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Música: cultura versus naturaleza

(dos modelos confrontados)

(Sergio Aschero) (2015)

Introducción

Si todas las afinaciones culturales (de Oriente y Occidente) son discrepantes con

respecto al modelo armónico presente en la naturaleza, mi labor como musicólogo es

la de adaptar dichas afinaciones al único modelo no cuestionable: el natural.

Las escalas culturales son fijas (un número determinado de sonidos que se repiten

más agudos y más graves con respecto a un centro. En cambio la escala armónica es

expansiva: comienza en un infrasonido generador (1 Hz.), luego aparecen dos (2 Hz. y

3 Hz.), cuatro, ocho, dieciséis, y así hasta el infinito de ultrasonidos, siguiendo el

mismo proceso de la replicación celular).

Todas las series armónicas se originan en las frecuencias de 2n (cromáfono 1º).

Una vez definido el cromáfono 1º, existen cuatro puntos cromáticos y acústicos

equivalentes que sirven como referencia visual y auditiva de todo el modelo armónico.

La escala está matemáticamente concatenada serialmente y esto surge a partir de los

cromáfonos: 4º, 5º, 6º, 7º equivalentes a: R, G, B, V (rojo – verde – azul – violeta)

(Serie 4).

La aceptación o no de la propuesta no depende de mí, sino del futuro desarrollo de la

música.

Pero ésta es una hermosa e ineludible tarea que justifica el hoy, con mis convicciones

y mis acciones.

Historia de la afinación occidental

1. Frecuencia de un sonido Las ondas sonoras se producen cuando un cuerpo vibra. Experimentalmente todos

hemos asociado alguna vez las vibraciones de un objeto con los sonidos: al pulsar una

cuerda de una guitarra, al hacer vibrar una varilla metálica sujeta por un extremo o el

cambio que se produce en el ruido de un motor cuando aumenta de revoluciones.

Se llama frecuencia al número de vibraciones u oscilaciones completas efectuadas

por segundo. Su unidad de medida es el "ciclo por segundo" también llamado hercio

(Hz) en honor a Heinrich Rudolf Hertz.

Según sea su valor podríamos calificar un sonido como: grave, medio o agudo. Un

sonido grave corresponde a ondas sonoras con frecuencia baja mientras que los

sonidos agudos se corresponden con frecuencias más altas.

Para que los humanos podamos percibir un sonido, éste debe estar comprendido en

un rango de audición de 16 Hz a 20000 Hz. Por debajo de este rango tenemos los

infrasonidos y por encima los ultrasonidos. A este intervalo se le denomina rango de

frecuencia audible. Cuanta más edad se tiene, este rango va reduciéndose tanto en

graves como en agudos. Algunos animales pueden oír ultrasonidos inaudibles por los

seres humanos.

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2. Armonía Musical

En Música, la Armonía es un concepto bastante abstracto que hace referencia al orden

y la estructura interna del lenguaje musical, equivalente quizás a la sintaxis del

lenguaje hablado. Este "orden", en la música occidental, no responde a una cuestión

puramente cultural o basada en una tradición sino también a las cualidades intrínsecas

del sonido y nuestra forma de percibirlo. Una característica fundamental de la música

occidental es la polifonía. Ninguna otra tradición ha cultivado hasta tal punto la

combinación simultánea de distintos sonidos. Esto llevó a descubrir que determinados

sonidos, sonando a la vez, resultaban agradables, consonantes o armónicos y otros,

sin embargo, resultan sumamente desagradables, disonantes o inarmónicos.

Este sencillo fenómeno es el origen de las escalas musicales culturales que

manejamos aún actualmente, el sistema tonal y los acordes.

Por ello resulta ser cierto aquello de que la música y las matemáticas están

íntimamente relacionadas, pero no porque los músicos utilicen fórmulas matemáticas

en su trabajo, sino porque las características del lenguaje musical occidental obedecen

a cuestiones puramente acústicas, y éstas, en último término, son explicables

mediante las matemáticas.

3. Los griegos y las proporciones Los conceptos de disonancia y consonancia han tenido distintos significados a lo largo

de la historia, pero, por simplificar, diremos que dependen del "intervalo" que los

separa. Un intervalo es la "distancia" entre dos sonidos (por ejemplo: la distancia de do

a re, es menor que la distancia de do a fa), pero es muy importante saber que, aunque

auditivamente percibimos esta distancia como algo lineal (relacionada con sumas y

restas), físicamente un intervalo se corresponde con la proporción entre las

frecuencias de los dos sonidos (relacionada con productos y divisiones). Y aquí viene

lo mejor: cuando dicha proporción responde a un número "sencillo" (1, 2, 3, 4, 5, 6), los

sonidos son consonantes, si la proporción responde a un número "raro" (1’35, 3’79), es

probable que resulten disonantes. Evidentemente se trata de una cuestión bastante

más compleja, pero en principio se puede afirmar que: dos sonidos son consonantes si

la proporción entre sus frecuencias es un número entero menor que 7 ó estos números

multiplicados o divididos por potencias de dos:

2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 3/2, 5/2, 1/4, 3/4, 5/4, 1/8, 3/8 etcétera.

Esto, a los griegos, con el gusto que tenían por las proporciones, les fascinaba.

Evidentemente, en el siglo VI a.C., Pitágoras no disponía de un afinador para conocer

la frecuencia en hercios de un sonido, pero él fue el primero en descubrir la relación

entre lo grave o lo agudo que resultaba y las características del cuerpo que lo producía

(tamaño, masa, tensión). Cuenta la leyenda que el filósofo hizo su hallazgo al pasar

por una herrería al escuchar que los yunques de distintos tamaños producían sonidos

diferentes. Sin embargo, para la normalización de los "intervalos" musicales y las

escalas que aún hoy en día utilizamos, utilizó un instrumento de cuerda. Pitágoras

observó que cuando dividía una cuerda en proporciones exactas: la mitad, la tercera

parte etc. los sonidos resultantes eran armónicos, mientras que si se desviaba de esta

proporción, los sonidos resultaban disonantes.

Todos sabemos que cuanto más acortemos la cuerda más agudo resultará su sonido y

viceversa. Dicho más matemáticamente, que las magnitudes: longitud de la cuerda y la

3

frecuencia de la vibración que produce, resultan ser inversamente proporcionales.

Comparando con la frecuencia del sonido que se produce al pulsar una cuerda tensa,

si dividimos su longitud por la mitad producirá un sonido de doble frecuencia y si la

dividimos por tres producirá un sonido cuya frecuencia es triple, etcétera.

Para los griegos, la música era la base de su filosofía pues en ella podían comprobar

empíricamente que lo proporcional era bello (armónico, consonante) y lo bello era

bueno. Probablemente, si el Partenón hubiese sido un poquito más alto, o sus

columnas un poquito más anchas, la desproporción hubiese sido difícil de percibir. Sin

embargo, en música, los intervalos debían ser exactos para ser consonantes. Solo

mediante el sonido, las matemáticas y su belleza resultaban claramente perceptibles.

Por todo ello, la música se consideraba un estudio fundamental y un medio para la

purificación del alma así como la medicina lo era para el cuerpo. En palabras de un

filósofo griego: "La música es para el alma lo que el corazón para el cuerpo".

4. Los intervalos consonantes: la Octava Justa, la Quinta Justa y la Tercera

Mayor

Dijimos que un intervalo es la distancia que separa dos sonidos o la proporción que

existe entre sus frecuencias. Llamaremos intervalos consonantes a aquellos sonidos

cuyas frecuencias están en proporción de un número entero menor que 7.

Son, por tanto, los intervalos que se obtienen al dividir una cuerda entre estos mismos

números.

En música, el intervalo entre dos notas se numera según el número de notas de la

escala tradicional (do re mi fa sol la si) que las separa, incluidas las dos de los

extremos. Así, por ejemplo: el intervalo do-sol sería una Quinta: 1 do, 2 re, 3 mi, 4 fa,

5 sol; el intervalo de un do al siguiente do más agudo (que se indica mediante un

apóstrofe alto), una Octava: 1 do, 2 re, 3 mi, 4 fa, 5 sol, 6 la, 7 si, 8 do’ y el intervalo

do-mi sería una Tercera. Como la última nota del primer intervalo coincide con la

primera del segundo no se trata de sumar sin más ni más: por ejemplo, dos terceras

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consecutivas no son 6 notas, sino 5. La tercera do-mi seguida de la tercera mi-sol

serían las 5 notas: do-re-mi-fa-sol.

Multiplicando por 2: La Octava Justa

Una característica muy peculiar de nuestra audición es que percibimos el sonido de

forma cíclica o incluso circular. Este círculo se cierra cada vez que un sonido dobla su

frecuencia. Es decir, si una nota determinada, pongamos, un do, tiene una frecuencia

de 256 Hz, al oír un sonido con el doble de frecuencia, 512 Hz, volvemos a reconocer

"el mismo" sonido, un do, sólo que esta vez, más agudo. En música este intervalo se

conoce como intervalo de 8ª Justa.

La semejanza entre dos sonidos separados por una 8ª, (esto es, dos sonidos cuyas

frecuencias guardan una proporción de 2 a 1), es tal, que muchas veces no nos

percatamos de que son sonidos diferentes. Por ejemplo: si se le pide a un hombre y a

una mujer que canten la misma melodía, normalmente, la mujer la cantará una octava

más aguda que el hombre. La cantará constantemente al doble de frecuencia, pero,

probablemente, no se dé ni cuenta.

Partiendo siempre de una misma nota, por ejemplo de un do, duplicando su frecuencia

tendríamos un do más agudo, al triplicarla tendríamos un sol, al cuadruplicar su

frecuencia volveríamos a tener un do aun más agudo y al quintuplicarla obtendremos

un mi muy agudo. Como al multiplicar o dividir entre dos cualquier frecuencia se

obtiene la misma nota (respectivamente más aguda o más grave) las frecuencias en

proporción 5/2, 5/4 ó 10 también corresponderán a distintos notas mi de la escala. Por

las mismas razones las frecuencias en proporción 3/2, 3/4 ó 6 también corresponderán

a distintos notas sol de la escala, sumamente parecidos al sol de frecuencia triple del

do inicial. Son tan parecidos que el intervalo do-sol resulta siempre consonante, sea

cual sea el sol que tomemos.

En el siguiente gráfico se muestra todo ello, sabiendo que los números no significan

nada en sí mismos, no son los hercios reales, sino que indican la proporción de los

auténticos valores de frecuencia respecto de la frecuencia del do inicial.

Multiplicando por 3: La Quinta Justa

El siguiente intervalo consonante es el de 5ª Justa. Al triplicar la frecuencia de una

nota cualquiera, obtenemos su 5ª aunque en una escala más aguda. Así, el intervalo

do-sol por ejemplo, sería una 5ª: 1 do, 2 re, 3 mi, 4 fa, 5 sol. Es un intervalo

fundamental, pues los griegos lo tomaron como base de su sistema musical.

Multiplicando por 5: La Tercera Mayor

La 3ª Mayor se obtiene al multiplicar por 5 la frecuencia fundamental aunque en una

escala mucho más aguda. Así, el intervalo do-mi por ejemplo, sería una 3ªM: 1 do, 2

5

re, 3 mi. Este intervalo tardó bastante más en ser aceptado, en parte porque los

griegos no le prestaron la menor atención.

5. La afinación pitagórica. El origen de la escala heptatónica.

¿Alguna vez se han preguntado por qué son así las teclas de un piano? El teclado

sigue un patrón de 7 teclas blancas entre las que se intercalan 5 negras: un total de 12

teclas por octava. Las teclas blancas corresponden a las notas de la escala natural

(do, re, mi, fa, sol, la, si), las teclas negras son las notas alteradas: do#, mib, fa#, sol#,

sib (# se lee sostenido y b se lee bemol). Entre cada tecla y la siguiente, sea blanca o

negra, hay siempre el mismo intervalo: un semitono (ST), la mitad de un tono (T). Pero

entonces, ¿por qué no están todas las teclas al mismo nivel?, ¿por qué algunas notas

se consideran "naturales" y otras "alteradas"?, ¿por qué los tonos y semitonos se

distribuyen de esa manera y no otra en la escala natural (T, T, ST, T, T, T, ST)?, ¿por

qué tiene precisamente 7 notas? La respuesta, de nuevo, está relacionada con

Pitágoras y también con Aschero y su propuesta de un nuevo teclado.

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La afinación por Quintas Ya vimos que la 5ª de cualquier sonido se obtiene al multiplicar su frecuencia por 3.

Sin embargo, así obtenemos su quinta pero perteneciente a una octava más aguda. Si

ahora la dividimos entre dos, obtendríamos ese mismo sonido más grave,

perteneciente a la misma octava de partida, en una proporción de 3/2 respecto a la

fundamental. Ésta es la proporción que Pitágoras tomó como base de su sistema

musical. Para reconstruir este sistema, asignaremos razonadamente a cada nota de la

escala natural una proporción de valor entre 1 y 2. Partiremos de la nota do y

supondremos, nuevamente, que su frecuencia es 1.

A partir de ahí, la multiplicaremos (salvo para hallar fa, que la dividiremos)

sucesivamente por 3/2 para obtener cada nuevo sonido de la escala natural. La

mayoría de estos sonidos aparecerán en escalas más agudas (o más grave en fa),

pero para obtener estos sonidos en la escala original no tenemos más que bajarles

(subirle en fa) una o varias veces de octava, esto es: dividir (multiplicar en fa) su

frecuencia por dos. Todos los cálculos están hechos a continuación, en negrita

aparecen los sonidos en la escala original, el apóstrofe(s) alto indica(n) que el sonido

es de una escala más aguda y el apóstrofe bajo indica que el sonido es de una escala

más grave.

do (1) x 3/2 = sol (3/2)

sol (3/2) x 3/2 = re’ (9/4) re’ (9/4) : 2 = re (9/8)

re’ (9/4) x 3/2 = la’ (27/8) la’ (27/8) : 2 = la (27/16)

la’ (27/8) x 3/2 = mi’’ (81/16) mi’’ (81/16) : 2 = mi’ (81/32) mi’ (81/32) : 2 = mi (81/64)

mi’’ (81/16) x 3/2 = si’’ (243/32) si’’ (243/32) : 2 = si’ (243/64) si’ (243/64) : 2 = si

(243/128)

do (1) x 2 = do’ (2) do (1) : 3/2 = fa, (2/3) fa, (2/3) x 2 = fa (4/3)

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Si representamos estos ocho valores en un gráfico podemos observar varias

particularidades de la escala: Al unir los puntos vemos que no están todos alineados,

dos de los segmentos son distintos a los otros. En el mismo gráfico se muestran

también todos los cocientes entre dos valores consecutivos.

En los dos segmentos distintos el cociente es: 256/243, que resulta ser mucho menor

que el de los seis restantes: 9/8.

Vemos entonces que existen cinco intervalos de mayor tamaño (un tono) y dos

claramente más pequeños: entre el mi y el fa, y entre el si y el do agudo,

aproximadamente de mitad de tamaño (un semitono) que los más grandes. Una

solución natural de este "desajuste" sería crear cinco "nuevas" notas intermedias en

los intervalos do-re, re-mi, fa-sol, sol-la y la-si, para conseguir "equilibrarlos". Este es el

origen de las cinco teclas negras del piano. Si observamos ahora el teclado del

comienzo, vemos que entre las teclas blancas correspondientes al mi y el fa, y entre el

si y el do agudo no hay ninguna tecla negra, esos son los dos únicos intervalos de

semitono que encontramos en la escala natural.

De esta manera, en el sistema musical occidental, cada octava queda dividida en 12

semitonos que juntos forman la escala cromática. Estos son los 12 sonidos básicos

con los que está escrita el 90% de la música que conocemos y solemos escuchar,

desde el Medievo hasta nuestros días. Curiosamente, el sistema no lo inventó

Pitágoras, surgió en Europa en la Baja Edad Media, pero como es consecuencia de la

idea de afinar los intervalos por quintas, seguimos hablando de afinación pitagórica. La

división en 12 sonidos, por tanto, no es una cuestión trivial ni arbitraria: parte de una

base previa, con sus ventajas e inconvenientes. Sin tanto éxito, otros músicos a lo

largo de toda la historia han propuesto sistemas diferentes, con una octava dividida en

más sonidos. Sin embargo Aschero propone como modelo superador el que surge de

la escala natural de los armónicos y que no tiene contradicciones.

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6. Los problemas de la afinación pitagórica.

Sin embargo, como detallaremos a continuación, se puede observar que la escala

cromática así afinada tiene serios defectos. El semitono no es la mitad exacta de un

tono, ya que 243/256 √9/8.

Por ello, mediante esta afinación, tendríamos dos tipos de semitonos distintos, los

cinco que hemos creado y los dos que ya teníamos entre el mi y el fa, y entre el si y el

do agudo. Esto supone en la práctica un serio problema.

Supongamos una melodía compuesta para una soprano, por lo que es bastante

aguda, e imaginemos que tenemos una contralto, con la voz más grave, empeñada en

cantar esta misma melodía en una altura igual. Tenemos dos opciones: bien dejar

sufrir a la contralto para poner a prueba sus cuerdas vocales, o bien, transportar la

melodía: haciendo que empiece en una nota más grave. Esto, en teoría, debería ser

bastante fácil. En la antigüedad, con instrumentos de cuerda, en lugar de transportar la

melodía, transportaban toda la escala sobre la que estaba construida. Así, una nota

cualquiera como "do" podía tener una frecuencia de 500 Hz un día, y 635 Hz, al otro.

Sin embargo, cuando aparecían en escena instrumentos de afinación fija (como un

órgano o un clave), esa aleatoriedad se volvía imposible. Al estar la escala "fija", la

única solución era transportar la melodía (hacer que empezase en otra nota de la

misma escala) y ahí es donde aparecía el problema: en la escala heptatónica se

alternan tonos y semitonos en un orden determinado.

Para repetir ese patrón desde otro punto de la escala, es necesario añadir semitonos

intermedios entre ciertos tonos (he aquí el origen de las notas alteradas), pero

además, es necesario que todos estos semitonos sean iguales, lo que no sucede en el

sistema pitagórico. Por ello, el sistema de afinación pitagórico terminó siendo

rechazado en pro del sistema temperado que se utiliza actualmente.

7. La afinación temperada

A pesar de que el sistema de afinación pitagórico es el único que respeta las dos

consonancias principales (octavas y quintas), la incompatibilidad entre ambas daba

lugar a bastantes inconvenientes. Como alternativa se propusieron otros sistemas a lo

largo de la historia pero, finalmente, el sistema que se impuso fue el sistema

temperado, basado en 12 semitonos iguales y que sólo respeta la consonancia de 8ª.

Todos los demás intervalos resultan ligeramente disonantes. A pesar de ello, es un

sistema óptimo para la música tonal, especialmente a partir del Barroco y el

Clasicismo: cada vez más llena de modulaciones (cambios de tonalidad

o de "escala"), alteraciones accidentales, cromatismos (empleo consecutivo de

intervalos de semitono), etcétera.

8. El semitono temperado

La razón de ser matemática del sistema temperado consiste en igualar los semitonos.

Para ello vamos a averiguar cuánto mide el intervalo de semitono en este sistema. Un

intervalo es una proporción de frecuencias, por lo que la frecuencia de cada nota de la

escala cromática, se obtendrá de multiplicar la nota anterior por la proporción (razón)

correspondiente a un semitono, que por el momento llamaremos "x". Si queremos

saber, por ejemplo, cuál es la frecuencia de do#, multiplicaremos la frecuencia de do

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por "x". Para obtener re, volveremos a multiplicar el resultado obtenido por x, (o la

frecuencia de do por x²), etcétera. Por tanto, si queremos completar una octava con 12

intervalos iguales, necesitamos un semitono tal que al multiplicarlo 12 veces

consecutivas por la frecuencia base, (pongamos 1), dé como resultado una frecuencia

doble, (2, el mismo sonido una octava más agudo). Esto es: 1 x12

2 x 12√ 2

1,059.

Esta es la relación de frecuencias correspondiente a un semitono temperado. Este semitono es un valor intermedio de los dos semitonos pitagóricos. 9. La escala temperada Para hallar la proporción correspondiente a cualquier otro intervalo de la escala temperada, tan sólo tendremos que elevar 12√ 2 al número de semitonos (ST) que contiene dicho intervalo. Por poner un ejemplo, para pasar de la frecuencia de un do a la de un fa# multiplicaríamos por (12√ 2 )6 ya que son seis los semitonos que los separan: 1: do-do#, 2: do#-re, 3: re-mib, 4: mib-mi, 5: mi-fa, 6: fa-fa#.

Numéricamente, ambos sistemas de afinación son muy parecidos. Las mayores diferencias se encuentran entre las notas alteradas, especialmente al llegar al sol#. Sin embargo, si escuchamos la escala diatónica de los sonidos naturales, afinada según el sistema pitagórico o el temperado, resultan casi indistinguibles. La 5ª Justa temperada es casi idéntica a la pitagórica, la 3ª Mayor difiere algo más entre un sistema y otro, pero sigue siendo claramente disonante en ambos.

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10. Tonalidad

Llamamos tonalidad a la relación de los sonidos con respecto a una nota central, que

constituye en centro común, la tónica. La tonalidad determina un espacio musical

dentro del cual se desarrollan las ideas de la obra. Cuando el compositor pasa de una

tonalidad a otra crea un contraste. Establece su obra en una tonalidad principal y luego

"modula" a otras.

11. Los modos mayor y menor

En la música occidental la octava está dividida en doce partes iguales, llamadas

semitonos, pero en la música oriental se utilizan intervalos más pequeños, como los

tercios y cuartos de tono.

La música clásico-romántica se basaba en dos escalas, menor y mayor. Estas escalas

constan de siete notas escogidas de entre las doce posibles. Las otras cinco quedan

como ajenas a esa tonalidad, aunque no se excluyen totalmente. Pueden aparecer

como adornos de la melodía o la armonía y son fundamentales en los pasajes de

modulación. Si permitimos que las cinco notas extrañas tomen protagonismo la

atracción hacia la tónica se debilitará y con ello también la tonalidad fundamental. El

término diatónico se refiere al movimiento de acuerdo con la tonalidad, con los siete

sonidos propios, y cromático es el relativo a los doce sonidos de la escala.

12. El período clásico-romántico

El compositor clásico establecía claramente la tonalidad desde un principio y luego se

movía hacia zonas próximas a ella. Había pues un énfasis en la armonía diatónica.

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En el Romanticismo los compositores se volvieron cada vez más hacia el cromatismo.

El sistema diatónico se había vuelto tan familiar que el oyente necesitaba menos

tiempo para captar la tonalidad. Se origina un continuo vagar de una tonalidad a otra

que refleja la excitación emocional propia del siglo XIX.

La distancia de la tonalidad principal va creciendo hasta llegar a Wagner, cuya

armonía ambigua y volátil representa un nuevo nivel de sensibilidad. En Tristán e

Isolda la cadencia desaparece y el cromatismo llega hasta el límite de sus

posibilidades. La modulación continua en el Preludio hace imposible adivinar cuál es la

tonalidad. El sistema clásico, el sistema de centros tonales, había empezado a

desmoronarse. Los compositores del siglo XIX se dieron cuenta de que todo lo que

podía decirse dentro de la estructura mayor-menor ya se había dicho.

13. El siglo XX, la expansión de la tonalidad

Los compositores del siglo XX necesitaban liberarse de "la regla tiránica de las

tonalidades mayores y menores", como la llamó Béla Bartók. Considerar los cinco

sonidos extraños como parte de la tonalidad amplía enormemente los límites

armónicos. La tonalidad así entendida ya no es una zona musical claramente definida

como en el clasicismo y el cambio de un centro tonal a otro es mucho más rápido que

cualquiera de las modulaciones wagnerianas. En el tema principal de Pedro y el lobo,

de Prokofiev podemos observar cómo una tonalidad desplaza a otra sencillamente, sin

necesidad de preparación. Los acordes extraños se añaden no como modulaciones

sino como una extensión hacia un nuevo plano tonal.

En el segundo movimiento de Matías el Pintor, de Hindemith, comienza y termina en

do mayor pero en todo su desarrollo hay numerosos cromatismos e incluso una

cadencia en el alejado sol sostenido mayor. Los compositores vuelven a

procedimientos antiguos, como las escalas medievales y los modos eclesiásticos.

Estas escalas son diatónicas y están muy alejadas del cromatismo postwagneriano.

Su sonido simple y arcaico eludía las sobrecargadas armonías del último

romanticismo. También se utilizaron as exóticas escalas de China, India y Java.

14. El politonalismo

La bitonalidad consiste en usar dos tonalidades simultáneamente. El politonalismo,

tres o más tonalidades, fue utilizado por Stravinsky y Milhaud. Hacia el final de una

pieza politonal, prevalece una de las tonalidades. Con el politonalismo se resaltan

diferentes planos armónicos pero la tensión ocasionada por ese choque es muy difícil

de asimilar y en muchas ocasiones llega a enturbiar los pasajes disonantes, que no

pertenecen a ninguna tonalidad. Por ello, el lenguaje politonal fue poco utilizado,

prevaleciendo más la bitonalidad. En Sarcasmos, de Prokófiev, podemos ver cómo

cada mano toca en una tonalidad diferente.

De todos modos, la ruptura con la tradición no es tan drástica como muchos suponen.

Como dijo Schoenberg, "Todavía queda mucha buena música que escribir en do

mayor".

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15. Futurismo

El futurismo fue uno de los movimientos iniciales de vanguardia en la Europa del Siglo

XX. Esta corriente artística fue fundada en Italia por el poeta italiano Filippo Tommaso

Marinetti, quien redacta el Manifiesto Futurista, y lo publica el 20 de febrero de 1909 en

el diario Le Figaro de París.

Este movimiento buscaba la ruptura con las tradiciones artísticas del pasado y los

signos convencionales de la historia del arte. Intentó enaltecer la vida contemporánea,

esto por medio de dos temas principales: la máquina y el movimiento. Los principales

compositores futuristas fueron los italianos Francesco Balilla Pratella y Luigi Russolo.

16. Crisis de la tonalidad y atonalismo

Los primeros antecedentes de la música europea sin un centro tonal se encuentran en

Franz Liszt con su Bagatella sin tonalidad de 1885, período que ya se hablaba de una

"crisis de la tonalidad". Esta crisis se generó a partir del uso cada vez más frecuente

de acordes ambiguos, inflexiones armónicas menos probables, y las inflexiones

melódicas y rítmicas más inusuales posibles dentro de la música tonal.

A principios del siglo XX compositores como Claude Debussy, Aleksandr Skriabin,

Béla Bartók, Paul Hindemith, Serguéi Prokófiev, Carl Ruggles, Ígor Stravinsky y

Edgard Varèse, escribieron música que se ha descrito, total o parcialmente, como

atonal. La primera fase del atonalismo (antecesora del dodecafonismo), conocida

como "atonalidad libre" o "cromatismo libre", implicó un intento consciente de evitar la

armonía diatónica tradicional. Las obras más importantes de este periodo son la ópera

Wozzeck (1917-1922) de Alban Berg y Pierrot Lunaire (1912) de Arnold Schönberg.

Ígor Stravinsky (1882-1971), su obra La consagración de la primavera es considerada

la obra más importante del siglo XX.

El primitivismo fue un movimiento de las artes que pretendía rescatar el folclore más

arcaico de ciertas regiones con un lenguaje moderno. Similar al nacionalismo en su

afán por rescatar lo local, el primitivismo incorporó además métricas y acentuaciones

irregulares, un mayor uso de la percusión y otros timbres, escalas modales, y armonía

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politonal y atonal. Dentro de la música los dos gigantes de este movimiento fueron el

ruso Ígor Stravinsky y el húngaro Béla Bartók, aunque la obra de ambos sobrepasa

con creces la denominación "primitivista".

17. Microtonalismo

El microtonalismo es la música que utiliza microtonos (los intervalos musicales

menores que un semitono). El músico estadounidense Charles Ives definía a los

microtonos de manera humorística como "las notas entre las teclas del piano". El

mexicano Julián Carrillo (1875-1965) distingue dieciséis sonidos claramente diferentes

entre los lanzamientos de G y A emitida por la cuarta cuerda de violín, lo que fue su

punto de partida para componer una gran cantidad de música microtonal. Algunos

otros autores emplearon también esta técnica. La música microtonal nunca tuvo

demasiada aceptación y fue considerada en adelante casi exclusivamente por los

músicos de vanguardia.

Arnold Schönberg (1874-1951), músico austriaco fundador de la segunda escuela de

Viena y creador del dodecafonismo.

Una de las más significativas figuras en la música del siglo XX es Arnold Schönberg.

Sus primeros trabajos pertenecen al estilo romántico tardío, influenciado por Richard

Wagner y Gustav Mahler, pero al final abandonó el sistema de composición tonal para

escribir música atonal. Con el tiempo, desarrolló la técnica del dodecafonismo,

proponiéndola en 1923 en reemplazo de la organización tonal tradicional.

Sus alumnos Anton Webern y Alban Berg también desarrollaron y profundizaron el uso

del sistema dodecafónico, y destacaron por el uso de tal técnica bajo reglas propias.

Los tres son conocidos, familiarmente, como La Trinidad Schönberg, o la Segunda

Escuela de Viena.

El dodecafonismo fue una forma de música atonal, con una técnica de composición en

la cual las 12 notas de la escala cromática son tratadas como equivalentes, es decir,

sujetas a una relación ordenada que (a diferencia del sistema mayor-menor de la

tonalidad) no establece jerarquía entre las notas.

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El serialismo integral representa un paso más adelante del dodecafonismo, y fue

creada por el que fue discípulo de Schönberg, Anton Webern: se establece un orden

no sólo para la sucesión de las diferentes alturas, sino para la sucesión de las

diferentes duraciones (las "figuras", como la negra, corchea, etc.) y la sucesión de las

dinámicas (los niveles de intensidad sonora), como también para la articulación. Todas

estas series se repiten durante el transcurso de una obra. Este estilo fue muy

influyente entre compositores de la postguerra como Olivier Messiaen, Pierre Boulez,

Luciano Berio, Luigi Nono, Karlheinz Stockhausen e Ígor Stravinsky.

18. Neoclasicismo

El neoclasicismo en música refiere al movimiento del siglo XX que retomó una práctica

común de tradición en cuanto a la armonía, la melodía, la forma, los timbres y los

ritmos, pero mezclada con grandes disonancias atonales y ritmos sincopados, como

punto de partida para componer música. Ígor Stravinsky, Paul Hindemith, Serguéi

Prokófiev, Dmitri Shostakóvich y Béla Bartók son los compositores más importantes

usualmente mencionados en este estilo, pero también el prolífico Darius Milhaud y sus

contemporáneos Francis Poulenc y Arthur Honegger.

19. Música electrónica y concreta

Los avances tecnológicos en el siglo XX permitieron a los compositores utilizar medios

electrónicos para producir sonidos. En Francia se desarrolló la música concreta

escuela que producía sonidos existentes en el mundo. Se llama concreta porque

según Pierre Schaeffer, su inventor, planteaba que está producida por objetos

concretos y no por los abstractos que serían los instrumentos musicales tradicionales.

El primero que dispuso de esos medios fue Edgar Varese, quien presentó Poème

électronique en el pabellón Philips de la Exposición de Bruselas en 1958. En 1951,

Schaeffer, junto a Pierre Henry, crearon el Grupo de Investigación de Música Concreta

en París. Pronto atrajo un gran interés, y entre los que se acercaron se encontraban

diferentes compositores significativos como Olivier Messiaen, Pierre Boulez, Jean

Barraqué, Karlheinz Stockhausen, Edgard Varese, Iannis Xenakis, Michel Philippot y

Arthur Honegger.

En Alemania en cambio la forma se usar la tecnología se llamó música electrónica,

que es aquella que utiliza solamente sonidos producidos electrónicamente. El primer

concierto tendría lugar en Darmstadt en 1951, sin embargo la primera obra de

importancia sería El canto de los adolescentes de Karlheinz Stockhausen de 1956.

Iannis Xenakis es otro compositor moderno que ha usado computadoras e

instrumentos electrónicos (incluido uno inventado por él) en muchas composiciones.

17

El compositor alemán Karlheinz Stockhausen (1928-2007) fue pionero en muchas de

las formas musicales vanguardistas del siglo XX.

Si bien el modernismo en sí es música de vanguardia, el vanguardismo dentro de ella

se refiere a los movimientos más radicales y controversiales, donde el concepto de

música llega hasta sus límites -si no ya los sobrepasa- utilizando elementos como

ruidos, grabaciones, el sentido del humor, el azar, la improvisación, el teatro, el

absurdo, el ridículo, o la sorpresa. Dentro de los géneros generalmente ubicados

dentro de esta corriente radical se encuentra la música aleatoria, la música electrónica

en vivo, el teatro musical, la música ritual, la composición de procesos, el happening

musical, o la música intuitiva, entre muchas otras. Entre los compositores más

trascendentales que incursionaron en estas aventuras se encuentra John Cage en

América y Karlheinz Stockhausen en Europa.

20. Micropolifonía y masas sonoras

En palabras de David Cope la micropolifonía se trata de "una simultaneidad de

diferentes líneas, ritmos y timbres". La técnica fue desarrollada por György Ligeti,

quien la explicó así: "La compleja polifonía de las voces individuales está enmarcada

en un flujo armónico-musical, en el que las armonías no cambian súbitamente, sino

que se van convirtiendo en otras; una combinación interválica discernible es

gradualmente haciéndose borrosa, y de esta nubosidad es posible sentir que una

nueva combinación interválica está tomando forma".

Intrínsecamente relacionada con la micropolifonía esta la masa de sonido o masa

sonora que es una textura musical cuya composición, en contraste con otras texturas

más tradicionales, "minimiza la importancia de las alturas musicales individuales para

preferir la textura, el timbre y la dinámica como principales formadores del gesto y el

impacto".

21. Minimalismo

Philip Glass (1937) fue uno de los iniciadores del movimiento minimalista en Estados

Unidos, y es actualmente uno de los compositores doctos más famosos del mundo.

18

Varios compositores de la década de los sesenta comenzaron a explorar lo que ahora

llamamos minimalismo. La más específica definición de minimalismo refiere al dominio

de los procesos en música donde los fragmentos se superponen en capas unos a

otros, a menudo se repiten, para producir la totalidad de la trama sonora. Ejemplos

tempranos incluyen En Do (de Terry Riley) y Tamborileando (de Steve Reich). La onda

minimalista de compositores —Terry Riley, Philip Glass, Steve Reich, La Monte

Young, John Adams y Michael Nyman, para nombrar los más importantes— deseaban

hacer la música accesible para los oyentes comunes, expresando cuestiones

específicas y concretas de la forma dramática y musical, sin ocultarlas bajo la técnica,

sino más bien haciéndolas explícitas, volviendo a las tríadas mayores y menores de la

música tonal, pero sin utilizar la funcionalidad armónica tradicional.

22. Música cinematográfica

Desde la llegada del cine sonoro a finales de la década de los 1920, la música ha

cumplido un rol crucial en la industria y el arte del cine. Muchos de los grandes

compositores que vivieron en esa primera época, tales como los rusos Prokófiev y

Shostakovich, incursionaron también en esta área. Posteriormente, hubo numerosos

compositores que dedicaron su carrera total o mayormente a trabajar a través del cine.

Dentro de los grandes compositores de música de cine se encuentran:

Max Steiner con: The Informer (1935), Now, Voyager (1942), y Since You Went

Away (1944), King Kong (1933), Little Women (1933), Jezebel (1938),Casablanca

(1942), y Gone with the Wind (1939).

Erich Wolfgang Korngold con: The Adventures of Robin Hood.

Alfred Newman con: How the West Was Won, The Greatest Story Ever Told.

Bernard Herrmann con: North by Northwest, The Man Who Knew Too Much, Citizen

Kane, The Ghost and Mrs. Muir, y Taxi Driver.

Ennio Morricone con: The Good, The Bad And The Ugly (1966), Once Upon a Time in

the West, The Mission (1986), The Untouchables (1987), y Cinema Paradiso.

19

Jerry Goldsmith con: Planet of the Apes, Chinatown, The Wind and the Lion, The

Omen, Alien, Poltergeist.

John Williams con: las dos trilogías de Star Wars, Jaws, Superman, Indiana Jones,

E.T., el extraterrestre, Hook, Jurassic Park, Schindler's List, y Harry Potter entre

muchísimas otras.

Otros de los grandes compositores, especialmente del último cuarto de siglo en

adelante, han sido Nino Rota, Howard Shore, Alan Silvestri, Danny Elfman, Hans

Zimmer y Henry Mancini.

23. Poliestilismo

Poliestilismo (también llamado "eclecticismo") es el uso de múltiples estilos o técnicas

musicales, y es considerado una característica posmoderna que comienza a finales

del siglo XX y se acentúa en el siglo XXI.

Compositores poliestilísticos son, por ejemplo, Lera Auerbach, Luciano Berio, William

Bolcom, Sofia Gubaidulina, Hans Werner Henze, George Rochberg, Arturo Rodas,

Magaly Ruiz, Frederic Rzewski, Alfred Schnittke, Dmitri Silnitsky, Valentín Silvestrov,

Santiago Sosa Rolón, Ezequiel Viñao, Frank Zappa o John Zorn.

24. Espectralismo

El espectralismo es un género musical originado en Francia en la década de los

sesenta alrededor de un grupo de compositores agrupados en torno al Ensemble

l'Itinéraire (Gérard Grisey, Tristan Murail y Hughes Dufourt). La música espectral, en

un sentido restrictivo, se basa principalmente en el descubrimiento de la naturaleza del

timbre musical y en la descomposición espectral del sonido musical, en el origen de la

percepción del timbre.

El movimiento se ha ido ensanchando e influye en las más importantes tendencias

contemporáneas de composición y en muchos de los compositores más jóvenes:

Philippe Hurel, Philippe Leroux, Marc-André Dalbavie, Jean-Luc Hervé, Fabien Lévy o

Thierry Blondeau, en Francia; Kaija Saariaho o Magnus Lindberg en Finlandia; George

Benjamin o Julian Anderson en el Reino Unido: Marco Stroppa en Italia; y Joshua

Fineberg, en EE.UU., por citar algunos. Y como en el caso del impresionismo y

muchos otros estilos musicales, aquellos compositores cuya música se considera

espectral no aceptan generalmente tal denominación.

25. Nueva simplicidad

La Nueva Simplicidad fue una tendencia estilística surgida entre algunos de los

componentes de la generación más joven de compositores alemanes de comienzos de

los ochenta del siglo XX, y que supuso una reacción no solamente contra la

vanguardia musical europea de las décadas de los cincuenta y sesenta, sino también

contra la más amplia tendencia hacia la objetividad de comienzos de siglo.

En general, estos compositores propugnaron una inmediatez entre el impulso creativo

y su resultado musical (en contraste con la elaborada planificación pre compositiva

característica del vanguardismo), con la intención de crear una comunicación más fácil

20

con las audiencias. En algunos casos, ello significó una vuelta al lenguaje tonal del

siglo XIX y en otros significó trabajar con texturas más simples o el empleo de

armonías triádicas en contextos no tonales. De entre los compositores identificados de

una forma más cercana con este movimiento, solamente Wolfgang Rihm ha

conseguido una reputación significativa fuera de Alemania.

26. Libre improvisación

La improvisación libre es música improvisada sin reglas previas establecidas,

secuencias de acordes o melodías previamente acordadas. A veces los músicos

realizan un esfuerzo activo para evitar referenciar a géneros musicales reconocibles.

La improvisación libre, como estilo de música, se desarrolló en Europa y EE. UU en la

mitad y fines de la década de 1960 en respuesta o inspirado por el movimiento del free

jazz así como por la música clásica contemporánea. Entre los artistas más

reconocidos dentro de este estilo están los saxofonistas Evan Parker y Peter

Brötzmann, el guitarrista Derek Bailey, y el grupo improvisacional británico AMM.

27. Nueva Complejidad

La Nueva Complejidad es una corriente dentro del escenario contemporáneo surgida

en la década de los 80's en el Reino Unido que puede definir lo "complejo" como; "de

múltiples capas de interacción de los procesos evolutivos que ocurren

simultáneamente en todas las dimensiones del material musical". Es muy abstracta,

disonante y atonal, caracterizada por el uso de técnicas que llevan hasta el límite las

posibilidades de la escritura musical. Entre los compositores más importantes se

encuentran Brian Ferneyhough, Michael Finnissy, Chris Dench, James Dillon,Roger

Redgate y Richard Barrett.

28. Diapasón y Naturaleza

Se utilizaron varios sistemas de afinación musical para determinar la frecuencia

relativa de las notas de una escala musical, también a lo largo de la historia se han

usado varios estándares de afinación en un intento de fijar la altura absoluta de la

escala. En 1955, la Organización Internacional de Estandarización fijó la frecuencia del

la en 440 Hz. Pero en el pasado se utilizaron distintos sistemas de afinación.

Siglo XVI

A mediados del 1500 Michael Praetorius había rechazado varios estándares de

afinación altos (de más de 480 Hz. debido a que provocaba que se rompieran las

cuerdas más agudas (más delgadas) del violín, que en esa época se hacían con

intestinos o tripas de animales.

Hasta el siglo XIX no hubo un esfuerzo concertado de estandarizar la afinación

musical, y a lo largo de Europa variaba grandemente. Incluso dentro de una misma

iglesia, a lo largo del tiempo la afinación podía variar debido a la manera en que se

afinaban los órganos. Generalmente el extremo de los tubos de órgano se martillaban

hacia dentro o hacia fuera (tomando una forma ligeramente cónica) para subir o bajar

ligeramente la afinación. Cuando los extremos de los tubos se terminaban ajando y

21

rompiendo, se los recortaba a todos, aumentando (agudizando) de esta manera la

afinación general de todo el órgano.

Siglo XVII

Los niveles de afinación no sólo variaban en lugares diferentes o en distintas épocas:

incluso podían variar en una misma ciudad. La afinación del órgano de una catedral

londinense del siglo XVII, podía estar afinado cinco semitonos más bajo que un virginal

(instrumento de teclado) de la misma ciudad.

Siglo XVIII

Se puede tener alguna idea de las variaciones de afinación examinando antiguos

diapasones de horquilla, tubos de órgano y otras fuentes. Por ejemplo, un pequeño

diapasón de lengüeta (o "diapasón coral") inglés de 1720 emitía el la (que se

encuentra cinco teclas blancas a la derecha del do central del piano) a 380 Hz.,

mientras que los órganos que tocaba Johann Sebastián Bach en Hamburgo, Leipzig y

Weimar estaban afinados con el la a 480 Hz, una diferencia de cuatro semitonos

(cuatro teclas contiguas de piano). En otras palabras, el la que producía el diapasón

inglés sonaba como un fa en los órganos que tocaba Bach en esa misma época.

La necesidad de estandarizar los niveles de afinación (al menos dentro de una misma

ciudad o un mismo país) surgió cuando se empezó a popularizar la ejecución de

música combinada de órgano con ensambles instrumentales. Una manera en que se

empezó a controlar la afinación era con el uso de diapasones de horquilla, aunque

tampoco aquí se ponían de acuerdo: un diapasón asociado con Georg Friedrich

Händel, aproximadamente de 1740, estaba afinado con un la 422,5 Hz., mientras que

uno de 1780 estaba a 409 Hz. (casi un semitono más grave). Recuérdese que el la

actual corresponde a la frecuencia de 440 Hz. Hacia el fin de los 1700, el la se afinaba

dentro del rango de los 400 a los 450 Hz.

Siglo XIX

A lo largo de la primera mitad del siglo XIX, hubo una tendencia a subir la afinación de

la orquesta. Esto probablemente se haya debido a que las orquestas competían unas

con otras, tratando de llenar las salas de concierto cada vez más grandes con un

sonido más brillante que el de sus competidoras. Fueron ayudadas en sus esfuerzos

por la durabilidad mejorada de la cuerda mi de los violines (la más aguda de las cuatro

cuerdas). Las cuerdas de tripa de animales no aguantaban tanta tensión pero las

nuevas cuerdas de acero podían aguantar más tensión sin romperse.

El aumento del tono de afinación en esta época ha quedado reflejado en los

diapasones de horquilla que se conservan. Un diapasón de 1815 del Semperoper ―el

teatro de la ópera de Dresde― da un la 423,2 Hz., mientras que uno de once años

después producía 435 Hz. Se conserva un diapasón en el teatro La Scala de Milán

que produce un la de 451 Hz.

22

Legalización del la 435 (1859)

Los más intensos oponentes a la tendencia alcista de la afinación eran los cantantes,

que se quejaban por tener que desgañitarse para seguir la afinación de las orquestas

de la época. Debido probablemente a estas protestas, el gobierno de Francia dictó una

ley el 16 de febrero de 1859 en el que establecía el la de encima del do central a 435

Hz. Dicha ley se originó de una comisión que nombró el Secretario de Fomento de la

época para establecer un diapasón uniforme, la cual presentó sus conclusiones el 1 de

febrero de 1859. La ley dictada por el estado francés acordó la adopción de un patrón

de diapasón de uso obligatorio en los establecimientos musicales autorizados por el

Estado. El diapasón patrón emitía un la que vibraba a 870 Hz (o sea que el "la central"

quedaba a 435 Hz. Este fue el primer intento de estandarizar la afinación a tal escala,

y fue conocido como el "diapasón normal". Se volvió un estándar de afinación bastante

popular incluso fuera de Francia.

Afinación "filosófica" (la 430,54)

Sin embargo siguió habiendo variaciones. El diapasón normal del la a 435 Hz. daba

como resultado un do central afinado a 258,65 Hz. Una afinación alternativa, conocida

como "afinación filosófica" o "científica" hacía fijar el do exactamente a 256 Hz. Esa

afinación es concordante con el Diapasón Numerofónico y la Ley de Aschero.

Esto resulta de elevar el número entero 2 a la 8a potencia (256 Hz). Este do

normalizado, que daba como resultado un la 430,54 Hz., obtuvo alguna popularidad

debido a su conveniencia matemática, ya que las frecuencias de todos los do serían

una potencia de 2. Pero este estándar nunca recibió el mismo reconocimiento oficial

que el la 435 Hz. y su uso no se generalizó.

Siglo XX (la 440)

En 1939 una conferencia internacional recomendó que el la encima del do central se

afinara a 440 Hz. El estándar fue aceptado por la Organización Internacional de

Estandarización en 1955 (y fue reafirmado por ellos en 1975) como ISO 16. La

diferencia entre esta afinación y el "diapasón normal" se debió a la confusión acerca

de cuál era la temperatura a la que se debía medir el estándar francés. El estándar

inicial era la 439 Hz., pero fue reemplazado por el la 440 Hz. después de registrarse

quejas acerca de la dificultad de reproducir los 439 Hz. en laboratorio debido a que

439 es un número primo.

A pesar de esta confusión, el la de 440 Hz. ahora se utiliza prácticamente en todo el

mundo, por lo menos en teoría. En la práctica, las orquestas afinan con el la que

genera el oboísta principal, en vez de hacerlo con algún dispositivo electrónico (lo cual

sería más fiable), y el oboísta mismo no utiliza tal dispositivo para afinar su

instrumento en primer lugar, así que todavía puede haber una ligera diferencia en la

afinación exacta utilizada. Los instrumentos solistas como el piano (con quien afina la

orquesta cuando tienen que tocar juntos) a veces tampoco están afinados con el la de

440 Hz. De todos modos se cree que desde mediados del siglo XX ha existido una

ligerísima tendencia a subir la afinación estándar, aunque ha sido casi imperceptible.

23

Siglo XXI (la 442 y la 444)

Al menos en las orquestas de cámara y sinfónicas formadas por alumnos de los

conservatorios de música europeos actuales se toma como referencia un la de 442 Hz.

producido por un dispositivo electrónico. En los estudios de teoría se sigue hablando

de 440 Hz. para el la pero la práctica instrumental se considera ajena a esta norma.

Aunque sigue siendo el oboe el instrumento encargado de dar la referencia al resto de

la orquesta, el oboísta afina su instrumento in situ con un afinador digital. Esto es así

incluso entre los grupos de música antigua, que suelen afinar a 415 Hz. (un semitono

temperado por debajo de 440 Hz.) la música barroca y a 465 Hz. la música del período

clásico.

Veamos algunos modelos de afinación:

446 Hz: Renacimiento (instrumentos de viento de madera).

415 Hz: instrumentos de viento de madera, afinados con los órganos parisinos (siglo

XVII y XVIII).

465 Hz: afinación muy usada en la alemania del siglo XVII

480 Hz: órganos alemanes que tocaba Bach (principios del s. XVIII).

422,5 Hz: diapasón asociado con Georg Friedrich Händel (1740).

409 Hz: diapasón inglés (1780).

400 Hz: diapasón (fines del s. XVIII).

450 Hz: diapasón (fines del s. XVIII).

423,2 Hz: diapasón del teatro de ópera de Dresde (1815).

435 Hz: diapasón (1826).

451 Hz: diapasón de La Scala de Milán.

430,54 Hz: afinación "filosófica" o "científica".

452 Hz: "tono sinfónico" (mediados del siglo XIX).

435 Hz: "tono francés" comisión estatal de músicos y científicos franceses (16 de

febrero de 1859).

435 Hz: "tono internacional" o "diapasón normal": Congreso de Viena (Conferencia

Internacional sobre el Tono, 1887). El bandoneón actual.

444 Hz: afinación de cámara (fines del s. XIX).

440 Hz: Reino Unido y Estados Unidos: (principios del siglo XX).

440 Hz: Conferencia Internacional (1939). Véase: La 440.

440 Hz: Organización Internacional de Estandarización (1955).

440 Hz: Organización Internacional de Estandarización ISO 16 (1975).

442 Hz a 445 Hz (Llamada afinación brillante): el bandoneón actual. (Se trata de un

instrumento de lengüeta, no afinable por el intérprete.).

24

442 Hz: Instrumentos de la familia del violín.

Recordemos que el diapasón, es un invento del trompetista y laudista inglés John

Shore (1721) y hoy en día se manifiestan diferencias entre una afinación "natural" (432

Hz.) y otra "impuesta" (440 Hz.)

Quiero señalar que las dos frecuencias son armónicas ya que tienen que ver con dos

frecuencias de la serie armónica que no admite decimales.

En realidad podríamos decir que todos los sonidos de la escala cromática temperada

están ligeramente desafinados, excepto el que produce la nota (la 4) con sus 440 Hz.

o 442 Hz.

Do = 261,625 Hz.

Do# (Reb) = 277,182 Hz.

Re = 293,664 Hz.

Re# (Mib) = 311,126 Hz.

Mi = 329,627 Hz.

Fa = 349,228 Hz.

Fa# (Solb) = 369,994 Hz.

Sol = 391,995 Hz.

Sol# (Lab) = 415,304 Hz.

La = 440,000 Hz. (diapasón)

La# (Sib) = 466,163 Hz.

Si = 493,883 Hz.

Do’ = 523,250 Hz.

En 1936 la American Standards Assotiation (ANSI) recomendó que se utilizase esta

frecuencia de 440 Hz. Posteriormente en 1955 la International Organization for

Standardization (ISO) hizo lo propio.

El problema de la controversia entre esas dos frecuencias es que ninguna de las dos

es la mejor ya que de acuerdo a la "Ley de Aschero" sus armónicos y subarmónicos

producen discrepancias.

La armonía sólo admite frecuencias de números enteros, siendo los decimales el

origen de la inarmonía.

La única y curiosa excepción la constituye la naturalidad del diapasón (440Hz.)

Una base matemáticamente incorrecta (12) y una escritura anacrónica no pueden

contener la naturaleza expansiva de los armónicos.

Tal como se ha visto, para obtener un resultado armónico, hay que partir de la propia

naturaleza del sonido. Todas las bases musicales 7, 12, 24, 36, 48... (temperadas o

no), pueden ser útiles instrumentalmente pero resultan absolutamente inarmónicas en

mayor o menor grado. Sólo las bases en cuyas frecuencias no existen decimales y que

responden a 2n como eje de su desarrollo serial (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,...),

pertenecen a la naturaleza y no son discrepantes.

También en el desarrollo de un embrión, el óvulo fecundado comienza a dividirse y el

número de células empieza a crecer: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Éste es un crecimiento

exponencial. Pero el feto sólo puede crecer hasta un tamaño que el útero pueda

soportar; así, otros factores comienzan a disminuir el incremento del número de

células, y la tasa de crecimiento disminuye. Después de un tiempo, el niño nace y

continúa creciendo. Finalmente, el número de células se estabiliza y la estatura del

25

individuo se hace constante. Se ha alcanzado la madurez, en la que el crecimiento se

detiene. En el caso de los gemelos monocigóticos, en cambio, los dos tienen el mismo

origen: un solo óvulo fecundado por un solo espermatozoide. Lo que sucede es que

después de haberse fusionado el material genético de la madre con el del padre, la

célula resultante (conocida como cigoto) se divide muy tempranamente en dos. Los

dos cigotos resultantes quedan con la misma carga genética y por eso que los bebés

terminan siendo idénticos.

Mediante cualquiera de dichas bases y partiendo de la serie armónica, se demuestra

que (primero) equivalente al (do físico) es el único grado que multiplicado por sí mismo

es igual a sí mismo (siempre sigue siendo primero (do) con lo que se fundamenta su

preponderancia frente a todos los demás grados de la serie. Cada nuevo número

armónico "suena" siempre al doble de la frecuencia del anterior desde 1 Hz. hasta el

infinito. Estos números en realidad son siempre un 1 fecundado (que alumbra un 2) y

en su replicación binaria nunca pierde su identidad inicial.

Con lo cual el Diapasón Numérofónico establece una afinación de 256 Hz. (1º a la

cero en la Numerofonía) equivalente a (do 4).

A continuación demostraré las diferencias:

1) Análisis de las frecuencias: 432 Hz., 440 Hz., 256 Hz.

432 Hz. (432:2 = 216 Hz.) (216:2 = 108 Hz.) (108:2 = 54 Hz.)

(54:2 = 27 Hz.)

El límite subarmónico es 27 Hz.

440 Hz. (440:2 = 220 Hz.) (220:2 = 110 Hz.) (110:2 = 55 Hz.)

El límite subarmónico es 55 Hz.

256 Hz. (256:2 = 128 Hz.) (128:2 = 64 Hz.) (64:2 = 32 Hz.)

(32:2 = 16 Hz.) (16:2 = 8 Hz.) (8:2 = 4 Hz.) (4:2 = 2Hz.) (2:2 = 1 Hz.)

El límite subarmónico es 1 Hz.

La mejor frecuencia es cuanto a los subarmónicos es 256 Hz.

432 Hz. (432 x 432 = 186624 Hz.)

(432 x 2 = 864 x 2 = 1728 x 2 = 3456 x 2 = 6912 x 2 = 13824 x 2 = 27648 x 2 = 55296

x 2 = 110592 Hz.)

Conclusión: "la" x "la" ≠ "la" (contradice la Ley de Aschero)

440 Hz. (440 x 440 = 193600 Hz.)

(440 x 2 = 880 x 2 = 1760 x 2 = 3520 x 2 = 7040 x 2 = 14080 x 2 = 28160 x 2 = 56320

x 2 = 112640 Hz.)

Conclusión: "la" x "la" ≠ "la" (contradice la Ley de Aschero)

256 Hz. (256 x 256 = 65536 Hz.)

26

(256 x 2 = 512 x 2 = 1024 x 2 = 2048 x 2 = 4096 x 2 = 8192 x 2 = 16384 x 2 = 32768 x

2 = 65536 Hz.)

Conclusión: "do" x "do" = "do" (certifica la Ley de Aschero)

La teoría del "temperamento" o "gama" musical consiste en definir la altura exacta que

deben tener las notas de la escala. En la música occidental - y de manera crucial para

los instrumentos de teclado - esto significa establecer las alturas relativas de los doce

semitonos de la octava, o sea dictaminar el criterio que debe seguir el afinador de un

instrumento.

Nuestros instrumentos occidentales se hallan hoy en su mayoría afinados según el

"temperamento igual" que significa dividir la octava en doce semitonos de igual

tamaño.

Esto es muy práctico porque permite tocar con una afinación aceptable en todas las

tonalidades, pero tiene una desagradable consecuencia: dentro de la octava, todos los

intervalos musicales están desafinados en mayor o menor medida. Las quintas y

cuartas son casi perfectas, pero las terceras y sextas son apreciablemente - e

inevitablemente - desafinadas.

El público de conciertos de nuestra sociedad occidental está acostumbrado a esta

situación y no la percibe, pero todos los músicos de cámara conocen las dificultades

que produce nuestro sistema de afinación.

Para comprender la causa de esta situación consideremos unos pocos hechos

básicos.

Un intervalo es un cociente entre dos frecuencias y suena puro, o sea perfectamente

afinado, si dicho cociente es igual al cociente entre números enteros y pequeños. Hay

dos maneras de alejarnos de este ideal: utilizar números no pequeños - por ejemplo en

intervalos como la séptima - o utilizar un cociente inexacto - por ejemplo en una quinta

desafinada -. En cualquiera de los dos casos se producen "batidos", unas

interferencias en el sonido que nos producen una desagradable sensación de

desafinación o disonancia.

Los dos números más pequeños que podemos utilizar son 1 y 2, y por ello el intervalo

más consonante es el de cociente 2/1, que es igual a 2. Cuando ello ocurre - por

ejemplo entre un la de 440 Hz. y otro de 880 Hz. - decimos que oímos una octava.

El cociente del semitono igual es 1,059463, número que multiplicado 12 veces por sí

mismo da como resultado 2.

Esto nos da también un primer elemento de juicio: nos dice que un semitono se

produce al variar la frecuencia de un sonido en 5,9463%. Para recordarlo lo

redondearemos al 6%.

Veamos ahora que pasa con los otros dos intervalos básicos en la práctica musical

tonal: la quinta y la tercera mayor.

La quinta es un intervalo con cociente 3/2 - o sea 1,5 -.

En un instrumento afinado según el "temperamento igual" obtenemos una quinta como

yuxtaposición de siete semitonos.

Por ende su ratio es 1,059463 (ver arriba), multiplicado por sí mismo 7 veces, lo que

da 1,498.

La diferencia con el valor puro: 1,5 es de -0,13%.

Las cosas son mucho peores sin embargo con la tercera mayor.

27

Su cociente puro es 5/4 - o sea 1,25 -; pero en nuestro teclado igualmente temperado

se obtiene como yuxtaposición de cuatro semitonos y su ratio es por ende 1,059463

multiplicado por sí mismo 4 veces, lo que da 1,26. Aquí el error es del 0,8%, seis

veces mayor que en la quinta. Vimos arriba que el 6% es un semitono, o sea que el

0,8% es casi la séptima parte de un semitono. Es mucho y en la tercera mayor se oye

fácilmente.

Estas "groseras e irritantes terceras mayores del temperamento igual" definidas por

Jean Jacques Rousseau ("Tempérament" Dictionnaire de Musique), hicieron que hasta

hace 200 años, el mismo no fuese aceptado.

Desde la Edad Media hasta comienzos del siglo XIX nuestra música occidental - tanto

culta como popular -, se desarrolló sobre la base de una gran variedad de

"temperamentos desiguales": la octava se subdividía en doce semitonos, sí, pero

espaciados de manera desigual logrando que pequeñas diferencias produjeran una

apreciable mejora en las terceras mayores de uso más frecuente.

Para comprender el resto de este texto es importante la "ley de la conservación de la

disonancia": no es posible dentro de los límites impuestos por el lenguaje musical

mejorar unas terceras sin empeorar otras.

Nuestro sistema de tonos y semitonos surge en la Edad Media a partir del "círculo de

quintas pitagórico", método de afinación atribuido a Pitágoras (siglo VI antes de

Cristo).

Consiste sencillamente a partir de una nota, afinar otra a la quinta justa y proseguir por

quintas consecutivas siempre a partir de la última nota afinada.

Si comenzamos por el fa, obtenemos consecutivamente: fa, do, sol, re, la, mi, si; todos

afinados por quintas puras. Así surge nuestra escala diatónica de siete notas. A

medida que avanza la Edad Media, necesidades melódicas - y a veces también

armónicas en la nueva música polifónica - requieren de nuevos sonidos, que se

llamarían sostenidos o bemoles.

Si seguimos desde el si, obtenemos: fa#, do#, sol#, re#, la#, mi#, si#. Y en sentido

inverso - desde el fa - : sib, mib, lab, reb, sol, dob, fab.

Entre las notas sol# y mib se produce una quinta sumamente desafinada denominada

"quinta del lobo" por sus "aullidos", o sea los batidos producidos por su desafinación.

Este hecho era en esa época una curiosidad académica: con once de las doce quintas

perfectamente afinadas, sobraba para las necesidades de la música medieval.

El problema de la afinación pitagórica reside en las terceras. Es que afinando por

quintas puras - aunque a los violinistas modernos les cueste comprenderlo - se

producen terceras muy desafinadas, peores aún que las del "temperamento igual".

En la "gama pitagórica" afinamos quintas, no terceras. Para formar la tercera mayor

debemos subir cuatro quintas (por ejemplo: do, sol, re, la, mi) y bajar dos octavas. En

términos de frecuencias, hay que multiplicar 4 veces por 1,5 y dividir 2 veces por 2. Y

resulta que: 1,5 x 1,5 x 1,5 x 1,5 x 1,5 / (2 x 2) = 1,265. Vimos anteriormente que la

tercera mayor pura tiene cociente 1,25. Esta diferencia llamada "comma sintónica", es

de aproximadamente la quinta parte de un semitono.

La solución de los músicos medievales fue tratar la tercera mayor como disonancia,

que resolvía en una quinta pura (o en su inversión, la cuarta, que también resultaba

pura).

Si queremos hoy interpretar la música de la Edad Media, tanto o más importante que

utilizar instrumentos de época es afinar de manera que se puedan escuchar las

28

consonancias y disonancias prescritas en la partitura. Se debe utilizar la "gama

pitagórica".

El Renacimiento musical introduce el concepto de terceras mayores como

consonancias.

La "gama pitagórica" se vuelve por ende inaceptable y muchos teóricos proponen

"sacrificar" una de cada cuatro quintas: si la desafinamos lo suficiente - reduciéndola

en medida igual a la comma sintónica -, la tercera mayor quedará pura.

Repitiendo este procedimiento a lo largo del círculo de quintas, se logra un máximo de

ocho quintas puras y ocho terceras mayores puras.

Por desgracia, quedan cuatro quintas sumamente desafinadas: verdaderos "lobos"

inutilizables. Peor aún, se hallan colocadas de manera cíclica: una cada cuatro quintas

del círculo, obstaculizando toda modulación. Los músicos pronto hallarían un método

de afinación distinto que resolvería el problema como veremos en el apartado

siguiente. Los teóricos en cambio quedaron fascinados porque todos los cocientes de

intervalos en la "afinación justa" eran matemáticamente sencillos, aunque estuvieran

muy lejos del modelo propuesto por la naturaleza.

Desafinar una de cada cuatro quintas - reduciéndola en una comma sintónica - no es

la única forma de obtener terceras mayores puras. Otra manera es reducir todas las

quintas en 1/4 de comma sintónica. La desafinación - algo más que el doble que las

quintas del "temperamento igual" - se oye pero resulta aceptable, lo que no ocurría con

las quintas muy desafinadas de la "afinación justa".

Para afinar la "entonación media", lo esencial es lograr que las primeras cuatro quintas

estén reducidas en medida similar y formen una tercera pura. Una vez logrado esto, el

resto de la afinación se puede realizar por terceras mayores puras. Una interesante

consecuencia es que las terceras menores resultan casi puras también.

La "afinación justa" producía dos tamaños distintos de tono: el "tono mayor" formado

por dos quintas puras y el "tono menor" formado por una quinta pura y una quinta

reducida.

Al utilizarse ahora quintas iguales, todos los tonos tenían un tamaño promedio, de

donde surgió el nombre de afinación del "tono medio" o "entonación media".

El problema de la "entonación media" es que, al igual que las anteriores, el círculo de

quintas no cierra. Con el procedimiento arriba descrito logramos once quintas

aceptables y ocho terceras mayores puras. La quinta restante y, peor aún, las cuatro

terceras mayores restantes, son "lobos" excesivamente grandes.

Estos lobos por suerte aparecían en tonalidades "remotas" con varios sostenidos o

bemoles: los músicos del Renacimiento y Barroco Temprano se las arreglaron muy

bien simplemente evitando los "lobos".

En teoría, la enarmonía (por ejemplo sol# afinado como tal pero utilizado como lab) no

era posible, pues implicaba gran desafinación, pero en la práctica se la podía utilizar

en intervalos disonantes (segundas o séptimas) o también ocultando la desafinación

de un "lobo" mediante un trino.

Sus numerosas virtudes - quintas aceptables, terceras y sextas puras, fácil afinación -

hicieron que la "entonación media" fuera considerada el método universal de afinación

en la música occidental durante los siglos XVI y XVII.

Produciendo una aceptable afinación en escalas y acordes, la "entonación media" fue

unos de los pilares del desarrollo de la armonía clásica.

29

La "gama pitagórica", el "temperamento igual" y la "entonación media" tienen un

aspecto común: son gamas "regulares", lo que significa que se obtienen afinando

quintas de idéntico tamaño.

A partir de esta filosofía, durante los siglos XVI al XVIII se propusieron numerosas

variantes, tanto con quintas más grandes como más pequeñas que las de la

"entonación media".

Si reducimos las quintas aún más - como propusieron varios teóricos -, logramos

terceras menores y sextas mayores realmente puras, pero las quintas se vuelven

inaceptables.

Más razonable es reducirlas menos que la "entonación media", y propuestas de este

tipo abundaron en el Barroco, como medio de atenuar los "lobos". Lo que los teóricos

no vieron fue que al ampliar las quintas, las terceras mayores se desafinaban mucho

más de lo que mejoraban los "lobos".

Peor aún, al carecerse de intervalos puros la afinación se volvía más difícil e

imperfecta.

Por todo esto, a pesar de las abundantes propuestas de la época en dicho sentido, la

"entonación media" habitual, - reduciendo cada quinta lo necesario para producir

terceras mayores puras - fue siempre la que prevaleció en la práctica.

Hacia fines del Renacimiento, las limitaciones de la "entonación media" trajeron un

problema.

Era frecuente la transposición para resolver el problema de la ausencia de un

diapasón de altura universal, y también para que una voz o instrumento ejecutara una

partitura concebida para otro medio. Con la "entonación media", toda transposición

fácilmente lo llevaba a uno a la "guarida de los lobos".

Había una solución teórica: ignorando los "lobos" y la enarmonía, se podía continuar

afinando por terceras puras hacia abajo y hacia arriba para intentar cerrar lo que por

naturaleza no cierra, mediante la desafinación de las quintas.

A lo largo del Barroco se publicaron métodos para instrumentos de viento con

digitaciones distintas para los sostenidos y bemoles equivalentes. Violinistas y

violonchelistas sabían que tenían que subir levemente la afinación para pasar de un

sostenido al bemol enarmónico.

En los instrumentos de teclado la solución era cambiar la afinación de sostenidos a

bemoles según fuera oportuno: (por ejemplo se tomaba el sol# - afinado como tercera

pura por sobre el mi - y se lo reafinaba como lab - tercera pura por debajo del do - y si

hacía falta, también se reafinaba el do# - tercera pura por sobre el la - como reb –

tercera pura por debajo del fa). No era muy práctico pero se hacía.

Otra solución fueron los teclados no enarmónicos, con algunas teclas divididas, con

dos mecanismos independientes, produciendo una el sostenido y otra el bemol.

Aunque ha sobrevivido un puñado de estos instrumentos, su fabricación era costosa y

su ejecución difícil, por lo que desaparecieron durante el Barroco.

Para producir una "espiral de quintas" no es indispensable utilizar la "entonación

media": cualquier gama regular sirve, por ejemplo la "pitagórica".

Resulta instructivo comparar los semitonos producidos por las "espirales" de la "gama

pitagórica" y la "entonación media" con los semitonos del "temperamento igual".

Por otro lado no tiene sentido argumentar acerca de si los sostenidos deben ser más

agudos o más graves que los bemoles. Todo depende de la gama que se utilice: en la

"pitagórica" son más agudos los sostenidos, en la "entonación media" son más agudos

los bemoles y en el "temperamento igual", coinciden.

30

Existen subdivisiones múltiples de la octava que determinan gamas de más de doce

sonidos. Se dividen en tres familias.

Una de ellas es la citada "espiral de quintas" de la "entonación media".

La segunda familia es la de las "afinaciones justas múltiples" que intentaban hacer

viable la "afinación justa": si la quinta la - mi es necesariamente reducida, inventemos

un la alternativo afinado puro con el mi, etcétera.

Esta línea de razonamiento tuvo sus seguidores y a lo largo de los siglos se

produjeron ingeniosos teclados y mecanismos.

Por desgracia, aún las cadencias más habituales de la armonía clásica requieren

cambiar de una nota a su alternativa: esto es difícil para el ejecutante y molesto para el

oyente que percibe un cambio de casi 1/4 de semitono. Se explica así el fracaso de

estos intentos.

La tercera familia la constituyen las "divisiones regulares múltiples": se extiende una

"espiral de quintas regulares"- "pitagóricas", de la "entonación media" u otras - hasta

que sus dos "puntas" coincidan con un error inaudible.

El problema es que el error es error, sea inaudible o no.

El que más se aproximó en el intento de crear un modelo de afinación más próximo a

la naturaleza del sonido, fue Vicentino (siglo XVI) con su modelo de treinta y una notas

por octava y su teclado "clavemusicum omnitonum" de igual número de teclas por

octava.

Con esta subdivisión, Vicentino evitaba todos los "lobos" y poseía ilimitada capacidad

modulante, aunque no enarmonía.

Su tono estaba subdividido en cinco partes iguales:

do, rebb, do#,reb, dox, re, lo que le permitía interesantes posibilidades que fueron

explotadas por el propio Vicentino en sus osadas composiciones, pioneras de la

música microtonal.

Son obvias las enormes dificultades de fabricar, afinar y ejecutar instrumentos de esta

índole, los que - como era de esperarse - no prosperaron.

Las "divisiones regulares múltiples" fueron eso: múltiples.

Todas estaban destinadas al fracaso porque la música tonal requiere: quintas no

peores que las de la "entonación media" y tercera mayores iguales o mejores que las

del "temperamento igual".

Vicentino comete dos errores insalvables: el primero al establecer 31 sonidos por

"septava", cuando el número armónico es 32. La "octava" de 31 es 32, sin embargo en

la afinación armónica es 33 (32 + 1).

Las serie naturales tienen por índice acústico: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... sonidos,

ni uno más ni uno menos.

Y el segundo error lo comete al considerar que el tono se puede dividir en cinco partes

iguales, cuando la única división no discrepante de la "octava" se corresponde

igualmente con los números: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...

El centro de la "octava" no está en el fa# (base 12) ni en el solb (base 31).

La serie armónica establece sin dudas un centro físicamente exacto: 2, 3, 4 (el centro

es 3); 4, 5, 6, 7, 8 (el centro es 6); 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (el centro es 12); 16,

17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 (el centro es 24)...

Sin embargo, como los teóricos no tuvieron el valor de seguir el camino abierto por

Vicentino, se siguió utilizando la base 12 del "temperamento igual", luego de

desaparecida la gama pitagórica que la había originado.

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Durante el Barroco los músicos franceses se fueron alejando de la regularidad de la

"entonación media" para lograr mayor libertad de modulación, aunque conservando en

lo posible la pureza de las terceras. En las últimas décadas del siglo XVII los franceses

ya utilizaban una "entonación media" modificada que se llamó "trisección del lobo": en

lugar de reducir once quintas, reducían solamente nueve y las tres restantes quedaban

ligeramente grandes. Desaparecía así la "quinta del lobo".

Más interesante es lo que ocurría con las terceras mayores.

Con la "entonación media" teníamos ocho puras y cuatro "lobos"; la "trisección del

lobo" proporcionaba en cambio seis puras, cuatro aceptables y solamente dos "lobos".

Se podía utilizar enarmónicamente el mib como re# y el sol# como lab. Afinaciones de

este tipo seguían utilizándose en Inglaterra hasta mediados del siglo pasado.

Pero en Francia la evolución fue más allá y habiéndose logrado con la "trisección del

lobo" la enarmonía para dos notas, no se tardó en llegar a un sistema en el que

solamente las seis quintas "diatónicas" seguían la "entonación media" (produciendo

solamente dos terceras mayores puras:

do - mi y sol - si); las demás quintas se iban ensanchando gradualmente en dirección

al antiguo "lobo", más rápidamente cuando lo hacían "hacia los bemoles". Con esta

asimetría - audible aunque no demasiado pronunciada -, las tonalidades con

sostenidos eran algo más consonantes que las tonalidades con bemoles.

Este es el "temperáment ordinaire" o "temperáment établi" de la Francia del siglo XVIII

y sus célebres enciclopedistas. Todas las descripciones de la época son empíricas: el

sistema era demasiado complejo para las matemáticas de entonces. Sin embargo en

la práctica era muy efectivo: todas las quintas eran buenas y todas las terceras eran

ejecutables, aunque iban cambiando desde las puras hasta las peores, apenas

tolerables.

Fuera de Francia e Inglaterra el panorama fue muy diferente.

Durante la segunda mitad del siglo XVII, músicos alemanes e italianos fueron

abandonando la "entonación media" a favor de métodos surgidos de experimentar con

quintas puras, es decir "pitagóricas". A estos músicos les interesaba la practicidad de

una afinación aceptable para el diatonismo, sacrificando un cromatismo de mayor

impureza.

La solución, que en pocas décadas se difundió por casi toda Europa y por las colonias

europeas en Latinoamérica, fue afinar puras las seis quintas cromáticas y reducir de

manera pareja las quintas diatónicas hasta cerrar el círculo.

Con esto, las mejores terceras mayores eran excelentes - mucho mejores que las del

"temperamento igual" - aunque sin llegar a ser puras como en la "entonación media".

Al modular a tonalidades con alteraciones, las terceras se volvían más disonantes

hasta que las peores eran "pitagóricas" pero no "lobos".

Además de ser enarmónico, el nuevo "buen temperamento" tenía tonalidades buenas,

medianas y malas al igual que el "temperamento francés" pero de manera menos

extrema que este último. Además el círculo de quintas era simétrico: la disonancia

aumentaba por igual al modular hacia los sostenidos que al hacerlo hacia los bemoles.

Los teóricos de la época, sobre todo los alemanes, propusieron innumerables

variantes: girar el círculo una quinta hacia la derecha, incluir una quinta pura entre las

reducidas, afinar cinco puras y siete reducidas, etcétera. En cuanto al resultado

audible en la práctica musical, las diferencias entre estas variantes son poco

significativas.

32

Recientes investigaciones han confirmado sobre base acústica lo que ya hace tiempo

se sabía sobre base histórica: el "buen temperamento" es la gama ideal para la música

de Juan Sebastián Bach. Su "Clave bien temperado" más que pionera, fue una obra

didáctica, dirigida a divulgar entre los aficionados, una práctica que ya era común entre

los profesionales.

El "temperamento igual" - antiquísimo como teoría - se inicia como práctica en el

Renacimiento, desde la metodología para colocar los trastes de tripa móviles en

instrumentos de cuerda punteada y de arco.

Fue muy popular la "regla del 18": para colocar un traste un semitono más agudo,

había que acortar la longitud de la cuerda vibrante en 1/18. Esto no es exacto

acústicamente, pero compensa la distorsión producida por la presión del dedo contra

el traste, consiguiendo a menudo un resultado muy preciso. No había calculadoras

para dividir por dieciocho, pero era fácil hacerlo geométricamente dividiendo la longitud

primero por dos y luego por tres, dos veces consecutivas.

Esta práctica temprana del "temperamento igual" desaparece en el siglo XVII cuando,

al afianzarse el concepto del bajo continuo, los músicos pasan a afinar utilizando como

referencia el teclado - afinado en la "entonación media" y sus sucesores.

La práctica moderna del "temperamento igual" se inicia a mediados del siglo XVIII

como gradual evolución del "buen temperamento" (variantes que iban reduciendo el

número de quintas puras del mismo). Esta evolución es consecuencia del nuevo estilo

que hoy llamamos Clasicismo.

Fue este concepto de "afinación pareja" - o más exactamente "desafinación pareja" –

el que acabó por imponer el "temperamento igual" en la práctica musical occidental.

En Francia e Inglaterra, la "entonación media" y sus derivados siguieron utilizándose

hasta finales del siglo XVIII.

Con el Romanticismo, franceses primero e ingleses después acabaron adhiriendo al

"temperamento igual" que ya dominaba en el resto de Europa.

Es interesante comparar las principales gamas en uso desde el Renacimiento hasta

nuestros días por la música.

Las octavas son siempre puras y las quintas más o menos aceptables (excepto uno

que otro "lobo" que no se utilizaba en la práctica). Entre las impresionantes

controversias sobre el temperamento que abundaron desde la Edad Media hasta el

Romanticismo, hay un punto de coincidencia general: la afinación sólo se prueba por

las terceras mayores, y cuando ellas son buenas, la afinación es buena.

Para la numerofonía armónica todos los intervalos son buenos, sin excepciones, ya

que su principio es el único sustentado por las leyes naturales de la afinación y no por

la herencia de modelos culturales de poca entidad científica.

A diferencia de otras gamas, la práctica del "temperamento igual" no requiere

conocimiento de ninguno de los conceptos que hemos desarrollado. En consecuencia,

en los últimos 200 años se ha difundido entre músicos y afinadores una pasmosa

ignorancia al respecto. La mayoría de ellos se limitan a saber que una quinta

igualmente temperada se obtiene reduciendo imperceptiblemente una quinta pura.

En cuanto a las terceras, todos nos hemos acostumbrado a su uniforme desafinación.

Estos dos hechos - ignorancia y tolerancia hacia terceras desafinadas - llevaron en el

siglo pasado al mito de que la afinación "teóricamente perfecta" era por quintas puras.

Siguiendo este ideal pitagórico, vemos aún hoy a casi todos los violinistas, violistas y

violonchelistas tomar solamente una nota del instrumento de referencia - el la - y afinar

las restantes cuerdas por quintas puras. Luego se lamentan de que la cuerda más

33

grave del instrumento queda demasiada baja respecto del teclado, y despectivamente

le atribuyen el problema al "deficiente temperamento" de este último.

También afirman que el tono está dividido en "nueve commas" y que un sostenido es

un comma más agudo que su bemol enarmónico, hecho que solamente es válido para

la "gama pitagórica" y no - ni siquiera aproximadamente - para ninguna otra; y como

consecuencia, elevan sus sensibles, cuando lo que suena mejor es bajarlas para

medir las terceras mayores, como se hacía durante el Barroco.

Cuando el "temperamento igual" se difundió por Europa, diversos musicólogos

elevaron sus voces críticas porque los músicos se veían privados de la enérgica

variedad de los temperamentos desiguales.

Advirtieron claramente que el "temperamento igual" destruye la diferencia de carácter

que debería existir, en un instrumento bien afinado, entre las distintas tonalidades

mayores.

Predicaron en el desierto, porque el lenguaje musical del Romanticismo no precisaba

de dicha diferencia.

En cuanto a la música antigua, no había el más mínimo interés en una interpretación

fiel de la misma. Para mediados del siglo pasado, casi todo el conocimiento de la

humanidad sobre temperamentos yacía enterrado en antiguos documentos que

carecían de interés para la cultura musical de la época.

Recién en el presente siglo se iniciaron investigaciones sistemáticas sobre el

temperamento. Barbour publicó en 1.951 su tratado "Tuning and Temperament: a

historical survey" - citado por doquier - en el que describe más de cien temperamentos

históricos, aunque con serios errores y omisiones. Barbour no atina a identificar el

"temperamento francés" como un sistema aparte, e inclusive ignora el importante y

difundido aporte de Rousseau ("Tempérament", en Dictionnaire de Musique) al

respecto.

Peor aún, sus prejuicios lo llevaron a narrar toda la historia del temperamento como

una inexorable evolución hacia el "temperamento igual"; llegando al extremo de

evaluar la bondad de cada gama según cuánto se acerca al "temperamento igual".

Gracias a Barbour, el asunto quedó olvidado por un par de décadas más.

El resurgimiento actual, desde el punto de vista musical, se inicia a fines de la década

del sesenta como consecuencia de la tendencia hacia una interpretación más rigurosa

con respecto a los modelos de afinación históricos.

Los armónicos negativos se "crean" en La Ilustración (siglo XVIII), con la intención de

justificar el acorde menor. Se trataba de una abstracción matemática de este acorde

mediante la inversión en espejo de los armónicos postivos (mientras que los positivos

son ascendentes los negativos descienden). Gracias a este tipo de armónicos se

consigue explicar el IV grado.

Su creador fue Zarlino que consideraba que la tercera menor era el intervalo fundador

de la armonía. Anteriormente, Aristoxeno (siglo IV a.C.) instauró la escala de 8 notas

basándose en las proporciones físicas y no matemáticas de los sonidos. También el

francés Rameau, inventó la armonía, es decir, nombró los acordes según los grados y

los situó con un orden dentro de la tonalidad, estableciendo la serie armónica

(positiva).

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Las frecuencias subarmónicas son frecuencias que están por debajo de la frecuencia

fundamental., existen en la naturaleza y son un problema en el diseño de circuitos

eléctricos.

Por ejemplo, si la frecuencia fundamental de un oscilador son 440 Hz, los

subarmónicos corresponden a 220 Hz. (1/2) y 110 Hz. (1/4) y 55 Hz. (1/8).

La nota sol de la cuarta cuerda es la nota más grave que sale de un violín afinado. O

eso pensaría cualquiera antes de escuchar a la concertista Kimura. Todos los

instrumentos de cuerda tienen en teoría (insisto, en teoría) la posibilidad de tocar notas

todo lo agudas que se quiera. Para subir una octava completa basta con presionar de

forma que la cuerda que vibra reduzca a la mitad su longitud. Una octava más es

volver a reducir a la mitad, y así sucesivamente hasta la paradoja de Zenón. En la

práctica llega un momento que simplemente la cuerda no vibra por razones de

composición y grosor. Luego hay un límite superior por razones físicas.

El límite inferior, sin embargo tiene un fundamento físico-matemático. Por ejemplo,

decíamos que la nota más grave que da un violín es un sol en su cuerda más gruesa.

Para obtener esta nota basta con hacer vibrar la cuerda sin pulsar sobre el mástil.

Cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Pero evidentemente, si bien

podemos pulsar para acortar una cuerda, no existe forma de alargarla. Esa es la

limitación física de los graves.

La limitación matemática es universal: no se podrá emitir una onda que tenga una

longitud de onda más grande que el objeto que la emite. Recordemos que la longitud

de una onda sonora está asociada con lo aguda o grave que es (cuanto más larga,

más grave). Por eso los violines emiten ondas de 30 o 40 centímetros, y el contrabajo

las emite de más de 1 metro. Por eso un bebé nunca podrá cantar como un bajo o

barítono en un coro. Lo mismo ocurre, por ejemplo, con el campo electromagnético:

una antena solo emite ondas electromagnéticas que son como mucho del tamaño de

la propia antena.

Si en lugar de pulsar la cuerda a la mitad, la cuarta parte, etc. (octavas superiores,

agudas) se apoya suavemente el dedo sobre la mitad, la cuarta parte, etc., lo que se

obtiene es un armónico. Podemos decir que lo que Kimura obtiene para sacar del

violín las octavas inferiores son subarmónicos. Cualquiera que no estuviera avisado

diría que su pieza "Capricho para el segundo subarmónico" la tocan dos instrumentos

(violín y violoncello). ¿Pero cómo lo hace?

Su respuesta nos deja, si cabe, más sorprendidos: "En realidad no sé qué es lo que

hago" dice la violinista, que afirma que obtuvo el sonido a base de "prueba y error".

Varios científicos de instituciones americanas y japonesas han intentado abordar el

fenómeno, pero han abandonado tras varias pruebas. Sin embargo, el equipo de

Alfred Hanssen de la Universidad de Tromsø en Noruega ha adquirido un compromiso

más a largo plazo. La apuesta va por el camino de que Kimura desliza su arco sobre

las cuerdas según un comportamiento que en física llamamos no-lineal, dirigido y

amortiguado. Pertenece a esa parte de la ciencia tan joven (los sistemas no lineales)

en la que la respuesta no siempre es proporcional al estímulo, sino que tiene un

comportamiento más bien complejo que requiere de métodos que todavía se están

descubriendo.

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Los subarmónicos que están dentro de cada frecuencia fundamental definen de forma

categórica el subtimbre de cada una, es decir su esqueleto, sus órganos y sus

funciones; mientras que los armónicos superiores que actúan en lo externo del cuerpo

numérico le otorgan su encarnadura tímbrica que sí puede ser variable.

A partir de aquí iniciaremos desde el modelo cultural el análisis numerofónico de base

12 de todas las series y grupos.