cours dimension nement

Performance etdimensionnement desrseaux radio-mobiles

Anas Vergne

Plan

Dimensionnement simpleAvec mobilitRseaux hirarchique

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Plan

Dimensionnement simple

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Problme (1/2)

1 trame

Un canal logique

FIGURE: Principe du TDMA.

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Problme (2/2)

Le canal est rserv.Une ressource pour une communication.Diffrent de la commutation de paquets.Problme analogue au RTC.

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Nombres de ressources

Nb metteurs-rcepteurs Nb slots1 72 143 224 295 37

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Modle dErlang (1/2)

File dattente M/M/S/SArrives Poisson(), en nombre dappels par units de temps.Temps de communication Exp(),1/ en units de temps.Nombre de slots disponibles S.

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Modle dErlang (2/2)

Gnrateur infinitsimal :

(+ )

. . . (0)

k (+ k)

(0) . . .

(S 1) ((S 1)+ ) S S

.

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Formule dErlang

Loi stationnaire

pi(,n) = n/n!S

j=0 j/j!

Probabilit de perte

pi(,S) = S/S!Sj=0 j/j!

Avec = / la charge (ou intensit de trafic).Gnralement, = 0,025 Erlangs.

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Utilisation

On connat ,On cherche S tel que

pi(,S) seuil.

En mobile, le seuil vaut gnralement 0.02 (0.001 en tlphoniefixe).On utilise la formule suivante pour rsoudre par rcurrence :

pi(,0) = 1,

1

pi(,S) = 1+S

1pi(,S 1)

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Rsultats numriques

Nb metteurs-rcepteurs 1 2 3 4 5 6 7Nb TCH 7 14 22 29 37 45 52Capacit 2,9 8,2 15 21 28 35,5 42

Trafic coul par TCH 0,41 0,59 0,68 0,72 0,76 0,79 0,81Nb de mobiles 116 328 596 840 1128 1424 1680

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Plan

Dimensionnement simpleAvec mobilit

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Handover (1/2)

HypothsesTemps de communication Exp().Temps de sjour dans une cellule Exp().

ConsquencesTemps doccupation dun slot dans une cellule Exp(+ )(minimum de 2 variables exponentielles).Probabilit pour un slot de se librer grce un handover :/(+ ) = .Probabilit pour un slot de se librer grce la fin dun appel :/(+ ) = 1 .

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Handover (2/2)

Le nombre moyen de handovers est donn par :

NHO =

nP( fin dappel dans la n + 1-ime cellule).

Un appel finit dans la n-ime cellule si :il y a eu n handovers dans les n premires cellules traverses,il y a fin dappel dans la dernire cellule.

Donc :

NHO =

n n(1 )

=

1

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Exemples numriques classiques

Temps de communication moyen : 2 minutes.Temps de sjour moyen dans une cellule : 5 minutes.

Rsultats

1+

= 1/( 1120 +1300) =

6007 = 86s.

=

+ = 0.28.

NHO = 0.28/(1 0.28) = 0.4.

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Bilan des entres-sorties (1/2)

HypothsesToutes les cellules sont identiques.Probabilit de perte de lappel trs faible p $ 1.

EntresAppels frais f .Arrives par handover HO.

SortiesFins dappel (1 )(f + HO) (1 p).Dparts par handover (f + HO) (1 p).

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Bilan des entres-sorties (1/2)

Cellule

Appels frais

Handover

f

HO

Appels termins

Appels continuant en HO

(1)(f+HO)

(f+HO)

A lquilibre, ce qui arrive en handover = ce qui part en handover :

HO = (f + HO) HO =

1 f .

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Charge vue par la BTS

La charge est le nombre dappels par unit de temps multipli par ladure moyenne dun appel, do :

= (f + HO)1

+

= f1

1 1

+

= f+

1+

=f

La charge est inchange, la formule dErlang est toujours valide.

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Problme

On ne fait pas de distinction entre appels frais et handovers.Il est plus dsagrable de se faire couper pendant uneconversation que de ne pas pouvoir commencer un appel.Asymtrie des besoins de qualit de service.On peut tolrer une plus grande probabilit de perte laccs quelors dun handover.

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Solution : trunk reservation

On rserve des canaux de garde pour les handovers :S = Nombre de canaux disponibles.g = Nombre de canaux de garde .

PolitiqueXt = Nombre de canaux occups linstant t .Si Xt S g, on accepte les appels frais et les handovers.Si S g < Xt S, on accepte seulement les handovers.Sinon, on rejette tous les appels car aucun canal disponible.

Anas Vergne

Loi stationnaire

On pose + = + et + = f + HO.

0 1 2 Sg Sg+1 S+ +

+ 2+

HO HO+

S+(S g)+

On obtient les quations dquilibres suivantes :Pour 0 j < S g,(+ + j+)pi(j) = +pi(j 1) + (j + 1)+pi(j + 1).Pour j = S g, (HO + j+)pi(j) = +pi(j 1) + (j + 1)+pi(j + 1).Pour S g < j < S,(HO + j+)pi(j) = HOpi(j 1) + (j + 1)+pi(j + 1).Pour j = S, HO pi(S 1) = S+pi(S).

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Algorithme de calcul de la perte

On suppose pi(S) = 1 et on rsoud par la droite :Input : f ,HO , ,,S,gOutput : pi(S)pi(S) = 1 ;for n = S 1 n = 0 do

Calculer pi(n) grce aux quations prcdentes.endreturn 1S

n=0 pi(n)

On obtient la probabilit de perte pour les appels frais et leshandovers.

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Rsultats numriques

S 30 32 34 34g 0 2 3 4

Perte appels frais 0.8457% 1.0275% 0.6584% 1.0332%Perte HO 0.8457% 0.0278% 0.0028% 0.0008%

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Conclusion : impact de la mobilit

S 7 15 23 33 39Nb canaux de garde 1 2 2 3 3

Charge max. sans mobilit 2,5 8,1 14,4 21, 28,1Charge max. avec mobilit 1,3 6,2 11,2 18,2 25,0

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Dimensionnement simpleAvec mobilitRseaux hirarchique

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Cellule parapluie (1/2)

1 2

3Macro-cellule

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Cellule parapluie (2/2)

UtilisationAchemine les appels des mobiles rapides .Sert de cellule de dbordement pour les micro-cellules.

QuestionComment dimensionner cette cellule parapluie?

Anas Vergne

Problme

Dbordement dune file dattente M/M/S/SPendant x% du temps, aucune arrive.Pendant (100 x)% du temps, les arrives suivent un processusde Poisson dintensit .Les arrives ne suivent pas un processus de Poisson.La formule dErlang ne sapplique pas.

Anas Vergne

MMPP :Markov Modulated Poisson Process

DfinitionUn MMPP est un processus plusieurs phases. Dans chaque phase,les arrives suivent un processus de Poisson dintensits diffrentes. Ilest caractris par :

Un gnrateur infinitsimal Q du processus des phases J.Lespace dtats est {1, , m} (il y a m phases).On note la probabilit stationnaire associe au processus dephases.Les intensits des arrives dans les diffrentes phases de J.On note i le nombre moyen darrives par unit de temps enphase i .

Anas Vergne

Exemple de MMPP 2 phases (1/2)

temps

Jt

1

2

Anas Vergne

Exemple de MMPP 2 phases (2/2)

J = {1,2}.Temps exponentiel dans chacune des phases de paramtre i .Gnrateur infinitsimal de J :

Q =(1 12 2

).

Loi stationnaire :

(1) = 21 + 2

et (2) = 11 + 2

.

Intensit des arrives en phase i : i .

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Trafic de dbordement dune celluleNombre de serveurs occups Xt = {0, ...,S}.Gnrateur infinitsimal de Xt :

Q =

(+ )

. . .S S

.

Loi stationnaire de la phase i : (i) = i/i!Sj=0

j/j!.

Intensit en phase i : i = 0, i {1, ...,S 1} et S = . On note :

=

0

. . .

.

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Trafic de dbordement de plusieurs cellules

Une macro-cellule rcupre le dbordement de plusieursmicro-cellules :

Le dbordement de chaque micro-cellule est un MMPP,Le trafic dentre de la macro-cellule est la superposition de tousles dbordements,La superposition des dbordements est une superposition deMMPP.

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Superposition de MMPP

Soit Ni , i = 1, , K des MMPP indpendants tels que pour tout i , Jiest valeurs dans {1, , mi}, de gnrateur infinitsimal Qi , deprobabilit stationnaire i . On note i la matrice diagonale des tauxdarrives pour le MMPP Ni .Le processus superposition N est un MMPP de processus des phasesJ dont le gnrateur infinitsimal est donn par :

Q = Q1 Q2 . . . QK ,

et de matrice de taux darrives :

= 1 2 . . . K .

La probabilit du processus des phases est : 1 . . . K .

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Dfinition des oprations de Kronecker

Le produit de Kronecker de deux matrices A et B, not A B, est lamatrice :

a11B a12B . . . a1nB... ... ...

am1B . . . . . . amnB

.

La somme de Kronecker est dfinie par :

A B = (A id B) + ( id A B),

o id A est la matrice identit de mme taille que A.

Anas Vergne

File MMPP/M/S/S

CaractristiquesXt : Nombre de serveurs occups {0, ...,S}.Jt : Diffrentes cellules {1, ...,m}.(Xt , Jt) : Processus Markovien sur lespacedtat {0, ...,S} {1, ...,m}.On suppose que les m cellules sont identiques et on reprend lesnotations du trafic de dbordement dune cellule Q et .On note :

Qmc = Q ...Q,mc = ... .

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Gnrateur infinitsimal

A =

Qmc mc mc

Id Qmc mc Id mc

. . . . . . . . .

iId Qmc mc iId mc

. . . . . . . . .

SId Qmc SId

.

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Loi stationnaire (1/3)

Dfinitionpi = (pi0,1, ...,pi0,n,pi1,1, ...,pi1,n, ...,piS,1, ...,piS,n),

tel que piA = 0 eti ,j pii ,j = 1.Afin de rsoudre par blocs, on note :

x0 = (pi0,1, ...,pi0,n),...

xS = (piS,1, ...,piS,n).

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S + 1 quations vectorielles

x0(Q mc) + x1Id = 0x0mc + x1(Q mc Id) + x22Id = 0

...xi1mc + xi(Qmc mc iId) + xi+1(i + 1)Id = 0

...xS1mc + xS(Qmc SId ) = 0.

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RsolutionLes S premires quations donnent :

xi = x0Ri pour i {1, ...,S},

Avec Ri+1 = 1(i+1)(Ri1mc + Ri(Qmc mc iId)), et R1 = 0 et

R0 = Id .Et la S + 1-ime quation :

x0(RS1mc + RS(Qmc SId)) = 0.

On a alors x0 un scalaire prs que lon obtient avec la condition denormalisation.

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Probabilit de perte (1/2)

Probabilit de blocageProbabilit que le systme soit satur linstant t .PB(t) = P(Xt = S).

Probabilit de perteProbabilit que le systme soit satur larrive dun client linstant t .PP(t) = P(Xt = S|At = 1).At reprsentant le processus darrive.

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Probabilit de perte (2/2)

CalculPP(t) = P(Xt = S,At = 1)/P(At = 1),

P(At = 1) =m

j=1 P(At = 1, , Jt = j) =m

j=1 j dtP(Jt = j),

P(Xt = S,At = 1) =m

j=1 jdtP(Xt = S, Jt = j).

Convergence

PP(t) t+mj=1

jmj=1 j(j)

pi(S, j).

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