crittografia e numeri primi iii incontro lunedì 22 novembre 2010 piano lauree scientifiche

70
Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Upload: vegliantino-basile

Post on 02-May-2015

224 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Crittografia e numeri primi

III incontrolunedì 22 novembre 2010

Piano Lauree Scientifiche

Page 2: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Le dispense degli incontri “Crittografia e numeri primi” sono sul sito

matheteresa.wikidot.com

Page 3: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Un messaggio può essere cifrato utilizzando una permutazione dell’alfabeto (e di eventuali altri caratteri).

Il Codice Cesare cifra utilizzando una cifratura per traslazionedel tipo

: |[ ] [ '] [ ] [ ]n nf Z Z m m m a

Questa cifratura è molto semplice da decifrare poiché è sufficiente determinare lo spostamento di una lettera per ottenere di conseguenza tutti gli altri.

Qualsiasi valore dello spostamento 0 < [a] < n va bene.

Cifrare con l’addizione

Page 4: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Un’altra permutazione dell’alfabeto può essere ottenuta utilizzandola funzione moltiplicativa

: |[ ] [ '] [ ] [ ]n nf Z Z m m a m

La funzione f è però una funzione di cifratura se e solo se [a] è invertibile in Zn e…

[a] è invertibile in Zn se e solo se MCD(a, n) = 1

La funzione di decifratura è:

Cifrare con la moltiplicazione

1 1 1: |[ '] [ ] [ ] [ '] [ ] [ ] [1]n nf Z Z m m a m a a

Page 5: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Un cifrario affine è un’applicazione Ck che contenga una moltiplicazione e una traslazione (in modo che lo [0] non abbia come immagine sé stesso). La nostra chiave sarà una coppia di numeri k = ([a], [b]) e la funzione cifrante sarà

La funzione Ck va bene se e solo se è biunivoca, cioè se e solo se è invertibile. Si mostra facilmente che ciò accade esattamente quando [a] invertibile.

Cifrario affine

f : Zn Zn

[m] [m’] = [a] [m] + [b]

Page 6: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Come determinare la chiave di decifratura?

[m’] = [a] [m] + [b]m’ = a m + b

Page 7: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Determina la chiave di decifratura relativa alla

chiave di cifratura Ck = ([5], [4])

Page 8: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Determina la chiave di decifratura relativa alla

chiave di cifratura Ck = ([11], [6])

Page 9: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Se si associa un ordine anche all’elenco dei caratteri del nostro alfabeto,la funzione di cifratura Ck produce una permutazione dell’ordine con cui compaiono i caratteri.

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

H D N B G M Q A T R L V C P F O U Z E S I

21 21:kC Z Z

Page 10: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

A

A

A

A

Quante sono le possibili permutazioni del nostro alfabeto di 21 lettere?

A partire dalla prima lettera (A) possiamo pensare di posizionarlaIn 21 posizioni, la seconda in 20 e così via…..

Page 11: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Quante sono le possibili permutazioni del nostro alfabeto di 21 lettere?

A partire dalla prima lettera (A) possiamo pensare di posizionarlaIn 21 posizioni, la seconda in 20 e così via…..

Pertanto, in totale abbiamo 21•20•19•18•……•2•1 permutazioni possibili del nostro alfabeto

21! = 51090942171709440000 ~ 5•1019

possibili riordinamenti del nostro alfabeto

Con le funzioni affini abbiamo 20*12 possibili permutazioni

Page 12: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Tutti questi 21! = 51090942171709440000 possibili riordinamenti del nostro alfabeto si portano però dietro la stessa informazione:

la distribuzione di frequenze dei caratteri è costante

Page 13: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Testo da cifrare:

Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustratole coltivazioni abbandonate alle pendici del monte.

Possiamo calcolare il numero di volte in cui ciascun carattere è stato utilizzato nel testo [totale 100 caratteri]:

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

12 3 3 4 12 0 1 1 8 8 2 9 9 2 1 4 4 12 3 1 1

Page 14: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

12%

3% 3%

4%

12%

0%

1% 1%

8%

0% 0%

8%

2%

9% 9%

2%

1%

4% 4%

12%

3%

1%

0% 0% 0%

1%

Testo da cifrare:

Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustratole coltivazioni abbandonate alle pendici del monte.

Page 15: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Aggiungiamo altro testo, altri 100 caratteri siamo quindi a 200:Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustratole coltivazioni abbandonate alle pendici del monte. Gli abitanti hanno bruciato tutte le colture in modo da non lasciare nulla al nemico che avanzava. Domani sera partiremo.

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

100 caratteri 200 caratteri

Page 16: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

100 carat-teri200 carat-teri

Confrontiamo la nostra distribuzione di frequenze con quella ottenuta considerando il primo capitolo dei promessi sposi

Page 17: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Possiamo confrontare la distribuzione di frequenze della lingua italiana Nei secoli, per esempio confrontando i promessi sposi con La Divina Commedia

Lettera

a

Lettera

b

Lettera

c

Lettera

d

Lettera

e

Lettera

f

Lettera

g

Lettera

h

Lettera

i

Lettera

j

Lettera

k

Lettera

l

Lettera

m

Lettera

n

Lettera

o

Lettera

p

Lettera

q

Lettera

r

Lettera

s

Lettera

t

Lettera

u

Lettera

v

Lettera

w

Lettera

x

Lettera

y

Lettera

z0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

Primo canto della Divina Commedia

Primo capitolo dei Promessi sposi

Page 18: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Possiamo confrontare anche le distribuzioni di frequenze nelle varie Lingue: inglese, francese, italiano.

Lettera

a

Lettera

b

Lettera

c

Lettera

d

Lettera

e

Lettera

f

Lettera

g

Lettera

h

Lettera

i

Lettera

j

Lettera

k

Lettera

l

Lettera

m

Lettera

n

Lettera

o

Lettera

p

Lettera

q

Lettera

r

Lettera

s

Lettera

t

Lettera

u

Lettera

v

Lettera

w

Lettera

x

Lettera

y

Lettera

z0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

16.00%

Primo capitolo dei Promessi sposi

Primo capitolo di Oliver twist

Primo capitolo di Les Miserables

Page 19: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Tutti i messaggi cifrati con un sistema monoalfabeticosi portano dietro una informazione che può essere utilizzata per decriptare.

Conoscendo la distribuzione di frequenze teorica possiamo tentare qualche accoppiamento per ridurre il numero di possibili permutazioni.

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z10,4

% 1,1% 4,6% 3,9% 12,3% 0,9% 2,0% 1,2% 10,0% 5,7% 2,6% 7,6% 9,6% 2,9% 0,7% 6,6% 5,4% 6,1% 3,5% 2,2% 0,7%

Page 20: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Testo cifrato:MQAOPT HIPPA FT FQHT LEAHT EGLAZEOVA QH TPPTVVI ZE OINLNAOT. ZIGTHE OVAHZANAGI T RTFFA.

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

frequenze nel messaggio cifrato

14% 0% 0% 0% 7% 6% 4% 8% 7% 4% 1% 4% 7% 7% 4% 1% 0% 14% 0% 6% 6%

possibili accoppiamenti

e                               e      

a a

i                               i      

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

distribuz. Teorica delle frequenze

10,4% 1,1% 4,6% 3,9% 12,3

% 0,9% 2,0% 1,2% 10,0% 5,7% 2,6% 7,6% 9,6% 2,9% 0,7% 6,6% 5,4% 6,1% 3,5% 2,2% 0,7%

Page 21: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOPa HIPPe Fa FQHa LEeHa EGLeZEOVe QH aPPaVVI ZE OINLNeOa. ZIGaHE OVeHZeNeGI a RaFFe.

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

frequenze nel messaggio cifrato

14% 0% 0% 0% 7% 6% 4% 8% 7% 4% 1% 4% 7% 7% 4% 1% 0% 14% 0% 6% 6%

possibili accoppiamenti

e                               e      a a i                               i      

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

distribuz. Teorica delle frequenze

10,4% 1,1% 4,6% 3,9% 12,3

% 0,9% 2,0% 1,2% 10,0% 5,7% 2,6% 7,6% 9,6% 2,9% 0,7% 6,6% 5,4% 6,1% 3,5% 2,2% 0,7%

Page 22: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOPa HIPPe Fa FQHa LEeHa EGLeZEOVe QH aPPaVVI ZE OINLNeOa. ZIGaHE OVeHZeNeGI a RaFFe.

Per la decifrazione completa ci possiamo anche aiutare osservando che ci sono alcuni caratteri ripetuti che fanno pensare alle doppie:Ci sono nel testo due gruppi di PP: proviamo a sostituire la lettera T:

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOta HItte Fa FQHa LEeHa EGLeZEOVe QH attaVVI ZE OINLNeOa. ZIGaHE OVeHZeNeGI a RaFFe.

Allora forse VV può essere cc…..

Page 23: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Possibile decifrazione del testo cifrato:MQeOta Hotte Fa FQHa LEeHa EGLeZEOce QH attacco ZE OoNLNeOa. ZoGaHE OceHZeNeGI a RaFFe.

…e la I può essere una o..

Page 24: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Come possiamo bloccare l’analisi delle frequenze?

•Non usando un codice monoalfabetico, modificando cioè la funzione con la posizione (cambiando per esempio la chiave)

•Cifrando i caratteri più frequenti con caratteri diversi (Leon Battista Alberti nel De Cifris)

•Cifrando non i caratteri singoli, ma a gruppi di due o tre lettere consecutive. In questo caso il numero di “caratteri” utilizzatiaumenta notevolmente . Lavorando per esempio con gruppi di due lettere:

441 441:kC Z Z

aa ab ac ad… ba bb bc

bd….…..

zu zv zz

AA AB AC AD… BA BB

BC BD….…..

ZU ZV ZZ

Page 25: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Questa mattina un battaglione del nostro esercito ha perlustrato le coltivazioni abbandonate alle pendici del monte.

Testo da cifrare:

Posso per esempio eliminare gli spazi Questamattinaunbattaglionedelnostroesercitohaperlustratolecoltivazioniabbandonateallependicidelmonte.e suddividere poi il messaggio in tanti digrammi (cioè blocchi di due lettere):Qu es ta ma tt in au nb at ta gl io ne de ln os tr oe se rc it oh ap er lu st ra to le co lt iv az io ni ab ba nd on at ea ll ep en di ci de lm on te.

Ogni digramma viene trattato come un unico carattere e, volendolo poi trattarecon una funzione matematica, ogni digramma corrisponde a un numero.

Page 26: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

abc cbde egfg gehil

mnopq qurs sttuvz

Osservazione: possiamo costruire il prodotto cartesiano Z21×Z21

e determinare il numero di “caratteri” utilizzati.

Ci possiamo chiedere quanti sono i digrammi che andremo ad utilizzare.

Page 27: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Associando le lettere a gruppi di due lavoriamo con 21×21=441 caratteri.

Quindi in questo caso l’insieme diventa Z441

Se invece raggruppassimo i caratteri a gruppi di tre o quattro, ecc.. il numero degli elementi dell’insieme su cui viene applicata la funzione di cifratura aumenterebbe notevolmente:

Trigrammi (gruppi di tre lettere): Z21×21×21=Z9261

gruppi di quattro lettere: Z21×21×21×21=Z194481

Page 28: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Supponiamo di associare le lettere del nostro messaggio a gruppicome possiamo dare un valore numerico a ciascundigramma?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Esempio: digramma gl viene tradotto nel numero 6×21+11=137

Esempio: trigramma ndo viene tradotto nel numero 13×212 +3×21+14=5810

Page 29: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Analisi delle frequenze

Lavorando con i digrammi si ottiene una distribuzione di frequenze, ma molto meno utilizzabile. In figura otteniamo la distribuzione dei digrammi in lingua inglese:

th in an on en ed es te is to of ha ou as se ve co de ro ri ll li be ma el ho ta ur0.000%

0.500%

1.000%

1.500%

2.000%

2.500%

3.000%

3.500%

4.000%

digrammi più frequenti in lingua ingleseottenuti con un testo di 4000000 caratteri

- senza punteggiatura e spazi

Page 30: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Bloccare l’analisi delle frequenze si traduce in insiemi più numerosi.

I numeri utilizzati diventano più grandi e potrebbe nonessere più così semplice calcolare il MCD(a,n) e determinare l’inverso di [a] per decifrare.

Page 31: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Proviamo a determinare il MCD (1633 , 3763)

Si ha:

1633 = 23 71

3763 = 71 53

MCD (1633, 3763) = 71

Page 32: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Definizione

Dati due numeri interi a e b, il loro Massimo Comun Divisore è un intero positivo d tale che:

1. d divide a e d divide b

2. se d’ divide sia a che b, allora d’ divide d

Page 33: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD(presente negli Elementi di Euclide, permette il calcolo del MCD tra due numeri senza ricorrere

alla fattorizzazione)

MCD (44880, 5292)

Page 34: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

a = b * quoziente + resto

44880 = 5292 * 8 + 2544

5292 = 2544 * 2 + 204

2544 = 204 * 12 + 96

204 = 96 * 2 + 12

96 = 12 * 8 + 0

a = b * q1 + r1

b = r1 * q2 + r2

r1 = r2 * q3 + r3

r2 = r3 * q4 + r4

MCD (44880, 5292) = 12

Page 35: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

MCD (1547, 560) =

MCD (3522, 321) =

Page 36: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche
Page 37: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche
Page 38: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

a = b * quoziente + resto

1547 = 560 * +

= * +

= * +

= * +

= * +

MCD (1547, 560) =

Page 39: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

a = b * quoziente + resto

3522 = 321 * +

= * +

= * +

= * +

= * +

MCD (3522, 321) =

Page 40: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Verifichiamo che l’ultimo resto non nullo divide tutti i resti che lo precedono

96 = 12 * 8 + 0

Infatti nell’ultima riga si legge:

L’ultimo resto non nullo (12) divide il resto precedente (96)

Page 41: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

96 = 12 * 8 + 0

Infatti nelle ultime due righe si legge:

L’ultimo resto non nullo (12) divide anche 204

204 = 96 * 2 + 12

E sostituendo si ha:

204 = (12 * 8) * 2 + 12 = 12 * (8 * 2 + 1) = 12 * 17

Page 42: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

96 = 12 * 8 + 0

2544 = 204 * 12 + 96

L’ultimo resto non nullo (12) divide anche 2544

204 = 96 * 2 + 12 = 12 * 17

E sostituendo si ha:

2544 = 204 * 12 + 96 = (12 * 17) * 12 + 12 * 8 =

= 12 * (12 * 17 + 8) = 12 * 212

Page 43: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Dunque l’ultimo resto non nullo divide tutti i resti che lo precedono

Page 44: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Verifichiamo che l’ultimo resto non nullo divide a e b

Dunque l’ultimo resto non nullo (12) divide sia a (44880) che b (5292)

Infatti dall’uguaglianza 5292 = 2544 * 2 + 204 , si deduce che:

Se 12 divide i resti 2544 e 204, allora 12 divide 5292

E dall’uguaglianza 44880 = 5292 * 8 + 2544, si deduce che:

Se 12 divide 52592 e 2544, allora 12 divide 44880

Page 45: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Si può concludere che l’ultimo resto non nullo è un divisore comune di a e b, e divide quindi il loro MCD!

Verifichiamo, viceversa, che ogni divisore comune di a e b è anche divisore dell’ultimo resto non nullo

Page 46: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Riscriviamo l’uguaglianza

44880 = 5292 * 8 + 2544

al modo seguente:

44880 - 5292 * 8 = 2544

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 2544

Page 47: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Riscriviamo l’uguaglianza

5292 = 2544 * 2 + 204

al modo seguente:

5292 - 2544* 2 = 204

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 204

Page 48: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Riscriviamo l’uguaglianza

2544 = 204 * 12 + 96

al modo seguente:

2544 – 204 * 12 = 96

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 96

Page 49: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Riscriviamo l’uguaglianza

204 = 96 * 2 + 12

al modo seguente:

204 – 96 * 2 = 12

Se n è un divisore comune di 44880 e 5292,

allora n divide anche il resto 12

Page 50: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Si può concludere che “ogni divisore comune

di a e b (e quindi anche il MCD (a, b)) divide

l’ultimo resto non nullo”!

Page 51: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Se l’ultimo resto non nullo divide il MCD (a, b) e il

MCD (a, b) divide l’ultimo resto non nullo, allora

l’ultimo resto non nullo è uguale al MCD (a, b)

Page 52: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Étienne Bézout

(1730 – 1783)

Page 53: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Massimo Comun Divisore

Dati due numeri interi a e b un loro massimo comun divisore è un intero positivo d tale che

1. d divide a e d divide b

2. se t divide sia a che b allora t divide d

Si dimostra, che ogni coppia di numeri interi a, b ammette un massimo comun divisore, che risulta essere unico, ed è indicato con il simbolo MCD(a,b).

Due numeri interi a, b tali che MCD(a,b) = 1 si dicono coprimi o relativamente primi

Page 54: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

a = b * quoziente

+ resto

44880 = 5292 * 8 + 2544

5292 = 2544 * 2 + 204

2544 = 204 * 12 + 96

204 = 96 * 2 + 12

96 = 12 * 8 + 0

Page 55: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Identità di Bèzout

L’algoritmo di Euclide ci permette, una volta individuato MCD (a, b), di trovare due numeri interi s, t tali che

d = s ´ a + t ´ b

Questa relazione si chiama IDENTITA’ DI BEZOUT.

Page 56: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

44880 = 5292 ´ 8+2544 r1= 2544=44880 - 5292 ´ 8

5292 = 2544 ´ 2+204 r2=204 = 5292 - 2544 ´ 2

2544 = 204 ´ 12+96 r3 = 96 = 2544 - 204 ´ 12

204 = 96 ´ 2+12 MCD = r4= 12=204 - 96 ´ 2

Page 57: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

MCD= 12 = 204 –96´2

r3 = 96 = 2544 - 204 ´ 12

r2 = 204 = 5292 - 2544 ´ 2

r1=2544=44880 - 5292 ´ 8

12 = 441 ´ 5292 – 52 ´ 4480

= 204 – (2544 - 204 ´ 12) ´ 2 = 204 – 2544 ´ 2 + 204 ´ 24

= 204 ´ 25 – 2544 ´ 2

= (5292 - 2544 ´ 2) ´ 25 – 2544 ´ 2=

= 5292 ´ 25 – 2544 ´ 52

= 5292 ´ 25 –(44880 –5292 ´ 8) ´ 52=

= 5292 ´ 441 – 44880 ´ 52

Page 58: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Come determinare l’inverso a è invertibile modulo n se e solo se

MCD(a,n)= 1.

MCD(a,n)= 1 = s a+n t (Bezout)

Modulo n

[1] = [s a+n t] = [s a]+[n t]

= [s] [a]+[n] [t]

Page 59: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Nascita dei codici polialfabetici

1466 Leon Battista Alberti – disco cifrante1553 Giovan Battista Bellaso – tavola reciproca1586 Blaise de Vigenère – cifrario di Vigenère

Page 60: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Cifrari polialfabetici Giovan Battista Bellaso

(Brescia1505 - ….)

contrassegno : VIRTVTIOMNIAPARENTVIRTVTIOMNIAPARENTVI

testo chiaro : larmataturchescapartiraacinquediluglio

testo cifrato: fyboueyldanuofszlpiincupnshmlrnxoiznrd

Page 61: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Le chiffre indéchiffrable

Page 62: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

Blaise de Vigenère (1523 – 1596)

Page 63: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

testo in chiaro a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

1 B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A

2 C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B

3 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

4 E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D

5 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E

6 G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F

7 H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G

8 I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H

9 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I

10 K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J

11 L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

12 M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L

13 N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

14 O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N

15 P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

16 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

17 R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

18 S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

19 T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

20 U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

21 V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

22 W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V

23 X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

24 Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

25 Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

26 = 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Page 64: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

L U C E L U C E L U C E L U C E L U C

testo in chiaro a p p u n t a m e n t o a l m u s e o

A a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t uB B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V a L

C C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W p J

D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X p R

E E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y u Y

F F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z n G G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A t H H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B a I I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C m J J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D e K K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E n

L L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F t

M M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G o

N N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H a

O O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I l

P P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J m

Q Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K u

R R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L s

S S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M e

T T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N o

U U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

V V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

Page 65: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

L U C E L U C E L U C E L U C E L U C

testo in chiaro a p p u n t a m e n t o a l m u s e o

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t uB C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V a L

C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W p J

D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X p R

E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y u Y

F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z n YG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A t NH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B a CI J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C m QJ K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D e PK L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E n H

L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F t V

M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G o S

N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H a L

O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I l F

P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J m O

Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K u Y

R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L s D

S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M e Y

T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N o Q

U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

Page 66: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

V E N T O V E N T O V E N

testo cifrato M M I H Z O E F X R V X N

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u vB C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W M r

C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X M i

D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y I v

E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H o

F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Z G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B O H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C E I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D F J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E X K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F R

L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G V

M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H X

N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I N

O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J

P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L

R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N

T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

Page 67: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

V E N T O V E N T O V E N

testo cifrato M M I H Z O E F X R V X N

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u vB C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W M r

C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X M i

D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y I v

E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z H o

F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Z lG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B O tH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C E aI J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D F sJ K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E X eK L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F R d

L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G V a

M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H X t

N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I N a

O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J

P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L

R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N

T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

Page 68: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Cifrare con il metodo Vigenère e la matematica:

f : ( Z26 , Zp) (Z26 ) p: dimensione della chiave

([m],[Kp]) ([m’])

Page 69: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Page 70: Crittografia e numeri primi III incontro lunedì 22 novembre 2010 Piano Lauree Scientifiche

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v z

Decifrare Vigenère …..conoscendo la chiave….

decifratura 10 1 19 17

M B V T

f-1 : ( Z26 , Zp) (Z26 ) p: dimensione della chiave

([m’],[K’p]) ([m])

Determinazione della chiave di decifratura:

P:{[11],[20],[2],[4]}

P’:{[10],[1],[19],[17]}