cuadripolos de potencia transferencia de potencia a través de cuadripolos

CUADRIPOLOS DE POTENCIA

Transferencia de potencia a través de

cuadripolos

CONTENIDO:

• Un problema simple

• Generalización: El problema del flujo de carga

• Definición del cuadripolo de potencia

• Interpretación del cuadripolo en una red trifásica

• Algebra de cuadripolos

CONTENIDO:

• Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje

•Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones eléctricas de un circuito

• Programa Rescuad

Un problema simple/1

Ejemplo: Problema de flujo de carga para una red eléctrica de dos barras:

Vs0º

Vs -dadojX

Vr ?

G Ps, Qs = ?

Pr, Qr - dado

(carga)

Un problema simple/2Potencia compleja

Potencia compleja constanteentregada a la carga.

Carga P & Qconstantes.

Q = P tan

V

II

VIVS ˆ

sencos jVIVIjQPS


Relación no lineal!r

rrrs

rs

V

jQPjXVV

IVS

IjXVV

ˆ

ˆ

Vs 0

jX

Vr ?

G Ps, Qs = ?

Pr, Qr - dado

(carga)I


Solución Analítica: (posible solo para casos muy simples)

r

rrrs

V

jQPjXVV

ˆ

)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV

rrrrs XQjXPVjVV 2)sen(cos

rrs

rrrs

XPVV

XQVVV

sen

cos 2


rrs

rrrs

XPVV

XQVVV

sen

cos 2

2222222 )()()sen(cos rrrrs XPXQVVV

rrrrsrr VQPXVVXQV 0)()2( 222224

senX

VVP rs

r


0)()2( 222224 rrrsrr QPXVVXQV senX

VVP rs

r

Datos:

008779.0

9112.0

0008.092.0

0008.092.0

)(1.0

)(4.08.0

2

1

22

24

H

H

HHVH

VV

puX

pujjQP

r

rr

rr

Un problema simple/7Posibles soluciones

Vr comentario

+0.9545 -4.807 buena

+0.0937 -58.93 mala

-0.9545 +4.807 mala

-0.0937 +58.93 mala

Número de soluciones posibles:

!22

Un problema simple/8Un procedimiento iterativo

(Gauss Seidel)

r

rrrs

V

jQPjXVV

ˆ

El algoritmo:

1. Fijar el índice de iteración i en 0.

2. Probar con un valor inicial para Vr(i) (módulo y fase - usualmente V=1 =0)

3.Calcular

4. Calcular nuevo

5. Calcular

6. Si el criterio de convergencia no es satisfecho, fijar i=i+1 e ir a 3.

)(ˆ iV

jQPjXVV

r

rrrs

)(ˆ 1iVr

)()1( iViV rr

Un problema simple/9Cálculo de las potencias de

entradaPs, Qs = ?

Vs 0

jX

Vr

G Ps, Qs = ?

Pr, Qr - dado

(carga)I

4878080

8074807495450

4080

..

).sen().cos(.

..

ˆˆ

jjQP

j

jjQP

V

jQPVIVjQP

ss

ss

r

rrssss

Un problema simple/10Transporte de potencia activa

(Qr=0)

Pr

Vs 0

jXVr

Ps,Qs

Pr Vr Ps Qs

0.5 0.999 -2.87 0.5 0.025

1 0.995 -5.77 1 0.1

1.6 0.987 -9.33 1.6 0.26

Qr

Vs 0

jXVr

Ps,Qs

Un problema simple/11Transporte de potencia

reactiva(Pr=0)

Qr Vr Ps Qs

0.5 0.947 0 0 0.53

1 0.887 0 0 1.127

1.6 0.8 0 0 2

Un problema simple/12Control de potencia activa y

reactiva

rrs

rrrs

XPVV

XQVVV

sen

cos 2

)(

sen

rsrs

r

rsr

X

VVP

X

VVP

)(

)cos(

rsr

r

rsr

r

VVX

VQ

VVX

VQ

La potencia activa depende en forma proporcional de la diferencia entrelos ángulos de fase de los voltajes de las barras.

La potencia reactiva depende en formaproporcional de la diferencia entre losmódulos de los voltajes de las barras.

Un problema simple/13Ejercicio

Realizar el cálculo de flujo de carga para el sistema de dos barras:

Vs 0

R+jXVr ?

Ps,Qs=? Pr,Qr dados

Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu

(Vr=0.9677 -2.99º)

Generalización: Flujo de carga para dos barras inter-

conectadas mediante una línea de transmisión.

Línea de transmisión de 110kV

V1 V2 = 110kV

20MW10MVar

P1,Q1=?

Long. de linea 1-2 Resistenciar’[/km]

Reactanciax’[/km]

SusceptanciaShuntb’ [S/km]

60km 0.200 0.430 2.60

Generalización: Flujo de cargaModelo de línea de transmisión

i kikik jXR

2sjB

2sjB

Generalización: Flujo de carga

Generalización: Flujo de carga

Propósito del flujo de carga

Determinación de voltajes, intensidades y

potencias activas y reactivas en distintos puntos

de una red eléctrica.

Cuadripolos de potenciaDefinición

_ +U1

-

_ +U2

-

_

I1

_

I2

El cuadripolo es el elemento básico a partir del cual se forma toda red eléctrica. Todos los integrantes pasivos de una red son asimilables a cuadripolos: transformadores, líneas, cables, cargas pasivas, simples impedancias, etc.

Cuadripolos de potenciaDefinición

21 2

1 22

U A U B I

I C U D I

1 2

1 2

U A B U

I C D I

_ +U1

-

_ +U2

-

_

I1

_

I2

, , ,A B C D

se denominan constantes generales del cuadripolo, siendo adimensionados, con dimensión y con dimensión -1

,,, ABCD

A y D

B C

Cuadripolos de potenciaCuadripolo pasivo

_ +U1

-

_ +U2

-

_

I1

_

I2

, , ,A B C D

1AD BC

Solo se necesitan 3 parámetros para que quede determinado el cuadripolo

A BM

C D

Es invertible

2 1

2 1

U D B U

I C A I

Cuadripolos de potenciaCuadripolo simétrico

_ +U1

-

_ +U2

-

_

I1

_

I2

, , ,A B C D

Un cuadripolo es simétrico si la respuesta es la misma cualquiera sea el lado que se conecte con una señal determinada

A D

Cuadripolos de potenciaCasos particulares

_Y

1A B Z

0C 1D

Z

1A 0B

C Y 1D

Cuadripolos de potenciaModelo y T

CZ

AZ BZ

aZ bZ

cZ

Un cuadripolo pasivo puede representarse indistintamente utilizando el modelo matricial o el modelo o el modelo T (son suficientes únicamente 3 parámetros para definirlo)

Cuadripolos de potenciaModelo y T

Z

Y Y

Z Z

Y

Si además de pasivo, el cuadripolo es simétrico (lo cual es usual en los SEP, entonces son suficientes únicamente 2 parámetros para definirlo

Cuadripolos de potencia

Interpretación del cuadripolo en una red trifásica

• En una red trifásica equilibrada, las impedancias que aparecen en las distintas fases son iguales entre sí

• La representación de una única fase es suficiente para describir la red

• Cuando se representa un cuadripolo en una red trifásica, se está trabajando por fase

• Los 2 terminales de cada lado del cuadripolo son una fase y el neutro del sistema (las tensiones son estrelladas y las corrientes son de línea)

Algebra de cuadripolos

Potencias entrantes y salientes en función de tensiones terminales y su defasaje

_ +U1

-

_ +U2

-

_I1

_I2

__ S1

__ S2

_ U1

_ U2

Datos : U1, U2 , _ _ =adelanto de U1 respecto de U2.


El funcionamiento de un cuadripolo queda totalmente determinado si sus terminales están conectadas a determinadas tensiones, defasadas entre sí en un determinado ángulo

21 2

1 22

U A U B I

I C U D I


jeUUUU 1122 ,

).ˆˆˆ(ˆ221111 IDUCeUIUS j

)(1

)(1

21212 UAeUB

UAUB

I j

21211 ˆˆ

ˆˆ UAeU

B

DUCeUS Jj je

B

UUU

B

DS

ˆˆ

ˆ212

11


jeB

UUU

B

DS

ˆˆ

ˆ212

11

En un sistema trifásico equilibrado, si multiplicamos por 3 la potencia por fase y por la tensión estrellada, obtenemos respectivamente la potencia total y la tensión compuesta

Esta observación muestra que si multiplicamos por 3 las igualdades indicadas en este capítulo, las fórmulas halladas pueden aplicarse empleando potencias totales y tensiones compuestas, que son magnitudes directamente manejables en un sistema trifásico

3

Modificación introducida por un cuadripolo en las condiciones

eléctricas de un circuitoU

(P,Q)

La condición eléctrica de un punto de un circuito trifásico, equilibrado está definida por la tensión U en el punto (respecto al neutro) y el flujo de potencia (activa P y reactiva Q) en determinado sentido, o sea por 3 magnitudes escalares (U,P,Q)

Al intercalar un cuadripolo después del punto, obtenemos a la salida del mismo un punto con otras condiciones eléctricas


eléctricas de un circuitoU

(P,Q)

_ +U1

-(P1 ,Q1 )

_ +U2

-(P2 ,Q2 )

_

I1

_I2


eléctricas de un circuito

_ +U1

-(P1 ,Q1 )

_ +U2

-(P2 ,Q2 )

_

I1

_I2

221

221

IDUCI

IBUAU

N° de ecuaciones escalares: 4

N° de variables: 7

Grados de libertad: 3

22221111 arg,,arg,,arg,,arg, IIUUIIUU


eléctricas de un circuito Se ve que en todo problema de transmisión a través de un cuadripolo, deben darse 3 datos escalares para que queden determinadas todas las demás variables eléctricas

En este caso, podemos darnos las 3 magnitudes de entrada (U1,P1,Q1) y deducir las de salida (U2, P2, Q2), o viceversa

Obtenemos así fórmulas que nos dan las condiciones de “salida” en función de las de “entrada” o viceversa


eléctricas de un circuitoSALIDA EN FUNCIÓN DE ENTRADA:

112 IBUDU 11 UU

111 IUS 1

11

ˆ

U

SI

1

112

ˆ

U

SBUDU


eléctricas de un circuitoSALIDA EN FUNCIÓN DE ENTRADA:

)ˆˆˆ(ˆ

ˆ11

1

11222 IAUC

US

BUDIUS

212

1

21112

ˆˆˆˆˆ S

UBA

UDCSCBSDAS


eléctricas de un circuitoENTRADA EN FUNCIÓN DE SALIDA:


eléctricas de un circuitoFORMULAS ESCALARES:

Programa RESCUAD

0)sin()cos(2)( 2111

21

21

241

222

21 UQPBDQPBUDUU

0)cos()cos(

)sin()cos()sin()cos(

21

21

212

1

11112

UQP

ABCDU

QPBCQPADP

0)sin()sin(

)cos()sin()cos()sin(

21

21

212

1

11112

UQP

ABCDU

QPBCQPADQ

0cos 1111 QsinP0cos 2222 QsinP

0)cos(coscos 112121 sinQPBDUUU

0)cos( 112121 QsinPBsinDUsinUU

Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson

Idea básica

1 4 6

?,0)(

,045)( 2

xxf

xxxf 60 x

Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/Ejemplo

,045)( 2 xxxf 60 x

xxdx

xdffxf

xdx

xdf

xdx

xdfxfxxf

x

xx

rr

r

710)(

)6()6(

52)(

0)(

)()(

6

¿Qué tan buena es esta aproximación?


08.449.157.4

49.014.4/04.2

014.404.2)(

)57.4()57.4(

57.443.16

43.17/10

0710)(

)6()6(

57.4

6

xxx

x

xxdx

xdffxf

xxx

x

xxdx

xdffxf

oldnew

x

oldnew

x


0)4(

408.008.4

08.016.3/24.0

016.324.0)(

)08.4()08.4(08.4

f

xxx

x

xxdx

xdffxf

oldnew

x


,045)( 2 xxxf 60 x

000.4002.0004.306.0002.44

002.4077.0157.3242.0079.43

079.4492.0142.4039.2571.42

571.4429.1000.700.10000.61

)( 1

rr xxdx

dfxfxr

Programa RESCUADMétodo de Newton Raphson/EjemploEl caso de una dimensión:

,045)( 2 xxxf 60 x

xxx

dx

xdfxfx

xdx

xdfxfxxf

rr

xx

r

xx

rr

r

r

1

1)(

)(

0)(

)()(

Programa RESCUADSistemas de ecuaciones no

lineales

f1,...fn, son funciones dadas, x1,...xn, son incógnitas.

Sistema general de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.

0),...,(

.........

0),...,(

0),...,(

1

12

11

nn

n

n

xxf

xxf

xxf

nf

f

f

F...

2

1

nx

x

x

x...

2

1

0)( xF

Programa RESCUADMétodo de Newton-RaphsonAproximación lineal por Taylor:

nn

nnnn

nn

nn

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

)(....

)()()(

...............

)(....

)()()(

)(....

)()()(

11

21

1

222

11

1

111

Programa RESCUADMétodo de Newton-Raphson

Supongamos que tomamos una estimación inicial de la solución x=xr

0)(

....)(

)()(

...............

0)(

....)(

)()(

0)(

....)(

)()(

11

21

1

222

11

1

111

n

xxn

n

xx

nrn

rn

n

xxnxx

rr

n

xxnxx

rr

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

xx

xfx

x

xfxfxxf

rr

rr

rr


Estimación del error x:

0

...

0

0

...

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

)(

...

)(

)(

2

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

n

n

nn

n

n

rn

r

r

x

x

x

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xfx

xf

x

xf

x

xf

xf

xf

xf


n

nn

n

n

r

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xfx

xf

x

xf

x

xf

xJ

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

)(

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

...

)(

)(

)( 2

1

rn

r

r

r

xf

xf

xf

xF

nx

x

x

x...

2

1

Matriz Jacobiana Vector de apartamiento

estimador lineal del error


)(

...

)(

)(

)(......

)(............

)(...

)()(

)(...

)()(

...2

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

rn

r

r

n

nn

n

n

n xf

xf

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xf

x

xfx

xf

x

xf

x

xf

x

x

x

estimador lineal del error


nrn

r

r

rn

r

r

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.........2

1

2

1

1

12

11

Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente

cuadripolos de potencia transferencia de potencia a través de cuadripolos

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