culegere mate clasa a xi-a

CLASA a XI-a

MATEMATIC , clasa a XI a ALGEBR SUPERIOAR (simbol AL - XI) AL - XI. 001 Se dau matricele A = S se calculeze matricea C = A + B. a) C = 2

1 0, (6 ) 0, (3) 2 ; B = 1 3 0,5 1,4 5 2

1 1 ; 3 2 0, (3) 0

b) C = 0 e) C =

1 0,5 2

c) C = 0 1 f) C = 0

1 0

d) C = 1

0, (6 ) 1 1 1 2

1 1 2

AL - XI. 002 Se dau matricele ptratice de ordinul al doilea E = 4

5 3 i 6

1 2 F = 3 7 . S se calculeze matricea A = 2E 3F a) A =

13 12 1 9 13 12 1 9

b) A =

13 12 1 9

c) A =

13 12 1 9

d) A =

e) A =

13 12 1 9

f) A =

13 12 1 9

2 1 0 AL - XI. 003 Fie A = 2 1 1 M 3 (Z ) . 3 1 3

Algebr XI Dac f ( x ) = 3 x s se calculeze f ( A) .

95

6 3 0 a) f ( A) = 2 1 1 3 1 3

2 3 0 b) f ( A) = 6 1 1 c) 9 1 3

6 3 0 f ( A) = 6 3 3 9 3 9 f) f ( A) = I 3

2 3 0 d) f ( A) = 2 3 1 3 1 9

1 0 6 e) f ( A) = 2 3 1 9 1 3

AL - XI. 004 S se calculeze produsul de matrice AB, unde

1 3 2 1 A= 0 1 2 , B = 3 2 a)

7 11

b)

11 7 3 63)

c)

11 7 2 3 1 2

11 d) 7

e) (11 7

11 f) 7 3

AL - XI. 005 S se rezolve ecuaia matriceal:

1 2 2 4 X 2 5 = 3 7 a)

2 0 1 1

b)

0 2 1 0

c)

1 1 3 4

961 2 5 2

Culegere de probleme

d)

e)

1 4 1 1

f)

2 1 0 1

AL - XI. 006 S se rezolve ecuaia matriceal:

1 1 1 1 1 3 X 2 1 0 = 4 3 2 1 1 1 1 2 5 3 2 0 a) 4 5 2 5 3 0 3 2 0 b) 1 5 1 1 3 0 3 2 1 c) 1 5 1 1 3 0

3 1 0 d) 4 5 1 5 3 0

3 2 0 e) 4 5 0 5 3 2

3 2 0 f) 4 5 2 5 3 1

AL - XI. 007 S se rezolve ecuaia matriceal

1 2 3 6 9 8 X 2 3 4 = 3 4 1 0 1 6

1 1 a) X = 1 1 3 1 2 2 3

0 1 1 b) X = 1 0 1 1 1 1

2 1 1 c) X = 1 1 2 2 1 1 f) X = 2

d) X = 1

e) X = 1 1 1

1 2 3 3 1

AL - XI. 008 Aflai a R astfel ca matricea diagonal constant

Algebr XI

97

a 0 0 X = 0 a 0 s fie soluia comun a ecuaiilor matriceale 0 0 a 3 1 (1 2 3)X 2 = 1 i (3 2 1)X 2 = 1 1 3 a) a =

3 10 10 3

b) a =

2 10 10 2

c) a =

1 10

d) a =

e) a =

f) a = 10

AL - XI. 009 S se determine toate matricile X, cu proprietatea c AX = XA , unde A =

1 2 . 3 1 1 0 b) 0 1 2 e) ; ,R 3 2 c) ; R 0 f) ; ,R

1 a) ; ,R 1 2 d) ; R 3 1

2 2 2 4 AL - XI. 010 S se determine matricea X care verific relaia: X = . 3 3 6 3 a) X = (1 1 2)d) X = (1 2 3) 1 1 b) X = 0 0 1 e) X = 1 2 2 0 1 1 c) X = 2 2 1 1 f) X = 2 2

98


AL - XI. 011 Care este valoarea parametrului aR pentru care exist x,y,z,t R , nu 1 3 1 3 0 0 2 1 1 2 toi nuli, astfel nct x + y = ? + z + t 1 a 1 1 2 1 a 0 0 1 2

a) a = 1

b) a = 0

c) a = 1

d) a = 2

e) a = 2

f) a = 4

AL - XI. 012 S se determine constantele reale p i q pentru care matricea 1 0 1 A = 0 1 0 satisface relaia A3=pA2+qA . 1 0 1

a) p = 2 , q = 3 d) p = 2 , q = 3

b) p = 3 , q = 2 e) p = 2 , q = 1

c) p = 1 , q = 4 f) p = 1 , q = 3

2 2 3 1 2 3 AL - XI. 013 S se rezolve ecuaia matriceal X 1 1 0 = . 1 2 1 1 3 2 6 31 5 a) X = 4 12 14 4 6 2 d) X = 31 5 11 6 32 21 b) X = 4 23 14 5 31 4 e) X = 4 12 10 2 4 6 c) X = 1 3 2 1 2 2 6 32 21 f) X = 4 23 14

AL - XI. 014 S se determine matricea X care verific ecuaia 1 2 1 2 2 0 1 X = 3 0 3 . 3 1 12 6 9

Algebr XI 3 2 4 b) X = 5 1 3 5 2 4 e) X = 3 0 3 3 2 3 c) X = 5 1 4 1 1 1 f) X = 0 1 1

99

5 0 1 a) X = 3 2 1 0 3 5 d) X = 3 2 4

AL XI. 015 S se rezolve ecuaia matricial

1 2 3 1 5 3 X 0 1 2 = 2 1 1 1 2 1 3 4 5 4 4 8 1 a) X = 9 16 1 ; 4 4 24 16 4 4 8 1 c) X = 9 16 1 ; 4 4 24 16 4 4 8 1 e) X = 9 16 1 ; 4 4 24 16 4 4 8 1 b) X = 9 16 1 4 4 24 16 1 3 4 1 d) X = 1 2 1 2 7 8 0 1 3 4 1 f) X = 1 2 1 2 7 8 0

AL XI. 016 S se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar

100


1 B= {0,1} care s transforme prin nmulire matricea coloan 2 n matricea coloan 3

3 1 2 4 1 0 a) 0 1 1 1 c) 0 1 0 0 e) 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 i 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 i 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 b) 1 0 1 0 d) 1 1 1 0 f) 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 i 0 1

AL - XI. 017 S se rezolve ecuaia: X 2 = 4

12 , XM2(Z). 1 2 c) X = 1 3 i X = 2 2 3 1 2

2 a) X = 1

3 2

2 3 b) X = 1 2

Algebr XI

101

6i i 3 3 d) X = 2i i 3 3

2 3 e) X = 1 2

2 3 f) X = 1 2

1 AL - XI. 018 S se determine toate matricile X M2( Z ) astfel ca: X 2 = 2 1 0 a) 1 1 1 0 d) i 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 b) i 1 1 1 1 1 0 1 0 e) i 1 1 1 1 1 0 c) 1 1 1 0 f) i 1 1

0 . 1

1 0 1 1

m 3 0 1 1 2 AL - XI. 019 Se dau matricele A = cu mR.. S se , C = , B = 2 0 1 0 2 0 determine valorile lui m R astfel nct s existe trei constante nu toate nule, a,b,cR cu condiia aA+bB+cC = 0, 0 - matricea nul. 5 5 a) m = 1 b) m = 0 c) orice m R d) m e) m = f) m = 4 4

AL - XI. 020 S se calculeze suma:

1 k k2 k3 . k =1 1 2 3 k ( k + 1)n

n a) n n c) n

n(n + 1) 2 2n n(n + 1) 2 2n

n(n + 1)(2n + 1) 6 3n n(n + 1)(2n + 1) 6 3n

n(n + 1) 2 n(n + 1)(n + 2 ) 3 2

b)

n n! 2n! 3n! n 2n 3n 3n!

n(n + 1) 3 3n!

d)

1

n n2 3

1 2

n(n + 1) n3

102


n! e) n!

(2n )! (3n )! (4n )! 2! 3! (6n )!

1 n! n 2 n 3 f) n 2n 3n 3n!

AL XI. 021 Dac =

1 1 1 + i 3 iar A = 2 , s se determine numrul 1 2

(

)

an R astfel nct s avem

A 2 + A3 + ... + A n = an A,a) 2 n + 2 d) 2 n 1 + 2

()n N .c) 2 n 2 f) 2 n1 + 1 .

b) 2 n1 2 e) 2 n1 1

AL - XI. 022 Dac este o rdcin a ecuaiei x2+x+1 = 0 i n = 3p, pN*, s se calculeze suma: n k 2 k 3k . 3k 2k k k =1

2 n a) n 2 2 3 d) 2 2

1 1 n b) n 1 1 2 3 e) 3 2

0 0 n c) n 0 0 n 0 0 f) 0 0 n

1 1 AL XI. 023 Fie A = 1 1 2

2 1 1 2 ; B = 2 1 , unde este o rdcin 1 1 1

cubic complex a unitii i fie ecuaia matriceal AX = B. Fie S suma modulelor elementelor matricei X. Atunci : a) S = 4; d) S = 1+ 3 ; b) S = 16; e) S = 1 3 ; c) S = 3; f) S = 2 + 3

Algebr XI

103

AL XI. 024 Fie M mulimea tuturor matricelor cu 4 linii i 5 coloane n care toate elementele sunt numerele +1 i - 1 i astfel nct produsul numerelor din fiecare linie i din fiecare coloan este -1 . S se calculeze numrul elementelor mulimii M.

a) 2 d) 4

b) 7 e) 0

c) 6 f) 1

a b AL - XI. 025 Se consider matricea M = , a,b,c,dR. S se determine c d condiiile n care exist p,qR , unici astfel ca M 2-pM-qI = 0, I fiind matricea unitate, 0 matricea nul. S se determine n acest caz valorile lui p i q. a) b = c, a = d, p = a, q = b2-a2 c) b = c, a,dR, p = a+d, q = b2-a2 b) b,cR, a = d, p = 2a, q = bc-a2 d) b 0 sau c 0 sau a d, p=a+d, q = bc-ad f) b 0, a d, cR, p = a+d, q = -ad

e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad

AL - XI. 026 Fie A,B,C Mn ( C ) cu proprietile A+B = AB, B+C = BC, C+A = CA. Pentru ce valoare mR are loc egalitatea A+B+C = mABC ?

a) m = 1

b) m =

1 2

c) m =

1 4

d) m = 3

e) m =

3 4

f) m =

1 3

a b AL - XI. 027 Fie A = o matrice nenul cu ad = bc , a,b,c,dR. S se c d determine (n funcie de elementele matricii A) numrul real r asfel nct s aib loc egalitatea An = rn-1A pentru orice nN, n 2. a) r = a-d d) r = b-c b) r = a+d e) r = a+c c) r = b+c f) r = b+d

104


1 0 0 AL - XI. 028 S se determine puterea n N a matricei A = 2 1 0 . 3 2 1 1 a) A = an b nn

0 1 an0 1 an0 1 an

0 an = 2 n 0 , b = 2n 2 + n 1 n 0 an = 2 n 0 , b = 2n 2 1 n 0 an = n 2 0 , b = 2n 2 + n 1 n

1 b) A = an b nn

0 1 an 0 1 an0 1 an

0 an = n 0 , b = n2 1 n 0 an = 2 n 0 , b = n2 + n 1 n 0 an = n 0 , b = n2 n 1 n

1 c) A = an b nn

1 d) A = an b nn

1 e) A = an b nn

1 f) A = an b nn

1 2 100 AL - XI. 029 Fie matricea A = . Calculai det P(A), unde P(x) = x - 1. 0 3 a) 0 b) 1 c) -1 d) 99 e) 100 f) -100

1 an 1 2 AL - XI .030 Fie A = . S se arate c An este de forma: An = i s se 0 1 0 1 determine apoi an , n N. a) a n +1 = a n + 2, a n = 2nd) a n +1 = 2a n , a n = 2 n b) a n +1 = a n , a n = 1 e) a n +1 = a n + 2, a n = 2 n c) a n +1 = a n + 1, a n = n f) a n +1 = 2a n , a n = 2n 2

AL - XI. 031 S se determine An, nN*, unde AM3(Z) este o matrice care verific

Algebr XI 1+x2) = (1 x x2)A pentru orice xR . 1 0 0 b) A = n 1 0 n 0 1 n

105

relaia: (1

1+x

1 n n a) A = 1 1 0 1 1 1 n

1 n n c) A = 0 1 0 0 0 1 n

1 n n d) A = 0 1 0 0 0 1 n

1 e) A = 0 0 n

n n 1 0 0 1

n 1 1 f) A = 0 n 0 0 0 n n

cos sin n AL - XI. 032 Fie matricea A = . S se calculeze A , (n 1). cos sin

cos n sin n a) A n = n sin cos n cos n sin n c) A n = cos n sin n cos n n sin n e) A n = n sin n cos n

n cos n sin b) A n = n sin n cos

cos n d) A n = sin n

sin n cos n

1 1 cos sin n f) A n = n 1 1 cos sin n n30

1 3 AL - XI. 033 S se calculeze 2 2 . 3 1 2 2 1 0 a) 0 1 1 0 b) 0 1 0 1 c) 1 0

106 0 1 d) 1 0


0 1 e) 1 0

0 1 f) 0 1

1 1 0 AL - XI. 034 Fiind dat matricea A = 0 1 1 , s se calculeze matricea An, 0 0 1 nN*.

1 n a) An = 0 1 0 0

n 2 (n 1) 4 n 1

1 n b) An = 0 1 0 0

n(n 1) 2 n c) An = 1

1 n 3n 0 1 n 0 0 1

1 3n n 2 d) An = 0 1 3n 0 0 1

1 n2 e) An = 0 1 0 0

n 3 1 n2 1

1 n f) An = 0 1 0 0

n(n + 1) 2 n 1

1 1 2 0 1 AL - XI. 035 Fie matricea A = 0 0

1 3 1 . S se arate c An, n 1 are forma 2 1

1 a n bn 0 1 a n i s se determine an i bn. 0 0 1 a) a n =

n(n + 1) n , bn = 2 6n(2n + 1) n +1 , bn = 6 2

b) a n =d) a n =

n(2n + 5) n , bn = 2 12n(3n + 5) n , bn = 2 24

c) a n =

Algebr XI n(5n + 4) 2n + 1 , bn = 4 4

107

e) a n = 2n + 3 , bn = 3n + 7

f) a n =

1 2 3 AL - XI. 036 Fie matricea A = 0 1 2 . S se calculeze An, nN, n 2. 0 0 1 2 1 2n n + 4 n 2 1 2n n(2n + 1) 1 0 0 a) 0 1 b) 0 1 c) 0 1 0 2n 2n 0 0 0 0 0 0 1 1 1

n d) 0 0

n(n + 1) 3 n

0

n(n + 1) 2 n 3n

n 2n 3n e) 0 n 2n 0 0 n

1 2 3 f) 0 1 2 0 0 1

2 1 0 AL - XI. 037 S se calculeze A , nN* unde A = 0 1 0 . 0 0 2 n

2n a) An = 0 0

2n 1 1 00 0 2n

0 0 2n

2n b) An = 0 0 2n e) An = 0 0

2n + 1 1 01 2n 1 0 0 2n

0 0 c) An = 2n

2n 0 0

2n 1 1 0n2 1 1 0

0 0 2n 0 0 2n

1 2n d) An = 0 1 0 0

2n f) An = 0 0

AL - XI. 038 Care sunt valorile parametrului aR pentru care matricea

108


1 1 a a 2 2 1 1 A= a a este inversabil. 2 2 1 1 a a 2 2 a) orice aR\ {1,2} d) orice a ( ,1] {9} b) orice a[-7,2] e) orice a {1,2,3,4} c) orice aR f) orice aR\ {3,4}

1 1 1 AL - XI. 039 S se calculeze inversa matricei A = 2 3 4 4 9 16

1 1 0 1 a) A = 0 2 1 0 1 1

6 7 1 b) A = 8 6 5 3 2

1 1 1 2

7 6 2 c) A1 = 8 6 3 5 2 5 2 1 e) A = 1 1 1

1 2 1 1 2

1 1 2 d) A = 1 2 0 0 1 1 1

3 2 5 3 0 1

1 0 0 f) A = 0 1 0 0 0 1 1

Algebr XI

1091 1 2

AL - XI. 040 S se determine parametrul R astfel nct matricea A =

s fie inversabil i apoi s se afle inversa sa.

2 a) 2; + 2 + 2 1 c) 1; + 2 + 2 1 e) = 1; + 1 + 2

1 + 2 1 + 2 2 + 2 + 2 2 +1 1 + 2

2 b) = 2; + 2 + 2 2 d) = 1; 1 + 2

1 + 2 1 + 2 1 1 1 + 2

2 2 f) 1; + 1 + 2 1 1 +1 +1 5 0 are rangul doi pentru: c) = 3, = 2 f) = 1, = 10

2 3 4 AL - XI. 041 Matricea 1 2 5 4 7 a) = 2, = 5 d) = 1, = 10

b) = 1, = 10 e) = 3, = 1

AL - XI. 042 S se determine valorile parametrilor reali i pentru care matricea: 1 2 4 A = 1 2 3 are rangul 2. 1 2 2 4

a) = 1, = 1

b) =

1 , = 1 2

c) = 1, =

1 2

1101 d) = , = 1 2


e) = 1, =

1 2

1 1 f) = , = 2 2

1 1 1 2 a 1 1 1 . S se determine parametrul AL - XI. 043 Se d matricea 1 1 3 3 4 2 0 a real a pentru care rangul matricei este egal cu 2. a) a = 4 b) a = -2 c) a = 3 d) a = 8 e) a = -1 f) a = 0

AL - XI. 044 Pentru ce valori ale parametrilor a, b R , matricele

1 2 2 1 2 2 4 A = 3 1 a i B = 3 1 a 4 au ambele rangul 2. 3 1 1 3 1 1 b a) a =

44 19 ,b = 7 5

b) a =

1 , b = 1 3

c) a =

d) a = 1, b = 2

e) a = 2, b = 1

19 44 ,b = 5 7 1 f) a = 1, b = 3

AL - XI. 045 Fie matricea A = i , R ; dac rangul matricii este 2, i i atunci suma elementelor sale este soluie a ecuaiei: a) x 2 + 1 = 0 d) x 3 27i = 0 b) x 2 9 = 0 e) x 4 + 1 = 0 c) x 3 + 1 = 0 f) x 4 81 = 0

AL - XI. 046 S se determine valorile parametrilor a, b R pentru care matricea

Algebr XI

111

1 b 1 0 A = a 1 2 1 a 2 1 1 are rangul minim. a) a = 1, b = 1 d) a = 2, b = b) a = 1, b = 1 c) a = 1, b =

1 3 1 3

1 3

e) a = 2, b = 2

f) a = 1, b =

1 2 1 1 2 AL - XI. 047 Se d matricea: 1 2 1 2 4 2 pentru care rangul matricei s fie doi. a) 1, 1 d) 1, = 1

1 . S se determine parametrii reali , 1 2

b) = 1, 1 e) = 1, = 1

c) = 1, 1 ; 1, = 1 f) = 1, R

AL - XI. 048 Pe care din urmtoarele mulimi de variaie ale parametrilor reali 1 2 4 i matricea 1 2 3 are rangul 3? 1 2 2 4

a) [ 11], [ 1,4] ,3 3 c) 0, , 1, 4 21 1 e) ,1 , ,2 2 2

2 b) 7, , (0,2) 33 d) 3, , (0,1) 5 1 f) ,2 , (0,7] 2

112AL XI. 049 Se consider matricea


2 2 2 A = 4 1 2 5 . 2 10 12 1 S se precizeze valoarea parametrului , pentru care rangul matricei este doi. a) = 3; b) = 1; c) = -5; d) = 5; e) = -3; f) = 4 .

1 x x2 x3 a a a a AL XI. 050 Fie matricea A = a a + 1 a + 2 a + 3 1 4 9 16 Pentru ce valori reale ale lui a i x matricea A are rangul 2? a) a = 0; x = 1 b) x = 1; a R c) a = 0; x R e) pentru nici o valoare real a lui a i x. d) a = 0; x (-1,2) f) a = 0; x = 0 1 . 0

2 X 5Y = A 1 2 2 AL - XI. 051 S se rezolve sistemul unde A= , B= 0 1 3 X + 3Y = B 13 1 0 0 a) X = , Y = 15 3 6 1 13 1 5 0 c) X = , Y = 15 3 6 1 13 0 5 1 e) X = , Y = 15 1 2 1 5 0 13 1 b) X = , Y = 6 1 15 3 1 1 1 0 d) X = , Y = 2 3 1 1 1 3 5 1 f) X = , Y = 2 1 2 1

Algebr XI

113

AL - XI. 052 S se precizeze care dintre perechile de matrice (X,Y), date mai jos, 1 0 0 1 2 2 X + Y = 1 1 2 3 1 1 . reprezint o soluie a sistemului: 1 2 X+ Y = 1 1

1 0 1 0 a) X = , Y = 0 1 0 1 0 1 1 1 c) Y = , X = 1 1 0 0

0 1 1 0 b) X = , Y = 1 1 0 1 1 0 1 1 d) X = , Y = 0 1 0 0

1 1 0 1 e) X = ,Y = 1 1 0 0

0 1 1 0 f) X = ,Y = 1 1 0 1

AL - XI. 053 S se calculeze determinantul:

1 2 0 2 2 3 4 1 2a) 8 b) 6 c) 16 d) 17 e) 18 f) 0

AL - XI. 054 S se calculeze determinantul:

1 = a 1a) 0 d) 6a2

a 1

a2 a

a 1b) 2a2 e) 1 c) 4a2 f) -1

AL - XI. 055 S se calculeze det A

( )1

1 4 0 dac A = 0 3 1 2 0 1

114


a) 1

b)

1 2

c)

1 11

d)

1 7

e)

1 11

f)

1 5

AL - XI. 056 Fie matricea A =

6 2 , A M 2 (R ) 3 1

S se determine mulimea matricelor

M = {X det X = 0, det ( A + X ) = 0}b)

a)

3x 3y

x 2ky 2 y sau ky y y

3x y 2 y 2 xy sau y ky y 3y 2k ky ky 2k sau ky kx x ky

c)

2 x 2ky 2ky 2 y sau y ky y 2ky x y x2

d)

e)

kx kx x sau ky ky y

f)

x y1

y x y sau y x x

x

AL - XI. 057 Calculai determinantul = 1

y y2 .

y 2 xy x 2 a) = x 2 + y (1 xy ) x + y 2

(

)

(

) ) )

b) = x 2 y (1 xy ) x y 2 d) = x 2 + y (1 + xy ) x + y 2

( (

) )

(

) ) )

c) = x 2 y (1 xy ) x + y 2

(

)

(

(

e) = x 2 + y (1 + xy ) x y 2

(

)

(

f) = x 2 y (1 + xy ) x + y 2

(

)

(

Algebr XI

115

2 2 2 +2 +5 +3 2 2 1+ x 1+ x 1+ x2 . AL - XI. 058 Se consider f(x) = 2 x 1 5x 3x 4 Aducei f (x) la forma cea mai simpl. a) f ( x ) = 1 1+ x2 b) f ( x ) = 4x 1+ x2 c) f ( x ) = 7+x 5

2 x +12

d) f ( x ) = x 2

e) f ( x ) = 0

f) f ( x ) = 2 + x 2

1 + cos 1 + sin 1AL - XI. 059 Care este valoarea determinantului = 1 sin 1 + cos 1 ?

1 a) 3 b) 2 c) -2 d) 1

1 e) -1

1 f) 0

sin 2 x cos 2 x sin 2 xAL - XI. 060 Se consider f(x) =

cos 2 x sin 2 x sin 2 x . 1 + sin 2 x 1 1

Aducei f (x) la forma cea mai simpl. a) f ( x ) = 1 + cos x d) f ( x ) = cos x2

b) f ( x ) = sin 2 x + 2 cos x

c) f ( x ) = 2 sin 2 x

e) f ( x ) = cos 2 x

3

f) f ( x ) = cos 3 2 x

AL - XI. 061 Dac a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi i ha, hb, hc sunt 1 a hb hc

nlimile corespunztoare , care este valoarea determinantului: = 1 b hc ha ? 1 c hb ha a) = abc b) = 0 c) = a2+b2+c2

116


d) = 1;

e) = 2abc1 1 1

f) =

1 (ab+ac+bc) 2

AL - XI. 062 S se calculeze determinantul: = 1

2 , unde este o

1 2 rdcin cubic complex a unitii ( 3 = 1 ). a) = 3 d) =1 b) = 3 6 e) = 3 c) = 3 + 6 f) = 6

2 1 AL - XI. 063 Dac A = , calculai determinantul matricii 0 1 a) 15 b) 20 c) 40 d) 30

Ak =0

4

k

. f) 41

e) 31

AL XI. 064 S se calculeze

a+b = a +b a3 + b32 2

b+c b +c b3 + c32 2

c+a c2 + a2 c3 + a3b) = 2abc(a c )(c b )(b a )

c) = 2abc(a + b )(b + c )(c + a ) e) = 2 a b2

a) = 2abc(a b )(b c )(c a )

(

2

)(b

2

c

2

)(c

2

a

2

)x3 y3 z3 xyz

d) = 0

f) = (a + b ) a 2 + b 2 a 3 + b 3

(

)(

)

AL XI. 065 Fie x,y,z R; s se calculeze valoarea determinantului

1 = 1 1

x y z

x2 y2 z2 xy + xz + yz

1 x+ y+z

Algebr XI a) = 1 d) = x + y + z b) = 1 e) = x 2 + y 2 + z 2 c) = 0 f) = xyz

117

AL XI. 066 Fie a,b,c,d R . S se calculeze determinantul:

1 + a2 D= ba ca da

ab 1+ b cb db2

ac bc 1+ c dc2

ad bd cd 1+ d 2c) 1 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2 f) 0

a) 1 a 2 b 2 c 2 d 2 d) a 2 + b 2 + c 2 + d 2

b) (a b )(b c )(c d ) e) 1

AL XI. 067 S se calculeze valoarea determinantului asociat matricei

a b A= c d a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 d) a 2 + b 2 + c 2 + d 2

b a

d c

d c a b b a c db) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 e) (a + b + c + d )2

(

)

(

)

2

c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 f) (a + b + c + d )2

(

)

2

2

AL XI. 068 S se determine toate valorile x R astfel ca valoarea determinantului

1 1 1 1 1 4 + 2i 4 2i 1 3i D= 1 x + 2i x 2i 1 + 3i 1 x + i 8 + 3i 1 is fie un numr real. a) x {0,6} b) x {0,2} c) x {2,6}

1181 d) x { ,2}

Culegere de probleme e) x { 1,1} f) x {3,4} .

AL XI. 069 S se calculeze determinantul:

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1a)4 b)3 c) 5 d)-4 e)-5 f) 0

AL XI. 070 Fie A = ai j o matrice ptrat de ordinul 4, definit astfel :

( )

ai j = max{i, j}, i, j = 1,4 .S se determine det A. a) 0 d) 4 b) 4 ! e) 4 c) -4 ! f) 1

AL XI. 071 Dac a1 , a2 , a3 sunt numere reale n progresie geometric cu raia r, s se calculeze valoarea determinantului,

1 1 1 1 2 1 1 + a1 1 1 2 1 1 1 + a2 1 2 1 1 1 1 + a3n funcie de primul termen a1 i raia r .3 a) a1 r 3

b) a1r 2 e) a16 r 12

c) a16 r 3 f) a16 r 2 .

d) a16 r 6

Algebr XI

119

AL XI. 072 Dac b1 , b2 , b3 sunt numere reale n progresie geometric cu raia

q R + , s se calculeze pentru R , n funcie de primul termen b1 i raia q,valoarea determinantului

1 + b12 1 1 2 1 1 + b2 1 1 1 1 + b32 1 1 1a) b16 q 2 d) b16 q 6 b) b16 +1q12 e) b16 q 3

1 1 1 1c) b16 q15 f) b16 q 4

a2 xAL - XI. 073 S se rezolve ecuaia

ab b x2

ac bc c2 x=0.

ba ca

cb

a) x1 = x2 = x3 = 0 c) x1 = a, x2 = b, x3 = c e) x1 = x2 = 0, x3 = a 2 + b 2 c 2

b) x1 = x2 = x3 = a d) x1 = x2 = 0, x3 = a 2 + b 2 + c 2 f) x1 = x2 = 1, x3 = 0 4x 1

4 2 =0 ? 1 x

AL - XI. 074 Care sunt soluiile ecuaiei

1 2x 2 4

a) x1 = 3, x 2 = 7, x 3 = 1 c) x1 = 7, x 2 = 5 , x 3 = 5 e) x1 = 7, x 2 = 3 , x 3 = 3

b) x1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3 d) x1 = x 2 = 7, x 3 = 1 f) x1 = 2, x 2 = 7, x 3 = 1

120


x3 x2 x 1AL - XI. 075 Care sunt soluiile ecuaiei

1 1 4

2 1 1 1 1 5 3 0 0

=0 ?

a) x1 = 1, x 2 ,3 =

3 29 2

b) x1 = 1, x 2 ,3 = d) x1,2 =

3 29 2

c) x1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2 e) x1 = x 2 = 1, x 3 = 2

1 5 , x 3 = 1 2 f) x1 = 1, x 2 ,3 = 2

x a a aAL - XI. 076 Precizai soluiile ecuaiei

a x a a a a x a a a a x

=0.

a) a, a ,2a,3a d) a, a, a,3a

b) a, a ,2a,2a e) a, a , a ,3a

c) a, a ,a ,3a f) a , a , a,3a

e2 x e a e x

AL - XI. 077 Care sunt soluiile reale ale ecuaiei e a e 2 x e x = 0 ?e x e x e 2a

a) x = 0

b) x = a

c) x = 2a

d) x =

a 2

e) x = a

f) x = 2a

AL - XI. 078 Fie A o matrice ptratic de ordinul n (n 2) nesingular. Precizai care este relaia ntre det(A*) i detA , unde A* este reciproca lui A.

a) detA = detA*

b) det(A*) = (detA)

n1

c) det(A*) = (detA)

n

Algebr XI

1211 det A *

d) (detA*)

n

= detA

e) (detA*)

n1

= detA

f) detA =

AL - XI. 079 Fie matricea A = aij

( )c) 0

1i 4 1 j 4

, aij = max{i + j 2 , i + j 3 }.t

S se calculeze det (A A), unde At

este transpusa matricei A. e) -1 f) 36

a) 25

b) 9

d) 1

AL - XI. 080 Fie matricea A = aij , 1 i 3 , 1 j 3 , cu elementele

( )

ai j = min{ i + j 3 , i 2 j + 3 3 0 1 1 A = 2 2 1 2 1 0 1 1 1

}. S se calculeze1

det A i A

1

.

a) det A = 2 ,

b) det A = 3 ,

2 2 1 1 A = 1 1 1 3 1 2 1 1

0 1 3 c) det A = 1 , A = 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 e) det A = 3 , A = 3 1 1 3 0 1 2 1

3 1 0 1 d) det A = 2 , A = 0 1 1 2 1 0 3 1 3 1 f) det A = 1 , A = 0 1 1 2 1 1 1

x1 x2 x 3 x 4

AL - XI. 081 S se calculeze determinantul =

x 2 x3 x 4 x1 x3 x 4 x 1 x 2 x 4 x1 x 2 x3

, unde x1 , x 2 , x 3 , x 4 sunt

rdcinile ecuaiei x 4 + px 2 + qx + r = 0 . a) = 1 b) = -1 c) = p-q d) = 0 e) = p-q+r f) = -1

122


x3 1 x AL - XI. 082 Se d ecuaia 1 1 1 = 0; a R \ {-1}. S se determine parametrul a x 1 a2 2 2 2 astfel nct ntre rdcinile ecuaiei s existe relaia x1 + x 2 + x 3 1 < ( x1 x 2 x 3 ) .

a) a ( ,1] [ 2,+) d) a[1,2]

b) a ( ,1) (2,+) e) a ( ,1]

c) a[-1,2] f) a [1,+)

1 1 1 AL - XI. 083 S se calculeze = d , unde d = x1 x 2 x 3 , iar x1 , x 2 , x 3 R sunt2 2 2 x1 x 2 x 3

rdcinile ecuaiei x 3 + px + q = 0 . a) = 2 p 2 d) = q2 p b) = p 3 27 pq e) = c) = 4pq f) =

4 p 3 27q 2

4 p 3 + 27q 2

x1 x 2 x 3AL - XI. 084 S se calculeze determinantul = x 2 x 3 x1 , tiind c x1 , x 2 , x 3

x 3 x1 x 2 sunt rdcinile ecuaiei x 3 2 x 2 + 2 x + 17 = 0 a) = 1 b) = -1 c) = 2 d) = 4 e) = 3 f) = 0

1 1 1 AL - XI. 085 Fie matricea A = x1 x 2 x 3 , unde x1 , x 2 , x 3 sunt rdcinile 2 2 2 x1 x 2 x 3 ecuaiei: x 3 + ax + b = 0 , a, bR. S se calculeze det A t A n funcie de a i b, unde A este transpusa matricei A .t

(

)

Algebr XI

123c) 4a 3 + 27b 2 f) 4a 3 + 27b 2

a) a 3 + b 2 d) 4a 3 27b 2

b) 4a 3 27b 2 e) a 3 + b 2

x + y + 2z = 2 AL - XI. 086 S se rezolve sistemul: x y + 3z = 5 . 2 x + y + z = 2 a) (1,1,0) d) (0,0,2) b) (1,-1,1) e) (1,0,0) c) (-4,0,3) f) (1,0,2)

AL - XI. 087 S se rezolve sistemul

2 x + 3 y + z = 11 x + 2 y + 3 z = 14 3 x + y + 2 z = 11 a) x =1, y =2, z =3 d) x =1, y =1, z =4 b) x =2, y =1, z =1 e) x =1, y =3, z =2 c) x =3, y =2, z =2 f) x =1, y =7, z =6

AL - XI. 088 S se rezolve sistemul

x y + 3 z + t = 8 3 x + y z + 2t = 5 2 x + 2 y 4 z + t = 3 a) x =

2 z + 3t + 13 10 z + t + 19 ,y= , z = z R, t = t R 4 4 z + t +1 2z + t + 1 ,y= , z = z R, t = t R b) x = 3 3 c) x = z + t , y = 2 z + t , z = z R, t = t R d) x = 1 + t , y = 1 + t , z = 2 + t , t = t R e) x = 2t + 1, y = 2t 1, z = 2 t , t = t R f) x = 2 z + 1, y = z 1, t = z , z = z R

124


AL - XI. 089 Care sunt valorile parametrului mR pentru care sistemul de ecuaii: mx + y + z = 1 x + my + z = 2 admite soluie unic ? x + y + mz = 4

a) mR \ {-2,1} d) mR \ {2,1}

b) mR \ {2,-1} e) mR \ {-2,2}

c) mR \ {-2,-1} f) mR \ {-1,1}

AL XI. 090 Se consider sistemul

x + y + mz = 1 x 2 y + z = m mx + y + z = 0 S se determine parametrul real m pentru ca sistemul s fie incompatibil. a) m = 1, m = -2; d) m = 3, m = 4; b) m = 2, m = -2; e) m = -3, m = 3; c) m = -1, m = 0; f) m = 0, m = -2.

AL - XI. 091 S se determine m R astfel ca sistemul:

2 x + y = 8 x y = 1 5 x + 4 y = m s fie compatibil. a) 0 d) 23 b) 1 e) 8 c) 20 f) 21

AL - XI. 092 Pentru ce valoare a parametrului real m R sistemul de ecuaii

2 x + y z = 1 x + 5 y + 4z = 4 x + 2 y + z = m este compatibil i nedeterminat de ordinul nti ? a) m =-1 b) m =2 c) m =-2 d) m =1 e) m =-3 f) m=3

Algebr XI

125

AL - XI. 093 S se determine la care din urmtoarele mulimi aparin parametrii a, b R pentru care sistemul

ax + ay + (a + 1)z = b ax + ay + (a 1)z = a (a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1

este compatibil nedeterminat. a) a ( 1,1), b (0,1) e) a R \ {0}, b R c) a (1,90 ), b ( 2,30 ) b) a ( 1,1), b ( 1,1) d) a (0,32 ), b ( 2,30 ) f) a ( 1,3), b R \ {0}

AL - XI. 094 S se determine valorile parametrilor reali a i b pentru care sistemul x + 2 y 2 z = 6 2 x + y + bz = 4 este incompatibil. ax y + z = 8

a) a

1 i b 1 2

1 a = 2 , b R sau b) a R \ 4 , b = 1 7

1 a c) 2 b = 1 4 a = f) 7 b = 1

1 d) a i b R 2

a = 0 e) b = 1

x1 + x 2 + 2 x 3 = 1 AL - XI. 095 S se determine , R astfel nct sistemul 2 x1 + 2 x 2 + x 3 = 1 , x + x x = 2 3 1 s fie incompatibil. a) 1, 2 d) =1, 1 b) = 1, 2 e) = = 2 c) = 1, = 2 f) = 1, 6

126


ax + by + z = 1 AL - XI. 096 Fie sistemul de ecuaii bx + ay + bz = a , a,bR. x + y + az = b S se determine valorile parametrilor a,bR pentru care sistemul este incompatibil. a) a = 1, b = 2 d) orice a = bR b) aR \ {1, 1}, b = 2 e) a = 1, bR \ {1, 2} c) a = 1, b R \ {0} f) a = 1, b = 0

mx + y 2 z = 2 AL - XI. 097 Se consider sistemul liniar 2 x + y + 3z = 1 , m,nR. (2m 1) x + 2 y + z = n Pentru ce valori ale parametrilor m i n sistemul este compatibil simplu nedeterminat? a) m =3, n3 d) m3, n3 b) m=3, n=3 e) m=3, n=0 c) m3, n=3 f) m=3, n=2

AL - XI. 098 S se determine toate valorile parametrilor reali , , pentru care

x + y + z =1 sistemul: x + y + z = 1 este compatibil dublu nedeterminat. 2 2 2 x + y + z = 1 a) d) = 1 b) = e) = = = 1 c) = f) = 1, 1, = 1

AL - XI. 099 S se determine , R astfel nct sistemul liniar:

3x + 2 y + z t = 2 x + y 2 z + 3t = 1 s fie compatibil dublu nedeterminat. x + 4 y + 5z 7t = a) = 1, = 2 b) = 0, = 1 c) = 1, = 1

Algebr XI

127

d) = 1, = 3

e) = 1, = 0

f) = 2, = 0

x + 2 y + 2 z + t = 1 AL - XI. 100 Pentru ce valori ale lui R sistemul: 2 x + y + z + t = 0 5x y z 2 t = este compatibil ?

a) = 2

b) = 1

c) = 2

d) = 3

e) = 1

f) = 3

AL - XI. 101 S se determine parametrii reali a,b,c astfel ca sistemul: 2 x 3 y + 4 z 5t = 1 x + 9 y + az + t = 3 s fie dublu nedeterminat. 5x 6 y + 10z + bt = c a) a = b = c = 2 d) a = b = 2, c = -12 b) a = 2, b = -12, c = -2 e) a = b = 2, c = 12 c) a = c = 2, b = -12 f) a = c = 2, b = 12

AL - XI. 102 S se determine mulimea valorilor parametrului real m pentru care sistemul urmtor este compatibil my + 1 =0 x y m = 0. 2 x + 3x + (m 1) y + m 1 = 0 a) {0,2} b) c) {1,0} d) {-1,1} e) R \{-1,1} f) {3,2}

2 x + my + z = 0 AL - XI. 103 Pentru ce valori ale lui m sistemul 2 x + 2 y z = 0 admite i soluii 2 x y + z = 0 diferite de soluia banal? a) mR b) m c) m = 0 d) m 0 e) m = -1 f) m -1 AL - XI. 104 S se determine parametrul real astfel nct sistemul omogen:

128x y + z t = 0 x + 2 y + z 4t = 0 x y + z + t = 0 x + 2 y z 2t = 0 a) = 1 d) = 2 b) = -1


s aib soluii nenule.

c) = 0 f) = -1 sau = 2

e) = 1 sau = - 1

AL - XI. 105 Ce valori ntregi pot lua parametrii p, q i r astfel nct sistemul 1 2 x = px + qy + rz 1 y = rx + py + qz s admit soluii nenule ? 2 1 2 z = qx + ry + pz a) p = 1, q = 2, r = 3 b) p = -1, q = 0, r = 1 c) p,q i r pot lua orice valori ntregi

d) p,q i r nu pot lua nici o valoare ntreag pentru a satisface condiia cerut e) p = 1, q = 1 i r orice valoare ntreag f) p = 1, q = 2, r = 2

AL - XI. 106 S se determine m,nR astfel ca sistemul urmtor s admit soluii i s se rezolve n acest caz.

x y = 0 7 x + my z = 0 4 x + z = 0 nx + 2 y 3mz = 0 x 2 + 4 y 2 z 2 3x 3 yz = 2 m 3, n 38 m = 3, n = 38 b) x1 = 1, y1 = 1, z1 = 4 a) x1 = 1, y1 = 1, z1 = 4 x = 2 , y = 2 , z = 8 x = 2 , y = 2 , z = 8 2 2 2 2 2 2

Algebr XI

129

m = 3, n = 38 c) x1 = 1, y1 = 1, z1 = 4 x = 2 , y = 2 , z = 8 2 2 2

m = n = 3 d) x1 = 0, y1 = 0, z1 = 2 x 2 = 0, y 2 = 0, z 2 = 2

m = 3,n = 38 e) x1 = 1, y1 = 0, z1 = 0 x = 2, y = 0, z = 0 2 2 2AL XI. 107 Se consider sistemul:

m = 3,n = 38 f) x1 = 2, y1 = 1, z1 = 1 x = 2, y = 1, z = 2 2 2 2

3 x + y z = 5 x 2 y + z = n mx + y + z = 6

(m, n R )

S se determine valorile lui m R, n R, astfel ca sistemul dat s fie compatibil i nedeterminat. a) m -11, n R; d) m = -11, n

21 ; 2

21 ; 2 21 e) m R, n = ; 2b) m = -11, n =

c) m = -11, n R f) m R, n R .


2ax + y + z = 0 x + ay z = 1 , x + 2ay + z = 1

unde a R .

Fie S suma valorilor parametrului a pentru care sistemul este incompatibil. Stabilii dac : a) S =

1 ; 2 5 d) S = ; 3

1 ; 6 3 e) S = ; 4b) S =

c) S =

1 ; 6 2 f) S = 3

130


a a o AL XI. 109 Fie A = 0 a a i sistemul A 3 I 3 0 0 a

(

)

x 9 y = 3 , z 2

a fiind un parametru real iar I3 este matricea unitate de ordinul trei. Pentru ce valori ale lui a sistemul de mai sus admite soluie unic ? a) a 1 b) a = 1 c) a -2 { 1} f) a 2. d) a 0 e) a R \AL XI. 110 S se determine parametrii , R

x + y + z = 1 astfel nct sistemul x + y + z = x + y + z = 1 s aib soluiile x = z = , y = a) = 2, = 0 d) = = 2

1 (1 + ) , R . 2c) = = 1 f) R, = 0

b) = 2, = 2 e) = 2, R


ax by = 2a b (c + 1)x + cy = 10 a + 3bS se determine mulimile A, B, C crora le aparin valorile reale respectiv ale lui a, b,c pentru care sistemul are o infinitate de soluii, iar x = 1, y = 3 este una dintre soluii. a) A = [0,3];

B = [ 2,1); C = (0,3) b) A = [0,3]; B = [ 1,0]; C = (0,3) c) A = (0,3); B = ( 2,1); C = (0,3) d) A = (1,2]; B = [ 1,0]; C = (1,2] e) A = (1,3); B = [ 1,0]; C = (1,2] f) A = (2,4]; B = [ 1,0]; C = [1,3)

Algebr XI

131

x ay + a 2 z = a 3 AL XI. 112 Se consider sistemul liniar : x by + b 2 z = b 3 x cy + c 2 z = c 3 Care din urmtoarele condiii sunt satisfcute de soluiile x,y i z ale sistemului, pentru orice valori ale parametrilor a > 0, b> 0, c > 0 i a b c ? a) x < y < z d) 27 x z 3 , y < z 2 b) y < z < x e) 27 x z 3 , y < z 2 c) z 2 , y 2 < x 2 f) z , x < y

AL XI. 113 S se determine toate valorile lui R pentru care tripletele (x, y, z) corespunztoare sunt soluii ale sistemului omogen

x 4 y 2z = 0 2 x ( + 3) y 2 z = 0 3 x 7 y + z = 0 oricare ar fi k R :

(x = 6k , y = k , z = 5k ) sau (x = 6k , y = 2k , z = k ) b) R \ { 5,4}, ( x = 6k , y = k , z = 5k ) sau ( x = 6k , y = 2k , z = k ) c) { 5,4}, ( x = 2k , y = k , z = k ) sau ( z = 2k , y = 3k , z = k ) d) R \ { 5,4}, ( x = 2k , y = k , z = k ) sau ( x = 2k , y = 3k , z = k ) e) { 5,4}, ( x = k , y = k , z = 2k ) sau ( x = k , y = 3k , z = 2k ) f) R \ { 5,4}, ( x = k , y = k , z = 2k ) sau (x = k , y = 3k , z = 2k ) .AL XI. 114 Fie a,b R i [0,2 ) . S se afle varianta n care una sau alta dintre perechile (x,y) , prezentate alturat , este soluie a sistemului de ecuaii liniare

a) { 5,4},

x sin + y cos = a sin x cos y sin = a cos + b ax sin + y (a cos + b ) = 0 a) a b,

( x = a + b , y = b )

sau

(x = a b, y = b )

132b) a b, c) a b, d) a = b, e) a = b, f) a = b,


(x = a (x = a (x = a

( x = a + b, y = 0 ) ( x = a + b, y = b )22

sau sau

2

+ b , y = 0) sau b , y = 0) 2 2 + b , y = b ) sau (x = a b 2 , y = b ) .2 2 2

+ b , y = b sau x = a 2 b 2 , y = b2

)

( x = a b, y = 0 ) ( x = a b, y = b )

( (x = a

)

AL XI. 115 Se consider sistemul:

m m m 1 + m 2 m + 1 x + 1 + m 2 m + 1 y + 2 + m 2 m + 1 z = 0 3mx + (1 + m ) y + 4mz = 1 2 x + (1 m ) y + 3 z = 1 cu x, y, z R i parametrul m R . Dac M = m R sistemul este incompatibil

{

} , s se calculeze

S=

mM

m

3

.

a) S =

7 4 1 8

b) S=0

c) S =

9 8 8 9

d) S =

e) S =

9 8

f) S =

AL XI. 116 S se determine produsul valorilor parametrului R , valori pentru care sistemele de ecuaii

x + y z = 1 2 x y 3 z = 3 respectiv x + 2y 2 z = 2 2 3 x + ( + 1) y 4 z = 1sunt compatibile i au aceleai soluii. a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 f) 3

GEOMETRIE ANALITIC (simbol GA - XI) GA - XI. 001 Fie n planul (Oxy) punctele A(5,6), B(-4,3), C(-3,-2) i D(6,1). Ce figur geometric reprezint patrulaterul ABCD ? a) dreptunghi d) trapez isoscel b) romb e) trapez dreptunghic c) ptrat f) paralelogram

GA - XI. 002 Se dau punctele A(3,5), M(-1,3), N(4,1). S se scrie ecuaiile dreptelor ce trec prin A i fac unghiurile de 45 i, respectiv ,135 cu dreapta (MN). a) 3x - 7y + 26 = 0, 7x + 3y - 36 = 0 c) x - y + 2 = 0, x + y - 8 = 0 e) x - 2y + 7 = 0, 2x + y - 11 = 0 b) 2x - 5y + 19 = 0, 5x -2y -5 =0 d) 3x - 2y + 1 = 0, 2x + 3y - 21 = 0 f) 3x - 7y +1 = 0, 7x - 3y - 2 = 0

5 GA - XI. 003 Fie n planul (Oxy) punctele A(1,2), B ,0 i C(0,2). S se afle 3 $ lungimea bisectoarei interioare unghiului A n triunghiul ABC .

a)

5

b)

10 13

c)

2 10 3

d)

6 10 13

e)

7 5 13

f)

8 10 13

GA - XI. 004 S se afle coordonatele vrfurilor unui triunghi cunoscnd mijloacele laturilor P(3,-1), Q(1,7), R(-4,3).

a) (-1,-4), (5,2), (-3,12) d) (-2,-5), (8,3), (-6,11)

b) (-2,3), (8,-5), (-6,19) e) (2,-3), (-10,9), (0,17)

c) (-2,-5), (4,19), (-12,13) f) (1,-3), (5,1), (-9,9)

GA - XI. 005 Se dau punctul A(-3,4) i dreapta (d) 2 x y + 5 = 0 . S se determine coordonatele punctului B, simetricul lui A fa de dreapta (d).

a) B(-1,3)

b) B(2,1)

c) B(1,-2)

d) B(1,2)

e) B(3,-4)

f) B(-1,2)

134


GA - XI. 006 n triunghiul ABC o dreapt dus prin B taie mediana AA i latura IC KA ' =m AC n K, respectiv I. S se determine mR pentru care IA KA

a) m = 3

b) m =

1 3

c) m = 1

d) m = 2

e) m =

3 2

f) m =

4 3

GA - XI. 007 Fiind date numerele a, b R * , se consider punctele A(a,0), B(0,b) i M(0,) situate pe axele de coordonate (Ox) i (Oy). S se determine astfel ca proiecia punctului M pe dreapta (AB) s coincid cu mijlocul segmentului AB .

a) d)

a 2 b2 a b2 a 2 2a

b) e)

a 2 b2 b b2 a 2 2b

c) f)

a 2 + b2 a a 2 + b2 b

GA XI. 008 n sistemul cartezian (Oxy) se consider punctele A(3,0), B(0,2), M(3,-3) i N(-2,2) . S se determine punctul de concuren al dreptelor (AN), (BM) i al perpendicularei din O pe (AB).

a)

18 12 , 19 19 12 8 , 19 19

b)

12 18 , 19 19

c)

8 12 , 19 19

d)

e)

18 6 , 19 19

f)

16 18 , 19 19

GA - XI. 009 Se dau punctele A(3,5), B(-1,3), C(4,1). Se cere s se scrie ecuaia medianei din A a triunghiului ABC .

a) 2x + 5y - 31 = 0

b) x - 2y + 7 = 0

c) 2x + y - 11 = 0

d) x + 2y - 13 = 0 e) 2x - y - 1 = 0 f) 3x - y - 4 = 0 GA XI. 010 tiind c punctul M(x,y) se afl pe dreapta D : x + y + 1 = 0 , s se determine minimul expresiei: E = x 2 + y 2 .

Geometrie analitic XI

135

a) 1

b)

1 2

c) 2

d)

3

e)

3 2

f)

1 3

GA XI. 011 S se scrie ecuaia dreptei ce trece prin punctul de intersecie al dreptelor (d1 ) x + 2 y 7 = 0, (d 2 ) 2 x y + 1 = 0 i este paralel cu prima bisectoare.

a) 2 x 2 y = 1; d) x y + 2 = 0;

b) y = x + 7; e) x y + 3 = 0;

c) x y + 5 = 0 f) 3 x 3 y + 7 = 0 .

GA - XI. 012 n planul (Oxy) se consider punctele A(-1,0), B(2,0) i punctul variabil M(0,). S se calculeze modulul raportului n care punctul fix al fascicolului de drepte ce trec prin proieciile originii O respectiv pe dreptele (MA) i (MB) mparte segmentul AB .

a)

1 4

b)

1 2

c)

2 5

d)

7 8

e)

1 3

f)

2 3

GA - XI. 013 Se d dreapta ( - 1)x + ( - 2)y - + 3 = 0 cu R. S se determine astfel c dac A,B sunt interseciile dreptei cu (Ox), respectiv (Oy), s avem: 1 1 + = 10 . 2 OA OB2

a) 1=3, 2=4 d) 1 = 5 17 2 = 2 4

b) 1 = e) 1 =

5 17 2 = 2 4

c) 1 =

7 15 2 = 2 4

5 17 2 = 2 2

f) 1 =

7 15 2 = 2 4

GA - XI. 014 ntr-un sistem de axe rectangulare se dau dreptele: (AB) 8x + 15y -168 = 0 , (CA) 4x - 3y = 0 , (BC) 12x + 5y + 168 = 0 , care formeaz triunghiul ABC . S se calculeze lungimea mc a medianei din vrful C

i aria triunghiului ABC .

136a) mc = 20, S = 255 2 d) mc=


b) mc=25, S = 625

c) mc=28, S = 420

2 3 , S= 3

2996

e) mc=17 3 , S = 210 3

f) mc=27, S=421

GA - XI. 015 Se dau dreptele (d1) x-2=0 , (d2) x-6=0. Se consider pe (d1) un punct mobil M. Dreapta (OM) taie pe (d2) n N, iar paralele din N la bisectoarea a doua taie pe (Oy) n P. Dreapta (MP) trece printr-un punct fix. S se determine coordonatele acestui punct.

a) (0,0)

b) (1,-1)

c) (-1,1)

d) (3,-3)

e) (-3,3)

f) (2,-2)

GA - XI. 016 Un triunghi isoscel cu baza AB are vrfurile A(-3,-1), B(7,5) , iar C este situat pe dreapta (d) x-y+8 = 0. S se scrie ecuaiile laturilor (AC) i (BC).

a) 2x - y + 9 = 0 (AC), x + 2y - 13 = 0 (BC) b) x - 3y = 0 (AC), 3x - y - 16 = 0 (BC) c) 2x - y + 5 = 0 (AC), x + 2y - 17 = 0 (BC) d) 4x - y + 11 = 0 (AC), x + 4y - 27 = 0 (BC) e) 4x - 3y + 9 = 0, (AC), 3x + 4y - 41 = 0 (BC) f) x + y + 4 = 0 (AC), x - y - 2 = 0 (BC)GA - XI. 017 Pe axele (Ox) i (Oy) considerm punctele A(a,0) i B(0,b) i punctele mobile M i N astfel ca AM = NB, unde A OM, B ON . Mediatoarea segmentului

MN trece priuntr-un punct fix. S se determine coordonatele acestui punct. a)

a b , 2 2

b)

a b , 2 2

c)

ab ab , 2 2

a b a b d) , 2 2

a + b a + b , e) 2 2

a + b a + b f) , 2 2


137

GA - XI. 018 Pe catetele OB i OC ale unui triunghi dreptunghic se construiesc n afar ptrate n care vrfurile opuse lui O sunt, respectiv, D i E. S se determine coordonatele punctului H de intersecie a dreptelor (CD) i (BE), dac B(b,0) iar C(0,c).

bc 2 b2c , 2 a) H 2 2 2 b + c + bc b + c + bc

bc 2 b2c b) H 2 , 2 2 2 b + c bc b + c bc

bc bc , c) H b + c b c b2 c2 e) H , b c b c

b2 c2 d) H , b + c b + c b2 + c2 b2 c2 , f) H bc bc

GA - XI. 019 Fie A i B punctele n care dreapta ax + (2a + 1)y + a2 = 0 taie axa (Ox), respectiv (Oy), (d1) dreapta ce trece prin A i este paralel cu prima bisectoare a axelor; (d2) dreapta care trece prin B i este perpendicular pe (d1). S se determine a astfel nct punctul de intersecie dintre (d1) i (d2) s fie pe dreapta de ecuaie x + 5y = 1.

a) a = 2 d) a = 2, a = 3

b) a = 1 e) a = 3

c) a = 0, a = 1 f) a = -1, a = 3

GA - XI. 020 Se dau dreptele (AB): x - 2y + 3 = 0, (AC): 2x - y - 3 = 0, (BC): 3x + 2y + 1 = 0. S se scrie ecuaia nlimii din A a triunghiului ABC .

a) 2x - 3y + 3 = 0 d) 2x - 3y - 1 = 0

b) 6x - 9y - 1 = 0 e) 6x - 9y + 2 = 0

c) -4x + 6y - 1 = 0 f) 4x - 6y + 3 = 0

GA XI. 021 Fie n planul (Oxy) punctele A(3,0) i B(-1,8) . Prin A se duce o paralal (d) la prima bisectoare, iar prin punctul B se duce o dreapt care taie dreapta

(d) ntr-un punct C astfel nct triunghiul ABC s fie isoscel cu baza AB . S se afle coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC . a) (3,4) b) (-1,3) c) (3,5)

138


d) ,

7 10 3 3

e)

19 20 , 3 3

f)

17 10 , 3 3

GA - XI. 022 Se dau punctele A(3,0), B(-1,8) i C astfel nct triunghiul ABC este

isoscel cu baza AB i C aparinnd dreptei (d), paralela prin A la prima bisectoare. S se determine coordonatele punctului H de intersecie a nlimilor triunghiului. a) H(2,4) 1 2 d) H , 3 3 7 14 b) H , 3 3 7 14 e) H , 3 3 7 14 c) H , 3 3 1 2 f) H , 3 3

GA - XI. 023 Fie M un punct variabil pe prima bisectoare n planul (xOy) , A(3,1) i B(-1,2) dou puncte fixe. Dreapta (MA) taie axa (Ox) n P, iar dreapta (MB) taie axa (Oy) n Q. S se studieze dac fascicolul de drepte (PQ) trece printr-un punct fix i n caz afirmativ s se determine coordonatele acestuia.

a) nu trece printr-un punct fix 3 c) trece prin punctul fix ,1 2 32 7 e) trece prin punctul fix , 5 3

1 3 b) trece prin punctul fix , 2 2 3 d) trece prin punctul fix 1, 2 31 1 f) trece prin punctul fix , 3 5

GA - XI. 024 Se dau dreptele x + y - 1 = 0, x + y - 2 = 0, x - 2y + 1 = 0 i x - 2y - 3 = 0 , care sunt laturile unui paralelogram. S se scrie ecuaiile diagonalelor.

a) 2x - y = 0, x - 2y + 1 = 0 c) x - 2y + 1 = 0, x + 2y - 1 = 0 e) 3x + 6y - 5 = 0, 5x + 2y - 7 = 0

b) x - 2y - 3 = 0, x + 2y - 3 = 0 d) x + 4y - 1 = 0, -x + 2y + 3 = 0 f) 3x + 6y - 5 = 0, 2x - 3y + 1 = 0

GA - XI. 025 Fie n planul (xOy) triunghiul avnd laturile de ecuaii x - y + 1 = 0,


139

2x + y - 4 = 0 i x + 2y + 7 = 0. S se determine coordonatele ortocentrului H al acestui triunghi. 1 2 a) H , 3 3 1 2 d) H , 3 3 2 1 b) H , 3 3 1 2 e) H , 3 3 1 2 c) H , 3 3 2 1 f) H , 3 32 i care 5

GA - XI. 026 S se determine punctul de intersecie al dreptei (d), de pant

trece prin punctul (3,1), cu drepta ( d' ) avnd urmele : a) (1,1) b) (-1, -1) c) (2,1) d) (2,2)

8 pe axa (Ox) i -4 pe (Oy). 3 e) (-2, -1) f) (1,2)

GA - XI. 027 S se determine punctul de intersecie al dreptei (d) ce trece prin punctele (1,0) i (-1,4) cu drepta ( d' ), perpendicular pe (d), avnd urma -3 pe axa (Oy).

a) (1,-2)

b) (1, -1)

c) (2,-1)

d) (2, -2)

e) (-2,2)

f) (0,3)

GA - XI. 028 Se dau punctele A(1,0), B(-2,4), C(-1,4), D(3,5). S se gseasc pe

dreapta y = 3x - 5 un punct M astfel nct ariile triunghiurilor MAB i MCD s fie egale. a) M1 2, , M2(-9, -32) 5 c) M1(1,-2), M2 ,0 3 1 e) M1(-2, -11), M2 ,4 3

7 3

b) M1 ,2 , M2(-9,-32) d) M1(-1,-8), M2

7 3

5

,10 3

2 f) M1(3,4), M2 ,3 3

GA - XI. 029 Se d triunghiul ABC determinat de dreptele (AB): x + 2y - 4 = 0,

(BC): 3x + y - 2 = 0, (CA): x - 3y - 4 = 0. S se calculeze aria triunghiului ABC .

140


a) A ABC = 10 d) A ABC = 5

b) A ABC = 8 e) A ABC = 7

c) A ABC = 6 f) A ABC = 9

GA - XI. 030 Se dau punctele A(2,1) i B(-5,-3). S se afle punctul M pe dreapta

(d) y = x + 4, astfel ca m ( AMB ) = 90. a) M1(-1,3), M2(1,5) d) M1(1,5) 11 3 b) M1(-2,2), M2 , 2 2 e) M(-3,1) 11 3 c) M1(-1,3), M2 , 2 2 f) M1(0,4), M2(-3,1)

GA - XI. 031 S se scrie ecuaia dreptei care trece prin intersecia dreptelor (d1) 2x - 3y + 6 = 0, (d2) x + 2y - 4 = 0 i este perpendicular pe dreapta care trece prin P(2,2) i intersecteaz axa (Ox) ntr-un punct aflat la distana 4 de originea O a sistemului de axe de coordonate.

a) x + y - 2 = 0 c) x + y -2 = 0 i x - 3y + 4 = 0 e) 4x + y - 2 = 0

b) x - 3y + 4 = 0 d) x - 2y + 4 = 0 i 6x + y - 2 = 0 f) x - y + 2 = 0 i 3x + y - 2 = 0

GA - XI. 032 Se dau punctele A(2,2) i B(5,1). S se determine punctul C situat pe dreapta x - 2y + 8 = 0 , astfel nct aria triunghiului ABC s fie 17.

76 18 a) C1(12,10), C2 , 5 5 12 14 c) C1(8,8), C2 , 5 5 14 5 e) C1(-2,3), C2 , 3 3

8 16 b) C1(10,9), C2 , 5 5 26 7 d) C1(-20,-6), C2 , 5 5 12 14 f) C1(12,10), C2 , 5 5


141

GA - XI. 033 Se d dreapta 3x - 4y + 4 = 0 i punctul A(8,0). S se afle aria triunghiului format de dreapta dat i dou drepte ce trec prin A i fac cu axa (Ox) unghiurile de 45 i 135.

a) 90

b) 100

c) 105

d) 110

e) 116

f) 112

GA - XI. 034 Se d dreapta 5x - 12y + 32 = 0 i punctele A(1,-1), B(5,-3). S se afle coordonatele punctului M egal deprtat de A i B i care are distana de 4 uniti pn la dreapta dat.

a) M1(1,-6), M2(9,10) d) M1(-2,-12), M2(1,-6)

b) M1(-1,-10), M2(9,10) 180 208 e) M1(4,0), M2 , 19 19

c) M1(2,-4), M2(-2,12) 180 512 , f) M1(0,-8), M2 19 19

GA - XI. 035 S se determine astfel ca distana de la punctul A(3,4) la dreapta variabil (+3)x - (-2)y + 3 - 1 = 0 s fie d = 10 .a) 4, -2 b) 1,

7 4

c)

9 7 , 2 4

d)

9 7 , 2 4

e) -1,

7 4

f)

2 2 , 3 3

GA - XI. 036 S se scrie ecuaiile dreptelor care trec prin punctul A(-5,7) i sunt situate la distana 3 de punctul B(0,7).

a) 4x + 3y - 1 = 0, 4x - 3y + 41 = 0 c) 3x - 2y + 29 = 0, 3x + 2y + 1 = 0 e) 3x - 4y + 43 = 0, 3x + 2y + 1 = 0

b) 4x + 5y - 15 = 0, 4x - 5y + 55 = 0 d) 3x + 4y - 13 = 0, 4x + 3y - 1 = 0 f) 3x - 4y + 43 = 0, 3x + 4y - 13 = 0

GA - XI. 037 Se dau dreptele 3x - 4y + 6 = 0 i 4x - 3y - 9 = 0. S se determine paralela la a doua bisectoare a axelor de coordonate care formeaz ntre cele dou drepte un segment de 5 2 uniti.

a) y = -x + 10, y = -x + 20 d) y = -x + 50, y = -x - 20

b) y = -x - 20, y = -x + 20 e) y = -x - 10, y = -x + 30

c) y = -x + 50, y = -x + 20 f) y = -x + 10, y = -x - 30

142


GA - XI. 038 S se calculeze mrimea unghiului format de dreptele 2x - y - 5 = 0 i x - 3y + 4 = 0 n care se afl originea axelor.

a) 30

b) 150

c) 45

d) 135

e) 60

f) 120

GA - XI. 039 Se consider triunghiul cu vrfurile: A(7,4), B(5,1) i C(1,3). S se determine distanele vrfurilor B i C la mediana din vrful A.

a) d B =

4 5

,d C = 1

b) d B = 1 , d C = e) d B = 3 5

4 5 2 5

c) d B = d C = 1 f) d B = d C = 4 5

d) d B = d C =

3 5

,d C =

GA - XI. 040 Fie n planul (xOy) punctul M(-2,6) i dreapta (d) x + 2y - 5 = 0. S se afle distana simetricului punctului M n raport cu dreapta (d) pn la prima bisectoare.

a)

3 2 2

b)

2 2

c) 3 2

d)

5 2 3

e)

2 3

f)

2 5

GA - XI. 041 Fie n planul (xOy) punctele A(3,3) i B(7, -3) i dreapta (d) 4x-2y+3=0. S se afle punctul M de pe dreapta (d) care este echidistant fa de punctele A i B.

a) M(1,2) 1 1 d) M , 8 4

13 23 b) M , 4 4 29 23 e) M , 8 4

23 29 c) M , 4 4 13 23 f) M , 8 4

GA XI. 042 Fie punctul P( a,b ) a > 0, b. > 0; dat prin coordonatele lui ntr-un sistem cartezian ortogonal (Oxy), (d1) i (d2) dou drepte cu pante negative care trec prin P i determin cu axele de coordonate triunghiuri de arie k2 . Fie A1 ,B1 punctele de intersecie ale dreptei (d1) cu (Ox), respectiv cu (Oy), A2 , B2 punctele de intersecie


143

ale dreptei (d2 ) cu (Ox), respectiv, cu (Oy). S se determine coeficienii unghiulari m1, m2 ai dreptelor (A1 B2), respectiv (A2 B1) .

a b , m2 = b a a a c) m1 = , m2 = b b b b e) m1 = , m2 = a aa) m1 =

a b , m2 = b a 2 a a d) m1 = , m2 = 2 b b 2 b b2 f) m1 = 2 , m2 = 2 a ab) m1 =

GA - XI. 043 Fie A(a,0) un punct fix pe axa (Ox) i D o dreapt trecnd prin originea axelor. Dou drepte date D1 i D2 trecnd prin A i simetrice n raport cu (Ox) taie pe (Oy) i D n punctele M1, N1i M2, N2. Dreptele (M1N2) i (M2N1) trec printr-un punct P. S se afle locul geometric al punctului P cnd D se rotete n jurul originii O.

a) x + y = a d) x = a

b) 2x - y = 0 e) x = 2a

c) x = - a f) x = -2a

GA - XI. 044 Fie A(a,0) i B(b,0) dou puncte fixe situate pe axa (Ox), iar M i N dou puncte mobile pe axa (Oy), n ordonarea (O,M,N), astfel ca ON = 2 OM. S se afle locul geometric al punctului P, intersecia dreptelor (AM) i (BN).ab 2a b ab d) x = a 2b

a) y =

b) y =

ab 2b a ab e) x = 2a b

c) x =

ab a b ab f) x = a +b

GA - XI. 045 Fie punctul A(a,b). O dreapt mobil (d) ce trece prin punctul A taie axa (Ox) n P. Perpendiculara n A pe (d) taie axa (Oy) n Q. S se afle locul geometric

al mijlocului segmentului PQ . a) 2ax + 2by a 2 b 2 = 0 c) 2ax 2by a 2 + b 2 = 0 e) ax + by a 2 b 2 = 0 b) 2ax 2by + a 2 b 2 = 0 d) ax + by + a 2 + b 2 = 0 f) ax by + a 2 b 2 = 0

144


GA - XI. 046 Se consider dreapta (d) x + 2y 12 = 0. O paralel la bisectoarea a doua taie axele (Ox) i (Oy) respectiv n A i B. Se construiete dreptunghiul ABCD , vrful C fiind situat pe dreapta (d). S se afle locul geometric al interseciei dreptei ( AD ) cu paralela prin C la (Ox).

a) 2x + y 12 = 0 d) 2x y 12 = 0

b) x 4y + 12 = 0 e) x + 2y 12 = 0

c) x + 4y 12 = 0 f) 4x y +12 = 0

GA - XI. 047 Fie ABC un triunghi isoscel avnd vrfurile A(0,a), B(-c,0) i C(c,0).

Prin mijlocul O al bazei BC se duce o dreapt mobil care intersecteaz dreptele (AB) i (AC) n punctele D i, respectiv, E. Se cere locul geometric al interseciei dreptelor (BE) i (CD). a) ax +c y = 0 d) ax cy = 0 b) x = a e) y = a c) x = a f) y = a

GA - XI. 048 Punctele A(2a,0) i B(2b,0) sunt fixe, iar punctul C(0,2) descrie axa (Oy). Fie A' , B' mijloacele segmentelor BC , AC . S se gseasc locul geometric al

centrului de greutate al triunghiului CB A . a) x + y

a +b =0 2 a +b d) x y =0 3

b) y =

a +b 3 a +b e) y = 2

a +b 3 a +b f) x = 2c) x =

GA - XI. 049 Fie triunghiul ABC . Picioarele B' (b,0) i C ' (c,0) ale nlimilor BB

i CC , sunt puncte fixe pe axa (Ox), iar vrful A(0,) este mobil pe axa (Oy). Se cere locul geometric al ortocentrului triunghiului ABC . a) y = b + c d) x = b + c b) y = b c e) x + y = b + c c) x = b c f) x y = b c


145

GA - XI. 050 Se d dreapta (d) 2x + 3y 12 = 0. Un punct M mobil pe (d) se proiecteaz pe (Ox) n P i pe dreapta x y + 2 = 0 n Q. Se cere locul geometric al

mijlocului segmentului PQ . a) x + y 2 = 0 d) 3x y + 5 = 0 b) 2x y + 5 = 0 e) x + 7y 10 = 0 c) x 7y + 10 = 0 f) 4x y + 7 = 0

GA - XI. 051 Fie ntr-un plan dreptele perpendiculare (Ox) i (Oy) i punctul fix M0. Prin M0 se duc dou drepte perpendiculare, una dintre acestea intersectnd dreapta (Ox) n A, iar cealalt intersectnd dreapta (Oy) n B. S se afle locul geometric al

mijlocului segmentului AB cnd unghiul drept AM0B se rotete n jurul lui M0. a) cercul circumscris triunghiului b) cercul nscris n triunghiul AM 0 B

OM 0 C unde C este simetricullui M0 fa de axa (Ox) c) mediatoarea segmentului AB e) cercul cu centrul n O i raz OM 0 2 d) mediatoarea segmentului OM 0 f) bisectoarea unghiului OM 0 M '0

unde M '0 este proiecia lui M0 pe axa (Ox) GA XI. 052 Se consider punctele A( 1,0 ), B ( + 2,0 ) , C (0, 2 ), D (0, + 1) . S se afle locul geometric al interseciei dreptelor (AD) i (BC). a) x + y 1 = 0; e) 3 x y 1 = 0; b) x y 1 = 0; f) 3 x + y 1 = 0 . c) x y + 1 = 0 ; d) x + y + 1 = 0

146


GA XI. 053 Se d unghiul drept xOy i punctul fix A (a,b) n planul su. Prin A* se duc dou drepte perpendiculare, dintre care una taie latura [Ox ) n K, iar cealalt taie

latura [Oy ) n L. Se cere locul geometric al mijlocului segmentului LK cnd

unghiul drept LAK se rotete n jurul lui A. a) ax by = a 2 + b 2 ; b) 2ax + 2by = a 2 + b 2 ; d) ax by = a 2 b 2 ; e) 2ax 2by = a 2 b 2 ;

c) 2ax 2by = a 2 + b 2 f) ax + by = a 2 + b 2 .

GA - XI. 054 O dreapt se deplaseaz paralel cu ea nsi i intersecteaz axele de coordonate ale unui reper ortogonal n punctele M i N. Prin M i N se duc drepte de direcii fixe. Ce este locul geometric al punctului de intersecie al acestor drepte ?

a) mediatoarea segmentului MN ; c) dreapt ce trece prin origine; e) hiperbol echilateral;

b) cerc; d) elips; f) parabol.

GA XI. 055 S se determine m R astfel nct dreptele d1 : 3x+my+2m+3=0 i d2 : 2x+(m-1)y+m+3=0 s coincid.

a) m d) m=2

b) m=0 e) m=3

c) m=1 f) m=4

GA XI. 056 S se determine R astfel nct dreptele de ecuaii (d1 ) x+2y-2=0, (d2 ) 2x-4y+3=0 i (d3 ) x+y-1=0 s fie concurente:

a) =1

b) =0

c) =

1 2

d) =-1

e) =

1 2


147

GA XI. 057 S se scrie ecuaia dreptei din plan, tiind c A(2, 3) este piciorul perpendicularei cobort din origine pe dreapt.

a) 3x+2y-13=0; d) 2x+3y-13=0;

b) x+3y-11=0; e) 3x+4y-14=0;

c) 3x+y-9=0; f) 4x+3y-17=0.

GA XI. 058 Se dau dreptele x+y-2=0 i 3x-2y+1=0. S se determine dreapta fasciculului care are ca drepte de baz, dreptele date i trece prin punctul M(2, 3).

a) 8x-7y+5=0 d) x-y+5=0

b) 8x+7y+5=0 e) x+y+5=0

c) 8x-7y-5=0 f) x-y-5=0

GA XI. 059 Pe dreapta care unete punctele A(-3,5), B(-1,2) s se determine un punct de abscis x=5

a) (5, -1) d) (-7, 5)

b) (5, -7) e) (5, 0)

c) (3, 5) f) (1,5)

GA XI. 060 S se determine ecuaia mediatoarei segmentului ce unete punctele (3,1) i (4,8)

a) 9x-7y=0 d) 7x-y-20=0

b) 7x-9y=0 e) x+7z-20=0

c) x+7y-10=0 f) x-y+1=0

GA XI. 061 n reperul cartezian xOy se consider punctele A(-2, 0) i B(0,1). Fie

A mijlocul segmentului [OA] i B simetricul lui B fa de origine. S se determine punctul de intersecie al dreptei (AB) cu prima bisectoare a axelor de coordinate.

148


1 1 a) , 2 2

1 1 b) , 2 2

1 1 1 1 c) , ; , 3 3 3 3

d) (-1, -1)

e) (1,1)

1 1 f) , 2 2

GA XI. 062 S se determine vrful C al triunghiului ABC, A(1,0), B(-2,4) pentru

care centrul de greutate este punctul G (1,2).

a) C (4,2) d) C (4,-2)

b) C (0,2) e) C(1,1)

c) C (-4,2) f) C (2,4)

GA XI. 063 S se determine R* astfel nct punctele A(3,9), B(8,4), C(-2,4) i

D(, -) s defineasc un patrulater inscriptibil.

a) =1 d) =2

b) e) =-2

c) =-1 f) =3

GA XI. 064 S se determine raza cercului de ecuaie:x 2 + y 2 2x 4y 3 = 0 . a) 4; b) 2; c) 2 2 ;


149

d) 4 2 ;

e) 8;

f) 9.

GA XI. 065 S se determine ecuaia cercului ce trece prin origine i are centrul npunctul (-1,3). a) x 2 + y 2 4x + 6y = 0 c) x 2 + y 2 8x 6y = 0 e) x 2 + y 2 8x - 4y = 0 b) x 2 + y 2 + 2x 6y = 0 d) x 2 + y 2 3x + y - 10 = 0 f) x 2 + y 2 + 2x + 6y - 10 = 0

GA XI. 066 S se determine ecuaia cercului tangent dreptei y=1 n punctul A(1,1)i tangent dreptei 2x-3y=0 n punctul B(3,2)

a) x 2 + y 2 10x + 9y - 1 = 0 c) x 2 + y 2 2x - 10y + 10 = 0

b) x 2 + y 2 13x + 13y = 0

d) x 2 + y 2 8x + 5y + 1 = 0 f) x 2 + y 2 11y + 9 = 0

e) x 2 + y 2 12x + 13y - 3 = 0

GA XI. 067 Din punctul A(-8,6) se duc tangente la cercul x 2 + y 2 = 25 . S se

determine unghiul dintre tangente la cerc.

a) 300

b) 600

c) 450

150d) 900

Culegere de probleme e) 150 f) 750

GA XI. 068 n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A(4,5),

B(-2, -3) i C(5, 4). Cercul circumscris triunghiului ABC are ecuaia:

a) x 2 + y 2 + 2 x - 2y - 23 = 0 c) x 2 + y 2 2x - 2y - 23 = 0 e) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 23 = 0

b) x 2 + y 2 2x + 2y - 23 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x + 2y - 23 = 0 f) x 2 + y 2 + 2x - 2y + 23 = 0

GA XI. 069 S se determine coordonatele centrelor cercurilor de raz 13 ce trec

prin punctul A(2,1) i taie axele de coordonate dup dou coarde de lungime egal.

a) C1 (1, -1) , C2 (1, 4) c) C1 (-1, -1) , C2 (4, 4) e) C1 (1, 2) , C2 (2, 1)

b) C1 (4, 1) , C2 (1, 4) d) C1 (1, 1) , C2 (4, 4) f) C1 (4, 4) , C2 (3, 3)

GA XI. 070 Se d cercul x 2 + y 2 6y + 8 = 0 . S se gseasc MOx din care

ducnd tangente la cerc, acestea s determine pe dreapta y=6 un segment de 6 uniti.

a) = 3 2 c) 2 2

b) = 2 2 d) 3 2


151

e) 3 3

f) 2 3

GA XI. 071 Gsiti ecuaia cercului care trece prin punctele A(1,0) , B(-1,0) i

C(1,1).

a) x 2 + y 2 + y 1 = 0 d) x 2 + y 2 + y + 1 = 0

b) x 2 + y 2 y 1 = 0 e) x 2 + y 2 y = 0

c) x 2 + y 2 y + 1 = 0 f) x 2 + y 2 1 = 0

GA XI. 072 S se gseasc ecuaia cartezian a cercului cu centrul n M0(1,1) i

tangent dreptei 3 x + 4 y + 8 = 0

a) ( x 1) + ( y 1) = 82 2

b) ( x 1) + ( y 1) = 92 2

c) ( x 1) + ( y 1) = 22 2

d) x 2 + y 2 2 x = 9 f) x 2 + y 2 2 x =

e) x 2 + y 2 2 y = 8

2

GA XI. 073 Se consider dreapta D: x = 4 i punctul P ( 6,5) n planul ( Oxy). S

se determine cercul de diametru PP , unde P este proiecia punctului P pe dreapta D. a) x 2 + y 2 10 x + 10 y + 49 = 0 b) x 2 + y 2 10 x 10 y + 49 = 0

152c) x 2 + y 2 10 x 10 y 49 = 0 e) x 2 + y 2 + 10 x + 10 y + 49 = 0


d) x 2 + y 2 + 10 x 10 y + 49 = 0 f) x 2 + y 2 + 10 x + 10 y 49 = 0

GA XI. 074 Fie A(a,b) un punct fix n planul (Oxy), iar M (Ox ) i N (Oy )

dou puncte mobile, astfel ca OM = 2 ON . S se afle locul geometric al proieciei punctului M pe dreapta (AN). a) x 2 + y 2 (a + 2b )x + (2a b ) y = 0 c) x 2 + y 2 (a 2b )x + (2a + b ) y = 0 e) x 2 + y 2 (a + b )x + (a b ) y = 0 b) x 2 + y 2 2ax + 2by = 0 d) x 2 + y 2 + 2ax 2by = 0 f) x 2 + y 2 + ax + by + a 2 + b 2 = 0

GA XI. 075 Se d cercul de ecuaie x 2 + y 2 3 x 3 y + 2 = 0 i punctul A(0,2)

situat pe cerc. S se afle coordonatele vrfurilor ptratului ABCD nscris n cerc. a) C (2,0 ); B (1,3); D(1,0 ); c) C (1,3); B (0,1); D (3,2 ); e) B (3,2 ); C (0,1); D (2,3); b) C (3,2 ); B (3,1); D(2,0 ); d) B (1,0 ); C (3,1); D(2,3); f) B (2,3); C (2,0 ); D(3,2 ) .

GA - XI. 076 Se cer centrul i raza cercului a crei ecuaie este

8(x2 + y2) + 4x + 12y - 27 = 0. Care este poziia originii fa de acest cerc ?

a) C , , r = 2

1 3 4 4

b) C

1 3 , , r = 2 4 4

c) C , , r = 4

1 1 2 2


153exterioar

interioar

interioar

d) C

1 3 , , r = 2 4 4

3 1 e) C , , r = 3 4 4 interioar

1 1 f) C , , r = 2 4 4 exterioar

exterioar

GA - XI. 077 Se dau punctele A(-1,4), B(3,-2). S se scrie ecuaia cercului care are

pe AB ca diametru . a) x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0 c) x2 + y2 - 2x + 2y + 11 = 0 e) x2 + y2 + 4x - 4y - 13 = 0 b) x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0 d) x2 + y2 - 4x - 2y - 13 = 0 f) x2 + y2 - 4x - 4y - 14 = 0

GA - XI. 078 S se determine toate valorile parametrului real pentru care dreapta (1

- 2)x - 2y + 2(1 + 2) = 0 este tangent la cercul cu centrul n origine i avnd raza r = 2. a) = 1 d) = -1 i = 3 b) = 2 i = -2 e) c) = 1 2

f) R

GA - XI. 079 Fie n planul (Oxy) punctele A(a,0) i B(b,0) unde a b > 0 . S se afle

locul geometric al punctelor de contact ale tangentelor duse din origine la un cerc variabil ce trece prin A i B.

154a +b 2


a) x =

b)

x2 y2 =1 a 2 b2

c) x 2 + y 2 ax ay + 1 = 0

d) x 2 + y 2 ab = 02

a + b b a e) x =1 +y 2 2

2

a + b 2 2 2 f) x +y =a b 2

2

GA - XI. 080 S se afle locul geometric al centrelor cercurilor

x 2 + y 2 (+5)x ( + 1)y + = 0, cnd variaz n R.a) x y 2 = 0 d) x y 4 = 0 b) x y 3 = 0 e) x + y 2 = 0 c) x + y + 3 = 0 f) x + y + 2 = 0

GA - XI. 081 S se scrie ecuaiile tangentelor la cercul x 2 + y 2 3x + y + 2 = 0 n

punctele de intersecie cu axa (Ox). a) 2x + y 1 = 0 x + y 2 = 0 d) x + y -1 = 0 xy+2=0 b) x y 1 = 0 2x + y 2 = 0 e) 2x + 2y - 1 = 0 x y 2 = 0 c) x y 1 = 0 x + y 2 = 0 f) x + y + 1 = 0 x+y+2=0

GA - XI. 082 S se scrie ecuaia cercului nscris n triunghiul ce are ca vrfuri

punctele A(2,-2), B(2, 2 2 ) i C( 2 + 2 , 2 ) . a) x 1 2

(

) + (y + 3 2)2

2

= 3 2 2


155c) ( x 1) + ( y + 1) = 12 2

b) x + 1 + 22

(

) + (y 3 + 2)2

2

= 3 2 2

d) ( x + 1) + ( y 1) = 12

e) x 2 + ( y + 2) = 22

f) nici un rspuns nu e corectGA - XI. 083 S se scrie ecuaiile cercurilor ce sunt tangente n punctul A(1,2) dreptei D: x + y - 3 = 0 i au raza 2 .

a) x 2 + y 2 4 x 6 y + 11 = 0 x2 + y2 2y 1= 0 c) x 2 + y 2 1 = 0 x2 + y2 4x 5 = 0 e) x 2 + y 2 4 = 0 x + y + 2 x + 4 y 13 = 02 2

b) x 2 + y 2 x y 7 = 0 x2 + y2 2x 2 y 2 = 0 d) x 2 + y 2 1 = 0 x 2 + y 2 x 12 = 0 f) nici un rspuns nu e corect

GA XI. 084 S se scrie ecuaiile cercurilor tangente axei (Ox), avnd centrul pe prima bisectoare i care trec prin A(2,1).

a) x 2 + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 x 2 + y 2 2x 2 y + 1 = 0

b) x 2 + y 2 2 x 2 y + 1 = 0 x 2 + y 2 10 x 10 y + 25 = 0

c) x 2 + y 2 4 x 4 y + 2 = 0 x 2 + y 2 2x 2 y + 1 = 0 e) x 2 + y 2 2 x 2 y 1 = 0 x 2 + y 2 10 x 10 y + 20 = 0

d) x2 + y2 x y +1 = 0 x 2 + y 2 5x 5 y + 4 = 0 f ) x 2 + y 2 2x 2 y + 5 = 0 x 2 + y 2 10 x 10 y + 16 = 0

GA XI. 085 S se scrie ecuaia cercului cu centrul pe dreapta (d1) y = 2x 3,

156


tangent dreptei (d2) 2x + 2y = 13 n punctul M ,3 . a) 4 x 2 + 4 y 2 20 x 16 y 107 = 0; b) 4 x 2 + 4 y 2 24 x 24 y + 71 = 0 c) 4 x 2 + 4 y 2 + 24 y 157 = 0; e) 4 x 2 + 4 y 2 8 x + 8 y 81 = 0; d) 4 x 2 + 4 y 2 20 x 16 y + 33 = 0 f) 4 x 2 + 4 y 2 8 x 4 y 45 = 0

7 2

GA - XI. 086 Se consider cercul de ecuaie x 2 + y 2 4 x 4 y 1 = 0 . S se determine cercurile de centru C(-2,5) tangente cercului dat.

a) x 2 + y 2 4 x + 10 y + 25 = 0 c) x 2 + y 2 + 4 x 10 y 35 = 0

b) x 2 + y 2 + 4 x 10 y + 25 = 0 d) x 2 + y 2 4 x + 10 y + 25 = 0

x 2 + y 2 + 4 x 10 y + 25 = 0e) x 2 + y 2 + 4 x 10 y + 25 = 0 f) x 2 + y 2 4 x + 10 y + 25 = 0

x 2 + y 2 + 4 x 10 y 35 = 0

x 2 + y 2 + 4 x 10 y 35 = 0

GA - XI. 087 Fie triunghiul ABM cu A(1,1), B(-1,1) i M un punct variabil. S se

afle locul geometric al punctului M tind c mediana din A a triunghiului ABM are o lungime dat a. a) x 2 + y 2 = a 2 c) ( x 1 )2 + ( y 1 )2 = a 2 e) ( x 1 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 4a 2 b) x 2 + y 2 = 4a 2 d) ( x 3 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 4a 2 f) ( x 3 )2 + ( y 3 )2 = a 2

GA - XI. 088 Fiind dat cercul x 2 + y 2 289 = 0 , s se determine ecuaiile tangentelor la cerc paralele cu dreapta 15x + 8y - 12 = 0.

a) 15x + 8y - 289 = 0 15x + 8y + 1 = 0

b) 15x + 8y - 289 = 0 15x + 8y + 289 = 0

c) 8x + 15y - 289 = 0 8x + 15y + 289 = 0


157

d) x - y - 1 = 0 x-y+1=0

e) -15x + 8y - 289 = 0 15x + 8y + 289 = 0

f) 15x - 8y - 1 = 0 15x + 8y +1 = 0

GA XI. 089 S se determine coeficienii unghiulari pentru tangentele la cercul de ecuaie x 2 + y 2 6 x 4 y + 8 = 0 , care conin punctul A(8,7).

a) m1 = 1, m2 = 3 d) m1 = 6, m 2 = 4

1 , m2 = 2 2 e) m1 = 0, m2 = 1b) m1 =

c) m1 = 1, m2 =

1 3 f) m1 = 4, m 2 = 6

GA - XI. 090 S se determine centrele cercurilor ce sunt tangente axei (Ox) i trec prin punctele A(2,3) i B(4,1).

a)

( 6, 3) C ( 6 , 3 ) C (5 + 6 ,4 + 6 ) d) C (5 6 ,4 6 )C12 1 2

( ) C (3 6 ,2 + 6 ) C (5 6 ,2 + 6 ) e) C (5 + 6 ,2 6 )b)

C1 3 + 6 ,2 + 62

c)

1

2

( C (5 C (5 + f) C (5 2 1 2

C1 5 + 6 ,4 6 6 ,4 + 6 ,3 6 ,3 +

) 6) 6) 6)

GA - XI. 091 Se consider cercul de ecuaie x 2 + y 2 4 x = 0 . S se determine ecuaiile tangentelor duse la cerc din punctul A(-1,2).

a) y = 2 i 12x - 5y + 3 = 0 c) y = 2 tangent unic e) y = 2 i 12x + 5y + 2 = 0

b) y = -2 i 12x - 5y + 3 = 0 d) 12x - 5y + 3 = 0 tangent unic f) y = 2 i 12x + 5y - 2 = 0

GA - XI. 092 S se afle lungimea tangentei duse din origine la cercul care trece prin punctele A(1,1), B(2,0), C(3,2).

a) 1

b) 10

c)

14 3

d)

14 5

e)

13 4

f)

3 14

158


GA - XI. 093 Se cere ecuaia unui cerc care s fie tangent la bisectoarea nti n punctul I (2,2) i care s taie pe axa (Ox) un segment de lungime egal cu 2.

a) ( x 1) + ( y 1) = 52 2

b) ( x + 1) + ( y + 1) = 52 2

(x 3)2 + ( y 1)2 = 2 c) (x + 3)2 + ( y 7 )2 = 50

d) x 2 + ( y 1) = 5, ( x 1) + y 2 = 42 2

(x + 3)2 + ( y + 1)2 = 1 e) (x 3)2 + ( y + 7 )2 = 25

f) ( x 3) + ( y 3) = 102 2

GA - XI. 094 Se d cercul de ecuaie x 2 + y 2 = 20 i dreptele (d1) x + 2y + 1 =0 , (d2) 2x + y 1 = 0. S se calculeze aria paralelogramului determinat de tangentele la cerc ce sunt paralele cu dreptele date.

a)

800 3

b) 100

c) 120

d) 80

e)

400 3

f) 150

GA - XI. 095 Se d dreapta (d): 3x 4y + 4 = 0 i fie (b) bisectoarea unghiului ascuit format de dreapta (d) cu axa (Oy). S se scrie ecuaia cercului C, ce trece prin origine, tangent n origine dreptei y = mx, mR\{0} i care mai trece prin punctul de intersecie al dreptei (b) cu axa (Ox).

1 1 1 1 + a) x + + y = 4 4m 16 16m 2 c) x 2 + y 2 mx + 4 y = 0 e) ( x m) + ( y + m) =2 2

2

2

b) x 2 + y 2 mx + 2 y = 0 1 1 1 d) x +y + = 2m 2m 4m 22 2

1 m2

f) x 2 + ( y 2m) =2

1 4m2


159

GA - XI. 096 Dou cercuri sunt ortogonale dac n punctele lor de intersecie au razele perpendiculare. S se scrie ecuaia cercului ortogonal cercurilor x 2 + y 2 6 x 15 = 0 , x 2 + y 2 + 2 y 15 = 0 i care trece prin punctul de coordonate (5,-4).

a) x 2 + ( y 3) = 742

b) ( x 2) + ( y + 6) = 132 2

c) (x 1) + ( y + 1) = 412 2

d) x 2 + y 2 = 41

e) (x 3) + y 2 = 202

f) ( x 2) 2 + y 2 = 25

GA - XI. 097 S se scrie ecuaia tangentelor comune cercurilor

( x 2)

2

+ ( y 1) = 1 i ( x + 2) + ( y + 1) = 9 .2 2 2

a) x + y - 1 = 0, x - y = 0 c) x - y + 1 = 0, x + y = 0, 2x - y = 0

b) x = 1, y = 2, 2x = -y d) x = 1, 2x = -y, y = 2, x - 3y + 1 = 0

e) x = 1, y = 2, 3x + 4y -1 = 0, 4x - 3y + 1 = 0 f) x = 1, y = 2, 3x + 4y - 5 = 0, 4x - 3y - 10 = 0GA - XI. 098 Fie n planul (xOy) punctele A(4,0), B(0,3) i cercul nscris triunghiului OAB , respectiv cercul ce trece prin mijloacele laturilor triunghiului OAB . S se studieze dac cele dou cercuri sunt tangente i n caz afirmativ s se calculeze coordonatele punctului de contact. 3 a) sunt tangente n punctul T(1,2) b) sunt tangente n punctul T 2 , 2

c) nu sunt tangente e) sunt tangente n punctul T(1,1)

7 9 d) sunt tangente n punctul T , 8 4 5 f) sunt tangente n punctul T 1, 2

GA - XI. 099 S se gseasc punctele din care tangentele duse la cercul x2+ y24 = 0 au o lungime de 3 uniti , iar tangentele duse la cercul x2+ y2 7x 14y + 20 = 0 au o lungime de 5 uniti .

160


a) M(2,3), N(5,-7) d) M(0,-1), N(-2,3)

b) M(-1,1), N(0,-3) e) M ,

1 17 c) M(3,-2), N , 5 5 18 1 f) M (-2,3), N , 5 5

1 18 1 2 , N , 5 5 3 3

GA XI. 100 Se consider familia de cercuri x 2 + y 2 + x a 2 y a 2

(

)

unde a este o constant, iar un parametru real. S se afle ecuaia cercului din familie pentru care segmentul de dreapt ce are ca extremiti punctele fixe ale familiei este diametru. a) x 2 + y 2 = a 2 d) ( x a ) + y 2

1 = 0, a2

b) x 2 + y 2 = a 2 +

1 a2 2

c) x 2 + y 2 =

1 a2

1 =1 a

2

e) ( x a ) + y 2

1 2 =a a

f) ( x a ) + y 2

1 1 = 2. a a

2

GA - XI. 101 Se d cercul C cu centrul n origine i avnd diametrul [AB], pe axa Ox de lungime 2r, r (0,+ ) . Fie un cerc, cu centrul variabil MC i tangent n N la [AB]. S se gseasc locul geometric al punctului de intersecie dintre dreapta (MN) cu coarda comun cercurilor C i .

a) x

2

2 + (y r)

=r

2

2 2 b) ( x + r ) + ( y r ) = 4r 2

c)

x2 r 22

y2 1 = 0 r2

d)

x2 y2 + 1 = 0 r 2 r 2 2

e)

x2 r 22

+

y2 1 = 0 r2

f) x = r


161

GA - XI. 102 Fie n planul (xOy) cercul x2 + y2 = r2 i punctele P(a,0) i Q(b,0). Fie M, N extremitile unui diametru variabil al cercului. Se cere locul geometric al interseciei dreptelor (MP) i (NQ).

a) x + by + ra = 0

b)

x2 y2 + r2 = 0 a 2 b22

c) x +

2ab

( a + b) 2

y2 = r 2

2 a + b) 2ab 2 2 ( d) x + +y =r 2 a + b ( a b) 2 2 a b) 2ab 2 ( f) x + y =r 2 a + b ( a + b) 2 2

2 a b) 2ab 2 2 ( e) x +y =r 2 a + b ( a + b)

GA - XI. 103 Fie n planul (xOy) cercul x2 + y2 - 2ry = 0 i M un punct mobil pe axa (Ox). Se duce prin M o tangent la cerc, punctul de contact fiind N. Se cere locul geometric al ortocentrului (punctul de intersecie al nlimilor) triunghiului OMN , cnd M descrie axa (Ox).a) dreapta rx + y - r = 0 c) diametrul x = 0 i cercul x2 + y2 = r2 e) hiperbola x2 y2 2 =1 1 r b) cercul x2 + y2 + 2x = r2 d) parabola y2 = 2rx f) hiperbola x2 y2 =1 4 r2

GA XI. 104 S se determine locul geometric al punctelor prin care se pot duce tangente ortogonale la un cerca) hiperbol; d) cerc; b) parabol; e) dreapt c) elips f) hiperbol echilateral

GA XI. 105 Fie A un punct fix pe cercul C : x 2 + y 2 = R 2 i M un punct mobil pe cercul dat.

162


S se determine punctul A astfel nct locul geometric al simetricului punctului A fa de M s fie un cerc cu centrul pe dreapta D : x + y + R = 0 . a) A( R,0 ) b) A(0, R ) c)

A( R,0 ) A(0, R )

d)

A(R,0 )

A(0, R )

e) A

2 2 R, R 2 2

f) A

GA XI. 106 ntr-un cerc de raz R se consider coarda fix AB i un punct mobilM pe cerc. Dac A1 este mijlocul lui AM i B1 mijlocul lui BM , s se afle locul geometric al mijlocului lui A1 B1 . a) o dreapt paralel cu (Ox) c) o elips e) o hiperbol b) un cerc d) o parabol f) o dreapt paralel cu (Oy).

GA XI. 107 Se consider cercurile care trec prin dou puncte fixe A(4,0) i B(-4,0). Locul geometric al extremitilor diametrilor acestor cercuri, paraleli cu dreapta (AB), este: a) o hiperbol echilater; b) o parabol; c) un cerc d) o elips e) o dreapt f) o hiperbol oarecare ? GA - XI. 108 Se d elipsa E:

x2 y2 + 1 = 0 i dreapta dn: y = x + n, nR , care 1 4 intersecteaz elipsa n punctele P i Q. S se scrie ecuaia cercului C de diametru [PQ].a) C: x

4n 8 2 n n + 5 , nR +y+ = 5 5 25 n 4n 8 5 n 2 , n 5, 5 +y = 5 5 252 22 2

2

2

(

)

b) C: x +

(

)

(

)

3n 8 2 n n 2 , nR c) C: x + y = 2 5 25

(

)

Geometrie analitic XI d) C: ( x n) + ( y 3n) = 25n 2 , nR2 2

163

1 n e) C: x + y + = 8n 2 , n 5 , 5 5 5

2

2

[

]

f) C:x 2 + y

4n 25 2 = n , nR 5 8

2

GA - XI. 109 Unul dintre focarele unei elipse este situat la distanele 7 i, respectiv, 1 fa de extremitile axei mari. S se scrie ecuaia acestei elipse.

a)

x2 y2 + =1 4 9 x2 y2 + =1 7 9

b)

x2 y2 + =1 9 4 x2 y2 + =1 4 16

c)

x2 y2 + =1 16 7 x2 y2 + =1 16 4

d)

e)

f)

GA - XI. 110 Un punct M descrie o elips de centru O i semiaxe 2 i 1. Fie P proiecia lui M pe axa mare iar N un punct pe (OM) aa nct ON = 2 NM . Dreapta (PN) taie axa mic n Q, s se calculeze lungimea segmentului PQ.

a) 2

b)

1 2

c) 1

d)

2 3

e)

3 2

f)

1 4

GA - XI. 111 Se consider elipsa de ecuaie x 2 + 4 y 2 = 9 . S se scrie ecuaia unei drepte ce trece prin punctul M(2,1), care intersecteaz elipsa n punctele A i B, astfel ca M s fie mijlocul segmentului AB .

a) 8 x y + 17 = 0 c) 8 x 8 y + 17 = 0 e) x + 2 y 4 = 0

b) x 8 y + 17 = 0 d) 8 x + y 17 = 0 f) x 2 y + 4 = 0

164


x2 y2 + = 1 se duce o coard a 2 b2 perpendicular pe axa mare. S se gseasc lungimea acestei coarde.GA - XI. 112 Prin focarul F(c,0) al elipsei

a)

a b

b)

b a

c)

2b a2

d)

2b 2 a

e)

a2 b

f) a + b

GA XI. 113 Fiind dat punctul M 1, al elipsei : (E )

3 2

x2 y2 + 1 = 0 , s se 4 3

scrie ecuaiile dreptelor suport pentru razele focale ale acestui punct.

a) x + y = 1 3x + 4 y + 3 = 0

b) x 1 = 0 3x 4 y + 3 = 0

c) x + y + 1 = 0 x + 3y + 4 = 0 f ) x 1 = 0 3x 4 = 0

d ) 2x y + 3 = 0 3x 4 y + 2 = 0

e) x 1 = 0 3x + 4 y + 3 = 0

x2 y2 GA XI. 114 S se afle punctul de pe elipsa 2 + = 1 care este cel mai apropiat 3 a de dreapta x + ay = 3a .a) , ;

a 3 2 2

b)

a 3 , 2 2 ;

c) ,

a 2 6 3 3 ;

d)

a 3 , ; 2 2

e)

a

, 2 ; 3

f) (a,0 )

GA XI. 115 Fie elipsa

x2 y2 + 1 = 0 , a > b i F unul din focare situat n a2 b2

punctul F. Prin F se duce o secant oarecare, care taie elipsa n punctele M i N. S se calculeze valoarea expresiei E =

1 1 + FM FN


165

a) E =

2a b2 2b a2

b) E =

a b2 b a2

c) E =

a 2b 2 b 2a 2

d) E =

e) E =

f) E =

GA - XI. 116 S se calculeze aria unui ptrat avnd dou vrfuri ce coincid cu x2 y2 + 1= 0. focarele elipsei E: 25 16

a) 36

b) 18

c) 36 sau 18

d) 9 sau 18

e) 36 sau 9

f) 20

GA - XI. 117 n elipsa

x2 y2 + = 1 se nscrie un dreptunghi astfel nct dou laturi 49 24 opuse ale sale s treac prin focare. S se calculeze aria acestui dreptunghi.

a) 27 3

b)

480 7

c) 27 3 + 1

d) 27 + 2 e)

3 2

f) 25

GA - XI. 118 Un romb cu latura de lungime 5 i nlimea de lungime 4,8 are diagonalele situate pe axele de coordonate (Ox) i (Oy). S se determine elipsele, avnd axa mare pe (Ox), care trec prin dou vrfuri opuse ale rombului, iar focarele sunt situate n celelalte dou vrfuri.

a) c)

x2 y2 + =1 16 9

x2 y2 + 1 = 0 4 1 x2 y2 x2 y2 e) + 1 = 0, + 1 = 0 25 16 25 9

x2 y2 x2 y2 + 1 = 0, + 1 = 0 25 8 16 8 x2 y2 d) + =1 25 4 x2 y2 f) + 1 = 0 9 4b)

GA - XI. 119 Fiind dat elipsa de ecuaie: 2 x 2 + y 2 6 = 0 . S se scrie ecuaia normalei la elips n punctul A(1,2).

166a) y = x 1 d) y = x + 3


b) y = x +1 e) y = x

c) y = 2x f) y = 3x 1

GA - XI. 120 S se scrie ecuaiile tangentelor duse din punctul A(-6,+3) la elipsa

x2 y2 + = 1. 15 9a) x + y 9 = 0 2x + y + 9 = 0 d) 3x + y 21 = 0 3x + y + 15 = 0 b) x + y + 3 = 0 2x + y 15 = 0 e) 4x + y + 21 = 0 4x + y - 27 = 0 c) 12x + 7y + 51 = 0 y=3 f) 5x + y 33 = 0 5x + y + 27 = 0

GA - XI. 121 S se scrie ecuaiile tangentelor la elipsa

x2 y2 + = 1 perpendi169 25

culare pe dreapta 13x + 12y 115 = 0. a) 12x 13y 1 = 0 d) 12x 13y 3 = 0 b) 12x 13y 169 = 0 e) 5x 7y = 9 c) 12x 13y 2 = 0 f) 12x 13y 10 = 0x2 y2 + = 1. 50 32

GA - XI. 122 Se tie c dreapta 4x - 5y - 40 = 0 este tangent la elipsa

S se gseasc coordonatele punctului de tangen. a) (10,0) b) (0,-8) c) (50,0) d) (5,-4) e) (-4,5) f) (9,1)

GA XI. 123 n planul (Oxy) se consider punctul M(5,0) i elipsa

(E ) : x

2

16

+

y2 = 1 . S se determine coordonatele punctelor P (E ) astfel nct 9

tangentele n P la elips s treac prin M. a)

16 9 16 9 , ; , ; 5 5 5 5

b)

16 9 16 9 , ; , ; 5 5 5 5

c)

14 9 14 9 , ; , 5 5 5 5


167

d)

12 9 12 9 , ; , ; 5 5 5 5

e)

16 12 16 12 , ; , ; 5 5 5 5

f)

12 16 12 16 , ; , 5 5 5 5

GA XI. 124 Pe o elips de centru O i semiaxe a i b, (a > b ) , se consider un punct arbitrar M0 . Tangenta n M0 la elips taie prelungirea axei mari n O . Prin M0

se duce o paralel la axa mic a elipsei care taie cercul de diametru OO n punctele P i P . S se calculeze distana de la O la P. a) OP = a d) OP = b) OP = a b2

c) OP = b f) OP = 2b

a b

e) OP =

b a

2

GA - XI. 125 O elips este tangent dreptelor : x + y = 5 i x 4y = 10. S se scrie ecuaia acestei elipse cu condiia ca axele ei de simetrie s fie situate pe axele de coordonate.

a)

x2 y2 + =1 2 4 x2 y2 + =1 20 5

b)

x2 y2 + =1 9 4x2 y2 + =1 5 16

c)

x2 y2 + =1 25 16 x2 y2 + =1 9 16

d)

e)

f)

GA - XI. 126 S se gseasc tangentele comune la urmtoarele dou elipse: x2 y2 x2 y2 + =1 i + = 1. 5 4 4 5

a) x y 3 = 0 d) 2x y = 1

b) x 2y = 1 e) x y = 2

c) x y = 5 f) 3x + 3y = 1

GA XI. 127 Fie M (a cos t , b sin t ), (t [0,2 ]) , un punct arbitrar pe o elips de semiaxe a i b, raportat la axele de coordonate. Considerm trei puncte pe elips A, B i C, ce corespund valorilor , i ale parametrului t.

168


tiind c tangenta n A la elips este paralel cu dreapta (BC) , s se precizeze care dintre relaiile de mai jos este satisfcut de , i . a) sin ( ) = sin ( ) b) sin ( ) = cos( )

c) cos( ) = cos( ) e) 2 =

d) sin ( + ) = sin ( + ) f) 2 = +

GA - XI. 128 Se consider punctele variabile A(,0), B(0,), astfel nct AB = 6. S se gseasc locul geometric al punctului M, care mparte segmentul [AB] n raportul 1 . 2

a) parabol d) dreapt

b) elips e) cerc

c) hiperbol echilateral f) hiperbol oarecare

GA XI. 129 S se determine locul geometric al punctelor de unde se pot duce tangente perpendiculare la o elips.

a) parabol d) dreapt

b) elips e) cerc

c) hiperbol echilateral f) hiperbol oarecare

GA XI. 130 Fie M un punct mobil pe elipsa

x2 y2 + = 1 cu vrfurile A, A, B, B . a2 b2

Tangenta n M taie axa (Ox) n C, iar paralela din M la axa (Oy) taie cercul de diametru OC n P, P . S se afle locul geometric al centrului de greutate al triunghiului OAP . a) y =

2a 32 2

b) x

a a2 + y2 = 3 9 a a2 = 3 92

2

c)

3x 2 + y2 = 1 2 a 4a =0 3

d) x

2a 5a 2 a +y = 3 3 9

e) x 2 + y

f) x + y

GA - XI. 131 S se determine focarele elipsei x 2 + 3 y 2 9 = 0 .


169

a) F1 ( 3,0 ), F2 (3,0 ) d) F1 0, 6 , F2 0, 6

b) F1 (0,3), F2 (0,3)

c) F1 ,0 , F2 ,0

(

) (

)

e) F1 6 ,0 , F2

(

) (

6 ,0

)

1 1 3 3 f) F1 3 ,0 , F2 3 ,0

(

) (

)

GA - XI. 132 Fie U un punct mobil situat pe tangenta n punctul A(a,0) la elipsa

x2 y2 + 1 = 0 . Perpendiculara n A pe (OU) taie axa (Oy) n V. Se cere s se a 2 b2determine elipsa pentru care AUOV=12 i care trece prin punctul P(3,2). a)

x2 y2 + 1 = 0 18 8 x2 y2 + 1 = 0 c) 16 12 x2 y2 e) + 1 = 0 18 2 2 8 2 + 2

(

) (

)

x2 3 y 2 + 1 = 0 36 16 x2 y2 d) + 1 = 0 12 16 x2 y2 f) + 1 = 0 36 2 3 16 2 + 3b)

(

)

(

)

GA - XI. 133 Se d hiperbola

i F . a)

x2 y 2 = 1 . S se calculeze coordonatele focarelor F 9 16 F ' (0,5) F (3,4) e) F ' ( 3,4 )b)

F ' ( 5,0 ) F (0,3) d) F ' (0,3)

F (5,0 )

F (0,5)

c)

F ' ( 3,0 ) F (0,4) f) F ' (0,4)

F (3,0)

GA - XI. 134 Se d hiperbola H: 2 x 2 5 y 2 10 = 0. S se determine vrfurile i asimptotele hiperbolei H.

a) (-5,0),(5,0); y =

2 2 x, y = x 5 5

b) (- 5 ,0), ( 5 ,0); y =

2 2 x, y = x 5 5

170


c) (- 5 ,0),( 5 ,0); y = e) (-2,0),(2,0); y =

2 2 x, y = x 5 5

d) ( 2 ,0), (- 2 ,0); y =

5 5 x, y = x 2 2

5 5 x ,y = x 2 2

f) (- 2 ,0), ( 2 ,0); y =

5 5 x ,y = x 2 2

GA - XI. 135 S se scrie ecuaia hiperbolei care trece prin focarele elipsei

x2 y2 + = 1 i are focarele n vrfurile acestei elipse. 169 144a)

x2 y2 =1 169 144 x2 y2 =1 169 25

b)

x2 y2 =1 16 25 x2 y2 =1 16 144

c)

x2 y2 =1 25 144 x2 y2 =1 169 16 2 x i care 3

d)

e)

f)

GA XI. 136 S se scrie ecuaia hiperbolei ce are asimptotele y =

trece prin punctul P(5,-2). a) 64 x 2 144 y 2 1 = 0 b) 4 x 2 9 y 2 64 = 0

c) 9 x 2 64 y 2 1 = 0 e) 9 x 2 4 y 2 64 = 0

d) 144 x 2 64 y 2 1 = 0 f)

x2 y2 1 =0 9 4 36

GA XI. 137 Pentru hiperbola

y2 = 1 , s se calculeze aria triunghiului 4 9 format de asimptotele hiperbolei (H) i dreapta (d ) : 9 x + 2 y = 24.

(H ) : x

2

a) 24

b) 16

c) 18


171f) 15

d) 12

e) 14

GA XI. 138 S se calculeze produsul distanelor unui punct oarecare al hiperbolei :

x2 y2 = 1 la cele dou asimptote. a2 b2a)

a2 b2 ; a2 + b2

b)

a2 + b2 ; a2 b2

c)

a+b ; a2 + b2

d)

a 2b 2 ; a2 + b2

e)

a 2b 2 ; a2 b2

f) 1.

GA XI. 139 Se consider hiperbola de ecuaie

x2 y2 = 1. O secant paralel cu a2 b2

axa (Ox) taie curba n punctele M i N, M fiind pe aceeai ramur a curbei ca i vrful A. Fie T intersecia dreptei (MN) cu tangenta n A la hiperbol. S se determine m R , astfel ca s aibe loc relaia :

b 2TM TN + ma 2 AT 2 = 0a) m = -1 d) m = 1 b) m = 2 c) m = -2 f) m =

1 e) m = 2

1 2

GA - XI. 140 Se consider hiperbola de ecuaie: x 2 2 y 2 2 = 0 i dreapta (d) de ecuaie: x - y - 3 = 0. S se scrie ecuaiile tangentelor la hiperbol paralele cu dreapta (d).

a) x- y - 1 = 0 i x - y + 1 = 0 c) x - y - 3 = 0 i x - y + 3 = 0, e) x - y 2 = 0 i x - y + 2 =0

b) x - y - 2 = 0 i x - y + 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 i x - y + 4 = 0 f) x -y = 0 i x + y = 0

GA - XI. 141 Fie hiperbola echilater x 2 y 2 = a 2 cu vrfurile A i A' . S se afle locul geometric al interseciei dreptei ( MA' ) cu simetrica dreptei (MA) fa de axa ( AA' ), M fiind un punct mobil pe hiperbol.

172


a) hiperbola echilateral y 2 x 2 = c) elipsax2 y2 + 2 =1 2 a 4a x2 y2 e) hiperbola 2 2 = 1 a 4a

a2 4

b) cercul x 2 + y 2 = a 2 d) cercul x 2 + y 2 = 4a 2 f) elipsa a 2 x 2 + 4a 2 y 2 = 1x2 y2 = 1 prin 8 9

GA - XI. 142 S se scrie ecuaiile tangentelor la hiperbola

punctul (2,0). a) -x + y + 2 = 0 x+y-2=0 d) 3x 2y - 6 = 0 b) -2x + y + 4 = 0 2x + y - 4 = 0 e) -4x y + 8 = 0 c) -3x + y + 6 = 0 3x + y - 6 = 0 f) 4x + y - 8 = 0 -5x + y + 10 = 0

GA - XI. 143 Se consider hiperbola de vrfuri A(a,0), A' (-a,0) i focare F(c,0) i F ' (c,0) . Perpendiculara n A pe axa (AA' ) taie o asimptot n G. S se determine mrimea unghiului FGF ' . 2 3 5 b) c) d) e) arctg f) arctg a) 3 3 4 2 2 4 GA - XI. 144 S se determine unghiul ascuit dintre asimptotele hiperbolei c x2 y2 2 = 1 , avnd raportul = 2 , c - fiind abscisa unui focar al hiperbolei. 2 a b a b) 45 c) 90 d) 15 e) 75 f) 60 a) 30 GA - XI. 145 Un cerc de centru C(0,2) este tangent ramurilor hiperbolei y2 x2 1 = 0. S se determine coordonatele punctelor de contact. 4

a) 41 ,8 i

(

) (

41 ,8

)

1 8 1 8 b) , i , 5 5 5 5

41 8 c) , i 5 5

41 8 5 , 5

8 8 41 41 i , d) , 5 5 5 5

e) (1,0) i (-1,0)

f)

(

2 ,2 i 2 ,2

) (

)


173

GA XI. 146 O hiperbol de centru O i semiaxe a i b are vrfurile A(a,0 ) i

A( a,0 ) situate pe axa transversal, (Ox). Un punct mobil M al hiperbolei se

proiecteaz n N pe axa (Oy), iar P este mijlocul segmentului MN . S se afle locul geometric al punctului G, centrul de greutate al triunghiului . Ce este acesta ? APA a) cerc de raz r =

ab

b) elips de semiaxe

a b i . 6 3 ab

c) hiperbol de semiaxe

a b i 6 3 a b i e) hiperbol de semiaxe 3 6

d) parabol de parametru p = f) elipsa de semiaxe

a b i 3 6

GA XI. 147 Ce este locul geometric al punctelor de unde se pot duce tangente ortogonale la hiperbola

x2 y2 1 = 0, a 2 b2a) dreapt; d) parabol;

(a > b )?c) elips; f) segment de dreapt

b) cerc; e) hiperbol;

GA - XI. 148 Pe axa (Ox) a reperului cartezian (xOy) se iau punctele M i N astfel nct produsul absciselor lor s fie constanta a 2 . Prin M i N se duc dou drepte (MP) b b i , a,b(0,+ ). S i (NP), avnd coeficienii unghiulari egali respectiv cu a a se afle locul geometric al punctului P.

a) elips d) cerc

b) hiperbol e) dreapt

c) parabol f) ptrat

174


GA - XI. 149 Se d hiperbola

x2 y 2 = 1 . Prin punctul A(+3, -1) s se duc o coard 4 la hiperbol astfel nct acest punct s-o mpart n dou pri egale. b) x + y - 2 = 0 e) 2x + y - 5 = 0 c) 3x + 4y - 5 = 0 f) -3x + y + 10 = 0

a) -x + y + 4 = 0 d) -2x + y + 7 = 0

GA - XI. 150 S se determine coordonatele focarului F al parabolei y 2 = 2 x

1 2 1 d) F ,0 2 a) F ,0

b) F (1,0 ) e) F 0,

c) F (2,0) f) F (0,1)

1 2

GA - XI. 151 Prin focarul parabolei y 2 = 8 x se duce o coard AB care face

unghiul cu axa (Ox). Dac prin focar se mai duce i corda CD care este perpendicular pe AB , s se calculeze suma

S=

1 1 + AB CDc)

a)

1 8

b)

1 4

1 2

d) 8

e) 4

f) 2

GA - XI. 152 S se determine ecuaia unei parabole raportat la axa de simetrie i tangenta n vrf, tiind c trece prin punctul A(3,3), apoi s se scrie ecuaia normalei n punctul A. b) y2 = 3x, 2x + y - 9 = 0 a) y2 = 3x, 2x + y - 3 = 0

c) y2 = 9x, 2x + y - 9 = 0 e) y2 = 3x, x - 2y + 3 =

culegere mate clasa a xi-a

Documents