61)

prin metoda diferenelor finite, se mparte intervalul n n subintervale de lungime egal , cu ajutorul punctelor de diviziune . Valorile funciilor i n nodurile din interiorul intervalului vor fi notate cu

Pentru valorile aproximative ale soluiei exacte i ale derivatelor sale n nodurile , vom utiliza notaiile .

Folosind formula lui Taylor, putem scrie dezvoltrile

,

,

unde , iar . Prin scderea i adunarea acestor relaii, se obin expresiile derivatelor de ordinul nti i doi ale funciei n nodurile ,

,

.

nlturnd restul, se obin pentru valorile aproximative ale derivatelor soluiei ecuaiei difereniale urmtoarele expresii

,

.

Scriem acum ecuaia (9.60) n fiecare nod ,

,

i nlocuim valorile exacte cu cele aproximative . Obinem astfel ecuaii

,care, dup aducerea la acelai numitor, capt forma

,

. Pentru scrierea mai simpl a ecuaiilor anterioare am notat

. Condiiile la limit dau .

Cu aceste notaii obinem, pentru determinarea necunoscutelor , un sistem de ecuaii liniare de o form special, cu elemente nenule pe diagonala principal i pe nc dou paralele la ea, una deasupra i una dedesubt. Un astfel de sistem se numete sistem band tridiagonal

Notm cu A matricea acestui sistem

,

cu X vectorul necunoscutelor i cu g vectorul termenilor liberi

,

.

Atunci sistemul de mai sus se poate scrie sub form matriceal

,

cu A matrice band tridiagonal. Rezolvnd acest sistem (a se vedea metoda special de rezolvare a sistemelor band tridiagonale, prezentat n capitolul urmtor), se determin vectorul X, adic soluia ecuaiei difereniale de ordinul doi (9.60), calculat n nodurile reelei construite. Pentru determinarea soluiei n puncte t diferite de nodurile , se folosete un polinom de interpolare.

Se poate demonstra c eroarea n metoda diferenelor finite pentru problema bilocal satisface inegalitatea

.

METODE NUMERICE PENTRU ECUAII DIFERENIALECU DERIVATE PARIALE

10.1 Noiuni introductive

10.2 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I

10.2.1 Scheme explicite

10.2.2 Scheme implicite

10.3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul II

10.3.1 Ecuaii cu derivate pariale de tip parabolic

10.3.1.1 Scheme explicite

10.3.1.2 Scheme implicite

10.3.1.3 Convergen, consisten, stabilitate

10.3.1.4 Ecuaii parabolice cu dou variabile spaiale. Metoda Crank-Nicolson

10.3.1.5 Metoda direciilor alternante

10.3.1.6 Ecuaii parabolice neliniare

10.3.2 Ecuaii cu derivate pariale de tip eliptic

10.3.2.1 Aspecte introductive

10.3.2.2 Metodele iterative punctuale

10.3.2.3 Metode iterative n bloc

10.3.3 Ecuaii cu derivate pariale de tip hiperbolic

10.3.3.1 Aspecte introductive

10.3.3.2 Metoda caracteristicilor

10.3.3.3 Scheme cu diferene finite

10.1 Noiuni introductive

n modelarea fenomenelor i proceselor reale, a cror complexitate implic, n general, determinarea unor funcii de dou sau mai multe variabile independente sunt ntlnite n mod inevitabil ecuaiile difereniale cu derivate pariale sau, pe scurt, ecuaii cu derivate pariale (EDP). ntr-adevr, o descriere mai apropiat de realitate a fenomenelor care se desfoar n spaiu comport cel puin dou variabile independente, iar urmrirea desfurrii lor poate necesita introducerea unei noi variabile independente, timpul.

Diversitatea ecuaiilor i sistemelor de ecuaii difereniale este extraordinar, iar condiiile la limite i cele iniiale (al cror rol este deosebit de important) nu fac dect s adauge noi cazuri i tipuri de probleme de rezolvat. Nu este deci de mirare c n domeniul EDP (n special al ecuaiilor neliniare) teoria matematic nu este suficient de elaborat. Din aceste motive, abordarea numeric, dei capabil, n principiu, s furnizeze date noi, nu poate fi n msur s in loc i de teorie, recomandndu-se o extrem pruden n validarea rezultatelor obinute n cazurile neacoperite suficient de teorie. Reconfirmarea rezultatelor obinute pe diverse ci, suficient de distincte ntre ele, este o metod util, poate singura n anumite situaii extreme.Ecuaiile cu derivate pariale pot fi clasificate n funcie de mai multe criterii; dup ordinul derivatelor pariale, se clasific n ecuaii de ordinul nti, ordinul al doilea, ordinul n; dup caracterul de liniaritate se mpart n ecuaii liniare, cvasiliniare i neliniare; dup tipul influenei domeniului de integrare asupra soluiei ntr-un punct, se mpart n ecuaii eliptice, parabolice i hiperbolice; dup forma condiiilor la limit ntlnim probleme Dirichlet, Neumann i mixte.

n cele ce urmeaz, vom aborda unele tipuri de EDP mai uzuale, cu condiii iniiale i la limite, pentru care teoria asigur existena i unicitatea soluiilor.

10.2 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I

Ecuaia cu derivate pariale de ordinul nti se scrie sub forma

,(10.1)

n care u este funcia necunoscut, variabilele independente, iar funciile , i B depind cel mult de funcia u (nu i de derivatele pariale ). Dac i B nu depind de funcia u, ecuaia se numete liniar; dac , ecuaia se numete omogen.

Rezolvarea ecuaiei cu derivate pariale (10.1) se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaii difereniale ordinare numit sistem caracteristic

.(10.2)

Soluia ecuaiei (10.1) este o suprafa n-dimensional ntr-un domeniu , de forma sau , care verific ecuaia (10.1) i anumite condiii de selecie. Problema este studiat complet pentru cazul cnd suprafaa integral n-dimensional trece printr-o suprafa -dimensional , dat n domeniul -dimensional (problem Cauchy). Suprafaa poate fi dat sub forma interseciei a dou suprafee n-dimensionale

(10.3)

n principiu, soluia general a sistemului de ecuaii difereniale (10.2), sistem de ordinul n, depinde de n constante arbitrare , i se poate scrie sub forma

.(10.4)

Funciile sunt determinate de forma sistemului caracteristic. Suprafeele se numesc suprafee caracteristice, iar interseciile lor, depinznd de un singur parametru, se numesc linii caracteristice.

Condiiile (10.3), mpreun cu (10.4) formeaz un sistem de ecuaii, din care, n principiu, prin exprimarea celor variabile n funcie de , i introducerea lor n a -a ecuaie rmas, se obine o relaie ntre parametrii , sub forma

,(10.5)

care, prin (10.4), d tocmai soluia a problemei

.(10.6)

n calculul numeric, soluia se caut ntr-un anumit volum -dimensional , care conine suprafaa dat de (10.3). Se alege o diviziune convenabil a suprafeei . Valorile n noduri , sunt condiii iniiale pentru sistemul de ecuaii difereniale (10.2), ale crui soluii sunt liniile de cmp ale vectorului de componente . Se obin N linii de cmp ale suprafeei integrale.

Dac (ecuaie omogen), sistemul (10.2) se simplific, deoarece o integral prim este Rmne de rezolvat sistemul de ecuaii difereniale

,(10.7)

fiind dat de condiia iniial (10.3). Din (10.7) se obin liniile de cmp ale unui vector de componente , pe care

10.2.1 Scheme explicite

O prim etap n rezolvarea numeric a unei ecuaii cu derivate pariale o constituie discretizarea, care const, pe de o parte, n divizarea domeniului cu ajutorul unei reele de calcul, iar, pe de alt parte, n nlocuirea ecuaiei cu derivate pariale cu o ecuaie mai simpl. Exist mai multe metode pentru nlocuirea ecuaiei cu derivate pariale: metode cu diferene finite, metode cu volume finite, metode cu elemente finite, metode spectrale. n acest capitol, sunt prezentate elementele de baz pentru rezolvarea numeric a ecuaiilor cu derivate pariale folosind metode cu diferene finite.

Considerm ecuaia unidimensional a propagrii undelor

,(10.8)

unde a este o constant pozitiv. Am folosit notaia . Pentru a rezolva ecuaia (10.8), sunt necesare condiii iniiale de forma

.(10.9)

n multe cazuri sunt date i condiii la limit

,(10.10)

funciile f, i fiind date. Pentru a rezolva numeric ecuaia (10.8), se mparte domeniul dreptunghiular de dimensiuni 1 i T cu ajutorul unei reele cu pai egali, pentru simplitate, h pe direcia Ox i k pe direcia Ot. Una dintre modalitile de a obine o ecuaie cu diferene finite este de a folosi dezvoltarea n serie Taylor a funciei n jurul punctului

,(10.11)

,unde , , . Rezult

(10.12)

Neglijnd termenii i , rezult ecuaia n diferene finite

,(10.13)

unde cu s-a notat valoarea aproximativ a funciei , iar este cunoscut sub denumirea de numr Courant. Relaia (10.13) este o schem explicit cu diferene finite, deoarece valorile se determin direct, folosind numai valorile de la momentul de timp anterior. Valorile sunt aproximative, deoarece din dezvoltrile (10.11) am folosit numai termenii de ordinul I.

Spunem c formulele (10.12) au ordinul nti de precizie. Observm cum pentru se obine soluia exact .Exemplu. Vom rezolva ecuaia

,(10.14)

cu condiiile iniiale i la limit

.(10.15)

La momentul iniial de timp , funcia necunoscut u este nul pentru toate valorile x din domeniul de calcul, mai puin valoarea , unde exist o perturbaie . Aceast perturbaie se va propaga n timp i spaiu. Rezultatele obinute cu schema explicit (10.13) sunt date n fig. 10.2. Se observ diferene mari ntre rezultatele obinute cu reele diferite. Dei ar fi fost de ateptat ca cele mai bune rezultate s fie obinute pentru , acestea se obin pentru . Rezultate slabe sunt obinute pentru , care difer mult de cele obinute cu . Dei pasul mai mic pe direcia Ox nseamn o aproximare mai bun a derivatei spaiale i ne-ar ndrepti s sperm la rezultate mai bune, acest lucru nu se ntmpl, ba din contr, rezultatele nu mai au nicio semnificaie fizic. Aa cum vom vedea mai departe, acest lucru se datoreaz faptului c schema (10.13) este instabil pentru valori .

Dup cum am vzut din exemplul precedent, folosirea unei reele foarte fine (altfel spus, norma reelei este foarte mic) nu este ntotdeauna suficient.

Reeaua de calcul trebuie de multe ori s ndeplineasc anumite condiii pentru ca o schem cu diferene finite s fie convergent.

Definiie. O metod cu diferene finite este convergent, dac soluia obinut cu ajutorul ecuaiei cu diferene converge ctre soluia exact atunci cnd norma reelei tinde la zero.

innd cont de (10.2), caracteristicile ecuaiei (10.8) sunt date de

,(10.16)

adic drepte de pant . Condiia de convergen pentru schema explicit (10.13) este dat de criteriul CFL (Courant-Friederichs-Lewy), care impune ca domeniul de influen numeric s includ domeniul de influen fizic. Domeniul de influen a punctului B este format din totalitatea punctelor care primesc informaie din B. Domeniul de influen fizic este mrginit la dreapta de BD, n timp ce domeniul de influen numeric este mrginit la dreapta de BA. Schema explicit (10.13) este convergent dac reeaua ndeplinete condiia

.(10.17)

Dac condiia (10.17) nu este ndeplinit, schema (10.13) nu este convergent, deoarece nu este stabil.

Dac pentru aproximarea derivatei spaiale n locul diferenei la stnga (10.12) folosim diferene la dreapta

(10.18)

obinem

.(10.19)

Utiliznd schema (10.19) pentru rezolvarea ecuaiei (10.14), valorile pentru toate momentele de timp rmn egale cu valorile iniiale , deoarece schema (10.19) nu permite propagarea informaiei de la stnga la dreapta, ci numai de la dreapta la stnga. Schema (10.19) ar putea fi folosit n cazul , caz n care schema (10.12) nu mai este adecvat.

Putem ncerca o aproximare mai bun pentru derivata spaial folosind diferene centrate

(10.20)

obinndu-se

,(10.21)

schem care este instabil pentru orice valoare a numrului Courant c. Observm cum un ordin mai mare n aproximarea derivatelor pariale nu nseamn neaprat precizie mai bun.

O schem explicit des ntlnit este schema Lax-Wendroff, dat de

,(10.22)

care are ordinul de precizie . Pentru , se obine soluia exact , la fel ca la schema (10.13).

10.2.2 Scheme implicite

Convergena condiionat este o caracteristic a schemelor explicite i impune adeseori pai de timp foarte mici. Pentru a evita acest neajuns, se folosesc schemele implicite, n care derivatele spaiale se aproximeaz folosind valorile aproximative nu la momentul n, ci la momentul ,

.(10.23)

Se obin ecuaiile cu diferene finite

(10.24)

Schema (10.24) este necondiionat convergent.

O alt schem implicit este cea atribuit lui Wendroff, dat de relaia

,(10.25)

care este de asemenea necondiionat convergent.

10.3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul II

Vom considera ecuaia cu derivate pariale de ordinul doi cvasiliniar de forma

,(10.26)

cu . Forma (10.26) nu conine derivate mixte (este o form canonic) i se poate obine prin schimbri de variabile adecvate, dup cum se va putea vedea n continuare. Ecuaia (10.26) este de tip

(a) eliptic, dac toi coeficienii , au acelai semn;

(b) parabolic, dac exist un indice j, astfel nct i ;

(c) hiperbolic, dac toi coeficienii au acelai semn, cu excepia unuia care are semn opus.

Aceast clasificare este important, deoarece este legat de modul n care un punct din domeniu este influenat de (comunic cu) punctele din vecintate.

n cazul ecuaiei de tip eliptic, punctul este influenat de toate punctele din orice vecintate (disc, bula) a lui. Un exemplu tipic de ecuaie de tip eliptic este ecuaia lui Laplace

.(10.27)

Datorit influenei reciproce, o problem de tip eliptic nu se poate rezolva numeric dect simultan pentru toate punctele din domeniu. Condiiile la limit n acest caz se impun pe frontiere nchise.

n cazul ecuaiei de tip parabolic exist posibilitatea unui mar n calculul numeric, n direcia , pentru care . Ecuaia se scrie sub forma

,(10.28)

iar problema se rezolv simultan numai pentru punctele situate pe suprafeele , nu pentru toate nodurile din domeniu, ceea ce simplific esenial calculul. Problemele cu ecuaii de tip parabolic sunt comparativ mai simple (la acelai numr de variabile) dect cele cu ecuaii de tip eliptic. Exemplu tipic de ecuaie de tip parabolic este ecuaia de transmitere a cldurii n regim nestaionar

,(10.29)

t fiind timpul. Ecuaia (10.29) n trei variabile independente este, n general, mai uor de rezolvat numeric dect ecuaia (10.27) n variabilele .

n cazul ecuaiei de tip hiperbolic, exist puncte care nu se pot influena reciproc. Un exemplu l reprezint micrile supersonice, unde perturbaiile mici sunt limitate la interiorul unui con, denumit con Mach. Prin urmare, n rezolvarea numeric trebuie evitat comunicarea numeric a nodurilor care nu comunic fizic ntre ele. Un exemplu tipic de ecuaie de tip hiperbolic este ecuaia undelor

(10.30)

a fiind viteza de propagare a undei . n cazul ecuaiilor hiperbolice exist mai multe direcii caracteristice distincte de-a lungul crora se poate avansa plecnd de la o stare iniial. Problemele pot include ns, pe lng condiii iniiale, i condiii la limite, caz n care soluiile sunt esenial diferite.

Pentru exemplificare considerm ecuaia

(10.31)

unde , , , , , iar a, b, c i f sunt funcii de x, y i u. Se cunosc valorile funciei u i ale derivatelor i pe curba i sub aceasta. Se pune problema dac aceste valori cunoscute sunt suficiente pentru a putea determina valorile derivatelor de ordinul al doilea, i . Vom scrie

(10.32)

Ecuaiile (10.31) i (10.32) formeaz sistemul

.(10.33)

Soluia sistemului (10.33) exist i este unic dac determinantul matricei sistemului este nenul, adic

.(10.34)

Dac curba are panta , astfel nct , atunci sistemul (10.33) este nedeterminat, necunoscutele neputnd fi determinate n mod unic.

Ecuaia (10.34) poate avea:

(a) dou rdcini reale distincte, , dac ; n acest caz ecuaia este de tip hiperbolic;

(b) dou rdcini reale confundate, , dac ; ecuaia este de tip parabolic;

(c) dou rdcini complex conjugate, dac ; ecuaia este de tip eliptic.

Nedeterminarea care se obine n cazul n care este o curb caracteristic a unei ecuaii de tip hiperbolic sugereaz ideea c este posibil ca pe aceast curb ecuaia (10.31) s poat fi nlocuit cu o ecuaie mai simpl. Dup cum vom vedea la 10.2.4, ecuaia cu derivate pariale de ordinul al doilea se poate nlocui pe o curb caracteristic cu o ecuaie diferenial ordinar, mult mai simplu de rezolvat numeric.

10.3.1 Ecuaii cu derivate pariale de tip parabolic

Vom considera cea mai simpl ecuaie de tip parabolic sub forma

.(10.35)

Ecuaia (10.35) este un caz particular al ecuaiei (10.31), cu , avem , deci ecuaia este de tip parabolic.

Exemplu. Ecuaia (10.35) se ntlnete n transmiterea cldurii n regim nestaionar. Absena constantelor fizice n (10.35) se explic prin faptul c s-au introdus variabile adimensionalizate: u, temperatura adimensionalizat, t, x timpul i coordonata spaial, de asemenea adimensionalizate. Transferul cldurii printr-o bar n care una dintre dimensiuni este mult mai mare dect celelalte dou i deci fenomenul se poate considera unidimensional, n regim nestaionar, este descris de ecuaia

(10.36)

unde este densitatea materialului, n cldura specific, n , iar este conductivitatea termic, n . Ecuaia (10.36) are condiiile iniiale i la limite

(10.37)

Din punct de vedere fizic, reprezint distribuia de temperatur ntr-o bar de lungime L, la momentul iniial , iar i temperaturile la care se menin capetele barei, spre exemplu, ca urmare a contactului cu mediul ambiant sau cu alte corpuri. n locul temperaturii date, se poate impune fluxul de temperatur, adic derivata , de regul nul. Funciile i sunt, n cazul general, funcii de timp, n timp ce funcia este, n general, funcie de coordonata spaial x. Vom lua n considerare, pentru simplitate, n cele ce urmeaz, cazul n care funciile i sunt constante, .

Se introduc coordonata adimensionalizat x i temperatura adimensionalizat u prin relaiile

.(10.38)

Ecuaia (10.36) devine

.(10.39)

Variabila adimensionalizat pentru timp este sugerat de coeficientul derivatei .

Folosirea unei variabile adimensionale pentru timp este posibil numai dac

.(10.40)

Adimensionalizarea este recomandat deoarece conduce, n general, la reducerea numrului de parametri, iar valorile variabilelor dependente i a funciilor necunoscute au acelai ordin de mrime.

Se obine, n final, ecuaia (10.35). n continuare renunm la notaia cu bar pentru variabilele adimensionalizate.

Ecuaia (10.35) se rezolv pentru urmtoarele condiii:

(a) condiii iniiale

;(10.41)

(b) condiii la limite

.(10.42)

n relaiile (10.41) i (10.42), i sunt funcii date.

Metoda de rezolvare numeric const n mprirea domeniului dreptunghiular de dimensiuni 1 i T (durata pe care urmrim desfurarea fenomenului) n subdiviziuni prin noduri cu pai egali, h n direcia x i k n direcia t

,(10.43)

I i N fiind ntregi suficient de mari. Un nod oarecare de coordonate va fi notat cu doi indici . Pentru variabila timp vom utiliza indici superiori.

Ecuaia (10.35) se va scrie n noduri, aproximnd derivatele pariale cu diferene finite. Aceast operaie se numete discretizare (cu diferene finite), deoarece valorile funciei se vor calcula doar n noduri, adic pe o mulime discret de puncte.

Deoarece calculul numeric ne va furniza doar valori aproximative pentru funcia u, vom scrie

,(10.44)

v reprezentnd valorile aproximative ale funciei u, iar w eroarea.

10.3.1.1 Scheme explicite

Aproximnd derivatele pariale cu diferene finite sub forma

,(10.45)

se obine o expresie explicit pentru valoarea funciei la momentul de timp , n funcie de valorile la momentul anterior n

,(10.46)

unde am notat cu parametrul reelei

.(10.47)

Se observ c pentru calculul valorii sunt necesare trei valori la momentul n: , i (fig. 10.1). Pentru , aceste valori sunt cunoscute din condiiile iniiale i la limite. ntr-adevr, din (10.46), (10.41) i (10.42) se obine

(10.48)

Fig. 10.1 Metoda explicit

n acest fel, calculul poate continua pas cu pas n direcia axei timpului. Relaia (10.46) este explicit, deoarece sistemul de ecuaii care se obine pentru este practic rezolvat. Rmne de studiat problema convergenei metodei explicite.

n cazul de fa, trebuie studiat comportarea soluiei date de schema explicit (10.45) sau (10.46), cu condiiile la limite i iniiale (10.48).

ntr-un punct oarecare , ecuaia exact (10.35) se scrie

.(10.49)

Derivatele pariale din (10.49) se vor exprima cu ajutorul dezvoltrilor n serie Taylor ale valorilor funciei n puncte vecine. Astfel,

(10.50)

,(10.51)

de unde rezult

(10.52)

S-a presupus c derivatele pariale ale funciei u n raport cu variabilele t, x sunt definite pn la ordinele necesare. Cu ajutorul relaiilor (10.52), ecuaia (10.49) conduce la sistemul

.(10.53)

Fa de ecuaiile (10.46) pentru valorile aproximative n noduri , sistemul (10.53) pentru valorile exacte conine reziduul , avnd expresia

.(10.54)

Scznd relaiile (10.53) i (10.46), se obine pentru eroarea w, definit de (10.44),

.(10.55)

Condiia de convergen a schemei cu diferene se poate formula astfel:

, cnd .(10.56)

Pentru a stabili n ce condiii se realizeaz (10.56), vom urmri comportarea modulelor erorilor maxime. Din (10.56), se obine pentru

.(10.57)

Notm cu . Inegalitatea (10.57), fiind adevrat pentru orice i, este adevrat i pentru acel care realizeaz maximul modulului; valoarea acestui fiind necunoscut, o vom nota tot cu i. n acest fel, din (10.57) se obine succesiv

(10.58)

Pentru ca eroarea s nu creasc de la un moment de timp n la momentul urmtor , este necesar i suficient ca

.(10.59)

Cu condiia (10.59), se obine

.(10.60)

Sumnd egalitatea (10.60) termen cu termen de la 0 la i efectund reducerile, rezult

,(10.61)

unde reprezint eroarea la momentul iniial , iar . Deoarece problema se rezolv pentru condiiile iniiale i la limite impuse, eroarea este nul ; n orice caz, chiar dac n condiiile impuse sunt erori, acestea nu se datoreaz metodei.

Cu aceast observaie i innd cont de (10.54), se obine

cnd ,(10.62)

adic metoda explicit cu diferene finite converge, cu condiia (10.59).

Convergena condiionat este o situaie general ntlnit la metodele explicite i conduce la creterea volumului de calcul pentru obinerea unei precizii corespunztoare. Spre exemplu, pentru , sunt necesari cel puin 5000 de pai pentru . n acelai timp, este interesant de observat c, pentru k fixat, micorarea pasului h dup direcia x poate duce la rezultate eronate dac nu se respect condiia .

Urmrind fig.10.6, vom ncerca s dm o explicaie calitativ a fenomenului de convergen condiionat pentru schemele explicite. Astfel, cunoscnd valorile funciei u pe linia AB, se pot calcula valorile aproximative pentru punctele din interiorul triunghiului ABP, fr a utiliza valorile impuse de condiiile la limite. Altfel spus, punctul P primete influen (n procesul numeric de calcul) numai de la punctele din interiorul triunghiului ABP, fapt ce ar corespunde fizic unei ecuaii de tip hiperbolic i nu parabolic. O schem cu diferene 100% parabolic ar trebui s nu poat determina valoarea funciei u ntr-un punct de pe linia CD fr ca valorile din punctele C i D s fie luate n calcul. O astfel de comportare o au schemele implicite care vor fi prezentate n continuare.

Un aspect interesant al schemelor cu diferene finite l constituie schemele optimale. Acestea constau n alegerea parametrului reelei , astfel nct eroarea de trunchiere s fie ct mai mic. Pentru exemplificare, vom considera schema explicit (10.46)

,(10.63)

cu eroarea de trunchiere dat de relaia (10.54). Pentru ecuaia cldurii (10.35) se arat uor c , astfel nct din (10.54) se vede uor c pentru , adic , eroarea de trunchiere devine

,(10.64)

adic s-a ctigat un ordin de precizie numai prin alegerea adecvat a reelei de calcul. Acest ctig nu este ns att de spectaculos, deoarece egalitatea este adevrat pentru ecuaia , cu condiia ca derivatele respective s fie evaluate exact. Folosind diferene finite, aceast egalitate este verificat aproximativ, n funcie de ordinul aproximrii i de pasul reelei. Relaia (10.54) se scrie pentru n forma

,(10.65)

unde diferena nu este strict egal cu zero.

10.3.1.2 Scheme implicite

Revenind la ecuaia (10.35), vom utiliza aceeai reea de puncte, cu deosebirea c, fa de schema explicit (10.45), n membrul drept vom introduce valorile funciei aproximante v la momentul . Se scrie deci

.(10.66)

Sistemul de ecuaii (10.66) nu mai este explicit, ci reprezint un sistem de ecuaii liniare cu matrice tridiagonal, care furnizeaz valorile funciei n noduri, la momentul de timp

.(10.67)

Sistemul de ecuaii (10.67) se rezolv n mod repetat, pentru momente de timp succesive. Spre exemplu, pentru , se obine sistemul

,(10.68)

cu ,

,(10.69)

.(10.70)

Se observ c matricea sistemului depinde numai de parametrul reelei . Pentru rezolvarea sistemului liniar (10.68), se poate folosi metoda direct, care ine cont de forma tridiagonal a matricei A. innd cont de particularitile sistemului (10.70), algoritmul de rezolvare a ecuaiei cldurii folosind schema implicit (10.66) se poate scrie formal dup cum urmeaz:

Date de intrare:

condiiile iniiale ;

condiiile la limit ;

Factorizare

Rezolv sistemul

Rezolv sistemul

. (10.71)

Deoarece matricea este diagonal dominant , sistemul poate fi rezolvat i prin metode iterative (prin metoda Gauss-Seidel). Valorile funciei la momentul sunt utilizate pentru calculul valorilor de la momentul .a.m.d. (fig. 10.2) .

Schema implicit (10.67) converge necondiionat (se va demonstra mai jos), adic indiferent de valorile parametrului reelei .

Aceast independen a convergenei de parametrul reelei este o proprietate comun a schemelor implicite.

Precizia schemelor implicite se poate mbunti folosind combinaii ale valorilor funciei luate la momentele n i . Notnd cu un coeficient-pondere, se scrie

.(10.72)

n acest fel, derivata se calculeaz pentru un punct intermediar momentelor de timp n i , eroarea de discretizare fiind , fa de n cazurile anterioare. n multe cazuri se ia , metod denumit Crank-Nicolson (vezi figura 10.3), astfel nct sistemul de ecuaii pentru calculul valorilor funciei n noduri devine

.(10.73)

Se observ o cretere a gradului de dominan a elementului diagonal de la pn la . Se poate arta c, pentru , eroarea de discretizare n derivata devine de ordinul lui .

Fig. 10.2 Metoda implicit Fig. 10.3 Metoda Crank-Nicolson

10.3.1.3 Convergen, consisten, stabilitate

S-a definit anterior convergena schemelor cu diferene finite prin condiia ca soluia aproximativ v s se apropie orict de mult de soluia exact u, atunci cnd norma diviziunii tinde la zero .

Deoarece convergena unei scheme cu diferene este mai greu de demonstrat, se definesc i alte proprieti mai slabe ale schemei, care se pot verifica mai uor, fiecare n parte, iar mpreun pot asigura convergena. Astfel de proprieti, mai slabe, sunt consistena i stabilitatea.

Definiie. O schem cu diferene finite este consistent (cu ecuaia cu derivate pariale pe care o aproximeaz) dac tinde spre ecuaia exact atunci cnd norma diviziunii tinde la zero .

De obicei schemele provenite din aproximrile derivatelor prin diferene finite, avnd erorile de discretizare sunt consistente. Exist ns i combinaii mai puin ortodoxe, care conduc la erori de discretizare de ordine de mrime care depind de rapoarte ale pailor, spre exemplu, . n acest caz, eroarea de discretizare nu tinde neaprat la zero odat cu norma reelei, ci poate avea valori finite.

Exemplu. Considerm schema de discretizare a ecuaiei cldurii sub forma

,(10.74)

n care valoarea aproximativ a funciei a fost scris ca medie aritmetic a valorilor i , . Pentru a stabili eroarea de trunchiere, dezvoltm n serie Taylor funcia u n jurul punctului

Adunnd i scznd relaiile pentru i , rezult

.

Pentru se obine relaia

,

iar pentru ecuaia cldurii

Eroarea de discretizare conine termenul , care poate fi diferit de zero dac i , unde c este o constant diferit de zero. Deci, dac diviziunile k, h tind la zero, spre exemplu, fiind tot timpul egale , schema (10.74) aproximeaz, de fapt, o ecuaie care conine termenul i care nu mai reprezint ecuaia cldurii. Dac avem , efectul acestui termen de ordinul doi devine neglijabil.

Definiie. O schem numeric de calcul (n particular o schem cu diferene) este stabil dac nu amplific erorile n decursul aplicrii ei.

n afara erorilor provenite din trunchiere sau rotunjire, surse de instabilitate pot fi i nepotrivirile (discontinuitile) din condiiile la limite i iniiale. Modalitile de amplificare a erorilor sunt foarte variate, astfel nct stabilitatea poate fi studiat n diverse moduri. n cele ce urmeaz, vom utiliza stabilitatea n sensul lui von Neumann. Importana studierii consistenei i stabilitii este dat de

Teorema lui Lax. O schem de calcul consistent i stabil este convergent.

n cele ce urmeaz, vom aplica teorema lui Lax la studiul unor scheme despre care tim precis c sunt consistente, astfel nct stabilitatea devine suficient pentru convergen.

Pentru schema implicit (10.67), se studiaz stabilitatea n sensul lui von Neumann. Se introduce n schem o perturbaie w, de forma

,(10.75)

unde este amplitudinea, iar numrul de und al perturbaiei. Deoarece sursa perturbaiilor n calculul numeric o constituie erorile de calcul, s-a pstrat notaia w. Prin urmare, n (10.67) se face nlocuirea

.(10.76)

Rezult ecuaia care d evoluia perturbaiei

.(10.77)

mprind (10.77) membru cu membru cu , se obine

(10.78)

Din (10.78) rezult c raportul amplitudinilor perturbaiei la momentele i n scade sau rmne cel mult nemodificat, oricare ar fi pasul h i lungimea de und a perturbaiei. n consecin, perturbaiile schemei cu diferene date de erorile de diverse tipuri nu se amplific, deci schema implicit este necondiionat stabil.

Exemplu. Revenind la schema explicit (10.46), vom studia stabilitatea acesteia. Ecuaia care d evoluia perturbaiei w dat de (10.75) este

.

Rezult condiia

,

sau

.

Condiia de convergen a schemei explicite (10.46) este necesar asigurrii stabilitii.

10.3.1.4 Ecuaii parabolice cu dou variabile spaiale. Metoda Crank-Nicolson

Vom lua ca model ecuaia cldurii adimensionalizate

,(10.79)

cu condiiile iniiale i la limite

(10.80)

Vom considera cazul unei reele rectangulare (figura 10.7), unde pentru simplitate considerm paii de discretizare spaial egali,

.(10.81)

Aproximnd derivatele spaiale cu diferene finite la momentul de timp n, se obine relaia explicit

.(10.82)

Eroarea de trunchiere a relaiei (10.82) este , unde k este pasul de timp. Condiia de convergen a schemei explicite (10.82) se determin n mod similar cu cazul unei singure variabile spaiale

.(10.83)

Restricia (10.83) impus parametrului reelei pentru ca schema explicit (10.82) s fie stabil duce la necesitatea folosirii unor pai de timp mici, rezultnd un volum mare de calcule. Acest neajuns poate fi nlturat prin folosirea unei scheme implicite. Spre exemplu, se poate folosi schema Crank-Nicolson pentru ecuaia (10.79)

,(10.84)

obinndu-se

(10.85)

Schema Crank-Nicolson (10.85) este stabil pentru orice valoare a parametrului reelei . Pentru fiecare nivel de timp n, se obine un sistem de ecuaii liniare, unde i . Acest sistem nu mai are matrice tridiagonal ca n cazul schemei implicite (10.67) pentru ecuaia cldurii cu o singur variabil spaial, neajuns care poate fi evitat folosind metoda direciilor alternante.

10.3.1.5 Metoda direciilor alternante

Un sistem de n ecuaii liniare cu n necunoscute, cu matrice tridiagonal se rezolv direct. n cazul ecuaiilor parabolice cu o singur variabil spaial, folosirea schemei implicite (10.67) a dus la rezolvarea unui astfel de sistem. Obinerea, i n cazul ecuaiilor parabolice cu dou variabile spaiale, a unui sistem liniar tridiagonal se poate realiza dac folosim o schem semi-implicit. Spre exemplu, vom folosi o formul implicit pentru aproximarea derivatei spaiale

(10.86)

i o formul explicit pentru derivata spaial

.(10.87)

Pentru fiecare , se obine un sistem de ecuaii liniare cu tot attea necunoscute

.(10.88)

Pentru determinarea valorilor , trebuie rezolvate astfel de sisteme (fig. 10.7). Efortul de calcul este sensibil mai mic la rezolvarea a sisteme tridiagonale de cte ecuaii dect pentru rezolvarea unui singur sistem de ecuaii cu tot attea necunoscute.

La pasul urmtor, este recomandat s folosim o formul explicit pentru aproximarea derivatei spaiale i o formul implicit pentru derivata spaial , obinnd

.(10.89)

Metoda direciilor alternante const n aplicarea relaiei (10.88) pentru determinarea valorilor aproximative ale funciei necunoscute de la momentul de timp , apoi a relaiei (10.89) pentru determinarea valorilor de la momentul de timp , dup care procedeul se repet.

10.3.1.6 Ecuaii parabolice neliniare

Problemele prezentate pn aici legate de rezolvarea numeric a ecuaiilor cu derivate pariale folosind scheme cu diferene finite i stabilitatea acestora au fost particularizate pentru ecuaii liniare cu coeficieni constani. Ecuaia cu derivate pariale (10.26) este liniar dac coeficienii i C sunt cel mult funcii de variabilele independente. Dac numai coeficienii derivatelor pariale de ordin maxim depind de variabilele independente i de funcia necunoscut u, dar nu i de derivatele pariale ale acesteia, atunci ecuaia se numete cvasiliniar.

Ecuaiile parabolice neliniare pot fi rezolvate cu ajutorul schemelor explicite. Aa cum am vzut anterior, stabilitatea schemelor explicite impune restricii privind valorile parametrului reelei . n cazul ecuaiilor neliniare, aceste restricii devin i mai dure, n plus ele depinznd i de funcia necunoscut u, motiv pentru care schemele explicite sunt puin utilizate.

Pentru exemplificare, considerm ecuaia neliniar

,(10.90)

unde este o expresie care conine variabilele independente x i t, funcia necunoscut u i derivatele pariale de ordinul nti . O schem implicit se poate obine dac scriem

(10.91)

sau prescurtat , unde

.(10.92)

Folosind metoda iteraiei simple, se construiete irul

(10.93)

pn cnd . Pentru , se obine rezolvnd ecuaia neliniar

(10.94)

Dac irul (10.93) converge, convergena este liniar. Dup cum se observ, la fiecare iteraie m trebuie rezolvat un sistem tridiagonal de ecuaii liniare.

O alt modalitate de liniarizare a sistemului neliniar (10.91) o constituie metoda Newton. Termenul din dreapta egalitii (10.90) se poate dezvolta n serie Taylor ca o funcie de mai multe variabile, pstrnd numai termenii de ordinul nti

unde . Rezult un sistem tridiagonal de forma

,(10.95)

unde

,

.(10.96)

n obinerea relaiilor (10.96) s-a inut cont de relaia , deoarece valorile sunt cunoscute, fiind calculate anterior. Dac irul (10.96) converge, convergena este ptratic, dar la fiecare iteraie trebuie evaluate derivatele pariale , derivate ale cror expresii analitice trebuie determinate anterior. n cazul ecuaiilor parabolice cu dou sau trei variabile spaiale, liniarizarea sistemului neliniar se face n mod asemntor, dar sistemul liniar ce rezult nu mai are matrice tridiagonal. Pentru a obine sisteme liniare cu matrice tridiagonal, se poate folosi metoda direciilor alternante, prezentat anterior.

O metod mai simpl i elegant este propus de Saulyev. Exemplificm aceast metod pentru ecuaia cldurii adimensionalizate (10.35), n care vom aproxima derivata spaial cu formula cu diferene centrate

,(10.97)

n care se nlocuiete cu , iar derivatele de ordinul nti se aproximeaz tot cu diferene centrate

.(10.98)

Folosind diferene la dreapta pentru , se obine

.(10.99)

Formula (10.99) este explicit dac efectueaz calculele de la frontiera din stnga la cea din dreapta pentru toi paii de timp n mod analog, dac n (10.97) se nlocuiete cu , se obine

.(10.100)

Formula (10.100) este explicit dac efectueaz calculele de la frontiera din dreapta la cea din stnga pentru toi paii de timp Se recomand folosirea alternativ a formulelor (10.99) i (10.100).

innd cont de faptul c , obinem

.(10.101)

Pentru ecuaia cldurii avem . Putem considera pentru ecuaia cu diferene finite, astfel nct ecuaia (10.101) se scrie

.(10.102)

10.3.2 Ecuaii cu derivate pariale de tip eliptic

10.3.2.1 Aspecte introductive

Pentru studiul soluiilor numerice ale ecuaiilor cu derivate pariale de tip eliptic, vom lua ca model ecuaia lui Poisson

.(10.103)

Pentru ecuaia (10.103), se pot formula trei tipuri de probleme, dup condiiile impuse pe frontiera domeniului , unde se caut soluia. Astfel exist:

1. Probleme de tip Dirichlet. n acest caz, se d valoarea funciei u pe frontiera a domeniului D

,(10.104)

fiind o funcie cunoscut.

2. Probleme de tip Neumann. n acest caz se d derivata funciei u dup direcia normalei la curba , presupus neted

,(10.105)

fiind o funcie cunoscut.

3. Probleme mixte (Dirichlet i Neumann). n acest caz se impune pe frontiera o condiie de forma

,(10.106)

i fiind funcii cunoscute.

Discretizarea se poate face n toate cazurile folosind o reea cu pai egali n direcia axelor . Mai mult, printr-o transformare simpl de coordonate, se poate plasa ntotdeauna domeniul D n interiorul unui ptrat de latur egal cu unitatea, avnd unul dintre vrfuri n originea axelor (fig. 10.4). n acest fel, N fiind numrul de intervale n direcia x sau y, pasul este . Coordonatele unui punct din reea sunt i j fiind numrul de pai parcuri n cele dou direcii, plecnd din origine.

Fig. 10.4 Discretizarea domeniului

Dac frontiera este curbilinie, nodurile reelei se mpart n dou categorii:(a) noduri de categoria , care au toate nodurile vecine (la distana h) n interiorul domeniului D sau pe ;

(b) noduri de categoria , care au cel puin un punct la distana h n exteriorul lui D.

Aproximarea cu diferene se face diferit pentru cele dou categorii de noduri. Pentru un nod , aproximarea cu ajutorul diferenelor finite are eroarea i se scrie

,(10.107)

unde . Dac domeniul D este rectangular, atunci (10.107) reprezint unica form de aproximare.

n cazul ecuaiei lui Laplace

,(10.108)

relaia (10.107) se poate scrie

,(10.109)

adic valoarea aproximativ a funciei u (pe care continum s o notm cu v) ntr-un punct oarecare este media aritmetic a valorilor din punctele vecine.

O problem care se pune este i modul de numerotare a punctelor din reea. n general, se recomand numerotarea care duce la matrice ct mai simetrice i diagonal dominante, cel puin pe anumite linii sau coloane. Aceasta asigur proprieti de convergen mai bune ale metodelor iterative de rezolvare a sistemului (10.107), care are, n general, un numr mare de necunoscute ( n cazul domeniului ptrat).

Un mod recomandabil de numerotare care duce la matrice bloc-tridiagonale (fig. 10.5) este cel care satisface condiia de constan a sumei indicilor

.(10.110)

Fig. 10.5 Matricea tridiagonal obinut n cazul unei ecuaii eliptice

Att pentru ecuaia Poisson, ct i Laplace, dup ce se aproximeaz cu diferene finite, rezult un sistem de ecuaii, cu necunoscute. Ecuaiile care alctuiesc sistemul sunt liniare dac provin din discretizarea unei ecuaii cu derivate pariale liniare. n cazul ecuaiilor cu derivate pariale neliniare, prin discretizare se obine un sistem de ecuaii algebrice neliniare.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaii liniare (10.109) scris matriceal

,(10.111)

se pot folosi att metode directe, ct i metode iterative (vezi capitolul 4). Numrul de necunoscute este, n general, mare; spre exemplu, pentru ecuaia Laplace n spaiu, pentru , rezult un sistem de 1000 de ecuaii cu 1000 de necunoscute, iar pentru , rezult ecuaii. Numrul mare de necunoscute pune probleme din punctul de vedere al stocrii matricei A, iar numrul mare de operaii pune probleme din punctul de vedere al erorilor de rotunjire. Metodele directe sunt folosite n cazul problemelor mici, atunci cnd matricea A este rar (multe elemente sunt nule) sau cnd matricea A este de tip band. n celelalte cazuri, metodele iterative se dovedesc mult mai eficiente.

Metodele iterative se clasific n metode iterative punctuale, la care calculul valorilor necunoscute la iteraia , se face pentru fiecare punct n parte, i metode iterative n bloc, la care se calculeaz mai multe valori simultan. Voi exemplifica folosirea metodelor iterative pentru ecuaia Laplace cu discretizarea (10.109).

10.3.2.2 Metode iterative punctuale

Prezentm, pe scurt, metodele Jacobi, Gauss-Seidel, supra-relaxrilor succesive, gradientului.

(a) Metoda Jacobi. Relaia (10.109) se aplic n forma

,(10.112)

unde Valoarea se calculeaz folosind numai valori de la iteraia anterioar. n consecin, valorile trebuie pstrate pn cnd noile valori sunt calculate n totalitate, ceea ce poate constitui un dezavantaj.

(b) Metoda Gauss-Seidel. Relaia (10.109) se aplic n forma

,(10.113)

unde , deci valorile calculate la iteraia (punctele sub linia groas din fig. 10.11) sunt imediat introduse n calcul.

(c) Metoda supra-relaxrilor succesive se bazeaz pe accelerarea convergenei cu ajutorul unui factor de relaxare

,(10.114)

unde reprezint valoarea calculat la iteraia , folosind, de exemplu, metoda Gauss-Seidel.

(d) Metoda gradientului. Fie funcia

,(10.115)

care are un minim egal cu , cnd . Se observ c minimul funciei coincide cu soluia sistemului . Metoda gradientului prezentat la 7.3 const n construirea irului , unde , reprezentnd reziduul la iteraia k. Mai eficiente sunt metodele de gradient conjugat ce pot fi aplicate la rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare.

O problem comun metodelor iterative o constituie parcurgerea reelei de calcul (sau renumerotarea necunoscutelor). Pentru exemplul considerat, parcurgerea se poate face fie pe orizontal, fie pe vertical (fig. 10.11), evident, existnd mai multe posibiliti de parcurgere.

10.3.2.3 Metode iterative n bloc

Dup cum am vzut, metodele iterative punctuale calculeaz valoarea pe baza unei formule explicite, n care toi termenii din dreapta semnului egal sunt considerai cunoscui. Pentru a nelege mai bine principiul metodelor iterative n bloc, considerm metoda Gauss-Seidel, pentru care rescriem relaia (10.113) n forma

,(10.116)

unde

Relaia (10.116) nu mai este explicit, deoarece toate valorile de pe linia i sunt considerate la iteraia . Pentru , rezult un sistem de ecuaii, cu necunoscute, cu matrice tridiagonal

.(10.117)

Redefinirea formulei explicite ntr-o formul implicit duce la creterea vitezei de convergen, pentru care se pltete preul unei complicri a algoritmului.

Viteza de convergen este mbuntit, n general, dac dup folosirea formulei implicite (10.116) la iteraia se folosete formula

(10.118)

la iteraia urmtoare, adic schimbarea sensului de parcurgere a punctelor din domeniul de calcul. De aceast dat, rezult un sistem de ecuaii, cu

necunoscute, cu matrice tridiagonal

.(10.119)

O alt metod iterativ n bloc este metoda direciilor alternante prezentat anterior la 10.3.1.5. Derivatele pariale din ecuaia Laplace vor fi nlocuite de data aceasta cu diferene finite dup schema

,(10.120)

adic cu o formul implicit, iar cu o formul explicit. Din relaia (10.120), adugnd i scznd valoarea , rezult

.Considernd prima valoare la iteraia k i cea de-a doua la iteraia , rezult

sau

.(10.121)

Am obinut o relaie identic cu (10.88), pentru , relaia (10.121) reprezentnd formula de baz pentru metoda direciilor alternante. n mod analog, folosind o formul implicit pentru i una explicit pentru , se obine

.(10.122)

Observm cum pe baza unor prelucrri efectuate asupra relaiei (10.120) am obinut o ecuaie cu diferene finite, pentru o alt ecuaie cu derivate pariale, i anume pentru ecuaia de tip parabolic . Altfel spus, schemele cu diferene finite (10.121) i (10.122) nu sunt consistente cu ecuaia cu derivate pariale de tip eliptic , ci cu ecuaia parabolic , a crei soluie pentru valori de timp suficient de mari coincide cu soluia ecuaiei . n general, soluia unei probleme de echilibru (care nu depinde de timp) poate fi obinut ca o soluie a unei probleme fictive dependente de timp, pentru suficient de mare. De fapt, rezolvarea unei probleme eliptice cu o metod iterativ este analoag cu rezolvarea unei probleme dependente de la punct la punct.

Cazul frontierelor curbe

n acest caz, mulimea a punctelor care au noduri la distana h exterioare domeniului D este nevid. Scrierea ecuaiilor cu diferene finite pentru aceste puncte depinde de natura condiiilor impuse pe frontier. Vom considera cazul problemelor de tip Dirichlet i Neumann, problema mixt fiind o combinaie a celor dou.

n cazul problemelor de tip Dirichlet, sunt date valorile funciei u pe frontiera .

n cazul problemelor de tip Neumann, sunt date la frontier derivatele dup direcia normalei la .

10.3.3 Ecuaii cu derivate pariale de tip hiperbolic

10.3.3.1 Aspecte introductive

Pentru studiul soluiilor numerice ale ecuaiilor cu derivate pariale de tip hiperbolic, vom lua ca model ecuaia undelor

,(10.134)

a crei soluie general este de forma

,(10.135)

unde f i g sunt dou funcii arbitrare de clas . Ecuaia (10.134) poate avea

(a) numai condiii iniiale

,(10.136)

caz n care funciile f i g din (10.134) sunt chiar cele date de (10.136), sau

(b) condiii iniiale i condiii la limite

(10.137)

n acest caz, pentru a nu avea discontinuiti ntre condiiile iniiale i cele la limite, trebuie ca i .

Ecuaia undelor are caracteristicile

.(10.138)

O problem important const n stabilirea condiiilor n care soluia ecuaiei (10.134) cu (10.136) sau (10.137) exist i este unic. Altfel spus, se pune problema stabilirii valorilor ce trebuie date pe frontierele domeniului de calcul pentru ca soluia s existe i s fie unic.

Pentru rezolvarea ecuaiilor hiperbolice, vom prezenta metoda caracteristicilor i metode de discretizare cu diferene finite.

10.3.3.2 Metoda caracteristicilor

Metoda caracteristicilor reprezint o metod natural pentru rezolvarea ecuaiilor hiperbolice. Dimensiunea caracteristicii (din punctul de vedere al geometriei) este , unde n este numrul de coordonate. Spre exemplu, pentru , avem linii caracteristice, pentru avem suprafee caracteristice .a.m.d.

Eventualele discontinuiti care pot aprea n interiorul domeniului de calcul i a cror poziie este, n general, necunoscut nainte de a obine soluia, se propag dup direciile caracteristice, fapt care constituie un avantaj suplimentar al metodei caracteristicilor fa de metodele de discretizare cu diferene finite.

Relum ecuaia (10.31), care pentru este de tip hiperbolic cu dou caracteristici reale i distincte. Pentru ca sistemul (10.33) s fie incompatibil, trebuie ca simultan cu determinantul matricei sistemului s se anuleze i determinantul

,(10.139)

rezultnd

(10.140)

cu pantele celor dou caracteristici, date de

.(10.141)

Pentru , ecuaiile cu derivate pariale se transform n lungul direciilor caracteristice n ecuaii difereniale ordinare, acesta reprezentnd avantajul principal al metodei caracteristicilor. S-a obinut un sistem de ecuaii difereniale format din ecuaiile (10.140) i (10.141), cu necunoscutele i . Pentru rezolvarea sistemului, presupunem c se cunosc valorile i pe curba , diferit de o curb caracteristic.

n principiu, orice metod numeric prezentat la capitolul 4 se poate aplica pentru rezolvarea sistemului de ecuaii difereniale obinut.

10.3.3.3 Scheme cu diferene finite

Pentru ecuaiile hiperbolice de ordinul al doilea, metoda caracteristicilor reprezint varianta cea mai convenabil i precis de rezolvare numeric. Unul dintre avantajele majore ale metodei caracteristicilor fa de metodele bazate pe scheme cu diferene finite const n faptul c discontinuitile care exist eventual n condiiile iniiale se propag de-a lungul direciilor caracteristice.

n cazul n care ecuaiile nu sunt foarte complicate, iar soluiile nu prezint discontinuiti, se pot folosi metode cu diferene finite. Alegerea unei scheme explicite sau implicite depinde esenial de tipul problemei: numai cu condiii iniiale sau cu condiii iniiale i la limit.

Scheme explicite. Vom considera problema cu condiii iniiale

.(10.146)

Derivatele pariale le aproximm cu diferene centrate

.(10.147)

Rezult

, unde .(10.148)

Pentru , avem date valorile . n relaia (10.148) apar i valorile , care se calculeaz cu ajutorul celei de-a doua condiii iniiale (10.146). Se aproximeaz derivata n raport cu timpul , folosind diferene centrate

.(10.149)

Pentru , rezult

.(10.150)

Dac , atunci se vor calcula numeric valori aproximative ale soluiei u n afara domeniului n care avem soluie analitic. Dac , atunci soluia numeric se afl interiorul domeniului de dependen fizic al punctului C.

n general, o schem cu diferene finite este stabil, dac domeniulde influen numeric include domeniul de influen fizic (analitic).

Pentru a studia stabilitatea schemei (10.148), se consider soluia de forma

,(10.151)

unde. Ecuaia (10.146) fiind liniar, acioneaz principiul superpoziiei, astfel c este suficient s se studieze un singur termen din (10.151). Avem

(10.152)

i introducnd n (10.148), se obine

(10.153)

sau

.(10.154)

Pentru a evita situaia n care soluia numeric crete cnd , trebuie ca . Din (10.154) se observ c produsul , deci singura posibilitate pentru a asigura stabilitatea este . Cele dou soluii ale ecuaiei (10.154) sunt

, unde .(10.155)

Se observ c pentru a avea este necesar ca , adic

sau .(10.156)

A doua inegalitate (10.156) este ndeplinit automat, iar din prima inegalitate rezult

,(10.157)

adic domeniul de influen numeric s includ domeniul de influen fizic.

Cazul particular prezint un interes special. Din (10.156) rezult

.

Pentru , obinem , . Relaia (10.148) devine

.(10.158)

Schema (10.158) satisface exact ecuaia (10.146). Pentru a arta acest lucru, folosim dezvoltarea n serie Taylor a funciei u n jurul punctului , obinnd

(10.159)

nlocuind n (10.146), rezult

(10.160)

n cazul n care funcia u este de p ori derivabil, se poate arta uor c dac , atunci , ultima relaie (10.160) devenind

,(10.161)

astfel nct schema cu diferene (10.158) are eroarea de trunchiere nul.

Scheme implicite. O schem implicit poate fi scris n general ca

,(10.162)

unde este un parametru de relaxare, iar . n relaia (10.162), valoarea aproximativ a derivatei utt se calculeaz ca o medie ponderat ntre valorile aproximative la momentele de timp . Se poate arta c pentru schema (10.162) este stabil, oricare ar fi parametrul reelei de calcul m. Pentru , se obine schema explicit (10.148), iar pentru se obine schema

(10.163)

BIBLIOGRAFIE

U.M. ASCHER, L.R. PETZOLD Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential Algebraic Equations, SIAM, 1998C. BERBENTE, S. MITRAN, S. ZANCU Metode numerice, Editura Tehnic, Bucureti, 1997J.C. BUTCHER The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations:Runge-Kutta and General Linear Methods, John Wiley, Chichester, 1987J.H.E. CARTWRIGHT, O. PIRO The Dynamics of Runge-Kutta Methods, Int. J. Bifurcation and Chaos, 2, 427-449, 1992B. DMIDOVITCH, I. MARON lments de calcul numrique, ditions Mir, Moscou, 1973

J.R. DORMAND, P.J. PRINCE A Family of Embedded Runge-Kutta Formulae, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 6, No. 1, pp.19-26, 1980E. HAIRER, S.P. NRSETT, G. WANNER Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Berlin, Springer-Verlag, 2008KENDALL E. ATKINSON An Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition, John Wiley and Sons, New York, 1989G. PLTINEANU, P. MATEI, R. TRANDAFIR Bazele analizei numerice, Editura Printech, Bucureti, 2001Recipes in FORTRAN The Art of Scientific Computing, 2nd Edition, Cambridge University Press, 1995L. RICHARD, J. BURDEN, F. DOUGLAS Numerical Analysis, 6th Edition, Brooks/Cole Publishing Company, ITP An International Thomson Publishing Company, New York, 1997

L.F. SHAMPINE Some Practical Runge-Kutta Formulas, Mathematics of Computation, 46 (173): 135150, 1986i

Dup matematicianul Richard Courant (1988-1972), care a avut o contribuie important n domeniul metodelor numerice pentru rezolvarea ecuaiilor neliniare cu derivate pariale.

Folosirea diviziunilor echidistante duce la simplificarea relaiilor ulterioare, nefiind obligatorie.

Aproximarea se face cu ajutorul dezvoltrii n serie Taylor, dup cum se va vedea n continuare cnd se va analiza convergena schemei.

Nu orice schem implicit duce la apariia unui sistem cu matrice tridiagonal, ci numai cele la care diferenele finite pentru aproximarea derivatei spaiale folosesc numai trei puncte alturate la momentul de timp EMBED Equation.DSMT4 .

Numrul de puncte pe o dreapt EMBED Equation.DSMT4 este EMBED Equation.DSMT4 , punctele de pe frontier fiind date prin condiiile la limite.

n cazul problemelor neliniare, se utilizeaz deseori un factor de subrelaxare EMBED Equation.DSMT4 .

1196

_1326105713.unknown

_1326696043.unknown

_1330864140.unknown

_1330932702.unknown

_1330934549.unknown

_1330939075.unknown

_1335349831.unknown

_1338896952.unknown

_1338897212.unknown

_1338897237.unknown

_1338898154.unknown

_1338897198.unknown

_1335350179.unknown

_1335350248.unknown

_1335350324.unknown

_1335349898.unknown

_1330939094.unknown

_1335244214.unknown

_1335246534.unknown

_1330939450.unknown

_1330939523.unknown

_1330939215.unknown

_1330939082.unknown

_1330938540.unknown

_1330939023.unknown

_1330939064.unknown

_1330938905.unknown

_1330937254.unknown

_1330938521.unknown

_1330935097.unknown

_1330933415.unknown

_1330934262.unknown

_1330934387.unknown

_1330934248.unknown

_1330933291.unknown

_1330933351.unknown

_1330933216.unknown

_1330864479.unknown

_1330923013.unknown

_1330931851.unknown

_1330932609.unknown

_1330932622.unknown

_1330932005.unknown

_1330923737.unknown

_1330931695.unknown

_1330931848.unknown

_1330931561.unknown

_1330931573.unknown

_1330924525.unknown

_1330923285.unknown

_1330864501.unknown

_1330864599.unknown

_1330864512.unknown

_1330864488.unknown

_1330864358.unknown

_1330864442.unknown

_1330864447.unknown

_1330864462.unknown

_1330864423.unknown

_1330864377.unknown

_1330864216.unknown

_1330864336.unknown

_1330864155.unknown

_1330864167.unknown

_1330863329.unknown

_1330863720.unknown

_1330864075.unknown

_1330864109.unknown

_1330864126.unknown

_1330864089.unknown

_1330863785.unknown

_1330863947.unknown

_1330863747.unknown

_1330863515.unknown

_1330863662.unknown

_1330863684.unknown

_1330863579.unknown

_1330863531.unknown

_1330863453.unknown

_1330863475.unknown

_1330863393.unknown

_1330863346.unknown

_1330857102.unknown

_1330862902.unknown

_1330863139.unknown

_1330863259.unknown

_1330863303.unknown

_1330863199.unknown

_1330863170.unknown

_1330863078.unknown

_1330863101.unknown

_1330862999.unknown

_1330857761.unknown

_1330862697.unknown

_1330862841.unknown

_1330862858.unknown

_1330862706.unknown

_1330858298.unknown

_1330862568.unknown

_1330862589.unknown

_1330862547.unknown

_1330858414.unknown

_1330857994.unknown

_1330858012.unknown

_1330857820.unknown

_1330857699.unknown

_1330857728.unknown

_1330857241.unknown

_1326697140.unknown

_1330764655.unknown

_1330764960.unknown

_1330856917.unknown

_1330856941.unknown

_1330764959.unknown

_1326698024.unknown

_1326698040.unknown

_1326696653.unknown

_1326696813.unknown

_1326696062.unknown

_1326618515.unknown

_1326622470.unknown

_1326624257.unknown

_1326626890.unknown

_1326629253.unknown

_1326629471.unknown

_1326629682.unknown

_1326629813.unknown

_1326629875.unknown

_1326629955.unknown

_1326629973.unknown

_1326629903.unknown

_1326629834.unknown

_1326629717.unknown

_1326629738.unknown

_1326629696.unknown

_1326629552.unknown

_1326629654.unknown

_1326629672.unknown

_1326629561.unknown

_1326629491.unknown

_1326629513.unknown

_1326629479.unknown

_1326629375.unknown

_1326629436.unknown

_1326629460.unknown

_1326629407.unknown

_1326629315.unknown

_1326629339.unknown

_1326629271.unknown

_1326627173.unknown

_1326627549.unknown

_1326627618.unknown

_1326629175.unknown

_1326627587.unknown

_1326627376.unknown

_1326627408.unknown

_1326627345.unknown

_1326627007.unknown

_1326627140.unknown

_1326627158.unknown

_1326627106.unknown

_1326626954.unknown

_1326626982.unknown

_1326626917.unknown

_1326624482.unknown

_1326624603.unknown

_1326626785.unknown

_1326626848.unknown

_1326624635.unknown

_1326624546.unknown

_1326624570.unknown

_1326624501.unknown

_1326624342.unknown

_1326624438.unknown

_1326624468.unknown

_1326624402.unknown

_1326624285.unknown

_1326624314.unknown

_1326624269.unknown

_1326623502.unknown

_1326623866.unknown

_1326624009.unknown

_1326624113.unknown

_1326624231.unknown

_1326624063.unknown

_1326623939.unknown

_1326623993.unknown

_1326623894.unknown

_1326623701.unknown

_1326623794.unknown

_1326623837.unknown

_1326623717.unknown

_1326623637.unknown

_1326623676.unknown

_1326623561.unknown

_1326623136.unknown

_1326623363.unknown

_1326623436.unknown

_1326623474.unknown

_1326623391.unknown

_1326623226.unknown

_1326623337.unknown

_1326623162.unknown

_1326622729.unknown

_1326622820.unknown

_1326622864.unknown

_1326622794.unknown

_1326622572.unknown

_1326622672.unknown

_1326622511.unknown

_1326620189.unknown

_1326621087.unknown

_1326621671.unknown

_1326622221.unknown

_1326622274.unknown

_1326622348.unknown

_1326622240.unknown

_1326622103.unknown

_1326622153.unknown

_1326622072.unknown

_1326621510.unknown

_1326621607.unknown

_1326621645.unknown

_1326621531.unknown

_1326621229.unknown

_1326621266.unknown

_1326621162.unknown

_1326620625.unknown

_1326620895.unknown

_1326621005.unknown

_1326621044.unknown

_1326620925.unknown

_1326620748.unknown

_1326620836.unknown

_1326620877.unknown

_1326620858.unknown

_1326620812.unknown

_1326620684.unknown

_1326620387.unknown

_1326620510.unknown

_1326620579.unknown

_1326620420.unknown

_1326620318.unknown

_1326620352.unknown

_1326620228.unknown

_1326619210.unknown

_1326619787.unknown

_1326619953.unknown

_1326620024.unknown

_1326620050.unknown

_1326619991.unknown

_1326619833.unknown

_1326619920.unknown

_1326619809.unknown

_1326619388.unknown

_1326619517.unknown

_1326619747.unknown

_1326619460.unknown

_1326619271.unknown

_1326619346.unknown

_1326619242.unknown

_1326618921.unknown

_1326619061.unknown

_1326619125.unknown

_1326619196.unknown

_1326619083.unknown

_1326618989.unknown

_1326619011.unknown

_1326618952.unknown

_1326618761.unknown

_1326618816.unknown

_1326618887.unknown

_1326618796.unknown

_1326618641.unknown

_1326618664.unknown

_1326618597.unknown

_1326609842.unknown

_1326617992.unknown

_1326618187.unknown

_1326618383.unknown

_1326618455.unknown

_1326618481.unknown

_1326618423.unknown

_1326618272.unknown

_1326618357.unknown

_1326618225.unknown

_1326618117.unknown

_1326618159.unknown

_1326618174.unknown

_1326618144.unknown

_1326618070.unknown

_1326618095.unknown

_1326618006.unknown

_1326617513.unknown

_1326617830.unknown

_1326617912.unknown

_1326617932.unknown

_1326617894.unknown

_1326617741.unknown

_1326617786.unknown

_1326617603.unknown

_1326610615.unknown

_1326617387.unknown

_1326617455.unknown

_1326610648.unknown

_1326609944.unknown

_1326610030.unknown

_1326609919.unknown

_1326106678.unknown

_1326609333.unknown

_1326609551.unknown

_1326609622.unknown

_1326609806.unknown

_1326609580.unknown

_1326609481.unknown

_1326609505.unknown

_1326609452.unknown

_1326109346.unknown

_1326109373.unknown

_1326109382.unknown

_1326109359.unknown

_1326106708.unknown

_1326109331.unknown

_1326106693.unknown

_1326105982.unknown

_1326106088.unknown

_1326106129.unknown

_1326106479.unknown

_1326106105.unknown

_1326106042.unknown

_1326106075.unknown

_1326106005.unknown

_1326105837.unknown

_1326105942.unknown

_1326105957.unknown

_1326105874.unknown

_1326105786.unknown

_1326105814.unknown

_1326105762.unknown

_1326101959.unknown

_1326103513.unknown

_1326104951.unknown

_1326105420.unknown

_1326105577.unknown

_1326105632.unknown

_1326105681.unknown

_1326105601.unknown

_1326105538.unknown

_1326105561.unknown

_1326105490.unknown

_1326105086.unknown

_1326105160.unknown

_1326105368.unknown

_1326105137.unknown

_1326105054.unknown

_1326105068.unknown

_1326104978.unknown

_1326104700.unknown

_1326104882.unknown

_1326104912.unknown

_1326104935.unknown

_1326104900.unknown

_1326104783.unknown

_1326104853.unknown

_1326104728.unknown

_1326104542.unknown

_1326104631.unknown

_1326104648.unknown

_1326104570.unknown

_1326103543.unknown

_1326103572.unknown

_1326103526.unknown

_1326103044.unknown

_1326103317.unknown

_1326103419.unknown

_1326103475.unknown

_1326103492.unknown

_1326103449.unknown

_1326103376.unknown

_1326103393.unknown

_1326103338.unknown

_1326103173.unknown

_1326103269.unknown

_1326103305.unknown

_1326103194.unknown

_1326103068.unknown

_1326103126.unknown

_1326103054.unknown

_1326102924.unknown

_1326102996.unknown

_1326103016.unknown

_1326103028.unknown

_1326103006.unknown

_1326102972.unknown

_1326102985.unknown

_1326102958.unknown

_1326102283.unknown

_1326102324.unknown

_1326102902.unknown

_1326102310.unknown

_1326102065.unknown

_1326102077.unknown

_1326102016.unknown

_1324453423.unknown

_1324453595.unknown

_1324453743.unknown

_1324453903.unknown

_1324454009.unknown

_1326101698.unknown

_1326101790.unknown

_1326101865.unknown

_1326101897.unknown

_1326101844.unknown

_1326101745.unknown

_1326101762.unknown

_1326101719.unknown

_1326101402.unknown

_1326101617.unknown

_1326101669.unknown

_1326101462.unknown

_1326101296.unknown

_1326101335.unknown

_1324454016.unknown

_1324454035.unknown

_1326101175.unknown

_1324454018.unknown

_1324454012.unknown

_1324453937.unknown

_1324453971.unknown

_1324453975.unknown

_1324454005.unknown

_1324453973.unknown

_1324453950.unknown

_1324453954.unknown

_1324453948.unknown

_1324453926.unknown

_1324453933.unknown

_1324453935.unknown

_1324453931.unknown

_1324453920.unknown

_1324453922.unknown

_1324453916.unknown

_1324453845.unknown

_1324453877.unknown

_1324453890.unknown

_1324453898.unknown

_1324453901.unknown

_1324453896.unknown

_1324453883.unknown

_1324453886.unknown

_1324453879.unknown

_1324453864.unknown

_1324453871.unknown

_1324453875.unknown

_1324453866.unknown

_1324453853.unknown

_1324453860.unknown

_1324453849.unknown

_1324453779.unknown

_1324453796.unknown

_1324453834.unknown

_1324453838.unknown

_1324453821.unknown

_1324453787.unknown

_1324453792.unknown

_1324453781.unknown

_1324453758.unknown

_1324453766.unknown

_1324453773.unknown

_1324453760.unknown

_1324453747.unknown

_1324453749.unknown

_1324453745.unknown

_1324453654.unknown

_1324453703.unknown

_1324453724.unknown

_1324453737.unknown

_1324453741.unknown

_1324453735.unknown

_1324453720.unknown

_1324453722.unknown

_1324453709.unknown

_1324453665.unknown

_1324453682.unknown

_1324453690.unknown

_1324453667.unknown

_1324453661.unknown

_1324453663.unknown

_1324453659.unknown

_1324453616.unknown

_1324453644.unknown

_1324453650.unknown

_1324453652.unknown

_1324453648.unknown

_1324453637.unknown

_1324453642.unknown

_1324453622.unknown

_1324453603.unknown

_1324453612.unknown

_1324453614.unknown

_1324453608.unknown

_1324453599.unknown

_1324453601.unknown

_1324453597.unknown

_1324453510.unknown

_1324453574.unknown

_1324453584.unknown

_1324453591.unknown

_1324453593.unknown

_1324453586.unknown

_1324453578.unknown

_1324453580.unknown

_1324453576.unknown

_1324453534.unknown

_1324453570.unknown

_1324453572.unknown

_1324453567.unknown

_1324453525.unknown

_1324453529.unknown

_1324453521.unknown

_1324453472.unknown

_1324453493.unknown

_1324453497.unknown

_1324453506.unknown

_1324453495.unknown

_1324453476.unknown

_1324453480.unknown

_1324453474.unknown

_1324453438.unknown

_1324453459.unknown

_1324453470.unknown

_1324453442.unknown

_1324453429.unknown

_1324453431.unknown

_1324453425.unknown

_1324453254.unknown

_1324453317.unknown

_1324453376.unknown

_1324453415.unknown

_1324453419.unknown

_1324453421.unknown

_1324453417.unknown

_1324453380.unknown

_1324453385.unknown

_1324453378.unknown

_1324453351.unknown

_1324453361.unknown

_1324453364.unknown

_1324453353.unknown

_1324453345.unknown

_1324453349.unknown

_1324453342.unknown

_1324453294.unknown

_1324453304.unknown

_1324453313.unknown

_1324453315.unknown

_1324453307.unknown

_1324453300.unknown

_1324453302.unknown

_1324453298.unknown

_1324453277.unknown

_1324453281.unknown

_1324453292.unknown

_1324453279.unknown

_1324453262.unknown

_1324453266.unknown

_1324453256.unknown

_1324453205.unknown

_1324453228.unknown

_1324453241.unknown

_1324453245.unknown

_1324453249.unknown

_1324453243.unknown

_1324453235.unknown

_1324453239.unknown

_1324453230.unknown

_1324453213.unknown

_1324453220.unknown

_1324453226.unknown

_1324453218.unknown

_1324453209.unknown

_1324453211.unknown

_1324453207.unknown

_1324453169.unknown

_1324453192.unknown

_1324453198.unknown

_1324453203.unknown

_1324453194.unknown

_1324453188.unknown

_1324453190.unknown

_1324453184.unknown

_1324453143.unknown

_1324453152.unknown

_1324453167.unknown

_1324453145.unknown

_1324453137.unknown

_1324453139.unknown

_1324453133.unknown

_1320044385.unknown