cours ir cseguinot 1

1Ingénierie des systèmes de radiocommunications

-2

Notes de cours deSYSTEMES MICRO-ONDES

Christophe SEGUINOT [email protected]

octobre 2010

Filtre1 Filtre2LNA mélangeur

réception GSM

réception DCS

émissionGSM

émissionDCS

commutateur émission / réception

duplexeurGSM900 / DCS1800

GSM

DCS

commutateurE / R

amplificateurs de puissance émission GSM et DCS


Table of ContentsI - Propagation et lignes de transmission............................................................................................11

I.1 - L'électronique hautes fréquences, la propagation..................................................................11I.2 - Le câble coaxial......................................................................................................................12I.3 - Analogies entre propagation guidée et optique guidée..........................................................12I.4 - La propagation sur un guide infiniment long.........................................................................13I.5 - Notation complexe des tensions.............................................................................................14I.6 - Les ondes stationnaires..........................................................................................................15I.7 - Propagation, ondes stationnaires, longueur d'onde................................................................16I.8 - Exercices: longueur d'onde, vitesse et temps de propagation ..............................................17

I.8.1 - Longueur d'onde dans le vide ........................................................................................17I.8.2 - Longueur d'onde guidée.................................................................................................17I.8.3 - Temps de propagation en GSM......................................................................................17

I.9 - Utilisation du spectre radioélectrique.....................................................................................17I.10 - L'échelle des décibels (dB)..................................................................................................18I.11 - dB en tension = dB en puissance ?.......................................................................................19I.12 - L'échelle des dBm................................................................................................................20I.13 - Exercices sur les échelles des dB et dBm............................................................................21

I.13.1 - Conversion rapport à dB...............................................................................................21I.13.2 - Conversion dB en linéaire............................................................................................21I.13.3 - Conversion puissance en dBm.....................................................................................21

I.14 - Onde incidente, onde réfléchie.............................................................................................21I.15 - Superposition des ondes incidente et réfléchie....................................................................22I.16 - Charges micro-ondes............................................................................................................23I.17 - guide de référence et impédance caractéristique de référence (Z0).....................................24I.18 - Coefficient de réflexion ramené...........................................................................................24I.19 - Coefficient de réflexion en puissance..................................................................................25I.20 - Charge adaptée.....................................................................................................................26I.21 - Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)......................................................................................26I.22 - Exercices sur les coefficients de réflexion, TOS et l'adaptation .........................................28

I.22.1 - Calculs de TOS et coefficients de réflexion.................................................................28I.22.2 - Une antenne mal adaptée..............................................................................................28

I.23 - Les guides TEM ..................................................................................................................28I.24 - Les guides quasi TEM.........................................................................................................29I.25 - Guides métalliques fermés..................................................................................................30

II - Propagation et lignes de transmission : corrigés des exercices....................................................35II.1 - Solution de l’exercice : Longueur d'onde guidée.................................................................35II.2 - Solution de l’exercice :Temps de propagation en GSM.......................................................35II.3 - Solution de l’exercice sur les échelles des dB et dBm.........................................................35II.4 - Solution de l’exercice sur les coefficients de réflexion, TOS et l'adaptation.......................36

II.4.1 - Calculs de TOS et coefficients de réflexion..................................................................36II.4.2 - TOS...............................................................................................................................36II.4.3 - Une antenne mal adaptée..............................................................................................36

III - Paramètres scattering des multipôles micro-ondes ....................................................................39III.1 - Définition des ondes et amplitudes d’ondes sur guides TEM.............................................39III.2 - Amplitudes d’ondes pour les guides non TEM ..................................................................40III.3 - Amplitudes d’ondes ,courants et tensions (TEM)...............................................................40III.4 - Ondes et coefficients de réflexion.......................................................................................41III.5 - Calcul de Γ à partir des courants et tensions (TEM)..........................................................41III.6 - Coefficient de réflexion ramené par une charge..................................................................42III.7 - Exercice: l ’antenne débranchée..........................................................................................42

-4

III.8 - Représentation des générateurs...........................................................................................43III.9 - Interconnexion charge / générateur.....................................................................................43III.10 - Interconnexion générateur / ligne / charge........................................................................44III.11 - l’adaptation en puissance...................................................................................................45III.12 - Paramètres S des quadripôles............................................................................................45III.13 - interprétation physique des paramètres S..........................................................................46III.14 - Paramètres S et transferts en puissance.............................................................................47III.15 - Paramètres S exprimés en dB............................................................................................48III.16 - Exercices............................................................................................................................49

III.16.1 - Déterminer la matrice S d’un quadripôle idéal .........................................................49III.16.2 - Puissance réfléchie par un circuit .............................................................................49

III.17 - Définitions des gains et pertes d’insertion d’un quadripôle..............................................49III.18 - Exemples d’associations générateur / quadripôle / charge................................................50III.19 - La chaîne de quadripôles adaptés......................................................................................52III.20 - Exemples de calcul avec des paramètres S complexes.....................................................52III.21 - Suivi de la répartition des puissances dans un circuit.......................................................53III.22 - Exemples de quadripôles: l’atténuateur et l’isolateur.......................................................55III.23 - Exercice : utilisation de l'atténuateur.................................................................................55III.24 - Exercice : utilisation de l'isolateur ....................................................................................56III.25 - paramètres S des multipôles. ............................................................................................57III.26 - Propriétés des multipôles et des matrices S.......................................................................57

III.26.1 - Adaptation .................................................................................................................57III.26.2 - Réciprocité.................................................................................................................58III.26.3 - Symétrie.....................................................................................................................58III.26.4 - pertes .........................................................................................................................59

IV - Paramètres S des multipôles : solutions des exercices................................................................63IV.1 - Corrigé de l'exercice : l ’antenne débranchée .....................................................................63IV.2 - Corrigé de l'exercice :Quadripôles micro-ondes sans pertes...............................................63IV.3 - Corrigé de l'exercice :matrice S d’un quadripôle idéal.......................................................63IV.4 - Corrigé de l'exercice : puissance réfléchie par un circuit....................................................64IV.5 - Corrigé de l'exercice :utilisation de l’atténuateur................................................................64IV.6 - Corrigé de l'exercice :utilisation de l’isolateur....................................................................64

V - Les blocs constituants la chaîne de transmission.........................................................................67V.1 - Généralités............................................................................................................................67V.2 - Câbles et lignes de transmission...........................................................................................67V.3 - Atténuateurs..........................................................................................................................68V.4 - Amplificateurs......................................................................................................................69V.5 - Isolateurs...............................................................................................................................70V.6 - Exercice :Calcul de puissance sur une chaîne de transmission............................................71V.7 - Coupleurs de mesures...........................................................................................................72V.8 - Exercice : caractérisation de la chaîne de transmission à l’aide de coupleurs ....................75V.9 - exercice : Comment charger la voie couplée d’un coupleur ?..............................................75V.10 - Exercice : caractérisation d’un site radio à l’aide d’un réflectomètre................................76V.11 - Coupleurs d’antennes, multicoupleurs, diviseurs et combineurs.......................................78V.12 - exercice : utilisation des diviseurs et de combineurs dans une BTS..................................80V.13 - Filtres micro-ondes.............................................................................................................81V.14 - Diplexeurs et multiplexeurs................................................................................................83V.15 - Exercice : configuration d’un site GSM avec TMA et diplexeurs.....................................86V.16 - Modèle élémentaire du lien radio.......................................................................................88V.17 - Le lien radio en ligne de vue (LOS)...................................................................................89V.18 - Quelques modèles de lien radio GSM et Wifi....................................................................90V.19 - exercice : estimation de la portée de liens FH....................................................................91


VI - Les blocs constituants la chaîne de transmission : corrigé des exercices...................................97VI.1 - Corrigé de l’exercice sur le calcul de puissance sur une chaîne de transmission ..............97VI.2 - Corrigé de l’exercice III-8 : Caractérisation de la chaîne de transmission à l’aide de coupleurs........................................................................................................................................97VI.3 - Corrigé de l’exercice III-9 : Comment charger la voie couplée d’un coupleur ?................98VI.4 - Corrigé de l’exercice : caractérisation d’un site radio ........................................................98VI.5 - Corrigé de l’exercice : utilisation des diviseurs et de combineurs .....................................99VI.6 - Corrigé de l’exercice III-15 : configuration d’un site GSM avec TMA ..........................100VI.7 - Corrigé de l’exercice estimation de la portée de liens FH................................................100

VII - Le bruit dans les systèmes micro-ondes..................................................................................105VII.1 - Les origines du bruit........................................................................................................105VII.2 - Le modèle du bruit blanc, DSP et puissance du bruit......................................................105VII.3 - Modèle de la résistance bruyante (bruit thermique)........................................................106VII.4 - Modèle représentatif des sources de bruit........................................................................107VII.5 - Combinaisons des sources de bruit..................................................................................107VII.6 - Modèles du quadripôle adapté bruyant............................................................................108VII.7 - Facteur de bruit d’un circuit actif.....................................................................................109VII.8 - Facteur de bruit des circuits passifs.................................................................................110VII.9 - Bruit capté par les antennes.............................................................................................111VII.10 - Association de quadripôles bruyants.............................................................................111VII.11 - Exercice : démonstration de la formule de FRIIS..........................................................112VII.12 - Sensibilité des récepteurs...............................................................................................113VII.13 - Exercice : détermination de la sensibilité des récepteurs...............................................114VII.14 - Bruit des source et émetteurs.........................................................................................114VII.15 - Bruit pour une liaison en plusieurs bonds......................................................................115VII.16 - Valeurs typiques de facteurs de bruit des systèmes micro-ondes..................................115VII.17 - Bruit des appareils de mesures.......................................................................................116VII.18 - Exercice : Comment améliorer la sensibilité d’un récepteur ?......................................116

VIII - Corrigé des exercices sur le bruit dans les systèmes micro-ondes ........................................121VIII.1 - Corrigé de l'exercice :démonstration de la formule de FRIIS........................................121VIII.2 - Corrigé de l'exercice :détermination de la sensibilité des récepteurs.............................122VIII.3 - Corrigé de l'exercice :comment améliorer la sensibilité d’un récepteur ?......................123

IX - Non linéarités et intermodulation..............................................................................................127IX.1 - généralités, modélisation des non-linéarités......................................................................127IX.2 - La compression de gain.....................................................................................................127IX.3 - La conversion de phase ....................................................................................................130IX.4 - L’intermodulation..............................................................................................................131IX.5 - Intermodulation de quadripôles en cascade......................................................................137IX.6 - IMP3 des circuits linéaires et des câbles...........................................................................137IX.7 - Valeurs typiques de l’IMP3...............................................................................................138IX.8 - Intermodulation d’un signal modulé ................................................................................138IX.9 - L’intermodulation d’ordre 2 .............................................................................................139IX.10 - V-10 L’intermodulation d’ordre 5 ..................................................................................139IX.11 - Exercice: Association de quadripôles et intermodulation...............................................140IX.12 - Exercice: détermination expérimentale de l’IMP3, spectre des signaux altérés par l’intermodulation.........................................................................................................................141

X - Non linéarités et intermodulation : correction des exercices.....................................................145X.1 - Corrigé de l’exercice: Association de quadripôles et intermodulation...............................145X.2 - Corrigé de l’exercice: détermination expérimentale de l’IMP3, spectre des signaux altérés par l’intermodulation...................................................................................................................147


Remerciements

Ce cours est l'aboutissement d'une quinzaine d'années d'enseignements dans le domaine des micro-ondes puis de l'ingénierie des systèmes de radio-communications. Il n'aurait pas pu exister sans le partage d'expérience avec mes collègues de l'Université de Lille1 et avec mes étudiants.

Je remercie en premier lieu, le professeur Yves Leroy, qui m'a donné les premiers rudiments d'électromagnétisme lorque j'étudiais à l'IUT de Lille1. Il à fait naitre chez moi une véritable passion pour les micro-ondes et la radio.

Le professeur Yves Crosnier aujourd'hui retraité donnait les enseignements de micro-ondes en maitrise et en DESS micro-ondes. Il a partagé sans réserve son expérience et ses polycopiés de cours ce qui fut une aide fort profitable.

Jean-François Legier a été mon collègue de bureau à l'Université et à l'IEMN. Il a partagé son expérience des travaux pratiques de micro-ondes, travaux pratiques dont il a été le fer de lance en maitrise EEA et en DESS. Nos échanges allaient bien au delà du contenu de ce cours et je me souviendrais des confrontations de nos points de vue sur les procédures de calibration TRL, et TRL multimodes, sur les définitions des paramètres S multimodes.

Ce polycopié est aussi le reflet des échanges que j'ai pu avoir avec mes étudiants, ceux du DESS Communications Mobiles premier DESS de France dans ce domaine, et ceux de l'option Mobiles de l'ENIC devenue TELECOM-Lille1. J'ai beaucoup appris en suivant leur stage et leurs soutenances de stage.

Parmi ces 'étudiants', je remercie particulièrement ceux de formation continue à TELECOM-Lille1, de la formation « Cap Avenir », et du BADGE ingénierie radio. C'est grâce à eux que mon cours a évolué régulièrement. Lors de ces cours, j'ai eu un sentiment réel de partage réciproque. J'ai beaucoup appris à leur contact et j'espère qu'ils ont également profité de mon enseignement.

Christophe SEGUINOT

Avertissement : ce document dans sa première version contient forcément des erreurs, des fautes et de mauvaises mise en forme. Une version mise à jour et actualisée sera prochainement disponible enligne.


I Propagation et lignes de transmission.

I.1 L'électronique hautes fréquences, la propagation

La transmission de l’énergie sur une ligne de transmission correspond à la propagation d’ondes électriques dont la dépendance est temporelle et spatiale. La dépendance spatiale implique à un instant donné la variation de l’amplitude de l’onde, du courant et des tensions en fonction de la position.

Pour les fréquences basses, les dimensions des circuits électroniques sont par définition très petites par rapport à la longueur d’onde λ (λ: prononcer lambda). On n’observe pas dans ce cas d' effets de propagation. Les courants et tensions ne dépendent donc pas de la position (sur un fil par exemple)

On atteint le domaine des micro-ondes dès que les dimensions des circuits deviennent comparables à la longueur d’onde, typiquement au-delà de 1 GHz1 (Gigahertz), fréquence pour laquelle la longueur d’onde est de 30 cm dans le vide.

En micro-ondes, on transmet les signaux soit par onde radio: c’est la radio-propagation, soit sur des lignes de transmission : c’est la propagation guidée. En radio-propagation, l’énergie électromagnétique se propage dans l’air ; elle est transmise et reçue par l’intermédiaire d’antennes.

En propagation guidée, on utilise des “supports de transmission” ou guides tels que les câbles coaxiaux. L’énergie est propagée sur ces lignes de transmission, elle peut être réfléchie par les charges placées aux extrémités. Il devient nécessaire d’adapter les circuits entre eux pour éviter les

1 Dans certains cas, on considérera que les micro-ondes débutent beaucoup plus haut en fréquence. Par exemple, un circuit intégré fonctionnant à 20 GHz, de dimension maximale 3 mm est très petit devant le longueur d'onde et ne subit pas d'effets de propagation. Il n'en sera pas de même pour les câbles interconnectés à ce circuit.

Figure I.1: Circuit basse fréquence: le courant et la tension sont indépendant de la position.

Figure I.2: transmission sur un guide coaxial.

Fil électriqueII

VV

λTension : v(z)

z

I-Propagation et lignes de transmission.12

réflexions de la puissance et par la même pour transmettre la puissance maximale aux charges (antennes par exemple). Sur une ligne, les courants et tensions dépendent de la position (dépendance spatiale). De ce fait, la notion de masse (terre) n’a plus de sens puisque les extrémités d’un câble ne sont pas au même potentiel. Sue un câble coaxial par exemple, seule la différence de potentiel entre le conducteur central et le conducteur extérieur a un sens.

I.2 Le câble coaxial

Le support de propagation le plus utilisé dans les gammes des fréquences GSM est le câble coaxial. Il est composé de deux conducteurs métalliques circulaires centrés et coaxiaux, séparés par un isolant ou diélectrique (mousse de PVC, Téflon, air…). Sur la photo qui suit, on distingue successivement: l’enrobage extérieur (noir), le conducteur extérieur (cuivre, cannelé), le diélectrique (blanc), le conducteur central (conducteur plein ici).

I.3 Analogies entre propagation guidée et optique guidée

La transmission des ondes sur un guide de transmission est en de nombreux points analogues 1 à la propagation des ondes lumineuses sur une fibre optique.

La source de lumière ou LASER doit être “adaptée” à la fibre afin de transmettre toute son énergie de façon optimale. On montrera qu’il en est de même pour le générateur micro-onde.

1 Il n'y a bien entendu pas une analogie complète entre optique guidée et propagation micro-ondes.

Figure I.3: Section transversale d’un guide coaxial.

εr

Conducteur extérieur, ou tresse métallique

diélectrique (Téflon,

air, PVC,..)

Conducteur central

Figure I.4: Quelques analogies entre la ligne de transmission micro-onde et la fibre optique.Lentille

Fibre optique (FO)Laser

Câble coaxial

propagation

Générateur

adaptationréflexion Trans-

mission

Rayonnement


La fibre optique guide (propage) la lumière. La présence de pertes affaiblit l’énergie: on qualifie ce phénomène d’atténuation comme sur un câble coaxial.

La transmission de la puissance optique ou micro-onde n’est pas instantanée ; elle se fait avec un temps de transmission directement lié à la vitesse de propagation de l’onde sur le support de propagation.

Toute discontinuité sur l’axe de propagation peut occasionner une réflexion. Cette réflexion entraîne une perte de puissance qu’il conviendra de réduire afin d’optimiser la puissance transmise. Cette opération correspond à l’adaptation en puissance des circuits interconnectés.

Enfin dans certains cas, l’énergie peut se propager à l’extérieur du guide: elle est alors rayonnée. Les antennes radio sont des éléments rayonnants. Dans les circuits micro-ondes et dans les guides, on cherche à confiner l’énergie électromagnétique et a éviter le rayonnement (sauf pour les antennes). Un circuit qui rayonne de l’énergie est susceptible d’être perturbé par les rayonnements extérieurs ; ce phénomène relève de la CEM ou compatibilité électromagnétique. C’est la raison pour laquelle les systèmes micro-ondes sont placés dans des boîtiers métalliques au travers desquels l’énergie n’est pas transmise (blindage électromagnétique).

I.4 La propagation sur un guide infiniment long

Sur une ligne de longueur infinie supposée idéalement sans pertes, l’énergie émise par le générateur se propage sans atténuation, avec une amplitude constante.

Propagation sur une ligne infinie.

En régime sinusoïdal, la tension dépend bien entendu du temps, mais aussi de la position.

V z , t =V inc e j t− z

La dépendance spatiale s’exprime à partir de la constante de propagation (β prononcer béta) elle-même inversement proportionnelle à la longueur d’onde guidée (λg: prononcer lambda g).

rad /cm=2g

Figure I.5: ondes incidente (a) et réfléchie (b) sur un guide.

Tension (onde incidente)

Tension V(z,t) Position (z)

Amplitude (enveloppe) constante

Source de tension

~ Onde transmise = onde incidente retardée


De plus, sur la ligne de longueur infinie, on remarque que le rapport de la tension et du courant ne dépend ni du temps ni de la position. Ce rapport constant, caractéristique du guide, est qualifiée d’impédance caractéristique du guide. Nous la noterons Zc.

V z , t I z , t

=V z I z

=V tI t

=VI=Zc

Nous verrons par la suite que cette impédance n’est pas une notion générale applicable à tous les guides de propagation ; sa définition est restreinte aux guides TEM.

Les grandeurs comme les tensions et les courants sont représentées en notation complexe. Nous rappelons rapidement cette notation afin de faciliter la compréhension du cours.

I.5 Notation complexe des tensions

Par la suite, on s’intéressera essentiellement aux puissances guidées. Cependant, l'analyse détaillée des circuits repose sur les informations de déphasage entre les grandeurs propagées. Aussi, nous rappelons rapidement la notation complexe des tensions et courants.

La grandeur complexe ejθ peut être séparée en parties réelle et imaginaire.

exp j=e j

=cos j sin j2=−1et ∈R

Le module de ejθ est égal à 1, sa phase correspond à θ (mesuré en radians: π radian=180 degrés). Parmi les propriétés les plus utiles, rappelons:

exp j 12 =e j1 e j2

ℜ e j =Reél e j =cos

Par convention, la notation complexe générale d’une tension (ou d'un courant) se définie de telle sorte que la partie réelle de la tension en notation complexe s’identifie à la tension réellement observable. Dans le cas de l ’onde incidente propagée suivant l ’axe (O,z), nous avons :

V z , t =V inc e j t− z =V inc e j t e− j z

Figure I.6: Représentation dans le plan complexe de ejθ et de V(z,t)=V0ej(wt-βz).

Cercle de rayon V

0

wt-βz Axe réel

Axe imaginaire

O

V(z,t)=V0ej(wt-βz)

Vr(z,t)

θ Axe réel

Axe imaginaire

O

ejθ

Cos(θ)

Cercle de rayon 1


Expression dans laquelle ejwt est la dépendance temporelle, et e-jβz la dépendance spatiale. La tension réelle correspondante, d' amplitude Vinc (Volt) et de phase (wt-β z) (radians) est :

V r z , t =ℜ V z ,t =V inc cos t− z

I.6 Les ondes stationnaires

Sur une ligne terminée par un court-circuit, l’énergie incidente et intégralement réfléchie. La superposition des deux ondes, l’onde incidente et l’onde réfléchie, crée un système dit d’ondes stationnaires.

La périodicité de la tension mais aussi du courant sur la ligne définit la longueur d’onde guidée (on ajoute le qualificatif guidé pour distinguer les longueurs d’ondes dans un guide et dans le vide qui n’ont pas les même valeurs). Ce phénomène d’ondes stationnaires sur un guide micro-onde est analogue à la vibration d’une corde.

On peut comparer l’amplitude de la tension sur la ligne à l’amplitude de la vibration d’une corde. On remarque la présence de “nœuds”, positions pour lesquelles l’amplitude de la vibration

Figure I.7: phénomène d'ondes stationnaires sur une ligne fermée par un court-circuit.

Tension totale Position

(z)

Court-circuit

Tension (onde) incidente Tension (onde) réfléchie

Amplitude maximale (enveloppe)

Une demi Longueur d ’onde (λg/2)

~

z=znoeud

z=zventre

tension

Figure I.8: phénomène d’ondes stationnaires sur une corde vibrante.

« Agitateur »

Le déplacement vertical de la cordes ’apparente à l’amplitude de la tension sur une ligne de transmission

Sur un nœud, l’amplitude de la vibration est nulle. Il y a cependant transfert de l ’énergie.


est nulle (sur un guide la tension est nulle). L’écartement entre deux nœuds est égal à une demi-longueur d’onde guidée. La longueur d’onde dépend du support de propagation (rigidité, tension dans le cas de la corde), de la fréquence des vibrations et de la vitesse de propagation.

L'examen approfondi du phénomène de propagation permet d'expliciter l'existence des ondes stationnaires.

I.7 Propagation, ondes stationnaires, longueur d'onde

Un examen détaillé du phénomène d’ondes stationnaires sur une ligne chargée par un court-circuit montre qu’en fait deux ondes d’amplitudes identiques se propagent en sens inverse. Sur les nœuds, ces tensions sont en oppositions de phase, elles s’annulent. Sur les ventres, elles sont en phase, leurs amplitudes s’ajoutent, la tension est alors maximale. La longueur d’onde correspond à la différence minimale entre deux positions pour lesquelles les tensions sont en phase à un instant donné (période spatiale).

La longueur d’onde dans le vide et dans l’air ne dépend que de la fréquence (F).

0=cF=

30 cmF GHz

Elle vaut 30 cm à 1 GHz et 3 cm à 10 GHz. Dans un guide coaxial et TEM, la longueur d’onde guidée est toujours inférieure à la longueur d’onde dans le vide à la même fréquence.

g=vF=

cF r

=0

r

Elle s’exprime en fonction de la permittivité diélectrique relative du milieu de propagation (εr), la vitesse de propagation (v) dans un diélectrique et la célérité de la lumière (c) dans le vide

Le domaine des micro-ondes concerne les fréquences de l’ordre du Gigahertz au Térahertz.

Figure I.9: Déphasage des tensions sur une ligne, phénomène d’ondes stationnaires.

Tension Position (z)

C.C.

Tension (onde) incidente Tension (onde) réfléchie

λg/2z=z

noeud z=zventre

V(z=0,t) V(z=znoeud)V(z=zventre)

t

~

tt


Cette délimitation peut varier en fonction de l’application. Un circuit intégré logique de quelques millimètres carrés fonctionnant à 3 GHz peut être considéré comme un circuit localisé basse fréquence; ceci en raison de ses dimensions bien inférieures à la longueur d’onde.

I.8 Exercices: longueur d'onde, vitesse et temps de propagation

I.8.1 Longueur d'onde dans le vide

Calculer les longueurs d’onde dans l’air (les mêmes que dans le vide) aux fréquences GSM de 900 MHz et 1,8 GHz (DCS1800). En déduire la taille des antennes dite “ quart d’onde ” à ces fréquences (brin filaire de longueur égale à λg/4).

I.8.2 Longueur d'onde guidée

Aux fréquences de 900 MHz et de 1,8 GHz, calculer les longueurs d’ondes guidées dans un câble lorsque le diélectrique est de l’air (conducteur central maintenu par des disques ou hélices isolants) puis lorsque le diélectrique est un isolant de permittivité relative εr=4.

I.8.3 Temps de propagation en GSM

On considère un système GSM à la fréquence de 900 MHz. Rappeler la vitesse de propagation des ondes dans l’air (identique à la vitesse dans le vide). En déduire le temps de propagation dans :

Un câble à air de 10 mètres Un câble de même longueur chargé par un diélectrique de permittivité relative εr=4. Une liaison GSM de 35 km (portée maximale théorique du GSM)

I.9 Utilisation du spectre radioélectrique

D'une façon générale, le spectre est une ressource rare, saturée et souvent partagée par plusieurs usages.

La plupart des applications de radiocommunications se situent à des fréquences comprises

Figure I.10: Exemple d'allocation du spectre [1660-300 MHz], USA, 2003.


entre 100 MHz et 12 GHz.

Les liaisons point à point par faisceaux hertziens se situent sur des fenêtres fréquentielles dans les bande des 4, 13, 18, 23 et 38 GHz (en France pour les liens des équipements du réseau GSM). Quelques transmissions radio courtes portées (radar anticollision, télépéage, WLAN=Wireless LAN) utilisent la bande des 60 GHz du fait de l’atténuation importante de l’air. On relève autour de 94 GHz des applications militaires et des radars millimétriques embarqués sur satellites.

I.10 L'échelle des décibels (dB)

Les grandeurs physiques que nous utiliserons sont prioritairement les puissances et les tensions ou courants. Lors d’une transmission radio, la puissance émise peut atteindre plusieurs Watts. Après atténuation par le lien radio son niveau se situe habituellement autour du nW voire du pW. La forte dynamique (rapport) entre ces puissances incite à l’utilisation de l’échelle logarithmique ou échelle des décibels (dB: prononcer D B). Son utilisation en micro-ondes s’avère quasi systématique. L’expression d’un rapport de deux puissances en dB s’exprime par

P1

P2dB=10 log10 P1

P2 1

Pour les grandeurs linéaires telles que les tensions et les courants, les rapports exprimés en dB correspondent à une seconde expression:

V 1

V 2dB=20log10V 1

V 2

Dans un système, la variation d’une tension ou d’un courant d’un facteur 2 correspond à une

1 En général, on ne distingue par une notation particulière les valeurs en linéaire des valeurs en dB. Dans une formule (par exemple X = 2P) , l'utilisateur devra savoir s'il doit utiliser la valeur en linéaire ou la valeur en dB des variables.

Figure I.11: Quelques utilisations du spectre radioélectrique (TV, FH, GSM)

VHF: Very High FrequencyUHF: Ultra High FrequencySHF Super High Frequency

F.H.: Faisceaux hertziensGPS Global Positionning System

λo (vide)

VHF SHFUHFMicro-ondes

100 MHz3 m

300 MHz1 m

1 GHz30 cm

3 GHz10 cm

10 GHz3 cm

30 GHz1 cm

100 GHz3 mm

Fréquence

Rad

iodi

ffus

i on

FM

Tet

ra, 3

RP

, 3R

D

Déb

ut B

and e

TV

Fin

Ban

de T

VG

SM

900

GS

M-1

800,

DE

CT

GP

S, U

MT

S, W

IFI

Fais

ceau

x H

ertz

iens

FH: 4

et 6

GH

z

FH: 1

3 18

23

GH

z

TV

sat

12

GH

z, ..

.

60 G

Hz,

Wl a

n,

Cou

rtes

por

t ées

94 G

Hz,

Ra d

ar

App

Mili

tair

es

FH

: 38

GH

z


variation d’un facteur 4 en puissance (puissance proportionnelle au carré de la tension ou du courant). La conversion en décibels correspond à 3 dB qu’elle soit calculée à partir du rapport des tensions, des courants ou encore des puissances. La définition de l’échelle des décibels possède donc une certaine “universalité”.

On retiendra que la multiplication d’une puissance par un facteur 2 correspond à une augmentation de 3 dB. De même la multiplication d’une puissance par un facteur 10 correspond à une augmentation de 10 dB.

10 log102a=310 log10a ⇔ 2 adB =3dBadB10 log1010a=1010 log10a ⇔ 10a dB=10dBa dB

Les valeurs négatives indiquent des rapports inférieurs à 1. Un facteur 1/2 en puissance correspond à -3 dB, et un facteur 1/10 à -10 dB.

I.11 dB en tension = dB en puissance ?

Le titre de ce paragraphe correspond à une question fréquemment posée ; en toute rigueur il n'a pas de sens.

En fait les décibels sont définis de façon à ce qu'un rapport mesuré sur un circuit ait la même valeur en dB qu'il soit calculé à partir des tensions des courant ou encore des puissances.

Pour illustrer cela considérons une simple résistance de valeur R=10 Ω à laquelle nous appliquons Successivement 2 états de tensions V1 et V2. Imposons V1 =10 V et calculons pour le courant et la puissance dans R:

V 1=10V

I 1=V 1

R=1 A

P1=V 1 I 1*=R∣I 1∣

2=∣V 1∣

2

R=10W

Opérons les mêmes calculs pour une tension divisée par 10 notée V2 =1 V :

V 2=V 1

10=1 V

I 2=V 2

R=0,1 A

P2=V 2 I 2*=R∣I 2∣

2=∣V 2∣

2

R=0,1W

Exprimons à présent les rapport issus de la comparaison des 2 états :


V 1

V 2dB=20 log10∣V 1

V 2∣=20 log1010=20dB

I 1

I 2dB=20 log10∣ I 1

I 2∣=20 log1010=20dB

P1

P2dB=10 log10∣P1

P2∣=10 log10100=20dB

C'est la raison pour laquelle certains dirons par abus de langage que « les dB en tension sont égaux aux en puissance et aux dB en courant». Par contre, on remarque qu'un rapport de 20 dB, correspond à un facteur :

• 10 pour les tensions et courants• 100 pour les puissances (100=102)

I.12 L'échelle des dBm

L’échelle des décibels mesure des rapports sans dimensions de deux grandeurs ayant la même unité. En prenant en référence comme unité particulière le milliwatt on définit des dBm.

Pour les dBm cela revient à normaliser la puissance par rapport à la puissance de référence de 1 milliwatts avant de convertir sur l’échelle logarithmique.

P dBm =10 log10 P mW =10 log10 P1 mW

En toute rigueur, les dBm ne constituent pas une unité car ce ne sont que des rapports sans dimension. On les qualifiera de « pseudo unité ». L'inversion des formules précédentes permet d'exprimer la puissance en linéaire (mW) en fonction des grandeurs en dBm:

P mW=10 P dbm

10

Le tableau qui suit décrit quelques pseudo unités d'usage courant.

dB.. Référence Relations utiles, notesdBm 1 milliWatt P(dBm) = P(dBW) + 30 dBdBW 1 Watt P(dBW) = P(dBm) – 30 dBdBµV 1 µVolt La tension d'entrée d'un récepteur est généralement

inférieure à 1µvdBV/M 1 V/m Unité de mesure des champs électriques dBc puissance de la

porteuse (carrier)Tableau I.12: Quelques pseudo unités logarithimiques.

Sur une échelle en dB, les valeurs négatives correspondent aux valeurs plus petites que la référence. Comme pour les dB, on retiendra qu’un facteur 2 en puissance correspond à +3 dBm, et un facteur 10 à +10 dBm. Un facteur 1/2 en puissance correspond à -3 dBm, et un facteur 1/10 à -10 dBm, comme indiqué dans le tableau ci-dessous.


échelle linéaire (puissances)

x par 2n / par 2n x par 10n / par 10n

échelle Logarithmique(dB ou dBm)

+ (3*n) dB - (3*n) dB +(10*n) dB +(10*n) dB

Tableau I.13: Relations utiles pour la conversion des puissances.

Ces quelques règles permettront de calculer aisément les puissances en Watts correspondant à la plupart des valeurs entières sur une échelle en dBm. Nous en donnons ici quelques exemples.

échelle linéaire 1 mW 2 mW 4 mW 8 mW 10 mW

échelle log (dBm)

0 dBm +3 dBm +6 dBm +9 dBm +10 dBm

échelle linéaire 100 mW 1 W 5 mW 2,5 mW 1,25 mW

échelle log (dBm)

+20 dBm +30 dBm +7 dBm +4 dBm +1 dBm

Tableau I.14: Exemples de conversion de puissances en mW et dBm

I.13 Exercices sur les échelles des dB et dBm

I.13.1 Conversion rapport à dB

Convertir sans calculatrice les rapports de puissances suivants en dB: 2, 4, 8, 16, 10, 100, 400, 500, 2.10-3, 5.10-2

I.13.2 Conversion dB en linéaire

Convertir sans calculatrice les rapports de puissances exprimés en dB en linéaire: 0dB, -100 dB, -20 dB, -23 dB, +16 dB, +19 dB.

I.13.3 Conversion puissance en dBm

Convertir les puissances suivantes en dBm: 10mW, 20mW, 100mW, 1W, 1µW, 1kW

I.14 Onde incidente, onde réfléchie

Sur une ligne de transmission la propagation résulte le plus souvent de la superposition des ondes incidente et réfléchie. Considérons dans un premier temps ces ondes propagées isolément. Examinons l'évolution temporelle et spatiale (suivant l'axe de propagation OZ) des tensions et courants1.

1 La tension est mesurée entre le conducteur central et le conducteur extérieur. Le courant est mesuré dans le conducteur central, par convention il est orienté selon l'axe (o,z) aussi bien pour l'onde incidente que pour l'onde réfléchie.


La propagation de l’onde incidente prise isolément crée une puissance active (Pinc). Sa valeur est positive, elle s’exprime en fonction de la tension efficace de l’onde incidente (Vinc) et de l’impédance caractéristique (Zc): Pinc= |Vinc |2/Zc.

V z =V inc e j t− z

I z =V z

Z c

=V inc

Z c

e j t− z

P z =V z I z *=∣V inc∣

2

Z c

=Pinc

P inc0

V z =V ref e j t z

I z =−V z

Z c

=−V ref

Z c

e j t z

P z =V z I z *=−∣V ref∣

2

Zc

=−P ref

avec P ref0

L’onde réfléchie guide un flux de puissance P(z) négatif1. Le signe négatif traduit le sens de propagation opposée à l’orientation de l’axe de propagation. On notera que l’on définit la puissance réfléchie (Pref) comme une grandeur positive et donc opposée au flux de puissance guidée en écrivant Pref = -P(z) pour l'onde réfléchie.

I.15 Superposition des ondes incidente et réfléchie

Lorsque les ondes incidente et réfléchie se superposent, les tensions et courant sont la superposition (addition) des composantes de chaque onde :

V z = V inc e− j zV ref e j z e j t

I z = I inc e− j zI ref e j z e j t

le rapport entre la tension et le courant n'est plus constant comme le montre le calcul suivant

1 Ces calculs concernent des puissance actives (pour ce qui est de la partie réelle) et par définition le signe indique dans quel sens le flux de puissance traverse la surface du guide, sens mesuré par rapport à l'axe de propagation (o,z).

Figure I.15: ondes incidente (a) ou réfléchie (b) sur un guide.

vi

z

b

vi

z

a

Figure I.16: superposition des ondes incidente et réfléchie sur un guide.

b

vi

z

a


I z =V inc

Z c

e− j z−

V ref

Z c

e j ze j t

Z=V z I z

=1Z c

V inc e− j zV ref e j z

V inc e− j z−V ref e j z

=Z z

De même, le calcul des puissances devient plus complexe. Tout calcul fait nous obtenons :

P z =V z I z *=∣V inc∣

2

Z c

−∣V ref∣

2

Z c

−2 j ℑ[V incV ref

Zc

e−2j z]D'une façon générale cette puissance présente une partie réactive qui traduit un stockage

d'énergie réactive comme dans un condensateur ou une inductance. Cependant, la partie active de la puissance transmise correspond à la différence entre la puissance de l’onde incidente et la puissance de l’onde réfléchie (Pinc – Pref) comme s'il y avait superposition1. Ce résultat s’applique à condition de ne considérer que la partie active de la puissance, c’est à dire la puissance qui pourrait être dissipée dans une charge résistive.

ℜ [ P z ]=∣V inc∣

2

Z c

−∣V ref∣

2

Z c

=P inc−P ref

Nous allons à présent considérer la représentation de ces charges en micro-ondes.

I.16 Charges micro-ondes

Les charges ou dipôles (résistances, inductances, capacités, antennes,…) peuvent être représentés à partir des notions habituelles de tension et de courant et la loi d'Ohm2 (U=ZI).

L’utilisation du coefficient de réflexion Γ (prononcer gamma) défini comme le rapport des

tensions incidente et réfléchie s’avère plus pratique que la notion d’impédance.

=V ref

V inc

1 Le théorème de superposition ne s'applique qu'aux grandeurs linéaires telles que les courants et tensions, pas aux puissanceS.

2 La loi d'Ohm s'applique localement à une abscisse z donnée. Le déplacement d'une fraction de longueur d'onde déphase les tensions et courants, et modifie l'impédance et la loi d'Ohm. Par ailleurs, la loi d'Ohm doit être restreinte aux circuits dont toutes les dimensions restent faibles par rapport à la longueur d’onde.

Figure I.17: Charge connectée à l'extrémité d'un guide.

z

v

i

Z

z=0

Vinc

Vréf.

Zc=Z

0


Compte tenu des relations entre le courant et la tension, nous déduisons la relation générale entre l'impédance caractéristique du guide Z0, (voir remarque prochain paragraphe), l'impédance d'une charge (Z), et son coefficient de réflexion Γ :

V=V incV ref=V inc1

I=V inc

Z 0

V ref

Z 0

=V inc

Z 0

1−

Z=VI=Z0 11−

=Z−Z 0

ZZ 0

Le coefficient de réflexion Γ est une grandeur sans dimension. Il dépend bien entendu de la charge mais aussi du guide sur lequel est connectée la terminaison. C’est une variable complexe dont la phase traduit le déphasage entre la tension incidente et la tension réfléchie.

Le coefficient de réflexion est défini par rapport à l'impédance caractéristique du guide sur lequel il est connectée. On verra que la notion de coefficient de réflexion se généralisent à tous les guides, y compris les guides hybrides pour lesquels les grandeurs telles que tensions et courants ne sont plus définies (voir le cours sur les paramètres S).

I.17 guide de référence et impédance caractéristique de référence (Z0)

Par la suite de ce cours, nous définirons toutes les grandeurs par rapport à un guide de référence ou une impédance caractéristique de référence notée Z0. On considérera par conséquent que tous les guides composants notre systèmes présentent la même impédance caractéristique. Pour les guides coaxiaux, l’impédance de référence la plus courante à une valeur de 50 Ω. On utilise encore des câbles 75 Ω pour la distribution de la télévision terrestre.

I.18 Coefficient de réflexion ramené

Lorsqu’une charge est connectée à l’extrémité d’une ligne, l’ensemble constitue un dipôle équivalent.


Le coefficient de réflexion correspondant Γ(-l) est qualifié de coefficient de réflexion ramené. On le calcule en considérant la dépendance spatiale de la tension, et en la séparant en parties incidente et réfléchie.

V z =V inc e− j zV ref e j z

z =V ref z

V inc z =V ref e j z

V inc e− j z z =

V ref

V inc

e2j z = e2j z

La phase de coefficient de réflexion ramené dépend de la longueur de la ligne l et de sa constante de propagation. Son module est invariant et égal à celui du coefficient de la charge terminale dans le cas de lignes supposées sans pertes1.

z=−l = e−2j l = e4jlg

∣ z=−l ∣=∣ e−2j l ∣=∣∣

Pour une longueur de ligne égale à un multiple de quart de longueur d'onde on obtient les quelques résultats remarquables utilisés plus loin dans le cours:

l=kg

2⇔ z=−l = e4j

lg = e4j

k g

2g = e2jk =

l=g

4k

g

2⇔ z=−l = e4j

g /2k g

2g = e2j1 /2k = e2j=−

I.19 Coefficient de réflexion en puissance

Sur une ligne, les puissances incidente et réfléchie s'expriment en fonction de la tension

1 On considère pour l'instant des lignes sans pertes, on introduira ces pertes dans la suite du cours.

Figure I.18: Notion de coefficient de réflexion ramené.

z=0

Γ

z = -l

Dipôle Équivalent ?

Ligne + charge

z

Γ(-l)Charge équivalente

z = -l z=0

z


incidente et du coefficient de réflexion:

P inc=∣V inc∣

2

Z c

P ref=∣V ref∣

2

Z c

=∣V ref∣

2

Zc

2=

P ref

Pinc

=∣∣2

Le coefficient de réflexion en puissance se défini comme le rapport de la puissance réfléchie et de la puissance incidente. Il correspond au module du coefficient de réflexion Γ élevé au carré. Les rapports de puissance s'exprime généralement en décibel comme les coefficient de réflexion:

dB=dB=10 log10∣∣2=20 log10∣∣=20 log10

Le coefficient de réflexion en puissance d’une charge placée à l’extrémité d’une ligne (|Γ |2)

ne dépend pas de la longueur de la ligne. Pour une charge passive (résistance positive, inductance, capacité,…) on démontre que le coefficient de réflexion en puissance reste inférieur ou égal à 1.

I.20 Charge adaptée

En général, la puissance incidente sur un dipôle se réfléchit partiellement. Tout ce qui n’est pas réfléchi est absorbé par la charge. La puissance absorbée Pabs s’écrit donc

Pabs.=P inc−P ref=P inc1−2=P inc1−∣∣

2

Lorsque l’impédance de la charge est égale à l’impédance caractéristique de la ligne, il y a adaptation de la charge à la ligne. Dans ce cas, le coefficient de réflexion est nul (ρ = Γ = 0), il n’y a plus de puissance réfléchie, la puissance absorbée est maximale. Nous préciserons ces résultats ultérieurement dans un contexte plus général en prenant en compte la présence d’un générateur sur la ligne, et l'adaptation du générateur à une charge.

I.21 Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

Dès qu'une charge crée une onde réfléchie, il existe un système d’ondes stationnaires sur la ligne. Pour une position z donnée, la tension est sinusoïdale ; elle varie dans l'enveloppe représentée ci-dessous.

Figure I.19: Définition du coefficient de réflexion en puissance.

z=0

z

ΓPinc

Préf.

Zc=Z

0


On caractérise celui-ci par le rapport d’ondes stationnaires (ROS) ou taux d’ondes stationnaires (TOS). Le TOS (ou SWR pour Standing Wave Ratio ou VSWR pour voltage SWR) est défini comme le rapport entre les amplitudes maximales et minimales de l'enveloppe de la tension sur la ligne.

TOS=SWR=VSWR=V max

V min

=11−

La charge idéalement adaptée, de coefficient de réflexion nul, présente un TOS égal à 1. Dans les autres cas le TOS est de par sa définition toujours supérieur ou égal à 1.

On considère généralement qu’un TOS inférieur à 1,2 constitue une charge dite « bien adaptée » dont la réflexion en puissance est négligeable (voir exercices). Le tableau suivant donne quelques valeurs typiques d'impédance et de coefficient de réflexion ou TOS associés.

Impédance(Ω) Γ ρ TOS ρ (dB) Pref/Pinc (%)

(Z-Z0)/(Z+Z0)

|Γ| (1+ρ)/(1-ρ)

20 log10 (ρ) ρ2 (%)

Z=∞ (C.O.) +1 1 ∞ 0 dB 100

Z=0 (C.C.) -1 1 ∞ 0 dB 100

Z=0 + jx (réactive) ejθ 1 ∞ 0 dB 100

Z= 50 Ω = Z0 0 0 1 - ∞ 0

Z=51 Ω 0,01 10-2 1,02 -40 dB 0,01 %

Z=52 Ω 0,02 2 10-2 1,04 -34 dB 0,04 %

Z=61 Ω 0,1 10-1 1,2 -20 dB 1 %

Tableau I.21: Exemples de charges et leur coefficient de réflexion et TOS associés.

On remarquera que les charges purement réactive d'impédance imaginaire pure n'absorbent aucune énergie et possèdent donc un coefficient de réflexion en puissance égal à 1.

Figure I.20: enveloppe de la tension en cas d'ondes stationnaires.

Vmin

Vmax

Amplitude maximale (enveloppe)

z

Γ~


I.22 Exercices sur les coefficients de réflexion, TOS et l'adaptation

I.22.1 Calculs de TOS et coefficients de réflexion

Pour les impédances suivantes, calculez les coefficients de réflexion, le TOS et le coefficient de réflexion en puissance exprimé en dB (Z0 = 50 Ω):

• Z = 49 Ω, 40 Ω, 25 Ω , Z = 0 (court-circuit), • Z = +j50 Ω , Z = -j50 Ω(imp. imaginaires pures)

I.22.2 Une antenne mal adaptée

Un générateur adapté délivre une puissance de 2 Watts à une antenne de TOS égal à 1,5.

• Déterminez ρ et la puissance réfléchie (en Watts, sur une échelle linéaire). • Déterminer le coefficient de réflexion de l’antenne en dB • En déduire la puissance réfléchie en dBm. • Vérifier le résultats en convertissant en dBm la valeur de la puissance réfléchie

initialement exprimée en Watts. • Calculer la puissance absorbée par l’antenne. • Déterminer dans la mesure du possible (!!) l’impédance de l’antenne.

I.23 Les guides TEM

Tout guide satisfaisant les 2 conditions suivantes propage un mode TEM : • présence de 2 conducteurs disjoints (pour n+1 conducteurs il y a n modes TEM)• baignant dans un diélectrique homogène

Les guides TEM ont une gamme d’utilisation s’étendant du continu à la fréquence d’apparition du premier mode supérieur (Fmax). Au delà de cette fréquence, la propagation de deux modes de caractéristiques et de longueurs d'ondes différentes rend le guide inutilisable :

• impossibilité d'adapter en puissance, • répartition de l'énergie sur plusieurs modes déformation des signaux en raison d'un

temps de propagation qui dépend du mode de propagation

La propagation TEM présente l’avantage de ne pas distordre les signaux micro-ondes. Ceci est du à la faible dispersion qui rend le temps de propagation invariant avec la fréquence. Jusqu’à 40 GHz, l'utilisation des câbles coaxiaux est quasi systématique.

La fréquence d'apparition du premier mode supérieur (Fmax) des câbles coaxiaux est

Figure I.22: Réflexion sur une antenne mal adaptée.

TOS = 1,5

z

ΓPinc

= 2 W

Préf.

Zc=Z

0


inversement proportionnelle aux rayons du guide.

F max≈c

r r1r 2

On peut interpréter cette relation comme une limitation des dimensions transversales, condition qui s'applique à tous les guides TEM :

Fr

c≤F max

r

c≈

1 r1r2

F r

c=

1g≤

1r1r 2

dimension transversale max ≈r1r2≤g

L’utilisation des câbles coaxiaux à des fréquences élevées impose par conséquent de réduire la section des conducteurs1. La réduction des sections des conducteurs se fait au détriment de l’augmentation des pertes linéiques.

La ligne bifilaire (paire torsadée) correspond à un guide TEM. Son utilisation est restreinte aux paires torsadées téléphoniques, aux réseaux informatiques (xBase T, cat. 3, 4, 5) et aux antennes radio FM d’intérieur. Sa faible immunité électromagnétique explique son usage limité en micro-ondes.

Les lignes triplaques sont utilisées dans les circuits intégrés pour réaliser des fonctions telles que les coupleurs et combineurs. Elles correspondent à la topologie des interconnexions dans les circuits intégrés monolithiques utilisables du continu à plusieurs centaines de GHz. On leur préfère parfois les lignes quasi TEM microruban d'un usage plus pratique.

I.24 Les guides quasi TEM

Lorsque qu'un guide est composé de conducteurs disjoints, mais que le diélectrique le composant n’est pas homogène (air plus diélectrique par exemple), les modes propagés perdent certaines caractéristiques des modes TEM tout en pouvant se propager du continu jusqu'à des fréquences très élevées. Le principal défaut de ces guides quasi TEM réside dans la dispersion

1 La limite en fréquence impose un rayon extérieur maximal, l'obtention d'une impédance caractéristique donnée impose le rapport r1/r2.

Figure I.23: La ligne bifilaire (paire, paire torsadée), et la ligne microruban triplaque.

ε0 (air)

Paire de fils métalliques

Boîtier métallique

Microruban métallique

εr 2 substrats

isolantsεr


résultant de la variation fréquentielle du temps de propagation (la constante de propagation β n’est plus exactement proportionnelle à la fréquence).

Dès qu’un guide est dispersif, les composantes d’un signal situées à différentes fréquences possèdent des retards différents; il peut en résulter une déformation de la forme d’onde du signal.

La ligne microruban est un guide quasi-TEM d’usage courant en microélectronique pour la réalisation de fonctions élémentaires telles que les atténuateurs, coupleurs et amplificateurs.

Sa topologie permet également d’interconnecter aisément des composants actifs rapportés sur le substrat (technologie qualifiée d’hybride).

Comme pour les câbles coaxiaux, les dimensions transversales (épaisseur du substrat) doivent être réduites pour augmenter la fréquence d’utilisation (typiquement <250 µm pour des usages jusqu'à 10 GHz). Certains circuits intégrés utilisent des rubans de dimensions transversales inférieures au micron permettant un fonctionnement au-delà de 300 GHz. Pour ces fréquences élevées, l'usage de guide non TEM est courant.

I.25 Guides métalliques fermés

En micro-ondes, on utilise dans la mesure du possible les guides TEM. Cela justifie l’utilisation intensive des câbles coaxiaux jusqu’à plusieurs dizaines de GHz. Pour des gammes de fréquences intermédiaires comprises entre 20 et 60 GHz les câbles coaxiaux deviennent moins performants que les guides rectangulaires. Leur atténuation devient trop importante ; ils sont limités en puissance. Au-delà, de 60 GHz, les guides métalliques fermés s’imposent généralement.

On utilise dans quelques systèmes des guides métalliques fermés à sections rectangulaires, circulaires ou ovales. Les principaux inconvénients des guides métalliques fermés résident dans leur dispersion fréquentielle (les modes ne sont plus TEM) et leur gamme de fréquence d’utilisation restreinte inhérente aux modes non TEM.

Figure

I.24: La ligne microruban (microstrip line).

Plan de masse (Cuivre)

Susbtrat isolant : Téflon, alumine, verre-téflon, ...

Microruban(largeur typique <100 µm)

Figure I.25: Guides métalliques rectangulaires, transitions guide rectangulaire - câble coaxial.

b

a

Boitier métallique

Air / diél.


Pour ces guides, les notions de tensions de courants et d'impédances n'ont pas de sens (comment définir une tension entre un conducteur et lui-même). La variation fréquentielle du temps de propagation (dispersion) déforme les signaux de bande passante étendue. La propagation du mode fondamental est limitée à une gamme de fréquence (généralement, moins d’une octave). Au-delà, plusieurs modes peuvent se propager ce qui rend les guides inutilisables.

Norme Bande fréquence Largeur *Hauteur (inches = pouces)

Largeur *Hauteur(mm)

WR-1000 [0.75 – 1.1] GHz 9.975 x 4.875 25,3 cm * 12,4 cm

WR 90 [ 8.2 – 12,4] GHz 0.900 x 0.400 22,9 * 10.16

WR-10 [ 75 - 110] GHz 0.100 x 0.050 2,54 * 1,27Figure I.26: Dimensions de guides rectangulaires (WR = rectangular waveguide) normalisés.

Les dimensions du guide doivent être ajustées en fonction de la fréquence d’utilisation. En dessous de 8 GHz l’encombrement de ces guides devient prohibitif. Au-delà de 60 GHz la réalisation de systèmes à base de guide rectangulaires relèvent de la mécanique de précision. En contrepartie, ils peuvent transmettre des puissances bien plus élevées que les guides coaxiaux. Ceci explique leur utilisation importante en radar.

Figure I.27: Exemples de guides rectangulaires métalliques.


II Propagation et lignes de transmission : corrigés des exercices.

II.1 Solution de l’exercice : Longueur d'onde guidée

F=900 MHz, λg =30/0,9=33,3 cm: antenne quart d ’onde de 8 à 9 cm de longueurF=1800 MHz, λg =30/1,8=16,7 cm: antenne quart d ’onde d ’environ 4 cm de longueur

II.2 Solution de l’exercice :Temps de propagation en GSM

Dans un câble « à air » la longueur d ’onde est la même que dans le vide (λ0)Dans un câble avec diélectrique de permittivité relative εr=4 les longueurs d ’onde sont deux

fois plus faibles: (environ 4 et 2 cm respectivement)

La vitesse de propagation est la célérité de la lumière dans le vide. Elle reste indépendante de la fréquence: v=c=3.108 m/s

Le temps de propagation est: τ=longueur/v. On trouve : τ=33ns pour le câble à air de 10m, le double c’est à dire 66 ns pour le câble chargé, τ=117 µs pour un lien GSM de 35 km

N.B. en général, ce sont les liens radio qui imposent le retard de transmission le plus important. Les circuits électroniques ont des retards négligeables.

II.3 Solution de l’exercice sur les échelles des dB et dBm

Rapport linéaire 2 4 8 16 10 100 400 500 2.10-3 5.10-2

Rapport (dB)(solutions)

3 6 9 12 10 20 26(20+6)

27(30-3)

-27(-30+3)

-13(-10-3)

Rapports en dB

0 -100 -20 -23 +16 +19

En linéaire

(solutions)

1 10-10 10-2

(0,01)

5.10-3

(10-2/2)

40 80

Puis. (mW) 10 20 100 1W 1µW 5.10-3 W 1 kWSolutions (dBm) +10 +13 +20 +30 -30 -23 +60

II-Propagation et lignes de transmission : corrigés des exercices.

36

II.4 Solution de l’exercice sur les coefficients de réflexion, TOS et l'adaptation

II.4.1 Calculs de TOS et coefficients de réflexion

Impédance(Ω) Γ Pref/Pinc (%)II.4.2 TOS

ρ (dB)

Z=49 -0,01 0,01 % 1,02 -39,9 dBZ=40 -0,11 1,2 % 1,25 -19,1 dBZ= 25 -0,33 11,1 % 2,0 -9,54 dBZ=0 (C.C.) -1 100 % ∞ 0 dBZ=+ j 50 +j 100 % ∞ 0 dB

Z=- j 50 -j 100 % ∞ 0 dB

II.4.3 Une antenne mal adaptée

Coefficient de réflexion, puissance réfléchie (en Watts).ρ=(TOS-1)/(TOS+1)=0,2 Pref=Pincρ2=80 mW

Coefficient de réflexion de l’antenne en dB, puissance incidente en dBm. ρ(dB)=20log10(0,2)= -14 dB

Pinc=33 dBm

Puissance réfléchie. Pref=Pincρ2 Pref(dBm)= Pinc(dBm)+ ρ(dB)=+19 dBm

Puissance absorbée par l’antenne. Pabs = Pinc-Pref =1920 mW soit 32,8 dBm

Ce qui représente des pertes de 0,2 dB par rapport à la puissance incidente de 33 dBm. Une variation de 0,2 dB correspond à un écart de puissance de 4% (ρ2). On en conclut qu’un arrondi à un chiffre significatif après la virgule des grandeurs exprimées en dB suffit lorsqu’une précision de l’ordre de 1% est requise.

Impédance de l’antenne.On ne peut pas déterminer Z si la phase de Γ n ’est pas connue. En supposant le coefficient de

réflexion réel positif (Γ=+0,2) on trouve Z=75Ω. Par contre, si la phase de Γ est égale à 180°, Γ est négatif et nous trouvons : Γ= -0,2 Z = 33,3Ω.


III Paramètres scattering des multipôles micro-ondes

III.1 Définition des ondes et amplitudes d’ondes sur guides TEM

Les grandeurs usuelles telles que les tensions, courants et impédances se révèlent peu pratiques pour décrire le fonctionnement des circuits micro-ondes. Par exemple, la tension totale (somme des tensions incidente et réfléchie) a un module et une phase qui évoluent constamment le long d’une ligne. Par ailleurs, ces notions ne sont pas définies pour les guides non TEM tels que les guides rectangulaires.

On utilise en hyperfréquence les amplitudes d’ondes. On les note généralement “a” pour l’onde incidente et “b” pour l’onde réfléchie.

Considérons pour l’instant des lignes TEM, dans le seul but de simplifier notre présentation. Pour les modes TEM, les amplitudes d’ondes sont proportionnelles aux tensions du mode incident et du mode réfléchi.

a=V inc

Z0

b=V ref

Z 0

Les amplitudes d’ondes que nous qualifierons simplement d’ondes par abus de langage sont des grandeurs complexes. Leurs phases sont les mêmes que celles des tensions Vinc et Vref.

Les amplitudes d’ondes sont toujours calculées par rapport à un guide de référence. L’impédance Z0 prise en référence est l’impédance caractéristique des guides utilisés pour effectuer les mesures dans le cas TEM1.

a=V inc

Z0

b=V ref

Z 0

Ces amplitudes ont été définies de façon à ce que le carré de leur module s’identifie aux puissances guidées, plus exactement à la puissance incidente pour |a|2 et à la puissance réfléchie pour |b|2.

1 Dans le cas général, l'impédance de référence n'est pas imposée. Elle peut différer sur les deux accès d'un quadripôle (par exemple pour une transition entre un guide coaxial et un guide rectangulaire). Nous la considérerons constante dans un souci de simplification.

Figure III.1: ondes incidente (a) et réfléchie (b) sur un guide.

b

V=Vinc

+Vref

I

z

a

Pref

Pinc

III-Paramètres scattering des multipôles micro-ondes 40

P inc=∣V inc∣

2

Z 0

=∣a∣2

P ref=∣V ref∣

2

Z 0

=∣b∣2

III.2 Amplitudes d’ondes pour les guides non TEM

Pour le guide rectangulaire et les autres lignes non-TEM sans pertes, les amplitudes d’ondes se définissent à partir des champs électriques.

a=E inc

E0

P inc=∣E inc∣

2

∣E0∣2 =∣a∣

2

b=E ref

E0

P ref =∣E ref∣

2

∣E0∣2 =∣b∣

2

Dans ces expressions, les champs électriques sont tous évalués en une même position à l'intérieur du guide. Le champ E0 est l'amplitude du champ électrique d'une onde incidente transportant une puissance guidée de 1 Watts mesurée sur cette même position. Compte tenu de cette définition, les carrés des modules des amplitudes d’ondes restent égaux aux puissances guidées. |a|2 correspond à la puissance incidente et |b|2 à la puissance réfléchie.

Dans la suite de cet exposé, les équations impliquant des amplitudes d’onde s’appliqueront à tous les types de guides. Les expressions mettant en jeu des tensions, courants et impédances seront bien entendu restreintes aux guides TEM et quasi TEM.

III.3 Amplitudes d’ondes ,courants et tensions (TEM)

Sur une ligne TEM, les amplitudes d’ondes a et b s’expriment simplement en fonction des courants et tensions. L’état électromagnétique d’un guide est entièrement défini lorsque les valeurs de a et b sont connues. En décomposant les courants et tensions en composantes incidente d’une part et réfléchie d’autre part1,

V inc=Z 0 I inc

V ref=−Z 0 I ref

On démontre aisément leur relation avec les ondes.

1 Dans ces relations, on écrit V=+ZI lorsque le courant est orienté dans le sens de propagation de l'onde correspondante, et vice versa. Cette règle s'applique indépendamment de l'orientation de l'axe de propagation (o,z).

Figure III.2: orientation des ondes incidente (a) et réfléchie (b) et courants.

I

ab


V =V incV ref

I=I incI ref

I=V inc

Z 0

−V ref

Z0

V inc=VZ 0 I

2

V ref =V−Z 0 I

2

a=V inc

Z 0=

VZ 0 I

2 Z 0

b=V ref

Z 0=

V−Z 0 I

2 Z 0

III.4 Ondes et coefficients de réflexion

Tout dipôle ou charge réfléchit une onde d’amplitude b proportionnelle à l’onde incidente a.

La relation de proportionnalité entre les amplitudes d'ondes a et b découle de la définition des tensions incidente et réfléchie.

ba=

V ref

V inc

==Z−Z 0

ZZ 0

On retiendra que l’onde b réfléchie par la charge est égale à l’onde incidente a multipliée par le coefficient de réflexion Γ. Ce coefficient de réflexion est défini par rapport à l'impédance caractéristique du guide Z0 sur lequel la charge est connectée1.

III.5 Calcul de Γ à partir des courants et tensions (TEM)

La relation entre a et b peut également être établie en considérant la loi d’Ohm et les formules de passage exposées ci-dessus. L’exemple de la charge connectée en bout de ligne (figure ci-dessus) permet d'illustrer l’usage de ces formules de passage.

V=ZI

a=VZ0 I

2 Z 0=

V2 Z 0

1ZZ 0

b=V−Z 0 I

2 Z0=

V2 Z 0

1−ZZ0

=ba=

Z−Z 0

ZZ 0

1 La figure représentant la charge ne donne qu'une vision synoptique du problème. En réalité les deux pôles de la charge sont connectés l'un au conducteur central et l'autre au conducteur extérieur du guide coaxial. Ces interconnexions doivent être effectuées localement à l'extrémité du guide; c'est pourquoi on qualifiera parfois la charge de ''charge localisée''.

Figure III.3: Coefficient de réflexion.

aa

b=Γa

Z,Γ

b

V

I

Z,Γ


III.6 Coefficient de réflexion ramené par une charge

Lorsqu’une charge de coefficient de réflexion Γ est connectée en bout d’une ligne de longueur l, l’ensemble ligne + charge correspond à un coefficient de réflexion équivalent encore qualifié de coefficient de réflexion ramené.

En considérant l’évolution spatiale des tensions incidentes et réfléchies sur une ligne,

V inc−l =V inc0e- j−l

=V inc0e+ jl

V ref −l =V ref 0e+ j−l

=V ref 0e- jl

On détermine l’évolution spatiale des ondes le long de la ligne et on démontre la formule du coefficient de réflexion ramené ΓL

1.

a L=ae+ j l

bL=be- j l

L= e- 2j l

On observe que le module du coefficient de réflexion ramené ne dépend pas de la longueur de la ligne pour une ligne sans pertes2. Il en est de même pour son coefficient de réflexion en puissance ramené par la charge (|ΓL|2).

∣ L∣=∣L e−2j l∣=∣∣

III.7 Exercice: l ’antenne débranchée

Une ligne coaxiale d’impédance caractéristique égale à 50 Ω est branchée en sortie d’un émetteur GSM (générateur de signaux GSM). La sortie du câble est normalement branchée à une antenne adaptée d’impédance 50 Ω. Lors d’une opération de maintenance, l’antenne est débranchée alors que l’émetteur est en fonctionnement. L’impédance présente en bout de câble correspond alors à un circuit ouvert (1/Z=0).

1 On notera souvent les charges avec l'indice L abrégé de « load ».2 Cette conclusion n'est plus vrai si le guide présente des pertes comme nous le détaillerons plus

tard. Cette formule ne s'applique qu'aux guides sans pertes.

Figure III.4: Coefficient de réflexion d'une charge équivalente à une ligne chargée.

aLa

b

Γ ?? Dipôle équivalent

Ligne + charge

aL

bL

z

z=0z=-l

bL

ΓL

Chargeéquivalente


Question 1 : Déterminer le coefficient de réflexion complexe (Γ’) correspondant et le coefficient de réflexion en puissance. Si la longueur du câble est égale à un multiple entier de demi-longueur d’ondes (l=kλg/2 avec k entier), donner l’expression du coefficient de réflexion ramené dans le plan du générateur.

Question 2: Si la longueur du câble est maintenant égale λg/4 à un multiple entier de demi-longueur d’ondes (l=λg/4+kλg/2 avec k entier), donner l’expression du coefficient de réflexion ramené dans le plan du générateur. Quelle est l’impédance ramenée correspondante ?

Question 3: Commenter le niveau de la puissance réfléchie vers le générateur. Expliquer pourquoi dans toute installation comportant des systèmes micro-ondes on met les équipements hors fonctionnement au préalable à toute intervention.

III.8 Représentation des générateurs

Tout calcul fait, l’équation du générateur montre que l’onde a émise par une source est égale à l’onde qu’elle émettrait sur un charge adaptée (ag, terme de source) augmentée de l’onde réfléchie b elle même à nouveau réfléchie sur le générateur (Γgb).

L'équation du générateur s'écrit.

a=aGG b

On remarque qu’une source adaptée (Γg=0) fournit toujours la même onde incidente (a=ag).

III.9 Interconnexion charge / générateur

Lorsqu’un générateur et une charge sont connecté localement, sans ligne d’interconnexion, le calcul des ondes incidente a et réfléchie b met en jeu les équations du générateur et de la charge.

Figure III.5: Modèle du générateur

ba=a

g+Γ

gb

Générateur

aG,Γ

G

Figure III.6: Interconnexion (directe) d'un générateur et d'une charge.

aL

bL

GénérateurCharge

ΓLa

g,Γ

g


équation du générateur: a L=aGG bL

équation de la charge : bL= La L

(indice L pour « load »)

On vérifie en imposant ΓL =0 que la puissance fournie à une charge adaptée correspond à: P inc=∣aL∣

2=∣aG∣

2≡PG . Cette puissance (PG) sera qualifié de « puissance du générateur »1.

Dans le cas général de coefficient de réflexion non nuls, ces 2 équations permettent le calcul des expressions de a L et b L

a L=aG

1−GL

bL=aG L

1−G L

III.10 Interconnexion générateur / ligne / charge

Considérons la mise en cascade d’un générateur, d’une ligne d’interconnexion et d’une charge de coefficient de réflexion Γ . Notons ΓL le coefficient de réflexion équivalent au coefficient Γ ramené dans le plan du générateur.

Le schéma équivalent au générateur ainsi interconnecté s’apparente au circuit considéré dans les paragraphes précédents. Les expressions des ondes a et b se calculent aisément à partir des amplitudes d’ondes aL et bL.

a=aL e− j l=

aG e− j l

1−G L

b=bL e j l=aG L e+ j l

1−G L

1 En général, la puissance réellement délivrée par le générateur n'est pas toujours égale à cette quantité.

Figure III.7: Interconnexion générateur, ligne et charge: circuit équivalent.

bL

aL

Générateur

aG,Γ

G

Charge

a

b

Γ

aL

bL

Générateur

aG,Γ

G

Charge éq.

ΓL


Nous en déduisons les puissances mise en jeu dans le plan de la charge:• puissance incidente: P inc=∣a∣

2

• puissance réfléchie: P ref=∣b∣2

• puissance absorbée: P∣¿∣∣a∣2−∣b∣2

P abs=∣aG∣

21−∣L∣2

∣1−G L∣2

Le transfert de la puissance du générateur vers la charge dépend des coefficients de réflexion. La maximisation de la puissance absorbée par la charge correspond à l’opération d’adaptation en puissance.

III.11 l’adaptation en puissance

On montre que l’adaptation en puissance est obtenue lorsque les coefficients de réflexion ramené par la charge d’une part et celui du générateur d’autre part sont complexes conjugués l’un de l’autre.

L=G* <==> Z L=ZG

*

Comme ΓL dépend de la longueur de la ligne (voir figure ci-dessus), cette adaptation est problématique puisqu'elle dépend elle même de la longueur de la ligne d'interconnexion. Elle impose de modifier l’adaptation à chaque changement des câbles.

On obtient une adaptation plus pratique en adaptant le générateur à la ligne de propagation d'une part et, la charge à la ligne de propagation d'autre part. Ce mode d’adaptation permet d’interchanger un élément quelconque dans une chaîne de transmission sans perturber le transfert optimal en puissance.

L=0=G* <==> Z L=Z 0=Z G

*

III.12 Paramètres S des quadripôles

Dans un quadripôle, on convient en général de repérer les ondes avec l'indice relatif au port sur lequel on définit l'onde. Par ailleurs, par convention on notera a les ondes entrantes et b les ondes sortantes1.

1 Ces conventions sont utilisées par défaut pour définir les paramètres S. L'usage montre que pour

Figure III.8: L'adaptation dans une chaîne de transmission.

bL=0

aL=a

G

Générateur

aG,Γ

G=0

Charge

a

b=0

Γ=0


Pour simplifier les figures on remplacera désormais la représentation des guides coaxiaux d'interconnexions par une représentation synoptique comme ci-dessus. Les ondes incidentes (ai) et réfléchies (bi) peuvent être reliées entre elles par une relation matricielle1. La matrice S ou matrice “Scattering” ou matrice de répartition donne une information directe sur la façon dont se répartissent la puissance et les ondes dans le circuit.

b1

b2= S11 S12

S 21 S 22 a1

a2

b1=S 11a1S12 a2

b2=S 21 a1S 22a2

Comme les coefficients de réflexion, les paramètres S sont des grandeurs complexes sans dimension.

III.13 interprétation physique des paramètres S

On trouve une explication physique aux paramètres S en chargeant l’un des accès du quadripôle par une charge sans réflexion. Considérons en premier lieu le cas du quadripôle fermé en sortie sur une charge adaptée (a2=0 )

Trois équations régissent un tel système: l’équation de la charge, celle du générateur, et

l’équation matricielle du quadripôle (plusieurs équations en réalité).

interconnecter des quadripôles, il devient pratique de ne pas respecter systématiquement ces conventions.

1 En BF, on utilise les grandeurs V1, V2, I1, I2. Deux de ces grandeurs peuvent être liées aux deux autres par un matrice H, Z ou Y par exemple.

Figure III.9: Notation des ondes utilisée pour définir les paramètres S.

Quadripôle

ΓL

b1

1 2ag, Γ

g

Géné. Chargea2

a1

b2

Figure III.10: Interprétation des paramètres S11 et S21.

ΓL=0

b1

Quadripôle

1 2ag, Γ

g

Géné. Charge adaptéea2=0a

1

b2


b1

b2= S11 S12

S 21 S 22 a1

a2

a1=aGG b1

a2= L b2

On notera ici que l'onde réfléchie par la charge est notée a2. Cela indique comme cité précédemment qu'il n'est pas possible de respecter toute les conventions dès l'instant ou plusieurs composants sont interconnectés. La charge adaptée ne réfléchissant aucune puissance, a2 est nul, les équations se simplifient.

b1

b2= S11 S12

S 21 S 22 a1

0 = S11 a1

S 21a1

S11=b1

a1∣

a2=0

S 21=b2

a1∣

a2=0

Considérons à présent un générateur placé en sortie et une charge adaptée en entrée.

Pour lequel nous obtenons.

b1

b2= S11 S12

S 21 S 22 0

a2= S 12a2

S 22a2

S 22=b2

a2∣a 1=0

S 21=b1

a2∣

a1=0

En résumé, on montre que Sii est le coefficient de réflexion de l’accès i mesuré ou observé lorsque l’autre accès du circuit (j) est fermé sur une charge sans réflexion.

De même, Sij est le coefficient de transfert (rapport des amplitudes d’ondes) de l’accès j vers la porte i . On remarquera l'apparente inversion des indices dans cette définition de Sij ; cela résulte de la définition matricielle des paramètres S.

III.14 Paramètres S et transferts en puissance

Les carrés des modules des paramètres S correspondent aux coefficients de réflexion ou de transfert en puissance. Considérons en premier lieu le cas du quadripôle fermé en sortie sur une charge adaptée (a2=0 ).

Figure III.11: Interprétation des paramètres S12 et S22.

ΓL=0

b1

Quadripôle

1 2 ag, Γ

g

Géné.Charge adaptéea

2a

1=0

b2


Le coefficient de réflexion en puissance de l'accès 1 est |S11|2. Le coefficient de transfert en puissance de l’entrée (accès 1) vers la sortie (porte 2) est |S21|2. Comme l'indique les conditions de charge de l'accès 2, ces définitions s'appliquent si et seulement si l'onde a2 est nulle.

P ref1

Pinc1

=∣ b1

a1∣

a2=0

2

=∣S 11∣2

P tr2

Pinc1

=∣ b2

a1∣a2=0

2

=∣S 21∣2

De même, en adaptant à présent l’entrée du quadripôle (a1=0 ), nous obtenons.

P ref2

Pinc2

=∣ b2

a2∣

a1=0

2

=∣S 22∣2

P tr1

Pinc2

=∣ b1

a2∣a1=0

2

=∣S12∣2

III.15 Paramètres S exprimés en dB

En général, nous n'utiliserons que le module des coefficients de la matrice S et seules les puissances mises en jeu dans le système seront être calculées. Dans ce cas, l’échelle logarithmique des dB s’avère indispensable. Les paramètres S mesurant un rapport entre deux amplitudes d'ondes, il vient.

S ij dB=10⋅log10∣S ij∣2=20⋅log10∣S ij∣

Figure III.12: Interprétation physique des paramètres S11 et S21.

ΓL=0

PRef1

=|S11

|2Pinc1

1 2ag, Γ

g

0Pinc1

Ptr2

=|S21

|2Pinc1

S21

Figure III.13: Interprétation physique des paramètres S12 et S22.

ΓL=0

Ptr1

=|S12

|2Pinc2

1 2 ag, Γ

g

Pinc2

0P

ref2=|S

22|2P

inc2

S12


Exemples: S21=+ 20 dB ==> le quadripôle a un gain de 10 en tension et de 100=102 en puissance.S21= - 6 dB ==> le quadripôle atténue d’un facteur 2 en tension et d’un facteur 4 en puissance.

III.16 Exercices

Quadripôles micro-ondes sans pertesOn charge l’entrée d’un quadripôle de matrice S supposée connue sur un générateur adapté et

sa sortie sur une charge adaptée. Déterminer les expressions des puissances incidente et transmise par ce circuit en fonction de aG et des paramètres Sij. Faire le “ bilan de puissance ” consiste à comparer la puissance fournie par le générateur d’une part à la somme des puissances réfléchie et incidente d’autre part. Ces deux quantités sont identiques lorsque le quadripôle ne présente aucunes pertes. En déduire la propriété que vérifient les paramètres S des quadripôles sans pertes. Compléter cette relation en inversant les positions du générateur et de la charge.

III.16.1 Déterminer la matrice S d’un quadripôle idéal

Déterminer la matrice S d’un quadripôle idéal adapté transmettant sans pertes et sans déphasage la puissance d’une porte à l’autre.

III.16.2 Puissance réfléchie par un circuit

Dans un circuit la puissance réfléchie est donnée par l’équation:

P ref=∣S 12∣2∣L∣

2∣S 21∣2∣aG∣

2

Rappeler la définition de la puissance du générateur. Donnez la relation liant la puissance réfléchie Pref exprimée en dBm aux coefficients de transmission en dB et à la puissance du générateur en dBm. Commentez l’homogénéité de la formule (dB ajoutés à des dBm).

III.17 Définitions des gains et pertes d’insertion d’un quadripôle

Considérons un générateur et une charge adaptés. La puissance transmise à la charge est égale à la puissance PG dite ''puissance du générateur'' telle que nous l’avons définie.

Insérons un quadripôle dont l’entrée (ici la porte j) est placée du côté du générateur. Le coefficient de transfert en puissance de l’entrée vers la sortie (porte i) est |Sij|2. La puissance

Figure III.14: Gain et pertes d'insertion d'un quadripôle.

Γ=0a

g, Γ

g=0

Pinc1

=|aG|2=P

G

Γ=0 j i

Pinc1

Ptr=|S

ij|2P

G

Sij

ag, Γ

g=0


absorbée par la charge est donc multipliée par ce coefficient.

P tr=∣S ij∣2 PG

Si le module de Sij est supérieur à 1, l’insertion du quadripôle augmente la puissance délivrée à la charge. Il y a un gain ou gain d’insertion. Le gain d’insertion en dB correspond rigoureusement au coefficient de transfert Sij exprimé en dB qui en général est positif1. Il permet d’exprimer simplement la puissance en sortie du quadripôle.

G dB=S ij dBP trdBm=PGdBmS ij dBP tr dBm =PG dBm GdB

Au contraire, lorsque |Sij| est inférieur à 1, cette même puissance diminue, on parle de pertes ou de pertes d’insertion. Comme Sij exprimé en dB est une grandeur négative, on définit les pertes d’insertion L (Loss) comme l’opposé du paramètre S correspondant en décibels.

LdB=−S ij dBP tr dBm=PGdBmS ij dBP tr dBm=PG dBm −LdB

Pour un quadripôle passif, ces pertes sont positives. Lors du calcul des puissances transmises en dBm dans une chaîne de quadripôle, il faudra ajouter les gains G et retrancher les pertes L exprimés en décibels. Si nécessaire on définira le gain d'un quadripôle passif comme l'opposé des pertes.

L dB=−S ij dB=−G dB

III.18 Exemples d’associations générateur / quadripôle / charge

On étude l’insertion d’un quadripôle entre un générateur adapté et une charge de coefficient de réflexion ΓL a priori non nul.

L’entrée du quadripôle est adaptée (S11=0). L’équation du quadripôle est

1 Pour certains dispositifs actifs, on définit un gain en dB négatif lorsque |Sij| <1. C'est par exemple le cas des circuits mélangeurs, et des amplificateurs dont le gain en dehors de la bande passante peut devenir inférieur à 1.

b1

b2= 0 S12

S 21 S 22 a1

a2= 0⋅a1S 12a2

S 21a1S 22a2

Figure III.15: Association d'un quadripôle, d'une charge et d'un générateur.

ΓL

b1

Quadripôle

1 2ag, Γ

g

Géné. Charge a2a

1

b2


Les équations de la charge1 et du générateur adapté s’écrivent.

a2= Lb2

a1=aGG b1=aG

Nous utilisons ces équations pour exprimer les ondes ai et bi

b2=S 21aG

1−S 22L

a2=S 21 L aG

1−S22L

b1=S12 S 21 L aG

1−S 22 L

Ces résultats entraînent quelques observations que nous discutons ci-dessous. Bien que l’entrée du quadripôle soit adaptée (S11=0) on peut observer une réflexion

(b1). La réflexion à l'entrée provient du quadripôle et/ou des étages placés en aval du quadripôle. Ici, la réflexion est due à la charge (ΓL).

Dans le cas présent, contrairement au système complètement adapté présenté auparavant, le gain du quadripôle (b2/aG) n’est plus S21. Cela résulte bien entendu de la désadaptation d’éléments dans la chaîne de transmission (ici la sortie du quadripôle et la charge). Par définition, on montre que S21 est la gain en onde lorsque le quadripôle est connecté à un générateur adapté et à une charge adaptée.

Le terme S22 ΓL traduit un système de réflexions multiples entre la charge et la sortie du quadripôle. Il rend l’analyse du circuit plus complexe. En effet si on peut supposer le terme S22ΓL

négligeable on obtient.b2=S21 aG

a2=S 21L aG

b1=S 12 S21L aG

Dans les exemples qui précèdent, nous avions considéré le cas idéal de générateurs et de charges parfaitement adaptés. Lorsque cela n’est plus le cas, nous avons montré que les expressions des ondes deviennent plus complexes. Les puissances ne découlent plus directement des gains ou pertes ou coefficient de réflexion. Dans l’exemple présenté ici, le problème résulte des réflexions multiples entre la charge et la sortie du quadripôle (terme S22 ΓL).

Dans les systèmes micro-ondes on conçoit les différents étages ou modules de telle sorte que ces réflexions puissent être négligeables.

Les réflexions multiples entre deux éléments pourront être négligées si l’un des accès est adapté, ou si le produit de leurs coefficients de réflexion est négligeable. En général, on tolère une réflexion maximale de 1% de la puissance incidente (ρ<0,1 et Sii<0,1 soit Sii<-20 dB). Cette contrainte implique qu’une onde subissant plus de deux réflexions s’atténue suffisamment pour être complètement négligée.

1 Attention, ici les notations a et b respectent la notation adoptée pour le quadripôle. Par conséquent, l ’onde réfléchie par la charge est notée a au lieu de b ce qui rompt la notation usuelle.


Hormis quelques cas particuliers, les éléments utilisés en micro-ondes possèdent des TOS inférieurs à 1,2. Nous négligerons les coefficients de réflexion correspondants inférieur à –20 dB.

III.19 La chaîne de quadripôles adaptés

Dans une chaîne où tous les éléments peuvent être supposés adaptés, aucun quadripôle ne réfléchit l’énergie. La charge absorbe l’intégralité de la puissance incidente. La puissance issue du générateur se transmet donc sans réflexion vers la charge. Les calculs des puissances se simplifient.

Adoptons la notation suivante:PEi: puissance à l'entrée du ième quadripôleS21,k: coefficient de transfert entrée sortie du kème quadripôle

La puissance en fin de chaîne correspond à la puissance du générateur multipliée par les coefficients de transfert de l’ensemble des quadripôles présents dans la chaîne.

P N=PG∏k=1

N

S12, i

Notons Gi les gains des quadripôles amplificateurs (Gi (dB)=+S21,i) et Li les pertes d ’insertion des quadripôles passifs (Li (dB)= -S21,i). La puissance transmise apparaît comme la puissance du générateur (en dBm) augmentée des gains (en dB) et diminuée des pertes (en dB)

P N dBm=PG dBmS 21,1dBS 21,2dBS 21,3dB⋯S 21, N dB

P N dBm=PG dBm ∑k=1

N

S 21,k dB

PN dBm=PGdBm∑ampli

Gk dB− ∑autres Q

Lk dB

Si un élément unique est mal adapté (la charge par exemple), on peut aisément calculer la puissance réfléchie vers le générateur en considérant les coefficients de transfert des quadripôles de la sortie vers l’entrée.

Si au moins deux éléments sont désadaptés, il faut en toute rigueur prendre en compte les valeurs complexes des paramètres S et écrire l’ensemble des équations pour déterminer les puissances comme dans l'exemple qui suit.

III.20 Exemples de calcul avec des paramètres S complexes

Dans ce paragraphe, nous étudions la transmission de la puissance dans un circuit présentant deux coefficients de réflexion non nuls. On verra que les calculs des puissances ne permet pas de

Figure III.16: Calcul des puissances dans une chaîne de quadripôles adaptés.

Γ=0A

g,

Γg=0

ChargeQ1

1 2

PE1

S21,1

Q2

1 2

PE2

S21,2

QN-1

1 2

S21,N-1

PENP

E(N-1)


résoudre le problème. Il faut poser le problème en prenant en compte les phases des coefficients de réflexion et de transmission.

Soit le circuit composé d'un générateur adapté, d’un quadripôle adapté en sortie, et d'une charge de coefficient de réflexion Γ a priori non nul.

Les équations du système sont.a2= Lb2

a1=aGG b1=aG

b1

b2= S11 S12

S 21 0 a1

a2= S11 a1S12 a2

S 21 a10a2

Nous utilisons ces équations pour exprimer les ondes ai et bi

b2=S 21aG

b1=S 11aGS 12a2=S 11aGS 12Lb2

b1=aG S 11S 12 L S21

On constate que deux contributions s'ajoutent pour créer l'onde réfléchie à l'entrée b1 : S11aG correspond à le réflexion à l'entrée du quadripôle non adapté S12ΓLS12aG correspond à la réflexion sur la charge augmentée du transfert aller retour

dans le quadripôle.Le calcul de la puissance réfléchie correspond à l'expression

P ref1=∣b1∣2=∣aG∣

2∣S 11S12L S 21∣

2

En absence de la connaissance des phases des paramètres S et du coefficient de réflexion, ce calcul de puissance n'est pas possible. La connaissance des modules des paramètres S permettra d'estimer la puissance réfléchie si l'un des terme est négligeable devant l'autre, par exemple.

S11 << S12L S 21

S 11dB<< S12dBL dBS 21dB

P ref1≈∣aG∣2∣S12L S 21∣

2

P ref1dBm≈PGdBmS12dBL dBS 21dB

Pour un tel circuit, l'intérêt des paramètres S est qu'il permettent de calculer simplement et directement la répartition de la puissance dans les circuits.

III.21 Suivi de la répartition des puissances dans un circuit

Dans ce paragraphe, nous reprenons le même système que ci-dessus pour lequel nous avions

Figure III.17: Association d'un quadripôle, d'une charge et d'un générateur.

ΓL

b1

Quadripôle

1 2ag, Γ

g

Géné. Charge a2a

1

b2


imposé.S22=0G=0

Nous allons calculer les puissance en suivant leur répartition dans le circuit, en appliquant les règles suivantes:

Le calcul commence par la puissance fournie par le générateur. Cette puissance transmise à un autre élément (ici le quadripôle) peut elle même créer

une contribution réfléchie et/ou transmise. Au fur et à mesure, on suit l'évolution de toutes les contributions jusqu'à ce qu'elles

échouent sur une charge sans réflexion. Le tableau suivant décrit la répartition des ondes et les calculs des différentes contributions

pour l circuit proposé en début de paragraphe.

n° description Calcul des contributions(en dB et dBm)

0 Le générateur fournit une puissance PG P inc1=PG

1 La puissance fournie par le générateur est: - réfléchie d'une part (voir 2) et - transmise de l'accès 1 à l'accès 2 (voir 2')

P ref1=PGS 11

P tr2=PGS 21

2a La puissance réfléchie par le quadripôle est absorbée par le générateur adapté (fin)

Néant

2b La puissance transmise est réfléchie par la charge P ref2=PGS 21 L

3 Cette puissance arrive sur la sortie du quadripôle: - elle est réflechie mais S22=0 (fin)- et transmise de la sortie vers l'entrée (voir 4).

P tr2 lin=P ref2⋅S 22=0P ref1=P ref2S 12

4 La contribution à Pref1 est absorbée par le générateur. Néant

On obtient les expressions des puissances mises en jeu dans le montage. Cependant, il existe deux contributions pour Pref1 qu'il n'est bien entendu pas possible d'ajouter1.

P ref1=PGS 11

P ref1=P ref2S12=PGS21LS12

Les deux termes correspondent effectivement aux deux contributions à l'onde b1 calculées précédemment.

b1=aGS11˙S12L S 21

1 Le théorème de superposition ne s'applique qu'aux grandeurs linéaires (tensions et courants et ondes).

Figure III.18: Étude de la répartition des puissances dans un circuit.

ΓL

b1

Quadripôle

1 2ag, Γ

g

Géné. Charge a2a

1

b2


Comme indiqué auparavant, en absence de la connaissance des phases des coefficients, seule une hypothèse simplificatrice permet de calculer la puissance réfléchie, soit par exemple.

S11dB<< S12dBL dBS 21dBPGS 11<< PGS21LS12

P ref1≈PGS 21 LS 12

Ce mode de calcul des puissances pourra être appliqué sans approximation lorsque dans une chaine seul un coefficient de réflexion n'est pas nul. En présence de plusieurs éléments non adaptés, seul un calcul approché reste possible sous certaines conditions simplificatrices.

III.22 Exemples de quadripôles: l’atténuateur et l’isolateur

Dans ce paragraphe, nous présentons succinctement deux exemples de quadripôles afin de procéder à quelques exercices sur les paramètres scattering.

L’atténuateur est un quadripôle passif réciproque adapté à pertes

Son atténuation A s’exprime en dB, elle est liée au paramètre a relatif à l'atténuation dans la matrice S.

S= 0 aa 0

AdB=−S 21dB=−20⋅log10∣a∣

L'isolateur est défini par ses pertes d'insertion L et ses pertes par isolation I.

S= 0 il 0

L dB=−S 21dB=−20⋅log10∣l∣I dB=−S12dB=−20⋅log10∣i∣

Nous détaillerons ultérieurement ces composants.

III.23 Exercice : utilisation de l'atténuateur

On associe un atténuateur adapté d’atténuation A (A spécifiée en dB paramètres S correspondant noté a en linéaire) à une charge non adaptée de coefficient de réflexion ΓL.

Figure III.19: Représentations de l'atténuateur et de l'amplificateur.

Isolateur

1 2A(dB)


Déterminer l ’expression du coefficient de réflexion Γx du dipôle équivalent à l’ensemble composé de l’atténuateur et de la charge (Γx =rapport des ondes b1 et a1). Exprimer ce résultat sur une échelle en décibels.

Première application : La charge est un court circuit, l’atténuation A a une valeur inconnue. Montrer que la mesure du coefficient de réflexion Γx permet de déterminer l’atténuation A.

Deuxième application : montrer que ce montage permet d’améliorer le coefficient de réflexion d’une charge de qualité moyenne (application numérique :ΓL=-10 dB, A=3 dB). Quel est le principal inconvénient de ce montage?

III.24 Exercice : utilisation de l'isolateur

On associe un isolateur à une charge non adaptée de coefficient de réflexion Γ. Les paramètres l et i correspondent respectivement aux pertes d ’insertion (L en dB) et à l ’isolation (I en dB).

I dB=−S12dB=−20⋅log10∣i∣L dB=−S 21dB=−20⋅log10∣l∣

Pour les applications numériques on prendra :Γ=-10 dB, I=20 dB, L=0,2 dB

•Déterminer l ’expression du coefficient de réflexion Γx du dipôle équivalent à l’isolateur associé à la charge (Γx =rapport des ondes b1 et a1). Exprimer ce résultat sur une échelle en décibels.•Montrer que ce montage permet d’améliorer le coefficient de réflexion d’une charge de qualité moyenne. (Faire l ’application numérique)•Discuter les résultats obtenus et comparer les performances de ce montage à celles du précédent (atténuateur + charge).

Figure III.20: Exemple de système incluant un atténuateur

Γx=?

AtténuateurGénérateur Charge

ΓL

PRef1

Aag, Γ

g=0

Pref2

Pinc1

Ptr2

Figure III.21: Protection d'un générateur à l'aide d'un isolateur.

Γx=?

AtténuateurGénérateur Charge

ΓL

PRef1

1 → 2ag, Γ

g=0

Pref2

Pinc1

Ptr2


III.25 paramètres S des multipôles.

On peut aisément étendre la définition des paramètres S des quadripôles aux circuits à accès multiples, c’est à dire aux multipôles. Par convention on note ai l’onde entrante sur l’accès d’indice i et bi l’onde sortante (voire réfléchie ou transmise) sur le port i

Les paramètres Scattering ou « S » sont définis par l’équation matricielle suivante.

b1

b2

⋮bN

=S11 S 12 ⋯ S1N

S 21 S 22 ⋯ S2N

⋮ ⋮ ⋱ ⋮S N1 S N2 ⋯ S NN

a1

a2

⋮aN

Comme pour les quadripôles, on démontre aisément que :- Le coefficient Sii est le coefficient de réflexion du port i- Le coefficient Sij mesure le transfert des ondes des ports j vers i

Ces interprétations des coefficients de transmission et de réflexion ne sont valides que lorsque tous les accès du multipôle sont fermés sur des charges adaptées.

Le nombre des paramètres S devient rapidement important lorsque le nombre des accès croit. En pratique, de nombreux coefficient de réflexion ou de transfert seront négligés. Par ailleurs, les propriétés de réciprocité et de symétrie permettent de simplifier la matrice S en identifiant des coefficients identiques dans la matrice S.

III.26 Propriétés des multipôles et des matrices S

III.26.1 Adaptation

On dit d'un quadripôle qu'il est adapté lorsque tous ses accès présentent des coefficients de réflexion nuls

S ii=0

En théorie, les circuits interconnectés entre eux devraient être adaptés. En pratique, lorsqu'il n'est pas techniquement facile de réaliser des circuits « bien adaptés », seuls les accès recevant une puissance possèdent de faibles coefficients de réflexion. Dans certains cas, comme pour les antennes, et les circuits basées sur des tronçons de ligne quart-d'ondes l'obtention d'une adaptation

Figure III.22: Paramètres S des multipôles.

bj

b1

bi

ai

multipôle

bN

aN

aj

1 i

j N

a1


sur une large plage de fréquence n'est pas aisée. Pour les filtres construits à partir d'éléments réactifs, il s'avère impossible d'adapter en dehors de la bande passante.

III.26.2 Réciprocité

la plupart des multipôles passifs sont réciproques du fait qu'il sont construits à partir de matériaux réciproques. Parmi les milieux réciproques, citons les conducteurs et isolants classiquement utilisés en micro-électronique tels que le verre, le Téflon (r), les verres_Téflon, l'alumine. Les matériaux non-réciproques les plus couramment utilisés en électromagnétisme sont les ferrites (obtenus à partir d'oxyde de fer) soumis à un champ magnétique continu. Les circuits actifs sont par nature non-réciproques du fait que leur comportement dépend de « l'orientation » des omposants.

Dans un milieu réciproque, par définition, les propriétés électromagnétiques ne dépendant pas de l'orientation des champs. Par conséquent les transferts entre deux accès ne dépendent pas du sens de transmission des ondes. Leurs paramètres S d'un multipôle réciproque vérifient

S=S t

S ij=S ji

III.26.3 Symétrie

La symétrie est une propriété mathématique que l'on peut appliquer aux champs électromagnétiques dans un circuit. Un circuit est symétrique si ses propriétés et sa matrice S sont invariant pas symétrie. Cette condition impose que la géométrie du circuit présente une symétrie, mais cela n'est pas suffisant. Pour être symétrique, un circuit doit être composés de matériaux dont les propriétés sont invariantes par symétrie c'est à dire réciproque.

Sur ces exemples, si les matériaux composant le substrat sont réciproques, les symétries imposent les relations suivantes entre les paramètres S.

S11=S22=S 33=S 44

S12=S21=S 43=S 34

S24=S 42=S31=S13

S14=S 41=S 23=S32

S bc=S cb

S bb=S cc

Sab=S ac

Pour le second circuit, on aura aussi du fait de la réciprocité Sbc=Scb et Sab=S ba=Sac=Sca y compris si la symétrie n'était pas respectée.

Figure III.23: Exemple de quadripôles symétriques (circuits en technologie microrubans, vue de dessus).

2

1

4

3

c

b

a


III.26.4 pertes

On montre que la matrice S d'un circuit sans pertes vérifie la condition générale1

S+ S=I

Cette condition impose entre autre que la somme des modules au carré d'une colonne soit égale à 1

S j=∑i=1

N

∣S ij∣2=1

On interprète ce résultat comme un bilan de puissance du multipôle fermé sur des accès adaptés. Si la porte j du multipôle reçoit une puissance de 1 Watt, la quantité Sj est la somme des puissances transmise par le multipôle (sur les accès autres que j) ou réfléchie (sur l'accès j).

1 La matrice S+ désigne la transposée de la conjuguée de la matrice S ou la transposée hermitienne de S.


IV Paramètres S des multipôles : solutions des exercices

IV.1 Corrigé de l'exercice : l ’antenne débranchée

Solution 1: Γ= +1 ; Γ’= Γe-2jβl = +1e-2jβl = +1e-2jkπ= +1: l ’impédance ramenée et un C.O. On montre ainsi qu’une ligne de longueur multiple de la demi-longueur d’onde ne modifie pas le coefficient de réflexion de la charge connectée à son extrémité. Dans le cas pratique où la ligne présente de faibles pertes, l’impédance est légèrement modifiée voir exercice sur la mesures de câbles en réflectométrie).

Solution 2: Γ’= Γe-2jβl = +1e-j(2kπ+π)= -1: l ’impédance ramenée et un C.C.. La ligne de longueur égale à une demi-longueur d’onde (à un multiple de longueur d’ondes près) se comporte comme un inverseur d’impédance.

Solution 3: En cas de débranchement de la charge, toute la puissance incidente (de l’émetteur) est réfléchie; ce qu’il faut bien évidemment éviter. Les seules protections possibles sont soit la mise hors fonctionnement des équipements, soit la protection à l’aide d’isolateurs (voir prochains exercices)

IV.2 Corrigé de l'exercice :Quadripôles micro-ondes sans pertes

Solution 1: P inc=∣ag∣2 P ref1=∣S11∣

2∣ag∣2 P tr2=∣S 21∣

2∣ag∣2 ,

Quadripôle sans pertes (figure 1): P inc=P ref1P tr2 ⇔ =∣S11∣2∣S 21∣

2=1

En retournant le quadripôle (figure 2): P inc=P ref2Ptr1 ⇔ =∣S12∣2∣S 22∣

2=1

IV.3 Corrigé de l'exercice :matrice S d’un quadripôle idéal

on doit avoir: b2=a1 et b1=a2. Il en découle: S11=S22=0 pas de réflexion, et S12=S21=1 transfert intégral des ondes entre l’entrée et la sortie sans déphasage.

S=0 11 0

Figure IV.1: Transmission et réflexion dans un quadripôle sans pertes .

Pref1

1 2

Pinc2

=0Pinc1

Ptr2

Ptr1

1 2

Pinc2P

inc1=0

Pref2

IV-Paramètres S des multipôles : solutions des exercices

64

IV.4 Corrigé de l'exercice : puissance réfléchie par un circuit

PgendBm=10 log10∣ag∣2/1mW

Pref dBm=10 log10∣S 12∣2∣ L∣

2∣S 21∣

2∣ag∣

2

1mW Pref dBm=10 log10 ∣S12∣

2 10 log10 ∣L∣2 10 log10 ∣S 21∣

2 10 log10 ∣ag∣2

1 mW P ref dBm=S12dB LdBS 21dBPgendBm

N.B. L ’équation FINALE regroupe obligatoirement 2 termes en dBm (puissances) et un nombre indéterminé de termes en dB (3 facteurs sans dimension dans cet exemple). Il ne faut pas en déduire une inhomogénéité de l'équation car les dB et dBm ne sont que des pseudo unités.

IV.5 Corrigé de l'exercice :utilisation de l’atténuateur

Calcul de Γx

–on trouve b1=a1 a2 ΓL ce qui permet d ’exprimer Γx comme: Γx = a2 ΓL –soit sur une échelle en dB: Γx (dB)= - 2A(dB) + ΓL (dB)–N.B. A est pris en double pour rendre compte de l ’atténuation de l ’onde lors de son passage dans chacun des sens dans le quadripôle atténuateur.

On mesure en général un court-circuit (Γx=0 dB), –l ’équation ci-dessus permet de calculer A en fonction de la mesure de ΓL=Γx=0 dB

Si ΓL est une charge de qualité moyenne, –son association avec l’atténuateur diminue son coefficient de réflexion (|a|<1)–A.N.: Γx (dB)= - 2A(dB) + ΓL (dB)= -16 dB–inconvénients: la puissance transmise à la charge est affaiblie (Ptr = Pgen –A (dB))

l’amélioration significative du coefficient de réflexion requiert une valeur d’atténuation A élevée qui diminuerait d’autant la puissance transmise à la charge.

IV.6 Corrigé de l'exercice :utilisation de l’isolateur

Calcul de Γx

–on trouve b1=a1 i l ΓL ce qui permet d ’exprimer Γx comme: Γx = i l ΓL –soit sur une échelle en dB: Γx (dB)= - I (dB) – L (dB) + ΓL (dB)

Si ΓL est une charge de qualité moyenne, –son association avec l’atténuateur diminue son coefficient de réflexion (|i|<1 ; |l|<1)–A.N.: Γx (dB)= - I (dB) – L (dB) + ΓL (dB)= -30,2 dB

L’amélioration significative du coefficient de réflexion requiert une valeur d’isolation élevée. Si les pertes d’insertion restent raisonnables la puissance du générateur est quasiment intégralement transmise à la charge.

–Ptr= Pgen –L (dB) # Pgen (dBm)


V Les blocs constituants la chaîne de transmission

V.1 Généralités

Ce chapitre présente les différents blocs constitutifs de la chaîne de transmission micro-onde. La plupart de ces blocs sont des quadripôles ou des hexapôles dont nous idéaliserons les paramètres dans un souci de simplification. Par exemple, on supposera généralement les coefficients de réflexion nuls alors que dans la réalité, les constructeurs spécifient un TOS maximal. Dans la mesure du possible, les caractéristiques se résumeront à un gain ou à des pertes ou encore à un paramètre équivalent nommé différemment pour caractériser la fonction du dispositif (couplage, isolation…). Cette approche simpliste ne prendra pas en compte l’évolution fréquentielle des paramètres scattering des blocs étudiés que seule la mesure peut fournir. Par exemple, là où nous donnerons un couplage fixe égal à 3 dB, le constructeur préciserait un écart type autour de cette valeur ou des valeurs extrémales, voire un tableau de mesures si nécessaire.

Les différents éléments constitutifs des chaînes de transmission sont ici présentés par ordre de complexité, en précisant lorsque cela est possible des ordres de grandeur typiques de leurs paramètres scattering.

V.2 Câbles et lignes de transmission

Les câbles et lignes sont des quadripôles passifs réciproques. Dans un système de transmission, les câbles ont tous la même impédance caractéristique et sont donc adaptés entre eux. On ne considère pas en général les retards dus aux câbles bien moins importants que ceux apportés par la liaison radio et les filtres. De même, la nature complexe de l'impédance caractéristique, et sa variation fréquentielle sont des phénomènes généralement négligeables.

L’atténuation d’un câble (A) s’exprime en dB, elle est proportionnelle à sa longueur et à son atténuation linéique Al ou atténuation par unité de longueur. La matrice S idéalisée du tronçon de

ligne idéalement adapté a pour expression :

S=0 aa 0

AdB=−S 21dB=−20⋅log10∣a∣AdB=Al⋅Longueur

Le tableau ci-dessous présente des exemples de caractéristiques de câbles utilisés en GSM. L’atténuation linéique s’exprime en dB par unité de longueur dB/m ou dB/100m ou dB/100 ft1. Par exemple un câble de 50 m, d’atténuation linéique de 8dB/100m, présente une atténuation de 4 dB.

1 Attention, l'utilisation des mesures anglo-saxonnes reste courante.

Figure V.1: Atténuation des câbles et lignes de transmission.

Longueur

A(dB) = Al .Longueur A(dB)

Longueur

V-Les blocs constituants la chaîne de transmission68

L’atténuation linéique Al des câbles coaxiaux augmente généralement proportionnellement à la racine carrée de la fréquence, ce pour des fréquences de l’ordre de quelques GHz. L’atténuation est également inversement proportionnelle à la section du conducteur central. Le choix d’un câble résulte donc d’un compromis entre la diminution des pertes et la réduction de la section. Les opérateurs de radiocommunication imposent souvent une contrainte sur l’atténuation totale entre l’antenne de réception et la station de base qui ne doit pas dépasser environ 3 dB.

Référence Φ ext

(inches)Φ ext

(mm)Φ total (mm)

Diélec--trique

type Α1 à 960 MHz (dB/100m)

Α1 à 1,7 GHz (dB/100m)

LDF4-50A 1/2" 12,7 16 mousse câble 7,5 10,3LDF5-50A 7/8" 22,2 28 mousse câble 4,2 5,9LDF6-50A 1-1/4" 31,75 39 mousse câble 3,1 4,3LDF7-50A 1-5/8" 41,2 46 mousse câble 2,6 3,7HJ5-50 7/8" 22,2 mousse câble 4,1HJ7-50A 1-5/8" 41,2 air câble 2,2HJ12-50 2-1/4" 57,1 air câble 1,9FSJ1-50A 1/4" 6,3 mousse flexible 19,3FSJ2-50 3/8" 9,4 10,8 mousse flexible 13FSJ4-50B 1/2" 12,7 13,2 mousse flexible 11,5

Table 1: Caractéristiques de Câbles GSM de la marque HELIAX.

Les pertes linéiques des câbles GSM varient de 2 à 10 dB pour 100 mètres. Dans la réalité, les connecteurs placés en extrémités des câbles ne sont jamais parfaitement adaptés et génèrent des pertes complémentaires de l’ordre de 0,1 dB par connecteur à 1 et 2 GHz (valeur moyenne typique en bandes GSM et UMTS variable selon les connecteurs utilisés).

Pour les câbles de liaison et d'interconnexions courts utilisés en GSM que les opérateurs qualifient de «bretelles» les pertes dues à la connectique ne sont plus négligeables. Les pertes approximatives des «bretelles» à 900 MHz et 1800 MHz avoisinent 0,35 dB pour 1,50m à 0,7 dB pour 3m.

Les valeurs données ci-dessus ne sont qu’indicatives. Dans la pratique chaque opérateur utilise sa propre « recette de cuisine » pour estimer les pertes à partir de base de données incluant les caractéristiques précises des câbles réellement utilisés.

V.3 Atténuateurs

Les atténuateurs sont des dispositifs passifs réciproques adaptés à pertes. Leur matrice S s’apparente à celles des câbles.

L’atténuation A qui est leur principale caractéristique s’exprime généralement en dB:

S=0 aa 0

AdB=−S 21dB=−20⋅log10∣a∣

Figure V.2: Atténuateur: représentation et réalisation en structure coaxiale.

R1

R1

R2

A(dB)


On les utilise pour créer volontairement des pertes dans un circuit. Les valeurs les plus courantes d’atténuation sont multiples de 3 ou 10 dB (3, 6, 9, 10, 20 et 30 dB). On utilise également dans les bancs de mesures des atténuateurs variables dont l’atténuation est ajustable par pas de 10, 3 voire 1 dB. Ces circuits sont généralement commandés électriquement.

En micro-ondes, les puissances maximales admissibles en entrée de nombreux appareils de mesures sont de l’ordre de 100 mW à 1W alors que les émetteurs GSM peuvent atteindre 20 Watts. L’atténuateur placé à l’entrée d’un appareil de mesures permet d’adapter la puissance délivrée par une source au niveau de signal admissible par ce dispositif.

Dans l’exemple ci-dessus, on intercale un atténuateur adapté d’atténuation A entre un émetteur fournissant 200 W (+53 dBm) et un appareil de mesure considéré comme une charge adaptée. La puissance transmise a pour expression :

P tr dBm=P incdBm −AdB

Si l’appareil de mesure tolère au plus 100 mW sur son entrée (+20 dBm), l’atténuateur devra présenter une atténuation minimale de 33 dB.

P tr dBm=P incdBm−AdB≤20 dBmAdB≥P incdBm −20=33 dB=AmindB

On remarquera que cet atténuateur absorbe la quasi-totalité de la puissance fourie par l’émetteur (ici 200 W). Dans le cas présenté, un radiateur placé sur l’atténuateur dit « de puissance » doit impérativement permettre de dissiper la forte énergie absorbée. La puissance maximale dissipable par un atténuateur est une caractéristique fondamentale.

V.4 Amplificateurs

Ce quadripôle actif est présent en sortie des antennes de réception sur de nombreux sites GSM. Souvent on néglige les désadaptations en entrée et en sortie des amplificateurs.

L’amplificateur est un quadripôle dont le gain G s’exprime en dB à partir du gain g en onde1.

1 Ce gain en onde correspond au gain en tension du quadripôle fermé sur un générateur et une charge adaptés.

Figure V.4: Représentations de l'atténuateur et de l'amplificateur.

G (dB)

Figure V.3: L'atténuateur limite la puissance transmise à un appareil de mesures.

Γ=0

Emetteur Appareil de mesuresAtténuateur

A (dB)P

G=200W,

ΓG=0

Pinc P

tr


S=0 0g 0

G dB=S 21dB=20⋅log10∣g∣

Sur le plan technologique, le circuit est basé sur un ou des composants actifs choisis en fonction de la gamme de fréquence et des performances désirées (faible coût, gain élevé, faible bruit, forte puissance, etc). Les transistors bipolaires au silicium, et les MOSFET trouvent de nombreuses applications jusqu’à environ 10 GHz. Au-delà ou lorsque des bonnes performances en bruit sont nécessaires, on utilise des transistors à effets de champs (MESFET, HEMT) réalisés sur substrats d’arséniure de Gallium (AsGa) et de Phosphure d’Indium (InP). Ces composants présentent l'inconvénient de devoir être réalisés sur des substrats différents et avec des technologies différentes des circuits logiques au Silicium.

Les diodes, composants actifs dipolaires à résistance négative, sont très performantes aux fréquences supérieures à 60 GHz et pour les applications fortes puissances. On les trouve par exemple dans les applications radar.

Lorsque deux amplificateurs sont mis en cascade, leurs gains exprimés en dB s’ajoutent. Cependant, lorsque les gains sont élevés, la mise en cascade peut devenir problématique. Par exemple deux amplificateurs de 40 dB cascadés sont théoriquement équivalents à un amplificateur de 80 dB. Les amplificateurs présentant un gain aussi important doivent être convenablement blindés. Si ce n'est pas le cas, on peut observer une réaction parasite de la puissance importante en sortie sur l’entrée du dispositif. Ce bouclage rend le montage instable, le circuit entre en oscillation, et devient inutilisable (analogie avec l’effet Larsen en acoustique). Dans la pratique, les amplificateurs faibles bruit utilisés en réception sur les sites radio GSM possèdent des gains voisins de 10 dB.

V.5 Isolateurs

C’est un quadripôle passif non réciproque ; c’est à dire que ses coefficients de transfert de l’entrée vers la sortie (l=S21) et de la sortie vers l’entrée (i=S12) diffèrent. De façon idéale, ce dispositif permet à la puissance de circuler uniquement de l’entrée vers la sortie (sens de circulation repéré par une flèche en pratique).

Ce circuit isole le montage en amont (à gauche) en atténuant fortement la puissance

éventuellement réfléchie par la charge placée en aval (à droite).

S=0 il 0

L dB=−S 21dB=−20⋅log10∣l∣I dB=−S12dB=−20⋅log10∣i∣

Dans le sens de circulation, la puissance est transmise avec de faibles pertes d’insertion L dont la valeur typique est typiquement inférieure à 1 dB. En pratique, ces pertes varient fortement en fonction de la fréquence centrale et de la largeur de bande de fonctionnement.

Figure V.5: Représentation synoptique de l'isolateur.

Isolateur

1 2


Dans le sens opposé au sens de circulation, il n’y aurait pas de transfert de puissance si le dispositif était idéal. L’isolation (pertes par isolation) qualifie un paramètre S qui devrait être nul sur une échelle linéaire si le circuit était idéal. Elle est normalement supérieure à 20 dB pour les isolateurs de bonne qualité.

Les isolateurs sont composés de guides ou de lignes de transmission non réciproques chargées par des “ferrites” (oxydes de fer).

On utilisera les isolateurs pour la protection des générateurs sur les bancs de mesures et de tests. L’exemple ci-dessous illustre la protection d’un émetteur du débranchement accidentel de l’antenne pendant le fonctionnement.

Pour ce circuit la puissance transmise à la charge s’écrit :P inc1dBm=P gendBm

P tr2dBm=P gendBmS 21dBP tr2dBm=Pgen dBm−LdB

Cette puissance est quasiment identique à celle du générateur si les pertes d’insertion (L) sont limitées. La puissance réfléchie vers le générateur dépend du coefficient de réflexion de la charge et de l’isolation :

P ref1dBm=P gendBm S 21dBL dBS 12dBP ref1dBm =PgendBm−L dBL dB− I dB

Lorsque la charge est bien adaptée, cette puissance réfléchie est négligeable. Dans le cas contraire, l’isolation de l’isolateur contribue à diminuer la puissance réfléchie vers la source. On rencontre ce cas de figure dans les bancs de mesures mettant en jeu des charges qui ne sont pas nécessairement adaptées. Dans une chaîne d’émission (émetteur, câble, antenne) le débranchement accidentel de l’antenne correspond à une charge de coefficient de réflexion égal à 1 en linéaire soit 0 dB (réflexion totale de la puissance). Si un isolateur est placé en aval du générateur, la puissance réfléchie vers l'émetteur vaut approximativement dans ce cas

P ref1 dBm≈PgendBm−I dB )

Le rôle protecteur de l’isolateur apparaît clairement. Comme pour l’atténuateur, ce circuit à pertes doit être capable de dissiper le cas échéant la forte puissance réfléchie par la charge et absorbée par l’isolateur. Paradoxalement, les circuits isolateurs sont généralement peu présents sur les chaînes de transmission. En fait, ils seront placés à demeures à l'intérieur des émetteurs micro-ondes et des appareils de mesures de façon a protéger systématiquement les sources de signal.

V.6 Exercice :Calcul de puissance sur une chaîne de transmission

On étudie une chaîne de transmission constituée d’un émetteur en cascade avec un amplificateur, un isolateur et une antenne.

Figure V.6: Protection d'un générateur à l'aide d'un isolateur.

ΓL

Isolateur

1 2a

g,

Γg=0

Générateur AntenneP

tr2

Pref2

Pinc1

Pref1


Les caractéristiques des différents étages se résument ainsi. Émetteur adapté de puissance 1 W (1 W=PG ) ; amplificateur adapté de gain égal à 14 dB ; isolateur adapté de pertes d’insertion L=1 dB et d’isolation I=23 dB ; antenne de coefficient de réflexion ΓL=-10 dB

1°) Déterminer les puissances Ptr2, Ptr3, Pref3, Pref2 (sur une échelle en dBm)

2°) La puissance Pref2 est-elle négligeable devant la puissance de sortie de l’amplificateur Ptr2 ?

3°) Que devient la puissance Pref2 lorsque l’antenne est débranchée accidentellement ?

V.7 Coupleurs de mesures

Les coupleurs sont des hexapôles (circuits à 3 accès) dont la principale fonction est de prélever par couplage une partie de la puissance véhiculée sur la chaîne de transmission à des fins de contrôle ou de mesures. Pour cette raison on parlera parfois de « coupleur de mesures ».

On réalise les coupleurs en rapprochant suffisamment deux lignes de transmissions pour créer un couplage des champs électromagnétique d'une ligne sur l'autre par proximité. La figure ci-dessus schématise un coupleur pour lequel nous avons arbitrairement numéroté 1 l’entrée (in), 2 la voie de sortie (out) ou voie dite « directe », et 3 la voie couplée (c) (Pour un tel circuit, la notion d''entrée » n'a pas réellement de sens puisque selon l'usage, l'entrée principale pourra varier). Dans la réalisation en technologie micro-ruban, le quatrième accès doit être fermé sur une charge adaptée pour réalisé un coupleur à 3 accès de matrice S

Figure V.8: Réalisation d'un coupleur de mesures en technologie « microruban » et représentation synoptique .

Voie couplée3 2

14

Substratdiélectrique

Plan de masse

« microrubans »

1 2

3in out

Voie directe

c

« entrée »

Figure V.7: Exemple de chaîne de transmission.

1 2 ΓL

Isolateur

PG=1W,

ΓG=0

Générateur Antenne

Pref3

Ptr3G

(dB)

Ptr2

Pref2

Pinc


S=0 l cl 0 ic i 0

LdB=−S 21dB=−20⋅log10∣l∣C dB=−S 31dB=−20⋅log10∣c∣I dB=−S 23dB=−20⋅log10∣i∣

Normalement, la transmission dans la voie directe occasionne de faibles pertes d’insertion L de l'ordre de quelques dixième de dB. L’atténuation du signal transmis entre l’entrée et la voie couplée correspond au « couplage » C (pertes par couplage). Le couplage vaut généralement 10, 20 ou 30 dB. Il est dimensionné en fonction du niveau de puissance couplée désiré. De façon idéale, les voies directe et couplée devraient être isolées entre elles. L’imperfection des paramètres S correspondants définit l’isolation I qui devrait être très élevée sur une échelle logarithmique.

Pour les coupleurs utilisés en mesures, on définit un paramètre complémentaire, la directivité, à partir des valeurs du couplage et de l’isolation :

DdB=I dB−C dB

La directivité a une valeur positive d’autant plus élevée que le coupleur est performant.

En supposant l’isolation négligeable, la puissance incidente est soit couplée soit transmise dans la voie directe. Si par ailleurs le coupleur est sans pertes1, on en déduit une relation théorique entre le couplage et l’isolation :

c2l2

=1

Cette relation montre qu'un coupleur idéal présentant un couplage supérieur à 15 dB présente théoriquement des pertes d'insertion inférieure à 0,14 dB. L’exemple ci-contre illustre l’utilisation la plus classique du coupleur de mesures.

Si les pertes d'insertion L restent faibles, l’insertion du coupleur dans la chaîne d’émission modifie peu la puissance Ptr transmise à l’antenne :

P tr dBm=Pgen dBm– L dB

L’appareil de mesures ne reçoit quant à lui qu’une faible fraction de cette puissance dépendant du couplage C:

1 De par sa conception, on montre qu'un coupleur doit en fait présenter des pertes pour être adapté.

Figure V.9: Utilisation d'un coupleur pour effectuer des mesures de puissance .

1 2in out

c

ΓL=0 Appareil

de mesures

ΓL Antennea

g, Γ

g=0

Générateur

Pg

Ptr

Pc

3


P c dBm=PgendBm– C dB

Si les caractéristiques du coupleur sont connues (C, L), on en déduit la puissance fournie par le générateur ou encore la puissance transmise à la charge à partir de la mesure de la puissance couplée:

PgendBm=P c dBm C dBP tr dBm=Pc dBmC dB−L dB

Dans cette configuration, la puissance éventuellement réfléchie par la charge vient s’ajouter à la puissance couplée lorsque l’isolation n’est pas suffisamment faible.

Dans l’exemple qui suit nous avons placé deux coupleurs parfaitement isolés et adaptés tête-bêche permettant la mesure des coefficients de réflexion.

Le premier coupleur prélève par couplage une partie de la puissance du générateur:

P c1dBm=P gendBm– C dB

Le second coupleur mesure la puissance réfléchie par la charge :

P c2dBm=P ref dBm– C dB P ref dBm=P gendBm−2 LdBdB

Ces deux mesures permettent la détermination expérimentale du coefficient de réflexion en puissance à partir des mesures de Pc1 et Pc2:

dB=P ref dBm−P gendBm 2 L dB dB=[P c2 dBmC dB]−[Pc1 dBmC dB]2 LdB

dB=P c2 dBm−Pc1 dBm2 LdB

L’étude approfondie de ce dispositif en cas de mauvaise isolation des coupleurs montre que l’obtention d’une mesure précise est conditionnée par l’utilisation de coupleurs dont la directivité est meilleure que les coefficients de réflexion à caractériser :

D dB≫dB

Figure V.10: Principe de la mesure de coefficients de réflexion .

in out

c

ΓL=0 Appareil

de mesures

Charge

ag, Γ

g=0

Générateur

Pg

Ptr2

Pc1

3 3'

c ΓL=0 Appareil

de mesures

Ptr

1 2 2' 1'

Pc2

PrefCoupleur 1 Coupleur 2

Pref2

Pref1

ΓL


V.8 Exercice : caractérisation de la chaîne de transmission à l’aide de coupleurs

On considère une chaîne de transmission restreinte à un émetteur associé à un amplificateur débitant sur une antenne. Deux coupleurs sont utilisés pour prendre des mesures sur ce système. Les appareils de mesures placés sur les voies couplés sont supposés parfaitement adaptés, ils mesurent les puissances couplées Pc1 = -7 dBm et Pc2 = +5 dBm. Les caractéristiques de ces dispositifs sont partiellement connues:

• Émetteur : parfaitement adapté, puissance inconnue• Amplificateur : adapté, gain inconnu• Antenne : T.O.S. de 1 ,2.• Coupleurs : adaptés, pertes d’insertion L=1 dB, isolation I=25 dB, couplage C=10 dB

Questions:1°) Dans un premier temps, on suppose l’isolation des coupleurs parfaite (i=0 en linéaire).

Établir les expressions puis les valeurs des puissances Pc1, Ptr2, Ptr3, Pc2, Ptr4, Pref4 (sur une échelle en dBm). En déduire les valeurs de la puissance de l’émetteur (Pinc) et du gain G de l’amplificateur.

2°) On étudie l’influence de la mauvaise isolation du second coupleur. Établir l’expression de la puissance réfléchie par l’antenne puis transmise vers la voie couplée de ce coupleur (on la notera PC2bis). A quelle condition la puissance Pc2bis est-elle négligeable devant la puissance Pc2 que l’on souhaite mesurer ? En déduire une condition que doit vérifier la directivité de ce coupleur.

V.9 exercice : Comment charger la voie couplée d’un coupleur ?

Dans les exemples précédents, des appareils de mesures sont connectés sur la voie couplée de coupleurs afin d’effectuer des mesures en différents points de la chaîne de transmission. La figure ci-contre résume la configuration d’un point de mesures.

Dans la pratique, le coupleur est installé à demeure sur le site radio afin de conserver un point de mesure permanent. Ces mesures sont effectuées pendant le fonctionnement des équipements radio. On peut par exemple utiliser un wattmètre pour effectuer des contrôles des niveaux de puissance puis un analyseur de spectre pour contrôler l’émission. Ces appareils de mesures doivent être branchés puis débranchés entre de chaque mesure. En leur absence, on connecte sur les voies couplées inutilisées des charges adaptées. Ces charges évitent les réflexions parasites, elles

Figure V.11: Utilisation d'un coupleur pour effectuer des mesures de puissance .

1 2in out

c

ΓΜ=? Appareil

de mesures

AntenneGénérateur

Pg

Ptr

Pc

3

Pref1

Pref3

ag, Γ

g=0 Γ=0


protègent l’installation des agressions électromagnétique extérieures. Lors de chaque manipulation sur un coupleur, pendant un bref instant, la voie couplée n’est plus chargée ; la sortie correspondante se trouve alors fermée sur un circuit ouvert de coefficient de réflexion : ΓM=+1.

Nous allons étudier l’incidence de ce défaut sur un système dont les caractéristiques sont les suivantes:

• Émetteur parfaitement adapté, puissance 10 W ; antenne parfaitement adaptée• Coupleurs adaptés, pertes d’insertion L=1 dB, isolation I=30 dB, couplage C=20 dB

1°) Dans un premier temps, on suppose la voie couplée chargée par une charge sans réflexion et on néglige l’isolation du coupleur. Établir les expressions puis les valeurs des puissances Pc, Ptr

(sur une échelle en dBm).

2°) Si l’appareil de mesure est déconnecté (sortie en circuit ouvert équivalente à ΓM=+1 en linéaire). Établir dans ce cas les expressions puis les valeurs des puissances Pref3 et Pref1. Peut-il y avoir perturbation de l’équipement radio (générateur)?

3°) Même question en supposant l’isolation du coupleur non négligeable.

V.10 Exercice : caractérisation d’un site radio à l’aide d’un réflectomètre.

Le réflectomètre sert à la caractérisation systématique des sites radio avant leur première mise en fonctionnement. Examinons en premier lieu le fonctionnement du réflectomètre lui-même.

Les caractéristiques des éléments composants cet équipement sont les suivantes :

• Générateur adapté de puissance inconnue Pg

• Coupleurs identiques, adaptés, C=15 dB, I=25 dB, L inconnu (pertes d’insertion)• Charge de coefficient de réflexion inconnu noté Γx.

Questions

1°) On néglige la mauvaise isolation des coupleurs. Rappeler les expressions des puissances Ptr et Pref transmise et réfléchie par la charge et des puissances couplées Pc1, Pc2.

2°) En déduire l’expression du coefficient de réflexion Γx à mesurer en fonction des puissances couplées Pc1, Pc2 (et des caractéristiques du coupleur).

Figure V.12: Principe de fonctionnement d'un réflectomètre .

in out

c

ΓL=0 Appareils

de mesures

Charge

ag, Γ

g=0

Générateur

Pg

Ptr2

Pc1

3 3'

c ΓL=0

Ptr

1 2 2' 1'

Pc2

PrefCoupleur 1 Coupleur 2

Pref2

Pref1

ΓX

Réflectomètre Charge inconnue


3°) En pratique, lors de la phase de calibration on mesure un court circuit. Le réflectomètre utilise le résultat de mesure pour déterminer la valeur de L, et par la suite corriger les mesures automatiquement. On remplace dans le schéma la charge inconnue par un court circuit. Montrer qu’il est possible dans ce cas de déterminer les pertes d’insertion. On mesure Pc1=-8,5 dBm et Pc2=-9,5 dBm. En déduire la valeur des pertes d’insertion L.

4°) On s’intéresse aux erreurs de mesures apportées par la mauvaise isolation du second coupleur. Calculer la puissance Pc2bis correspondante (puissance du générateur transmise entre les voies 2’ et 3’ compte tenu de la mauvaise isolation). Quel critère doit vérifier la directivité du coupleur pour limiter les erreurs de mesures ? (Pc2bis << Pc2)

La suite du problème concerne les mesures faites à l’aide du réflectomètre sur un site radio. Ces mesures sont effectuées en bas des pylônes à différents stades de l’installation d'un site radio.

Pour simplifier le problème, nous modélisons ces mesures en considérant un câble adapté de

pertes A relié à un coefficient de réflexion Γi (antenne ou autre charge). Nous supposons l’absence de bretelles d'interconnexion.

Figure V.13: Caractérisation de site radio avant mise en fonctionnement .

Antenne ou …

D E

CBA

Bretelle Câble

BTS

Figure V.14: Principe de fonctionnement d'un réflectomètre .

Charge ou antenne

Pg

A

Ptr

Pref

Pref1

Γi

Réflectomètre Côté antenneCâble + bretelles

ag, Γ

g=0

Pg

Pref1

ΓXi

Réflectomètre Charge équivalente

Câble + bretelles

ag, Γ

g=0


Trois configurations différentes sont mesurées. Dans chaque cas on détermine un coefficient de réflexion Γxi mesuré en bout de câble au pied du pylône:

Mesure de Γx1 : câble seul terminé en circuit ouvertMesure de Γx2 : câble seul fermé sur une charge supposée parfaitement adaptéeMesure de Γx3 : câble connecté à l’antenne.

On néglige les éventuelles erreurs de mesures du réflectomètre utilisé. 5°) Déterminer l'expression de la puissance réfléchie Pref1. En déduire l'expression du

coefficient de réflexion Γxi en fonction de A et Γi .

6°) Pour les 3 mesures de Γxi donnez la valeur de Γi . Dans chaque cas que peut-on déduire de la mesure.

7°) Analyser et discuter les caractéristiques d'un premier site radio pour lequel on a : Caractéristiques des éléments : Γant= -17dB±1.5 dB, A≈3,3 dB Mesures faites sur site : Γx1=-7 dB, Γx2=-35 dB , Γx3=-25 dB

8°) Analyser et discuter les caractéristiques d'un second site radio pour lequel on a : Caractéristiques des éléments : Γant= -17dB±1.5 dB, A≈0.3 dB Mesures faites sur site : Γx1=-0,5 dB, Γx2=-10 dB , Γx3=-8 dB

V.11 Coupleurs d’antennes, multicoupleurs, diviseurs et combineurs

Les diviseurs (“divider”) et multiplexeurs (“combiner”) s’apparentent à des coupleurs à une ou plusieurs voies couplées (N voies).

Selon l'usage, les opérateurs de radiocommunications désignent ces composants en utilisant les termes français, anglais ou francisés suivants : coupleur ; coupleur d'antennes, multicoupleur, multiplexeur, combiner... En général, toutes les voies couplées possèdent le même couplage et la matrice S idéalisé du circuit a la forme :

Figure V.15: Le coupleur (diviseur) à N voies .

Pout1

Pout2

PoutN

Coupleurà N voies couplées

Pinc


S=0 c ... cc 0 0 0⋮ 0 0 0c 0 0 0

En radiocommunications, pour la plupart des usages on peut en pratique négliger les

mauvaises isolations et les défauts d'adaptation. Pour un circuit idéal, chaque voie couplée transmet donc une fraction égale à 1/N de la puissance incidente. Pour un circuit idéal sans pertes, le couplage en linéaire vaut par conséquent:

c=1

N

A cette expression correspondent par exemple des couplages C de 3 dB pour un diviseur à deux voies et de 6 dB pour quatre voies. Il existent des coupleurs dont les voies de sortie présentent volontairement des couplages différents pour combiner ou répartir la puissance de façon inhomogène sur ces sorties; ils s'utilisent en particulier dans les réseaux câblés. Dans le cas général, les voies sont « équilibrées » et les puissances de sorties identiques s'exprime en fonction de la valeur du couplage :

Pouti dBm=Pout dBm=P incdBm −C dB

En pratique, les coupleurs les plus simples et les plus performants présentent 2 voies couplées. On réalise des coupleurs à 2n voies couplées en cascadant des coupleurs à 2 voies sur n niveaux. Il est rare de disposer de coupleurs à 3 ou 5 voies.

La fonction diviseur correspond à la répartition d’un signal en N signaux identiques vers N voies couplées. Le multiplexeur (souvent et par la suite dénommée par le terme anglais combiner) a pour fonction de regrouper N signaux sur une seule voie. Pour ces deux fonctions, on pourrait utiliser le circuit idéalisé ci-dessus. En pratique, on trouve des circuits dont les performances (isolations non nulles, adaptation des accès) sont spécifiquement optimisées pour l’une ou l’autre des fonctions ; Les opérateurs de radiocommunications les qualifient de multicoupleurs ou coupleurs d’antennes en GSM.

En transmission radio, les combineurs permettent de regrouper les signaux issus des plusieurs émetteurs vers un seul câble ou une seule antenne. Pour cette raison on utilise couramment le terme de « coupleur d’antenne » plutôt que combineur. Par exemple en GSM on utilise un émetteur (Tx) par fréquence. Chaque secteur GSM (zone couverte par une antenne) comporte un total de 1 à 6 émetteurs (1 à 6 fréquences en fonction de la quantité de trafic à écouler) connectés à une seule antenne. Le schéma présenté ci-dessous illustre cette utilisation. Le spectre en entrée présente N signaux (ici schématisés par de simples raies) d’amplitudes Pini généralement identiques. Chaque signal est transmis et atténué en proportion de la valeur du couplage. Les N canaux réparties sur N voies en entrée se trouvent regroupés sur une seule voies.


Pour les calculs de puissance, on considère séparément chaque signal, chaque fréquence ou chaque canal. L’addition des puissances différents canaux n'est utile que pour déterminer la puissance totale émise sur la sortie (vers l'antenne en général). Si les signaux d’entrée avaient eu la même forme d’onde (les mêmes fréquences et les mêmes fluctuations) il aurait fallu les additionner vectoriellement. Leur combinaison nécessite alors la connaissance des phases des signaux d’entrée et des phases des paramètres scattering mis en jeu ; nous n’envisagerons pas cette utilisation dans le cadre de ce cours. Chaque canal possède en sortie une puissance donnée par :

Pouti dBm=P ini dBm −C dB

L’application décrite ci-dessus met en évidence un « défaut » du combiner. Le coupleur étant réciproque, les signaux subissent la même atténuation quel que soit le sens de transmission à travers le coupleur. Par conséquent les puissances d’entrée sont affaiblies ; par exemple de 6 dB si on utilise un coupleur à 4 voies. Théoriquement, il est possible de combiner de signaux de fréquences différentes sans les atténuer en utilisant des filtres ou plus exactement un duplexeur. Cette alternative sera étudiée dans la suite du cours. Elle est parfois technologiquement irréalisable lorsque les signaux présentent des écarts fréquentiels trop faibles ou des fréquences variables (saut de fréquence en GSM).

V.12 exercice : utilisation des diviseurs et de combineurs dans une BTS

Nous présentons ci-dessous l’architecture typique d’une station de base GSM (ou BTS). Chaque secteur GSM interconnecté à une station de base comporte 1 à 6 émetteurs et autant de récepteurs. Le nombre d’émetteurs-récepteurs N est proportionnel au trafic à écouler sur le secteur radio. Sur un secteur, l’opérateur augmente ou diminue ce nombre en fonction de l’évolution du réseau (augmentation du nombre d’abonnés, diminution du trafic suite à l’implantation d’un nouveau site à proximité,…). De ce fait, l’architecture est modulaire de façon à équiper la station de base en limitant le nombre des équipements au strict nécessaire.

Figure V.16: Le coupleur à N voies pour la fonction combineur.

FN

F2

FréquenceF

1

N voies, 1 canal par voie

PinN

PinN

FN

Pout

(dBm)P

in2

F2

Pout2

Pouti

(plusieurs canaux)

Coupleurà N voies couplées

Pin2

N canaux sur 1 voiePin1

F1

Pin1


Les signaux provenant des différents émetteurs sont regroupés à l’aide d’un combiner dont le nombre de voies dépend et fluctue en fonction de l’équipement de la BTS. Pour la partie réception, un diviseur remplace le combiner. Deux possibilités existent pour l’interconnexion selon que l'on interconnecte un ou 2 câbles d’antenne (possibilité d'avoir 2 câbles si un amplificateur LNA est utilisé en tête de mat la BTS doit alors disposer d’une entrée Rx et d’une sortie Tx ). On peut regrouper ces deux voies afin d’utiliser un câble unique pour l’interconnexion à l’antenne (voir topologies dans les prochains paragraphes du cours). La combinaison des voies Rx et Tx se fait à l’aide d’un diplexeur qui sera étudié dans le prochain paragraphe du cours et que nous remplaçons temporairement par un diviseur à deux voies.

1°) Les diviseurs et combineurs utilisés sont supposés être des multipôles sans pertes. Déterminer les pertes d’insertion entre les points A et B.

2°) Déterminer les pertes d’insertion dues à la répartition de la puissance sur 1, 2, 3 ,… 6 voies entre les points B et C (ou B et C').

3°) En déduire les variations des pertes entre l’accès Rx/Tx (point A) et l’entrée d’un récepteur ou la sortie d’un émetteur (point C ou C'). Comment l’opérateur peut-il compenser ces variations lors de l’évolution du nombre d’émetteurs récepteurs ?

V.13 Filtres micro-ondes

Nous restreindrons ce paragraphe à la présentation succincte des seuls filtres passe-bande les plus utilisés dans la chaîne de réception ou d'émission de radiocommunications.

Figure V.17: Utilisation de multicoupleurs dans une BTS GSM.

Coupleur à 2 voies (diviseur + combineur)

Câble + antenne

N voies

N récepteursRx

1

Rx2

RxN

diviseur

N voies

N émetteursTx

1

Tx2

TxN

combineurA

B

C

C'

Passe-tout Passe-bas Passe-bande Passe-haut Coupe-bande


Les caractéristiques des filtres se résument souvent à la spécification de leur pertes en transmission. Comme elles varient fortement avec la fréquence, elles seront simplement résumées à un gabarit en considérant deux fonctionnements suivant que la fréquence du signal appartient à la bande passante ou bien à la bande coupée. La figure présentée ci-dessus illustre le gabarit du coefficient de transmission en puissance d’un filtre passe-bande.

Dans la bande passante (Fc1<F<Fc2), l’atténuation du filtre est faible. On spécifiera en général pour cette gamme de fréquences l’atténuation maximale Am. Typiquement Am vaut quelques dixième de dB. Cependant, pour des filtres utilisés dans les mobiles nécessitant un faible encombrement, un faible coût l'atténuation atteint rapidement quelques dB (voire près de 10 dB dans les mobiles GSM qui étaient commercialisés à la première mise en route des réseaux GSM). Lorsque le rapport entre la largeur de bande passante B et la fréquence centrale F0 diminue, l'ordre du filtre (nombre de cellules résonantes) augmente, la réalisation technologique du filtre devient de plus en plus difficile, et l’atténuation maximale Am s’accroît. On préfère lorsque cette atténuation devient trop importante spécifier une atténuation moyenne et une ondulation autour de cette valeur. L’atténuation moyenne permet de quantifier la diminution moyenne de la puissance du signal d’entrée. L’ondulation permet d’évaluer qualitativement les déformations apportées au signal (certaines fréquences sont plus atténuées que d'autres). Les distorsions du signal résultent également de la variation fréquentielle du temps de propagation du filtre dans la bande passante. Nous n’étudierons pas ce phénomène.

Dans la bande coupée (F<Fs1, F>Fs2, indice s pour “stopband”), l’atténuation du filtre doit être élevée afin de rejeter les signaux inutiles. La réjection As correspond à l’atténuation minimale du filtre dans cette bande coupée.

La plupart des filtres sont conçus à partir d’éléments réactifs présentant peu des pertes. Par conséquent, si on considère le filtre idéalement sans pertes, l'énergie incidente est soit transmise soit

Figure V.18: Représentation synoptique des filtres.

Figure V.19: Gabarit du coefficient de transmission d'un filtre passe-bande.

S21

(dB)

Bande coupée

Bande coupéeB= Bande

passante

FC1 F

C2FS

2FS1

AM

AS

0


réfléchie. On en déduit que les filtres sont généralement désadaptés dans la bande coupée (réflexion quasi totale de la puissance incidente, cette réflexion située hors bande utile ne doit pas perturber le fonctionnement du système de radiocommmunication). Par contre, dans la bande passante ils sont quasiment adaptés puisqu’ils transmettent le signal avec peu d’atténuation.

En général, la spécification des caractéristiques des filtres sous forme d’un gabarit suffit à l’analyse d’une chaîne de transmission. Pour un signal situé dans la bande passante, nous assimilerons le filtre à un atténuateur d’atténuation Am. Dans la bande coupée nous assimilerons le filtre à un atténuateur de pertes d’insertion importante égales à As.

On trouve de nombreux filtres dans une chaîne de transmission. A l’intérieur d’un terminal radio, ils sont au moins présents à l’entrée et à la sortie de chaque étage et à chaque emplacement où l’on opère un changement de fréquence. Sur un site radio les filtres apparaissent le plus souvent sous forme de diplexeurs.

V.14 Diplexeurs et multiplexeurs

Les diplexeurs («duplexer») et multiplexeurs sont similaires aux diviseurs et combiners à ceci près qu’ils opèrent un regroupement ou une séparation de signaux situés dans deux bandes de fréquences différentes par filtrage. On prendra comme exemple les diplexeurs utilisés en GSM. Ceux-ci permettent la séparation des signaux émis et reçus, situés dans des bandes de fréquences disjointes, véhiculés en sens opposés sur le câble connecté à l’antenne. Cette séparation permet de connecter l’émetteur et le récepteur sur la même antenne.


Sur le schéma de principe donné ci-dessus, les signaux reçus situés dans la bande de fréquence FR sont transmis de la voie E/R (émission-réception) vers la voie de réception (Rx). Le filtre passe-bande placé sur cet accès a une bande passante couvrant la plage de fréquence notée FR. Les pertes d’insertion en réception (transmission à FR, entre les voies E/R et Tx) correspondent à l’atténuation de ce filtre dans sa bande passante (Am). En général, les entrées sorties d'un diplexeur sont repérées sur les boitiers par la désignation des fréquences utilisées Uplink ou Downlink qui varient selon que l'on se situe derrière l'antenne du mobile ou derrière l'antenne de la BTS. Nous avons préféré utiliser ici les notions plus générales de fréquence d'émission et de réception.

La plage de fréquence FR correspond par ailleurs à une bande coupée du second filtre. Seule

une faible partie du signal reçu est donc transmise sur la voie d’émission (E). De la même façon, le signal émis est transmis principalement vers la voie E/R.

Sur certains site GSM, l’utilisation d’amplificateurs à faible bruit placés en tête de mât (LNA TMA ou HMA1) nécessite l’utilisation de deux diplexeurs comme l’illustre la configuration décrite ci-dessous.

Certaines stations de base (BTS) disposent d’accès Rx (voie de réception) et Tx (voie d’émission). Dans ce cas, l’utilisation de TMA à un diplexeur suffit. Cette solution permet de réduire les pertes entre l’antenne et la BTS d’un montant égal à 2 fois les pertes d’insertion d’un

1 On utilise les acronymes LNA pour Low Noise Amplifier ou TMA pour Tower Mounted Amplifier ou HMA pour Head Mast Amplifier.

Figure V.20: Principe et utilisation du diplexeur.

Passe-bande @ FR

Passe-bande @ FE

FR

FR

FE

FE

Antenne

Rx

Tx

E/R

Figure V.21: Exemple de secteur radio GSM avec LNA à double diplexeur.

Rx

Tx

Antenne

Duplexer

LNA

Duplexer

U

U/D

D

U

U/D

D

BTS

Câble

U

U/D

D

HMA = TMA = LNA Câble


diplexeur (2 diplexeurs en moins que sur le montage exposé ci-dessus). En contre partie, il faut dupliquer le câble de liaison entre la BTS et le TMA.

V.15 Exercice : configuration d’un site GSM avec TMA et diplexeurs

Le schéma présenté ci-dessous résume un exemple de configuration de site radio GSM. Le câble reliant le TMA à la BTS possède 3 dB de pertes d’insertion, il est connecté à l’aide de 2 bretelles aux diplexeurs. Toutes les autres interconnexions utilisent des câbles courts ou bretelles pour lesquelles on suppose les pertes d’insertion égales à 0,5 dB quel que soit leur longueur. L’amplificateur LNA à un gain de 7 dB. Les diplexeurs ont 0.25 dB de pertes (Am).

Questions

1°) Déterminer l’atténuation AU subie par le signal reçu entre la sortie de l’antenne et l’entrée Rx de la BTS (lien Uplink).

Figure V.22: Exemple de secteur radio GSM avec LNA à un diplexeur et 2 câbles.

Rx

Tx

Antenne

Duplexer

LNA

Duplexer

U

U/D

D

BTS

Câble

HMA = TMA = LNA

Câble

Câbles

Figure V.23: Calcul des pertes sur un secteur radio GSM avec LNA à double diplexeur.

Rx

Tx

Antenne

Duplexer

LNA

Duplexer

U

U/D

D

U

U/D

D

BTS

Câble

U

U/D

D

HMA = TMA = LNA Câble

Bretelles d'interconnexion

AU, AD


2°) Déterminer l’atténuation AD sur le lien Downlink du signal émis entre la sortie Tx de la BTS et l’entrée de l’antenne.

3°) Faire de même en absence de TMA (avec une seule bretelle entre le câble et l'antenne), et discuter les résultats.

4°) Dans un lien radio, on équilibre la liaison de façon à ce que la dégradation de la communication se fasse symétriquement pour les deux interlocuteurs. Lorsque le mobile et l’émetteur possèdent la même sensibilité, et en absence de TMA, les puissances d’émission du mobile et de la BTS doivent être identiques. En présence de TMA, l’équilibre est obtenu en modifiant la puissance d’émission de la BTS. En faisant l’hypothèse de mobile émettant 2W, estimer la puissance d’émission de la BTS garantissant l’équilibre.

IMPORTANT. Cet exercice dans sa dernière question propose une approche simplifiée de l’équilibre du bilan de liaison. Cet équilibre devrait prendre en compte le bruit des équipements. Pour une étude plus réaliste on se reportera à la suite du cours pour prendre en compte le facteur de bruit des équipements.


V.16 Modèle élémentaire du lien radio

Le canal radio fera l’objet dans ce cours d’une représentation simplifié. Nous supposerons généralement l'affaiblissement entre l’émetteur et le récepteur constante ce qui est loin de la réalité.

L’expression reliant les puissances émise PE et reçue PR fait intervenir l’affaiblissement de liaison A (équation du bilan de liaison)

PR=PE GE G R

Aen linéaire

PR dBm=PE dBmG EdBiG RdBi −AdB

Ge, Gr sont les gains des antennes d’émission et de réception. Ils quantifient l'importance du rayonnement de l'antenne d'émission vers l'antenne de réception et dépendent de l'orientation des antennes. L'unité dBi utilisée fait référence à l'antenne théorique isotrope émettant un rayonnement homogène en puissance dans toutes les directions. Par définition l'antenne isotrope a un gain de 0 dBi.

Les antennes sont généralement des éléments réciproques (sauf si l'antenne est active ou composée d'éléments non réciproques tels que des amplificateurs) leur gain varient de 0 dBi à 17 dBi en général. Pour les antennes GSM, nous donnons des exemples de caractéristiques dans le tableau suivant.

Référence Four-nisseur

Type Gain (dBi)

ouverture à 3dB H

(°)

ouverture à 3 dB V

(°)

tilt élec. (°)

Hauteur (m)

XM 72 21 15

ADC crosspolar 13 72 21 15 0,96

XM 75 75 ADC crosspolar 8 75 75 0 0,23K 75 15 6 7 Kathrein Omni 5 -- 30 0 0,71K 75 11 67 Kathrein Omni 2 -- 78 0 0,35735284 Kathrein omni indoor 2 -- 0 0,20735810 Kathrein panneau 65° 14 65 20 0 0,97730368 Kathrein panneau 65° 15,5 65 13 0 1,30730862 Kathrein panneau 120° 6,5 120 70 0 0,26730366 Kathrein panneau 120° 10 120 27 0 0,65DB499 ATG Yagi 10 30 30 0 l=0,76

Tableau V.25: exemples de caractéristiques d'antennes GSM..

Ces gains dépendent essentiellement des ouvertures horizontale et verticale. Ils varient de 8 à 17 dBi pour les antennes couvrant un secteur de 60°, de 6 à 10 dBi pour les bi-sectorielles (secteur

Figure V.24: Modèle basique de la liaison radio.

d GR

GE

Antenned'émission

Antennede réception

PRP

E

A Γ=0ag, Γ

g=0


de 120°), et de 2 à 6 dBi pour les omnidirectionnelles. Pour les faisceaux hertziens (FH) les antennes sont des paraboles pour lesquelles le gain dans

la direction principale du rayonnement correspond à des expressions analytiques simples :

G dB=10 log10η 2π rλ

2

où λ est la longueur d’onde à la fréquence d’émission et r le rayon de l’antenne (prendre les

mêmes unités pour r et λ). L’efficacité de rayonnement η de l’antenne avoisine généralement 0,5 soit 50%. Les paraboles possèdent des gains qui peuvent atteindre plusieurs dizaines de dBi lorsque leur surface est importante.

L'interface air est lui aussi réciproque. Aussi en permutant le générateur et la charge par rapport au circuit précédant obtient-on un comportement similaire avec un calcul de la puissance reçue inchangé. Notamment les antennes possèdent le même gain en émission et en réception.

PR2 dBm=P E dBmGR dBi GE dBi −AdB=PR dBm

Dans la formule du bilan de liaison, l'affaiblissement1 de liaison quantité A est le plus difficile à quantifier.

V.17 Le lien radio en ligne de vue (LOS)

Le modèle en ligne de vue ou LOS pour « Line of Sight » s'utilise pour des transmissions pour lesquelles les conditions suivantes sont satisfaites :

• dégagement parfait, absence d'obstacles entre les antennes• lien suffisamment éloigné du sol et des obstacles pour éviter les réflexions multiples et

les évanouissement correspondants• atténuations des gaz présente dans l'atmosphère négligeables • absence de pluie, neige, brouillard, orages pouvant affaiblir la puissance transmise

Ces conditions se trouvent partiellement vérifiée pour les transmissions par faisceaux hertziens (FH) ; elles sont loin d'être satisfaite pour les autres liens radio qui possèdent un affaiblissement bien plus important.

L’affaiblissement ALOS du modèle LOS a pour expression :

1 On utilise le terme d'affaiblissement et on ne devrait pas utiliser la notion de pertes ou d'atténuation du lien radio. Plus on s'éloigne du récepteur plus la surface sur laquelle la puissance émise est diffusée s'agrandit plus l'affaiblissement augmente. Dans un environnement de propagation idéal, il n'y a pas de pertes en puissance.

Figure V.26: Le système composé des antennes et de l'interface air est réciproque .

d GR

GE

PR2

PE

AΓ=0 ag, Γ

g=0


ALOS dB=20 log10 4π dλ

ALOS dB =92,4dB20 log10F 20 log10d dans cette expression F est enGHZ ,et d en km

V.18 Quelques modèles de lien radio GSM et Wifi

En transmission GSM on évalue l'affaiblissement de liaison à l’aide des modèles tels que « Okumura Hata » et « COST 231-Hata ». Ces modèles expriment l'affaiblissement à partir d'une constant C1 et de l'exposant n d'affaiblissement (n=1 pour la canal LOS) :

AdB=C110 n log10d

D'une façon générale la constante C1 dépend essentiellement de la fréquence et du type d'environnement notamment de la présence d'obstacles. Les modèles « Okumura Hata » et « COST 231-Hata » issus de campagne de mesures donnent des expressions pour n et la constante C1 . Les opérateurs de radiocommunications exploitent les mesures faites sur le terrain pour ajuster ces modèles et obtenir des prédictions fiables de la couverture radio.

Le tableau suivant donne quelques ordre de grandeur pratiques pour le GSM.

Environnement Rural dégagé Rural semi-dégagé

Urbain (ville moyenne)

Hauteur de BTS 100 m 100 m 50 m

Affaiblissement @ 925 MHZ

A=90,9 + 31,8 Log(d) A=95,9 + 31,8 Log(d) A=123,6+33,8 Log(d)

Affaiblissement @ 1795 MHZ

A=97,0 + 31,8 Log(d) A=102 + 31,8 Log(d) A=133,1+33,8 Log(d)

Tableau V.27: exemples modèles d'affaiblissement radio GSM (distance d en km, extrait de « Réseaux GSM » de Xavier Lagrange, Philippe Godlewski, Sami Tabbane, 5ème édition, publié

chez Hermes).

Pour les applications en intérieur (« indoor ») telle que le Wifi (IEE 802.11) on trouvera des formules approchées comme celles publiées dans les recommandations de l'ITU1 :

AdB=3220 log10F 10n log10d P f n f

avec dans cette expression F enGHz et d en mètres

Ce modèle prend en compte un exposant d'atténuation n proche de 2, celui du modèle LOS dans les environnements commerciaux. Pour des environnements de bureau présentant plus d'obstacle cet exposant avoisine 3 ce qui correspond à un affaiblissement plus fort.

Frequency Band Residential Area Office Area Commercial Area

1 « Propagation data and prediction methods for the planning of indoor radio communication systems and the radio local area networks in the frequency range 900 MHz to 100 GHz », ITU-R Recommendations, Geneva, 2001


900 MHz N/A 3,3 2

1,2 GHz N/A 3,2 2,2

1,3 GHz N/A 3,2 2,2

1,8 GHz 28 3 2,2

4 GHz N/A 2,8 2,2

5,2 GHz N/A 3,1 N/A

Tableau V.28 : exposant d'atténuation Indoor (n) selon recommandations ITU-R.

Ce modèle prend en compte l'affaiblissement du à la traversée de planchers par les ondes avec le facteur Pf(nf) .

Fréquence Nombre de planchernf

Zone résidentielle Bureaux Zone commerciale

900 MHz nf=1 N/A 9 N/A

900 MHz nf=2 N/A 19 N/A

900 MHz nf=3 N/A 24 N/A

1.8 GHz nf 4nf 15+4(nf-1) 6+ 3(nf-1)

2.0 GHz nf 4nf 15+4(nf-1) 6+ 3(nf-1)

5.2 GHz nf=1 N/A 16 N/A

Tableau V.29 : exposant d'atténuation Indoor (n) selon recommandations ITU-R.

Ces données ne sont qu'indicatives. Une planification GSM ou indoor nécessite la visite des

sites concernées pour y effectuer des mesures afin de calibrer ou d'ajuster ces modèles.

V.19 exercice : estimation de la portée de liens FH

L’ingénierie des FH devrait prendre en compte le bruit des équipements. Nous n’étudierons ici que succinctement l’évolution la portée des FH en fonction des diamètres des antennes et de la fréquence porteuse en utilisant le modèle de l'affaiblissement radio dérivé du modèle LOS.


L'affaiblissement du lien radio A est estimé à l'aide de la formule :

A=ALOS dB30 dBA=122,4 dB20 log10F 20 log10d

dans cette expression F est enGHZ ,et d en km

Pour l’ensemble de ces équipements, on impose une puissance d’émission Pg=PE=+17 dBm. Le bon fonctionnement requiert un signal reçu de puissance supérieure à la sensibilité Prmin :

PR≥PRmin=−80dBm

1°) Les antennes utilisées ont des diamètres de 15, 30, 60 ou 120 cm et un rendement η supposé égal à 50%. Déterminer et discuter leur gain aux fréquences de 13 et 38 GHz. (tableau ci-dessous) à partir de la formule :

G dB=10 log10η 2 π rλ

2

où λ est la longueur d’onde à la fréquence d’émission et r le rayon de l’antenne (prendre les

mêmes unités pour r et λ)

Diam. (cm) 15 30 60 120

F (GHz) λ (cm)

13 2,3

38 0,8Gains des antennes paraboliques

2°) Utilisez la contrainte en puissance PR≥PRmin=−80dBm pour en déduire aux fréquences de 13 et 38 GHz les affaiblissements maximaux Amax correspondant à la limite de fonctionnement des FH. (tableau ci-dessous)

Diam. (cm) 15 30 60 120

F (GHz) λ (cm)

13 23,1

38 7,9 (*1) (*)

Figure V.30: Modèle de la liaison radio FH.

d

Antennede réception

GR

GE

PRP

E

A=30 +ALOS

Γ=0Pg, Γ

g=0

Antenned'émission


Atténuations maximales (dB)

3°) A partir de ces résultats, calculer les portées des FH à 13 et 38 GHz, pour les 4 diamètres spécifiés (tableau ci-dessous, hypothèses du modèle LOS modifié).

Diam. (cm) 15 30 60 120F (GHz) 20 log(F)

13 22,338 31,6

Portées maximales des FH (km)

1 Pour des fréquences supérieure à 20 GHz, on limite le diamètre des antennes paraboliques pour conserver une ouverture suffisante et ainsi éviter les problèmes de pointage ou de dé-azimutage en cas de vent.


VI Les blocs constituants la chaîne de transmission : corrigé des exercices

VI.1 Corrigé de l’exercice sur le calcul de puissance sur une chaîne de transmission

1°) détermination des puissances

Pinc = 30 dBm (attention pas 0 dBm mais 0 dBW)Ptr2 = Pinc + G = 44 dBm, soit 25 W Ptr3 = Ptr2 – L = 43 dBm Pref3 = Ptr3 + ΓL = 33 dBm

2°) détermination de Pref2

Pref2 = Pref3 – I = 10 dBm, soit 10 mW

La puissance Pref2 est négligeable devant la puissance de sortie de l’amplificateur (25 W).

3°) antenne débranchée

Lorsque l’antenne est débranchée accidentellement, le coefficient de réflexion correspondant est égal à -1 sur une échelle linéaire soit 0 dB sur l’échelle logarithmique. On en déduit :

Pref3 = Ptr3 + 0 = 43 dBm soit Pref2 = Pref3 – I = 20 dBm soit 100 mW

En conclusion, l’isolateur limite la puissance réfléchie vers l’émetteur en cas de manipulation de l’antenne pendant le fonctionnement de l’émetteur. Dans la pratique, les interventions doivent bien entendu se faire lorsque l’installation est hors fonctionnement.

VI.2 Corrigé de l’exercice III-8 : Caractérisation de la chaîne de transmission à l’aide de coupleurs

1°) Calcul des puissances, du gain

Pc1 = Pinc - C = -7 dBm Pinc = Pc1 + C = +3 dBmPtr2 = Pinc - L =+2 dBmPtr3 = Ptr2 + G = ? Pc2 = Ptr3 - C = +5 dBm Ptr3 = Pc2 + C = +15 dBm

G = Ptr3 - Ptr2 = 13 dBPtr4 = Ptr3 - L = +14 dBm Pref4 = Ptr4 + ΓL = -6 dBm

2°) influence de la mauvaise isolation du coupleur

Pc2bis = Pref4 - I= Ptr3 - L + ΓL - I = -31 dBmPc2bis << Pc2 Ptr3 - L + ΓL - I << Ptr3 - C

VI-Les blocs constituants la chaîne de transmission : corrigé des exercices

98

D=I-C >> ΓL-L # ΓL

Comme le coefficient de réflexion est négatif, la condition sur la directivité n’est pas contraignante, dans cette configuration de mesure. Il n’en est pas toujours de même.

VI.3 Corrigé de l’exercice III-9 : Comment charger la voie couplée d’un coupleur ?

1°) expressions et valeurs des puissances

Pgen = +40 dBmPtr= Pgen – L = +39 dBmPc= Pgen – C = +20 dBm

2°) Cas de la charge adaptée déconnectée sur la voie couplée:

Pref3 = Pc + ΓL = Pc = +20 dBmPref1 = Pref3 - C = 0 dBm

La puissance réfléchie sur la voie couplée vers l’émetteur est inférieure de 40 dB à celle de l’émetteur. Cet écart de 40 dB correspond au passage aller-retour dans le coupleur (2 fois le couplage de 20 dB). Il n’y a donc pas de perturbation du fonctionnement de l’équipement lors des débranchements des charges sur la voie couplée comme cela est généralement le cas.

3°) Prise en compte de la mauvaise isolation du coupleur Si l’isolation du coupleur est prise en compte, on constate une puissance complémentaire de

-10 dBm (+20 - I) transmise vers l’antenne. Cela est négligeable par rapport à la puissance de 39 dBm transmise directement par l’émetteur. La mauvaise isolation du coupleur n’est pas gênante pour ce montage.

VI.4 Corrigé de l’exercice : caractérisation d’un site radio

1°) expressions des puissances

Ptr = Pgen –2 L Pref = Ptr + Γx

Pc1 = Pgen – C Pc2 = Pref – C

2°) Expression et valeurs de Γx

Γx = Pref - Ptr = (Pc2 + C) - ( Pgen –2 L) = (Pc2 + C) - (Pc1 + C –2 L)Γx = Pc2 - Pc1 + 2 L

3°) phase de calibration du réflectomètre

L = (Pc1 - Pc2 + Γcc)/2 = (Pc1 - Pc2)/2 = 0,5 dB

4°) critère de directivité des coupleurs en réflectométrie


Pc2bis = Pgen – L - IPc2bis<< Pc2 Pgen – L – I<< Pgen –2 L + Γx - C – I<<– L + Γx - C D= I – C >> - Γx (en négligeant L)

On retrouve le critère exposé en cours. Dans le cas présent, on ne pourrait mesurer que des coefficients de réflexion compris entre 0 et –7 dB (D=10 dB).

5°) mesure de Γx1 :

Pref = Pinc – A + Γco –A = Pinc – 2 A Γx1 = Pref – Pinc = -2 A

Cette mesure permet la détermination des pertes du câble. La mesure d’un coefficient de réflexion de –7 dB correspond à des pertes de 3,5 dB. On doit comparer cette valeur à la valeur estimée théorique. S’il n’y a pas correspondance on en déduit un problème potentiel sur l’installation.

6°) mesure de Γx3 sur le même site radio

Pref = Pinc – A + Γant –A Γx3 = + Γant -2 A = Γant = Γx3 + 2 A =( Γx3 - Γx1 )

La mesure de Γx3 correspond au coefficient de réflexion de l’antenne, aux pertes près. L’antenne présenterait ici un coefficient de réflexion de –18 dB ce qui l’on peut attendre d’une antenne (TOS de l’ordre de 1,2 à 1,5 typiquement).

7°) mesure de Γ x2 sur le second site radio

Pref = Pinc – A + Γca –A Γx2 = Pref – Pinc = + Γca -2 A

Si la charge est parfaitement adaptée (coefficient nul en linéaire), Γx2 est nul (échelle linéaire). Cette mesure devrait donner un coefficient de réflexion très faible (typiquement en dessous de -30 à -40 dB suivant la précision de l’appareil de mesures et de la charge adaptée). Dans le cas présent, on peut soupçonner un défaut d’adaptation du câble, ou une mauvaise interconnexion du câble aux bretelles. Ceci est confirmé par la mesure de Γx3.

VI.5 Corrigé de l’exercice : utilisation des diviseurs et de combineurs

1°) pertes d’insertion des combineurs

Nombre de voies 1 2 3 4 5 6Facteur d’atténuation linéaire 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6Pertes d’insertion des combiners et diviseurs (dB) 0 3 4,8 6 7 7,8pertes entre l’accès Rx/Tx et l’entrée d’un récepteur (dB) 3 6 7,8 9 10 10,8

2°) Compensation des pertes des diviseurs

VI-Les blocs constituants la chaîne de transmission : corrigé des exercices

100

Pour l’émission, le meilleur moyen pour compenser les variations de puissance (7 dB au maximum) consiste à modifier la puissance d’émission de la BTS. En réception, l’augmentation des pertes réduit la sensibilité de la station de base.

VI.6 Corrigé de l’exercice III-15 : configuration d’un site GSM avec TMA

1°) détermination de l’atténuation du lien descendantAR = 0,5 + 0,25 + 0,5 + (-7) +0,5 + 0,25 + 0,5 + 3 + 0,5 + 0,25 + 0,5 = -0,25 dB

2°) détermination de l’atténuation du lien montantAE = 0,5 + 0,3 + 0,5 + 3 + 0,5 + 0,3 + 0,5 + 0,3 + 0,5 = 6,4 dB

3°) détermination de l’atténuation des liens montant et descendant en absence de TMAAE = 0,5 + 3 + 0,5 +0,25 + 0,5 = 4,75 dB AR = 0,5 + 3 + 0,5 +0,3 + 0,5 = 4,8 dB

La présence du TMA n’améliore pas sensiblement les pertes d’insertion sur le lien descendant (L’amélioration de la sensibilité sera vue dans le chapitre relatif au bruit). Elle modifie fortement l’atténuation sur le lien montant. Un gain d’amplificateur plus important améliorerait la réception tout en augmentant le déséquilibre. Pour cette raison le gain des TMA ne dépasse généralement pas 7 à 10 dB.

4°) déséquilibre du lien radio

Pour le cas étudié, le déséquilibre est d’environ 7 dB (6,4 +0,25). On doit donc augmenter la puissance d’émission qui devient 33 dBm + 7 dB= 40 dBm soit 10W par canal GSM.

VI.7 Corrigé de l’exercice estimation de la portée de liens FH

1°) Gains des antennes paraboliques

Diam. (cm)

15 30 60 120

F (GHz)

λ (cm)

13 2,3 23,2 29,2 35,2 41,338 0,8 32,5 38,5 44,5 50,6

Le gain des antennes augmente avec le diamètre et la fréquence. Le doublement du diamètre augmente le gain de 6 dB. En pratique, on se limite à un diamètre de 120 cm à 13 GHz et 30 cm à 38 GHz. Au-delà les gains deviennent trop important, les ouvertures se réduisent à quelques degrés rendant le pointage des antennes délicat.

2°) Atténuations maximales (dB)Pr = Pe + Ge –A + Gr = Pe + 2Ge –A > Prmin

A < -Prmin + Pe +2 G = Amax = 67 +2 G


Diam. (cm)15 30 60 120

F (GHz) λ (cm)13 23,1 113,4 125,4 137,5 149,538 7,9 132,0 144,1 156,1 168,1

Les atténuations sur un lien radio peuvent atteindre 100 à 150 dB. Cette forte dynamique des signaux confirme l’utilité de l’échelle logarithmique des décibels.

3°) Portées maximales (km)Amax(dB)= 92,4 dB + 20*log10(F) + 20 log10(dmax)

Avec F exprimée en GHz et dmax en Km.

Diam. (cm) 15 30 60 120F (GHz) 20 log(F)

13 22,3 0,9 3,4 13,8 55,138 31,6 2,5 10,1 40,3 161,1

Si on omet les cases grisées correspondant à des gains d’antennes paraboliques trop élevés, on constate des portées de 50 km à 13 GHz et de 20 km à 38 GHz.

Dans la pratique, les portés les plus longues utilisent des FH à 4 et 13 GHz. Exceptionnellement on utilise des antennes de 1,20 m pour allonger la portée au-delà de 20 km. Des diamètres aussi importants ne respectent pas la nécessaire discrétion des équipements! Les fréquences de 23 et 38 GHz sont réservées en priorité aux usages urbains pour des portées de quelques kilomètres.


VII Le bruit dans les systèmes micro-ondes

VII.1 Les origines du bruit

Les origines des bruits sont si diverses qu’il apparaît difficile de les classer en catégories. Cependant, on distingue souvent les contributions au bruit apportées par les composants eux-mêmes des sources de bruit externes aux systèmes dont l’étude relève généralement de la CEM ou Compatibilité ElectroMagnétique. La CEM prend en compte les sources de bruit telles que : la foudre, les rayonnements électriques et magnétiques causés par les lignes à courant forts les fours à micro-ondes et les impulsions (EMI), les parasites émis par les moteurs les rupteurs et les néons. Ces différentes sources ne seront pas étudiées ici.

Dans le cadre de ce cours, on s’intéressera en premier lieu au bruit dit thermique. Ce bruit émis par tous les corps et les composants passifs se caractérise par une puissance proportionnelle à la température. On prendra également en compte le bruit propre aux composants actifs que l’on représentera par un facteur de bruit. On caractérisera le bruit de quadripôles en cascade afin de définir les règles d’ingénierie permettant d’améliorer la sensibilité des systèmes de réception. L'approche du calcul du bruit considérera toujours des quadripôles adapatés dans un souci de simplification.

VII.2 Le modèle du bruit blanc, DSP et puissance du bruit

Les systèmes de communication possèdent des bandes passantes limitées à quelques MHz, voire quelques dizaines de MHz. L’occupation spectrale réduite permet de supposer que le bruit a une densité spectrale de puissance (DSP) indépendante de la fréquence que l’on notera N0

1. Ce modèle correspond à un bruit blanc.

Dans la chaîne de réception, le signal subit différents filtrages. En bout de chaîne, seule la contribution du bruit résultant après filtrage importe. La puissance du bruit correspondante N est proportionnelle à la bande passante B du système ;

N=N 0 B (Watt)

avec N0 : densité spectrale de puissance du bruit (W/Hz)

1 On note généralement la DSP du bruit N0 . Lorsque l'on travaille en fréquence négatives et positives la DSP se répartie sur les 2 bande de fréquence et vaut alors N0/2.

Figure VII.1: Densité spectrale de puissance du bruit blanc..

N0

DSP(W/Hz)

B

DSP du bruit blanc

DSP du bruit filtré

Fréquence

VII-Le bruit dans les systèmes micro-ondes106

B : bande passante du système (Hz)

On considère pour la bande passante B, la bande minimale des filtres les plus sélectifs utilisés dans le système. Par exemple, un mobile GSM filtrera en premier lieu l’ensemble de la bande GSM (filtre de largeur 35 MHz) avant d’opérer le filtrage du canal à démoduler de bande passante égale à 200 KHz (B=200 KHz= bande passante d’un canal GSM).

VII.3 Modèle de la résistance bruyante (bruit thermique)

On s’intéresse à la puissance du bruit d’origine thermique généré par une résistance portée à une température T dans un système de bande passante B. Supposons que nous puissions effectuer cette mesure à l’aide d’un wattmètre non bruyant (en réalité, tous les appareils de mesures sont bruyants). Plaçons-nous dans les conditions habituelles d’adaptation en impédance entre la source de bruit et la charge (wattmètre).

Dans ces conditions, le bruit mesuré correspondrait à l’expression théorique:

N=K T B (Watt)

avec K : constante de Boltzmann (ne pas confondre avec l'unité K : Kelvin en majuscule)B : bande passante du systèmeT : Température en K [T(K)=T(°C)+ 273]

Afin de simplifier le calcul de cette quantité, on exprime la puissance en dBm par rapport à une température dite de référence notée T0 égale à 290K soit 17°C.

N=K T B=K T 0 B TT 0

N dBm=−17410log10 TT 010log10 B

1Hz N dBm=−17410log10 T

T 010log10B

La valeur de –174 dBm correspond au bruit théorique généré par une résistance portée à la température de référence T0 dans une bande de 1 Hz. Pour une bande passante de 1 MHz, le niveau ce bruit s’élève à –114 dBm. Par la suite, ce modèle de la résistance bruyante sera aussi utilisé pour représenter le bruit des composants actifs et des sources de bruit.

Figure VII.2: Modèle de la résistance bruyante.

Rg=Z

0,

T RL=Z

0

Source de bruit

Résistance bruyante

Appareil de mesure non bruyant

N = KTB


VII.4 Modèle représentatif des sources de bruit

On modélise les sources de bruit par une résistance bruyante portée à une température fictive Ts qualifiée de température équivalente de bruit de la source. On définit également l’excès de bruit (ENR=Excess Noise Ratio) par rapport au bruit thermique KT0B pour le calcul de la puissance de la source.

N=K T S B=K T 0 B T S

T 0=K T 0 B1T S−T 0

T 0=K T 0 B1ENR

ENR dB=10log10 T S−T 0

T 0

Pour des températures de bruit TS importantes, l'ENR permet une estimation simple de la puissance de bruit :

ENR dB≈10log10T S

T 0

N dBm≈−17410log10B ENR dB

VII.5 Combinaisons des sources de bruit

En chaque point d’un système, l’interconnexion d’un générateur et d’une charge impose la prise en compte de deux sources de bruit. Nous illustrerons ceci en reprenant l’exemple précédent mais en considérant à présent le bruit de l’appareil de mesures. Nous modélisons ce bruit par une résistance placée à une température équivalente de bruit notée Te.

Sauf cas très particulier, ces deux contributions au bruit proviennent de sources différentes et indépendantes. Les bruits ne sont donc pas corrélés et leurs puissances s’ajoutent1. Le bruit total correspond simplement à l’expression

N=K T ST E B (Watt)

1 On ne pourra plus appliquer ce résultat lorsque dans un circuit plusieurs sources de bruit proviennent de la même origine et se combinent. Ce cas de figure se rencontre notamment lorsque l'on étudie le bruit à l'intérieur d'un circuit complexe tel qu'un amplificateur ou lorsque l'on modélise un banc de mesure du bruit.

Figure VII.3: Combinaisons des bruits d’une source et d’une charge.

Rg=Z

0R

L=Z

0

Bruit de l’appareil

de mesures

Source de bruit

Appareil de mesure bruyant

N = K (Ts +T

e)B

T=Ts

T=Te


VII.6 Modèles du quadripôle adapté bruyant

Nous considérons dans ce paragraphe un amplificateur comme exemple bien que les modèles proposés s’appliquent à la plupart des quadripôles actifs composant la chaîne d’émission réception. Nous imposons l’hypothèse de quadripôles parfaitement adaptés dans le but de simplifier l’étude. La figure présentée ci-dessous illustre qualitativement les spectres d’un signal avant et après amplification en présence de bruits rapportés, d’une part dans le signal d’entrée, d’autre part par le circuit bruyant.

Pour cet exemple particulier, l’observation du signal permet d’estimer le gain G. Alors que l’on peut s’attendre à une augmentation du niveau du bruit correspondante à ce gain G, il apparaît en sortie une contribution supplémentaire au bruit due au circuit actif. Dans un premier modèle du quadripôle bruyant, l’impédance d’entrée n’est pas bruyante, une source de bruit de puissance Na

représente le bruit équivalent ajouté en sortie.

On utilisera plus souvent un modèle équivalent comportant une source de bruit équivalent ramené à l'entrée.

Figure VII.5: Modèle du circuit actif bruyant avec source de bruit Na ajouté en sortie.

Rg=Z

0,

Ts

Z0

Source de bruit

Source de bruit

Circuit bruyant(amplificateur)

N = KTsBG + N

a

Z0

Na

Figure VII.4: Spectre bruité en entrée et en sortie d’un quadripôle bruyant.

Ne

DSP(W/Hz)

Spectre avant amplification

F

Se

(S/N)e

Ns

Spectre après amplification

F

Ss

(S/N)s

G

G

Na


Rappelons que ces deux modèles reposent sur l’hypothèse d’un quadripôle adapté en entrée et en sortie. Le second modèle ramène ce bruit ajouté à l’entrée en considérant une température équivalente Te à l’entrée. On garantit l’équivalence des modèles en imposant une relation entre les grandeurs Na et Te.

N a=K T e B G

VII.7 Facteur de bruit d’un circuit actif

L’un des objectifs de l’étude du bruit et de quantifier aisément la diminution du rapport signal à bruit entre l’entrée et la sortie d’un quadripôle. Le paramètre le plus usuel pour mesurer cette dégradation est le facteur de bruit F1 (Noise Figure).

F= S

N entree

SN

sortie

∣∣ pour N entree=K T 0 B

F linéaire≥1

Comme tous les circuits sont bruyants, le facteur de bruit est nécessairement supérieur à 1. Il est égal à 1 soit 0 dB pour les circuits idéaux non bruyants.

F dB=10 log10F lin≥0 dB

F linéaire=10F dB /10

F dB =10Log10 F lin ≥0 F lin=10F dB

10

On utilisera et on exprimera généralement F sur une échelle logarithmique :

1 Dans les ouvrages anglo-saxons on désigne souvent le facteur de bruit NF pour Noise figure ce qui évite de le confondre avec la fréquence.

Figure VII.6: Modèle du circuit actif bruyant avec source de bruit équivalent ramenée à l’entrée.

Circuit bruyant(amplificateur)

Rg=Z

0,

Ts

Z0

Source de bruit

Source de bruit

N = K(Ts+T

e)BG

Z0

Te

Nin total

= K(Ts+T

e)B


F dB= SN

dB /entrée

− SN

dB/ sortie

∣∣pour N entrée=K T0 B

On montre que la réduction du bruit dans un composant ou un système correspond toujours à la minimisation de son facteur de bruit. L’intérêt du facteur de bruit est de fournir une mesure directe de la dégradation du rapport signal à bruit comme l’illustre l’exemple suivant.

Cependant, le principal inconvénient du facteur de bruit réside dans sa définition impliquant une température de bruit de la source unique égale à la température de référence T0. Pour cette valeur de température de bruit de la source, en considérant l’exemple ci-dessus, on montre aisément la relation existant entre le facteur de bruit (F), la température équivalente de bruit d’un quadripôle (Te) et le bruit ajouté en sortie (Na).

F=1T e

T 0

T e=T 0F−1

N a=K T 0 B F−1G

VII.8 Facteur de bruit des circuits passifs

La présence de bruit dans les circuits passifs découle de la nature résistive du composant et de l’existence de pertes. On montre théoriquement que le facteur de bruit d’un quadripôle adapté passif placé à la température de référence est égal à son atténuation (F=A). En première approximation, on utilise cette règle à l’exception des conditions extrêmes de température relatives aux charges utiles des satellites, aux composants refroidis à l’azote liquide et aux dispositifs à base de supraconducteurs. Les dispositifs concernés par ce modèle simple (Facteur de bruit = Atténuation) sont les atténuateurs, les câbles, les filtres ou tout autre composant passif présentant des pertes.

Dans le cas où plusieurs quadripôles passifs sont associés en cascade cet ensemble étant lui-même placé en amont d’un circuit actif unique, le facteur de bruit global exprimé en décibels correspond à la somme des facteurs de bruit1.

1 Dans le cas général c'est la formule de Friis qui s'applique.

Figure VII.7: Facteur de bruit des quadripôles passifs associés à un dernier étage actif.

F1=-G

1 FN,G

N

Premiers étages, passifs (gain en dB négatifs) Dernier étage, actif

Circuit équivalent

FT,G

T

FT(dB)= F

1+F

2+F

3+…F

N (dB)

GT(dB)=G

1+G

2+G

3+…G

N (dB)

F2=-G

2F

3=-G

3


VII.9 Bruit capté par les antennes

Dans le calcul d’un bilan de liaison, l’un des éléments clé est l’antenne de réception. Ce circuit passif capte les rayonnements thermiques émis par les corps situés dans son diagramme de rayonnement. L’antenne bruyante, supposée adaptée est modélisée par une résistance bruyante portée à une température Tant qualifiée de température équivalente de bruit de l’antenne. Cette température équivalente dépend directement de la température des corps situés dans la direction des lobes principaux de réception de l’antenne.

Pour des antennes pointées vers la terre (liaison terre-terre et terre vers satellite, GSM, Faisceaux Hertziens) on suppose en première approximation que Tant est égale à la température de référence T0. On montre qu’une variation de quelques dizaines de degrés autour de la température de référence n’a qu’une incidence réduite sur les puissances de bruit captées par les antennes.

Pour une antenne terrestre de station de réception satellitaire (lien du satellite vers terre) la température variera de quelques dizaines de degrés Kelvin si l’antenne est pointée vers des zones « froides » à des températures extrêmement élevées si l’on doit pointer l’antenne vers le soleil. Si nécessaire, l’étude de la liaison s’appuie sur des cartes décrivant la température du ciel et son évolution en fonction de la fréquence. Si la température équivalente de bruit de l’antenne doit être faible, comme en radioastronomie, le concepteur de l’antenne devra réduire l’amplitude des lobes secondaires du diagramme de rayonnement de l’antenne qui contribuent à l’augmentation du bruit. Il faudra dans ce cas optimiser le rapport du gain de l’antenne et de sa température équivalente (Gant/Tant).

VII.10 Association de quadripôles bruyants

D’une façon générale, le calcul du facteur de bruit d’une chaîne constituée par l’association de quadripôle bruyant en cascade s’effectue en appliquant la « formule de Friis »

Figure VII.8: Température de bruit d’une antenne : sources de bruit potentielles pour une station de réception terrestre.

qq 10 K

SoleilT

soleil>>T

0

Terre : T≈T0

Lobe principal

Lobes secondaires

AtmosphèreT=T

O

Parabole


Dans la formule de Friis, les gains et les facteurs de bruit s’expriment en linéaire :

F T=F1F 2−1

G 1

F 3−1

G 1G2

...F N−1

G1 G2...GN−1 Attention , valeurs en linéaire

Tous les numérateurs et dénominateurs correspondent à des réels positifs. L’application de cette formule et la recherche d’un facteur de bruit global aussi faible que possible aboutit aux conclusions suivantes.

Le facteur de bruit d’une chaîne est supérieur ou égal au facteur de bruit du premier étage (F1). Par conséquent ou placera dans la mesure du possible un étage à faible bruit en tête de la chaîne de réception.

Par ailleurs, le facteur de bruit d’une chaîne est proche du facteur de bruit du premier étage si les produits des gains (G1G2….) sont importants, ce qui est vérifié si G1 est lui même important. Cette observation impose deux règles de conception :

• D’une part le premier étage à faible bruit doit aussi posséder un grand gain, et, un faible facteur de bruit ; cela définit l'amplificateur à faible bruit ou LNA (Low Noise Amplifier)

• d’autre part on doit éloigner les circuits à pertes de gain inférieur à 1 (câbles, filtres) du premier étage.

Dans le cas de la réception satellite, ces dernières remarques conduisent à placer la tête de réception aussi proche que possible du foyer de la parabole.

VII.11 Exercice : démonstration de la formule de FRIIS

On se propose de démontrer la formule de Friis dans le cas de deux circuits en cascade. Le montage étudié est le suivant.

On notera : Ts : la température équivalente de bruit de la source placée en amontTe1, Te2 : les températures équivalentes de bruit des quadripôles


F1,G

1F

2,G

2F

3,G

3F

N,G

N

Premier étage Dernier étage

Circuit équivalent

FT,G

T

FT(dB)= voir formule de Friis

GT(dB)=G

1+G

2+G

3+…G

N (dB)


F1,G

1F

2,G

2

Ns2

, Ss2

Ns1

, Ss1

Ne1

, Se1


1°) Etablir l’expression de la puissance de bruit total équivalent en sortie du premier étage (NS1 : bruit amplifié par le premier étage + bruit du second étage). Calculer l’expression du bruit en sortie du second étage (NS2).

2°) Rappeler la définition du facteur de bruit. Appliquer cette définition pour calculer l’expression du facteur de bruit de l’amplificateur équivalent à l’association des ces deux quadripôles.

3°) On associe un amplificateur faible bruit (premier étage) à un récepteur de facteur de bruit F2=8 dB. Calculer et discuter le facteur de bruit équivalent dans les deux situations suivantes :

Cas a: F1 = 1 dB, G1 = 6 dBcas b: F1 = 2 dB, G1 = 20 dB

4°) Le premier étage est maintenant un circuit passif d’atténuation A1=-G1 (dB) et de facteur de bruit F1=A1. Montrer que l’expression du facteur de bruit équivalent obtenue au 2°) se simplifie et correspond au résultat donné en cours.

VII.12 Sensibilité des récepteurs

La qualification des performances d’un récepteur vis à vis du bruit consiste à en spécifier le facteur de bruit ou la sensibilité. La sensibilité (sensitivity) est définie comme la puissance minimale requise à l’entrée du récepteur (Semin) garantissant un rapport signal à bruit minimal en sortie (rapport (S/N)min(généralement spécifié par les normes). On montre que la sensibilité dépend de la température équivalente de bruit de l’antenne de réception (Tant), et du facteur de bruit du récepteur.

En général, l’élément qualifié de récepteur ci-dessus comprendra en réalité le récepteur et les câbles d’interconnexion à l’antenne. On calcule la sensibilité en supposant que seuls l’antenne et le récepteur contribuent au bruit, et que le signal émis par l’émetteur n’est pas lui-même bruité.

S emin= SN

min

K T 0 B T antT e

T 0

Semin=−173 SN

min

10 log10B10 log10 T antT e

T 0

En nous restreignant au cas d’antenne de température équivalente de bruit égale à T0, nous obtenons une expression courante de la sensibilité:

Figure VII.11: Définition de la sensibilité d’un récepteur

Ss/N

s >(S/N)

min<==> S

e>S

eminF, G

Se>S

emin=

Semin

=sensibilité

Tant


SiT ant=T O⇒ Semin=−174 SN

min

10 log10BF dB

Ces expressions montre l’importance de réduire le facteur de bruit F du récepteur. Pour un récepteur GSM, de bande passante 200 KHz, la norme spécifie un rapport signal à bruit minimal de 9 dB et un facteur de bruit du mobile meilleur que 8 dB ce qui correspond à une sensibilité d’environ –104 dBm.

VII.13 Exercice : détermination de la sensibilité des récepteurs

On considère un récepteur connecté de façon directe à une antenne (figure ci-dessus). Sa sensibilité est définie comme la puissance minimale requise à l’entrée du récepteur Semin (ou à la sortie de l’antenne) garantissant un rapport signal à bruit minimal en sortie (S/N)min généralement spécifié par les normes).

On utilisera pour cet exercice le modèle avec résistance bruyante placée à l’entrée du quadripôle.

1°) Etablir l’expression de la puissance équivalente totale de bruit en entrée du récepteur. (bruit capté par l’antenne + bruit équivalent ajouté en entrée par le composant).

2°) Comparer les rapports signal à bruit en entrée (bruit total équivalent) et en sortie du circuit ainsi modélisé.

3°) Etablir l’expression de la sensibilité du récepteur pour une température de bruit d'antenne quelconque, puis pour Tant=T0. Quels sont les paramètres sur lesquels il semble réaliste de jouer en vue d’améliorer la sensibilité du dispositif ?

4°) Pour un récepteur idéal non bruyant, la puissance équivalente totale de bruit en entrée du récepteur est KTantB. Pour un récepteur pratique bruyant, quel facteur de bruit F3dB permet de limiter l'augmentation du niveau de bruit équivalent total de 3 dB par rapport à ce niveau idéal? (en pratique ce critère n’est pas suffisant, on prendra si possible F<<F3dB). Ce critère peut être appliquer directement en sortie du récepteur en imposant :

S S

N S≤ S S

N S3dB∣∣ pour T e=0

Faire l'application numérique pour Tant=T0 puis pour Tant=T0/10=29K puis pour Tant=4K (radioastronomie).

5°) Calculer et discuter la puissance équivalente totale de bruit en entrée et la sensibilité pour les mobiles et les stations de base (BTS) GSM sachant que:

• (S/N)min=9 dB (recommandation GSM 03.03)• B=200 KHz, • F=8 dB (mobile) ou 10 dB (BTS) minimum selon recommandation GSM • Tant=T0

VII.14 Bruit des source et émetteurs

Compte tenu de ce qui a été vu dans ce cours, on imagine aisément que tous les dispositifs électroniques passifs ou actifs sont bruyant; les émetteurs et sources micro-ondes sont donc


bruyants. Cependant, les niveaux de bruit étant normalement très inférieurs au signal utile on négligera le bruit des sources sauf pour le contre exemple cité ci-dessous.

VII.15 Bruit pour une liaison en plusieurs bonds

On utilise parfois des relais ou répéteurs permettant d’effectuer des liaisons de radiocommunications en plusieurs bonds. C’est par exemple le cas des faisceaux hertziens lorsque la longueur totale de la liaison est trop importante, ou encore en communications mobiles pour couvrir des zones d’ombre en GSM. Le répéteur peut être passif. Dans ce cas deux antennes reliées directement entre elles sont chargées de recevoir et de ré-émettre le signal radio. En général, le récepteur est actif afin d’amplifier le signal, éventuellement le changer de fréquence, voire le démoduler et le re-moduler afin d’en améliorer la qualité. Le schéma qui suit représente une liaison en deux bonds utilisant un répéteur unidirectionnel pour amplifier le signal.

Intéressons-nous à la « sensibilité » de cette liaison (Semin). Par rapport au système à un seul bond étudié ci-dessus, le répéteur fournit une contribution supplémentaire au bruit (Ns1) en amplifiant et en transmettant son propre bruit. Le niveau de bruit correspondant transmis à l’entrée du récepteur peut devenir plus important que le bruit thermique capté par l’antenne lui-même. La sensibilité telle que nous l’avons définie dans le précédent paragraphe n’a plus de sens. Pour de tels systèmes, on doit faire un bilan du bruit en tout point de la chaîne, et comparer son niveau à la puissance du signal. Pour un système de communications mobiles, on s’assurera que le bruit émis par les répéteurs ne masque pas les liaisons directes entre un mobile et le récepteur (problème de l’aveuglement des BTS). Ceci s’obtient simplement en réduisant au niveau du répéteur le gain de l’antenne d’émission et le gain de l’amplificateur.

VII.16 Valeurs typiques de facteurs de bruit des systèmes micro-ondes

Nous avons vu que le premier étage d’un récepteur est un amplificateur à faible bruit et à grand gain (LNA) qui fixe en première approximation le facteur de bruit minimal d’un système. En général, le second étage est un mélangeur dont la fonction est de ramener le signal sur une bande de fréquence intermédiaire plus basse. Les mélangeurs à diodes d’usage courant présentent des pertes élevées (au moins 6 dB) et des facteurs de bruit dont la valeur est comparable à ces pertes. On évalue parfois le facteur de bruit des mélangeurs à diodes comme étant équivalent aux pertes d’insertion augmentées de 1 dB (par exemple, L=6 dB, F=7 dB). L’utilisation d’un amplificateur à faible bruit et à grand gain (LNA) correctement dimensionné permet de négliger les contributions des étages supérieurs au bruit.

Les facteurs de bruit des amplificateurs LNA dans les gammes de fréquences micro-ondes

Figure VII.12: Bruit dans une liaison GSM en deux bonds

Ss1

, Ns1

F1, G

1

Tant S

s2/N

s2

>(S/N)minF

2, G

2

Se2

>Semin

Tant

1ier bond 2ème bond

Emetteur (mobile )

Récepteur Répéteur


peuvent descendre en dessous de 1 dB entre 1 GHz et 30 GHz. Cependant, ces faibles valeurs sont souvent dégradées par les composants associés aux amplificateurs.

Les circuits TMA (Tower Mounted Amplifier) ont un facteur de bruit qui dépasse généralement 2 dB. Les facteurs de bruit minimum spécifiés par la norme GSM norme sont de 8 dB pour les mobiles et 10 dB pour les stations de base. Ces valeurs apparemment élevées découlent de la nécessité de placer différents étages à pertes devant l’amplificateur faible bruit. Dans la plupart des systèmes on trouvera un filtre permettant de rejeter les signaux parasites situés hors de la bande de réception qui pourrait saturer le récepteur. Par ailleurs, si l’émission et la réception utilisent la même antenne, un filtre duplexeur ou un commutateur hyperfréquence devra assurer la séparation des signaux correspondants. De plus, lorsque le récepteur est multistandard (satellite + GSM ou GSM + CDMA) ou multifréquence (bi-bande GSM900/DCS1800) deux circuits distincts sont utilisés pour la partie radiofréquence ; un filtre ou un coupleur réalise l’interconnexion de ces circuits sur l’antenne unique.

VII.17 Bruit des appareils de mesures

Nous l'avons déjà dit, tout appareil de mesures est bruyant. Ce bruit limite la dynamique de mesures aux valeurs des puissances supérieures au bruit de l'appareil.

L'analyseur de spectre apparait le plus limité. On devra lors des mesures de faibles puissances de bruits s'assurer que la quantité mesurée correspond au bruit du circuit, mais pas au bruit ajouté par l'analyseur de spectre. En général, ce bruit ajouté se situe à 20 ou 30 dB au dessus du bruit de fond KT0B (le facteur de bruit de l'analyseur de spectre atteint facilement plusieurs dizaines de dB).

VII.18 Exercice : Comment améliorer la sensibilité d’un récepteur ?

On utilise un récepteur de télévision analogique (TV) de bonne qualité (qualifié par la suite de récepteur de base) dont les caractéristiques se résument à un facteur de bruit de 3 dB. La bande passante du système et de 5 MHz et le rapport signal à bruit doit rester supérieur à 30 dB pour assurer une bonne qualité de réception. La température de bruit de l’antenne est égale à T0. La Puissance reçue en sortie d’antenne est égale à -66 dBm si l’antenne est placée sur le toit. Le fait de placer l’antenne à l’intérieur diminue la puissance reçue de 12 dB. On étudie ci-dessous différentes associations (ampli LNA, câble, récepteur). L’objectif de cet exercice est de définir les règles d’ingénierie des systèmes de radiocommunication permettant d’améliorer la réception et de mettre en évidence les erreurs à éviter. Dans ce but, on évaluera toujours la sensibilité en sortie de l'antenne afin de comparer entre elles les solutions considérées.

1°) Calculer la sensibilité dans le cas ou le récepteur est connecté directement à l'antenne. Discuter par rapport à la puissance reçue.

2°) On doit en réalité utiliser un câble de pertes égales à 10 dB entre l'antenne et le récepteur. Calculer le facteur de bruit du récepteur équivalent (câble + récepteur de base), en déduire sa sensibilité. Conclusion ?

3°) L'utilisateur trop éloigné de l'émetteur reçoit une image d’une qualité médiocre. En se basant sur l'idée que l'amplitude du signal reçu est trop faible, il place un amplificateur susceptible d'améliorer la réception entre le câble et le téléviseur. L'amplificateur possède un gain de 10 dB pour un facteur de bruit de 5 dB. Calculer le facteur de bruit du récepteur équivalent (câble + ampli de 10 dB + récepteur de base), en déduire sa sensibilité. Conclure en comparant aux deux situations précédentes ?

4°) On conseille à l'utilisateur de placer l'amplificateur entre l'antenne et le câble. Calculer le


facteur de bruit du récepteur équivalent (ampli de 10 dB + câble + récepteur de base), en déduire sa sensibilité. Conclusion ? Discutez la mise en œuvre de l’alimentation de ce circuit. Montrer que l'augmentation du gain permet d'améliorer la qualité de réception en considérant un gain de 24 dB.


VIII Corrigé des exercices sur le bruit dans les systèmes micro-ondes

VIII.1 Corrigé de l'exercice :démonstration de la formule de FRIIS

On se propose de démontrer la formule de Friis dans le cas de deux circuits adaptés en cascade. A cette fin on étudie le montage suivant.

1°) On utilise le modèle du quadripôle bruyant avec source de bruit ajouté en sortie.La puissance de bruit en sortie des étages 1 et 2 (NS1 et NS2) correspond à

Ns1 = G1Ne1 + KT0BG1(F1-1)Ns2 = G2Ns1 + KT0BG2(F2-1)= G1G2 Ne1 + G1G2KT0BG1(F1-1) + KT0BG2(F2-1)

2°) Le facteur de bruit (FT) est défini pour un bruit en entrée (Ne1) égal à KT0B. Ns2 = Ns1 + KT0BGT(FT-1)= KT0B + KT0BGT(FT-1) = KT0BGTFT

On en déduit : KT0BGTFT = G1G2 KT0B + G1G2KT0B(F1-1) + KT0BG2(F2-1)GTFT = G1G2 + G1G2 (F1-1) + G2(F2-1)FT = F1 + G2(F2-1)/ GT = F1 + (F2-1)/ G1

3°) Les facteurs de bruit et gain des étages doivent être convertis en linéaire :

F1 (dB) F1 (lin.) G1 (dB) G1 (lin.) F1 (dB) F1 (lin.)Étage 1 (premier cas) 1 1,258 6 4 2,585 4,12Étage 1 (second cas) 2 1,585 20 100 1,638 2,14Etage 2 8 6,31 // // // //

Le premier amplificateur a un gain trop faible. Le bruit du second étage n’est pas masque par cet amplificateur à faible facteur de bruit.

Le second amplificateur est moins performant en terme de facteur de bruit. Cependant son gain important lui confère la qualité d’amplificateur faible bruit (Grand gain et faible facteur de bruit.

4°) Le premier étage est maintenant un circuit passif d’atténuation L1 = - G1 (dB) et de facteur de bruit F1. Compte tenu de la relation L1=F1 montrer que l’expression du facteur de bruit équivalent obtenue au 2°) se simplifie (voir résultat donné en cours).

Figure VIII.1: 2 quadripôles en cascade.

F1,G

1F

2,G

2

Ns2

, Ss2

Ns1

, Ss1

Ne1

, Se1

VIII-Corrigé des exercices sur le bruit dans les systèmes micro-ondes 122

VIII.2 Corrigé de l'exercice :détermination de la sensibilité des récepteurs

1°) On utilise le modèle avec résistance bruyante placée à l’entrée du quadripôle. L’expression de la puissance équivalente totale de bruit en entrée du récepteur correspond au bruit capté par l’antenne augmenté au bruit équivalent ajouté en entrée par le composant.

Ne=KTantB + KTeqB (en notant Teq la température équivalente de bruit du récepteur)

2°) Compte tenu du modèle utilisé, toutes les sources de bruits ajoutés par le quadripôle sont représentées par une source équivalent placée à l’entrée du quadripôle. Les rapports signal à bruit en entrée (bruit total équivalent en entrée ) et en sortie du circuit ainsi modélisé sont identiques.

Ne=K(Tant + Teq)B Ns=K(Tant + Teq)B GSs= G Se

Se / Ne = Ss / Ns

3°) On ne déduit la sensibilité du récepteur pour une température de bruit d'antenne Tant.

Ss/Ns >(S/N)min Se / Ne>(S/N)min

Se >(S/N)min Ne =K(Tant + Teq)B (S/N)min= Semin (sensibilité)Si Tant = T0 :

Semin = F KT0 B (S/N)min

Dans un système, en général le facteur de bruit est le seul paramètre dont la réduction permet l’amélioration de la sensibilité. Pour des réceptions satellitaires, ont peut se poser la question de la réduction de la température de bruit de l’antenne. Un examen de la chaîne de transmission montrerait qu’il faut pour les antennes optimiser le rapport Gant/Tant.

4°) L'augmentation du niveau de bruit de 3 dB par rapport au bruit de l’antenne est obtenue lorsque Tant =Teq. On en déduit un critère indicatif permettant de qualifier un « faible » facteur de bruit :

pour Tant=T0 F=2 soit 3 dBpour Tant=T0 /10=29°K F=1,1 soit 0,41 dB

5°) La puissance équivalent totale de bruit en entrée des mobiles et des stations de base (BTS) GSM est de –111 à -113 dBm (Ne=K(Tant + Teq)B= F KT0 B soit –174 + 53 + F).

Les sensibilités définies par les recommandations GSM sont donc de Pour les mobiles Semin = -113 dB +9 = -104 dBmPour les BTS Semin = -111 dB +9 = -102 dBm

Figure VIII.2: Modèle du récepteur connecté à une antenne utilisé pour la définition de la sensibilité.

Ss/N

s >(S/N)

minF, G

Se>S

emin=

Semin

=sensibilité

Tant


VIII.3 Corrigé de l'exercice :comment améliorer la sensibilité d’un récepteur ?

Valeurs des facteurs de bruit et gains en linéaire :

Étage F1 (dB) F1 (lin.) G1 (dB) G1 (lin.)

Récepteur de base 3 2 // //

Câble 16 40 -16 1/40

Ampli G=10 dB 5 3,16 10 10

Ampli G=24 dB 5 3,16 24 251

1°) Calcul de la sensibilité dans le cas ou le récepteur est connecté directement à l'antenne.

Semin = F KT0 B (S/N)min

Semin (dBm)= F(dB) + 10 log10(B) –174 + (S/N)min(dB)

Semin (dBm)= 3 + 67 –174 + 30 = -74 dBm

La puissance reçue en intérieur est de -78 dBm. Elle est inférieure à la sensibilité. Le rapport S/N est donc de 26 dB ce qui doit permettre une réception de qualité moyenne.

2°) Si on utilise un câble de pertes égales à 16 dB entre l'antenne et le récepteur, le facteur de bruit du récepteur équivalent (câble + récepteur de base) est de 19 dB. (voir cours cascade d’éléments dont seul le dernier est éventuellement actif). La sensibilité est alors de –58 dBm, pour une puissance reçue de -66dBm ; soit un S/N de 22 dB. La qualité est dégradée par rapport à la première situation.

3°) Association câble + ampli de 10 dB + récepteur de base. Dans la suite du corrigé, on remplacera toute association de quadripôles passifs suivi par un étage actif par le quadripôle équivalent. Ceci permet de restreindre l’utilisation de la formule de Friis à deux étages. Le récepteur équivalent correspond au schéma suivant :

On trouve FT= 21,1 dB. On remarque une amélioration sensible du facteur de bruit par rapport au cas précédent. Cependant, la valeur du facteur de bruit s’écarte fortement de 15 dB correspondant au premier étage. En augmentant le gain de l’amplificateur à 24 dB, on obtient FT= 21,0 dB. L’augmentation supplémentaire du gain permet au mieux que d’atteindre 21 dB (facteur de bruit des deux premiers étages réunis). Il faut donc placer l’amplificateur avant les étages à pertes.

Figure VIII.3: Interprétation des

paramètres S12 et S22.

F1,G

1F

2,G

2

VIII-Corrigé des exercices sur le bruit dans les systèmes micro-ondes 124

4°) Association ampli de 10 dB + câble + récepteur de base

Le fait de placer l’étage LNA en début de chaîne améliore grandement les performances. On atteind enfin une sensibilité en dessous du niveau de puissance reçue. On trouve FT= 10,4 dB pour un gain de 16dB et FT= 5,4 dB pour un gain de 24 dB. Là encore, l’utilisation d’un gain compensant les pertes du câble permet d’atteindre un facteur de bruit proche de celui du premier étage. L’amplificateur de gain égal à 24 dB correspond réellement à un amplificateur faible bruit.

Résultats

Données Gains et Facteurs de bruit Sensibilité étage 1 étage 2 étage 3 FT (dB) GT (dB) dBm F1 (dB) G1 (dB) F2 (dB) G2 (dB) F3 (dB) G3 (dB)1 3,0 0,0 -74,0 0 0 0 0 3 02 19,0 -16,0 -58,0 0 0 16 -16 3 03 21,1 -6,0 -55,9 16 -16 5 10 3 03bis 21,0 8,0 -56,0 16 -16 5 24 3 04 10,4 -6,0 -66,6 5 10 16 -16 3 04bis 5,4 8,0 -71,6 5 24 16 -16 3 0

Figure VIII.4: Résumé des résultats obtenus.


IX Non linéarités et intermodulation

IX.1 généralités, modélisation des non-linéarités.

Tout système actif est non linéaire du fait que les tensions et courant sont nécessairement limitées en amplitude (par exemple la tension de sortie par les amplificateurs est souvant limitée à la tension d'alimentation). Pour les utilisations dites à « petit signal », les amplitudes des tensions et courants mis en jeu sont suffisamment faibles pour faire en première approximation l’hypothèse de la linéarité du dispositif. Dans ce cas on caractérisera un amplificateur par son seul gain. Cela concerne les amplificateurs et dispositifs fournissant peu de puissance.

En contre partie, les ensembles fonctionnant à puissance élevée présentent plus facilement des non-linéarités qui induisent des déformations des signaux. Les modules radio concernés sont en général situés près de la sortie de l’émetteur, endroit de la chaîne d’émission réception où la puissance est la plus élevée. Les non-linéarités se résument en général à 3 phénomènes:

- l’intermodulation (intermodulation)- la compression du gain (AM to AM conversion)- la non-linéarité de phase (AM to PM conversion)

Nous avons restreint le début de ce chapitre à une modélisation concernant l'intermodulation d'ordre 3. Les autres produits d'intermodulation obéissent à des modèles similaires. Suivant les systèmes on devra également s'intéresser aux autres produits d'intermodulation d'ordre 2 et d’ordre 5 qui sont abordés en fin de chapitre.

Bien que la modélisation rigoureuse des circuits non linéaires ne soit pas aisée, quelques modèles simples permettent d'en illustrer qualitativement le comportement. Nous modéliserons les circuits non-linéaire par une fonction de transfert instantanée dans le domaine temporel :

V st =a0a1 V e t a2V e2t a3 V e

3t ...

Cette représentation est bien entendue approchée puisqu’elle n’inclut aucun phénomène de sélectivité en fréquence, de filtrage, ni la prise en compte d’éléments réactifs. Pour une modélisation plus complète, l'équation de Vs(t) devrait au moins contenir des termes proportionnels aux dérivées ou intégrales partielles de la tension d'entrée Ve(t).

IX.2 La compression de gain

Supposons en premier lieu que la tension d’entrée du montage corresponde à une tension sinusoïdale pure:

Figure IX.1: Modèle utilisé dans ce cours pour représenter un amplificateur non linéaire.

Vs(t)V

e(t)

G

IX-Non linéarités et intermodulation128

V e t =V cos t

Appliquons cette tension à notre modèle. Après développement la tension de sortie associée a pour expression :

V st =a0a2

2V 2a1V

34

a3 V 3cos t a2

2V 2 cos 2 t

a3

4V 3 cos 3 t ...

Nous observons une composante continue, normalement située en dehors de la bande passante du système. Les composantes aux fréquences multiples du fondamental (w) correspondent à la distorsion harmonique (harmoniques d'ordre 2, 3...). L'ensemble des ces composantes sont généralement filtrées du fait de la bande passante limitée des systèmes.

Le terme à la fréquence fondamentale cos(wt) est le signal d’entrée amplifié. Dans certains systèmes, suivant les gammes des fréquences mises en jeu, l'harmonique 2 ou 3 peut s'avérer néfaste au bon fonctionnement. Dans le cadre de ce paragraphe, nous nous intéresserons uniquement à la composante de pulsation w du signal amplifié en négligeant pour l’instant les autres distorsions.

Compte tenu de l’expression précédente, l’expression du gain g du montage apparaît comme une fonction de la tension V:

g=g V =a134

a3 V 2Le gain en tension en petit signal est g = a1. Le gain en puissance correspondant noté G est

égal à g2. Lorsque l’amplitude V du signal d’entrée augmente, la saturation impose en pratique une diminution de ce gain (a3<0) comme présenté ci-dessous.

La détermination expérimentale et l’utilisation des coefficients ai s’avère peu pratique. D’un point de vue expérimental, on préfère mesurer le gain du circuit en petit signal et caractériser la saturation par le point de compression à 1 dB.

définition: Le point de compression à 1 dB est la puissance en sortie du circuit (généralement exprimée en dBm) pour laquelle le gain est inférieur de 1 dB au gain petit signal.

La spécification des systèmes par rapport au phénomène de la compression de gain consiste généralement à imposer une marge (Back off) entre la puissance de sortie et le point de compression à 1 dB. Plus cette marge est élevée, plus le système est linéaire.

Figure IX.2: Banc de mesure du point de compression d'un amplificateur.

Ps=f(P

e)P

e

GMesureur

de puissance

Mesureurde puissance

Générateur Coupleur


Les systèmes de transmission numériques à enveloppe constante (amplitude constante) tolèrent facilement la compression de gain. Ils s'accommodent d'une marge relativement faible. Au contraire, les modulateurs MAQ à grand nombre d’états voient leurs performances se dégrader si le recul (back off) n'est pas suffisamment élevé.

Dans une chaîne d’émission les contraintes relatives à la compression s’appliquent généralement au(x) dernier(s) étage(s) (l'étage de puissance). Lorsque la compression est importante les non linéarités peuvent induire une conversion de phase.

Figure IX.4: Représentation qualitative de la déformation d'une constellation MAQ-16 résultant de la

compression de gain.

I

Q

Constellation MAQ-16après compression de gain

I

Q

Constellation régulière MAQ-16

Figure IX.3: Caractéristique de compression d'un circuit non linéaire (amplificateur).-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10

Pe (dBm)

Ps(dBm)

Point decompression

à 1 dB

G (dB)

Pout

Pc=14 dBm

Point defonctionnement

nominal

Pe nom.

Ps nom.

Bac

k-O

ff

= re

cul


IX.3 La conversion de phase

L’influence des non-linéarités modifie également le déphasage entre l’entrée et la sortie du montage. Ce défaut n’apparaît pas dans notre modèle simpliste de l’amplificateur qui ne prend pas en compte les déphasages.

Considérons en premier lieu un fonctionnement à petit signal. Le déphasage absolu entre entrée et sortie (phase du paramètre S21) n’est en général pas considéré. Il ne dégrade pas les performances en réception tant que le déphasage reste constant dans la bande passante.

Par contre, les variations du déphasage en fonction de la puissance d'entrée déforment les signaux. Ce phénomène est qualifié de conversion amplitude-phase (AM to PM conversion). La figure ci-dessous représente de façon qualitative une caractéristique de conversion de phase.

Pour des puissances importantes, voisines du point de compression, la conversion de phase (∆φ) peut atteindre quelques dizaines de degrés. Pour les systèmes de transmission analogiques on limite parfois ce paramètre à environ 1 ou 2 degrés (cas des transmissions télévision par satellite). Pour des systèmes de transmission numériques de type MAQ, la conversion de phase doit être d’autant plus limitée que le nombre d’états de la constellation est grand (déformation de la constellation).

Les modulations numériques à enveloppe constante (MDP, MDF, MSK) sont naturellement peu sensibles à ce phénomène (rotation sans déformation notable de la constellation). La conversion de phase que subissent ces dernières modulations se retrouve en grande partie compensée par le circuit de récupération de la fréquence porteuse. Cette faible sensibilité des modulations MDP, MSK et MDF aux non-linéarités explique leur utilisation importante dans les communications mobiles de premières génération. La possibilité de faire fonctionner l'amplificateur de puissance des mobiles avec une faible marge par rapport au point de compression maximise le rendement en puissance et par la même réduit la consommation des terminaux.

Figure IX.5: Caractéristique typique illustrant le phénomène de conversion de phase.

argS21

-φ0

(φ0=phase de S

21 en petit signal)

Pe (dBm)

Pc

∆φφ

0


IX.4 L’intermodulation

Dans l’étude précédente, le signal d’entrée était supposé sinusoïdal. La plupart des systèmes d’émission ou de réception opèrent sur des signaux modulés répartis sur plusieurs bandes de fréquence ou canaux, voire encore sur des spectres étalés (OFDM, CDMA...). Les non-linéarités induisent alors des brouillages de l’un des signaux sur l’autre : il s’agit de l’intermodulation illustrées ci-dessous.

Figure IX.7: Produits d’intermodulation en sortie d’un amplificateur amplifiant les 2 canaux n et n+1 .

Intermodulation des canaux n et n+1 (signaux parasites dans les canaux n-1 et n+2)

canaux « utiles » n et n+1 P

s

Pout3

IMR3

Fn-1

Fn

Fn+1

Fn+2

Fn+3

Figure IX.6: Illustration qualitative de la conversion de phase sur les signaux modulés MDP4 et MAQ16.

I

Constellation MDP4 ( idéale)après conversion de phase

I

Constellation MAQ 16après conversion de phase

∆φ∆φ=f(P

s)

Q Q


Le modèle simple des non-linéarités présenté ci-dessus permet de quantifier ce phénomène. Pour simplifier l’étude supposons que seul deux canaux adjacents séparés d’un écart de fréquence ∆F « intermodulent ». Nous simulerons de façon approchée l’intermodulation en considérant un signal d’entrée à deux composantes sinusoïdales de fréquences F1 et F2 voisines :

V e t =A cos 1 t B cos 2 t

On qualifie ce modèle de « modèle à 2 tons », traduction littérale de « 2 tones intermodulation model ». Après développement, la tension de sortie associée a pour expression :

V st =a1 A32

a3 A B2

34

a3 A3cos 1 t a1 B32

a3 B A2

34

a3 B3cos2 t

34

a3 A B2cos 22−1 t 34

a3 B A2cos 21−2 t

a2

2A2

B2 a2

2A2 cos21 t

a2

2B2 cos 22t

a2 A B [cos 1−2 t cos 2−1 t ]...

D'une façon générale, le spectre correspondant que nous esquissons ci-dessous comporte des raies aux fréquences F=mF1 ± nF2.

Intéressons-nous aux raies utiles aux fréquences F1 et F2, et aux raies parasites d’intermodulation d’ordre 3 relatives aux termes cubiques (a3), raies situées aux fréquences F1-∆F et F2-∆F. On mesure leurs niveaux de puissance sur une échelle logarithmique.

Figure IX.9: Exemple de produits d’intermodulation générés par la non-linéarité d’un système.

∆F F1

F2

Ps

Pout3

F2+ ∆FF

1- ∆F 2F

1F

1+ F

22F

2

Figure IX.8: Intermodulation de deux canaux adjacents : perturbation des canaux n-1 et n+2 par les produits d’intermodulation des canaux n et n+1 (Les autres produits d’intermodulation

ne sont pas représentés).

Ps

Pout3

IMR3

Fn-1

Fn

Fn+1

Fn+2

Fn+3


Les puissances aux différentes fréquences ont pour valeur sur une échelle linéaire (mW) :

Pe 1=12

A2

Pe2=12

B2

P s1=12 a1 A

32

a3 A B2

34

a3 A32

≈12

a1 A 2=G Pe 1

P s 2=12 a1 B

32

a3 B A2

34

a3 B32

≈12

a1 B 2=G P e2

P s21−2=12 3

4a3 B A2

2

=c1 P e 12 Pe 2

P s22−1=12 3

4a3 A B2

2

=c1 P e 22 P e 1

Pour les signaux amplifiés, nous avons en absence de compression et en supposant le gain plat dans la bande passante :

P s1dBm=G dB P e1dBmP s 2dBm=G dB P e2dBm

Pour les raies d’intermodulation, l’interprétation de l’équation présentée ci-dessus donne :

P s 21−2 dBm =C1Pe 1dBm2 P e 2dBm

P s 22−1 dBm =C12 Pe 1dBm P e 2dBm1

1 On remarquera ici que l'on ajoute deux grandeurs en dBm pour obtenir des dBm. Ceci n'est jamais le cas pour les circuits linéaires et traduit un comportement non-linéaire (puissance égale à un produit de puissances).


Lorsque l'on effectue des mesures, on utilise généralement les conditions de l'intermodulation à 2 tons, c'est à dire pour des puissances d'entrée identiques. On obtient alors l'expression simplifiée :

P e 1=Pe 2=Pe

P s 21−2 =P s 22−1 =C 13 P edBm

On en déduit qu’en première approximation, l’augmentation des puissances des raies situées aux fréquences F1 et F2 de 1 dB chacune entraîne un accroissement de 3 dB des puissances des 2 raies d’intermodulation. Ces conclusions se confirment expérimentalement. Le banc de mesure d'intermodulation schématisé ci-dessus permet de relever l’évolution du spectre en sortie en fonction des puissances d’entrée de caractériser quantitativement l’intermodulation. Compte tenu de la compression des signaux on obtient un diagramme dont l’allure est présentée ci-dessous.

Figure IX.10: Banc de caractérisation de l'intermodulation d'un amplificateur.

Ps=f(P

e)P

e

GAnalyseurDe spectre

Mesureurde puissance

Coupleur

Géné. 2

Coupleur3 dB

Géné. 1

Psi=f(P

e),

Pout3

=f(Pe)

Figure IX.11: Relevé expérimental d’une caractéristique d’intermodulation d’ordre 3.-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-30 -20 -10 10 20

Pe (dBm)

Ps (dBm)

IMP3=15 dBm P

s3=f(P

e)

Ps=f(P

e)

IMR3=20 dB


Ce diagramme est relevé en considérant 2 tons de puissances identiques Pe(w1) = Pe(w2). En première approximation on a Ps(w2) = Ps(w1) 1. Les raies d’intermodulation possèdent également des puissances comparables2 Ps(2w2 -w1) = Ps(w2-2w1)=Pout3. A faible signal, les évolutions sur une échelle Log-Log correspondent à des droites de pentes 1 et 3. Les variations à fort signal s’écartent de ces droites du fait de la saturation.

Définition. Si on considère l’extrapolation des droites idéalisées de pentes 1 et 3 ; le point d’interception d’intermodulation d’ordre 3 (IMP3 = IP3 = 3rd order intercept point) est la puissance de sortie exprimée en dBm correspondant à l’intersection de ces 2 droites.

L’IMP3 est une caractéristique d’un étage ; elle ne dépend aucunement de la puissance de sortie. Pour une puissance de sortie donnée on s’intéresse au taux de réjection de l’intermodulation IMR3 (3rd order intermodulation rejection).

Définition: Le taux de réjection d’intermodulation d’ordre 3 (IMR3) est la marge exprimée en dB entre la puissance des raies utiles et la puissance des raies d’intermodulation d’ordre 3 :

IMR3dB=PS 1dBm−P S22−1dBm

En adoptant le modèle à 2 tons, pour des puissances d'entrée identiques on obtient une expression simple du taux de réjection d’intermodulation d’ordre 3 ou IMR3 :

IMR3dB=2 [ IMP3dBm−PS dBm ]

Plus le point d’interception est élevé, plus le taux de réjection d’intermodulation sera important et plus l'amplification est linéaire.

Certains logiciels simulent l’intermodulation de façon plus complète en prenant en compte l’intermodulation de tous les canaux et les disparités des puissances d’entrée entre canaux. On utilise cela pour prédire l'intermodulation sur des multiplex de télévision analogique comportant un grand nombre de canaux.

Pour des systèmes tel que le GSM, chaque opérateur dispose de plusieurs dizaines de canaux et n'en utilise qu'une partie. Dans ces situations, les normes spécifient en général l’IMR3 maximale pour un signal d’entrée à deux tons, de façon à ce qu'en conditions réelles de fonctionnement, (utilisation de plusieurs canaux) l’intermodulation de l'ensemble des canaux reste à un niveau acceptable.

1 En pratique, ces 2 puissances peuvent différer si le gain varie avec la fréquence.2 La mesure de l'intermodulation est délicate. L'expérimentation peut faire apparaître des

puissances pour les 2 raies d'intermodulation éloignées, et il est parfois difficile de modéliser la droite de pente 3 si la dynamique des mesures est insuffisante.

Figure IX.12: Spectre en sortie d'un amplificateur et taux de réjection d'intermodulation.

Ps

Pe

G

Ps=Pe+G

Ps3

=Ps-IMR3

IMR3=

2 (IMP3 -Ps)

Fn+2

Fn-1

Fn

Fn+1


IX.5 Intermodulation de quadripôles en cascade

Lorsque plusieurs étages sont utilisés en cascade, on constate que les contributions à l’IMR3 sont apportées essentiellement par les derniers étages. On utilise alors la formule approchée dite de « L’IMP cascadée » :

1

IMP=

1IMP n

1

Gn IMPn−1

1

Gn Gn−1 IMP n−2

...1

Gn Gn−1 ...G2 IMP1

Dans cette formule, l’indice se rapporte à la numérotation des étages et non à l’ordre de l’intermodulation , les gains et IMP sont exprimés en linéaire.

G dB=10 log10Glin

IMP dBm=10 log10 IMP mW =10 log10IMP1mW

En fait, il n'est pas possible d'obtenir une modélisation précise de l'intermodulation de quadripôles en cascade. Cette expression résulte de l'hypothèse que tous les produits d'intermodulation issus des étages en cascade se combinent en phase, hypothèse pessimiste qui permet de surestimer l'intermodulation.

L'expression de l’IMP cascadée conduit à 2 conclusions essentielles :- On devrait placer en sortie de la chaîne d’émission un étage à fort IMP et fort GAIN- On devrait éloigner les montages à pertes (atténuateurs, mélangeurs) ou à faible gain de la

sortie.

IX.6 IMP3 des circuits linéaires et des câbles

Par définition, les circuits purement linéaires ne sont pas sujets à l’intermodulation. Compte tenu de la définition de l’IMP3, il possède un point d’interception d’ordre 3 théoriquement infini (1/IMP3=0 sur une échelle linéaire). Cette règle s’applique aux atténuateurs, coupleurs, câbles et filtres tant qu'il ne comportent pas d'éléments actif.

Les circuits passifs à base de ferrite comme les isolateurs et les circulateurs peuvent présenter des phénomènes de saturation ou de non -linéarité à puissances élevées. Dans ce cas il convient d’en caractérisrer l’IMP3 et de la prendre en compte dans la modélisation.

Les ingénieurs radio travaillant sur les réseaux GSM sont familiers avec l'intermodulation des câbles. Paradoxalement, on ne s'attend pas à une non linéarité sur ces composants strictement passifs. Leur origine est du aux interconnexions métalliques mettant en œuvre différents métaux (connexion de 2 câbles par exemple) qui s'apparentent à une jonction métal-métal (la diode est un jonction à métal-semiconducteur ou semiconducteur-semiconducteur).


Cet effet est suffisamment négligeable pour que l’on puisse en général considérer ces interconnexions comme de simples résistances de faible valeur. Cependant, la grande dynamique entre les signaux émis et reçus en GSM, (près de 130 dB) rend l'intermodulation au niveau des interconnexions non négligeable. Dans de telles situations, la mesure, l’identification de l’origine précise de l’intermodulation (câbles, interconnexion dans les antennes...) et sa réduction apparaissent peu aisées.

IX.7 Valeurs typiques de l’IMP3

Généralement, le point d'interception sera d'autant plus élevé que le circuits peut délivrer une forte puissance en sortie. Il faut par conséquent consulter les caractéristiques du constructeur, sans qu'il soit possible de donner d'ordre de grandeur.

Parmi les circuits actifs, les mélangeurs à diodes présentent des caractéristiques d’intermodulation voisines. Ceci résulte de l’utilisation de topologies comparables pour l’ensemble de ces circuits. Les mélangeurs à diodes possèdent des points d’interception d’ordre 3 généralement inférieurs à 20 dBm.

Pour un amplificateur, la valeur de l’IMP3 sera d’autant plus importante que la puissance maximale disponible en sortie sera élevée. Pour un système donné, on choisit et on dimensionne l’amplificateur de puissance afin de respecter les contraintes de compression de gain et de réjection d’intermodulation. A titre d'exemple, les recommandations GSM spécifient une réjection d’intermodulation d’ordre3 supérieure à 36 dB pour les répéteurs.

IX.8 Intermodulation d’un signal modulé

Nous avons présenté dans ce chapitre le phénomène d’intermodulation à partir du modèle à deux tons, c’est à dire l’intermodulation de deux signaux sinusoïdaux. Cette situation correspond aux conditions de mesures de l'intermodulation et s'éloigne des conditions réelles d'usage des circuits.

Pour des signaux modulés, nous avons implicitement supposé que les puissances des spectres d’intermodulation étaient décrites par ce même modèle. Ceci n’est qu’une approximation.

On montre entre autre que l’amplification d’un signal modulé seul crée aussi de l’intermodulation (intermodulation du signal sur lui-même). Cela se traduit en pratique par une remontée spectrale (spectral regrowth) observée sur les flancs du spectre du signal, défaut venant perturber les canaux latéraux. La figure suivante illustre qualitativement ce phénomène. Dans tout émetteur on doit limiter l’intermodulation afin de respecter les gabarits de spectre imposés par les normes.

Figure IX.13:Non linéarité d'une jonction métal-métal.

µV

µA

V

I(V)≈V/R


IX.9 L’intermodulation d’ordre 2

Pour un système dont les signaux d’entrée se situent aux fréquences F1 et F2, le produit d’intermodulation d’ordre 2 se trouve à la fréquence F1- F2. Compte tenu de sa position dans le spectre l’intermodulation sera souvent négligeable. Cependant, les récepteurs dont le rôle est de transposer les signaux d’entrée à fréquences élevés vers la bande de base peuvent être perturbés par l’intermodulation d’ordre 2 (circuits low IF = LIF et Zero IF). Le concepteur du circuit récepteur devra optimiser l’intermodulation d’ordre 2, notamment lorsque cela est possible par un choix judicieux des fréquences. Les problèmes d’intermodulation d’ordre 2 constituent un réel frein au développement des circuits à basse fréquence intermédiaire utilisée en radio logicielle.

IX.10 V-10 L’intermodulation d’ordre 5

Pour un système dont les signaux d’entrée sont aux fréquences F1 et F2, les produits d’intermodulation d’ordre 5 se situent aux fréquences 3F1- 2F2 et 3F2- 2F1. Ils sont très souvent hors bande ce qui permet d’envisager leur réjection par simple filtrage.

Parmi les exceptions à cette règle on trouve les systèmes GSM bi-bandes et les sytèmes faisant cohabiter des bandes de fréquences double l'une de l'autre. En effet, l’intermodulation d’une fréquence GSM900 et d’une fréquence DCS 1800 (ou d’un signal UMTS) peut aisément se retrouver dans le spectre du GSM 900 comme le montre l'exemple suivant :

Figure IX.14:Illustration qualitative du phénomène de remontée spectrale

Spectre

Fréquence

Remontée spectrale due à l'intermodulation

Sans intermodulation

Canal n+1Canal nCanal n-1

Figure IX.15:intermodulation d'ordre 2 pour 2 canaux dans le cas ou F1-FIF=∆F

Pe

F1F2

F

Ps

F1-FIF=∆F

F

canaux 1 et 2 transposés

intermodulationF2-FIF

FIF


F 1=900 MHzF 2=1800 MHz

3F1−2F2=900 MHz3F2−2F1=3600 MHz

Les premiers sites radio sur lesquels cohabitaient par exemple le GSM 900 et le DCS 1800 étaient conçus en séparant les équipements GSM et DCS, en utilisant des antennes différentes, et en évitant de transmettre les signaux sur le même câble. Aujourd’hui les améliorations des équipements et notamment l'amélioration des non linéarités permettent de faire cohabiter GSM 900, DCS 1800 et UMTS sur le même câble et la même antenne.

IX.11 Exercice: Association de quadripôles et intermodulation

On étudie l’étage de sortie d’un émetteur radiofréquence. Ce circuit comporte trois quadripôles parmi les quatre suivants.

Quadripôle Gain (dB) IMP3 (dBm)Atténuateur -3 ∞ (linéaire)Isolateur -0.5 ∞ (linéaire)Amplificateur +15 +15Mélangeur à diodes -6 0

Le mélangeur est utilisé pour convertir le signal à fréquence intermédiaire (FI) et l’adapter à la bande de transmission radiofréquence (RF). Il présente des pertes et un point d’interception d’ordre 3 faible (saturation rapide des diodes ). L’atténuateur sert en fait à représenter les pertes des câbles de liaison entre l’antenne et l’émetteur. Les circuits atténuateur et isolateur sont parfois utilisés en sortie d’émetteur afin d’améliorer l’adaptation en impédance de l’antenne. On supposera que leurs IMP3 sont infinis (1/IMP3=0) bien que l’isolateur ne soit pas rigoureusement un composant linéaire (non-linéarité des ferrites).

1°) On étudie en premier lieu la combinaison amplificateur + mélangeur. Le placement du mélangeur en sortie facilite (faciliterait) l’amplification puisque tous les étages précédents le mélangeur opèrent en FI. Calculer le point d’interception d’ordre 3 de cet ensemble.

2°) On place à présent le mélangeur avant l’amplificateur. Calculer l’IMP3 équivalent et monter l’avantage de cette configuration par rapport à la précédente.

3°) Reprendre la question 2 avec un amplificateur de gain égal à 25 dB. Montrer que le gain du dernier étage réduit l'intermodulation des autres étages. Expliciter ce résultat en comparant les systèmes étudiés au 2°) et au 3°).

4°) On place derrière la cascade mélangeur + amplificateur un des deux circuits linéaires

Figure IX.16: étage de sortie d’un émetteur radiofréquence.

GQ

F0


(atténuateur ou isolateur). Pour simplifier les calculs on reprend les résultats du 2°) et on considère la cascade ([mélangeur + amplificateur] + un des deux circuits linéaires). Montrer que dans cette configuration comportant un étage linéaire en sortie, l’IMP3 global correspond à une expression simple. Faire l’application numérique pour les deux circuits proposés. Discuter la nécessité de réduire les pertes en amont du dernier amplificateur. Par rapport à la contrainte d’amélioration du coefficient de réflexion de l’antenne comparer les avantages et inconvénients de l’isolateur et de l’atténuateur.

IX.12 Exercice: détermination expérimentale de l’IMP3, spectre des signaux altérés par l’intermodulation.

On caractérise expérimentalement l’intermodulation d’un amplificateur. Ce quadripôle est excité sur son entrée par deux signaux sinusoïdaux de même puissances (Pe). On relève en sortie les puissances des signaux amplifiés (Ps) et des raies parasites d’intermodulation (Ps3) de puissances identiques (modèle à 2 tons).

Pe (dBm) -20 -10 0 5 7 10

Ps (dBm) 0 +10 20 25 26 27

Ps3 (dBm) -60 -30 0 15 17 18

1°) Tracer le diagramme représentant l’évolution des puissances Ps et Ps3 en fonction de la puissance d’entrée. En déduire :

• Le gain petit signal de l’amplificateur

• Son point de compression à 1 dB

• Son point d’interception d’ordre 3 (IMP3)

2°) On applique à l’entrée de l’amplificateur deux signaux de puissance égales à –5 dBm. Déterminer à partir de l'IMP3 déterminée au 1°) le taux de réjection d’ordre3 (IMR3), la puissance de sortie Pout, la puissance des raies d’intermodulation Pout3. Comparer aux résultats déterminés graphiquement.

3°) Reprendre la question 2°) pour Pe=+7 dBm. Discuter les différences observées entre le calcul effectué à partir du modèle et les résultats issus du graphique relevé expérimentalement. Montrer que le modèle surestime l’IMR3 réelle.

4°) En se basant sur les résultats du 2°) et en appliquant les formules du cours, déterminer le spectre en sortie lorsque deux signaux de puissances respectives –5 et +5 dBm sont appliqués simultanément sur l’entrée de l’amplificateur (ici les 2 tons en entrée ne possèdent plus la même puissance).


X Non linéarités et intermodulation : correction des exercices

X.1 Corrigé de l’exercice: Association de quadripôles et intermodulation

1°) Combinaison amplificateur + mélangeur.

Dans cette configuration le dernier étage (mélangeur) présente une IMP de 0 dBm. L’IMP correspondant à l’association de quadripôles est toujours inférieure à celle du dernier étage. E; elle est ici de -0,5 dBm.

grandeur IMPT IMPT IMP1 IMP1 G2 G2 IMP2 IMP2unité dBm mW dBm mW dB lin. dBm mW

Ampli+mélangeur -0,51 0,9 15 31,6 -6 0,3 0 1

2°) Combinaison mélangeur + l’amplificateur.

Le placement de l’amplificateur qui est l’étage à plus fort IMP en dernière position améliore considérablement les performances. L’IMP de l’ensemble est de 12 dBm alors que celle de l’amplificateur seul est de 15 dBm. La faible valeur de l’IMP du mélangeur est responsable de cette dégradation de 3 dB.


Mélangeur + Ampli 11,99 15,8 0 1 15 31,6 15 31,6

G

G=+15 dBIMP3=+15dBm

OL

G= - 6 dBIMP3= 0 dBm

G

G=+15 dBIMP3=+15dBm

OL


X-Non linéarités et intermodulation : correction des exercices

146

3°) Combinaison mélangeur + l’amplificateur de gain égal à 25 dB

L’augmentation du gain du dernier étage (ici 25 dB au lieu de 15 dB) masque l’intermodulation des étages antérieurs. L’IMP globale est de 14,6 dBm ce qui est très proche de l’IMP du dernier étage.


Mél + Ampli 25 dB 14,59 28,7 0 1 25 316,2 15 31,6

4°) Combinaison mélangeur + amplificateur + (atténuateur ou isolateur).

L’ensemble amplificateur/mélangeur présente une IMP de 12 dBm. On constate la dégradation de l’IMP correspond exactement aux pertes du dernier étage (respectivement 3 et 0,5 dB). Cela justifie la nécessité de limiter les pertes des câbles ; aussi bien pour améliorer la sensibilité des récepteurs que pour diminuer l’intermodulation de l’émetteur.


Ampli+mél+Atténuateur 9 7,9 12 15,8 -3 0,5 99 8,E+09Ampli+mél+Isolateur 11,5 14,1 12 15,8 -0,5 0,9 99 8,E+09

G

G=+25 dBIMP3=+15dBm

OL


AG= - 3 dBIMP3= ∞

G= - 0.5 dBIMP3= ∞

G

G=+15 dBIMP3=+15dBm

OL



X.2 Corrigé de l’exercice: détermination expérimentale de l’IMP3, spectre des signaux altérés par l’intermodulation.

1°) Tracer du diagramme représentant l’évolution des puissances Ps et Ps3 .

On trouve d’après le relevé graphique :

G=20 dB, (gain petit signal)

Pc=26 dBm (point de compression mesuré en sortie),

IMP3=+30 dBm (point d’interception d’intermodulation d’ordre 3)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-20 -15 -10 -5 0 5 10

Pe (dBm)

Ps(dBm) IMP3=30dBm

Ps3

Ps

Ps=+27 dBm !

Ps3

=+21 dBmIMR3 =6 dB

Fn+2

Fn-1

Fn

Fn+1


148

2°) Si Pe =- 5 dBm.

La puissance de sortie est égale à :

PS = Pe + G = 15 dBm.

Le taux de réjection d’intermodulation est donné par :

IMR3 = 2(IMP3-PS) = 2 (30-15) = 30 dB.

Le niveau des raies d’intermodulation (Ps3) s’en déduit :

PS3 = Ps – IMR3 = -15 dBm

Ces résultats sont confirmés par la détermination graphique. (page suivante)

3°) Pour une puissance d’entrée élevée, Pe=+7 dBm, la détermination à partir du modèle donne :

PS = Pe + G = 27 dBm.

IMR3 = 2 (30-27) = 6 dB.

PS3 = Ps – IMR3 = 21 dBm

La puissance de sortie correspond au point de compression, elle est bien entendue surévalué !

On a utilisé le modèle à deux tons en dehors de son domaine de validité. Dans ce cas, il y a surévaluation de l’intermodulation par le modèle. En pratique, si on limite l’intermodulation d’un circuit, on reste généralement dans les limites de validité du modèle.

Ps=+15 dBm

Ps3

=-15 dBm IMR3 =30 dB

Fn+2

Fn-1

Fn

Fn+1


Niveau des raies d’intermodulation (Ps3) pour Pe = -5 dBm.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-20 -15 -10 -5 0 5 10

Pe (dBm)

Ps(dBm)IMP3=30dBm

Ps

Ps=+15 dBm

IMR3=30 dB

Ps3=-15 dBm


150

Niveau des raies d’intermodulation (Ps3) pour Pe = +7 dBm.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-20 -15 -10 -5 0 5 10

Pe (dBm)

Ps(dBm)IMP3=30dBm

Ps

Ps=+26 dBm

IMR3=9 dB

Ps3=+17 dBm


4°) Spectre en sortie lorsque deux signaux de puissances respectives –5 (à la fréquence F1) et +5 dBm (F2) sont appliqués simultanément sur l’entrée de l’amplificateur.

Pour Pe1 = Pe2 = -5 dBm, nous avions deux raies d’intermodulation de puissance

PS3(2F2-F1) =PS3(2F1-F2) = -15 dBm

PS3i(F) est la puissance de la raie d’intermodulation d’ordre 3 à la fréquence F.

On a montré en cours que ces puissances étaient proportionnelles :

- à la puissance d’un des signaux utiles

- au carré de la puissance du second signal utile

Soit sur une échelle logarithmique :

PS3(2F2-F1) =Cste + PS(F1) + 2 PS(F2)

PS3(2F1-F2) =Cste + 2PS(F1) + PS(F2)

Par rapport à la question 2, on augmente la puissance Pe(F2) et donc PS(F2) de 10 dBm. Il en résulte une augmentation de 10 ou 20 dB des puissances des raies d’intermodulation.

PS3(2F2-F1) == -15 dBm + 2 ∆PS(F2) =+5 dBmPS3(2F1-F2) == -15 dBm + ∆PS(F2) = -5 dBm

Fn-1

Fn

Fn+1

Fn+2

-15

Ps(dBm )

∆=10 dB

Ps2

Ps1

Ps3

(2F2-F

1)

Ps3

(2F1-F

2)

+5

+15

-5

cours ir cseguinot 1

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