8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

1/30

Part I

Probabilitati

1 Cmp de probabilitate.

Operatii cu evenimente si formule de calcul

pentru probabilitatile acestora.

Evenimente independente.

Probabilitatea conditionata.

Formula lui Bayes

1.1 Cmp de probabilitate

n teoria probabilitatilor consideram un experiment cu un rezultat dependentde sansa, care e numit experiment aleator. Se presupune ca toate rezultateleposibile ale unui experiment aleator sunt cunoscute si ele sunt elemente ale uneimultimi fundamentale denumita ca spatiul probelor. Fiecare rezultat posibil estenumitproba si un evenimenteste o submultime a spatiului probelor.

Notatii. Fie multime.P() := fAjA g :Fie A :A= CA:= fa 2 ja =2 Ag :Denitia 1.1. Fie multime. K P() se numeste corp borelian sau

-algebrape daca si numai daca1)K 6= ;2) A 2 K =) A 2 K3) A1; A2;:::;An;::: 2 K =)

[n

An2 K.(; K)se numeste spatiu masurabilcndKeste corp borelian pe :Proprietati. Daca (; K)este spatiu masurabilatunci:a) 2 Kb); 2 Kc)A1; A2;:::;An2 K =)

n[i=1

Ai2 K.d) Icel mult numarabila (i.e. nita sau numarabila), Ai2 K; 8i2 I =)

\i2I Ai2 Ke)A; B2 K =) AnB2 K.Demonstratie. a)K 6= ; =) 9A 2 K =) A 2 K =) = A [ A [ A [

A [ ::: 2 K.b); = 2 K.

1

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

2/30

c)n

[i=1Ai =

n

[i=1Ai [ ; [ ; [ ::: 2 K.

d)\i2I

Ai=[i2I

Ai2 K.

e)AnB= A \ B2 K.Consideram un corp borelian peKpe un spatiu de elemente a;b;c;:::cu

fag ; fbg ; fcg ;::: 2 K si cu submultimile A;B; C;::: 2 K. Unele dintre corespon-dentele dintre teoria multimilor si teoria probabilitatilor sunt date n urmatorultabel:

Teoria multimilor Teoria probabilitatilorSpatiu, Spatiul probelor, eveniment sigurMultimea vida,; Eveniment imposibilElementea; b;::: Probea; b;:::(sau evenimente simple)Multimi A;B;::: Evenimente A;B;:::

A Evenimentul A apareA Evenimentul A nu apareA [ B Cel putin unul dintre A si B apareA \ B AmbeleA si B aparA B Aeste un subeveniment al lui B (i.e. aparitia lui A implica aparitia lui B)A \ B= ; A si B sunt mutual exclusive (i.e. ele nu pot aparea simultan)

; este considerata un eveniment imposibil deoarece niciun rezultat posibilnu este element al ei. Prin "aparitia unui eveniment" ntelegem ca rezultatulobservat este un element al acelei multimi. Spunem ca mai multe evenimentesunt mutual exclusive daca multimile corespunzatoare sunt disjuncte doua ctedoua.

Exemplul 1.1. Consideram un experiment de calculare a numarului de

masini care vireaza la stnga la o intersectie dintr-un grup de 100 de masini.Rezultatele posibile (numerele posibile de masini care vireaza la stnga) sunt0; 1; 2;:::; 100: Atunci, spatiul probelor este =f0; 1; 2; :::; 100g siK = P() :A= f0; 1; 2; :::; 50geste evenimentul "cel mult 50 de masini vireaza la stnga".B = f40; 41;:::; 60geste evenimentul "ntre40 si60 (inclusiv) de masini vireazala stnga". A [ B este evenimentul "cel mult 60 de masini vireaza la stnga".A \ B este evenimentul "ntre 40 si 50 (inclusiv) de masini vireaza la stnga".Fie C= f81; 82; :::; 100g. Evenimentele A si Csunt mutual exclusive.

Denitia 1.2. Fie(; K)spatiu masurabil. Functia P : K ! Rse numesteprobabilitatepe (; K)daca si numai daca are urmatoarele proprietati (numiteaxiomele probabilitatii):

Axioma 1: P(A) 0; 8A 2 K(nenegativa).Axioma 2: P() = 1(normata).

Axioma 3: pentru orice colectie numarabila de evenimente mutual exclusive(multimi disjuncte doua cte doua)A1; A2;::: 2 K,

P

0@[

j

Aj

1A = X

j

P(Aj )(numarabil aditiva).

2

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

3/30

(; K; P)se numeste cmp de probabilitatedaca si numai dacaPeste prob-abilitate pe spatiul masurabil(;

K) :

1.2 Operatii cu evenimente si formule de calcul pentru

probabilitatile acestora

Proprietati. Daca (; K; P)este cmp de probabilitate, atunci:1) P(;) = 0:2) pentru orice colectie nita de evenimente mutual exclusive (multimi dis-

juncte doua cte doua)A1; A2;:::;An2 K,

P

0@ n[

j=1

Aj

1A = nX

j=1

P(Aj )(Peste aditiva).

3) A C; A; C2 K =) P(A) P(C) :4) A; B

2 K =

)P(A [ B) = P(A) +P(B) P(A \ B) :

5) (Formula lui Poincare) A1; A2;:::;An2 K =)

P

0@ n[

j=1

Aj

1A = nX

j=1

P(Aj)X

1i

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

4/30

P0@n+1

[j=1 Aj1A =P0@n

[j=1 Aj[ An+11A4)=P0@

n

[j=1 Aj1A+P(An+1)P0@0@n

[j=1 Aj1A \ An+11Aip. ind.

=

nXj=1

P(Aj )X

1i

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

5/30

P(A

\B) = P(A) P(B) :

Observatie. DacaA si B sunt evenimente independente, atunci:P

A \ B =P(A)PB ;P

A \ B =P AP(B) ;P

A \ B =P APB :Demonstratie. P(A) = P

(A \ B) [ A \ B =P(A \ B)+PA \ B =)

P

A \ B = P(A) P(A \ B) = P(A) P(A) P(B) = P(A) (1 P(B)) =P(A)P

B

:Analog pentru celelalte relatii.Exemplul 1.3. n lansarea unui satelit, probabilitatea unui insucces este q.

Care este probabilitatea ca doua lansari succesive sa esueze?Presupunnd ca lansarile satelitului sunt evenimente independente, raspun-

sul esteq2:Denitia 1.4. Fie(; K; P)cmp de probabilitate. EvenimenteleA1; A2;:::;An2

Ksunt independentedaca si numai daca8m= 2; 3;:::;n; k1; k2;:::;km2 Na. .1 k1 < k2 < ::: < km n;

P(Ak1\ Ak2\ ::: \ Akm) = P(Ak1) P(Ak2) :::P(Akm) :n particular,A1; A2; A3 sunt independente daca si numai dacaP(Aj\ Ak) = P(Aj ) P(Ak) ; 8j < k;j; k= 1; 2; 3;siP(A1 \ A2 \ A3) = P(A1) P(A2) P(A3) :Observatii. 1) Numarul de egalitati din denitia independentei a n eveni-

mente este2n n 1:2) Independenta doua cte doua nu conduce n general la independenta.Contraexemplu. Fie 3 evenimente A1; A2; A3 denite deA1 = B1 [ B2; A2 = B1 [ B3; A3 = B2 [ B3;undeB1; B2 si B3 sunt mutual exclusive, ecare avnd probabilitatea 14 :P(A1) = P(B1 [ B2) = P(B1) +P(B2) = 12 :Analog P(A2) = P(A3) = 12 :P(A1 \ A2) = P((B1 [ B2) \ (B1 [ B3)) = P(B1 [ (B2 \ B3)) = P(B1 [ ;) =

P(B1) = 14 =

12 12 =P(A1) P(A2) :

Analog P(A1 \ A3) = P(A1) P(A3) ; P(A2 \ A3) = P(A2) P(A3) :P(A1 \ A2 \ A3) = P((B1 [ B2) \ (B1 [ B3) \ (B2 [ B3)) = P((B1 [ (B2 \ B3)) \ (B2 [ B3)) =

P(B1 \ (B2 [ B3)) = P((B1 \ B2) [ (B1 \ B3)) = P(; [ ;) = P(;) = 0:P(A1) P(A2) P(A3) =

18 :

Deci P(A1 \ A2 \ A3) 6=P(A1) P(A2) P(A3) :Evenimentele A1; A2; A3 sunt independente doua cte doua, dar nu sunt

independente.3) Daca evenimenteleA1; A2;:::;Ansunt independente, atunci nlocuind ori-

care din Akj cu complementara Akj n ambii membri din relatiile din denitiaindependentei, relatiile obtinute ramn valabile.

5

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

6/30

Exemplul 1.4. Un sistem compus din 5 componente merge exact atuncicnd ecare componenta e buna. Fie Si; i= 1; :::; 5;evenimentul "componentaie buna" si presupunem P(Si) = pi. Care e probabilitatea qca sistemul sa numearga?

Presupunnd ca cele 5 componente merg ntr-o maniera independenta, epprobabilitatea de succes.

q= 1 p= 1 P

5\i=1

Si

!= 1

5Yi=1

P(Si) = 1 5Y

i=1

pi:

1.4 Probabilitatea conditionata

Denitia 1.5. Fie(; K; P)cmp de probabilitate siA; B2 K a. . P(B) 6= 0:Probabilitatea conditionatadeB a lui A este data de

P(AjB) =P(A

\B)

P(B) :

Observatie. n ipotezele denitiei 1.5, A si B sunt independente ()P(AjB) = P(A) :

Demonstratie. A siBsunt independente() P(A \ B) = P(A) P(B)()P(A\B)

P(B) =P(A)() P(AjB) = P(A) :Propozitie. Fie (; K; P)cmp de probabilitate si B2 Ka. . P(B) 6= 0:

Atunci functia PB : K ! R; PB(A) = P(AjB)este probabilitate pe(; K) :Demonstratie. Vericam cele 3 axiome ale probabilitatii:1) PB(A) =

P(A\B)P(B) 0; 8A 2 K, deoareceP(A \ B) 0 si P(B)> 0:

2) PB() = P(\B)

P(B) = P(B)

P(B)= 1:

3) A1; A2;:::

2 Kcolectie numarabila de evenimente mutual exclusive =

)A1\B; A2\B;::: 2 K mutual exclusive =) PB(A1 [ A2 [ :::) = P((A1[A2[:::)\B)P(B) =P((A1\B)[(A2\B)[:::)

P(B) = P(A1\B)+P((A2\B))+:::

P(B) = P(A1\B)

P(B) + P(A2\B)

P(B) + ::: =

PB(A1) +PB(A2) +::::Exemplul 1.5. Reconsideram exemplul 1.4 presupunnd p1 > 0. Care este

probabilitatea conditionata ca primele doua componente sa e bune dat indca:

a) prima componenta este buna;b) cel putin una dintre cele doua este buna?EvenimentulS1\ S2nseamna ca ambele componente sunt bune, iarS1 [S2

ca cel putin una e buna. Datorita independentei lui S1 si S2;avem:a) P(S1 \ S2jS1) = P(S1\S2\S1)P(S1) =

P(S1\S2)P(S1)

= P(S1)P(S2)P(S1)

=P(S2) = p2.

b)P(S1 \

S2j

S1 [

S2

) = P(S1\S2\(S1[S2))

P(S1[S2) = P(S1\S2)

P(S1[S2)= P(S1)P(S2)

P(S1)+P(S2)P(S1\S2)=

p1p2p1+p2p1p2

:Exemplul 1.6. Determinati probabilitatea de a trage, fara nlocuire, 2 asi

succesiv dintr-un pachet de carti de joc fara jokeri.Fie A1 evenimentul "prima carte trasa este un as" si similar A2. Se cere

P(A1 \ A2).

6

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

7/30

P(A1) = 452 (sunt 4 asi n cele 52 de carti din pachet).

P(A2jA1) =

351 (daca prima carte trasa este un as, au ramas 51 de carti

dintre care 3 sunt asi).P(A2jA1) = P(A1\A2)P(A1) =) P(A1 \ A2) = P(A1) P(A2jA1) = 452 351 =

113 117 = 1221 :

Propozitie. Fie (; K; P)cmp de probabilitate si A1; A2;:::;An2 Ka. .P(A1 \ A2 \ ::: \ An1)> 0. Atunci

P(A1 \ A2 \ ::: \ An) = P(A1) P(A2jA1)P(A3jA1 \ A2) :::P(AnjA1 \ A2 \ ::: \ An1) :Demonstratie. A1 A1 \ A2 ::: A1 \ A2 \ ::: \ An1 =) P(A1)

P(A1 \ A2) ::: P(A1 \ A2 \ ::: \ An1)> 0 =) probabilitatile condition-ate din membrul drept au sens.

P(A1) P(A2jA1)P(A3jA1 \ A2) :::P(AnjA1 \ A2 \ ::: \ An1) = P(A1)P(A1\A2)P(A1) P(A1\A2\A3)

P(A1\A2) ::: P(A1\A2\:::\An)

P(A1\A2\:::\An1)=P(A1 \ A2 \ ::: \ An) :

Denitia 1.6. Fie Bi

;8

i2

I: (Bi)i2I

se numeste partitiea lui daca

si numai daca (Bi)i2Isunt disjuncte doua cte doua si[i2I

Bi= :

Teorema probabilitatii totale. Fie (; K; P) cmp de probabilitate si(Bi)i2I K partitie cel mult numarabila a lui a. . P(Bi) > 0; 8i2 I:Atunci,8A 2 K,

P(A) =Xi2I

P(AjBi) P(Bi) :

Demonstratie. (Bi)i2I mutual exclusive, A\ Bi Bi; 8i 2 I =)(A \ Bi)i2Imutual exclusive =)

Xi2I

P(AjBi) P(Bi) =Xi2I

P(A\Bi)P(Bi)

P(Bi) =

Xi2I

P(A \ Bi) = P[i2I

(A \ Bi)! =PA \[i2I

Bi!! =P(A \ ) = P(A) :Exemplul 1.7. Sa se determine probabilitatea ca un nivel critic al curgerii

sa e atins n timpul furtunilor ntr-un sistem de canalizare pe baza masurato-rilor meteorologice si hidrologice.

FieBi; i= 1; 2; 3diferitele nivele (mic, mediu si mare) de precipitatii cauzatede o furtuna si Aj ; j = 1; 2 nivelele critic, respectiv necritic al curgerii. Prob-abilitatile P(Bi)pot estimate din nregistrarile meteorologice, iar P(Aj jBi)din analiza curgerii. Presupunem ca:

P(B1) = 0; 5; P(B2) = 0; 3; P(B3) = 0; 2;P(A1jB1) = 0; P(A1jB2) = 0; 2; P(A1jB3) = 0; 6;P(A2jB1) = 1; P(A2jB2) = 0; 8; P(A2jB3) = 0; 4:Deoarece B1; B2; B3 constituie o partitie, din teorema probabilitatii totale

avem:P(A1) = P(A1jB1) P(B1)+ P(A1jB2) P(B2)+ P(A1jB3) P(B3) = 00; 5+

0; 2 0; 3 + 0; 6 0; 2 = 0; 18:

7

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

8/30

1.5 Formula lui Bayes

Thomas Bayes a fost un lozof englez.Teorema lui Bayes. Fie (; K; P)cmp de probabilitate si A; B2 Ka. .P(A) 6= 0 si P(B) 6= 0. Atunci:

P(BjA) = P(AjB) P(B)P(A)

:

Demonstratie. P(AjB)P(B)

P(A) =P(A\B)P(B)

P(B)

P(A) = P(B\A)

P(A) =P(BjA) :Formula lui Bayes. Fie (; K; P) cmp de probabilitate si (Bi)i2I K

partitie cel mult numarabila a lui a. . P(Bi)> 0; 8i 2 I: Atunci,8A 2 Ka.. P(A) 6= 0; 8i 2 I;

P(BijA) = P(AjBi)P(Bi)

Xj2I [P(AjBj)P(Bj)]:

Demonstratie. P(AjBi)P(Bi)Xj2I

[P(AjBj)P(Bj)]

TP T= P(AjBi)P(Bi)

P(A)

TB= P(BijA) :

Exemplul 1.8. n exemplul 1.7, sa se determine P(B2jA2), probabilitateaca, dat ind ca s-a atins un nivel necritic al curgerii, el sa fost datorat uneifurtuni de nivel mediu. Din formula lui Bayes rezulta

P(B2jA2) = P(A2jB2)P(B2)3Xj=1

[P(A2jBj)P(Bj)]

= 0;80;310;5+0;80;3+0;40;2

= 0;240;5+0;24+0;08

= 0;240;82

=

1241

=0; 293:Exemplul 1.9. Un canal de comunicare binar simplu transmite mesaje

folosind doar 2 semnale, sa spunem 0 si 1. Presupunem ca, pentru un canal

binar dat, 40%din timp e transmis un 1; probabilitatea ca un 0 transmis sae corect receptionat este 0,9 si probabilitatea ca un 1 transmis sa e corectreceptionat este 0,95. Determinati:

a) probabilitatea ca un 1 sa e primit;b) dat ind ca un 1 este primit, probabilitatea ca un 1 sa fost transmis.FieA= "1 este transmis"A= "0 este transmis"B = "1 este primit"B = "0 este primit".Din ipotezeP(A) = 0; 4; P

A

= 0; 6;

P(B

jA) = 0; 95; PBj

A = 0; 05;PBjA = 0; 9; PBjA = 0; 1:a) Deoarece A si A formeaza o partitie, din teorema probabilitatii totale

rezulta caP(B) = P(BjA) P(A) + PBjAPA = 0; 95 0; 4 + 0; 1 0; 6 = 0; 38 +

0; 06 = 0; 44:

8

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

9/30

b) Din teorema lui Bayes,P(A

jB) = P(BjA)P(A)

P(B)

= 0;950;4

0;44

= 0;38

0;44

= 19

22 =0; 864:

9

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

10/30

2 Variabile aleatoare. Variabile aleatoare dis-

crete si variabile aleatoare continue, cu densi-tate de repartitie. Functie de repartitie. Mo-

mentele unei variabile aleatoare

2.1 Variabile aleatoare

Consideram un experiment aleator ale carui rezultate sunt elemente ale spatiuluiprobelor din cmpul de probabilitate (; K; P) :Pentru a construi un modelpentru o variabila aleatoare, presupunem ca e posibil sa asociem un numar realX(!)pentru ecare rezultat ! , urmnd un anumit set de reguli.

Denitia 2.1. FunctiaXse numeste variabila aleatoaredaca si numai dacaa) X: ! R, unde (; K; P)este cmp de probabilitate sib)

8x

2R;

f!2

jX(!)

xg 2 K

.Conditia b) din denitie e asa-numita "conditie de masurabilitate". Ea ne

asigura ca are sens sa consideram probabilitatea evenimentului f!2 jX(!) xg,notat mai simplu X x pentru orice x2 R, sau, mai general, probabilitateaoricarei combinatii nite sau numarabile de astfel de evenimente.

n continuare, daca nu e specicat altfel, variabilele aleatoare sunt consider-ate pe un cmp de probabilitate(; K; P) :

2.2 Variabile aleatoare discrete si variabile aleatoare con-

tinue, cu densitate de repartitie

Denitia 2.2. O variabila aleatoare se numeste discreta daca si numai dacaia numai valori izolate. Multimea valorilor unei variabile aleatoare discrete este

cel mult numarabila.Denitia 2.3. O variabila aleatoare se numeste continua daca valorile eiumplu un interval.

Denitia 2.4. Fie X, variabila aleatoare continua. O functie fX : R! Ra. . fX(x) 0; 8x2 R si P(X x) =

Z x1

fX(u) du; 8x2 R se numestefunctie densitate de repartitie sau functie densitate de probabilitatesau simpludensitatea lui X:

2.3 Functie de repartitie

Denitia 2.5. Fie X variabila aleatoare. Functia FX : R ! R;

FX(x) = P(X x) ;se numeste functia de repartitie de probabilitatesau simplu functia de repar-

titiea lui X.IndiceleXidentica variabila aleatoare. Acest indice e uneori omis cnd nu

e pericol de confuzie.

10

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

11/30

Proprietati ale functiei de repartitie. 1) Exista si are valori ntre 0 si1:

2) E continua la dreapta si crescatoare. Mai mult, avem:FX(1) := lim

x!1FX(x) = 0 si FX(1) := lim

x!1FX(x) = 1:

3) Dacaa; b 2 Ra. . a < b, atunciP(a < X b) := P(f!2 ja < X(!) bg) = FX(b) FX(a) :Aceasta relatie rezulta dinP(X b) = P(X a) +P(a < X b) :Exemplul 2.1. FieXo variabila aleatoare discreta cu valorile 1; 1; 2; 3lu-

ate cu probabilitatile 14 ;18 ;

18 , respectiv

12 . Pe scurt notamX

1 1 2 314

18

18

12

.

Avem

FX(x) =8>>>>>>>:

0, pentrux < 1;1

4, pentru

1

x

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

12/30

creasca de la 0 la 1 "n trepte".Exemplul 2.2. O functie de repartitie tipica pentru o variabila aleatoare

continua este reprezentata grac mai sus.Ea nu are salturi sau discontinuitati ca n cazul unei variabile aleatoare

discrete. Probabilitatea ca X sa aiba o valoare ntr-un anumit interval estedata de proprietatea 3) a functiei de repartitie. Din grac

P(1< X 1) = FX(1) FX(1) = 0; 8 0; 4 = 0; 4:Avem P(X=a) = 0; 8a 2 R:Observatie. Se poate deni functia de repartitie si caFX : R ! R; FX(x) =

P(X < x). n acest caz proprietatile 1) si 2) ramn valabile cu exceptia faptuluica functia de repartitie este continua la stnga si nu la dreapta, iar proprietatea3) devine

3) Dacaa; b 2 Ra. . a < b, atunciP(a X < b) = FX(b) FX(a) :Proprietati ale densitatii. 1)fX(x) = F0X(x) ; 8xn care FX este

derivabila.2)

FX(x) =

Z x1

fX(u) du; 8x 2 R:

3)Z 1

1fX(x) dx= 1:

4) Dacaa; b 2 Ra. . a < b, atunciP(a < X b) = FX(b) FX(a) =

Z ba

fX(x) dx:

Exemplul 2.3. Un exemplu de densitate e reprezentata grac mai jos.

12

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

13/30

Dupa cum indica proprietatile 3) si 4), aria totala de sub curba este 1 sisuprafata hasurata de la a la b e egala cu P(a < X b).

Observatie. Cunoasterea densitatii sau a functiei de repartitiecaracterizeaza complet o variabila aleatoare continua.

Exemplul 2.4. Fie a >0. O variabila aleatoareXa carei densitate este

fX(x) =

aeax, pentru x 0;0, altfel,

se numesterepartizata exponential(de parametrua). AvemfX(x) 0; 8x 2R si

Z 1

1

fX(x) dx= Z 0

1

0dx+ Z 1

0

aeaxdx= 0 eaxj10 = 1;deci fX verica proprietatea 3).Dacax

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

14/30

14

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

15/30

P(X >3) e obtinuta calculnd aria de sub gracul lui fX la dreapta luix= 3, deci

P(X >3) =

Z 1

3

fX(x) dx= eaxj13 =e3a:

Aceleasi probabilitati pot obtinute din FX astfel:P(0 < X 1) = FX(1) FX(0) = 1 ea 0 = 1 ea;P(X >3) =FX(1) FX(3) = 1

1 e3a =e3a:

Mai observam caP(0 < X 1) = P(0 X 1)pentru variabile aleatoarecontinue, deoarece P(X= 0) = 0:

Denitia 2.6. Fie X variabila aleatoare discreta. Functia pX : R !R; pX(x) = P(X= x) := P(f!2 jX(!) = xg) se numeste functia masa deprobabilitatea lui X.

Din nou indiceleXe folosit pentru a identica variabila aleatoare asociata.Exemplul 2.5. Functia masa de probabilitate a variabilei aleatoare X1 1 2 314

18

18

12

din exemplul 2.1 e reprezentata mai sus.

Observatii. 1) DacaXe variabila aleatoare discreta cu multimea cel mult

numarabila de valorifx1; x2;:::gluate cu probabilitati nenule, atunci:0< pX(xi) 1; 8i;X

i

pX(xi) = 1;

pX(x) = 0; 8x =2 fx1; x2;:::g :

15

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

16/30

2) Ca si FX , specicarea lui pX caracterizeaza complet variabila aleatoarediscretaX. Mai mult, presupunndx1 < x2 < :::, relatiile dintreFX sipX sunt

pX(x1) = FX(x1) ;

pX(xi) = FX(xi) FX(xi1) ; 8i > 1;FX(x) =

Xijxix

pX(xi) ; 8x 2 R:

3) Specicarea luipX se face de obicei dnd numai valorile pozitive, n restulpunctelor subntelegndu-se ca e0:

2.4 Momentele unei variabile aleatoare

Fie X variabila aleatoare discreta cu valorile x1; x2;::: si functia masa deprobabilitatepX sau continua cu densitatea fX .

Denitia 2.7. Numarul real

E(X) :=

8>>>:

Xi

xipX(xi) , pentru Xdiscreta;Z 11

xfX(x) dx, pentru Xcontinua,

daca exista, se numeste media lui X si se mai noteazamX sau simplu m:Denitia 2.8. Fie n 2 N. Numarul real

n := E(Xn) =

8>>>:

Xi

xnipX(xi) , pentru Xdiscreta;

Z 11

xn

fX(x) dx, pentruX continua,

daca exista, se numeste momentul de ordinul nal lui X:Observatie. Media este momentul de ordinul 1.

Exemplul 2.6. Fie X1 1 2 3

14

18

18

12

din exemplul 2.1.

E(X) = (1) 14 + 1 18 + 2 18 + 3 12 = 14 + 18 + 14 + 32 = 18 + 32 = 138 :Exemplul 2.7. Timpul de asteptare X(n minute) al unui client la un

automat de bilete are densitatea

fX(x) =

2e2x, pentru x 0;0, altfel.

Determinati timpul mediu de asteptare.Integrnd prin parti avem

E(X) = Z 11

xfX(x) dx=Z 0

1

0dx+Z 10

x2e2xdx= 0Z 10

x e2x0 dx=xe2xj10 +

Z 10

e2xdx= 0 12e2xj10 = 12 minut.Proprietati ale mediei. Daca c2 R este o constanta si X si Y sunt

variabile aleatoare pe acelasi cmp de probabilitate(; K; P), atunci:

16

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

17/30

E(c) = c;E(cX) = cE(X) ;

E(X+Y) =E(X) +E(Y),E(X) E(Y), daca X Y (i.e. X(!) Y (!) ; 8!2 ).Denitia 2.9. Fie X variabila aleatoare. Se numeste medianaa lui X o

valoare x0 a lui Xa. . P(X x0) = 12 sau, daca o astfel de valoare nu exista,valoarea x0 a lui Xa. . P(X < x0)< 12 si P(X x0)> 12 .

Media lui Xpoate sa nu existe, dar exista cel putin o mediana.n comparatie cu media, mediana e uneori preferata ca masura a tendintei

centrale cnd repartitia e asimetrica, n particular cnd sunt un numar mic devalori extreme n repartitie. De exemplu, vorbim de mediana veniturilor cao buna masura a tendintei centrale a venitului personal pentru o populatie.Aceasta e o masura mai buna dect media, deoarece mediana nu e asa sensibilala un numar mic de venituri extrem de mari sau venituri extrem de mici camedia.

Exemplul 2.8. Fie T timpul dintre emisiile de particule la un atom ra-dioactiv. Este stabilit ca Te o variabila aleatoare cu repartitie exponentiala,adica

fT(t) =

et, pentru t 0;0, altfel,

unde e o constanta pozitiva. Variabila aleatoare T se numeste timpul deviata al atomului si o masura medie a acestui timp de viata este timpul denjumatatire, denit ca mediana lui T. Astfel, timpul de njumatatire e gasitdin

P(T ) = 12 ()Z

1

fT(t) dt = 12 () 1 e = 12 () e =

12 () = ln 2 :

Observam ca viata medie E(T)este

E(T) =Z 1

1

tfT(t) dt= 1

(se calculeaza analog ca la exemplul 2.7).

Denitia 2.10. Fie X variabila aleatoare. Se numeste modul sau moda alui X

a) o valoare xi luata deX a. . pX(xi)> pX(xi+1) si pX(xi)> pX(xi1),daca Xe discreta cu valorile x1 < x2 < :::;

b) un punct de maxim local al lui fX , daca Xe continua.Un modul este astfel o valoare a lui Xcorespunzatoare unui vrf n functia

masa de probabilitate sau n densitate.Termenul distributie unimodala se refera la o functie de repartitie a unei

variabile aleatoare care are un modul unic.Media, mediana si modulul coincid atunci cnd o repartitie unimodala este

simetrica.Denitia 2.11. Fien 2 N siXvariabila aleatoare de medie m. Momentul

centrat de ordinul nal lui Xeste

17

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

18/30

n = E((X m)n) =8>>>:

Xi

(xi m)n

pX(xi) , pentruXdiscreta;Z 11

(x m)n fX(x) dx, pentru Xcontinua.

Denitia 2.12. FieXvariabila aleatoare.Variantasau dispersia luiXestemomentul centrat de ordinul 2 al lui X; 2. Se noteaza cu

2X sau simplu

2

sau var (X).Valori mari ale lui 2X implica o ntindere mare a valorilor lui X n jurul

mediei. Reciproc, valori mici ale lui 2X implica o concentrare a valorilor luiX n jurul mediei. n cazul extrem cnd2X = 0, X = m cu probabilitatea 1(ntreaga masa a distributiei e concentrata n medie).

Propozitie. Relatia dintre dispersia si momentele lui Xeste2 =2

m2:

Demonstratie. 2 = E

(X m)2 = EX2 2mX+m2 = EX2 2mE(X) +m2 =2 2m2 +m2 =2 m2:

Alte proprietati ale dispersiei. var (X) 0;var (X+c) = var (X) ; 8c 2 R;var (cX) = c2var (X) ; 8c 2 R:FieXvariabila aleatoare de mediem. Se numeste deviatie standarda luiX

X =

rE

(X m)2

:

Un avantaj al folosirii lui X n locul lui 2X este ca X are aceeasi unitatede masura ca media. De aceea poate comparata cu media pe aceeasi scalapentru a obtine o masura a gradului de mprastiere.

Un numar adimensional (fara unitate de masura) care caracterizeaza m-

prastierea relativ la medie si care faciliteaza compararea variabilelor aleatoarede unitati diferite este coecientul de variatiedenit de

vX = XmX

:

Exemplul 2.9. Fie X1 1 2 3

14

18

18

12

din exemplul 2.1. Sa deter-

minam2X .n exemplul 2.6 am vazut ca mX = 138 . AvemE

X2

= (1)2 14 + 12 18 + 22 18 + 32 12 = 14 + 18 + 12 + 92 = 38 + 5 = 438:2X =E

X2

m2X = 438 16964 = 34416964 = 17564:Exemplul 2.10. Determinam dispersia luiXcufX(x) =

2e2x, pentru x 0;0, altfel.

:

n exemplul 2.7 am vazut ca mX = 12 :Avem, integrnd prin parti

E

X2

=

Z 11

x2fX(x) dx=

Z 01

0dx+

Z 10

x22e2xdx= 0Z 1

0

x2

e2x0

dx=

x2e2xj10 +Z 1

0

2xe2xdx= 0 + 12 = 12 , ultima integrala ind calculata la

18

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

19/30

exemplul 2.7.Deci2X =E

X2

m2X = 12 14 = 14 :Coecientul de asimetriedenit de1 =

33

da o masura a simetriei unei distributii. Este pozitiv cnd o distributieunimodala are o coada dominanta la dreapta (adica modulul este la stngamediei) si negativ n caz contrar. Este 0 cnd o distributie e simetrica n jurul

mediei. De fapt, o distributie simetrica n jurul mediei are toate momentelecentrate de ordin impar 0. n gurile (a), (b) si (c) sunt reprezentate densitaticu 1 > 0; 1 = 0;respectiv 1 < 0:

Gradul de aplatizare a distributiei lnga vrfuri poate masurat de coe-cientul de excesdenit de

2 = 44

3:Un 2 >0 implica un vrf ascutit n vecinatatea modulului unei distributii

unimodale, iar2 < 0 implica, de regula, un vrf turtit.

19

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

20/30

20

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

21/30

3 Independenta variabilelor aleatoare. Densi-

tate de repartitie conditionata si formula luiBayes pentru densitati de repartitie. Covari-

anta si corelatie

3.1 Independenta variabilelor aleatoare

Toate variabilele aleatoare sunt considerate pe acelasi cmp de probabilitate(; K; P), daca nu se specica altfel.

Denitia 3.1. a) Functia de repartitie comunaa variabilelor aleatoare Xsi Y este denita de

FXY(x; y) = P(X x \ Y y) :

b) Functia de repartitie comunaa variabilelor aleatoare X1; X2;:::;Xn estedenita de

FX1X2:::Xn(x1; x2;:::;xn) = P(X1 x1 \ X2 x2 \ ::: \ Xn xn) :

Proprietati 3.1. a)FXY(x; y) 0; 8x; y2 R:b) FXY e crescatoare n x si y .c)FXY e continua la dreapta n raport cu x si y .d) FXY (1; 1) = FXY (1; y) = FXY (x; 1) = 0; 8x; y2 R:e)FXY(1; 1) = 1:f)FXY (x; 1) = FX(x) ; 8x 2 R:g) FXY (1; y) = FY(y) ; 8y2 R:h)8x1; x2; y1; y22 Ra. . x1 < x2 si y1 < y2;P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) = FXY (x2; y2)FXY (x1; y2)FXY (x2; y1)+

FXY (x1; y1) :Demonstram de exemplu f):FXY (x; 1) = P(X x \ Y 1) = P(X x \ ) = P(X x) = FX(x) ; 8x 2

R:Proprietati similare se pot deduce pentruFX1X2:::Xn :Forma generala a luiFXYpoate vizualizata din proprietatile d)-g). n cazul

cnd X si Y sunt discrete FXY seamana cu un colt al unor trepte neregulate,ca n gura de mai jos.

Creste de la 0 la naltimea de 1 n directia dinspre cadranul 3 spre cadranul1. CndX siY sunt continueFXYeste o suprafata neteda cu aceleasi trasaturi.

Proprietatile f) si g) arata ca functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare

individuale, numite functii de repartitie marginale, pot calculate din functiade repartitie comuna a lor. Reciproca nu este n general adevarata. O situatieimportanta cnd reciproca este adevarata este cnd X si Ysunt independente.

Denitia 3.2. a) Variabilele aleatoare X si Y sunt independente daca sinumai dacaP(X x \ Y y) = P(X x) P(Y y) ; 8x; y2 R:

21

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

22/30

22

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

23/30

b) Variabilele aleatoareX1; X2;:::;Xnsuntindependentedaca si numai dacaP(X1

x1

\X2

x2

\:::

\Xn

xn) = P(X1

x1) P(X2

x2) :::P(Xn

xn) ;

8x1; x2;:::;xn

2R:Observatii. a)X si Y sunt independente ()

FXY (x; y) = FX(x) FY (y) ; 8x; y2 R:b) X1; X2;:::;Xn sunt independente ()

FX1X2:::Xn(x1; x2;:::;xn) = FX1(x1) FX2(x2) :::FXn(xn) ; 8x1; x2;:::;xn2 R:c)X si Ysunt independente =)

P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) = P(x1 < X x2) P(y1 < Y y2) ; 8x1; x2; y1; y22Ra. . x1 < x2 si y1 < y2:

Demonstratie. a), b) Evident.c)P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) =

FXY (x2; y2) FXY(x1; y2) FXY(x2; y1) +FXY (x1; y1) =FX(x2) FY (y2) FX(x1) FY (y2) FX(x2) FY(y1) +FX(x1) FY (y1) =(FX(x2)

FX(x1)) (FY (y2)

FY (y1)) = P(x1 < X

x2) P(y1 < Y

y2) :

n general:

X1; X2;:::;Xnsunt independente() P

n\i=1

Xi2 Ai!

=nY

i=1

P(Xi2 Ai) ; 8A1;:::;Anintervale sau multimi cu un singur element din R:

Aici Xi2 Ai = f!2 jXi(!) 2 Aig.Denitia 3.3. a) Functia masa de probabilitate comuna a variabilelor

aleatoare discrete X si Y este denita de

pXY (x; y) = P(X=x \ Y =y) ; 8x; y2 R:b) Fie n variabile aleatoare discrete X1; X2;:::;Xn: Functia masa de proba-

bilitate comunaa lor este denita de

pX1X2:::Xn(x1; x2; :::xn) = P(X1 = x1 \ X2 = x2 \ ::: \ Xn = xn) ; 8x1; x2;:::;xn2 R:Proprietati 3.2. FieX siY variabile aleatoare discrete care iau o multime

cel mult numarabila de perechi de valori (xi; yj ) ; i ; j = 1; 2;::: cu probabilitatinenule.

a) pXY(x; y) = 0peste tot, exceptnd punctele (xi; yj ) ; i ; j = 1; 2;::: undeia valori egale cu probabilitatea comuna P(X=xi \ Y =yj ) :

b) 0 < pXY (xi; yj) 1;c)X

i

Xj

pXY (xi; yj ) = 1;

d) XipXY (xi; y) = pY(y) ;

e)X

j

pXY(x; yj ) = pX(x) ;

f)FXY (x; y) =X

ijxix

Xjjyjy

pXY(xi; yj ) ; 8x; y2 R:

Acum pX(x) si pY (y)sunt numite functii masa de probabilitate marginale.

23

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

24/30

Proprietati similare pot scrise pentru pX1X2:::Xn :Denitia 3.4. a)Functia densitate de probabilitate comunaa doua variabile

aleatoare continueX si Y este denita de derivata partiala

fXY (x; y) =@2FXY

@x@y (x; y) ;

daca exista.b) Fievectorul aleatorX cu componente variabilele aleatoare continueX1; X2;:::;Xn

care au functia de repartitie comunaFX (x) = P(X1 x1 \ X2 x2 \ ::: \ Xn xn) ;unde xeste vectorul cu componentelex1; x2;:::;xn:Functia densitate comunacorespunzatoare este

fX (x) = @nFX

@x1@x2:::@xn(x) ;

daca derivatele partiale indicate exista.Proprietati 3.3. a)fXY (x; y) 0deoareceFXYeste crescatoare nxsiy.b) Din denitie,

FXY (x; y) = P(X x \ Y y) =Z y

1

Z x1

fXY (u; v) dudv:

c) Daca x1< x2 si y1< y2, atunci

P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) =Z y2

y1

Z x2x1

fXY(x; y) dxdy:

d) fXY deneste o suprafata deasupra planului (x; y). Dupa cum indicaproprietatea 3.3 c), probabilitatea ca variabilele aleatoare X siY sa se ae ntr-

o anumita suprafataR este egala cu volumul de sub suprafatafXY marginit deacea regiune, ca n gura de mai jos.

e)Z 1

1

Z 11

fXY (x; y) dxdy = 1:

Aceasta proprietate rezulta din proprietatea b) punnd x ! 1 si y! 1 siarata ca volumul total de sub suprafata fXY este1:

f)Z 1

1

fXY(x; y) dy= fX(x) :

Aceasta rezulta din

FX(x) = FXY (x; 1) =Z 1

1

Z x1

fXY (u; y) dudy;

derivnd n raport cu x:

g) Z 1

1

fXY (x; y) dx= fY (y) :

DensitatilefX si fY din proprietatile f) si g) se numesc densitati marginaleale lui X, respectiv Y :

24

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

25/30

25

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

26/30

3.2 Densitate de repartitie conditionata si formula lui Bayes

pentru densitati de repartitie

Functia de repartitie conditionata a variabilei aleatoare X dat ind ca altavariabila aleatoare Y ia valoareay este denita de

FXY(xjy) = P(X xjY =y) :Fie X si Y variabile aleatoare continue. Functia densitate de repartitie

conditionata (pe scurt densitate conditionata) a lui X dat ind Y = y, no-tatafXY(xjy)este derivata functiei de repartitie conditionata corespunzatoareei, adica

fXY (xjy) = dFXY(xjy)dx :Avem, pentru x1 < x2 si y1 < y2:

P(x1 < X x2jy1 < Y y2) = P(x1

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

27/30

DacaX1; X2;:::;Xn sunt independente, obtinemfX (x) = fX1(x1) fX2(x2) :::fXn(xn) :

Formula lui Bayes pentru densitati de repartitie. Daca X si Y suntvariabile aleatoare continue, atunci

fXY (xjy) = fYX (yjx)fX(x)fY(y) = fYX(yjx)fX(x)Z 1

1

fYX(yj)fX()d

;

dacafY (y) 6= 0:

3.3 Covarianta si corelatie

Fie X si Y variabile aleatoare discrete care iau o multime cel mult numarabilade perechi de valori (xi; yj ) ; i ; j = 1; 2;::: cu probabilitati nenule sau variabilealeatoare continue.

Denitia 3.5. Fien; m 2 N:a) Momentele comune nm ale variabilelor aleatoare X si Y sunt date de,daca exista,

nm= E(XnYm ) =

8>>>:

Xi

Xj

xmi ynjpXY(xi; yj ) , dacaX si Y sunt discrete,Z 1

1

Z 11

xnymfXY(x; y) dxdy, daca X si Ysunt continue.

b) Similar,momentele centrate comuneale luiX siY, cnd exista, sunt datede

nm= E((X mX )n (Y mY)m) :Observatii. Cu notatiile folosite aici, mediile lui X siY sunt10, respectiv,

01. De exemplu, folosind denitia 3.5 a) pentruX si Y continue, obtinem

10= E(X) = Z 1

1 Z 1

1 xfXY (x; y) dxdy = Z 1

1 xZ 1

1 fXY (x; y) dydx=Z 11

xfX(x) dx;

unde fX este densitatea marginala a lui X. Astfel vedem ca acest rezultate identic cu cel din cazul unei singure variabile aleatoare.

Aceasta observatie este adevarata si pentru dispersiiile individuale. Ele sunt20, respectiv02; si pot gasite din denitia 3.5 b) cu nlocuiri corespunzatoarepentrun si m. Ca si n cazul unei singure variabile aleatoare avem

20= 20 210sau2X =20 m2X ;respectiv02= 02 201sau2Y =02 m2Y:Denitia 3.6. Se numeste covariantaa lui X si Y11= cov (X; Y) = E((X

mX ) (Y

mY)) :

Covarianta e o marime a interdependentei lui X si Y :Proprietatea 3.4. Covarianta e legata denmprin11= 11 1001= 11 mX mY:

27

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

28/30

Demonstratie. 11= E((X mX ) (Y mY)) = E(XY mYX mX Y +mX mY) =E(XY)

mYE(X)

mX E(Y) + mX mY =11

1001

1001+ 1001 =

11 1001:Denitia 3.7. Coecientul de corelatieal lui X si Y este

= (X; Y) = 11p

2002=

11X Y

:

Proprietatea 3.5.jj 1:Demonstratie. [t (X mX ) +Y mY]2 0; 8t 2 R =) E

[t (X mX ) +Y mY]2

=

20t2 + 211t+ 02 0; 8t2 R =) = 4211 42002 0 =) 211

2002 =) jj 1:Coecientul de corelatie este fara dimensiune. El este si independent de

origine, adica8a1; a2; b1; b22 Rcu a1; a2 > 0 se poate demonstra ca (a1X+ b1; a2Y +b2) = (X; Y) :

Proprietatea 3.6. DacaX si Ysunt independente, atunci11= 0 si = 0:Demonstratie. Fie X si Y continue.

11= E(XY) =

Z 11

Z 11

xyfXY(x; y) dxdy indep.

=

Z 11

Z 11

xyfX(x) fY(y) dxdy =Z 11

xfX(x) dx

Z 11

yfY (y) dy = mX mY =) 11= 11 mX mY = 0 =)= 0:

Similar se poate demonstra dacaX si Y sunt discrete.DacaX si Ysunt independente, atunci(3.2)E(g (X) h (Y)) = E(g (X)) E(h (Y)) ;daca mediile exista.Cnd coecientul de corelatie al doua variabile aleatoare se anuleaza, spunem

ca ele sunt necorelate.Observatii. 1) X si Y sunt necorelate () E(XY) = E(X) E(Y).

(Rezulta din denitii si proprietatea 3.4.)2) X, Y independente =) X, Y necorelate. (Rezulta din denitie si

proprietatea 3.6.)3) Reciproca nu e adevarata.

Exemplul 3.1. Fie X2 1 1 2

14

14

14

14

si Y =X2:

Avem Y

1 412

12

,

pXY (x; y) =

8>>>:

14 , pentru (x; y) = (2; 4) ;14 , pentru (x; y) = (1; 1) ;1

4 , pentru (x; y) = (1; 1) ;14 , pentru (x; y) = (2; 4) ;

mX = (2) 14 + (1) 14 + 1 14 + 4 14 = 0;mY = 1 12 + 4 12 = 52 ;11= (2) 4 14 + (1) 1 14 + 1 1 14 + 2 4 14 = 0:Deci

28

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

29/30

11= 11 mX mY = 0 =) = 11XY = 0 =) X si Ysunt necorelate.Pe de alta parte,P(X 2 \ Y 1) = FXY(2; 1) = 0;iarP(X 2) P(Y 1) = FX(2) FY(1) = 14 12 = 18 ;deciP(X 2 \ Y 1)6= P(X 2) P(Y 1) =) X si Ynu sunt inde-

pendente.Coecientul de corelatie masoara interdependenta liniara a variabilelor aleatoare,

adica acuratetea cu care o variabila aleatoare poate aproximata printr-ofunctie liniara de cealalta. Pentru a vedea asta, consideram problema aprox-imarii unei variabile aleatoare Xprintr-o functie liniara de o a doua variabilaaleatoare Y, aY +b, unde a si b sunt alese a. . eroarea medie patratica edenita de

(3.3)e = E[X (aY +b)]2este minima. Aveme = E

X2 +a2Y2 +b2 2aXY 2bX+ 2abY = EX2 +a2EY2 +

b2 2aE(XY) 2bmX+ 2abmY;@e@a

= 2aE

Y2 2E(XY) + 2bmY;

@e@b

= 2b 2mX + 2amY:Rezolvnd sistemul

@e@a

= 0;@e@b

= 0;obtinem ca minimul e atins cnda= X

Ysib= mX amY:nlocuind aceste valori n relatia (3.3) obtinem eroarea medie patratica min-ima2X

1 2. Vedem ca o potrivire exacta n sensul mediei patratice e atinsa

cndjj = 1 si aproximarea liniara este cea mai rea cnd = 0:Cnd = 1,Xsi Y se numesc pozitiv perfect corelate, n sensul ca valorile pe care le iau suntpe o dreapta cu panta pozitiva; ele sunt negativ perfect corelatecnd = 1 sivalorile lor se aa pe o dreapta cu panta negativa. Aceste doua cazuri extremesunt ilustrate n gura de mai jos.

Valoarea lui jj descreste cnd mprastierea valorilor n jurul dreptelor creste.n demonstratia faptului cajj 1;am obtinut211 2002:Folosind un procedeu similar, putem arata de asemenea ca

E2 (XY)

EX2EY2 :

Ultimele doua relatii sunt inegalitatile lui Schwarz.Denitia 3.8. FieX un vector coloana aleator cu componenteleX1; X2;:::;Xn

si mX vectorul coloana avnd componente mediile lui X1; X2;:::;Xn: Matriceade covariantaeste

29

8/14/2019 Curs 1, Curs 2, Curs 3, Curs 4, Curs 5 Probabilitati.pdf

30/30

=E

(XmX) (XmX)T

=

0BBB@

var (X1) cov (X1; X2) : :: cov (X1; Xn)cov (X2; X1) var (X2) ::: cov (X2; Xn)

... ...

. . . ...

cov (Xn; X1) cov (Xn; X2) ::: var (Xn)

1CCCA :

este o matricen ncu avnd pe diagonala variante si n afara diagonaleicovariante. Deoarece cov (Xi; Xj) = cov (Xj ; Xi), matricea de covarianta estesimetrica.

Urmatorul rezultat este o generalizare a relatiei (3.2).Teorema. Daca X1; X2;:::;Xn sunt independente, atunciE(g1(X1) g2(X2) :::gn(Xn)) = E(g1(X1)) E(g2(X2)) :::E(gn(Xn)) ;unde gj(Xj ) este o functie arbitrara de Xj . Se presupune ca toate mediile

care sunt scrise exista.

30