cuadernillo matemáticas

2014

Ciencias Bsicas

Instituto Tecnolgico de Tuxtla Gutirrez

Matemticas

I n s t i t u t o T e c n o l g i c o d e T u x t l a G u t i r r e z

M A T E M T I C A S 1

CAPITULO 1 OPERACIONES BSICAS CON POLINOMIOS

1.1 Antecedentes histricos del algebra. 1.2 Diferencia del algebra con la aritmtica. 1.3 Notacin y terminologa algebraicas. 1.4 Evaluacin de expresiones algebraicas. 1.5 Adicin y sustraccin de polinomios. 1.6 Signos de agrupacin. 1.7 Productos de monomios y polinomios. 1.8 Divisin de polinomios.

CAPITULO 2 PRODUCTOS NOTABLES

2.1. Cuadrado de un binomio. 2.2 Cubo de un binomio. 2.3 Binomio elevado a la potencia n (Tringulo de Pascal). 2.4 Producto de binomios conjugados. 2.5 Producto de binomios con un trmino comn.

CAPITULO 3 FACTORIZACIN

3.1. Factor comn de un polinomio. 3.2. Factorizacin por agrupamiento. 3.3. Factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos. 3.4. Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto. 3.5. Factorizacin de un trinomio, completndolo a trinomio cuadrado perfecto. 3.6. Factorizacin de un trinomio de la forma ax2+bx+c. 3.7. Factorizacin de un polinomio por el mtodo de evaluacin (divisin sinttica).

CAPITULO 4 FRACCIONES ALGEBRAICAS

4.1. Principio fundamental de las fracciones. 4.2. Simplificacin de fracciones algebraicas. 4.3. Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas. 4.4. Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas. 4.5. Fracciones complejas.

CAPITULO 5 EXPONENTES Y RADICALES

5.1. Notacin y leyes de los exponentes. 5.1.1. Simplificacin de fracciones con exponentes de diversos tipos. 5.2. Leyes de los radicales. 5.3. Adicin y sustraccin de radicales. 5.4. Multiplicacin y divisin de radicales.



Captulo 1

OPERACIONES BSICAS CON POLINOMIOS

1.1 Antecedentes histricos del algebra

Siglo XVII aC. Los matemticos de Mesopotamia y Babilonia ya saban resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Adems resolvan tambin, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incgnitas.

Siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenan que ver con la reparticin de vveres, de cosechas y de materiales.

Siglo I dC. Los matemticos chinos escribieron el libro Jiu Zhang Suan Shu (que significa El arte del clculo), en el que plantearon diversos mtodos para resolver ecuaciones de primer y de segundo grado, as como sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. Con su baco (Suan Zi) tenan la posibilidad de representar nmeros positivos y negativos.

Siglo II. El matemtico griego Nicmaco de Gerasa public su Introduccin a la Aritmtica y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los nmeros.

Siglo III. El matemtico griego Diofanato de Alejandra public su Aritmtica en la cual, por primera vez en la historia de las matemticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no slo las ecuaciones de primer grado, sino tambin las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incgnita con un signo que es la primera silaba de la palabra griega arithmos, que significa nmero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos ms tarde sera la teora de ecuaciones. A pesar de lo rudimentario de su notacin simblica y de lo poco elegantes que eran los mtodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del algebra moderna.

Siglo VII. Los hindes haban desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar nmeros positivos y negativos.

Siglo IX. poca en la que trabajo el matemtico y astrnomo musulmn Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del algebra. Al-Jwarizmi investig y escribi acerca de los nmeros, de los mtodos de clculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los mtodos de clculos numricos en oposicin a los mtodos de clculo con baco, adquiri finalmente su sentido actual de procedimiento sistemtico de clculo. En cuanto a la palabra algebra, deriva del ttulo de su obra ms importante, que presenta las reglas fundamentales del algebra, Al-jabr al muqabala.

Siglo X. El gran algebrista musulmn Abu Kamil, contino los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el lgebra seran aprovechados en el siglo XIII por el matemtico italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matemtico musulmn, Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron al arithmetica de Diofanto.



Siglo XIII. En 1202, despus de viajar al norte de frica y a Oriente, donde aprendi el manejo del sistema de numeracin indoarbigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, public el liber abaci (tratado del baco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmtica y el lgebra.

Siglo XV. El matemtico francs Nicols Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los nmeros negativos, introdujo adems una notacin exponencial muy parecida a la que usamos hoy en da, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. En 1489 el matemtico alemn Johann Widmann dEger invent los smbolos + y - para sustituir las letras p y m que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (ms) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

Siglo XVI. En 1525, el matemtico alemn Christoph Rudolff introdujo el smbolo de la raz cuadrada que usamos hoy en da: este smbolo era una forma estilizada de la letra r de radical o raz. Entre 1545 y 1560, los matemticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los nmeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado. En 1557 el matemtico ingles Robert Recorde invent el smbolo de la igualdad, =. En 1591 el matemtico francs Franois Viete desarroll una notacin algebraica muy cmoda, representaba las incgnitas con vocales y las constantes con consonantes.

Siglo XVII. En 1637 el matemtico francs Ren Descartes fusion la geometra y el lgebra inventando la geometra analtica. Invent la notacin algebraica moderna, en la cual las constantes estn representadas por las primeras letras del alfabeto a, b, c, . . . y las variables o incgnitas por las ltimas x, y, z. Introdujo tambin la notacin exponencial que usamos hoy en da.

1.2. Diferencia del lgebra con la aritmtica

Mientras que en la aritmtica usamos nmeros reales, que son especficos, en el lgebra se emplean smbolos, que normalmente son letras del alfabeto, considerados como nmeros generales o literales. Los nmeros literales se utilizan en el lgebra para permitirnos considerar propiedades generales de los nmeros, y no sus atributos.

Algebra es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada del modo ms general posible.

1.3. Notacin y terminologa algebraicas

Los smbolos usados en lgebra para representar las cantidades son los nmeros y las letras. Los nmeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se representan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, e,. . .

Las cantidades desconocidas se representan por las ltimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

LUIS ALBERTOResaltado



Los signos empleados en el lgebra son de tres clases:

1. signos de operacin (suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin).

2. signos de relacin (=, > y



Para determinar el grado de un trmino se suman los exponentes de la parte literal del trmino.

Ejemplo 1.

El trmino 5x2 es de grado 2 El exponente del

El trmino 3xy3 es de grado 4 coeficiente no define

El trmino 56x2z2 es de grado 4. el grado de un trmino.

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relacin a una letra.

El grado absoluto de un polinomio es el grado de su trmino de mayor grado.

Por ejemplo, el polinomio 3x65x4+10x22x+10 es de grado absoluto seis, ya que el trmino de mayor grado es 3x6.

El grado de un polinomio con relacin a una letra es el mayor exponente con el que aparece dicha letra en el polinomio.

Por ejemplo, el polinomio 3x6y5x4y3 +10x2y5 2xy7 es de sexto grado respecto a la literal x, pero de sptimo grado respecto a y.

Dos trminos son semejantes si tienen las mismas literales afectadas por los mismos exponentes.

Por ejemplo, los trminos 3x2z y 7x2z son semejantes, los trminos 5xy3 y 5x3y no son semejantes puesto que el exponente de cada literal es distinto.

Los trminos semejantes pueden ser sumados o restados, no as los trminos que no son semejantes. A la operacin que tiene por objeto convertir en un solo trmino dos o ms trminos semejantes se le da el nombre de reduccin de trminos semejantes.

Ejemplo 2.

Reducir los trminos semejantes de cada expresin algebraica dada.

2 + 32 + 92 + 72 = 2 + 92 + 32 + 72 = 82 + 102










Actividades de aprendizaje 1.1.

a) - Determine el grado absoluto de los siguientes trminos.

1) 5a 2) -3ab3 3) 12xy2 4) 2

332 5) 34xyz2

b) Determine el grado de cada polinomio respecto a la literal indicada.

1) 22 + 63 5 Respecto a la letra a.

2) 22 + 63 5 Respecto a la letra b.

3) 532 + 6323 5 Respecto a la letra a.

4) 532 + 6323 5 Respecto a la letra b.

5) 5 27 + 1432 Respecto a la letra a.

6) 5 27 + 1432 Respecto a la letra x.

c) Determinar el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios.

1) 253 + 223 + 36 2) 532 + 323 45

3) 5 27 + 1432

d) Escribir un polinomio que satisfaga las caractersticas dadas en cada inciso.

1) Trinomio de tercer grado absoluto.

2) Binomio de quinto grado absoluto.

3) De quinto grado respecto a la letra a.

4) De tercer grado respecto a la letra x.



e) Ordenar los siguientes polinomios respecto a cualquier letra en orden ascendente y, luego, en orden descendente.

1) 24 + 45 6 + 22 + 53

2) 12 496 + 124 + 5310

3) 3152 + 14123 865 + 7 794 + 18

f) Reducir los polinomios con trminos semejantes de la misma clase:

1) 1

2 +

1

2

2) 31 31

3)

5

62

1

82

4) 1

3 +

1

6

5) 0.5 + 0.6 + 0.7 0.8 6) +1 + 3+1 + 4+1 + 6+1

7)

1

3

1

6

1

2

1

12

1

9

8) 251 321 + 161

9) 24+2 15+2 + 39+2 10)

3

5 +

1

4

1

2

g) Reducir los polinomios con trminos semejantes de distinta clase

1) 1

2 +

2

3 3 +

1

2 2

2) 5 11 9 + 20 1

3) + + 8 + 2 + 2 19 2 3 3 3 + 3

4) 10 4 32 3 + 2 + 32 2 43 + 732 84 + 214 50

5) 3

251

7

502 +

3

51

1

252 0.21 +

1

52



6) 0.3 + 0.4 + 0.5 0.6 07 0.9 + 3 3 3

7) 0.42 + 31 +

3

82 0.63

2

52 0.22 +

1

43 6

1.4. Evaluacin de expresiones algebraicas

Se llama evaluacin al proceso de calcular el valor numrico de una expresin. El valor numrico de una expresin puede calcularse cuando a cada nmero literal se le asigna un valor especfico.

Al evaluar una expresin algebraica se debe atender la siguiente jerarqua para realizar las operaciones.

Jerarqua de las operaciones

1. Efectuar los clculos dentro de los signos de agrupacin.

2. Multiplicar y dividir en orden de izquierda a derecha.

3. Suma y resta en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo 3.

Hallar el valor numrico de 42 + 223 5 para = 1, = 2, = 3

42 + 223 5 = 4 12 2 3 + 2 12 2 33 5 2

42 + 223 5 = 24 + 108 10

42 + 223 5 = 122

Hallar el valor numrico de 32

4

5

+

para = 2, =

1

3, =

1

6

32

4

5

+

=

3 22

4

5 2 13

16

+

13

2 16

32

4

5

+

= 3

10316

+

1313

32

4

5

+

= 3 20 + +1 = 16



Actividades de aprendizaje 1.2.

a) Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para = 1, = 2, = 3,

= 4, =1

2, =

2

3, =

1

4, = 0.

1) 2 + 2) 4 + 3 7

3) (2 ) 4) 2 2(3 2)

5) 3 (3 ) 6) 5 + 4

7) + 2

8)

42

2+

162

2 1

9) +

+

10) 4 +

3

3

6

6

11) + ( + ) 12) (8

9+

16

)

13) (2 + 3)(4 + 2) 14) 2 + 6(2 + 2) 42

15) 2 + (1

+

1

) + (

1

+

1

) + (

1

+

1

)

2

1.5 Adicin y sustraccin de polinomios

En aritmtica, la suma siempre significa aumento, pero en lgebra la suma es un concepto ms general, pues puede significar aumento o disminucin, ya que hay sumas algebraicas que equivale a una resta en aritmtica. La suma tiene por objeto reunir dos o ms expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresin algebraica (suma).

Para sumar dos o ms expresiones algebraicas se escriben unas a continuacin de las otras con sus propios signos y se reducen los trminos semejantes.

Para restar dos polinomios se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuacin el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los trminos semejantes, si los hay.



Ejemplo 4.

Hallar la suma de 3m-2n+ p, 6m+3n-5 y -m+n+4p+3.

La suma se indica anotando los sumandos dentro de parntesis:

(3m-2n+ p) + (6m+3n-5) + (-m+n+4p+3)

A continuacin se colocan todos los trminos de estos polinomios unos a continuacin de los otros y se reducen los trminos semejantes.

3m-2n+ p+6m+3n-5-m+n+4p+3 = 8m+2n+5p-2

Otra manera de realizar la suma es anotando los polinomios unos debajo de los otros de modo que los trminos semejantes queden en columna; y despus se hace la reduccin.

+3m - 2n + p

+6m + 3n 5 -m + n + +4p + 3

+8m + 2n + 5p 2

Ejemplo 5.

De 3x-2y+z restar 2x+y-3z

La sustraccin se indica anotando el sustraendo en un parntesis precedido de un signo menos. Al sustraendo se le quitan los parntesis y al mismo tiempo se le cambian todos los signos a sus trminos. Se reducen trminos semejantes.

3x - 2y + z - (2x + y - 3z) = 3x - 2y + z - 2x y + 3z = x - 3y + 4z

Al igual que en la adicin, la sustraccin puede hacerse por filas; primero el minuendo y enseguida el sustraendo con todos sus signos cambiados sin olvidar escribir trminos semejantes en la misma columna.

+3x 2y +z 2x y +3z +x 3y +4z

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.3.

a) Hallar la suma de los siguientes polinomios

1) 4 3, 2 6

2) 7 + 7, 3 4

3) 3, 6 3, + 2

4) 2 3 + , 2 , 3 2 3



5) 5 2 + , + 2 3, 5

6) 10 + 5 6, 7 4 + , 9 8

7) 8 2, 2 + 6, 9 7 3

8) +2 + +1, 3+3 1 + +2, + 4+3 5+2

9) 3 3 + 62, 42 + 52 + 3, 3 3 + 62, 23 22 + 3

10) 2

32 +

1

5

1

22,

5

62

1

10 +

1

62,

1

32

3

5 +

1

42

b) Hallar la resta indicada.

1) De + restar

2) De 8 + restar 3 + 4

3) De + + restar +

4) De 5 93 + 62 31 restar 114 + 313 82 19

5) De +1 62 + 83 195 restar 8 + 52 + 95

6) Restar + de + 3 6

7) Restar 2 2 3 de 52 2 + 6

1.6. Signos de agrupacin

Los smbolos de agrupacin, como son los parntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }, se utilizan para sealar de una manera ms sencilla, ms de una operacin.

Cuando se escribe un polinomio dentro de un parntesis, se considera a este como una sola cantidad.

Por ejemplo, la expresin a -(b+c) significa que la suma de b y c se va a sustraer de a.

Eliminar o suprimir los smbolos de agrupacin significa efectuar las operaciones indicada s por ellos. Se eliminan los smbolos de uno en uno, empezando con el que est situado ms adentro, siguiendo el orden propio de las operaciones a efectuar.



Ejemplo 6.

Suprimir los smbolos de agrupacin y reducir trminos semejantes:

42 + [(2 ) + (32 + 2) (32 + 2)]

Eliminamos el parntesis.

42 + [(2 ) + (32 + 2) (32 + 2)] = 42 + [2 + 32 + 2 32 2]

Eliminamos los corchetes.

42 + [(2 ) + (32 + 2) (32 + 2)] = 42 2 + 32 + 2 32 2

Agrupamos los trminos semejantes.

42 + [(2 ) + (32 + 2) (32 + 2)] = (42 2 32) + ( + 2) + (32 2)

Simplificando.

+ [( ) + ( + ) ( + )] =

Ejemplo 7.

Eliminar los smbolos de agrupacin y reducir trminos semejantes:

+ 2( ) + 3{[2 + 3( + 1)]} 3[ + 2(1 + )]

Eliminando parntesis.

= + 2 + 2 + 3{[2 + 3 3 + 3]} 3[ 2 + 2]

Eliminando corchetes.

= + 2 + 2 + 3{2 + 3 + 3 3} + 3 + 6 6

Eliminando llaves.

= + 2 + 2 6 3 + 9 + 9 9 + 3 + 6 6

Agrupando trminos semejantes.

= ( 2 6 + 9 + 3 6) + ( + 2 3 + 9) + (9 + 6)

Simplificando.

+ ( ) + {[ + ( + )]} [ + ( + )] = +




Elimine los smbolos de agrupacin y reduzca trminos semejantes.

1) 3 + (4 2) 9) 12x-(12-5x)+2(3x-4)

2) 7 ( + 7) 10) 2x+[y-(x-y)]

3) 5x-(1-3x) 11) 9y+[3x-(y+4x)]

4) 6-3(2x-1) 12) a-[7-3(4-a)]

5) (2x-3y)-4(x-5y) 13) 4x-[9-4(3-x)]

6) 2(5x-4y)-(7x+y) 14) x-[3x+(4-x)]-[8-3(x-2)]

7) 8(2a-b)-4(b-a) 15) 3y-[x-2(3x-y)]-[2y-(x+3y)]

8) 3 (2 + 3) + ( + ) 16) 6 + 4[ (2 + 3)] [7 + 3( 2)]

1.7. Productos de monomios y polinomios

Las propiedades de los nmeros reales, incluyendo las leyes de los signos y las leyes de los exponentes, se pueden utilizar para hallar el producto de dos o ms monomios, de un monomio y un polinomio, o bien, de dos polinomios. En los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento para llevar a cabo estos productos.

Para poder realizar el producto de monomios y polinomios es importante recordar la ley de los exponentes: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.

()() = +

Ejemplo 8.

Hallar el producto de monomios (53)(2)(722)

Se aplica la propiedad conmutativa

(53)(2)(722) = 5 2 7 3 2 2

Se suman exponentes.



(53)(2)(722) = 70 3+1+2 1+1+2

Se realiza el producto.

()()() =

Ejemplo 9.

Hallar el producto de un monomio por un binomio (32)(2 + 2)

Se aplica la propiedad distributiva.

(32)(2 + 2) = 32 2 + 32 2

Se multiplican los monomios.

(32)(2 + 2) = 2 31+1 2+1 + 3 2+2

(32)(2 + 2) = 623 + 34

Se ordena el resultado.

()( + ) = +

Ejemplo 10.

Hallar el siguiente producto de los binomios (3 + )(4 2)

(4 2) Se considera como un solo termino y se aplica la propiedad distributiva.

(3 + )(4 2) = 3(4 2) + (4 2)

Se realizan los productos.

(3 + )(4 2) = 122 6 + 4 22

Se simplifican trminos semejantes.

( + )( ) =

Ejemplo 11.

Hallar el siguiente producto de polinomios (2 2 + 22)(22 + 22)

Se aplica propiedad distributiva

= 2(22 + 22) 2(22 + 22) + 22(22 + 22) =



Se realizan los productos.

= 24 + 3 222 43 222 + 43 + 422 + 23 44

Se simplifican trminos semejantes.

= 24 44 + 63 33


a) Halle los productos indicados en cada uno de los siguientes problemas:

1) (223)(3xy2) 11) 423 (23 32)

2) (543)(322) 12) 54 (223 52)

3) (74)(22) 13) 223 (32 22)

4) (423)(352) 14) 32 (223 53)

5) (23)2 15) 534 (22 43)

6) (32)4 16) 724 (332 253)

7) (4x5)3 17) 22 (3 2) 32(2 )

8) (5x2)3 18) 3 (2 + 32) 22 (4 )

9) 22 (33 524) 19) 53(22 33) 42 (23 75)

10) 3x3 (22 42) 20) 72 (23 322) 43(32 53)

b) Desarrolle cada uno de los siguientes productos y simplifique el resultado:

1) (3x + 2y) (2x 3y) 11) (4x2 2x + 7)(2x2 + 3x 2)

2) (4x 3y) (2x + 3y) 12) (5x2 + 2x 3)(x2 3x 3)

3) (5x 3y)(3x 2y) 13) (2x 3y)(3x2 + 2xy y2)

4) (7x 4y)(2x 5y) 14) (3x + 7y)(3x2 4xy + 2y2)

5) (4x 7)(3x 4) 15) (4x 3y)(2x2 + 5xy 3y2)

6) (6x 5)(3x 8) 16) (5x y)(3x2 3xy + 2y2)



7) (5x + 4)(4x 5) 17) (2x2 + 3xy 3y2)(x2 3xy + 2y2)

8) (2x 7)(7x + 2) 18) (2x2 xy + 3y2)(3x2 xy 2 y2)

9) (3x + 5)(2x2 3x 5) 19) (5x2 + 2xy + y2)(2x2 xy + 3y2)

10) (4x + 1)(3x2 + 4x 1) 20) (x2 3xy + 2y2)(x2 + 3xy y2)

1.8. Divisin de polinomios

Supngase que P y D son polinomios con el grado de P mayor que el grado de D, y D 0. Entonces existe un polinomio Q, denominado cociente, y un polinomio R, denominado residuo, tales que = + donde R tiene un grado menor que el divisor D, o bien puede ser cero.

Algoritmo para la divisin de polinomios

1. Disponga los trminos en P y D en potencias decrecientes de la variable. Si algn coeficiente en P es cero, deje un espacio o inserte un cero.

2. Divida el primer trmino en P entre el primer trmino en D para obtener el primer trmino del cociente Q.

3. Multiplique D por el primer trmino del cociente y sustraiga este producto de P.

4. Dejando el divisor sin cambios, tome el resultado del paso 3 como el nuevo P y luego repita los pasos 2 y 3.

5. Contine este proceso hasta obtener un residuo cuyo grado sea menor que el de D.

Ejemplo 12.

Halle el cociente y el residuo, si 62 + 5 1 se divide entre 2 1.

3 + 4

2 1 62 + 5 1

62 3

8 1

8 4

+3

62 2 = 3 y 8 2 = 4

= (2 1)3 se resta

(2 1)4 se resta



El resultado de la divisin debe escribirse como:

+

= + +

Ejemplo 13.

Divida 64 62 3 + 8 3 entre 2 + 22 + .

32 2 + 1

22 + 2 64 3 62 + 8 3

64 + 33 62

43 +8 3

43 22 + 4

+22 + 4 3

+22 + 2

3 1

64 22 = 32

43 22 = 2 y 22 22 = 1

= (22 + 2)32

Se resta

= (22 + 2)(2)

Se resta

= (22 + 2)(+1)

Se resta

El resultado de la divisin debe escribirse como:

+

+ = + +

+


En los siguientes ejercicios, halle el cociente y el residuo, si de divide la primera expresin entre la segunda.

1) 6x2 + 5x2 4x + 4, 2x + 3

2) 6x3 5x2 + 7x 1, 3x 1

3) 10x3 + x2 8x + 2, 2x + 1

4) 15x3 8x2 6x + 9, 5x + 4

5) 4x3 2x + 3, 2x 1

6) 4x3 x + 11, 2x + 3



7) 6x3 22 + 9, 2x 4

8) 8x3 + 10x + 1, 4x + 2

9) 2x4 + 3x3 + 9x 7, x2 + 2x 1

10) 2x4 + 7x3 + 2x 1, x2 + 3x 1

11) 3x4 4x2 + 8x + 3, 3x2 + 6x + 2

12) 6x4 + 13x3 + 15x 6, 2x2 x + 2

13) 6x4 + x3 + x2 7x 9, 3x + 2

14) 3x4-7x3-7x2+5x-7, x-3

15) 4x4-11x2+x+2, 2x+3

16) 3x4+11x3-7x-2, 3x+2

17) 6x3+x2-11x-6, 3x+2

18) 10x3+33x2+14x-15, 2x+5

19) 6x4-5x3-8x2-x-6, 2x-3

20) 10x4+11x3-26x2+23x-6, 5x-2

21) x5- 5x4y+20x2y3-16xy4, x2-2xy-8y2

22) 22x2y4- 5x4y2+x5y-40xy5, x2y-2xy2-10y3

23) 24x5 52x4y + 38x3y2 -33x2y3-26xy4 +4y5, 8x3 12x2y 6xy2 +y3

24) x3 + y3 +z3 -3 xyz, x2 + y2 + z2 xy xz yz

25) x5 + y5, x4-x3y + x2y2 xy3 + y4



Captulo 2

PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin realizar la multiplicacin elemento a elemento.

2.1 El cuadrado de un binomio

La regla para elevar un binomio al cuadrado es la siguiente:

El cuadrado del primer trmino ms el doble producto del primer trmino por el segundo ms el cubo del segundo trmino.

La frmula de este producto notable es:

( + ) = + +

NOTA.-Debe identificarse adecuadamente el signo de cada trmino del binomio, para desarrollar correctamente el producto notable.

Ejemplo 1

Desarrolle el siguiente producto notable por simple inspeccin.

(2 + 4)2

Si a=2x y b=4y, entonces:

( + )2 = 2 + 2 + 2

(2 + 4)2 = (2)2 + (2)(2)(4) + (4)2

Simplificando y ordenando en x.

(2 + 4)2 = 42 + 16 + 162

Ejemplo 2


(22 6)2

Si a=2x2 y b=-6y, entonces:



( + )2 = 2 + 2 + 2

(22 6)2 = (22)2 + (2)(22)(6) + (6)2

Simplificando y ordenando en x (prestar atencin a los signos).

(22 6)2 = 44 24 + 362


Escribir, por simple inspeccin, el resultado de:

1) (1 + )2 2) (2 + )2

3) (4 5)2 4) (2

3 +

3

5)

2

5) (4

7

2

53)

2

6) (4 6)2

7) ( + 33 4 )2

8) (53 +2

74)

2

9) (8 5)2 10) (3

8

2

53)

2

2.2 El cubo de un binomio

La regla para elevar un binomio al cubo es la siguiente:

El cubo del primer trmino, ms el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo.

La frmula de este producto notable es:

( + ) = + + +

NOTA.-Debe identificarse adecuadamente el signo de cada trmino del binomio, para desarrollar correctamente el producto notable.



Ejemplo 3


(3 + 2)3

Si a=3x y b=2y, entonces:

( + )3 = 3 + 32 + 33 + 3

(3 + 2)3 = (3)3 + (3)(3)2(2) + (3)(3)(2)2 + (2)3

Simplificando:

(3 + 2)3 = 273 + (3)(92)(2) + (3)(3)(42) + 83


(3 + 2)3 = 273 + 542 + 362 + 83

Ejemplo 4


(2 3)3

Si a=x2 y b=-3y, entonces:

( + )3 = 3 + 32 + 33 + 3

(2 3)3 = (2)3 + (3)(2)2(3) + (3)(2)(3)2 + (3)3

Simplificando (atencin con los signos)

(2 3)3 = 6 + (3)(4)(3) + (3)(2)(92) 273


(2 3)3 = 6 94 + 2722 273



1) (1 + )3 2) (2 + )3

3) (4 5)3 4) (2

3 +

3

5)

3



5) (4

7

2

53)

3

6) (4 6)3

7) ( + 33 4 )3

8) (53 +2

74)

3

9) (8 5)3 10) (3

8

2

53)

3

2.3 Binomio elevado a la potencia n (Tringulo de Pascal)

Elevar un binomio a la potencia n se puede obtener por medio del tringulo de Pascal el cual se presenta en la siguiente figura.

Tringulo de Pascal

Para obtener este tringulo es necesario comenzar con tres elementos iguales a 1 como se muestra a continuacin.

El segundo rengln (comenzamos a numerar los renglones de cero) lo obtenemos poniendo en las orillas el valor de 1.

El trmino intermedio se obtiene de la suma de los nmeros que se encuentran encima.

Poner valores de 1 Poner valores de 1



Para este caso el lugar que tenemos vaco se llenara con la suma de 1+1 = 2, de tal manera que tenemos:

El siguiente rengln nuevamente colocamos los valores de uno en las orillas.

Para ambos espacios vacos se tiene que sobre estos espacios los valores que estn encima son 1 y 2 por lo que tenemos 1+2=3 quedando de la siguiente manera:

As podemos continuar hasta obtener el tringulo tan grande como lo necesitemos.



A partir del tringulo de pascal podemos desarrollar la potencia de un binomio a la potencia n con los siguientes pasos:

Un binomio la potencia n tiene la forma: ( + ).

Ejemplo 5.

A continuacin se presenta un ejemplo para una potencia 4, es decir n=4.

( + )4

1.- Al elevar el binomio a la potencia n, se obtendr un polinomio con n+1 elementos. Para nuestro ejemplo n vale 4, por lo que el resultado tendr 4+1 elementos; de tal forma que debemos escribir 5 espacios de la siguiente manera:

( + )4 = ___________ + ___________ + ___________ + ___________ + ___________

2.- Colocamos en cada espacio el producto de los trminos del binomio. En nuestro ejemplo tenemos a y b.

( + )4 = + + + +

3.- Empezamos por colocar los exponentes primero a la primer variable empezando del exponente mximo en este caso "4" debido a que n=4 reduciendo uno en cada espacio hasta llegar al ltimo en "0".

( + )4 = 4 + 3 + 2 + 1 + 0

4.- Ahora empezamos con la segunda variable del binomio, colocando los exponente de manera inversa empezando ahora de menor a mayor, en este caso empezando de "0" y sumando uno en cada espacio hasta llegar hasta "4" en el ltimo lugar.

( + )4 = 40 + 31 + 22 + 13 + 04

5.- Ahora, utilizando el tringulo de Pascal, colocamos en cada espacio el nmero que corresponda al rengln del tringulo con el que se relaciona, en esta caso, como el exponente es "4", utilizamos los nmero del rengln "4". Debemos tener cuidado al numerar los renglones; debemos empezar de cero.

Observamos que en el rengln 4 tenemos los nmeros 1, 4, 6, 4, 1; los cuales debemos colocar en cada uno de los espacios de la siguiente manera:

( + )4 = 40 + 31 + 22 + 13 + 04

Rengln 0

Rengln 1

Rengln 2

Rengln 3

Rengln 4



6.- Ahora simplificamos la expresin (recordemos que cualquier trmino elevado a la potencia cero es igual a uno).

( + )4 = 40 + 31 + 22 + 13 + 04

( + )4 = 4 + 3 + 22 + 3 + 4

Ejemplo 6.

Escribir por simple inspeccin, el resultado de:

(2 + 4)5

Para este ejercicio n=5, por lo que colocamos n+1 espacios.

(2 4)5 = ___________ + ___________ + ___________ + ___________ + ___________ + ___________

Colocamos en cada espacio el producto de cada trmino del binomio.

(2 4)5 = (2)(4) + (2)(4) + (2)(4) + (2)(4) + (2)(4)

Colocamos los exponentes a cada uno de los trminos; el primero ascendente y el segundo descendente.

= (2)5(4)0 + (2)4(4)1 + (2)3(4)2 + (2)2(4)3 + (2)1(4)4 + (2)0(4)5

Utilizamos el tringulo de Pascal para poner cada uno de los factores de los trminos.

El rengln 5 tiene los trminos 1, 5, 10, 10, 5 y 1; los cuales colocaremos en cada uno de los trminos.

= 1(2)5(4)0 + 5(2)4(4)1 + 10(2)3(4)2 + 10(2)2(4)3 + 5(2)1(4)4 + 1(2)0(4)5

Simplificamos la expresin.

(2 4)5 = 325 3204 + 128032 256023 + 25604 10245


a) Escribir, por simple inspeccin, el resultado de:

Rengln 0

Rengln 1

Rengln 2

Rengln 3

Rengln 4

Rengln 5



1 ( + )4 2 (2 + 3)4

3 (4 5)5 4 (8 5)5

5 (4

7

2

53)

4

6 (53 +2

74)

3

b) Halle los primeros cuatro trminos en el desarrollo binomial de (32

5 + 4

5 )25

c) Obtenga los ltimos dos trminos del desarrollo de (41 3)15

d) Obtenga el quinto trmino del desarrollo de (32 + )9

e) Obtenga el sptimo trmino del desarrollo de (1

2 2)

10

2.4 Producto de binomios conjugados

Un binomio conjugado es el binomio de la forma:

( + )( )

Se observa que ambos binomios tienen los mismos elementos con signos diferentes.

Al realizar el producto de binomios multiplicando cada elemento del primer binomio por cada elemento del segundo binomio se tiene:

( + )( ) = 2 + 2

Simplificando se tiene:

( + )( ) =

De tal forma que el producto de binomios conjugados lo podemos obtener con la siguiente regla:

El cuadrado del primer trmino, menos el cuadrado del segundo trmino.

Ejemplo 7

Desarrolle el siguiente producto notable por simple inspeccin:

( + )( )

Para este caso a=5x y b=3y



Aplicando la regla para productos notables se tiene:

(5 + 3)(5 3) = (5)2 (3)2

Simplificando:

( + )( ) =

Ejemplo 8

Desarrolle el siguiente producto notable por simple inspeccin:

( + )( )

Para este caso a=3mn y b=4

Aplicando la regla para productos notables se tiene:

(3 + 4)(3 4) = (3)2 (4)2

Simplificando:

( + )( ) =

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 2.4


1) (5 + 4)(5 4) 2) (3 + 7)(3 7)

3) (7 + 3)(7 + 3) 4) (4 + 9)(4 + 9)

5) (5

4

3

4) (

3

4 +

5

4) 6) (

3

7

5

8) (

5

8 +

3

7)

7) (3 + 8)(3 8) 8) (92 34)(34 92)

9) (3 + 3)(3 + 3) 10) (324 32)(324 32)



Producto de los trminos no comunes

Suma algebraica de los trminos no comunes Multiplicar por el trmino comn

Cuadrado del trmino comn

2.5 Producto de binomios con un trmino comn

El producto de binomios con un trmino comn tiene la forma:

( + )( + )

Al realizar el producto de binomios con un trmino comn multiplicando cada elemento del primer binomio por cada elemento del segundo binomio se tiene:

(a + b)(a + c) = a2 + ac + ba + bc

Factorizando obtenemos:

( + )( + ) = + ( + ) +

De tal forma que el producto de binomios con un trmino comn lo podemos obtener con la siguiente regla:

El cuadrado del trmino comn, ms la suma algebraica de los trminos no comunes multiplicada esta por el trmino comn, ms el producto de los trminos no comunes

( + )( + ) = + ( + ) +

Ejemplo 9

Desarrolle el producto notable ( 2)( + )

Para este producto de binomios el trmino comn a=x

Trminos NO comunes b=-2y c=y Entonces:

( 2)( + ) = ()2 + (2 + ) + (2)()

Simplificando:

( )( + ) =

Ejemplo 10

Desarrolle el producto notable (4 8)(4 2)

SOLUCION

Trmino comn a=4w

Trminos NO comunes b=-8 c=-2 Entonces:



(4 8)(4 2) = (4)2 + (8 2)4 + (8)(2)

Simplificando:

(4 8)(4 2) = +



1) ( + 1)( + 2) 2) ( 8)( + 2)

3) ( 4)( 6) 4) (2 + 3)(2 + 2)

5) (8 5)(8 ) 6) (4 2)(2 2)

7) (22 33)(22 23) 8) (2 + 83)(83 + 3)

9) (12 9)(9 2) 10) (4 2)(4 5)



Captulo 3

FACTORIZACIN

Factorizar o descomponer en factores una expresin algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

No todos los polinomios se pueden descomponer en dos o ms factores.

3.1 Factor comn de un polinomio

Para poder realizar este tipo de factorizacin necesitamos determinar el Mximo Comn Divisor (MCD)

El mximo comn divisor (MCD) de dos o ms expresiones algebraicas, es la expresin algebraica de mayor coeficiente numrico y de mayor grado que est contenida exactamente en cada una de ellas.

A continuacin se presenta algunos ejemplos para determinar el MCD.

Ejemplo 1

Determinar el MCD de las siguientes expresiones:

4843 60232

Obtenemos la factorizacin en factores primos de los nmeros 48 y 60.

48 2 60 2

24 2 30 2

12 2 15 3

6 2 5 5

3 3 1

1

El MCD de estos dos nmeros se obtiene al multiplicar los factores comunes.

(2)(2)(3) = 12

De las variables se toma la variable y el MENOR exponente entre ellos:

De a4 y a2 es a2

De b y b3 es b



De c3 y c2 es c2

De tal manera que el MCD de las expresiones 4843 y 60232 es 1222

El MCD nos sirve para factorizar el polinomio como un producto de su MCD y otro polinomio ms sencillo que el original.

Ejemplo 2

Factorizar la expresin algebraica 2032 4525

El MCD de 20 y 45 es 5.

El MCD de a3 y a2 es a2.

El MCD de b2 y b5 es b2.

El MCD de 2032 4525 es522.

Utilizando el MCD obtenido se escribe como primer factor y se calcula el segundo factor. Entonces la factorizacin queda como:

2032 4525 = (522)(4 93)


Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 142 42 2) 24343 + 1842

3) 30325 + 12532 4) 30357 22624

5) 34672 30234 6) 65353 104252

7) 90584 30563 8) 160755 + 40459

9) 1121194 + 14411612 10) 488105 80867

3.2 Factorizacin por agrupamiento

A menudo, los trminos en un polinomio se pueden agrupar en tal forma que cada grupo tiene un factor comn. Para factorizar esos polinomios, se comienza agrupando aquellos



trminos que tengan un factor comn y luego se aplica la ley distributiva para completar la factorizacin.

Ejemplo 3

Factorizar la expresin algebraica + .

Los dos primeros trminos tienen el factor comn x y los dos ltimos tienen el factor comn y. Por tanto, se agrupan el primero y el segundo trminos, as como los dos ltimos, obtenindose:

+ = ( + ) ( + )

+ = ( + ) ( + )

+ = ( + )( )

Ejemplo 4

Factorizar la expresin algebraica 8 4 14 + 7

Los dos primeros trminos tienen el factor comn 4x y los dos ltimos tienen el factor

comn 7. Por tanto, se agrupan el primero y el segundo trminos, as como los dos ltimos, obtenindose:

8 4 14 + 7 = (8 4) + (14 + 7)

8 4 14 + 7 = 4(2 ) 7(2 )

8 4 14 + 7 = (4 7)(2 )


Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por agrupamiento:

1) 15 6 + 5 2 2) 6 + 2 + 12 + 4

3) 10 + 15 + 4 + 6 4) 14 49 + 6 21

5) 6 9 16 + 24 6) + 4 4

7) 7 + 28 + 4 8) 6 + 4 + 48 + 32

9) 40 56 + 25 35 10) 12 10 54 + 45



3.3 Factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos

En la seccin 2.4 se desarroll el producto notable ( + )( ) = 2 2 y de manera recproca se puede enunciar la siguiente regla para factorizar una diferencia de cuadrados.

Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo, a continuacin se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplo 5

Factorizar la diferencia de cuadrados z2 9.

La raz cuadrada de z2 es z

La raz cuadrada de 9 es 3.

A continuacin se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo.

= ( + )( )

Ejemplo 6

Factorizar la diferencia de cuadrados 42 ( + )2

La raz cuadrada de 42 es 2x

La raz cuadrada de ( + )2 es ( + ).

A continuacin se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo.

42 ( + )2 = [2 + ( + )][2 ( + )]

( + ) = ( + )( )


Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) 92 ( + )2 2) 254 (3 + )2 3) (42)2 (2 + 2)2

5) 25

162

9

162 5) 9

22 6422 6) 368 (2 + 4)2

3.4 Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto.



Un trinomio es cuadrado perfecto (TCP) cuando se obtiene de elevar al cuadrado un binomio.

Para conocer si un trinomio ordenado con respecto a una letra es un trinomio cuadrado perfecto (TCP) se debe verificar que cumpla las siguientes condiciones:

1. Se verifica si el primero y tercero trminos son cuadrados perfectos y positivos, es decir, que tienen raz cuadrada exacta.

2. Se verifica si el segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas.

Es importante recordar que para extraer la raz cuadrada de un monomio se extrae la raz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra entre 2.

Ejemplo 7

Verificar si el trinomio 92 + 12 + 42 es un trinomio cuadrado perfecto (TCP)

Primera condicin: Verificar si el primero y tercero trminos son cuadrados perfectos y positivos.

La raz cuadrada de 92 se obtiene al extraer la raz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de la variable entre 2.

De tal manera que la raz cuadrada de 92 se obtiene de la siguiente manera:

9 = 3

2 = 2 2 =

La raz cuadrada del primer trmino es 3x.

Y se obtiene la raz cuadrada de 42

4 = 2

2 = 2 2 =

La raz cuadrada del tercer trmino es 2y.

El primer y tercer miembro tiene raz cuadrada exacta por lo que cumple la primera condicin.

Segunda condicin: Verificar si el segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas del primer y tercer trmino.

El segundo trmino es 12xy.

12 = (2)(3)(2)

Doble producto

Raz cuadrada del segundo elemento

Raz cuadrada del primer elemento



Elevamos al cuadrado la expresin

Raz cuadrada del 2do trmino

Signo del segundo trmino

Raz cuadrada del 1er trmino

Simplificando lo anterior tenemos:

12 = 12 Cumple la segunda condicin

Debido a que ambas condiciones se cumplen se tiene que 92 + 12 + 42 es un trinomio cuadrado perfecto.

Y esto es cierto debido a que 92 + 12 + 42 se obtiene al elevar al cuadro el binomio (3 + 2)2, es decir:

(3 + 2)2 = 92 + 12 + 42

3.4.1 Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es necesario realizar los siguientes pasos:

1. Se extrae la raz cuadrada al primero y tercer trminos del trinomio 2. Se separan estas races por el signo del segundo trmino. 3. Se eleva toda la expresin al cuadrado.

Ejemplo 8

Factorizar el trinomio 2 + 2 + 2

Comprobamos si es un TCP.

Raz cuadrada del primer trmino (x2) es x.

Raz cuadrada del tercer trmino (y2) es y.

Verificamos si el segundo trmino (2xy) es el doble producto de sus races cuadradas del primer y tercer trmino.

2 = 2()() Si es un TCP

Despus de comprobar que se trata de un TCP aplicamos la regla de factorizacin y se obtiene:

2 + 2 + 2 = ( + )2

Ejemplo 9

Factorizar el trinomio 2 + +2

4

Comprobamos si es un TCP.



Elevamos al cuadrado la expresin

Raz cuadrada del 2do trmino

Raz cuadrada del 1er trmino

Signo del segundo trmino

Raz cuadrada del primer trmino (m2) es m.

Raz cuadrada del tercer trmino (2

4) es

2.

Verificamos si el segundo trmino (bm) es el doble producto de sus races cuadradas del primer y tercer trmino.

= 2() (

2)

= Si es un TCP

Despus de comprobar que se trata de un TCP aplicamos la regla de factorizacin y se obtiene:

2 + +2

4= ( +

2

4)

2


Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

1 2 + 10 + 25 2 2 16 + 64

3 9

252 +

9

10 +

9

16 4

4

92 +

9

16

5 9

254 +

36

52 + 36 6 6

2 8 + 4

7 9

646 +

7

83 +

49

36 8

64

96 + 165 + 94

9 36

494

36

492 +

9

49 10

49

814 +

10

92 +

25

49



Trinomio Cuadrado Perfecto

3.5 Factorizacin de un trinomio, completndolo a trinomio cuadrado perfecto.

Si al intentar factorizar un trinomio, se comprueba que no es trinomio cuadrado perfecto, puede completarse a trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando la expresin algebraica necesaria, lo que permitir su posterior factorizacin.

Ejemplo 10

Factorizar el trinomio 4 + 22 + 4

Comprobamos si se trata de un TCP

Raz cuadrada del primer trmino (x4) es x2.

Raz cuadrada del segundo trmino (4) es 2.

Verificamos si el segundo trmino (x2y2) es el doble producto de sus races cuadradas del primer y tercer trmino.

22 2(2)(2)

22 2(2)(2) NO es un TCP

Para completar el TCP, es necesario sumar y restar al trinomio, en este caso 22

Para que fuese un trinomio cuadrado perfecto debera ser: 4 + 222 + 4, es decir falta un factor 22.

Para ello sumamos el factor que necesitamos y de la misma forma le restamos esa misma cantidad (sumar cero).

4 + 22 + 4 = 4 + 22 + 4 +

4 + 22 + 4 = 4 + 222 + 4

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto como se vio en la seccin anterior nos queda:

4 + 22 + 4 = (2 + 2)2

NOTA: Esta expresin es posible seguir factorizando (Ver tema 3.3.- Factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos) de tal manera que:

4 + 22 + 4 = (2 + 2)2 22 = (2 + 2)2 ()2

Factorizando como una diferencia de cuadrados perfectos el cual nos dice que:

2 2 = ( + )( )

Para este ejemplo = 2 + 2 y = de tal manera que:



Trinomio Cuadrado Perfecto

4 + 22 + 4 = (2 + 2)2 ()2 = [(2 + 2) + ()][(2 + 2) ()]

Ordenando tenemos:

+ + = ( + + )( + )

Ejemplo 11

Factorizar el trinomio 8148 292248 + 25616

Verificamos si se trata de un TCP

Raz cuadrada del primer trmino (81a4 b8) es 9 a2b4.

Raz cuadrada del segundo trmino (25616) es 168.

Verificamos si el segundo trmino (292a2b4x8) es el doble producto de sus races cuadradas del primer y tercer trmino.

292248 2(924)(168)

292248 288248 NO es un TCP

Para completar el TCP, es necesario sumar y restar al trinomio, en este caso 4248

8148 292248 + 25616 +

8148 288248 + 25616 4248

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto como se vio en la seccin anterior y nos queda:

8148 292248 + 25616 = (924 168)2 4248

8148 292248 + 25616 = (924 168)2 (224)2

NOTA: Esta expresin es posible seguir factorizando como una diferencia de cuadrados el cual nos dice que:

2 2 = ( + )( )

Para este ejemplo a = 924 168 y = 224 de tal manera que:



8148 292248 + 25616 = [(924 168) + (224)] [(924 168) (224)]

+ = ( + )( )


Factorizar los siguientes trinomios cuadrados.

1) 8 + 34 + 4 2) 4 62 + 1

3) 164 2522 + 94 4) 364 10922 + 494

5) 48 5344 + 498 6) 498 + 7644 + 1008

7) 16 94 + 8 8) 225 + 52 + 4

9) 498 + 75422 + 19644 10) 8148 292248 + 25616

3.6 Factorizacin de un trinomio de la forma + +

Ahora se buscaran los factores del polinomio 2 + + que tengan la forma:

( + )( + )

Y se supondr que todos los coeficientes son enteros. Para lograr esto en forma eficiente, es til escribir los factores de a por pares y los factores de c por pares, ya que deber cumplirse que:

1. Dos nmeros multiplicados (pr) den el primer factor (a), es decir, pr = a 2. Dos nmeros multiplicados (qs) den el tercer factor (c), es decir, qs = c 3. La suma del producto de los nmeros obtenidos den el segundo factor (b): (ps+qr) = b

Estas relaciones parecen complicado para obtener, sin embargo, es til tomar en cuenta las siguientes consideraciones para facilitar el proceso.

Es til conocer el patrn de signos ya que de esa manera se eliminan algunas de las posibilidades. Adems, se puede suponer que a > 0, ya que siempre es posible, si se requiere,

factorizar un 1, es decir si el primer factor es negativo se recomienda multiplicar todo el trinomio por -1 para facilitar el procedimiento.

Por ejemplo

52 + 8 + 4 = (52 8 4)

Si c > 0 (si C es positivo), los signos en cada uno de los factores de ax2 + bx + c deben tener el mismo signo para que C de positivo:



(+)(+) si > 0

()() si < 0

Sin embargo, si c < 0 (Si C es negativo), los signos en cada factor deben ser diferentes:

(+)() ()(+)

Ejemplo 12

Factorice el trinomio 2 + 5 + 6

Se deben escribir dos factores de la forma:

( + )( + )

Ya que a=1, b = 5 y c = 6 son positivos.

Primero se buscan las posibles factorizaciones de c = 6 (Estos factores sern q y s)

6 = (1)(6)

6 = (2)(3)

Tambin se buscan los factores de a=1 (Estos factores sern p y r) para este caso no es complicado debido a que:

1 = (+1)(+1)

1 = (-1)(-1)

Despus de los factores obtenidos se buscan aquellos que cumplan la condicin (ps+qr)=b de tal manera que para este caso se buscan los factores (ps+qr)=5:

(+1)(+2) + (+1)(+3) = 5

Se completa la factorizacin, escribiendo en cada espacio los nmeros encontrados.

2 + 5 + 6 = (1 + 2)(1 + 3)

Simplificando se tiene:

+ + = ( + )( + )

Ejemplo 13

Factorice el trinomio 5 + 5 14

Para este ejercicio se tiene que a=1, b = 5 y c = 14.




( + )( + )

Se observa que debe ser un elemento de la factorizacin con signo positivo y otro con signo negativo debido a que c=-14 y para obtener el signo negativo de c la multiplicacin debe ser de signos contrarios.

Se buscan las posibles factorizaciones de -14

-14 = (+1)(-14) -14 = (+2)(-7)

-14 = (-1)(+14) -14 = (-2)(+7)

Tambin se buscan los factores de a=1 (Estos factores sern p y r) para este caso no es complicado debido a que:

1 = (+1)(+1)

1 = (-1)(-1)

Despus de los factores obtenidos se buscan aquellos que cumplan la condicin (ps+qr)=b de tal manera que a prueba y error se obtiene:

(+1)(+7) + (+1)(2) = +5

Escribimos las factorizacin:

5 + 5 14 = (1 + 7)(1 2)

Simplificando:

+ = ( + )( )

Ejemplo 14

Factorice el trinomio. 152 + 11 12

Para este ejercicio se tiene que a=15, b = 11 y c = 12.


( + )( )

Se observa que debe ser un elemento de la factorizacin con signo positivo y otro con signo negativo debido a que c=-12 y para obtener el signo negativo de c la multiplicacin debe ser de signos contrarios, estos valores que se obtienen sern q y s.

Se buscan las posibles factorizaciones de -12

12 = (+1)(-12) Estos factores

12 = (-1)(+12) son los valores



12 = (+2)(-6) q y s para la

12 = (-2)(+6) factorizacin

12 = (+3)(-4)

12 = (-3)(+4)

Se observa que para este ejemplo el valor de a=15 por lo que tambin se deben buscar sus factores. Se buscan las posibles factorizaciones de 15 para obtener los valores de p y r.

15 = (+1)(+15) Estos factores

15 = (-1)(-15) son los valores

15 = (+3)(+5) p y r para la

15 = (-3)(-5) factorizacin

Adems se debe cumplir que (ps+qr)=b siendo b=11. Al intentar diversas posibilidades se ve que:

(+3)(3) + (+4)(+5) = +5

9 + 20 = +11

De tal manera que la factorizacin real es:

+ = ( + )( )

Es conveniente poder determinar si un trinomio cuadrtico es factorizable sin conocer los factores. Ms adelante, al trabajar con la frmula cuadrtica, se mostrar que, si a, b y c son

enteros, + + es factorizable con coeficientes enteros si y slo si es un cuadrado perfecto.

En el primer ejemplo, a = 1, b = 5 y c = 6, por lo que:

2 4 = 52 4(1)(6) = 25 24 = 1

Y 1 es un cuadrado perfecto (tiene raz cuadrada exacta).

En el ejemplo 2, a = 1, b = 5 y c = 14, por lo que:

2 4 = 52 4(1)(14) = 25 + 56 = 81

Y 81 es un cuadrado perfecto, su raz es 9.

En el ejemplo 3, a = 15, b = 11 y c = 12, por lo que



2 4 = 112 4(15)(12) = 121 + 720 = 841

Y 841 es un cuadrado perfecto, su raz es 29.

Ejemplo 15

Es factorizable el trinomio 72 12 + 4?

a= 7, b =12 y c = 4, por lo que:

2 4 = (12)2 4(7)(4) = 144 112 = 32

Y 32 no tiene raz cuadrada exacta, por lo que 32 no es cuadrado perfecto y el trinomio no es factorizable con coeficientes enteros.


Factorizar los siguientes polinomios.

1 2 + 11 + 28 2 2 + 7 8

3 2 15 + 54 4 32 + 4 20

5 102 + 37 36 6 202 + 76 + 48

7 1402 + 374 240 8 1052 + 503 450

9 4 102 + 16 10 142 43 21

3.7 Factorizacin de un polinomio por el mtodo de evaluacin. (Divisin Sinttica)

La divisin sinttica se puede utilizar para dividir una funcin polinmica por un binomio de la forma x-c. Esto nos permite, por ejemplo hallar el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio por x-c. Adems, por el teorema del resto al aplicar la divisin sinttica se obtiene el valor funcional del polinomio. Tambin permite encontrar los factores y ceros de un polinomio. Al encontrar los ceros de un polinomio, ste se puede factorizar completamente y expresar como el producto de sus factores lineales. En resumen, la divisin sinttica juega un papel preponderante en la divisin de un polinomio por un factor lineal de la forma x-c.



Ejemplo 16

Factorizar por divisin sinttica el siguiente polinomio:

62 + 3 + 30

Debemos ordenar el polinomio por el grado de cada variable de mayor a menor quedando de la forma:

6 + 30

Tomamos el coeficiente de cada uno de los trminos del polinomio

+3 2 1 +

+1 -6 -1 +30 Coeficientes ordenados

Multiplicamos los extremos (+1)(+30) = +

Encontramos los mltiplos de 60.

(+)(+60) +(2)(+30) (+3)(+20) (+4)(+15) (+5)(+12) (+6)(+10)

(1)(60) (2)(30) (3)(20) (4)(15) (5)(12) (6)(10)

Tomamos nuevamente los coeficientes de cada uno de los trminos del polinomio ordenado.

+1 -6 -1 +30

Seleccionamos UNO de los mltiplos encontrados (cualquiera). Vamos a intentar con el factor 1 y los escribimos de la siguiente manera:

+1 -6 -1 +30 +1

Bajamos el primer coeficiente:

+1 -6 -1 +30 +1

+1



Multiplicamos el coeficiente que se baj por el factor seleccionado. Para este caso (+1)(+1)=+1 y el resultado lo escribimos de la siguiente manera.

+1 -6 -1 +30 +1

+1

+1

Realizamos la suma.

+1 -6 -1 +30 +1

+1

+1 -5

Multiplicamos el resultado de la suma por el coeficiente seleccionado (-5)(+1)=-5 y lo escribimos de la siguiente manera:

+1 -6 -1 +30 +1

+1 -5

+1 -5

Realizamos la suma:

+1 -6 -1 +30 +1

+1 -5

+1 -5 -6

Multiplicamos el resultado de la suma por el coeficiente seleccionado (-6)(+1)=-6 y lo escribimos de la siguiente manera:

+1 -6 -1 +30 +1

+1 -5 -6

+1 -5 -6

Realizamos la suma:

+1 -6 -1 +30 +1

+1 -5 -6

+1 -5 -6 +24



El resultado final es 24, esperamos como resultado CERO por lo que esta seleccin no fue adecuada.

Debemos seleccionar un nuevo factor

(+1)(+60) (+)(+30) (+3)(+20) (+4)(+15) (+5)(+12) (+6)(+10)

(1)(60) (2)(30) (3)(20) (4)(15) (5)(12) (6)(10)

Vamos a intentar con el factor 2 y los escribimos de la siguiente manera:

+1 -6 -1 +30 +2

Repetimos todos los pasos anteriormente descritos quedndonos de la siguiente manera:

+1 -6 -1 +30 +2

+2 -8 -18

+1 -4 -9 +12

El resultado final es 12, esperamos como resultado CERO por lo que esta seleccin no fue adecuada.

Vamos a intentar con el factor -2 y los escribimos de la siguiente manera:

+1 -6 -1 +30 -2

-2 +16 -30

+1 -8 +15 0



Tenemos un factor adecuado el cual es -2. De tal manera que el polinomio original se puede escribir de la siguiente manera:

+ 1 + + + = ( )( 1 + 2 + + + )

Siendo C el factor encontrado; b, c, d, e los coeficientes obtenidos en las divisin sinttica.

+1 -6 -1 +30 -2

-2 +16 -30

+1 -8 +15 0

3 62 + 30 = [ ()][31 + ()21 + 11]

Escribimos el polinomio de la siguiente manera:

3 62 + 30 = ( + 2)(2 8 + 15)

Nuevamente aplicamos la divisin sinttica con el polinomio de segundo grado que obtuvimos.

Buscamos los factores de 15 los cuales son:

3 62 + 30 = ( + 2)(+2 + )

(+1)(+15) (+3)(+5)

(1)(15) (3)(5)

Tomamos nuevamente los coeficientes de cada uno de los trminos del polinomio ordenado.

+1 -8 +15 +3

+3 -15

+1 -5 0



De tal manera tenemos:

3 62 + 30 = ( + 2)(2 8 + 15) = ( + 2)( 3)( 5)

+ = ( + )( )( ) POLINOMIO FACTORIZADO

Ejemplo 17

Factorizar el polinomio 4 23 72 + 8 + 12

Factores de 12

(+1)(+12) (+2)(+6) +(3)(+4)

()(12) (2)(6) (3)(4)

Tomamos el factor -1

+1 -2 -7 +8 12 -1

-1 +3 +4 -12

+1 -3 -4 +12 0

Nos queda:

4 23 72 + 8 + 12 = ( + 1)(+13 32 4 + 12)

Realizamos nuevamente la divisin sinttica. Retomamos los factores de 12

(+1)(+12) +(2)(+6) (+3)(+4)

(1)(12) ()(6) (3)(4)

Tomamos el factor -2

+1 -3 -4 +12 -2

-2 +10 -12

+1 -5 +6 0

4 23 72 + 8 + 12 = ( + 1)( + 2)(+12 5 + 6)



Encontramos los factores de 6 (1)(6), (-1)(-6), (2)(3), (-2)(-3). Tomamos el factor 2.

+1 -5 +6 +2

+2 -6

+1 -3 0

4 23 72 + 8 + 12 = ( + 1)( + 2)(+12 5 + 6) = ( + 1)( + 2)( 2)( 3)

+ + = ( + )( + )( )( ) POLINOMIO FACTORIZADO

Ejemplo 18

4 152 10 + 24

Factores de +24.

(+1)(+24) (+2)(+12) (+3)(+8) (+4)(+6)

(1)(24) (2)(12) (3)(8) (4)(6)

+1 0 -15 -10 +24 +1

+1 +1 -14 -24

+1 +1 -14 -24 0

4 152 10 + 24 = ( 1)(+13 + 12 14 24)

Factores de -24.

(+1)(24) (+2)(12) (+3)(8) (+4)(6)

(1)(24) (2)(12) (3)(8) (4)(6)

+1 +1 -14 -24 -2

-2 +2 +24

+1 -1 -12 0

4 152 10 + 24 = ( 1)( + 2)(12 1 12)

En este momento se puede emplear otro mtodo de factorizacin o continuar con divisin sinttica.



Continuando por el mtodo de divisin sinttica se encuentra los factores de -12.

(+1)(12) (+2)(6) (+3)(4)

(1)(+12) (2)(+6) (3)(+4)

+1 -1 -12 -3

-3 +12

+1 -4 0

+ = ( )( + )( + )( ) POLINOMIO FACTORIZADO


Factorizar los siguientes polinomios.

1) 84 183 752 + 46 + 120

2) 5 213 + 162 + 108 144

3) 5 303 252 36 180

4) 25 84 + 3 12

5) 6 324 + 183 + 2472 162 360

6) 6 85 + 64 + 1033 3442 + 396 144



R E S P U E S T A S

CAPTULO 1.- OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS


a)

1) Grado absoluto 1 2) Grado 3 3) Grado absoluto 2 4) Grado absoluto 3 5) Grado absoluto 4

b)

1) Grado 2 respecto a la letra a. 2) Grado 3 respecto a la letra b.

3) Grado 3 respecto a la letra a. 4) Grado 5 respecto a la letra b.

5) Grado 3 respecto a la letra a. 6) Grado 7 respecto a la letra x

c)

1) El grado absoluto del polinomio es 6 ya que el trmino de mayor grado es 3b6

2) El grado absoluto del polinomio es 5 ya que el trmino de mayor grado es -4b5

3) El grado absoluto del polinomio es 7 ya que el trmino de mayor grado es -2ax7

d)

Existe una infinidad de soluciones.



e)

Existen diferentes soluciones.

f)

1) a 2) 0 3) 23

242 4)

1

2 5) m

6) 14+1 7) 43

36 8) 9

1 9) 0 10) 17

20

g)

1) 2 4

3 2) 25 12 10

3) 2 14 4) 124 + 732 53 40

5) 13

251

1

502 6) 2.7 3.3 3.4

7) 0.1752 0.353 + 25


1) 0 2) -26 3) 5 4) 8 5) 8

6) 44

3 14.67 7) -5 8)

311

9 34.56 9)

3

8 0.38 10)

3

6+ 22 3.12

11) 31 12) 8

3 2.67 13) 15 14) 14 15)

223

12 18.58




a)

1) 6 9 2) 4 + 3

3) 6 4 4) 2 + 2

5) 5 + 5 + 3 6) 4 + 6 + 4

7) 3 + 13 4 8) +3 3+2 + +1 1 2

9) 112 10) 11

62

1

2

1

122

b)

1) 2

2) 11 + 4

3) 2 + 2

4) 5 + 114 403 + 142 + 19 31

5) +1 112 + 83 285 8

6) 2 + 2 5

7) 6 62




1) + 4 11) 8

2) 6 7 12) 5 2

3) 8 1 13) 3

4) 9 6 14) 2 18

5) 17 2 15) 6 + 2

6) 3 9 16) 7 7

7) 20 12 17) 23 8

8) 18) 5 7

9) 23 20 19) 7

10) + 2 20) 3 + 4


a)

1) 635 11) 836 1244

2) 1565 12) 1037 2526

3) 1435 13) 444 635

4) 1275 14) 1544 636

5) 46 15) 1046 2065



6) 818 16) 2156 1477

7) 6415 17) 33 43

8) 1256 18) 1132 22

9) 634 1045 19) 234 + 1326

10) 643 1252 20) 234 + 1326

b)

1) 62 5 62 11) 84 + 83 + 25 14

2) 82 + 6 92 12) 54 133 242 + 3 + 9

3) 152 19 + 62 13) 63 52 82 + 33

4) 142 43 + 202 14) 93 + 92 222 + 143

5) 122 37 + 28 15) 83 + 142 272 + 93

6) 182 63 + 40 16) 153 182 + 132 23

7) 202 9 20 17) 24 33 822 + 153 64

8) 142 45 14 18) 64 53 + 622 3 64

9) 6 + 2 30 25 19) 104 3 + 1522 + 522 + 53 + 34

10) 123 + 192 1 20) 4 822 + 93 24




a)

1) 32 2 + 1 +1

2+3 14) 33 + 22 + 2

1

3

2) 22 + 2 +1

31 15) 23 32 + 2

4

2+3

3) 52 2 3 +5

2+1 16)

3 + 32 2 1

4) 32 4 + 2 +1

5+4 17) 2

2 3

5) 22 + 1

2+

5

2(21) 18) 5

2 + 4 3

6) 22 3 + 4 1

2+3 19) 33 + 22 2

12

23

7) 32 + 6 + 1 +13

24 20) 2

3 + 32 4 + 3

8) 22 + 3 5

4+2 21)

3 32 + 22

9) 22 + 4 3

2+21 22)

3 32 + 42

10) 22 + 1 +62

2+31 23) 3

2 2 + 42

11) 2 2 + 2 1

32+6+2 24) + +

12) 32 + 8 + 1 8

22+2 25) x+y

13) 23 2 + 3 3

3+2



CAPTULO 2.- PRODUCTOS NOTABLES


1) b2 + 2b + 1

2) 42 + 4 + 2

3) 162 40 + 252

4) 4

92 +

4

5 +

9

252

5) 16

492

16

353 +

4

256

6) 1622 48 + 362

7) 2 + 63 4 + 93 2

8) 1259 +150

746 +

60

4983 +

8

34312

9) 642 + 80 + 252

10) 9

642 +

3

103 +

4

256


1) b3 + 3b2 + 3b + 1

2) 83 + 122 + 62 + 3

3) 643 2402 + 3002 1253

4) 8

273 +

4

52 +

18

252 +

27

1253

5) 64

3433

96

24523 +

48

1756

8

1259

6) 6433 28822 + 4322 2163

7) 3 + 923 4 + 273 2 + 279 4

8) 1259 +150

746 +

60

4983 +

8

34312

9) 5123 9602 6002 1253

10) 27

5123

27

16023

9

506

8

1259




a)

1) 4 + 43 + 622 + 643 + 4

2) 164 + 963 + 21622 + 2163 + 814

3) 10245 64004 + 1600032 2000023 + 125004 31255

4) 327685 1024004 12800023 8000032 250004 31255

5) 256

24014

512

171533 +

384

122526

128

8759 +

16

62512

6) 1259 +150

746 +

60

4983 +

8

34312

b) (325)10 + 25(324)52 5 + 300(323)54 5 + 2300(322)56 5

c) 60(314)13 + (315)15

d) 30618102

e) 84046


1) 252 162 2) 92 492

3) 92 492 4) 812 162

5) 25

162

9

162 6)

25

642

9

492

7) 922 6422 8) 98 814

9) 922 922 10) 924 948




1) 2 + 3 + 2 2) 162 6 + 2

3) 242 10 + 2 4) 62 + 10 + 42

5) 52 48 + 642 6) 82 12 + 42

7) 44 1023 + 66 8) 646 + 83 62

9) 242 90 + 812 10) 162 28 + 102

CAPTULO 3.-FACTORIZACIN


1) 14( 3) 2) 632(3 + 423)

3) 6322(22 + 53) 4) 2324(1533 113)

5) 222(1747 154) 6) 13252(5 8)

7) 30563(32 1) 8) 40455(43 + 4)

9) 161164(73 + 98) 10) 16865(34 52)


1) (3 + )(5 2) 2) (2 + 4)(3 + )

3) (5 + 2)(2 + 3) 4) (7 + 3)(2 7)

5) (2 3)(3 8) 6) ( + )( 4)

7) (7 )( + 4) 8) (6 + 4)( + 8)

9) (8 + 5)(5 7) 10) (6 5)(2 9)




1) (3 + + )(3 ) 2) (52 + 3 + )(52 3 )

3) (32 2)(52 + 2) 4) (5

4

3

4) (

5

4 +

3

4)

5) (3 + 8)(3 8) 6) (54 2)(74 + 2)


1) ( + 5)2 2) ( 8)2

3) (3

5 +

3

4)

2

4) (2

3

3

4)

2

5) (3

52 + 6)

2

6) No es T.C.P.

7) (3

83 +

7

6)

2

8) (9

32 +

8

33)

2

9) (6

72

3

7)

2

10) (7

92

5

7)

2


1) (4 + 2)2 4 = (4 + 2 + 2)(4 2 + 2)

2) (2 1)2 42 = (2 + 2 1)(2 2 1)

3) (42 + 32)(42 32) = ( + )( )(4 3)(4 3)

4) (62 72)2 2522 = (62 + 5 72)(62 5 72)

5) (24 74)2 2544 = (24 + 522 74)(24 522 74)



6) (74 + 104)2 6444 = (72 + 822 + 104)(72 822 + 104)

7) (4 4)2 4 = (4 + 2 4)(4 2 4)

8) (2 + 5 + 15)(2 5 + 15)

9) (74 + 112 + 1422)(74 112 + 1422)

10) (924 + 224 168)(924 224 168)


1) ( + 4)( + 7) 2) ( + 8)( 1)

3) ( 6)( 9) 4) (3 + 10)( 2)

5) (5 + 4)(2 9) 6) (4 12)(5 4)

7) (14 15)(10 + 16) 8) (5 18)(21 + 25)

9) (2 8)(2 2) 10) (2 7)(7 + 3)


1) ( 4)( + 2)(2 3)(4 + 5)

2) ( 2)2( + 3)( 3)( + 4)

3) ( 6)( + 2)( + 5)(2 + 3)

4) ( 4)(24 + 3)

5) ( + 5)( 4)( + 3)( 3)( 2)( + 1)

6) ( 3)( 2)2( + 4)(2 5 + 3)

cuadernillo matemáticas

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