cuadernillo mat educaciÓn - nivelacion

7/22/2019 CUADERNILLO MAT EDUCACIN - NIVELACION

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II

ndice

ndice .................................................................................................................................2UNIDAD I .........................................................................................................................4

Los sistemas de numeracin a lo largo de la historia .......................................................4

Introduccin. El concepto de base ..............................................................................4Sistemas de numeracin aditivos ....................................................................................5

El sistema de numeracin egipcio ...............................................................................5El sistema de numeracin griego ................................................................................6

Sistemas de numeracin hbridos....................................................................................7El sistema de numeracin chino .................................................................................7

Sistemas de numeracin posicionales .............................................................................8El sistema de numeracin babilnico ..........................................................................9El sistema de numeracin maya ..................................................................................9

Numeracin romana ................................................................................................. 11Nmeros ...................................................................................................................... 12

Nmeros en jeroglficos ........................................................................................... 12Nmeros en hiertico................................................................................................ 13

Generacin de los nmeros .......................................................................................... 14Cifras o guarismos.................................................................................................... 14Cifra cero ................................................................................................................. 14

Sistema de numeracin ................................................................................................. 15Principios fundamentales ............................................................................................. 15Estudio del sistema decimal ......................................................................................... 15

Numeracin decimal hablada ....................................................................................... 15Base del sistema decimal: ......................................................................................... 15Ordenes: ................................................................................................................... 16Clases y periodos ..................................................................................................... 17Subordenes: .............................................................................................................. 17

Numeracin decimal escrita ......................................................................................... 18Principio fundamental o convenio de la numeracin decimal escrita ......................... 18

Regla para escribir un nmero ...................................................................................... 18Regla para leer un nmero ............................................................................................ 18PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................... 19

UNIDAD II ...................................................................................................................... 21Nmeros naturales........................................................................................................ 21


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III

Nmeros abstractos y concretos ................................................................................... 21Valor absoluto y relativo .............................................................................................. 21

Descomposicin de nmeros .................................................................................... 22Relaciones de igualdad y desigualdad ........................................................................... 22Leyes de la igualdad ..................................................................................................... 23

Leyes de la desigualdad ............................................................................................ 23Combinacin de igualdades y desigualdades ............................................................ 24Ordenamiento de los nmeros naturales.................................................................... 24

Nmeros naturalesoperacionespropiedades ........................................................... 24Operaciones fundamentales ...................................................................................... 25Propiedades de particulares de algunas operaciones .................................................. 28PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................ 28

UNIDAD III .................................................................................................................... 32Nmeros fraccionarios ................................................................................................. 32

Fraccin: .................................................................................................................. 33Clases de quebrados o fracciones:............................................................................. 33Reduccin y simplificacin de un quebrado. ............................................................. 34Tipos de fracciones o quebrados: .............................................................................. 36Operaciones bsicas entre nmeros fraccionarios. .................................................... 37EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 39

UNIDAD IV .................................................................................................................... 48Divisibilidad ................................................................................................................ 48

Nmero primo: ............................................................................................................. 48Nmero compuesto: ..................................................................................................... 48Primos relativos o Coprimos: ....................................................................................... 48Criterios de divisibilidad: ............................................................................................. 49Mximo comn divisor (M.C.D.) ................................................................................. 50Mnimo comn mltiplo (M.C.M.) ............................................................................... 50

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................. 51BIBLIOGRAFA ............................................................................................................. 54


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UNIVERSID D N CION L DEL ESTEF CULT D DE FILOSOFCURSO DE NIVELACIN DE MATEMTICA

Unidad I Sistemas de Numeracin 4

UNIDAD I

Los sistemas de numeracin a lo largo de la historia

Introduccin. El concepto de baseCuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en

bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero al

siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representacin

ms prctico. En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a la misma

solucin, cuando se alcanza un determinado nmero se hace una marca distinta que los

representa a todos ellos. Este nmero es la base. Se sigue aadiendo unidades hasta que se

vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero anterior y se aade otra marca de la segundaclase. Cuando se alcanza un nmero determinado (que puede ser diferente del anterior

constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de

base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente. La base que ms se ha utilizado

a lo largo de la Historia es 10 segn todas las apariencias por ser ese el nmero de dedos

con los que contamos. Hay alguna excepcin notable como son la numeracin babilnica

que usaba 10 y 60 como bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna

irregularidad.

Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en

unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos

hacindolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y

muchos pueblos han visto impedido su avance cientfico por no disponer de un sistema

eficaz que permitiese el clculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con

exactitud los nmeros enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos nmeros con

otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros

requieren tal cantidad de smbolos que los hace poco prcticos. Pero sobre todo no

permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicacin, requiriendo

procedimientos muy complicados que slo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De

hecho cuando se empez a utilizar en Europa el sistema de numeracin actual, los

abaquistas, los profesionales del clculo se opusieron con las ms peregrinas razones, entre

ellas la de que siendo el clculo algo complicado en s mismo, tendra que ser un mtodo

diablico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistemaactual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes. Del origen indio


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del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de

Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la

Europa de 1200. El gran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que

permite un sistema en el que slo diez smbolos puedan representar cualquier nmero por

grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Sistemas de numeracin aditivos

Para ver cmo es la forma de representacin aditiva consideremos el sistema

jeroglfico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un

smbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y milln

un jeroglfico especfico. As para escribir 754 usaban 7 jeroglficos de centenas 5 de

decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades estn fsicamente presentes.

Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los smbolos de todas las unidades,

decenas... como sean necesarios hasta completar el nmero. Una de sus caractersticas es

por tanto que se pueden poner los smbolos en cualquier orden, aunque en general se ha

preferido una determinada disposicin.

Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense,

azteca (de base 20), romana y las alfabticas de los griegos, armenios, judos y rabes.

El sistema de numeracin egipcio

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los nmeros

en base diez utilizando los jeroglficos de la figura para representar los distintos rdenes de

unidades.

Se usaban tantos de cada uno cmo fuera necesario y se podan escribir indistintamente de

izquierda a derecha, al revs o de arriba abajo, cambiando la orientacin de las figuras

segn el caso.


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En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron

una forma propia, y as se introdujeron smbolos particulares

para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que

disminuye el nmero de signos necesarios para escribir una

cifra.

El sistema de numeracin griego

El primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 A.C. Era un

sistema de base decimal que usaba los smbolos de la figura siguiente para representar esas

cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario segn el principio de lasnumeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los nmeros hasta el 4 se usaban trazos verticales.

Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco

(pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistemaacrofnico.

Los smbolos de 50,

500 y 5000 se

obtienen aadiendo

el signo de 10, 100 y

1000 al de 5, usando

un principio

multiplicativo.

Progresivamente este

sistema tico fue

reemplazado por el

jnico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros smbolos

segn la tabla siguiente


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De esta forma los nmeros parecen palabras, ya que estn

compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un

valor numrico, basta sumar las cifras que corresponden a

las letras que las componen. Esta circunstancia hizo

aparecer una nueva suerte de disciplina mgica que

estudiaba la relacin entre los nmeros y las palabras. En

algunas sociedades como la juda y la rabe, que

utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relacin

ha tenido una gran importancia y ha constituido una

disciplina aparte: la kbala, que persigue fines msticos y

adivinatorios.

Sistemas de numeracin hbridosEn estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para

representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hbridos

utilizan la combinacin del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de

signos para los nmeros ms complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un smbolo

para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacin del 7 y el 100 seguida del 3.

El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones,

se dan as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se

repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dndolos por

supuestos y se escriben slo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero

para ello es necesario un cero, algo que indique que algn orden de magnitud est vaco y

no se confundan el 307 con 370, 3070 ...

Adems del chino clsico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etope y

algunos del subcontinente indio cmo el tamil, el malayalam y el cingals.

El sistema de numeracin chino

La forma clsica de escritura de los nmeros enChina se empez a usar desde el 1500 A.C.aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa lasunidades y los distintas potencias de 10. Utiliza losideogramas de la figura y usa la combinacin de losnmeros hasta el diez con la decena, centena, millar ydecena de millar para segn el principio multiplicativorepresentar 50, 700 3000. El orden de escritura se hacefundamental, ya que 5 10 7 igual podra representar 57 que75.


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Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque

tambin se hace de izquierda a derecha como en el

ejemplo de la figura. No es necesario un smbolo para el

cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas,

pero an as a veces se supriman los correspondientes alas potencias de 10.

Aparte de esta forma que podramos llamar cannica se usaron otras. Para los documentos

importantes se usaba una grafa ms complicada con objeto de evitar falsificaciones y

errores. En los sellos se escriba de forma ms estilizada y lineal y an se usaban hasta dos

grafas diferentes en usos domsticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los

eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que

desde que incorpor el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Sistemas de numeracin posicionales

Mucho ms efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la

posicin de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base

correspondiente. Slo tres culturas adems de la india lograron desarrollar un sistema de

este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas pocas llegaron al mismo principio. Laausencia del cero impidi a los chinos un desarrollo completo hasta la introduccin del

mismo. Los sistemas babilnico y maya no eran prcticos para operar porque no disponan

de smbolos particulares para los dgitos, usando para representarlos una acumulacin del

signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no

hubiese representado en principio ningn obstculo. Los mayas por su parte cometan una

irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrs de las veintenas no

usaban 20 20 = 400sino 20 18 = 360 para adecuar los nmeros al calendario, unade sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que

idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin ms que un cambio en la forma en la

que escribimos los nueve dgitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro

sistema de numeracin cmo rabe, las pruebas arqueolgicas y documentales demuestran

el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los rabes

transmitieron esta forma de representar los nmeros y sobre todo el clculo asociado a ellas,

aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez ms se produjo una gran

resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran


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evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar clculos difcilmente la ciencia

hubiese podido avanzar.

El sistema de numeracin babilnico

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se

desarrollaron distintos sistemas de numeracin. En siglos A.C. se invent un sistema de

base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para nmeros superiores.

Para la unidad se usaba lamarca vertical que se haca

con el punzn en forma de

cua. Se ponan tantos como

fuera preciso hasta llegar a10, que tena su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ah se usaba unsistema posicional en el quelos grupos de signos iban

representandosucesivamente el nmero deunidades, 60, 60 60 ,60 60 60 y assucesivamente como en losejemplos que se acompaan.

El sistema de numeracin maya

Los mayas idearon un

sistema de base 20 con

el 5 cmo base auxiliar.

La unidad se

representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2, 3 y 4. El 5 era una


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raya horizontal, a la que se aadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para

el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se contina hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aqu parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados

cada uno un solo signo, estos smbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en

el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... segn el

lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a

arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un

valor relativo segn el

lugar que ocupa, la

presencia de un signo

para el cero, con el que

indicar la ausencia de

unidades de algn orden,

se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el

concepto de cantidad nula. Cmo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la

ausencia de otro nmero. Pero los cientficos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en

la observacin astronmica y para expresar los nmeros correspondientes a las fechas

usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. As la cifra que ocupaba

el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy

prxima a la duracin de un ao.

El ao lo

consideraban

dividido en 18 uinalque constaba cada

uno de 20 das. Se

aadan algunos

festivos (uayeb) y de

esta forma se consegua que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del

sistema numrico. Adems de ste calendario solar, usaron otro de carcter religioso en el

que el ao se divide en 20 ciclos de 13 das. Al romperse la unidad del sistema ste se


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hace poco prctico para el clculo y aunque los conocimientos astronmicos y de otro tipo

fueron notables los mayas no desarrollaron una matemtica ms all del calendario.

Numeracin romana

El sistema de numeracin romanase desarroll en la antigua Roma y se utiliz en todo suimperio. Es un sistema de numeracin no-posicional, en el que se usan algunas letrasmaysculas como smbolos para representar los nmeros.

Smbolos Vlidos (numerales)

Los smbolos vlidos en el sistema de numeracin romano, y sus equivalencias decimalesson:

Romano Decimal Nota

I 1 Unus

V 5 Quinque. V es la mitad superior de X; en etrusco .

X 10 Decem

L 50 Quinquaginta

C 100 Letra inicial de Centum.

D 500 Quingenti. D, es la mitad de la Digamma (como phi).

M 1000 De Mille. Originalmente era la letra Digamma.

Los romanos desconocan el cero, introducido posteriormente por los rabes, as que no

existe ningn smbolo en el sistema de numeracin romano que represente el valor cero.

Los mltiples smbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos

valores, siguiendo ciertas reglas en la repeticin. En los casos en que sea ms pequea, se

permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el smbolo con un valor menor

colocado antes que un valor ms alto, de manera que, por ejemplo, uno puede escribir IV o

iv para cuatro, en lugar de iiii. As, tenemos que los nmeros no asignados a un smbolo se

crean haciendo combinaciones como las siguientes:


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Nmeros

En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeracin. Uno, escrito en

jeroglficos, era un sistema decimal, con signos distintos para 10, 100, 1000, etc, que seus en el periodo Predinstico. El segundo, el sistema hiertico, escrito con un nuevo tipo

de cifras que asimilaba un numero a un smbolo, se diferenci del sistema jeroglfico por

simplificar los smbolos para poder escribir ms rpido, y comenz alrededor 2150 a. C.

Una numeracin jeroglfica tarda fue modificada y adoptada en el Periodo Romano

para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en las situaciones cotidianas.

Nmeros en jeroglficos

El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal, redondeando a menudo al

nmero ms alto, y escrito con Jeroglficos.

Los siguientes jeroglficos fueron utilizados para designar las potencias de diez:

Romanomaysculas

Romanominsculas

Nominacin

II ii dos

III iii tres

IV iv cuatro

VI vi Seis

VII vii Siete

VIII viii Ocho

IX ix Nueve

XXXII xxxii treinta y dos

XLV xlv cuarenta y cinco

Para nmeros con valores iguales osuperiores a 4000, se coloca unalnea horizontal por encima delnmero, para indicar que la base dela multiplicacin es por 1000:

Romano(miles)

Decimal Nominacin

V 5000 cinco mil

X 10000 diez mil

L 50000 cincuenta mil

C 100000 cien mil

D 500000 quinientos mil

M 1000000 un milln


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Valor 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 milln, oinfinito

Jeroglfico

o

Los mltiplos de estos valores fueron expresados repitiendo el smbolo tantas veces comofuera necesario. Por ejemplo, una piedra tallada de Karnak muestra el nmero 4622 como

Los jeroglficos egipcios podan ser escritos dentro del texto. En este ejemplo, se escribende izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.

Adems de este sistema de numeracin, en la antigua lengua egipcia podan escribir losnmeros con las palabras que los representaban, es decir, podan escribir "treinta" en lugarde "30", aunque esto era infrecuente para la mayora de los nmeros.

"Treinta", por ejemplo, se escriba como: El nmero "30" era:

Nmeros en hiertico

Para los nmeros hierticos utilizaron un smbolo para cada nmero, sustituyendo

las cifras que haban sido utilizadas para designar mltiplos de la unidad. Por ejemplo,

utilizaban dos smbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etctera, en un sistema que

reemplaz al modo jeroglfico.

Como la mayora de textos administrativos y de contabilidad fue escrita en papiros

u ostracas, y no grabados en piedra como los textos jeroglficos, emplean el sistema

hiertico de escritura, siempre los casos encontrados de nmeros escritos en hiertico son

posteriores al Imperio Antiguo. Los papiros de Abusir son una recopilacin

particularmente importante de textos que utilizan estos nmeros.

Boyer demostr hace 50 aos que esa escritura utilizaba un sistema de numeracindiferente, usando smbolos individuales para los nmeros 1 a 9, los mltiplos de 10 entre
http://es.wikipedia.org/wiki/Ostracahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ostraca


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10 y 90, las centenas a partir del 100 al 900, y los millares a partir de 1000 a 9000. Un

nmero grande como 9999 se poda escribir con solamente cuatro signos, combinando los

signos para 9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglficos.

Dos papiros matemticos famosos que usan la escritura hiertica son el de Mosc y

el de Rhind. Este ltimo contiene ejemplos de cmo los egipcios hicieron sus clculos

matemticos, y los nmeros fueron designados poniendo una lnea sobre la letra asociada

al nmero que era escrito, como /A. Este mtodo de escribir nmeros se extendi por el

Cercano Oriente, y los griegos, 1.500 aos ms tarde, lo usaban en dos de sus alfabetos,

jnico y drico, para representar sus nmeros: /alfa = 1, /beta = 2 y as sucesivamente.

Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n como n', por lo que en la numeracin

y resolucin de problemas los griegos adoptaron o modificaron la numeracin egipcia, laaritmtica y otros aspectos de la matemticas egipcia.

Generacin de los nmeros

Los nmeros se forman por agregacin de unidades. As, si a una unidad o nmero

uno agregamos una unidad, resulta el numero dos; si a ste agregamos otra unidad, resulta

el tres; si a ste agregamos otra unidad, resulta el cuatro, y as sucesivamente.

Cifras o guarismos

Son los signos que se emplean para representar los nmeros.

Las cifras que empleamos, llamadas cifras arbigas porque fueron introducidas por los

rabes en Espaa, son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El cero recibe el nombre de cifra no significativa o cifra auxiliar y los dems son cifras

significativas.

Cifra cero

El cero representa los conjuntos nulos o conjuntos que carecen de elementos.

As pues, la cifra cero carece de valor absoluto y se emplea para escribirla en el

lugar correspondiente a un orden cuando en el nmero que se escribe no hay unidades de

ese orden, la palabra cero proviene de la voz rabe ziffero, que significa lugar vacio.


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NUMERO DIGITO: es el que consta de una sola cifra, como 2, 3, 7, 8.

NUMERO POLIDIGITO: es el que consta de dos o ms cifras, como 18, 245.

Sistema de numeracinEs un conjunto de reglas que sirven para expresar y escribir los nmeros.

BASE: de un sistema de numeracin es el nmero de unidades de un orden que

forman una unidad del orden inmediato superior. As, en el sistema decimal empleado por

nosotros, la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez

decenas forman una centena, etc.

En el sistema duodecimal, que tambin se emplea mucho en la prctica, la base es 12porque 12 unidades forman una docena y 12 docenas forman una gruesa.

Principios fundamentales

En los sistemas de numeraciones se cumplen los siguientes principios:

1) Un nmero de unidades de un orden cualquiera, igual a las base, forma una unidaddel orden inmediato superior.

2) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayoresque las que representa la anterior, como unidades tenga la base. Este es el principio

de valor relativo.

3) En todo sistema, con tantas cifras como unidades tenga la base, contando el cero, sepueden escribir todos los nmeros.

Estudio del sistema decimal

Es el que tiene por base 10. Es el que empleamos nosotros.

Numeracin decimal hablada

Base del sistema decimal:

La base del sistema decimal es 10, lo que significa que diez unidades de un orden

cualquiera constituyen una unidad del orden inmediato superiory viceversa, una unidad

de un orden cualquiera est formada por diez unidades del orden inmediato inferior.


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La numeracin decimal consta de rdenes y subrdenes.

Ordenes:

Si al nmero 1, que es la unidad de primer orden, aadimos sucesivamente, y una

a unas unidades, formaremos los nmeros dos, tres, cuatro, cinco,etc. hasta llegar a diez

unidades, que ya forman una decenao unidad del orden superior inmediato.

Decenaes la unidadde segundo ordeny es la reunin de diez unidades. A una decena

aadimos los nombres de los nueve primeros nmeros y obtendremos el once, doce, trece,

etc., hasta llegar a veinte o dos decenas. Llegamos a treinta o tres decena, cuarenta,

cincuenta. Cien o diez decenas, que ya forman una unidad del orden superior

inmediato.

Centenaes la unidad de tercer ordeny es la reunin de diez decenas o cien unidades.

Al reunir un conjunto de diez centenas llegamos a una unidad del orden superior

inmediato.

Millar es la unidad de cuarto ordeny es la reunin de diez centenaso mil unidades.

Decena de millares la unidad de quinto ordeny es la reunin de diez millareso diez

mil unidades.

Centena de millares la unidad de sexto ordeny es la reunin de diez decenas de millar.

De la misma manera llegamos al

Milln o unidad de sptimo ordenque consta de diez centenas de millar o mil millares;

Decena de millno unidad de octavo ordenque consta de diez millones.

Centena de milln o unidad de noveno orden

Unidad del millar de milln o unidad de decimo orden

Decena de millar de milln o unidad de undcimo orden

Centena de millar de milln o unidad de duodcimo orden

Billn o unidad de decimo tercer ordeny que es la reunin de un milln de millones.


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Trilln o unidad de dcimo noveno orden que es la reunin de un milln de billones.

Cuatrilln o unidad de vigsimo quinto ordenque es la reunin de un milln de trillones.

Quinquillno unidad de trigsimo primer orden;etc.

Clases y periodos

Reunin de tres rdenes, comenzando por las unidades simples constituye una

clase;as, las unidades, decenas y centenas forman la clase de las unidades;las unidades

de millar, decenas de millar y centenas de millar forman la clase de los millares; las

unidades de milln, decenas de milln, centenas de milln forman la clase de los millones;

las unidades de millar de milln, decenas de millar de milln y centena de millar de milln

forman la clase de los millares de milln;las unidades de billn, decenas de billn y las

centenas de billn forman la clase de los billones, y as sucesivamente.

La reunin de las clases forma un periodo. As, la clasede las unidades y la clase

de los millares forman el periodo de las unidades; la clase de los millones y la de los

millares de milln forman el periodo de los millones; la clase de los billones y la de los

millares de billn forman el periodo de los billones; y as sucesivamente.

Subordenes:

Del mismo modo que la decena consta de diez unidades, la centena de diez decenas,

etc., podemos suponer que la unidad simple o de primer orden est dividida en diez partes

iguales que reciben el nombre de decimas y que constituyen el primer suborden; cada

dcima se dividen en otras diez partes iguales llamadas centsimas y que forman el

segundo suborden; cada centsima se divide en otras diez partes iguales llamadas

milsimas que forman el tercer suborden; y as sucesivamente se van obteniendo las

diezmilsimas o cuarto suborden; las cienmilsimas o quinto suborden; las

diezmillonsimas o sexto suborden; etc.


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Numeracin decimal escrita

Principio fundamental o convenio de la numeracin decimal escrita

Es que toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades diez veces

mayores que las que representan la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de

otra representa unidades diez veces menores que las que representan la anterior.

Valor absoluto y relativo

Toda cifra tiene dos valores: absolutoy relativo.

Valor absolutoes el que tiene el nmero por su figura; valor relativoes el que tiene el

nmero por el lugar que ocupa.

Ej: 4344, el valor absoluto de los tres 4 es el mismo; cuatro unidades, pero el valor

relativo del 4 de la derecha es 4 unidades del primer orden; pero el valor relativo del 4 de

las decenas es 4 10 = 40 unidades de primer orden; el valor relativo del 4 de los

millares es 4 10 10 10 = 4000unidades del primer orden.

Regla para escribir un nmero

Para escribir un nmero se van anotando las unidades correspondientes a cada

orden, comenzando por las superiores, poniendo un cero en el lugar correspondiente al

orden del cual no haya unidades y separando con un punto los rdenes de los subrdenes.

Regla para leer un nmero

Para leer un numero se divide en grupos de a seis cifras empezando por la derecha,

colocando entre el primero y el segundo grupo y abajo el numero 1, entre el segundo y el

tercero el numero 2, entre el tercero y el cuarto el numero 3, y as sucesivamente. Cada

grupo de seis cifras se divide por medio de una coma en dos grupos de a tres. Hecho esto,

se empieza a leer el nmero por la izquierda, poniendo la palabra trilln donde haya un tres,

billn donde haya un dos, milln donde haya un uno y mil donde se encuentre una coma.

Si el numero tiene parte decima se lee sta a continuacin de la parte entera, dndole la

denominacin del ltimo suborden.

Ej. Leer el nmero 56784321903423456,245


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Para leerlo escribiremos de este modo: 56,7842321,9031423,456.245 y se leer:

56mil 784billones, 321 mil 903 millones, 423 mil 456 unidades y 245 milsimas.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Escribir los nmeros utilizando la tabla.1.1.Ciento cuatro unidades, ocho centsimas.

1.2.Tres mil tres billones, trescientos treinta mil, trescientos treinta.

1.3.Seis trillones, seis billones, seiscientos sesenta millones, seiscientos mil,

seiscientos seis.

1.4.Treinta mil treinta unidades, ciento cuatro cien milsimas.

1.5.Dos mil unidades, dos mil dos millonsimas.

1.6.Quince mil millones, quince millonsimas.

1.7.Ciento cuarenta y cuatro millones, ciento cuarenta y cuatro.

1.8.Seiscientos cuarenta y dos unidades

FORMACI N DE LOS N MEROS4to. periodo 3er. periodo 2do. periodo 1er. periodo

Coma

decimal

Parte decimalClase de losmillares de

trillones

Clase de lostrillones

Clase de losmillares debillones

Clase de losbillones

Clase de losmillares demillones

Clase de losmillones

Clase de losmillares

Clase deUnidades

Centenasdemillardetrilln

Dece

nasdemillardetrilln

Unidadesdemillardetrilln

Centenasdetrilln

Dece

nasdetrilln

Unidadesdetrilln

Centenasdemillardebilln

Dece

nasdemillardebilln

Unidadesdemillardebilln

Centenasdebilln

Dece

nasdebilln

Unidadesdebilln

Centenasdemillardemilln

Dece

nasdemillardemilln

Unidadesdemillardemilln

Centenasdemilln

Dece

nasdemilln

Unidadesdemilln

Centenasdemillar

Dece

nasdemillar

Unidadesdemillar

Centenas

Dece

nas

Unidades

Dcimo

Centsimo

Milsimo

Diezmilsimo

Cienmilsimo

Millo

nsimo

Diezmillonsimos

Cienmillonsimos

Milm

illonsimos

Diez

milmillonsimos

Cien

milmillonsimos

24orden

23orden

22orden

21orden

20orden

19orden

18orden

17orden

16orden

15orden

14orden

13orden

12orden

11orden

10orden

9orden

8orden

7orden

6orden

5orden

4orden

3orden

2orden

1orden

1suborden

2suborden

3suborden

4suborden

5suborden

6suborden

7suborden

8suborden

9suborden

10suborden

11suborden


20/54



1.9.Ciento quince mil quinientos cincuenta y cinco

1.10. Quinientos dos millones trescientos diecisis1.11. Seiscientos millones doce mil once1.12. Dos millones ochocientos veintids mil setecientos trece1.13. Ocho mil novecientos1.14. Doce mil ciento veintitrs1.15. Un milln doce

2. Escribe en letras los siguientes nmeros.2.1.3 554 021:2.2.1 598 458 001:2.3.5 001 002,05:2.4.4 000,125:2.5.9 789 124, 002:


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Unidad II Nmeros Naturales 21

UNIDAD II

Nmeros naturales

Un nmero natural es un concepto abstracto que simboliza cierta propiedad comn

a todos los conjuntos coordinables entre s.

La sucesin fundamental cosas, personas, animales, etc. que se desea representa

est dada por nmeros. Estos son los llamados cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete,

ocho, nueve, etc. y los representamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Esta sucesin o serie

infinita es lo que se llama serie de los nmeros naturales.

La coordinacin de conjuntos es lo que ms veces se realiza. Por ejemplo:

necesitamos cantidad de invitados para un acontecimiento, de modo a prever la cantidad de

sillas, cubiertos, etc. concluimos que hemos coordinado la cantidad de invitados con la

cantidad de sillas, mesas, cubiertos. No hemos hecho otra cosa que contar. Contar un

conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de los nmeros naturales

comenzando por el 1.

Nmeros abstractos y concretos

Abstracto: es el nmero propiamente dicho.

Concretos: cuando contamos los elementos de un conjunto dado.

Nmero cardinal: cuando se cuenta los elementos de un conjunto, el nmero quecorresponde al ltimo elemento se llama nmero cardinal del conjunto.

Nmero ordinal: cuando se cuentan los elementos de un conjunto, el nmero natural que

corresponde a cada elemento del conjunto se llama nmero ordinal.

Valor absoluto y relativo

Toda cifra tiene dos valores: absolutoy relativo.

Valor absolutoes el que tiene el nmero por su figura; valor relativoes el que tiene el

nmero por el lugar que ocupa.


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Ej: 4344, el valor absoluto de los tres 4 es el mismo; cuatro unidades, pero el valor

relativo del 4 de la derecha es 4 unidades del primer orden; pero el valor relativo del 4 de

las decenas es 4 10 = 40 unidades de primer orden; el valor relativo del 4 de los

millares es 4 10 10 10 = 4000unidades del primer orden.

Descomposicin de nmeros:

Forma aditiva: En esta forma se descompone el nmero teniendo en cuenta las unidades delos distintos rdenes, luego se las deja como una suma indicada.

Ej. 3547 = 3000 + 500 + 40 + 7

Forma multiplicativa: en esta forma, se explicita ms cuntas unidades de cada orden esten cada cifra relativa.Ej. 3547 = 3 1000 + 5 100 + 4 10 + 7 1

Forma polinmica: en esta forma, simplemente se altera las unidades de orden de lamultiplicativa en potencias de diez.

Ej. 3547 = 3 103 + 5 102 + 4 101 + 7 100

Relaciones de igualdad y desigualdad

Igualdad entre nmeros naturales: nmeros iguales son los que representan conjuntoscoordinables.

Desigualdad entre nmeros naturales: cuando los conjuntos no son coordinables entre s,tienen desigual nmero.

Representacin grafica de la igualdad y desigualdad numrica.

Dos nmeros son iguales cuando representan a dos conjuntos coordinables,conjuntos con igual nmero de elementos, luego los nmeros son iguales.Ejemplo:Dados:El conjunto de las vocales: = ,, , ,El conjunto de los nmeros: = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

Ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, 5.

5 = 5

0 1 2 3 4 5 6


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Dos nmeros son desiguales cuando representan a dos conjuntos no coordinables,conjuntos con desigual nmero de elementos.Ejemplo:Dados:

El conjunto de las letras de la palabra amor:

=

,

,

,

El conjunto de los nmeros: = 1 , 2 , 3 , 4 , 5El primero posee una cardinalidad igual a 4 mientras que el segundo, 5. Concluimos que elprimero representa a un nmero menor de elementos en relacin al segundo que elsegundo representa a un nmero mayor de elementos en relacin al primero.

4 < 55 > 4

Los nmeros naturales se representan grficamente en una recta:

Si dos nmeros son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numrica. Si un nmero es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor. Si un nmero es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.

Leyes de la igualdad

Las leyes de la igualdad son tres:1) Carcter idntico: Todo nmero es igual a s mismo.= 2) Carcter recproco: Si un nmero es igual a otro, ste es igual al primero.= ; = 3) Carcter transitivo: Si un nmero es igual a otro y ste es igual a un tercero, el

primero es igual al tercero.

=

=

;

=

Leyes de la desigualdad

1. No existe el carcter idntico: Es imposible que un nmero sea mayor o menor que lmismo.

2. No existe el carcter recproco: Si un nmero es mayor que otro, este ltimo nopuede ser mayor que el primero, sino menor.

3. Existencia del carcter transitivo.3.1.Si un nmero es mayor que otro y ste es mayor que un tercero, el primero es

mayor que el tercero. > > ; >

0 1 2 3 4 5 6


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3.2.Si un numero es menor que otro y ste es menor que un tercero, el primero esmenor que el tercero < < ; <

Combinacin de igualdades y desigualdades

Analizaremos los siguientes tres casos:

1. Combinacin de igualdades y desigualdades que tengan todas el signo >.Combinar: = , > , > , > Resulta: = > > > y de aqu se tiene que: >

2. Combinacin de igualdades y desigualdades que tengan todas el signo , > , < Resulta: = > > < y de aqu no se puede deducir relacin algunaentre a y p pues puede ser que: = , > , <

Ordenamiento de los nmeros naturales

Atendiendo a la funcin de coordinacin entre elementos de conjuntos y nmeros

abstractos, que no es otra cosa que ir contando los elementos. En la sucesin de nmeros

naturales observamos que cada conjunto tiene menos elementos que el siguiente, por tanto

la sucesin hasta el conteo es parcial con relacin al siguiente. Luego cada nmero natural

es menor del siguiente y es mayor del anterior.

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 La serie de nmeros naturales tiene una ordenacin ascendente.

Nmeros naturalesoperacionespropiedades

Si los nmeros solo sirvieren para contar, su utilidad sera muy relativa. Poco a

poco, el hombre fue descubriendo como operar con ellos, es decir, como sumar, restar,

multiplicar y dividir nmeros. Para los antiguos, nuestro vulgar clculo aritmticopresentaba dificultades prcticamente insuperables, por lo cual inventaron mtodos


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especiales para facilitar los clculos, los romanos emplearon para ello una tabla provista de

ranuras, en la que deslizaban unas bolitas, llamadas calculli, de donde derivan la palabra

calcular. Esta dificultad para calcular se deba fundamentalmente a que no disponan un

sistema prctico de numeracin.

Por un sistema de numeracin debemos entender un conjunto de smbolos y un

conjuntos de reglas para combinar estos smbolos, para poder nombrar todos los nmeros

un smbolo o un conjunto de smbolos que se usa para nombrar un numero, se llama

numeral.

Operaciones fundamentales

1) SUMA O ADICIONSumar dos o ms conjuntos (sumandos), que no tienen elementos comunes, es reunir en un

solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados y solo ellos.

Propiedades:

a) Propiedad asociativa: Si a , b y c son nmeros naturales cualesquiera, + += + + . Como la adicin es asociativa, podemos escribir simplemente

+

+

en lugar de

+

+

o de

+

+

, lo cual significa que podemos

eliminar los parntesis.b) Propiedad conmutativa: Si ay bson nmeros naturales cualesquiera, se tiene que+ = + . Esta propiedad suele enunciarse diciendo: el orden de los

sumandos no altera la suma.

c) Existencia del elemento neutro: Hay un nmero natural que desempea un papelmuy especial en la adicin. Este nmero es el cero. Tiene la propiedad de qu:

+ 0 =

es decir, la suma de 0 (cero) y cualquier otro numero natural a, es el

mismo nmero natural. El cero se llama elemento neutro.d) Propiedad cancelativa: Si a, by c son nmeros naturales cualesquiera y + =+ , entonces = 0e) Propiedad aditiva de la igualdad: si = , entonces + = + , cualesquiera

sean los nmeros a, b y c.

2) RESTA O DIFERENCIALa resta de dos nmeros ay b, consiste en encontrar otro nmero que sumado con bnos da. Al nmero ase le llama minuendo y a bsustraendo.


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Propiedades:

La diferencia no cumple con las propiedades de la suma: no es asociativa, no es

conmutativa, no es cancelativa. El cero es neutro solo si acta como sustraendo.

3) MULTIPLICACION O PRODUCTOEs una operacin que a los nmeros a , bhace corresponder un numero cllamado producto

de ay b, y que simbolizamos . . Cada uno de los nmeros ay b son llamados factores.Propiedades:

a) Propiedad asociativa: Si a , b y c son nmeros naturales cualesquiera, se tiene:= . La propiedad asociativa permite escribir simplemente . . enlugar de

o de

.

b) Propiedad conmutativa: Si ay bson nmeros naturales cualesquiera, se tiene que= . Esta propiedad suele enunciarse diciendo: el orden de los factores noaltera el producto.

c) Existencia del elemento neutro: cualesquiera sea el numero natural a, se tieneque: . 1 = 1.= .

d) Existencia del elemento nulo: cualesquiera sea el numero natural a, se tiene que:

. 0 = 0.

= 0.

e) Propiedad distributiva respecto a la adicin y la diferencia:Cualesquiera sean los nmeros a, b y c, se tiene que:+ = + =

f) Propiedad multiplicativa de la igualdad: si = , entonces = , cualesquierasean los nmeros a, b y c.

g) Propiedad cancelativa de la igualdad: si

=

y

0, entonces

=

4) DIVISION O COCIENTELa divisin de un numero D (dividendo) entre un numero d (divisor), escrito ,consiste en calcular otro numero c (cociente) tal que multiplicado por c nos resulte D.

Propiedades:

La divisin no cumple con las propiedades de la multiplicacin: no es asociativa, no es

conmutativa, no es cancelativa. El 1 (uno) es neutro solo cuando acta como dividendo, el

cero es nulo solo cuando acta como dividendo, la divisin entre cero no existe.


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5) POTENCIACIONLa potenciacin es una operacin que podra llamarse una multiplicacin de factores

iguales escrito en forma abreviada. Su notacin es:

donde a se llama base, y n se

llama exponente. Significa que a se multiplica por s misma n veces.

Propiedades:

a) Todo nmero elevado a la unidad es igual a la base: 1 = b) Todo nmero elevado a la potencia cero es igual a la unidad: 0 = 1c) Producto de dos potencias de igual base: es igual a otra potencia de igual base y

cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores: . =

+

d) Divisin de dos potencias de igual base: es igual a otra potencia de igual base ycuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de los

divisores:Escriba aqu la ecuacin. = e) Potencia de potencia: la potencia de exponente m de la potencia n es un

numero b es una potencia de la base b de exponente m.n = f) Propiedad distributiva de la potenciacin con respecto a la multiplicacin y

divisin:

. = . = La potenciacin no es distr ibuti va respecto a la suma y la r esta.

6) RADICACION (con algunas propiedades para nmeros enteros)Encontrar la raz de un numero consiste en encontrar otro que elevado a n nos d el

numero original.

= si ocurre que = Propiedades:a) Toda raz de ndice par de un nmero positivo, tiene doble signo.

b) Toda raz de ndice impar de un nmero positivo, es positiva.c) Toda raz de ndice impar de un nmero negativo, es negativa.d) Toda raz de ndice par de un nmero negativo, NO EXISTE EN EL CONJUNTO

DE LOS REALES.


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e) Radicacin de una raz: la raz de ndice n de otra raz de ndice m con cantidadsubradical a es igual a otra raz de ndice mn: = .

f) Propiedad distributiva de la potenciacin con respecto a la multiplicacin ydivisin: . = . =

La radicacin no es distri buti va respecto a la suma y la resta.

Propiedades de particulares de algunas operaciones

La suma de dos nmeros ms su diferencia es igual al duplo del mayor.8 + 5+ 8 5= 2 88 + 5 + 8 5 = 8 + 8 = 16

La suma de dos nmeros menos su diferencia es igual al duplo del menor.8 + 5 8 5= 2 58 + 5 8 + 5 = 5 + 5 = 10

Cuando se divide la suma de dos nmeros entre su cociente aumentado en uno, seobtiene el menor de los nmeros.

102 5 + 1= 102 6 = 17 Cuando se divide la diferencia de dos nmeros entre su cociente disminuido en uno,

se obtiene el menor.

8888 91= 8888 8 = 1111PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Representar grficamente:1.1. 3 = 5

1.2. 5 < 8

1.3. 6 > 4

2. Reunir en una sola expresin = , > , > y hallar la relacin entre a y b.3. M es menor que N, P es igual a Q, P es mayor que N y Q es menor que S. Cmo

es M con relacin a S? R:

8

12

Tipos de fracciones o quebrados:

Segn la comparacin de unos respectos a otros.

Fracciones homogneas: Son aquellas tienen el mismo valor numrico eldenominador.

1

8,

5

8,

0

8,

3

8,

8

8

Fracciones heterogneas: Son los que tienen distintos denominadores.1

2,

3

4,

2

3,

5

6,

3

8


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Unidad III Nmeros Fraccionarios 37

Operaciones bsicas entre nmeros fraccionarios.

1. Adicin de fracciones.1.1.Adicin de fracciones homogneas.

Para sumar fracciones homogneas se suman losnumeradores y como denominador el mismo.

1.2.Adicin de numerales heterogneos.

Mtodo grfico:

Sea 14

+1

3

Graficamos la operacin:

Dividimos cada cuarto en tres partes y cada tercio en cuatro partes iguales.

Reemplazamos ahora las fracciones equivalentes y adicionamos como nmerosfraccionarios homogneos.

1

4+

1

3=

3

12+

4

12=

7

12

Mtodo del M.C.M.:

1.3.Adicin de numerales mixtos.

Hallar la suma de los enteros y de las fracciones

21

4

+ 12

4

= 33

4

1

4

1

3

1

4=

3

12

1

3=

4

12


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Otra forma de efectuar es:

Convertir los numerales mixtos a fracciones impropias, hallar la suma y luego extraer losenteros contenidos.

2 14

+ 1 24

= 94

+ 64

= = 2. Sustraccin

2.1.Sustraccin de fracciones homogneas.

Para restar fracciones

homogneas, se restan losnumeradores y comodenominador el mismo.

2.2.Sustraccin de fracciones heterogneas.

Aplicamos el mtodo del mnimo comn mltiplo de la suma, considerando la operacinde sustraccin.

3. Multiplicacin de fracciones Para multiplicar numero fraccionarios se

multiplican los numeradores entre si y losdenominadores entre s.

Si uno de los factores es entero, semultiplica el entero por el numerador y comodenominador el mismo.

Si los factores son numerales mixtos sereducen a fraccin simple impropia y luego se efecta la multiplicacin.

4. Divisin de nmeros fraccionarios.Es importante recordar el concepto de fracciones recprocas, es el inverso de la fraccin

dada. Por ejemplo, de3

4su recproco es

4

3.

Mtodo de los recprocos.Al dividir dos fracciones, identificamos el dividendo y divisor, aplicamos una sencillaregla que es: cambiar la divisin por la multiplicacin del divisor invertido o elrecproco.


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Ejemplo:12

35

4

5=

12

35

5

4=

Mtodo de la fraccin compleja:

Tambin recordamos el concepto de fraccin compleja, es aquella fraccin cuyonumerador y denominador o uno de ellos es fraccionario.

12

35

4

5=

123545

=12 5

35 4=

Aqu se aplica aquella regla entre fracciones equivalentes: el

producto de los extremos es igual al producto de los medios

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Cmo se llaman las partes iguales en que se divide la unidad si se divide en 12partes, 15 partes, 27 partes, 56 partes iguales?

2. Escriba los siguientes quebrados: siete dcimos; catorce diecinueveavos; doscientoscincuenta, ciento treinta y dosavos; cincuenta y nueve, cuatrocientos ochenta ynueveavos; mil doscientos cincuenta y tres, tres mil novecientos ochenta ynueveavos.

3. Si una manzana la divido en 5 partes iguales y a un muchacho le doy tres de esaspartes y a otro el resto, cmo se llaman las partes que he dado a cada uno de ellos?

4. Convertir en quebrados simples o fracciones impropias.4.1.1

1

2

4.2.11

8

4.3.73

4

4.4.92

3

4.5.182

3

4.6.12 3

11

4.7.153

8

4.8.53 9

17

4.9.8 1

102

4.10. 101 1318

5. Hallar los enteros contenidos en un quebrado impropio5.1.

12

3 5.2.

115

35


40/54



5.3.215

73

5.4.318

90

5.5.195

63

5.6.3115

417

5.7.2134

289

5.8.601

217

5.9.354

61

5.10. 40133

6. Reducir:6.1.

3

5a 35avos R:

21

35

6.2.1

6a 42avos R:

7

42

6.3.9

22a 176avos R:

72

176

6.4.12

19

a 133avos R:84

133

6.5.3

5a 35avos R:

21

35

6.6.8

21a 105avos R:

40

105

6.7.7

29a 841avos R:

203

841

6.8.24

25a 200avos R:

192

200

6.9.33

29

a 174avos R:198

174

6.10. 1131

a 9610avos R:3410

9610

7. Reducir:7.1.

7

14a medios. R:

1

2

7.2.6

15a quintos. R:

2

5

7.3.8

20a quintos. R:

2

5

7.4.2024

a sextos. R: 56

7.5.25

35a sptimos. R:

5

7

7.6.96

126a 21avos. R:

16

21

7.7.50

55a 11avos. R:

10

11

7.8.60

90a 18avos. R:

12

18

7.9.

225

335a 67avos. R:

45

677.10. 640

816a 102avos. R:

80

102


41/54



8.1. Reducir al mnimo comn denominador

7.11. 12,

1

4 R:

2

4,

1

4

7.12. 25,

1

15 R:

6

15,

1

15

7.13. 13,

2

9 R:

3

9,

2

9

7.14. 38,

7

30 R:

45

120,

28

120

7.15. 712

,11

15 R:

35

60,

44

60

7.16. 110

,3

27,

7

30 R:

9

90,

10

90,

21

90

7.17. 56,

7

20,

11

25 R:

250

300,

105

300,

132

300

7.18. 715, 245, 1160 R: 84180, 8180, 331807.19. 1

6,

2

9,

3

8 R:

12

72,

16

72,

27

72

7.20. 16,

1

12,

1

24 R:

4

24,

2

24,

1

24

8. Simplificar:8.1.

2

5+

3

5+

4

5= R: 1

4

5

8.2.2

3+

5

6= R: 1

1

2

8.3.7

5+

8

15+

11

60= R: 2

7

60

8.4.7

90+

11

30+

3

80+

7

40= R:

473

720

8.5.8

72+

71

144+

5

36+

8

27= R: 1

17

432

8.6. 1

324+

1

162+

5

108+

1

14+

1

21= R:

11

63

8.7.31

4+ 5

3

4= R: 9

8.8.81

9 + 107

9 + 161

9 = R: 35

8.9.21

5+ 4

1

10+ 8

3

25= R: 14

21

50

8.10. 7 + 87

= R: 81

7

8.11. 1412

+ 60 = R: 611

6

8.12. 6 + 2 130

+ 5 + 7 1

45= R: 20

1

18

8.13.

1

4

+1

2

+1

3+

1

6

= R: 11

4


42/54



8.14. 5 16

+ 21

9+ 3

1

12 + 3

5+

7

3+

2

15= R: 13 77

180

8.15. 232511

25 7

25= R:

1

5

8.16. 1936

7

80

11

90= R:

229

720

8.17. 9 910 = R: 8 1108.18. 6 5

6 3 1

6= R: 3

2

3

8.19. 14 1145 5 7

60= R: 9

23

180

8.20. 9 16 7 2

3= R: 1

1

2

8.21. 9

4

1

2= R: 4

1

2

8.22. 1 78 1 = R: 788.23. 23

+5

6 1

12= R: 1

5

12

8.24. 34 5

8+

7

12= R:

17

24

8.25. 3 + 35 1

8= R: 3

19

40

8.26. 6 + 1 13 2

5= R: 6

14

15

8.27. 38

1

6+

1

12= R:

1

8

8.28. 27 3 38 2 14= R: 25 788.29. 1

2+

4

3 1

2+

1

6= R: 1 1

6

8.30. 8 14

+1

85 3 1

3= R:

1

24

8.31. 719

19

13

26

21= R:

2

3

8.32. 9 29

1 1

83 2

3

21= R: 20

8.33. 35 13 5 116 = R: 1 1808.34. 16 3

5 7

10 1

159= R:

1

10

8.35. 512

3

4= R:

5

9

8.36. 26 18

= R: 208

8.37. 1 12

21

3= R:

9

14

8.38. 12 34 32 = R: 49


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8.39. 35

23

+5

6= R: 2

5

8.40. 58

10

50 10 1

12= R:

3

242

9. Reducir a fraccin simple.9.1.

5

38 = R: 13 13

9.2.2

33

7 = R: 1 59

9.3.

1

3+

2

5+

1

3023

30

= R: 1

9.4.

3

4+

5

6

3

51

22775 = R: 121

2

9.5.2

5 +3 10 1 202

3 +1 9 +5 6 = R: 11729010.Resolver los siguientes planteamientos:

10.1. Pedro ha estudiado 3 23horas, Enrique 5

3

4horas y Juan 6 horas. Cunto han

estudiado los tres juntos? R: 15 5

12horas.

10.2. Si empleo 58del da a trabajar; Qu parte del da descanso? R: 3

8

10.3. Un hombre vende 13 de su finca, alquila

1

8 y lo restante lo cultiva. Qu

porcin de la finca cultiva? R:13

24

10.4. Cunto es los 56de los

3

5del triplo de 40? R: 60

10.5. 111

de las aves de una granja son gallos,2

13son gallinas,

5

143 palomas y las

206 aves restantes son patos. Cuntas aves hay en total en la granja? R: 286

10.6. Un hombre al morir manda entregar los 718

de su fortuna a su hijo mayor,

los5

11al hijo menor y los $620 restantes a un sobrino. Cul era su fortuna y

cunto recibi cada hijo? R: $3960; mayor, $1540; menor, $1800.

10.7. Compre un traje y un anillo. El traje me cost $45 y esta cantidad es los 59

del precio del anillo. Cunto cost ste? R: $81


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10.8. En un colegio hay 42 alumnos varones que representan los 313

del total de

alumnos. Cuntos alumnos hay y cuntas nias? R: 182 alumnos; 140 nias.

10.9. Compre un traje por $30 y lo vendo ganando los 310

del costo. Hallar el

precio de la venta. R: $39

10.10.Un padre deja al morir $4500 para repartir entre sus tres hijos. El mayordebe recibir

2

9de la herencia; el segundo

1

5de la parte del anterior; y el tercero lo

restante. Cunto recibir cada uno? R: mayor, $1000; medio, $200; menor,$3300.

ANALIZA LOS GRAFICOS Y RESUELVE SEGN CADA CONSIGNA


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Unidad IV MCD y MCM 48

UNIDAD IV

MXIMO COMN DIVISOR (MCD) Y MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)

Antes de abordar conceptos de MCD y MCM, debemos recordar los criterios de

divisibilidad.

Divisibilidad

Son ciertas seales de los nmeros que nos permiten conocer, por simple inspeccin, si un

nmero es divisible por otro.

Un nmero a es divisible por otro b, distinto de cero, si al dividir a por b se

obtiene resto cero. En este caso, es amltiplo de by es bdivisor de a.

Ejemplos: 24 es mltiplo de 8, siendo 8 divisor de 24

25 es mltiplo de 5, siendo 5 divisor de 25

Nota: todos los nmeros son mltiplos de 1, la unidad; es decir, 1 es divisor de todos los

nmeros.

Nmero primo:

Se denomina nmero primo a aqul nmero que slo es divisible por la unidad y por smismo.

Ejemplos: 2 (nico nmero par primo), 3, 5, 7 .11, 13, 17, 19, 23, 29, etc.

Obs: cmo saber si un nmero es primo?

Tomemos como ejemplo 97. Averiguamos la raz cuadrada de 97: da 9,84


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Ejemplos: 8 y 15; 20 y 27

Se puede observar que los nmeros no tienen que ser, necesariamente, primos

individualmente.

Criterios de divisibilidad:

Algunos criterios nos permiten conocer ms fcilmente cundo un nmero es mltiplo de

otro.

1) Divisibilidad por 2.Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.

Ej.: 128 es par porque 8, que es la unidad, es par.

2)

Divisibilidad por 3.Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de sus cif ras es mlt iplo de 3.

Ej.: 75.345 es mltiplo de 3 porque 7 + 5 + 3 + 4 + 5 = 24es mltiplo de 3

3) Divisibilidad por 5.Un nmero es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.

Ej.: 125 es mltiplo de 5 porque termina en 5.

4) Divisibilidad por 7.Un nmero es divisible por 7 cuando la diferencia entr e el nmero formado sin la cifra

de las uni dades y el doble de la cif ra de las unidades es cero o mltiplo de 7.

Ej.: 16492 es mltiplo de 7?

Hacemos:

1649 2.2 = 1645;164 2.5 = 154;15

2.4 = 7 .

Si, es mltiplo de 7

5) Divisibilidad por 11.Un nmero es divisible por 11 cuando la resta entre las sumas de los nmeros ubi cados

en lugar es pares y en lugares impares es cero o mltiplo de 11.

Ej.: 324.577 es mltiplo de 11 porque 2 + 5 + 7 (3 + 4 + 7) = 0(el cero es mltiplo detodos los nmeros, excepto el cero).


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Mximo comn divisor (M.C.D.)

Si un nmero es divisor de varios otros, se dice que es divisor comn de todos ellos.

El mayor de los divisores comunes es el mximo comn divisor (MCD)

Regla: Se descomponen los nmeros en factores primos. El MCD se forma con el

producto de los factores primos comunes con su menor exponente.

Mnimo comn mltiplo (M.C.M.)

Un nmero es mltiplo de varios otros si es mltiplo comn de todos ellos.

Al menor de los mltiplos comunes de varios nmeros se lo llama mnimo comnmltiplo (MCM)

Regla: Se descomponen los nmeros en factores primos. El MCM se forma con el

producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Existen varios mtodos para hallar tanto el mximo comn divisor como el mnimo comnmltiplo, pero abordaremos solo el mtodo abreviado.

Ejemplo:

Hallar el MCD de 144 y 520

Halla el MCM de 32 y 80

144 520

72 26036

18

130

65

222

= 2 2 2 =

Hemos aplicado mtodo abreviado en donde yadescomponemos en factores primos ambos nmeros.Para el hallazgo del MCD slo hace faltadescomponer hasta el ltimo divisor comn. El MCDes el producto de esos divisores comunes.

32 80

16 4084

21201051

2222

25

= 2 2 2 2 2 5 =

Hemos aplicado mtodo abreviado en donde yadescomponemos en factores primos ambos nmeros.Para el hallazgo del MCM, hacemos ladescomposicin hasta que los cocientes sean launidad. El MCM es el producto de todos esosdivisores.


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar el M.C.D. de los siguientes grupos de nmeros.1.1.12 y 15

1.2.540 y 1050

1.3.910, 490 y 560

1.4.690, 5290 y 920

1.5. 7, 14, 21, 35 y 70

2. Hallar el M.C.M. de los siguientes grupos de nmeros.2.1.46 y 69

2.2.18, 24 y 40

2.3.15, 16, 48 y 150

2.4.100, 500, 700 y 1000

2.5.14, 28, 30 y 120

3. Resuelve problemas sobre MCD3.1.Se podrn dividir tres varillas de 20 cm., 24cm. y 30 cm. en pedazos de 4cm

de longitud sin que sobre o falte nada entre ellos?

3.2.Un padre da a un hijo 80 dlares, a otro 75 dlares y a otro 60 dlares para

repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma

cantidad. Cul es la mayor cantidad que podrn dar a cada pobre y cuntos

pobres son socorridos? R: 5 dlares, 43 pobres.

3.3.Una persona camina un nmero exacto de pasos andando 650 cm, 800 cm y

1000 cm. Cul es la mayor longitud posible de cada paso? R: 50 cm.

3.4.Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de

superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. Cul ha de


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ser la superficie de cada parcela para que el nmero de parcelas de cada una sea

el menor posible? R: 175 23.5.Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo por 35 cm de ancho, y lo

queremos dividir haciendo cuadraditos del mayor tamao posible. Qu lado

tendrn dichos cuadraditos? R: Los cuadraditos sern de 5 cm de lado.

3.6.En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18 m de ancho se quiere poner

una valla alrededor, de forma que los postes estn todos a igual distancia y con

la mayor separacin posible entre ellos. A qu distancia deberemos colocar

unos de otros? R: Debemos colocarlos a 2 m de distancia unos de otros.

3.7. Para la campaa de Navidad, queremos envasar dos bebidas diferentes enbotellas iguales. Pero, para abaratar los costes, el nmero de botellas utilizadas

debe ser el mnimo posible. De la primera bebida tenemos 770 litros, y de la

segunda, 234 litros. Cuntas botellas utilizaremos? R: 502 botellas

necesitaremos.

4. Resuelve los problemas sobre MCM4.1.Puede usted tener 50 dlares en billetes de cinco, diez y veinte dlares? Cul

es la menor suma de dinero que se puede tener en piezas de cinco, diez y veinte

dlares?

4.2.Cul es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a $2, de a

5$ o de a $20 y cuntos billetes de cada denominacin haran falta en cada

caso?

4.3.Hallar el menor nmero de bombones necesario para repartir entre tres clases

de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un

nmero exacto de bombones y cuntos bombones recibir cada alumno de la

primera, de la segunda y la tercera clase. R: 300 bombones, de la 1, 15; de la 2,

12; de la 3, 10.

4.4. En una parada de Ciudad del Este, un bus pasa con una frecuencia de 18

minutos, otro cada 15 minutos y un tercero cada 8 minutos. Dentro de cuntos

minutos, como mnimo, se encontrarn en la parada de bus?


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4.5.Juan ha iniciado un tratamiento mdico para su alergia. Debe tomar tres

medicamentos distintos, unas pastillas, un jarabe y una crema. Las pastillas las

debe tomar cada tres horas, el jarabe cada cuatro y la crema aplicarla cada dos

horas. Si Juan tom todos los medicamentos a las 8:00 de la maana, a qu

hora los volver a aplicar todos?

4.6. Bernardita quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendi en su

taller de chocolatera, hizo 32 bombones de chocolate, 24 de frambuesa y 28 de

manjar. Cuntos paquetes con la misma cantidad de bombones de cada tipo

puede hacer?

4.7. Una de las unidades del grupo scout necesita preparar cintas para una de las

pruebas del campamento. Si tienen dos cordeles, uno de 94 cm y otro de 64 cm.,

cul es el mayor tamao en que pueden cortar las cintas de ambos cordeles,

para que sean todas iguales?

4.8. Tres amigas trabajan como voluntarias en un hogar de ancianos, de acuerdo

con sus posibilidades de tiempo. Una de ellas va cada 5 das, otra lo hace cada

10 das y la otra, cada 15 das. Suponiendo que un da se encuentran las tres en

el hogar de ancianos, cuntos das despus volvern a encontrarse?

4.9.Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada 54 segundos, y otro lo hace

cada 72 segundos. Si parten juntos de la lnea de salida:

a) Al cabo de cunto tiempo volvern a coincidir? R: 216 sb) Cuntas vueltas habr dado cada ciclista en ese momento? R: 4 y 3 vueltas.

4.10. Un comerciante va a comprar mercanca a unos almacenes cada 42 das yotro va cada 70 das. Si coincidieron el da 15 de septiembre, al cabo de

cuntas semanas volvern a coincidir? R: Al cabo de 30 semanas.


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BIBLIOGRAFA

BALDOR, J. A. ARITMTICA.2003. Dcima Octava Impresin. PublicacionesCultural S. A., Mxico.

Aguilar Mrquez, Arturo. Aritmtica y Algebra Autor Editorial - Pearson /Canomat. ISBN: 97860744 22917Edicion- 2009

Repetto Cecilia Linskens Morales, Fesquet Hilda. Aritmtica 1 y 2Editorial Kapelusz.

ENCICLOPEDIA. MATEMATICA 2000. Taller integral de autoaprendizaje.Taller colectivo de aplicacin. Taller individual de interpretacin.

CARNELLI, Gustavo y otros. MATEMTICA para el AprestamientoUniversitario. Coleccin Textos Bsicos. Universidad Nacional de GeneralSarmiento. 2007, Bs. As.

GALLEGO LAZARO, Carlos y otros. Repensar el aprendizaje de las matemticas.Matemticas para convivir comprendiendo el mundo. Serie Didctica de lasmatemticas. Ed. GRAO, de IRIF,S.L. 2007, Barcelona

Arnaldez, Roger y otros (1988), Las antiguas ciencias del Oriente., Barcelona:Ediciones Orbis S.A.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_EgiptoCategoras: Ciencia del antiguo Egipto | Historia de la matemtica

http://perso.wanadoo.es/jpa03733/contenido/MATEMATICAS.html

cuadernillo mat educaciÓn - nivelacion

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