cours economie mc1 (math financiere)

Notions de Mathématiques Financières

A. Progressions ArithmétiquesUne progression arithmétique est une suite de nombre, tels que chacun de ces nombres s’obtient en ajoutant au précédent un nombre constant appelé Raison (r).

Ex: 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 chaque terme de cette suite s’obtient en ajoutant 2(raison) au nombre précédent.

Donc pour formaliser cela, on désigne par a le premier terme et par r la raison et on peut écrire une suite de la manière suivante:

a, a+r, a+2r, a+3r, a+4r, a+5r+…etc

Si r est positif, la progression est croissante

Si r est négatif la progression est décroissante

08/12/2012 Fait par DR A. AIT YAHIATENE

Propriétés des progressions arithmétiques

A.1 Calcul de la limite (Dernier terme) d’une progression arithmétique

Soit a le 1er terme , r la raison , n le nombre de terme et L la limite (Dernier terme).

a, a+r, a+2r, a+3r, a+4r, a+5r+…

De là, on voit que :

L= a + (n-1).r

Ex.:Calculer le 25eme et dernier terme d’une progression arithmétique de 1er terme 4 et de raison 3.

L= 4 + (25 – 1) . 3 = 76

De là, on peut déduire la formule de calcul de la raison r:

1−−

=n

aLr


A.2 Somme des terme d’une progression arithmétique

Considérons la progression arithmétique limitée suivante:

a, a1, a2, a3, a4 Avec : a1 = a + r et a3 = a4 - r

Si on fait la somme de ces termes on: a1 + a3 = a + r + a4 – r = a + a4

a1 a2 a3 a4a

Règle:Dans une progression arithmétique limitée, la somme de deux termes équidistants des extrêmes est égale à la somme des extrêmes. Ex: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

6+20 = 8+18 = 10+16 = 12+1408/12/2012 Fait par DR A. AIT YAHIATENE

A.3 Somme d’une progression arithmétique

2).( nfaS +

=

Soit la progression suivante: a, b, c, d, e, f

a étant le 1er terme , n le nombre de terme et f le dernier

Exercice:

2°) Le forage d’un puits a couté 11700 DA. Le prix du 1er mètre était de 300 DA. Le prix du suivant 400 DA , et ainsi de suite en augmentant de 100 DA par mètre. Quelle est la profondeur de ce puits, une fois terminé.

1°) Trouvez trois nombres en progression arithmétique connaissant leurs somme égale à 27 et la somme de leur carré égale à 251.


B. Progressions Géométrique

Une progression géométrique est une suite de nombre, tels que chacun de ces nombres s’obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé Raison (q).

Ex: 3, 6, 12, 24, 48, 96 chaque terme de cette suite s’obtient en multipliant par 2(raison) le terme précédent.

Donc pour formaliser cela, on désigne par a le premier terme et par q la raison et on peut écrire une suite de la manière suivante:

a, aq, aq2, aq3, …, aqn-1, aqn

Si q est > 1, la progression est croissante.

Si q est < 1, la progression est décroissante.


Propriétés des progressions géométriques

B.1 Calcul de la limite (Dernier terme) d’une progression géométrique

Soit a le 1er terme , q la raison , n le nombre de terme et L la limite (Dernier terme).

a, aq, aq2, aq3, …, aqn-1, aqn

De là, on voit que :

L= aq(n-1)

Ex.: Calculer la limite (dernier terme) d’une progression géométrique de 1er terme 4 et de raison 3. le nombre de terme est 8.

L= 4 . 37 = 8748De là, on peut déduire la formule de calcul de la raison r:

1−= naLq


B.3 Somme d’une progression géométrique

1−−

=q

afqS

Soit la progression suivante: a, b, c, d, e, f

a étant le 1er terme , q la raison et f le dernier


Ex. 1

Calculer le 8eme terme d’une progression géométrique dont le 1er terme est 4 et la raison 3.

Ex. 2

Le 2eme terme d’une progression géométrique est 8, son 6eme terme est 2048. Quel est son 4eme terme?

La somme des deux premiers termes d’une progression géométrique de 6 termes est de 12 et la somme des deux derniers est de 972. Trouver les termes de cette progression géométrique.

Ex. 3

Significations de quelques termes

Escompte :C’est le moyen par lequel une entreprise peut se procurer immédiatement, la contrepartie d’une Créance à terme.

Créancier est en général le vendeur ou celui qui présente l’effet commercial.Dans une opération commerciale, il y’a deux parties: un Vendeur et un Acheteur

Quand le règlement n’est pas immédiat, il est alors à terme. Dans ce cas, l’acheteur remet au créancier (Vendeur) un effet commercial.

Vendeur Acheteur

Marchandises

Effet Commercial

I. OPÉRATIONS FINANCIÈRES


Le montant inscrit sur l’effet, s’appelle Valeur Nominale.

La date à laquelle cette valeur est payable est appelée : Échéance.

Formulation:Le créancier (Vendeur) présente l’effet au banquier, à la date d’échéance . En contrepartie la banque verse la valeur nominale.


II. LES INTERETS

Quelques termes:Intérêt : Coût de location d’un capital.Dates d’intérêt : Dates d’échéance des intérêts.Période d’intérêt : Période de temps entre deux dates d’intérêt consécutives.Capitalisation des intérêts : Le fait d’ajouter les intérêts au capital.

On distingue deux types d’intérêts:

- Simples- Composés


Notions des taux d’intérêtTaux Proportionnel

niim%% =

%1mois 12

12%%im ==

Exemple : Quel est le taux mensuel im% proportionnel à un taux annuel de 12%

Taux équivalent

mn

m

m nm

nmm

ii

iiii

)1()1(

)1()1()1()1(

+=+⇒

+=+⇒+=+

1)1( −+= mn

m ii08/12/2012 Fait par DR A. AIT YAHIATENE

Exemple : Quel est le taux im % mensuel équivalent à un taux i annuel de 12%

( )

%95,00095,0

0095,1)12,01(1 121

==⇒

=+=+

m

m

i

i


Définitions

1) Intérêts SimplesToute somme d'argent placée (ou prêtée) rapporte (à son propriétaire), au bout d'un certain de temps, un surplus appelé intérêtLes intérêts sont dits simples lorsque leur valeur est "fixe" (indépendante de la somme sur lesquels ils portent, ou indexé sur une somme fixe)

Exemple:

Supposons qu'une somme C= 1000 UM soit placée à intérêts simples annuels de i% = 5 %.

Intérêts = C x i% x n = 1000 x 0,05 x 1= 50 UM

I : intérêt en UMC : capital en UMi% : taux exprimé en pourcentagen : nombre de période de placement

L’intérêt simple se calcule à partir de la formule :I = C x i% x n


La période de placement est très importante et en fonction de cette dernière la formule de calcul d’intérêts simples change selon le tableau suivant:

Périodes Formules

n en années

n en semestres

n en trimestre

n en mois

n en quinzaine

n en jours

niCI ××= %

2% niCI ××

=

4% niCI ××

=

12% niCI ××

=

24% niCI ××

=

360% niCI ××

=


Généralement, si la durée du prêt ou du placement est supérieure à un an, l’intérêt n’est plus simple mais composé. A partir de la deuxième année, le capital placé n’est pas seulement le capital initial, mais le capital initial auquel il faut ajouter les intérêts produits la première année. C’est pour cette raison que l’on parle d’intérêts composés ou d’intérêts capitalisés.

2) Intérêts Composés

Autrement dit un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productif d’intérêts la période suivante.La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n périodes de placement estdéterminé comme:

nn iCC %)1(0 +×=

C0 I0

C1 I1

C2 I3


L’intérêt total est :

1−−= nnn CCI

0CCI nt −=

L’intérêt à une année donnée est :

3) CapitalisationC’est la Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i%

Donc cette valeur, au bout de n années devient:

nn iVV %)1(0 +=


I) Intérêts et valeur acquiseDéfinitionUn capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la finde chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productifd’intérêts la période suivante.La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n périodes de placement estégale à :

Avec t : taux d’intérêts sur une période

RemarqueLe montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

Les périodes de capitalisation des intérêts peuvent être le mois, le trimestre, le semestre ou l’année.Le montant des valeurs acquises C1, C2, C3, … Cn forment une suite géométrique de raison :(1 + t).Les intérêts composés sont surtout utilisés pour des placements à long terme.


I = Cn – C0

Cn =C0 (1+t)n

ExempleUn capital de 5 000 DA est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans.La première année les intérêts se calculent sur le capital C0 = 5000 DA:

La valeur acquise de la première année est : C 1= 5200 DAL’année suivante, les intérêts se calculent sur le capital C 1= 5200 DA :i2 = 5200 X 0,04 = 208 DALa valeur acquise de la deuxième année est : C2 = 5408 DAAinsi de suite, la valeur acquise de la cinquième année est :

soit C5 = 6083, 26 DA .

DA


II) Calculer le montant d’un capital placéMéthodeConnaître la valeur acquise, le nombre de périodes, le taux périodique consiste à Transformer la formule :

ExempleQuel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux de 3,5 % l’an pour obtenir une valeur acquisede 50 000 DA ?

Cn = 50 000 DA ; t = 3,5 % ; n = 5 ans. C0 = ?

C0 = Cn (1+t)-n = 50 000 (1+0,035)-5 =42 098,65 DA


DAV 52,14025)07,01(10000 55 =+=

Ex: 1) Calculer la Valeur acquise par un capital de 10.000 DA placé pendant 5 ans au taux annuel de 7 % .

2) Même calcul, mais à intérêts composés trimestriellement.

( ) ( ) %706,101706,1111 )07,1( 41

4/11 =⇒==+⇒+=+ ttat iiii

( ) 52,1402501706,110000V 20n ==

Etape 2 : calcul de la valeur acquise d’un capital de 10000 DA placé pendant 20 périodes (5 années de 4 trimestres) au taux de 1.706%

On constate que, les taux étant équivalents, les valeurs futures sontstrictement identiques, quelle que soit la période de compositionchoisie.

Etape1: Détermination du taux trimestriel équivalent à 7% annuel



On avance plusieurs raisons qui justifient l’existence et l’utilisation des intérêts, parmilesquelles on peut citer :

Pourquoi les intérêts ?

Le risque: Une personne qui prête de l’argent, le fait pour une durée étalée dans le temps. Elle court, dès lors, un risque inhérent au futur. La réalisation de ce risque résulte au moins des éléments suivants :l’insolvabilité de l’emprunteur : dans le cas où l’emprunteur se trouve incapable de rembourser sa dette, lorsque celle-ci vient à échéance, le prêteur risque de perdre l’argent qu’il a déjà prêté. Il est alors normal qu’il exige une rémunération pour couvrir le risque encouru et dont l’importance sera appréciée en fonction de la probabilité de nonremboursement.

L’inflation : entre la date de prêt et la date de remboursement, la valeurdu prêt peut diminuer à la suite d’une érosion monétaire connueégalement sous le nom d’inflation. Le prêteur peut donc exiger une rémunération pour compenser cet effet.


Exemple 1:Une somme de 10000 DA est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simplede 7 %1/ Calculer le montant de l’intérêt produit à l’échéance.2/ Calculer la valeur acquise par ce capital.3/ Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 DA.

Solution :1/ On a : I = S0.ij.NJS0 = 10000 DAi% = 7%, Calculons alors le nombre de jours de placement (Nj).Avril = 7Mai = 31Juin = 30Juillet = 31Août = 9Nj = 108 joursI = 10000 . 7 . 108 /360 . 100 = 210 DAI = = 210 dinars2/ La valeur acquise par ce capital est égale à Va,Va = S0 + I = 10000 + 210 = 10210 DA


3/ Date de remboursement correspondant à un intérêt de 315 dinarsI = S0 . t% . Nj/360.100 = 10000 . 7 . Nj /36000 = 315 ⇒ Nj = 162 Jours

Avril = 7Mai = 31Juin = 30Juillet = 31Août = 31Septembre = 30160Octobre = 2162Date de remboursement = 2 octobre

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