Centro de Bachillerato Tecnológico Agropecuario 20

Río Grande, Zac.

Cuaderno de Apuntes y Ejercicios de: Calculo Integral

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo está dirigido a

los alumnos del CBTA 20 que cursan el Bachillerato Tecnológico, con la intención de que

sirva de guía y material de trabajo mínimo para cubrir los contenidos programáticos que

especifica el programa de estudios de Cálculo Integral, del Bachillerato Tecnológico;

asignatura del componente básico de dicho bachillerato

El descubrimiento del Cálculo en un principio apoyó algunos problemas de la

Física, actualmente constituye una herramienta muy útil en los diferentes campos de la

ciencia, permitiendo el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, la

estimación de la distancia y la velocidad de un cuerpo en movimiento, la predicción de

resultados de las reacciones químicas, la explicación del crecimiento del número de

bacterias en cultivos, la descripción del cambio de corriente eléctrica en un circuito, el

estudio de las pérdidas y ganancias de una empresa o el encuentro de las rectas

tangentes a las cónicas; con esto se da a entender que el uso del Cálculo tiene como

límite la creatividad del ser humano para su aplicación.

Con el desarrollo de los contenidos programáticos en el aula, mediante el proceso

enseñanza-aprendizaje, los participantes en dicho proceso deben ir construyendo los

conceptos que permitan comprender las bondades de esta herramienta, la comprensión

de los conceptos analizados y una adecuada aplicación a diversos problemas de la vida

cotidiana. Ello contribuirá a que todos los estudiantes puedan lograr el objetivo general

del curso que es:

Objetivo General: Los estudiantes integrarán los contenidos de la matemática antecedente, para resolver problemas que los conduzcan hacia los conceptos centralesde función, límite, derivada e integral. Que les permitan construir una imagen de su entorno con mayor coherencia y formalidad, para desarrollarse con solvencia en un entorno social, científico y tecnológico

Diferenciales Generalidades Diferenciales Formulas de diferenciación. Resolución de problemas por aproximaciónAntiderivadas Definición Integral indefinidaConceptos básicos de la integración

DIFERENCIALES:

Consideraciones generales:

En Cálculo Diferencial aplicamos el siguiente procedimiento para obtener la derivada de una función.

Expresión a la que le llamamos regla de los cuatro pasos, ello

permitió observar que en su aplicación se cumplen ciertas regularidades lo que condujo a las reglas de derivación que has venido aplicando tanto para las funciones algebraicas como para las funciones trascendentes.

FUNCIÓN FUNCIÓNALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

1: 2:

3. si x = v 4.

5: 6:

7: 8:

9: 10:

11: 12:

Regla de cadena: siendo y función de u

LOGARITMICAS EXPONENCIALES

“La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por la diferencial de la variable independiente

13. 15.

14. 16.

EXPONENCIALES17.

TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

18. 24.

19. 25.

20. 26.

21. 27.

22. 28.

23. 29.

Con estas fórmulas se pueden derivar todo tipo de funciones.

En Cálculo integral, operación inversa a la derivación no existe una regla general que permita integrar las diferenciales. Cada caso requiere de procedimientos especiales que pueden conducir a la deducción de ciertas fórmulas o métodos para integrar las diferenciales propuestas.

Existen tablas que permiten la integración de funciones; éstas se han obtenido a través de la generalización de métodos o técnicas de integración. Por ello es necesario analizar estos métodos o técnicas de integración para tener una idea más clara de este proceso.

“La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por la diferencial de la variable independiente

Ejemplo: Consideremos la función Y = 4x3 -3x2 + 2x. La primera derivada de esta función es y’ = 12x2 -6x +2

La diferencial de esta función según concepto es: dy = (12x2 -6x +2)

Observa que para expresar la diferencial de una función usamos d colocada antes de la función. Esto se puede expresar así:

d(4x3 -3x2 + 2x) = (12x2 -6x +2)

Sabemos que 2 de las formas de expresar la primera derivada de una función son:

si esta expresión la multiplicamos por dx se tiene

Expresión que conduce a este concepto:

”

Según este concepto la diferencial de la función anterior también se puede expresar así:

d(4x3 -3x2 + 2x) = = (12x2 -6x +2) dx

Actividad: Considerar los conceptos anteriores y realiza lo que se indica.

Calcular la diferencial de las siguiente expresiones:

a) y = 5x2 para x = 3 y = 0.3

Y’ = 10x derivada de la función dada

dy = f’(x) diferencial

por lo que: d(5x2) = 10x

sustituyendo: d(5x2) = 10(3)(0.3) = 30(0.3) = 9

b) calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado cuyo lado mide 6 m , si dicho lado se incrementa 0.004m.

en el cuadrado el área es A = l2, l = 6m = 0.004 m

como el área del cuadrado depende de la magnitud del lado:

A = f(l) = l2

dA =d( l2 )= 2l sustituyendo en la diferencial los valores propuestos se tiene:

dA = 2(6)(0.004) = 12(.004) = .0048 m2

Función Variable independiente

diferencial

c) y = 3x2-3x 5 0.6

d) y = 2x3 -2x2 -3x 3 0.2

e) y = ln 5x -2 5 0.4

f) f(x) = 8 0.7

g) f(x) = 4 0.3

h) Determinar el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo lado mide 8 m y éste se incrementa en 0.005m

V = l3

i) Si calcular considerar: y =

j) Obtener el valor aproximado de si = 6

k) obtener el valor aproximado de si (125)1/3 = 5

l) Obtener el incremento del área de un cuadrado si su lado mide 7 m y éste se aumenta en 0.004 m

ll) Calcular el incremento del volumen de un cubo de lado = 6.2m al aumentar el lado 0.005m

m) Calcular el valor aproximado del área de una esfera 9 cm. de radio si el radio aumenta 3 cm.

“La diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por la diferencial de la variable independiente”

Fórmulas de diferenciación:

Si se considera que:

A cada fórmula de derivación corresponde una fórmula de diferencial

FUNCIÓN FUNCIÓNALGEBRAICAS ALGEBRAICAS

1: d( C) = 0(dx) = 0 2: d(x) = 1(dx) = dx 3. d(Cx) = c(dx) si x = v

d(Cv) = Cd(v)

4. d(u + v –w) = du + dv - dw

5: d(u v) = udv +vdu

6: d(u v w) = uvdw + úwdv + vwdu

7: d(vn) = n un-1du 8:

9: 10:

11: 12:

Regla de cadena: siendo y función de u

LOGARITMICAS EXPONENCIALES

13. 15.

14. 16.

EXPONENCIALES 17.

TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS18.

24.

19. 25.

20. 26.

21. 27.

22. 28.

23. 29.

Como se observa: para calcular diferencial general dy de una función y = f(X) basta con aplicar las fórmula de derivación y después multiplicar el resultado por dx

Actividad: Calcular las diferenciales que se presentan:

1) d(4x3 – 2x + 3) aplicando las fórmulas requeridas al igual que en la derivación se tiene:

d(4x3 – 2x + 3) = d(4x3) - d(2x) +d(3)

= 12x2 dx – 2 dx =(12x2 – 2)dx

2) d(-4x3+ 10x2 – 5x + 7) =

3) d(

4)

5) d( 4Sen5x2) =

6) d(6x2e4x) =

7) d(7arcCos9x)=

8) d(ln(12x5)8 =

9) d( tan x – 2x) =

10) d(arc Cot x2) =

Nociones de Cálculo Integral.

Concepto de Integración:En matemáticas es sabido que existen operaciones inversas como:

La suma y la restaLa multiplicación y la división

La potenciación y la radicación.La operación inversa de la diferenciación es la antidiferenciación o integración

Función primitiva; Si F(x) = x2 f’(x) = 2x, la función primitiva de 2x es x2

Si y = Sen x y’ = Cos x la función primitiva de Cos x es Sen x

Si F(x) = 4x3 + x2 + 5 y f’(x) = 12x2 + 2x , entonces 4x3 + x2 + ( ) es la función primitiva de 12x2 + 2x. Observa que la constante no se puede determinar de esto se puede obtener la conclusión:

“Una función f(x) (derivada) tiene una infinidad de funciones primitivas que difieren solo en la constante”

F1(x) = 4x3 + x2 + 8 F2(x) = 4x3 + x2 -12 son funciones primitivas de f(x) = 12x2 + 2x F3(x) = 4x3 + x2 +5 Integral Indefinida:

Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida de f(x) dx.

Para representar la integral indefinida se utiliza el signo inicial de la palabra suma.

Para representar la integral indefinida de f(x) dx se escribe : f(x) d(x):

Si F(x) es la función primitiva de f(x) se tiene que: f(x) d(x) = F(x) + C, a la función f(x) se le llama integrando y al constante C se le llama constante de integración.

2x d(x) = x2 + C

integrando constante de integración.

Integración indefinida:A la operación de hallar integrales indefinidas se le llama integración indefinida;

operación inversa a la diferenciación o derivación.De esto se deduce: 1° . La derivada de una integral es el integrando D 3x2 d(x) = 3x2 la integral de 3x2 d(x) es x3 + C y la derivada de x3 + C = 3x2.2°. La integral de la diferencial de una función es igual a la función mas una constante.

d(Sen x) = Sen x + C porque Cos x d(x) = Sen x + C

Prueba de integración indefinida: Para comprobar si una integración indefinida está bien hecha se halla la derivada

del resultado.

Actividades: Obtener dos funciones primitivas de:

a) 4x3

b) 7x2 d(x) c) 1/xd) Sec2x d (x)e) ex

1. Si una función primitiva de 5x4 d(x) es x5 + 3, la integral indefinida de 5x4 d(x) es: _________

2. Simplificar las siguientes expresiones:D Cos x d(x) = D (4x2+x)dx=

D = d(tan x) =

d(ax) = d(ang Sen x) =

Determinación de la constante de integración: Si x2 + C representa una familia de parábolas y a cada valor de C le

corresponde una de estas curvas y sabiendo que la curva pasa por (2,1) se tiene que y = x2 + C entonces 1 = 22 + C de donde C = -3 . y = x2 -3Si pasa por R(3,11) 11 = 32 + C 11 – 9 = C C = 2 y = x2 +2

Integración de una función positiva:

Casos sencillos de integración: a. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante

de la variable independiente x.d(y)= 3x2 d(x) diferencial

y = 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)

y = + C generalizando este procedimiento se tiene:

(m+1)xm d(x) = ya sea m entero, fraccionario, positivo o

negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1)

lo que es inexacto.

x-1d(x) =

b. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante . de función de x

Si y = un u = f(x) d(y) = n un-1 d(u) y = n un-1d(u) =

c. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de las diferenciales:

[d(u) +d(v) –d(x)] = d(u) + d(v) - d(x)

d. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .

Integración de una función positiva:

Casos sencillos de integración: e. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante

de la variable independiente x.

d(y)= 3x2 d(x) diferencial

y = 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)

y = + C generalizando este procedimiento se tiene:

(m+1)xm d(x) = ya sea m entero, fraccionario, positivo o

negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1)

lo que es inexacto.

x-1d(x) =

f. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante . de función de x

Si y = un u = f(x) d(y) = n un-1 d(u) y = n un-1d(u) =

g. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de las diferenciales:

[d(u) +d(v) –d(x)] = d(u) + d(v) - d(x)

h. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .

C d(u) = C d(u)

1) d[c d(u)]= c[d d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o

2) d Cd(u) = Cd(u)

C d(u) = C d(u)

1) d[c d(u)]= c[d d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o2) d Integración de una función positiva:

Casos sencillos de integración: i. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante

de la variable independiente x.d(y)= 3x2 d(x) diferencial

y = 3x2 d(x) = procediendo a la inversa de la diferenciación, multiplicar por (x) y dividir este nuevo producto por el nuevo exponente y entre d(x)

y = + C generalizando este procedimiento se tiene:

(m+1)xm d(x) = ya sea m entero, fraccionario, positivo o

negativo a excepción en que m = -1 pues aplicando la regla: x-1d(x) = (-1+1)

lo que es inexacto.

x-1d(x) =

j. El integrando es la diferencial de una potencia de exponente constante . de función de x

Si y = un u = f(x) d(y) = n un-1 d(u) y = n un-1d(u) =

k. la integral de una suma algebraica de diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de las diferenciales:

[d(u) +d(v) –d(x)] = d(u) + d(v) - d(x)

l. factor constante de la integral o del integrando: Todo factor constante del integrando puede ponerse como factor de la integral o viceversa .

C d(u) = C d(u)

1) d[c d(u)]= c[d d(u)] = C d(u) la diferencial de una integral es el integrando o

2) d Cd(u) = Cd(u)

Cd(u) = Cd(u) como la d(1) es igual a la d(2) resulta que Cd(u) = C d(u)

Ejemplos:

a) x2/3d(x) =

b) x1/3 d(x) = =

c) (x2 – 2x)5 (2x-2) d(x) . haciendo (x2 – 2x) = u , (2x-2) d(u) sustituyendo se tiene:

(x2-2x)5(2x-2)d(x) = u5d(u) = =

d) haciendo u = (x-5)3 d(u) = d(x) sustituyendo se tiene u-3d(u) =

e) Sen2x Cos x d(x) haciendo Sen x = u Cosx d(x) = d(u)

u2 d(u) =

f) (x3 – 3x2 + 4) d(x) = x3- 3x2 + 4 d(x) =

= =

g) realizando la división se tiene

= x3 d(x) - 4x d(x) + 4 =

= + C

Integrales Inmediatas:

f(x) d(x) Se dice que es inmediata si se reconoce la expresión f(x) d(x) como diferencial

de una función (x) entonces por definición se puede escribir f(x) dx = (x) + C (todas las de las fórmulas serán inmediatas)

De las fórmulas de derivación se deducen las siguientes fórmulas de integración:

1) du = u + C 2) k du = k u + C 3) um du = m

4) 5) 6) Cos u d(u) = Sen u + C

7) Sen u du = - Cos u + C 8) Sec2 u du = tan u+ C 9) Csc2 u du = - Cot u + C 10) Sec u Tan u d u = Sec u + C 11) Csc u Cot u du = - Csc u + C

12) 13) -

14) 15) -

16) 17)

18) eu du = eu + C 19) au du =

Aplicaciones :

a) x4 dx = según fórmula 3

b) 4(4x + 1)3dx = si u =( 4x +1) du = 4d(x)

c) 3x2(x3-5)2d(x)= (x3-5)2 3x2 dx =

d) 5 Cos (5x-3)dx = Cos(5x-3)d(5x-3) = Sen (5x-3) + C u = (5x-3) du = 5 d(x)

e) porque u = 3x2- 4 du = 6xdx

f)

Hay integrales que sin ser inmediatas con una operación de multiplicación o división por una constante se convierten en inmediatas.

Ejemplos:

a) Cos 5x dx = 5Cos 5x dx = en este caso se a multiplicado por 5 y

dividido por 5b) (3x-1)2 dx = en este caso u = 3x-1 d(u) 3 dx para que esta derivada corresponda a una función donde se utilice fórmula 3 es necesario dividir por 3

(3x-1)2 dx =

c)

En este ejemplo primero se sacó el factor cinco y para que x2 sea d x3 falta 3 por lo que se multiplica y divide por 3 y entonces se tiene que se trata de la función primitiva que se relaciona con(ln v)

d) 4 e5x/7dx = 4 e5x/7 dx para aplicar la fórmula (18) falta el factor 5/7 ya que si u =

du =

por lo que es necesario dividir y multiplicar por 5/7

= 4 e5x/7(5/7) dx / 5/7=

e) si u = x3 du = 3x2dx si el numerador tuviera a 3 como factor se

aplicaría la fórmula para ello multiplicar y dividir por (3) y se tiene:

f) si u = d(u) =

= Sec2 . d = Tan

g) En este ejemplo se ha sacado 5 de la

integral y 9x2=(3x)2 d(3x) = 3 la expresión se multiplicó y dividió por 3

h) a d(x) = 4 en este ejemplo se ha multiplicado y dividido por y

según fórmula 19 BLa integral definida: Cálculo de áreas A

Sea la recta y = y el trapecio abBA a b

a = 1 b = 4 A(1,1) B(4,2)bB = 2-0 = 2 aA = 1-0 =1

Área =

Tratándose de una curva el problema se complica: Sea y = el área de la superficie abBA se llama área bajo la curva. Esto tiene una relación con el Cálculo Integral

Para mayor sencillez en las operaciones dividir el área del trapecio dividiendo el intervalo (1,4) en 3 subintervalos iguales o desiguales formando rectángulos interiores y exteriores

El área del trapecio abBA está entre la suma de las áreas de los rectángulos interiores y exteriores

B A a b

El área de los rectángulos interiores es (1x1) +(1x4/3) +(1 x 5/3) = 1+4/3 + 5/3 = 4 U2

Suma de áreas de rectángulos exteriores = (1x4/3) + (1x5/3) + (1x2) = 4/3 +5/3 +2 = 5 U2

por lo tanto el área del trapecio es 4< A < 5

Si hacemos más divisiones a los subintervalos de modo que se formen nuevos rectángulos.

x 1 1.6 2 2,5 3 3.4 4y 1 1.2 1.33 1.5 1.66 1.8 2

= (.6x3.2) +(,4x1,33) +(.5x1.5) + (.5x1.66)+(.4x1.8) +(.6x2) = 4.76 u2

4.24 < A < 4.76