cours iard

8/16/2019 Cours IARD

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Actuariat de l’assurance Non Vie

Année Universitaire 2010/2011

Professeur : Abderrahim [email protected]


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PLAN

1. Généralités

2. La tarification

3. Les méthodes actuarielles de provisionnement


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L ’individu veut être protégé contre les conséquences économiques de l'aléa,notamment lorsque lui-même, où ses ayants droits, se voient privés de la possibilité derevenus à la suite d'un sinistre.

La réparation est organisée sous plusieurs formes :

• Assurances sociales obligatoires (Sécurité Sociale, assurances complémentaires!)• Assurances responsabilité civile obligatoires (circulation, construction!)

• Assurances responsabilité civile systématique : Entrepreneurs, Chef de famille• Assurances de choses : incendie, catastrophes naturelles!• Fonds de Garantie : Circulation, terrorisme, sang contaminé, amiante...

Mais aussi : la Garantie des Accidents de la Vie (G.A.V) pour faire face à des aléas nonpris en charge par d’autre système d'indemnisation.

1. Généralités


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Page 31. Généralités


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! Définitions

"Assurance : contrat par lequel une partie, dénommée le souscripteur se fait

promettre par une autre partie, dénommée l'assureur, une prestation en cas deréalisation d'un risque, moyennant le paiement d'un prix appelé prime ou cotisation.

"Risque : notion abstraite d’aléa sur les conditions financières, matérielles, corporellesou de vie des individus (collectivités, entreprises, …).


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Risque pesant sur le patrimoine

""""Perte d’un bien ou d’un revenu:Incendie, explosionsRisques domestiques : Dégâts des eaux, Bris de glace, Vol, VandalismeRisques naturels : inondations, tempêtes,…Risques industriels : explosion, pollutions...

Pertes financières : Pertes d'exploitation,…


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! Risque pesant sur le patrimoine

"Dette de Responsabilité Civile:• Responsabilité du fait personnel : faute, imprudence, négligence.• Responsabilité de Chef de famille, du fait des choses - personnes qu'on a sous sagarde• Risques que l'individu fait courir aux autres du fait de la conduite automobile.

• Risques des professionnels (responsabilité médicale) dans l'exécution deleurs prestations, ou du fait d'une carence dans leur obligation de conseil oud'information.• Risques que les entreprises font courir aux autres du fait des travaux qu'ellesréalisent ou de leurs prestations de services

• Risques liés à l'activité économique : Pollution de l'air ou des eaux, maréesnoires, catastrophes aériennes ou écologiques• Risques pesant sur les dirigeants de l'entreprise

1. Généralités


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!Risque pesant sur les personnes

" Dommages pécuniaires résultant d'une atteinte à la personne : accident,maladie, perte d'emploi

• Versement d'indemnité compensant une perte de revenus en cas d'arrêt de travailpour maladie, invalidité, ou perte d'emploi.

• Prise en charge du remboursement d'un emprunt.• Protection de la famille en cas de décès, rentes éducation...• Versement d'un capital ou d'une rente en cas de vie, à une date déterminée(système de garantie de retraite).

1. Généralités


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!Assistance et Protection Juridique

" Prestations (et non versement d’indemnisation) effectuées par l’assureur, suite à "aléas":• Rapatriement, hébergement, soins d’urgence• Assistance panne

" Assistance de l’assuré en justice : Le particulier ou l'entreprise peut être confronté à unesituation conflictuelle qui l’oblige à se défendre ou à attaquer en justice.

• Assurance Protection Juridique : l'assureur s'engage à donner des conseils enmatière juridique. Opération consistant, moyennant le paiement d'une prime, à prendreen charge les frais de procédure ou à fournir des services déterminés, en cas de litige

opposant l'assuré à un tiers.• Garantie Défense et Recours: permet à l’assuré d'être assisté lorsque saresponsabilité sera recherchée par un tiers (garantie annexe à une garantie deresponsabilité civile principale).

1. Généralités


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Page 91. Généralités : Opérations d’assurance

! Rubrique 1 : Les opérations d’assurance vie et de capitalisation.

! Rubrique 2 : Les opérations d’assurance des dommagescorporels liés aux accidents et à la maladie.

! Rubrique 3 : Les opérations d’assurance des autres risques et cellesd’assistance.

! Les assurances vie et la capitalisation (rubrique 1).

! Les assurances de personnes (rubriques 1 et 2).

! Les assurances non-vie et l’assistance (rubriques 2 et 3).

! Les assurances de dommages aux biens et de responsabilité et l’assistance(rubrique 3).


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Page 101. Généralités : Agrément

– Contexte

# L’article L 321-1 du Code des assurances prévoit explicitement que les entreprises d’assurance nepeuvent commencer leurs opérations qu’après avoir obtenu un agrément administratif délivré par

l’autorité de tutelle du pays du siège social de la société.

# L’agrément doit être obtenu selon des branches définies à l’article R 321-1 du Code des assurances(il existe en tout 25 branches).

# L’entreprise ne peut pratiquer que les opérations pour lesquelles elle a obtenu l'agrément. Une

entreprise ne peut être agréée pour effectuer l’ensemble des opérations des différentes branchesd’agrément. L’obtention d’un agrément dépend en effet, du type d’entreprise : entreprise vie, non-vieou mixte.


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1. Accidents2. Maladie

3. Corps de véhicules terrestres (autres queferroviaires)

4. Corps de véhicules ferroviaires

5. Corps de véhicules aériens

6. Corps de véhicules maritimes, lacustres etfluviaux

7. Marchandises transportées

8. Incendie et éléments naturels

9. Autres dommages aux biens

10. R.C. véhicules terrestres automoteurs

11. R.C. véhicules aériens

12. R.C. véhicules maritimes, lacustres etfluviaux

20.Vie – Décès

21.Nuptialité, natalité

22.Assurances liées à des fonds d’investissements

23.Opérations tontinières

24.Capitalisation

25.Gestion de fonds collectifs

26.Prévoyance collective

13.R.C. Générale

14.Crédit

15.Caution

16.Pertes pécuniaires diverses

17.Protection juridique

18.Assistance

1. Généralités : Liste des branches d’agrément


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Page 121. Généralités : Typologie des sociétés d’assurance

– Entreprises d’assurance vie # Les entreprises d’assurance vie sont celles qui peuvent être agréées pour effectuer les

opérations prévues aux branches 20 à 26 (rubrique 1).

– Entreprises d’assurance non-vie # Ce sont les entreprises qui couvrent les risques de dommages corporels et les autres risques

(dommages aux biens, assistance, protection juridique.). Il s’agit des branches d’agrément 1 à

18 de l’article R 321-1 (rubrique 2 et 3).

– Entreprises mixtes # Ce sont des entreprises qui peuvent être agréées pour effectuer à la fois :

• des opérations d’assurance vie (branche 20 à 26 sauf 23) (rubrique 1),

• des opérations d’assurance non-vie mais uniquement de dommages corporels (branche 1«accident » et 2 «maladie ») (rubrique 2).


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!Les assurances non-vie incluent :

"a) les assurances de biens ou de choses qui couvrent les pertesmatérielles des biens appartenant à l’assuré

"b) les assurances de responsabilité qui prennent en charge lesconséquences financières des dommages causés à des tiers parl’assuré

" c) les assurances de dommages corporels qui garantissent lesrisques d’atteinte à l’intégrité physique en cas de maladie oud’accident corporel.


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Les principales classifications des activités d'assurance

Assurances de biens et de responsabilité (ou assurances dommages)

Garanties du patrimoine

Assurances de personnes

Garanties de la personne humaine

Assurances de biens(ou de choses)

Garanties de biensappartenant à l'assuré

Assurances deresponsabilité

Garanties dedommages causés à destiers par l'assuré

Assurances desdommages corporels

Garantie des risquesd'atteinte à l'intégritécorporelle (maladieet/ou accident)

Assurances sur la vie

Garanties en cas devie, en cas de décès

Assurances non vie Assurances vie

Assurances gérées en répartition Assurances géréesen capitalisation


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Page 19Le marché des assurances*

" L’assurance est une activité économique mondiale très importante car elle drainedes sommes considérables, assure la pérennité du tissu économique de paysémergents, et enfin représente une part substantielle du PIB

" Assurance mondiale 4066 milliards de dollars (4220 en 2008, une baisse de 3,65%)

# 2332 milliards d’assurance vie (57,3%, 2439 en 2008, une baisse de 4,4%)

# 1735 milliards d’assurance non vie (42,7%, 1781 en 2008, une baisse de 2,6%)

" Assurance africaine 49,29 milliards de dollars (1,21%, 52,83 en 2008, une baisse de11,1%)

# 32,56 milliards d’assurance vie (1,4%, 36,29 en 2008, une baisse de 10,27%)# 16,72 milliards d’assurance non vie (0,96%, 16,85 en 2008, une baisse de

0,77%)Source : Swiss Re, Sigma n°3/20109, n°2/2010,


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Page 20Le marché des assurances au Maroc*

" En 2009 le marché marocain des assurances et de réassurance est constitué de17 entreprises

# 14 entreprises commerciales et trois mutuelles

! 7 entreprises pratiquent aussi bien les opérations d’assurances non vie que lesassurances vie et capitalisation

! 4 entreprises pratiquent seulement les opérations d’assurances non vie

! 1 entreprise pratique seulement les opérations d’assurances vie et

capitalisation

! 3 entreprises pratiquent les opérations d’assistance

! 1 entreprise pratique exclusivement l’assurance crédit

! 1 entreprise est spécialisée dans la réassuranceSource : DAPS, rapport d’activité des entreprises d’assurances et de réassurance au Maroc 2009


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Page 21Le marché des assurances au Maroc*

" En 2009 le marché de l’assurance 2,488 milliards de dollars (2,356 en2008, une hausse de 5,59% )

$ 0,06% du marché mondial, 5,24% du marché africain

# 0,793 milliards d’assurance vie et capitalisation

$ 31,86%, 0,782 en 2008, une hausse de 1,31%

$ 0,04% du marché mondial

# 1,695 milliards d’assurance non vie

$ 68,14%, 1,574 en 2008, une hausse de 7,71%

$ 0,1% du marché mondial

Source : DAPS, rapport d’activité des entreprises d’assurances et de réassurance au Maroc 2009


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Le secteur de l’Assurance au Maroc


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Le secteur de l’Assurance au Maroc


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Page 241. Généralités : Le marché de l’assurance au Maroc


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$ Protection des personnes

$ Protection du patrimoine.$ Investissement : provisions pour faire face aux engagements futurs,placements.

$ Prévention – Exemple d’organismes financés par les assureurs:"Centre National de Prévention et de Protection : prévention des risquesindustriels (sécurité Incendie, protection de l’environnement, …)"Prévention routière : campagnes d’information, revues, assistance aux

municipalités et entreprises, en vue de susciter des changements decomportement chez les conducteurs.

1. Généralités Rôle de l’Assurance et de l’Actuaire


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Page 311. Généralités : Rôle de l’Assurance et de l’Actuaire

" Le rôle de l’actuaire en assurance dommage


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Page 321. Généralités : Rôle de l’Assurance et de l’Actuaire

" Le rôle de l’actuaire en assurance dommage


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2. La tarification

2.1- Les différentes composantes du tarif2.2- Mutualisation contre segmentation

2.3- Les outils statistiques de segmentation

2.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût

2.5- Estimation de la prime pure

2.6- Pilotage du tarif

2.1- Les différentes composantes du tarif


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2.1 Les différentes composantes du tarifLe compte de résultat d’assurance

!"#$%&

Ressources Charges

!"'()#*& ,#-.-/#%"&

% La prime est « presque » la seule ressource! Elle doit couvrir « presque » l’ensemble despostes de charge

01."2%(%&3"%&*.*#'-&

• la charge des sinistres

4.5%&

• les taxes exigées par l’État

6".#& (7./8)#*#'-') /'$$#&'-&

6".#& 2%&*#'- -#&*"%&

6".#& (% &*")/*)"%

• les frais nécessaires à l’activité

9':(% (%";.&&)".-/%

• le solde entre la cotisation versée auprèsdu réassureur et sa prise en charge de lacrête de la charge

2 1- Les différentes composantes du tarif


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2.1- Les différentes composantes du tarifComment charger la prime commerciale

!"#$%&

Ressources Charges

6".#& (7./8)#*#'-') /'$$#&'-&

01."2%(%&3"%&*.*#'-&

!"'()#*& ,#-.-/#%"&

4.5%&

6".#& 2%&*#'- -#&*"%&

6".#& (% &*")/*)"%

?4@4

Modélisation de la V.A. « Charge »

Taux obligatoire imposé par l’Etat+ cotisation fixes (ex : régime CatNat)

Tarif négocié avec le réassureur, en taux

Décomposition par la comptabilité analytique,en taux ET en fixe

Comment construire la prime :

9':(% (%";.&&)".-/%


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Page 362.1- Les différentes composantes du tarif


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Page 372.1- Les différentes composantes du tarif


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PC + PF = Charge + MS + Commissions + Réass + FG + Profit

PC + i × PC = PP × (1 + MS) + com × PC + Vexp × PC + Fexp

+ r × PC + p × PC

Formule finale de la prime commerciale :

PP ( 1 + MS) + FexpPC =

(1 - com - r - p - Vexp + i)

2.1- Les différentes composantes du tarif : Formule finale

2 L diffé d if A li ti


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Page 402.1- Les différentes composantes du tarif - Application

% Contexte• banlieue d’une grande vile, 100.000 pavillons d’une valeur moyenne de130.000€• la société J’ASSURE souhaite se développer sur ce marché en proposant un

produit Incendie• Objectifs de développement& part de marché de 10%& rémunérer les fonds propres à 12,5%

% Sinistralité : statistiques des pompiers sur les deux dernières années• 200 incendies / an, dont• 4 totaux• 180 bénins (coût moyen 2.340,00€)• 16 partiels (coût moyen 26.000,00€)

• marge de sécurité sur prime pure = 5%

% Réassurance : même solde qu’en N-1 = 2.5 % de la prime commerciale

2 1 L diffé t t d t if A li ti


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Page 412.1- Les différentes composantes du tarif - Application

% Taxes : 30%

% Gestion• campagne marketing : 230.000,00€• commissionnement des agents : 20%• frais de gestion : 10€ / an / contrat• durée moyenne d’un contrat en portefeuille: 7 ans

% Produits financiers : même rendement N-1 = 5% de la prime commerciale% Rémunération des fonds propres à 12,5%

CALCULER LE TARIF THEORIQUE TTC,

ET LE CHIFFRE D’AFFAIRES REALISE HT.

2 1 L diffé t t d t if Application : réponse


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Page 422.1- Les différentes composantes du tarif - Application : réponse

1. Calcul de la Prime Pure, le noyau du tarif• fréquence = 200/100.000 = 0,20%• coût moyen = 6.786,00€• prime pure = P = 0.20% x 6.786€ x 1,05 = 14,25€

2. Coûts de chargement à ajouter au tarif• campagne marketing

coût annuel par contrat = 230.000 / (7 x 10% x 100.000)= 3,29€• frais de gestion : 10€ / contratDonc la prime pure chargée des frais fixes :

P’ = 14,25€ + 3,29€ + 10€ = 27,54€

3. Rémunération des fonds propres à 12,5% :% Marge de solvabilité Réglementaire =16% du CA (solvabilité 1)i.e. 16% du C.A. doit être provisionnés, avec une couverture des fonds propreséquivalente.L’actionnaire exige un prix à l’immobilisation de ces fonds propres, il réclame 12.5%d’intérêt, qui viendront en déduction des produits financiers.tx RMS = 12.5% x 16% CA = 2% CA

N.B. : Une nouvelle norme Solvabilité 2 va s’imposer aux sociétés d’assurance, avec une affectation parrisques des besoins en fonds propres.

2 1- Les différentes composantes du tarif - Application : réponse


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Page 432.1- Les différentes composantes du tarif - Application : réponse

% La prime commerciale HT se déduit par l’équation :PCHT = Prime pure chargée + PCHT x tx commission+ PCHT x tx réassurance- PCHT x tx produit fi+ PCHT x tx RMS

donc PCHT =

PCHT = 34,21€

% Prime commerciale TTC = PCHT x (1+tx taxe) = 44,47€ (prix de vente client)

% Chiffre d’affaires annuel HTCAHT = N x PCHTCAHT = 10%x100.000 x 34,2077CAHT = 342.077 € et 102.623€ de taxes à l’état

Prime pure chargée

1- tx commission - tx réassurance + tx produit fi - tx RMS

2 2 Mutualisation contre segmentation


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Page 442.2- Mutualisation contre segmentation

2.2- Mutualisation contre segmentation


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Soit un marché de 100 voitures avec 1 seul assureur A.Il estime la fréquence sur l’année passée par :

L’assureur unique mutualise : son contrat est à prime unique sur tous les risquesprime pure = 20%× 2500 = 500€prime commerciale chargée (x 2) = 1000€

Bilan en fin d’année 1 : Assureur A

Portefeuille : 100 contratsChiffre d’affaires : 100 000 €Charge sinistres : 50 000€Marge technique : 50 000€

20 sinistres100 AP

50 000 €20 sinistresFréquence = = 20%

Coût moyen = = 2 500€


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Comment réagissent les automobilistes ? Le jeune a le choix entre A (1000€) et B (1500€) ! il reste chez A !

Le senior a le choix entre A (1000€) et B (500€) ! 50% seniors sont attirés par B !

Comment se réalisent les sinistres ?

Charge jeunes = 50 x 30% x 2500 = 37 500€ 6 250€ pour A

Charge seniors = 50 x 10% x 2500 = 12 500€ 6 250€ pour B

Bilan en fin d’année 2 :

Mutualiste A Segmenteur B Portefeuille : 75 (-25%) 25 seniorsChiffre d’affaires : 75 000 € (-25%) 12 500€Charge sinistres : 43 750€ (-12%) 6 250€Marge technique : 31 250€ (-37%) 6 250€


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2.2- Mutualisation contre segmentation : segmentation du tarif en fonction de deuxcritères


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Page 49critères

31503295511952Tous véhicules

1784117160681Z = z3 : gros

81177955162Z = z2 : moyens

554544361109Z = z1 : petits

Tous conducteursZ’

= z’2 expérimentésZ

’

= z’1 novicesNombre d’assurés

na(z, z’)

43841622Tous véhicules

38536718Z = z3 : gros

36360Z = z2 : moyens

17134Z = z1 : petits



’

= z’1 novicesNombre de sinistresns(z, z’)

P 50



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Page 50critères

1,390%1,408%1,127%Tous véhicules

2,158%2,139%2,643%Z = z3 : gros0,444%0,453%0,000%Z = z2 : moyens

O,307%O,293%0,361%Z = z1 : petits



’

= z’1 novicesFréquences desinistres

ns(z, z’) /na(z, z’)

! Peut-on utiliser un tarif découlant directement les estimations ?

( ) ( )

( )"

""

#

# #

! ! "

! ! " ! !

#

$=Π∧

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Page 51critères

1,390%Tous véhicules

2,158%Z = z3 : gros

O,444%Z = z2 : moyens

O,307%Z = z1 : petits

Tous conducteursFréquences de sinistres

ns(z, z’) /na(z, z’)

! Peut-on utiliser directement l’étude des fréquences observées enfonction d’un seul facteur à la fois ? :

1,390%1,408%1,127%Tous véhicules

Tous conducteursZ’ = z’2 expérimentésZ’ = z’1 novicesFréquences de sinistres

ns(z, z’

) /na(z, z’

)

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! Le modèle multiplicatifOn cherche un tarif basé sur un modèle multiplicatif :

qui respecte les marges du tableau des sinistres

( ) ( ) ( )"" $ # ! ! ! ξ ν ×=Π∧

( )" # ! ! " $

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )"#$

=××+××+××

=××+××+××

%"

%#

$

=××+××

=××+××

=××+××

%&' &(&')*+ (,--** %%+'*&

** '.&&+ &'*&* &&),&&

+.- &(&')*+ '.&&+

+' (,--** &'*&*

&( %%+'*& &&),&&

ξ ν ξ ν ξ ν

ξ ν ξ ν ξ ν

ξ ν ξ ν

ξ ν ξ ν

ξ ν ξ ν

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Page 53

! Le modèle multiplicatifAlgorithme de calcul :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )"#$

×+×+×=

×+×+×=

%%%

"

%%

%

#

$

×+×=

×+×=

×+×=

==−−

&(&')+ (,--* %%+'&%&' *

'.&+ &'** &&),&** &

&(&')* '.&&

+.- +

(,--* &'*&+' *

%%+'* &&),&&( &

**/0#&&&&

% % % %

% % % %

% % %

% % %

% % %

% % % %

ν ν ν ξ

ν ν ν ξ

ξ ξ ν

ξ ξ ν

ξ ξ ν

ξ ξ ξ ξ

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Page 54

2,143%2,536%Z = z3 : gros

0,442%0,523%Z = z2 : moyens

0,296%0,350%Z = z1 : petits

Z’ = z’2 expérimentésZ’ = z’1 novicesTarif

! Après convergence de l’algorithme (trois itérations), le tarif trouvé est :

( ) ( )"$ ! ξ ν ×

367,72917,271Z = z3 : gros

35,1460,847Z = z2 : moyens

13,1193,881Z = z1 : petits

Z’ = z’2 expérimentésZ’ = z’1 novicesTarif appliqué au parc

( ) ( ) ( )"" $#$ ! " ! #××ξ ν

Page 552.2- Mutualisation contre segmentation


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age 55

Dans un marché « fluide »,

si deux compagnies identiques ont les mêmes offres,

les mêmes frais, la même distribution...,

la compagnie la moins segmentée

court un risque d’antisélection

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g

!Les risques d’antisélection

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!Choix des critères de segmentation

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# Analyse univariée

# Analyse multivariée

# Classifications

# Modèle Linéaire Généralisé

Page 652.3- Les outils statistiques de segmentation


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!"

Méthodesdescriptives

Variablesnumériques

Variables« mixtes »

Variablesqualitatives

Analyse en ComposantesPrincipales (ACP)

Analyse Factorielle desCorrespondances (AFC)

Analyse des Correspon-dances Multiple (ACM)et Analyse Factorielle

Multiple (AFM)

Classification

!"

Page 662.3- Les outils statistiques de segmentation


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!!

Méthodes explicatives

Une seule variable àexpliquer

Plusieurs variables à expliquer :Analyse canonique

La variable à expliquerest numérique La variable à expliquerest qualitative

Les variables explicativessont numériques

Les variables explicativessont qualitatives

Les variables explicativessont numériques : Analyse

discriminante

Les variables explicativessont qualitatives : Mesuresconjointes/ Segmentation

Analyse de la varianceSegmentation

Régression linéaire

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! Les risques de modèle statistique

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! Analyse statistique descriptive

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! Analyse des corrélations par les techniques d’analyse de données

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Page 85Modèles Tarifaires


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La problématique

Un exemple fictif

Typologie des modèles tarifaires

Décomposition fréquence X coût moyen

Les modèles de fréquence

Les modèles de coûts moyens

!

"

#

$

%

&

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!

Modèles Tarifaires


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- La Problématique

' Concurrence accrue qui pousse à une segmentation plus fine destarifs.

' La structure tarifaire doit présenter les caractéristiques suivantes :

• être aisée à programmer ainsi qu’à faire évoluer(efficience/réactivité)

• doit permettre la prise en compte de tous les facteurs explicatifs

• doit estimer au mieux l’effet de chacun des facteurs

!

Page 87Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques

!


88/330

On souhaite modéliser une variable

On dispose :

• d’un jeu de variables explicativesqui définit les cellules tarifaires debase (risque individuel vs risque

moyen )• d’observations (échantillon)

On suppose :

• une relation entre des paramètreset la valeur moyenne dans chaquecellule tarifaire de base

• une dispersion autour de la valeurmoyenne

Objectif :Calculer les paramètres

- La Problématique


89/330

Page 89

*

Modèles Tarifaires : Aspects Théoriques


90/330

- Un exemple Fictif*EXEMPLE D'OBSERVATIONS

Un critère véhicule : Diesel (1) , Essence (2)Un critère conducteur : Femme (1) , Homme (2)Un critère géographique : Campagne (1), Ville (2)

Variable àmodéliser

véhicule conducteur géograph.

obs n°1 Diesel Femme Campagne 83,435obs n°2 Diesel Femme Ville 98,605obs n°3 Diesel Homme Campagne 106,838obs n°4 Diesel Homme Ville 126,263

obs n°5 Essence Femme Campagne 51,865obs n°6 Essence Femme Ville 61,295obs n°7 Essence Homme Campagne 66,413obs n°8 Essence Homme Ville 78,488

Variables explicatives

Page 90

U l Fi if i*



91/330

- Un exemple Fictif - notations*

Exemple de C

N° var, modalitéC

n°obs

Sur la 4è observation, le premier critère (véhicule) prend la première modalité (Diesel)4

C = 11,1

Sur la 5è observation, le troisième critère (géo) le prend pas la seconde modalité (Ville)5

C = 03,2

1,1

3,2

5

4

ne

Page 91

U l Fi tif t ti*



92/330


EXEMPLE DE λ

λobs. k

λ = 83.4351

λ = 61.2956

Page 92

U l Fi tif t ti*



93/330


EXEMPLE DE PARAMETRES (Multiplicatif)

λ = 92,5 λ = 57,5véhicule, diesel véhicule, essence

1,1 1,2

λ = 0,82 λ = 1,05conducteur, femme conducteur, homme

2,1 2,2

λ = 1,1 λ = 1,3géograh., campagne géograph., ville

3,1 3,2

Page 93

- Un exemple Fictif – Modèle Multiplicatif*


+&.*)--( ××λ!


94/330

*,-#'&'

*#+'*#+

+'+

*#*

'*#*

*

'*

*&

'*&

&&

'&&'

1&

+2&31)

&2&3

1))-2&31&.*2)3

1&

-2-(31)

-2,*3'

+2&.*2)-2-('

=

××

××

×=

××

××

×=

××=

λ

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

λ

!

"

"

!

"

"

!

&&

&&

'&

'

'&

'

Page 94

Un exemple Fictif*



95/330

- Un exemple Fictif*

A partir du modèle,estimation du 6ème cas« véhicule essence, conducteur femme, géo ville »

∏ ∏= =

=

( ) *)"

)

"

*

& *)

& &

#'

#

'λ λ

Page 95

Un exemple Fictif notations*



96/330


EXEMPLE DE λ

λobs. k

λ = 83.4351

λ = 61.2956

EXEMPLE DE η

ηobs. k

η = 4.42411

η = 4.11576

LN

EXP

Page 96

Un exemple Fictif notations*



97/330


EXEMPLE DE PARAMETRES (Additif)

β = 4,5272 β = 4,0518véhicule, diesel véhicule, essence

1,1 1,2

β = - 0,1985 β = 0,0488conducteur, femme conducteur, homme

2,1 2,2

β = 0,0953 β = 0,2624géograh., campagne géograph., ville

3,1 3,2

Page 97

- Un exemple Fictif Modèle additif*



98/330

- Un exemple Fictif – Modèle additif*

*,-2'&1'/453

&&-(2%'

*#+*#+

'++

'

*#**#*

'**

'

*&

*&

'&&

&&

''

1*'*%2)&31),-+2))3

1)%..2))31&,.-2)&3

1)-&.2%&31-*(*2%)3

'

*'*%2)&,.-2))-&.2%'

=

=

×+×+

×+×+

×+×=

×+×+

×+−×+

×+×=

+−=

η

η

β β

β β

η

η

η

!

!

"

"

!

"

"

!

!

&&

&&

' +

'

& ' +

'

&

Page 98




99/330



& &= = ×=

( )"

)

"

*

*) *)&

& &

##

'' β η

Page 99




100/330

- Un exemple Fictif


& &

∏ ∏

= =

= =

×=

=

( )

( ) *)

"

)

"

*

*)

*)

"

)

"

*

&

*)

&& &

#

#

''

& &

#

' #

'

β η

λ λ

Page 100

- Typologie des modèles tarifaires3



101/330

Typologie des modèles tarifaires

– Multiplicatifs :

#risque = produit d’effets des variables explicatives

– Additifs :

#risque = somme d’effets des variables explicatives

3

Page 101

- Typologie des modèles tarifaires3



102/330

(((( Les modèles multiplicatifs sont en général préférés :

Typologie des modèles tarifaires3

• ils respectent la contrainte de positivité

• ils se révèlent plus robustes

Dans la suite de cet exposé, nous nousattacherons principalement aux modèles

multiplicatifs

Page 102

De façon plus formelle, on a :



103/330

De façon plus formelle, on a :

%

"

)

"

*

*)

*)

%

%

"

)

"

*

&

*)

%

( )

( ) *)%

& η β λ

λ λ

=×=

=

& &

∏ ∏

= =

= =

& &

#

#

& &

#

16783

#

est égal à 1 si l’assuré k vérifie la modalité j pour la variablei et à 0 sinon,

est la grandeur estimée avec le modèle pour l’assuré k,

*)% & #

% λ

16783 ## *) *) λ β =


4 - Décomposition fréquence / Coût moyen


104/330

!Prime Pure = Fréquence * Coût Moyen

!FréquenceNombre de sinistres / Nombre de risques-années

= NbSin / nb RA

!Coût Moyen

Charge Sinistre / Nombre de sinistres

= Charge Sin / NbSin

4 Décomposition fréquence / Coût moyen

Page 104

- Décomposition fréquence / Coût moyen4



105/330

p q y

& modèle exprimant la prime pure en fonction des facteurs explicatifs

Deux alternatives possibles

Phénomène difficilement adossable à une loi connue

Page 105

- Décomposition fréquence / Coût moyen4



106/330

p q y

& approche en trois temps :• un modèle multiplicatif donnant la fréquence

en fonction des facteurs

•• idem pour les coûts moyens

••• prime pure obtenue en multipliant fréquences et coûts moyens

Deux alternatives possibles

Permet des modélisations adaptées pour la fréquence et les coûts

Page 106

- Les modèles de fréquences : approche par le MLG5



107/330

q pp p

3 composantes

"""" Aléatoire Y : identifie la distribution de probabilités de la variable à expliquerµ = E (Y)

"""" Systématique : constitué par une fonction linéaire des variables explicatives

nommé prédicteur linéaire, η = X β

"""" Fonction de lien g : établir le lien entre la moyenne de Y, notée µ et lesvariables explicatives : g(µ) = η(X1, …, Xp)


' MLG = extension du modèle de régression linéaire mais en permettant


108/330

' MLG = extension du modèle de régression linéaire mais en permettantà Y de suivre n ’importe quelle loi faisant partie de la familleexponentielle.

' Lois candidates :

# loi Normale

# loi de Poisson

# loi binomiale

# loi binomiale négative

' Pondération : par risques-année

Page 108

De façon plus formelle :



109/330

µ = E (Y) = g-1(ηηηη)

Var (Y) = Φ x V(µ) / w k w k = exposition

et généralement, g-1

= exp.

Page 109

Intérêt : on peut rendre la modélisation compatible avec de nombreusesdistributions pour Y



110/330

distributions pour Y

V(µ) distribution pour Y

1 Normale

µ Poisson

µ2 Gamma

µ(1− µ ) Binomiale


111/330

Page 111

- Les modèles de coûts moyens : approche par le MLG6



112/330

' Lois candidates :

# loi Gamma

# loi Normale

...

' Fonction V :V(µ) distribution pour Y

1 Normale

µµµµ² Gamma

Page 112Logiciel R


113/330

Page 113Logiciel R


114/330

Page 114Logiciel R


115/330

Page 115Logiciel R


116/330

Page 116Logiciel R


117/330

Page 117Logiciel R


118/330

Page 118Logiciel R


119/330

Page 119Choix de la fonction lien


120/330



121/330



122/330



123/330



124/330


125/330

Page 1252.4- Analyse probabiliste de la fréquence et du coût


126/330


127/330

Page 127



128/330

Page 128



129/330

Page 129



130/330


131/330

Page 131



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Page 132



133/330

Page 133



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Page 134



135/330

Page 135



136/330

Page 136



137/330

Page 137



138/330

Page 138



139/330

Page 139

Charge de sinistre par contrat



140/330

Page 140




141/330

Page 141




142/330


143/330

Page 143

Décomposition fréquence/coût



144/330

Page 144




145/330

Page 145




146/330

Page 146




147/330

Page 147




148/330

Page 148

Exemple de calcul de la prime pure



149/330

Page 149




150/330

Page 150




151/330

Page 151




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Page 152




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Page 153




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Page 154




155/330

Page 155




156/330

Page 156




157/330

Page 157




158/330

Page 158


159/330

3. Les méthodes actuarielles de provisionnement

Page 159SOMMAIRE

3.1 Introduction et principes généraux de provisionnement

3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)


160/330

3.3 Provision pour primes non acquises (PPNA)

3.4 Provision pour risque en cours (PREC)3.5 Provision pour risque d’exigibilité (PRE)

3.6 Provision pour égalisation

Page 1603.1 Introduction et principes généraux de provisionnement


161/330


" L’'inversion du cycle de production


162/330

ConceptionTarification

Vente

Indemnisation

SurvenanceSinistre

Evaluation

EncaissementRecouvrement

Placement



163/330



164/330


Souscription Réception de la Sinistre PaiementNotification du


165/330

X

p

X

pprime

X X

du sinistre

X

sinistre

Délai desurvenance du

sinistre

Délai denotification

Délai depaiement



166/330



167/330



168/330

Page 1683.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)

!Article R 331-15 :

“La provision pour sinistres à payer est calculée exercice par exercice.

(…) L'évaluation des sinistres connus est effectuée dossier par dossier, le coût


169/330

d'un dossier comprenant toutes les charges externes individualisables ; elle estaugmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés.

La provision pour sinistres à payer doit toujours être calculée pour son montantbrut, sans tenir compte des recours à exercer ; les recours à recevoir font l'objetd'une évaluation distincte.”


170/330


Ultime= Paiements + d/d + IBNR

IBNR = Ultime - Charge

Mise en pratique


171/330

Paiements cumulés

Provisions d/d


172/330


Pratique du provisionnement

!Estimation des réserves – PSAP brutes de réassurance

– Prévisions de recours

– Réserves cédées


173/330

!Estimation effectuée au niveau de chaque catégorie

!3 étapes dans l’obtention de l’estimation du montant des réserves : – 1. Connaissance des données :#Construction des triangles / réconciliation avec les états comptables# Analyse des facteurs externes influant sur la cadence : inflation, sinistres graves,

catastrophes, nouveaux types de sinistres…# Analyse des facteurs internes influant sur la cadence : composition du

portefeuille, modification de couverture, procédures de gestion des sinistres…#Niveau d’écrêtement



Les facteurs externes

Nature des sinistres :• déroulement court / long• coût unitaire important

Délai de transmissiondes sinistres


174/330

Nouveaux produitsNouveaux risques

Inflation future

Evolution dela jurisprudence

Catastrophes

naturelles

Conjonctureéconomique

Secteurgéographique

Evaluation

Page 174

Contrôle interne :• existence de procédures écrites• séparation des tâches• supervision effectuée

Pl d éI li ti d

Changements dans l'organisation du service sinistres :• ouverture des dossiers• procédures de règlement• méthode d'évaluation et de provisionnement• système informatique

3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Pratique du provisionnementLes facteurs internes


175/330

Politique commerciale(tarifs, sélection des risques...)

Procédure d'inventairedes sinistres

Qualification du personnel(souscription, évaluation)

Plan de réassuranceImplication dela direction

Situation financièrede la CompagnieFiabilité des

bases de données

Existence de donnéeshistoriques précises

Evaluation



! 3 étapes dans l’obtention de l’estimation du montant desréserves :

– 2. Modélisation

# Modélisation de la charge / paiements


176/330

# Modélisation de la charge / paiements# Utilisation de différentes méthodes

# Convergence des méthodes

– 3. Validation du modèle# En terme de ratios S/P et coûts moyens ultimes

# Suivi trimestriel ou annuel des indicateurs

# Benchmarks


Données

Provisionnement déterministe Provisionnement stochastique

Ch i L dd GLML N l GAM

Présentation générale de l’étude


177/330

Chain Ladder GLMLog-Normale

1 - Théorie, construction

et validation du modèle

3 – Application aucalcul de TRI

2 - Comparaisondes modèles

Variabilité du modèle

Écart de PSAP avecle modèle de référence

• Mack• Bootstrap• Méthode Delta

Approche quantile

Approche écart-type

• Bootstrap• Méthodes alternatives

• Bootstrap

GAM


!Évaluation statistique des sinistres à payer

* Outre la méthode dossier par dossier, les sociétés peuvent utiliser

diverses méthodes statistiques

* Ces estimations sont d’autant plus pertinentes que la société est grande et


178/330

* Ces estimations sont d autant plus pertinentes que la société est grande, etque, dans la branche examinée, les sinistres sont nombreux et n’atteignent

pas de montant trop élevé.

#méthodes basées sur la cadence de règlement des sinistres d’un même exercice de survenance;#méthodes basées sur le coût moyen des sinistres d’un même exercice de survenance;

#méthodes basées sur l’étude de la liquidation de la charge (paiements + provisions) des

sinistres d’un même exercice de survenance;

#méthodes basées sur l’évolution du taux de sinistre à primes S/P


! Méthodes de cadence de règlement

!Les méthodes de cadence de règlement consistent à évaluer la

charge de sinistres survenus au cours d’un exercice en partant


179/330

charge de sinistres survenus au cours d un exercice, en partantdes paiements effectués et de la cadence de règlement

!La cadence de règlement est le rapport entre les sinistres déjà

payés et la charge totale (finale) de sinistres



Exemple : Prenons un exemple avec 5 années de survenance d’une branche à déroulement court, et

supposons que la charge des exercices 95-97 exactement connue, et que les cadences de

paiement sont stables.


180/330

??465478452=Charge vue au 31/12/1999

??421+ Provisions au 31/12/1999294458461476451Paiements cumulés à fin 1999

281451474450Paiements cumulés à fin 1998




19991998199719961995



Évaluation de la provision relative à 1998 à partir des exercices précédents

Exercices de survenance


181/330

97,1%451/465 = 97,0%463/478 = 96,9%441/452 = 97,6%Cadence cumulée

observée en deuxièmeannée

Moyenne199719961995


#%(*9,(

%-.,. == $ &%%-.%(*,,,. =−=− ,On obtient ainsi le montant deprovision :





182/330

?458/97,1% = 472465478452=Charge vue au 31/12/1999

?472-458=14421+ Provisions au 31/12/1999294458461476451Paiements cumulés à fin 1999





19991998199719961995




Exercice de survenance


183/330

#%,-9%#-,

*,%,, == $ *)&*,%%,-,,,, =−=− ,On obtient ainsi le montant deprovision :

59,4%281/472=59,5%278/465=59,8%283/478=59,2%268/452=59, 3%Cadence cumulée observéeen première année

Moyenne1998199719961995





184/330

294/59,4% = 495472465478452=Charge vue au 31/12/1999

495-294=20114421+ Provisions au 31/12/1999294458461476451Paiements cumulés à fin 1999





19991998199719961995


! Méthodes de coûts moyens

Les méthodes de coûts moyens consistent à évaluer la charge de

sinistres survenus au cours d’un exercice en partant des coûts


185/330

sinistres survenus au cours d un exercice, en partant des coûtsmoyens de sinistres observés lors des exercices antérieurs et en

leur appliquant

! soit un taux d’inflation du marché;

! soit le taux d’inflation observé dans le passé de la société.

# trois étapes



Première étape : estimation des sinistres survenus et non déclarés



186/330

173185185194195Nombre de sinistres déclarés à fin 1999





19991998199719961995(en milliers)




Exercices de survenance n


187/330

??111Nombre de sinistres déclarés l’année n + 2

?3352Nombre de sinistres déclarés l’année n + 1

173182181188192Nombre de sinistres déclarés l’année n

19991998199719961995(en milliers)

En négligeant les évolutions, le tableau suivant montre qu’il y a chaque année environ :

(2+5+3+3)/4 = 3 milliers de sinistres survenus l’année n et déclarés l’année n+1 et 1 millier de

sinistres déclarés l’année n+2.






188/330

11111Nombre de sinistres déclarés l’année n + 2

177186185194195Nombre de sinistres survenus

33352Nombre de sinistres déclarés l’année n + 1

173182181188192Nombre de sinistres déclarés l’année n

19991998199719961995(en milliers)



Deuxième étape : estimation des coûts moyens



189/330

??465478452

??421


+ Provisions à fin 1999

= Charge totale de sinistres à fin 1999

19991998199719961995(en milliers)

Coût moyen = charge totale de sinistre / nombre de sinistres






190/330

2514

2,0 %

2464

6,3 %

2318

185194195

465478452Charge totale de sinistres à fin 1999

Nombre de sinistres évalués

Coût moyen observé

Croissance observée

199719961995

Croissance moyenne = (6,3 % + 2,0 % ) / 2 = 4,1 %






191/330

27262617

4,1 %4,1 %

251424512317Coût moyen

Croissance prévue du coût moyen

Coût moyen évalué

19991998199719961995



Troisième étape : estimation des provisions

Exercice de survenance


192/330

18929= Provisions

483

294

487

458

=Charge totale de sinistres

- Paiements déjà effectuées

2726

177

2617

186

Coût moyen évalué * Nombrede sinistres évalués

19991998(en milliers)


! Méthodes liquidatives

Les méthodes liquidatives supposent que la liquidation

passée des provisions, en boni ou en mali, se reproduira


193/330

p p , , p

dans le futur.

! une liquidation de provision présente un boni si la provision constituée en

début d’exercice a permis de payer les règlements de l’exercice, de constituer

la provision en fin d’exercice et de dégager un excédent





194/330

434473465478452Charge évaluée par la société à fin 1999





19991998199719961995(en milliers)



?5468Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 1

434468461475447Charge évaluée par la société l’année n

19991998199719961995(en milliers)



195/330

???-1-1Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 3

??0-2-2Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 2

?5468Boni ( ) mali (+) constaté l année n + 1

#Le mali constaté l’année n + 1 est une charge moyenne de (8 + 6 + 4 +5) / 4 = +6

#Le boni constaté l’année n + 2 est une charge négative moyenne de (-2 -2 - 0 ) / 3 = -1

#Le boni constaté l’année n + 3 est une charge négative moyenne de (-1 -1 ) / 2 = -1



65468Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 1

434468461475447Charge évaluée par la société l’année n

19991998199719961995(en milliers)



196/330

-1-1-1-1-1Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 3

438471464478452

-1-10-2-2Boni (-) mali (+) constaté l’année n + 2

65468Boni ( ) mali (+) constaté l année n + 1


197/330


Triangles de liquidation


198/330



199/330



200/330



201/330



202/330



203/330



204/330



205/330



206/330



207/330



208/330



209/330



210/330



211/330



212/330



213/330



214/330



215/330



216/330



217/330



218/330



219/330



220/330


A l’origine… Chain-Ladder

!Méthode basée sur les facteurs de développement

!Hypothèse du modèle : – La cadence des paiements (ou des charges) des sinistres est identique quelle que soit l’année de survenance

! De façon pratique :

– Méthode qui s’applique à des triangles cumulés

– Estimation des facteurs de développement :

&: &

−≤≤=

&

&−

−

=

+

" *

-)*

-

*"

*"

)

*)

*λ


221/330

– Estimation de la charge ultime :

Cette méthode extrait la cadence de règlement à partir des donnéeshistoriques et l’utilise pour projeter le développement futur.

&

&=

-)*)

" *)"- - *)")"))* ≤≤+−×××= −−+−= *#:222:: && λ λ


Survenance 1 2 3 4 5 6 7+

1998 3 209 4 372 4 411 4 428 4 435 4 456

1999 3 367 4 659 4 696 4 720 4 730

2000 3 871 5 345 5 398 5 420

2001 4 239 5 917 6 020

Chain-Ladder : les triangles de développement

! Exemple de triangle de développement (paiements cumulés bruts de recours à encaisser)


222/330

2002 4 929 6 794

2003 5 217

;7


223/330

2003 5 217

λλλλj 1,381 1,011 1,004 1,002 1,005

C = B A/C


Survenance 1 2 3 4 5 6ChargeUltime

Provisionsestimées

1995 3 209 4 372 4 411 4 428 4 435 4 456 4 456 0

1996 3 367 4 659 4 696 4 720 4 730 4 752 4 752 22

1997 3 871 5 345 5 398 5 420 5 430 5 456 5 456 36

1998 4 239 5 917 6 020 6 046 6 057 6 086 6 086 66

Année de développement

Chain-Ladder : calcul de la charge ultime

! Déduction du triangle inférieur et de la charge ultime estimée


224/330

1999 4 929 6 794 6 872 6 902 6 914 6 947 6 947 153

2000 5 217 7 204 7 287 7 318 7 332 7 367 7 367 2 150Total 35 064 2 427

λλλλ j 1,381 1,011 1,004 1,002 1,005cadence 01:02 02:03 03:04 04:05 05:06 6:Infini

X XX

Tail facteur à choisirex=1

X


A l’origine… Chain-Ladder

!Avantages: – un benchmark incontournable

– simple à mettre en œuvre

– peut être ajusté pour tenir compte de l’inflation

– non nécessité d’une loi de distribution

!Inconvénients:R h thè t è f t i ti li


225/330

– Repose sur une hypothèse très forte qui suppose en particulier que :# Le développement des sinistres est régulier : les sinistres sont déclarés et payés au même

rythme quelle que soit la survenance# Les provisions dossier/dossier sont estimées par des méthodes pérennes

– La méthode ne permet pas d’estimer un facteur de queue de distribution

– Effet multiplicatif du risque d’erreur sur les survenances récentes


Précisions sur les points délicats

!2 principaux points délicats – Déterminer une cadence représentative du futur

– Le facteur de queue de distribution

!Cadence représentative du futur


226/330

– Le futur n’est pas toujours semblable au passé ; il faut éliminer les

développements du passé qui ne se reproduiront pas dans l’avenir# Événements exceptionnels (tempêtes, ouragan…) : supprimer le choc

# Irrégularité dans les cadences

# Évolution dans le temps de la cadence

Page 226

I7


227/330

J/6/>0D7< B/C E=>0/?GC

B/ BAH/6755/@/


228/330

ppassés

# Validation graphique : estimer les charges ultimes des années les plus anciennes, et endéduire le coefficient de queue

– Utiliser des cadences de marché

# Utiliser des données publiques ou celles d’une compagnie semblable / comparer les Links

Ratios actuels à ceux du marché# Utiliser les cadences de marché pour projeter le futur

Page 2283.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Méthodes Chain Ladder Pondérées

!Utiliser un même facteur de développement de délai j pour toutes les annéesd’origine

*)

*)

)* *"

)

)*

*"

)

)*)*

*

-

- . " *

.

#

&

& =H/> ) 57?G+

−

=

−

=∧

=≤≤=

&

&

ω

ω

λ


229/330

– Choix standard :

# Moyenne :

# Chain Ladder standard :

&−

=

∧

−=

*"

)

)* * . *" &

& λ

*))* - #=ω

Page 2293.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Méthodes Chain Ladder Pondérées

– Choix standard :# Le dernier :

# Moyenne des k derniers (si k = 3 ):

+& CD &

&

−≤≤=−−∧

& " * . *"

)**λ

* *" * . #−

∧

=λ


230/330

( )

& CD

* CD *

&

+

#&

#*#&

+

−==

−=+=

∧

∧

−−=

&

" * .

" * . .

*.

* *

* * *

*")

)* *

λ

λ


L’évolution ces dernières années

!Jusqu’à présent, une estimation du montant des provisions baséeessentiellement sur des méthodes déterministes (Chain Ladder).

– Existence de certaines limites.

!Le contexte règlementaire (IFRS, Solvency II…) :

– Arrivée des nouvelles normes comptables


231/330

– Nécessité de développer des modèles stochastiques (GLM, GAM) pour obtenir lameilleure estimation possible des réserves (best estimate) ainsi qu’une mesure devariabilité de cette estimation (VaR, Tail VaR, Quantiles, écart-types…)


Méthodes stochastiques usuelles

!3 grandes méthodes : – Les modèles GLM (Modèles linéaires généralisés) et la régression LogNormale : appartiennent à

la famille des modèles stochastiques paramétriques

– La méthode de ré-échantillonnage : Le Bootstrap

– Les modèles GAM : modèles stochastiques non paramétriques

!Qu’est ce qu’ un modèle stochastique?


232/330

– C’est un modèle statistique dont les composantes sont des variables aléatoires.

!Avantages:# explicite les hypothèses utilisées dans le modèle et permet de les valider partiellement# donne une mesure de la variabilité des montants de provisions estimées# permet de construire des intervalles de confiance# permet de simuler la sinistralité d’exercices futurs

Page 232

Modèles factoriels paramétriques

!

Ces méthodes s’appliquent en général sur les triangles de paiements non cumulés! Ce sont des méthodes multiplicatives qui permettent de modéliser l’évolution des paiements dans

les trois directions (année d’origine, délai de développement, année comptable). A chaquedirection est associée une variable


délai j variable ß j

0 j n


233/330

années i

d’origine i

variable $i n

Yij = v.a.

!"# %&&'( )%*(&+%!,(

!"#$"%&' ) $*+


234/330



!Modèle multiplicatif sous la forme d’un produit de paramètres correspondantchacun à une direction du triangle de liquidation :

!3 modèles présentés :

*) *) *)/ += θ β #


235/330

– Moindres carrés de De Vylder

– Régression Log-Normale

– Modèle linéaire généralisé (GLM)



Moindres carrés de De Vylder

! Inflation annuelle constante :

! représente la charge sinistres de l’année i et la cadence (no cumulée) derèglement en jième année de développement.

*) *)/ β =#

) * β


236/330

! Les 2(n+1) paramètres sont estimés à l’aide des moindres carrées :

( )

%%

"

%%

#

$

=

−

&

& &

=

=

−

=

& U

@D<

<

& V

V

& &

#

β

β α

& $

0"

)

)"

*

*) *)

( ) V #)


Modèles factoriels paramétriquesRégression Log-Normale

!Régression Log-Normale :

– On suppose que Yij suit une loi log-normale

– On pose Zij = ln(Yij)

– %ij = E(Zij) = & + 'i + ßj

– E(Yij) = exp [ & + 'i + ßj + (²/2 ]


237/330

– Estimation des paramètres : maximum de vraisemblance


Illustration - régression LogNormale

! Exemple de triangle de développement (paiements non cumulés bruts de recours à encaisser)

intercept 7,947 Dev 0,000 -0,967 -4,233 -5,057 -5,903 -4,903

(^2 0,031

orig Survenance 1 2 3 4 5 6

Charge

Ultime

Provisions

estimées

0,000 1995 3 209 1 163 39 17 7 21 4 456 0

0,160 1996 3 367 1 292 37 24 10 25 4 755 25

0,272 1997 3 871 1 474 53 22 10 28 5 458 38

0,590 1998 4 239 1 678 103 33 14 38 6 106 86



238/330

0,554 1999 4 929 1 865 72 32 14 37 6 949 155

0,613 2000 5 217 2 014 77 34 14 39 7 395 2 178

Total 35 119 2 482


239/330

Page 239

Modèles factoriels paramétriquesModèles linéaires généralisés

!Méthodologie de mise en œuvre d’un GLM :

– Hypothèse de distribution de la variable à expliquer

# Gamma

# Poisson (Poisson surdispersé)

# Gaussienne

– Choix de la structure paramétrique du modèle

# Structure additive / multiplicative



240/330

St uctu e add t e / u t p cat e

– Construction du modèle

– Validation du modèle

# Validation du montant des réserves

# Validation de la cadence obtenue# Validation statistique : résidus, déviance

Page 240

Modèles factoriels paramétriquesHypothèse de distribution de la variable à expliquer

! distribution de la variable à expliquer

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

données

loi log-normale

loi gamma

0%

20%

40%

60%

80%

100%

données

loi log-normaleloi gamma



241/330

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

données

loi log-normale

loi gamma


Illustration – Modèle GLM Poisson

! Exemple de triangle de développement (paiements non cumulés bruts de recours à encaisser)

intercept 8,057 Dev 0,000 -0,965 -4,149 -5,105 -5,950 -5,012

origSurvenance 1 2 3 4 5 6

Charge

Ultime

Provisions

estimées0,000 1995 3 209 1 163 39 17 7 21 4 456 0

0,064 1996 3 367 1 292 37 24 10 22 4 752 22

0,202 1997 3 871 1 474 53 22 10 26 5 456 36

0,312 1998 4 239 1 678 103 26 11 29 6 086 66

0 444 1999 4 929 1 865 78 30 13 33 6 947 153



242/330

0,444 1999 4 929 1 865 78 30 13 33 6 947 153

0,503 2000 5 217 1 987 82 32 14 35 7 367 2 150Total 35 064 2 427


Modèles factoriels paramétriquesVolatilité et obtention des quantiles

!Mesure de la volatilité des réserves

– Bootstrap

!Obtention des quantiles


243/330

– Bootstrap – Méthodes alternatives : basées sur les 1ers moments du montant des réserves R


Modèles factoriels paramétriquesBootstrap

!Méthode de ré-échantillonage permettant d’obtenir une distribution du montant desréserves

! En général, ré-échantillonage basé sur le triangle des résidus de Pearson

!Obtention de B triangles de résidus (B>1000 ou 2000)

1:3

:13

)*

)*)* ,)*

2

03

µ

−=


244/330

!Obtention de B triangles supérieurs d’incréments Y’ij

!Ré-utilisation du modèle sur chaque triangle et obtention de B montants de réserves


)* 4: ) 5:&K 0GD=


245/330

GAA>R=


246/330

– Quantiles

– Écart-type / mesure de volatilité

! " " #

$ % %

& '

! " " (

! " " )

! " " *

Page 246

0%

5%

10%

15%

20%

échantillon bootsrap

loi normale

3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Modèles factoriels paramétriquesHypothèse de distribution de la variable à expliquer

! Exemples de distributions obtenues (bootstrap – GLM Poisson)

0%

5%

10%

15%

20%

25%


loi normale


247/330

0%

2%

4%

6%8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%


loi normale

Page 247

3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Illustration – Bootstrap sur le modèle GLM Poisson

Exercice de

survenance

Moyenne Ecart-Type

1988 0 0

1989 22 9

1990 36 11

1991 66 14

1992 152 181993 2150 75

! Statistiques sur la distribution de réserves

H is t o g r a m o f R e s e r v e

2 0 0


248/330

! Histogramme de la distribution des réserves

R e s e r v e

F r e q u e n c y

2 2 0 0 2 3 0 0 2 4 0 0 2 5 0 0 2 6 0 0 2 7 0 0 2 8 0 0

0

5 0

1 0 0

1 5 0

Page 2483.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Modèles factoriels paramétriquesObtention des quantiles – méthodes alternatives

!Méthodes basées sur les 1ers moments de la distribution des réserves

– Dans certains cas (modèle poissonien), la distribution des réserves peut être obtenueen utilisant les propriétés de la fonction des moments généralisés de la variable Yij

– Approximation de la fonction de répartition du montant des réserves par une fonction

de répartition connue, qui va s’exprimer en fonction des 1ers moments de ladistribution des réserves

– Les 1ers moments de la distribution des réserves peuvent s’exprimer comme desfonction des estimations

– Plusieurs approximations possibles :

1:3 )*2


249/330

us eu s app o at o s poss b es# Normal Power

# Gamma

Page 249

3.2 Provision pour sinistres à payer (PSAP)Modèle conditi

cours iard

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