cours metrologie - hanquier.m.free.frhanquier.m.free.fr/worcester/references/others...
TRANSCRIPT
1
DES PONTS ET CHAUSSEES
ECOL
E NA
TION
ALE
COURS METROLOGIE
Responsable du cours : D. Duhamel
Auteurs : A. Alaoui, C. Bernard, G. Bouchet, D. Duhamel, C. Gatabin, R. Linder, G. Moreau, F. Pinard
Septembre 2005
2
1. INTRODUCTION A LA MESURE ............................................................................................................ 5 1.1 LA MESURE .............................................................................................................................................. 5
1.1.1 Introduction..................................................................................................................................... 5 1.1.2 Le système de mesure ...................................................................................................................... 5 1.1.3 Les signaux...................................................................................................................................... 6 1.1.4 L’analyse de Fourier....................................................................................................................... 7 1.1.5 Propriétés du système de mesure .................................................................................................... 8 1.1.6 Comportement de systèmes physiques............................................................................................. 9
1.2 LES ERREURS DE MESURE......................................................................................................................... 9 1.2.1 Grandeurs étalons......................................................................................................................... 10 1.2.2 Etalonnage .................................................................................................................................... 10 1.2.3 Sensibilité ...................................................................................................................................... 10 1.2.4 Les types d’erreur ......................................................................................................................... 11 1.2.5 Les différentes causes d’erreur ..................................................................................................... 12 1.2.6 Etude statistique ............................................................................................................................ 13 1.2.7 Combinaison de différentes erreurs .............................................................................................. 14
1.3 LES CAPTEURS ....................................................................................................................................... 14 1.3.1 Principes physiques....................................................................................................................... 14 1.3.2 Les différents types de capteurs..................................................................................................... 16 1.3.3 Les bases de données..................................................................................................................... 17
1.4 LES MOYENS D’ACQUISITION ET D’ANALYSE ......................................................................................... 17 1.4.1 Moyens analogiques...................................................................................................................... 18 1.4.2 Moyens numériques....................................................................................................................... 23
2. LES PLANS D'EXPERIENCES................................................................................................................ 25 2.1 INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 25
2.1.1 Aspects historiques de l’expérimentation...................................................................................... 25 2.1.2 Les buts de l’expérimentation, ses paradoxes ............................................................................... 25
2.2 L’EXPERIMENTATION ET LA CONSTRUCTION D’UN PLAN D’EXPERIENCES. DEFINITIONS. ....................... 26 2.2.1 Schéma d’une expérience, quelques définitions ............................................................................ 27 2.2.2 Définition des effets principaux des facteurs et de leurs interactions sur un cas simple .............. 28 2.2.3 Le problème des plans d’expériences : comment faire varier les facteurs ?................................. 29 2.2.4 Quel type de modèle ? ................................................................................................................... 29
2.3 COMPARAISON DE DEUX PLANS EN ETOILE ET D’UN PLAN FACTORIEL ................................................... 30 2.4 LES PLANS A DEUX NIVEAUX.................................................................................................................. 35
2.4.1 Définition du modèle pour un plan factoriel à 2 niveaux.............................................................. 36 2.4.2 Propriétés de groupe..................................................................................................................... 38 2.4.3 Application à la construction de plans factoriels fractionnaires .................................................. 38 2.4.4 Calcul des actions dans un plan fractionnaire.............................................................................. 41
2.5 EXEMPLES DE PLANS.............................................................................................................................. 41 2.6 UNE DEMARCHE PRATIQUE POUR ELABORER UN PLAN D’EXPERIENCES ................................................. 42 2.7 TP PLANS D’EXPERIENCES. COMPACTEUR DE PLAQUES ......................................................................... 45 2.8 LES PLANS HYPERGRECO-LATINS ........................................................................................................... 48 2.9 UN EXEMPLE DE PLAN PRODUIT ............................................................................................................. 53
3. L’ACQUISITION DE DONNEES SOUS INFORMATIQUE ................................................................ 55 3.1 QU’EST CE QUE LABVIEW ? ................................................................................................................... 56 3.2 FONCTIONNEMENT DE LABVIEW............................................................................................................ 56 3.3 VOTRE PROGRAMME LABVIEW.............................................................................................................. 58
3.3.1 Programme avec la boucle FOR................................................................................................... 60 3.3.2 L’affichage des MIN-MAX ............................................................................................................ 60 3.3.3 Sauvegarde des données dans un fichier....................................................................................... 62
4. JAUGES DE DEFORMATION ET CAPTEURS DE DEPLACEMENT.............................................. 71 4.1 MISE EN ŒUVRE................................................................................................................................ 71
5. MESURES DE VIBRATIONS................................................................................................................... 73 5.1 LES VIBRATIONS .................................................................................................................................... 73
5.1.1 Introduction................................................................................................................................... 73 5.1.2 Les différents capteurs .................................................................................................................. 74
3
5.1.3 Caractéristiques des accéléromètres............................................................................................. 75 5.1.4 Principe de fonctionnement des accéléromètres ........................................................................... 77
5.2 ANALYSE MODALE................................................................................................................................. 77 5.2.1 Introduction................................................................................................................................... 77 5.2.2 Analyse des vibrations d’une barre............................................................................................... 79 5.2.3 Vibrations d’une poutre en flexion................................................................................................ 81
5.3 DESCRIPTION DU TP .............................................................................................................................. 83 5.3.1 Mesure simple de vibration ........................................................................................................... 83 5.3.2 Vibrations longitudinales d’une barre .......................................................................................... 83 5.3.3 Vibrations d’une poutre ................................................................................................................ 83
6. MESURES DE DEPLACEMENTS PAR ANALYSE D’IMAGES ........................................................ 85 6.1 INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 85 6.2 MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE ............................................................................................................ 85
6.2.1 Introduction................................................................................................................................... 85 6.2.2 Transformations ensemblistes classiques...................................................................................... 86 6.2.3 Transformations en tout ou rien.................................................................................................... 87
6.3 METHODES EXISTANTES ET LIMITATIONS............................................................................................... 91 6.3.1 L’imagerie : traitement manuel..................................................................................................... 91 6.3.2 L’imagerie : traitement automatisé............................................................................................... 91
6.4 MISE EN ŒUVRE PRATIQUE .................................................................................................................... 92 6.4.1 Préparation des échantillons ........................................................................................................ 92 6.4.2 Description globale de la méthode utilisée ................................................................................... 94
6.5 DEROULEMENT DU TP ........................................................................................................................... 98 6.5.1 Les essais quasi-statiques.............................................................................................................. 98 6.5.2 Courbe contrainte/ déformation globale ..................................................................................... 100 6.5.3 Comparaison entre les déformations locale et globale. .............................................................. 100
6.6 PRESENTATION DU LOGICIEL IMAQ VISION ........................................................................................ 100 6.6.1 Généralités .................................................................................................................................. 100 6.6.2 Acquisition d'images ................................................................................................................... 101 6.6.3 Traitement des images................................................................................................................. 102
6.7 LES ESSAIS DYNAMIQUES..................................................................................................................... 106 6.7.1 Description.................................................................................................................................. 106 6.7.2 Acquisition des données .............................................................................................................. 107
7. INTRODUCTION A LA PHOTOELASTICITE................................................................................... 109 7.1 POLARISATION RECTILIGNE DE LA LUMIERE......................................................................................... 109 7.2 DETERMINATION DES DIRECTIONS DE POLARISATION D'UN FILTRE ...................................................... 109
7.2.1 Expérience................................................................................................................................... 110 7.3 LE PHENOMENE DE BIREFRINGENCE - DETERMINATION DES AXES OPTIQUES D'UNE LAME BIREFRINGENTE 110
7.3.1 Expérience : ................................................................................................................................ 111 7.4 LE PHENOMENE DE BIREFRINGENCE : RETARD OPTIQUE, ISOCHROMATIQUE, EN LUMIERE MONOCHROMATIQUE ....................................................................................................................................... 111
7.4.1 Expérience : ................................................................................................................................ 112 7.5 LA BIREFRINGENCE MECANIQUE .......................................................................................................... 112
7.5.1 Expérience : ................................................................................................................................ 113 7.5.2 L'extinction isocline..................................................................................................................... 113 7.5.3 Les isochromatiques.................................................................................................................... 113 7.5.4 L’ordre des isochromatiques....................................................................................................... 114 7.5.5 Teinte sensible............................................................................................................................. 115 7.5.6 Sensibilité du matériau................................................................................................................ 115
7.6 APPLICATIONS SIMPLES DE LA PHOTO-ELASTICITE............................................................................... 115 7.6.1 Étude de la flexion pure .............................................................................................................. 115
7.7 ÉTUDE DE LA COMPRESSION DIAMETRALE D'UN DISQUE ...................................................................... 116 7.7.1 Étude des directions principales des contraintes ........................................................................ 116 7.7.2 Etude des isochromatiques.......................................................................................................... 117
8. UTILISATION DE L’HOLOGRAPHIE POUR LA DETERMINATION DES MODES PROPRES D’UNE PLAQUE ENCASTREE. .................................................................................................................... 119
4
8.1 L’HOLOGRAPHIE .................................................................................................................................. 119 8.2 ELEMENTS DE THEORIE SUR L’HOLOGRAPHIE ...................................................................................... 119
8.2.1 Concepts généraux de l’holographie .......................................................................................... 119 8.2.2 Laser et longueur de cohérence .................................................................................................. 120 8.2.3 Holographie par transmission .................................................................................................... 121 8.2.4 Holographie interférométrique : ................................................................................................. 124
8.3 TRAVAIL EXPERIMENTAL ..................................................................................................................... 126 8.3.1 Objectifs ...................................................................................................................................... 126 8.3.2 Détermination des premières fréquences propres de la plaque .................................................. 126 8.3.3 Réalisation du montage holographique....................................................................................... 126 8.3.4 Détermination des déformées modales........................................................................................ 126
9. CAPTEURS DE TEMPERATURE ET DE PRESSION ....................................................................... 127 9.1 GENERALITES ...................................................................................................................................... 127 9.2 LES CAPTEURS DE TEMPERATURE ........................................................................................................ 127
9.2.1 Les thermocouples....................................................................................................................... 128 9.2.2 Les sondes à résistance de platine .............................................................................................. 129
9.3 LES CAPTEURS DE PRESSION................................................................................................................. 131 10. MESURES DE PRESSIONS ACOUSTIQUES.................................................................................. 147
10.1 LE SON ................................................................................................................................................. 147 10.2 LES MICROPHONES............................................................................................................................... 148
10.2.1 Différents types de microphones ................................................................................................. 148 10.2.2 Principe physique de fonctionnement.......................................................................................... 152
10.3 DESCRIPTION DU TP ............................................................................................................................ 153 10.3.1 Utilisation d’un microphone ....................................................................................................... 153 10.3.2 Principe du tube de Kundt........................................................................................................... 153 10.3.3 Détermination du coefficient d’absorption ................................................................................. 154 10.3.4 Mesure de l’impédance ............................................................................................................... 155 10.3.5 Travail à effectuer sur l’absorption ............................................................................................ 156
11. MESURES EN SOUFFLERIE ............................................................................................................ 159 11.1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 159 11.2 TRAVAIL EXPERIMENTAL ..................................................................................................................... 159
11.2.1 Aspect stationnaire...................................................................................................................... 160 11.2.2 Aspect instationnaire................................................................................................................... 161
11.3 LES CAPTEURS ..................................................................................................................................... 162 11.3.1 Le tube de Pitot ........................................................................................................................... 162 11.3.2 Le capteur de pression ................................................................................................................ 163 11.3.3 La jauge à fil résistant................................................................................................................. 164 11.3.4 Le vélocimètre à fil ou à film chaud ............................................................................................ 166
12. VISCOSITE DANS LES FLUIDES .................................................................................................... 169 12.1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 169 12.2 NOTION DE FLUIDE............................................................................................................................... 170 12.3 VISCOSITE DYNAMIQUE & VISCOSITE CINEMATIQUE ........................................................................... 170
12.3.1 Profil de vitesse ........................................................................................................................... 170 12.3.2 Viscosité dynamique.................................................................................................................... 171 12.3.3 Viscosité cinématique.................................................................................................................. 171 12.3.4 Valeurs de la viscosité................................................................................................................. 172
12.4 MESURES DE VISCOSITE ....................................................................................................................... 172 12.4.1 Viscosimètre d'Ostwald ............................................................................................................... 172 12.4.2 Viscosimètre à chute de bille....................................................................................................... 173 12.4.3 Viscosimètres rotatifs .................................................................................................................. 173
12.5 BUT ET DEROULEMENT DU TP.............................................................................................................. 174
5
1. Introduction à la mesure Denis DUHAMEL
1.1 La mesure
1.1.1 Introduction La mesure est un acte quotidien et des mesures comme celles de la température, de l’heure ou du poids sont des choses de la vie courante pour lesquelles peu d’attention est portée sur les instruments de mesure utilisés et sur l’exactitude des résultats obtenus. Cependant, pour des équipements plus importants comme on peut en trouver dans les installations industrielles, ces questions deviennent essentielles afin de garantir la qualité de l’ensemble du processus de mesure. Il est ainsi souvent nécessaire de respecter une norme ou de garantir la fiabilité d’un composant et on doit être assuré de la qualité des mesures que l’on effectue. Pour cela il est nécessaire d’apporter une grande attention au matériel utilisé durant la mesure ainsi qu’à la façon dont elle est effectuée. De manière générale, le but de la mesure est d’évaluer une variable physique appelée variable mesurée ou mesurande. Le but du système de mesure est donc la quantification de la variable mesurée, c’est l’opération de mesurage. Ce que l’on obtient en pratique est la valeur donnée par l’instrument de mesure. L’exactitude de la mesure se définit à partir de la différence entre la valeur donnée par l’appareil de mesure et la valeur réelle de la grandeur mesurée. Toute la difficulté consiste donc à avoir une valeur donnée par le processus de mesure qui soit la plus proche possible de la vraie valeur physique qui reste généralement inconnue. Il est cependant essentiel de pouvoir estimer l’erreur probable que l’on commet durant le processus de mesure afin de pouvoir garantir que la valeur donnée par l’appareil de mesure ne diffère pas de la vraie valeur d’une quantité supérieure à une grandeur fixée et connue.
1.1.2 Le système de mesure Le but général est de spécifier un système de mesure, un équipement et une procédure de mesure. Un système de mesure est généralement constitué de quatre parties : le capteur qui traduit la valeur physique en un signal généralement de nature électrique, le conditionneur de signaux qui transforme le signal du capteur pour en modifier l’amplitude ou pour le filtrer, la sortie qui permet de lire la valeur mesurée et éventuellement un système de contrôle par feedback dans le cas où le système de mesure est inclus dans un contrôle de processus (voir figure 1). Le capteur utilise un phénomène physique réagissant à la valeur physique à mesurer et assure sa transformation en un signal électrique, optique ou mécanique plus facile à manipuler et à quantifier. Les différents types de capteurs et leurs fonctionnements seront décrits beaucoup plus en détail par la suite. L’ensemble de l’équipement constitue une partie du processus de mesure. En effet, il doit être complété par une procédure de mesure qui définira l’ensemble des grandeurs à mesurer, les moyens techniques pour y parvenir et qui déterminera aussi l’ensemble des traitements à effectuer sur les valeurs mesurées pour parvenir à l’objectif final. Une aide précieuse pourra être apportée par un plan d’expérience qui permettra de déterminer les variables à mesurer, le nombre et le type de mesures à effectuer ainsi que l’ordre des mesures. Souvent le nombre de mesures à effectuer pourra être réduit considérablement par rapport à une approche naïve pour un résultat final équivalent. Cette question fera l’objet d’un chapitre spécifique.
6
calibration
capteursignal
conditionnement du signal
controle
physiqueprocessus
signal de controle
sortie traitement
^^
Figure 1 : Schéma général d’un système de mesure
1.1.3 Les signaux Un système de mesure transforme un signal physique d’entrée en un signal de sortie. Différents types de signaux sont transmis entre les capteurs, les conditionneurs et la sortie du système. Une connaissance minimale des caractéristiques de ces signaux est nécessaire à la compréhension du fonctionnement des appareils de mesure. Pour cela, on peut dans un premier temps classifier les signaux en trois catégories selon leur représentation temporelle et les valeurs prises par la quantité mesurée. On distingue ainsi : les signaux continus (dits aussi analogiques), les signaux discrets, les signaux numériques. Ces types de signaux sont représentés sur la figure 2.
temps
signal continu
temps
..
..
....
.
signal discret
temps
..
signal numérique
..
. .. ..
Figure 2 : Différentes formes de signaux
Un signal continu est défini pour toutes les valeurs du temps et peut prendre n’importe quelle valeur en amplitude. Un signal discret est en général un signal continu qui est mesuré à certains instants seulement. Un signal numérique est un signal discret qui a été quantifié et qui par conséquent ne peut prendre qu’un ensemble discret de valeurs en amplitude. Un signal analogique peut être numérisé à l’aide d’un convertisseur analogique numérique. La transformation inverse d’un signal est réalisé par un convertisseur numérique analogique. Ces opérations seront détaillées dans la suite.
Il faut aussi distinguer les signaux déterministes en fonction du temps pour lesquels les valeurs futures peuvent être prédites des signaux aléatoires qui ne sont pas prédictibles et qui nécessiteront des traitements spécifiques. Ces deux types de signaux sont représentés sur la figure 3. Les signaux de
7
mesure sont généralement des signaux déterministes. Les bruits de mesure sont des signaux aléatoires qui s’ajoutent aux signaux à mesurer. Un signal d’interférence est plutôt un signal de type déterministe qui s’ajoute au signal à mesurer et qui le perturbe.
Enfin, une dernière caractéristique des signaux concerne l’intervalle de temps sur lequel ils sont définis. Il faut distinguer les signaux transitoires qui n’existent que sur un intervalle de temps fini des signaux permanents définis à tout instant. On distinguera aussi les signaux stationnaires dont les propriétés n’évoluent pas en fonction du temps des signaux instationnaires dont les propriétés sont variables en fonction du temps. Par exemple un bruit de mesure d’origine thermique est un signal stationnaire et permanent alors qu’un choc engendre un signal transitoire.
signaux deterministes
–1
–0.5
0
0.5
1
1 2 3 4 5temps
signal aleatoire
–2
–1
0
1
2
20 40 60 80 100temps
Figure 3 : Signaux déterministes et aléatoires
Parmi les grandeurs caractérisant les signaux, les plus simples sont la valeur moyenne définie par
12
2
1
)(
tt
dttyy
t
t
−=
∫
et la valeur RMS définie par
12
22
1
)(
tt
dttyy
t
trms −
=∫
La valeur moyenne est aussi appelée la valeur dc (courant continu) ou offset tandis que la valeur rms est appelée la valeur ac (courant alternatif). Souvent on obtient une meilleure représentation de la valeur rms en retirant la partie statique du signal donnée par la valeur moyenne. Pour des signaux discrets, les formules sont analogues en remplaçant les intégrales par des sommes.
1.1.4 L’analyse de Fourier Pour les systèmes linéaires une analyse de Fourier permet souvent une description plus fine d’un signal dynamique. Elle permet la détermination des composantes fréquentielles du signal. Cette analyse sur les signaux d’entrée permet d’aider au choix des capteurs et de l’équipement en fonction du contenu fréquentiel. La représentation en série de Fourier s’écrit
( )∑∞
=
++=1
0 )sin()cos()(n
nn tnBtnAAty ωω
avec
8
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
2/
2/
2/
2/
2/
2/0
)sin()(2
)cos()(2
)(1
T
Tn
T
Tn
T
T
dttntyT
B
dttntyT
A
dttyT
A
ω
ω
pour un signal périodique de période ωπ /2=T . La fréquence fondamentale du signal est 1/T et les harmoniques ont pour fréquence n/T. Pour un signal qui n’est pas périodique la transformation de Fourier s’écrit
dtetyY ti∫∞
∞−
= ωω )()(
et la transformation inverse est
dteYty ti∫∞
∞−
−= ωωπ
)(21)(
souvent le signal est sous forme discrète et la transformation de Fourier discrète est donnée par
NketryN
fY NrkiN
rk ,...,2,1)(1)( /2
1
== −
=∑ πδ
avec fkf k δ= et )/(1 tNf δδ = . Ces calculs sont effectués grâce à l’algorithme FFT de transformée de Fourier rapide.
1.1.5 Propriétés du système de mesure Dynamique du système La dynamique du système est définie par le rapport entre la plus grande et la plus petite valeur qui peuvent être mesurées par le dispositif de mesure. Il faut entrer un signal compris entre minx et maxx et l’appareil renvoie une valeur mesurée comprise entre miny et maxy . Si un signal en dehors de cette plage est entré dans le système cela peut conduire à des détériorations du système de mesure ou pour le moins à des valeurs de sortie erronées par rapport à la grandeur à mesurer. S’il n’est pas détérioré, le système à tendance à saturer et par exemple à renvoyer la valeur maximale maxy quand on rentre
maxxx > . Il faut absolument éviter de se placer en dehors de l’intervalle de mesure défini par ].,[ maxmin xx Ces valeurs sont indiquées dans les notices d’utilisation des capteurs et des appareils de
mesure (qu’il faut lire avant de les utiliser). Rapidité Elle permet d’apprécier de quelle façon la grandeur de sortie suit dans le temps les variations de la grandeur mesurée. Physiquement, c’est le temps nécessaire pour que le régime transitoire devienne négligeable dans des conditions de précision déterminées. Pour quantifier cette notion, on définit le temps de réponse du système (souvent du capteur) comme l’intervalle de temps qui s’écoule après une variation brusque du mesurande pour que la grandeur de sortie ne diffère plus de sa valeur finale d’un écart supérieur à une limite fixée e%. Plus précisément, on définit pour la croissance de la grandeur de sortie, le temps de retard à la montée et pour la décroissance de la grandeur de sortie, le temps de retard à la chute. Par exemple un thermomètre exposé à un changement brusque de température ne sera capable de donner une mesure fidèle de la nouvelle température qu’après plusieurs dizaines de secondes.
9
Finesse Cette notion permet d’estimer l’influence de la présence du capteur et de ses liaisons sur la valeur du mesurande. La finesse ne peut être appréciée qu’en fonction des conditions d’utilisation. Par exemple, un capteur de déplacement linéaire aura une finesse plus grande si sa masse mobile et l’effort nécessaire à son déplacement sont faibles par rapport à la masse de l’objet en déplacement. Pour certains capteurs, la finesse et la sensibilité sont des qualités antagonistes. En règle générale, la finesse et la rapidité d’un capteur évoluent dans le même sens. La réaction du capteur sur le mesurande peut être annulée en utilisant des méthodes de mesure sans contact.
1.1.6 Comportement de systèmes physiques La plupart des systèmes peuvent être décrits à partir de la connaissance du comportement de systèmes élémentaires. Les systèmes élémentaires sont les systèmes d’ordre 0, 1 et 2. Les systèmes d’ordre 0 sont représentables par une relation d’entrée sortie telle que
)()( tKxty = si x(t) est l’entrée et y(t) la sortie du système. Ce type de comportement intervient principalement dans la mesure de propriétés physiques statiques. La réponse du système est considérée comme instantanée, dans la pratique cela signifie qu’elle est beaucoup plus rapide que les phénomènes physiques auxquels on s’intéresse. Les systèmes d’ordre un sont ceux qui ont des propriétés dissipatives et qui ne réagissent pas instantanément à une sollicitation en entrée. Ils sont décrits par la relation
)()()( tKxtyty =+&τ où τ est la constante de temps du système. Lors de l’application brusque d’un signal d’amplitude A, la réponse du système qui est à l’état 0y à l’instant initial est
τ/0 )()( teKAyKAty −−+=
Quand τ3.2=t la valeur de y(t) diffère de 10% de sa valeur finale. Ce temps est appelé le temps de montée du système. Un thermomètre à mercure par exemple se comporte suivant cette loi. Les systèmes qui possèdent en plus une inertie sont modélisés par des systèmes du second ordre dont l’évolution est gouvernée par l’équation
)()()(2)(1
020
tKxtytyty =++ &&&ω
ξω
0ω est la fréquence propre et ξ le facteur d’amortissement. En fonction de la valeur de l’amortissement le système peut être oscillant pour 10 << ξ ou non oscillant pour 1>ξ .
1.2 Les erreurs de mesure L’erreur de mesure est la différence entre la vraie valeur de la grandeur physique et la valeur mesurée par l’instrument de mesure. Cependant la vraie valeur est généralement inconnue. On ne peut qu’estimer l’erreur probable de mesure, appelée incertitude. Il convient premièrement de mettre tout en œuvre pour minimiser cette incertitude par un choix approprié de l’équipement de mesure et surtout par son réglage. Comme les erreurs de mesure ne peuvent jamais être éliminées complètement, il est essentiel, dans un second temps, de pouvoir estimer l’erreur qui reste associée au processus de mesure choisi afin de garantir que la vraie valeur est dans un intervalle estimé à partir de la valeur mesurée et de l’erreur probable. Pour pouvoir procéder au réglage de l’appareil de mesure, il faut disposer de grandeurs de référence qui sont données par les grandeurs étalons.
10
1.2.1 Grandeurs étalons Les étalons primaires sont utilisés pour définir les unités de base et pour fournir des grandeurs de référence pour mesurer ces unités. Ainsi l’unité de masse est le kilogramme et est défini à partir d’une barre étalon en alliage platine iridium conservé au bureau international des poids et mesures à Sèvres. L’unité de temps est la seconde définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation émise par la transition entre deux états fondamentaux de l’atome de césium 133. L’unité de longueur est le mètre défini comme la distance parcourue par la lumière pendant s910335641.3 −× . L’unité de base des températures est le Kelvin défini comme 1/273.16 la température du poids triple de l’eau. Finalement l’unité de courant électrique est l’ampère. A partir de ces grandeurs primaires sont définies toutes les grandeurs dérivées : force, accélération, pression, énergie, puissance, … Les étalons primaires sont ensuite utilisés pour définir toute une hiérarchie d’étalons secondaires selon l’ordre suivant :
• Etalons primaires • Etalons nationaux • Etalons locaux • Instruments de travail Les étalons sont de moins en moins précis à mesure que l’on descend dans la hiérarchie. Un étalon d’un niveau donné est défini par rapport à l’étalon de niveau supérieur et sert lui-même à définir l’étalon de niveau inférieur qui est une référence moins précise de la grandeur mais beaucoup plus facilement accessible. Les étalons de niveau supérieur sont très peu accessibles et ne peuvent en aucun cas servir pour les mesures courantes. L’utilisateur final a généralement accès à l’étalon de niveau inférieur qui lui sert à vérifier son instrument de mesure.
1.2.2 Etalonnage L’étalonnage d’un instrument consiste à appliquer une valeur connue en entrée du système de mesure afin de vérifier que la sortie correspond bien à la valeur attendue. La valeur d’entrée est obtenue grâce à l’utilisation d’une grandeur étalon. En entrant différentes valeurs connues on peut obtenir en sortie la courbe d’étalonnage y=f(x) de l’instrument qui permet de relier la valeur lue en sortie notée y à la vraie valeur de la grandeur physique à mesurer notée x (voir figure 4). C’est particulièrement utile lorsque la réponse de l’instrument est non linéaire. Ce type d’étalonnage est effectué par le fabricant de l’appareil de mesure. L’opération d’étalonnage permet aussi de déduire la justesse de l’instrument. La justesse est l’aptitude de l’instrument à fournir la vraie valeur de la grandeur physique. En entrant une valeur connue, on peut mesurer l’erreur due à l’instrument et définir la justesse par
1001 xvaleurvraie
mesuréevaleurvaleurvraiee
−−=
L’étalonnage peut être simple ou multiple suivant que la valeur de sortie dépend d’une ou de plusieurs grandeurs physiques d’entrée.
1.2.3 Sensibilité Connaissant la courbe d’étalonnage, on peut définir la sensibilité de l’instrument au voisinage d’une valeur d’entrée 1x par la relation
1
)( 1xdx
dyxK =
11
Cette grandeur permet de mesurer l’influence d’un changement de la valeur d’entrée sur la valeur de sortie. Un bon instrument devra avoir une assez grande sensibilité. Lorsque la sensibilité est constante la réponse de l’instrument est linéaire. Ce type d’instrument sera particulièrement recherché en raison de sa facilité d’utilisation. La sensibilité devra être aussi indépendante que possible de la fréquence de variation de la grandeur mesurée, du temps et d’autres grandeurs d’influence.
1.2.4 Les types d’erreur On distingue deux grands types d’erreurs : les erreurs de biais et les erreurs de précision (voir figure 5). La précision d’un instrument traduit sa capacité à redonner la même valeur de sortie lorsqu’une même valeur entrée est introduite à plusieurs reprises de façon indépendante. C’est une indication des variations aléatoires apportées par le système. Cela ne nécessite pas d’étalonnage. On évaluera l’erreur de précision en effectuant des mesures répétées d’une même valeur à différents instants et en calculant l’écart type des valeurs obtenues. Elle est affectée par le système de mesure à travers sa répétabilité et sa résolution, la variabilité temporelle et spatiale de la variable mesurée, les variations dans le mode opératoire et dans les conditions environnementales, la procédure et la technique de mesure pouvant varier légèrement d’une mesure à l’autre.
y=f(x)
K(x) = dy/dx pour x=x1
1 2 3 4 500
1
2
3
x1
vale
ur d
e so
rtie
, y [u
nité
]
valeur d’entrée, x [unité]
. ...
..
...
.
...
..
..
. valeur mesuréevaleur ajustée
Figure 4 : Courbe d’étalonnage
L’erreur de biais est la différence entre la moyenne des valeurs mesurées et la vraie valeur. Elle est plus difficile à estimer. Il faut pour cela comparer les valeurs mesurées avec d’autres valeurs obtenues par différents moyens comme : un étalonnage plus précis, une méthodologie différente, ou des comparaisons entre laboratoires. L’erreur totale de mesure est la somme de l’erreur de biais et de l’erreur de précision. Un instrument juste doit minimiser les deux sources d’erreur. Ces erreurs supposent que tous les étalonnages possibles pour réduire les erreurs de biais ont été faits. C’est l’erreur restante dans l’instrument de mesure. Chaque partie du système de mesure est affectée par ces types d’erreur. Ces erreurs doivent être déterminées au niveau de la conception de l’ensemble capteurs plus instrument afin de garantir a priori la justesse des mesures qui seront effectuées avec l’instrument.
12
erreur de biais
vraie valeur
erreur de précision
vale
ur m
esur
ée
moyenne des valeurs mesurées
Figure 5 : Erreurs de mesure
1.2.5 Les différentes causes d’erreur Erreur d’étalonnage L’étalonnage a pour but de réduire les erreurs mais ne peut pas les éliminer complètement. La grandeur étalon utilisée pour étalonner le système n’est pas parfaite et engendre une petite erreur de même que la mise en œuvre de la procédure d’étalonnage. Hystérésis On peut balayer la plage de valeurs d’entrée d’un système en partant de la plus petite valeur vers la plus grande ou au contraire de la plus grande vers la plus petite. Pour une même valeur d’entrée le système peut donner deux valeurs différentes suivant le sens de balayage. On définit alors l’erreur d’hystérésis par
100%max
max xy
yye bashaut −=
Ce phénomène peut être produit par exemple par des effets de viscosité ou de charge électrique résiduelle dans le système. Erreur de linéarité Beaucoup d’instruments sont conçus pour fournir une relation linéaire entre la valeur physique entrée dans le système et la valeur lue en sortie. Mais comme les systèmes réels ne sont jamais parfaitement linéaires, une erreur est introduite à ce niveau et peut être estimée par
100%max
xy
yye L
L
−=
où Ly est la valeur du système linéaire, y la valeur réelle de sortie et maxy la valeur maximale fournie par l’instrument.
Erreur de sensibilité La valeur mesurée est définie à partir du signal fourni par le capteur grâce à la mesure préalable de la sensibilité du système. Les erreurs de précision, par exemple, limitent la connaissance possible de la
13
sensibilité du système qui n’est connue qu’avec une certaine indétermination. Cela définit l’erreur de sensibilité. La résolution de l’instrument L’erreur due à la résolution de l’instrument peut être évaluée par
%)95(2/10 résolutionu ±=
où la résolution est la plus petite valeur mesurable par l’instrument. Grandeur d’influence Le système peut, lors de son utilisation, être soumis non seulement au mesurande mais également à d’autres grandeurs physiques dont les variations peuvent influencer la valeur de la grandeur de sortie (électrique). Ces variations sont impossibles à distinguer de l’action du mesurande. Les principales grandeurs d’influence sont la température (qui a des effets électrique, mécanique, géométrique), la pression, l’accélération et les vibrations (déformations, contraintes), l’humidité (constante diélectrique, résistivité, isolation électrique), les champs magnétiques variables ou statiques (f.e.m., résistivité), la tension d’alimentation, l’amplitude et la fréquence (grandeur de sortie électrique). Pour tenter d’éviter ces problèmes il faut mettre tout en œuvre pour réduire leur importance et si cela n’est pas possible, il faut au minimum stabiliser les grandeurs d’influence et effectuer un étalonnage aussi précis que possible. Récapitulation sur les erreurs Les erreurs peuvent se classer en trois types : 1. Les erreurs d’étalonnage
• Erreur par rapport aux étalons primaires • Erreur due à la technique d’étalonnage
2. Erreur d’acquisition de données • Erreur due aux capteurs • Erreur due à l’appareil de mesure • Erreur due aux variables non contrôlées
3. Erreur due à l’analyse des données • Technique des moindres carrés • Courbe d’étalonnage ajustée • Erreur de troncature
1.2.6 Etude statistique Supposons que l’erreur de biais est négligeable, on peut estimer la vraie valeur de la moyenne vraix à partir de la moyenne de la grandeur mesurée mesx avec un écart xu et une probabilité P par
%)(Puxx xmesvrai ±= Par exemple pour une loi normale, en notant σ l’écart type, nous avons
%)73,99(33%)45,95(22%)26,68(
σσσσ
σσ
+<<−+<<−
+<<−
mesvraimes
mesvraimes
mesvraimes
xxxxxx
xxx
A partir d’un échantillon de N valeurs mesurées, on peut estimer la moyenne et la variance par les formules
14
( )∑
∑
=
=
−−
=
=
N
iix
N
ii
xxN
S
xN
x
1
22
1
11
1
si la variable x suit une loi gaussienne, on peut estimer un intervalle de confiance par la formule %)(, PStxx xPNi ±=
où PNt , est la distribution de Student pour la probabilité P et le nombre de valeurs N. L’intervalle de
confiance sur la variance x est obtenu à partir d’une loi normale, pour 2xS il est obtenu à partir de la
loi du Chi-carré. On se référera au cours de statistique pour une étude plus développée du sujet.
1.2.7 Combinaison de différentes erreurs La combinaison de diverses sources d’erreur se fait suivant la formule suivante
221 nt eeu ++±= L
où les ie sont les erreurs dues à des causes élémentaires. Il faut pour cela que les unités de mesure des erreurs soient cohérentes et que les niveaux de probabilité soient les mêmes (en général 95%). Exemple : Un instrument mesurant une force a les propriétés suivantes Résolution : 0.25 N Erreur de linéarité : 0.20 N Erreur de répétabilité : 0.30 N On a donc Ne 20.01 = , Ne 30.02 = , l’erreur de résolution est Ne 125.00 = . L’erreur globale due à
cet instrument peut être évaluée par %)95(38.0)3.0()2.0()125.0( 222 Nu ±=++±= . Dans le cas où la valeur mesurée dépend de plusieurs facteurs, par exemple ),,,( 21 nxxxfR K= , l’incertitude sur R est
%)(1
2
PuxRu
n
ix
iR i∑
=
∂∂
±=
Exemple : un capteur de déplacement a une courbe d’étalonnage KEy = avec VmmK /10.10= ,
VmmuK /10.0±= . On cherche l’erreur autour de la valeur VE 00.5= avec VuE 01.0±= . On a alors
%)95(51.022
mmuKyu
Eyu KEy ±=
∂∂
+
∂∂
±=
1.3 Les capteurs
1.3.1 Principes physiques Les capteurs sont des dispositifs qui soumis à l’action d’un mesurande présente une caractéristique de nature électrique (impédance, charge, tension, courant, …) fonction du mesurande. Ils peuvent être divisés en deux catégories : les capteurs actifs et les capteurs passifs. Le capteur actif se comporte
15
comme un générateur : il est vu de sa sortie comme étant une charge, une tension ou un courant relié directement au mesurande. Le capteur passif se comporte comme une impédance : la sortie du capteur est donc une résistance, une inductance ou une capacité. Les capteurs actifs sont basés sur un effet physique assurant la conversion en énergie électrique de la forme d’énergie propre au mesurande (thermique, mécanique ou rayonnement). Les principaux capteurs actifs sont indiqués dans le tableau 1.
Les effets physiques mis en œuvre dans ces différents capteurs sont les suivants • Thermoélectrique Deux conducteurs de natures chimiques différentes, dont les jonctions sont à des températures
T1 et T2, forment un circuit qui est le siège d’une f.e.m : e(T1,T2). La détermination d’une température inconnue est possible à partir de la mesure de e lorsque la température T2 est connue.
Mesurande Effet utilisé Grandeur de sortie
Température Thermoélectricité Tension
Force, pression,accélération
Piézoélectricité Charge
Vitesse Induction électromagnétique Tension
Position (aimant) Effet Hall Tension
Tableau 1 : Principes physiques des capteurs actifs
• Piézoélectrique L’application d’une force ou d’une contrainte mécanique sur les matériaux piézoélectiques
entraîne une déformation générant l’apparition de charges électriques égales et de signes contraires sur les faces opposées. La mesure de force peut s’effectuer à partir de la tension lue aux bornes d’un condensateur (dont la charge varie par l’effet de cette force sur l’élément piézoélectrique).
• Induction électromagnétique : Si un conducteur se déplace dans un champ d’induction fixe, il est le siège d’une f.e.m.
proportionnelle au flux coupé par unité de temps. La mesure d’une f.e.m. d’induction permet la détermination de la vitesse de déplacement générant celle-ci.
• Effet Hall : Une plaquette (de matériau type semi-conducteur) est parcourue par un courant l. Cette plaquette
est soumise à une induction faisant un angle avec le courant. Une tension V apparaît alors dans une direction perpendiculaire à l’induction et au courant. Il est possible ainsi de déterminer la position d’un objet en lui liant un aimant.
Les capteurs passifs fonctionnent comme une impédance dont l’un des paramètres est sensible au mesurande. Ils peuvent être influencés par des propriétés géométriques ou par la résistivité, perméabilité magnétique, … Cette variation d’impédance est due à l’action du mesurande sur : • Les caractéristiques géométriques ou dimensionnelles : à chaque position d’un élément mobile
correspond une valeur de l’impédance. En mesurant cette impédance, le déplacement peut être obtenu (potentiomètre, inductance à noyau mobile, condensateur à armatures mobiles).
16
• Les propriétés électriques des matériaux : la déformation résulte de forces appliquées directement ou non sur le capteur, (jauge d’extensiométrie liée rigidement à une structure soumise à une contrainte).
Les propriétés électriques des matériaux peuvent influencer plusieurs grandeurs physiques (température, éclairement, pression, humidité, …). La mesure est effectuée en intégrant le capteur dans un circuit électrique alimenté appelé conditionneur. Celui-ci peut être soit un montage potentiométrique, soit un pont d’impédance qui à l’équilibre donne l’impédance et en déséquilibre donne une mesure de la variation de l’impédance. Les principaux capteurs passifs sont indiqués dans le tableau 2.
Mesurande Caractéristique électrique sensible
Température Résistivité
Déformation Résistivité
Perméabilité magnétique
Humidité Résistivité
Position (aimant) Résistivité
Tableau 2 : Principaux capteurs passifs
1.3.2 Les différents types de capteurs Une liste très sommaire des différents capteurs permet de distinguer les capteurs suivants 1. Capteurs optiques
• cellule photoconductrice : capteur résistif très sensible • capteur photoémissif • détecteur thermique • capteurs d’images • fibres optiques
2. Capteurs de température • méthodes optiques basées sur la répartition spectrales du rayonnement émis par l’effet doppler
dû à l’agitation thermique • méthodes mécaniques fondées sur la dilatation d’un solide, d’un liquide ou d’un gaz à pression
constante • méthodes électriques reposant sur la variation thermique de la valeur d’une résistance
3. Capteurs de position et de déplacement • le capteur fournit un signal fonction de la position de l’une de ses parties liée à l’objet. Les
exemples sont le potentiomètre, l’inductance à noyau mobile, le condensateur à armature mobile.
• le capteur fournit une impulsion à chaque déplacement élémentaire 4. Capteurs d’accélération, de vibration et de choc
• accéléromètre • capteurs piézoélectriques
5. Capteurs de force • capteurs piézoélectriques
17
6. Capteurs à jauge • capteurs composites avec corps d'épreuve
Les capteurs seront étudiés plus en détail lors des différents TP.
1.3.3 Les bases de données La gamme des capteurs utilisables est très vaste et le nombre de capteurs différents en mécanique peut atteindre plusieurs milliers. Ils se distinguent par leurs caractéristiques techniques et par les sociétés fabricant ces capteurs. Pour aider les utilisateurs, il existe des bases de données permettant de sélectionner un ou plusieurs capteurs répondant à des spécifications définies par l’utilisateur. L’exemple ci-dessous donne une sortie d’une base de donnée pour la recherche d’un capteur de pression. Cas de recherche d’un capteur de pression FOURNISSEUR: VEGA_TECHNIQUE CONSTRUCTEUR: VEGA_TECHNIQUE DESIGNATION: VEGABAR 44 ETENDUE DE MESURE (bar): 1 2.5 5 10 20 40 60 TYPE DE CAPTEUR: absolu ELECTRONIQUE INTEGREE: oui SIGNAL DE SORTIE: 4-20mA numerique PROTOCOLE NUMERIQUE: HART PROFIBUS PA SENSIBILITE: ns ALIMENTATION: 12-36V continu CONNEXION DE SORTIE: bornier DIMENSIONS (mm): longueur=85 longueur=85 hauteur=140 MASSE (grammes): nc RACCORD: autre DIMENSIONS DU RACCORD: nc TEMP. UTILISATION MINI (°C): -40 TEMP. UTILISATION MAXI (°C): 130 TENUE AUX VIBRATIONS: 4g de 5Hz a 100Hz INDICE DE PROTECTION: IP65 TENUE ATMOSPH. EXPLOSIVE: opt RESISTANCE CORROSION: inox 316ti, PVDF FIABILITE: MTBF=260000 heures TECHNOLOGIE: capacitif ceramique INCERTITUDE MESURE (% EM): +/-0.1 DERIVE TEMP ZERO (%EM/°C): +/-0.002 DERIV TEMP SENSIB (%mes/°C): nc DERIVE DANS LE TEMPS: +/-0.1%/12 mois BANDE PASSANTE: nc FREQ. DE RESONANCE (kHz): nc TEMPS DE REPONSE (ms): 200 SURCHARGE ADMISSIBLE (bar): 25 35 45 60 90 140 200 COMMENTAIRE: agrements ATEX II 1G EEx ia IIC COMMENTAIRE: ATEX II 1/2G EEx d ia IIC + membrane arasante DELAI DE LIVRAISON (jours): 20 CODE PRIX: E
1.4 Les moyens d’acquisition et d’analyse La sortie d’un système de mesure est souvent un signal électrique. Ce signal provient de la transformation d'une grandeur physique en signal électrique à l'aide d'un phénomène électrique ou électromagnétique puis est transmis au système d'acquisition qui est généralement un système électronique. On distingue les systèmes analogiques et les systèmes numériques.
18
1.4.1 Moyens analogiques Les moyens analogiques utilisent et traitent des signaux continus. Les exemples qui suivent présentent les principaux moyens analogiques utilisés dans la pratique.
1.4.1.1 Galvanomètres et potentiomètres Pour mesurer des courants on utilise des galvanomètres qui engendrent une force ou un moment lorsqu’un conducteur parcouru par un courant est placé dans un champ magnétique. La figure 6 présente un galvanomètre mesurant des courants continus à partir d'un moment engendré par le passage d'un courant. Ce moment vaut αsinNIABT = où N est le nombre de boucles de courant, I l'intensité du courant, A la surface de la boucle de courant, B la valeur du champ magnétique et α l'angle entre la normale à la boucle de courant et le champ magnétique. Ce moment est équilibré par un ressort de rappel.
échelle
N
S
ressort
pointeur
aimants permanents Figure 6 : Principe du galvanomètre
Les signaux fournis par les capteurs sont souvent des tensions électriques dont les valeurs s’étendent de quelques µV à quelques volts. Pour mesurer des tensions continues on peut employer un galvanomètre en série avec une résistance de valeur connue comme sur la figure 7. Une autre possibilité est d’utiliser un potentiomètre dont le schéma de principe est donné sur la figure 8. La résistance entre les points A et B dépend linéairement de la distance entre ces deux points. Lorsque le courant est nul dans le galvanomètre, on a la relation ABm EE = . On mesure ainsi mE en bougeant le point A pour annuler le courant dans le galvanomètre et la tension est alors donnée par
iT
ABm E
RRE =
lorsque le courant iE est connu. Les potentiomètres sont surtout utilisés pour mesurer de faibles tensions avec une précision de l’ordre du µV.
19
1.4.1.2 Oscilloscope Pour des signaux qui ont des composantes hautes fréquences, le moyen le plus utilisé est l’oscilloscope cathodique. Il peut couvrir des fréquences allant du continu jusqu’à quelques mégaHertz. Une photographie d’un oscilloscope est donnée sur la figure 9. Le principe de fonctionnement est basé sur un faisceau d’électrons qui est dévié par un champ magnétique créé entre une paire de plaques horizontales et verticales. L’impact des électrons sur le revêtement phosphorescent de l’écran crée une trace visible.
voltage continuà mesurer
Figure 7 : Voltmètre
Galvanomètre
mAB
iE
B
A
E
G
E
+
-
Figure 8 : Potentiomètre
Figure 9 : Oscilloscope
20
1.4.1.3 Mesure de résistances Pour mesurer des résistances électriques on utilise soit un ohmmètre, soit un pont de Wheastone. Le principe d’un pont de Wheastone est indiqué sur la figure 10. On cherche à mesurer la valeur de la résistance 1R qui varie en fonction d’une grandeur physique que l’on cherche à déterminer. Un courant continu est engendré entre les points A et D. Lorsque le courant mesuré par le galvanomètre est nul, le pont est dit équilibré et nous avons les relations :
43
21
4422
3311
00
IIII
RIRIRIRI
==
=−=−
B
43
43
gI
C
GAI
I
D
R R
RR
i
I
1 2
2
I
1
E
+ -
Figure 10 : Pont de Wheastone
Ces relations donnent
3
4
1
2
RR
RR
=
Une méthode de mesure possible consiste à avoir une résistance variable 2R de valeur connue que l’on ajuste pour annuler le courant dans le galvanomètre. Une autre possibilité est de mesurer la tension entre les points B et C avec un appareil de très grande résistance interne pour que le courant circulant dans l’appareil soit très faible. La tension mesurée est alors
3311 RIRIE −= ce qui donne
+
−+
=43
3
21
1
RRR
RRR
EE i
Supposons que dans l’état initial 0=E et que les valeurs des résistances soient toutes égales, une modification de la résistance RRR δ+= 1
'1 engendre une tension donnée par
21
RRRR
EE
i /24/
δδδ+
=
dont la mesure permet de connaître la variation de résistance Rδ .
1.4.1.4 Amplificateurs et filtres D’autres types d’appareils analogiques sont utilisés dans les montages électriques. On trouve d’abord des amplificateurs dont la fonction est de changer l’amplitude des signaux suivant une loi du type
)()( tEhtE entréesortie =
où h est une fonction mathématique. Le cas le plus simple et le plus fréquent est
)()( tGEtEh entréeentrée =
pour lequel l’amplification est un gain constant de valeur G. Les amplificateurs ont une valeur limite pour la tension d’entrée et une borne supérieure en fréquence au delà de laquelle le gain chute rapidement. Les filtres sont utilisés pour supprimer des bandes de fréquences dans un signal. On trouve des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande, voir figure 11. Ces formes idéales de filtres ne peuvent pas être obtenues en réalité. Dans la pratique, il y a une zone de transition au-delà de la fréquence de coupure et le filtre réel a l’allure donnée sur la figure 12. On évalue la vitesse de décroissance de l’amplitude en décibel par décade. Un exemple de filtre est un filtre passe-bas de Butterworth représenté sur la figure 13. Il vérifie la relation
ess EEERC =+& et sa pente est de 20 dB par décade. Lorsque l’on assemble k étages de filtres élémentaires, on obtient un filtre global dont la réponse en fréquence vaut
[ ] 2/12)/(11)(
kcff
fM+
=
avec )2/(1 RCfc π= , voir figure 14.
22
1
11
1
passe−bas passe−haut
passe−bande stop−bande
Figure 11 : Différents types de filtres
ffc
bande passante1
bande de transition
Figure 12 : Filtre réel
C
R
(t)(t)E Ee s
Figure 13 : Filtre de Butterworth
23
R (t)sELC
42 LL
531
s
e(t)E CC
R
Figure 14 : Filtre à k étages
1.4.2 Moyens numériques La numérisation consiste à transformer un signal continu en un signal discret à la fois en temps et en amplitude, voir figure 15. Pour que ce processus se fasse sans perte d’information, il faut vérifier le critère de Shannon qui s’exprime par
me ff 2> où ef est la fréquence d’échantillonnage et mf la plus grande fréquence contenue dans le signal continu. La relation précédente peut aussi s’exprimer par
mft
21
<δ
où tδ est la période d’échantillonnage.
.
.
....
..
. . . ... .
Figure 15 : Discrétisation d’un signal continu
Un échantillonnage avec un pas de temps tδ trop grand conduit à un signal échantillonné qui ne reproduit pas le vrai contenu fréquentiel du signal d’origine, c’est le phénomène de repliement. Pour éviter cela il faut d’abord filtrer un signal par un filtre passe-bas de fréquence de coupure 2/ef avant de l’échantillonner. La conversion entre les signaux analogiques et numériques est réalisée par des convertisseurs particuliers. Les convertisseurs analogiques numériques convertissent un signal continu en un signal discret. Les principaux points définissant la qualité d’un convertisseur sont la résolution (8 bits, 12 bits, 16 bits), la plage de voltage acceptable en entrée, par exemple 0-10V ou –5V +5V, et la vitesse de conversion. Les convertisseurs numériques analogiques sont soumis aux mêmes contraintes.
24
Figure 16 : Carte d’acquisition
Ces systèmes se retrouvent sur des cartes d’acquisition qui permettent de capter des signaux analogiques pour les transformer en signaux numériques exploitables sur ordinateur, voir figure 16. Ces cartes sont connectées sur la carte mère d’un PC.
25
2. Les plans d'expériences Richard LINDER
2.1 Introduction
2.1.1 Aspects historiques de l’expérimentation L’expérimentation intervient dans la plupart des domaines d’activité, mais elle s’est surtout développée depuis le 17ème siècle, essentiellement grâce à l’essor de la mécanique qui a notamment permis une mesure plus précise du temps. Elle a ainsi pu devenir un concept autonome dont le but est le développement de la connaissance, et différent de celui de l’empirisme dont le but est d’abord utilitariste. Son domaine n’a cessé de s’étendre :
• avec le développement des moyens de mesure, grâce à une grande facilité des mesures et de leur
traitement à un coût très réduit ; • avec le développement des moyens de calcul ; l’expérimentation numérique est devenue une
activité importante, à l’aide de codes d’éléments finis par exemple ; à son tour cette expérimen-tation numérique peut demander des validations expérimentales non numériques ;
• avec le développement des connaissances dont on aurait pu croire qu’elles permettraient d’écono-miser des expériences, ce qui est effectivement le cas pour certaines questions, mais il permet par ailleurs de se poser de nouvelles questions qui demandent de nouvelles expérimentations.
La méthode expérimentale reste la voie royale pour l’acquisition de nouvelles connaissances, de savoir faire, pour le développement d’outils techniques. Nous examinerons un peu plus précisément quel est son statut.
2.1.2 Les buts de l’expérimentation, ses paradoxes • Le but d’une expérimentation est d’établir s’il existe une relation de dépendance entre certains
facteurs, et de la modéliser. • Sa mission première est de produire des données objectives ou FAITS nouveaux de préférence :
ceux que la logique ne permettait pas de prévoir (déduire) à partir des connaissances déjà acquises.
• Cependant l’expérimentation n’est pas la simple observation des faits. Elle participe d’une
démarche générale de type inductif-déductif. La simple observation des faits ne produit rien à elle seule ; les faits acquièrent une dimension nouvelle dans la mesure où ils sont suivis d’un travail de remontée (induction) vers une idée générale. Le problème est que « il n’y a pas de règle générale permettant de faire naître dans le cerveau de l’homme, à propos d’une observation donnée, une idée juste et féconde » comme l’a dit Claude Bernard. Ceci laisse le champ libre à l’imagination.
La recherche expérimentale intervient aux divers stades du développement de la connaissance : • dans la découverte parfois fortuite de certains phénomènes ; • dans la recherche des causes d’un phénomène ; • dans l’élaboration de modèles mathématiques ;
26
• dans la recherche d’idées plus générales (induction) dont on aura besoin de vérifier les conséquences (déduction).
L’expérimentation fait partie d’une démarche générale de résolution de problèmes qui peut être schématisée comme suit.
définition des buts analyse des problèmes problèmes à résoudre dans définition des contextes le monde pratique élaboration recherche de savoirs de modèles pour résoudre les problèmes ; = outils si insuffisance : (logiciels, matériels, appel à l’expérimentation procédures …) L’expérimentation présente quelques possibilités paradoxales mais intéressantes • On peut compter sur le hasard ou sur l’indétermination pour faire une découverte : on laisse faire
la nature. Mais le plus souvent on cherche à encadrer ce hasard. • Souvent on peut trouver des moyens pratiques d’action, sans forcément bien comprendre les
causes, le mécanisme précis ; souvent on utilise des phénomènes, des modèles, sans être certain de leur parfaite adéquation. C’est le pari de l’empirisme.
2.2 L’expérimentation et la construction d’un plan d’expériences. Définitions.
Souvent le but est d’établir une relation entre une grandeur exogène y (la réponse de l’unité
expérimentale ou le résultat de l’expérience) et des facteurs causaux xj.Un essai élémentaire i donnera alors le résultat Yi = fXij. Dans une expérimentation on a généralement besoin de faire varier les facteurs causaux dans différents essais élémentaires, certains devant être fixés à un niveau préétabli pendant chaque essai ou expérience élémentaire, d’autres devant être contrôlés dans leur évo-lution temporelle par exemple ; nous examinerons ce problème de façon plus précise un peu plus loin.
Pour pouvoir trouver un modèle pour y il faudra que les facteurs ou variables recouvrent suf-fisament bien l’espace défini par les facteurs. Nous pouvons imaginer que les possibilités de combiner les variations des facteurs entre elles deviennent très nombreuses lorsque le nombre de ces facteurs croît et que leur réponse est de moins en moins linéaire. On peut ainsi chercher à structurer l’en-semble de ces variations de façon à obtenir l’information avec une qualité et une économie suffisantes.
La démarche intuitive a fait les preuves de son incapacité à établir une structuration qui soit optimale par rapport au double objectif : • de qualité : le résultat, le modèle obtenus contiennent-ils effectivement l’information souhaitée et
sont-ils d’une précision suffisante ? • de coût, notamment en nombre d’essais.
27
Unités expérimentales
2.2.1 Schéma d’une expérience, quelques définitions paramètres d’entré fixes, à contrôler Modèle définitif • On appelle facteur l’une des causes pouvant influencer le résultat. Certains facteurs peuvent être
contrôlables et seront contrôlés, d’autres peuvent ne pas être contrôlés et agir comme des perturbations parasites plus ou moins aléatoires, ou encore comme des facteurs blocs qui sont liés à des lots de matériaux, à des différences d’origine des résultats (différents laboratoires, différents expérimentateurs).
• On appelle niveau d’un facteur ou modalité de ce facteur, une des valeurs particulières que celui
prendra au cours d’un essai élémentaire. On est amené à choisir le nombre de niveaux qu’il sera utile d’utiliser pour chacun des facteurs afin de décrire correctement les effets produits par chacun de ces facteurs, et leurs interactions éventuelles.
• Dans un essai élémentaire chacun des facteurs contrôlés se verra attribuer un niveau. On appelle
traitement un ensemble contenant un niveau pour chaque facteur. Un traitement définit ainsi une expérience élémentaire pouvant éventuellement être répétée pour améliorer la précision du modèle recherché. Il n’est généralement pas souhaitable que les répétitions soient éxécutées consécu-tivement ; souvent l’ordre de l’ensemble des essais est choisi de façon aléatoire pour stabiliser le résultat par rapport aux éventuels effets blocs ou aux dérives temporelles qui sont fréquentes.
• L’ensemble ordonné des traitements définissant tous les essais élémentaires d’une expérimen-
tation et de leurs itérations constitue le plan d’expériences ; sa réalisation devra permettre de trouver au moins un modèle.
rétroaction
Mesures paramètres
Résultats
Facteurs blocs Perturbations aléatoires
Modèles a priori
Tests statistiques
Modèle définitif
Paramètres d’entrée fixes ou à contrôler
Unité expérimentale
28
2.2.2 Définition des effets principaux des facteurs et de leurs interactions sur un cas simple
• Un plan factoriel est un plan dans lequel tous niveaux de tous les facteurs sont combinés entre eux. • Parmi différents types de modélisation possible adaptés à un plan factoriel on considère un modèle
qui est appelé le modèle multilinéaire général. Dans ce type de modèle on considèrera des facteurs aussi bien quantitatifs (pouvant varier de façon continue) ou qualitatifs (et discontinus), et on utilisera des définitions générales applicables dans les deux cas.
• On appelle effet principal le résultat qui est produit isolément par chaque facteur. • On appelle interaction entre deux facteurs l’effet qui est produit en plus de la somme des effets
principaux par la variation simultanée de ces deux facteurs. Exemple : plan factoriel à 2 facteurs A et B ayant 2 niveaux chacun.
Y B Y Y A 2 2 moyenne y. 2 moyenne y2.
1
1 y1. y. 1 1 2 A 1 2 A 1 2 B On désigne par yij. le résultat moyen (sur les répétitions) obtenu pour le niveau i du premier facteur et le niveau j du second facteur, le point servant à indiquer que l’on prend la moyenne sur le 3ème indice qui est l’indice de répétition. On désigne par A, B les effets principaux des deux facteurs correspondants, et par AB l’interaction entre les deux facteurs. Pour des plans à 2 niveaux on peut utiliser les définitions suivantes : 2A = y2. . – y1. . 2B = y.2. – y. 1. 4AB = y22. – y21. – (y12. – y11.)
= Σi sign(i) yi.. = Σj sign(j) y.j. = y22. – y12. – (y21. – y11.) = y11. – y12. – y21. + y22. = Σij sign(i) sign(j)yij.
On voit que l’effet principal d’un facteur est la différence entre ses moyennes marginales (on prend la moyenne sur les autres facteurs, points noirs du graphe). On voit que l’interaction est une différence entre les effets de l’un des facteurs lorsque l’autre facteur passe d’un niveau à l’autre. En codant les niveaux inférieurs par –1, et les niveaux supérieurs par +1 on obtient des expressions de type produits. • On peut montrer après quelques calculs que la réponse estimée de ce plan s’écrit alors :
Yij = M + Sign(i) A + B sign(j) + sign(i) sign(j) AB
Plus généralement le modèle peut s’écrire de façon symbolique (ou tensorielle), e étant une erreur : Y = M+A+B+AB+e (la moyenne plus l’effet du facteur A, plus l’effet de B, plus l’interaction AB). • On voit que les relations de type produit sont généralisables pour les plans factoriels avec un
nombre de facteurs quelconques à 2 niveaux. On verra ces écritures généralisées à la fin de 2.2.4.
Effet principal du facteur B
Effet principal du facteur A Interaction
AB
29
2.2.3 Le problème des plans d’expériences : comment faire varier les facteurs ?
Un plan d’expériences est l’ensemble ordonné des essais correspondant aux différents traitements
et à leurs itérations, permettant de déterminer au moins un modèle.
Comment faire varier les facteurs ? • chacun isolément, à tour de rôle (les autres restant constants : « toutes choses égales par
ailleurs ») ; c’est le cas dans la figure de gauche ci dessous où le plan comporte 4 points ; • tous ensemble ; c’est le cas de la figure de droite où le plan comporte 8 points ; mais est-ce
possible, et comment ? • peut-on se contenter de faire varier les facteurs de façon plus ou moins aléatoire ? • quelle sera la qualité prévisionnelle du modèle obtenu dans chaque cas ? • quel sera le nombre d’essais compte tenu des répétitions qui seront nécessaires pour assurer une
qualité suffisante au modèle, quel sera le rapport qualité/coût pour différentes possibilités ? 5 7
8 4 6
3 1 3 2 2 4
2.2.4 Quel type de modèle ? 1. Le modèle multilinéaire généralisé : • Le résultat prévisionnel est la somme des effets principaux de chaque facteur et d’interactions
de rang croissant (entre couples de facteurs, entre triplets, …). • C’est un modèle empirique ; il s’applique aussi bien à des facteurs quantitatifs qu’à des facteurs
qualitatifs. • Il permet des structures de plans très variées, les unes très légères (plans de dégrossissage, peu
précis mais avec un nombre élevé de facteurs), les autres plus lourdes (suivant le nombre d’interactions retenues : plans factoriels fractionnaires de différentes résolutions).
2. Un modèle reposant sur une théorie scientifique, généralement non linéaire : • On tente de construire un plan optimal par rapport à la définition du modèle avec une méthode
d’optimisation ; le problème est généralement difficile (temps de calcul long) ; • La précision du modèle dépend fortement du plan d’expériences (la robustesse est peu évidente).
Le problème est que souvent on connaît mal le modèle. L’exemple suivant permettra d’illustrer la problématique du type de plan et ce qu’est un modèle multilinéaire généralisé. On donnera des exemples d’exploitation de plans ayant des structures différentes, et permettant de comparer les qualités respectives des modèles qu’ils permettent d’obtenir.
1
8
30
2.3 Comparaison de deux plans en étoile et d’un plan factoriel
On veut étudier les effets de 3 facteurs A, B, C.
On suppose qu’il suffit de 2 niveaux par facteur.
Quel plan choisir ?
1. Le plus intuitif : plan en étoile décentré : il consiste à faire varier un seul facteur à la fois à partir d’un point de référence (le point 1) ; il comporte 4 points (traitements). 2. Plan amélioré : plan en étoile centré : les points sont symétriques par rapport à un centre
qui ne fait pas partie des traitements du plan ; il comporte ainsi 6 points. 3. Plan factoriel : il comporte les 8 combinaisons possibles, mais est-ce le plus coûteux ? 5 7 4 3 4 6 8 1 3 5 2 1 3 1 2 6 2 4
Modèles admissibles
Pour simplifier on considérera des facteurs quantitatifs x1, x2, x3 , y étant la réponse du système expérimental ; pour chacun des 3 plans on peut envisager respectivement les modèles suivants :
y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + e
y = a0 + a1x1 + a2x2 +a3x3 + e y = a0 + Σ aixi + Σi > j bij xixj + c x1x2 x3 + e
Le domaine expérimental et la normalisation des facteurs : les niveaux de tous les facteurs sont codés par ±1, éventuellement 0 pour le niveau intermédiare, ce codage conduisant à un bon conditionnement des matrices du modèle et à une bonne précision de la résolution des systèmes linéaires. Pour chaque plan les réalisations du modèle sont notées sous la forme matricielle suivante où chaque ligne corr-respond à un essai : Y = X A + e X = I | x1 | x2 | x1x2 | … matrice des réalisations du modèle Y vecteur des observations ; e vecteur erreur aléatoire, centré : E(e) = 0.
31
Les 3 matrices X relatives aux trois plans seront détaillées plus loin. L’estimation statistique des coefficients des modèles peut s’effectuer suivant la méthode des moindres carrés dont on rappelle les 2 résultats les plus importants concernant l’estimation du vecteur coefficient A et de sa matrice de covariance, XTX étant inversible (X est de rang plein dans ces exemples) : A = (XTX)-1 XTY Cov A = s2(XTX)-1
s2 estimation de la variance expérimentale supposée connue pour les plans 1, 3, estimable avec le plan 2. • Les tableaux suivants contiennent les matrices X pour les 3 plans.
Les signes – sont équivalents à –1 et les signes + à +1. La colonne de 1 correspond à la constante.
Plans en étoile Décentré Centré
A B C I A B C I 1 - - - + 1 1 0 0 1 2 + - - + 2 0 1 0 1 3 - + - + 3 0 0 1 1 4 - - + + 4 -1 0 0 1 5 0 -1 0 1 6 0 0 -1 1
Plan factoriel
Traite- ments
EFFETS = niveaux des facteurs A B C
INTERACTIONS
(D) AB AC BC ABC I = M
1 (1) - - - + + + - + 2 a + - - - - + + + 3 b - + - - + - + + 4 ab + + - + - - - + 5 c - - + + - - + + 6 ac + - + - + - - + 7 bc - + + - - + - + 8 abc + + + + + + + +
Matrices de covariance des vecteurs A, AT = (A, B, C, … , M)
Les 3 tableaux suivants contiennent les matrices de covariance C des vecteurs action.
Factoriel C(8,8) Etoile décentré C(4,4) Etoile centré C(4,4)
1/8 0 0 0 1/2 1/4 1/4 1/2 1/2 0 0 0 0 1/8 0 0 1/4 1/2 1/4 1/2 0 1/2 0 0 0 0 1/8 0 1/4 1/4 1/2 1/2 0 0 1/2 0
C=CovA = s2(XTX)–1 0 0 0 1/8 1/2 1/2 1/2 1 0 0 0 1/6
orthogonal non orthogonal équilibré non non optimal non non interactions non non
32
• La précision des coefficients peut être caractérisée par leur variance qui correspond aux termes diagonaux des matrices. Ainsi la variance de la moyenne est égale à s2 pour le plan décentré, à 1/6 s2 pour le plan en étoile centré, et à 1/8 s2 pour le plan factoriel. La variance des autres coefficients est égale à ½ s2 pour le plan décentré et pour le plan en étoile centré, et à 1/8 s2 pour le plan factoriel. Pour le plan décentré les estimations des effets principaux présentent d’assez fortes corrélations (termes extra diagonaux 1/2), ce qui est peu favorable à leur bonne définition.
• On voit que le plan en étoile décentré, le plus intuitif, est aussi le plus mauvais, et finalement le moins économique.
• La plan factoriel, a priori le plus couteux, permet cependant d’obtenir un modèle dont les co-
efficients sont indépendants en probabilité et ont une précision excellente et uniforme.
Explications intuitives
• On peut comprendre que pour un plan factoriel et dans une moindre mesure pour le plan en étoile centré il se produit un effet de répétition des différents niveaux des facteurs ; tout se passe comme si on effectuait 4 fois les essais dans le plan factoriel et environ une fois dans les autres plans.
• Le cas de l’évaluation de la moyenne est également très révélateur. La moyenne est très précise pour le plan factoriel, un peu moins pour le plan en étoile centré, et plutôt mauvaise pour le plan décentré. Dans ce denier cas on peut comprendre que le centre du domaine expérimental est assez mal défini ; le point 1 joue un rôle crucial, il sert de référence, mais est-on certain que cette référence est vraiment la bonne ? Par opposition le plan factoriel n’est pas sensible à ce problème, et dans ce cas on peut considérer que l’on capture assez bien le domaine dans lequel on veut connaître les actions des facteurs.
• On peut remplacer les variables quantitatives par des variables qualitatives codées de la même
façon ; la signification des coefficients du modèle est alors un peu différente. • La comparaison entre ces 3 types de plans montre à quel point la notion de plan d’expériences
est importante et peu intuitive au départ. Exemple d’exploitation et de comparaison des résultats obtenus par un plan en étoile et par un plan factoriel L’exemple précédent est rendu plus parlant en exploitant des plans comportant des valeurs pour les données exogènes Yex. On montrera en particulier combien les plans en étoile peuvent avoir des apparences trompeuses.
On part d’un ensemble de résultats expérimentaux obtenus par simulation numérique à l’aide d’un modèle physique supposé connu, de type modèle linéaire généralisé dont on pourra aussi évaluer des sous modèles adaptés à différents plans. On affecte préalablement ces résultats Y d’une erreur aléatoire suivant une loi normale N(0 ; 0,1). On en extraira les résultats Yex relatifs à la réalisation de plans en étoile et de plans factoriels, répétés ou non, comportant éventuellement une donnée man-quante ou une donnée supplémentaire.
Cet ensemble de plans et de leurs résultats permettront alors comparer les valeurs des coefficients des modèles, l’évolution des coefficients de corrélation du modèle relatif à chaque type de plan en fonction du nombre de répétitions, la qualité prédictive des modèles correspondant aux divers plans.
33
On pourra ainsi mettre en évidence concrètement les qualités définies précédemment portant sur la précision des estimations. L’imprécision est en partie d’origine aléatoire, une autre partie provient d’un manque d’adéquation du modèle et est liée à un nombre de traitements trop petit ; on verra que les plans en étoile capturent mal l’espace factoriel qu’ils sont censés recouvrir. Tous ces défauts seraient accrus dans le cas où les modèles du premier ordre par rapport à chaque facteur ne suffiraient pas (dans ce cas les facteurs devraient comporter plus de 2 niveaux) ; ce problème n’est pas encore abordé dans cet exemple simple.
On considère des modèles caractérisés par : une constante égale à 1 ; des effets principaux définis en amplitude, égaux à 1/2 = A = B = C ; des interactions entre paires, égales à ¼ = AB = AC = BC ; l’interaction de rang 3 qui est ABC = 1/8. Une suite d’erreurs aléatoires de loi normale centrée d’écart-type = 0,10 a été générée pour les 24 données qui sont nécessaires au maximum ; les mêmes erreurs sont reprises pour les points communs aux divers plans :
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,0375 -0,0226 0,0525 -0,0008 0,1090 -0,0511 -0,0020 -0,1775 0,0236 0,0462 0,1439 0,0266
e 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 -0,0601 0,058 -0,0903 -0,0954 -0,0471 0,0597 -0,1009 0,0119 0,0396 0,1295 0,1247 -0,0142
Les 3 tableaux ci dessous donnent les résultats de plans correspondant à 4, 5 et 8 points support, sans répétition et avec une ou deux répétitions. La colonne Yvrai correspond au plan factoriel complet et au modèle complet sans erreur aléatoire, Yres est l’écart entre Yex et la valeur prédite Y pred (calculée).
N° A B C Yvrai Yexp Ypred Yres Yexpr1 Ypred Yresr1 Yexpr2 Ypred Yresr2 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,165 0,165 0 0,165 0,155 0,100 0,165 0,155 0,035 2 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,425 0,425 0 0,425 0,422 -0,003 0,353 0,422 -0,00 3 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,353 0,353 0 0,353 0,434 0,081 0,427 0,434 -0,0284 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,485 0,485 0 0,485 0,400 -0,085 0,485 0,400 0,08 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,145 0,155 0,010 0,145 0,130 0,015 2 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,420 0,422 -0,002 0,420 0,426 -0,00 3 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,515 0,381 0,134 0,515 0,381 0,134 4 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,315 0,434 -0,081 0,315 0,405 -0,09 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,080 0,13 0,05 2 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,435 0,426 0,008 3 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,275 0,381 -0,1064 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,412 0,405 0,01 8 0,5 0,5 0,5 3,375 0,875 2,50 0,952 2,423 0,952 2,423
Plan en étoile, répété une ou deux fois ;
comparaison entre les valeurs vraies (sans erreurs), expérimentales, prédites
N° A B C Yvrai Yexp Ypred Yres Yexpr1 Ypred Yresr1 Yexpr2 Ypred Yresr2 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,165 -0,30 -0,46 0,165 -0,431 0,596 0,165 -0,451 0,616 2 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,425 0,75 0,325 0,425 0,715 -0,290 0,425 0,717 -0,2923 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,353 0,70 0,35 0,353 0,727 -0,374 0,353 0,671 -0,3184 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,485 0,73 0,35 0,485 0,693 -0,208 0,485 0,696 -0,2118 0,5 0,5 0,5 3,375 3,205 2,80 -0395 3,205 2,997 0,208 3,205 2,98 0,216 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,145 -0,430 0,576 0,145 -0,451 0,596 2 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,420 0,715 0,295 0,420 0,717 -0,2973 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,515 0,727 -0,212 0,515 0,671 -0,1574 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,315 0,693 -0,378 0,315 0,696 -0,3808 0,5 0,5 0,5 3,375 3,375 2,997 0,378 3,375 2,98 0,386 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,08 -0,451 0,531 2 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,435 0,717 -0,2823 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,275 0,671 -0,3974 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,415 0,696 -0,2818 0,5 0,5 0,5 3,375 3,260 2,98 0,271
34
Plan en étoile complété, répété une ou deux fois ;
comparaison entre les valeurs vraies (sans erreurs), expérimentales, prédites
N° A B C Yvrai Yexp Ypred Yres Yexp Ypred Yres Yexp Yprer2 Yresr2 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,165 0,288 -0,123 0,165 0,155 0,01 0,165 0,13 0,035 2 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,355 0,231 0,123 0,355 0,378 -0,032 0,355 0,403 -0,0483 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,425 0,301 0,123 0,425 0,42 0,005 0,425 0,405 0,02 4 -0,5 0,5 0,5 1,125 1,115 1,238 -0,123 1,115 1,18 -0,065 1,115 1,132 -0,0175 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,485 0,361 0,123 0,485 0,4 0,085 0,485 0,431 0,053 6 0,5 -0,5 0,5 1,125 1,075 1,198 -0,123 1,075 1,1 -0,025 1,075 1,151 -0,0767 0,5 0,5 -0,5 1,125 1,125 1,248 -0,123 1,125 1,17 -0,045 1,125 1,196 -0,0718 0,5 0,5 0,5 3,375 3,205 3,081 0,123 3,205 3,245 -0,04 3,205 3,283 -0,0781 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,145 0,145 0,155 -0,010 0,145 0,13 0,015 2 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,42 0,42 0,387 0,032 0,42 0,403 0,016 3 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,515 0,515 0,42 -0,005 0,515 0,405 0,11 4 -0,5 0,5 0,5 1,125 1,145 1,145 1,18 0,065 1,145 1,132 0,012 5 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,315 0,315 0,4 -0,085 0,315 0,431 -0,1166 0,5 -0,5 0,5 1,125 1,125 1,125 1,1 0,025 1,125 1,151 -0,0267 0,5 0,5 -0,5 1,125 1,215 1,215 1,17 0,045 1,215 1,196 0,018 8 0,5 0,5 0,5 3,375 3,285 3,285 3,245 0,04 3,285 3,283 0,001 1 -0,5 -0,5 -0,5 0,125 0,08 0,08 0,13 -0,05 2 -0,5 -0,5 0,5 0,375 0,435 0,435 0,403 0,031 3 -0,5 0,5 -0,5 0,375 0,275 0,275 0,405 -0,13 4 -0,5 0,5 0,5 1,125 1,137 1,137 1,132 0,004 5 0,5 -0,5 -0,5 0,375 0,494 0,494 0,431 0,062 6 0,5 -0,5 0,5 1,125 1,254 1,254 1,151 0,102 7 0,5 0,5 -0,5 1,125 1,25 1,25 1,196 0,053 8 0,5 0,5 0,5 3,375 3,36 3,36 3,283 0,076
Plan factoriel, répété une ou deux fois ; comparaison entre les valeurs vraies (sans erreurs), expérimentales, prédites
Les trois tableaux suivants fourniront une synthèse comparative de l’analyse des divers plans.
Plan en étoile répété répété 2 fois action valeur F sA action valeur F sA action valeur F sA
cste 0,55 cste 0,55 0,06 cste 0,54 0,045 A 0,16 A 0,12 0,85 0,04 A 0,137 3,2 0,032 B 0,09 B 0,14 4,05 0,04 B 0,125 3,5 0,032 C 0,13 C 0,13 10,3 0,04 C 0,148 21,7 0,032
R2 = 1 SE = 0 R2 = 0,63 F = 5,07 SE = 0,08 R2 = 0,70 F = 9,45 SE = 0,078
Plan en étoile + point diag répété répété 2 fois action valeur F sA action valeur F sA action valeur F sA Cste 1,26 0,37 Cste 1,22 0,15 Cste 1,24 0,12
A 0,58 4,36 0,37 A 0,50 20,2 0,15 A 0,575 44 0,12 B 0,52 2,60 0,37 B 0,64 17,9 0,15 B 0,55 30,6 0,12 C 0,55 2,19 0,37 C 0,51 10,6 0,15 C 0,57 24,6 0,12
R2 = 0,60 F = 3,05 SE = 0,80 R2 = 0,82 F = 16,2 SE = 0,50 R2 = 0,87 F = 33,1 SE = 0,436
Plan factoriel répété répété 2 fois action valeur F sA action valeur F sA action valeur F sA
cste 0,99 0,123 cste 1,00 0,016 cste 1,01 0,015 A 0,48 15 0,123 A 0,47 843 0,016 A 0,50 1004 0,015 B 0,47 14,6 0,123 B 0,49 934 0,016 B 0,49 959 0,015
AB 0,22 3,1 0,123 AB 0,23 204 0,016 AB 0,236 216 0,015 C 0,44 12,8 0,123 C 0,47 840 0,016 C 0,476 913 0,015
AC 0,22 3,3 0,123 AC 0,22 188 0,016 AC 0,235 205 0,015 BC 0,25 4 0,123 BC 0,24 214 0,016 BC 0,237 210 0,015
ABC 0,106 42 0,016 ABC 0,114 52,5 0,015 R2 = 0,87 F =8,82 SE = 0,35 R2 = 0,995 F = 466 SE = 0,065 R2 = 0,993 F = 510 SE = 0,077
35
1. Dans le plan en étoile non répété on ne peut faire qu’un calcul déterministe des actions. Cependant les valeurs des paramètres calculés sont très éloignées des valeurs connues a priori ;
l’effet des erreurs aléatoires se répercute de façon déterministe. On pourrait croire que le modèle est excellent, mais pour les valeurs calculées en des points non expérimentés les écarts sont parfois très grands (pour le point N°8 de la première série de 3 plans).
2. Une ou deux répétitions du plan à 4 points supports permettent une estimation statistique du modèle
qui reste cependant très mauvaise dès que la réponse prédite s’éloigne des trois segments de droite qui définissent le domaine expérimental, en particulier pour le point N°8. L’erreur d’estimation globale SE paraît faible mais elle ne tient pas compte du grave défaut d’adéquation du modèle réduit aux effets principaux, défaut visible sur le résidu de la dernière ligne du premier des 6 tableaux ci-dessus (valeur vraie connue – valeur calculée avec le modèle = 2,4 à 2,5).
3. Si on ajoute le point 8 du plan factoriel (le plus éloigné de l’ensemble des points du plan en étoile)
aux 4 points expérimentaux précédents (tableaux intermédiaires), alors le pouvoir prédictif du modèle s’améliore considérablement par rapport au plan précédent, mais sans devenir suffisant. On voit qu’il est nécessaire de répéter le plan une fois pour que les effets des 3 facteurs deviennent vraiment significatifs (10<F<21). L’amélioration apportée par la seconde répétition est faible, SE restant forte par rapport à l’écart type expérimental qui a été pris égal à 0,1. Il est probable qu’une répétition supplémentaire eut amené un gain de précision négligeable. On voit qu’il n’est pas très rentable d’augmenter le nombre de répétitions.
4. Dans le plan factoriel complet non répété on a enlevé l’interaction triple du modèle pour obtenir un
degré de liberté pour le résidu. De ce fait le modèle a une précision de qualité moyenne, et il peine un peu pour déterminer les interactions doubles qui sont cependant toutes significatives au seuil F = 3 associé à une probabilité d’environ 90%. Le fait de répéter ce plan une fois et d’utiliser le modèle complet donne à ce plan une excellente qualité prédictive. De nouveau une répétition supplémentaire conduit à une amélioration assez faible (F global = 510 contre 466).
2.4 Les plans à deux niveaux Tous les facteurs (quantitatifs ou qualitatifs) de ces plans ont 2 niveaux. • La grande simplicité de ces plans permet de concevoir facilement des plans très variés,
fractionnaires de différentes résolutions (avec divers niveaux d’interaction, ou aucune). • Ces plans sont très économiques, la croissance du nombre de traitements pour un plan factoriel (où
tous les niveaux de tous les facteurs sont combinés entre eux) en fonction du nombre de facteurs étant pn = 2n , où p = 2 est le nombre de niveaux, n le nombre de facteurs. Les interactions sont assez peu coûteuses à obtenir car chacune ne comprend qu’un seul degré de liberté. En effet pour des facteurs ayant p niveaux chacun chaque effet principal a (p-1) degrés de liberté (ddl), chaque interaction entre couple de facteurs en a (p-1).(p-1). Le coefficient correspondant à chacun des ddl nécessite au moins un essai ; on voit la croissance rapide du nombre d’essais avec le nombre de niveaux des facteurs.
• Les modèles associés à ces plans sont multilinéaires, après un éventuel changement de
variable pour les variables quantitatives ; la linéarité est considérée ici par rapport aux coefficients inconnus à déterminer ; par exemple y = a.log x + b est un modèle de régression linéaire, x étant la variable expérimentale, y la réponse du système expérimental.
• Il est assez facile de créer des facteurs ayant des nombres de niveaux égaux à une puissance
entière de 2 à partir de ce type de plans à 2 niveaux, ou encore de créer un plan produit entre un facteur avec un nombre de niveaux quelconque et un plan à 2 niveaux. Ces extensions permettent de résoudre de nombreux cas pratiques. Nous verrons les principes de base permettant de construire de tels plans et nous donnerons un petit tableau de plans obtenus avec ces méthodes.
36
2.4.1 Définition du modèle pour un plan factoriel à 2 niveaux
Exemple du plan factoriel à 4 facteurs noté 24 (16 traitements).
N°
Const
Fact D
Fact C
Inter- action CD
Fact B
Inter- action BD
Inter- actionBC
Inter-action BCD
Fact A
Inter- actionAD
Inter- actionAC
Inter-action ACD
Inter- action AB
Inter-action ABD
Inter-action ABC
Inter-action ABCD
1 + − − + − + + − − + + − + − − + 2 + + − − − − + + − − + + + + − − 3 + − + − − + − + − + − + + − + − 4 + + + + − − − − − − − − + + + + 5 + − − + + − − + − + + − − + + − 6 + + − − + + − − − − + + − − + + 7 + − + − + − + − − + − + − + − + 8 + + + + + + + + − − − − − − − − 9 + − − + − + + − + − − + − + + −
10 + + − − − − + + + + − − − − + + 11 + − + − − + − + + − + − − + − + 12 + + + + − − − − + + + + − − − − 13 + − − + + − − + + − − + + − − + 14 + + − − + + − − + + − − + + − − 15 + − + − + − + − + − + − + − + − 16 + + + + + + + + + + + + + + + +
• Dans ce tableau les niveaux des 4 facteurs A, B, C, D sont notés par – et +. La matrice
correspondante, notée X, comprend des termes –1 et +1. Dans un plan factoriel les niveaux de tous les facteurs sont combinés entre eux ; cette propriété est facilement vérifiée en considérant successivement les colonnes A, B, C et D.
• On voit que les signes ou coefficients ±1 servent également à calculer les effets principaux des facteurs tels que nous les avons définis précédemment. On a ainsi pour l’effet principal du facteur D l’expression ED donnée ci-dessous, où D est également la suite des termes –1 ou +1 de la colonne D ; l’ensemble des actions est défini par l’expression du vecteur E :
• D’après la définition donnée en 2.2.2 les interactions entre les couples de facteurs, par exemple :
4AB = Σij sign(i) sign(j)yij..
le coefficient de chaque ligne est le produit des termes correspondants des effets principaux des facteurs intervenant dans l’interaction. • On appelle ce type de produit un produit de Hadamard de 2 vecteurs ; pour deux vecteurs C et D
on le notera C:D et l’on a : (CD)i = C i D i .
Les interactions sont données par des expressions telles que ECD. • La matrice X contient les vecteurs colonnes des niveaux des facteurs dans chaque traitement
(essai), mais aussi les colonnes relatives aux interactions et qui sont obtenues à partir des produits de Hadamard des colonnes de niveaux des facteurs intervenant dans l’interaction.
YXEetYDCEYDE TTCD
TD 16
1):(161
161
===
37
• Si on considère le modèle complet et de façon déterministe (il n’y a pas de terme d’erreur aléatoire), alors d’après l’orthogonalité de X (le vérifier sur le tableau) et son inversibilité on a :
X-1 = (XT X)-1XT = (1/16) XT, et 16(XT)-1 = X .
Ainsi X définit le modèle et le plan d’expériences nécessaire à la détermination des actions E :
Y = X E = 16 (XT)-1E et E = X-1Y = (XT X)-1 XTY = (1/16) XTY.
• On voit que si le modèle est incomplet X reste néanmoins de rang complet et admet des inverses à gauche dont fait partie l’inverse au sens des moindres carrés où l’on retrouve
E = (XTX)-1 XTY = (1/16) XTY.
On note : Y T = [Yabcd]T, où Y est le vecteur formé par les 16 résultats (moyens s’il y a des répétitions), où les indices correspondent aux 4 facteurs A, B, C, D dont nous définirons l’ordre de variation par l’ordre lexicographique, ce qui signifie que l’indice le plus à droite varie le plus vite ; ainsi dans le cas plus simple où on n’a que 2 indices, la suite des couples d’indices est [11, 12, 21, 22] .
• Le produit de Kronecker dont nous aurons besoin est introduit à l’aide de l’exemple suivant :
• Plus généralement le produit de Kroneker de 2 matrices de format A(m, n) et B(p, q) donne une
matrice de format C(mp, nq) qui est formée de mn blocs [aij.B]. • La suite des indices ε de Y, prise dans l’ordre lexicographique, peut être obtenue par un produit
tensoriel de Kroneker, a- et a+ désignant respectivement les niveaux inférieur et supérieur du facteur A :
( ) ( ) ( ) ( ))2222,2221,2212,2211,2122,2121,2112,2111,1222,1221,1212,1211,1122,1121,1112,1111(
,,,,=
⇔⊗⊗⊗= +−+−+−+−
εε ddccbbaa
• Le lecteur vérifiera que la matrice X peut être obtenue par produit de Kroneker des matrices XA, XB, XC, XD qui dans ce cas où tous les facteurs ont le même nombre de niveaux, sont égales.
−====⊗⊗⊗=
1111
DCBADCBA XXXXavecXXXXX
• Le vecteur E peut également être défini par un produit de Kroneker : ),(),(),(),( DICIBIAIET ⊗⊗⊗=
dont nous allons détailler les 16 composantes : ),,,,,,,,,,,,,,,( ABCDABCABDABACDACADABCDBCBDBCDCDIET =
où I = M désigne la moyenne générale des 16 résultats (moyens lorsqu’il y a des répétitions). Ce procédé du produit tensoriel de Kroneker se généralise dans le cas où les nombres de niveaux de chaque facteur sont quelconques. • Dans le cas d’un système inversible, en utilisant la propriété du produit de Kroneker des matrices
qui est différente de celle du produit matriciel :
On obtient les actions définies par le vecteur E et dont les valeurs définissent le modèle correspondant aux résultats du plan :
( ) ).(1111 YXXXXE DCBA−−−− ⊗⊗⊗=
11111 −−−−− ⊗⊗⊗=⇔⊗⊗⊗= DCBAMDCBAM
=
⊗
44344333
24142313
42324131
22122111
43
21
43
21
babababababababababababababababa
bbbb
aaaa
38
• Plus généralement on a la définition suivante des actions pour les plans à 2 niveaux :
Les indices fixes fj de gauche peuvent être égaux à 1 ou 0 avec A0 = 1 (facteur non présent dans l’action). Si fj = 1 cela signifie que le jème facteur est présent dans l’action et on le notera Aj. Une
action A1A2 pourra être notée finalement AB comme dans la notation initiale. La somme sur ij por- te sur tous les niveaux de tous les facteurs du plan ; les actions dont le jème facteur n’est pas présent (fj = 0) donnent +1 à droite pour leurs 2 niveaux (et on calcule une moyenne sur ce facteur), sinon
fj = 1 et le signe de Aij est pris en compte. • A partir des actions on peut alors reconstituer le modèle avec la relation suivante :
• L’application de cette relation est généralement suivie d’une analyse de la variance dont le but est
de ne retenir que les termes qui sont statistiquement significatifs (suffisamment grands par rapport à un résidu ou erreur due à une reproductibilité imparfaite).
2.4.2 Propriétés de groupe On considère les 2p traitements définis par le produit cartésien de p facteurs à 2 niveaux, et la valeur moyenne (sur les répétitions) des résultats relatifs à chacun de ces traitements. L’espace défini par les valeurs moyennes des résultats est appelé l’espace des moyennes. On voit que toute action (effet principal ou interaction) peut être considérée comme un vecteur de cet espace ; si on utilise le codage –1, +1 pour les variables, les composantes des actions seront donc ±1. On peut définir la multiplication interne par le produit de Hadamard de 2 vecteurs action, modulo 2. On a alors les propriétés suivantes : • L’unité est obtenue par tout carré : A2 = B2 = C2 = … I. • Une interaction AB est égale au produit de Hadamard des vecteurs effets principaux
correspondants. • Les générateurs du groupe sont les p éléments A, B, C, … ; les 2 p éléments du groupe peuvent
être obtenus par produit interne entre les générateurs. • On a A n = An mod 2 . Exemples : A3 = A ; ABC.BCD = AD ; I.A = A ; A.B.C = ABC.
2.4.3 Application à la construction de plans factoriels fractionnaires • On voit que tout vecteur colonne de X (forme linéaire, ligne de XT) définissant une interaction a le
même nombre de termes +1 et -1 . On peut ainsi superposer à son nom celui d’un nouveau facteur dont les 2 niveaux coïncideraient exactement avec les termes +1 et -1 du vecteur interaction. Lorsqu’on réalisera l’expérience avec ce nouveau facteur défini par la colonne d’interaction, alors
∑
∑∑
=>>
=>=
+
++=
pjlkjjkliii
jkpjkj
ikijpj
iiii
EAsignAsignAsign
EAsignAsignEAsignYY
lkj
jjpj
,1
,1,1
)()()(
)()()(.....1
pjj
ppj iiifp
ipf
iifpfjffff YAsignAsignAAAE ......)(...)(......
111
121
1...... ∑==
−
=== −−
1111
... 2111
BA XX
39
l’effet principal de ce facteur se superposera avec l’interaction qui est définie par la même colonne forme linéaire (éventuellement à une constante multiplicative près).
• Si on peut considérer que l’interaction est en pratique nulle ou négligeable, alors l’effet principal du nouveau facteur sera correctement défini par ce vecteur. On voit que ce procédé permet d’économiser la moitié des traitements par rapport au plan factoriel complet.
• Il faudra cependant examiner toutes les conséquences de ce procédé, à savoir les autres confusions que cela risque d’entraîner, ce qui est facilité par l’utilisation des propriétés de groupe multiplicatif des vecteurs définissant les actions. D’un point de vue géométrique on peut dire que l’on utilise des phénomènes de colinéarité qui se produisent dans des espaces définis sur des corps discrets (corps de Galois que l’on verra plus loin).
• Il faut savoir que de tels phénomènes de colinéarité se produisent naturellement et plus ou moins parfaitement dans les structures de plans non contrôlées (plans construits de façon intuitive, plans associés à des données de terrain). Les phénomènes de dispersion des résultats aggravent ces problèmes (ils empêchent de discerner -comme dans un phénomène de myopie- des vecteurs pouvant paraître non colinéaires). C’est la raison pour laquelle ces plans sont généralement de mauvaise qualité (ils sont trop éloignés de plans orthogonaux).
On verra des exemples de tels plans plus loin. Exemple 1 : plan à 16 traitements et 5 facteurs, fractionnaire ½, noté L16 25-1. On introduit le facteur supplémentaire E en posant E=ABCD. On peut donc écrire : ABCDE = I. On peut trouver les confusions (superpositions) que cette définition entraîne ; pour cela il suffit de multiplier toutes les actions du plan factoriel par l’unité. On obtient ainsi l’ensemble des 16 paires d’actions confondues : la moyenne I, les 5 effets principaux et 10 interactions entre couples de facteurs :
I = ABCDE A = A.I = A.ABCDE = A2BCDE = BCDE B = ACDE C = ABDE D = ABCE E = ABCD AB = CDE AC = BDE BC = ADE AD = BCE BD = ACE DC = ABE AE = BCD BE = ACD CE = ABD DE = ABC.
Ce plan est dit de résolution V, car la longueur des mots les plus courts est égale à 5. • Dans les plans de résolution V les effets principaux ne sont confondus qu’avec des interactions de
rang 4 au maximum, les interactions doubles ne sont confondues qu’avec des interactions de rang 3 au maximum.
On remarque que ce plan utilise complètement le nombre de données moyennes qui est de 16 ; s’il n’y a pas de répétitions il ne restera plus de degré de liberté pour évaluer un résidu qui servirait de grandeur de comparaison pour savoir si tous les 16 termes du modèle sont significatifs ou pas. Un tel plan est dit saturé Exemple 2 : plan à 16 traitements et 6 facteurs, fractionnaire 1/4, noté L16 26-2 de résolution IV. On introduit 2 facteurs supplémentaires E en posant E=ABC et F = BCD. On peut donc écrire :
ABCE = I = BCDF. Mais on peut également obtenir l’unité par le produit des unités :
I = ABCE.BCDF = ADEF.
On peut trouver les confusions (superpositions) que ces définitions entraînent ; pour cela il suffit de multiplier toutes les actions du plan factoriel par les 3 unités. On obtient ainsi l’ensemble des 16 triplets d’actions confondues : la moyenne I, les 5 effets principaux et 10 interactions entre couples de facteurs :
I = ABCE = BCDF = ADEF
40
A = BCE = ABCDF = DEF D = ABCDE = BCF = AEF B = ACDE = BDF = ABDEF E = ABC = BCDEF = ADF C = ABE = BDF = ACDEF F = ABCEF = BCD = ADE AB = CE = ACDF = BDEF CD = ABDE = BF = ACEF AC = BE = ABDF = CDEF AE = BC = ABCDEF =DF BC = AE = DF = ABCDEF BE = AC = CDEF = ABDF AD = BCDE = ABCF = EF CE = AB = BDEF = ACDF BD = ACDE = CF = ABEF DE = ABCD = BCEF = AF.
Ce plan est dit de résolution IV, car la longueur des mots les plus courts est égale à 4. • Dans les plans de résolution IV les effets principaux ne sont confondus qu’avec des interactions de
rang 3 au maximum, Dans le plan présenté les interactions doubles sont confondues par paires et avec des interactions de rang supérieur. En l’absence de connaissance sur le fait de pouvoir négliger certaines interactions doubles on ne pourra pas estimer aucune interaction. Ce plan présente néanmoins l’avantage de permettre la détermination des effets principaux dans de bonnes conditions. Exemple 3 : plan à 16 traitements et 8 facteurs, fractionnaire 1/16, noté L16 28-4, de résolution IV. On introduit 4 facteurs supplémentaires E, F, G, H en posant :
E = ABC , F = BCD , G = ACD, H = ABD.
On peut donc écrire : I = ABCE = BCDF = ACDG = ABDH. Mais on peut également obtenir l’unité par le produit des unités :
I = ABCE.BCDF = ADEF I = BDEG = CDEH = ABFG = ACFH = BCGH.
Nous avons donc obtenu en tout 10 unités. On voit que les confusions seront nombreuses, mais comme tous les mots unités sont de longueur 4, les effets principaux ne seront confondus qu’avec des interactions de rang 3. Le plan est encore de résolution IV. Nous n’écrirons pas le système de confusions qui est très lourd. Exemple 4 : plan à 16 traitements et 15 facteurs, fractionnaire 1/211, noté L16 215-11,
de résolution III.
Dans ce plan on superpose à chacune des 10 interactions du plan factoriel un nouveau facteur. Ce type de plan est dit de résolution III, les effets principaux sont confondus avec des interactions de rang 2. Ce type de plan est utilisable pour faire du dégrossissage. Il permet de tester de nombreux facteurs dans le but d’éliminer ceux qui paraissent non significatifs, puis de réaliser un plan plus performant sur un nombre de facteurs plus réduit. Nous n’écrirons pas le système de confusions qui est compliqué. Il existe une très grande variété de plans de résolution III, de tailles très diverses, notamment de taille 4, 8, 12, 6, 20, 24, .. pour des plans avec des facteurs à 2 niveaux. A contrario les plans de résolution V sont peu nombreux, et il en a été dressé une liste exhaustive pour des plans de petite taille (n< 128).
41
2.4.4 Calcul des actions dans un plan fractionnaire Les relations qui ont été obtenues pour définir le modèle linéaire sont applicables. Il suffit pour cela de remplacer les actions du modèle multilinéaire sur lesquelles on a introduit des confusions par celles que l’on souhaite faire apparaître, sachant que celles que l’on a remplacées sont négligeables. Autrement dit on opère simplement un renommage de certaines actions définies par le plan factoriel complet, en prenant en compte le système des confusions. Remarques finales 1. Le problème posé ici est identique à celui de l’ordre auquel il faut arrêter le développement en série d’une fonction dérivable. On admet généralement que les termes de rang supérieur perdent très rapidement leur signification physique, ce que l’expérience a souvent confirmé ; il arrive rarement que des interactions de rang 3 soient trouvées significatives par une analyse de variance des résultats expérimentaux. De plus il est déjà assez difficile de trouver des interprétations physiques à ces interactions triples et a fortiori de rang plus élevé. 2. La prise en compte de termes de rang 2 sera généralement considérée comme suffisante. Le coût des interactions de rang > 2 en terme de nombre d’essais est également très dissuasif. Dans la plupart des cas (plans de petite taille, par exemple < 128) il sera nécessaire de réaliser un plan factoriel complet pour pouvoir les déterminer. 3. On peut se demander si à la place de plans fractionnaires (orthogonaux) on n’aurait pas intérêt à construire des plans non orthogonaux permettant d’éviter les phénomènes de colinéarité des vecteurs définissant les actions, et d’introduire plus de facteurs et d’interactions dans le modèle. L’expérience a montré que cette démarche serait généralement peu fiable. La raison en est qu’il est difficile d’échapper aux phénomènes de quasi colinéarité, et qui ont pour effet une très mauvaise définition des coefficients du modèle ! Il vaut mieux contrôler les phénomènes de colinéarité qui peuvent se révéler très dangereux. 4. Il existe d’autres façons de construire des plans d’expériences, notamment celles basées sur des méthodes d’optimisation prenant en compte divers critères de qualité (des fonctions d’information par exemple). Ces méthodes sont généralement très lourdes et ne permettent pas de trouver la structure optimale des plans pour un modèle donné. On démontre qu’un plan factoriel complet est optimal pour le modèle complet correspondant. Les plans fractionnaires ne sont généralement pas optimaux, malgré leurs propriétés remarquables. En pratique la recherche de plans optimaux utilise souvent une démarche partant de plans fractionnaires.
2.5 Exemples de plans
Design
Résol
Fract ddl
modèleddl résidu
Type modèle / plan
L 8 2 7-4
III
1/16
8
0
saturé*
L 8 24-1 IV 1/2 5 3 L 12 211
III
12
0
plan multifactoriel (Plackett-Burman) ; saturé*
L 12 31 23-1 III-IV 1/2 12 0 plan produit cartésien ; modèle produit tensoriel L 16 2 n-p n–p=4
III
10 à 16
6 à 0
n = 9, 15 et p = 5, 11
L 16 28-4 IV 1/16 9 7 L 16 25-1 V 1/2 16 0 saturé* L 20 219
III
20
0
plan multifactoriel (Plackett-Burman) ; saturé*
42
L 24 31 x 24-1 IV-V 1/2 24 0 plan prod cartésien; modèle prod tensor; saturé* L 32 2n-p n–p=4
III
18 à 32
14 à 0
n = 17, 31 et p = 12, 26
L 32 216-11 IV 1/211 17 15 L 32 4128 IV 1/32 12 20 le fact à 4 niv par fusion de colonnes L 32 4224 IV 1/8 11 21 le fact à 4 niv par fusion de colonnes L 32 8123 IV 1/2 11 21 le fact à 8 niv par fusion de colonnes L 32 26-1 VI 1/2 22 10 L 32 41 24 V 1/2 26 6 le fact à 4 niv obtenu par fusion de colonnes L 48 31 x 25-1
V-VII
1/2
48
0
plan produit cartésien sauturé*; modèle produit tensor.
L 64 2 8-2
V
1/4
37
27
L 64 41 25 V 1/2 34 30 fusion de colonnes L 64 42 23 V 1/2 40 24 fusion de colonnes L 64 81 24 V 1/2 46 18 fusion de colonnes L 64 41 25 V 1/4 43 21 fusion de colonnes L 27 34-1
IV
1/3
9
18
L 81 35-1 V 1/3 51 30 L 243 35-1 V 1/729 243 0 Saturé* L 96 31 x 41 28
IV-V
1/32
36
63
plan produit cartésien ; modèle produit tensoriel
L 96 31 x 216-11 IV-V 1/211 51 45 plan produit cartésien ; modèle produit tensoriel L 96 31 x 4224 IV-V 1/8 33 63 plan produit cartésien ; modèle produit tensoriel L 128 211-7
V
1/16
68
60
L 128 41 29 V 1/16 68 60 L 128 81 28 V 1/16 101 27 L 128 43 23 V 1/4 71 57 L 128 161 24 V 1/2 81 41
• pour les plans saturés il suffit de répéter l’un des points du plan pour obtenir une estimation de l’erreur ; le plan subit alors une légère perte d’orthogonalité mais il reste optimal.
2.6 Une démarche pratique pour élaborer un plan d’expériences Les 7 étapes :
1. Définition des objectifs et d’une enveloppe des moyens 2. Analyse des facteurs et des types de modèles possibles 3. Construction du plan 4. Réalisation et suivi des essais 5. Analyse des résultats, interprétation 6. Validation des résultats 7. Archivage ; valorisation des résultats et de la méthode utilisée.
1. Définition des objectifs et d’une enveloppe des moyens
• Les objectifs doivent être écrits. • S’assurer que l’essentiel du savoir a été rassemblé.
• Une première définition de l’enveloppe des moyens et des coûts est faite, elle sera reprécisée après la définition du plan au point 3.
• Implique le chef de projet, des personnes de l’art, le spécialiste PE dès le début du
43
projet.
2. Analyse des facteurs et types de modèles
• Faire le tour de tous les facteurs, les hiérarchiser, définir leur domaine de variation (prévoir large)
• Peut on croiser les facteurs entre eux ? Sinon délimiter le domaine possible, utile.
• Faire le tour des facteurs bruits, prévoir comment les équilibrer. • Les facteurs blocs (différents lots, machines, labos)
On cherchera à les intégrer dans le plan comme facteurs pour éviter les biais et une perte de précision sur les facteurs intéressants.
• Le facteur temps intervient souvent (dérive). • Prévoir plusieurs types de modèles ; 2 catégories :
a) Les modèles linéaires généralisés (empiriques) : - autorisent des facteurs qualitatifs / quantitatifs ; - utilisent des plans préconstruits souvent très économiques et robustes (orthogonalité) ; - le modèle est une somme d’effets principaux et d’interactions de rang croissant
éventuellement (suivant précision recherchée). b) Les modèles non linéaires (modèle connu d’après des théories) : - le plan d’expérience est construit à l’aide de méthodes d’optimisation souvent délicates. c) Pour le modèle linéaire, si possible faire un choix des interactions à retenir, à négliger
(permet des économies importantes). • Connaître les variances expérimentales : envisager des répétitions d’essais.
3. Construction du plan
• Construire plusieurs plans aide souvent à préciser les objectifs, et à avoir enfin une idée du
coût. • Plans de type exploratoire permettant de scruter un grand nombre de facteurs, dans le but
d’éliminer les moins intéressants dans le plan définitif qui pourra de ce fait être plus précis et plus économique ; il existe une grand variété de ces plans exploratoires ; ils permettent d’avoir une idée de l’effet principal des facteurs ou de groupes de facteurs.
• Plans partiels préliminaires pour acquérir une connaissance de certains facteurs (fortement non linéaires), pour pouvoir définir leur domaine.
• Si le domaine expérimental est contraint ou si certains essais échouent et doivent être remplacés par d’autres utiliser des méthodes d’optimisation pour concevoir ou réparer le plan.
• Une démarche séquentielle permet une bonne réactivité et une utilisation des connaissances partielles acquises ; certains types de plans permettent de compléter les essais en utilisant ceux qui sont déjà acquis ; pour les modèles non linéaires cette démarche est souvent nécessaire (il est souvent impossible de réaliser des essais valables sans avoir un ordre de grandeur des constantes à trouver).
• L’optimisation du plan pour un modèle non linéaire est souvent obtenue par des méthodes de type heuristique. Il convient d’examiner les défauts éventuels de ce plan (colinéarités).
• Dresser la liste des hypothèses faites, examiner notamment la liste des alias (effets confondus dans les plans fractionnaires).
• Hiérarchiser les facteurs, pour les plans fractionnaires on placera si possible tous les facteurs principaux dans la partie factorielle du plan pour avoir la meilleure probabilité d’avoir plus d’interactions entre facteurs principaux (allégement du modèle par enlèvement de termes non significatifs).
• Définir les répétitions (sauf plans numériques) ; plus les plans sont petits plus il faut a priori de répétitions ; pour les plans assez gros il est souvent inutile de les répéter (effet de répétition
44
interne) ; certains procédés d’optimisation permettent de trouver des répétitions non uniformes.
• Prévoir l’analyse de la variance dont le but est de sélectionner les termes significatifs du modèle. Il est nécessaire de connaître (d’estimer) la variance de répétabilité à laquelle on compare la variance apportée par les différents termes du modèle. Soulignons que les tests utilisés à cet effet reposent sur des hypothèses de normalité de l’erreur aléatoire.
Retour à la phase 2 pour consultation, modifications éventuelles.
• Prévoir les ressources supplémentaires pour pouvoir faire quelques essais de vérification ou
des essais de compensation des essais manqués (modifiés si impossibilité locale).
4. Réalisation et suivi des essais
• Tenir un cahier pour noter les incidents, remarques qui peuvent être utiles pour l’exploitation et l’interprétation des résultats (observations souvent qualitatives) ;
• Suivre la réalisation des essais de façon à favoriser la réactivité et la confiance entre l’expérimentateur et les responsables du plan d’expérience et du projet global.
5. Analyse des essais, types modèles et interprétation
• Le dépouillement et la mise en forme des résultats doivent être réalisés le plus possible par l’expérimentateur : responsabilité et satisfaction du travail.
• Pour le modèle linéaire généralisé : calculer les coefficients avec des techniques de régression
linéaire : - recherche du meilleur sous modèle du point de vue statistique (fixer les seuils
d’acceptation des actions significatives); - tests sur la qualité des régressions.
• Modèles non linéaires : problème de la recherche des valeurs initiales permettant de démarrer
les itérations d’une méthode de régression non linéaire (Levenberg-Marquardt). • Souvent il est nécessaire de combiner cette dernière méthode avec une méthode
complémentaire d’exploration des valeurs initiales (algorithmes génétiques, recuit simulé). • Tester différents modèles linéaires / non linéaires, pouvant être obtenus avec les mêmes essais. • Calculer les réponses sur l’ensemble des nœuds du domaine expérimental, sur des
configurations qui présentent un intérêt particulier. • Evaluer le pouvoir prévisionnel du modèle (incertitudes sur les valeurs données par le modèle,
sur les coefficients). • Faire les représentations graphiques, graphes des possibilités et des échecs …
6. Validation des résultats
• Avec tous les participants. • Discuter les interprétations, les anomalies. • Eventuellement prévoir des essais complémentaires ou de vérification sur le domaine le plus
intéressant ou le plus critique. • Vérifier que l’objectif est bien atteint.
7. Archivage ; valorisation
• Archiver les résultats bruts. • Présenter l’ensemble de la recherche : ses objectifs, leur évolution éventuelle, les méthodes
expérimentales, les résultats, les conclusions possibles sous des formes adaptées.
45
2.7 TP plans d’expériences. Compacteur de plaques But de l’appareil On a fait construire un compacteur de laboratoire pour pouvoir fabriquer des plaques d’enrobés bitumineux. Ces plaques serviront à prélever des éprouvettes - par sciage ou par carottage – dont les propriétés sont proches de celles d’une couche de chaussée bitumineuse obtenue sur un chantier de construction routière avec un compacteur à pneus. Le principe est de compacter les enrobés par un train de pneus circulant sur l’enrobé répandu à chaud (par exemple 150°C, le bitume étant rigide à froid). Le matériau acquiert ses propriétés mécaniques de rigidité et de résistance grâce à cette opération de compactage, de même que son imperméabilité, sa résistance à l’abrasion. Certaines propriétés de l’enrobé dépendent non seulement de la compacité obtenue sur le mélange, mais aussi du mode de compactage (type de compacteur vibrant/statique, rouleaux lisses ou à pneumatiques), ce qui a justifié ce mode de fabrication d’éprouvettes d’essai. Ce compacteur de laboratoire est constitué de : • Un moule recevant de l’enrobé chaud sortant d’un malaxeur qui réalise le mélange granulats,
sable, filler et bitume. Le mélange est à une température T (initiale). • Le fond du moule est mobile et reçoit la poussée F d’un vérin. • Un équipage mobile constitué de 2 pneus gonflés à une pression P, appliquant une force -F
(réaction) sur la surface de l’enrobé. L’équipage mobile effectue N cycles longitudinaux, suivant un plan de balayage latéral. va et vient longitudinal balayage latéral moteur pneus, pression axe de rotation/ translation enrobés bitumineux moule à parois fixes fond mobile verticalement piston, force
Figure 1 : Schéma du compacteur de plaques
N
P
F
46
• Pour couvrir la gamme de produits dont l’aptitude au compactage est très variable on choisit de tester les paramètres de la machine sur deux types de mélanges M, l’un appelé grave-bitume (avec des gros gravillons de taille 20 mm), l’autre appelé béton bitumineux (avec des gros gravillons de taille 10 mm).
• L’efficacité du compactage peut dépendre de la température T - si le mélange est trop froid il se compactera mal- qui sera l’un des paramètres du plan d’expériences.
• Le vérin peut appliquer la charge prescrite de façon progressive (croissante au cours de premiers cycles), ou suivant le type échelon (qui produira de plus grosses ornières au début). On testera donc ce facteur « mode de chargement » C.
• De plus le balayage latéral B destiné à permettre de recouvrir l’ensemble de la surface de la plaque peut être effectué ici suivant une modalité à 2 paires de bandes juxtaposées, ou 3 paires de bandes avec un certain recoupement entre les bandes. On veut savoir si l’une des modalités est préférable.
• Enfin la surface initiale de l’enrobé, correctement arasé avant le début de l’essai, peut émerger plus ou moins des bords supérieurs du moule. Cela est susceptible d’avoir une certaine influence, on retiendra ce facteur pour être certain de ne pas en oublier, et on l’appellera E.
On se propose de réaliser un plan d’expériences comportant les 8 facteurs ayant chacun 2 modalités (ou niveaux) définies ci-dessous, comportant 16 essais, sans répétition.
Repère Facteur Modalité 1 Modalité 2 M Type de mélange Grave-bitume Béton bitumineux T Température 120°C 150°C F Force vérin 300 daN 600 daN P Pression pneus 0,3 MPa 0,6MPa N Nombre de cycles par roue 40 160 C Mode de chargement progressive échelon B Plan de balayage 3 bandes 2 bandes E Emergence -0,5 cm +0,5 cm
Le TP comporte deux étapes : A. Une étude des plans à 16 essais, soit avec 4 facteurs, soit 5 facteurs, soit 6 facteurs, soit 7
facteurs, ou 8 facteurs à 2 niveaux. Elle a pour but d’explorer les possibilités de ce plan : les divers modèles possibles, la résolution. Ce plan à 16 a été choisi compte tenu de sa taille « raisonnable», des possibilités de nullité des effets de certains facteurs et de leurs interactions, ce qui aura pour effet d’améliorer la résolution du plan. On évaluera les qualités du modèle linéaire généralisé pour chaque plan ; en particulier
on s’intéressera aux possibilités de déterminer les interactions entre les facteurs. • On fera le bilan pour chaque plan : sa résolution, ses degrés de liberté du modèle et du résidu.
Cette question sera précisée plus loin, en B.1. Pour construire les plans fractionnaires on procédera de la façon suivante : • Les facteurs M, F, N, E facteurs servent à construire le plan factoriel de base 24 = 16. • Les facteurs supplémentaires P, C, B, T servent à construire les plans fractionnaires à 16
traitements, par superposition (confusion) avec certaines interactions (cf plus loin).
B. On analysera un ensemble de données expérimentales obtenues avec ce plan d’expériences. Chaque groupe d’étudiants analysera un des 2 cas suivants :
47
a) Les compacités moyennes des plaques (sur l’ensemble de leur volume). b) Les compacités obtenues en fond de couche (les 2 centimètres inférieurs où l’enrobé est le
moins compact, son épaisseur totale étant d’environ 10 cm).
Dans le tableau suivant les modalités 1 sont codées par –1 et les modalités 2 par 1.
N° M F N E Comp moy % Comp fond %
1 -1 -1 -1 -1 82,8 81,9 2 -1 -1 -1 1 87,3 86,7 3 -1 -1 1 -1 89,9 88,8 4 -1 -1 1 1 87,6 87,7 5 -1 1 -1 -1 88,9 88,5 6 -1 1 -1 1 88 87,4 7 -1 1 1 -1 89,9 89,9 8 -1 1 1 1 90 88,4 9 1 -1 -1 -1 96,7 96,5
10 1 -1 -1 1 97,4 97,8 11 1 -1 1 -1 97,7 97,8 12 1 -1 1 1 97,4 97,1 13 1 1 -1 -1 97,4 97,3 14 1 1 -1 1 97 96,6 14 1 1 1 -1 98,5 98,7 16 1 1 1 1 98,7 99,1
Pour définir les facteurs supplémentaires on posera : T = MFN ; B = MFE ; C = MNE ; P = FNE.
1. Etablir la liste des unités du groupe multiplicatif des actions associées au plan L1628-4. Caractériser les confusions obtenues pour les effets principaux et pour les interactions de rang 2. Pour la suite on utilisera le logiciel Statgraphics et son module de régression linéaire multiple. 2. Construire la matrice X du modèle correspondant au plan factoriel complet 24 avec ses 16 traitements (16 lignes) et 15 colonnes (on n’introduit pas la colonne de 1 corrrespondant à la constante) M, F, MF, N, MN, E, T=MFN, MT=FNT, B=MFE, C=MNE, P=FNE.
- L’introduire dans le logiciel par l’option « analyse existing or enter new data ». - On renommera certaines colonnes du tableau X pour réaliser ce que l’on veut : analyser la constante du modèle, les 8 facteurs, les 4 interactions MF, MN, FN, MT.
Ces interactions ont été choisies en fonction de connaissances déjà acquises, parmi l’ensemble des interactions possibles. - Entrer la colonne de données dans un vecteur Y (pour chaque groupe du TP). - Sauvegarder le fichier de données (« datafile ») après chaque modification ! - Appeler « multiple régression » sur la barre d’outils ; il se créé un « statfolio » qui va réaliser et recueillir les résultats des analyses dans divers tableaux et graphiques.
3. Utilisation de l’outil d’analyse de régression multiple linéaire. Après avoir examiné les résultats de l’analyse on complètera celle-ci (au point 4) avec les options suivantes de la barre d’outils.
Le 2ème outil «tabular options » conditionnal sum of square, correlation matrix, unusual residuals.
Le 3ème outil : graphical options. Le 4ème : enregistrement des calculs sur de nouvelles colonnes du tableau des données : residuals, studentisized residual, …
• Dans le modèle avec les 4 interactions précisées en B.2 l’analyse de régression prend en
48
compte un seul degré de liberté pour l’erreur. On examinera le tableau obtenu par le logiciel dans ce cas : - Les écarts-types de l’estimation des actions, la variable de Student T
(d’après l’examen des valeurs c’est le rapport entre quelles grandeurs ?), - la probabilité P que l’action soit nulle.
En vous référant à l’écart-type égal à 0,3 (connu d’après d’autres expériences), quelles actions élimineriez vous du modèle retenu finalement ? Vous comparerez ultérieurement vos choix à ceux des analyses ascendante (forward selection) et descendante (backward).
• Imprimer le tout. Reporter vos commentaires sur les impressions. 4. Faire faire l’analyse de la variance des actions du modèle obtenu (tabular options).
Sortir la liste des grands résidus (unusual residuals) ; le résidu studentisé est le rapport entre le résidu (écart entre la valeur prévue par le modèle et la valeur expérimentale de C ) et l’écart-type de l’estimation de la valeur expérimentale.
Sortir la matrice de corrélation de l’estimation des coefficients. Commentaire, explications ? 5. On utilisera les options d’analyse de régression disponibles :
analyse ascendante, analyse descendante.
On utilisera d’abord la valeur F=4 proposée par le logiciel. On suppose connu l’écart-type de répétabilité de la compacité qui est égal à 0,3 ; ceci signifie ici qu’environ 95% des valeurs de compacités C obtenues par des répétitions d’essais sont comprises dans :
Cmoy – 0,6 < C moyen < Cmoy +0,6. • On suivra l’évolution de la valeur de l’écart-type résiduel au cours des itérations dans chacune des
2 méthodes, analyse descendante et ascendante, pour comprendre comment procède le logiciel dans chacune de ces méthodes.
• Etudier l’analyse de la variance faite avec chaque méthode de régression, comparer les modèles obtenus dans les 3 méthodes.
• Comparer les résultats des analyses descendantes et ascendantes obtenus avec F = 2. 6. On explorera les options graphiques disponibles (si non encore réalisé). Faire un compte rendu sommaire des résultats obtenus sur chacun des 5 points et dresser des conclusions. Joindre les impressions utiles.
2.8 Les plans hypergréco-latins Dans le cas où les nombres de niveaux ne sont pas tous égaux à 2 on sait construire des plans factoriels fractionnaires lorsque les nombres de niveaux pi des facteurs du plan sont tous égaux à un nombre premier ou à une puissance d’un nombre premier. Un tel ensemble de nombres 0, .., pi-1, muni de certaines lois d’addition et de multiplication, forme ce que l’on appelle un corps de Galois. Avec ces corps on sait construire des plans fractionnaires que l’on appelle également des plans hypergréco-latins. Des méthodes dérivées de cette technique permettent de construire des plans fractionnaires de structures plus variées mettant en jeu un corps et ses sous corps, ou des produits cartésiens de corps. Les corps de Galois et la construction de plans hyper-gréco-latins Les plans hyper-gréco-latins (HGLG) peuvent être construits sur des espaces vectoriels générés par les corps de Galois. Ce sont des plans factoriels fractionnaires dont tous les facteurs ont le
49
même nombre de niveaux p qui est égal à un nombre premier ou à une puissance entière d’un nombre premier, soit p = qs avec s ≥1. L’exemple le plus classique, en dehors des plans à 2 niveaux, est celui des plans à 3 niveaux où le corps de Galois est formé par l’ensemble 0, 1, 2 muni de l’addition modulo 3 et la multiplication modulo 3. Plus généralement, si K(q, 1) est le corps de Galois des entiers définis modulo q, où q est un nombre premier, les corps de Galois sont formés par des ensembles de qs éléments avec s ≥1 notés K(q, s). Ces éléments sont les restes de la division des polynômes à coefficients dans K(q,1), par le polynôme irréductible de degré s dont les coefficients sont dans K(q,1). Un polynôme de degré s est dit irréductible si on ne peut pas le décomposer en produits de polynômes de degré inférieur à s. • Ces corps étant finis, il en découle qu’ils sont commutatifs. • Chaque polynôme irréductible possède une racine primitive qui est telle que ses puissances
successives, divisées par le polynôme irréductible de degré s donnent l’ensemble des éléments du corps défini par ce polynôme.
Pour construire ces corps on utilise de plus les trois propriétés générales des corps : • L’existence d’un élément unitaire noté 1 pour la multiplication. • L’existence d’un élément neutre 0 pour l’addition. • L’élément 0 qui est absorbant pour la multiplication : 0*g = g*0 = 0 pour∀g ∈ K.
q s Polynôme irréductible Racine primitive Eléments du corps 2 2 x2 + x + 1 x 0, 1, x, x+1 3 x3 + x + 1 x 0, 1, x, x+1, x2
x2 + 1, x2 + x +1 4 x4 + x + 1 x
3 2 x 0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2
3 x 4 x
5 2 x 3 2x
7 2 x 11 2 x + 2
On obtient facilement les tables d’addition et de multiplication pour un corps de Galois donné, en partant des polynômes irréductibles. Le tableau ci-dessus donne la liste des polynômes les plus usuels, leurs racines primitives, et les éléments des trois corps les plus petits. Exemple du corps K(2, 2). Le polynôme irréductible de degré 2 à coefficients dans K(2, 1) est x2 + x + 1 ; les restes de la division des polynômes x3, x3 + x, x3 + x2 + x par x2 + x + 1 sont respectivement 1, x +1, x, 0 qui sont les éléments du corps K(2, 2). On obtient ainsi les tables suivantes, en notation polynomiale dans les tableaux de gauche :
addition 0 1 x x+1 addition 0 1 2 3 0 0 1 x x+1 0 0 1 2 3 1 1 0 x+1 x 1 1 0 3 2 x x x+1 0 1 2 2 3 0 1
x+1 x+1 x 1 0 3 3 2 1 0
Multipli-cation
0
1
x
x+1
Multipli-cation
0
1
x
x+1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 x x+1 1 0 1 2 3
50
x 0 x x+1 1 2 0 2 3 1 x+1 0 x+1 1 x 3 0 3 1 2
Lorsqu’on remplace x par 2 on obtient le corps isomorphe 0, 1, 2, 3 dont les tables sont situées dans les deux tableaux de droite ; ses éléments sont obtenus en remplaçant 0, x, x, x+1 respectivement par 0, 1, 2, 3. Ces corps isomorphes sont d’un usage plus pratique. Exemple du corps K(2, 3).
addition 0 1 x x+1 x2 x2+1 x2+ x x2+ x+1 0 0 1 x x+1 x2 x2+1 x2+ x x2+ x+1 1 1 0 x+1 x x2+1 x2 x2+ x+1 x2+ x x x x+1 0 1 x2+ x x2+ x+1 x2+1 x2+1
x+1 x+1 x 1 0 x2+ x+1 x2+ x x2 x2 x2 x2 x2+ 1 x2+ x x2+ x+1 0 1 x 1+x
x2+1 x2+1 x2 x2+ x+1 x2+ x 1 0 1+x x x2 + x x2 + x x2+ x+1 x2+ 1 x2 x 1+x 0 1
x2 +x+1 x2 +x+1 x2+x x2+ 1 x2+ 1 x+1 x 1 0 multiplic 0 1 x x+1 x2 x2+1 x2+ x x2+ x+1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 x 1+x x2 x2+1 x2+ x x2+ x+1 x 0 x x2 x2 + x 1+x 1 x2 +x+1 x2+1
1+x 0 1+x x2 + x x2+1 x2 +x+1 x2 1 x x2 0 x2 1+x x2 +x+1 x2 + x x x2 +1 1
x2+1 0 x2+1 1 x2 x x2 +x+1 1+x x2 + x x2 + x 0 x2 + x x2+x+1 1 x2+1 1+x x x2
x2 +x+1 0 x2 +x+1 x2+1 x 1 x2 + x x2 1+x ad 0 1 2 3 4 5 6 7 mul 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 3 2 5 4 7 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 2 3 0 1 6 7 4 5 2 0 2 4 6 3 1 7 5 3 3 2 1 0 7 6 5 4 3 0 3 6 5 7 4 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 4 0 4 3 7 6 2 5 1 5 5 4 7 6 1 0 3 2 5 0 5 1 4 2 7 3 6 6 6 7 4 5 2 3 0 1 6 0 6 7 1 5 3 2 4 7 7 6 3 4 3 2 1 0 7 0 7 5 2 1 6 4 3
Corps de Galois isomorphe à K(2, 3)
ad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mul 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 4 5 3 7 8 6 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 0 1 5 3 4 8 6 7 2 0 2 1 6 8 7 3 5 4 3 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 0 3 6 7 1 4 5 8 2 4 4 5 3 7 8 6 1 2 0 4 0 4 8 1 5 6 2 3 7 5 5 3 4 8 6 7 2 0 1 5 0 5 7 4 6 2 8 1 3 6 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 0 6 3 5 2 8 7 4 1 7 7 8 6 1 2 0 4 5 3 7 0 7 5 8 3 1 4 2 6 8 8 6 7 2 0 1 5 3 4 8 0 8 4 2 7 3 1 6 5
Corps de Galois isomorphe à K(3, 2)
Propriétés d’orthogonalité dans l’espace [K(q,s)]N Le plan factoriel de base comporte r facteurs dont tous les nombres de niveaux sont égaux à qs, et N traitements, avec N = qsr. Le modèle associé comporte N composantes d’action. Chacune de ces actions est définie par une colonne de la matrice des actions et peut être représentée par un point de coordonnées (x1,…, xN) de l’espace vectoriel [K(q,s)]N . Ce point engendre une droite passant par l’origine (une variété de dimension 1), et qui est formée par l’ensemble des points α (x1,…, xN) α ∈
51
K(q, s). Les vecteurs formés par les facteurs de base étant orthogonaux (par définition), il en découle la propriété suivante pour une combinaison linéaire (comportant au moins deux coefficients non nuls) de ces vecteurs de base : • toutes les combinaisons linéaires entre les vecteurs de base (orthogonaux deux à deux) sont des
vecteurs orthogonaux aux vecteurs de base, et orthogonaux entre eux. L’orthogonalité est définie par le produit scalaire ordinaire avec les tables d’opérations du corps de Galois correspondant K(q, s). Le lecteur pourra vérifier cette propriété avec l’identité : (x+ay)² = ||x||2 + 2a(x|y)+a2||y||2 et en observant que si x et y sont des vecteurs de base ils vérifient : (x|y) = ||x||2 = ||y||2 = 0. Construction des plans fractionnaires 1. On construit le plan factoriel complet comportant r facteurs e base ayant chacun p niveaux, où p
est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier p = qs ; le plan comprend donc pr traitements.
2. Dans l’espace de dimensions pr les r facteurs définissent r vecteurs colonnes qui sont orthogonaux 2 à 2 au sens du produit scalaire sur le corps K(q,s).
3. Le nombre maximum de facteurs que peut comporter un plan de résolution III saturé étant égal à n = (pr –1)/(p-1) on pourra ajouter jusqu’à m = n – r facteurs supplémentaires.
4. Les vecteurs supplémentaires qu’il est possible de former à partir de r vecteurs initiateurs sont obtenus par des combinaisons linaires entre k vecteurs parmi eux, avec r ≥ k ≥ 2.
5. L’ensemble des vecteurs non colinéaires est obtenu avec les coefficients multiplicateurs constitués par des k-uplets de nombres ne formant pas des vecteurs colinéaires au sens des deux lois de composition interne du corps. Les vecteurs proportionnels étant colinéaires il suffira de considérer les k-uplets commençant par 1.
Exemple A partir du plan de base 42 on peut introduire des facteurs supplémentaires définis par les doublets suivants : (1, 1), (1, 2) (1,3). Le lecteur vérifiera que tous les autres doublets possibles sont colinéaires avec l’un des précédents. 6. Si le nombre de facteurs de base est suffisamment grand, on peut trouver des plans de résolution
supérieure à III, comme pour les plans avec des facteurs à 2 ou à 3 niveaux. 7. Il reste à établir les listes de confusions entre les actions. On peut utiliser la généralisation de la
méthode vue à propos des plans à 3 niveaux, en utilisant les tables d’opération du corps de Galois K(q, s) à la place de celles du corps K(3, 1).
8. Une première méthode est basée sur l’utilisation des équations exprimant l’égalité entre un niveau d’interaction et son facteur confondu. Les solutions forment le sous groupe des traitements correspondant au niveau 0 du facteur ; on en déduit les classes latérales du groupe et qui correspondent aux autres niveaux. Une classe latérale est formée par les éléments que l’on peut déduire de ceux du sous groupe additif, comprenant donc l’élément neutre, à l’aide de l’opération d’addition avec un élément ne faisant pas partie du sous groupe. Les classes latérales et le sous groupe forment ainsi une partition du groupe.
9. Une autre méthode consiste à rechercher les vecteurs colinéaires par un examen systématique de toutes les interactions potentielles du plan factoriel constitué par tous les facteurs du plan.
10. Enfin une troisième méthode consiste à utiliser les unités définies par les confusions, ainsi que leurs produits possibles.
Construction du plan fractionnaire 45-3 Nous développerons l’exemple évoqué précédemment. Partons du plan factoriel à 2 facteurs A et B ayant chacun 4 niveaux et comportant 16 traitements. Il est possible de superposer de nouveaux facteurs aux parties d’interactions notées AB, AB2, AB3 définies de façon à ce que chacune possède 3 degrés de liberté. Cette définition des interactions n’a
52
pas de sens physique, sa seule justification est de permettre l’introduction de confusions avec des facteurs supplémentaires. Une fois que l’ensemble de ces opérations est achevé (après l’analyse de la variance qui permettra de retenir les actions significatives) on pourra réanalyser les interactions entre des facteurs donnés : dans l’exemple considéré toutes les 3 parties d’interaction entre les facteurs A et B qui comportent donc (4-1).(4-1) = 9 degrés de liberté ; avec cet ensemble on pourra leur retrouver une signification physique plus claire et un modèle mathématique à l’aide d’une régression polynomiale adaptée. On cherche donc à introduire les facteurs suivants en posant : C = AB, D = AB2, E = AB3 Les niveaux des facteurs C, D, E, sont les solutions des équations respectives en x et y définissant les niveaux des blocs AB, AB2, AB3 respectivement : C = AB ⇒ x+y = 0, 1, 2, 3 ; soit c0=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3) ; c1=(0,1),(1,0),(2,3),(3,2) ;
c2=(0,2),(1,3),(2,0),(3,1) ; c3=(0,3),(1,2),(2,1),(3,0). D = AB2 ⇒ x+2y = 0, 1, 2, 3 ; soit d0=(0,0),(1,3),(2,1),(3,2) ; d1=(0,3),(1,0),(2,2),(3,1) ; d2=(0,1),(1,2),(2,0),(3,3) ; d3=(0,2),(1,1),(2,3),(3,0). E = AB3 ⇒ x+3y = 0, 1, 2, 3 soit e0=(0,0),(1,2),(2,3),(3,1) ; e1=(0,2),(1,0),(2,1),(3,3) ; e2=(0,3),(1,1),(2,0),(3,2) ; e3=(0,1),(1,3),(2,2),(3,0). Plus simplement pour trouver les colonnes ABk avec k = 1, 2, 3, il suffit de calculer les combinaisons linéaires des vecteurs colonnes A et B par z = x+ky, x et y étant les composantes respectives de A et B, en utilisant les opérations du corps K(2, 2).
A B C=AB D = AB2 E = AB3 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 2 2 3 1 0 3 3 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 3 2 0 1 3 2 0 3 2 0 2 2 2 2 1 3 0 1 2 2 0 1 3 2 3 1 3 0 3 0 3 3 3 3 1 2 1 0 3 2 1 0 2 3 3 0 2 1
Recherche des confusions du plan 45-3 Les confusions découlent des 9 équations suivantes : 1. La confusion C = AB fournit l’équation x+y = z ; en utilisant les tables d’opération du corps on
voit que cette équation est équivalente aux 3 suivantes :
x+y+z = 0 (a) 2x+2y+2z = 0 (b) 3x+3y+3z = 0 (c)
2. La confusion D = AB2 fournit l’équation x+2y = u équivalente aux 3 équations :
x+2y+u = 0 (d) 2x+3y+2u = 0 (e) 3x+y+3u = 0 (f)
3. La confusion D = AB3 fournit l’équation x+3y = v équivalente aux 3 équations :
x+3y+v = 0 (g) 2x+y+2v = 0 (h) 3x+2y+3v = 0 (k)
53
Nous n’examinerons que les confusions résultant de C = AB. Confusion avec l’effet principal A. Les blocs des 4 niveaux A (ensemble des traitements) sont définis par les solutions de : x = 0, 1, 2, 3 (A) L’addition avec les équations (a, b, c) donnent les équations (a’), (b’), (c’) :
y+z = 0, 1, 2, 3 (a’) 3x+2y+2z = 0, 1, 2, 3 (b’) 2x+3y+2z = 0, 1, 2, 3 (c’)
Les équations (b’) et (c’) doivent être transformées, car l’exposant de la première lettre du mot définissant une action doit être égal à 1 (sinon les nombres de degrés de liberté des actions sont erronés). On multiplie ainsi (b’) par 2 et (c’) par 3 et on obtient les équations équivalentes :
x+3y+3z = 0, 2, 3 1 (b’’) x+2y+2z = 0, 3, 1, 2 (c’’) Les équations (a’), (b’’), (c’’) impliquent alors les confusions suivantes : A(0, 1, 2, 3) = BC(0, 1, 2, 3) = AB3C3 (0, 1, 2, 3) = AB2C2 (0, 3, 1, 2). Autres confusions résultant de C = AB elles sont obtenues de la même façon ; on trouve :
A(0, 1, 2, 3) = BC(0, 1, 2, 3) = AB3C3 (0, 2, 3,) = AB2C2 (0, 3, 1, 2) B(0, 1, 2, 3) = AC (0, 1, 2, 3) = AB3C (0, 2, 3, 1) = AB2C (0, 3, 1, 2) C(0, 1, 2, 3) = AB (0, 1, 2, 3) = ABC3 (0, 2, 3, 1) = ABC2 (0, 3, 1, 2) AB(0, 1, 2, 3) = C(0, 1, 2, 3) = ABC3 (0, 2, 3, 1) = ABC2 (0, 3, 1, 2)
AB2 (0, 1, 2, 3) = BC2 (0, 1, 2, 3) = AC3 (0, 2, 3, 1) = AB3C2 (0, 3, 1, 2) AB3 (0, 1, 2, 3) = BC3 (0, 1, 2, 3) = A B2C3 (0, 2, 3, 1) = AC2 (0, 3, 1, 2)
Remarque Il est équivalent d’utiliser les éléments unitaires de l’ensemble des mots désignant les actions pour trouver les confusions, en utilisant les tables d’addition et de multiplication de K(2, 2). Les équations (a) à (k) équivalent à poser les unités génératrices suivantes :
I1 = ABC = A2B2C2 = A3B3C3
I2 = DA2B = D2A3B2 = D3AB3
I3 =EA3B = E2AB2 = E3A2B3 En considérant toutes les combinaisons entre les unités on voit que chaque action est confondue avec 63 autres actions. Il y a donc 16 ensembles d’actions confondues dans ce plan où l’on a introduit le maximum de facteurs supplémentaires et le maximum de confusions possibles.
2.9 Un exemple de plan produit Propriété du produit des modèles d’un plan produit
• Un plan produit est le produit cartésien des ensembles disjoints des facteurs de chacun des plans. Le modèle associé au plan produit est égal au modèle produit tensoriel symbolique des modèles de chacun des plans. En particulier on peut en extraire la somme directe des modèles. La matrice du modèle produit est égale au produit de Kroneker des matrices des modèles de chaque plan élémentaire.
Exemple. Le produit du modèle du plan constitué par le seul facteur A à 3 niveaux par le modèle du plan fractionnaire donne bien le modèle du plan produit qui est décrit par le système des alias ci-dessous, à condition de garder les parenthèses qui signifient une confusion : (A +A2).((I-BCD)+(B-CD)+(C-BD)+(D-BC)) = I+(A-ABCD)+(B-CD)+(C-BD)+(D-BC)+(AB-ACD)+(AC-ABD)+(AD-ABC)
54
où l’on à remplacé à droite (A+A2) par A.
Plan 3.24-1 Nous choisirons comme générateur de confusion pour la partie 24-1: I = ABDE. D’où la liste des alias, obtenue en appliquant la propriété du plan produit :
A+BDE AB+DE BC+ACDE B+ADE AD+BE CD+ABCE
C+ABCDE AE+BD CE+ABCD D+ABE BD+AE
E+ABD C2+ABC2DE AB(C+C2)+DE(C+C2) AC2+BC2DE A(C+C2)D+B(C+C2)E
BC2+AC2DE A(C+C2)D+B(C+C2)E DC2+ABC2E EC2+ABC2D M=ABDE
Avec ce plan on peut tester le modèle suivant où le facteur C qui est à 3 niveaux interagit avec tous les autres facteurs qui sont à deux niveaux :
Y = M+A+B+C+D+E+AC+BC+CD+CE+(AB+DE)+(AD+BE)+(AE+BD) ddl 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1
où le terme C représente les 2 degrés de liberté C et C2, AC représente les degrés de liberté AC et AC2. • Plus généralement il est intéressant d’introduire un facteur à m niveaux dans un plan produit
lorsque l’on sait qu’il s’agit a priori d’un facteur susceptible d’interagir avec les autres facteurs du plan.
55
3. L’acquisition de données sous informatique Gilles MOREAU
56
Le but de ce TP est d’apprendre à réaliser un Programme capable de visualiser en temps réel et d’acquérir des données provenant de capteurs reliés à une carte d’acquisition et d’en déterminer le Max. et le Min. Ensuite nous ajouterons des seuils de déclenchements qui pourraient à terme servir par exemple à piloter un essai ou une machine. La version de LabView utilisée est la version « LabView 6i » en anglais. Ce TP vous permettra d’avoir une approche du squelette de base des programmes d’acquisition et de pilotage avec ce type de logiciel très présent dans le domaine expérimental. Nota : c’est votre programme que vous utiliserez dans le TP « jauges de déformation, capteurs de déplacement ».
3.1 Qu’est ce que LabView ? Labview est un progiciel de développement d’applications comparable à la plupart des systèmes de développement en langage C ou Basic existant. Contrairement aux autres logiciels de programmation qui utilisent le langage à base de commandes dont la programmation consiste à empiler des lignes de code, Labview utilise un langage de programmation graphique, le langage G, pour créer un programme sous forme de diagrammes. Labview offre des bibliothèques étendues de fonctions et de routines (blocs pré-programmés) capable de répondre à la plupart des besoins en programmation pour des applications en laboratoire. En ce qui concerne les plates formes Windows, Macintosh et Sun, Labview comprend également des bibliothèques de fonctions spécifiques à l’acquisition de données et au pilotage d’instruments VXI et GPIB, ou encore d’instruments connectés sur une simple liaison série. Il existe aussi des bibliothèques dédiées à la présentation, à l’analyse et au stockage des données. Labview intègre une panoplie complète d’outils de développement de programmes conventionnels, de sorte que l’on peut définir des points d’arrêts, animer l’exécution du programme en mettant en évidence le cheminement des données et exécuter pas à pas le programme. Le développement et la mise au point du programme s’en trouvent ainsi facilités.
3.2 Fonctionnement de Labview Labview comprend des bibliothèques de fonctions et des outils de développement spécialement conçus pour les applications de contrôle d’instrument (voir Annexe 1). Un programme Labview est appelé VI (Instrument Virtuel), parce que sa représentation et son fonctionnement ressemblent à ceux des instruments classiques. Néanmoins, les VIs diffèrent en ce sens qu’ils tirent leur fonctionnalité de la programmation informatique avec l’équivalent en code source, et acceptent les paramètres des VIs de niveaux supérieurs : • Un VI intègre une interface utilisateur interactive appelé face avant, puisqu’elle simule la face-
avant d’instruments physiques. La face-avant contient des boutons rotatifs, des boutons poussoirs, des graphes et autres commandes et indicateurs. Ces éléments sont modifiables à l’aide de la souris et du clavier, et on peut ainsi visualiser les résultats à l’écran.
57
Figure 1 : Exemple de face avant
• Un VI reçoit des instructions de son diagramme, que l’on construit en Langage G. Le diagramme
qui correspond au code source du VI, réduit ainsi la programmation à une simple manipulation graphique.
Figure 2 : Exemple de diagramme
• Le VI représente une structure hiérarchique et modulaire, on peut ainsi l’utiliser comme programme principal ou comme sous-programme à l’intérieur d’autres programmes ou de sous-programmes. Un VI contenu à l’intérieur d’un autre VI est appelé sous-VI.
• Les structures contrôlent le flux des données dans les VIs. LabView s’articule autour de quatre
structures différentes : la boucle WHILE, la boucle FOR, la structure Condition et la structure Séquence.
58
Avec ces caractéristiques, Labview adhère entièrement au concept de programmation modulaire, c’est à dire que l’on peut scinder une application en une série de tâches que l’on peut subdiviser autant de fois que l’on veut. On construit donc un VI pour chaque tâche, puis on les rassemble pour obtenir au final un VI principal qui contiendra un ensemble de sous-VI qui représentent ainsi les fonctions de l’application. Néanmoins, on peut utiliser indépendamment chaque VI du reste de l’application, ce qui facilite la mise au point de celle-ci. On peut donc utiliser des sous-VI dans plusieurs applications.
3.3 Votre programme LabView Objectif : 1-Vous allez utiliser une boucle WHILE puis une boucle FOR associées chacune à un graphe déroulant pour acquérir et présenter les données en temps réel provenant d'un générateur aléatoire simulant une ou plusieurs voies de mesure reliées à divers capteurs. 2- Vous ajouterez les fonctions permettant la détection et l’affichage du maximum et du minimum, le réglage de la fréquence d’acquisition des données (c’est à dire la vitesse d’exécution des boucles) ainsi que la sauvegarde des données dans un fichier lisible sous tableur type « EXCEL ». 3-Remplacement des générateurs aléatoires par l’interrogation des voies de mesures réelles. Programme avec la boucle WHILE : Création de la face avant Vous pouvez vous inspirer de la face avant suivante pour construire votre VI.
- Ouvrez une nouvelle face avant. - Placez un interrupteur boolean dans la face avant. Il servira à interrompre le processus d’acquisition - Placez un graphe déroulant dans la face avant. Celui-ci servira à afficher les données aléatoires en temps réel.
59
- Placez un bouton rotatif. Celui-ci servira à contrôler la vitesse d’exécution de la boucle donc la fréquence d’acquisition. - Utilisez les outils texte pour mettre les légendes et commentaires que vous désirez sur votre face avant. Le diagramme - Ouvrez la fenêtre « diagramme », vous devez retrouver les objets de votre face avant sous forme de rectangle que l’on appellera « terminaux » comme sur l’illustration suivante.
- Placez dans votre diagramme une boucle WHILE en la choisissant dans la palette « FONCTION » et placez vos terminaux à l’intérieur de celle-ci (voir annexe 2 « boucle WHILE ») - Ajouter à l’intérieur de celle-ci une fonction de générateur aléatoire appelée « random number ». - Reliez entre eux à l’aide du câblage virtuel la fonction générateur aléatoire avec votre terminal de visualisation du signal et le terminal du bouton boolean avec la condition d’arrêt de la boucle WHILE (voir illustration suivante).
60
- Revenez en face avant, mettez en route votre VI et actionnez le bouton arrêt de votre face avant Vous constatez que la boucle WHILE est une structure de bouclage indéfinie. Le diagramme qu’elle contient s’exécute tant que la condition indiquée reste vraie. Dans votre cas, tant que l’interrupteur est sur la position ON (TRUE), le diagramme continue à générer des nombres aléatoires et à les afficher dans le graphe déroulant.
3.3.1 Programme avec la boucle FOR - Procédez comme pour le programme précédent en remplaçant la boucle WHILE par une boucle FOR (voir annexe3 « boucle FOR ») - Mettre comme valeur au terminal de comptage de la boucle FOR le chiffre 100. - Revenez en face avant, mettez en route votre VI. Vous constatez que la boucle FOR génère 100 nombres aléatoires et affiche les points dans un graphe déroulant.
3.3.2 L’affichage des MIN-MAX - Ouvrez vos deux faces avant et ajouter un indicateur numérique qui servira à visualiser le MAX ou le MIN. - Ouvrez les fenêtres diagrammes de vos deux programmes. - Ajoutez la fonction « MAX & MIN » dans chacune des deux boucles WHILE et FOR.
61
- Ajoutez un registre à décalage sur chacune des deux boucles en plaçant le curseur flèche sur la bordure droite ou gauche de la boucle en cliquant droit et choisissant « Add Shift Register » dans le menu déroulant (le registre à décalage permet de reporter comme valeur entrante dans la boucle la valeur générée au tour de boucle précédent). - Placez à l’extérieur des boucles une constante numérique (qui sert à l’initialisation du registre à décalage pour le premier tour de boucle) - Cablez comme sur le schéma suivant
Mettez en route vos VIs. Le paramétrage de la vitesse d’exécution des boucles. Comme vous pouvez le constater lors de l’exécution de vos programmes ceux-ci s’exécutent très rapidement. En effet lorsque vous demandez l’exécution d’un VI, les boucles se déroulent le plus rapidement possible. Cependant vous avez peut être besoin d’acquérir des données à intervalles réguliers, comme toutes les minutes ou toutes les secondes. Nous allons voir ici comment permettre un choix de la vitesse d’exécution des boucles. - Ouvrez une de vos fenêtres diagrammes. - Ajouter à l’intérieur de la boucle la fonction « WAIT UNTIL NEXT ms TIME » (noter que cette fonction travaille en milliseconde ). - Câblez le terminal de votre bouton rotatif à celle-ci.
62
mettez en route votre VI et essayez différentes valeurs à l’aide du bouton rotatif (pensez que la valeur est en milliseconde). Vous constatez que votre boucle tourne à la vitesse imposée par le bouton rotatif.
3.3.3 Sauvegarde des données dans un fichier Actuellement vos VIs ne permettent que de visualiser des données mais pas de les sauvegarder. Pour cela vous allez utiliser la fonction « Write Spreadsheet File ». - Ajoutez à l’extérieur droit de vos boucles la fonction « Write Spreadsheet File ». Cette fonction va permettre la sauvegarde des données dans un fichier de votre PC. - Ajoutez également la fonction « Build Array ». Cette fonction permet la mise en tableau des données avant sauvegarde. - Câblez comme sur le schéma suivant.
63
Lancez votre VI, vous constatez que le programme vous demande d’entrer le nom et le répertoire du fichier de sauvegarde. Choisissez un nom, puis arrêtez votre VI. Ouvrez avec Excel le fichier créé.
64
Annexe 1
65
66
67
68
Annexe 2 • La boucle While est une boite réajustable utilisée pour exécuter le diagramme qu’elle contient
jusqu’à ce que la valeur booléenne transmise au terminal d’entrée prenne la valeur False. Le VI vérifie la valeur fournie à la fin de chaque itération de la boucle while. Le terminal d’itération est une sortie numérique qui contient le nombre de fois que la boucle s’est exécutée. Lorsque l’on lance l’exécution du VI, la boucle while se déroule le plus rapidement possible, mais la vitesse d’acquisition est modifiable à des intervalles réguliers comme toutes les secondes ou les minutes. Cette boucle sert donc à exécuter le diagramme à l’intérieur de la boucle (ce qui définit la condition) tant que la condition while est vraie.
69
Annexe 3
• La boucle For est une boite réajustable comme la boucle while, elle exécute son sous-programme
X fois, X étant la valeur contenue dans le terminal de comptage (N). On peut définir cette valeur explicitement en câblant une valeur extérieure à la boucle en haut du terminal de comptage. Le terminal d’itération (I) contient le nombre d’itérations actuellement effectuée : Soit 0 à la première itération, 1 à la seconde et ainsi de suite jusqu’à N. Les terminaux de comptages et d’itérations sont des entiers longs signés compris entre 0 et 231-1. La boucle For sert donc à exécuter un sous-diagramme pour i= 0 à N-1.
70
71
4. Jauges de déformation et capteurs de déplacement Gilles MOREAU
BUT DU TP Dans ce TP vous apprendrez à choisir, utiliser et connecter des capteurs et plus particulièrement des jauges de contrainte ainsi que des capteurs de déplacement de type LVDT. Vous apprendrez également à piloter une machine de traction-compression et à récupérer les données de vos capteurs grâce au programme LabView que vous aviez réalisé lors du TP précédent.
4.1 MISE EN ŒUVRE - Vous disposerez de différentes jauges de contrainte ainsi que leurs de fiches techniques et vous
choisirez celle qui vous semble la mieux adaptée à la mesure à effectuer. - Il en sera de même pour les capteurs de déplacement - Vous collerez la jauge sur l’éprouvette à tester (éprouvette en composite). - Vous disposerez des différents conditionneurs ou alimentations nécessaires au fonctionnement des
capteurs. - Vous connecterez les capteurs à leurs conditionneurs ainsi que sur le bornier permettant la
récupération des signaux sur l’ordinateur via le programme LabView que vous aviez réalisez lors du précédent TP.
- Vous modifierez votre programme afin de pouvoir récupérer les signaux provenant de vos
capteurs. - Vous disposerez l’éprouvette instrumentée ainsi que le capteur de déplacement sur le machine de
traction compression. - Vous lancerez les programmes de pilotage de la machine ainsi que votre programme d’acquisition. - Vous analyserez les résultats ainsi que les fiches techniques de chacun des capteurs et tenterez de
comparer et de définir les différentes applications de ces deux types de capteurs et leurs spécificités.
Jauge de contrainte Capteur de déplacement
72
73
5. Mesures de vibrations Denis DUHAMEL
5.1 Les vibrations
5.1.1 Introduction Les vibrations sont les oscillations mécaniques d’une quantité par rapport à une valeur de référence. La plupart des systèmes mécaniques sont des sources de vibrations, c’est pourquoi on les rencontre dans de très nombreuses occasions : à la maison, dans les transports, au travail. Ce sont souvent des phénomènes parasites et désagréables d’un autre processus et constituent un problème majeur à régler. Dans le génie civil, par exemple, on veillera au comportement vibratoire de ponts sous l’effet du vent ou au comportement de bâtiments sous séismes. Dans l’industrie, on s’assurera que les produits manufacturés ne sont pas des sources trop importantes de vibrations (machines outils, appareils ménagers, voitures, …). Les vibrations causent aussi de l’usure et de la fatigue et sont souvent responsables de la ruine finale de la structure. Mais les vibrations peuvent aussi parfois être créées de façon intentionnelle, c’est le cas par exemple dans les compacteurs à béton et les marteaux piqueurs. De manière générale on doit faire des mesures de vibrations pour différentes raisons : • Pour vérifier que les fréquences et les amplitudes n’excèdent pas les limites supportables par les
matériaux constituant le système, notamment pour des raisons de fatigue. • Parce que l’évolution du spectre de fréquence fournit une indication de l’état d’usure ou de fatigue
des organes mécaniques de l’installation et permet d’assurer une maintenance préventive. • Pour satisfaire une réglementation qui impose une limite à l’amplitude des vibrations afin d’éviter
les nuisances acoustiques qui en découlent. • Pour éviter d’exciter certaines parties du système sur leurs fréquences de résonance. • Pour atténuer ou isoler des sources de vibration. • Pour bâtir ou vérifier un modèle de la structure (analyse modale). Physiquement, les vibrations sont le résultat de forces dynamiques provenant de parties mobiles des machines et des structures qui lui sont liées. Les différentes parties de la machine vont vibrer à différentes amplitudes et à différentes fréquences. Elles sont engendrées par des défauts d’équilibrage, des chocs, du frottement ou une onde acoustique. Les vibrations proviennent de l’interaction de trois composants essentiels de tout système mécanique : des ressorts, des amortisseurs et des masses.
m
k c
Figure 1 : Système masse ressort amortisseur
Un système mécanique composé d’une masse m et d’un ressort de raideur k vibre sur sa fréquence naturelle
mkf
ππω
21
2==
74
Le mouvement libre est sinusoïdal, avec un déplacement de la forme )sin()( tDtd ω= où D est l’amplitude de la vibration. Un accroissement de masse se traduit par une diminution des fréquences tandis qu’une augmentation de raideur accroît les fréquences de vibration. Une augmentation de l’amortissement se traduit par une diminution de l’amplitude en fonction du temps. Les vibrations peuvent être décrites par une position, une vitesse ou une accélération. La vitesse et la position peuvent être obtenues à partir de l’accélération par une ou deux intégrations en temps. Le cheminement inverse pour trouver l’accélération et la vitesse à partir de la position nécessite des dérivations et est beaucoup plus sensible au bruit de mesure ce qui explique qu’on évite de le faire en pratique. Les unités de mesure des vibrations sont les suivantes
Accélération 2/ sm
Vitesse sm /
Position m
Tableau 1 : Unités de mesure
On mesure aussi les accélérations en g avec la conversion suivante 2/80665.91 smg = . Le résultat final est souvent exprimé en dB suivant la formule
=
=
refref aa
aaL 102
2
10 log20log10
où le niveau de référence est défini par 2610 −−= msaref et a est l’amplitude de l’accélération mesurée.
5.1.2 Les différents capteurs La chaîne de mesure est classiquement donnée par la figure 2. On se rappelle que la qualité globale d’une chaîne de mesure n’est pas meilleure que celle du plus mauvais élément de la chaîne.
capteur préamplificateur filtre sortie
Figure 2 : Chaîne de mesure
Le capteur sert à convertir un signal mécanique en un signal généralement électrique. Le préamplificateur sert d’interface pour convertir le signal reçu du capteur en un signal qui puisse être envoyé à l’instrument d’analyse du signal. Le filtre permet d’éliminer les parasites dans les basses et hautes fréquences. On peut utiliser différents types de capteurs pour mesurer les vibrations. Pour mesurer des déplacements, on peut par exemple utiliser des capteurs électromagnétiques qui ont l’avantage d’être sans contact. Les mesures de vitesse sont effectuées en mesurant le voltage induit dans une bobine se déplaçant dans un champ magnétique. Le tableau 2 et la figure 3 donnent les caractéristiques des principaux capteurs utilisables.
75
capteur dynamique Bande de fréquence
avantage inconvénient
Capteur de déplacement
électromagnétique
500 :1 0-2000Hz • Pas de partie mobile
• Sans contact • Mesure de très
basses fréquences
• Sensible aux irrégularités de surface
• Etalonnage sur place nécessaire
• Faible dynamique Capteur de vitesse 1000 :1 > 10Hz • Pas d’alimentation
• Faible impédance • Parties mobiles pouvant
se déformer • Grande dimension • Sensible à l’orientation • Sensible aux champs
magnétiques • Limité aux hautes
fréquences Accéléromètre piézoélectrique )160(
1:108
dB Au moins
1Hz-30kHz • Pas d’alimentation • Pas de partie
mobile • Grande dynamique • Faible dimension et
faible poids • Grande stabilité
• Limité dans les basses fréquences
Tableau 2 : Les différents capteurs
5.1.3 Caractéristiques des accéléromètres Le capteur de loin le plus utilisé est l’accéléromètre en raison de ses performances et de sa facilité d’utilisation. Les accéléromètres ont l'avantage d'une très grande dynamique, de l'ordre de 160 dB associée à une large plage de fréquences. En général, ils sont peu sensibles aux conditions environnementales telles que la température. Il existe un grand nombre de types d'accéléromètres. Certains accéléromètres travaillent en compression, d'autres en cisaillement. Lors du choix d'un accéléromètre pour une application donnée, les critères essentiels sont les domaines d'amplitudes et de fréquences à couvrir. On choisira soit un accéléromètre miniature pour de fortes accélérations et des hautes fréquences ou un accéléromètre de taille moyenne pour des fréquences plus basses. Le domaine de fréquence que peut couvrir un accéléromètre est limité par sa fréquence de résonance. En général, il peut être utilisé depuis les basses fréquences jusqu'à une fréquence égale à un tiers de sa fréquence de résonance. Ainsi l'erreur est limitée à moins d'un décibel. Lors d'une exposition à une accélération constante, la réponse est aussi constante sur ce domaine de fréquence. Plus un accéléromètre est gros, plus il est sensible mais plus sa plage de fréquence est faible. Ces facteurs sont décrits sur la figure 4. Il est très important que l'accéléromètre soit convenablement fixé sur la structure à analyser. Une mauvaise fixation peut diminuer de façon importante la bande passante du capteur ou même fausser les résultats obtenus. La meilleure méthode consiste à visser l'accéléromètre sur la structure. Lorsque cela n'est pas possible on collera l'accéléromètre avec une colle forte. Une méthode rapide mais moins performante consiste à utiliser de la cire d'abeille. On peut ajouter une pastille de mica pour assurer l’isolation électrique entre l’accéléromètre et l’objet à mesurer quand cela est nécessaire. L'accéléromètre a aussi une masse qui peut perturber la mesure en changeant la masse de l'objet testé. En règle général, la masse de l'accéléromètre devra être inférieure au dixième de la masse de la partie vibrante analysée. La sensibilité d’un accéléromètre est maximale dans la direction perpendiculaire à la base. Toutefois une sensibilité résiduelle existe dans la direction transverse (3-4% au plus). On veillera à monter l’accéléromètre pour que la direction à mesurer coïncide avec sa direction de sensibilité maximale.
76
0.2 2 20 200 2k 20kHz Fréquence
AmplitudeRelative
1
100
10000
10
10
6
8 Accéléromètrepiézoélectrique
Capteur deposition vitesse
Capteur de
Figure 3 : Dynamique des différents capteurs
0.01
1
30
SensibilitépC/ms-2
kHz10 40 150
Figure 4 : Sensibilité des accéléromètres
Les accéléromètres délivrent des signaux de faibles amplitudes. C'est pourquoi il est nécessaire d'utiliser un préamplificateur qui va augmenter le signal à envoyer à l'instrument d'analyse. Il permet aussi d'effectuer un filtrage et de prévenir des surcharges. La consultation de la fiche d’étalonnage est importante. On y trouvera la sensibilité de l'accéléromètre ainsi que sa fréquence de résonance. Un filtre passe-bas avec une coupure au voisinage du tiers de la fréquence de résonance devra être utilisé. On pourra aussi utiliser un filtre passe-haut pour réduire le bruit des basses fréquences d'origine thermique ou provenant du préamplificateur. Enfin, un étalonnage périodique de l’accéléromètre permet de vérifier la sensibilité du capteur.
77
Un certain nombre d’accéléromètres ont été conçus pour des applications spécifiques, par exemple pour servir de référence à l’étalonnage, pour être utilisés en cas de haute température, pour des mesures triaxiales, pour supporter des chocs importants ou pour mesurer des vibrations de faibles amplitudes. En parallèle, on peut aussi utiliser un capteur de force pour mesurer une excitation apportée à la structure dans le but d’effectuer par exemple une analyse modale. Ce capteur de force peut être une tête d'impédance ou un marteau. Ces capteurs seront décrits et utilisés dans le TP.
5.1.4 Principe de fonctionnement des accéléromètres Les accéléromètres sont en général basés sur l'effet piézoélectrique qui est la génération d'une charge électrique à la surface quand le matériau est soumis à une déformation. Une différence de potentiel proportionnelle à la déformation peut alors être mesurée. Le schéma de principe d’un accéléromètre est donné sur la figure 5. Il est constitué d’une masse M reliée à un boîtier par un ressort de raideur K et un amortisseur visqueux de coefficient C. Notant 0hhz −= , où h est le déplacement de la masse et
0h le déplacement de la structure sur laquelle est collée l’accéléromètre, nous avons
2
2
20
2
Kzdtdz C
dtzd M
dthd
-M ++=
En fréquence, on obtient
+−−
= 200
2
2
0 2
hz
ωξωωωωi
où MK /0 =ω est la pulsation propre de la masse M sur le ressort de raideur K et
)2/( KMC=ξ est le coefficient d’amortissement. Dans les accéléromètres piézoélectriques, le ressort est constitué par un cristal piézoélectrique qui transforme la force de rappel Kz en un courant électrique. Pour une fréquence propre ω0 élevée, le rapport entre la grandeur mesurée z et l’accélération du support est constant et vaut
200
2
1ωω
≈h
z
Pour obtenir une grande valeur de ω0 , il faut une faible masse M et une grande raideur K d’où une miniaturisation du capteur, par exemple pour l’accéléromètre BK type 4370, f0=19 kHz . Une variante de l’accéléromètre est la tête d’impédance qui permet de mesurer à la fois la force et l’accélération au même point (voir figure 6).
5.2 Analyse modale
5.2.1 Introduction Si une force sinusoïdale est appliquée sur un système linéaire, ce système va vibrer à la même fréquence que la force, c’est la vibration forcée. Par contre, les amplitudes et les phases sont en général différentes. Un système réel est généralement constitué d’un grand nombre de masses, raideurs et amortisseurs. La réponse du système à une force excitatrice est une fonction d’allure complexe comportant un pic pour chaque degré de liberté du système comme sur la figure 7.
78
K
C
.M .a h0
h.bb
Figure 5 : Schéma de principe d’un accéléromètre
Force
Sortie accélération
Sortie force
Figure 6 : Schéma de principe d’une tête d’impédance. L’analyse modale a pour but de déterminer les fréquences propres et les amortissements ainsi que les formes des modes de vibration pour finalement fournir un modèle mathématique du système. La dynamique d’une structure dans un domaine de fréquence donné est une superposition d’un ensemble de modes de vibration, chacun étant associé à une fréquence propre, un amortissement et une forme modale. Ces valeurs peuvent être déterminées à partir de la mesure de la fonction de transfert entre un excitateur et un ou plusieurs points de mesure. Dans le cas d’une structure avec des modes faiblement couplés, on peut facilement déterminer l’allure des modes. Il faut exciter la structure au voisinage d’une fréquence de résonance. La structure va alors vibrer pratiquement sur ce seul mode. La fonction de transfert à cette fréquence est purement imaginaire. La valeur de la partie imaginaire est proportionnelle au déplacement modal. En examinant la partie imaginaire en différents points de la structure, on peut ainsi déterminer l’allure du mode.
79
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 100 200 300 400 500 600
Frequence (Hz)
Module de la reponse en frequence
Figure 7 : Courbe de réponse en fréquence
5.2.2 Analyse des vibrations d’une barre Lors du TP, on mesurera les vibrations longitudinales d’un cylindre élastique excité par un pot vibrant sur sa base. On se propose dans un premier temps de calculer les fréquences propres et les modes propres de ce système simple.
^
pot vibrant
échantillon
tete d’impédance
L
X
O
Figure 8 : Test sur échantillon cylindrique
Les conditions aux limites sont décrites par une surface libre à l’extrémité Lx = , soit l’effort longitudinal 0=f . A l’autre extrémité 0=x , le pot vibrant impose l’effort )(0 tf . On supposera les déplacements uniformes dans chaque section ce qui est valable à basse fréquence et quand le diamètre D est faible devant la longueur L. L’évolution dynamique de la poutre est alors décrite par l’équation de l’élastodynamique unidimensionnelle
80
0),(')(),0(' 0
2
2
2
2
==
∂∂
=∂∂
tLutftESutu
xuE ρ
où )(0 tf est la force imposée par le pot vibrant à la base de l’échantillon. Dans le cas d’une
excitation harmonique ( )tieftf ω00 Re)( = et le problème en fréquence devient
0)('/)0('
0
0
22
2
==
=+
LuESfu
udx
udE ρω
(1)
Les modes propres sont les solutions sans chargement extérieur (c’est à dire lorsque 00 =f ). Exercice 1) Faire un calcul des fréquences propres et des modes propres du système, soit les couples
))(,( xunnω solutions de (1) avec 00 =f . 2) Calculer la solution du problème (1) quand 00 ≠f . Lorsque l’on connaît les modes propres la solution générale du système (1) avec second membre ( 00 ≠f ) est aussi donnée par le développement
∑+∞
=
=0
)()(n
nn xuaxu
où an est l’amplitude du mode n et un(x) la fonction propre. Les fonctions propres peuvent être normalisées pour vérifier
nm
L
mn dxxuxux δρ =∫0
)()()(
L’amplitude an pour que u(x) soit solution du problème (1) est donnée par
)(2
220
nn S
fL
aωωρ −
=
où nω est la n ième pulsation propre. Pour tenir compte de l’amortissement présent dans la structure, on remplace dans la formule précé-dente le facteur 22
nωω − par 22 2 nnni ωωωξω −− avec en général ξn << 1. Au voisinage de la fréquence nω , la réponse est dominée par le terme d’ordre n de la somme et la structure vibre suivant le mode propre d’ordre n. 3) En ne gardant que le terme d’ordre n dans la somme et en supposant que 1<<nξ , montrer que la pulsation de résonance du mode n pour laquelle l’amplitude de vibration est maximale est
221 nnrn ξωω −=
4) Montrer que la valeur de ξn peut s’obtenir à partir de la fréquence propre et de la largeur du pic de résonance (intervalle de pulsation ω∆ à 3 dB de la valeur maximale) par la formule.
81
nn ω
ωξ ∆=2
5.2.3 Vibrations d’une poutre en flexion On se propose d’utiliser un accéléromètre pour mesurer les fréquences propres de flexion d’une poutre suspendue et excitée par un marteau.
5.2.3.1 Modèle de poutre On étudie une poutre droite en flexion, ayant une section rectangulaire de dimension 2e par b, et de longueur l. On note x le point courant de la poutre et w sa flèche suivant y.
barre d’aluminium
l
2e
b
x
y
Figure 9 : Poutre en flexion
On note T(x,t) l’effort tranchant suivant y. L’équilibre en force suivant y d’un élément de poutre de longueur dx s’écrit :
dxtxwStxTtdxxT a ),(),(),( &&ρ=−+
aρ est la masse volumique (de l’ordre de 2770 kg/m3 pour l’aluminium et 7840 kg/m3 pour l’acier) et S=2eb est la section de la barre. On note M(x,t) le moment fléchissant suivant z. L’équilibre en moment suivant z s’écrit
0)(),(),( =++−+ dxdxxTtxMtdxxM on a négligé ici l’inertie de rotation de la section plane en x .
La relation de comportement en flexion relie la courbure de la poutre ),(2
2
txwdxd
au moment
fléchissant :
),(),( 2
2
txwdxdIEtxM a=
aE est le module d’Young (de l’ordre de 6.9 1010 Pa pour l’aluminium et 2.07 1011 Pa pour l’acier) et
I=2/3e3b est l’inertie de flexion de la poutre. On a donc à résoudre l’équation différentielle d’ordre 4 :
0),(),(4
4
=+ txwStxwdxdIE aa &&ρ
Dans le cas où la barre est libre aux deux extrémités, les conditions aux limites s’écrivent
0),(),(),0(),0( 3
3
2
2
3
3
2
2
==== tlwdxdtlw
dxdtw
dxdtw
dxd
soit un moment et un effort tranchant nuls aux extrémités.
5.2.3.2 Décomposition modale On cherche les oscillations libres sous la forme :
82
) )−( Β + )= tit ωω expi exp(A ( g(x) t)w(x, ω est la pulsation reliée à la fréquence de résonance par la formule ω=2πf. On trouve que g(x), le mode propre de vibration associé à cette fréquence vérifie l’équation :
0)()( 24
4
=− xgdx
xgdSIE
a
a ωρ
et les conditions aux limites :
0)()()0()0( 3
3
2
2
3
3
2
2
==== lgdxdlg
dxdg
dxdg
dxd
L’équation des modes propres se résout en posant : sinh(kx) cosh(kx) sin(kx) cos(kx) g(x) δγβα +++=
avec 2
= ωρ
IES
a
a k 4
On calcule les dérivées de g(x) :
))cosh()sinh()cos()sin(()(
))sinh()cosh()sin()cos(()(
33
3
22
2
kxkxkxkxkxgdxd
kxkxkxkxkxgdxd
δγβα
δγβα
++−=
++−−=
Les conditions aux limites en x=0 sont vérifiées si : α=γ et β=δ
On élimine ainsi γ et δ. Les conditions aux limites en x=l sont vérifiées si :
0))cos()(cosh())sinh()(sin(0))sin()(sinh())cosh()cos((
=−++=−++−
klklklklklklklkl
βαβα
La solution g(x) n’est pas identiquement nulle si et seulement si le déterminant de ce système est nul soit
0))cos()cosh(1(2)cos()cosh()sinh()sin()sin()sinh()cosh()cos(
=−=−+−+−
klklklklklklklklklkl
On trouve ainsi les valeurs admissibles de k, le nombre d’onde. De façon approchée, on a k=0 qui correspond à un mode rigide de translation suivant y , puis les valeurs telles que :
2)21(
0)cosh(
1)cos(
πnlk
lklk
n
nn
+≈
≈=
Avec ces valeurs de kn, on trouve les fréquences propres associées :
22 )21(
8n
SIE
lf
a
an +≈
ρπ
Les valeurs exactes sont données dans le tableau suivant :
n 1 2 3 4 5 6 knl 4.730 7.8532 10.9956 14.1371 17.2787 20.4203
On trouve gn(x) de la forme :
83
))sinh()))(sin(sinh()(sin())cosh()))(cos(cosh()(cos()( xkxklklkxkxklklkxg nnnnnnnnn ++++−=
et la solution d’une poutre en oscillation libre est donc de la forme :
))2(exp(
)(
)(),(
0
0
2
nnn
l
n
nn tfiRe
dyyg
xgtxw ϕπα += ∑
∫
∞
=
αn est l’amplitude du mode n et ϕn est son déphasage. On peut vérifier par le calcul que les fréquences de résonance sont les mêmes quand la poutre est encastrée aux deux extrémités.
5.3 Description du TP Le but de ce TP est d’utiliser des accéléromètres et des têtes d’impédance pour mesurer l’amplitude de vibration de quelques structures puis les modes propres de quelques structures simples. L’expérience consiste à mesurer les premières fréquences de vibration et à les comparer avec des modèles. Un compte-rendu écrit sera demandé, il devra faire le point sur les méthodes utilisées et sur les résultats obtenus.
5.3.1 Mesure simple de vibration 1) Connecter un accéléromètre à un amplificateur et à l’analyseur de signal 2) Utiliser l’étalonneur pour régler la sensibilité du système de mesure. 3) Faire vibrer quelques objets et déterminer les amplitudes de vibration et les bandes de fréquences associées.
5.3.2 Vibrations longitudinales d’une barre 1) Mesurer les dimensions d’une éprouvette cylindrique et sa masse volumique. 2) Mettre en place le pot vibrant, la tête d’impédance et l’éprouvette au-dessus. 3) Régler le générateur de signal de l’analyseur pour que le pot vibrant soit excité par un bruit
blanc. Tracer la fonction de transfert H(ω) = U(ω)/ F(ω) où F et U sont respectivement la force et le déplacement mesurés à la base (x=0). En déduire les fréquences propres de l’éprouvette.
4) Mesurer le facteur d’amortissement du premier mode (et du second si possible). 5) Reproduire les opérations ci-dessus avec des éprouvettes de différentes longueurs et constituées
de différents matériaux.
5.3.3 Vibrations d’une poutre On se propose de mesurer les fréquences propres et les modes propres de différentes poutres avec une excitation par pot vibrant ou par un marteau (voir figure 10).
• Poutre en aluminium excitée par un pot vibrant 1. Sélectionner une petite règle en aluminium et mesurer ses dimensions et son poids. 2. Mettre en place la tête d’impédance et la règle. 3. Mesurer les fréquences de résonance et les coefficients d’amortissement. 4. Comparer avec les résultats du calcul. • Poutre en acier excitée par un marteau 1. Sélectionner une règle en acier et mesurer ses dimensions et son poids. 2. Mettre en place le marteau et régler l’analyseur de signal comme indiqué dans le manuel du
marteau Brüel et Kjaer 3. Mesurer les fréquences de résonance et les coefficients d’amortissement. 4. Comparer avec les résultats du calcul.
84
• Mesurer la forme modale du second mode.
Figure 10 : Excitation par un marteau
85
6. Mesures de déplacements par analyse d’images Amina ALAOUI
6.1 Introduction Depuis quelques années, l’utilisation du traitement d’images dans le domaine des matériaux et de la mécanique s’intensifie. Les principales raisons de ce succès se résument en quatre points : c’est une méthode
• sans contact et donc sans interactions perturbantes dues au contact, • peu perturbée par l’environnement, • adaptable à différents types de matériaux et d’éprouvettes, • au coût de revient raisonnable par rapport aux autres types de mesures (en plus du gain du temps).
C’est grâce à ces avantages que le traitement d’images est de plus en plus répandu dans le domaine de la science des matériaux et de la mécanique où il est utilisé pour étudier les microstructures afin d’en déduire leur comportement macroscopique : mesure de porosité, mesure et suivi de micro-fissures et mesure de déformation. L’objectif de ce TP sera de faire le suivi de déformations par analyse d’images sur des échantillons de différents matériaux au cours de leur écrasement. Cette mesure de déformation consistera à trouver, à partir de la séquence filmée, le champ de déplacement sur la surface de l'échantillon qui permet ensuite de calculer les déformations.
6.2 Morphologie mathématique Dans ce paragraphe, on introduit les différents outils d'analyse d'images basés sur la morphologie mathématique. II décrit les théories auxquelles se rattachent les outils développés et précise les algorithmes permettant de les implanter avec le minimum de temps de calcul. Par la suite, l'analyse d'image quantitative est traitée (problèmes de voisinage ... ).
6.2.1 Introduction La base de la morphologie mathématique a été développée grâce aux travaux de A. Haas, G. Matheron et J. Serra à l'Ecole des Mines de Paris durant les années 1960. Le développement de cette discipline nous a donné de puissants outils pour l'analyse quantitative d'images. Ces outils transforment l'image dans le but d'en extraire le maximum d'information possible. La morphologie mathématique est basée sur la théorie ensembliste ; deux types de transformations sont alors utilisées: les transformations en tout ou rien et les transformations ensemblistes classiques. Les transformations en tout ou rien utilisent un élément structurant pour modifier l'image. Les outils définis par la morphologie mathématique peuvent être appliqués aussi bien sur une image binaire que sur une image en niveaux de gris (qui est une fonction), mais dans certains cas les fondements mathématiques sont légèrement différents. La morphologie sera utilisée sur les images en niveaux de gris dans le but de mettre en valeur l'information recherchée. Après la binarisation de l'image, elle sera utilisée afin de supprimer les objets non désirés et d'effectuer l'extraction de l'information sur les objets à analyser. Pour les transformations en tout ou rien, il est nécessaire de définir la notion de voisinage sur une image discrète. Soient X et Y deux ensembles quelconques de Rn, le voisinage en un point x
quelconque de X sera défini comme étant une boule notée Bx de centre x et de rayon 1 (sens topologique du voisinage d'un point). Sur une image discrète, la définition du voisinage sera différente selon la trame de la caméra utilisée. Si la trame est hexagonale, alors les six pixels voisins du pixel central pourront être utilisés pour définir le voisinage (appelé V6) de ce point. Dans le cas d'une trame carrée, deux voisinages distincts pourront être utilisés. Le premier, appelé V4, correspond à l'utilisation des quatres pixels adjacents au
86
point choisi (2 sur la verticale et 2 sur l'horizontale). Le second, noté V8, revient à considérer que tous les pixels (8 au total) autour du point font partie intégrante du voisinage.
Figure 1 : différents voisinages utilisés en morphologie mathématique
La figure 1 donne les trois voisinages possibles lors de l'utilisation de ces transformations. Il est aisé de constater que lors de l'utilisation d'une caméra à trame hexagonale, le voisinage utilisé correspond relativement bien à la définition de la boule Bx dans le plan. Dans le cas d'une trame carrée, aucun des deux voisinages ne correspond vraiment à un cercle de centre X et de rayon 1. Il est toutefois possible d'approcher un cercle en utilisant la combinaison des deux voisinages. Par contre, lors de l'utilisation d'une combinaison des voisinages de base, le rayon de la boule n'est plus unitaire. Il faut donc être prudent dans l'utilisation des différents voisinages et c'est le type d'information à extraire de l'image qui fixe le choix du voisinage. La suite de ce chapitre introduit toutes les notions de morphologie mathématique nécessaires à la bonne compréhension de cette thèse. Seules les fonctions concernant les images binaires seront détaillées, la préparation de surface choisie autorisant l'extraction directe des vides de l'image.
6.2.2 Transformations ensemblistes classiques Soient X et Y deux ensembles quelconques. Les transformations ensemblistes classiques vont à partir de ces deux ensembles X et Y, générer un ensemble de points satisfaisant à certaines conditions. Les différentes transformations ensemblistes utiles en analyse d'images sont les suivantes:
1. l'union: YyXxYX ∈∈=∪ , 2. l'intersection: YzXzquetelzYX ∈∧∈=∩ 3. la complémentation: XxXxX cc ∉⇔∈=
Les ensembles X et Y représentent deux images distinctes ou même deux objets distincts d'une image. Ces différentes notions sont définies sur un ensemble fini de points (ex: une image est un domaine de définition discret de dimension connue). La figure 2 donne le résultat des différentes opérations pour deux objets X et Y.
Figure 2 : Exemples de transformations ensemblistes classiques
87
L'implantation de l'union est très facilement réalisée à l'aide du «ou logique» entre chacun des pixels correspondants. Celle de l'intersection nécessite l'utilisation du «et logique». Pour la complémentation la valeur de chacun des pixels de l'image sera remplacée par la différence entre la valeur du niveau de gris maximum et la valeur du pixel. La fonction de complémentation est pour sa part utilisée sur une image complète plutôt que sur un objet. Ces fonctions sont essentiellement utilisées sur les images binaires.
6.2.3 Transformations en tout ou rien Les deux premières transformations en tout ou rien qui ont été développées sont l'addition et la soustraction de Minkowski. A partir de ces deux transformations de base, tout un ensemble de fonctions morphologiques a été créé (soit par itérations, soit par combinaisons des opérations de base). Ces diverses fonctions utilisent les différents concepts de la géométrie euclidienne aussi bien que ceux de la topologie. Elles utilisent un élément structurant qui va fixer la direction d'analyse de l'ensemble considéré. Cet élément structurant représente le voisinage considéré, mais permet aussi l'analyse particulière de certains aspects précis de l'image. Le principe de fonctionnement est le suivant: il s'agit de promener l'origine de l'élément structurant sur tous les points de l'espace, et pour chacun des points, une question est posée relative aux transformations morphologiques classiques. La réponse sera positive ou négative.
6.2.3.1 Addition de Minkowski et dilatation Soient X et Y deux ensembles quelconques de Rn, l'addition de Minkowski (notée X ⊕ Y) des deux
ensembles X et Y est définie par l'union de la somme de tous les couples (x,y) de X par Y : yxYyXxyxYX
YyXx+∪=∈∈+=⊕
∈∈ ,,/
Soit si Xy représente le translaté de X par y: yYyYyXyXYX
∈∈∪=+∪=⊕
A partir de cette définition, il est possible de préciser la dilatation d'un ensemble X par un élément structurant Bx : Le dilaté de X par B est le lieu des centres x de Bx tels que l'intersection entre X et Bx soit différente de l'ensemble vide (voir figure 3) : ∅≠∩=⊕ xx BXxBX / La dilatation est une opération croissante, extensive.
6.2.3.2 Soustraction de Minkowski et érosion Par analogie avec l'addition de Minkowski, il est aisé de définir la soustraction de Minkowski notée Θ de deux ensembles X et Y : ( )cc YXYX ⊕=Θ Xc étant le complémentaire de X. L'érosion d'un ensemble X par un élément structurant Bx est définie selon une méthode similaire à la dilatation: L'érodé de X par Bx est le lieu des centres de Bx tels que l'élément structurant Bx soit inclus dans X (cf figure 3): XBxBX xx ⊆=Θ / L'équation précédente permet de démontrer que l'érosion d'un ensemble par un élément structurant revient à dilater le complémentaire de cet ensemble par le même élément structurant. La figure 3 montre que la dilatation va avoir tendance à boucher les trous et les cols des objets alors que l'érosion va pour sa part supprimer les protubérances des objets dont le diamètre est inférieur à celui de l'élément structurant.
88
Figure 3 : Exemple de dilatation et d'érosion d'un ensemble X par un élément Bx
6.2.3.3 Ouverture et fermeture A partir des deux fonctions de base (dilatation et érosion), il est possible de construire un certain nombre d'opérations effectuant une transformation particulière sur l'ensemble X de départ. Ces différentes fonctions sont basées sur une combinaison particulière de l'érosion et de la dilatation, ainsi que sur un certain nombre d'itérations. L'ouverture (notée O(X)) d'un ensemble X par un élément structurant Bx est obtenue en érodant l'ensemble X par Bx en premier lieu, puis en dilatant le résultat obtenu par l'élément structurant Bx.
( ) xx BBXXO ⊕Θ=)( La fermeture (notée F(X)) d'un ensemble X par un élément structurant Bx est obtenue en dilatant l'ensemble X par Bx en premier lieu, puis en érodant le résultat obtenu par l'élément structurant Bx.
( ) xx BBXXF Θ⊕=)( L'ouverture et la fermeture lissent le contour de l'ensemble de départ. L'ouverture va supprimer les proéminences des objets, et il peut arriver aussi qu'elle sépare l'ensemble de départ en plusieurs sous-ensembles. La fermeture, pour sa part, bouche certains trous et ferme les canaux dont la taille est inférieure au diamètre de l'élément structurant.
Figure 4 : Exemple d'ouverture et de fermeture d'un ensemble X par un élément structurant Bx.
Les deux opérations décrites ci-dessus sont idem-potentes et croissantes. L'ouverture est anti-extensive alors que la fermeture est extensive. Comme la figure 4 le montre, ces deux fonctions vont avoir pour effet de supprimer ou d'ajouter des points à l'ensemble X. Les ensembles reconstruits ne sont plus tout à fait les mêmes, les modifications peuvent même être majeures par rapport à l'effet désiré.
6.2.3.4 Érodé ultime L'information contenue dans une image est très variée. Outre les paramètres classiques de caractérisation (périmètre, surface), il est intéressant de chercher à caractériser la convexité, la forme (sphéricité, allongement, ...) des différents objets contenus dans l'image. La complexité des objets peut être grande et l'érodé ultime d'un objet fournit des renseignements appréciables sur la forme d'un objet.
89
L'érodé ultime d'un objet A par un élément structurant B est défini ci-dessous: ( )UA xo BkAΘ= avec ∅≠Θ= xo BkAkk ,sup
Les paramètres qui seront extraits de ces érodés seront la longueur, le nombre de morceaux pour un objet donné, le nombre de branches par morceau, le nombre de points extrêmes, la direction principale. A partir de ces différents paramètres, les formes des objets vont pouvoir être caractérisées et les décisions de classements pourront être effectuées. Toutefois, l'érodé ultime seul ne permet pas toujours de prendre une décision sur la forme exacte d'un objet. Par exemple, les érodés ultimes d'un carré et d'un cercle peuvent être tous les deux réduits à un point. Il faut alors coupler les renseignements obtenus par l'analyse des érodés ultimes avec les informations plus générales afin de prendre la décision. La recherche de l'érodé ultime d'un objet est relativement simple à implanter, mais coûteuse en temps de calcul. Pour l'obtenir, il suffit d'éroder l'objet en question tout en conservant les derniers pixels allumés de l'objet. La figure 5 donne quelques exemples d'érodés ultimes pour des objets simples. Il peut arriver qu'un objet ait un érodé ultime composé de plusieurs morceaux. Effectivement, lors des érosions successives, chacun des morcellements de l'objet conduira à la formation d'un ou plusieurs morceaux de l'érodé ultime. L'érodé ultime d'un tel objet sera composé de l'ensemble des différents morceaux.
Érodés ultimes des objets
Figure 5 : Exemple d'érodés ultimes
L'érodé ultime peut-être utilisé afin de séparer plusieurs objets joints. Cette séparation peut aboutir à certaines aberrations si quelques garde-fous ne sont pas mis en place. La démonstration en sera faite plus tard.
6.2.3.5 Squelette Soit A une forme plane et x un point de A. Si Bx désigne la boule de centre x et de rayon
d(x,A`) (distance de x au complémentaire de A). On dira que x appartient au squelette de A si et seulement si il n'existe pas de boule contenue dans A et contenant Bx.(Hotzkin 1935) Supposons qu'il soit possible de mettre le feu sur tout le contour de l'objet X au même instant t, la vitesse de propagation étant uniforme dans toutes les directions. Le squelette est alors composé de l'ensemble des points d'extinction du feu.
90
Figure 6 : Squelette des objets de l'image
La figure 6 montre les squelettes de différents objets. La notion de squelette est très proche de celle de l'érodé ultime. Dans le cas du cercle parfait, ces deux notions sont même confondues. Il est cependant nécessaire d'être prudent dans l'utilisation du squelette pour caractériser un objet. En effet, deux objets pratiquement identiques peuvent donner des squelettes complètement différents. La figure 7 donne en exemple le cas d'un cercle parfait conduisant à un squelette égal à son centre, alors que le même cercle avec un petit défaut sur le contour donnera un squelette beaucoup plus complexe. Cette notion de squelette est donc instable. Dans le cas de l'utilisation de cette notion en analyse d'images, le problème est encore plus accentué. La discrétisation effectuée sur l'image ainsi que le choix du voisinage influe sur le squelette résultant de cette opération.
Figure 7 : Exemple de variation de squelette pour deux objets pratiquement identiques
91
Réalisation morphologique de la squeletisation sur une trame : Le squelette au sens morphologique est exprimé comme étant constitué de l'ensemble des points perdus par ouverture sur les érodés successifs.
[ ]( ) xxx BBABAAS ΘΘΘ=≥
ρρρ
/)(0U avec le symbole / qui représente la soustraction au sens
ensembliste. Cette méthode de construction comporte des inconvénients. En effet, le squelette obtenu est non connexe, instable, d'épaisseur variable et dépendant du choix de l'élément structurant ainsi que de l'orientation de A sur l'image. D'autres méthodes peuvent être utilisées pour obtenir le squelette d'une forme: amincissements successifs, ligne de partage des eaux et la méthode de l'axe médian.
6.3 Méthodes existantes et limitations Il existe plusieurs méthodes en mécanique pour mesurer la déformation : photoélasticité, extensométrie par extensomètre ou jauges. Parmi toutes ces mesures, la seule qui soit la plus fiable et le plus souvent utilisée est sans doute la mesure par une jauge d’extensométrie, mais qui peut se révéler défaillante dans certaines circonstances comme pour la mesure de grandes déformations ou la mesure en environnement critique. Une mesure sans contact est alors judicieuse et l’imagerie répond aux contraintes.
6.3.1 L’imagerie : traitement manuel Des méthodes manuelles de mesure du champ de déplacement existent, mais l’un de leurs plus grands inconvénients est qu’elles exigent l’intervention de l’utilisateur pour faire les appariements entre deux images de la séquence de déformation.
6.3.1.1 Méthode de diffraction Cette méthode consiste à tracer une mire à l’aide d’un laser sur la surface de l’éprouvette à tester et à photographier la mire déformée après le chargement. On utilise ensuite un rayon cohérent pour provoquer une diffraction aux points d’intersection sur le négatif de la mire déformée et donc calculer la déformation.
6.3.1.2 Méthode de stéréophotogrammétrie La stéréophotogrammétrie est basée sur la perception visuelle de la profondeur d’une scène. La vision humaine peut concevoir la profondeur d’un objet à partir de la disparité des deux images formées sur la rétine de chaque œil. Donc, si on envoie simultanément les deux images d’un même objet prises sous deux angles différents dans les yeux d’un observateur, il peut traduire la disparité entre les deux images par une profondeur de la scène. Les différences de disparités des points se traduisent comme les différences de profondeur des points, c’est à dire par un relief. Là encore l’intervention d’un observateur humain est nécessaire. C’est l’observateur qui doit mesurer le relief fictif dû au déplacement entre deux images.
6.3.2 L’imagerie : traitement automatisé Comme on l’a vu l’intervention d’un observateur humain est nécessaire. Or, notre objectif est d’automatiser cette tâche pour la rendre la plus fiable possible en se basant sur les caractéristiques de l’échantillon étudié et de sa préparation. On présente ici les différentes méthodes existantes, leurs champs d’applications et leurs limitations.
6.3.2.1 Flot optique La méthode du flot optique est initialement appliquée sur des images prises à différents instants par une caméra pour déduire la vitesse d’une scène en mouvement par rapport à la caméra. Elle cherche à établir une relation entre le champ de vitesse des points lumineux dans l’image et le gradient d’intensité lumineuse.
92
Contraintes On doit supposer que :
• la capacité de réflexion entre deux images successives reste la même (non garanti à cause du tramage de la caméra),
• l’éclairage sur la surface de l’échantillon reste constant spatialement et temporellement,
• le mouvement de l’échantillon reste plan.
6.3.2.2 Mise en correspondance par les primitives C’est une méthode très utilisée dans la stéréovision pour reconstruire une scène tridimensionnelle à partir de deux images prises sous différents angles. Les primitives peuvent être des points, des chaînes de contours, des lignes, des régions… L’appariement de ces primitives extraites se fait par la comparaison des images en utilisant un critère en fonction des attributs attachés à chaque primitive (longueur, direction, position, …). Leurs principaux avantages résident dans le fait qu’elles donnent peu de faux appariements et sont rapides à exécuter.
Inconvénients • Nécessite deux caméras (ultra rapide dans notre cas), • difficulté de choisir les primitives quand les images sont très texturées, • L’interpolation ne peut se faire qu’à travers ces primitives qui sont
généralement irrégulièrement distribuées.
6.3.2.3 Mise en correspondance par les intensités locales Son principe consiste à mettre en correspondance des régions à l’aide des informations locales que sont les distributions des intensités des pixels (formant ainsi des objets caractérisés par leur niveau de gris, leur emplacement et leur zone d’influence) dans chacune des deux images à traiter. Cette méthode est très utilisée dans le domaine médical (détection des cellules cancéreuses par exemple).
Inconvénient Elle ne peut s’appliquer que sur des images à texture identifiable ce qui n’est pas toujours le cas.
6.3.2.4 Méthode pour les objets déformables Certaines études ont été consacrées aux problèmes de la mesure du mouvement d’un objet déformable par mise en correspondance de deux primitives, ou de deux pixels calculée par un critère prédéfini. Cette méthode a trouvé des champs d’application dans le traitement d’images médicales. Pour pouvoir utiliser ces méthodes, on doit faire des hypothèses sur le comportement élastique de l’objet observé. Or l’objectif de la détermination du champ de déplacement est de pouvoir caractériser le comportement des matériaux étudiés pendant l’écrasement ce qui nous supprime la possibilité de poser de telles hypothèses.
6.4 Mise en œuvre pratique
6.4.1 Préparation des échantillons L’essai est effectué sur un échantillon du matériau à étudier : c’est un cube découpé dans un bloc, ayant environ 50 mm de chaque côté. Un marquage est effectué.
Quel est le but de ce marquage ?
Pourquoi n’utilise-t-on pas la texture de l’échantillon ?
6.4.1.1 Choix du type de marquage
93
6.4.1.1.1 La grille rectangulaire
6.4.1.1.2 Les disques
6.4.1.1.3 La grille en diagonales
Marquage en diagonales Marquage en diagonales avec mires et séparateurs
94
Commenter ces différents types de marquages ?
6.4.1.2 Les mires et les séparateurs Quels sont les intérêts de ces éléments ?
6.4.2 Description globale de la méthode utilisée
6.4.2.1 Vue générale La méthode adoptée se décompose en cinq parties majeures :
1. Segmentation de l’image en cours de traitement pour en extraire les zones claires,
2. Calculs des barycentres des zones claires, 3. Mise en correspondance des barycentres avec ceux de l’image précédente, 4. Correction des erreurs et conversion en unités physiques, 5. Exploitation et affichage des résultats.
6.4.2.2 Organigramme L’organigramme ci-dessous décrit le déroulement du traitement d’une séquence d’images. Il peut être résumé de la manière suivante :
Données(Séquence d'images)
Segmentation de la première image
Calcul des barycentres deslosanges pertinents
Extraction desdeux mires
Pour : i = 2...n avec n = nombre d’imagesFaire :
• Segmentation des objets clairs de l’image i• Calcul des barycentres• Correspondance avec l’image (i-1)
Courbesiso valeurs
Sortie : n listestriées de points
Exploitation et analyse des données
Correction de l’erreur due au déplacement du supportConversion en unités physiques
Trajectoiresdes points
Vecteursdéplacements
95
On commence par traiter la première image pour en extraire les mires et les losanges pertinents. Une fois qu’on les a, on segmente le reste des images en exécutant à chaque fois la mise en correspondance de chaque image avec celle qui la précède. Arrivé à ce stade de traitement, on a à notre disposition toute l’information requise pour corriger, convertir, exploiter et afficher les résultats souhaités.
6.4.2.3 Calcul des barycentres Le calcul des barycentres s’effectue de la manière suivante :
1. Les objets de l’image segmentée sont étiquetés :
Etiquetage des zones claires de l’image
2. On calcule le barycentre de chaque objet étiqueté,.
Calcul des barycentres des objets étiquetés
Les barycentres peuvent être calculés de deux manières :
6.4.2.3.1 Barycentres pondérés Les barycentres pondérés ont l’avantage de prendre en compte les niveaux de gris de l’image originale. Ceci permet de diminuer l’influence des bords (la grille en diagonale) due à l’effet du tramage. Les coordonnées de chaque barycentre sont calculées de la manière suivante :
∑∑
∑∑ =
=
=
=
==
=∈
N
iiiN
ii
y
N
iiiN
ii
x
yx
iii
ii
fyf
Bfxf
B
cecicommeobtenuestBBscoordonnéedepondérébarycentreLeyxpixeldugrisdeniveaulefet
NiquetelOpixelundscoordonnéelesyxetOnotéétiquetéobjetundpixelsdenombreleNSoit
1
1
1
1
*1,*1
:),().,(
,..1:'),(,':
6.4.2.3.2 Barycentres non pondérés Les barycentres non pondérés quant à eux ne tiennent pas en compte des niveaux de gris de l’image originale. Ils sont obtenus en calculant la moyenne des coordonnées composant cet objet :
∑∑==
==
=∈
N
iiy
N
iix
yx
ii
yN
BxN
B
suivantemanièreladecalculéestBBscoordonnéedebarycentreLeNiquetelOpixelundscoordonnéelesyxet
OnotéétiquetéobjetundpixelsdenombreleNSoit
11
1,1
:),(...1:'),(
,':
96
6.4.2.4 La mise en correspondance Cette partie du programme sert à mettre en correspondance les barycentres d’une image de la séquence avec ceux de l’image qui la précède. Grâce à cette succession de mises en correspondance, on aura l’évolution de chacun des points caractérisant l’échantillon (barycentres des losanges) ainsi que le déplacement du chariot (mire supérieure) et le déplacement du banc d’essai dû au choc (mire inférieure). Son principe et le type de fichiers de sortie sont expliqués par l’exemple suivant :
6.4.2.4.1 Exemple Le fichier contenant la liste des barycentres d’une image se compose de deux parties :
1. Un entête où la première ligne décrit le type du fichier, la deuxième fait référence à l’image traitée et la troisième donne le nombre de barycentres. Ce nombre est fixé par le traitement de la première image.
2. Une liste des coordonnées des barycentres extraits de l’image en format abscisse ordonnée. Quand ces valeurs sont négatives ( )1−= , elles désignent un point qui a été perdu (aucun des barycentres de cette image ne correspondent à ce point dans l’image précédente).
#Liste de points en format (x,y) de type long
#Nom du fichier : image f_000008 , Nom physique : liste-f_000008
125
#Liste de points en format (x,y) de type long
#Nom du fichier : image f_000009 , Nom physique : liste-f_000009
137
-1.000000 -1.000000 147.496490 187.532303
176.920090 71.828239 101.044197 97.013123
87.076309 82.325005 89.716507 90.133705
191.614853 83.618248 194.364319 91.065331
108.311958 82.838783 179.730133 79.223709
128.915131 84.131248 131.703247 91.700829
215.778305 85.917725 218.602539 93.399185
55.006161 90.012718 57.796589 97.153145
152.731812 87.815071 169.967026 231.950363
-1.000000 -1.000000 51.370869 177.506790
98.326683 89.815269 208.309647 185.628372
179.836578 92.036156 182.580811 99.344917
119.495644 91.396652 122.118149 98.570564
205.264954 95.515182 155.284683 95.165611
143.268173 96.240288 145.956970 103.226051
230.455566 98.977676 111.072121 90.588715
86.878304 97.673630 207.956345 102.739250
168.561630 101.518974 171.095139 108.212234
67.210312 230.291306 232.627716 105.840851
169.985809 231.937164 89.607346 104.047577
Liste 1 Liste 2
Etat des fichiers de sortie avant la mise en correspondance
97
Avant la correspondance, la liste 2 contenant les barycentres de l’image i est désordonnée et peut
contenir plus (ou moins) de points que la liste 1. La correspondance entre ces deux listes consiste à
trouver dans la liste 2 les barycentres qui coïncident le mieux (voir les méthodes utilisées) à ceux de la
liste 1 (contenant les barycentres de l’image i-1). Après la correspondance, la liste 1 n’est pas
modifiée. Quant à la liste 2, elle est triée de telle manière qu’un barycentre de la liste 1 se trouvant sur
la ligne j ait son correspondant dans la liste 2 sur la ligne j aussi. Si aucun point de la liste 2 ne
correspond à un point de la liste 1 se trouvant sur la ligne j, la ligne j dans la liste 2 est remplacée par
une valeur négative égale à moins -1 (ceci signifie que ce point a été perdu). On notera aussi que le
nombre de points de la liste 2 est maintenant égal à celui de la liste 1. On obtient alors :
#Liste de points en format (x,y) de type long
#Nom du fichier : image f_000008 , Nom physique : liste-f_000008
125
#Liste de points en format (x,y) de type long
#Nom du fichier : image f_000009 , Nom physique : liste-f_000009
125
-1.000000 -1.000000 -1.000000 -1.000000
176.920090 71.828239 179.730133 79.223709
87.076309 82.325005 89.716507 90.133705
191.614853 83.618248 194.364319 91.065331
108.311958 82.838783 111.072121 90.588715
128.915131 84.131248 131.703247 91.700829
215.778305 85.917725 218.602539 93.399185
55.006161 90.012718 57.796589 97.153145
152.731812 87.815071 155.284683 95.165611
-1.000000 -1.000000 -1.000000 -1.000000
98.326683 89.815269 101.044197 97.013123
179.836578 92.036156 182.580811 99.344917
119.495644 91.396652 122.118149 98.570564
205.264954 95.515182 207.956345 102.739250
143.268173 96.240288 145.956970 103.226051
230.455566 98.977676 232.627716 105.840851
86.878304 97.673630 89.607346 104.047577
168.561630 101.518974 171.095139 108.212234
67.210312 230.291306 -1.000000 -1.000000
169.985809 231.937164 169.967026 231.950363
Point déjà perdu Nouveau Point perdu
Liste 1 Liste 2
Etat des fichiers de sortie après la mise en correspondance
98
6.4.2.4.2 Méthode du plus proche voisin Dans cette méthode, on recherche le plus proche voisin d’un barycentre dans une boule d’un diamètre donné. Si par exemple deux points (ou plus) de l’image (i-1) pointent sur le même point de l’image i, on supprime la ou les affectation(s) erronée(s) en recherchant lequel de ces points est le plus proche et lequel (lesquels) on va supprimer.
Avantages Simple et efficace pour les « petits » déplacements.
Inconvénient Lors de « grandes » déformations, cette méthode a ses limites comme le démontre la figure suivante.
Pixel de l’image i
Pixel de l’image (i+1)
Exemple de « petite » déformation
Exemple de « grande » déformation
Sur l’image de gauche, on voit facilement que la correspondance est évidente. Par contre sur l’image de droite et à cause d’un grand déplacement, la correspondance sera erronée en utilisant cette méthode. Cependant, si la fréquence d’acquisition et la résolution de l’image sont suffisantes, ce problème ne se pose pas.
6.4.2.4.3 Prédiction d’ordre 1 En utilisant l’image i et l ’image (i-1) on prédit où « devraient » se trouver les points dans l ’image (i+1), ce qui revient à faire une estimation du vecteur vitesse. Une fois qu’on a l’ensemble des points prédits de l’image (i+1), on effectue la correspondance (du plus proche voisin) entre ces points et les vrais barycentres obtenus de l’image (i+1).
Avantage Cette prédiction permet un suivi satisfaisant dans le cas d’un mouvement faiblement accéléré, même dans les régions où les déplacements sont importants.
Inconvénient Lors des essais effectués, l’échantillon subit un écrasement. A la fin de l’écrasement, les bulles d’air restées bloquées dans la structure du polymère permettent à l’échantillon de « se regonfler ». Cette deuxième phase de déformation implique un changement du sens du mouvement et donc l’incapacité de cette méthode à suivre ces nouveaux paramètres. L’utilisation d’une prédiction au minimum d’ordre 2 a donc été envisagée.
6.5 Déroulement du TP
6.5.1 Les essais quasi-statiques
6.5.1.1 Description de l’essai Cet essai est destiné à l’étude de la réponse statique d’un bloc de matériau que l’on écrase. L’essai est filmé par une caméra afin de suivre l’évolution de la géométrie du bloc de matériau durant le test. Pour réaliser cet essai, nous utilisons une presse mécanique Adamel DY31, munie d’un capteur de force de 2000N, sur laquelle est montée un plateau de compression et un capteur de déplacement à électronique intégrée. La presse est pilotée par le logiciel spécifique AUTOTRAC, qui permet de contrôler la vitesse de déplacement du plateau jusqu’à ce que la force de compression atteigne 1990 N.
99
Le VI (Virtual Instrument) utilisé afin de réaliser l’acquisition de mesures ainsi que d’images est conditionné par les contraintes que nous explicitons ci-dessous.
1. Les signaux de force et de déplacement du capteur sont visualisés ainsi que la prise d’images, et lorsque la force dépasse un certain seuil (Fseuil), l’acquisition des mesures est activée.
2. De plus, l’acquisition des images ne se fait que toutes les N mesures, car la vitesse de la caméra est limitée à 30 images par seconde, tout en synchronisant la prise d’image et la mesure de force et de déplacement.
3. Enfin, le VI peut être utilisé dans une autre application similaire, mais en mettant en jeu des niveaux d’effort plus faibles.
6.5.1.2 Fonctionnement du VI La façade avant du VI se présente comme suit :
Avant de lancer le VI, il faut choisir quel capteur de force nous utilisons, pour cela nous choisissons simplement le capteur à l’aide de l’interrupteur. Il faut ensuite remplir les commentaires correspondants à chaque expérience afin de pouvoir organiser les résultats (commentaires sur le type d’essai et l’échantillon utilisé, choix du format d’image et des noms de fichiers pour le stockage des résultats), puis choisir la fréquence d'échantillonnage des mesures ainsi que la fréquence d’acquisition vidéo. La synchronisation de l’acquisition vidéo s’effectue de la manière suivante : Nous avons réglé l’acquisition des mesures à une mesure par seconde, et ainsi à chaque incrémentation, nous indiquons sur la face avant le nombre précis de mesures effectuées. Nous divisons ce nombre par N et nous le comparons à son entier le plus proche, quand le nombre de mesures atteint est égal à son entier le plus proche, alors le VI déclenche l’acquisition d’une image. Ex : Si N=10, pour les 9 premières mesures nous aurons 0.1, 0.2…0.9 après division et 1 pour le chiffre entier supérieur le plus proche, par contre si le nombre de mesures est 10 ou 20 nous aurions une égalité entre les deux chiffres soit 1 ou 2, l’acquisition d’une image est donc possible. Mais on peut modifier le nombre d’images par minute, si on divise par 10 nous aurions 6 images en une
100
minute, par contre si on divise par 60 nous aurions une image par minute. Pour activer une acquisition vidéo, il faut donc que le nombre de mesures, une fois divisé par N, soit égal à son entier le plus proche.
6.5.1.3 Expérience à réaliser Votre échantillon de mousse est un parallélépipède d'une hauteur de 50 mm. Il vous faut préparer votre échantillon afin de le marquer correctement. Il faut ensuite programmer le logiciel de pilotage de la machine d'essai afin de définir la vitesse d'écrasement du plateau.
6.5.2 Courbe contrainte/ déformation globale A partir des fichiers générés par le programme, comportant l’histoire de force et l’histoire des déplacements issues des capteurs, construire la courbe contraintes/déformations globale du matériau. Comparez cette courbe à celle que vous pourrez construire en traitant les images pour en extraire les déplacements des mires.
6.5.3 Comparaison entre les déformations locale et globale. On vous demande en plus de construire l’histoire des déplacements de certains points du matériau, en utilisant le logiciel IMAQ Vision, dans lequel vous écrirez un script qui réalise un traitement similaire à celui qui vous est proposé dans la section précédente.
On vous demande de comparer les déformations de ces points avec les déformations mesurées de façon globale à partir du déplacement des mires.
Que peut-on dire quant à l’homogénéité des déformations dans le matériau ?
6.6 Présentation du logiciel IMAQ Vision
6.6.1 Généralités Le logiciel IMAQ Vision Builder permet l’acquisition et le traitement « simple » d’images. Il est développé par National Instrument et donc totalement compatible avec tous les autres logiciels de type LabView. En lançant le programme, on arrive sur une fenêtre d’accueil comportant plusieurs menus ainsi qu’une barre d’outils plus ou moins active selon le contenu de la fenêtre. Un pictogramme est cependant toujours actif : il s’agit de l’aide en ligne symbolisée par le livre avec un point d’interrogation. N’hésitez pas à en faire usage !
101
Au démarrage, les autres pictogrammes actifs permettent soit l’acquisition d’images, que nous présentons dans la section suivante, soit le chargement d’images existantes dans le buffer en vue du traitement (pictogramme dossier).
A priori, étant donné que les images auront été acquises par le VI que vous avez utilisé pour l’essai, c’est cet outil que vous utiliserez : Il vous permet de selectionner le répertoire où sont archivées vos images et vous pouvez ainsi les sectionner pour un traitement :
Avant de présenter les programmes de traitement, voici le principe d’acquisition des images en utilisant directement IMAQ Vision Builder.
6.6.2 Acquisition d'images Dans la barre d’outils, la caméra indique le menu d’acquisition d’images. En cliquant dessus, on arrive sur la contextuel d’acquisition simple. Il faut alors sélectionner la bonne interface connectée à la caméra numérique via la carte d’acquisition. Ceci fait on peut commencer à l’acquisition proprement parler.
6.6.2.1 Image simple
102
• La flèche simple indique une acquisition en continue, qui est très utile pour faire les réglages
de luminosité et de contraste. • La petite pipette permet de contrôler (par filtrage numérique prédéfini) la qualité de l’image. • La flèche avec barre permet de réaliser l’acquisition d’une image unique.
6.6.2.2 Séquence et Contrôle de l'acquisition (Trigger) Pour lancer une séquence, il faut cliquer sur le pictogramme « film ». Sans autre préliminaire, le logiciel réalisera alors l’acquisition d’un nombre d’images égal à la valeur du curseur dans la fenêtre ‘Number of Frames’. Le Skip Count permet de commencer la numérotation à une valeur supérieure à 0 (continuité d’une séquence antérieure par exemple). Pour contrôler la prise d’image, il faut utiliser le Trigger. Pour cela, on désigne d’abord la connexion physique active par un choix dans le menu Line. Ensuite, on determine le type d’action à mener ; les trois possibilités sont présentées dans le tableau suivant :
Trigger désactivé Le premier Trigger déclenche
toute la séquence Le logiciel attend un signal de
trigger avant chaque acquisition.
6.6.2.3 Transfert et sauvegarde. Une fois les images acquises, il faut les transférer dans le buffer actif, en vue de la sauvegarde.
6.6.3 Traitement des images Pour pouvoir procéder au traitement d’images, il faut d’abord en charger dans le browser (par acquisition directe ou par ouverture de fichiers existants). Maintenant tous les menus sont actifs ainsi que tous les pictogrammes :
103
On peut faire défiler les fichiers images en utilisant la barre d’outils « magnétoscope », pour une prévisualisation rapide et supprimer les fichiers non voulu en les mettant dans la corbeille. Cette barre indique aussi la nature des images (dimensions en pixels –768x576-, définition –8bits donc 256 niveaux de gris- et type de fichier –BMP), leur nombre et le nom du fichier actif.
Pour lancer le traitement, il faut cliquer sur la roue crantée ou double-clique droit sur la souris positionnée sur l’image voulue. On peut alors parametrer et appliquer les fonctions choisies à l’image. On construit ainsi un script.
104
6.6.3.1 Les différentes fonctionnalités Plusieurs menus de traitement sont proposé :
• le menu image permet de faire du filtrage … • le menu Gray Scale permet de faire de l’analyse morphologique en niveaux de gris
(idem pour la couleur) • Le menu Binary permet de traiter des images après binarisation (noir/blanc) • Le menu Script permet de créer un programme de traitement complet utilisant toutes
les fonctionnalités voulues et sa sauvegarde. En outre, il permet de traiter des séquences entières en utilisant un script existant.
6.6.3.2 Le traitement automatisé : scripts Les scripts sont des séries de fonctions de commandes que l’on paramètre au fur et à mesure pour aboutir au traitement désiré. C’est une forme de macro-programmation. Les pictogrammes du menu script permettent (de gauche à droite) de :
• Créer un nouveau script (défaut quand on débute) ; • D’ouvrir un script existant. • D’enregistrer le script en cours. • De lancer le script actif.
Ci-après, on présente un script permettant l’extraction des zones « claires » de l’image (par seuillage), puis l’analyse de ces zones (en déterminant leur surface, barycentre largeur et longueur).
105
106
6.6.3.3 Le traitement des séquences Lorsqu’un script a été créé, il permet l’automatisation du traitement d’une séquence complète, en utilisant le batch processing du menu script.
6.7 Les essais dynamiques En fonction de la disponibilité du puits de chute, on pourra réaliser des essais de choc sur mousse. Le principe de ces essais et les capteurs utilisés dans ce cas sont présentés ci-après. Un VI spécifique sera utilisé.
6.7.1 Description
6.7.1.1 Principe Les essais en dynamique s’effectuent dans un puits de chute présenté ci-après. Ce dispositif permet de larguer une charge d’une hauteur donnée sur le matériau qu’on veut étudier. Un électroaimant retient la charge. A sa mise sous tension, il se désaimante et lâche le chariot qui est guidé par des cordes verticales tendues par des masses. La hauteur de chute détermine la vitesse d’impact sur l’échantillon et est ajustée grâce au treuil qui permet de faire monter ou descendre l’électroaimant. Par exemple pour une hauteur de 7 mètres, la vitesse correspondante est de 11,7 m/s. La masse de la charge quant à elle peut être portée à 100 kg pour augmenter l’énergie du choc (la masse de la charge utilisée était de 6,4 kg). Les données acquises pendant ces essais sont les suivantes : • Une séquence d’images numérisée grâce à la caméra ultra-rapide et qui permettra
d’étudier les déformations locales de l’échantillon.
• Des mesures des forces exercées pendant le choc obtenues à l’aide des deux percuteurs et qui permettront de connaître les forces globales appliquées à l’échantillon.
107
6.7.1.2 Schéma du banc d’essai
Caméra
masses
20 cm
Echantillon
Percuteurs
Cordes
Chariot
électroaimant
6,5 m
Liquide visqueux
Support
Schéma de principe du banc d’essai
6.7.2 Acquisition des données
6.7.2.1 La caméra La caméra utilisée pour suivre les déformations de l’échantillon est une caméra ultrarapide du constructeur KODAK. Ultrarapide puisque la durée choc à filmer varie de 20 ms à 200ms. La fréquence d’acquisition est réglable et peut atteindre 10 000 images par seconde mais au détriment de la qualité des images. La caméra stocke une séquence d’images d’une durée maximale de 2 secondes. Les images sont ensuite transmises vers un ordinateur, via une carte SCSI. Les images sélectionnées sont alors enregistrées et leur traitement permettra d’extraire les informations concernant le matériau.
108
30 ips 60 ips 125 ips 250 ips 500 ips 1 000 ips 2 000 ips 3 000 ips 5 000 ips 10000ips512 x 480 512 x 240 256 x 240 256 x 120 128 x 120 128 x 80 128 x 34
Vitesse d’enregistrement & taille de l’image (ips : images par seconde) Que peut-on déduire de ce tableau ? Justifier alors le choix de la vitesse d’acquisition ?
6.7.2.2 Les percuteurs Les percuteurs sont des capteurs de force capables de mesurer des forces jusqu’à 20 kN. Ils sont constitués de deux plaques métalliques carrées d’environ 120 mm de côté. Ces deux plaques sont solidaires l’une de l’autre par quatre piliers de section carrée. Sur chacun de ces piliers, il y a 8 jauges de déformation : une verticale et une horizontale sur chaque face du pilier. Ces jauges sont de type semi-conducteur pour leur grande réponse dynamique, et c'est grâce à ces jauges qu'on a la mesure des forces appliquées à chaque pilier.
Photo du percuteur
109
7. Introduction à la photoélasticité Amina ALAOUI
7.1 Polarisation rectiligne de la lumière En un point d'un rayon lumineux, on peut schématiser la lumière naturelle par une infinité de vecteurs perpendiculaires au rayon et dont la longueur varie sinusoïdalement au cours du temps (vecteur champ électrique E
r). Un filtre polarisant rectiligne ne laisse passer que les vibrations qui sont orientées
suivant sa direction de polarisation. A la sortie du filtre la lumière est dite polarisée rectiligne (fig. 1).
Figure 1 : propagation de l’onde lumineuse.
Si le filtre tourne autour de l'axe défini par le rayon lumineux, la direction de polarisation de la lumière émergeant du filtre tourne évidemment de même. Plaçons un second filtre polarisant sur le rayon issu du premier. On appelle "polariseur" le premier filtre et "analyseur" le second. Si l'analyseur a sa direction de polarisation parallèle à celle du polariseur (fig. 2), le rayon lumineux polarisé le traverse. Si l'analyseur a sa direction de polarisation perpendiculaire à celle du polariseur (fig.3), il ne peut laisser passer que les vibrations suivant son axe, lesquelles sont absentes dans le rayon incident, aucune lumière ne sort alors de l'analyseur.
Fig. 2 : Montage polariseur-analyseur parallèle Fig. 3 : Montage polariseur-analyseur croisé Expérience: Les polariseurs étant désolidarisés de la poignée, les placer devant une source lumineuse. Si les axes sont parallèles (fig.4), la lumière traverse l'ensemble polariseur -analyseur. Si les axes sont perpendiculaires (croisés) (fig.5), la lumière ne traverse pas l'analyseur. La surface commune au polariseur et à l'analyseur paraît noire
Figure 4 Figure 5
7.2 Détermination des directions de polarisation d'un filtre II est bien connu en physique que la lumière réfléchie par une surface non métallique (eau, verre, Plexiglas...) est polarisée rectiligne parallèlement à la surface réfléchissante. Cette polarisation n'est
110
que partielle. Elle est maximale sous l'incidence brewstérienne (rayons réfléchi et réfracté perpendiculaires). En cas d'extinction d'une lumière réfléchie par un filtre polarisant, la direction de polarisation du filtre se trouve dans le plan d'incidence appelé aussi plan de polarisation.
Figure 6 : Incidence Brewstérienne
7.2.1 Expérience Une clé métallique repose au fond d'une cuve remplie d'eau. Elle n'est pas visible à cause de la lumière réfléchie. Si un filtre polarisant a sa direction de polarisation perpendiculaire au plan d'incidence (fig. 7), la clé n'est toujours pas visible. Par contre, si elle se trouve placée dans le plan d'incidence (fig. 8), la lumière réfléchie est éteinte et la clé devient visible. Ce test d'extinction de la lumière réfléchie sur une surface non métallique permet de déterminer la direction de polarisation d'un filtre polarisant.
Figure 7. Figure 8.
7.3 Le phénomène de biréfringence - Détermination des axes optiques d'une lame biréfringente
Nous savons que la lumière ne peut traverser un ensemble analyseur- polariseur croisés. Elle ne traverse d'ailleurs pas plus l'ensemble constitué par l'analyseur et le polariseur entre lesquels on a placé une lame de verre : la lame d'air ou de verre sont isotropes et ne modifient donc pas la lumière polarisée rectiligne issue du polariseur et qui se trouve alors éteinte par l'analyseur croisé. Par contre, d'autres lames transparentes possèdent la propriété de biréfringence qui se révèle par la non-extinction à la sortie de l'analyseur. Toute lame biréfringente possède deux axes optiques orthogonaux (k1, k2), (fig. 9). Tout rayon lumineux polarisé rectiligne E
r qui atteint
perpendiculairement le biréfringent en O ne peut traverser celui-ci qu'en se décomposant en deux rayons polarisés rectilignes 1E
r sur k1 et 2E
r sur k2.
Si la direction de polarisation Er
donnée par le polariseur se trouve précisément parallèle à k1 (ou à k2), le rayon ne se décompose pas et traverse donc le biréfringent sans modification. Si l'analyseur est croisé, la lumière ne pourra le traverser. Il n'y a donc que deux orientations pour un biréfringent placé entre analyseur et polariseur croisés qui assurent l'extinction de la lumière émergente (fig. 10).
111
Figure 9 Figure 10
7.3.1 Expérience : Les polariseurs étant démontés et croisés, placer entre eux une feuille de cellophane. Une lumière colorée émerge de l'analyseur. Cette lumière s'éteint pour deux orientations de la feuille de cellophane. Ces orientations définissent les axes optiques de la feuille qui se trouvent alors parallèles aux directions de polarisation des filtres.
7.4 Le phénomène de biréfringence : Retard optique, isochromatique, en lumière monochromatique
En dehors des orientations particulières précédentes, il faut savoir que chacune des composantes 1Er
et
2Er
se propage indépendamment de l'autre à sa propre vitesse. Si n1 et n2 sont les indices du
biréfringent selon les directions k1 et k2 et si c est la célérité de la lumière, la composante 1Er
se
propage à la vitesse v1=c/n1 et la composante 2Er
à la vitesse v2=c/n2. Pour fixer les idées, supposons que k1 soit l'axe lent et k2 l'axe rapide (II faut donc n1 > n2). Le problème est de savoir quelle est la lumière obtenue à la sortie de la lame biréfringente, et plus précisément quelles doivent être les caractéristiques de la lame pour que la lumière à la sortie soit identique à la lumière à l'entrée, c'est à dire polarisée rectiligne de même orientation. Supposons que la lumière polarisée rectiligne se présente à l'entrée du biréfringent (fig.11-a). A cet instant t la vibration E
r se décompose alors en les vibrations 1E
r et 2E
r suivant les deux directions
principales orthogonales k1 et k2. La vibration 2E
r, la plus rapide, se trouve à la sortie du biréfringent à l'instant t + t2 où t2= e/v2 = e n2/c
(fig.11-b). La vibration la plus lente, 1Er
, se présente à la sortie à l'instant t + t1 où t1=e/v1=e n1/c.
Mais la vibration 2Er
a alors parcouru dans l'air (on supposera que la vitesse de la lumière dans l’air est identique à celle dans le vide : c) la distance :
δ =c(t1-t2)=e(n1-n2) (fig. 11-c)
112
Figure 11a Figure 11b Figure 11c Lorsque la vibration 1E
r sort du biréfringent, elle se recompose donc avec la composante '
2Er
qui se
trouve à la sortie à l'instant t + t1 et qui, généralement, diffère de 2Er
. La lumière, à la sortie du biréfringent, est dite alors polarisée elliptique, c'est le cas général. Dans les cas cependant où 2
'2
EErr
= c'est-à-dire lorsque δ = 0 (n1 = n2 le milieu étant alors isotrope) ou lorsque δ = λ ou bien, de façon générale, δ = kλ (k = entier, λ = longueur d’onde de la lumière monochromatique utilisée), la lumière à la sortie du biréfringent se trouve polarisée rectiligne parallèle à celle de l’entrée. Comme l’analyseur est croisé avec le polariseur, le biréfringent apparaît noir. Ainsi, un biréfringent observé entre analyseur et polariseur croisés éclairés par exemple par la lumière monochromatique jaune d’une lampe au sodium de longueur d’onde λs= 0.589 µ paraît noir si son épaisseur e et ses indices n1 et n2 vérifient :
e (n1- n2) = kλs Supposons cette chance réalisée et éclairons l’ensemble en lumière blanche. Toutes les couleurs qui la composent traversent le biréfringent sauf le jaune de longueur d’onde λs= 0.589 µ ainsi que les couleurs de longueur d’onde deux fois, trois fois plus courtes, etc.., (lesquelles d’ailleurs ne sont pas visibles). Ainsi le biréfringent prend la couleur complémentaire du jaune qui est le violet.
7.4.1 Expérience : Placer une feuille de cellophane entre les polariseurs démontés et croisés et l’observer en lumière blanche. Celle-ci paraît colorée. La coloration observée est celle de la lumière complémentaire de la couleur éteinte de longueur d'onde λ qui satisfait à la relation : e (n1- n2) = kλ Plier la cellophane à 45° des axes de façon à superposer l’axe lent et l'axe rapide. Les effets s’annulent. Le biréfringent global est alors isotrope et paraît noir. Plier la cellophane suivant l'axe lent ou l'axe rapide, les effets s’ajoutent et si n est le nombre des épaisseurs, la longueur d'onde éteinte est celle qui satisfait à n e (n1- n2) = kλ ce qui donne diverses couleurs complémentaires.
7.5 La biréfringence mécanique De nombreux matériaux transparents isotropes deviennent biréfringents lorsqu’ils sont soumis à des contraintes mécaniques, comme le CR39, les polyuréthanes, les araldites, les polycarbonates, etc... Considérons un spécimen de ce matériau. Au repos, il est isotrope et son indice vaut n0.
113
Figure 12.
Soumettons-le à une traction σ1 : il devient biréfringent. Les directions principales optiques étant les directions principales des contraintes, soit k1 et k2. Et de plus les indices n1 et n2 qui caractérisent les vitesses de propagation des vibrations lumineuses suivant k1 et k2 sont données par: n1- n0= a σ1 n2- n0= b σ1 Soumettons maintenant le matériau à une traction σ2 : mêmes remarques que précédemment et la variation des indices vaut :
n2- n0 = a σ2 n1- n0= b σ2
Si l’on applique simultanément sur le spécimen les contraintes σ1 et σ2, les variations des indices s'obtiennent par sommation: n1- n0= a σ1 + b σ2
n2- n0= b σ1 + a σ2 Ces relations donnent par soustraction :
n1- n2= (a _b) (σ1 - σ2) = C (σ1 - σ2). C’est la loi de Maxwell. La constante C dont la dimension est l'inverse d’une contrainte caractérise la sensibilité du matériau et varie suivant les matériaux. Supposons ce spécimen, chargé, observé entre analyseur et polariseur croisés. 1. Il apparaît noir si les directions principales des contraintes sont parallèles aux directions de
l'analyseur et du polariseur (voir § 3). C’est l’extinction isocline. 2. Observé en lumière blanche, et pour une orientation non isocline, il apparaît d’une certaine
couleur, qui est la couleur complémentaire de la couleur éteinte de longueur d’onde λ donnée par: e (n1- n2)=k λ (voir §4). Or n1- n2= C (σ1 - σ2). Les contraintes sont donc reliées à la longueur d’onde de la lumière éteinte par: (σ1 - σ2).= kλ/Ce = δ/Ce.
La constante C du matériau pouvant être obtenue par étalonnage et l'épaisseur e du spécimen étant connue, la photoélasticité permet d’obtenir la différence des contraintes principales à partir de la mesure d’un retard optique δ = kλ.
7.5.1 Expérience : Installer l'éprouvette de traction et la mettre en charge. Un effort à l'extrémité des prolongateurs crée alors un effort de traction pure sur l'éprouvette.
7.5.2 L'extinction isocline Placer l’ensemble analyseur-polariseur croisés, leurs axes de polarisation étant parallèles et perpendiculaires à l'axe de l’éprouvette tendue. Celle-ci apparaît noire. Nous sommes dans le cas (voir § 3) où la lumière polarisée issue du polariseur est dirigée suivant l'une des directions principales des contraintes et traverse le biréfringent sans modification. Elle se trouve donc éteinte par l’analyseur croisé. Il existe bien entendu deux orientations perpendiculaires des filtres polarisants qui éteignent l'éprouvette.
7.5.3 Les isochromatiques Placer les axes des filtres polarisants à 45° de l'axe de l’éprouvette. Ici σ2 = 0 et σ1 est la contrainte uniforme de traction et la formule fondamentale de la photoélasticité devient :
σ1 = kλ/Ce = δ/Ce. N'exerçons d'abord aucun effort, alors σ1 = 0 et le retard δ est nul. La lumière se reconstitue à la sortie du biréfringent comme à son entrée et se trouve éteinte par l'analyseur croisé. L'éprouvette est noire.
114
Exerçons un petit effort d'où une contrainte σ1 et un retard δ faible. On éteint donc des longueurs d'ondes λ = δ faibles, c'est-à-dire invisibles. L'éprouvette paraît donc blanche. Exerçons un effort plus grand. Le retard δ croît alors jusqu’à atteindre la plus courte longueur d'onde visible qui est le violet. L’éprouvette prend donc la couleur complémentaire qui est le jaune. Les efforts encore plus grands permettront au retard δ entre les deux vibrations d'atteindre successivement les longueurs d'onde du bleu, du vert, du jaune, de l’orangé, du rouge, et l’éprouvette prendra successivement les couleurs complémentaires orange, rouge, violet, bleu, vert.
Figure 13.
7.5.4 L’ordre des isochromatiques Si l'effort augmente encore, le retard δ dépassera la longueur d'onde du rouge et atteindra la longueur d'onde de l’infra-rouge et des couleurs invisibles. Mais, par un heureux hasard sont éteintes les longueurs d'onde δ/2 qui sont celles du violet et l'éprouvette devient jaune et le cycle des couleurs précédentes recommence. La figure suivante permet de voir que pour un retard δ de l,2 µ par exemple, est éteinte la longueur d’onde λ1=l,2 µ (invisible), la longueur d'onde moitié λ2 = 0,6 µ qui est l'orangé et la longueur d'onde λ3 = 0,4µ qui est le violet. L'éprouvette paraît alors bleu-vert. Pour des retards trop importants, l'éprouvette prendrait une teinte délavée appelée “blanc d'ordre supérieur” mais qu'il n'est pas conseillé d’atteindre en traction sous peine de rupture de l'éprouvette.
Figure 14.
115
7.5.5 Teinte sensible L'éprouvette prend la “teinte sensible” lorsqu'elle est violette (pratiquement ni bleue, ni rouge). Cette couleur assez particulière est obtenue pour un retard δ valant 1, 2 ou k fois la longueur d’onde du jaune (de 0.575 µ environ) couleur la plus répandue dans le spectre de la lumière blanche. On peut affirmer que la contrainte σ1 dans l’éprouvette ayant la couleur du premier violet est moitié de la contrainte σ1' dans l'éprouvette dont la couleur est celle du second violet et se trouve n fois plus petite que celle qui existe dans l'éprouvette atteignant le violet d’ordre n.
7.5.6 Sensibilité du matériau Si l'éprouvette était éclairée non plus en lumière blanche mais en lumière monochromatique jaune-orangée du sodium (λs= 0.589 µ), elle prendrait successivement au cours du chargement les couleurs noire et jaune. Les extinctions s'effectuant pour les retards δ = 0, δ = 0.589 µ, δ = 1.178 µ, δ = k x 0.589 µ correspondant à des contraintes σ1 = 0, σ1 = σ0, σ1 = 2 σ0, σ1 = k σ0. La contrainte σ0= λs / Ce que l'on peut facilement obtenir par un simple essai de traction, caractérise la sensibilité du matériau. Le matériau est d’autant plus sensible que σ0 est petit. On utilise souvent la quantité σ0x e qui caractérise la sensibilité d'une plaque d'épaisseur unité, souvent donnée en bars par frange par millimètre d’épaisseur.
7.6 Applications simples de la photo-élasticité
7.6.1 Étude de la flexion pure
7.6.1.1 Les directions principales En tout point de l'éprouvette de flexion, les directions principales des contraintes sont parallèles et perpendiculaires à son axe. On vérifie en effet l'extinction isocline de l'éprouvette entière pour la position des filtres donnée par les figures 5.
7.6.1.2 Les contraintes Les isochromatiques étant les lignes de même couleur sont aussi les lignes de même retard donc de même différence des contraintes principales (σ1 - σ2). Comme en flexion les contraintes σ2 sont nulles, le long d'une ligne colorée la contrainte σ1 est constante. On vérifie donc bien la théorie qui affirme l’uniformité des contraintes suivant des parallèles à l'axe. Montrons maintenant la linéarité des contraintes. Chargeons par exemple l'éprouvette de façon à ce qu’apparaisse juste sur les bords le violet d’ordre 2 (fig.15). Nous nous intéresserons uniquement à cette teinte sensible correspondant à l'extinction du jaune de longueur d'onde λj = 0,575 µ. Le long de ces isochromatiques violettes d'ordre k nous aurons toujours σ1 - σ2= k λj /Ce. Or nous savons que σ2 = 0 et posons λj /Ce = σ0 . Nous pouvons alors affirmer que la contrainte vaut σ0 et 2 σ0 sur les isochromatiques violettes d'ordre 1 et 2. Elle est nulle sur l’isochromatique d’ordre 0. La linéarité des contraintes est prouvée par l’équidistance des teintes sensibles. On verra (fig.16) la position des isochromatiques et des contraintes pour un moment de flexion plus important. Attention: éviter toute torsion de l'éprouvette pour une bonne visualisation des couleurs.
Figure 15. Figure 16.
116
7.7 Étude de la compression diamétrale d'un disque
7.7.1 Étude des directions principales des contraintes Le disque fournit une excellente étude des isoclines (lieux des points de même inclinaison des directions principales). Pour cela, il est conseillé de ne pas trop charger le disque afin de privilégier la visibilité du réseau des isoclines par rapport à celui des isochromatiques. Il suffit ensuite de faire tourner simultanément polariseur et analyseur croisés. On voit un résultat sur les figures 17 à 19.
7.7.1.1 Figure 17: Ce sont les isoclines 0° c’est-à-dire le lieu des points où les directions principales font un angle nul avec les axes de symétrie. Elles sont constituées par les deux axes de symétrie, ce qui pouvait se prévoir. Le bord noir de l’éprouvette restant fixe n’est pas une isocline mais l'isochromatique d’ordre zéro. Un épaississement des isoclines indique une zone de faible variation angulaire des directions principales. Inversement, dans une zone où les isoclines sont fines (points de charges), l’orientation des directions principales varie beaucoup en passant d’un point de l'isocline à un point voisin de celle-ci.
7.7.1.2 Figure 18: Ce sont les isoclines 15°, lieu des points où les directions principales font un angle de l5° avec les axes de symétrie de l’éprouvette chargée. Il y a en fait 4 branches dont 2 partent de chacun des points de charges, l'ensemble admettant le centre de l'éprouvette pour centre de symétrie. La détermination des isoclines exige beaucoup de bon sens. Par exemple, une règle consiste à savoir que toute isocline d'orientation α° aboutit sur le bord libre d’une éprouvette en un point où la tangente et la normale au bord qui sont les directions principales en ce point se trouvent également inclinées de α°. L'isocline AC part de A (perpendiculairement à la première) et arrive en C où tangente et normale au bord du disque font encore un angle de 15° (voir fig. 20).
Figure 17 (0°)
Figure 18 (15°)
117
Figure 19 (45°)
Figure 20 : isoline à 15°
7.7.2 Etude des isochromatiques La figure ci-contre donne un exemple d'isochromatiques : ° celle d’ordre 0 est noire et suit le bord du disque, ° celle d'ordre 1 est la ligne violette placée entre le
rouge et le bleu, ° celles des ordres supérieurs sont les lignes
violettes, à peine visibles car très fines, placées entre le rouge et le vert.
Par opposition aux cas simples de traction et flexion, aucune simplification n'existe dans ce cas où les deux contraintes principales σ1 et σ2 existent. On serait tenté, puisque la photoélasticité ne permet pas le calcul séparé de σ1 et σ2, de croire à sa limitation. En fait, la visusalisation de la différence (σ1 -σ2) qui n'est autre que le double de la contrainte tangentielle maximale Tmax est très utile industriellement. Le
critère de limite élastique de Tresca affirme que la ruine d’une pièce ductile se produira dans la zone de celle-ci où la contrainte Tmax est la plus élevée. Celle-ci valant successivement 0, σ0 /2, 2σ0 /2, …, kσ0 /2 le long des isochromatiques 0, 1, 2, ..., k, on peut affirmer que la ruine de l'éprouvette débutera dans les zones où l'ordre des isochromatiques est le plus élevé: ici aux points de charge évidemment. Un raisonnement simple permet de connaitre dans le cas particulier de ce disque chacune des contraintes à son bord: ce bord étant isochromatique d’ordre zéro, on a, en tout point de celui-ci σ1 -σ2 = 0. Mais la normale et la tangente en tout point du bord libre sont des directions principales et de plus σ1 = 0 car aucun effort n'est exercé par l’extérieur sur le bord.
118
Le système σ1 -σ2 = 0 σ1 = 0
permet de conclure à la nullité de chacune des contraintes principales en tout point du bord libre. Ne généralisons pas à toute isochromatique d'ordre zéro. Celle-ci n'indique que la nullité de la différence, ce qui donne localement de la compression ou de la tension hydrostatique.
119
8. Utilisation de l’holographie pour la détermination des modes propres d’une plaque encastrée.
Fabrice PINARD
8.1 L’holographie L’holographie est une méthode d’enregistrement des images qui permet la restitution en relief d’un objet, en utilisant les interférences produites par deux faisceaux de lumière cohérente, l’un venant directement du laser, appelé « faisceau de référence », l’autre provenant du même laser mais réfléchi par l’objet, appelé pour cela « faisceau objet ». L’observation au microscope d’une plaque d’enregistrement d’un hologramme permet de comprendre la différence fondamentale entre les procédés photographiques et holographiques. Dans un cas comme dans l’autre, on observe la juxtaposition de grains noirs et blancs qui forment l’image, mais à une plus haute résolution du microscope on voit apparaître sur les taches noires de l’hologramme un système de franges d’interférences qui portent l’information directionnelle du faisceau objet venant frapper en cet endroit la plaque. Ainsi, alors que la photo traduit l’information par réflexion de la lumière, c’est par le réseau de diffraction qu’il porte que l’hologramme va permettre la restitution en trois dimensions de l’objet enregistré. Outre l’aspect esthétique de l’holographie, cette méthode d’enregistrement a de nombreuses applications. Nous ne développerons ici que les aspects théoriques et pratiques de la méthode dite de l’holographie interférométrique par transmission et par moyennage temporel, qui est celle que nous allons utiliser pour étudier les modes propres de vibrations d’une plaque encastrée.
8.2 Eléments de théorie sur l’holographie
8.2.1 Concepts généraux de l’holographie Considérons deux faisceaux de lumière cohérente venant imprégner la plaque d’enregistrement. Pour peu que les chemins optiques de ces deux faisceaux ne soient pas trop éloignés l’un de l’autre - nous verrons après le sens donné à cette notion1 - on va donner naissance à des interférences. L’intensité, qui est le paramètre provoquant la réaction chimique de l’émulsion recouvrant la plaque holographique, va être enregistrée sur la plaque. La transparence de la plaque, proportionnelle à l’intensité, va donc laisser la trace de ces interférences. En appelant respectivement R et O les amplitudes complexes des faisceaux « référence » et « objet », la transparence τ ainsi enregistrée est proportionnelle à
τ ∝ ( R + O)(R + O)* = |R|²+ |O|² + R*O + O*R Quand on replace la plaque dans le faisceau référence, l’amplitude complexe restituée par l’enregistrement juste après la pellicule est τ.R, soit encore proportionnelle à :
τ.R ∝ (|R|²+ |O|²).R + |R|².O + O*R² On retrouve donc les faisceaux référence, objet et le faisceau conjugué (O*) du faisceau objet, qui correspondent respectivement aux ordres m=0 (premier terme), m=1 (second terme) et m=-1
1 Cf. §2, Laser et longueur de cohérence
120
(troisième terme) du réseau de diffraction enregistré sur la plaque photographique (comme nous allons l’illustrer sur l’exemple suivant). Pour être plus précis, prenons l’exemple de la figure 1, où le faisceau référence porte le vecteur d’onde
0k , le faisceau objet porte le vecteur d’onde k et où l’on garde les dénominations R et O pour les amplitudes complexes de ces ondes. Soit O, un point de la plaque photographique et M le point de cette plaque où l’on regarde les interférences, on a les équations :
( )( )
( )( )
O ik OM
R ik OM
A O R
I A k k OM
= ⋅ −
= ℜ ⋅ −
= +
= = + ℜ + ℜ ⋅ ⋅
⋅
⋅
−
θ
θ θ
exp
exp
² . cos
r
r
r r
0
02
ϕ
Figure 1 : Interférence des deux faisceaux
La transparence étant proportionnelle à l’intensité, soit au module de l’amplitude, on voit que la pellicule porte un réseau de franges d’interférences, d’interfrange λ/sin(ϕ), où ϕ est l’angle entre la normale à la plaque et le faisceau objet, car si on cherche les franges d’égale intensité, cela revient à chercher :
( ) [ ]r rk k OM Cste0 2− ⋅ = π
ce que l’on résout en écrivant :
OM
X
Y k k X Cste i0
2
0
2
0
0
2
220
v v
πλ
ϕ
πλ
ϕπ
λ
πλ
ϕ π λϕ
sin( )
cos( )
sin( ) [ ] sin( )⇒ = ⇒ =
La plaque est donc un réseau de diffraction de pas égal à l’interfrange.
8.2.2 Laser et longueur de cohérence Dans une source lumineuse, les atomes, en se désexcitant génèrent un train d’onde dont la longueur détermine la « longueur de cohérence » de la source lumineuse. Ainsi, si la source lumineuse possède un spectre en fréquence équivalent à un pic de Dirac, par transformée de Fourier, on en déduit que le
121
train d’onde a une longueur infinie. La longueur de cohérence est donc liée à la dispersion et à l’étalement en fréquence du spectre. Cette caractéristique de la source lumineuse est essentielle en holographie. Considérons le schéma classique d’un montage holographique :
lame séparatrice
miroir
miroir
plaque holographique
objet
Figure 2 : Laser et longueur de cohérence
On comprend bien, par ce schéma que, si les trains d’onde arrivent avec un décalage plus grand que leur longueur, il n’y aura pas d’interférence et donc pas d’holographie possible... La longueur de cohérence lc détermine ainsi la plus grande différence de marche admissible entre les trajets optiques des deux ondes issues de la source. Pour obtenir une profondeur de champ acceptable, il est donc indispensable de disposer d’une source de lumière très cohérente. Les sources de lumière classiques ayant une longueur de cohérence de l’ordre de 2 à 3 mm, sont inutilisables en holographie. C’est la raison pour laquelle les techniques holographiques ont dû attendre l’apparition du laser pour se développer.
8.2.3 Holographie par transmission
8.2.3.1 Généralités Une première façon d’observer un hologramme en lumière laser monochromatique est la restitution par transmission, c’est-à-dire que l’on replace la plaque photographique développée dans le faisceau référence et on regarde au travers pour observer l’objet en image virtuelle. Le principe de l’enregistrement d’un hologramme par transmission en lumière quasi-monochromatique a été exposé sur la figure 2. On dispose les différents miroirs de manière à obtenir des chemins optiques quasi-égaux (à mieux qu’au centimètre près) pour les faisceaux référence et objet. Le faisceau objet est le faisceau diffracté par l’objet, qui vient frapper la plaque photographique, où il interfère avec le faisceau référence. Théoriquement, dans une sphère centrée sur le centre de l’objet et de rayon égal à la longueur de cohérence du laser, on va pouvoir enregistrer notre hologramme. En ajustant le temps d’exposition de la plaque, on enregistre les franges. C’est un paramètre difficile à évaluer, étant donné que ce qui est important est le contraste entre les franges noires et les franges blanches, puisque c’est un réseau de diffraction qui permet de restituer la troisième dimension. Ainsi, si on laisse la plaque pendant un temps trop court à la lumière du laser, les franges noires ne seront pas très marquées et si on laisse trop longtemps la lumière laser, les franges « théoriquement » blanches auront reçu beaucoup de lumière et lors du passage de la plaque dans le révélateur, elles se noirciront.
122
De plus, pour avoir un bel hologramme, il faut que la plaque soit éclairée uniformément par le faisceau référence, toujours afin d’enregistrer un réseau de diffraction le plus efficace possible. En effet, si l’éclairement n’est pas uniforme, il se peut que, dans des zones plus (ou moins) éclairées, le contraste entre les franges soit mauvais. Pour cela on utilise un Filtre Spatial.
8.2.3.2 Montage expérimental :
Source: laser He-Ne
plaque holographique
objet
filtre spatial
diffuseur
Figure 3 : Montage d’holographie par transmission
Pour réaliser ce montage, plusieurs précautions sont à prendre : Orientation de la plaque La normale à la plaque holographique doit coïncider avec la bissectrice du Rayon Objet et du Rayon Référence car les franges « imprimées » sur la plaque seront ainsi perpendiculaires à la surface de cette plaque et toute l’image apparaîtra alors, à la restitution par transmission. Si les franges ne sont pas parfaitement perpendiculaires à la surface de la plaque, une partie des rayons sera réfléchie et l’image perdra alors en intensité lumineuse. Filtre spatial Il est constitué d’une lentille convergente (un objectif de microscope de grossissement 40), suivi d’un petit trou dont le diamètre est de l’ordre de quelques microns, ce qui correspond au waist du laser. Le principe de ce dispositif est fondé sur la connaissance de la forme du faisceau gaussien émis par le laser. Le trou parfaitement ajusté sur le col de convergence et sur l’axe optique de la lentille va permettre de sélectionner les rayons horizontaux du laser et d’éliminer les rayons parasites non parallèles à l’axe optique de la lentille, qui se focaliseront dans le plan focal mais sans passer par le trou, comme on peut le voir sur la figure ci-dessous.
123
→
k0
trou
Figure 4 : Forme du faisceau laser
Ces remarques mettent en évidence quelques difficultés expérimentales dans le réglage du filtre : il faut impérativement que le trou soit sur l’axe optique sinon on risque de sélectionner un autre ordre (donc perte d’intensité). Il faut également que le trou soit bien au niveau du waist de façon à ne pas avoir de diffraction parasite sur ses bords. Le réglage en lui-même se fait comme suit : - on place le trou assez loin de l’objectif et on le règle de façon à obtenir des anneaux de diffraction avec une tache centrale que l’on cherche à obtenir la plus lumineuse possible. - on rapproche le trou lentement tout en continuant à rechercher la tache la plus lumineuse. - il arrive un moment où les anneaux disparaissent : on est alors au niveau du waist et le filtre est bien réglé. Un filtre bien réglé permet d’obtenir un éclairement bien homogène sur la plaque holographique, qui correspond à une onde quasi plane. Diffuseur Le diffuseur permet de disperser le faisceau de manière à éclairer la surface de l’objet la plus grande possible. Il permet aussi de diminuer notablement l’intensité du faisceau objet. Expérimentalement, on vérifie, en effet que l’hologramme est le meilleur lorsque
RO
2
2 2≈
Développement Le développement se fait en trois étapes : Révélateur, Bain d’Arrêt, Fixateur ou Blanchiment. Le temps dans le révélateur se détermine au jugé. Il faut attendre que la plaque cesse de noircir. La durée dans le Bain d’arrêt est, par contre parfaitement définie : 1 mn. Avec le fixateur, la moitié de la lumière est absorbée par la plaque. La plaque est faite en effet d’un seul réseau de diffraction dont chaque « trait » est séparé par une bande absorbante. Le rendement théorique est de 6%. C’est dire que les hologrammes obtenus par cette méthode sont sombres...
partie absorbante
Figure 5 : Rôle du Fixateur
→ki
124
I1
I2 R
Avec le blanchiment, on crée en fait 2 réseaux de diffraction ce qui assure un rendement théorique de 100%. Le blanchiment « attaque » les franges apparues avec le révélateur et génère des zones dans lesquelles la lumière passe plus vite car l’indice de réfraction a été modifié.
zone où l’indice de réfraction a changé
Figure 6 : Rôle du blanchiment
Déroulement d’une expérience Les plaques étant très sensibles au rouge, il est indispensable de les sortir dans le noir. Il est nécessaire de déterminer le côté où se trouve l’émulsion. On fera en sorte de placer ce côté face à l’objet. Une fois que la plaque a été placée dans son support, il faut attendre un long moment afin qu’elle se thermalise (les plaques sont conservées au réfrigérateur) et que la table cesse toute oscillation. Il faut bien comprendre que tout mouvement mécanique ou toute modification thermique importante pendant le temps de pose entraînera l’apparition de franges sur la plaque (cette propriété sera utilisée en holographie interférométrique). Ensuite, on libère le faisceau laser pendant un temps de pose qui varie en fonction de la sensibilité de la plaque, de l’intensité des rayons... En clair, ce temps est déterminé empiriquement... Après l'exposition, on passe au développement, toujours dans le noir. Ensuite, on nettoie la plaque dans de l’eau (5mn) avant de la passer dans des bains d’alcool à 50% (3mn) puis à 100% (3mn). Ceci a pour objectif de faciliter le séchage qui suit... Restitution Pour observer l’hologramme, on replace la plaque là où elle se trouvait en masquant le rayon objet. La diffraction générée par l’interaction plaque-rayon référence offre une image virtuelle de l’objet à l’endroit où il était auparavant.
8.2.4 Holographie interférométrique : Le principe de l’holographie interférométrique est illustré par la figure ci-dessous. Comme nous l’avons vu auparavant, la reconstruction de l’image enregistrée est obtenue par la diffraction du faisceau référence. Si on enregistre sur la plaque deux positions différentes de l’objet, les faisceaux diffractés I1 et I2 vont interférer et donner naissance à des franges.
R O
Enregistrement de l’objet : Position 1 Position 2
Restitution de l’hologramme : 2 faisceaux cohérents sont transmis, I1 et I2. Ils sont donc susceptibles d’interférer.
125
Par exemple, si l’onde I1 est une copie exacte de l’onde I2, leurs phases et amplitudes sont alors égales et nous obtenons un hologramme deux fois plus lumineux, car en chaque point, les faisceaux interfèrent constructivement. La méthode du moyennage ou de la moyenne temporelle Dans les méthodes précédentes, les hologrammes étaient enregistrés dans des états statiques. Dans le cas qui nous intéresse ici, nous allons enregistrer l’objet en plein mouvement ou déformation. En considérant les cas où l’on peut écrire le déphasage en un point en isolant la fonction temporelle (δ(t) = δ.f(t)), l’amplitude complexe de l’onde objet s’écrit
O = θ.exp[-iδ.f(t)]. Lorsque que l’hologramme est éclairé par le faisceau référence, l’amplitude complexe de la lumière diffractée par la transparence de la plaque photographique va être proportionnelle à la moyenne temporelle de l’amplitude complexe de l’onde objet. L’intensité est donc proportionnelle à :
I O t dt i f t dt∝ = ⋅ − ⋅∫ ∫1 1
0 0Τ Τ
Τ Τ( ) ² ² exp[ ( )] ²θ δ
où Τ est le temps d’exposition de la plaque photographique. Cette expression est l’expression générale décrivant les différents cas d’enregistrement d’hologrammes. Par exemple, pour la méthode en double exposition, la fonction se réduit à :
f tt
t( )
,
,=
≤ <
≤ ≤
0 0 21 2
Τ
Τ Τ
et donc
))cos(1(]exp[11²²2
2/
2/
0δδθ +∝−
Τ+
Τ⋅=∝ ∫∫
Τ
Τ
ΤdtidtI
et on retrouve le résultat précédemment explicité. Dans notre cas on a :
)()]sin(exp[1lim² 20
2
0δωδθ JdttiI
T∝−
Τ⋅∝ ∫
Τ
∞→
f(t) = sin(ωt), avec 1/ω<<Τ :, où 0J est la fonction de Bessel d’ordre zéro (figure ci-dessous). On voit donc une frange centrale très brillante, puis des franges latérales, de moins en moins brillantes.
126
Figure 7 : Fonction de Bessel d’ordre 0
8.3 Travail expérimental
8.3.1 Objectifs
L’objet de la présente séance de travaux pratiques est la découverte de la technique holographique au travers de la réalisation de « clichés holographiques » d’un ou plusieurs des premiers modes propres de vibration d’une plaque métallique rectangulaire encastrée sur un ou plusieurs cotés.
8.3.2 Détermination des premières fréquences propres de la plaque Etant considéré le temps imparti dans le cadre de la séance de travaux pratiques, la détermination des fréquences propres de la plaque utilisée devra avoir fait l’objet d’une étude préalable qui pourra être tout d’abord à caractère théorique/bibliographique, puis ensuite vérifiée par différents moyens expérimentaux. Le mode d’excitation de la plaque qui sera utilisé pendant la réalisation des mesures par holographie devra lui aussi être préalablement sélectionné.
8.3.3 Réalisation du montage holographique Les élèves devront réaliser le montage holographique interférométrique tel que décrit dans la partie précédente, en tenant compte de l’ensemble des remarques faites précédemment, notamment en matière de chemin optique et de réglage du filtre spatial.
8.3.4 Détermination des déformées modales Une fois le montage holographique réalisé, les élèves n'auront plus qu'à réaliser des hologrammes du ou des modes propres préalablement sélectionnés, à différent niveaux d'excitation, ou en introduisant des perturbations telles que des masselottes locales (fixées sur la face non visible de la plaque). Si le temps le permet, ils pourront comparer les résultats obtenus suivant qu'on utilise un simple fixateur ou un bain de blanchiment lors de la révélation du cliché. Par défaut, le blanchiment sera utilisé.
127
9. Capteurs de température et de pression Claude GATABIN
9.1 Généralités Lorsqu’on choisit de mesurer une grandeur physique ou un phénomène quelconque, dans n’importe quel domaine, la première question à se poser est : que veut-on réellement mesurer ? Une fois que cette question a trouvé sa réponse, une grande partie du travail est terminée. Les questions qui viennent ensuite à l’esprit sont plus précises: - De quelle précision a-t-on besoin ? - Quelle est l’étendue de mesure ? - De quel budget dispose-t-on ? - etc… Dans le domaine des capteurs de température ou de pression, il est possible de trouver dans le commerce toute une panoplie de matériels ou de dispositifs pour satisfaire à nos besoins. Pour des raisons évidentes, il est impératif d’utiliser des capteurs qui ont déjà fait leurs preuves en terme de qualité de mesure, de fiabilité ou de longévité. Bien entendu, nous ne trouvons pas toujours le capteur qui correspond directement à nos besoins ou qui est utilisé habituellement pour le type de mesure qui nous préoccupe. Dans ce cas là, une légère adaptation ou un petit essai de qualification doit permettre de valider un choix. Cette adaptation pourra être proposée au fabricant, ou si elle est simple, exécutée dans notre laboratoire. De nombreux fabricants, surtout dans le domaine des capteurs spécifiques, n’hésitent plus à modifier leurs gammes standard de produits. Il existe également des sociétés qui fabriquent des capteurs sur mesure, suivant un cahier des charges établi par nos soins ou discuté entre spécialistes. Lorsque toutes les autres possibilités auront été épuisées, le capteur « idéal » n’ayant pas été trouvé, il faudra envisager un développement spécifique. C’est le cas extrême, car il faut savoir qu’un développement coûte énormément en temps et en argent. Il y a deux manières de réaliser une mesure à l’aide d’un capteur : soit on mesure directement la grandeur physique. Un capteur de température mesure directement la température, un thermomètre plongé dans l’eau qui chauffe donne directement la température de l’eau. Par contre il est possible de mesurer une température à l’aide d’un capteur de déplacement qui mesure la dilatation d’une pièce métallique de longueur connue précisément : c’est une mesure indirecte. C’est une façon de procéder qu’il faut garder à l’esprit lorsqu’on ne peut utiliser les capteurs existants. La taille du capteur est un facteur important dans le choix de celui-ci. Il ne faut pas perdre de vue que plus le capteur est gros plus il influence la mesure elle-même.
9.2 Les capteurs de température Nous aborderons ici les capteurs le plus communément utilisés dans le domaine des matériaux. Ce sont les thermocouples et les sondes à résistance de platine. Ces capteurs sont tellement répandus que leur coût est relativement bas pour des performances intéressantes. On peut les trouver sous de nombreuses formes, couvrant toutes les situations d’utilisation : immergeables, sous formes de rondelles, de bagues, plats pour mesurer les températures de surface, cannes multipoints etc… Il existe de nombreux fournisseurs, revendeurs ou fabricants en France, chez qui nous pouvons trouver le capteur correspondant à nos besoins dans un délai très court. Certains sont même spécialisés dans le domaine des capteurs « sur mesure ». Une liste de fournisseurs est fournie en annexe.
128
9.2.1 Les thermocouples Communément désignés par leur abréviation Tc ou TC, ce sont les capteurs les plus répandus et parmi les moins chers. Ils se présentent sous la forme d’un câble à deux conducteurs. Principe sommaire: Deux fils métalliques conducteurs constitués d’alliages différents A et B sont soudés ensemble à une extrémité, les deux autres extrémités a et b étant libres. Il existe entre a et b une f.e.m. dont la valeur dépend à la fois des alliages A et B et de la température (effet Seebeck) [1]. Cette variation n’est pas linéaire et se trouve influencée par diverses f.e.m. parasites. Si on maintient a et b à une température constante, a et b sont appelés jonction de référence ou soudure froide, par opposition au point de soudure des deux fils A et B appelé soudure chaude. En pratique a et b sont reliés à l’appareil de mesure et la soudure chaude, sert de capteur de température. Dans ce cas la mesure est ponctuelle au niveau de la soudure. La f.e.m. générée par un Tc est faible : de quelques microvolts à la température ambiante à quelques dizaines de millivolts aux très hautes températures pour certains Tc. Remarque : pour des températures inférieures à l’ambiante la tension devient négative. Principaux types de thermocouple utilisés: Les thermocouples les plus fréquemment utilisés dans le domaine des matériaux sont de type J (Fer/ constantan), K (Chromel /alumel), T (Cuivre /constantan) et E (Chromel/constantan). Le choix se fera suivant la plage de température d’utilisation et la précision souhaitée. Il faut savoir que la précision dépend beaucoup de la qualité de la fabrication. Elle peut être améliorée par un étalonnage préalable. Les fournisseurs proposent deux gammes de produit : classe 1, précision +/-1,5°C classe 2, précision +/- 3°C Pour de meilleures précisions il faudra choisir des couples plus rares tels que type R (Platine Rhodium / Platine). Les Tc sont utilisables de –200 °C à + 2000 °C suivant le couple choisi. Présentation des thermocouples : Afin d’améliorer la protection mécanique et de supprimer les effets parasites, les thermocouples sont chemisés par une gaine métallique, acier inoxydable, inconel, monel, suivant les applications ou par une gaine céramique. Cette gaine est remplie d’un isolant électrique : poudre de magnésie ou d’alumine. La longueur du chemisage est à la demande. On choisira la longueur chemisée en fonction de l’application. Si l’appareil de mesure est éloigné, le thermocouple chemisé peut être prolongé par un câble souple appelé câble de compensation dont les deux conducteurs sont du même alliage que les fils du Tc. L’utilisation de connecteurs également compensés est indispensable pour ne pas induire de f.e.m. parasites au niveau des connexions. Le diamètre extérieur de la gaine est variable. Le minimum standard est égal à 0.5 mm. Plus le diamètre du Tc est petit plus il est fragile. Plus le diamètre est gros, plus la dynamique du Tc est faible, plus il est perturbant, mais plus il est résistant. Appareils de mesure : En principe, un microvoltmètre devrait suffire à condition que sa résistance interne soit élevée. On relève la mesure et on compare avec les tables de référence. Il faut toutefois connaître avec précision la température ambiante, les tables ayant pour référence de soudure froide : 0°C.
129
Il existe maintenant de nombreux appareils qui permettent d’utiliser les Tc standards en linéarisant leur réponse. On préférera de loin, un thermomètre électronique, un multimètre équipé d’une mesure Tc, un calibrateur, voire une centrale d’acquisition de données.
9.2.2 Les sondes à résistance de platine Elles sont appelées communément Pt 100 Ω car leur résistance est égale à 100 Ω à 0°C. On les trouve sous différentes formes avec toujours un câble comportant 3 ou 4 conducteurs. Principe sommaire: D’une façon générale la résistance dépend de la température. Pour les métaux, elle est fonction de la température et du matériau considéré :
R(T)= R0 (1+AT+BT2+CT3) T est exprimé en °C, R0 est la résistance à 0°C, A, B, et C sont des constantes dépendant du matériau. [1] En fait cette variation n’est pas linéaire. Elle n’est linéaire que pour des faibles variations de température autour de T. Dans ce cas, on définit la sensibilité thermique d’un matériau Rα où
Rα = 1/R(T) x dR/dT
Ce coefficient de sensibilité thermique, très variable suivant les matériaux, en déterminera le choix. D’autres facteurs sont importants pour le choix d’un matériau utilisable dans une plage de température suffisante pour en faire un capteur. Le choix d’un matériau idéal se restreint, car il faut prendre en compte la conductivité, la résistance à l’oxydation, etc…. Le platine, bien qu’ayant un coût élevé présente beaucoup d’avantages : bonne sensibilité thermique, pureté, résistance à l’oxydation à haute température, comportement mécanique après tréfilage, etc. D’autres métaux ou alliages sont utilisés tels que le tungstène, le cuivre, le nickel, certains oxydes métalliques ou alliages pour des applications bien précises. Plusieurs dispositifs sont possibles pour linéariser le signal. Dans tous les cas l’utilisation d’une sonde Pt100 est associée à un conditionneur. Principe d’une sonde Pt 100 Ω Un fil de platine de quelques microns d’épaisseur, de longueur environ 100 mm est enroulé ou collé sur un support isolant, alumine, verre. Sa résistance est égale à 100 Ω à 0°C. Le fil est recouvert ensuite par un autre dispositif isolant, éventuellement gainé pour assurer une protection mécanique. On peut réaliser ainsi plusieurs types de sondes : cylindriques, plate pour mesures de surface, etc… voir figure en annexe. Ce sont ces formes de sonde que l’on utilisera pour les mesures dans les matériaux. On rejoint ici la configuration des thermocouples : un élément sensible, un isolant électrique, une gaine métallique étanche. On choisira la gaine en fonction de l’application. Couramment les gaines sont en acier inoxydable, mais comme pour les Tc, de nombreux métaux ou alliages sont disponibles chez les fabricants. Les sondes cylindriques ainsi fabriquées ont un diamètre minimum de 1.5 à 3 mm suivant les fabricants et la qualité demandée. Schématiquement la sonde est câblée comme suit :
Pt 100
Alim Compensation
Alim Compensation
130
On préférera ce montage 4 fils à tout autre dès que la longueur de câble est importante, supérieure à 2 m, ce qui est souvent le cas dans les applications de terrain. Il permet de compenser la résistance de ligne qui devient vite pénalisante. On peut ainsi déporter l’appareil de mesure jusqu’à plusieurs dizaines, voire centaines de mètres. Au laboratoire un montage 3 fils est suffisant, en considérant que les deux branches sont équivalentes. Les montages deux fils sont à proscrire. Précision et étendue de mesure : La norme IEC 751 fixe la précision des sondes Pt 100 en deux classes Classe A: +/- 0.15+ (0.002 x T) °C Classe B: +/- 0.30+ (0.005 x T) °C On voit que la précision est nettement meilleure que pour les Tc. Bien évidemment le prix d’une sonde Pt100 est également supérieur. Cette précision fait que ce sont des sondes Pt 100 que l’on utilise pour réaliser des thermomètres étalons. L’étendue de mesure des sondes Pt 100 est vaste : de –200 °C à 850°C. Les constructeurs limitent parfois cette plage en fonction de la qualité des composants utilisés. Appareils de mesure : Bien qu’en principe une mesure ohmique à l’aide d’un ohmmètre de précision et du tableau de correspondance normalisé ou fourni par le constructeur, serait suffisante pour assurer la mesure, il est préférable d’utiliser un conditionneur spécialisé du commerce. Ces conditionneurs délivrent un courant constant dans la sonde, environ 1 mA, ce qui permet de linéariser parfaitement le signal reçu en variation de tension. Ensuite une conversion analogique linéaire traduit le ∆V en ∆T ou si le conditionneur comporte une mémoire ou un microprocesseur, la conversion se fait par comparaison avec une banque de données. On en trouvera chez tous les fabricants ou revendeurs. Beaucoup de systèmes d’acquisition de données conditionnent aussi les Pt100. Comme pour les Tc on trouve des thermomètres numériques équipés de sondes Pt 100. Autres capteurs utilisables pour les matériaux : Pour les mesures au cœur du matériau, seules les fibres optiques peuvent les concurrencer, et uniquement dans certaines applications. Pour les mesures de surface, outre les thermorésistances autres que les Pt100, basées sur le même principe, il faut signaler deux méthodes utilisant le rayonnement infrarouge émis par tout corps chaud. Cette technique se répand de plus en plus et son coût diminue d’autant. Il s’agit de la pyrométrie infrarouge, utilisant un appareil appelé pyromètre portable et la thermographie par caméra infrarouge. Documentation des fabricants : (liste non exhaustive) Thermocoax Thermoest Pyro-systèmes Pyro-contrôle Corrège Thermo-electric Annexes : Limites d’emploi des thermocouples Tables des f.e.m. thermocouples Schéma de construction des sondes Pt100Ω Table Pt100 Ω
131
Exercices : 1) Récapituler les avantages et inconvénients des deux capteurs Tc et Pt100. 2) A l’aide de la documentation fournisseurs, déterminer le choix de capteurs de température
correspondant au cahier des charges suivant :
On veut étudier le comportement thermo hydro mécanique d’un béton soumis à une sollicitation thermique. On construit une maquette cylindrique de 3,5 mètres de diamètre et quatre mètres de hauteur. En son centre on dispose un mandrin chauffant de 0.5m de diamètre. Les températures limites sont de 400 °C à l’interface mandrin béton et 150°C en peau externe de béton. On veut suivre la température radiale, à l’axe de symétrie (2 m de hauteur) suivant trois rayons à 120 °C, tous les 10 cm. Bien entendu, il faut trouver les meilleurs capteurs en terme de précision, fiabilité, durabilité, coût.
9.3 Les capteurs de pression Les matériaux naturels, les ciments ou bétons, les sols sont des milieux poreux déformables lorsqu’ils subissent des sollicitations mécaniques, hydriques ou thermiques, agissant de façons couplées. Dans de nombreuses applications, il peut être très important de connaître la pression engendrée dans le matériau par ces sollicitations. Dans le cas d’un squelette rigide ou peu déformable, cette pression est faible, mais pour un sol par exemple elle n’est pas négligeable. On l’appellera pression totale. Si on considère que la porosité est communicante et remplie d’un mélange de deux fluides (gaz et liquide) en proportions variables, une contrainte exercée sur le matériau, une sollicitation hydrique (arrivée d’eau, séchage) peut engendrer une variation importante de la pression dans ces fluides. La mesure de cette pression est souvent nécessaire. C’est la pression interstitielle. Elle est intégrée dans la pression totale. Ces deux types de pression peuvent donc être mesurés séparément, en faisant appel à des techniques différentes mais in fine qui se résument à une mesure de pression. C’est uniquement la partie transmetteur du phénomène qui change dans le capteur. Les critères de choix d’un capteur de pression pour les matériaux sont liés à l’application, mais dans tous les cas le capteur devra être robuste mécaniquement, inerte chimiquement, parfaitement étanche et fiable dans le temps. On trouve hélas peu de fabricants en France proposant des capteurs de pression spécialisés pour les matériaux. Il faudra souvent faire soi-même de l’adaptation ou du développement. Par contre, des sociétés anglo-saxonnes, allemandes ou japonaises proposent des capteurs spécialisés. Quelques unes de ces sociétés fabriquent également sur mesure, notamment pour des applications industrielles ou semi-industrielles pour lesquelles le marché peut être prometteur. Les capteurs de pression totale : La pression totale est la somme de la pression du squelette du matériau et de la pression des fluides interstitiels. Le problème majeur à résoudre pour effectuer ces mesures est le contact matériau capteur. Si le capteur est noyé dans le matériau, par exemple dans un barrage ou un scellement en galerie au moment du coulage du béton, il n’y a pas de problème de contact. Par contre si le capteur est introduit par forage dans le matériau le jeu de mise en place doit être comblé pour assurer un bon contact capteur matériau. Il existe deux sortes de capteurs de pression totale : hydrauliques ou électroniques. Le principe de transmission de pression est le même : le matériau appuie sur un réservoir possédant une paroi déformable. La transmission de pression se fait grâce à un fluide incompressible. Ce réservoir est de taille et de forme variable suivant l’application. C’est au niveau de la conversion de la pression en un signal exploitable que les capteurs différent.
132
Pour le capteur hydraulique, par exemple une cellule de Glötzl (société allemande), couramment utilisées dans le BTP ou le génie minier, la transmission se fait en deux étapes comme indiqué schématiquement sur la figure suivante. Le réservoir est rempli de mercure, la liaison avec le dispositif de mesure se fait par l’intermédiaire d’un transmetteur mercure / huile hydraulique équipé de tuyaux reliés à une pompe. C’est un dispositif très lourd, mais inusable et donc adapté pour de gros ouvrages qui nécessitent un long suivi dans le temps.
Réservoir déformablerempli de mercure
Transmetteurmercure/huile
Tuyau transmetteur
Retour huileDispositif de mesure+pompe de circulationet de mise en pression
Partie immergée dansle matériau
Figure 2 : Schéma de principe d’une cellule de Glötzl Il est à noter que la société Glötzl commercialise maintenant un système où le fluide transmetteur (huile) est remplacé par une fibre optique. Capteurs électroniques : Comme pour les capteurs précédents la transmission de pression se fait par l’intermédiaire d’une membrane déformable et d’un fluide, huile de silicone habituellement. Le fluide transmet la pression sur un élément rigide, poutre équipée de jauges de déformation, disque ou tube équipé de cordes vibrantes. Les jauges montées en pont de Wheastone traduisent la déformation directement en pression. Les cordes vibrantes traduisent une variation de fréquence de vibration due à la déformation de leur point de fixation. Les deux systèmes ont leurs avantages et leurs inconvénients. Les capteurs à jauges standard collés ou gravés, jauges piézorésistives silicium sont les plus performants en terme de dynamique, de tenue en température (400°C). Ils peuvent être miniaturisés. Ce sont également les plus chers. Les capteurs à cordes vibrantes ont une répétabilité, une résolution et une précision excellente. Ils sont insensibles aux parasites car l’information est transmise en fréquence. Par contre ils sont encombrants et sensibles à la température. Le boîtier des capteurs peut-être fabriqué dans des matériaux inoxydables : inox 316L, APX, Titane, etc, ce qui leur confère une excellente tenue à la corrosion. Il faut cependant être très vigilant sur le système d’étanchéité de la liaison câble capteur qui est le point faible de ce type de capteurs. Les capteurs de pression interstitielle : Comme il s’agit là de mesurer une pression de fluide en s’affranchissant de la contrainte mécanique exercée par le matériau sur le capteur, la technique est simple. Le fluide est recueilli à l’aide d’un élément poreux : pierre poreuse, métal fritté, céramique. Il remplit une chambre équipée d’un capteur de pression. Cette chambre peut être directement intégrée au capteur (voir annexe) ou déportée par un tuyau loin du lieu de mesure. Dans le premier cas le corps du capteur étant parfaitement rigide, seule la
133
pression du fluide est lue par l’élément sensible du capteur. Les technologies sont exactement les mêmes que pour les capteurs de pression totale. Précision et étendue de mesure : La mesure de pression dans les matériaux ne nécessite pas une précision importante en valeur absolue. Ce sont souvent les variations qui sont intéressantes de mesurer, souvent sur des périodes longues. Le capteur doit être fiable et ne pas présenter de dérive dans le temps. Pour tous ces types de capteurs, la précision nécessaire est proposée par les constructeurs. Les étendues de mesure ne posent également pas de problème. Par contre, si on trouve de nombreux capteurs fonctionnant parfaitement à basse température, il est difficile de s’en procurer fonctionnant au-delà de 120, 150°C. Pour certaines applications, il faudra chercher l’oiseau rare ou demander une adaptation au fabricant habituel. Etalonnage: En principe les capteurs sont fournis avec un certificat d’étalonnage constructeur. Pour les capteurs électroniques à jauges par exemple, la sensibilité est donnée précisément soit en mV/V soit en mV/bar. Elle est linéaire pour toute l’étendue de mesure et même au-delà (10 à 30 % selon les technologies). Cette sensibilité peut être vérifiée si on possède un capteur étalon ou une balance manométrique. Il est également possible de faire procéder à un étalonnage par un laboratoire spécialisé. Après quelques années de fonctionnement il est souvent nécessaire de procéder à un nouvel étalonnage. Dans le cas où le capteur serait toujours en place dans le matériau, cela s’avère impossible. C’est pourquoi le cahier des charges doit être parfaitement établi au moment de l’achat. Appareils de mesure : La plupart du temps, les fournisseurs proposent soit des capteurs sorties haut niveau ou amplifiés, il suffit de les alimenter et de lire le signal directement en tension ou fréquence. Si le capteur est spécifique, le fournisseur propose également le conditionneur associé. Autres capteurs utilisables pour les matériaux : Il n’existe pas d’autre technique éprouvée pour la mesure de pression dans les matériaux. Seules les fibres optiques, qui ont la propriété d’être sensibles à la pression ont un avenir, probablement comme transmetteur du signal au même titre qu’une corde vibrante ou un pont de jauges, car leur fragilité est incompatible avec l’utilisation dans les matériaux. Documentation des fabricants : (liste non exhaustive) Kulite International Kyowa (Phimesure) Telemac Entran Glötzl Annexes : Capteur de pression avec conversion par oscillateur électromécanique Jauge de contrainte des sols (Kulite) Cellule de pression des sols (Kulite) Capteur de pression des sols (Kulite) Soil pression transducers (Kyowa) Capteur de pression interstitielle (Kulite) Références : [1] Les capteurs en instrumentation industrielle par Georges ASCH et collaborateurs. Edition Dunod. (5ème édition)
134
ANNEXES
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
10. Mesures de pressions acoustiques Denis DUHAMEL
10.1 Le son Le son est une variation de pression qui peut être détectée par l’oreille humaine. Les sons désagréables ou indésirables sont appelés des bruits. Pour pouvoir quantifier les niveaux sonores, il est nécessaire de procéder à des mesures. On peut mesurer la pression sonore, la vitesse particulaire ou l’intensité sonore mais comme l’oreille humaine est sensible à la pression, c’est surtout cette quantité qui a été mesurée à l’origine même si les techniques modernes permettent aussi de mesurer les deux autres. La pression sonore est mesurée en Pascal et l’amplitude des valeurs habituellement rencontrées s’étend de 20 µPa jusqu’à 100 Pa. Comme l’oreille humaine a de plus une réponse logarithmique aux variations d’amplitudes, l’unité de mesure habituellement employée est le décibel dont les valeurs s’étendent de 0 dB à 120 dB. Sa définition est
)102
(log20 510 −×=
PLp
Où P est la valeur RMS de la pression mesurée en Pascal et Pa5102 −× est une pression de référence qui correspond à 0 dB, soit le seuil d’audibilité. On peut aussi mesurer l’intensité sonore qui est la puissance par unité d’aire, mesurée en W/m² et qui est donnée par la relation (la valeur de référence est cette fois 212 /10 mW− )
)10
(log10 1210 −=WLw
Les mesures de sons et de bruits s’effectuent pour des besoins très variés : • Un grand domaine concerne l’acquisition de voix et de paroles dans tous les milieux où l’on a
besoin d’enregistrer ou d’amplifier la voix humaine : studio d’enregistrement, radio, TV, … • Un domaine voisin concerne la prise de son en musique. On ne détaillera pas ces aspects qui
s’éloignent beaucoup de la mesure en mécanique. • On peut chercher à déterminer le confort acoustique d’une pièce en mesurant le temps de
réverbération d’un local qui est le temps que met un son à s’atténuer de 60 dB. • On peut déterminer le pouvoir d’isolation d’une paroi pour vérifier qu’une norme d’isolation
minimale est respectée entre deux appartements. • On peut mesurer le bruit produit par des moyens de transport : véhicules routiers, trains, avions et
vérifier que le niveau sonore n’est pas trop important au voisinage d’habitations et que la réglementation en vigueur est bien respectée.
• Dans l’industrie, il faut souvent vérifier qu’un local bruyant, contenant par exemple des machines, n’engendre pas un niveau sonore nuisible pour la santé des personnes qui y travaillent.
• La plupart des constructeurs de machines doivent s’assurer que le niveau sonore produit par leurs appareils respectent une norme : c’est le cas par exemple pour les machines-outils, les voitures, les ordinateurs, pour des usages domestiques, pour des appareils électroménagers, …
Pour toutes ces applications, il est nécessaire de disposer de moyens fiables permettant de capter le
son, de le traiter et, lorsque l’application l’exige, de donner un niveau sonore en décibel de façon reproductible avec une faible marge d’erreur, en général de l’ordre de 1 dB.
148
10.2 Les microphones
10.2.1 Différents types de microphones Les sons sont mesurés par des microphones. Ces appareils sont destinés à mesurer la pression acoustique, grandeur à laquelle l’oreille humaine est sensible. Ils assurent la conversion du signal de pression en un signal électrique. En général le mouvement des molécules d’air entraîne la mise en mouvement d’un élément solide, la membrane, qui, à son tour, est directement à l’origine du signal électrique. Les microphones sont utilisés dans le domaine de la télécommunication, dans le domaine musical ou pour des mesures purement acoustiques (bruit par exemple). En général, on utilise des microphones différents en fonction du type d’application envisagé. Il existe ainsi un grand nombre de types de microphones qui peuvent aussi être à pression ou à gradient de pression en fonction de la grandeur que l’on veut mesurer. Dans ce dernier cas le micro est sensible à la direction de l’onde, ce qui permet de privilégier une direction donnée. On peut ainsi, pour des microphones utilisés pour capter la parole, privilégier la direction d’où provient le son et réduire les bruits parasites venant d’autres directions. Le schéma de la figure 1 présente un exemple simple de microphone à pression. Les fluctuations de pression provoquent les mouvements du diaphragme (partie supérieure).
Figure 1: Schéma d’un microphone à diaphragme. La conversion du mouvement du diaphragme en un signal électrique peut être réalisé suivant différents principes physiques. On distingue ainsi - les microphones à condensateur dans lesquels le diaphragme est une des faces d’un condensateur.
On mesure ensuite la tension aux bornes du condensateur pour obtenir la valeur de la pression appliquée sur le diaphragme.
- les microphones électrodynamiques dans lesquels le mouvement du diaphragme est traduit sous forme électrique en utilisant le déplacement dans un champ d’induction magnétique d’un conducteur solidaire de ce diaphragme.
Pour les microphones à condensateur, le diaphragme est sous tension avec un isolant à l’arrière, voir aussi la figure 2. La distance entre le diaphragme et l’isolant est typiquement de 20µm. Ces deux composants forment les deux plaques d’une capacité qui va produire le signal du microphone à capacité. La valeur de la capacité s’étend de 2 à 60 pF. La membrane du diaphragme est sous une tension de l’ordre de 600N/mm² et est généralement constituée de Nickel. Une différence de potentiel de l’ordre de 200V est appliquée entre les deux composants. Dans les microphones à électret la plaque arrière est recouverte d’un film polymère chargé et il est donc inutile dans ce cas d’avoir une tension
149
de polarisation. La sensibilité est fonction de la taille du diaphragme, un grand diaphragme correspond à une grande sensibilité. Elle s’exprime en V/Pa souvent à 250 Hz ou à 1000Hz.
Figure 2 : Vue en coupe d’un microphone à diaphragme
Figure 3 : Un microphone de mesure avec son préamplificateur
150
diaphragme cavité
liaison mécaniqueau transducteur
fuite capilaire
Figure 4 : Fuite capilaire Un microphone de bonne qualité doit produire un signal électrique proportionnel au niveau de pression mesuré et ceci dans la plus large bande de fréquence possible. Plusieurs facteurs peuvent limiter ses performances. Pour que les changements de pression atmosphérique soient sans effet, les microphones comportent une fuite capilaire qui égalise les pressions moyennes (voir figure 4). Ce trou se traduit par une réponse qui n’est plus plate en dessous de 5Hz. La limite inférieure d’utilisation de microphones de mesure de bonne qualité est en général de 1 à 2 Hz. Pour des microphones servant à capter la voix, cette limite est beaucoup plus élevée et peut se situer vers 50 ou 100 Hz. De l’autre coté du spectre la fréquence de résonance du diaphragme définit une limite supérieure au domaine de fréquence utilisable. Entre ces deux limites la courbe de réponse en fréquence doit être aussi plate que possible, ce qui n’est réalisé que pour des microphones de mesure de bonne qualité. Les microphones ordinaires conduisent à des distorsions du signal suivant les bandes de fréquence. La présence du microphone se traduit aussi par une modification du champ de pression. Cela est surtout important à haute fréquence où la taille du microphone peut ne plus être négligeable par rapport à la longueur d’onde. Ces raisons expliquent la petite taille habituelle des microphones. On doit tenir compte dans le choix du microphone du type de champ de pression à mesurer : champ libre, pression dans une cavité ou champ diffus. Un champ diffus se trouve par exemple dans un local réverbérant pour lequel les parois sont réfléchissantes. Au contraire une chambre anéchoïque a des parois absorbantes et la source sonore se comporte comme en champ libre. La dynamique est limitée dans les faibles amplitudes par le bruit thermique et dans les fortes amplitudes par la distorsion non linéaire (3% définit la limite admissible). Les fréquences et les niveaux correspondants peuvent être trouvés dans la carte d’étalonnage du microphone où figurent les caractéristiques mesurées à la fabrication, voir un exemple sur la figure 5. Les propriétés d’un microphone peuvent souvent varier en fonction du temps. Ainsi la tension du diaphragme décroit au court du temps surtout si le microphone est soumis à des températures élevées. Cela augmente sa sensibilité. Il est par conséquent nécessaire d’étalonner fréquemment un microphone. Cela est réalisé en mesurant le son produit par un étalonneur envoyant un signal sonore de référence, souvent 94 dB à 1000Hz. Un exemple est donné sur la figure 6. Comme la réponse du microphone en fréquence est plate cela suffit pour vérifier la sensibilité. On corrige ensuite l’écart mesuré par le microphone. Des étalonnages plus précis peuvent être réalisés en laboratoire, par exemple par le constructeur du microphone (une fois par an).
151
Figure 5 : Carte d’étalonnage
Figure 6 : Etalonneur de microphones Ces différentes propriétés conduisent à des critères de sélection d’un microphone parmis la large gamme disponible en fonction de - la réponse en fréquence (haute ou basse fréquence) - le type de champ de pression : cavité, champ libre - la dynamique (pression minimale ou maximale mesurable) - la position du trou d’égalisation de la pression statique (dépend du montage du micro pour la
mesure) - la méthode de polarisation (externe ou par électret) - la sensibilité à l’environnement : robustesse, température élevée, atmosphère corosive, humidité
(dans ce dernier cas les micros prépolarisés sont préférables). - les accessoires : protecteur de vent ou d’humidité
152
10.2.2 Principe physique de fonctionnement Un microphone est donc un capteur transformant une information de pression acoustique en un signal électrique, par un oscillateur électromécanique fonctionnant de la manière suivante :
moduléee)..(riceélectromotForce
mobileélémentl'deélongationouVitesse
diaphragmelesuragissantForce
sonorePression
mef
xi
F
p
⇓=
⇓
⇓
ων
Figure 7 : Schéma du principe physique
La réponse globale du microphone se met sous la forme
)()( tSpte = avec
νν eFp
FS =
qui est l’efficacité du microphone en V/Pa. Cette grandeur doit être, le plus largement possible, indépendante à la fois du niveau d’entrée p (linéarité) et de la fréquence f pour éviter toute distorsion. Il existe un grand nombre de microphones différents suivant les composants qui assurent chaque conversion dans le diagramme ci-dessus. Il peut en résulter des microphones à pression ou à gradient de pression, des microphones omnidirectionnels ou à directivité en forme de cardioïde. Le type de microphone à utiliser dépend de l’application envisagée : • omnidirectionnel pour une ambiance sonore • bidirectionnel pour deux interlocuteurs • unidirectionnel pour un enregistrement en ambiance bruyante. Concernant le fonctionnement physique des microphones à condensateur, il en existe deux grands types • les microphones à polarisation externe où la charge du condensateur est apportée par une
alimentation externe d’environ 200 V. La charge accumulée vaut 000 ECQ = . Sous l’effet de la pression acoustique la position du diaphragme change ce qui entraine des modifications de C et E tout en conservant la charge Q constante. Il en résulte une force électromotrice proportionnelle à la variation de champ électrique )()( tEte α= .
• les microphones prépolarisés où la charge est présente à la construction du microphone. Utilisation Type de microphones Etalonnage et mesure A condensateur Prise de son professionnelle A condensateur, à électret, électrodynamique (à
bobine et à ruban) Prise de son pour amateurs A électret, à bobine mobile Téléphonie A charbon, à bobine mobile Prothèse auditive A transistor
Tableau 1 : Différents types de microphones
153
Presque tous les microphones de précision utilisés dans la mesure sont des microphones à condensateur sensible à la pression. Ils utilisent une charge constante pour convertir les déplacements du diaphragme en un signal électrique. Ils peuvent être réalisés avec la grande qualité et la bonne fiabilité qui sont nécessaires dans la mesure. Plus particulièrement leur qualité se traduit par : la linéarité, une réponse plate en fréquence, une petite dimension perturbant peu le champ sonore, une grande sensibilité. Pour connecter un microphone à un système d’analyse ou d’enregistrement du signal, il est nécessaire de transiter par un préamplificateur. Ils sont capables de recevoir des signaux de 1µV à 50V. Une image d’un microphone avec son préamplificateur est donnée sur la figure 3. Ensuite les enregistreurs et les analyseurs de signaux traitent le signal reçu. On peut ainsi obtenir le niveau en fonction du temps, des spectres, …
10.3 Description du TP
10.3.1 Utilisation d’un microphone La première partie est une simple utilisation d’un microphone de mesure.
• Connecter le microphone, le préamplificateur, l’amplificateur et l’analyseur de signal. • Etalonner le microphone avec l’étalonneur pour faire la connexion entre le niveau sonore
donné par l’analyseur et le niveau sonore réel. • Faire la mesure du niveau sonore de différentes sources (son ambiant, voix, machine, …) • Déterminer le contenu spectral du signal sonore engendré par ces sources.
10.3.2 Principe du tube de Kundt La seconde utilisation proposée des microphones est la mesure de coefficients d’absorption acoustique de matériaux. Ils possèdent en effet des propriétés d’absorption acoustique très variables. Une onde incidente sur un matériau engendre une onde réfléchie et une onde transmise. La partie de l’énergie qui n’est pas réfléchie correspond à l’absorption. Celle-ci provient soit de la dissipation par le matériau, soit de la transmission à travers le matériau. Les propriétés d’absorption sont utilisées par exemple pour réduire le niveau sonore (isolation par laine de verre, ...). Cela peut aussi servir à améliorer la qualité acoustique de salles de théâtre ou de concert en corrigeant les temps de réverbération. On présente ici une méthode habituellement utilisée pour mesurer l’absorption qui permet de mesurer à la fois le coefficient d’absorption et l’impédance. La méthode consiste à créer une onde stationnaire dans un tube cylindrique et à mesurer le niveau sonore en différents points le long du tube, voir figure 8. Le spectre de fréquence utilisable dépend du diamètre du tube. Le gros tube permet des mesures basses fréquences alors que le petit tube est utilisé pour les hautes fréquences. Avec les deux tubes il est possible de couvrir le spectre de 90Hz à 6500 Hz. Le tube de grand diamètre (100 mm) permet des mesures entre 90Hz et 1800Hz. Le petit diamètre permet des mesures entre 800Hz et 6500Hz.
Une onde sonore est générée à une extrémité du tube par un haut-parleur qui crée une onde harmonique. L’autre extrémité est occupée par l’échantillon de matériau à tester. Une onde stationnaire est créée dans le tube par réflexion sur les deux extrémités. En mesurant le rapport entre le maximum et le minimum de pression dans le tube, on peut calculer le coefficient d’absorption. En mesurant la distance entre la surface de l’échantillon et les minima et maxima de pression, on peut calculer l’impédance de surface de l’échantillon. Le tube étant rigide, la proportion de l’énergie qu’il absorbe est négligeable par rapport à l’énergie absorbée par l’échantillon. Le détail de la méthode est présentée dans les paragraphes suivants.
154
y
signal micro
éprouvette
onde stationnaire
alimentation du haut−parleur
Figure 8 : Principe du tube de Kundt.
10.3.3 Détermination du coefficient d’absorption L’onde de pression incidente sur l’échantillon qui provient du haut-parleur est
)2cos( ftApi π= L’onde réfléchie par l’échantillon est
))/2(2cos( ϕπ +−= cytfBpr où f est la fréquence, y la distance entre le point de mesure et la surface de l’échantillon, c la vitesse du son et ϕ le déphasage dû à la réflexion. Le champ de pression total dans le tube est donc
))/2(2cos()2cos( ϕππ +−+= cytfBftApt L’amplitude de la pression totale varie donc entre A+B pour ππϕ 2/4 =− cfy et A-B pour
ππϕ ±=− cfy /4 . La distance entre ces deux points est ππ =∆ cyf /4 soit 4/λ=∆y . Le coefficient d’absorption est défini comme le rapport entre l’énergie absorbée par le matériau sur l’énergie incidente, soit
2
1
−=
ABα
ou encore 21 r−=α
en posant
ABr =
La mesure permet de connaître le rapport entre le maximum et le minimum de pression donné par
rr
BABAn
−+
=−+
=11
On en déduit
11
+−
==nn
ABr (1)
d’où 2
111
+−
−=nnα
En résumé en mesurant les valeurs du maximum et du minimum de pression dans le tube puis en appliquant la formule ci-dessus, on obtient directement la valeur du coefficient d’absorption.
155
10.3.4 Mesure de l’impédance L’impédance est définie comme le rapport entre la pression et la vitesse normale sur la surface de l’échantillon. C’est une grandeur complexe. L’impédance de l’air est égale à cρ où ρ est la masse
volumique de l’air. Sa valeur est Z=415kg/m2/s en prenant c=343m/s et 3/21.1 mkg=ρ , valeurs
pour 20°C et 1013mbar .
L’impédance de l’échantillon se calcule par
ri
ri
vvpp
Z++
=
avec
rr
ii
cvpcvpρ
ρ−=
=
Ces valeurs sont les amplitudes complexes des pressions et vitesses. L’impédance est
c
pppp
Z
cpppp
Z
i
r
i
r
ri
ri
ρ
ρ
−
+=
−+
=
1
1
Les pressions incidente et réfléchie sont reliées par ϕi
ir repp = où r est le coefficient de réflexion et ϕ le facteur de phase. Donc
czcrereZ i
i
ρρϕ
ϕ
=−+
=11
avec
ϕϕ
ϕ
cos21sin2)Im(
cos211)(
2
2
2
rrrz
rrrzRe
−+=
−+−
= (2)
Le facteur r est donné par la formule (1). Il reste à déterminer le facteur de phase ϕ . La pression totale est minimum pour
πϕλπ
=−14 y
ce qui donne
πλ
ϕ )14( 1 −=y
L’application des formules (2) donne la valeur de l’impédance.
156
A+B
A−B0
y1
Figure 9 : Minimum de pression.
10.3.5 Travail à effectuer sur l’absorption
10.3.5.1 Appareillage Monter l’appareillage complet de l’expérience qui se compose du tube de Kundt avec l’échantillon de matériau à tester et les connexions avec l’analyseur de signal Brüel & Kjaer.
10.3.5.2 Mesures On mesure le coefficient d’absorption et l’impédance pour quelques types différents de matériaux. Les fréquences de mesures sont les tiers d’octave compris entre 100Hz et 6300Hz donnés dans le tableau ci-dessous (on peut éventuellement se contenter de mesurer pour les fréquences centrales des octaves indiquées en gras). Tracer les courbes donnant le coefficient d’absorption en fonction de la fréquence, puis les parties réelles et imaginaires de l’impédance.
16 20 25 31.5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300
Tableau 2 : Fréquences centrales des tiers d’octave
10.3.5.3 Comparaison avec un modèle Il existe de nombreux modèles essayant d’expliquer les propriétés acoustiques des milieux poreux. Le plus simple est le modèle de Delany et Bazley à un seul paramètre σ , la résistance au passage de l’air. L’impédance s’écrit sous la forme
73.075.00 10009.11100008.91
−−
+
+=
σσρfif
cZ
Pour tenir compte de l’épaisseur e du matériau, l’impédance est corrigée par
)(cotg0 KeZZ = avec
59.070.0 10003.10100008.101−−
+
+=
σσfif
kK
157
k est le nombre d’onde λπ /2 . Pour chaque mesure, identifier le paramètre σ permettant de reproduire au mieux les mesures expérimentales. L’ordre de grandeur de σ est de quelques
2/ mkPa .
158
159
11. Mesures en soufflerie Gilles BOUCHET
11.1 Introduction
Ce travail expérimental est un exemple type de ce qui peut être réalisé dans une soufflerie ; on s'intéresse ici à un problème d'hydro-élasticité (portant sur des ouvrages immergés tels que les plates-formes océaniques, les câbles ou les conduites immergés, les ouvrages fixes fluviaux ou portuaires, les échangeurs de chaleur, etc...) et d'aéro-élasticité (portant sur des ouvrages de grande hauteur ou de grande envergure, tels que les tours, les cheminées, les mâts, les ponts, les échangeurs atmosphériques, etc...). Ce travail a pour objet l'étude du développement des structures tourbillonnaires turbulentes apparaissant autour d'un obstacle peu profilé placé dans un écoulement amont uniforme incompressible. On cherchera à décrire et interpréter la répartition des vitesses dans l'écoulement, la distribution des pressions induites par le fluide sur l'obstacle et les efforts résultants.
11.2 Travail expérimental Dans cette partie, on étudiera l'écoulement autour d'un cylindre rigide fixe, placé dans un écoulement d'air amont uniforme, de direction perpendiculaire à l'axe du cylindre. L'étude sera effectuée dans une soufflerie à vitesse variable, les vitesses obtenues étant suffisamment faibles pour que les effets de compressibilité soient négligeables (nombre de Mach très inférieur à 1). Le cylindre occupe toute la hauteur de la veine de mesure, de sorte que l'approximation d'écoulement bidimensionnel soit vérifiée sur une partie importante de l'obstacle. On étudiera les caractéristiques cinématiques et dynamiques de l'écoulement, en valeurs instantanées et moyennées dans le temps, ainsi que leurs variations en fonction du nombre de Reynolds, défini par :
νDURe .∞=
où ∞U est la vitesse infinie amont, D le diamètre du cylindre et ρµν = la viscosité cinématique de
l'air. On donne : - viscosité dynamique de l'air : 115 .kg.m 10.86,1 −−−= sµ - masse volumique de l'air : 3kg.m 213,1 −=ρ
x
y
D
P
V
h
h
Figure 1 : Schéma de la veine d'étude
160
11.2.1 Aspect stationnaire Les conditions de l'écoulement amont ( ∞U ) étant maintenues constantes, les diverses grandeurs mesurées seront moyennées dans le temps (sur une durée d'environ 3 secondes, très supérieure aux temps caractéristiques des phénomènes instationnaires se développant dans une telle configuration). Après étalonnage des différents appareils de mesure mis à votre disposition (régulateur de vitesse de la soufflerie, anémomètre à film chaud, capteur de pression, balance aérodynamique), on se propose de mesurer, de différentes façons, les efforts statiques exercés sur le cylindre, et d'étudier leur évolution en fonction du nombre de Reynolds.
11.2.1.1 Pression pariétale statique On définit le coefficient de pression pK , pour un fluide incompressible, par :
2.21
∞
∞−=
U
PPK cylindre
p
ρ
Démontrer que pour un fluide parfait en écoulement autour d'un cylindre de longueur infinie, le coefficient de pression s'écrit :
θ2sin41−=pK Tracer la courbe correspondante ; interpréter. Le cylindre est muni d'une prise de pression (pariétale). Mesurer le coefficient de pression pK en fonction de θ , pour un nombre de Reynolds donné (on pourra faire varier θ de 0° à 180° par incrément de 10°, et ceci pour trois nombres de Reynolds différents). Comparer ce pK expérimental
au pK établi ci-dessus pour un fluide parfait ; interpréter. Calculer le coefficient de traînée de pression
pressionxC et de portance de pression pressionyC ; vous
comparerez ces valeurs avec celles de la section suivante. Etudier l'évolution de pressionxC en fonction
du nombre de Reynolds.
11.2.1.2 Efforts statiques globaux Le cylindre est monté sur une balance aérodynamique permettant de mesurer de façon directe les forces longitudinale ( xT ) et transversale ( yT ) appliquées au cylindre. On définit le coefficient de traînée de la façon suivante :
LDU
TC xx
...21 2
∞
=ρ
161
où L est la longueur du cylindre. On définit de la même façon le coefficient de portance yC :
LDU
TC y
y
...21 2
∞
=ρ
Mesurer la traînée et la portance moyennes du cylindre et étudier leur variation en fonction du nombre de Reynolds.
11.2.1.3 Vitesse moyenne La veine d'essai étant équipée d'une sonde anémométrique à film chaud, on vous demande de réaliser une étude de la vitesse moyenne dans le sillage du cylindre. Vous caractériserez l'évolution spatiale du sillage en traçant les profils de vitesse moyenne pour différentes valeurs de y comprises entre 0 et h. Vous pourrez également faire varier la vitesse de l'écoulement amont.
11.2.2 Aspect instationnaire On s'intéresse à présent au caractère instationnaire de l'écoulement, résultant de l'instabilité de Bénard - Von Karman se développant à l'aval du cylindre.
11.2.2.1 Etude dynamique du sillage Par une analyse spectrale des signaux de vitesse de l'anémomètre à film chaud, caractériser l'échappement tourbillonnaire alterné issu du cylindre (en temps et en espace). Déterminer le nombre de Strouhal :
∞
=U
DfSt .
où f est la fréquence d'échappement tourbillonnaire. Réaliser une analyse spectrale des fluctuations de pression pariétale. Comparer à l'analyse spectrale des fluctuations de vitesse ; commenter.
11.2.2.2 Efforts dynamiques sur le cylindre A partir des signaux issus de la balance aérodynamique, réaliser une analyse spectrale des fluctuations des efforts transversaux appliqués au cylindre. Comparer les résultats à ceux de l'analyse spectrale des signaux de vitesse. Commenter.
162
11.3 Les capteurs
11.3.1 Le tube de Pitot Le tube de Pitot est une application directe de l'équation de Bernoulli :
Ctepv=++ ρϕρ
2
2
le long d'une ligne de courant (1)
Il permet de déterminer la vitesse d'un écoulement fluide à partir d'une mesure de pression. Dans le cas des souffleries, l'obstacle est fixe et le fluide est en mouvement ; dans de nombreux cas pratiques, le tube de Pitot est également utilisé pour mesurer la vitesse d'un véhicule (avion, bateau) dans un fluide immobile. Ce dispositif est constitué de deux tubes coaxiaux (voir figure ci-dessous) : le tube intérieur est percé d'une ouverture S à son extrémité, placée face à l'écoulement et l'autre tube est percé d'une série de petits orifices A (en général quatre) répartis sur une couronne. Un manomètre relié à chacun des deux tubes permet de mesurer la différence de pression p∆ qui existe entre les points S et A .
A
A
’
S
O’
O
Mesure de ∆ppar un manomètre
différentiel
U
Figure 2 : Tube de Pitot
Négligeons les effets de viscosité en les supposant seulement importants dans une mince couche limite près de la paroi des tubes ; nous pouvons appliquer l'équation de Bernoulli (1) le long de la ligne de courant OS coïncidant avec l'axe des tubes :
Sair pUp =+2
2
0 ρ (2)
Appliquons également l'équation (1) le long de la ligne de courant '' AO (le point 'A est sur la même verticale que la prise de pression A , mais à l'extérieur de la couche limite) :
222
222' '
'0
UpU
pUp airAA
airAair ρρρ +=+=+ (3)
En effet, on sait que la pression reste constante lorsqu'on traverse l'écoulement quasi unidirectionnel dans la couche limite normalement à celui-ci, et on a donc 'AA pp = . D'autre part, la vitesse en 'A est
pratiquement égale à U si 'A est suffisamment en aval de S et si la section du tube de Pitot est faible devant la taille du canal d'écoulement. Enfin, les pressions aux points O et 'O , infiniment voisins l'un
163
de l'autre et situés loin en amont de l'obstacle, ont la même valeur. On en déduit alors, en combinant les équations (2) et (3) :
2
2Uppp airAS ρ=−=∆ (4)
La vitesse de l'écoulement découle donc de la mesure de la différence de pression p∆ . Cette différence de pression peut être mesurée à l'aide d'un tube en U rempli d'eau ; on relie alors la différence de pression p∆ à la différence de hauteur d'eau h par la relation : hgp eau ..ρ=∆ . On obtient ainsi :
hgUeauair ..
2
2
ρρ = (5)
11.3.2 Le capteur de pression Le capteur de pression différentielle de type Validyne DP-103 est capable de détecter des pressions différentielles comprises dans le domaine OcmH 2 56,0± ( a 56 P± ), avec une précision de 0,25 % pleine échelle et une sensibilité de OcmH 2
3 10.12,1 − ( a 10.12,1 1 P− ).
Bobine 1Bobine 2
Pièce en E
Prise de pressiongap 1
gap 2
Diaphragme
Figure 3 : Capteur de pression
Il s'agit d'un capteur à réluctance variable dont le principe de fonctionnement est rappelé sur le schéma ci-dessus. Il est constitué d'un diaphragme en acier inoxydable de perméabilité magnétique µ , serré entre deux blocs d'acier inoxydable. Une pièce en ''E'' renfermant une bobine est encastrée dans chaque bloc. Dans sa position non-fléchie, le diaphragme est centré avec un espace (gap) égal le séparant de la surface de chaque pièce en ''E'', assurant des réluctances égales pour le flux magnétique de chaque bobine. Une différence de pression appliquée au sein du capteur (par les prises de pression) fait fléchir le diaphragme dans le sens du gradient négatif de pression, faisant décroître le gap du côté de la basse pression et le faisant croître de l'autre. Comme la réluctance magnétique varie avec le gap et détermine la valeur de l'inductance de chaque bobine, la flexion du diaphragme fait décroître l'inductance d'une bobine et croître celle de l'autre côté. Ces inductances étant placées dans un pont de Wheatstone (en courant alternatif), leur variation entraîne une variation de la tension de déséquilibre du pont, proportionnelle à la pression différentielle
164
mesurée par le capteur. En utilisant un démodulateur de type CD-15 en sortie du pont de Wheatstone, on récupère un signal continu de V 10± . Un tel capteur est capable de mesurer aussi bien des composantes continues qu'alternatives. Cependant, une dérive de l'électronique est possible, rendant alors délicate la mesure d'une composante continue (un réglage régulier du zéro est nécessaire). Le capteur est relié par de petits tubes souples à deux prises de pression situées dans la veine d'étude.
11.3.3 La jauge à fil résistant Buts Un corps soumis à des contraintes se déforme. Les jauges à fil résistant ont pour but essentiel la mesure des déformations, les contraintes étant des grandeurs abstraites en général inaccessibles directement à la mesure. Des théories, telle que la théorie de l'élasticité, relient les contraintes aux déformations. La jauge est alors un moyen indirect de mesure dans le domaine de "l'analyse des contraintes" (mais ce n'est pas une "jauge de contrainte" comme on l'appelle quelque fois improprement). La jauge peut également transformer en grandeur physique (force, pression, accélération ...) lorsqu'on l'utilise sur une cellule appropriée : c'est le domaine des "capteurs". Principe Bridgman utilisait déjà ce principe en 1917 pour mesurer des pressions hydrostatiques. Les travaux du Professeur Simmons de l'Institut Technologique de Californie (C.I.T.) et de Ruges de l'Institut Technologique du Massachusetts (M.I.T.) aboutissaient dès 1937 à la réalisation de jauges dont la forme est encore celle que l'on connaît de nos jours. Cependant, ce n'est qu'au cours de la seconde guerre mondiale que l'exploitation des jauges a réellement pris son essor aux Etats-Unis (dans les laboratoires de la construction aéronautique et navale en particulier). Depuis, de très gros progrès techniques ont été réalisés, aussi bien en ce qui concerne la jauge elle-même, que les appareils de mesure associés. Ce principe de fonctionnement est le suivant : considérons un fil métallique cylindrique fin (son diamètre sera de 25µm par exemple, pour donner un ordre de grandeur). Dans la suite du développement, nous supposons les paramètres extérieurs constants, et en particulier la température. On sait que la résistance électrique de ce fil conducteur est donnée par la relation :
SlR ρ= (6)
où R est la résistance du fil, l sa longueur, S sa section et ρ la résistivité. Effectuons sur ce fil une traction ∆l petite (on ne dépassera pas la limite élastique), la résistance R variera de ∆R. La dérivation logarithmique de la relation (6) s'écrit :
SS
ll
RR ∆
−∆
+∆
=∆
ρρ
(7)
si l'on assimile les petites variations ∆ aux différentielles mathématiques δ.
165
Puisque nous restons dans le domaine élastique du fil, on peut écrire que :
ll
rr
SS ∆
−=∆
=∆ ν22 (8)
si r est le rayon de la section et ν le coefficient de Poisson du fil. Finalement, l'effet de traction sur le fil se traduit donc par la relation suivante :
ll
RR ∆
++∆
=∆ )21( ν
ρρ
(9)
Si l'on admet en première approximation que ρ reste constant au cours de la déformation et que ν est voisin de 0,3, la formule devient :
ll
RR ∆
=∆ 6,1 (10)
En fait, l'expérience montre que la relation (9) est de la forme :
llK
RR ∆
=∆ (11)
où K est généralement constant et voisin de 2. Si l'on réussit maintenant à rendre ce fil de longueur l parfaitement solidaire de la surface d'un corps (en prenant également la précaution de l'isoler électriquement si le corps est conducteur), la déformation linéique subie par le corps suivant la longueur l sera transmise au fil. La mesure de la variation relative de résistance ∆R/R permettra alors de déterminer cette déformation linéique ∆l/l comme le montre la relation (11). Aspect usuel d'une jauge - mise en œuvre Une jauge est constituée d'un fil sensible solidaire d'un support mince en matière isolante. Elle est mise en place sur la surface d'une structure par collage. Le schéma classique d'une jauge est représenté sur la figure ci-après. Comme le montre la figure, le fil est disposé de façon à former une "grille". Si a est la longueur d'une branche de la grille et n le nombre de branches, on peut écrire :
SanR .ρ= (12)
S étant la section du fil :
aaK
aa
RR ∆
=∆
++∆
=∆ )21( ν
ρρ
(13)
166
La jauge étant collée sur la surface de la structure, la mesure de la variation relative de résistance ∆R/R aux bornes de la jauge (à l'aide d'un pont de Wheatstone par exemple) permet donc de mesurer directement la déformation relative ∆a/a de la structure.
b
a
Support
Fil sensible
Fil de connexion Figure 4 : Jauge à fil résistant
Si σ est la contrainte appliquée à la structure, la loi de Hooke s'écrit alors :
σε =E (14) où E est le module d'Young du matériau constituant la structure, et ε la déformation relative de la structure soumise à la contrainte σ. On a alors :
EKKaaK
RR / σε ==
∆=
∆ (15)
soit :
σ ' KRR
=∆
(16)
11.3.4 Le vélocimètre à fil ou à film chaud Le vélocimètre à fil ou à film chaud est un dispositif permettant de mesurer la vitesse en un point donné dans un fluide. Il peut être utilisé pour une large gamme de vitesses avec des fluctuations à très hautes fréquences. La sonde est composée d'un fil ou d'un film mince placé sur un support mécanique fixe. Cette sonde est introduite dans l'écoulement et le fil (ou film) qui constitue le capteur est chauffé par un courant électrique à une température supérieure à celle du fluide (environ 220°C). L'écoulement du fluide, de vitesse V, refroidit le capteur par convection (forcée), faisant varier la résistance du capteur. Cette variation dépend de la puissance électrique dissipée sous forme de chaleur et de la vitesse du fluide à mesurer. A l'équilibre thermique, en admettant que le transfert de chaleur entre le capteur de température T et le fluide de température Tfluide se fasse uniquement par convection, la relation entre la puissance électrique Pj dissipée sur le capteur et la vitesse de l'écoulement V peut être écrite ainsi :
167
( ) ( ) ( ) ( )( )fluidec
j TTVbaTR
ETRITRP −+=
=×=
22 (17)
où R(T) est la résistance du capteur à la température T. La loi d'Ohm, I = Ec /R(T), relie l'intensité I du courant traversant le capteur à la tension Ec aux bornes de ce capteur et à sa résistance R(T). Les coefficients a et b sont des constantes empiriques pour une combinaison "capteur - fluide" ; elles dépendent également de la température T du capteur et de celle du fluide Tfluide. Cependant, les vélocimètres sont munis de plusieurs autres circuits pour amplifier la tension Ec et améliorer la qualité du signal. Si la température du fluide Tfluide reste constante, on peut utiliser une relation simple reliant directement la tension Ev mesurée à la sortie du vélocimètre à la vitesse V de l'écoulement :
nv BVAE +=2 (18)
où A, B et n sont des constantes pour une combinaison "capteur - fluide" donnée (à Tfluide donnée). Avant utilisation, il est donc indispensable d'effectuer l'étalonnage du capteur dans le même fluide et la même gamme de vitesses pour déterminer les constantes A, B et n. Il existe deux méthodes de mesure de la tension Ev utilisant des montages électroniques différents, en particulier le vélocimètre à intensité constante et le vélocimètre à température constante : - dans le vélocimètre à intensité constante, le courant I traversant le capteur placé sur le bras actif
d'un pont de Wheatstone est maintenu constant grâce à une grande résistance RG mise en série avec la source de tension ST. La variation de la résistance R(T) du capteur due au refroidissement, en fonction de la vitesse de l'écoulement V, déséquilibre le pont, produisant une tension entre les bornes A et B. L'amplificateur de compensation AC amplifie cette tension et corrige le temps de réponse. A la sortie de cet amplificateur, on obtient une tension Ev proportionnelle à la vitesse V de l'écoulement. Cette tension peut être, soit lue directement sur un voltmètre, soit connectée à une chaîne d'acquisition de données et enregistrée.
- dans le vélocimètre à température constante, la résistance du capteur R(T), donc sa température T,
est maintenue constante grâce à un circuit d'asservissement. La sonde se trouve dans le bras actif d'un pont de Wheatstone. La variation de la résistance du capteur R(T) due au refroidissement, en fonction de la vitesse de l'écoulement V, déséquilibre le pont. Le servo-amplificateur AS détecte immédiatement la tension de déséquilibre entre les bornes A et B. Il fournit le courant nécessaire pour réchauffer la sonde et maintenir le pont de Wheatstone en équilibre. La tension sur la sonde, qui n'est autre que celle entre les bornes C et D, est proportionnelle à la vitesse de l'écoulement V. Cette tension Ev peut être, soit lue directement sur un voltmètre, soit connectée à une chaîne d'acquisition de données et enregistrée.
ACD
A
B
C
Sonde
S R
E
T G
vRésistanced’ajustement
Amplificateur decompensation
A SD
A
B
C
Sonde
Résistanced’ajustement
Servo-amplificateur
Ev
Figure 5 : Vélocimètre à intensité constante Figure 6 : Vélocimètre à température constante
168
Les montages à intensité constante nécessitent des circuits de compensation (amplificateur AC) très compliqués, et ne conviennent pas aux mesures de vitesse avec des fluctuations à très hautes et très basses fréquences. Le montage le plus couramment utilisé (notamment celui que vous utiliserez lors de ce TP) est celui à température constante. Cette installation convient parfaitement aux mesures à haute fréquence et permet de linéariser la relation entre la tension de sortie Ev et la vitesse V. Les vélocimètres à fil ou à film chaud, qui ont un temps de réponse très court et qui, grâce à leur petite taille, perturbent peu l'écoulement, conviennent particulièrement à la mesure des fluctuations de vitesse. Les capteurs sont réalisés à partir d'un matériau homogène et électriquement conducteur. En général, on utilise des métaux ayant un coefficient élevé de variation de la résistance en fonction de la température, tels que le tungstène ou le platine. Les sondes à fil chaud sont faites d'un fil de platine ou de tungstène très fin (0,6 < φ < 10µm). Elles sont couramment utilisées pour les mesures dans les écoulements de gaz, mais ne conviennent guère pour les mesures dans les liquides à cause de leur extrême fragilité. De plus, des impuretés fibreuses se trouvant dans les liquides peuvent s'attacher au fil et fausser les mesures. Il convient d'utiliser plutôt les sondes à film chaud qui diminuent les risques de contamination de la sonde par diverses impuretés. Ces sondes sont formées d'un mince film de platine déposé sur un support isolant, en céramique par exemple, et gainées de quartz.
Film de platine
recourvert de
quartz
Fil de platine
0,6 < φ < 10 µm
support
bague d'époxy
Figure 7 : Sonde à fil ou à film chaud
Les sondes à fil ou à film chaud ordinaires ne permettent pas de mesurer la vitesse vectorielle. Il existe pour cela des sondes spéciales munies de plusieurs fils. Grâce à un arrangement géométrique particulier de leurs fils, ces sondes permettent de mesurer les composantes de la vitesse (u, v, w) ainsi que leurs fluctuations, et d'en déduire la vitesse vectorielle V
r.
169
12. Viscosité dans les fluides Christophe BERNARD
12.1 Introduction L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons (fluide de faible viscosité) ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière (fluide de grande viscosité). La viscosité est une grandeur qui exprime la capacité d’un corps à s’opposer au cisaillement. Mais on parle surtout de la viscosité en parlant d’un fluide. Dans ce cas on dira que la viscosité exprime la résistance d’un liquide à l’écoulement uniforme et sans turbulence lorsqu’il est soumis à une force (ceci correspond en fait à un cisaillement d’une particule de fluide du fait de la différence de vitesse de déplacement entre deux couches). Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres. La connaissance de la viscosité est capitale. Que ce soit pour construire l’aile d’un avion (air), les tubes d’écoulement d’une centrale Hydraulique (eau) ou encore d’un moteur d’automobile (huile), l’ingénieur a besoin de connaître le comportement du fluide en question. Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement.
170
12.2 Notion de fluide Un fluide est une substance déformable sans forme propre, qui change de forme sous l'action d'une force externe qui lui est appliquée. Sa forme est conservée seulement si un corps solide limite le domaine. Les liquides sont généralement considérés comme non compressibles (c'est le cas de l'eau) ; ils conservent le même volume quelque soit leur forme : ils présentent une surface propre. Les gaz tendent à occuper tout l'espace disponible : ils n'ont pas de surface propre ; ils sont compressibles. • Ecoulement laminaire Tous les vecteurs vitesse sont parallèles à un instant t. Si tous les vecteurs vitesse sont à la fois parallèles et égaux, l'écoulement laminaire est uniforme. • Ecoulement turbulent Les vecteurs des vitesses instantanées sont inégaux (différents en direction, sens, intensité). Des tourbillons se forment. La viscosité du fluide augmente : à la viscosité moléculaire µ s'ajoute une viscosité de turbulence n. • Fluide newtonien Si un fluide, à température constante, a une viscosité qui reste constante quelque soit la valeur de la contrainte appliquée, on dit que ce fluide est newtonien (exemple l’eau : quand on tourne une cuillère dans un bol, la résistance à l'avancement ne change pas si on change la vitesse de rotation). • Fluide non newtonien La viscosité varie selon la contrainte appliquée. Par exemple, on remue du yogourt dans un pot : il devient moins visqueux si on le bat rapidement (il se fluidifie). Une boue saturée d'eau diminue de viscosité si elle reçoit une secousse : c'est le cas des glissements de terrain déclenchés par les séismes. Les forces de liaison entre les particules sont modifiées ; ce phénomène de thixiotropie explique le phénomène des sables mouvants. Les fluides non newtoniens ont généralement une forte masse moléculaire, les molécules sont liées les unes aux autres. Si ces liaisons sont brisées, la viscosité diminue et la déformation, ou le mouvement, est facilitée. Si un fluide coule, ou se déforme, à partir d'un certain seuil de contrainte et garde ensuite sa viscosité, on parle de comportement plastique.
12.3 Viscosité dynamique & Viscosité cinématique
12.3.1 Profil de vitesse Pour formuler mathématiquement l'écoulement d'un fluide, on utilise la notion de fluide parfait, c'est à dire qui ne présente pas de résistance à l'écoulement (sa viscosité est nulle). Un fluide réel présente le phénomène de frottement sur les parois (effet de paroi) qui diminue la pression selon le sens de l'écoulement. Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction entre les molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse.
171
Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse.
Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe :
v = v(z).
12.3.2 Viscosité dynamique Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de ∆z (dv). La force de frottement F (également appelée force de viscosité) qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit ∆v (dv), à leur surface S et inversement proportionnelle à ∆z (dz) :
F = η S dv/dz η, le coefficient de proportionnalité, est appelé coefficient de viscosité. Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl) : (Cf Annexe 1)
1 Pa.s = 1 Pl 1 Pa.s = 1N.s.m-2
Autres unités (non légales) : On trouve encore des tables de valeurs numériques avec un coefficient de viscosité dans un ancien système d'unités (CGS) : l'unité est le Poise (Po : g/cm.s) ; 1 Pl = 10 Po = 1 daPo = 103 cPo. La viscosité de produits industriels (huiles en particulier) est exprimée au moyen d'unités empiriques : degré ENGLER en Europe, degré Redwood en Angleterre, degré Saybolt aux USA.
12.3.3 Viscosité cinématique Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique η et de la masse volumique ρ. Ce rapport est appelé viscosité cinématique ν :
ν=η/ρ Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m²/s). Dans le système CGS (non légal), l'unité est le Stokes (St) : 1 m²/s = 104 St
vmax
vv+∆vz
z+∆z
v=0
172
12.3.4 Valeurs de la viscosité Sans qu’il y ait de relation rigoureuse entre η et la température nous avons η=f(t°). La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente. Et contrairement à celle des liquides, la viscosité des gaz augmente avec la température. Ordre de grandeur ; influence de la température
Fluide η (Pa·s) eau (0 °C) 1,787·10–3 eau (20 °C) 1,002·10–3 eau (100 °C) 0,2818·10–3
huile d'olive (20 °C) ≈ 100·10–3 glycérol (20 °C) ≈ 1000·10–3
H2 (20 °C) 0,86·10–5 O2(20 °C) 1,95·10–5
12.4 Mesures de viscosité
12.4.1 Viscosimètre d'Ostwald
On mesure la durée d'écoulement t d'un volume de liquide à travers un tube capillaire. Le tout est plongé dans un bain thermostatique. On montre que la viscosité cinématique ν est proportionnelle à la durée t. Si on connaît la constante de l'appareil (K) fournie par le constructeur : ν = K·t Si on ne connaît pas cette constante, on la détermine préalablement à l'aide de l'eau dont on connaît le coefficient de viscosité dynamique Pl10002.1 3−=η à 20°C. .
173
12.4.2 Viscosimètre à chute de bille
Ce viscosimètre est utilisé pour la détermination de la viscosité des liquides «newtoniens » transparents et des gaz. Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien calibré renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine distance. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à la durée t : η = K·t Le viscosimètre à chute de bille est utilisé principalement pour la mesure de substances de faible viscosité, par exemple : - solvants, encres pour l’industrie chimique. - glycérines, matières premières pour l’industrie pharmaceutique. - gélatines, moût de bière pour l’industrie alimentaire. - huiles, hydrocarbures liquides pour l’industrie pétrolière.
12.4.3 Viscosimètres rotatifs Contrairement aux deux méthodes précédentes, le calcul de la viscosité n’est plus basé sur un déplacement linéaire mais angulaire.
Viscosimètre rotatif ou viscosimètre de Couette
Un cylindre plein (A) tourne à vitesse constante dans un liquide contenu dans un récipient cylindrique (B) ; celui-ci, mobile autour de son axe de révolution, est entraîné par le liquide. Un ressort, exerçant un couple de torsion après avoir tourné d'un angle α, retient (B) en équilibre. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à l'angle α : η = K·α
α
A
B
174
Viscosimètre rotatif ou viscosimètre à mobile tournant
Ce type de viscosimètre est basé sur la résistance à la torsion qu’offre un liquide à la rotation d’une tige, d’un cylindre ou d’un disque de caractéristiques connues, submergée dans ce liquide. L’élément giratoire est accouplé à un ressort moteur qui tourne à une vitesse déterminée. L’angle de déviation qui est mesuré électroniquement, donne la mesure de la force de torsion. Les calculs effectués par l’appareil à partir de la force de torsion, de la vitesse de l’axe et de ses caractéristiques donnent une lecture directe de la viscosité. Ce procédé est utilisé pour déterminer la viscosité de liquides newtoniens et non Newtonien.
12.5 But et déroulement du TP Le but de ce TP consiste à déterminer la viscosité de différents fluides sur une plage de température déterminée afin d’avoir une approche pratique de l’évolution de la viscosité selon la température. Ces déterminations se feront à l’aide d’un viscosimètre à chute de bille HAAKE couplé à un cryothermostat (-30-100 °C) (cf. manuel d’utilisation). Déroulement 1 – Notion de viscosité (lecture du support). 2 – Approche sur les différents appareillages de mesure. 3 – Réalisations d’essai(s) : Viscosimètre à chute de bille (cf. notice jointe).
• Mise en place de l’échantillon à étudier conformément à la procédure décrite dans la notice. • Choix de la bille et de la plage de température de l’étude à l’aide de la méthode de Orrick et
Erbar. • Mise en place de l’essai. • Détermination de la masse volumique du liquide étudié. • Réalisation des essais conformément à la procédure décrite dans la notice. • Analyse des résultats : extrapolation de la courbe expérimentale selon la relation d’Andrade et
comparaison avec la courbe théorique. 4 – Synthèse et rendu.
175
Annexe 1
Jean Louis POISEUILLE était un physicien et un médecin français. Il est né à PARIS en 1779 et décédé en 1869. L’examen du pouls a été longtemps un des grands moyens de diagnostic. L’hénanomètre, manomètre à mercure, fut inventé par ce médecin et physicien français, pour mesurer la tension (nommée pression par les physiologistes) artérielle, en 1819. Ses différents mémoires portaient sur le cœur et la circulation sanguine dans le cœur et les artères. Son travail était de faire des séries d’expériences très précises dont le sujet, qui lui a été suggéré par l’étude de la circulation sanguine, permis d’établir en 1884 les lois de l’écoulement laminaire des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques. Il établit la loi qui porte son nom et qui conduit à la notion du frottement intérieur c’est à dire la détermination du coefficient de viscosité. Il introduit l’instrumentation physique participant ainsi à la création de la physiologie physique. Ses expériences lui permettent d’établir la loi régissant l’écoulement laminaire des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques qui s’appelle la loi de POISEUILLE.
! "# $ % & " % ' (") " *
+ ' # , % % ' +# % , # - , '. % & "# & ) % % ' (/ & %
% & , " '
( 0 " $)/ % " $ % % ' (
, Æ.
1 - % $ 0
2 & % % % # 3 & '
4 " 00 5 " %' 2 % ' ( " " 67' ( $ % " %
( & "8 "#8 ) 9 7 ' (" % '
( - &
)7:69#;)6 69 )6 )607
( - &
90:#;076 )6 006 96
<
& )6 * )696 66 & 69 )6 , & 6 *9 , 7 & )6 96 % &''' 6 96& )69 66& 66 )*& )66 ). )67 996= )9 *7! )0 66 )* 766 ) 96 )6*> 6 )6 *6 )6 006
. & - % & & # #
2
?
' + . ' ( & & / 9'
0
10
20
30
40
50
60
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80
visc
osite
(m
Pa.s
)
T ( C)
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0.003 0.0031 0.0032 0.0033 0.0034 0.0035 0.0036 0.0037 0.0038
ln(v
isco
site
) (m
Pa.s
)
1/T (K-1)
9 @ & &
!
!
" !
" ! # $
" % $
" & ! ' (
!
" # $% !
) ! * +
&
( # ! ! +
( !
! '
, -
, .
(
-!
- !
/ 0
/ /
) *++,'
1$"$ 2#3 ,, ( 4,5 $ ,(1 6+ ,, ( 4,5 $ ,(1)
7! #8988
&/ ' : ; 1
<
= ! < 6 > ? !
3 < !! / /
!
/ / ?@=A
! ' !/ ! 7 1
! !
B # /
* #/ -
/ -./
$ 0 & -
; <
# 1 $ 2 3
.
)( $ 4
0 $ 4
. 4
$ 0 .
5 4
.0
6 7
$0
8 ( $ 1 94
0
$ 1 4
0 8 $ *++,' : $
$ 0
$ 7 0
; : . 7
$ $ < . 2=0 > 79 7
$ ?0
. 7 4
*++,'0 @ . : .
0 ) 1
2
B <
C 7 :
C & * C & !
C = - /
"
*
* 4 -! ; * ! 5
& * !- <
B!
,,1$), !- ; *
),,1,) D 41"5 * ,
),,1,, # +
),,1,, #
),,1,(
),,1,
),,1,
),,1,, / !
),,1,,$ D ),,1,," D !- ,,1, 4 * # ,5
,,1$)
! + ; !1
!
#
% ! E+ !
$ "! !!
!
& !- F27 ! / G1 & ! ! !
& ! #
/ ! -! !1
! # & * !!
!/ < !
45H!/ < 4 5
!- * + - / !
%A@ ,) ! %B ,
!
& ! 45 /
45 ! + !/ 4 >5 4 * 6 5 *!
/ ,, !! / ! !4 !/ ! ! !1
C
>5 & ! + /
! 45 ; ! / ! I
& ! / + Æ
& ! + ! - / E : *
& ! *! #/ I +
# 45 4 * 6 5 & + # !
# + !; # # !
! / !
/ ! !E & !- ! !
!; # *! E! & ;
! ! 4"5 !
4$5 & #!!- * ! # ! I
!
%
" !
00 #A
& !- ; ! * #
! Æ Æ /
!! F27 JK J6K
& # ! ! !
! # !! !
& ! #! 45 ! ;! Æ ! , ),
& #! ! 45
00 #7 7
3 !- /
4 !: # 5 ; - #
= ! ! 45 D/ ,
!! 4 * 6 5 & 45 # + 45 E ! +! & /
D 1 45 & #
/ ! E 0 : * ! *
# E ! #! #
*! ! @ !-!
!- *
00 #7;
& " / !- +!*
B! > -
45
!-
45
2 4+5
!
1
!1
!
45
),,1,,, : :),:, ,:,,$ ,:"1,
),,1,,, : :",:, ,:,( $1,
),,1,,, *1 8 ): :",:, ,:,( ,1$,,
),,1,,, *1 8 ): :,: ,:$ ,,1),,
),,1,,," L1B , $:$1): :,,: : ),,1
,,,,
),,1,,,$ " L1B , $:$1): :, ",,,1
$,,,
& <
B! > -
45
!-
45
2 4+5
!
1
!1
!
45
),,1,,,( M : :(,:, 1 '
& + E ! %B, %A@ ,)
*: ; ! E
!! +! /
* ! ! !1
! : + 0 !;!
! !:
!- & * ! !-
N ! - E ! !
" ! #
& + Æ E
7 :
!
& ! ! !/ !/ > !
# !- @ !! ! ! / +!
* !/ / .
!! 4 +5 @ ;
! ! / +! *
!/ > /: : . !! A > > ! !
/ - /+: ! ! /
; !
7 Æ: %
* ! * 4 *5 E
! ! ! !
& ! # !
4D/ O 5 A # ! !
!: !
#
&/ / !: ! !1
+! * B !!
/ + !/
> !! - ! ! ! !
" $
& !/ 4 5 <
P <
> ? !+! 4O5 ! %B , ! %A@ ,)
:,
:: ,:
,:$ :
" :
C
Q 4 1! E ! 5
Q 4 ! 1
E ! 5
Q / !
Q ! #
& !/ 4 5 ; ! #
@ !/ !/
<
P
Q !/ 4 5 Q !/ Q /
: - ;
<
00
- J : ! K A
! + /: !
* + /
B < A !- 0
!;! / G : / 1
A / 1 G : 0
! 01
+ / 1 G 1
! /! ! !!
/ + &
/*
/ R
@ !-! / 1 G
!- F27 ?%A@37A37H H@3@?%A@
00 ';
A , O
:
:)
,:,( 45! # "
3! ! Æ
&
Æ
: / & 1
; * * /
: : *
" % ! &
& ! ' M
! ; *! # 1
# D
!: ' ;
@ * N+ '
* 7 : ! # ' *! D
!
& ' !
Æ 4 5 <
P <
Q ' ! 3
Q ! # ' ! 3
Q ! # ! Æ
& '(
& !
& / # 4 # : 5
;
!
- : /
! E! / / S
% - ! /
-! M
) * +
& / !- E - /1
F27 + & ! ! +
! %B , %A@ ,) /
; ! E
& ! ; * ! N 1
! !! 1
- 7 ! !
!- / %A@ (,,,
& ; / & 1
+ N / ! 1! !
& F27 ; ! 1
! <
B! 3 45
,
,)1, 7$
,)1, 7,, , :
,)1, 7,,, (,,
,)1," 7",,, ",,, :"
,)1" 7,,, ,,, "
!-: !! N
7 <
B! 3 45
,
,)1, ,, >L ,, :
,)1, ,,, L ,,,
,)1, ,,,, > ,,,, :"
& N ; 8 - ! ; ! - + & !1
! #/ /
! J71A673T 3 AF773K % !
! !
% * !! ! /
! N
$ / . B $4
%
% * ! #!!- U ! / !
!
"0!0 '; C
Q
Q :" /
Q :$
Q ,:) /
Q $:$ ! ! #
: <
@ !;! !
' ! ( )
*
& * ; !
0 / & J K +! * !
/ : ! : U ! *
! #
,
+ # ! !
*
+
)
,
H $ (
# +
" # !
( D $
+ !
$ ? + : D )
$ ( !
,
%
) ! D $
$ (
( + :
!+!! !!
, , !1
- /
8 !/"4/! 0 D $
$( ;
1 ; 0
A !+!! ?E /
+
+
)
,,1,
- . !
, -
, .
& 6 / ! / .
!-
# +
+ #! !
$ * " # *!
) D $ D #
( )
# ,
C
C
# + 4 5
!
D 0 : M
0 !-
C