APLICACIONES A LA INGENIERÍACON SOFTWARE MAPLE

30 Horas

Ing. Rodolfo Alcántara Rosales

Febrero, 2016

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JILOTEPEC

DIRECCIÓN ACADÉMICA

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS

I. Introducción

II. Matrices y Álgebra lineal IV. Gráficas

1. Matrices2. Operaciones básicas con

matrices3. Vectores4. Productos escalar y vectorial5. Funciones de matrices y

vectores6. Sistema de ecuaciones

simultáneas7. Vectores propios y de Jordan

4.1 Gráfica en dos dimensiones4.2 Opciones de gráfica4.3 Gráfica de puntos4.4 Gráfica de histograma

III. Cálculo V. Aplicaciones

3.1 Límites3.2 Límites de sucesiones3.3 Continuidad3.4 Derivadas3.5 Integración3.6 Series3.7 Solución de ecuacionesdiferenciales

5.1 En ingeniería química5.2 En Ingeniería en SistemasComputacionales5.3 En Ingeniería Civil5:4 En Ingeniería Mecatrónica5.5 En Física5.6 En Contaduría y Finanzas

Introducción

� Maple es un programa desarrollado en 1980 por un grupo de Cálculo Simbólico de la Universidad de Waterloo.

� Al abrir el software se inicia el carácter simbólico “>” que da inicio a un bloque de código.

� Se permite programar en maple con sentencias conocidas en cursos de programación.

Escritura� En Maple todas las

sentencias terminan con ; (punto y coma)

� También se puede utilizar :(dos puntos) como terminación de la línea, en este caso no obtendríamos ninguna salida en la pantalla

� Para escribir texto en la ejecución lo pondremos dentro de comillas dobles y finalizado con punto y coma.

� Los comentarios se preceden y terminan con #

>gausselim(A);

>B:=vector(2,[2,3]):

>"Texto en maple";

>#Comentario en Maple#

Variables

� Las variables son Case Sensitive , es decir, maple distingue mayúsculas y minúsculas. Se utiliza el operador de asignación :=

En el ejemplo la variable A se inicializa con el valor 5.

>A:=5;

Operadores Matemáticos� Suma: para sumar A

y B utilizamos el símbolo +.

� Resta: para restar A y B utilizamos el símbolo -.

� Multiplicación: para multiplicar A y B utilizamos el símbolo *.

� División: para dividir A en B utilizamos /.

� Potencia: A elevado a B utilizamos ^ .

>A+B;

>A-B;

>A*B;

>A/B;

>A^B;

Operadores Matemáticos

� Modulo: el resto entero de la división de A en B se utiliza el símbolo mod .

� Factorial: el factorial de A utilizamos el símbolo !.

>A mod B;

>A!.

Funciones Matemáticas

Función Comando

Seno >sin(<valor>);

Coseno >cos(<valor>);

Pi >Pi;

Tangente >tan(<valor>);

Evalf

� Un dato importante es que la escritura del siguient e comando:

>evalf(sin(5.35Pi/2));

• No arrojará el valor deseado, para proceder a la ev aluación numérica debemos encapsularlo en el comando evalf , como sigue :

>sin(5.35Pi/2);

Precisión del Cálculo

� Maple trabaja con una precisión de 10 decimales, si se requiere de aumentar o disminuir la precisión se de fine la variable Decimals con el valor de precisión deseado .

>Decimals:=15;

• Esto aumentará la precisión del cálculo hasta 15 de cimales durante el proyecto.

II. Matrices y Álgebra Lineal.

2.1 Matrices.

�Una matriz es un arreglo de objetos o números. Las matrices encuentran uso y aplicación como son los coeficientes de un sistema de ecuaciones simultáneas o representar las intensidades y colores de los pixeles de una imagen.

Para asignar matrices en maple, se utiliza la instrucción Matrix de la siguiente manera:

EJERCICIO 1.

VECTORES

�Un vector es una matriz con un solo renglón, o una sola columna. Los vectores siguen las mismas reglas que las matrices.

�a= 10i + 20j – 30k b= -15i -13j + 1.3k

REPRESENTACION DE VECTORES EN MAPLE

>

>

OPERACIONES CON VECTORES

�Para efectuar las operaciones de suma yresta, se requieren dos vectoresrespectivos para acumular el resultado,por lo que a continuación se genera cadauno de ellos:

OPERACIÓN SUMA RESTA VECTORIAL

Productos escalar y vectorial

�Cuando se multiplica un escalar por unvector, se tiene como resultado un vectormayor o menor. Para realizarla, se declarael vector original, posteriormente el vectorque acumulara el resultado del producto:

PRODUCTO EESCALAR

PRODUCTO ESCALAR

Producto punto.

�Es un valor escalar que se obtiene al multiplicar componente a componente de cada vector y posteriormente sumar los resultados parciales. Algebraicamente se representa como a·b.

Considerando los valores de los vectores a y b, se realiza el producto punto entre ellos:

Producto Cruz.

�Es un nuevo vector que es perpendicular a los vectores originales con los que se realiza la operación. Algebraicamente se representa como a x b.

�Para obtener el producto cruz, se puede utilizar la instrucción CrossProduct o los símbolos &x, contenidos en la librería LinearAlgebra, tal como se muestra en el siguiente ejemplo

Producto cruz

POLINOMIOS

Tipo y Grado

� Supongamos el siguiente polinomio:

> p1 := -3*x + 7*x^2 -3*x^3 + 7*x^4;

• Con ello aplicaremos el comando type , el cual evalúa si cierta variable corresponde a una naturaleza y el comando degreeobtiene el grado del polinomio.

>type(p1,'polynom');degree(p1);

Suma y Producto

� Es posible realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en maple. Para ello de finimos los polinomios:

>p1 := -3*x + 7*x^2 -3*x^3 + 7*x^4;p2 := 5*x^5 + 3*x^3 + x^2 -2*x + 1;

>p1+p2;p1-p2;p2*p1;

• Sin embargo maple no entrega los resultados ordenad os para ello utilizamos sort.

>sort(p1+p2);sort(p1-p2);sort(p2*p1);

División

� Es posible realizar la operación de división para o btener el cuociente utilizamos la función quo y el resto rem.

>p1 := -3*x + 7*x^2 -3*x^3 + 7*x^4;p2 := 5*x^5 + 3*x^3 + x^2 -2*x + 1;

>quo(p1,p2,x);rem(p1,p2,x);

• Sin embargo maple no entrega los resultados ordenad os para ello utilizamos sort.

>sort(p1+p2);sort(p1-p2);sort(p2*p1);

Factorización

� En maple es posible factorizar polinomios supongamo s el siguiente polinomio P.

>p:=x^2-4;

• Para factorizarlo utilizamos el comando factor :

>factor(p);

Máximo Común Divisor

� En maple es posible obtener el máximo común divisor de dos polinomios con el comando gcd .

>gcd(p1,p2);

>p1 := -3*x + 7*x^2 -3*x^3 + 7*x^4;p2 := 5*x^5 + 3*x^3 + x^2 -2*x + 1;

Simplificación

� Supongamos que tenemos la siguiente expresión racio nal f:

>normal(f);

> f := (x^2 + 3*x + 2)/ (x^2 + 5*x + 6);

• Para simplificarlo debemos aplicar la función normal a f.

Gráfica de un polinomio

� En maple podemos graficar nuestro polinomio utiliza ndo el comando plot .

>plot(p1);

>p1 := -3*x + 7*x^2 -3*x^3 + 7*x^4;

POLINOMIOS DE VARIAS

VARIABLES

Ordenamiento

� Para ordenar un polinomio de varias variables utili zaremos el comando sort con algunos argumentos adicionales.

>p1 := 6*x*y^5 + 12*y^4 + 14*x^3*y^3 - 15*x^2*y^3 + 9*x^3*y^2 - 30*x*y^2 - 35*x^4*y + 18*y*x^2 + 21*x^5;

>sort(p1,[x,y],'plex');

• Con ello se ordenan el orden alfabético, sin embarg o podemos utilizar sort sin argumentos adicionales para ordenarlos por potencia.

>sort(p1);

Ordenamiento

� Además es posible ordenarlos por potencias de algun a de sus variables con el comando collect .

>collect(p1,x);

>p1 := 6*x*y^5 + 12*y^4 + 14*x^3*y^3 - 15*x^2*y^3 + 9*x^3*y^2 - 30*x*y^2 - 35*x^4*y + 18*y*x^2 + 21*x^5;

ECUACIONES

Ecuaciones de una incógnita

� En maple es posible resolver ecuaciones, para ello supongamos la siguiente ecuación:

>ec:=x^2+6*x-3;

• Con ello definimos la variable ec, como nuestra ecu ación, para resolverla utilizamos el comando solve :

>solve(ec);

Ecuaciones de 2 o mas

incógnitas

� En maple es posible despejar ecuaciones de 2 o mas incógnitas, para ello supongamos la siguiente ecuac ión:

>ec:=x^2+6*x-3+5*y;

• Con ello definimos la variable ec, como nuestra ecu ación, para despejarla en funcion de la variable x utiliza mos el comando solve de la siguiente forma :

>solve(ec,{x});