cuadernillo matematica segundo semestre

8/18/2019 Cuadernillo Matematica Segundo Semestre

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LICEOS BICENTENARIOSECRETARÍA TÉCNICA

2014

Álgebra y Ecuaciones

Material complementario para séptimos años básicos

Temas:- Conceptos básicos de álgebra:- término algebraico, expresión algebraica,- clasificación de expresiones algebraicas- términos semejantes, valorización de expresiones algebraicas- lenguaje algebraico- ecuaciones

Versión: Alumno

2014

En este cuadernillo estudiaremos aspectos básicos de la rama de la matemática llamada Álgebra


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y conceptos básicos de ecuaciones:

Partiremos describiendo los elementos con los que trabajaremos y que nos permitirán

realizar cálculos. Para esto debemos saber que Álgebra, es la parte o rama de la matemática que permite realizar cálculos con símbolos literales y con operaciones aritméticas. Te podemos contar que el inicio del álgebra se remonta a las civilizaciones de los babilonios y de los egipcios, muchoantes de la era cristiana. Se consideró la “ciencia de reducción y equilibrio”. La palabra álgebraes una palabra de origen árabe y que proviene de una palabra “Al –gebr’ we’l mukabala”,libro que escribió Al – Khowarizmi, matemático árabe que estudió esta rama de la matemática.

Al – Khowarizmi

Iniciaremos nuestro estudio, revisando los conceptos básicos del Álgebra:

Para analizar: “5 también corresponde a un término algebraico. Pues las posibles letras que loacompañan están elevadas a cero.

Mira este ejemplo: x0 =

Término Algebraico: Es una agrupación de factores, números y / o letras.

Ejemplos: -2ab ; 3z4 ; 5x3y2z ; x3y ; 7,4mn6 , 5

Recuerda que:

a0 = 1 , a≠0


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En todo término podemos distinguir dos partes; coeficiente numérico y factor literal.

Observación: Si en un término no está escrito el coeficiente, significa que éste es 1.

Mira la siguiente tabla y verás un ejemplo:

Ejemplos:

Término Algebraico 7x3y -18xz a2 b6 m7n5

Coeficiente numérico 7 -18 1Factor Literal x3y

xz

a2 b6 m7n5

Ejemplos: 1) 8x3 ; grado 3

2) -3a4 b ; grado 5

3) 2,78m ; grado 1

4) ; grado 10

Notas del estudiante

Grado de un término Algebraico:se obtiene al sumar los exponentes de las letras que tiene el Factor literal.



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Ejercicios: Completa la tabla con los datos que faltan:

Expresión Algebraica: Es un conjunto de términos, unidos entre sí por la operaciónadición (suma o resta ).


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De acuerdo a la cantidad de términos que tenga la expresión algebraica, se clasifican en:

Monomios: tienen un solo término. Ejemplos: 3xy ; -8a2 ; -93ab3c4 ; m2n7 ; xy6 ; 0,7pq

Binomios: tienen dos términos. Ejemplos: 8x + y ; 6a – 5b ; 2m +; 0,27x 3 – 6y

Trinomios: tienen tres términos.

Ejemplos: x – y + z ; 3a + 2b2

– 1 ; + 1,3t2

– 5t5

n2

Polinomios: En general son aquellos que tienen más de dos términos. Ejemplos: 4x + 7y – 2z2 + xy ; m5 – 5m4 + 0,3m3 –+ 2m – 56

Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio lo otorga el término que tenga mayor grado.

Ejemplos: 1) 6x + y2 – 1 grado 2

2) 4abc – 5a2 grado 3

3) 7mn + 0,2m2n3 – 8n4 + grado 5

Ejercicios: Clasificar e indicar el grado a las siguientes expresiones algebraicas.



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Términos Semejantes: Dos o más términos algebraicos son semejantes si tienen igualFactor literal, es decir deben tener las mismas letras con los mismos exponentes.




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Ejemplos: 1) -7x2y con 3x2y son semejantes

2) 5m3n con 5mn3 no son semejantes

3) ¾ a4 b5 con 1,6a5 b4 no son semejantes

4) -xy4z con 0,4y4xz son semejantes

Ejemplos: 1) 30xy + 16xy – xy = 45xy

2) 8m2n – m2n + 7nm2 = 14m2n

3) 5a + 3b – 7a + 3a – 2b – 13a = -12a + b

Ejercicios: Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas.

Reducción de Términos Semejantes: Consiste en sumar y/o restar términos semejantes de un polinomio, para lo cual se

suman o restan solo los coeficientes y se conserva el factor literal.



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1) 2x + 4y -7x + 7y + 13x – y =

2) 9 – 2a – 2b + 9 – 5 – b + 4a + 7 =

3) 3m2 + 7m – m + 9m2 – m2 + 2m =

4) x2y + 3xy2 – 6y2x – 6yx2 =

5) 2a2 b + 4a2 b2 – 8a2 b3 + b3a2 + 11b2a2 – a2 b =

6) 8mn2 + n2m – 7nm2 – 12mn2 + 3nm2 – mn2 =

7) 17 + pq – 6 + 3qp -1 + 22qp -30pq +18 =

8) x3y + 7yx3 – 6xy3 + 15y3x – xy3 – 3xy =

9) ( x + 3y ) + ( 7x – 9y ) =

10) ( 2ab – 4a + 6b ) – ( b + 5a – ab ) =



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11) ( x2 + x -2 ) + ( 7 -2x + 3x 2 ) – ( 8x – 4 + 7x2 ) =

12) 30m – ( 21mn + n ) + ( -6n + 8m ) – 19n =

13) 0,5m – 1,2n + 3,5m – 0,7n =

14) 3,4x – ( 2y + 0,3x ) + ( 5x – 1,7y ) =

15) 2a +3b 5b – a2 3



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Ejemplos: 1) Si x = 2 ; y = -3 entonces calcular 4y – 5x + xy

Solución:Al reemplazar los valores que toma cada variable se obtiene:

4∙(-3) - 5∙2 + 2∙(-3) = -12 – 10 + (-6) = -28

Observación: si te fijas los valores numéricos que se han reemplazado en la expresión, los

hemos escrito entre paréntesis. Así podrás tener muy claro que estás trabajando con estos valores y además no te olvidarás del signo que tiene cada número.

2) Si a = -5 ; b = 4 calcular ( a – b ) + ( b – a ) = ( -5 – 4 ) + ( 4 – (-5) ) = -9 + 9

= 03) Si m = 6 ; n = -2 calcular n2∙m – 8

= (-2)2 ∙ 6 - 8

= 4 ∙ 6 – 8 = 24 – 8

= 16

Valorización de expresiones algebraicas:Consiste en reemplazar los valores dados en las letras del factor literal de un polinomio,luego se resuelve la operatoria teniendo presente la prioridad de las operaciones.


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Ejercicios: Valorizar expresiones algebraicas.

1) Si x = -3 ; y = 4;

Calcular:

a) 5x – 2y + xy =

b) x2 + y2 -12 =

c) xy - 2x3 + 3y2 =

d) ( x + y ) – ( y + x ) =

e) ( 4x – 2y ) + ( -y – x ) =



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Ejercicios propuestos

Escribir la expresión algebraica que corresponda.

1) El doble de un número:

2) Un número disminuido en siete:

3) El cuádruple de un número:

Lenguaje Algebraico

Permite codificar expresiones que están escritas en lenguaje natural y llevarlo a lenguajeAlgebraico.

Ejemplos: 1) El triple de un número, aumentado en dos: 3x + 2 2) El triple, de un número aumentado en dos: 3( x + 2)

Permite decodificar expresiones que están escritas en lenguaje algebraico a lenguaje natural:

3) ¿Qué significa ( 2x – 5 ) Km?

Respuesta: El doble de una longitud, disminuida en 5 Km



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4) El doble de un número, aumentado en tres:

5) El triple, de un número disminuido en catorce:

6) Tres números consecutivos:

7) Número par:

8) Dos números impares consecutivos:

9) La quinta parte de un número:

10) El cuadrado de un número:

11) El triple de un número, elevado a dos:

12) El triple, de un número elevado a dos:



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Decodifique: escriba en lenguaje natural el significado de las siguientes expresiones algebraicas:

1) ( 3x + 1 ) cm

2) ( 5x – 4 ) mm

3) ( x + 1 ) + ( x + 2 )

4) 2x ; 2x + 2 ; 2x + 4 :

5) ( 2x + 1 ) + ( 2x + 3 )

6) ( 4x + 7 ) Km

7) x3

8) ( 2x )2

9) 2x2



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10) 3x – 7

11) x2 – 3

12) x + y2

Veamos un ejemplo: 5x – 2 = 3x + 10 / ( -3x + 2 ) 5x – 3x = 10 + 2 2x = 12 / ( ½ ) x = 12/2 x = 6

Ecuaciones y ProblemasRecordemos que una ecuación es una igualdad donde debemos calcular el valorde la incógnita para que se cumpla la igualdad planteada.


Observación:

Las ecuaciones, junto al

lenguaje algebraico son muyimportantes a la hora de

resolver problemasmatemáticos.


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Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones.

1) 2x – 5 = 3

2) 4 + 3x = 8

3) 21 – x = 18

4) 5y + 120 = 80 – 30

5) 73 – 2w = 27 – w

6) 6m + 23 = 4m + 31

7) 5a + 26 = 7a – 17

8) 24 – 3y = 2y + 21 – 15



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9) 150 -7x + 25 = 13 + 8x – 50

10)

11) = 16

12)

13) =

Resolver los siguientes problemas.




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1) El triple de un número, aumentado en 2 da como resultado 17. ¿Cuál es el número?

2) El doble de un número, disminuido en 7 da como resultado 11. ¿Cuál es el número?

3) El cuádruple, de un número aumentado en 5 da como resultado –8. ¿Cuál es el número?

4) El quíntuple, de un número disminuido en 3 da como resultado 35. ¿Cuál es el número?

5) Juan tiene el triple de la edad de Arturo. Arturo tiene el doble de la edad de Alejandra quetiene 8 años. ¿Qué edad tiene Juan?

6) María tiene la mitad de la edad de Patricia. Patricia tiene la tercera parte de la edad de Felipe que tiene 24 años. ¿Qué edad tiene María?

7) El triple de bolitas que tiene Claudio más 9 equivale a las bolitas que tiene Jorge. Si Jorge tiene45 bolitas. ¿Cuántas bolitas tiene Claudio?



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8) La edad de José más la edad de Pablo es 38 años. Si José tiene 8 años más que Pablo, entonces ¿Qué edad tienen José y Pablo?

9) La suma de cuatro números enteros consecutivos es 138. ¿Cuál es el número mayor?

11) La suma de tres números enteros pares consecutivos es 192. ¿Cuál es el número menor?

12) La suma de dos números enteros impares consecutivos es 156. ¿Cuáles son los números?

13) Si el largo de una sala excede a su ancho en cuatro metros. ¿Cuáles son las dimensiones dela sala si sabemos que su perímetro es 24 metros?



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15) El largo de un terreno rectangular es el doble del ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones siel perímetro del terreno es 42 metros?

16) Un número más la mitad del número más la tercera parte del número es igual a 44. ¿Cuáles el número?

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